Metodos Numericos

Método de Newton Raphson aplicado a la ley de Arquímedes
Carlos Fabián Puyo Gamboa, Javier Mauricio Salcedo Cómbita, Hansel Stiven González Castellanos
Universidad Distrital Francisco José de caldas, Facultad Tecnológica
Bogotá DC, Colombia
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Abstract –Este artículo presenta la aplicación de un método numérico para la resolución de un problema en el cual se utiliza la ley de Arquímedes. Se cuenta con la obtención de una ecuación, la cual representa las condiciones de una pelota sumergida en agua y con la cual se puede hallar la posición de ella. Se puede constatar como los métodos numéricos presentan una convergencia en menor tiempo.
I. INTRODUCCION
Se sabe que los métodos numéricos son una serie de herramientas que ayudan a solucionar ejercicios aplicados a la ingeniería, se basan en querer aproximar las soluciones exactas que se han aprendido en los anteriores semestres de cálculos, cada una de ellas nos puede dar solución a un tipo de problema específico y tienen la ventaja de ser programable y ser solucionados de manera automática.
El objetivo central consistió en la selección y aplicación de un método numérico para la resolución de un problema de ingeniería.
Esta investigación se enfocará al método de Newton Rapshon donde se podrá observar cómo usar este método abierto para determinar una profundidad a la cual se sumerge un objeto en el agua, conociendo las dimensiones de este y su gravedad específica.

II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
A continuación se dará una breve explicación de los temas a tratar como el método de Newton Rapshon y la ley de Arquímedes:
A. Método de Newton Rapshon
El método de Newton-Raphson es llamado así por el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro "Aequationum Universalis", publicado en 1690, que contenía este método para aproximar raíces.[1]
Es un método abierto que muestra la intersección de la recta tangente con el eje x, nos brinda una aproximación a la raíz. Luego se hacen iteraciones a los cortes de la recta tangente con el eje x de tal forma que este convergente a la la raíz de la función no lineal, se continúa iterando hasta aproximarse a la raíz.
La fórmula general de Newton Rapshon es:
[2]

Fig.1 Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se muestra en azul y la línea de la tangente en rojo). Vemos que es una aproximación mejor que para la raíz de la función. [1]
B. Ley de Arquímedes
El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: "Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja". Este empuje recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide en Newton (en el SI). [3]

Fig.2 Principio de Arquímedes: El volumen adicional en la segunda probeta corresponde al volumen desplazado por el sólido sumergido. [3]
III. EJERCICIO APLICADO
En una empresa que hace pelotas para niños, diseño una pelota de flotación de gravedad específica (p) de 0.6y tiene un radio (r) de 5.5 cm. Se requiere encontrar la profundidad a la cual se sumerge la pelota al flotar en el agua. Observar dibujo:
Fig. 3 bosquejo del problema, porción de la pelota de radio r que es sumergida hasta una altura d.
La masa Ma de agua desplazada cuando la pelota se sumerge en agua y esta alcanza la altura d está dada por la siguiente ecuación:
Ma=0dπ(r2-x-r2dx)=π*d2(3r-d)3 [3]

Y la masa de la esfera Me es:
Me=4π*r3*p3 [3]
Aplicando la ley de Arquímedes según la cual Ma = Me (volumen del líquido desplazado es igual al volumen del cuerpo sumergido) se genera la ecuación:
π(d3-3d2r+4r3*p)3 [3]
Reemplazando los valores r=0.055m y p =0.6 se obtiene una ecuación para la profundidad "d" estará dad en metros y se obtiene que
fd= d3-0.165d2-3.993*10-4
Con el método de Newton Raphosn encontraremos las raíces de la ecuación y así poder determinar:
La profundidad a la cual se sumerge la pelota debajo del agua
El error aproximado relativo absoluto al final de cada iteración.
Para comenzar a solucionar hay que cuenta que tenemos una función de grado 3 por lo cual hay 3 posibles raíces graficando en Geógebra o solucionando la ecuación nos damos cuenta que tiene dos raíces positivas y una negativa.

Fig. 4 grafica de nuestra función evaluada donde se muestra que los puntos verdes son nuestras raíces. (GEOGEBRA)

Se prosigue a la utilización del método derivando la función que hemos obtenido
fd= d3-0.165d2+3.993*10-4
f'd= 3d2-0.33d
Se escoge el do para empezar con el método es aconsejable empezar con un número cercano al radio de la pelota para hacer menos iteraciones.
Iteración 1 do =0.05
d1=d0-f(d0)f'(d0)
=0.05-(0.05)3-0.1650.052+3.993*10-430.052-0.330.05
=0.05-1.118*10-4-9*10-3
=0.05--0.01242
d1=0.06242
Entonces, el error aproximado relativo absoluto es:
εa=d1-d0d1*100
εa=0.06242-0.050.06242*100
εa=19.90%
El porcentaje de error es muy alto se procede con una nueva iteración:
d1=d0-f(d0)f'(d0)
=0.06242-(0.06242)3-0.1650.062422+3.993*10-430.062422-0.330.06242
=0.06242-3.7798*10-78.9098*10-3
=0.06242-3.814*10-5
d1=0.06238
εa=d1-d0d1*100
εa=0.06238-0.062420.06238*100
εa=0.0716%
Para buscar un resultado más cercano a la raíz hacemos una nueva iteración.
d1=d0-f(d0)f'(d0)
=0.06238-(0.06238)3-0.1650.062382+3.993*10-430.062382-0.330.06238
=0.06238-2.155*10-88.911*10-3
=0.06238-2.419*10-6
d1=0.062378
εa=d1-d0d1*100
εa=0.06238-0.0623780.062378*100
εa=0.003%
Hemos encontrado una aproximación favorable para nuestro ejercicio por lo tanto se podría decir que la distancia d de 0.062378 m

IV. DESARROLLO CON EL APLICATIVO (GEOGEBRA)
1) Se ingresa la función encontrada en nuestro aplicativo como se muestra en la siguiente imagen

Fig. 5 Entrada de nuestra función al aplicativo. (GEOGEBRA)
2) Inmediatamente el aplicativo nos grafica la función. (Véase figura #4)
3) Entraremos el valor de do supuesto en nuestro aplicativo como se muestra en la siguiente imagen:

Fig. 6 Entrada de do supuesto al aplicativo. (GEOGEBRA)
4) Por últimos se puede observar la tabla con los resultados obtenidos

Fig. 7 Resultados del aplicativo. (GEOGEBRA)

IV.CONCLUSIONES
El Principio de Arquímedes establece que el empuje a que está sometido un cuerpo sumergido en un líquido es igual al peso del fluido desplazado. Al plantear esta condición de equilibrio para objeto con una masa determinada se consigue una ecuación en la cual se logra aplicar el método de Newton-Raphson para estimar un valor aproximado de d, usando dos iteraciones.

El método de Newton-Raphson resulta una herramienta ágil y robusta en el cálculo de raíces. De esta forma, se considera que se pueden obtener las raíces reales de prácticamente cualquier ecuación matemática.

Fue posible la convergencia del método para la primera raíz, la cual tiene una interpretación física del fenómeno estudiado, la otra raíz positiva mayor nos indica que la pelota está totalmente debajo del agua y la raíz negativa que estaba totalmente fuera del agua por lo tanto el resultado del método está en lo correcto.

Hoy en día el campo de la ingeniería requiere el apoyo de otras ciencias básicas como lo es la matemática y sus diferentes ramas compuestas. Estas ramas ofrecen mejores resultados cuando se combinan con la computadora ya que hacen más rápidos los procesos interactivos que deben efectuarse, y que anteriormente no podían ofrecer respuestas satisfactorias porque resultaban muy engorrosas al trabajar con ecuaciones en las cuales sus raíces no eran sencillas de obtener, en este caso se puede concluir como por medio de un aplicativo en cualquier programa se pueden obtener esos resultados basados en los métodos numéricos.

REFERENCIAS
[1] Wikipedia. La Enciclopedia libre, Método de Newton [0nline]. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton#Descripci.C3.B3n_del_m.C3.A9todo
[2] Métodos Numéricos Para Ingenieros - 5edi
[3] R.L. Mott, Mecánica de fluidos, Ed. 6, Pearson, México, 2006 http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/arquimedes/teor_arquim.htm

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