Micro

Syllabus, Exercices d’Application, examens passés et Bibliographie

(2015-2016)

Microéconomie Microéconom ie

J el l oul EL MABROUK

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Contenu Syllabus Consistance Plan détaillé du cours Chapitre1 : THEORIE DU CONSOMMATEUR Chapitre 2 : THEORIE DE L’ENTREPRISE Chapitre 3 : EQUILIBRE PARTIEL (dans un marche isolé) Chapitre 4 : EQUILIBRE GENERAL

Chapitre 5 : OPTIMUM ECONOMIQUE EFFICACITE ECONOMIQUE ET BIEN ÊTRE SOCIAL Chapitre 6 : L’OPTIMUM ET LES INTERDEPENDANCES CREEES PAR LES BIENS PUBLICS ET LES EFFETS EXTERNES

3 3 3 3 4 5 5 6 7

Exercices d’application Questions communes Ch.1 Comportement du consommateur Ch.2 Comportement du producteur Ch.3 Equilibre dans un marché isolé Ch.4 Equilibre général Ch.5 Optimum et efficacité Ch.6 Biens publics et effets externes

8 8 9 13 15 16 19 20

Examens passés Année 2014-2015 Année 2013-2014 Année 2012-2013

23 23 25 28

Références bibliographiques 1. Les imprimés 2. Documents numériques de source Internet

31 31 32



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Syllabus Consistance Microéconomie : est la première partie d’un cours qui s’étend sur deux semestres. Elle a pour objet d’initier à l’analyse des décisions économiques. Ces décisions concerneront : - dans une première phase les choix des agents (consommateurs et producteurs), pris individuellement et, débouchant sur des expressions traduisant les principales caractéristiques des comportements stratégiques de ces agents face aux paramètres exogènes exogènes (prix, revenus, savoir-faire technique, etc. ) et à leurs variations. - Dans une seconde phase, les résultantes agrégées des demandes et des offres individuelles seront considérées comme des forces qui inter agissent pour définir les prix d’équilibre pour chaque marché pris isolément, et pour l’ensemble des marchés pris dans leurs interdépendances. Le contexte de l’analyse pour les 5 premiers chapitres de la Microéconomie I est le cadre de la concurrence pure et parfaite, un cadre théorique qui sera progressivement remis en question dans le 6ème chapitre et dans la deuxième partie (Microéconomie avancée) en éliminant les principales hypothèses restrictives qui caractérisent le cadre concurrentiel. Ce cours, qui constitue un prolongement du cours d’introduction à l’analyse économique, se différencie par un usage plus intensif des mathématiques pour dériver les principales règles de décision.

Plan détaillé du cours Chapitre1 : THEORIE DU CONSOMMATEUR

1.0 Introduction 1. 1. Approche classique 1.1.1 Domaine des choix possibles a) Contrainte physique b) Contrainte légale ou religieuse d'interdiction, c) Contrainte budgétaire ou de gestion administrée 1.1.2 Critères qui fondent le choix du consommateur a) Définition d'une relation de préférence b) définition d'une fonction d’utilité 1.1.3 Détermination des fonctions de demande Microéconomie Microéconom ie


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a) Conditions nécessaires de l'optimum (point de selle) b) Relations définissant la structure optimale du panier de consommation c) Relation de convergence des appréciations individuelle et collective d) Résolution du système défini par les conditions nécessaires e) Les conditions suffisantes de l’optimum 1.1.3 Propriété caractéristique des fonctions de demande ordinaires a) Homogénéité de degré zéro b) Comportement des fonctions de demande 1) Interprétation des éléments composant les expressions calculées 2) Propriétés des termes composant les équations de Slutsky a) les effets effets de revenu b) Les effets de substitution c) les effets de prix 1.1.5 La demande globale 1.2 Approche duale : analyse analyse dans l’espace l’espace des valeurs valeurs 1.2.1 Propriétés et utilisation de la fonction d’utilité indirecte a) Propriétés b) Utilisation : identité de Roy 1.2.2 Propriétés et utilisation de la fonction de dépense a) Propriétés b) Utilisation 1.2.3 Dualité et mesure de la variation du bien-être a) la variation du surplus du consommateur b) Variation des prix et son impact sur le coût de la vie. c) La variation compensatoire et la variation équivalente 1) La variation compensatoire 2) La variation équivalente d) Mesures utilisant la méthode des indices de Laspeyres et de Paasche Chapitre 2 : THEORIE DE L’ENTREPRISE

2.1 Introduction 2.2 L’activité de production production 2.2.1 Les inputs de l’entreprise 2.2.2 Formulation des relations de production a) Hypothèses relatives au domaine de production b) Définitions et propriétés des relations qui définissent la production. b.1 Techniques à proportions fixes ( à facteurs complémentaires) b.2 Les techniques à proportion variable (à facteurs substituables) c) Mesure de la substitution entre techniques : Elasticité de substitution d) Les Coûts de production 2.3 Equilibre du producteur producteur 2.3.1 Approche en deux étapes a) Minimisation de la dépense et fonction fonction de coût : première première étape Programme à optimiser Microéconomie Microéconom ie


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Les conditions nécessaires de l'optimum Détermination des fonctions de demande conditionnelle des inputs Définition de l’expression du coût de production b) Maximisation du profit et fonction d’offre : deuxième étape 2.3.2 Approche en une seule étape a) La méthode par substitution b) La méthode du lagrangien 2.4 Variations au voisinage de l'équilibre de l'entreprise 2.4.1 Comportement des variables de décision de l’entreprise. a) Concernant la fonction d’offre de l’output b) Concernant les fonctions de demandes des inputs 2.4.2 Les rendements d’échelle et la profitabilité de l’activité 2.5 Notion d'offre du marché (offre globale) 2.6 Notion de surplus du producteur Chapitre 3 : EQUILIBRE PARTIEL (dans un marche isolé)

3.0 Introduction 3.1 Détermination de l’équilibre partiel concurrentiel 3.1.1 La fonction d'offre globale 3.1.2 La fonction de demande globale 3.1.3 Définition de l’équilibre partiel a) Selon l’approche de Walras, b) Selon l’approche de Marshall, 3.2 Dynamique d'ajustement des prix : stabilité de l’équilibre. 3.2.1 Stabilité statique a) Selon l’approche de Walras b) Selon l’approche de Marshall 3.2.2 Stabilité dynamique a) Adaptation retardée des prix b) Adaptation retardée de l'offre c) Stabilité dynamique en variation continue 3.3 Surplus associés à l’équilibre du marché Chapitre 4 : EQUILIBRE GENERAL

4.0 Introduction 4.1 Équilibre général dans une économie de distribution 4.1.1 Hypothèses 4.1.2 Formulation des équations du système a) Les équations de comportement b) Les équations d’équilibre 4.1.3. Résolution du système d’équilibre général 4.2 Équilibre général dans une économie d’échange pur 4.2.1 Définitions et concepts a) Agents économiques b) Allocation Microéconomie


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c) Dotations initiales d) Ressources Totales e) Allocation optimale au sens de Pareto 4.2.2 Hypothèses 4.2.3 Formulation des équations du système a) Équations de comportement b) Équations d’équilibre c) Énoncé et démonstration de la Loi de Walras. 4.2.4 Résolution du système 4.2.5 Illustration simplifiée pour le cas de deux consommateurs et deux biens a) Utilisation de la boîte d'Edgeworth b) Les données de base c) Propriétés caractéristiques de la boîte d’Edgeworth d) Représentation graphique des courbes d’indifférence e) Les courbes d’indifférences bloquantes f) Illustration du concept de l’optimum au sens de Pareto g) Courbe de contrat et noyau de l’économie h) Définition de l'équilibre général 4.3 Équilibre dans une économie d’échange avec production 4.3.1 Hypothèses 4.3.2 Formulation du système a) Équations de comportement des entreprises b) Équations de comportement des consommateurs c) Équations d’équilibre des marchés 4.3.3 Résolution du système d’équilibre général

Chapitre 5 : OPTIMUM ECONOMIQUE EFFICACITE ECONOMIQUE ET BIEN ÊTRE SOCIAL 5.0 Introduction 5.1 Allocations efficaces dans une économie d’échange pur 5.1.1 Hypothèses 5.1.2 Détermination analytique des allocations efficaces 5.1.3 Passage des utilités individuelles à l’utilité collective 5.2 Allocations efficaces dans une économie d’échange avec production 5.2.1 hypothèses 5.2.2 Détermination analytiques des optima de Pareto 5.3 Optimum de Pareto et équilibre général de concurrence pur et parfaite 5.4 Optima de Pareto et fonction d’utilité collective 5.4.1 Existence de la fonction d’utilité collective (de bien-être social) 5.4.2 Hypothèses sous-jacentes à la formulation de la fonction d’utilité collective Microéconomie


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5.4.3 Fonction d’utilité collective et optimum social 5.4.4 Fonction d’utilité collective et Calcul économique

Chapitre 6 : L’OPTIMUM ET LES INTERDEPENDANCES CREEES PAR LES BIENS PUBLICS ET LES EFFETS EXTERNES 6.0 Introduction 6.1 Optimum et biens publics 6.1.1 Formulation du modèle 6.1.2 Optimisation du modèle 6.1.3 Quelques principes pour le financement des biens publics 6.2 Optimum et effets externes 6.2.1 Effets externes engendrés par une activité de consommation. 6.2.2 Effets externes engendrés par une activité de production 6.2.3 Comment peut-on alors résoudre le problème des effets externes ? 6.2.4 Détermination analytique du niveau de la taxe correctrice de la distorsion 6.3 Théorie du second best

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E xer cices d d ’ ’a p plicat ion Toutes les questions et exercices présentés dans cette annexe sont tirés des examens passés.

Questions communes A chacune des affirmations suivantes répondez par Vrai, Faux ou Incertain et justifiez brièvement votre réponse. 1) Si tous les biens consommés par un individu ont la même élasticité revenu alors la valeur commune de ces élasticités est égale à 1 . 2) Si la part du budget allouée à l’achat d’un bien X est indépendante du prix de ce bien, alors la fonction de demande du bien X est indépendante de son propre prix. 3) Si les effets prix croisés de deux biens sont égaux alors les élasticités-revenu de ces deux biens sont égales. 4) Le consommateur qui base ses choix sur l’indice d’utilité U ( x1 , x2 ) = x12 x23 affectera toujours 40% de son revenu à l’achat du bien X 1 . 5) Une situation de pénurie d’un bien peut être résolue par un rationnement quantitatif ou par un ajustement approprié des prix. 6) Dans un panier composé de deux biens X 1 et X 2 , si l’utilité marginale de X 1 est constante, alors toutes les courbes d’indifférences ont le même taux marginal de substitution en tout point x2 . 7) La courbe de demande marshallienne (ordinaire) est toujours plus élastique que la courbe de demande hicksienne (compensée). 8) Il est impossible que le panier d’un consommateur soit composé uniquement de biens inférieurs. 9) Le bien h est un bien inférieur donc la somme de ses élasticités par rapport aux différents prix est forcément positive. 10) Un bien inférieur est toujours accompagné d’un bien de luxe dans le même panier de consommation. 11) Une entreprise détermine son niveau optimal de production sur la partie croissante de sa courbe de coût marginal, donc sa fonction de production est à rendement d’échelle décroissant en ce point optimal. 12) Pour une fonction de production linéaire homogène, l’élasticité de l’output par rapport à un input est nécessairement égale au rapport de la valeur globale d’achat de cet input sur la valeur globale de vente de l’output. Microéconomie


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13) Dans le cas d’une production à deux facteurs, la croissance de la productivité moyenne de l’un des deux facteurs implique la négativité de la productivité marginale de l’autre facteur. 14) Même si une entreprise est en mesure de disposer de plusieurs techniques alternatives pour produire un bien, les règles de l’efficacité lui imposeront de ne pas utiliser plus de deux techniques simultanément. 15) Si y = F ( x1 , x2 ) est une fonction de production homogène alors, en utilisant les notations habituelles, on a : ε yx = CM ( y ) / Cm ( y ) − Pm2 / PM 2 . 16) A l’équilibre d’une entreprise qui produit un bien Y à partir de deux inputs X 1 et X 2 achetés aux prix respectifs p1 et p2 , on a : Cm ( y ) Pmh = ph (avec Cm : coût marginal de Y et Pmh : productivité marginale de X h ). 1

Ch.1 Comportement du consommateur Exercice 1 Soit un consommateur qui maximise son utilité U ( x1 , x2 ) = x1 x2 sous sa contrainte budgétaire p1 x1 + p2 x2 ≤ R ; 1) Déterminez les fonctions de demande ; 2) A partir des équations de Slutsky, associées aux fonctions de demande,  ∂ x   ∂ x   ∂x  montrez que :  i  < 0 ∀i; i=1,2 et que  1  =  2   ∂ pi U  ∂ p2 U  ∂p1 U 3) Expliquez pourquoi p2 n’apparaît pas dans l’expression de la demande de X 1 . Exercice 2 Soit un consommateur C qui dispose d’un revenu R et d’une durée de 12 heures qu’il peut affecter au travail T et au loisir X 3 . Il peut acheter un bien de consommation X 1 ou épargner un montant X 2 . Le taux de salaire horaire est ω , le prix de X 1 est p1 et l’indice de satisfaction de C s’exprime sous la forme : U ( x1 , x2 , x3 ) = x1α x2β x3γ 1)Déterminez les signes de α , β et γ , pour un comportement normal de C ,

2) Montrez que l’utilité marginale de

X 2 peut s’exprimer en fonction de

β x2

,

3) Déterminez les fonctions de demande de X 1 , d’épargne X 2 et d’offre de travail T , 4) Vérifiez les conditions suffisantes du maximum de la fonction d’utilité U sous la contrainte budgétaire ; 5) Calculez les valeurs de x1 , x2 et x3 pour : α = 1/ 2 , β = 1/ 6 , γ = 1/ 3 , R = 60 , p1 = 10 et ω = 10 .

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Exercice 3 Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R pour acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix respectifs p1 et p2 . Son indice de satisfaction est donné par U ( x1 , x2 ) = x1 ( x2 − 1) . 1) Déterminez les fonctions de demande de ce consommateur. 2) On considère deux situations : une situation initiale caractérisée par p1 = 1 , p2 = 4 et R = 20 et une situation finale donnée par p1 = 1 , p2 = 2 et R = 20 3) calculez les quantités demandées dans chacune des deux situations 4) Décomposez les effets du prix p2 sur chacun des deux biens en effets de substitution et effets de revenu. 5) Explicitez l’ensemble des enseignements que l’on peut tirer de cette décomposition ? Exercice 4 Partie A

Le choix entre le revenu et le loisir peut être intégré, de manière implicite, dans la théorie du consommateur où le problème peut s’écrire sous la forme :  Ma Ux ( x1 , x2 ,  ) = x12 x2  s/à:  p x + p x + ω  ≤ ω T 0  11 2 2 avec :  : quantité demandée de loisir ; T 0 : la durée totale disponible pour le travail et le loisir et ω : le salaire horaire du travail. 1)Déterminez les expressions des fonctions de demande des biens X 1 , X 2 et de loisir  ; 2) Calculez les quantités demandées pour p1 = 2 , p2 = 1 et ω = 5 et T 0 = 12 Partie B

Dans la méthode traditionnelle, on suppose implicitement que le consommateur réalise son programme en deux étapes : D’abord, il commence par répartir son temps disponible entre le revenu ( résultant du temps affecté au travail) et le loisir en maximisant une fonction d’utilité W ( R,  ) = R 3 . Ensuite, connaissant son revenu R , il détermine ses fonctions de demande des deux biens par la méthode habituelle en se basant sur un indice d’utilité U ( x1 , x2 ) = x12 x2 3) Sur la base de la première partie A, complétez les formulations de ces deux programmes ; 4) Déterminez les expressions optimales de R ,  , x1 et x2 ; 5) Sachant que p1 = 2 , p2 = 1 , ω = 5 et T 0 = 12 , calculez les valeurs de R, , x1 et x2 . Exercice 5

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Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R pour s’acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix p1 et p2 respectivement. Son indice de satisfaction s’exprime par : U ( x1 , x2 ) = x1 x2 1) Déterminer les fonctions de demandes des deux biens et en déduire leurs élasticités prix directes et croisées et leurs élasticités- revenu. 2) Montrer que l’on peut poser p2 = 1 sans affecter les décisions de ce consommateur. 3) Sur la base des équations de Slutsky montrer qu’aucun des deux biens ne peut être inférieur. 4) Calculer les quantités demandées pour p1 = 2 , p2 = 6 et R = 120 . 5) On réfléchit sur l’éventualité d’imposer une taxe indirecte de 50% sur le prix de X 1 . Quel sera l’effet de cette taxe sur les quantités demandées en X 1 et X 2 . 6) On pense aussi à l’alternative d’imposer un impôt sur le revenu de ce consommateur. On demande alors de déterminer le niveau de cet impôt dans chacun des cas suivants : i) Permettre à l’Etat de réaliser la même recette fiscale qu’avec la formule de la taxe indirecte envisagée plus haut ; ii) Amener le consommateur à réaliser le même niveau de satisfaction qu’en [5) ] mais avec les anciens prix. Exercice 6 Dans une situation de rationnement souple, un consommateur utilise son revenu monétaire et un droit d’accès (sous forme de points de rationnement) pour acheter deux biens X 1 et X 2 . Aussi, une unité du bien X h coûtera-t-elle un prix monétaire ph et un nombre de points de rationnement κ h , h = 1, 2. Sachant que ce consommateur dispose d’un revenu monétaire R , d’un nombre global de points de rationnement K et d’une fonction d’utilité U ( x1 , x2 ) = x1 x2 , 1) Donnez la formulation mathématique de ce problème 2) Identifiez les différentes situations possibles (on peut s’appuyer sur des représentations graphiques appropriées) 3) Déterminez les conditions nécessaires pour un optimum dans chacune des situations identifiées. 4) Pour chacune de ces situations, déterminez les fonctions de demande correspondantes 5) Que devient ce problème si les points de rationnement pouvaient être échangés au prix unitaire de q ? On demande, dans ce cas, de réécrire le programme du consommateur et d’en déduire les nouvelles fonctions de demande Exercice 7 Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R pour acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix respectifs p1 et p2 . Son indice d’utilité est donné par U ( x1 , x2 ) = x11,5 x2 . 1) Déterminer les fonctions de demande de ce consommateur ; 2) Calculer les quantités demandées pour p1 = 3 , p2 = 2 et R = 10 ; Microéconomie


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3) Donner l’expression de l’élasticité de la demande de X 1 par rapport à son propre prix et en déduire la quantité de X 1 demandée si p1 passe de 3 à 4 , les autres paramètres restant inchangés ; 4) Y a-t-il une différence entre la demande de X 1 calculée en [c)] et celle qui résulterait d’une utilisation directe des expressions des fonctions de demande déterminées en [ a)] ? Justifier. Exercice 8 Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R = 100 pour acheter deux biens : X 1 et X 2 aux prix respectifs p1 et p2 . Sa fonction d’utilité est donnée par U ( x1 , x2 ) = x1x2 1) Déterminer les fonctions de demande du consommateur 2) Déterminer l’expression de la fonction du coût minimum qui permettra au consommateur de garder un niveau de satisfaction donné. 3) Calculer le gain pour le consommateur résultant d’une baisse effective du prix p1 qui passe de 1 à 0, 25 ; p2 demeure inchangé au niveau unitaire 4) Dérivez la fonction de demande compensée de X 1 et comparer sa pente avec celle de la fonction de demande ordinaire. 5) Utiliser la méthode d’intégration pour calculer la variation compensatrice associée à la même baisse, ci-dessus, de p1 et confirmer que le résultat est le même que celui calculé en 3). 6) Calculer la variation équivalente ( VE ) et comparer avec la variation compensatrice ( CV ). 7) Supposons que, parallèlement à la baisse de p1 , p2 passe de 1 à 2 , cette variation de p2 est-elle suffisante pour éliminer les avantages engendrés par la baisse de p1 ? 8) Calculer la variation compensatrice associée aux changements simultanés des deux prix. Exercice 10 Les préférences d’un consommateur, qui dispose d’un revenu R pour acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix p1 et p2 , sont représentées par la fonction d’utilité U (x1 , x2 )= x1 x2 où x1 et x2 sont les quantités consommées. Le comportement de ce consommateur peut être approché de deux façons différentes : - par les fonctions de demande ordinaires : x1 (p1 , p2 , R ) R / 2 p1 et =

x2 ( p1 , p2 , R )

=

R / 2 p2

- par les fonctions de demande compensées : x1 ( p1 , p2 , U )

(

x2 p1 , p2 , U

=

(

p2 U / p1

1/2

)

et

1/2

) (p U / p ) =

1

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a) Exprimez la fonction d’utilité indirecte de ce consommateur et précisez sa signification b) Exprimez la fonction de dépense minimale de ce consommateur et précisez sa signification

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c) On considère une situation initiale caractérisée par p1 0,5 , p2 1 et R 100 et une situation finale où p1 1 , p2 1 et R 100 ( seul le prix p1 1. Calculez les quantités demandées à chacune des deux situations 2. Définissez, dans le cas particulier de cette hausse de prix, la variation compensatoire CV et la variation équivalente EV 3. Calculez CV et EV pour les données numériques de cet exercice. =

=

=

=

=

=

Ch.2 Comportement du producteur Exercice 1 Soit une entreprise qui produit un bien CT ( y ) =

1 3

Y

selon la fonction de Coût total

y 3 − 3 y 2 + 4 y + 10

1- Déterminez la fonction d’offre de cette entreprise qui cherche à maximiser son profit. 2- Déterminez le (les) seuil(s) de fermeture et de rentabilité en termes de Y si le prix de Y était fixé à 20 . 3- Déterminez le seuil de fermeture et le seuil de rentabilité ( en termes de prix ); 4- Comment nuancer entre les deux types de seuils déterminés en 2) et en 3). 5- Pour le même niveau du prix de Y , déterminez la quantité offerte par l’entreprise à l’optimum. Exercice 2 Pour produire des chemises Y , un producteur utilise une machine à coudre (qu’il actionne lui-même), du tissu qu’il achète au prix p 1 et peut, éventuellement se faire aider par un ouvrier qui fournit une quantité de travail x2 au taux de salaire unitaire de p2 . La machine à coudre fournit un travail équivalent à 25 unités du travail X 2 fourni par l’ouvrier, sans frais additionnels. La fonction de production des chemises est donnée par : 1/ 2 y = x11/ 2 ( x2 + 25 ) 1- Déterminez le niveau optimal de production si le producteur affecte un budget D = 30 pour l’achat des inputs aux prix p1 = 1 et p2 = 2 ; 2- Aux prix p1 et p2 fixés, déterminez le sentier d’expansion de cette entreprise; 3- Pour un coût fixe CF = 2 , déterminez la fonction de coût total et en déduire les expressions des coûts moyen et marginal 4- Sachant que le prix d’une unité de Y est désigné par q , déterminez la fonction d’offre des chemises. Exercice 3

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Soit une entreprise qui utilise un input X pour produire un output Y selon la relation de transformation : x − y + y 2 − y 3 = 0 ; p désigne le prix de X , ( p = 1 ), et q le prix de Y . 1) Déterminer l’expression du coût moyen de production de Y . 2) Déterminer la fonction d’offre de l’entreprise . 3) Calculer la quantité offerte et le profit réalisé au prix q = 6 . Exercice 4 Dans une optique de prix variables, la fonction π ( p1 , p2 ,..., pn , q ) exprime le niveau maximum du profit associé au système des prix des inputs ( ph ; h =1,2,..., n ) et de l’output ( q ) utilisez cette fonction pour : 1) Déduire les expressions des fonctions de demande des inputs X h ; h =1,2,..., n et de la fonction d’offre de l’output Y . 2) Préciser le sens de variation des ces fonctions de demande des inputs et d’offre de l’output ; 3) Montrer la symétrie des effets prix croisés Exercice 5 Soit une entreprise qui utilise deux inputs X 1 et X 2 , achetés aux prix p1 et p2 , pour produire un output Y , vendu au prix q , selon la fonction de production y x11/ 5 x23/ 5 . a) Comment se caractérisent les rendements d’échelle de cette fonction de production ? b) Déterminez les fonctions de demande conditionnelles des inputs et en déduire les fonctions de coût de cette entreprise c) Déterminez la fonction d’offre de l’entreprise et le niveau du profit qui en résulte d) Existe-t-il une autre méthode pour trouver directement les fonctions de demande des inputs et d’offre de l’output ? si oui, expliquez son cheminement et précisez les aspects qui la distinguent de la méthode précédente =

Exercice 6

Une entreprise produit un output Y en combinant deux inputs X et X selon la fonction y = x x , les prix de l’output et des inputs sont respectivement q , p et p . L’entreprise dispose d’un montant D pour l’achat des inputs. a) Quelle est l’expression de la production maximale possible. b) Déterminez la relation qui lie les quantités optimales des inputs lorsque D change, les prix restant constants ? c) Déterminez les fonctions de demande des inputs pour produire un niveau donné d’output et, en déduire les expressions des fonctions de coût total variable, du coût moyen variable et du coût marginal. d) Déterminer l’équilibre de l’entreprise et en déduire la fonction d’offre. e) Faites l’application numérique pour p = p = 1 , D = 10 et q = 6 . 2

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1 2

1

1

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Ch.3 Equilibre dans un marché isolé Exercice 1 Soit une économie simplifiée qui se compose de vingt ( 20 ) entreprises identiques qui produisent un bien Y à partir de deux inputs X 1 et X 2 achetés aux prix respectifs p1 = 1 et p2 = 1 . La fonction de production de chaque entreprise j est : y j = x1/j12 x1/j 22 ; j =1,2,...,20 . L’input X 2 est utilisé en quantité fixe par chacune des entreprises : x j 2 = 1 ∀j et la fonction de demande globale est donnée par : yd = 60 − 5q ; q est le prix de Y . 1- Sachant que le marché de Y est de concurrence pure et parfaite : 2- Déterminez les fonctions de coût total des différentes entreprises et en déduire la fonction d’offre globale de Y ; 3- Déterminez l’équilibre de ce marché et en déduire la quantité offerte et le profit réalisé par chaque entreprise ; 4- Si le prix du marché de Y s’ajuste avec retard, selon la formule : ∆qt = qt − qt −1 =

1 60

DE ( qt −1 ) ,

que peut – on dire alors quant à la stabilité de l’équilibre

de ce marché ? 5- Que dire de cette stabilité si, au lieu de l’ajustement retardé du prix, c’est l’offre qui s’ajuste avec une période de retard ? Exercice 2 Dans une économie ouverte sur l’extérieur, la demande globale pour un bien X est donnée par : xd = 20 − 2 p et l’offre globale, des entreprises locales, s’exprime par : xo = −5 + 3 p ; p est le prix de X . 1) Déterminez l’équilibre de ce marché. 2) Sachant que le bien X peut, également, être importé par des sociétés nationales au prix p = 4 quelle que soit la quantité importée, déterminez le niveau de l’importation à l’équilibre du marché. 3) Le gouvernement veut fixer l’importation à un niveau maximum de 4 unités. Pour cela, il impose une taxe ( droit de douane ) de t par unité importée, déterminez le niveau de t nécessaire pour ramener l’importation au niveau désiré et calculez ses effets sur les consommateurs, les producteurs, l’Etat et la collectivité. 4) Au lieu d’utiliser la taxe douanière, l’Etat accorde un droit exclusif à une seule société locale pour importer le bien X et ce, dans la limite du plafond fixé de 4 unités. Déterminez ce qui va changer par rapport à la situation précédente. 5) Des conventions internationales sur le libre échange empêchent l’utilisation des droits de douane et du droit exclusif. Pour continuer à limiter les importations au niveau désiré de 4 unités, le gouvernement décide alors d’accorder une subvention de s par unité vendue aux entreprises locales. Déterminez le niveau de la subvention et calculez ses effets sur les différentes parties concernées.

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Exercice 3 Soit une économie simplifiée qui se compose de 20 entreprises identiques qui produisent un bien Y à partir de deux inputs X 1 et X 2 , achetés aux prix respectifs p1 = 1 et p2 = 1 . La fonction de production de chaque entreprise j est : y j = x1/j12 x1/j 22 ∀ j ; j = 1,2,..,20 L'input X 2 est utilisé en quantité fixe par chacune des entreprises : x j 2 = 1 ∀ j et la fonction de demande globale est donnée par : yd = 60 − 5q ; q est le prix de Y . Sachant que le marché de Y est de concurrence pure et parfaite, a) déterminer les fonctions de coût total des différentes entreprises et en déduire la fonction d'offre globale de Y ; b) déterminer l'équilibre de ce marché et en déduire la quantité offerte et le profit réalisé par chaque entreprise ; c) si le prix du marché de Y s'ajuste avec retard, selon la formule : ∆qt = qt − qt −1 = (1/60) DE ( qt −1 ) , que peut dire alors quant à la stabilité de l'équilibre de ce marché ? d) que dire de cette stabilité si, au lieu de l'ajustement retardé du prix, c'est l'offre qui s'ajuste avec une période de retard ?

Exercice 4 Soit un bien X dont la production est assurée par 20 entreprises identiques ayant pour fonction d’offre individuelle y = 0, 5 p − 2 ; j = 1,2,...,20 , y est la quantité de X produite par j . La demande globale du bien X est donnée par : x = 200 − 5 p . a) Déterminez le prix et les quantités d’équilibre concurrentiel de ce marché. b) Que peut-on dire de la stabilité de cet équilibre : i) statique, au sens de Marshall. ii) dynamique sachant que l’offre s’ajuste avec une période de retard par rapport au prix observé. c) Le gouvernement impose une taxe de 3 unités monétaire par unité vendue du bien X, déterminez la répartition du fardeau fiscal entre les consommateurs et les producteurs et calculez la perte sociale, éventuelle, associée à cette taxe. j

j

Ch.4 Equilibre général Exercice 1 Une économie simplifiée comprend 2 biens de consommation ( X1 et X 2 ), ayant pour prix respectifs p1 et p2 , un input (le travail) dont le taux de salaire est ω , et 4 consommateurs offrant, chacun une quantité fixe de travail ( 6 heures). Le revenu Ri du consommateur i se compose uniquement de son salaire. Les biens de consommation sont produits par 2 entreprises selon les fonctions de production : y1 = 0,5t 1 et y2 = t 2 ; yh est la quantité du bien X h produite par l’entreprise h; h =1,2 ; t1 et t 2 sont les quantités de travail respectivement utilisées par ces entreprises.

Microéconomie


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Le

consommateur a i U ( xi1 , xi 2 ) = ai Log ( xi1 ) + (1 − ai ) Log ( xi 2 ) i −1 avec ai = ; i =1,2,3,4 .

pour

fonction

d’utilité

:

i

3

1- Déterminez les fonctions de demande du consommateur i en biens X 1 et X 2 et en déduire les fonctions de demande globales ; 2- Caractérisez en fonction de p1 , p2 et ω les niveaux de production et de profits auxquels conduit le comportement de maximisation de profit. 3- En utilisant le travail comme numéraire ( ω = 1 ), déterminez les prix équilibre général , les niveaux de production, la quantité de travail utilisée par chaque entreprise. Exercice 2 Considérons une économie simplifiée d’échange pur composée de deux consommateurs C1 et C 2 et deux biens X 1 et X 2 . Les dotations initiales de ces consommateurs sont : (ω11 ;ω 12 ) = ( 4;10 ) pour C 1 et (ω 21; ω 22 ) = (16; 4 ) pour C 2 . Les fonctions d’utilité sont : U ( x11 , x12 ) = x11 x12 et U ( x21 , x22 ) = x21 x22 ; 1- Déterminez, par la boîte d’Edgeworth, l’équation de la courbe des contrats ; 2- Déterminez les expressions de demandes (offres) nettes de ces consommateurs ; 3- Calculez les prix et les quantités d’équilibre général de cette économie. Exercice 3 Soit une économie très simplifiée composée de deux consommateurs C 1 et C 2 qui disposent des revenus respectifs R1 et R 2 pour acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix p1 et p2 . Les préférences de ces consommateurs sont données par : 1/ 2 0,4 0,6 x22 pour C 2 . U ( x11 , x12 ) = ( x11 x12 ) pour C 1 et U ( x21 , x22 ) = x21 1) Déterminer les fonctions de demande individuelles des consommateur 2) Sachant que R1 = 20 et R 2 = 10 ,et que les quantités globales offertes sont : W 1 = 6 de X 1 et W 2 = 12 de X 2 , calculer les quantités individuelles demandées et les prix d’équilibre général de ces deux marchés . 3) Quel sera l’effet d’une augmentation de l’offre de X 1 qui passera à W 1 = 12 sur les prix d’équilibre p1 et p2 . 4) Sachant que l’on peut transformer X 2 en X 1 selon la formule : 1/ 2 x1e = (12 − x12 − x22 ) ; x1e est la quantité produite de X 1 ; x12 et x22 sont les quantités demandées en bien X 2 . 5) Déterminer la fonction d’offre de cette unité de transformation ainsi que sa fonction de demande 6) Sachant que le profit de cette transformation est réparti entre les deux consommateurs selon les parts : 25% pour C 1 et 75% pour C 2 , déterminer les nouvelles fonctions de demandes et en déduire le nouvelles équations d’équilibre Exercice 4 Microéconomie


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Soit une économie simplifiée d’échange pur qui se compose de deux consommateurs et deux biens. Les préférences des consommateurs sont représentées par :  x21 x22  ,  . Les dotations  4 2 

U ( x11 , x12 ) = 0, 25 Log n ( x11) + 0, 75 Log n ( x12 ) et U ( x21 , x22 ) = min 

initiales des consommateurs sont : (ω11 ;ω 12 ) = ( 8; 0 ) pour le consommateur 1 et (ω 21;ω 22 ) = ( 0; 4) pour le consommateur 2 . 1) Déterminer les fonctions de demandes individuelles et globales 2) Ces fonctions de demande vérifient-elles la propriété d’homogénéité ? 3) Déterminer les prix et les quantités échangées à l’équilibre général des deux marchés. Exercice 5 Soit une économie d’échange pur qui se compose de deux biens, X 1 et X 2 , et de deux consommateurs dont les fonctions d’utilité sont : U (x11 , x12 ) x112 x12 et U (x21 , x22 )= x21 x22 . Les prix des biens sont respectivement p1 et p2 et les revenus des consommateurs sont sous forme de dotations initiales (w11 , w 12 ) et (w11 , w 12 ). a) Déterminez les fonctions de demande ordinaire individuelles des consommateurs, b) Les dotations initiales des consommateurs sont (w11 ; w 12 ) (5; 7) et =

=

(w21; w 22 ) (10; 4) . Les consommateurs ont-ils intérêt à échanger entre eux ? Pourquoi ? c) Déterminez l’équilibre général de ces marchés =

Exercice 6 Soit une économie très simplifiée composée de deux biens X 1 et X 2 , ayant pour prix p1 et p2 , et de deux consommateurs C 1 et C 2 ayant pour fonctions d’utilités respectives 2 U ( x11 , x12 ) = x11 x12 et U ( x21 , x22 ) = x21 x22 . Les biens sont disponibles en quantités W 1 = 4 et W 2 = 6 respectivement pour X 1 et X 2 . a) On demande de calculer les prix et les quantités demandées à l’équilibre si les consommateurs disposaient des revenus R1 = 10 et R2 = 15 . b) Les revenus des consommateurs sont donnés sous forme de dotations en biens X 1 et X 2 . C’est-à-dire R1 = 3 p1 + p2 et R2 = p1 + 5 p2 , respectivement pour C 1 et C 2 . On demande de déterminer l’équilibre général concurrentiel qui en résulte. Peut-on calculer les prix absolus dans ce cas ? Pourquoi ?

Exercice 7 Considérons une économie simplifiée d’échange pur composée de deux consommateurs C et C et deux biens X et X . Les dotations initiales de ces consommateurs sont : (ω ; ω ) = ( 4;10 ) pour C et (ω21 ; ω 22 ) = (16; 4) pour C . Les fonctions d’utilité sont : U ( x , x ) = Log ( x ) + Log ( x ) et U ( x , x ) = x x ; a) Déterminer, par la boîte d’Edgeworth, l’équation de la courbe de contrats ; b) Déterminez les expressions de demandes (offres) nettes de ces consommateurs ; c) Calculez les prix et les quantités d’équilibre général de cette économie. 1

2

11

1

2

1

12

1

2

2

11

12

11

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21 22


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Ch.5 Optimum et efficacité Exercice 1 Soit une économie simplifiée composée de deux consommateurs C1 et C 2 et deux biens X1 et X 2 disponibles en quantités globales W1 = 60 = W 2 répartis entre les consommateurs sous forme de dotations initiales. Les consommateurs ont pour indices d’utilité respectifs : et U ( x21 , x22 ) = x21x2222 . Les dotations initiales de C 1 sont ω 11 = 20 et U ( x11 , x12 ) = x11 x12 12 ω 12 = 40 . 1) Déterminez l’ensemble des allocations possibles et préférables, selon Pareto, pour les deux consommateurs. 2) Déterminez l’ensemble des allocations optimales au sens de Pareto 3) Déterminez l’ensemble des allocations optimales et préférables aux situations initiales des consommateurs ; 4) Identifiez les lieux géométriques des ensembles définis en 2) et 3). 5) Déterminez les équations des courbes de demande nette des deux consommateurs 6) Déterminez l’allocation qui assure un équilibre de concurrence pure et parfaite. Est-elle optimale au sens de Pareto ? Supposons que le consommateur C 2 adopte un comportement monopolistique face à C1 qui continue d’agir selon les règles de la concurrence pure et parfaite : 7) Déterminez l’allocation d’équilibre de monopole. Est-elle optimale au sens de Pareto ? 8) L’allocation déterminée dans le cadre de l’équilibre de concurrence pure et parfaite en 6) est-elle préférable au sens de Pareto à celle obtenue dans le cadre de monopole ? Commentez. Exercice 2 Par analogie avec la définition de la fonction d’utilité indirecte, on peut définir la fonction de bien-être (d’utilité collective) indirecte pour le cas de deux consommateurs et deux biens par : W (V 1 ( p1 , p2 , R1 ), V 2 ( p1 , p2 , R 2 ) ) = a 1V( p1 , p2 , R1 ) + b 2V( p1 , p2 , R2 )

= W ( p1 , p2 , R1 , R 2 ) ; a > 0 et b > 0 1) Montrer que ∂W / ∂ph < 0 ; h = 1, 1, 2 et ∂ W / ∂ Ri > 0 ; i = 1, 2. 2) En désignant par Di* ( p1 , p2 , R s , W ) ; s ≠ i = 1, 2 , la dépense minimum du consommateur i , nécessaire pour atteindre le niveau du bien-être collectif W quand les prix sont p1 et p2 et le revenu du consommateur s est R s , déterminer ∂ D i* / ∂W , ∂Di* /∂R s et ∂Di*/∂ph ; h = 1, 2 (on peut, si besoin est, remonter à partir des expressions particulières des fonctions d’utilité individuelles U i ) Exercice 3 On considère une économie qui se compose de 10 consommateurs identiques et deux biens ayant pour prix p 1 = 1 et p 2. Chaque consommateur dispose de 10 unités du Microéconomie Microéconom ie


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bien X 1 comme dotation initiale. Le bien X 2 est produit par une entreprise à partir du bien X 1 selon la technologie : xe 2 = xe1 ; xe1 ≥ 0 et xe 2 ≥ 0 . La quantité produite xe 2 est génératrice d’un effet négatif sur les utilités des consommateurs. La fonction d’utilité du consommateur i est donnée par :

U ( xi1 , xi 2 , xe 2 ) = e

xi 1

xi 2 xe 2

; i = 1, 2,...,10 .

La fonction d’utilité est définie à une transformation croissante monotone près et le profit de l’entreprise est partagé de manière égalitaire entre les consommateurs. 1) Déterminez l’équilibre concurrentiel de cette économie. 2) Cet équilibre est–il un optimum de Pareto ? Caractérisez les optima de Pareto qui s’établissent avec des consommations positives du bien 1. 3) Déterminez le montant de la taxe par unité produite de xe 2 qu’il faut imposer au producteur pour restaurer (sous les conditions de la question1) les conditions d’un optimum de Pareto (On équilibre le budget de l’Etat par des transferts forfaitaires en faveur des consommateurs). 4) Calculez le nouvel équilibre et le niveau d’utilité individuel atteint lorsque le transfert forfaitaire est effectué de manière égalitaire. 5) On impose à l’entreprise, devenue publique, d’exercer sans perte ni profit. Déterminez le nouvel équilibre de l’économie. Comparez avec la solution obtenue à la question 1) et expliquez vos constats.

Ch.6 Biens publics et effets externes Exercice 1 Une collectivité se compose de 2 consommateurs. Chaque consommateur, i , dispose d’un revenu R pour payer une contribution ci ; ci ∈ [0,W ] ; au financement d’un bien publique Z et utiliser le reste dans l’achat l’ achat d’un bien privé X, utilisé comme numéraire. Sa fonction d’utilité est U i ( x, z ) = α Ln ( x ) + (1 − α ) Ln ( z ) ou, en procédant par substitution à partir des contraintes, [ ci + xi = R et c1 + c2 = z ] , cette fonction d’utilité (objectif) s’exprime par U i ( c1 , c2 ) = α Ln ( R − ci ) + (1 − α ) Ln ( c1 + c2 ) ; i = 1, 2 . 1) Déterminez l’expression de la contribution optimale de chaque consommateur en fonction de celle de l’autre (Courbes de réaction des consommateurs !) 2) Déterminez l’équilibre de Cournot-Nash pour ce modèle. 3) Sachant que ces consommateurs acceptent d’apporter des contributions égales, recalculez la contribution individuelle optimale. 4) Comparez les résultats obtenus en b) et c). Commentez. Exercice 2 Microéconomie Microéconom ie


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On considère la situation d’un producteur de miel installé près d’un producteur de pommes. Les abeilles butinent sur les pommiers et, par la même occasion, contribuent à une meilleure fécondation de leurs fleurs. Les rendements des deux producteurs sont ainsi positivement influencés, l’un par l’activité de l’autre. Soit x1 le nombre de ruches installés par l’apiculteur, au coût annuel total de CT ( x1 ) = ax1 , et x2 le nombre de pommiers plantés par l’exploitant du verger au coût annuel total de CT ( x2 ) = bx2 . Les quantités y 1 de miel et y 2 de pommes sont respectivement données par : y 1=3α1(x1x2)1/3 et y2=3α2(x1x2)1/3 et, vendues prix unitaires (p 1=p2 =1 ). 1) Ecrivez les fonctions de profit des deux exploitants en fonction du nombre de ruches et du nombre de pommiers et en déduire les choix optimaux des deux producteurs. 2) Déterminez l’équilibre qui s’établira en l’absence de concertation entre les deux producteurs ; 3) Montrez qu’il existe des niveaux de x1 et x2 qui permettent des profits plus élevés pour les deux parties par rapport rapport à l’absence de concertation ; 4) Déterminez les niveaux optima des nombres de ruches et de pommiers qui permettent de maximiser la somme des profits réalisables par les deux producteurs et montrez que cette somme est supérieure à la somme des profits réalisés en l’absence de concertation ; 5) Que vous inspire-t-il ce résultat en tant que solution simple pour résoudre les problèmes posés par les externalités dans le domaine de production ?. Exercice 3 Une entreprise pollue l’atmosphère environnante par son activité de production d’un bien X. Elle peut contrôler le niveau de cette pollution moyennant des coûts supplémentaires à supporter. Son coût total s’exprime en fonction de la production du bien et de la pollution Z :  z  x; si.0 ≤ z ≤ 100  10 − Ln CT ( x , z ) =   100  10 x; si.x > 100 

Pour simplifier considérez que le niveau de production x est fixé de manière exogène à 100. 1) D’un point de vue privé (égoïste) l’entreprise aura-t-elle intérêt à dépasser le seuil de pollution de 100 ? Quel est le niveau de pollution qui serait optimal de son point de vue ? 2) Les victimes de la pollution sont les habitants d’une localité de 1000 habitants. Le dommage subi par chacun peut être évalué monétairement par l’expression d(z) =z. Quel est le dommage subi par l’ensemble des habitants si l’entreprise ne prend en compte que ses propres intérêts privés ? 3) Quel doit être le niveau de pollution socialement optimal ? 4) Le gouvernement décide d’intervenir pour corriger ces effets externes en imposant à l’entreprise une taxe proportionnelle au niveau de la pollution émise. Exprimez la nouvelle fonction de coût de l’entreprise en présence de cette taxe et en déduire l’impact de cette taxe sur les décisions de l’entreprise. Microéconomie Microéconom ie


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Exercice 4 On considère une économie qui se compose de 100 consommateurs identiques et deux biens ayant pour prix p 1 = 1 et p 2. Chaque consommateur dispose de 10 unités du bien 1 comme dotation initiale. Le bien 2 est produit par une entreprise à partir du bien 1 selon la technologie : y 2 = (xe1)0.5 ; xe1≥0 et y 2≥0. L’activité de production du bien 2 crée un effet négatif sur les utilités des consommateurs. La fonction d’utilité du consommateur i est donnée par : U(x i1,xi2,y2) = xi1+ Log( xi2) - 0.5 logy2 ; i=1,2,…,100 1) Le profit de l’entreprise est partagé de manière égalitaire entre les consommateurs, déterminez l’équilibre concurrentiel de cette économie. 2) Cet équilibre est –il un optimum de Pareto ? Caractérisez les optima de Pareto qui s’établissent avec des consommations positives du bien 1. 3) Déterminez le montant de la taxe par unité de Y 2 qu’il faut imposer au producteur pour restaurer, sous les conditions de la question1), les conditions d’un optimum de Pareto (On équilibre le budget de l’Etat par des transferts forfaitaires en faveur des consommateurs). 4) Calculez le nouvel équilibre et le niveau d’utilité individuel atteint lorsque le transfert forfaitaire est effectué de manière égalitaire. 5) On impose à l’entreprise, devenue publique, d’exercer sans perte ni profit. Déterminez le nouvel équilibre de l’économie. Comparez avec la solution obtenue en 1) et expliquez vos constats.



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E xamens passés Année 2014-2015 Examen du 19-01-2015 : 2 heures (Téléphones éteints et documents non permis) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 1 (6pts=0.5+2+1+1.5+1) Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R pour s’acheter 3 biens X , X et X aux prix respectifs p , p et p . Son indice de satisfaction est donné par U ( x , x , x ) . Sachant que sa fonction de dépense minimale s’exprime par : e ( p , p , p , u ) = 2 u p p + up où u est un niveau donné de satisfaction. 1. Donnez la formulation mathématique du programme, qui permet d’obtenir e ( p , p , p , u ) , sans le résoudre . 2. A partir de e ( p , p , p , u ) déterminez les fonctions de demandes compensées des 3 biens et l’élasticités-prix de la demande compensée du bien X par rapport à chacun des trois prix. 3. Les biens X et X sont-ils substituables ou complémentaires ? 4. Déterminez la fonction d’utilité indirecte V ( p , p , p , R) ) et la demande ordinaire directe pour le bien X . [Rappel–suggestion : e( p , p , p , V ( p , p , p , R ) ) = R ] 5. Vérifiez si l’équation de Slutsky est vérifiée pour le bien X Exercice 2 (8 pts=2 + 2 + l + 2+1) Soit une économie très simplifiée composée de deux consommateurs 1 et 2 dotés respectivement des revenus R et R pour s'acheter deux biens X et X aux prix respectifs p1 et p2 . Les préférences de ces consommateurs sont exprimées par les indices suivants U ( x , x ) = x x pour le consommateur 1 et U ( x , x ) = x x pour le consommateur 2.. 1. Sachant que les biens X et X sont offerts en quantités données W et W respectivement, on demande de calculer les prix et les quantités demandées à l'équilibre général des marchés. 2. L'Etat impose une taxe de t u.m. par unité sur l'achat de X 2 . Quel est l'effet de cette taxe sur les quantités demandées, sur les prix d'équilibre. Que pouvez-vous dire des variations des surplus des consommateurs et de la perte sociale éventuellement occasionnée par cette taxe. Justifiez adéquatement vos réponses. 3. On double la quantité offerte W 1 du bien X 1 . Quel est l'effet sur les prix p1 et p2 ? 2

1

1

1

3

2

3

2

3

1

1

1

2

2

3

2

3

3

1

2

3

1

1

2

1

2

3

1

3

2

3

1

2

3

3

1

2

1

11

12

0.4

0.6

11

12

1

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22

2


2

21 22

1

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Expliquez. 4. Le bien X 2 peut être utilisé pour produire X 1 selon la relation de transformation suivante : x = (W − x ) avec x1 p : la quantité produite ; x2c = x12 + x22 : la quantité globale de X 2 demandée par les consommateurs. W 2 est définie plus haut. a. Déterminez les fonctions de demande et d'offre des biens. b. Sachant que le profit dégagé par l'unité de transformation est réparti entre les consommateurs 1 et 2 qui recevront respectivement 25% et 75%. On demande d'écrire les nouvelles équations d'équilibre général et de calculer les prix d'équilibre 5. Application numérique : W = 11 , W = 7 , R = 15 , R = 10 et t = 1 Exercice 3 (6pts=1.5+1.5+1.5+1.5) Considérons une économie simplifiée composée d’un seul couple [le mari ( m ) et sa femme ( f )] vivant en parfait amour et qui consomment deux biens disponibles en quantités W et W . Les fonctions d’utilité respectives sont : U ( x , x , x , x , ) = ( x x ) ( x x ) et U ( x , x , x , x , ) = ( x x ) ( x x ) ; 1) Les effets externes ressentis par chacun sont-ils positifs ou négatifs ? justifiez votre réponse. 2) Calculez les taux marginaux de substitution (TMS) entre biens pour chacun. 3) Que pouvez-vous dire sur ces TMS ? En d’autres mots, l’harmonie parfaite estelle contradictoire avec l’indépendance individuelle ? justifiez votre réponse. 4) Dans cette économie simplifiée l’équilibre sera-t-il un optimum ? justifiez votre réponse. 1/ 2

1 p

2c

2

1

1

1

2

3/ 4

m

m1

m2

2

2

f1

f2

m1

f1

1/ 4

m2

f 2

3/ 4

f

f 1

f2

m1

m2

f1

m1

1/ 4

f2

m2

Examen de rattrapage du 4-2-2015 : 1H 30mn ( Téléphones éteints, documents non permis). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EXERCICE 1. (6pts = 1,5+1,5+1,5+1,5)

Dans un marché de concurrence pure et parfaite d’un bien X , on rencontre deux types consommateurs C 1 et C 2 ayant pour fonctions de demande respectives x1 = 12,5 − p / 4 et x2 = 30 − p / 4 , et deux types de producteurs E 1 et E 2 ayant pour fonctions de coût total les expressions respectives CT ( x ) = ( 5 / 2) x − 10 x et CT ( x ) = 4 x , les coûts fixes sont considérés nuls pour toutes les entreprises. Ce marché se compose globalement de huit ( 8 ) consommateurs de type C 1 , de deux ( 2 ) consommateurs de type C 2 , de cinq ( 5 ) entreprises de type E 1 et de deux ( 2 ) entreprises de type E 2 . 1. Déterminez la fonction de demande globale, les fonctions d'offre individuelles et en déduire la fonction d’offre globale. 2. Calculez le prix d'équilibre du marché et les quantités individuelles demandées ou offertes à cet équilibre. 3. Calculez le surplus de chaque consommateur, le profit de chaque producteur et en déduire le profit global. 4. Cet équilibre est-il statiquement stable au sens de Marshall ? d

d

1

2

o1

2

o1

o1

2

o2

o2

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EXERCICE 2. (8points = 5+3) 1) Rappelez brièvement les quatre (4) propriétés des effets de substitution et précisez leurs usages et leurs liens avec les propriétés d’homogénéité des fonctions de demande ordinaires et/ou compensées. 2) Les fonctions de demande et d'offre pour trois (3) marchés interdépendants  x = 22, 5 − p + p − p ; x = −2, 5 + p  x = −4 + p  x = 8 + p − 0, 5 p + p ;  x = 30 − p + 2 p − p ; x = −5 + p  Calculez les prix d’équilibre général et les quantités échangées dans chaque marché. EXERCICE 3 ( 6 pts = 2 + 2 +2) Soit un contexte qui se compose de deux biens, les télévisions X et les livres Y , et deux consommateurs 1 et 2 , chacun est doté initialement d’un livre et d’une télévision. 1 est tranquille et aime le silence. Par contre 2 est bruyant et aime écouter sa télévision à voix haute. La fonction d’utilité de 2 est donnée par U 2 ( x2 , y2 ) = x2 y2 . Cependant, le bruit émis par la télévision de 2 dérange 1 et affecte son niveau de satisfaction qui s’exprime alors par : U 1 ( x1 , y1 , x2 ) = x1 y1 − 2 x2 . 1 étant un consommateur typique - qui tient compte de toutes les données de son environnement et considère qu’il n’a aucun pouvoir pour changer le comportement de 2 -, il prend x2 comme un paramètre donné et fixe. 1) Déterminez l’équilibre concurrentiel : le ratio des prix et l’allocation qui en résulte. 2) En supposant que ces biens soient parfaitement divisibles, cette allocation est-elle optimale au sens de Pareto? (suggestion : supposez, par exemple, que les ( 2/100 ) d’un livre peuvent être échangés contre (1/100 ) de télévision). 3) Comparez la solution obtenue à celle qui aurait résulté d’une absence de cet effet externe de sorte que U 1 ( x1 , y1 , x2 ) = U 1 ( x1 , y1 ) = x1 y1 . 1d

1

2d

1

3d

1

2

2

3

2

3

3

1o

2o

3o

1

2

3

ème

ème

Année 2013-2014 Examen du 29-1-2014 durée 2 heures – Documents non autorisés -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 1 (6pts = 1,5+1,5+1,5+1,5) Dans le cas d’un consommateur doté d’un revenu R et ayant une fonction d’utilité de type Cobb-Douglas à deux biens achetés aux prix respectifs p1 , p2 : U ( x1 , x2 ) = x11/ 2 x1/2 2 . a) Déterminer les fonctions de demandes ordinaires b) Déterminer la fonction d’utilité indirecte c) Déterminer la fonction de dépense minimale d) Déterminer les fonctions de demandes compensées Microéconomie


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Exercice 2 (4pts = 1+1+1+1) Vrai, Faux ou Incertain et justifier adéquatement a) Sachant que les fonctions de demande x1 et x2 des biens X 1 et X 2 ont des élasticités-revenu égales, par conséquent, les effets prix croisés de ces fonctions de demande sont, eux aussi, égaux [i.e. ( ∂ x1 / ∂p2 ) = (∂x2 / ∂p1 ) ]. b) L’élasticité prix directe d’un bien h est inférieure à −1 ( ε hh < −1 ), alors une baisse du prix ph aura pour effet une augmentation de la dépense affectée au bien h . c) Si y = F ( x1 , x2 ) est une fonction de production homogène alors on a CM ( y ) = q( pm1 / PM 1 + ε yx ) avec ε yx : élasticité de Y par rapport à X 2 , les autres notations sont celles utilisées dans le cours. d) Dans le cas d'une fonction de production homogène de degré ρ , y = F ( x1 , x2 ) , la croissance de la productivité moyenne du facteur X 1 indique que la productivité marginale de X 2 est forcément négative. 2

2

Exercice 3 (5pts = 1+1+1,5+1,5) a) Justifier adéquatement pourquoi les rendements d’échelle croissants sont incompatibles avec la concurrence pure et parfaite. b) Expliquer pourquoi les assertions suivantes (A) : « Le prix du bien X a augmenté c’est pourquoi la demande de X a diminué » et (B) : « La demande de X a augmenté c’est pourquoi le prix de X a augmenté », ne sont pas contradictoires. c) Quels liens y a-t-il entre « la loi de Walras, la propriété d’homogénéité des fonctions de demandes et d’offres » et « les niveaux absolus (monétaires) ou niveaux relatifs des prix donnés par un équilibre général concurrentiel ». d) Expliciter quelques unes des différences fondamentales entre un bien privé et un bien public. (en particulier : propriétés, conditions d’optimalité, fonctions de demande) U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

Exercice 4 (5pts = 1+1+1+2) Dans une économie d’échange pur telle que définie dans le cadre du cours, on vous demande de : a) Définir une allocation réalisable b) Définir une allocation optimale au sens de Pareto. c) Caractériser un équilibre général de concurrence pure et parfaite ( Ne pas oublier les relations entre les TMS ; TMST et/ou TMT)

d) Prouver que l’Equilibre général de concurrence pure et parfaite est effectivement un optimum au sens de Pareto. Examen de Rattrapage du 15-2-2014 - durée 1 H 30 mn – Documents non autorisés ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 1 (6pts = 2+2+2) Microéconomie


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a) Soit x1 = x1 ( p1 , p2 ,... pn , R ) la fonction de demande du bien X 1 où ph est le prix du bien h , h = 1,2,..., n et R le revenu du consommateur. Quelle est la propriété caractéristique des fonctions de demande qui nous permet de dire que

n

∑ ε

1h

h =1

est positif ou négatif selon que le bien X 1 est supérieur ou inférieur ? justifier adéquatement ?; ε 1 est l’élasticité de la demande ordinaire du bien X 1 par rapport à ph . b) Dans le cas d'un choix entre deux biens X 1 et X 2 ayant pour prix respectifs p1 = 1 et p2 = 2 et, sachant que ( ∂ x1 / ∂p1 ) = −5 et on demande de calculer ( ∂ x1 / ∂p2 ) , ( ∂ x2 / ∂p1 ) et ( ∂ x2 / ∂p2 ) . Les notations sont celles utilisées dans le cours. c) Dans un panier composé de deux biens, si la moitié du budget est affectée à l’achat de chaque bien, montrez que les élasticités-prix croisées compensées de ces biens sont égales. h

U

U

U

U

Exercice 2 (6pts=1+1+2+2) Soit un bien X dont la production est assurée par 10 entreprises identiques ayant pour fonction d’offre individuelle y = 0,1p − 0, 4 ; j = 1, 2,...,10 , y est la quantité de X produite par j . La demande globale du bien X est donnée par : x = 20 − 0, 5 p . a) Déterminez le prix et les quantités d’équilibre concurrentiel de ce marché. b) Que peut-on dire de la stabilité de cet équilibre : i) statique, au sens de Marshall. ii) dynamique sachant que l’offre s’ajuste avec une période de retard par rapport au prix observé. c) Le gouvernement impose une taxe de 3 unités monétaire par unité vendue du bien X, déterminez la répartition du fardeau fiscal entre les consommateurs et les producteurs et calculez la perte sociale, éventuelle, associée à cette taxe. j

j

Exercice 3 (8pts= 2 + 1 +(1+2) + 2) Soit une économie simplifiée composée de deux consommateurs ayant les revenus R1 et R2 pur s’acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix p1 et p2 sur la bases fonctions d’utilité U ( x11 , x12 ) = x110.4 x120.6 et U ( x21 , x22 ) = x210.5 x220.5 . Les biens X 1 et X 2 sont offerts en quantités respectives W 1 et W 2 . a) On demande de calculer les prix et les quantités demandées à l'équilibre des marchés. b) On double la quantité offerte W 1 du bien X 1 . Quel est l'effet sur les prix p1 et p2 ? Expliquez. c) Le bien X 2 peut être utilisé pour produire X 1 selon la relation de transformation x1e = x1/2 2 e avec x1e : la quantité produite ; x2 e la quantité d’input acheté sur le marché de X 2 . W 2 est définie plus haut. • Déterminez les fonctions de demande et d'offre des biens. • Sachant que le profit réalisé par l’entreprise est réparti entre les consommateurs selon la formule 25% et 75% respectivement pour 1 et 2. Microéconomie


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On demande d'écrire les nouvelles équations d'équilibre général et de calculer les prix d'équilibre d) Application numérique : R1 = 15 , R2 = 10 ; W 1 = 11 et W 2 = 7 .

Année 2012-2013

Examen du 12-11-2012 Durée : 2 heures ; Documents et Calculatrice non permis ------------------------------------------------------------------------------------------EXERCICE 1 : (6pts = 6 × 1) Répondez par Vrai, Faux ou Incertain et justifiez brièvement (mais obligatoirement) votre réponse. 1) On a observé une hausse du prix d’un bien et en même temps une hausse de la quantité demandée de ce bien, donc la courbe de demande de ce bien a nécessairement une pente positive (courbe de demande croissante) 2) Si deux biens X et X ont le même prix p = p , à l’optimum du consommateur, son TMS = 1 et, par conséquent, le consommateur dépensera la même somme sur chacun des deux biens. 3) Un bien inférieur est toujours accompagné d’au moins un bien de luxe dans le même panier. 4) Dans un panier composé de deux biens, si 50% du budget est affectée à l’achat de chaque bien, alors les élasticités-prix croisées compensées de ces biens sont égales. 5) Pour une entreprise qui utilise une fonction de production y = F ( x , x ,..., x ) , son optimum est toujours caractérisé par les conditions p F = p F ∀(h, k ) ; h ≠ k = 1, 2,...n ; avec F = ∂F (..) / ∂x = Pm . 6) Un rendement d’échelle croissant est incompatible avec le fait que toutes les productivités marginales soient décroissantes. 1

1

2

2

1/ 2

1

h

j

j

k

k

2

n

h

j

EXERCICE 2 (4,5 pts = 1,5+(1,5+1,5)) n

Question 1. En partant de la contrainte budgétaire, montrez que ∑ a ε = −a ; k = 1,2,..., n = avec ε : élasticité prix croisée de la demande de h par rapport au prix du k et, a : la part du budget affectée à l’achat du bien h . Question 2. Avec une fonction de production y = F ( x , x ) homogène de degré 1 , si l’on pose ε l'élasticité de l'output Y par rapport à l'input X . A l'optimum, établissez les fondements des assertions suivantes : i) « le niveau optimal de production implique indirectement que ε < 1 ; h = 1, 2 ». ii) « ε représente la part de la recette totale de Y affectée à l'achat de X ; h = 1,2 ». h

hk

k

h 1

hk

h

1

2

h

yxh

yxh

h

yxh

EXERCICE 3 (4,5pts = 1.5+3)

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Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R pour acheter deux biens X et X aux prix respectifs p et p . Sa fonction d’utilité est représentée par : U ( x , x ) = x x . a) Déterminez les fonctions de demandes ordinaires et les fonctions de demandes compensées, et en déduire les expressions de la fonction d’utilité indirecte et de la fonction de dépense minimale. b) Supposons que le prix p passe de p à p tel que ( p / p ) = 2 , déterminez les pertes subies par le consommateur en utilisant pour indicateurs : i) la variation compensatoire ii) la variation équivalente iii) la variation de son surplus. 1

1

2

1

1

0 1

1 1

1 1

2

2

1 2

0 1

EXERCICE 4 (5pts =2+1+1+1)

Soit une entreprise qui produit un output Y, qu’elle vend au prix q, à partir de deux inputs X et X qu’elle achète aux prix respectifs p et p . Sa fonction de production a pour expression : y = x x On suppose que cette entreprise opère dans des marchés concurrentiels. a) Déterminez les fonctions de demande conditionnelles des inputs et en déduire l’expression de la fonction de coût variable total. b) Que dire du seuil de fermeture de cette entreprise ? c) Déterminez la fonction d’offre de l’output. d) Déterminez les sens de variation des fonctions de demande des inputs par rapport à leurs propres prix et celui de la fonction d’offre par rapport à son prix. 1

2

1

2

1/ 2 1/ 4 1 2

Exam du 21-01-2013 Rattrapage : durée : 1h 30mn ; Documents et Calculatrice non permis ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice, I (6pts =2+1,5+0,5+1+1) Soit un consommateur qui dispose d'un revenu R pour acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix respectifs p1 et p2 . La fonction d'utilité de ce consommateur est U ( x1 , x2 ) = x1 x2 + x1 + x2 a) Déterminez les fonctions de demande des biens et l'expression de λ (multiplicateur de Lagrange associé á la contrainte sur R ). b) Calculez les quantités demandées et la valeur de λ pour R = 100 , p1 = 1 et p2 = 5 . c) Donnez (sans calcul et en justifiant votre réponse) les quantités demandées et la valeur de λ si l'on divise par 5 les prix et le revenu. d) Si le consommateur ne peut plus acheter plus de 30 unités de X 1 , que devient alors son équilibre? e) Qu'en est-il des conditions nécessaires du maximum de U suite à cette nouvelle contrainte? Exercice II (8pts=2 + 1 + l + (1+1)+2)

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Soit une économie très simplifiée composée de deux consommateurs 1 et 2 dotés respectivement des revenus R1 et R2 pour s'acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix respectifs p1 et p2 . Les préférences de ces consommateurs sont exprimées par les indices suivants U ( x11 , x12 ) = x11a x12b pour le consommateur 1 et U ( x21 , x22 ) = x21x22 pour le consommateur 2 . (Suggestion : on peut tenir compte de : α R β R ) ;y= U ( x, y ) = x y ⇒ x = c

α

d

β

(α + β ) p x

(α + β ) p y

a, b, c et d sont des paramètres réels et positifs.

e) Sachant que les biens X 1 et X 2 sont offerts en quantités données W 1 et W 2 respectivement, on demande de calculer les prix et les quantités demandées à l'équilibre des marchés. f) L'Etat impose une taxe de t u.m. par unité sur l'achat de X 1 . Quel est l'effet de cette taxe sur les quantités demandées et sur les prix d'équilibre. Expliquez les résultats qui vous semblent, éventuellement paradoxaux. g) On double la quantité offerte W 1 du bien X 1 . Quel est l'effet sur les prix p1 et p2 ? Expliquez. h) Le bien X 2 peut être utilisé pour produire X 1 selon la relation de transformation suivante : x1 p = (W2 − x2c )1/ 2 avec x1 : la quantité produite ; x2 = x12 + x22 : la quantité globale de X 2 demandée par les consommateurs. W 2 est définie plus haut. • Déterminez les fonctions de demande et d'offre des biens. • Sachant que le profit dégagé par l'unité de transformation est réparti entre les consommateurs 1 et 2 qui recevront respectivement 25% et 75%. On demande d'écrire les nouvelles équations d'équilibre général et de calculer les prix d'équilibre i) Application numérique : a = 2 , b = 3 , c = d = 1 , W 1 = 11 , W 2 = 7 , R1 = 15 , R2 = 10 et p

c

t = 0,5

Exercice III ( 6pts = 2+2+2) Répondez par Vrai, Faux ou Incertain et justifiez votre réponse (a) Dans une allocation optimale au sens de Pareto aucun agent ne manifestera une préférence pour le panier de biens choisi par un autre agent (b) Dans une économie qui a réalisé une allocation optimale au sens de Pareto, il n’est plus possible d’améliorer la situation d'aucun agent. (c) Un optimum social est forcément un optimum au sens de Pareto.

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Ré f ér ences bbiblio g r ra phiques 1. Les imprimés 1. HENDERSON, J.M., QUANDT, R.E., Microéconomie : Formulation mathématique élémentaire, Dunod, 1970, 290p 2. MALINVAUD, E., Leçons de théorie microéconomique, Dunod, 1975, 332p. 3. VARIAN, Hal R. Analyse microéconomique , De Boeck, 1995, 550p 4. VARIAN - Microeconomic Analysis SOLUTIONS ; 51 pages 5. LEVY-LAMBERT, H. et DUPUY J-P., Les choix économiques dans l’entreprise et dans la nation, Tome1 : Principes de base, Dunod, 1973, 260p. 6. TCHIBOZO, Guy, Microéconomie approfondie, Armand Colin, 1997, 192p 7. GEOPHRY, A. & all ; Advanced Microeconomic Theory, 2011, 656 pages 8. MAS-COLELL & All, Microeconomic theory, 1995 ; 981 pages 9. MAS-COLELL & All, Microeconomic Theory, Solution Manual ; 265 pages 10. KREPS, David M, Leçons de théorie microéconomique , PUF, 1996, 803p 11. LAFFONT Jean-Jacques, Cours de théorie Microéconomique , Vol1 : Fondements de l’économie publique, Economica, 1982, 200p. 12. PICARD, Pierre, éléments de Microéconomie : 1. Théorie et applications , Montchrestien, 1987, 530p 13. BOUCHARD, M. L'Economie Complètement Rationnelle ; 1992, 385 pages 14. GRANGER Thierry, Microéconomie financière, Economica, 1994, 112p 15. GUERRIEN, B., NEZEYS, B., Microéconomie et calcul économique , Cours et exercices, Economica, 1981, 386p. 16. ABRAHAM, C., THOMAS, A. Microéconomie : décisions optimales dans l’entreprise et dans la nation , Dunod, 1966, 460p 17. JULLIEN Bruno et PICARD Pierre, éléments de Microéconomie : 2. Exercices et corrigés , Montchrestien, 1987, 530p 18. CHAMPSAUR, P., Milleron, J.C., Exercices de Microéconomie : Niveau avancé, Dunod, 1971, 242p 19. SCHUBERT Katheline , ZAGAME Paul et al., L’environnement : une nouvelle dimension de l’analyse économique, Vuibert, 1998, 458p. 20. ARROW Kenneth J., Choix collectif et préférences individuelles , Calmann-Levy, 1974 , 233p 21. BENARD Jean, Economie publique, Economica, 1985, 430p. 22. VIVIANI Jean-Laurent, Gestion de portefeuille , Dunod, 1997, 322p. 23. GRAAFF, J. de V., Theoretical welfare economics, Cambridge university press, 1975, 178p.

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2. Documents numériques de source Internet Un très grand nombre de livres, couvrant tous les domaines de la connaissance, sont accessibles via Internet en téléchargement libre. Pour ce qui concerne le profil des études à l’INSEA, on trouve plusieurs livres de Microéconomie, Macroéconomie, Théorie des jeux, Econométrie, Statistique Descriptive, Statistique Mathématique, Calcul de Probabilité, Finance, Informatique, etc., etc.. En Microéconomie, en plus des livres, on peut également consulter les sites des départements des sciences économiques des plus grandes universités à travers les 5 continents.

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(2012-2013)

Support du cours de Microéconomie, distribué gratuitement. Merci de signaler les erreurs éventuelles

Chapitre 1

Théorie du Consommateur

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Contenu du Chapitre 1

1.0 Introduction.................................................................................................................................................... 3 1. 1. Approche classique..................................................................................................................................... 4 1.1.1 Domaine des choix possibles ................................................................................................................ 4 a) Contrainte physique............................................................................................................................... 5 b) Contrainte légale ou religieuse d'interdiction, ................................................................................... 5 c) Contrainte budgétaire ou de gestion administrée.............................................................................. 5 1.1.2 Critères qui fondent le choix du consommateur................................................................................ 6 a) Définition d'une relation de préférence............................................................................................... 7 b) définition d'une fonction d’utilité ........................................................................................................ 8 1.1.3 Détermination des fonctions de demande ........................................................................................ 10 a) Conditions nécessaires de l'optimum (point de selle)..................................................................... 11 b) Relations définissant la structure optimale du panier de consommation.................................... 11 c) Relation de convergence des appréciations individuelle et collective .......................................... 12 d) Résolution du système défini par les conditions nécessaires ........................................................ 13 e) Les conditions suffisantes de l’optimum........................................................................................... 13 1.1.3 Propriété caractéristique des fonctions de demande ordinaires.................................................... 15 a) Homogénéité de degré zéro................................................................................................................ 15 b) Comportement des fonctions de demande....................................................................................... 16 1) Interprétation des éléments composant les expressions calculées............................................ 18 2) Propriétés des termes composant les équations de Slutsky.............................. ......................... 22 a) les effets de revenu ......................................................................................................................... 23 b) Les effets de substitution................................................................................................................ 23 c) les effets de prix ............................................................................................................................... 25 1.1.5 La demande globale ............................................................................................................................. 26 1.2 Approche duale : analyse dans l’espace des valeurs....................................................................... ..... 27 1.2.1 Propriétés et utilisation de la fonction d’utilité indirecte............................................................... 28 a) Propriétés............................................................................................................................................... 28 b) Utilisation : identité de Roy ................................................................................................................ 28 1.2.2 Propriétés et utilisation de la fonction de dépense .......................................................................... 29 a) Propriétés............................................................................................................................................... 29 b) Utilisation.............................................................................................................................................. 29 1.2.3 Dualité et mesure de la variation du bien-être ................................................................................. 30 a) la variation du surplus du consommateur........................................................................................ 31 b) Variation des prix et son impact sur le coût de la vie. .................................................................... 33 c) La variation compensatoire et la variation équivalente .................................................................. 34

1) La variation compensatoire ( CV ) ............................................................................................... 34 2) La variation équivalente ( EV ) ..................................................................................................... 34 d) Mesures utilisant la méthode des indices de Laspeyres et de Paasche ........................................ 35

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Chapitre 1


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1.0 I nt r ro d uct ion

Dans sa fonction d'agent économique, le consommateur joue deux rôles prépondérants : d’abord, il détient des ressources (matières premières, capital, travail, etc.) qu'il met à la disposition d'un autre agent économique, l'entreprise en échange d’un revenu en contrepartie (prix, loyer, rente, salaire, etc.). Ensuite, il achète les biens et services qu'il n'a, peut-être, ni le temps ni la capacité de produire. C’est cette deuxième fonction qui lui confère son rôle de consommateur qui nous intéresse dans ce chapitre. Dans ce contexte, la classe des consommateurs comprend tous ceux qui ont un revenu. Le problème à étudier se ramène à déterminer comment le consommateur répartit son revenu (quelle que soit sa source) entre les différents biens et services qui l’intéressent et disponibles sur le marché. Les critères qui fonderont cette répartition permettront de déterminer les fonctions demandes individuelles pour chaque bien et service. Cette demande et ses caractéristiques définiront la stratégie optimale des réactions du consommateur face aux changements qui peuvent affecter les prix ou le revenu en tant que paramètres explicatifs de la demande exprimée. En agrégeant les demandes individuelles, on arrive à la demande globale du marché : une expression collective de la demande du bien qui constituera l’une des deux forces qui déterminent le prix du marché (L’autre force étant l’offre globale déterminée par l’ensemble des entreprises). Par conséquent, pour la suite de ce chapitre, par consommateur on entend un centre de décision autonome qui dispose d'un pouvoir d'achat et exprime des demandes de marchandises pour satisfaire ses besoins. Il peut s'agir d'un individu isolé, d'un ménage (c'est le cas en général), ou d'une "administration" chargée de gérer l'intendance d'un groupe (internat, caserne, voire pays dans un contexte de marché mondial). Le cadre d'action de ce consommateur est la concurrence pure et parfaite qui se caractérise par l'atomicité des intervenants, la transparence des marchés (information parfaite et certitude), l'homogénéité des marchandises et l'absence de barrières autres que les contraintes propres à chacun des agents intervenants. Le problème du consommateur est donc de répartir de la meilleure manière possible ses moyens limités entre les différentes options d'achats de sorte que le niveau de satisfaction, associée à l'option choisie, soit le plus élevé possible.

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Deux approches seront présentées pour résoudre ce problème du consommateur : l’approche classique qui définit les décisions dans l’espace des quantités et l’approche dite « duale » qui intègre la possibilité de raisonner dans l’espace des valeurs, celui des prix et du revenu.

1. 1 1. A p pr oche cclassique

Sur la base des paramètres exogènes, les prix et le revenu, on cherchera à déterminer les fonctions de demande du consommateur et leurs caractéristiques. Ces fonctions sont déterminées essentiellement dans l’espace des quantités. A cette fin, on commencera par présenter le domaine des choix offerts au consommateur, les critères qui fonderont le choix exprimé par le consommateur, la détermination des fonctions de demande et le comportement de ces fonctions de demande.

1.1.1 Domaine des choix possibles Le domaine des choix du consommateur se compose de toutes les options possibles et imaginables disponibles dans un contexte donné, abstraction faite des contraintes spécifiques au consommateur. Soit x = ( x1 ,..., xn ) : un vecteur de quantités des n biens disponibles ; xh est la quantité du bien h . Soit X l’ensemble des complexes possibles (l’ensemble des consommations possibles). X peut être défini de différentes manières, par exemple : X

= ℜ + n ⇔ X = { xh

}

xh ∈ℜ + ; h = 1,2,..., n

: l'ensemble des quantités positives des

différents biens disponibles sur le marché. La contrainte de non négativité traduit le fait que le consommateur ne soit offreur d'aucun bien ou service. Dans le cas où la contrainte de non négativité n'est pas exigée, le consommateur peut être un vendeur de certains biens ou services tels le travail ou les récoltes et autres produits agricoles, cet ensemble peut alors se présenter sous la forme alternative suivante : X = ℜ n ⇔ X = { xh xh ∈ℜ; h = 1,2,..., n} Hypothèses relatives à X : Mi cr oéconomi e


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1. L’ensemble de consommation est convexe : ∀ ( x1 , x 2 ) ∈ X 2 ⇒ λ x1 + (1 − λ ) x 2 ∈ X ,

∀λ ∈]0,1[ . Cette hypothèse assure la divisibilité continue de tous les biens qui composent le domaine du choix. 2. Cette convexité assure également la connexité de X . 3. L’ensemble X est constitué par l’orthant non négatif de l’espace ℜ n . Ces hypothèses sont indispensables quel que soit l’outil d’analyse utilisé : axiomatique, marginaliste ou de programmation. Quoique parfois, ces hypothèses peuvent ne pas correspondre à la réalité des choses en ce qui concerne la divisibilité, la positivité, la convexité ou la connexité. Le domaine du réalisable Le domaine du réalisable D est un sous-ensemble du domaine du possible, obtenu en prenant en compte l'ensemble des contraintes qui s'imposent au consommateur. Ces contraintes peuvent être d'ordre :  physique (limites inférieures ou supérieures sur les quantités de certaines marchandises),  légal ou religieux (interdiction ou proscription de certaines marchandises)  budgétaire ou de gestion administrée du marché (budget limitatif ou rationnement de certaines marchandises) Les représentations de ces différentes contraintes peuvent prendre les formes suivantes:

a) Contrainte physique 



Pour exprimer le fait qu’on doive assurer un certain niveau minimum des besoins élémentaires (minimum vital) pour une marchandise h donnée, on écrira : xh ≥ x h . Pour indiquer une limite supérieure d'accès (ou de disponibilité) pour une certaine marchandise h , on écrira : xh ≤ x h .

b) Contrainte légale ou religieuse d'interdiction, Cette contrainte se traduira par l'absence de la marchandise interdite parmi les options envisagées par le consommateur concerné.

c) Contrainte budgétaire ou de gestion administrée • La contrainte budgétaire s'exprime par

n

∑ p x h

h

≤ R : La somme des dépenses sur

h =1

l'ensemble des marchandises, aux prix respectifs du marché, ne doit pas dépasser le montant du revenu R affecté à ces dépenses. Mi cr oéconomi e


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• La contrainte de "gestion administrée" du marché peut se présenter lorsque l’on cherchera à influencer les choix des consommateurs en faveur de certaines marchandises ou au détriment d'autres marchandises. Par exemple, encourager la production locale au détriment des importations. Dans de telles situations, on pourrait concevoir un rationnement par les points (droits d'accès) qui affecte un nombre total de points à chaque consommateur et fixe des « tarifs ou prix » en nombre de points par unité de chaque marchandise achetable. Le consommateur aura à gérer deux contraintes de même type et d’expressions semblables : la contrainte budgétaire et la contrainte de rationnement. Le tarif en nombre de points n'a rien à voir avec le prix du marché. Aussi une marchandise dont le prix est 100 peut-elle exiger 1 point de rationnement et une autre, dont le prix est 2 , peut exiger 10 points de rationnement si l’objectif est de favoriser la première marchandise par rapport à la seconde. Le domaine du réalisable D est la partie de X qui vérifie toutes les contraintes imposées au consommateur.

1.1.2 Critères qui fondent le choix du consommateur La sélection est effectuée par un consommateur dit rationnel. Cette rationalité sera schématisée par la présence de deux caractéristiques qui guideront ses choix : • La préférence de plus à moins : qui traduit le fait que le consommateur préfère toujours l’option qui contient plus de chaque marchandise à celle qui contient moins de l’une quelconque des marchandises. Elle sous-entend également la libre disposition des excédents. C’est-à-dire, la possibilité de se débarrasser des excédents non utilisés sans coûts additionnels. • La recherche du moindre effort dans la prise de décision. Atteindre tout objectif donné en utilisant le moins possible de moyens ou, ce qui revient au même, avec des moyens donnés, réaliser le maximum possible de l’objectif poursuivi. Dans l’ensemble X des consommations possibles, le consommateur choisit des complexes de biens selon des critères qui expriment ses préférences. Celles-ci peuvent être représentées par : (vérifiant les • une relation de classement (relation des préférences) caractéristiques d’au moins une relation de pré ordre) ; • une fonction analytique (fonction d’utilité) U ( x) , représentative d’une certaine catégorie de relations des préférences. Sous certaines hypothèses, il est équivalent de travailler avec l’une ou l’autre de ces représentations.

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a) Définition d'une relation de préférence Soit 〉 une relation définie entre les éléments x de X telle que: 1 2 1 2  x 〉 x signifie que « x est au moins aussi préféré que x ». 1 2 2 1 2 1  « x 〉 x et, en même temps, x 〉 x », représentée également par x  x , signifie que le consommateur est indifférent entre x1 et x 2 . Autrement dit,  définit une relation d’indifférence qui s'exprime par : x 2  x1 si « x1 〉 x 2 et x 2 〉 x1 ». Pour pouvoir ordonner les x de l’ensemble X par la relation 〉 , celle-ci doit vérifier certains axiomes ou exigences :  a0 : (Intégralité) Devant tout couple ( x1 , x 2 ) ∈ X 2 , la relation doit permettre de

 

d’exprimer l'une des trois situations: x1 〉 x 2 , x 2 〉 x1 ou " x1 〉 x 2 et, en même temps, 2 1 x  x ". Autrement dit, tous les complexes de biens sont comparables entre eux. (Réflexivité) Pour tout x ∈ X ,on a x〉 x . Cet axiome assure que tout a1 : choix s'effectue de manière raisonnée et réfléchie. (Transitivité) Si x1 〉 x 2 et x 2 〉 x3 alors x1 〉 x3 . Cet axiome nous assure que a2 : les choix effectués sont consistants et cohérents. Ils prennent en compte les caractéristiques intrinsèques aux options choisies.

Les axiomes a1 et a2 permettent à 〉 d’être une relation de préordre sur X .  a3 : (Symétrie ou antisymétrie) : Une relation de préordre symétrique, x1 〉 x 2

⇒ x 2 〉 x1; ∀ ( x1 , x 2 ) ∈ X 2 , est une relation d’équivalence. Une relation de

préordre antisymétrique x1 〉 x 2 et x 2 〉 x1 ⇒ x1  x2 ; ∀ ( x1 , x2 ) ∈ X 2 est une relation 

d’ordre sur X . 0 0 0 a4 : Pour tout x ∈ X , les deux ensembles { x ∈ X x〉 x } et { x ∈ X x 〉 x} sont fermés dans X .

L’axiome a4 assure l’absence de discontinuité dans les choix du consommateur. Les deux sous-ensembles définis par a4 contiennent une frontière commune définie par " x0 et l'ensemble des complexes qui lui sont équivalents". Proposition (admise) Pourvu que X soit en mesure de vérifier quelques propriétés générales très peu restrictives, notamment la convexité et la connexité, on peut représenter tout préordre défini sur cet ensemble (c’est-à-dire, toute relation 〉 qui satisfait aux axiomes a0 , a1 et a2 ) et qui satisfait à a4 par une fonction analytique continue (appelée fonction d'utilité, de satisfaction ou des préférences).

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Cette expression analytique des préférences permet de travailler avec des outils mathématiques (dérivées, différentielles et intégrales) qui s’avèrent plus adaptées aux besoins de l'optimisation et de l'analyse marginaliste.

b) définition d'une fonction d’utilité C'est une simple fonction analytique, sans lien avec la théorie de l’utilitarisme philosophique ou psychologique. Elle a pour fonction de déceler le "degré" des préférences qu'un consommateur, de son point de vue personnel, attache à tel ou tel complexe de biens. C’est donc une relation purement logique, personnelle et subjective (non justifiable et non explicable) qui s’applique quelles que soient les motivations propres à chaque consommateur. Pour les besoins de l'analyse économique, on considère que cette fonction - appliquée implicitement par le consommateur à travers ses attitudes, ses gestes ou ses décisions - est une donnée préalable exprimée directement par le consommateur lui-même ou induite sur la base des indications de préférences exprimées ou révélées par ce consommateur. Propriétés de la fonction d'utilité 

2 h1 : U (.) ∈ C (i.e. U (.) est deux fois continûment dérivable). Pour résoudre le

problème de maximisation de l’utilité du consommateur, il est utile, quoique non indispensable, que la fonction U (.) soit dérivable au moins deux fois. 

h2 : U (.) est non décroissante par rapport à chacun de ses arguments

(absence de biens nuisibles) et, est forcément liée à au moins un argument (marchandise) :

Uh

=

∂U (.) ≥ 0; ∀h et ∃ au moins un indice ∂ xh

k ( bien ou

service) tel que U k > 0 . 

h3 : U (.) est strictement concave. Quoique la quasi-concavité est largement

suffisante pour la détermination des expressions des fonctions de demande, pour les besoins de l'analyse du comportement des fonctions de demande, qui nous intéresse dans le cadre de ce chapitre, la stricte concavité est plus appropriée. 

h4 : U (.) est définie à une transformation monotone croissante près. Le

classement opéré par U (.) est identique à celui que donnerait toute fonction de transformation G (U ) , pourvu que G ' > 0 . Par cette propriété, la fonction d’utilité échappe à la contrainte restrictive « d’être forcément une mesure cardinale », qui pendant plusieurs décennies a constitué le maillon faible de la Mi cr oéconomi e


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Chapitre 1


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logique de son utilisation. Pour exprimer pleinement les préférences du consommateur, il suffit que l’expression analytique utilisée, U (.) , soit ordinale. Définition et propriétés des courbes d'indifférences

Définition Les courbes d'indifférences sont constituées par les portions efficaces (selon la règle du moindre effort) des surfaces (ou hyperplans) d'indifférence correspondant aux différents niveaux de la fonction U (.) . Dans le cas de deux biens, les courbes d'indifférence se définissent à partir de l’équation u 0 = U ( x1 , x2 ) par : x1 = ϕ ( x2 , u 0 ) ou, de manière équivalente, x2 = ψ ( x1 , u 0 ) Propriétés 

ρ 1 : Les courbes d'indifférence sont décroissantes. Cette relation indique la

nécessité de sacrifier l’une des deux marchandises en contre partie d’une augmentation de la quantité de l’autre afin de se maintenir sur la même courbe d’indifférence. 

ρ 2 : Les courbes d'indifférence sont strictement convexes (la quasi-convexité

est suffisante pour la détermination des expressions des fonctions de demande). Cette propriété indique une préférence pour des situations intermédiaires (ou de compromis). Tous les points de la corde qui sous-tend deux points quelconques de la courbe d’indifférences sont préférables à ces deux points. La convexité indique également la décroissance du taux marginal de substitution TMS (qui exprime la quantité maximum que le consommateur serait disposé à sacrifier d’une marchandise en contrepartie d’une unité additionnelle de l’autre marchandise pour se maintenir au même niveau de satisfaction). Mathématiquement, le taux marginal de substitution peut se déduire de la manière suivante : On considère une courbe d’indifférence 0 u = U ( x1 , x2 ) = constante , on exprime la différentielle totale de son équation : du 0

= 0 = U1dx1 + U 2 dx2 d’où on déduit −

dx2 dx1

=

U 1 U 2

≡ TMS 1/ 2

(Par convention le bien sacrifié est placé au dénominateur de l’indice du TMS ) Tel que défini ici, le TMS est donc toujours positif. Pour le cas où dx11 = dx12 = 1 , on obtient : TMS1/2

=−

dx20 dx10

=−

dx20

Mi cr oéconomi e

1

= − dx > − dx = − 0 2

1 2

dx12

1

=−

dx12 dx11


I NSEA

Chapitre 1


10

Illustration de la décroissance du TMS x2

−dx20 −dx12 0 

1

1

x 1

ρ 3 : Les courbes d'indifférence ne peuvent jamais s’entrecouper. Cette

propriété assure la cohérence dans les choix exprimés par le consommateur. Cette propriété est équivalente à celle de la transitivité de la relation 〉 . 

ρ 4 : La carte d'indifférence (constituée par l'ensemble des courbes

d'indifférences) est partout dense. Elle exprime le fait qu’aucun complexe, x ∈ X , ne peut échapper au critère de la comparaison préalable au choix. Remarque: Les propriétés ρ 3 et ρ 4 peuvent se condenser dans une expression équivalente qui peut s’exprimer en ces termes : « par tout point de l'espace des choix passe une courbe d'indifférence et une seule ». Allure générale des courbes d’indifférences

x2

0

x1

1.1.3 Détermination des fonctions de demande Le consommateur est supposé connaître son revenu affecté à la dépense, la liste de tous les biens et services disponibles et leurs prix respectifs. Son objectif est la maximisation de son niveau d'utilité. Il s'agit donc de déterminer la meilleure (au sens de l'objectif poursuivi) manière possible de répartir le revenu disponible entre les différentes marchandises désirées, compte tenu de leurs prix respectifs. Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 1


11

La formulation mathématique du problème du consommateur peut se présenter comme suit :

  Ma Ux = U ( x1 , x2 ,..., xn )  s/à :  n  ph xh ≤ R ( λ ) ∑  h =1 Ce programme, du maximum sous contrainte, peut être formulé d'une manière équivalente par la fonction de Lagrange : n   L( x1 , x2 ,..., xn , λ ) = U ( x1 , x2 ,..., xn ) + λ  R − ∑ ph xh  h =1  

où λ est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte.

a) Conditions nécessaires de l'optimum (point de selle) Les conditions nécessaires s’expriment comme suit :

 L x = U h − λ ph = 0; h = 1, 2,..., n  n  L R ph xh = 0 = − ∑  λ h =1  h

Les enseignements qu’on peut déduire de ces conditions nécessaires concernent les règles d’une composition optimale du panier de consommation et les règles d’une allocation optimale des ressources rares disponibles (les biens et services) entre les différents agents qui composent la collectivité.

b) Relations définissant la structure optimale du panier de consommation Ces relations s’expriment par λ =

U 1 p1

= ... =

Uh ph

= ... =

U n pn

. Elles assurent l’optimalité de

la structure du panier de consommation choisi à l’équilibre du consommateur. Elles indiquent que la satisfaction attendue de l’utilisation de la dernière unité monétaire dépensée doit être la même quelle que soit son affectation. Le rapport commun défini par λ traduit l’utilité marginale du revenu à l’équilibre. Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 1


12

Cette interprétation de λ peut se déduire des conditions de premier ordre précédentes (U h = λ ph ; h =1,2,..., n ) . En effet, en multipliant les deux membres de chaque équation par des variations dxh correspondantes et en sommant, on obtient : n

∑U dx h

h =1

h

n

= λ ∑ ph xh ⇔ dU = λ dR , ou encore : λ = h =1

dU dR

Cette utilité marginale du revenu, telle que exprimée ici, indique que l’unité monétaire n’a d’utilité qu’à travers les quantités additionnelles qu’elle permette d’acheter. Autrement exprimée, λ = correspond

en

fait

∂U ∂ xh ∑1 ∂ xh ∂R révèle que l’expression dérivée n

au

niveau maximum de , U * U = U ( x1 ( p1 , p2 ,..., pn , R ) ,..., xn ( p1, p2,..., pn, R ) ) . Par conséquent, la valeur de λ n’a de sens qu’à l’optimum.

c) Relation de convergence des appréciations individuelle et collective Ces relations s’expriment par : Le premier rapport,

U h U k

Uh Uk

=

ph pk

pour tout couple de biens h et k .

, définit le TMS hk du consommateur. C’est le prix relatif

subjectif maximum, que le consommateur attribue à une unité additionnelle du bien h , payé au moyen d’une quantité du bien k . C’est aussi un indicateur de l’appréciation personnelle du consommateur quant à la rareté relative du bien h par rapport au bien k . Le deuxième rapport,

ph pk

, est le « prix relatif du marché » du bien h par rapport au prix

du bien k . Il est déterminé sur la base de la confrontation des offres et des demandes des différents biens de l’économie. C’est donc une appréciation collective de cette même rareté relative de h par rapport à k . L’égalité entre les deux rapport traduit la convergence des vues de chaque consommateur individuel et de l’ensemble des agents de la collectivité (qu’ils soient consommateurs ou producteurs)

Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 1


13

Illustration graphique de l’équilibre x2 R / p2 E 0 *

u

x2

0

*

x1

R / p1

*

x1

d) Résolution du système défini par les conditions nécessaires Les conditions nécessaires définissent un système de n + 1 équations à n + 1 inconnues et dont la résolution permet de déterminer les expressions optimales des fonctions de demande ordinaires : xh* = xh ( p1 , p2 , ..., pn , R ) ; h = 1, 2,.. ., n et l'expression optimale du multiplicateur de Lagrange : λ * = λ ( p1 , p2 ,..., pn , R ) L'expression de la fonction de demande de la marchandise h : xh* = xh ( p1 , p2 ,..., pn , R ) est dite générale parce qu'elle englobe toutes les possibilités de combinaisons des variables explicatives. Le nombre de formulations particulières qui peuvent en être dérivées s'élève à : ( 2n +1 − 1) . On peut citer en particulier: 

Les fonctions de demande ordinaire directe: xh* = xh ( ph ) ; h =1,2,..., n .



Les fonctions de demande ordinaire croisée (la demande du bien h par rapport au prix du bien k ) : xh* = xh ( pk ) ; h ≠ k =1,2,..., n .



Les expressions des courbes d'Engel : xh* = xh ( R ) ; h =1,2,..., n .

e) Les conditions suffisantes de l’optimum Les conditions de second ordre de cet optimum se ramènent à la condition de concavité de la fonction d’utilité, une hypothèse fréquemment faite à propos de la fonction d’utilité utilisée. Cette même hypothèse s’exprime également par la convexité des courbes d'indifférence. Autrement, la condition du second ordre (appelée également condition suffisante) peut être vérifiée sur la base de la matrice Hessienne associée à U : Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 1


 U11 .  .   .   . H =  U h1 .   .  .   . U  n1 .

.

.

.

U1h

.

.

.

. . .

U hh

.

.

.

.

. . .

.

U 1n 

  .   .  . U hn   .  .   .   . U nn 

.

.

14

U nh

Cette matrice doit être définie négative, c'est à dire, les mineurs principaux extraits de H doivent alterner de signes :

U 11

<0;

U11

U 12

U 21

U 22

>0;

U11

U12

U 13

U 21

U 22

U 23

U 31

U 32

U 33

< 0 ; etc.

Ces conditions suffisantes peuvent , également, être vérifiées à partir de la matrice Hessienne bordée, dont le déterminant doit être positif (pour le cas d'une contrainte unique) :

D = H B

=

U11

U1h

U 1n

− p1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

U h1

U hh

U hn

− ph

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

U nh

.

.

.

U nn

− pn

− p1 . .

.

− ph .

.

.

− pn

0

U n1

.

Mi cr oéconomi e

>0


I NSEA

Chapitre 1


15

1.1.3 Propriété caractéristique des fonctions de demande ordinaires a) Homogénéité de degré zéro Les fonctions de demande sont homogènes de degré zéro par rapport à l'ensemble de ses arguments (i.e. l'ensemble des prix et le revenu). Rappel La fonction F ( x1 ,..., xh ,..., xn ) est dite homogène de degré ρ si elle vérifie l’une des

propriétés suivantes : ρ  définition : F ( tx1 ,..., txh ,..., txn ) = t F ( x1,..., xh ,..., xn ) n



Théorème d'Euler:

∑F x h

h

= ρ F ( x1 ,..., x h ,..., x n )

h =1

Appliquée aux fonctions de demande la première propriété donne : xh ( tp1 ,..., tpn , tR ) = t xh ( p1,..., pn , R) = xh ( p1,..., pn, R) 0

Par conséquent, les fonctions de demande ne doivent pas être affectées par la multiplication, par la même constante, de l'ensemble des prix et du revenu. Autrement dit, Les fonctions de demandes ne doivent pas être affectées par l'unité monétaire utilisée. En particulier, l'une quelconque des marchandises peut être utilisée comme standard de mesure, numéraire. Il suffit, pour cela, de choisir un coefficient multiplicateur égal à l'inverse du prix de la marchandise choisie pour numéraire. Par exemple, pour faire jouer à k le rôle de numéraire on posera t =

1 pk

; ce qui ramène le prix de la

marchandise k à un niveau unitaire. De même, concernant le consommateur, la propriété d'homogénéité de degré zéro lui confère l'immunité contre les risques d'illusion monétaire. Il basera ainsi ses décisions sur les prix réels (ou prix relatifs) et non pas sur les prix nominaux (ou monétaires) La présentation équivalente par application de l’équation d’Euler permet d’écrire :

∂ x ∂x pk h + R h = 0 ou encore ∑ ∂ pk ∂R k =1 n

Mi cr oéconomi e

n

∑ε

hk

+ η h = 0

k =1


I NSEA

Chapitre 1


16

avec 

ε hk : élasticité prix croisée (de la demande du bien h par rapport au prix du



bien k ) et η h : élasticité revenu de la demande du bien h .

Par ailleurs, l’homogénéité de degré zéro des fonctions de demande assurent à λ une homogénéité de degré −1 . En effet λ =

U h ph

; ∀h , lorsque tous les prix et le revenu sont

multipliés par une même constante t , U h (.) ne change pas, par l’homogénéité des demandes, pendant que le dénominateur se trouve multiplié par la constante t : λ ( tp1 ,..., tpn , tR ) = n

∑ε

λ k

U h (.) tph

=

U h / ph t

=

n

λ t

;

ou

encore :

∑ p

k

k =1

∂λ ∂λ + R = -λ et ∂ pk ∂R

+ η λ = -1

k =1

avec : 

et ηλ qui représentent les élasticités de l’utilité marginale du revenu respectivement par rapport au prix du bien k et par rapport au revenu. ε

λ k

b) Comportement des fonctions de demande au voisinage de l’optimum Les fonctions de demandes ont été déterminées sur la base des prix des différentes marchandises et du revenu, considérés comme paramètres ou variables exogènes. Il peut arriver, cependant, que la connaissance de ces paramètres soit imparfaite ou que des variations aient affecté les paramètres initiaux qui ont servis dans la résolution initiale du modèle du consommateur. Deux approches sont alors envisageables : 

Si les changements constatés sont suffisants pour affecter les conditions nécessaires de l’optimum initial, il serait plus approprié de reprendre tout le programme avec les nouveaux paramètres. Il s’agit donc d’un nouveau programme auquel on applique la méthode précédente.



Si, par contre, ces variations ne sont pas de nature à remettre en cause les conditions nécessaires de l’optimum, on parlera alors de variations au voisinage de l’optimum et les changements qui peuvent affecter les fonctions de demandes renseigneront sur le comportement de ces fonctions face aux variations infinitésimales des paramètres de base. La suite de notre analyse se place dans ce cadre.

Détermination des variations au voisinage de l’optimum

Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 1


17

Hypothèse : supposons que tous les paramètres ont subi des changements qui ne remettent pas en cause les conditions nécessaires. soient [ dph ≠ 0; ∀h et dR ≠ 0] tels que

les

conditions

nécessaires

restent

[ Lh = U h − λ ph = 0; ∀h et

vérifiées,

n

Lλ

= R − ∑ ph xh = 0 ] h =1

La compatibilité avec les conditions nécessaires implique : n  dLh = ∑ U hk dxk − ph d λ − λ dph = 0; ∀ h = 1, 2,... n k =1  n n dLλ = dR − ∑ p dx − ∑ x dp = 0 k k k k  k =1 k =1

Ces conditions peuvent également se présenter sous forme matricielle :

 U11  .   .   .  U h1   .  .   . U  n1 .  − p .  1

U1h

U1n

.

.

.

.

.

.

U hh

U hn

.

.

.

.

.

.

.

.

U nh

.

.

.

U nn

.

.

− ph

.

.

.

− pn

λ dp1   − p1  dx1    .     .  .    . .  .    .     .  .    λ dph   − p h dxh     =  .  .  .    .     . .    .  .  .    λ dpn    − p n  dxn   n   0   d λ   −dR + ∑ x k dp k  k =1  

−1

qui est de la forme : H B dz = c qui donne, puisque H B est non singulière, dz = ( H B ) c . Par application de la méthode de Cramer on obtient : 

Pour les fonctions de demande des biens h; h =1,2,..., n : n

dxh

=

∑ ( −1)

h+ k

λ Dkh dpk

+ ( −1)

n +1+ h

Dn +1,h ( −dR +

k =1

n

∑ x dp ) k

k

k =1

D

ou, encore, n

dxh

=

∑ ( -1)

h+k

λ Dkh

+ ( −1)

1

Mi cr oéconomi e

D

n +1+ h

Dn +1,h xk  dpk



−

( −1)


n +1+ h

Dn +1,h dR

D I NSEA

Chapitre 1




18

Pour le multiplicateur de Lagrange λ : n

d λ =

∑ ( −1)

n +1+ k

n

+ Dn+1,n+1 ( −dR + ∑ xk dp k )

λ Dk , n +1dpk

k =1

k =1

D

ou , n

d λ =

∑ ( -1)

n +1+ k

λ Dkh

k =1

+ Dn+1,n+1 xk  dpk

D

−

Dn +1,n +1dR D

avec : Dkh : cofacteur associé à l’élément se trouvant à l’intersection de la ligne k et la colonne h de la matrice Hessienne bordée H B . D : déterminant de la matrice H B .

1) Interprétation des éléments composant les expressions calculées Les expressions calculées montrent que les variations observées dxh et d λ s'expliquent par les variations du revenu R et des différents prix pk ; k =1,2,..., n . La signification de ces termes, pris à un niveau global, est trivial : 

Les termes −

( −1) n

+1+ h

Dn +1,h

D

dR et

−

Dn +1,n +1 D

dR correspondent aux variations de

xh et λ lorsque seul le revenu change (tous les prix sont maintenus constants).

Ce sont les effets de la variation du revenu du consommateur sur la demande du bien h et sur le niveau de l'utilité marginale du revenu. Exprimés autrement, ces termes peuvent s'écrire sous les formes respectives des pentes de la courbe d'Engel pour le bien h et de la courbe de l'utilité marginale du revenu : ++ ( −1) n 1 h Dn +1,h ∂ xh ( p1 , p2 ,..., pn , R) =− D ∂ R

et D ∂λ ( p1 , p2 ,..., pn , R) = − n +1,n+1 D ∂ R 

De

même,

( −1) n

+1+ h

les

λ Dn +1, h + Dn+1, n+1 xk D

expressions :

(−1) k + h λ Dkh + (−1) n+1+ h Dn+1,h xk D

dpk

et

dpk donnent les variations respectives de la demande

du bien h et de l'utilité marginale du revenu lorsque seul le prix du bien k change (les prix de tous les autres biens et le revenu restent inchangés) .

Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 1


19

Exprimés autrement, ces termes donnent respectivement la pente de la demande ordinaire croisée du bien h par rapport au prix du bien k et la pente de l'utilité marginale du revenu par rapport au prix du bien k :

∂ xh ( p1 , p2 ,..., pn , R) ( −1) k + h λ Dkh (−1) n+1+ h Dn+1,h xk = + ∂ pk D D et

∂λ ( p1 , p2 ,..., pn , R) (−1) n+1+ h λ Dn+1,h Dn+1, n+1 xk = + D D ∂ pk Ces expressions des pentes par rapport au prix se composent, à leurs tours, de deux éléments qui peuvent être identifiés comme suit: 

Les termes

( −1) n +1+ h Dn +1,h D

xk et

Dn +1,n +1 D

xk se composent des pentes respectives

de la courbe d’Engel et de l’utilité marginale du revenu, déjà identifiées plus haut, et de xk =

∂ R qui représente l’économie (ou la perte) occasionnée par ∂ pk

une baisse (hausse) du prix pk d’une unité monétaire. Ils peuvent donc s’écrire sous

les

formes

équivalentes

 − ∂ xh ( p1 , p2 ,..., pn , R)  x et   k ∂ R

:

 − ∂λ ( p1 , p2 ,..., pn , R)  x qui correspondent à l’effet de revenu respectivement   k ∂ R sur la demande du bien k et sur l’utilité marginale du revenu. 

Les termes

( −1) k + h λ Dkh D

et

( −1) n +1+ h λ Dn +1,h D

sont les effets de substitution dont

l’identification passe par l’élimination logique (non nécessairement effective) des effets de revenu, identifiés précédemment. Il s’agit d’une élimination par compensation de ces effets de revenu. Le critère proposé pour effectuer cette compensation a soulevé un débat entre deux courants de pensée :  Un courant (avec Slutsky, comme chef de file) qui privilégie la conservation du pouvoir d’achat du consommateur, en lui permettant la possibilité de continuer d’acheter, s’il le désire, le panier optimal qu’il aurait décidé d’acheter sous la situation d’avant le changement du prix. La compensation en termes de variation du revenu, dc = dR , doit couvrir la totalité de la variation n

de la valeur du panier de consommation initial,

∑ x dp . h

h

h =1



Un courant (avec Hicks en tête) qui privilégie la conservation du niveau de vie, représenté par le niveau de satisfaction qu’auraient permis les conditions d’avant le changement des prix, la compensation monétaire, dR , doit permettre au consommateur de se maintenir sur la courbe d’indifférence associée à l’équilibre initial, u 0 = constante . Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 1


20

En variations finies, la distinction entre les deux approches est nécessaire. Les salariés ont une préférence évidente pour la méthode de Slutsky, qui reflète approximativement l’application du principe de l’échelle mobile indexant les salaires sur les prix. Cette compensation permet aux bénéficiaires de profiter de l’occasion pour améliorer leur niveau de vie en réalisant, grâce à la convexité des courbes d’indifférence, un niveau de satisfaction u S supérieur à celui donné par l’équilibre d’avant le changement. Illustration d’une situation de baisse de p1 x2 0

R / p2

Compensation de Slutsky

E 1 E 0 u S

F

u

1

u

0

Compensation de Hicks

R / p11

0

0

R / p1

x1

Par contre, en variations infinitésimales, qui correspondent aux variations au voisinage de l’optimum, appliquées dans notre cas, les deux méthodes de compensation conduisent au même résultat. En effet :  Une compensation en termes de pouvoir d’achat (Slutsky) aurait été fixée à un niveau : c = dR =

n

∑ x dp ou, encore, telle que h

h

dR −

h =1



n

∑ x dp h

h

= 0.

h =1

Une compensation en termes de niveau de vie (Hicks), dR , aurait été fixée telle que du = 0 = 0

n

∑U dx h

h

. Or, au voisinage de l’optimum, les conditions

h =1

nécessaires, U h = λ ph , sont maintenues valides. Soit en remplaçant U h par son équivalent, λ ph et en tenant compte de la condition dLλ = 0 , on obtient : n

du

0

= 0 = ∑ λ ph dxh 1

n   =  dR − ∑ xk dpk  qui définit une compensation, k =1  

dR ,

identique à celle qui résulte de l’application de la méthode de Slutsky. Par conséquent, sous l’effet de l’une quelconque de ces compensations (Hicks ou Slutsky), les expressions générales de dxh et d λ s’écrivent : n

dxh

U

=

∑ ( −1)

h + k

k =1

D

n

λ Dkh dpk et d λ U

Mi cr oéconomi e

=

∑ ( −1)

n +1+ k

k =1

D

λ Dn +1,h dpk


I NSEA

Chapitre 1


21

qui donnent la somme des effets directs et croisés de substitution, respectivement sur la demande du bien h et sur le niveau de l’utilité marginale du revenu , résultant de la variation simultanée de tous les prix. Pour notre cas particulier de départ,  dpk ≠ 0, dp j = 0; j ≠ k = 1, 2,..., n , les effets de substitution croisés se présentent comme suit :

∂ xh ( p1, p2,... pn, R) ∂ pk

∂λ ( p1, p2,... pn, R) ∂ pk

U

=

= U

λ ( −1) k + h Dkh D

λ (−1) n

+1+ h

Dn +1,h

D

Ces effets de substitution correspondent aux pentes respectives de la courbe de demande compensée croisée du bien h par rapport au prix du bien k et, de l’utilité marginale du revenu par rapport à une variation du prix du bien k avec compensation de son effet sur le pouvoir d’achat. Par conséquent les effets de prix se présentent comme suit :

∂ xh ( p1 , p2 ,..., p n , R ) ( −1) k +h λ Dkh (−1) n+1+ h Dn+1,h = + xk ∂ pk D D et

∂λ ( p1 , p2 ,..., pn , R) (−1) n +1+ h λ Dn +1, h Dn+1, n+1 xk = + D D ∂ pk Ces effets de prix sont appelés équations de Slutsky qui sont généralement représentées par les expressions suivantes :

∂ xh  ∂xh   ∂x = +  − xk h  ; ∀(h, k ); h = 1, 2, ..., n;  ∂ pk  ∂pk U  ∂ R 

k = 1, 2, ..., n

∂λ  ∂λ   ∂λ  =  +  − xk  ; ∀k ; k = 1, 2, ..., n ∂ pk  ∂pk U  ∂R  Ces relations peuvent également se présenter au moyen des élasticités de prix et de revenu comme suit : ε hk

( h, k ); h = 1, 2, ..., n; = ε hk* − akη h ; ∀

ελk

= ε λ*k − ak η λ ; ∀k ;

k

= 1, 2, ..., n

k = 1, 2,..., n

Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 1


22

avec ak : la part du budget affectée à l’achat du bien k : ak =

pk xk R

Illustration graphique de la décomposition de l’effet prix x2

0

x2

E 0

E 1

1

x2

u1

H H 2

x

e.r .

e.s. 0

x1

0

u

1

x1 H

x1

0

x1

e. p.

Avec : e.p : effet de prix e.s : effet de substitution e.r : effet de revenu Déduction graphique des courbes de demandes ordinaires et compensées x2

x2

D O

0 2

x

1 2 F 2

x x

0

x20

E 0

E 1

u1 0 u

1

x2 D

F

C

x2 1

p1

0

p1

p1

0 p1

0

x1

x1F

1

x1

x1

0

p1

D

1

p1

0

O

D C 0

x1

F

x1

1

x1

x

1

2) Propriétés des termes composant les équations de Slutsky

Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 1


23

Les équations de Slutsky présentent la décomposition des effets prix en effets de revenu et effets de substitution :

a) les effets de revenu Le signe de l’effet de revenu est déterminé par celui de la pente de la courbe d’Engel : le sens de la réaction de la demande d’un bien h à un accroissement du revenu. Par inférence statistique, on a établi que ce sens peut être positif nul ou négatif. Mieux encore, ce sens permet de classer les marchandises ( biens ou services) en : Biens supérieurs dont la réaction de la demande se fait dans le même sens que la variation du revenu :

∂ xh > 0 ; L’intensité de cette réaction positive au revenu permet ∂ R

de distinguer, dans la classe des biens supérieurs, entre biens normaux et biens de luxe dont la variation relative de la demande est supérieure à la variation relative du revenu ou , ce qui revient au même, sont tels que η h =

∂ xh R > 1 . Les biens supérieurs ∂ Rxh

avec η h < 1 sont dits normaux ou de première nécessité et le cas particulier de biens supérieurs qui varient dans la même proportion et le même sens que le revenu sont dits biens à élasticités de revenu unitaires η h = 1 . Biens inférieurs qui se distinguent par des demandes qui varient en sens inverses du revenu ou, ce qui revient au même, qui se caractérisent par un effet de revenu positif :

∂ xh ∂x < 0 ⇔ − xk h > 0; ∀k . A l’instar des biens supérieurs, les biens inférieurs se ∂ R ∂R composent de biens inférieurs normaux et de biens inférieurs dits de Giffen. La distinction entre les deux catégories est basée sur le signe de l’effet de prix ou la pente de la demande ordinaire directe qui sera analysée ci-après.

b) Les effets de substitution

 ∂ xh  λ Dhh < 0 . En effet,  = ∂ p D  h U

i) les effets de substitution directs sont toujours négatifs : 

la nature de la matrice H B (Hessienne bordée), qui est définie négative, fait que Dhh et D sont toujours de signes opposés. Si ph augmente, et en même temps le revenu R est ajusté pour maintenir u = constante , xh doit diminuer à cause de la forme convexe des courbes d’indifférence. ii) La matrice des effets de substitution croisés est toujours symétrique : l’effet de substitution de h pour k est égal à l’effet de substitution de k pour h

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Chapitre 1


24

 ∂ xh  (−1)k + h λ Dkh (−1)k + h λ Dhk  ∂xk  = =   =  . En effet, la symétrie de H B assure ∂ p D D ∂ p  k U  h U l’égalité des seuls termes différents entre les expressions de base, à savoir : Dkh = Dhk . Les effets de substitution croisés définissent les types des relations qui peuvent relier les deux biens concernés. Les biens h et k sont dits :

 ∂ xh   >0 p ∂  k U



« réellement » substituables si 



« réellement » complémentaires si 



« réellement » indépendants si 

 ∂ xh   <0  ∂ pk U

 ∂ xh   =0 p ∂  k U

On doit noter, cependant, que ces relations « réelles » ne sont pas directement déductibles à partir de l’observation du marché. Les fonctions de demande compensée sur lesquelles elles reposent proviennent, elles aussi, d’une déduction logique. C’est pourquoi, dans la pratique, on utilise le signe de la pente de la courbe de demande croisée ordinaire qui est observable mais dont l’effet de revenu peut fausser le sens de la vraie relation. On parle alors de relation apparente de substituabilité

∂ xh ∂ x > 0 , relation apparente de complémentarité si h < 0 ∂ pk ∂ pk ∂ x d’indépendance si h = 0 . ∂ pk si

ou relation apparente

iii) L’homogénéité de degré zéro des fonctions de demande ordinaire par rapport aux prix et au revenu assure l’homogénéité des fonctions de demande compensée par rapport aux prix. En effet nous avons établi plus haut que par la propriété d’homogénéité, les fonctions de demande ordinaire vérifient l’équation d’Euler : n ∂ xh ∂xh pk +R = 0; ∀h ⇔ ∑ ε hk + η h = 0; ∀h ; ∑ p R ∂ ∂ k =1 k =1 k n

de même par l’équation de Slutsky , nous avons :

∂ xh  ∂xh   ∂x = +  − xk h  ou  ∂ pk  ∂pk U  ∂R 

ε hk

= ε hk* − akη h

Soit, en remplaçant les effets prix par leurs expressions, on obtient : n  ∂ xh  ∂xh  ∂xh − xk +R = 0; ∀h ⇔ ∑ [ε hk* − akη h ] +η h = 0; ∀h pk   ∑  ∂R  ∂R k =1 k =1  ∂ pk U n

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Chapitre 1


25

et en développant :

 ∂ xh   n ∂xh  ∂xh p − p x + R = 0; ∀h ⇔   ∑ k  ∑ k k  ∂R ∂ p ∂ R 1 = k =1 k    k U n

n

et sachant que

∑ p x k

k

= R et

k =1

n

∑ k =1

pk (

n

∑a

k

 n  ε −  ∑ ak η h + η h = 0; ∀h ∑ k =1  k =1  n

* hk

= 1 , on obtient :

k =1

∂ xh ) = 0 ou, ce qui revient au même, ∂ pk U _

n

∑ ε

* hk

=0

k =1

qui est l’expression de l’équation d’Euler vérifiant la propriété d’homogénéité de degré zéro des fonctions de demande compensée. Elle s’énonce également sous l’assertion : « la somme des élasticités compensées de la demande du bien h par rapport à l’ensemble des prix des différents biens est toujours nulle ». Cette propriété permet de déduire d’autres conclusions importantes dont on peut citer à titre d’exemples :  lorsqu’un panier se compose uniquement de deux biens, ces derniers sont forcément substituables : ε11* + ε 12* = 0 et ε 11* < 0 ⇒ ε 12* > 0 . Autrement dit, on ne peut parler de complémentarité que pour des paniers se composant d’au moins 3 biens.  la substitution est toujours plus dominante dans les relations qui lient chacun des biens à l’ensemble des autres biens. En effet, considérons le bien 1, les relations qui le lient aux autres biens se définissent par les signes respectifs des effets de substitutions croisées ou des élasticités croisées compensées, dont n

la somme est forcément positive :

∑ ε

* hk

> 0 car ε < 0 et

k = 2

* 11

n

∑ ε

* hk

= 0.

k =1

iv) Les propriétés ii) et iii) assurent également la propriété suivante : n

∑ k =1

 ∂ xk   = 0 ou ∂ p  h U

pk 

_

n

∑ a ε k

* kh

= 0 qui exprime que la somme des valeurs des variations,

k =1

de l’ensemble des demandes compensées, en réaction à la variation d’un prix quelconque est toujours nulle. Ou, en partant de la seconde expression de cette propriété, les répercutions de la variation d’un prix quelconque sur les demandes compensées sont proportionnelles à leurs parts respectives dans le budget et se compensent globalement entre elles.

c) les effets de prix

Les effets de prix ou pentes des courbes de demande ordinaire (directe ou croisée) définissent les réactions des fonctions de demande aux variations marginales Mi cr oéconomi e


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Chapitre 1


26

(unitaires) des paramètres de base du modèle du consommateur : les prix et le revenu.  Les pentes par rapport à la variation du revenu ont été définies plus haut (au niveau des effets de revenu). Les pentes des courbes de demandes ordinaires directes sont généralement négatives ( pour tous les biens supérieurs et pour la majorité des biens inférieurs (dits normaux). Elles peuvent cependant être positives pour un sous groupe de biens inférieurs( dits de Giffen). Cette situation se produit lorsque l’effet de revenu (qui est positif pour les biens inférieurs) l’emporte sur l’effet



de substitution (toujours) négatif. − xh

∂ xh  ∂xh  >  . ∂ R  ∂ph U _



Les pentes des demandes croisées sont généralement de signes indéterminés et traduisent le type de relation apparente (substitution , complémentarité ou indépendance) qui peut exister entre les biens deux à deux. Ces relations sont présentées plus haut (au niveau des effets de substitution).



La décomposition des effets de prix permet également de comparer les élasticités des demandes ordinaires à celles des demandes compensées. La demande ordinaire sera plus élastique si l’ effet de substitution et l’effet de revenu sont de même signe. Dans le cas contraire, la demande compensée sera plus élastique.

1.1.5 La demande globale La demande globale ou demande de marché pour une marchandise donnée est obtenue par la sommation des demandes exprimées par l’ensemble des consommateurs et pour différents niveaux de prix. Supposons que le marché du bien h se compose de m consommateurs i . Chacun, en procédant par la maximisation de sa fonction d’utilité sous contrainte, exprime sa fonction de demande individuelle par : xih = xih ( p1 ,..., pn , Ri ) ; h = 1,2,..., n et i = 1,2,.. ., m . La demande globale pour le bien h s’exprime alors par : m

xh

= ∑ xih ( p1 ,..., pn , Ri ); h =1,2,..., n . i =1

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27

1 2 . 2 A d uale :: a analyse d d ans ll’ es pace d d es A p pr oche d valeur s Dans l’approche classique, on a considéré les prix et le revenu comme paramètres exogènes. Ces paramètres sont pris en compte pour déterminer les décisions qui portent sur les quantités ou demandes des différents biens. La pratique quotidienne révèle que les prix et le revenu, quoique déterminés de manière exogène, ne laissent pas indifférent les agents économiques, consommateurs et producteurs. Ils induisent des réactions positives ou négatives selon le sens de leurs variations . Ils influencent jusqu’au niveau de l’utilité réalisable, en passant bien évidemment par le niveau de la dépense nécessaire pour réaliser les différents niveaux de satisfaction. Pour s’en rendre compte, il suffit d’exprimer le niveau optimal atteint par les fonctions objectifs, en remplaçant les xh par leurs expressions optimales : (Demandes ordinaires ou marshalliennes) dans la fonction d’utilité et (demandes compensées ou hicksiennes) dans la fonction de dépense. On obtient ainsi des expressions en fonction des paramètres prix et revenu dans le premier cas et prix et utilité dans le second : *  U ( x1 ( p1 ,..., pn , R ) ,..., xn ( p1,..., pn, R ) ) ≡ V ( p1,..., pn, R ) , appelée fonction d’utilité indirecte qui exprime le lieu géométrique des maxima de satisfaction pour chaque donnée des prix et du revenu ( p1 , ..., pn , R ) n



D

*

= ∑ ph xh ( p1 ,..., pn , u ) = e ( p1,..., pn , u) , appelée fonction de dépense qui h =1

exprime le lieu géométrique des niveaux minima de la dépense nécessaire pour réaliser les différents niveaux u d’utilité.

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Chapitre 1


28

1.2.1 Propriétés et utilisation de la fonction d’utilité indirecte a) Propriétés 1) V (.) est une fonction continue par rapport aux prix (qui sont strictement positifs) et au revenu. 2) V (.) est non croissante par rapport à chacun des prix et non décroissante par rapport au revenu. 3) Pour chaque niveau de revenu, V (.) est une fonction quasi convexe en fonction des prix et, pour des prix donnés, elle est quasi concave en fonction du revenu. 4) V (.) est homogène de degré zéro par rapport aux prix et au revenu. Cette propriété est héritée des expressions des fonctions de demande. Elle indique l’indifférence du consommateur quant à l’unité de compte utilisée et son immunité face à l’illusion monétaire. Allures générales des courbes de l’utilité indirecte

p2

V ( p10 , p20 , R )

V ( p1 , p2 ) = u

1

V ( p1 , p2 ) = u

0

0

0

p1

R

b) Utilisation : identité de Roy La fonction d’utilité indirecte donne, de manière plus aisée et rapide, les expressions des fonctions de demande ordinaire. En effet, en prenant la différentielle de V (.) on a : n

dV

= ∑ Vh dph + VR dR h =1

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29

V (.) = u 0 = constante , qui a et sous les hypothèses de travail dpk ≠ 0 et dp j = 0 ∀j ≠ k et

été démontrée équivalente, pour le cas de variations infinitésimales, à : dR =

n

∑ x dp k

k

k =1

ou, encore, dR = xk dpk sous nos hypothèses, on obtient alors : dV (.) = du

0

= 0 = Vk (.) dpk + VR (.) dR = Vk (.) dpk + VR (.) xk dpk

ou encore : xk = −

Vk ( p1 ,..., pn , R) V R ( p1 , ,..., pn , R)

= xk ( p1 ,..., pn , R ) appelée identité de Roy, qui donne

directement l’expression de la fonction de demande ordinaire du bien k ; k =1,2,..., n

1.2.2 Propriétés et utilisation de la fonction de dépense a) Propriétés 1) e (.) est continue par rapport aux prix. 2) e (.) est non décroissante par rapport aux prix. 3) e (.) est homogène de degré un 1 par rapport aux prix. 4) e (.) est concave par rapport aux prix.

b) Utilisation La demande compensée ou (demande Hicksienne) pour un bien quelconque h est obtenue directement par simple dérivation de e (.) par rapport au prix de ce bien : xh ( p1 , ..., pn , u ) =

∂e (.) ; h =1,2,..., n , ∂ ph

qui découle directement de l’expression initiale de la fonction de la dépense minimale n

D

*

= e (.) = ∑ pk xk ( p1 ,..., pn , u ) k =1

La signification intuitive comme de cette demande compensée peut s’énoncer comme suit : si le prix d’un bien h augmente d’une unité monétaire, le maintien du consommateur sur la même courbe d’indifférence lui coûterait approximativement Mi cr oéconomi e


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Chapitre 1


30

xh unités monétaires additionnelles (pour pouvoir continuer d’acheter le panier

initial). Par ailleurs, la symétrie des effets de substitution est rendue presque triviale grâce à la propriété de la continuité de e (.) :

∂ xh ( p1 ,..., pn , u) ∂ 2 D ∂ 2 D ∂xk ( p1 ,..., pn , u) = = = ∂ pk ∂pk ∂ph ∂ph∂pk ∂ ph Remarque : Les fonctions de demande compensées ne sont pas observables (à cause de l’argument u qui ne l’est pas), pendant que les fonctions de demande ordinaires sont observables.

1.2.3 Dualité et mesure de la variation du bien-être L’approche duale du comportement du consommateur ouvre la voie vers de nouvelles perspectives pour l’analyse économique positive. En particulier, elle permet d’évaluer l’impact des politiques économiques (de prix ou de revenu) sur le bien-être des consommateurs. La mesure de cet impact est donnée par la variation de l’indice du coût de la vie du consommateur :

ICV t / 0

=

e ( p1 , p2 ,..., pn , u

). e ( p , p ,..., p , u ) 1

1

1

0

0 1

0 2

0 n

0

Or cet indice « pertinent » s’exprime en termes de niveau d’utilité qui est à la fois subjectif et non observable. D’où la nécessité de trouver des mesures alternatives capables d’approcher la valeur de cet indice. Parmi les indicateurs utilisés pour faire cette approximation, on peut citer la variation du surplus du consommateur, la variation compensatoire, la variation équivalente et la variation de la valeur des paniers de consommation qui permettent de réaliser le niveau de satisfaction initiale ( par la méthode de Laspeyres) ou finale (par la méthode de Paasche). La plupart de ces indicateurs utilisent les outils de calcul des découlent de l’approche duale : la fonction de dépense minimale et la fonction d’utilité indirecte.

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Chapitre 1


31

a) la variation du surplus du consommateur Pour simplifier supposons que le consommateur choisira entre deux biens : un bien X et le bien de Marshall M , représentatif de l’ensemble des autres biens. Le prix de X est p et le prix de M est unitaire, puisqu’il est exprimé en monnaie. A la situation initiale, tout le revenu du consommateur est sous forme du bien de Marshall. Soit m0 la quantité initiale de ce bien. Le point m0 appartient à une courbe d’indifférence de niveau u 0 = U ( 0, m 0 ) . A la situation d’équilibre final, le consommateur achète une quantité x* du bien X au prix p et conserve une quantité m1 de bien de Marshall. Au niveau de cette option de consommation ( x* , m1 ) , la

contrainte budgétaire du consommateur s’écrit alors : px* + m1 = R ou encore * 1 px = R − m : qui donne le montant dépensé dans l’achat du bien X . Calcul du surplus associé à cet équilibre

Considérons la courbe d’indifférence initiale u 0 = U ( 0, m0 ) , représentative d’une classe d’équivalence qui contiendra l’élément ( x, m2 ) tel que : U ( 0, m1 )  U ( x* , m 2 ) . Le maximum que ce consommateur serait disposé à payer pour avoir la quantité x* , est donné par p x = R − m ou, encore, p = * *

2

*

R − m x

*

2

=

p

*

( x ) qui donne le prix de la

demande « tout ou rien », une situation d’équivalence entre « l’achat » et « le non achat » de la quantité x* . Le surplus de ce consommateur est donné par la différence entre le maximum que ce consommateur serait disposé à payer R − m 2 et la valeur effectivement payée, R − m1 , en contre partie de la quantité x* . Sc = ( R − m 2 ) − ( R − m1 ) = m1 − m 2 . Il mesure la distance verticale entre les deux courbes d’indifférence u 0 et u1 . Illustration graphique du surplus du consommateur m E m

0

Surplus du consommateur

u1

1

m

m

u0

2

0

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x*

x


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p( x, u°) = ∫ [TMS xm ( x, u°) − p ]dx = ∫  − pdx = ∫ [ p( x, u°) − p]dx 1  0 0  0 x*

Exprimé autrement : Sc

32

x*

x*

Où : 

TMS xm : le taux marginal de substitution de X à M qui représente le seuil de



retrait ou de désistement du consommateur; i.e. le prix maximum que le consommateur serait disposé à payer et au-dessus duquel il préférerait s’abstenir (renoncer à l’achat). p ( x, u 0 ) est la fonction inverse de la demande compensée.

Remarque Cette approche nous a amené à introduire un nouveau concept très utile : la demande

« tout ou rien ». Nous avons vu plus haut que le prix p = *

R − m 2 x

*

=

p( x* ) donne le

prix unitaire maximum que le consommateur serait disposé à payer pour acheter la totalité de x* ; c’est donc un prix moyen maximum. En posant p ( x, u 0 ) = TMS xm ( x, u 0 ) , qui est la fonction inverse de la demande compensée, la fonction inverse de la demande

« tout ou rien »

s’écrit :

x*

∫ p( x, u )dx 0

p ( x, u ) = *

0

0

x

*

et puisque p ( x, u 0 ) est une fonction décroissante de x , on a :

p ( x, u 0 ) < p* ( x, u 0 ) .

En effet : p ( x, u 0 ) =

*

0

d [ xp ( x, u )] dx

=

p

*

( x, u ) + 0

xdp ( x, u

0

)

dx

p ( x, u 0 ) est la courbe marginale de p* ( x, u 0 ) . De même, p* ( x, u 0 ) est la surface au-

dessous de la courbe de demande compensée. Par conséquent, le surplus du consommateur traduit le gain associé à la disponibilité de la quantité x au prix moyen p* .

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Chapitre 1


33

Représentation graphique des courbes de demande compensée et « tout ou rien »

p A

AB = BC

p* ( x, u 0 )

C

demande « tout ou rien »

B

p ( x, u 0 ) demande compensée

x

0

b) Variation des prix et son impact sur le coût de la vie. Dans les études d’impact des variations de prix, il est plus approprié d’utiliser la fonction d’utilité indirecte et la fonction de dépense minimale qui s’expriment directement en fonction des prix. La fonction de dépense minimale permet d’apporter un éclairage sur la variation du bien-être. L’idée est tout à fait simple : Supposons une hausse de p1 qui passe de p10 à p11 ; les autres prix restant constants. Quelle serait la compensation qui, avec les nouveaux prix, permettrait au consommateur de se maintenir sur la même courbe d’indifférence initiale, u 0 ? La dépense minimale nécessaire pour réaliser u 0 passe de e ( p10 , p20 ..., pn0 , u 0 ) à e ( p11 , p20 ..., pn0 , u 0 ) . La variation de la dépense minimale nécessaire pour se maintenir

sur le même niveau d’utilité est : 1

p1

c = e ( p11 , p20 ..., pn0 , u 0 ) − e ( p10 , p20..., pn0 , u0 ) =

∂e( p1 , p2 ,..., pn , u) d ∫ p ∂ p1

p

1

0 1

1

p1

=

∫ x ( p , p ,..., p , u )d 1

1

0 2

0 n

0

1

0

p1

C'est donc la surface au-dessous de la courbe de demande directe compensée du bien 0 X 1 . Le maintien du consommateur sur u exige une dépense additionnelle d’un montant :

∆e = e ( p11 , p20 ..., pn0 , u 0 ) − e ( p10 , p20...,

0

pn , u

0

)

En effet sans cet effort additionnel, l'équilibre du consommateur serait situé sur une nouvelle courbe d'indifférence d'un niveau inférieur (par la hausse de p1 ). Par ailleurs, cette variation de la dépense minimale aurait pu être calculée en utilisant la fonction inverse de la demande compensée du bien X 1 , p1 ( x, u 0 ) ; on aurait ainsi obtenu : Mi cr oéconomi e


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Chapitre 1


1

34

1

p1

x1

∫ x ( p , p ,..., p , u )dp = ∫ p ( x , u ) dx 1

0

1

0 2

0 n

0

0

1

1

1

1

0

p1

x1

qui exprime, par référence au paragraphe précédent, une variation du surplus du consommateur, causée par la variation du prix p1 . Pour une variation simultanée de tous les prix, la variation compensatoire peut se calculer comme suit :

∆e = e ( p11 , p12 ..., pn1 , u 0 ) − e ( p10 , p 20..., p n0 , u 0 )  p  p 1 1 0  ∫ x1 ( p1 , p2 ,..., pn , u ) dp1 + ∫  p p 1 1

=

1 2

0 1

1

pn

x2 ( p1 , p2 ,..., pn , u ) dp2 + ... + 0

0

0 2

0

∫



xn( p1 , p2,..., pn, u ) dpn  0

0

0



0

pn

c) La variation compensatoire et la variation équivalente 1) La variation compensatoire ( CV ) C’est le montant maximum d’argent qu’on pourrait retirer (donner) à un consommateur, après un changement économique, tout en le laissant dans une situation aussi avantageuse que celle d’avant le changement. Pour un changement positif, c’est le montant maximum que le consommateur serait prêt à payer pour la réalisation du changement. Pour un changement négatif, c’est l’indemnisation minimale que le consommateur exigerait pour permettre le changement, soit: CV

= e ( p 0 , u 0 ) − e ( p 1 , u 0 )

2) La variation équivalente ( EV ) C’est le montant à verser ( ou à retirer) à un consommateur, comme alternative à un changement auquel il a droit, pour lui permettre de réaliser les mêmes résultats qu’avec le changement. Pour un changement positif, c’est la compensation minimale à verser au consommateur pour le manque à gagner de la non-réalisation du changement. Pour un changement négatif, c’est le montant maximum que le consommateur serait prêt à payer pour éviter le changement, soit : EV

= e ( p 0 , u1 ) − e ( p1 , u1 ) Mi cr oéconomi e


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Chapitre 1


35

On constateunesymétrie particulière entre les deux mesures. La vriation compensatoire associée au passage de p10 à p11 est identique à la variation équivalente du passage de p11 à p10 . Valeurs relatives des deux mesures CV et VE Pour les biens supérieurs, (courbes d’indifférences plus écartées du côté de l’origine et plus rapprochées à mesure que la quantité du bien augmente). La variation équivalente est plus grande que la variation compensatoire. Illustration graphique x2

0

= ( R − c ) / p20 = E0 D < E0 B < ( e − R ) / p 20 = EV

e / p2

CV

B

0

R / p2

E 1

D

0

c / p2

E 0 x1

0

d) Mesures utilisant la méthode des indices de Laspeyres et de Paasche La méthode de Laspeyres permet de déterminer la variation de la dépense nécessaire pour acheter un panier de consommation initiale suite aux variations des prix d’achat des différents biens : L =

n

∑x (p 0 h

h =1

1 h

− ph0 )

La variation du revenu qui permet d’achter le panier initial aux nouveaux prix est donné par : VL = − L =

n

∑x (p 0 h

h =1

0 h

− p1h ) .

De la même façon, la méthode de Paasche permet de calculer la variation de la valeur d’un panier de consommation final suite aux variations des prix des biens : P=

n

∑x (p 1 h

1 h

h =1

− ph0 ) .

Par conséquent la variation du revenu qui permet d’acheter ce panier final aux prix initiaux est VP = − P =

n

∑x (p 1 h

h =1

0 h

− p1h ) .

Le graphique ci après montre que : VL < CV < VE < VP .

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Chapitre 1


36

On reconnaît aisément que ces mesures correspondent à l’application de la méthode de Slutsky (conservation du pouvoir d’achat initial par Laspeyres et final par Paasche) pendant les variations compensatoire et équivalente découlent de l’application de la méthode de Hicks (conservation des niveaux d’utilité initial CV et final VE ). Rappelons par ailleurs, que pour des variations infinitésimales les compensations à la Hicks et à la Slutsky coïncident. Autrement dit, la méthode de Laspeyres donne le même résultat que la variation compensatoire et la méthode de Paasche donne le même résultat que la variation équivalente. Or l’application des méthodes de Laspeyres et de Paasche, qui reposent sur les observations du marché, est relativement plus aisée que les variations compensatoire et équivalente qui font intervenir la notion subjective du niveau de satisfaction. Représentation graphique des méthodes d’évaluation des variations de bien être du consommateur

x2 VP

VE CV

0 2

R / p

G

VL E 1

E 0

F

0

0

R / p1

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R / p11

x1


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(2012-2013)


Chapitre 2

Théorie de l’entreprise

2


2.0 Introduction

3

2.1 L’activité de production 2.2.1 Les inputs de l’entreprise 2.2.2 Formulation des relations de production a) Hypothèses relatives au domaine de production b) Définitions et propriétés des relations qui définissent la production. b.1 Techniques à proportions fixes ( à facteurs complémentaires) b.2 Les techniques à proportion variable (à facteurs substituables) c) Mesure de substitution entre techniques : Elasticité de substitution d) Les Coûts de production

4 4 5 6 6 7 15 20 21

2.3 Equilibre du producteur 2.3.1 Approche en deux étapes a) Minimisation de la dépense et fonction de coût : première étape Programme à optimiser Les conditions nécessaires de l'optimum Détermination des fonctions de demande conditionnelle des inputs Définition de l’expression du coût de production b) Maximisation du profit et fonction d’offre : deuxième étape 2.3.2 Approche en une seule étape a) La méthode par substitution b) La méthode du lagrangien

23 23 23 23 24 25 26 32 36 36 37

2.4 Variations au voisinage de l'équilibre de l'entreprise 2.4.1 Comportement des variables de décision de l’entreprise. a) Concernant la fonction d’offre de l’output b) Concernant les fonctions de demandes des inputs 2.4.2 Les rendements d’échelle et la profitabilité de l’entreprise a) Signification et apports des rendements d’échelle b) Rendements d’échelle dans le cas particulier de fonctions de production homogènes c) Profitabilité de l’entreprise

38 38 39 40 41 41 42 43

2.5 Notion d'offre du marché (offre globale)

43

2.6 Notion de surplus du producteur

44

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Chapitre 2


3


L’entreprise est une entité qui combine la technologie, les matières premières, la terre et le travail pour produire des biens ou services demandés par des usagers. Les biens ou services utilisés par l’entreprise sont appelés des inputs qu’elle peut produire ou acheter à d’autres entreprises, aux administrations ou aux ménages. Les biens ou services produits sont appelés outputs qui peuvent être utilisés par l’entreprise, par d’autres entreprises, par l’administration ou par les ménages (consommateurs). L'entreprise peut être assimilée à une "boîte noire" qui se situe entre deux types de marchés : les marchés des inputs où elle agit comme acheteur ; les marchés des outputs où elle intervient comme vendeur Entre les deux types de marchés, elle transforme les inputs achetés en outputs qu’elle offre à la vente. C’est cette transformation des inputs qui distingue une entreprise des ménages, qui sont des utilisateurs finals des biens ou services qu’ils achètent alors que l’entreprise en fait un usage intermédiaire. L’entreprise doit donc élaborer des stratégies de prise de décision adaptées à chaque type de marchés : Dans les marchés d’inputs , les décisions concernent le choix des combinaisons des inputs à employer pour produire les outputs désirés. Il s'agit donc de choix des technologies efficaces à employer. Celles-ci se définssent à travers la détermination des fonctions de demande des inputs. Dans les marchés d’outputs , les décisions concernent la détermination de la nature et des niveaux des biens ou services à produire et des stratégies commerciales, éventuelles, à adopter pour vendre ces outputs. Dans une économie de marché, les décisions sur les deux marchés sont guidées par la poursuite des intérêts de l'entreprise. En général, ces intérêts se résument dans l’objectif de maximisation du profit, en tant que finalité ultime de l’activité de l’entreprise. Ce sont les revenus attendus qui motivent l’action d’entreprendre. Ces revenus permettent aux propriétaires de l’entreprise d'acheter les biens et services aptes à satisfaire des besoins ou à procurer de l’utilité. La maximisation du profit est une résultante d’interventions qui se passent en deux étapes : Dans une première étape , les décisions concernent les marchés des inputs et sont guidées par l’objectif de minimisation des dépenses, une condition nécessaire à la maximisation du profit ,

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Dans une seconde étape , axée sur les marchés des outputs, la maximisation des recettes est l’objectif de référence pour déterminer le choix effectif des niveaux des outputs à produire qui peuvent dépendre, selon la stratégie de commercialisation adoptée (passive ou active), des prix de vente. En attendant de revenir, avec plus de détails sur ces deux étapes, commençons par formaliser l'activité de production.

2.1 L’ act ivit é d d e pr od uct ion Pour préciser comment les entreprises produisent des biens et services, on fait l'hypothèse simplificatrice que chaque entreprise produit un seul output (bien ou service). C’est une hypothèse tout à fait réaliste dans la majeure partie des cas. Néanmoins, les possibilités d’outputs multiples peuvent être rencontrées chez la même entreprise. A titre d’illustration, on peut citer l’activité d’élevage qui peut permettre la production de la viande rouge, des produits laitiers, du cuir, de la laine, etc. L’assimilation de l'activité de production à une " boîte noire " qui décrit la technologie de production comme une relation qui lie les quantités d'inputs utilisés aux quantités de l’output produit permet d'éviter d'expliquer le processus plus ou moins complexe du fonctionnement de la technologie et, de centrer l’attention sur les aspects économiques des relations qui existent entre les inputs et l’output. Aussi, peut-on représenter ce processus de production type par une relation qui transforme un vecteur d'inputs en une quantité d'output.

2.2.1 Les inputs de l’entreprise Selon le degré de leur variabilité avec le niveau de l’output, les inputs utilisés par les entreprises se répartissent en trois catégories plus ou moins distinctes : 1. les inputs dont la quantité utilisée change proportionnellement avec niveau de l’output, tels que les matières premières, les services de location des équipements, etc., sont appelés inputs variables et notés xh ; h =1,2,..., n , 2. les inputs qui varient en escalier, tel le nombre de contremaîtres qui varie avec le nombre d’équipes, etc., sont appelés inputs semi variables et désignés par vh ; h = n + 1, n + 2,..., L ,

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3. les inputs qui ne changent pas avec le niveau de production, tels que la direction de l’entreprise, le local utilisé, etc., sont appelés inputs fixes et notés zh ; h = L + 1, L + 2,..., N , Ainsi, si l’on désigne par ph , r h et wh les prix respectifs des inputs variables, semi variables et fixes, la dépense totale de l’entreprise aura pour expression : D =

n

L

∑ p x + ∑ rv h

h

h h

h =1

h = n +1

N

∑wz

+

h

h

h = L +1

Le terme de l’analyse se définit généralement en relation avec le degré de cette variabilité, aussi dira-t-on que l’analyse est : De court terme lorsque l’entreprise ne dispose pas de suffisamment de temps pour faire varier les inputs semi variables et à fortiori les inputs fixes, De moyen terme lorsque l’entreprise dispose de suffisamment de temps pour faire varier les inputs semi variables sans toutefois être en mesure de faire varier les inputs fixes, De long terme lorsque l’entreprise est mesure de faire varier tous ses inputs; La capacité d’adaptation, qui est presque nulle à très court terme, devient totale à long terme. L’efficacité de l’entreprise est fortement influencée par cette capacité d’adaptation. La perspective adoptée pour la majeure partie de notre analyse est le court terme. Le long terme sera à peine effleuré et de manière très sporadique. Par conséquent, sauf mention contraire, toutes les composantes, des vecteurs v et z , seront considérées constantes et représentées par la valeur globale de leurs achats (appelée dépense fixe ou coût fixe).

2.2.2 Formulation des relations de production Le nombre d'inputs variables utilisés par l'entreprise, dans une perspective de court terme étant n , soit x le vecteur des quantités de ces inputs, et y la quantité de l’output Y produit. A l’image de la fonction d’utilité du consommateur, la fonction de production permet de définir une série de domaines. Soit

n

F : R+

→ R telle que

( ) = F ( x , x ,..., x ) , 

y = F x

1

2

n

qui désigne la fonction de

production donnant la quantité maximum d'output, y , que l'entreprise peut produire 

à partir des quantités x d'inputs, alors : 1. Le domaine de production de l'entreprise est : P ( y, x ) = {( y, x ) ∈ R.R+n y ≤ F ( x )}

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2. Le domaine des exigences d'inputs est : V ( y ) = { x ∈ R+n F ( x ) ≥ y} . Pour définir le domaine des exigences d'inputs, on fixe un niveau d'output et on détermine les combinaisons d'inputs qui permettront de produire au moins ce niveau fixé. 3. Le domaine des isoquants est : Q( y ) = { x ∈ R+n y = F ( x )} . Il définit l'ensemble des combinaisons d'inputs qui permettront à l'entreprise de produire un niveau donné y de l'output.

a) Hypothèses relatives au domaine de production Trois hypothèses fondamentales sont faites au sujet du domaine de production : h1 : 0 ∈ P( y, x) et P ( y, x ) ≠ ∅ (l'inaction est une activité de production et, par conséquent, l'ensemble des possibilités de production est toujours non vide). h2 :

1 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) = x1 > x 2 = ( x1, x2 ,..., xn ) ⇒ F ( x1 ) > F ( x 2 ) . (les inputs sont

toujours productifs ; c’est-à-dire, plus d'inputs engendre plus de production) h3 : F est une fonction continûment dérivable au moins jusqu'au second ordre. Généralement, ces hypothèses sont renforcées par d’autres dont on peut citer en particulier : h4 : Le domaine de production P y, x est convexe (voire, strictement convexe). ( ) '

h4 : Le domaine V y des exigences en inputs est convexe pour tout niveau de ( )

production y (strictement convexe). La convexité du domaine V ( y ) est une hypothèse de convenance semblable à l'hypothèse de convexité des courbes d'indifférence du consommateur. Elle garantit l'unicité des solutions, éventuelles, aux problèmes d'optimisation. L'hypothèse de convexité du domaine de production P ( y, x ) a, par contre, une signification économique. Elle a des implications implicites sur les rendements d'échelle attribuables à la technologie (fonction de production) utilisée. Les rendements d'échelle indiquent comment la taille de l'activité de production peut affecter la productivité de la technologie utilisée.

b) Définitions et propriétés des relations qui définissent la production. La fonction de production qui constituera le fondement essentiel de tout l’édifice de la théorie du producteur est, elle-même, basée sur un concept tout aussi essentiel : la technique (ou la technologie ou le savoir-faire) dont la maîtrise constitue la clé d’entrée à l’activité de production. Généralement on distingue deux types de

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techniques : la technique à proportion fixe et la technique dite à proportion variable (qui représente en fait un ensemble de techniques)

b.1 Techniques à proportions fixes ( à facteurs complémentaires) Ces techniques définissent le mode de fabrication d’une unité d’output. C’est-à-dire, les quantités élémentaires des différents inputs nécessaires pour produire une unité de l’output. Si ah est la quantité de l’input h; h =1,2,..., n , qu’exige la production d’une unité de Y : Une technique peut être représentée par le vecteur : T ≡ [ −1, a1 , a2 ,..., am ] ou, encore, T ≡ [1, − a1 , − a2 ,..., − am ] . La différenciation des signes a pour seul but de distinguer entre les inputs et l’output. De même, m techniques alternatives pour produire une unité de Y peuvent être représentées par :

T

 −1 −1 a a  11 12  a21 a22  = T 1 , T 2 , ..., T m  =  . .  . .  .  . a a  n1 n 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

−1   a1m  a2 m   .  .   .  anm 

La fonction de production associée aux techniques à proportions fixes est connue sous le nom de fonction de production de Leontief qui s’exprime par :

 x1

y = min 

 a1

,

x2 a2

,...,

xn 



an 

Elle indique que le volume de production est déterminé par la plus petite des proportions, c’est-à-dire, par le facteur relativement le plus rare. Ce facteur est qualifié de limitatif. Cas de 2 inputs X 1 , X 2 et 1 output Y Soit T la matrice des techniques utilisables par une entreprise qui utilise deux facteurs

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T


 −1 −1 = T 1 , T 2 ,..., T m  =  a11 a12 a a  21 22

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−1   a1m  a2m 

. . . . . . . . .

L’emploi de m techniques signifie que l’entreprise peut produire son output Y par l’une quelconque (une seule) des m techniques, ou par l’utilisation simultanée d’un sous ensemble choisi parmi les m techniques; ces sous-ensembles seront formés de 2 , 3 , ... , voire de l’ensemble des m techniques. Le nombre théorique des possibilités offertes, si l’on écarte l’éventualité de production sans aucune technique, est = ( 2m − 1) . En pratique, cependant, la rationalité économique peut rendre inefficace l’utilisation de certaines de ses possibilités théoriques. Les développements qui suivent permettront de clarifier cette idée. Cas de l’utilisation d’une seule technique j; j =1,2,..., m

 x1 x1 x < 2 ⇒ X1 est limitatif  ⇔ a1 j a2 j  a1 j  x1 x2   x1 x2 ⇔ X1 et X 2 sont tous les deux limitatifs , y = min  = = a a a a 2j  1 j 2 j   1 j  x x x  2 ⇔ 2 < 1 ⇒ X 2 est limitatif a2 j a1 j  a2 j

La représentation graphique se présentera comme suit : pente =

x2 x1 a1 j

<

x2 a2 j

a2 j a1 j

⇒ X 2 limitatif x1 a1 j

=

x2 a2 j

X 1 et X 2 sont limitatifs x2 a2 j

<

x1 a1 j

⇒

X 1 est Limitatif

0

x1

De même, les isoquants se présentent sous la forme d’angles droits ayant leurs sommets situés sur la droite passant par l’origine et dont la pente est définie par la Mi cr oéconomi e


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proportion fixe qui définie la technique de base de la fonction de production Leontief : Allure graphique des isoquants

x2 pente =

a2 a1

1

y y

0

x1

0

Cas de 2 techniques j et s Cette situation donne 3 possibilités pour l’entreprise ( 22 − 1 = 3) . Elle peut produire avec : j T seule, s

T seule T j et T s ensemble.

Les deux premiers cas nous ramènent au cas précédent. Il nous reste donc à présenter le troisième cas en précisant : les relations qui déterminent la répartition de l’espace des inputs en zones d’influence de l’une, de l’autre ou de l’ensemble des deux techniques ; l’expression analytique et l’allure graphique des isoquants de la fonction de production Leontief. Délimitations des sous espaces La configuration de l’option (T j ou T s ) ou encore (T j  T s ) peut se traduire par :

  x1 x2     x1 x2   min , min = ∪ = y y      a , a  a a  1s 2 s     1 j 2 j   

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 a2 s a2 j  Dont la représentation graphique, pour le cas  : >  a1s a1 j    s

x2

T II

j

I

T

III

IV

s

x2

V

j 2

x

0

x1 = x1 s

j

x1

Le tracé des droites représentatives des deux techniques décompose l’espace des inputs en 5 sous ensembles ou «zones d’influence » de l’une, de l’autre ou des deux techniques : 1. Cas I : 2. Cas II :

x1 a1 j

<

x1 a1 j

x2 a2 j

<

et

x2

x1 a1 s

et

a2 j

< x1

a1s

x2

⇒ X 1 est limitatif pour chacune des deux techniques

a2 s

x2

=

a2 s

⇒ X 1 est limitatif pour T j et, ( X 1

et X 2 ) tous deux

limitatifs pour T s . 3. Cas III :

x1 a j

<

x2

et

a2 j

x1 a1s

>

x2 a2 s

⇒ X 1 est limitatif pour

j T et, en même temps , X 2

limitatif pour T s . 4. Cas IV :

x1 a1 j

=

x2

et

a2 j

x1 a1 j

>

x2 a2 j

⇒ ( X1

et X 2 ) tous les deux limitatifs pour T j et

s X 2 limitatif pour T .

5. Cas V :

x1 a1 j

>

x2 x2 j

et

x1 a1s

>

x2 a2 s

⇒ X 2 est limitatif pour les deux techniques

j s T et T .

Tant que l’appréciation de rareté relative des inputs n’est pas contradictoire, la stratégie optimale imposera l’adoption d’une seule technique pour la production de l’output Y . Intuitivement la technique la plus adaptée sera celle qui économise le facteur rare (ou encore, la plus intensive en input abondant). Autrement dit, dans les zones I et II où le facteur X 1 est limitatif, la technique T s est plus efficace que T j :

 a1s a1 j a  a ou, encore, 2 s > 2 j  et le niveau optimal de production sera déterminé <  a1s a1 j   a2 s a2 j

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par y =


x1 a1s

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. De même, dans les zones IV et V , pour des raisons similaires, la

technique T j est plus efficace et le niveau de production sera donné par y =

x2 a2 j

.

Par contre, lorsque les appréciations de la rareté relative des facteurs est différente selon la technique de référence, comme c’est le cas dans la zone III , l’utilisation simultanée des deux techniques est plus efficace. La combinaison des deux techniques permettra un volume d’output plus élevé que les maxima accessibles par l’utilisation d’une seule des deux techniques. Pour démonter ce résultat, on s’appuiera sur la méthode graphique, en centrant l’attention sur la zone III qui se  x a  a x x x  caractérise par la relation :  1 < 2 et 1 > 2  ⇔  2 j x1 < x2 < 2 s x1  : a1s a2 s  a1s   a1 j a2 j  a1 j

Construction d’isoquants pour le cas de 2 techniques y

x2

0

y1

s

T II

C A

x2

y

E 2 B 2

s

y A

E

x x

0

0

A ' D T

= x2D

III

B '

j

0

T IV

y

B A

x1 x1 E x1 B

1

y

= x1D

C '

0

x1

Considérons les quantités d’inputs ( x1 D , x2D ) qui permettent le même niveau de production y 0 par chacune des deux techniques T s et T j . Les isoquants correspondantes sont présentées par les angles droits ayant leurs sommets respectifs en A et B . Peut-on produire un niveau d’output supérieur par l’utilisation des deux techniques ensemble? Considérons le segment [ AB ] qui joigne les sommets des isoquants de niveau y 0 . Son équation peut s’écrire sous la forme α x1 + β x2 = c . En particulier , on peut fixer c au même niveau de production y 0 donné par A et B . De sorte que : Mi cr oéconomi e


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en A , on a : α x1 A + β x2A = y 0 en B , on a : α x1 B + β x2B = y 0



a2 s



a1s

Or dans les zones II et IV , on a respectivement  x2 =





a2 j





a1 j

x1  et  x2 =



x1  . Par



conséquent :

 0 x1 A x2A  au point A ∈ II on a :  y = =  ⇔  x1 A = a1s y 0 et x2A = a2s y 0  a1s a2 s    0 x1 B x2B  au point B ∈ IV on a :  y = =  ⇔  x1 B = a1s y 0 et x2B = a2 s y 0  a1s a2 s   Soit en remplaçant les  xhk ; h = 1, 2; k = A, B  par leurs expressions dans l’équation générale, on obtient un système linéaire qui permet de calculer α et β en fonction des paramètres définissant les proportions fixes des techniques : a2 j − a2 s  = α  a1s a2 j − a1 j a2 s α (a1s y 0 ) + β (a2 s y 0 ) = y 0 α a1s + β a2 s = 1  ⇔ ⇒  0 0 0 + = α β 1 a a + = α ( ) β ( ) a y a y y j j 1 2  2j  β = a1s − a1 j  1 j  a1s a2 j − a1 j a2 s 

Par conséquent l’équation du segment [ AB ] est : y =

a2 j − a2 s a1s a2 j − a1 j a2 s

x1 +

a1s − a1 j a1s a2 j − a1 j a2 s

x2 =

( a2 j − a2 s ) x1 + (a1s − a1 j ) x2 a1s a2 j − a1 j a2 s

L’équation de l’isoquant est, par conséquent, de la forme :

 x1 (a2 j − a2 s ) x1 + ( a1s − a1 j ) x2 x2  , ,  − a a a a a a2 j  1s 2 j 1 j 2s  1s

y = min 

Dans la zone III , l’usage simultané des deux techniques est plus efficace. En effet, avec les mêmes ressources données par le complexe d’inputs D , on peut produire plus, ( D se situe sur un segment parallèle à [ AB ] et de niveau y1 tel que y1 > y 0 ). On peut également produire la même quantité, y 0 , avec moins de ressources (le point E qui donne le même niveau d’output y 0 est nettement inférieur à D ). Bien plus, dans la zone III , la production se fait sans aucun gaspillage (excédents) des deux inputs.

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Cas de 3 techniques Appelons, sans perdre de généralité, par T = T 1 , T 2 , T 3  l’ensemble de ces trois techniques, l’entreprise peut utiliser l’une quelconque des 3 techniques, deux ( 2 ) quelconques parmi ces 3 techniques ou, utiliser toutes les 3 techniques en même temps soit 7 situations possibles C31 + C32 + C 33 = 3 + 3 + 1 = 2 3 − 1 = 7  . Par application de la même démarche que pour le cas de 2 techniques,

 a21

l’allure graphique d’une isoquant pour le cas 

 a11

T 1

x2

>

a22 a12

>

a23 

 est de la forme :

a13 

2

T

M

3

T

A D

x2

B

x2

D

y

B C

0

D B x1 x1

x1

Quoique que formellement, sous l’emploi des trois techniques simultanément, les possibilités de répartition de la production entre les trois techniques couvrent la totalité de la surface du triangle ABC , qui est le lieu géométrique de la moyenne pondérée des quantités partielles produites par chacune des 3 techniques, la rationalité économique réduira cette surface à la seule frontière, dite « Sud-ouest», formée par les segments [ AB ] et [ BC ] . Ce qui élimine, par la même logique, le segment [ AC ] , c’est-à-dire, la possibilité de combiner les deux techniques extrêmes T 1 et T 3 .

Le raisonnement utilisable pour établir la supériorité de cette frontière est très simple. En effet, tous les points du triangle permettent le même niveau d’output y . Ils exigent des quantités différentes d’inputs. Par conséquent, en balayant la surface du  triangle par un vecteur OM , il est aisé de constater que tous les points appartenant à  l’intersection de OM avec le triangle ABC sont dominés par le point d’intersection de  OM avec le segment [ AB ] ou avec le segment [ BC ] . Par ailleurs, par l’application de la méthode utilisée pour le cas de deux techniques on déduit les expressions partielles :

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sur le segment [ AB] : y = sur le segment [ BC ] : y =

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( a22 − a21 ) x1 + ( a11 − a12 ) x2 a11a22 − a12 a21

(a23 − a22 ) x1 + ( a12 − a13 ) x2 a12 a23 − a13a22

,

et l’expression générale de l’isoquant se présentera alors sous la forme :

 x1

y = min 

 a11

,

(a22 − a21 ) x1 + ( a11 − a12 ) x2 ( a23 − a22 ) x1 + (a12 − a13 ) x2 x2  , ,  a11a22 − a12 a21 a12a 23 − a13a 22 a 23 

De ces cas particuliers, on peut généraliser au cas de m techniques : L’allure graphique se présente alors comme suit :

x2

T 1

2

T

3

T

m −1

T

m

T

0

x1

L’expression de l’isoquant se détermine, elle aussi, de la même manière que pour le cas de 3 techniques. On détermine les expressions partielles pour chaque segment situé sur la frontière efficace «Sud-ouest» en appliquant la même règle de calcul, en adaptant les indices des paramètres à ceux des deux techniques concernées et en respectant, évidemment, l’ordre des techniques en allant de gauche à droite (ou de droite à gauche) pour tous les couples de techniques. Remarque : Quel que soit le nombre global des techniques alternatives disponibles, le point solution optimale appartiendra toujours à un sous segment de la frontière efficace. C’est-à-dire, le nombre efficace de techniques utilisables en même temps ne peut jamais dépasser 2 si la rationalité économique est de rigueur ! Lorsque le nombre de techniques alternatives disponibles augmente indéfiniment, les sous segments reliant les couples efficaces des techniques se réduisent à des points et

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la courbe isoquant prend la forme de celle qui découlerait de l’emploi des techniques à proportion variable (ou à facteurs substituables).

b.2 Les techniques à proportion variable (à facteurs substituables) Elles se caractérisent par la possibilité presque infinie de procéder à des substitutions entre inputs pour produire le même output. La capacité d'adaptation de l'entreprise est d'autant plus grande que cette substitution est plus aisée. A la limite, les inputs deviennent parfaitement homogènes lorsqu'on parvient à les substituer à un taux constant. La relation de substitution est alors définie par une droite linéaire décroissante. On peut penser au taux de conversion des températures de l'échelle Celsius à l'échelle Fahrenheit. Cette situation de substitution parfaite se trouve à l'extrême opposé de la situation où n'existe qu'une technique unique à proportion fixe (cas des inputs complémentaires). La réalité se trouve, heureusement, entre ces deux extrêmes. La substituabilité et la complémentarité peuvent jouer ensemble pour assurer plus de réalisme à l'activité de production. Rappelons que la formulation générale d’une technique à proportion variable est  F ( a1 , a2 ,..., an ) = 1 et dont la seule différence avec la formulation de la fonction de production, y = F ( x1 , x2 ,..., xn ) , réside dans le niveau de l'output qui est, par définition unitaire pour la technique et, quelconque pour la fonction de production. En partant de l'expression de la fonction de production, nous pouvons, dans le cadre d'une approche partielle, considérer les relations ou fonction de productivités. Les relations de productivité L'analyse de la production utilise fréquemment trois concepts associés aux variations d’un input : la productivité totale, la productivité moyenne et la productivité marginale de l’input h; h =1,2,..., n . 1. La productivité totale physique de h est : PTh = F ( x1 , x2 ,..., xh−1, xh , xh+1.... xn ) ; 2. La productivité physique moyenne de h est : PM h = 3. La productivité marginale physique de h est : Pmh =

F ( x1 , x2 ,..., xn ) xh

∂F ( x1 , x2 ,..., xn ) ∂ xh

La productivité physique marginale de l’input h mesure les effets sur la production d’un accroissement unitaire de l'utilisation de l'input h , tous les autres inputs restant fixes.

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Généralement, on fait l’hypothèse de la décroissance des productivités marginales :

∂Pmh ∂ 2 F ( x1 , x2 ,..., xn ) = < 0; h = 1,2,..., n 2 ∂ xh ∂xh Cette hypothèse, tout à fait naturelle, établit qu'à mesure que l’on augmente l’utilisation de n'importe quel input, en maintenant tous les autres inputs constants, la productivité de cet input diminue. Car si non, avec un seul hectare on peut nourrir la planète tout entière en mettant tout le monde au travail sur ce même hectare ! Le graphique ci-dessous illustre ce concept pour une technologie qui commence par exhiber des rendements d’échelle croissants avant de passer à une situation de rendements d’échelle décroissants Allure générale des courbes de productivité y PTh ( xh )

0

0

xh

xh

y PM h ( xh ) Pmh ( xh )

0

xh

xh2

xh

Dans ces graphiques, xh0 est le point où la fonction de productivité marginale atteigne son maximum, c’est-à-dire, le point où commence la décroissance de la productivité marginale. Le point xh2 qui correspond au maximum de productivité totale, donne le seuil maximum d'utilisation de l'input h , à partir duquel la productivité marginale devient négative. Le point x1h est le point où la productivité moyenne atteint son maximum. Le graphique inférieur montre que la courbe de la productivité marginale coupe la courbe de la productivité moyenne au point maximum de cette dernière . On peut prouver que c'est toujours le cas en établissant la condition du maximum de la productivité moyenne.

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17

 PT h   x h  x h Pmh − PT h ∂PM h PT h  =0⇔ = = ⇔ = = PM h 0 Pm h 2 ∂ xh dxh x h x h d 

Déplacement de la courbe de productivité totale par la variation du facteur fixe La productivité totale se définit par rapport à un input en maintenant tous les autres inputs constants. Il s’agit donc d’analyser l’impact da la variation de ces niveaux constants, qui sont quelconques a priori sur la productivité de l’input variable. Dans le cas de deux inputs, X 1 et X 2 , pour un niveau donné de l’input variable X 1 , on peut faire varier le volume de l’output en faisant varier le facteur constant. La forme de la réaction du volume de l’output dépendra du type de relation qui lie les inputs entre eux. Le résultat obtenu sous la complémentarité des inputs sera différent de ceux qu’on obtiendra avec une relation de substitution ou d’indépendance. En ≥ effet puisque cette réaction est, a priori, indéterminée on a : F 12 0 et par conséquent : < 1. Si l’accroissement de X 2 , réduit la productivité marginale de X 1 , F 12 < 0 , alors X 2 , dont l’accroissement provoque les mêmes effets qu’aurait produit un accroissement de X 1 , est substituable à X 1 dans une optique de production variable (le niveau de l’isoquant change avec le volume de l’output) ; 2. Si, au contraire, cet accroissement de X 2 augmente la productivité de X 1 , F 12 > 0 ,il libère le potentiel productif de ce dernier et par conséquent X 1 et X 2 sont complémentaires dans une optique de production variable 3. Si l’accroissement de X 2 est sans effet sur la productivité de X 1 , F 12 = 0 , les deux inputs deviennent indépendants dans une optique de production variable. Ces relations peuvent être illustrées comme suit :

PT 1

PT 1

PT 1 1

x 0

x x

0

x 2

0

x1 Complémentarité

1

x 2

1 2

0

Mi cr oéconomi e

Substitutio x1

0

x 2

0 2

0

Indé endanc x1


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Chapitre 2


18

Domaines des variations optimales des inputs La variation de l’input h présente 3 phases caractéristiques : 1. Une première phase où la productivité moyenne est croissante 2. Une deuxième phase où « la productivité moyenne est décroissante et la productivité marginale est positive » 3. Une troisième phase qui prolonge la deuxième mais avec une productivité marginale négative. La troisième phase est manifestement inefficace. Aucune entreprise n’acceptera de payer pour une unité additionnelle d’un input, dont l’utilisation aura pour effet de réduire le niveau d’output déjà atteint. De la même manière, on démontre que la première phase est inefficace. La raison est que le niveau réduit de l’input est insuffisant pour une utilisation efficace d’au moins un autre input. En effet, si l’on se place dans le cas de 2 inputs et d’une fonction de production homogène linéaire ( homogène de degré 1), dont l’emploi est très fréquent en analyse économique, par l’équation d’Euler on a : F1 x1 + F2 x2 = y ou, en divisant par y et en remplaçant les expressions obtenues, on obtient les formules équivalentes :

F1 y / x1

+

F2 y / x2

=

Pm1 PM1

+

Pm2 PM 2

= ε yx + ε yx = 1 . 1

2

Dans la phase I de chacun des facteurs h , on a : Pmh PM h

= 1−

Pmk PM k

2 ≤ ≥ 1; h ≠ k = 1,⇔

Pmk PM k

0 ≤ Pmk ⇒

0

puisque

PM k

est

toujours

positive. Donc sur la première phase de variation d’un input, la productivité marginale de l’autre input est négative.

y

PM h ( xh ) Pmh ( xh ) I

0

Mi cr oéconomi e

II xh

III xh2

xh


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Chapitre 2


19

On peut également illustrer cette réalité graphiquement par : x2

I I I

x2

Pm2

x 2

PM 2

Zone efficace

x 2

I

Productivités

0

I I I

III x1

0

x1

x1

P r o d u c t i v i t é s

PM 1 Pm1

0

I

II

III

x1

Cette représentation graphique nous montre la correspondance symétrique qui existe entre les phases de variation des inputs. La phase I de l’input X 1 correspond la phase III de l’input X 2 et inversement. Et, chose encore plus intéressante, la portion efficace de la courbe isoquant correspond à la phase efficace II de chacun des inputs : { xh ≥ Pmh ≥ 0; ∀h} . Dans le cas de fonctions de production homogènes de degré ρ ≠ 1 , la zone de définition des variations efficaces des inputs subit des expansions ou des rétrécissements en fonction de la valeur de ρ . En effet, l’équation d’Euler appliquée précédemment nous donne : F1 x1 + F2 x2

= ρ y ou

Pm1 PM 1

+

Pm2 PM 2

= ε yx + ε yx = ρ ⇒ Pmk ≤ 0 ⇔ 1

2

Pmk PM k

≤0⇔

Pmh PM h

≥ ρ

Par conséquent, la phase II commencera avant (après) le point d’intersection des courbes de productivités pour les valeurs de ρ > 1 ( ρ < 1) . Elle sera plus étendue dans le premier cas ρ > 1 et plus réduite dans le second cas ρ < 1 . Exemples de fonctions de production La fonction de production de type Cobb-Douglas pour 2 inputs est définie par : y = Ax1α x2β avec α + β ≤ 1 et A > 0 Le schéma ci-dessous montre l'allure graphique de la fonction de production pour le cas α + β = 1 , ainsi que les ensembles V ( y ) et Q ( y ) . Les isoquants peuvent être déterminés analytiquement en fixant y dans l'expression de la fonction de production et en exprimant x2 en fonction de x1 : x 2

Mi cr oéconomi e

 y  =  α   Ax1 


1 β

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20

Allure graphique d'une fonction de production y y

Contour d'une coupe à un niveau y 0

0

x1

Contour projeté dans le plan x1 0 x2

0 V ( y)

Q ( y)

x2

c) Mesure de substitution entre techniques : Elasticité de substitution Dans le cas de deux inputs quelconques h et k , une technique se définit par le rapport de ses inputs,

xh xk

, et par les possibilités de substitution entre ces inputs sur un

isoquant donné. Ces possibilités de substitution se mesurent par le taux marginal de substitution technique : TMST kh = −

dxh dxk

=

F k F h

et par l’élasticité de substitution qui mesure

la capacité de transformer des possibilités de substitution entre inputs en changements technologiques (changements de la technique utilisée). L’élasticité de substitution indique la capacité d’adaptation de la technologie utilisée. Elle se définit par : σ =

d ( xh / xk ) / ( xh / xk ) d ( − dxh / dxk ) / k ( − dxh / dx )

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=

d ( xh / xk ) / ( xh / x k )

d ( Fk / Fh ) / ( Fk / Fh )


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Chapitre 2


Illustration graphique des variations explicatives de xh

21

σ

( xh / xk )

( xh / xk ) ( −dxh / dxk ) ( −dxh / dxk )

xk

Pour une fonction de production de Leontief ( à proportion fixe), on a d ( xh / xk ) = 0 et par conséquent, σ = 0 ; Pour une fonction linéaire, on a : − dxh / dxk = constante et , par suite, d ( − dxh / dxk ) = 0 et σ=∞

Entre ces deux situations extrêmes, se situent tous les autres cas de fonctions de production utilisées. On peut citer, en particulier, la fonction de production de type Cobb-Douglas dont l’élasticité de substitution est : σ = 1 . Illustration graphique de la relation entre la forme de l’isoquant et la valeur de σ

xh

σ = 0 σ 1 σ 2 > σ 1 σ = ∞ 0

xk

d) Les Coûts de production On distingue deux types de coûts de production : coûts explicites et coûts implicites : Les coûts explicites sont liés aux dépenses comptables qui couvrent toutes les charges courantes de l'entreprise : achat des différents inputs tels que le travail, les matières premières, les loyers éventuels liés à l'utilisation des terrains, des locaux ou des équipements, ainsi que le paiement d'intérêts sur les emprunts utilisés pour

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22

financer les achats de ces ressources d'input. Ce sont donc toutes les dépenses qui apparaissent directement sur le bilan de l'entreprise. Les coûts implicites sont les coûts d'opportunité. Le coût d'opportunité de l'emploi d'une ressource donnée dans la production est la valeur maximum que la ressource aurait pu avoir dans la meilleure utilisation alternative. L'utilisation des biens d'équipement peut nous fournir une illustration simple de cette idée. Une entreprise qui possède une machine ne va rien payer pour l'employer, excepté les frais de fonctionnement et d'entretien habituels. Pendant que le coût réel d'utilisation de cette machine par l'entreprise doit englober, en plus de ces frais, le montant maximum auquel l'entreprise aurait pu louer cette machine à une autre entreprise au lieu de l'utiliser. L'évaluation des coûts implicites n'est pas toujours facile. Dans l'exemple de cette machine, s'il y a un marché de location pour ce type de machines, alors l'évaluation du coût d'opportunité est simple. Si, au contraire, il n'y a pas de tel marché, le coût d'opportunité doit être déterminé en essayant d'estimer la valeur ajoutée de cette machine dans les différents usages alternatifs et de choisir la plus grande d'entreelles. Cette évaluation sera encore plus difficile s'il faut intégrer une évaluation de l'utilité dans le calcul du coût d'opportunité, par exemple, l’utilité du temps consacré par l'entrepreneur à la gestion de son entreprise. Les coûts d'opportunité, quoique très compliqués au niveau de leur calcul, constituent un élément fondamental dans la prise de décision économique. On peut imaginer le cas d’un investisseur qui a la possibilité d’avoir un emprunt pour créer une nouvelle entreprise, acheter un lot de terrain, ou investir dans les actions d'une société. Etant entendu que le placement de cet emprunt dans l’une de ces options exclut son utilisation dans toute autre alternative. Le rendement qu’aurait permis la meilleure alternative sacrifiée déterminera le coût d'opportunité de l'action retenue. En analyse économique, l'hypothèse de la pratique du calcul des coûts d'opportunité appropriés et de leur prise en compte dans la prise de décision est un fondement essentiel de la rationalité des choix opérés par l’entreprise. Par conséquent, le profit utilisable par l’entreprise devrait correspondre à la valeur économique qui diffère de la valeur comptable par la prise en compte des coûts d'opportunité des ressources mobilisées dans l’activité productive concernée.

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23

2.3 Equilibr e d d u pr od uct eur Ces précisions préliminaires, nous permettent de mieux aborder l'analyse formelle de l’équilibre du producteur. Deux approches seront exposées : Une première approche qui analyse le producteur en deux étapes qui distinguent entre son comportement d’acheteur sur les marchés des inputs et son comportement de vendeur sur le marché de l’output Une seconde approche qui intègre les deux étapes pour dégager des solutions plus générales.

2.3.1 Approche en deux étapes Dans une première étape le producteur, en tant qu’acheteur des inputs, cherchera à minimiser ses dépenses pour réaliser les différents niveaux désirés de production. Dans la seconde étape, connaissant les prix de revient (coûts) de son output, le producteur cherchera à déterminer le niveau de son output qui lui permette de maximiser ses recettes, ou, puisque l’expression des coûts est déjà connue, de maximiser son profit.

a) Minimisation de la dépense et fonction de coût : première étape Soit p = ( p1 , p2 ,..., pn ) le vecteur des prix que l’entreprise doit payer pour ses inputs. Chaque prix ph est non négatif et tient compte des coûts d'opportunité de l'utilisation de l'input h . La dépense totale nécessaire pour permettre à l'entreprise d'utiliser le complexe d'inputs x = ( x1 , x2 ,..., xn ) est donnée par l'expression : n

DT 

p x h

h

h1

Programme à optimiser La minimisation de cette dépense de l'entreprise se fait à travers le choix judicieux des complexes d'inputs qui permettront de produire au moindre coût un niveau donné de l'output y . Formellement, il s'agit de résoudre le programme suivant:

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Chapitre 2


24

n    min DT   ph xh   h1   sujet à :    F ( x1 , x2 ,..., xn )  y      

Cette formulation est semblable à celle utilisée au niveau du consommateur pour minimiser ses dépenses. D'ailleurs, sur les marchés des inputs les entreprises agissent selon la même logique que les consommateurs et, souvent, en concurrence avec eux. Illustration graphique pour le cas n = 2

x2

 F 1   F   2 y

x2* D*

 p1   p   2

*

0

x1

x1

0

D

D1

La méthode du multiplicateur de Lagrange peut être utilisée pour résoudre ce problème. Le lagrangien équivalent au programme ci-dessus est : L ( x1 , x2 ,..., xn , µ ) =

n

∑p x h

h

+ µ ( y − F ( x1, x2 ,..., xn )

h =1

Les conditions nécessaires de l'optimum Ces conditions se présentent comme suit :

 Lh = ph − µ Fh = 0; h = 1,2,..., n  L = y − F ( x , x ,..., x ) = 0 n 1 2  µ Ces conditions nécessaires de l’optimum du programme du producteur permettent de dégager les règles de base pour des décisions efficaces. En effet, du premier groupe de ces conditions nécessaires, on peut dégager deux types de relations :

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1 µ


=

F1 p1

=

F 2

= ... =

p2

F n pn

25

, la productivité marginale de la dernière unité monétaire

dépensée dans l’achat de n’importe quel input doit être la même. Cette relation caractérise les proportions optimales de la technique à employer. C’est-à-dire la structure optimale du panier d’inputs à combiner pour obtenir le niveau désiré de production. Pour deux inputs h et k quelconques on a : TMST h k =

Fh Fk

=

ph pk

. Pour chaque couple

d'input considéré, l'efficacité relative de l'usage de ces inputs, exprimée par le TMST ou par le rapport des productivités marginales des inputs, doit être la même pour chaque entreprise utilisatrice et ce conformément à l'appréciation collective de la rareté relative de ces inputs, exprimée par le prix relatif du marché. Le multiplicateur de Lagrange mesure le coût marginal d'une unité additionnelle de l'output Y . Ceci peut être montré à partir des différentielles totales de la dépense totale et de la fonction de production : n

dDT

= ∑ ph dxh et

dy =

n

∑ F dx h

h

h =1

h =1

et sachant, d'après les conditions nécessaires, que Fh = dy =

n

∑

ph dxh

h =1

µ =

dDT * dy

µ

=

=

dDT *

µ

dCVT ( y) dy

conséquent, µ =

ph F h

p h

µ

, on obtient :

et, puisque à l'optimum on a DT * ( y ) = CVT ( y ) , on obtient

= Cm( y ) : qui est le coût marginal de l'output

Y et par

permet une interprétation alternative de la condition

d'optimalité de l'utilisation de l'input h : L'entreprise augmentera la quantité de chaque input jusqu' au point où le coût marginal pondéré par l'inverse de la productivité marginale soit le même pour chaque input. En effet, ce rapport mesure le coût de location (ou d'achat) de la quantité d'input h nécessaire pour produire une unité additionnelle de l’output Y . Ce coût varie proportionnellement au prix que l'entreprise doit payer par unité additionnelle d'input h et inversement proportionnel à la productivité marginale de l'input employé dans la production (puisque l'entreprise peut produire une unité additionnelle d'output en utilisant moins d'input, qui soit plus productif).

Détermination des fonctions de demande conditionnelle des inputs Les conditions nécessaires ci-dessus, définissent un système de ( n + 1) équations à

( n + 1) inconnues et dont la résolution permet de déterminer les fonctions de demande conditionnelle des différents inputs : xh = xh ( p1 , p2 ,..., pn , y ) ; h = 1, 2,..., n et l'expression du

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multiplicateur µ

de

Lagrange,

ou

coût

marginal

26

de

production

de

Y ,

= µ ( p1 , p2 ,..., pn , y ) .

Ces expressions sont dites conditionnelles parce qu'elles dépendent du niveau fixé pour y .

Définition de l’expression du coût de production Les expressions optimales des demandes conditionnelles nous permettent de déterminer le niveau minimum de la dépense nécessaire pour produire un niveau donné de l’output (ou dépense minimale conditionnelle) : y DT * ( y ) =

n

∑ p x ( p , p ,.., p , y) h

h

1

2

n

1

Pour éviter toute confusion, le lieu géométrique des dépenses minimales est appelé coût variable total, DT * ( y) ≡ CVT ( y) , qui est par définition minimal pour chaque niveau de production fixé ; (dans cet esprit, l'expression très courante de minimisation des coûts - qui est par définition minimum! - est un non sens économique) Dans la perspective de court terme, choisie comme contexte pour cette analyse, le coût total CT ( y ) s'obtient en ajoutant au CVT ( y ) le coût fixe CF ( = valeurs des dépenses sur les inputs fixes et semi variables), soit : CT ( y ) = CVT ( y) + CF On définit également les coûts unitaires : 1. Le coût (total) moyen de court terme, CM ( y ) =

CT ( y )

,

y CVT ( y )

2. Le coût variable moyen de court terme, CVM ( y ) = 3. Le coût marginal de court terme, Cm ( y ) =

dCT ( y) dy

=

,

y dCVT ( y) dy

Dans un environnement standard où l’entreprise opère avec des fonctions de production qui exhibent des rendements d’échelle décroissants, notamment par la présence des inputs fixes, on peut montrer que le coût marginal est croissant avec le niveau de y . La démonstration peut se faire de différentes manières : A travers l’établissement des conditions de la croissance de µ , qui lui est équivalent à l’optimum. Nous y reviendrons au niveau des variations au voisinage de l’optimum. Sur la base de la correspondance entre le sens de variation des courbes de productivité et celles des coûts. En particulier la décroissance de la productivité marginale qui implique la croissance du coût marginale. Mi cr oéconomi e


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27

Sur la base de la propriété de la stricte concavité de la fonction de production, au moins au voisinage de l’optimum, pour assurer un profit positif à l’entreprise (stricte convexité des isoquants), c’est-à-dire, que la matrice hessienne est définie négative au point d’équilibre. Sur la base de la correspondance entre le sens de variation des rendements d’échelle et celui des courbes du coût variable moyen et du coût marginal. Nous y reviendrons par la suite pour établir cette démonstration. Allure générale des courbes de coût CTCT ( y )

Coût global

CVTCT ( y ) CF

0

CM CT ( y )

Coût unitaire

CmCT ( y )

y

CVM CT ( y )

CFM CT ( y )

0

y

0

y1

y

2

y

Les tracés des courbes globales (coût total et coût variable) commencent par être convexes sur une première phase qui correspond à la phase décroissante du coût marginal qui s’explique par la croissance de la productivité marginale. Ces productivités marginales atteignent leur maximum au point y 0 (qui correspond au minimum du coût marginal) Propriétés caractéristiques des courbes de coût unitaire: La courbe de coût marginal coupe chacune des courbe de coût moyen variable et de coût moyen total en son point minimal. (Cette propriété est similaire à celle liant les courbes de productivité marginale et moyenne, ayant les formes d’images réfléchies, à travers un miroir, des courbes de coût correspondantes. L'explication de cette correspondance réside dans la relation inverse qui existe entre la variation des productivités unitaires et celle des coûts unitaires). La démonstration se fait, elle aussi, de la même manière que pour les productivités, en déterminant la condition nécessaire du minimum du coût moyen, soit:

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28

 CVT ( y)   y dCVM ( y )   = Cm( y) y − CVT ( y) = 0 ⇔ Cm( y) = CVM ( y) et, de la même = 2 d 

dy

dy

y

manière, on démontre l'égalité entre Cm ( y ) et CM ( y ) en remplaçant, tout simplement CVT ( y ) par CT ( y ) . Le coût marginal est égal au coût moyen variable pour une production nulle ( y = 0 ) . En effet, lim CVM ( y ) = lim y → 0

CVT ( y )

y →0

y

=

0 0

Règle de l'Hospital  → limCVM(y) = y →0

Cm( y )

1

et, par

conséquent, CVM ( 0 ) = Cm ( 0 ) . Coûts de long terme ( perspective dynamique, supplément à la marge du cours ) A long terme, tous les inputs peuvent devenir tellement variables que les coûts fixes disparaissent. Les coûts de long terme sont directement déterminés par la simple solution du problème de la minimisation des dépenses de l'entreprise. Ils définissent la manière la moins chère pour produire tout niveau d'output désiré. Ils impliquent une capacité d'adaptation parfaite de l'entreprise. A court terme, caractérisé par la présence d'inputs fixes, la variation de l'output n'est pas accompagnée par des ajustements de ces inputs fixes. L'adaptation par les seuls inputs variables ne permet qu'un optimum relatif (un optimum contraint ou possible). Par contre, avec la possibilité d'adapter tous les inputs, l'entreprise peut toujours trouver la combinaison des inputs, la moins chère pour réaliser le même volume de production.

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29

Le graphique suivant illustre la situation pour le cas de deux inputs dont un Z 1 est fixe et l'autre X 1 est variable. x1

Surcoûts associés à la constance de l'input Z 1

'

E 2

x12' 1'

x1

E 1'

x12 0 1

E 1

E 0

x

E 2

y

0

z1 = z1 0

1

y 0

2

y1

2

z1

z1

Ce graphique montre qu'avec l'accroissement de l'output y , la combinaison optimale des inputs passe de E 0 à E 1 puis à E 2 , répondant chacun aux mêmes critères d'optimalité à savoir le TMST est égal au rapport des prix fixé par le marché. Pendant que sous la contrainte de la constance de l'input Z 1 à un niveau donné z10 , la «combinaison optimale possible» s'inscrit en divergence, de plus en plus grande, avec la condition d'optimalité en E 0 , à mesure que le niveau d'output s'écarte de la solution initiale y 0 . Les droites parallèles à la dépense minimale, qui est tangente à l'isoquant y 0 en E 0 , deviennent des sécantes, de plus en plus écartées des tangentes qui définissent l'optimalité aux points E 1' et E 2' . On peut remarquer, à titre d’exemple, que la solution fournie par E 2' correspond à une solution qui aurait prévalu sous le rapport de prix donné par la pente de la droite tangente à l'isoquant en ce point. Autrement dit, avec un prix de Z 1 plus faible et /ou un prix de X 1 plus élevé. Par conséquent, la constance de l'input Z 1 a conduit à une sous utilisation de cet input fixe ( = z12 − z10 ) et à une «sur utilisation» de l’input variable, X 1 ; = x12' − x12 . Ce résultat indique donc, que la perspective de court terme est génératrice de surcoûts pour tout autre niveau d'output que celui pour lequel le volume de l'input fixe est efficacement adapté. En d'autres mots, en présence d'inputs fixes, la courbe de coût de court terme est entièrement située au-dessus de la courbe de coût de long terme. Les deux courbes sont tangentes l'une à l'autre en un point qui correspond à la taille adaptée à un besoin précis du court terme.

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30

Le graphique, qui suit, illustre cette situation pour trois courbes de court terme, différenciées par la valeur des coûts fixes (entendre la valeur des dépenses sur les inputs fixes). Le lieu géométrique des seuils minima des coûts de court terme associés à chaque niveau de coût fixe, constitue la courbe de coût de long terme. CT ( y , z11 ) CT ( y, z1

2

Coût

) CT ( y, z ) 3 1

CT LT ( y )

CF

3

E 3

(z ) 3 1

CF

2

(z )

CF

1

(z )

2 1

E 2 E 1

1 1

0

y0 _1

y

1

y1_ 2

y

2

*

y2 _ +

y

Ce graphique montre que, en fonction du volume de l’output, l’une des courbes de court terme sera plus adaptée que les autres. A titre d’illustration, pour les niveaux d’output y ≤ y1 , la courbe de coût CT ( y, z11 ) est la plus adaptée. L’adaptation de cette courbe est parfaite pour le niveau y = y0* _1 . Le même raisonnement permettra de constater l’adaptation plus ou moins parfaite de CT ( y , z12 ) , puis de CT ( y, z13 ) , aux niveaux d’outputs supérieurs. On constate également qu’à mesure que le volume de production désiré augmente, le niveau des coûts fixes augmente. Sous l’hypothèse d’une variation continue de ces coûts fixes, les intervalles d’adaptations spécifiques à chaque courbe de coût total se rétrécissent pour converger vers les points d’adaptation parfaite, qui constituent le lieu géométrique de la courbe enveloppe inférieure : appelée courbe de coût de long terme. En effet, formellement, la courbe de coût total de long terme est l'enveloppe de la famille des courbes de coût total de court terme. On peut vérifier ce constat aisément en notant que la courbe de long terme et celles de court terme sont reliées par la relation : CT LT ( y ) = CTCT ( y, z ( y ) ) = CT ( y, z ( y ) ) wz * ( y ) + p

*

(xy ) = wz* ( y ) + p **x( y, z* ( y) )

avec: x et z : les vecteurs d'inputs variables et fixes respectivement;

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31

p et w : les vecteurs des prix correspondants

( x , z ) : la solution optimale qui minimise la dépense de long terme x ( y, z ( y ) ) : la solution optimale qui minimise la dépense de court terme. *

*

**

*

La différentielle de cette relation par rapport à y donne : w

d *(zy ) dy

+p

d *(xy ) dy

=w

d *(zy ) dy

 ∂x **( y, z *( y)) ∂x **( y, z *( y)) d + p + ∂ ∂z y 

*(zy)  dy

 

Le côté gauche de cette expression donne le coût marginal de long terme : w

* dz ( y )

dy

+p

* dx ( y )

dy

=

dDT LT

*

dy

=

dCTLT ( y ) dy

= Cm LT ( y)

Pour le côté droit de la différentielle, on peut considérer le problème qui consiste à choisir le vecteur des inputs fixes z* qui minimise le coût de court terme de la production d'un niveau donné d'output y , soit : min DT =  wz + px** ( y, z)  z

La condition du premier ordre du minimum de cette dépense est :

∂ x* ( y, z * ( y)) ∂x* ( y, z* ( y)) w =0⇔ =− w+ p ∂ z ∂z p Soit en remplaçant dans le terme de droite de la différentielle initiale, on obtient : w

* d (zy )

dy

+p

* d (xy )

dy

=w

* d (zy )

dy

 ∂x** ( y, z * ( y )) w d * (zy)  ∂x** ( y, z * ( y)) + p − = p ∂ ∂y y p dy  

et puisque x** ( y, z* ( y ) ) minimise les coûts de production de y , alors on obtient la condition w

* dz ( y )

dy

de

+p

* dx ( y )

dy

l'enveloppe

inférieure

des

∂x** ( y , z * ( y )) ; ou encore : =p ∂y

courbes

de

coût,

soit

:

Cm LT ( y ) = CmCT ( y , z * )

qui exprime le fait que la courbe de coût de court terme soit tangente à la courbe de coût de long terme au point y* qui correspond au point où la combinaison des inputs

( x , z ) est optimale. *

*

Une relation d'enveloppe semblable liera la courbe de coût moyen à long terme et les courbes de coût moyen de court terme. Les graphiques suivants illustrent cette relation :

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32

Cas de rendements d'échelle variables Coûts

CM CT CM LT

y

0

Cas de rendements d'échelle constants Coûts CM CT

CM LT

y

0

b) Maximisation du profit et fonction d’offre : deuxième étape Dans les marchés des inputs, on a déterminé les règles qui régissent le comportement efficace du producteur face au choix de la combinaison des inputs qui minimise ses dépenses ; c’est-à-dire, le choix de la technique la plus appropriée aux conditions qui prévalent sur les marchés des inputs. Dans le marché de l’output (puisqu’on se place dans l’hypothèse simplificatrice d’un output unique), le problème du producteur porte sur la détermination du niveau de l’output qui amplifie encore davantage l’objectif poursuivi : la maximisation du profit. Cette détermination repose sur l’hypothèse que le producteur, qui maîtrise les aspects techniques de la production (d’après la première étape), connaît également le prix du marché q de son output et, est conscient de son incapacité de pouvoir influencer de manière perceptible, ce prix du marché (le cadre d’analyse étant celui de la concurrence pure et parfaite, statique et non stochastique). Le concept de profit, qui a une signification unique dans une perspective de long terme, doit être nuancé à court terme. Doit-on inclure ou pas les coûts fixes ?. Si les coûts fixes inévitables sont, de toute façon, engagés quel doit être l’origine de la courbe de profit ?. A titre d’illustration, si CF = 10000 est une dépense fixe inévitable, une activité qui donnerait un profit final de ( −6000 ) est-elle profitable ou pas ? Dans

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Chapitre 2


33

un sens purement comptable, cette activité est déficitaire. Par contre, au sens économique, elle a permis de récupérer 4000 des 10000 qui étaient, de toute façon, perdus. Pour nuancer ces situations, on distingue entre profit comptable (souvent appelé profit tout court) et profit économique (souvent appelé surplus du producteur pour le distinguer du premier concept). Ainsi : π = qy − CT ( y ) =  qy − CVT ( y )  − CF = π e − CF

où π est le profit comptable π e est le profit économique

Illustration graphique Recettes totales

valeurs Coût variable total

0

y

0

y1

y

Profit

y

0

0

y1

y

Le problème du producteur dans cette seconde étape se formule comme suit : e Maxπ = qy − CT ( y ) ou, de manière équivalente, Maxπ

= qy − CVT ( y ) .

La condition nécessaire du maximum est : dπ dy

= 0 = q − Cm ( y ) =

d π

e

dy

⇔ q = Cm ( y )

Cette condition peut-être interprétée de manière intuitive comme suit : si le prix de vente d'une unité additionnelle d'output est supérieur au coût marginal de la production de cette unité, alors la production devra être effectuée. Si au contraire, le coût marginal est supérieur à la productivité marginale, l'entreprise peut augmenter son profit par des réductions marginales de sa production. Le niveau optimal de la production est obtenu lorsque le prix (contrepartie monétaire d’une productivité marginale unitaire) égalise exactement le coût marginal de cette unité.

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Chapitre 2


2

La condition suffisante est :

d π dy

2

=−

dCm( y) dy

<0⇔

dCm( y) dy

34

>0

Qui signifie qu’il suffit que l’entreprise produise dans la région où sa fonction de coût devient convexe (c’est-à-dire, située au-dessus de la taille minimum efficace). A ces conditions d’optimisation mathématique, s’ajoute une condition économique d’admissibilité de la solution trouvée : π e > 0 . La solution doit se situer sur la branche croissante du coût marginal et doit permettre de couvrir au moins le coût variable total (la partie du coût total qui est évitable par la non production). De même, la condition du second ordre indique que la fonction de coût marginal est croissante au voisinage du maximum du profit et, par conséquent, peut être inversible et permet d’écrire : y = Cm−1 ( q ) qui est la fonction d’offre de l’output. Or, compte tenu de la convention adoptée pour les représentations graphiques, en économie, qui réserve l’axe des abscisses aux quantités, cette fonction d’offre est souvent représentée directement par q = Cm ( y ) sous quelques autres conditions qui seront précisées ci-après. Illustration graphique de la détermination de l’équilibre de l’entreprise a) Niveau global CT ( y )

Valeurs

Recettes

CVT ( y )

Profit comptable

Profit économique

0

y

0

y

1

y*

y

Remarques et définitions : Le niveau y 0 , où le coût variable total égalise la recette totale, définit le seuil de fermeture. Le volume de production au-dessous duquel la fermeture est préférable à l’activité car la perte sera supérieure aux coûts fixes. C’est donc, une situation d’équivalence, du point de vue profit, entre y = 0 et y = y 0 . Une entreprise, pour être mesure de récupérer au moins ses coûts fixes doit produire au moins y 0 ou fermer. Le niveau y1 , où la recette totale couvre à peine le coût total, définit le seuil de rentabilité , volume à partir duquel l’entreprise réalise un profit (comptable) positif.

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Chapitre 2


35

Le niveau y* , où le coût marginal égalise la pente de la droite de recette totale ( = q ) détermine la quantité optimale à produire. Le profit est maximum en y* (dans ses deux versions : économique et comptable). En tenant compte des relations q = Cm ( y ) et ph = µ F h , condition nécessaire établie lors de la première étape où µ = Cm ( y ) , on déduit qu'à l'optimum de l'utilisation de l'input h on doit avoir : ph = qF h . Autrement interprété, l'entreprise continuera à augmenter la quantité utilisée de l'input h jusqu'au point où le prix payé pour une unité additionnelle égalise, exactement, la valeur de sa productivité marginale. Niveau unitaire

Cm ( y )

Coût unitaire q R

q

CM ( y )

A

B

C

= min CM ( y )

CVM ( y ) D

q

F

= min CVM ( y ) Courbe d’offre 0

y

y

Conformément à la condition nécessaire du maximum de profit, le niveau optimal de y est déterminé par l’intersection de la droite horizontale du prix (fixe) q et de la courbe du coût marginal. Le profit économique est donné par l’aire qADE et le profit comptable par l’aire qABC . Redéfinition des seuils de fermeture et de rentabilité: Le prix, fixé par le marché, est a priori quelconque. Une réaction efficace de l’entreprise conduirait à : Une fermeture si le prix se trouvait au-dessous du seuil du minimum du coût variable moyen, appelé seuil de fermeture. Une rentabilité comptable si le prix dépassait le seuil du minimum du coût moyen, appelé seuil de rentabilité. Ces seuils, définis en termes de prix, sont plus pratiques que ceux définis plus haut en termes de quantités y de l’output. Par conséquent, la fonction d’offre de l’entreprise est complètement définie par :

  dCm( y ) > 0, q ≥ min CMV ( y)  ( y, q) q = Cm( y), dy  

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36

2.3.2 Approche en une seule étape Dans la pratique, la dichotomie, adoptée pour des besoins pédagogiques, entre le comportement d'acheteur et celui du vendeur, pour un seul et même décideur, est clairement artificielle. D'autant plus que cette approche, qui occulte les interactions, qui existent effectivement, entre les prix des inputs et le prix de l'output, peut céder la place à une approche directe globale et intégrée qui n'aurait de repères que les signaux exogènes émis par les marchés : les prix des inputs et le prix de l'output. La formalisation du problème du producteur prendra alors la forme suivante: n  '  Maxπ = qy − ∑ ph xh − DF h =1  s/à:  y = F ( x , x ,..., x ) n 1 2  

On peut poser, pour simplifier, π = π '+ DF . Ce programme peut être résolu par la méthode de substitution, en remplaçant y par son expression ou par la méthode du lagrangien :

a) La méthode par substitution En remplaçant y par son expression, le programme équivalent s’écrit : Maxπ = qF ( x1 , x2 ,..., xn ) −

n

∑p x h

h

h =1

Les conditions nécessaires du maximum de π sont: qFh ( x1 , x2 ,..., xn ) − ph

= 0 ; h = 1, 2,..., n

Ces conditions fixent les règles des utilisations optimales des inputs : l'entreprise doit augmenter le volume de chaque input jusqu'au point où le prix de cet input égalise, exactement, la valeur de sa productivité marginale. La résolution de ce système permet de déterminer les expressions générales des fonctions de demande des inputs : *

xh

= xh ( p1 , p2 ,..., pn , q ) ; h = 1, 2,..., n

Pour la fonction d'offre, cependant, la logique de la méthode par substitution, utilise plutôt le concept équivalent du niveau optimal de l'output à produire, donc implicitement à vendre:

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y

*


= F ( x1 ( p1 ,..., pn , q ) ,..., xn ( p1,..., pn, q ) ) = y ( p1,...,

37

pn, q )

Cette expression traduit, par conséquent, la fonction d’offre de l’entreprise.

b) La méthode du lagrangien Son utilisation ici n'est pas une surcharge, pour un problème, déjà plus simplement résolu précédemment. Elle présente au moins un triple intérêt : Elle conduit à la détermination directe de l'expression générale de la fonction d'offre, Elle permet de mieux comprendre le rôle joué par le multiplicateur de Lagrange pour assurer la cohérence globale des deux étapes de l’approche utilisée plus haut. Elle constitue également une base plus adaptée pour l'étude des variations au voisinage de l'optimum. L( x1 , x2 ,.... xn , y, µ ) = q − y

n

∑p x h

h

+ µ ( F ( x1 , x2, ..., xn ) − y )

1

Les conditions nécessaires de l'optimum (du point de selle):

 Lh = − ph + µ Fh = 0; h = 1,2,..., n   L y = q − µ = 0  L = F ( x , x ,..., x ) − y = 0 n 1 2  µ La condition, q = µ , montre qu'à l'optimum µ , déjà interprété comme étant le coût marginal de y dans la première étape de l'approche initiale, égalise le prix de l'output, q . Or la condition de la maximisation du profit dans la seconde étape était justement, q = Cm ( y ) . Par conséquent, lors de la détermination des demandes des inputs, sur leurs marchés respectifs, le prix de l'output était, toujours présent et pris en compte, à travers son ombre, µ (appelé, à juste titre, en anglais shadow price (littéralement prix d'ombre)). Cette cohérence globale entre les deux étapes est donc assurée par le multiplicateur de Lagrange µ . La résolution de ce système de ( n + 2 ) équations à ( n + 2 ) inconnues permet de déterminer les expressions générales: Des fonctions de demande des inputs , xh* = xh ( p1 ,..., pn , q ) ; h = 1,2,..., n , De la fonction d'offre de l’output y* = y ( p1 ,..., pn , q ) Du multiplicateur de Lagrange (donc du coût marginal ) µ * = µ ( p1 , ..., pn , q ) , qui établit, de manière explicite, les liens qui existent entre les différents prix et le coût de production de l’output. La condition suffisante pour le maximum de π est que la matrice du hessien bordé soit définie (ou au moins semi définie) négative.

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38

2 4 . 4 V V ar iat ions a au v voisina g e d d e ll'équilibr e d d e l'ent r re pr ise Les décisions de l'entreprise ont été basées sur l'hypothèse d'une connaissance parfaite des prix des inputs et du prix de l'output. Or cette connaissance peut faire défaut ou, du moins, peut s'avérer imparfaite. Il s'agit donc d'analyser l'impact de ces imperfections de la connaissance des paramètres de base, les différents prix, sur les décisions de l'entreprise, c’est-à-dire, sur les fonctions de demande, la fonction d'offre et le multiplicateur de Lagrange.

2.4.1 Comportement des variables de décision de l’entreprise. Comme pour le cas du consommateur, deux situations peuvent se présenter : Les variations des prix sont tellement significatives que les conditions du premier ordre initiales ne sont plus réalisables. Auquel cas, il faut reprendre la résolution du problème avec les nouveaux paramètres Les variations des prix ne sont pas de nature à remettre en question la validité des conditions du premier ordre de l’optimum initialement établi. C'est ce qu'on entend par variations aux voisinage de l'optimum, objet de cette analyse. Les conditions du premier ordre constituent donc la référence de base pour cette analyse. Les différentielles totales de ces conditions permettent de déterminer l'impact des variations des paramètres exogènes, ( dph ≠ 0; h = 1, 2,..., n et dq ≠ 0 ) , sur les demandes, sur l'offre et sur le coût marginal (multiplicateur de Lagrange µ ) :

n  µ ( = − + Fhk dxk ) + Fh d µ = 0; h = 1, 2,..., n ∑ dLh dph k =1  =0 dL y = dq − d µ  n dLµ = ∑ Fk dxk − dy = 0  k =1

ou encore, en adoptant la représentation matricielle :

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Chapitre 2

 µ F11  .   .   µ Fn1  0   F1


. .

µ F1n

0

. .

.

.

. .

.

.

39

F 1   dx1 

. . µ Fnn

0

. .

0

0

. .

F n

−1

 .  .   F n  −1  0 

 dp1   .   .       .   .    =   dxn   dpn   dy   − dq       d µ   0 

En tenant compte de la relation, ph = µ F h , et connaissant les règles de multiplication (et de division) d'une ligne ou d'une colonne de la matrice par une constante, on obtient :

 µ F11  .   .   µ Fn1  0   F1

. .

µ F1n

0

. .

.

.

. .

.

.

F 1 

. . µ Fnn

0

. .

0

0

. .

F n

−1

 F11   . .    . .   ≡µn-2  F n   Fn1 0 −1   0   p1

. .

F1n

0

. .

.

.

. .

.

.

. .

Fnn

0

. .

0

0

. .

pn

−1

p1 

  .   pn  −1  0  .

Sachant que µ ≥ 0 , les deux matrices sont donc de même signe, ce qui nous ramène à une forme semblable à celle utilisée pour le consommateur. En utilisant les notations déjà utilisées dans la théorie du consommateur, la méthode de Cramer nous permet de déterminer les variations recherchées : n

dxh

=

∑ (−1)

dpk −

D

∑ (−1)

(−1)

h + n +1

Dn +1,h

D

dq; h =1,2,..., n

n +1+ k

Dk , n +1 dpk −

k =1

D n

d µ =

Dkh

k =1

n

dy =

h + k

∑ (−1)

Dn +1,n+1

k + n+2

Dk , n + 2

k =1

D

dpk −

D

dq

( −1) 2 n +3 Dn +1,n+ 2 D

dq

De ces relations, on peut dégager les caractéristiques ou propriétés suivantes:

a) Concernant la fonction d’offre de l’output

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40

Des expressions précédentes, on peut déduire que la fonction d’offre est toujours D ∂ y croissante par rapport à son prix = − n +1,n+1 > 0 (car Dhh et D sont toujours de D ∂q signes opposés, puisque la matrice H B est définie négative. Par conséquent, D > 0 , pour le cas d’une contrainte unique, et Dhh < 0; ∀h ) Les relations de l’offre avec les prix des inputs sont indéterminées dy dpk



(1) n1 k Dk , n1 D

 0    0   0

Une relation négative , la plus fréquente, traduit que l’accroissement du prix de l’input aggrave les coûts et par conséquent décourage la production. Une relation positive n’est concevable que par la présence d’inputs substituables et plus économiques ou plus productifs. Une relation nulle indique que l’importance de l’input est presque insignifiante ou que l’offre devient incompressible.

b) Concernant les fonctions de demandes des inputs De la même manière, on peut déduire que : les effets prix directs sont toujours négatifs, (ils correspondent parfaitement aux ∂ x D effets de substitution obtenus dans la théorie du consommateur) h = hh < 0 ∂ ph D Les effets prix croisés entre deux inputs quelconques sont égaux

∂ xh ∂xk = ∂ pk ∂ph

 0 h  k   xh   ( 1) D kh   L’effet de substitution est de signe indéterminé    0 . En   pk y  D  0 fonction de ce signe se définit le type de relation qui lie les deux inputs h et k :

  ∂ xh     ∂ xh   > 0  , complémentarité si   < 0  ou indépendance substitution si     ∂ pk  y    ∂ pk  y        ∂ xh   si   = 0   ∂ pk  y    L'effet du prix de l'output sur la demande de l'input h est indéterminé  xh q



(1) h n1 Dh , n1 D

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  0     0 :      0


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41

- Une relation positive , la situation la plus fréquente, signifie que l'input h accompagne, dans le même sens, la variation de l'output; on parle alors d'input coopérant (ou coopératif). - Une relation nulle traduit une constance de l'input qui devient indépendant de la variation du volume de l'output. - Une relation négative , par contre, signifie que l'expansion de l'output y s'accompagne d'une réduction de l'emploi de l'input h ; c'est donc une sorte d’input inférieur que l'accroissement des ressources de l'entreprise permet de remplacer ; on parle alors d'input régressif.

2.4.2 Les rendements d’échelle et la profitabilité de l’entreprise Les rendements d'échelle peuvent être appréhendés formellement en étudiant l'impact d'une hausse proportionnelle de tous les inputs sur l'output de l'entreprise, c’est-à-dire, en comparant F ( tx1 ,..., txn ) et tF ( x1 ,..., xn ) avec t > 1 . On dira alors que la technologie est à rendements d'échelle: croissants si F ( tx1 ,..., txn ) > tF ( x1 ,..., xn ) constants si F ( tx1 ,..., txn ) = tF ( x1 ,..., xn ) décroissants si F ( tx1 ,..., txn ) < tF ( x1 ,..., xn )

a) Signification et apports des rendements d’échelle Les rendements d'échelle croissants ont joué un rôle important dans le développement économique du monde depuis la période de la révolution industrielle. Les machines à vapeur de la révolution industrielle, et la division du travail entre l’homme et la machine ont rendu possible à une usine, de confection par exemple, de produire avec une petite quantité de main d’œuvre autant si non plus que ne pouvaient produire tous les habitants d’une grande ville, affectés à faire les mêmes tâches. Les services gérés en réseau (téléphone, distribution d’électricité, etc.) sont à rendements d’échelle croissants significatifs. Puisqu'il serait extrêmement coûteux de les exploiter pour le bénéfice d’un nombre réduit d’usagers pendant qu’il sera très peu coûteux de fournir les mêmes services à quelques centaines de milliers d’usagers. Les phénomènes de rendements croissants influencent, également, la structure des secteurs industriels et le degré de concurrence entre les entreprises en raison de la grande capacité de production inhérente à la technologie utilisée. Ainsi, le nombre relativement réduit, à l’échelle de la planète, de fabricants de grandes machines (avions, machines industrielles, automobiles ou équipements militaires) trouve son Mi cr oéconomi e


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Chapitre 2


42

explication dans le fait que la technologie utilisée dans la production de ces machines sur une échelle de masse est plus efficace qu’une production à une échelle réduite. D’autant plus que la dimension, relativement réduite, de la demande globale sur ces machines est une autre source de restriction sur le nombre d'entreprises viables dans les industries concernées. Ces rendements croissants, qui constituent une caractéristique importante des technologies modernes, ne sont malheureusement pas une source inépuisable. Les lois fondamentales de la nature finissent par imposer des restrictions qui rendent impossible la recherche de nouveaux rendements croissants. Après épuisement des sources de rendements croissants, les rendements d’échelle constants devraient normalement constituer la règle. En effet, la logique dirait qu’avec la disponibilité de tous les ingrédients nécessaires, une entreprise peut se dupliquer identiquement à elle-même pour doubler, tripler, quadrupler, etc., ses rendements. Evidemment, l'hypothèse fondamentale est que toutes les ressources d'inputs sont disponibles, y compris l'espace, le travail, les machines, etc. Or, dans la pratique, surtout à très court terme, la disponibilité suffisante de certaines ressources peut faire défaut et, par conséquent, des goulots d'étranglement peuvent apparaître dans le processus de production et conduire à l’apparition de rendements d’échelle décroissants. L’insuffisance de la ressource limitative va infléchir à la baisse les productivités des autres inputs, même de ceux disponibles en quantités suffisantes. Le problème peut devenir particulièrement aigu quand l’input insuffisant, ou manquant, est complémentaire à un ou plusieurs inputs disponibles.

b) Rendements d’échelle dans le cas particulier de fonctions de production homogènes Soit ρ le degré d’homogénéité de ces fonctions de production, alors par définition on a : F ( tx1 ,..., txn ) = t ρ F ( x1 ,..., xn ) et par conséquent, la définition des rendements d’échelle se ramène à la comparaison de ( t ρ à rendements d’échelle seront-ils: croissants si ρ > 1 constants si ρ = 1 décroissants si ρ < 1

t

), ou encore, ( t ρ −1 à 1 ). Aussi les

Cette forme particulière de fonctions de production homogènes permet de dégager d’autres conclusions. En effet, l’application de l’équation d’Euler permet d’écrire : n

∑ h =1

n

Fh xh

= ρ y ⇔ ∑ h =1

Fh y / xh

n

=ρ⇔∑

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h =1

Pmh PM h

∂ y h =1 ∂xh n

=ρ⇔∑

xh y


= ρ

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43

c) Profitabilité de l’entreprise En tenant compte des conditions nécessaires de l’optimum du producteur, ph

= qFh ; h =1,2,..., n , on obtient :

n

∑ h =1

n

∑ p x h

*

h

= CVT ( y) , alors





h =1

CVT ( y ) qy



ph x qy

*

h

*

CVM ( y ) q

= ρ et, sachant qu’à l’optimum, 

CVM  y  Cm  y

mesure la profitabilité de

l’activité de l’entreprise : ρ > 1 signifie que la recette, qy , ne couvre même pas le coût variable total. Autrement dit, le profit économique est négatif (π e < 0 ) . Cette situation correspond à la phase où la courbe du coût marginal est inférieure à la courbe de coût variable moyen Cm  y   CVM  y . ρ

= 1 ⇔ qy = CVT ( y) ⇔ π e = 0 . Par conséquent l’utilisation d’une fonction de

production linéaire homogène, [Leontief ou (Cobb-Douglas de degré 1 ) ou toute forme homogène de degré 1 ], exclut toute possibilité de profit économique pour l’entreprise. Cette situation correspond également à Cm  y   CVM  y ρ < 1 signifie qu’une fraction des recettes CVT ( y ) et

( qy ) est suffisante pour couvrir le coût

π e > 0 . On est dans un cas d’activité économiquement profitable

p  Cm  y  CVM  y .

Par conséquent, dans une économie de marché, l’équilibre d’une entreprise privée doit se situer dans la phase de rendements d’échelle décroissants pour pouvoir maximiser ses profits économiques. Sans oublier que dans cette phase de rendements d’échelle décroissants, l’entreprise aura déjà exploité la totalité des possibilités de rendements d’échelle croissants et constants qui précédent naturellement cette phase.

2.5 N ot ion d d 'o f f r d u m mar ché ( ( o f f r re d re g lobale ) Hypothèses Le marché du bien Y se compose de  entreprises j; j = 1,2,...,  , ayant chacune les mêmes caractéristiques que le producteur utilisé plus haut. Pour simplifier, on suppose que ces entreprises connaissent déjà leurs fonctions de coût total, le prix de l'output et ont pour seul objectif la maximisation du profit. Pour une entreprise j, elle aura pour programme de maximiser:

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44

π j = qy j − CT j ( y j ) ; j = 1,2,...,  .

Par conséquent, la fonction d'offre individuelle, y j ( q ) est définie par les conditions suivantes : j j   dCm ( y ) −1 j j j j j  ≥ 0, q ≥ min CVM ( y ) ; j = 1, 2,...,  ( y , q ) y = ( Cm ) ( q ) ; j dy  



et par conséquent la fonction d'offre globale: yo ( q ) =

∑y

j

( q) .

j =1

2.6 N ot ion d d e ssur plus d d u pr od uct eur Le surplus du producteur est défini par la différence entre la valeur perçue de la vente d'une quantité donnée et la valeur minimale qu'aurait accepté ce producteur pour la même quantité. Une relecture de la courbe d'offre permet de constater que : représentée par sa fonction inverse, cette courbe d’offre est le lieu géométrique des prix minima acceptables pour vendre les différentes quantités. Soit qo ( y j ) , le niveau minimum du prix acceptable, le surplus du producteur se calcule par l’expression : ye j

S p = qe ye − j

yej

∫ q( y ) d y = q y − ∫ Cm ( y ) d y = q y j

j

e

0

j e

j

j

j

e

j e

− CVT j ( yej ) = π e

0

qe

S p

0

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ye*

yo


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(2012-2013)


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Chapitre 3

Equilibre Partiel

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3.0 Introduction.................................................................................................................................................... 3 3.1 Détermination de l’équilibre partiel concurrentiel ............................................................... ................. 4 3.1.1 La fonction d'offre globale..................................................................................................................... 4 3.1.2 La fonction de demande globale .......................................................................................................... 4 3.1.3 Définition de l’équilibre partiel ............................................................................................................ 5 a) Selon l’approche de Walras,.................................................................................................................. 5 b) Selon l’approche de Marshall, .............................................................................................................. 5 1) Analyse de très court terme ............................................................................................................. 6 2) Analyse de court terme.................................................................................................................... 8 3) Analyse de long terme ..................................................................................................................... 9 3.2 Dynamique d'ajustement des prix : stabilité de l’équilibre................................................................ 13 3.2.1 Stabilité statique.................................................................................................................................... 13 a) Selon l’approche de Walras................................................................................................................. 13 b) Selon l’approche de Marshall ............................................................................................................. 13 3.2.2 Stabilité dynamique ............................................................................................................................. 14 a) Adaptation retardée des prix.............................................................................................................. 15 b) Adaptation retardée de l'offre ............................................................................................................ 16 c) Stabilité dynamique en variation continue ....................................................................................... 17 3.3 Surplus associés à l’équilibre du marché .......................................................... ..................................... 19

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Chapitre 3

Equilibre Partiel

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Par marché, on entend un bien ou service. Il y a autant de marchés que de biens et services dans l’économie. De même, le mot équilibre est utilisé ici dans sa signification empruntée à la physique. Il réfère à l’égalité entre deux forces opposées. Dans le contexte du marché, les forces en présences sont les fonctions globales de demande et d’offre. Elles sont opposées parce qu’elles sont représentatives d’intérêts divergents : ceux des consommateurs (acheteurs) qui s’inscrivent dans une logique opposée à celle des producteurs (vendeurs). On rappelle que la théorie du consommateur et celle du producteur ont été construites sur la base de l’hypothèse d’une connaissance plus ou parfaite des prix des marchés et dans un cadre de concurrence pure et parfaite où aucun agent (consommateur ou producteur) n’est en mesure d’influencer de manière perceptible les prix des marchés. Cependant, au niveau des marchés, la sommation des influences négligeables peut déboucher sur la constitution de forces influentes. Aussi, les demandes et les offres globales des marchés ont-elles des influences déterminantes sur les prix des marchés. En effet, c’est par la conjugaison de ces deux forces que se déterminent les prix des marchés. Dans la réalité des choses, les marchés sont interdépendants et les variations des prix se répercutent, à travers les relations de substitution, de complémentarité ou d’indépendance qui lient les biens entre eux, sur le comportement des autres prix dans un processus de réactions en chaînes. Pour les besoins pédagogiques, on admet la possibilité d’isoler, de manière artificielle, un marché pour pouvoir analyser la détermination et les propriétés de son équilibre. Autrement dit, on admet l’hypothèse que tous les autres marchés dans l'économie s'adaptent instantanément et simultanément à cet équilibre. Evidemment, cette approche partielle n’est qu’introductive à l’approche globale, objet du prochain chapitre, consacré à l’étude de l’équilibre général.

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Chapitre 3

Equilibre Partiel

4

3.1 Dét er minat ion d d e ll’ équilibr e par t ti el concur r re nt iel Pour déterminer l’équilibre partiel on doit rappeler les fonctions d'offre globale et de demande globale du bien étudié, noté par Y du coté offre et par X d u coté demande.

3.1.1 La fonction d'offre globale Concernant la fonction d'offre globale, nous avons supposé, au chapitre 2, qu’il y a  entreprises, où  est suffisamment grand pour rendre le marché compétitif dans sa composante offre. A court terme, le nombre d'entreprises est fixe. De même, certains des inputs (équipements, usines de l’entreprises, etc.) sont invariables. En admettant que pour le bien étudié, le prix p payé par l’acheteur est égal au prix q perçu par le producteur, hypothèse cohérente avec celle de la concurrence pure et parfaite qui exclut toute intervention de nature à distordre les prix, ( p = q ) , la fonction d'offre de chaque entreprise individuelle, déterminée par la maximisation de son profit, s’exprime par la relation, établie au chapitre dCm j ( y j )   1 précédent : ( y j , p) y j = Cm j − ( p ) = y j ( p ), > 0, p ≥ min CVM j ( y j )  dans une dy j   approche en deux étapes ou, par l’expression générale : y j = y j ( p1 , p2 ,..., pn ) pour le cas d’une approche en une seule étape. Dans le cadre de l’analyse partielle d’indépendance, qui suppose l’indépendance entre biens et services, les expressions de la fonction d’offre se ramènent à : y j = y j ( p ) ; j = 1,2,...,  . En tenant compte des domaine de définition de chaque fonction d’offre individuelle, j y j ∈ Dy , ∀j , la fonction d'offre globale du marché se présente comme suit : y ( p ) = o

l

∑ yj ( p ) 1

3.1.2 La fonction de demande globale Concernant la fonction de demande globale, nous supposons que le nombre de consommateurs est m , avec m suffisamment grand pour garantir la compétitivité du Mi cr oéconomi e


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Chapitre 3

Equilibre Partiel

5

marché dans sa composante demande. Soit xi = xi ( p1 , p2 ,..., pn , R i ) , l’expression générale de la fonction de demande du consommateur i en bien X étudié, et pour les mêmes raisons que pour le côté offre, on écrit : xi = xi ( p, R i ) . En tenant compte des domaines de définition, x j ∈ Dxi , ∀i , des demandes individuelles, x ( p ) = d

la

fonction

de

demande

globale

s’écrit sous

la

forme

:

m

∑ x ( p, R ) i

i

i =1

3.1.3 Définition de l’équilibre partiel La définition de l’équilibre est généralement faite selon deux approches alternatives : Une approche proposée par Walras qui suppose que les ajustements se font sur la base de la variation des prix (variables explicatives). L’autre proposée par Marshall, suppose que les ajustements se font sur la base des quantités (variables explicatives)

a) Selon l’approche de Walras, L’équilibre existe si et seulement si :

1) ∃ pe > 0  d o 2 x) ( pe ) = y ( pe ) ou, encore, 3) x d ( p ) 0 e > 

1) ∃ pe > 0  ) ( pe ) = x d ( pe ) − y o ( pe ) = 0 , 2 DE 3) x d ( p ) 0 e > 

avec : DE ( pe ) : la demande excédentaire du marché étudié au prix d’équilibre pe .

b) Selon l’approche de Marshall, En admettant qu’à l’équilibre la quantité vendue est égale à la quantité achetée, y = x , le prix d’offre peut s’exprimer par p o ( y ) ≡ p o ( x ) et, par conséquent, la condition marshallienne de l’existence de l’équilibre se présente comme suit :

1) ∃ xe > 0 1) ∃ xe > 0   d o ) ( xe ) = p d ( xe ) − p o ( xe ) = 0 , 2 p) ( xe ) = p ( xe ) ou, encore, 2 PE 3) p d ( x ) 0 3) p d ( x ) 0 e > e >   avec : p d ( xe ) : Le prix payable par les consommateurs pour acheter la quantité d’équilibre xe

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Chapitre 3

p

o

Equilibre Partiel

6

( xe ) : Le prix acceptable par les producteurs pour vendre la quantité d’équilibre

xe PE ( xe ) : L’écart qui sépare le prix payable par les acheteurs et le prix acceptable par

les vendeurs. Ces conditions caractérisent un équilibre car : Selon l’approche de Walras : au prix d'équilibre compétitif pe les outputs qui maximisent les profits des différents producteurs sont intégralement achetés par les consommateurs qui maximisent leurs utilités. A l’équilibre, aucune entreprise n’aura d’excédents non vendus et aucun consommateur n'est rationné. Cette égalisation entre l'offre et la demande du marché est appelée condition de compensation des forces du marché. Selon l’approche de Marshall : à la quantité d’équilibre compétitif, xe , le prix maximum que les consommateurs seraient disposés à payer, pour acheter cette quantité, est égal au prix minimum exigé par les producteurs pour vendre cette même quantité. En d’autres termes, les acheteurs payent leurs achats au prix minimum qu’ils peuvent trouver et les vendeurs au prix maximum qu’ils peuvent espérer. Cette égalisation traduit la condition de l’accord sur le prix

La perspective d'analyse: très court, court, moyen ou long terme (éclairage hors programme ) Remarque : La distinction entre les perspectives de court, de moyen et de long terme permet d’apporter des éclairages pertinents sur les processus conduisant à l’établissement de l'équilibre concurrentiel. En effet, la capacité de réaction, surtout pour l’entreprise, peut varier selon la perspective considérée. Pour le cas de l’entreprise, il serait même opportun de distinguer entre le très court terme, caractérisé par l’invariabilité des inputs, qui empêche toute augmentation de l’output, le court terme où les inputs variables permettent des adaptations limitées et, enfin, le long terme où tous les inputs peuvent devenir variables. Les adaptations peuvent se faire par l’extension des capacités productives des entreprises existantes ou par l’entrée de nouvelles entreprises dans l’activité considérée.

1) Analyse de très court terme A très court terme, tous les inputs sont fixes et aucune entreprise du marché ne peut changer sa production en réaction à des fluctuations instantanées de la demande. Les exemples de ces situations se produisent presque quotidiennement dans les marchés de produits alimentaires, ou le marché de poisson frais au quai de débarquement. Mi cr oéconomi e


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Chapitre 3

Equilibre Partiel

7

A très court terme, les offres des entreprises individuelles sont fixes et, par conséquent, la fonction d'offre globale est constante. Dans ce cas, le prix d'équilibre 

compétitif est unilatéralement déterminé par la demande. En effet, soient : y o = ∑ y j , j =1

l'offre x d ( p ) =

globale

constante (=

la

somme

des offres

individuelles

fixes),

et

m

∑ x ( p, R ) : la demande globale, habituellement, décroissante en fonction du i

i

1

prix. L’approche de Marshall, se trouve écartée, par la constance de l'offre. Par conséquent, selon la définition de Walras, la condition d’équilibre est : xd ( p) = y o et par conséquent, le prix d’équilibre est obtenu par l’intersection entre la courbe de demande et la verticale représentative de la quantité globale offerte. Le graphique suivant illustre cet équilibre : Prix

O p1e pe

1

D

pe2 D 2

0

xd = y o *

D Quantité

Ce graphique illustre l’impact, à très court terme, d’un déplacement de la courbe de demande sur le prix d’équilibre. Un déplacement vers la droite, D1 , qui reflète une expansion de la quantité demandée aux différents prix, se traduit par une hausse du prix d’équilibre qui passe à p1e . Par contre, un déplacement vers la gauche, D 2 , qui signifie un rétrécissement des quantités demandées aux différents prix, provoque une baisse du prix d’équilibre qui passe à pe2 . La hausse du prix, dans le cas d’expansion de la demande, s’explique par le fait qu’à très court terme, les entreprises sont incapables d’augmenter leurs quantités et, par conséquent, au prix d’équilibre initial, la quantité demandée excède la quantité offerte. Dans un marché de concurrence, on doit s’attendre à ce que le prix subisse une hausse par la pression des consommateurs qui attachent une valeur d’usage supérieure au prix du marché et seraient disposer à payer plus cher pour obtenir ce bien. Ce processus continuera aussi long temps qu’il existera des consommateurs prêts à payer plus cher que le prix courant pour obtenir le bien. Au terme de ce processus d’ajustements successifs le prix finira par s’établir au niveau p1e . Mi cr oéconomi e


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Equilibre Partiel

8

De même, la baisse de prix, dans le cas d’un déplacement vers la gauche de la courbe de demande, s’explique par le fait que l’ancien prix engendre une offre excédentaire dont l’absorption passe par l’entrée de nouveaux consommateurs ou par l’accroissement des quantités demandées par les consommateurs existants. Les deux mouvements reposent sur la baisse du prix, qui continuera de baisser jusqu’au nouvel équilibre qui s’établira à pe2 , prix maximum que les consommateurs seraient disposés à payer pour acheter la totalité de la quantité offerte. Remarque : Un déplacement de la courbe de demande, qui ne doit pas être confondu avec un déplacement le long de la même courbe de demande qui traduit une réaction à la variation du prix, peut trouver son explication dans les changements des conditions de la demandes (changements qui peuvent affecter, par exemples, le nombre de consommateurs, les préférences des consommateurs, les revenus de ces derniers ou les prix des autres biens).

2) Analyse de court terme La représentation graphique des courbes d'offre et de demande, permet d’illustrer le processus d’établissement de l’équilibre concurrentiel :

Prix

O p

0

pe D

0

( )

xd p 0

xd = yo *

*

( )

yo p 0

Quantités

Comme dans le cas du très court terme, si le prix du marché commence, par exemple, au prix p 0 , supérieur au prix d’équilibre, on aboutit à une situation d’excédent d'offre, yo ( p

0

) > x ( p ) . Pour résorber cet excédent, les entreprises doivent baisser le prix. 0

d

Cette baisse de prix finira par : • encourager la demande à travers l’accroissement des quantités demandées par les consommateurs initiaux et par la rentrée de nouveaux consommateurs; • décourager l'offre par la réduction des quantités offertes par chaque entreprise et par l’élimination d’entreprises marginales qui deviennent non rentables avec des prix plus bas. Mi cr oéconomi e


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9

Ce processus d’ajustement continuera jusqu'à ce que le marché ait atteint le point d’équilibre au niveau du prix pe . De la même manière, si le prix du marché commence à un prix inférieur, on se trouve dans une situation de demande excédentaire. Les consommateurs qui attachent, à ce bien, une valeur d’usage supérieure à son prix courant vont essayer d’augmenter le prix pour satisfaire leur demande. Le prix continuera à augmenter jusqu’au point d’équilibre. Cet ajustement peut se faire par différents mécanismes : Si l’output est réellement vendu aux enchères, la hausse du prix sera immédiate car la vente s’effectue au plus offrant. Si, les entreprises détiennent des stocks de sécurité, elles peuvent puiser dans leurs stocks pour répondre à cet excédent de demande. Ce qui aura pour effet, également, d’amortir la hausse des prix Remarque : le marché de court terme se distingue du marché de très court terme par le rôle joué par le système des prix : • Dans le très court terme, les prix commandent des mécanismes de rationnement qui indiquent aux consommateurs la valeur relative des différents biens et les incitent à substituer les biens relativement abondants (prix relatifs plus bas) aux biens plus rares (prix relatifs plus élevés). • Dans le court terme, en plus de ce rôle de rationnement, les prix orientent les entreprises vers des activités plus lucratives où la demande sur les outputs est élevée et/ou il existe des possibilités de choix de techniques plus économiques, plus productives ou plus efficaces.

3) Analyse de long terme Le long terme diffère du court terme à deux égards significatifs: de nouvelles entreprises peuvent entrer dans l'industrie, et des entreprises existantes peuvent adapter aussi bien leurs usines et équipements que les inputs variables à court terme. Cette adaptation leur permettra d'augmenter ou de réduire leur offre en réponse aux changements de la demande. Comme on l’a souligné plus haut, les changements de la demande peuvent provenir des changements des goûts des consommateurs, des variations de revenus liés à l'activité économique, des politiques de gouvernements (variation du taux d’imposition des revenus ou des dépenses publiques) ou des changements affectant les prix des autres biens. Les entrée et sorties des entreprises constituent un autre mécanisme par lequel l'offre du marché peut s’ajuster aux changements de demande. Les changements affectant aussi bien le nombre d’entreprises que les capacités productives des entreprises existantes affectent l’équilibre par le déplacement de la courbe d'offre qu’ils induisent. Mi cr oéconomi e


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Le graphique suivant illustre cette situation : O1 Prix

O

O

p1e

2

pe* D

pe2

0

x1d

xd* = yo* xd 2

Quantité

On constate que le retrait d’entreprises (ou la réduction des quantités produites) déplace la courbe d'offre globale vers la gauche, offrant aux entreprises restantes la possibilité de vendre plus cher leurs productions. Le prix d’équilibre est poussé vers le haut par la contraction de l'offre, la demande n’ayant pas subie de déplacement. Ce constat motive naturellement la recherche des causes explicatives des entrées ou des sorties de nouvelles entreprises dans une industrie? Rappelons que les décisions de l’entreprise se définissent sur la base du profit économique, c’est-à-dire, le profit ajusté pour tenir compte des coûts ou rendements d’opportunité liés au capital investi. Par conséquent, quand les entreprises d’une industrie font des profits économiques positifs, leurs gains dépassent le rendement moyen qu’auraient pu réaliser ces investissements s'ils étaient réalisés ailleurs dans l'économie. Cette situation peut-elle, cependant, persister ? Dans des conditions normales de concurrence pure et parfaite, cette situation ne peut pas persister puisque, profitable, elle va attirer de nouvelles entreprises dont la somme des productions finira par induire une expansion d’offre suffisante pour infléchir les prix à la baisse. Le processus continuera jusqu’à épuisement de la marge de profit. Parallèlement à cette baisse du prix de l’output. Deux situations peuvent se présenter du côté des inputs ou de l’efficacité des nouvelles entreprises : Première situation : l'entrée des nouvelles entreprises n'augmente pas les prix des inputs et par conséquent, n’aura aucun impact sur les coûts de production de toutes les entreprises, supposées identiques.

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11

Cette situation est illustrée au graphique ci-après. O

p

Cm ( y )

0

CVM ( y )

1

O

0 e

p

D

pe1

y

Deuxième situation : l’accroissement de l’offre s’accompagne d’une hausse des prix des inputs et, par conséquent des coûts de production des entreprises.

Le graphique suivant présente cette situation :

p

Cm 1

Cm 0 e

p

0

( y)

( y)

O0

1

( y) 0 CVM ( y )

CVM

O1

p1e D

0

y

Offre de long terme

Pour caractériser la courbe d'offre de long terme d’une industrie, on peut se placer dans le cadre d’une expérience simplifiée, où on provoque un déplacement de la demande et on observe la réponse concurrentielle de long terme à ce déplacement de la demande. Le déterminant clé de l’offre de long terme réside dans ce qui arrive aux coûts des inputs de long terme. Deux cas sont possibles : •

Si les prix des inputs n'augmentent pas, alors la courbe d’offre de long terme sera horizontale. Le déplacement de la courbe de demande, traduisant une expansion de la demande, provoque à très court terme, étant donné le nombre fixe des entreprises et la capacité limitée d’extension de l’offre, un excès de demande qui se traduit par une hausse du prix d’équilibre. Cet accroissement de prix va engendrer des marges de profits attractives pour de nouvelles entreprises et pour l’expansion des offres des entreprises existantes. Ce qui, à Mi cr oéconomi e


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12

mesure que l'offre augmente, conduira à un mouvement de repli du prix et l'ajustement continuera jusqu'à ce que le prix revienne de nouveau à sa position d’avant le déplacement de la demande, c’est-à-dire au niveau du seuil de fermeture (minimum du coût variable moyen). Ainsi, l’impact à long terme d’un déplacement de la demande se ramènera à un accroissement de la quantité échangée, qui passe de y 0 à y1 , sans aucun effet sur le prix d’équilibre de long terme. La courbe d’offre de long terme est donc horizontale.

Le graphique suivant illustre cette situation : Cm ( y )

p

0

O

O1

e

pCT

CVM ( y )

O LT

e p LT

D 0 y 0

0

•

y

1

y

Si l'entrée de nouvelles entreprises et les extensions des offres dans l'industrie font monter les prix des inputs, alors la courbe d'offre de long terme sera inclinée positivement (croissante). Le diagramme suivant illustre cette situation :

1

p e pCT

Cm CVM ( y ) 0

Cm

e

p LT

0

( y)

( y)

CVM

1

( y)

O

0

O1

O LT

1

D D 0

0

Mi cr oéconomi e

y 0

y


1

y

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Chapitre 3

Equilibre Partiel

13

3 2 . 2 Dynamique d d 'a just ement d es pr i x :: sst abilit é d d e l’ équilibr e. Un équilibre est dit stable s’il dispose de mécanismes autorégulateurs lui permettant de corriger, sans interventions externes, toute distorsion pouvant survenir dans le cadre d’un fonctionnement normal des mécanismes de marché. Autrement dit, la stabilité est la faculté par laquelle les mécanismes du marché seront en mesure de reconduire vers les prix d’équilibre. On distinguera entre stabilité statique, où toutes les réactions se font de manière instantanée et sans délais aussi bien des côtés offre et demande que des mécanismes d’ajustement des prix par le marché et stabilité dynamique où les mécanismes d’ajustement exigent des délais, plus ou moins importants pour produire leurs effets autocorrecteurs des distorsions observées.

3.2.1 Stabilité statique La condition de stabilité statique se définit, selon l’approche adoptée, par la décroissance de la courbe de demande excédentaire DE ( p ) ou de la courbe d’écart entre le prix maximum payable par les consommateurs et le prix minimum acceptable par les producteurs, PE ( x ) . Soit :

a) Selon l’approche de Walras dDE( p) dp

d ( xd ( p) − yo ( p ))

=

dp

=

dxd ( p) dp

−

dy o ( p ) dp

<0

b) Selon l’approche de Marshall dPE ( x) dx

d ( p ( x) − p ( x)) d

=

o

dx −1

⇔

d ( xd ( x)) dx

=

dpd ( x) dx

d ( yo ( x) dx

dpo ( x) dx

<0 dyo ( p)

−1

−

−

=

−

dxd ( p )

1 1 dp dp − = <0 dxd ( p) dyo ( p) dxd ( p) dyo ( p) dp

dp

dp

dp

Ces relations montrent que : • Si les fonctions de demandes et d’offres ont des allures habituelles, c’est-à-dire, respectivement décroissantes et croissantes, la condition de stabilité de Walras conduit à la même conclusion que celle de Marshall. Mi cr oéconomi e


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Chapitre 3

•

Equilibre Partiel

14

Lorsque l’une ou l’autre de ces fonctions est d’allure inhabituelle, par exemple un bien de Giffen du côté de la demande (qui devient croissante) ou un bien public avec rendements croissants du côté de l’offre (qui sera décroissante), les conclusions sont contradictoires. Un équilibre stable selon Walras est instable selon Marshall et inversement. Illustrations graphiques de ces situations p p

O DE ( p )

D

DE ( p )

p

O

O

D

PE ( x ) D

0

PE ( x )

x

x

0

a) W-stable M-stable

D

p

b) W-stable M-instable

DE ( p )

O

p

0 c) W-instable M-stable

x PE ( x )

O D

DE ( p ) PE ( x )

0

d) W-stable M-instable

x

0

e) W-instable M-stable

PE ( x )

x

3.2.2 Stabilité dynamique Dans l’approche dynamique, on admet la possibilité, plus réaliste, que les ajustements ne se fassent pas toujours de manière instantanée. Des retards dans les réactions peuvent concerner les mécanismes du marché qui peuvent ajuster les prix avec des périodes de retard. Elles peuvent également concerner la fonction d’offre, lorsque l’accroissement de l’offre exige un délai minimum pour la production, le transport ou l’importation. Pour la demande, cependant, on peut admettre que les consommateurs ont des besoins qui ne peuvent pas attendre et, par conséquent, sont plus enclins à s’adapter à la réalité du moment. Par conséquent on admettra que seuls le marché et l’offre peuvent s’ajuster avec retard et que le délai peut être considéré comme une variable discrète, approche très courante, ou continue. Dans un

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Equilibre Partiel

15

premier temps on considère que la variable délai, t , est discrète. Par la suite, on précisera les adaptations à faire dans le cas de variation continue.

a) Adaptation retardée des prix On suppose que le prix d’une période est basé sur le prix de la période précédente ajusté au besoin pour tenir compte de la demande excédentaire observée au terme de la période précédente. Soit pt = pt −1 + vDE ( pt −1 )

avec v > 0 : coefficient de conversion des unités de mesure, des unités de quantité en unités de prix, reflétant la vitesse de réaction du marché aux distorsions entre l’offre et la demande. La condition de stabilité est que "le prix finisse par se stabiliser entre périodes successives": pt = pt −1 = pe . Cette condition correspond donc à la condition de convergence de l'équation aux différences finies (pour les variations discrètes), ou de l'équation différentielle (pour les variations continues), qui définit la relation des ajustements successifs du prix. Pour simplifier, on admet, comme il est souvent de coutume, que les fonctions d’offre et de demande soient linéaires : xd ( pt ) = Apt + B et yo ( pt ) = apt + b ⇒ DE ( pt ) = ( A − a ) pt + ( B − b) . Par conséquent, la relation d’ajustement du prix devient : pt = pt −1 + v ( A − a ) pt −1 + ( B − b )  = (1 + v ( A − a ) ) pt −1 + v ( B − b )  kpt −1 + c

On obtient donc la forme d’une équation aux différences finies linéaire non homogène, qui peut être également assimilée à une progression géométrique non homogène de raison k . La condition de convergence peut être déterminée selon l'une ou l'autre de ces définitions. Par la méthode des progressions géométriques, si on remplace itérativement les prix par leurs expressions et en remontant jusqu'au prix de départ p0 , on obtient:

(1 − k ) t

pt = k p0 + c (1 + k + k + ... + k t

La

2

condition

1 + v( A − a ) < 1 ⇔ −

de 2 v

t −1

)=k

t

p0 +

convergence

1− k

est

c  t c  k +  1− k  1 + k  donnée par k < 1

c =  p0 −

ou

encore

< A − a < 0 . En tenant compte du fait que A et a sont les pentes

respectives des fonctions de demande et d'offre, la condition de stabilité dynamique

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Equilibre Partiel

2

dxd

v

dp

de l'équilibre peut s'écrire: − <

−

dyo dp

16

< 0 dont la deuxième inégalité correspond

à la condition de stabilité statique de l'équilibre. Par conséquent : • La réalisation de la stabilité dynamique assure la stabilité statique mais l'inverse n'est pas toujours vrai. • Les ajustements successifs se font avec oscillation pour: −1 < k = 1 + v ( A − a ) < 0 et sans oscillation pour : 0 < k = 1 + v ( A − a ) < 1 . •

La valeur limite (ou prix d'équilibre) est donné par : pt = pe =

c

, soit, en

1 − k remplaçant c et k par leurs expressions respectives v ( B − b ) et (1 + v ( A − a ) ) ,

on obtient : pt = pe =

B − b a− A

qui correspond au prix d'équilibre statique, pour

les expressions linéaires des fonctions de demande et d'offre. Par la méthode des équations aux différences finies, on se base sur les conditions initiales et de convergence pour déterminer la condition de stabilité de l'équilibre: La condition de convergence est : pt = pt −1 = pe ⇔ pe = kpe + c ⇔ pe =

c

1 − k

,

par conséquent, l'équation canonique de convergence sera de la forme : pt = k t p (0) +

c

1 − k

La condition initiale est : p0 = k 0 p (0) +

On

c

1− k

retrouve

⇔ p (0) = p − ainsi

la

c

1 − k

même

expression

qu'avec

la

méthode

c  t c  précédente pt =  p0 − et donc les mêmes conclusions. k +  k k − − 1 1  

b) Adaptation retardée de l'offre On suppose que l'offre s'adapte avec une période de retard pendant que la demande s'ajuste sans retard. Soit : yot = yo ( pt −1 ) et xdt = xd ( pt ) ce qui donne dans le cas linéaire: yot = apt −1 + b et xdt = Apt + B . a b−B La condition d'équilibre : xdt = yot donne pt = pt −1 + A

A

qui exprime une équation aux différences finies non homogène décrivant le processus d'ajustement du prix.

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Chapitre 3

Equilibre Partiel

17

Cette équation étant de la forme pt = kpt −1 + c , donc par application de l'une des deux méthodes précédentes, elle s'écrit : t

b−B b−B a  pt =    p0 − + A−a  A− a  A  

Elle converge si et seulement si

a A

< 1 ou , ce qui revient au même,

( A < a < − A si A < 0 ) ou ( − A < a < A si A > 0 ) Sachant que a =

dy0 dp

et A =

dxd dp

, on peut conclure que:

Si A < 0 , la stabilité dynamique assure la stabilité statique mais l'inverse n'est pas toujours vrai. En effet la première double inégalité de la condition de   dx dy stabilité dynamique exprime d’une part :  A − a = d − o < 0 , qui est la dp dp     dx dy condition de stabilité statique et d’autre part :  A + a = d + o > 0  dp dp   Si A > 0 , la stabilité dynamique est une négation de la stabilité statique. La   dx dy deuxième double inégalité exprime d’une part :  A − a = d − o > 0  , qui dp dp     dx dy exclut la stabilité statique et d’autre part :  −a − A < 0 ⇔ A + a = d + o > 0  dp dp  

•

•

c) Stabilité dynamique en variation continue ( éclairage hors programme ) Lorsque les variations sont continues, on suppose que le prix est une fonction du temps : p = p ( t ) dp (t ) dt

= vDE ( p ) ≅ pt − pt −1

Ce qui donne pour les expressions linéaires des fonctions de demande et d’offre : dp (t ) dt

= v( A − a) p + v( B − b ) qui est donc une équation différentielle linéaire non

homogène du premier ordre dont l’intégrale est de la forme : p = ke

v ( a− A) t

+z

avec : z : déterminée par la condition de convergence

dp

= 0 ⇒ z = pe =

B −b

et

a− A B − b B −b 0 et, par k : déterminé par la condition initiale, p0 = ke + ⇒ k = p0 − a− A a−A dt

conséquent, l’intégrale de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

Mi cr oéconomi e


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Chapitre 3

p = ( p0 −

Equilibre Partiel

B − b a− A

)e v ( a− A ) t +

18

B −b a− A

La condition de stabilité locale de l’équilibre, quelle que soit la valeur initiale de la variable, est v ( A − a ) < 0 , ou encore, puisque v > 0 , a − A < 0 , qui est la condition de la stabilité statique de l’équilibre. Remarque : Lors de l’étude de la stabilité statique de l’équilibre on n'a pas distingué l’aspect local de l’aspect global de la condition de stabilité. En variations continues, on fait cette distinction. Pour que la stabilité locale soit également globale, il faut qu’elle vérifie une condition supplémentaire : la condition de Liapunov de la stabilité dynamique globale de l’équilibre du marché qui s’exprime par : dV ( p ) dt

<0

V ( p) > 0 si p ≠ pe où V ( p ) , dite fonction de Liapunov, est telle que :  V ( p) = 0 si p = pe La fonction la plus utilisée est : V ( p ) = ( p − pe )

2

Application à l’adaptation retardée du prix

Dans le cas où DE ( p ) = ( A − a ) p + ( B − b) est linéaire, la condition de stabilité locale se confond avec la condition de stabilité globale :  dp  = kDE ( p ) = k ( A − a ) p + k ( B − b)  dt b−B   pe = A − a  2  b−B  V ( p ) =  p −  A − a    dV b−B  = 2  p −  k ( ( A − a) p + ( B − b) ) < 0 dt A− a   dV  0 A − a < ⇒ <0  2k 2 dt = [( A − a) p + ( B − b)] < 0 ⇒  A − a  dV < 0 ⇒ A − a < 0  dt Donc la condition de stabilité statique, A − a < 0 , coïncide avec la condition de stabilité globale dynamique

dV dt

< 0.

Conclusions : Mi cr oéconomi e


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Chapitre 3

•

•

•

Equilibre Partiel

19

Les conditions de stabilité sont variées. La théorie des marchés n’assure pas toujours l’existence ou la stabilité statique ou dynamique de l’équilibre. Donc les conditions de stabilité statique ou dynamique doivent être supposées vérifiées a priori. La théorie n’assure pas, non plus, l’unicité de la solution de l’équilibre. Cependant, s’il y a stabilité dynamique globale, alors la solution est forcément unique. C’est une condition suffisante mais non nécessaire. L’hypothèse qui dirait que l’équilibre est toujours déterminé, dans un marché de concurrence pure et parfaite, par le mécanisme des lois de l’offre et de la demande est une hypothèse arbitraire sans aucun fondement théorique ou empirique.

3.3 S Sur plus a associés à à ll’ équilibr e d d u m mar ché L’équilibre du marché ne peut être un objectif recherché par la collectivité que dans la mesure où il présente un intérêt social. Cet intérêt est mesuré par le surplus social qui mesure l’étendue entre la valeur d’usage des unités constituant la quantité d’équilibre et le coût de production de ces mêmes unités. Dans le cadre de la concurrence pure et parfaite, la collectivité se réduit aux seuls consommateurs et producteurs (absence de l’Etat). Par conséquent, le surplus social est partagé, par le marché, entre les consommateurs et les producteurs. La méthode analytique des calculs des surplus est déjà présentée aux chapitres relatifs à la théorie du consommateur et à la théorie du producteur. La représentation graphique de ces résultats se présente comme suit : p

O

S c

O

ε Dp

pe S s

0

S p

D

xe

x

≅

0

ε Op

D

xe

x

Dans le cas ou les élasticités de la demande et de l’offre sont égales en valeur absolue, les surplus des consommateurs et des producteurs sont sensiblement égaux. Par contre, lorsque ces élasticités sont différentes, le partage du surplus social se fait de manière inégalitaire en faveur du côté qui a la fonction la plus élastique.

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Chapitre 3

Equilibre Partiel

20

Les graphiques suivants illustre ces situations p

p

S c

pe

ε

Dp

<

ε

Op

ε

Dp

pe

>

ε

Op

S p

S p

0

S c

xe

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x

0


xe

x

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(2012-2013)


Chapitre 4

Equilibre Général

2


4.0 Introduction.................................................................................................................................................... 3 4.1 Équilibre général dans une économie de distribution........................................................................... 4 4.1.1 Hypothèses.............................................................................................................................................. 4 4.1.2 Formulation des équations du système............................................................................................... 4 a) Les équations de comportement ........................................................ .................................................. 4 b) Les équations d’équilibre ......................................................... ............................................................. 4 4.1.3. Résolution du système d’équilibre général........................................................................................ 5 4.2 Équilibre général dans une économie d’échange pur ........................................................... ................. 5 4.2.1 Définitions et concepts........................................................................................................................... 6 a) Agents économiques.............................................................................................................................. 6 b) Allocation ............................................................. .................................................................. ................. 6 c) Dotations initiales................................................................................................................................... 6 d) Ressources Totales ......................................................... ................................................................... ..... 6 e) Allocation optimale au sens de Pareto ......................................................... ....................................... 7 4.2.2 Hypothèses :............................................................................................................................................ 7 4.2.3 Formulation des équations du système............................................................................................... 8 a) Équations de comportement................................................................................................................. 8 b) Équations d’équilibre............................................................................................................................. 9 c) Énoncé et démonstration de la Loi de Walras. .................................................................. ............... 10 4.2.4 Résolution du système......................................................................................................................... 11 4.2.5 Illustration simplifiée pour le cas de deux consommateurs et deux biens................................... 12 a) Utilisation de la boîte d'Edgeworth ............................................................. ..................................... 12 b) Les données de base............................................................................................................................. 12 c) Propriétés caractéristiques de la boîte d’Edgeworth ................................................................... .... 13 d) Représentation graphique des courbes d’indifférence ............................................................... .... 14 e) Les courbes d’indifférences bloquantes............................................................................................. 14 f) Illustration du concept de l’optimum au sens de Pareto................................................................. 15 g) Courbe de contrat et noyau de l’économie....................................................................................... 17 h) Définition de l'équilibre général ........................................................ ................................................ 18 4.3 Équilibre dans une économie d’échange avec production ............................................................. ..... 21 4.3.1 Hypothèses............................................................................................................................................ 21 4.3.2 Formulation du système...................................................................................................................... 22 a) Équations de comportement des entreprises.................................................................................... 22 b) Équations de comportement des consommateurs........................................................................... 23 c) Équations d’équilibre des marchés ............................................................... ..................................... 23 4.3.3 Résolution du système d’équilibre général....................................................................................... 24

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Chapitre 4

Equilibre Général

3

4.0 I nt r ro d uct ion Les approches d’analyse adoptées jusqu'à maintenant étaient par nature partielles. Tout d’abord les demandes du consommateur, ensuite les demandes et l’offre du producteur et enfin l’équilibre d’un seul marché isolé sous l’hypothèse que tous les autres marchés s’ajustent de manière instantanée et optimale. Ce sont là des hypothèses peu réalistes. Les relations qui peuvent lier les biens et services entre eux, créent des interdépendances incontournables. L’approche d’équilibre général permet une prise en compte intégrale de l’ensemble des relations potentielles et des interdépendances qu’elles peuvent induire. Elle permet une détermination simultanée de l’ensemble des prix et des quantités produites, échangées et consommées. Pour des raisons pédagogiques, on va adopter une approche progressive qui permet de construire le modèle d’équilibre général, et les différents types d’équations qui le composent, par étapes successives : • Une première étape qui place l’analyse dans le cadre d’une économie de distribution qui se limite aux demandes des marchés, où les consommateurs sont présents par leurs fonctions de demande et les producteurs sont totalement absents. Les quantités globales disponibles sont connues et fixes. L’objet du modèle est donc de réaliser l’allocation de ces quantités disponibles aux consommateurs en fonctions de leurs besoins, exprimés à travers leurs fonctions d’utilité et appuyés par leurs pouvoirs d’achat respectifs. • Une seconde étape qui considère que les quantités globales disponibles sont initialement et intégralement détenues par les consommateurs, sous forme de dotations initiales qui constituent leurs seules sources de revenu. Les producteurs demeurent totalement absents et les échanges se font exclusivement entre consommateurs : c’est le cadre d’économie d’échange pur. • Enfin une dernière étape où, en plus des quantités initialement détenues par les consommateurs, des entreprises, exclusivement détenues par ces mêmes consommateurs, peuvent transformer les biens et services détenus par les consommateurs en d’autres biens ou services plus demandés ou générateurs de plus grandes valeurs ajoutées. Les profits réalisés sont intégralement redistribués aux consommateurs propriétaires pour augmenter leurs revenus : c’est le cadre d’une économie d’échange avec production .

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4

4.1 Équilibr e g énér al d d ans u une ééconomie d d e d ist r ri but ion 4.1.1 Hypothèses L’économie se compose de m consommateurs, i ; i =1,2,..., m et de n biens, i h ; h = 1,2,..., n . Chaque consommateur dispose d’un revenu monétaire R et d’un indice d’utilité pour exprimer ses préférences, U i ( xi1 , xi 2 ,..., xin ) .

4.1.2 Formulation des équations du système a) Les équations de comportement Dans une économie de distribution les équations de comportement sont données par les fonctions de demande individuelles de chaque consommateur pour chacun des biens. Ces fonctions de demande sont obtenues par la résolution du modèle du consommateur, développé au chapitre I.

(

)

xih = xih p1 , p2 ,..., pn , R i ; h = 1,2,..., n et i = 1,2,..., m

b) Les équations d’équilibre Les équations d’équilibre se rapportent aux marchés. Elles traduisent l’égalité entre la demande globale et la quantité globale disponible, W h , sur chaque marché. m

∑ x

ih

( p1 , p2 ,..., pn , R i ) = W h ; h = 1, 2,..., n .

i =1

Le modèle global se compose, par conséquent, de ( nm + n ) équations dont nm équations de comportement et n équations d’équilibre. Les inconnues sont en nombre égal dont n prix et nm quantités demandées.

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Equilibre Général

5

4.1.3. Résolution du système d’équilibre général Pour résoudre ce système, et compte tenu de la logique des équations qui le composent, on procède par dichotomie qui scinde le modèle global en deux sous systèmes correspondant aux deux types d’équations précédemment présentés : • Les équations d’équilibre qui permettent de déterminer les prix d’équilibre ; ( p1* , p2* , ..., pn* ) . • Les équations de comportement permettent de calculer les quantités individuelles demandées, en remplaçant les prix calculés dans chacune de ces équations, soit : xih* = xih ( p1* , p2*,..., pn*, R i ) ; h = 1,2,..., n et i = 1,2,.., m . Remarque : Dans le cadre d’une économie de distribution, les paramètres exogènes qui déterminent les comportements individuels n’obéissent pas à la même logique. Pendant que les prix sont déterminés de manière endogène par le modèle d’équilibre général, les revenus des consommateurs restent exogènes. Ils sont déterminés en dehors du modèle d’équilibre général. Dés lors, au niveau du marché, la propriété d’homogénéité de degré zéro n’est plus assurée et, par conséquent, le modèle permet de déterminer les prix monétaires des différents biens.

4 2 . 2 Équilibr e g énér al d d ans u une ééconomie d d ’ ’é chan g e pur Commençons par préciser certains concepts de base.

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6

4.2.1 Définitions et concepts a) Agents économiques Dans une économie d'échange pur, les agents économiques sont constitués par les consommateurs caractérisés chacun par ses préférences pour les différents biens et services qui composent l'économie et par ses dotations initiales en biens et services qui serviront comme sources de revenus.

b) Allocation Une allocation des ressources de l'économie est donnée par un vecteur (complexe, panier) des quantités de chacun des biens ou services que reçoit chaque agent économique. Dans le cas de m agents (ménages ou consommateurs) et n biens ou services échangés, alors une allocation sera définie par : xi = ( xi1 , xi 2 ,..., xin ) qui désigne le panier de consommation du consommateur i; i =1,2,..., m . Le vecteur des paniers de consommation x =  x1 , x 2 ,..., x m  qui définit la répartition des biens et services entre les agents économiques est appelé : une allocation.

c) Dotations initiales Puisqu'on se place dans une économie sans production, les agents obtiennent les revenus qu'ils réemploient dans l'achat des biens et services en vendant une partie ou la totalité des biens et services dont ils disposent initialement. Sous l'hypothèse que ces agents détiennent des quantités non négatives de tous les biens ou services qui composent l'économie, alors, ils choisiront de vendre les excédents par rapport à leurs besoins de certains besoins ou services pour pouvoir combler les déficits, par référence à ces mêmes besoins, ressentis pour d'autres biens ou services disponibles pour l'échange. Dans la pratique, les agents gagnent leurs revenus de la vente des biens et services dont ils sont dotés par la nature: services de travail, de la terre, du capital financier, et d'esprit d’entreprise. Pour distinguer entre les complexes des dotations et les paniers que choisirait l'agent pour sa propre consommation. Les dotations sont désignées par : ω i = (ωi1 , ωi 2 ,..., ωin ) ; i = 1, 2,..., m .

d) Ressources Totales Dans une économie d'échange pur, les ressources totales disponibles proviennent exclusivement des dotations initiales des agents économiques. Ces ressources totales sont également appelées quantités globales offertes:

Wh =

m

∑ ω ; h =1,2,...n ih

i =1

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Equilibre Général

7

La définition des ressources totales ou des offres globales permet de préciser les allocations réalisables parmi celles disponibles ; c'est-à-dire, celles qui cadrent avec les ressources totales disponibles :

m

∑ x

ih

m

= W h = ∑ ω ih

i =1

i =1

e) Allocation optimale au sens de Pareto Une allocation xˆ = ( xˆ1 , xˆ 2 ,..., xˆ m ) est efficace, ou optimale, au sens de Pareto si elle est m

∑ xˆ

réalisable,

= Wh ; h =1,2,..., n et, s’il n'est pas possible de trouver une autre

ih

i =1

allocation des ressources totales qui soit réalisable et meilleure au sens de Pareto; c’est-à-dire, non désavantageuse pour aucun agent et qui permet d’améliorer la situation d’au moins un agent. Autrement dit, une allocation est efficace si la seule manière d’améliorer la situation d’un agent est de détériorer la situation d’au moins un autre agent.

4.2.2 Hypothèses : Soit ω i = (ωi1 , ωi 2 ,..., ωin ) le vecteur des dotations initiales du consommateur i . Le revenu du consommateur i est donné par la valeur globale de ses dotations initiales, R = i

n

∑ p ω h

et la quantité globale offerte de chaque bien

h

h

est donnée par

1

Wh =

m

∑ω

ih

; h = 1,2,..., n .

i =1

Dans une économie d'échange pur, les revenus proviennent de la vente des dotations initiales. Par conséquent, la contrainte budgétaire du consommateur i s'exprime par : n

n

∑ p x ≤ ∑ p ω h

h =1

ih

h

h =1

ih

⇔

n

∑ p ( x h

h =1

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ih

− ω ih ) ≤ 0 ⇔

n

∑ p DE h

ih

≤ 0.

h =1


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4.2.3 Formulation des équations du système Compte tenu de cette nouvelle définition de la contrainte budgétaire, le modèle d’optimisation du consommateur peut être exprimé sur la base des demandes individuelles ou au moyen des demandes excédentaires des différents biens et services :   MaxU i = U ( x , x ,..., x ) i1 i2 in  ⇔ s/à : n n ∑ ph xih ≤ ∑ ph ω ih  h =1 h=1

  MaxU i = U i ( x − ω , x − ω ,..., x − ω ) i1 i1 i2 i2 in in  s/à : n ∑ ph ( xih − ω ih ) ≤ 0  h =1

  MaxU i = U i ( DE , DE ,..., DE ) i1 i2 in  ou, encore, s/à : n ∑ ph DE ih ≤ 0  h =1

La solution optimale donne les expressions des fonctions de demande individuelles du consommateur i , n   xih = xih  p1 , p2 ,..., pn , ∑ ph ω ih  ; h = 1, 2,..., n et i = 1, 2,..., m h =1  

ou, par la formulation alternative, les expressions des fonctions de demande excédentaire individuelles, n   DEih = xih  p1 , p2 ,..., pn ∑ ph ω ih  − ω ih ; h = 1, 2,..., n et i = 1, 2,..., m h =1  

Ces demandes peuvent être obtenues par les différences entre la fonction de demande individuelle et la dotation initiale du consommateur en chaque bien ou service ou, mieux encore, directement par la résolution du modèle adapté, avec comme avantage l’absence de l’expression de la contrainte, qui est forcément nulle à l’optimum (grâce aux hypothèses de la divisibilité parfaite des biens et services et de la non décroissance des fonctions d’utilité).

a) Équations de comportement Les équations de comportement sont données par les expressions des fonctions de demande n   xih = xih  p1 , p2 ,..., pn , ∑ ph ω ih  ; h = 1,2,..., n et i = 1,2,..., m . h =1  

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Equilibre Général

9

Elles peuvent également s’exprimer par les fonctions des demandes excédentaires : DEih = DEih ( p1 , p2 ,..., pn ) ; h = 1,2,..., n et i = 1,2,..., m . Ces fonctions de demande individuelles sont dorénavant homogènes de degré zéro par rapport aux prix. Par conséquent, l’un des prix peut être ramené à une valeur unitaire. Autrement dit, l’un quelconque des biens peut être choisi comme numéraire pour exprimer les autres biens et le revenu. Ce résultat est la conséquence de la nouvelle définition des revenus des consommateurs qui est linéaire homogène des prix.

b) Équations d’équilibre Les équations de comportement (ou fonctions de demande individuelles) permettent de calculer les fonctions de demande globales pour chaque marché : n   xh = ∑ xih  p1 , p2 ,..., pn , ∑ ph ω ih  ; h = 1,2,..., n i =1 h =1   m

ou, de manière équivalente, les fonctions de demande excédentaires : DEh =

m

∑ DE

ih

( p1 , p2 ,..., pn ) ; h = 1,2,..., n

i =1

Les équations d’équilibre correspondent, elles aussi, à celles de l’économie de distribution en tenant compte des nouvelles expressions des revenus résultant des hypothèses spécifiques à l’économie d’échange pur. Soit : n   m xih  p1 , p2 ,..., pn , ∑ pkω ik  = ∑ ω ih = W h ; h = 1,2,..., n ∑ i =1 k =1   i =1 m

Ou encore, DEh =

m

∑ DE

ih

( p1 , p2 ,..., p n ) = 0 ; h = 1,2,..., n

i =1

Le nombre total d’équations est ( nm + n ) , qui est le même que dans le cas de l’économie de distribution. Le nombre de variables indépendantes est, par contre, inférieur d’une unité ; soit ( nm + n − 1) dont nm quantités individuelles et seulement ( n − 1) rapports de prix à cause de la propriété d’homogénéité précédemment annoncée. Pour déterminer de manière simultanée l’équilibre sur l’ensemble des marchés, on commence par ramener le nombre d’équations à cadrer avec le nombre d’inconnues en démontrant que l’une des équations est redondante; c’est-à-dire, peut s’exprimer en fonction des autres équations. Pour cela on procède comme suit : Des hypothèses de la croissance des fonctions d’utilité et de la parfaite divisibilité de tous les biens et services, on peut affirmer qu’à l’optimum les contraintes budgétaires Mi cr oéconomi e


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Equilibre Général

10

sont satisfaites à l'égalité. Les fonctions de demande qui découlent de l’équilibre satisfont les contraintes budgétaires forcément à l’égalité. Pour chaque n

∑ p

consommateur, on a donc

h

( xi h − ω ih ) = 0 ∀i et, par conséquent, pour l’ensemble

h =1

des consommateurs on aura

n

∑ p DE ( p , p ,..., p ) = 0 ; h

h

1

2

n

h = 1, 2,..., n qui

est toujours

h =1

vérifiée comme identité : identité de Walras. L’intérêt de cette identité est dans le fait qu’elle peut, compte tenu de la définition des demandes excédentaires globales, s’exprimer par : n

m

∑ ∑ ph

h =1

DEih ( p1 , p2 ,..., pn ) =

n

∑ p (x

i =1

h

h

− W h ) =0

h=1

Puisque l'analyse ne concerne que les biens économiques, ph > 0; ∀h , cette identité implique que si l’équilibre est réalisé sur n − 1 marchés parmi les n marchés alors le marché restant est forcément en équilibre. Ces deux volets constituent ce qu’on appelle la loi de Walras qui peut être énoncée est démontrée comme suit :

c) Énoncé et démonstration de la Loi de Walras. Dans une économie qui se compose de n marchés : si chaque consommateur équilibre son budget (condition c1 ) et s’il y a équilibre sur ( n − 1) marchés (condition c2 ), alors, il y a équilibre sur le marché restant. •

La première condition ( c1 ) stipule que chaque consommateur équilibre son n m n budget : ∑ ph ( xih − ω ih ) = 0; i = 1, 2,..., m ⇒ ∑ ∑ ph ( xih − ω ih )  = 0 , et puisque

 h =1



i =1

 h=1



m et n sont finis, l’ordre de sommation

peut être permuté et par conséquent :

m  p x ( ω ) − ∑ ∑ h ih ih  = h =1  i =1 



n

n

∑ h =1



m

∑ 

ph 

i =1

xih −

m

∑ i =1

ω ih  =



n

∑ p ( x h

h

− W h ) =0 . La valeur des

h =1

demandes globales est égale à la valeur des ressources qui constituent à la fois les sources de revenus et les offres globales disponibles. •

La seconde condition ( c2 ) est la réalisation de l’équilibre sur n − 1 parmi les n marchés qui composent l’économie. Si, pour simplifier et sans perdre de généralité, on désigne ce marché par l’indice n , la condition traduit : xh = W h ; h = 1,2,..., n − 1 . Par ailleurs, notre analyse ne porte que sur les biens économiques, ph > 0 ∀h , la condition peut également s’exprimer par : ph ( xh − W h ) = 0 ; h = 1,2,..., n − 1 qui assure que

n −1

∑ p ( x h

h

− W h ) = 0

h =1

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•

Equilibre Général

11

La prise en compte des deux conditions permet de constater que : pn ( xn − Wn ) =

n −1

n

∑ p (x h

h

− Wh ) − ∑ p h ( x h − W h) = 0 et puisque le bien n est un bien

h =1

h=1

économique, pn > 0 , alors on obtient l’équilibre sur le marché n : xn = W n .

4.2.4 Résolution du système Comme pour le cas d’une économie de distribution, on procède par dichotomie, en résolvant le sous-système formé des n − 1 équations d’équilibre. Le choix de l’équation à écarter, qui est, a priori, arbitraire peut être aussi un choix raisonné pour réduire les difficultés, de quelque nature que ce soit, (paramètres imprécis, expressions des demandes complexes, etc.). Cette résolution permet de calculer les n − 1 prix des marchés concernés, exprimés en « équivalent unités » du bien écarté qui joue le rôle de numéraire et dont le prix est ramené à un niveau unitaire. Les prix des n − 1 autres marchés deviennent alors :

 p1 p2

( p1' , p2' ,..., pn' −1 ) ≡ 

,

 pn pn

,...,

pn−1 



pn 

Les quantités demandées seront obtenues en remplaçant les rapports de prix calculés dans les expressions des équations de comportement, qui sont homogènes de degré zéro par rapport aux prix : 

xih = xih  p1 , p2 ,..., pn ,



n

∑ k =1



 p1 p2



 pn pn

pk ωik  = xih 

,

,...,

pn −1 pn

n

,1,

pk

∑p k =1

n



ω ik  ;



h = 1, 2,..., n et i = 1, 2,..., m . Ces expressions mettent en évidence le rôle de numéraire

joué par le bien n dont le prix est ramené à l’unité. Les des différents biens peuvent ainsi être exprimées en, « équivalent unités » du bien n .

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Equilibre Général

12

4.2.5 Illustration simplifiée pour le cas de deux consommateurs et deux biens Ce cas particulier vise à introduire un certain nombre de concepts fondamentaux pour les analyses portant sur l’équilibre général ou sur l’optimum et le bien être social, objet du chapitre 5, qui sera traité dans le cadre de Microéconomie II. Il vise également à illustrer graphiquement la logique et le processus de l’établissement de l’équilibre général. L’analyse graphique s’appuie sur l’emploi du diagramme (ou boîte) d’Edgeworth.

a) Utilisation de la boîte d'Edgeworth Cette représentation graphique simple permet d'analyser la logique du processus et des règles qui fondent l’équilibre général et conduisent vers son établissement. Ce modèle simplifié de deux marchés et deux biens repose sur des hypothèses très restrictives et peu réalistes, surtout dans le cadre de la concurrence pure et parfaite. Néanmoins, il permet d’illustrer les fondements du raisonnement par la boîte d'Edgeworth qui ne peut être utilisé que dans ce cas simplifié. Evidemment cela n’empêche pas de supposer l'existence d'un grand nombre d'agents qui se divisent en deux groupes homogènes composés d’éléments identiques en termes de préférence et de dotations initiales et représentables par les deux agents types considérés dans le cadre de la boîte d'Edgeworth qui peut être interprétée comme une application à chacun des agents en termes de ratios per capita. Cette hypothèse d’agrégation permet, ainsi, de retrouver la condition du grand nombre d'agents que doit justifier un cadre de concurrence pure et parfaite.

b) Les données de base Les consommateurs disposent de dotations initiales, qui constituent leur seule source de revenu : (ω11 , ω 12 ) pour le consommateur 1 et (ω 21 , ω 22 ) pour le consommateur 2 , pour exprimer leurs demandes effectives, sur la base des prix et de leurs fonctions d’utilité respectives U 1 ( x11 , x12 ) et U 2 ( x21 , x22 ) . Ainsi, les revenus respectifs des consommateurs sont : R1 = p1ω11 + p2ω 12 et R 2 = p1ω 21 + p2ω 22 et les ressources (qui constituent également les offres) globales sont W 1 = ω11 + ω 21 et W 2 = ω12 + ω 22 . Les modèles individuels respectifs des consommateurs 1 et 2 sont :

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Equilibre Général

 MaxU 1 = U 1 ( x11 , x12 )  et s/à :  p x + p x ≤ pω + p ω 2 12 11 2 12  1 11

13

 MaxU 2 = U 2 ( x21 , x22 )  s/à :  p x + p x ≤ pω + p ω 2 22 21 2 22  1 21

Les graphiques illustrant ces équilibres peuvent se présenter comme suit : 02

x21 x12

E 2

E 1

x22 x11

01

La boîte d’Edgeworth prend la forme d’un rectangle ayant pour dimensions les quantités globales disponibles des différents biens. Les quadrants opposés servant de systèmes de repères respectifs les deux consommateurs 1 et 2 . Elle se présente ainsi : 02

x12

ω 21

x21

x22

x12 X 0

ω 12

W

ω 11

x11

01

ω 22 W 2

W 1

x22

x11

c) Propriétés caractéristiques de la boîte d’Edgeworth •

Chaque point de cette boîte réalise une partition intégrale des quantités globales disponibles entre les deux consommateurs. Ainsi, les points W et X réalisent cette partition : x11 + x21 = ω11 + ω 21 = W 1 et x12 + x22 = ω12 + ω 22 = W 2 . Pour passer de la situation initiale W à une situation X , le consommateur 1 a cédé une quantité de X 1 , égale à (ω 11 − x11 ) , pour obtenir un accroissement du bien

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14

à ( x12 − ω 12 ) . Le consommateur 2 a fait des déplacements de mêmes amplitudes mais en sens inverse (par rapport à son origine 02 ) • Chaque point de la boîte d’Edgeworth réalise une partition des ressources qui pourrait, sous certaines conditions, représenter un équilibre général des deux marchés. • Toute droite budgétaire est commune aux deux consommateurs . En effet, la droite budgétaire du consommateur 1 est : p1 x11 + p2 x12 = p1ω 11 + p2ω 12 . Or, compte tenu de la propriété précédente on peut écrire: x1h = Wh − x2 h ; h = 1, 2 et ω1h = Wh − ω 2 h ; h = 1,2 . Ce qui donne, en remplaçant ces expressions dans la contrainte budgétaire précédente, : p1 (W1 − x21 ) + p2 (W2 − x22 ) = p1 ( W1 − ω 21 ) + p2 ( W 2 − ω 22 ) ⇔ p1 x21 + p2 x22 = p1ω 21 + p2ω 2 2 qui est l’expression de la droite budgétaire du consommateur 2 . X 2 égal

d) Représentation graphique des courbes d’indifférence 02

x12 x21

x11

01

x22

e) Les courbes d’indifférences bloquantes Les courbes d’indifférences passant par le point commun des dotations initiales délimitent le lieu géométrique des partitions, D , préférables du point de vue de chacun des deux consommateurs :

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Equilibre Général

02

x12 ω 21 x21

15

W

ω 12

ω 22 D

1

u0 u02 1

0

ω 11

x11 x22

Dans le cadre d’une économie de marché où les échanges sont libres (non imposés), les points situés au-dessous de la courbe d’indifférence u10 seront refusés par le consommateur 1 puisque l’absence d’échange, représentée par W , lui assure une satisfaction plus grande. La courbe d’indifférence u10 est appelée une courbe bloquante du côté du consommateur 1. Le même raisonnement s’applique aux points situés au-dessous, par référence à l’origine 02 , de u02 qui joue le rôle d’une courbe bloquante du côté du consommateur 2 . Par conséquent, seuls les points situés à l’intérieur de l’anneau en gras sont préférables du point de vue des deux consommateurs. Cet anneau représente le lieu des situations mutuellement avantageuses pour les deux consommateurs. En effet, par tout point qui se situe à l’intérieur de cet anneau, tel que D , on peut tracer des courbes d’indifférences strictement préférables aux courbes initiales des deux consommateurs.

f) Illustration du concept de l’optimum au sens de Pareto Supposons que les deux consommateurs commencent par l'allocation W qui correspond aux dotations initiales. Cette allocation n'est pas optimale au sens de Pareto, parce qu’un déplacement le long de la courbe d'indifférence u02 , gardera constant le niveau d'utilité du consommateur 2 tout en permettant au consommateur 1 d’améliorer son niveau de satisfaction. Par contre, le point E , situé au point de tangence des courbes d'indifférence des deux agents est un optimum au sens de Pareto, puisque à partir du point E , tout déplacement le long, ou au-dessus, de u02 (ou de u11 ) pour améliorer le niveau de satisfaction de l’un des consommateurs sera accompagné d’une détérioration du niveau de satisfaction de l’autre consommateur 1 (ou 2 ).

Mi cr oéconomi e


I NSEA

Chapitre 4

x12 x21 ω 12

Equilibre Général

*

x21

ω 21

02 U 1  η 1 =   U 2 

W

U 1  E U  = η 2  2

*

1

ω 22



2

x12

* x22



1

u1 1

2 0

u

01

ω 11

16

* x11

x11

u0

x22

L’efficacité de l’allocation définie par le point de tangente commune aux courbes d’indifférence des deux agents peut être montrée formellement à partir de la résolution analytique des modèles ayant servi de base pour construire la boîte 2 d’Edgeworth. Soit u un niveau de satisfaction acquis pour l’agent 2 , le maximum accessible à l’agent 1, qui ne remet pas en cause les acquis de l’agent 2 , est donné par la solution du programme :  MaxU 1 = U 1 ( x , x ) 11 12  s/à :  2 U ( x21 , x22 ) ≥ u 2

Pour résoudre ce programme, on peut tout d’abord réduire le nombre de variables en tenant compte des conditions d’allocations réalisables : [ x11 = W1 − x21 et x12 = W2 − x22 ] , ce qui permet d’écrire la fonction de Lagrange sous la forme :

(

L( x21 , x22 , σ ) = U 1 (W1 − x21 , W2 − x22 ) + σ U 2 ( x21, x22 ) − u

2

)

Les conditions de premier ordre de l’optimum sont :  L21 = ( −U 111 + σ U 2 21 ) dx21 = 0  L21 = −U 111 + σ U 2 21 = 0    1 2 1 2 σ L U U d x = − + = ⇔ 0 ( )  22  L22 = −U 12 + σ U 22 = 0 12 22 22   2 ˆ2 2 2 ˆ L U x x U = ≥ ( , )  Lσ = U ( x21 , x22 ) ≥ U  σ 21 22

Si on élimine le multiplicateur de Lagrange σ dans les deux premières équations, on obtient la condition habituelle de la tangence où les taux marginaux de substitution 1

sont égaux pour les deux agents : TMS 112

Mi cr oéconomi e

2

 U   U  =  1  =  1  = TMS 212 . Ces conditions  U 2   U 2 


I NSEA

Chapitre 4

Equilibre Général

17





sont illustrées au graphique précédent par les vecteurs η1 et η 2 normaux respectivement aux courbes d’indifférences u11 du consommateur 1 et u02 du consommateur 2 .

g) Courbe de contrat et noyau de l’économie Le lieu géométrique des tangentes communes, des courbes d’indifférences des deux consommateurs, définit le lieu des convergences des appréciations de la rareté relative des deux biens : −

dx12 dx11

= TMS121 (W1 − x21,W 2 − x 22 ) = TMS 122 ( x 21, x 22 ) = −

dx22 dx21

.

Ce lieu est constitué par l'ensemble des optima au sens de Pareto. Il est connu sous le nom de courbe de contrat , notée CC ' . Son équation s’obtient directement de cette définition des TMS en résolvant (pour le cas de la méthode de substitution utilisée plus haut) x22 en fonction de x21 . Exemple : pour les fonctions d’utilité U ( x11 , x12 ) = Ax11α x12β et U ( x21 , x22 ) = Axν21 xθ 22 , la méthode par substitution de x11 et x12 donne les Taux marginaux de substitution s’écrivent :

α

U ( x11 , x12 ) = A (W1 − x 21 ) TMS 112 =

α (W2 − x22 ) β (W1 − x21 )

=

β (W2 − x 22 ) et

ν x22 θ x21

= TMS 212 et

la résolution de x22 en fonction de x21 donne l’équation de la courbe de contrat qui s’exprime par : x22 =

θ W2 x21 νβ W1 + (αθ − νβ ) x21

La portion NN ' de la courbe de contrat comprise entre les courbes d'indifférence bloquantes est appelée noyau de l'économie: Ensemble des points d'accords mutuellement avantageux pour les deux consommateurs.

Mi cr oéconomi e


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Chapitre 4

Equilibre Général

x12 ω 21 x21 ω 12

18

02 C '

W

ω 22 N '

N C

01

x11

ω 11

x22

h) Définition de l'équilibre général Un équilibre général est un équilibre pour chacun des consommateurs et pour chacun des marchés. La boîte d'Edgeworth, par sa construction assure l'équilibre des deux marchés en tout point commun. Ce point commun doit être également un point de tangence entre la droite budgétaire, qui est commune aux deux consommateurs, et une courbe d'indifférence pour chacun des deux consommateurs. Le point d'équilibre est donc un point du noyau de l'économie tel que la droite définie par la tangente commune vérifie l'équation budgétaire; c'est-à-dire passe par le point de dotation initiale W . Le point E constitue : 1

U   U  p Un équilibre pour chaque consommateur  1  = 1 =  1   U 2  p2  U 2  * *  x11 + x21 = W 1 Un équilibre pour chaque marché:  * *  x12 + x22 = W 2

• •

Le prix d'équilibre en

E

2

, qui est un prix relatif, est donné par :

*

 p1  −( x12 − ω12 ) −( x 22 − ω 22 ) =   = p x x 21 − ω 21 ω − 11 11  2

Par conséquent au terme de cet équilibre le consommateur 1 a cédé une quantité (ω 12 − x12* ) de X 2 au consommateur 2 en contrepartie d'une quantité ( x11* − ω 11 ) de X 1 . Le rapport de ces variations définit le taux moyen ( = marginal pour le cas linéaire) de l'échange de X 1 en terme de X 2 qui correspond au prix d'équilibre.

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Chapitre 4

Equilibre Général

x12 ω 21

x21

*

19

02

x21 C '

W

ω 21

ω 22 N ' E

*

x21

* x22

N C

01

x11 * x11

ω 11

x22

Évidemment, cet équilibre se définit par la réunion d’un ensemble de conditions (égalité des TMS , tangente commune, etc.). L’absence de l’une de ces conditions est une négation de l’existence de l’équilibre. A titre d’illustration, le graphique suivant présente la situation d’égalité des TMS en des points différents (et non en un point commun) : x12 ω 21 x21

ω 12

* x21

W

02 ω 22

E 1

*

x12

DE 2 > 0

E 2 DE 1 < 0

01

ω 11

* x11

* x22

x11 x22

Ce diagramme illustre des situations d’équilibres individuels de chacun des deux consommateurs mais qui conduisent à des déséquilibres au niveau des marchés : une situation de demande excédentaire du bien 2 , ( x12* + x22* > W 2 ) et d’offre excédentaire (demande excédentaire négative) du bien 1 ( x11* + x21* < W 1 ) . Ce résultat est une conséquence de l’utilisation d’un prix relatif inadéquat. Le prix relatif du bien 1 en termes du bien 2 est jugé trop élevé par les deux agents ; ou, ce qui revient au même, le bien 2 en termes de bien 1 est jugé bon marché. Pour corriger ces distorsions, il suffit donc d’ajuster le prix relatif en diminuant progressivement ( p1 / p2 ) jusqu’à ce que E 1 se superpose à E 2 . Mi cr oéconomi e


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Chapitre 4

Equilibre Général

20

Par ailleurs, l’équilibre général, quand il existe, peut être multiple. Le diagramme suivant illustre l’impact de la forme de la courbe de contrat (plus exactement de la portion définissant le noyau de l’économie) sur la multiplicité de l’équilibre. En effet une forme linéaire de cette courbe garantie l’unicité de l’équilibre général quand il existe. Donc la multiplicité nécessitera des formes particulières des courbes de contrat.

Mi cr oéconomi e


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Chapitre 4

Equilibre Général

21

Le diagramme suivant illustre cette situation : x12 x21

ω 12

02

ω 21 W

ω 22

x11

01

ω 11

x22

4.3 Équilibr e d d ans u une ééconomie d d ’ ’é chan g e a avec pr od uct ion 4.3.1 Hypothèses La seule différence avec le cas précédent réside dans la possibilité de transformation de certains biens ou services en d’autres biens ou services plus utiles, plus rares ou producteurs de plus de valeur ajoutée. Donc, en plus des m consommateurs, l’économie se compose de  entreprises qui se chargent de ces transformations dans le but de maximiser des profits, qui sont intégralement redistribués aux consommateurs proportionnellement à leurs parts respectives dans la propriété de ces entreprises. Soit θ ij : la part du consommateur i dans les profits de l’entreprise j ; j = 1, 2,..., ; i = 1, 2,..., m

, avec

m

∑θ

ij

= 1 . Sous l’hypothèse générale que chaque

i =1

entreprise puisse produire un ou à la limite tous les biens et services en utilisant un ou plusieurs inputs, le profit de l’entreprise j peut alors s’écrire sous la forme : Mi cr oéconomi e


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Chapitre 4

Equilibre Général

22

n  j n  j n  j n π ' = ∑ phY jh − ∑ ph X jh − DF π ' = ∑ ph (Y jh − X jh ) − DF π ' = ∑ ph y jh − DF h =1 h =1 h =1 h =1    ⇔ s/à : ⇔ s / à : s/à: G (Y ,...Y , X ,... X ) ≤ 0 G (Y − X ,..., Y − X ) ≤ 0 G ( y ,..., y ) ≤ 0 j1 jn j1 jn j1 j1 jn jn j1 jn      

Où •

G (.) est l’expression générale d’une fonction de production implicite qui

traduit toutes les formes de relations qui peuvent lier les outputs aux inputs ; • y jh est l’offre nette (algébrique) du bien h par l’entreprise j . Aussi y jh peut être négative ( h est un input net), positive ( h est output net) ou nulle ( h est soit totalement absent, soit produit pour un usage exclusivement interne à l’entreprise). La fonction de Lagrange équivalente s’écrit, en posant L ( y j1 ,..., y jn , µ ) = j

n

∑p y h

jh

π j = π ' j + DF sous la forme :

− µ G ( y j1,..., y jn )

h =1

Les conditions nécessaires de l’optimum (ou conditions du point de selle) sont :  L jh = ph − µ Gh = 0; h = 1,2,..., n  j  Lµ = G ( y j1 ,..., y jn ) = 0

L’interprétation économique de Gh diffère selon que h est un input (productivité marginale de l’input h ) ou un output (coût marginal du bien h ). Aussi, pour deux biens h et k ces différentes situations pourraient-elles se présenter comme suit : ph

Gh

Pmh

•

Si h et k sont des inputs :

•

Si h et k sont des outputs :

•

Si h est un input et k un output (ou inversement) :

pk

=

ph pk

Gk

=

=

Gh Gk

Pmk

=

Cmh Cmk ph pk

=

Gh Gk

=

Pmh Cmk

(ou

Cmh Pmk

)

4.3.2 Formulation du système a) Équations de comportement des entreprises La résolution du système de ( n + 1) équations à ( n + 1) inconnues permet de déterminer les expressions des fonctions d’offre nettes ou équations de comportement des entreprises : Mi cr oéconomi e


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Chapitre 4

Equilibre Général

; h = 1, 2,..., n; j = 1, 2,...,  . Soit un total de comportement des entreprises. y jh ( p1 , p2 ,..., pn )

23

équations de

n

b) Équations de comportement des consommateurs Du côté des consommateurs, seul le revenu a pu changer par rapport au cas de l’économie d’échange pur. Le revenu du consommateur i a augmenté d’un montant égal à la somme de profits résultant de ses parts dans les profits des différentes entreprises. Par conséquent, le revenu du consommateur i devient : l   R = ∑ phωih + ∑θijπ = ∑ phωih + ∑θij ∑ ph y jh = ∑ ph  ωih + ∑ θij yjh  h =1 j =1 h =1 j =1 h =1 h =1 j =1   n

i

l

n

l

n

n

j

Ces différentes formulations du revenu traduisent l’indifférence pour le consommateur de recevoir ses parts de profit sous forme monétaire ou sous forme de quantités physiques de biens ou services qui modifieront les niveaux de ses dotations initiales en biens et services. En remplaçant les expressions de revenus dans les équations de comportement dérivées dans le cas d’une économie d’échange pur on obtient : n l   xih = xih  p1 , p2 ,..., pn , ∑ ph (ωih + ∑ θ ij y jh )  , h = 1,2,..., n et i = 1,2,...m , soit au total nm h =1 j =1  

équations de comportement des consommateurs.

c) Équations d’équilibre des marchés Les équations d’équilibre sont obtenues par l’égalité entre l’offre et la demande sur chaque marché. Dans le cadre d’une économie d’échange avec production, les fonctions d’offre subissent des ajustements algébriques suivant le signe de la demande nette globale

yoh =

l

∑y

jh

( p1 , p2 ,..., pn ) .

j =1

Par conséquent, les n équations d’équilibre se présentent comme suit : n l l   m xih  p1 , p2 ,..., pn , ∑ ph (ωih + ∑θij y jh )  = ∑ ω ih + ∑ y jh ( p1 , p2 ,..., pn ) ∑ . i =1 h =1 j =1 j =1   i =1 ≡ xh = Wh + yh ; h = 1,2,..., n m

Donc le système comporte ( n + nm + n) équations au total. Quant au nombre d’inconnues, compte tenu de la propriété d’homogénéité de degré zéro par rapport aux prix à la fois des fonctions de demande et des fonctions d’offre excédentaires, un bien ou service peut être choisi comme numéraire et son prix peut être ramené à Mi cr oéconomi e


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Chapitre 4

Equilibre Général

24

l’unité. Par conséquent, le nombre d’équations dépasse d’une unité le nombre d’inconnues. La loi de Walras s’applique également dans le cadre d’une économie d’échange avec production. Elle permet de diminuer le nombre d’équations d’une unité et permet de conclure que l’équilibre sur ( n − 1) marchés est suffisant pour garantir l’équilibre général des n marchés.

4.3.3 Résolution du système d’équilibre général La résolution du système procède par dichotomie, comme pour les cas précédents, on résout le sous-système d’équations d’équilibre formé de ( n − 1) marchés choisis de manière raisonnée (ou arbitraire) pour déterminer les ( n − 1) rapports de prix en termes du bien choisi comme numéraire. Ces rapports de prix, seront remplacés dans les expressions, adaptées par l’application de la propriété d’homogénéité pour faire apparaître les rapports de prix désirés, des équations de comportement des consommateurs pour obtenir les quantités demandées et, des équations de comportement des producteurs pour obtenir les quantités des offres nettes qui exprimeront des offres (si elles sont positives) ou des demandes (si elles sont négatives).

Mi cr oéconomi e


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(2012-2013)


Chapitre 5

Optimum Economique et Bien- être Social

2


5.0 Introduction

3

5.1 Allocations efficaces dans une économie d’échange pur 5.1.1 Hypothèse 5.1.2 Détermination analytique des allocations efficaces 5.1.3 Formulation alternative du modèle

4 4 5 6

5.2 Allocations efficaces dans une économie d’échange avec production 5.2.1 hypothèses 5.2.2 Détermination analytique des optima de Pareto

7 7 8

5.3 Optimum de Pareto et équilibre général de concurrence pur et parfaite

9

5.4 Fonction d’utilité collective, Optima de Pareto et optimum social 5.4.1 Existence de la fonction d’utilité collective (ou de bien-être social) 5.4.2 Hypothèses sous-jacentes à la formulation de la fonction d’utilité collective 5.4.3 Optimum de Pareto et optimum social 5.4.4 Fonction d’utilité collective et Calcul économique

Mi cr oéconomi e


11 12 13 13 15

I NSEA

Chapitre Chapitr e5

Optimum Opti mum Ec Economiq onomique ue et Bien- être Social

3


L’objet de ce chapitre est de prolonger l’analyse de l’équilibre général, présenté dans la première partie de ce cours, en analysant l’efficacité économique et la portée sociale ses conclusions. Pour faciliter la compréhension de l’exposé, on commencera par préciser certains concepts couramment utilisés dans cette analyse. anal yse. Quelques définitions

Allocation : toute répartition des biens et services sur les agents est une allocation. allocati on. Etat de l’économie : C’est la description de la situation de chacun des prix et des agents économiques. Par exemple, si on a : • n biens h dont les quantités sont désignées par xh et les prix par ph ; h = 1, 2,..., n • m consommateurs i , dont les paniers de consommation sont x i = ( xi1 , ..., xih , ..., xin ) et les dotations initiales (ou ressources) ω i = (ω i1 , ...,ω ih , ..., ωin ) ; i = 1,2,...m

•

 producteurs j , dont le vecteur des offres nettes est désigné par y j = ( y j1 , ..., y jh , ..., y jn )

Un état de l’économie sera donné par ( xi , ω i , y j , ph ) ; i = 1, 2,..., m ; j = 1,2,...,  ; h = 1,2,..., n .

Cet état est dit réalisable s'il réalisable s'il vérifie toutes les contraintes de l’économie : c’est-à-dire, les contraintes budgétaires (ou de ressources) pour les consommateurs, de domaine des possibilités de production pour les producteurs et de non négativité pour les prix des marchés et les variables de décision. Cet état est dit optimal, optimal, s’il est réalisable et s’il est jugé le meilleur de tous les états réalisables. Ce jugement est porté par les consommateurs dont la satisfaction est l’objectif ultime de toute activité économique. Optimum au sens de Pareto : Pareto : un état E * de l’économie est un optimum au sens de Pareto s’il est réalisable et s’il n’existe aucun autre état E de l’économie qui soit Mi cr oécon oéconom omi e


I NSE SEA A

Chapitre Chapitr e5


4

réalisable et qui permette d’améliorer la situation d’un individu sans détériorer celle d’au moins un autre individu. Allocations efficaces efficaces : l’ensemble des optima au sens de Pareto constitue ce qu’on appelle les allocations efficaces.

5.1 Allocat ions ee f f icaces d d ans u une ééconomie d ’ ’é chan g e pur 5.1.1 Hypothèse

L’économie se compose de m consommateurs, ayant chacun un indice d’utilité U i = U i ( xi1 , ..., xih , ..., xin ) ; i = 1,2,..., m , qui se partagent les ressources globales W = (W1 , ..., Wh , ..., Wn ) ,

provenant des dotations initiales ω ih détenus par les m

consommateurs i ; i = 1,2,..., m , en biens h telles que Wh = ∑ ω ih ; h =1,2,..., n . i =1

Aussi, les concepts présentés plus haut s’adapteront-ils comme suit : • une allocation E est décrite par ( x1 , ....., xi , ....., x m ) où xi est le panier du consommateur i . Pour être réalisable, cette allocation doit vérifier la m

contrainte

∑ x

ih

≤ W h ; h = 1, 2,..., n où xih est la quantité du bien h attribuée au

i =1

consommateur i .

•

Pour

(

E 0

2 allocations

E1 = x11 , ..., x 1..., x i

m1

) . E

0

et E 1

telles

que :

(

E = x , ..., x ..., x 0

10

i0

m0

)

et

est un optimum au sens de Pareto Par eto si, pour un

consommateur i quelconque E 1 est préférable à E 0 , U i ( xi1 ) > U i ( x i 0 ) ⇒ ∃ au moins un autre consommateur κ pour qui E 0 est strictement non préférable à E 1 : U κ ( xκ 0 ) > U κ ( xκ 1 ) . Si cette implication n’est pas satisfaite alors l’allocation E 0 n’est pas un optimum au sens de Pareto.

Mi cr oécon oéconom omi e


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Chapitre Chapitr e5


5

5.1.2 Détermination analytique des allocations efficaces

Les allocations efficaces peuvent être déterminées, en choisissant un consommateur quelconque pour consommateur type (ou référence) et en lui affectant l’indice 1 , par la résolution du programme suivant :

 MaxU 1 = U 1 ( x11 , x12 , ..., x1n )  S/à :  i i  (σ i ) U ( xi1 , xi 2 , ..., xin ) ≥ U ; i = 2, 3, ..., m  m  ( ρ h ) xih ≤ Wh ; h = 1, 2, ..., n ∑  i =1 La fonction de Lagrange équivalente, en adoptant quelques notations vectorielles (v ) , s’écrit : 

      L( x1 , ...xi , ...xm , σ , ρ ) = U 1 ( x1 ) +

m

∑σ

i

(U (xi ) − U ) + i

i

i =2

n

∑ρ

h

(Wh −

h =1

m

∑x

ih

)

i =1

Les conditions nécessaires de l’optimum (ou de point de selle) sont :

 L1h = U h1 − ρ h = 0; h = 1,2,..., n  i i ,...., n; i = 2,3,.. 2,3,..., ., m  Lih = σ U h − ρ h = 0; h = 1, 2,..   Lσ = U i ( xi ) − U i = 0; i = 2, 3, ..., m  m  L = W − x = 0; h =1,2,..., n ∑ h ih  ρ i =1 

i

h

Ces conditions permettent de caractériser les conditions de l’optimum : • Pour deux consommateurs i et s et deux biens h et k , on a : σ iU hi = ρ h = σ sU hs i

s

 U  ρ  U  et σ iU ki = ρ k = σ sU k s .Ou encore ,  h  = h =  h  qui exprime qu’à  U k  ρ k  U k  l’optimum la valeur du TMS hk devient indépendante indépendante du du consommateur concerné. Les deux TMS hk sont égaux à un rapport de référence commun :

•

ρ h ρ k

.

Pour le consommateur de référence 1, on a :( ρ h = U h1 et ρ k = U k 1 ). Ceci montre qu’à l’optimum ρ h et ρ k expriment également les utilités marginales du consommateur de référence pour les biens respectifs h et k . Elles reflètent l’intérêt attaché par le consommateur 1 à des accroissements marginaux unitaires des quantités globales W h et W k à l’optimum. En effet, à titre

∂ L* (.) ∂U 1* (.) d’illustration, pour le bien h on a ρ h = = ∂Wh ∂W h



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Chapitre Chapitr e5


Par conséquent σ = i

ρ h U hi

6

1

=

U h U hi

, le coefficient de pondération du consommateur i est

inversement proportionnel à son utilité marginal et proportionnel à l’utilité marginale du consommateur de référence. La signification économique de cette relation est que la collectivité devrait normalement apprécier positivement la recherche de la satisfaction intégrale des besoins de tout consommateur i en bien i h , (U h → 0 ) , sauf si les conditions générales de l’économie, reflétées par l’utilité marginale du consommateur de référence, révèlent que la satisfaction intégrale est naturelle (U h1 → 0 ) ou que la rareté relative de la marchandise incite à une réduction générale, reflétée au niveau du consommateur de référence, de la consommation du bien h (U h1  ) est synonyme, par la décroissance de la fonction d’utilité marginale, d’une diminution de la quantité consommée. Evidemment, la fixation optimale des coefficients, σ i , est tributaire de la révélation des vraies utilités marginales par le consommateur type et par chacun des autres consommateurs, i; i = 2,3,..., m . Les solutions optimales sont donc données par les points de tangence commune qui définissent le lieu géométrique de la courbe de contrat (voir boîte d’Edgeworth au chapitre relatif à l’équilibre général) La résolution du système déterminé par les conditions nécessaires permet de déterminer les expressions expressions des allocations optimales au sens de Pareto : x*ih (W1 ,W2 , ..., Wn , U 2 , U 3 , ..., U m ) ; h = 1, 2,..., n et i = 1, 2,..., m ou, encore,  x1 (.) , ..., x m (.) 

5.1.3 Formulation alternative du modèle

Si on pose U 1 = 0 et σ 1 = 1 , ce qui permet au consommateur 1 de conserver son rôle de « consommateur type ou de référence », la fonction de Lagrange peut s’écrire sous la forme équivalente et plus générale : m m n m        i i i i , . . . , . . . , σ , ρ σ ( ) σ ρ L ( x1 xi xm ) = ∑ U xi − ∑ U + ∑ h  Wh − ∑ xih  (1) ou, en tenant i =1 i =1 h =1 i =1   compte de la constance des seuils minima des utilités, qui n’affecte pas la solution optimale : m n m n m          1 2 i i m L ( x1 , ...xi , ...xm , σ , ρ ) = ∑ σ U ( xi ) + ∑ ρ h Wh − ∑ xih  = S (U ,U ,. ,...U ) + ∑ ρ h W h − ∑ x ih  i =1 h =1 i =1 h =1 i=1     Le programme équivalent à cette fonction de Lagrange s’exprime par :



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Chapitre 5


7

m  m i i 1 2  MaxS (U ,U , ...,U ) = ∑ σ U ( xi1 , xi 2 ,..., xin ) i =1  s/à : m ∑ xih ≤ W h ; h = 1,2,...n ( ρ h )  i =1

Ce programme exprime l’objectif de maximisation d’une expression collective des utilités individuelles des consommateurs, S (.) : la fonction d’utilité collective. La forme particulière de cette expression collective implique implicitement l’affectation de coefficients de pondération, σ i , individualisés à chaque consommateur. Ces coefficients de pondération s’expriment en fonction (termes) du poids affecté au consommateur de référence, 1 . En effet, de l’expression du programme initial (1), on ∂S (U 1 , U 2 ,...U m ) ∂ L* (.) i i constate qu’à l’optimum on a : σ = ou, encore, σ = − qui ∂U i ∂U i peuvent traduire l’utilité marginale collective associée, à l’optimum, à un accroissement marginal de l'utilité du consommateur ou, au sacrifice social nécessaire pour permettre un accroissement unitaire, du seuil minimum de l’utilité du consommateur i .

5 2 . 2 Allocat ions ee f f icaces d d ans u une ééconomie d ’ ’é chan g e a avec pr od uct ion

5.2.1 hypothèses

Compte tenu du rôle central accordé aux consommateurs dans l’appréciation de l’optimum, l’introduction de la production s’apparente à une simple extension technique : elle introduit les possibilités d’extensions, techniquement réalisables, des quantités globales à allouer. Les  producteurs seront donc représentés par leurs quantités offertes y jh ; h = 1,2,..., n et j = 1,2,...,  et par les expressions de leurs fonctions implicites de production, G j ( y j1 ,..., y jh ,..., y jn ) ≤ 0 ; j = 1, 2,...,  .

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Chapitre 5


8

5.2.2 Détermination analytique des optima de Pareto

L’allocation optimale sera définie par la solution du programme suivant :   MaxU 1 = U 1 ( x , x ,..., x ) 11 12 1n  S/à :  i i ( , ,..., ) ; i = 2,3,..., m (σ i ) U x x x ≥ U  i1 i2 in  ( µ j ) G j ( y j1 , y j 2 ,..., y jn ) ≤ 0; j = 1,2,...,   m   ( ρ h ) xih ≤ Wh + ∑ y jh ; h = 1, 2,..., n  ∑  i =1 j =1 La fonction de Lagrange équivalente se présente comme suit : 





  





L ( x1 ,... xm , y1 ,... yl , σ , ρ , µ ) = U 1 ( x1 ) +

m

∑

σ i (U i ( xi ) − U i ) −

i =2

l

∑

µ jG j ( yj ) +

j =1

n

∑ h =1



ρh  Wh +



l

∑

y jh −

j =1

m

∑x

ih

i =1

  

Les conditions nécessaires de l’optimum sont :

 L1h = U h1 − ρ h = 0;  i i  Lih = σ U h − ρ h = 0;  L = − µ j G + ρ = 0; jh h  jh  i  i  Lσ = U ( xi ) − U = 0;  l m  L = W + y − x = 0; ∑ ∑ h jh ih  ρ j =1 i =1  j  Lµ = G ( y j1 , y j 2 ,..., y jn ) = 0;

h =1,2,..., n h = 1, 2,..., n; i = 2,3,..., m h = 1, 2,..., n; j = 1, 2,...,  i = 2,3,..., m

i

h =1,2,..n

h

j = 1,2,..., 

j

Ces conditions nécessaires permettent de caractériser les allocations optimales comme suit : • Pour 2 biens ( h et k ), 1 consommateur quelconque i et 1 producteur σ iU hi = ρ h = µ j Ghj ; ∀i; ∀j quelconque on a: j  i i j j σ U k = ρ k = µ Gk ; ∀i; ∀j i

j

 U  ρ  G  ⇔  h  = h =  h  ; i = 1,2,...m; j = 1,2,...  U k  ρ k  Gk  ρ h

1

U h

•

Le rapport de référence

•

consommateur choisi comme type. Les solutions optimales sont définies par les points des tangentes communes aux courbes d’indifférences dans l’espace des biens de consommation, aux

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ρ k

=

1

U k

est défini par les utilités marginales du


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9

points des tangentes communes des isoquants dans l’espace des inputs et aux tangentes parallèles aux courbes de transformation dans l’espace des outputs. La résolution du système défini par les conditions nécessaires permet de déterminer les expressions des allocations optimales :  x*ih (W1 , W2 ,..., Wn , U 2 , U 3 ,..., U m ), y jh (W1, W2 ,...Wn , U 2 , U 3,..., U m ) ; h = 1,2,...n ; i = 1,2,...m ;   1 1 m  j = 1,2,... . Ou, de manière condensée, ( x (.) ,..., x (.) ) , ( y (.) ,..., y (.) )    Quant à la reformulation alternative du modèle, elle se fait de la même manière que dans le cas de l’économie d’échange pur. Elle se présente comme suit : l m   L ( x1 ,... xm , y1 ,... yl , ρ , µ ) = ∑ σ U ( xi ) − ∑ µ G ( y j ) + ∑ ρ h  Wh + ∑ y jh − ∑ xih  i =1 j =1 h =1 j=1 i =1   l n l m   m j j = S (U 1 ,...,U ) − ∑ µ G ( y j ) + ∑ ρ h  Wh + ∑ y jh − ∑ xih  j =1 h =1 j =1 i =1   m













l

i

i

n

j

j

5.3 O O pt imum d d e Par et o eet équilibr e g énér al d d e concur r re nce pur et p par f ait e Théorèmes fondamentaux de la théorie de l’optimum (du bien-être) : Théorème1 : Un équilibre concurrentiel est un optimum de Pareto. Théorème 2 : A un optimum de Pareto on peut associer un équilibre général concurrentiel. • L’une des conditions fondamentales de l’équilibre général concurrentiel dans une économie d’échange avec production est : i

•

j

 U h  ph  Gh  =   ; i = 1,2,...m; j = 1,2,...,  . Cette condition fonde les   = U p k  k  Gk  comportements individuels efficaces de chacun des consommateurs et de chacun des producteurs face à tout couple de biens ou services. Une condition semblable fonde les conditions d’allocations efficaces (optima i

•

j

 U  ρ  G  au sens de Pareto)  h  = h =  h  ; i = 1,2,...m; j = 1,2,...,  , Cette condition  U k  ρ k  Gk  fonde les comportements optima de chaque consommateur et de chaque producteur face à tout couple de biens ou services. La seule différence entre les deux situations réside dans le rapport de référence qui est défini par les prix du marché dans un équilibre général et par les multiplicateurs de Lagrange (shadow prices) dans le cas de l’optimum.

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10

Le premier théorème de la théorie du bien-être, affirme que les prix déterminés dans un cadre de concurrence pure et parfaite sont des signaux suffisants pour orienter tous les agents économiques vers des décisions qui soient les meilleures des points de vue de chacun des agents et du point de vue (collectif) de l’ensemble des agents réunis. Par conséquent, dans un cadre de concurrence pure et parfaite, des actions individuelles décentralisées, guidées par des intérêts individuels et égoïstes peuvent conduire vers la réalisation de l’intérêt collectif. Cette assertion résume en gros le principe de la main invisible d’Adam Smith. Ce constat peut, cependant, induire en erreur en parlant d’optimum social (ou collectif) tout en omettant de rappeler que ce sont les dotations initiales qui déterminent les niveaux absolus des satisfactions des différents agents. Donc l’essentiel se détermine en dehors du marché par la donnée des dotations initiales qui fixent les pouvoirs d’achat respectifs des différents consommateurs. La recherche de l’optimum ne peut que prendre note et se baser sur des dotations initiales de départ, qui peuvent traduire des inégalités plus ou moins criantes. Elle définirait donc les meilleures allocations possibles des ressources dans le cadre et le respect de la répartition initiale des richesses qui peuvent éventuellement impliquer des inégalités sociales au départ. Le second théorème affirme qu’un optimum de Pareto peut résulter en tant que solution d’un équilibre général d’une économie dont les dotations initiales sont telles que les rapports des prix qui en résultent soient égaux ou proportionnels aux rapports des multiplicateurs de Lagrange déterminés, par la solution de l’optimum, pour les mêmes biens ou services.

Pour déboucher sur un équilibre général, un optimum doit être soutenu par une allocation initiale adéquate des dotations initiales (ou plus exactement des ressources dans le cas d’une économie avec production). Par conséquent, l’ensemble des points d’équilibres potentiels forme un sous-ensemble des optima au sens de Pareto. Ce constat peut être illustré à partir du graphique suivant : x12

1 ω 21

2 ω 21

C ' o

2

x21 1 ω 12

W 1

2

1

E

E

1 ω 22

D '

D 2 12

ω

W 2

2 ω 22

C

x11 o1

1 ω 11

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ω 112

x22


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La courbe de contrat CC ' représente l’ensemble des optima au sens de Pareto. L’allocation W 1 des dotations initiales soutient l’équilibre général E 1 . Elle définit, par rapport à W 1 , l’ensemble DE 2 des échanges mutuellement avantageux pour les deux agents. De même l’allocation alternative W 2 des dotations initiales soutient l’équilibre général E 2 et définit, par rapport à W 2 , l’ensemble E1 D ' des échanges mutuellement avantageux pour les deux agents.

5 4 . 4 F onct ion d d ’ ’u O pt ima d d e Par et o t ilit é ccollect ive , O et o pt imum ssocial

La caractérisation des optima de Pareto était fondamentalement spécifique à chaque allocation. Elle permettait de dire si oui ou non une allocation donnée est optimale selon le critère de Pareto. Mais les situations, quand bien même optimales au sens de Pareto, ne sont pas comparables entre elles. En effet, Pareto considérait que l’impossibilité de comparer les satisfactions individuelles ressenties par les agents, empêche la comparaison des situations optimales entre elles. Par ailleurs, la reformulation du programme de l’optimum nous a permis de déboucher sur une expression particulière d’une fonction objectif équivalente : m

(

1

2

S U , U ,..., U

m

) = ∑ σ U ( x i

i

i1

, xi 2 ,..., xim ) avec σ 1 = 1

i =1

Bergson et Samuelson ont présenté une expression similaire à la fonction S (.) qui établit une correspondance entre les niveaux des utilités individuelles et une fonction W (.) : fonction dite d’utilité sociale (ou collective), appelée également fonction de Bergson-Samuelson : W (U 1 , U 2 ,...., U m ) avec comme hypothèses :

•

W (.) est différentiable

•

W (.) est non décroissante par rapport à chacun de ces arguments qui signifie

que l’intérêt collectif n’est pas répulsif des intérêts individuels. Il ne s’inscrit pas en contradiction avec les intérêts individuels.

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12

5.4.1 Existence de la fonction d’utilité collective (ou de bienêtre social)

L’existence d’une telle fonction ne fait pas l’unanimité. La littérature économique permet de dénombrer plusieurs courants de pensées dont deux sont diamétralement opposés :

•

Un courant qui nie cette existence, qui, comme le fait Pareto, se base sur l’impossibilité de comparer les utilités individuelles pour conclure à l’impossibilité de résumer les préférences collectives par une expression mathématique capable de fournir une base aussi cohérente que celles président aux choix individuels. Le théorème d’impossibilité d’Arrow est un classique de cette littérature.

•

Un courant qui soutient une thèse opposée, en considérant que la décision collective est le fait d’une autorité (ou administration) représentative qui peut être assimilée à un ménage dans la logique de prise des décisions. Les décisions peuvent, par conséquent, s’appuyer sur une formulation des préférences de cette entité de décision, lesquelles préférences sont supposées refléter celles de la collectivité.

Entre ces deux positions, il existe un troisième courant qui introduit des critères de compensation permettant d’élargir l’ensemble des optima de Pareto. Seront alors considérés comme situations potentiellement optimales au sens de Pareto, toutes les configurations où des compensations, souvent virtuelles, peuvent amener les agents à lever volontairement leurs oppositions à l’optimalité de ces situations. On parlera alors de critères de compensation dont notamment ceux de Kaldor, de Hicks et de Scitovsky. Ces critères de compensation sont définis comme suit :

•

•

•

Critère de Kaldor : Un projet est dit présenter une amélioration potentiellement optimale au sens de Pareto, si ceux qui y gagnent sont en mesure de compenser ceux qui y perdent. Si la compensation est effectivement payée, alors le paquet formé par «le projet + la compensation » est optimal au sens de Pareto. Par contre, si la compensation est simplement virtuelle, comme il est souvent le cas, (le gain des uns est supérieur à la perte des autres), alors on parle d’amélioration potentiellement optimale au sens de Pareto. Critère de Hicks : Hicks a défini un critère semblable en privilégiant le côté des opposants (perdants). Il considère qu’une variation est potentiellement optimale au sens de Pareto si ceux qui y perdent sont incapables de payer ceux qui y gagnent pour les amener à renoncer au changement. Là aussi, le payement n’est que virtuel. Critère de Scitovsky : Le critère de Scitovsky regroupe les deux critères précédents. Il considère qu’un changement produit une variation Mi cr oéconomi e


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13

potentiellement optimale au sens de Pareto si ceux qui y gagnent sont en mesure de compenser ceux qui y perdent et, ceux qui y perdent sont incapables de dissuader ceux qui y gagnent par des compensations appropriées.

5.4.2 Hypothèses sous-jacentes à la formulation de la fonction d’utilité collective

h1 : Dans l’expression de W , les arguments sont les fonctions d’utilité individuelles

qui doivent vérifier certaines propriétés dont la mesurabilité, la divisibilité parfaite et la continuité. Seules les fonctions cardinales vérifient, en particulier, la propriété d’être mesurables. Car sinon, on ne pourrait pas distinguer entre une variation de U (.) provoquée par des variations des quantités consommées et une variation qui proviendrait d’une simple transformation monotone croissante tout en laissant invariables ces quantités. h2 : La formulation analytique de W . et son utilisation pour les besoins de la ()

détermination de l’optimum social, passe par l’acceptation des possibilités d’arbitrage entre utilités individuelles (donc entre individus). En effet, comme pour U (.) , on serait amener à définir des taux de substitution entre utilités des consommateurs différents. Autrement dit, on admettra implicitement le principe de la comparaison des utilités individuelles et la possibilité d’opérer des compensations entre elles.

5.4.3 Optimum de Pareto et optimum social

La détermination analytique des optima de Pareto et de l’optimum social peut se faire à partir du programme suivant :

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 MaxW = W (U 1 ( x1 ),U 2 ( x2 ),...,U m ( xm ) )  S/à :  j G ( y j1 , y j 2 ,..., y jn ) ≤ 0; j =1,2,...,  m   x ≤ W + y ; h = 1,2,..., n ∑ ih h jh ∑ i j 1 1 = = 

14

( µ j ) ( ρ h )

La fonction de Lagrange équivalente se présente comme suit :  m   L ( x1 ,..., xm , y1 ,... y , ρ , µ ) = W (U ( x1 ),..., U ( xm )) − ∑ µ G ( y j ) + ∑ ρ h  Wh + ∑ yjh − ∑ xih  j =1 i =1 j =1 i =1  









 

1



m





j

j



m

Les conditions nécessaires de l’optimum (ou de point de selle) : i  Lih = WU h = 1, 2,..., n; i = 1, 2,..., m ρ h = 0; i h −  j h = 1,2,..., n; j = 1,2,...,   L jh = − µ G jh + ρ h = 0;   m  L h =1,2,..n  ρ = Wh + ∑1 y jh − ∑1 xih = 0; j = i=   Lµ = G j ( y j1 , y j 2 ,..., y jn ) = 0; j = 1, 2,. ..,   h

j

On retrouve les mêmes conditions que celles obtenues pour l’optimum dans une économie d’échange avec production soit :

•

Pour deux ( 2 ) biens ( h et k ), un ( 1) consommateur quelconque i et un ( 1 ) producteur quelconque j on a : i

j

i j j WU  U h  ρ h  Gh  i h = ρ h = µ Gh ; ∀i; ∀j ⇔ =   ; i = 1,2,...m; j = 1,2,...    = i j j U ρ ρ µ WU G i j = = ∀ ∀ ; ;  i k k  k  Gk  k k

La première égalité exprime les conditions d’efficacité des consommations et, la seconde égalité traduit la condition de productions efficaces. L’ensemble exprime la condition d’efficacité globale des productions consommations.

•

Pour un ( 1 ) bien h et deux consommateurs ( i et s ), on a : W iU hi = ρ h Wi U hs ⇔ = i .  s W U h W U = ρ  s h s h

Le rapport

W i W s

= TMAC is exprime une sorte de taux marginal d’arbitrage collectif

entre utilités individuelles (donc entre individus). Le rapport des coefficients affectés aux individus, qui traduit le taux de transformation de l’utilité du consommateur s en utilité du consommateur i , doit être égal à l’inverse de leurs utilités marginales respectives pour chaque bien h . Cette relation traduit la condition de justice sociale : l’indifférence de la collectivité quant au destinataire Mi cr oéconomi e


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15

de l’unité marginale affectée, du bien h . En effet, dans le cas d’un bien et deux consommateurs l’indifférence collective se traduit par la constance de la fonction d’utilité collective s’écrit : i i avec W (U i ( xh ), U s ( xh ) ) = W ⇔ dW = 0 = WU dxi h + WsU hs dx s h = (WU − W sU hs ) dx h i h i h dxh = dxih = − dxsh > 0 car h est un bien privatif, s’il est positif pour l’un, il est

négatif

(opportunité

WU i h − WsU h = 0 ⇔ i

s

Wi Ws

=

manquée)

pour

l’autre,

alors

on

a:

s h i h

U

U

Remarques : La première série des conditions montre que : tout optimum social est un optimum au sens de Pareto. Par contre, la seconde série et la formulation générale de W (.) montrent que seuls quelques cas particuliers d’optima de Pareto peuvent constituer des optima sociaux. Ces cas se caractérisent par : σ i = W i ; c’est-à-dire, le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte sur les niveaux minima de satisfaction doit être égal à l’utilité marginale collective associée à une augmentation marginale unitaire de l’utilité du consommateur i .

5.4.4 Fonction d’utilité collective et Calcul économique

Le domaine des calculs économiques, en particulier celui de l’évaluation des projets publics, constitue l’un des champs les plus appropriés où la fonction d’utilité collective peut trouver des possibilités de son application. La fonction d’utilité collective peut constituer un fondement, ne serait-ce que théorique, pour des raisonnements économiques conduisant à la prise de décision, en particulier, dans le domaine des actions publiques. A un niveau global (ou collectif), la variation du bien-être social constitue le fondement le plus logique qui doit fonder les décisions. Se pose alors le problème de l’évaluation de cette variation. Doit-elle être chiffrée ou simplement indiquée de manière indirecte. Plusieurs approches alternatives sont utilisées : • Le principe du consensus est idéalement le plus approprié puisqu’il vérifie tous les critères de l’optimum au sens de Pareto. Mais ses chances de réalisation sont très réduites. • Dans les systèmes démocratiques, on a proposé le principe du vote majoritaire, pondéré ou non, pour décider de l’opportunité de réaliser ou pas des projets d’intérêt collectif. Ce principe repose sur le concept de la compensation des voix exprimées. Mi cr oéconomi e


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Chapitre 5


16

La formulation de la fonction d’utilité collective (de bien-être social), a pour objectif de présenter un outil analytique capable de traduire au moins la logique d’un vote majoritaire. Ce vote sera exprimé sur la base de l’unité monétaire. Le gain est interprété comme un vote favorable (appui) et le coût comme un vote défavorable (opposition). Le résultat du vote est indiqué par le bénéfice dégagé. Pour mieux expliciter ce passage de la variation de la fonction d’utilité collective à la variation des revenus des agents, on procède comme suit :   Soit W (U 1 ( x1 ),...,U m ( xm ) ) et deux allocations définies au voisinage de l’optimum collectif, la variation du bien-être social est donnée par : m m  n i  i dW = ∑ Wi dU = ∑ Wi  ∑ U h dxih  i =1 i =1  h =1  Or, l’optimum social assure un optimum à chaque consommateur d’où U hi = λ i ph , et m

n

m

par conséquent, dW = ∑ Wi ∑ λ ph dxi h = ∑Wi λ i

i =1

h =1

i =1

n

i

m

m

∑ p dx =∑ λ W dR = ∑ φ dR i

h

i

ih

i

i

h =1

i=1

i

i =1

avec φ = λ W i : coefficient de pondération collective de la variation du revenu du consommateur i , consécutive au changement opéré dans l’allocation des ressources. Si la collectivité est indifférente quant au destinataire de ces changements φ i = φ ∀i; i =1,2,..., m ; alors, la variation du bien-être collectif sera proportionnelle à la variation de la somme globale des revenus des consommateurs. i

i

m

∑ dR

dW = φ dR = φ

i

. Les variations de revenus peuvent a priori être positives ou

i =1

négatives. La résultante traduit en fait le bénéfice net de l’action envisagée (souvent un projet). Donc, le critère du bénéfice net peut servir de substitut approximatif de la fonction du bien-être social. Remarques :

•

La constance de φ i = φ ne pose pas de problèmes particuliers. En effet, φ i = λ iW i , peut également s’écrire en tenant compte des relations déjà 1 U h ∂U i i i établies dans les développements précédents : λ = = U R et W i = σ = i ∂ Ri U h soit en appliquant cette même règle pour l’allocation d’une unité monétaire de i

i

1

revenus W i = σ = i

U R1 i

U Ri

alors on obtient φ = λ Wi = U R i

i

U R1 1

i

i

i

U Ri

= U 1R = φ e t, par 1

m

conséquent, dW = φ ∑ dR i = U R1 dR . Cette formule approxime la variation du 1

i =1

bien-être par la variation du revenu, exprimée en unités d’utilité marginales du revenu du consommateur de référence.

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Chapitre 5

•


17

En adoptant la méthode de compensation entre gains et coûts, le calcul économique, étend l’ensemble des optima au sens de Pareto, à l’ensemble des situations potentiellement optimales au sens de Pareto.

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Chapitre 6

Optimum, Biens Publics et Effets Externes

2


6.0 Introduction....................................................................................................................................................

3

6.1 Optimum et biens publics ........................................................................................................................... 3 6.1.1 Formulation du modèle ......................................................................................................................... 3 6.1.2 Optimisation du modèle ........................................................................................................................ 4 6.1.3 Quelques principes pour le financement des biens publics ............................................................. 7 6.2 Optimum et effets externes ......................................................................................................................... 8 6.2.1 Effets externes engendrés par une activité de consommation. ........................................................ 8 6.2.2 Effets externes engendrés par une activité de production .............................................................. 11 6.2.3 Comment peut-on alors résoudre le problème des effets externes ? ............................................. 14 6.2.4 Détermination analytique du niveau de la taxe correctrice de la distorsion............................... 15 6.3 Solution de second rang (second best) ....................................................................................................

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16

Chapitre 6


3

6.0 I nt r ro d uct ion L’objet de ce chapitre est d’étudier l’impact de l’introduction des biens publics et des possibilités d’effets externes sur les règles de décisions des agents économiques et sur les conditions d’efficacité économique et sociale.

6.1 O O pt imum eet biens publics

Généralement, le bien public ou collectif est défini par opposition au bien privé. Le bien privé est soumis au principe d’usage privatif : l'unité consommée par un agent ne peut plus être consommée par un autre agent. Par exemple, en considérant la consommation xi du consommateur i; i =1,2,..., m d’un bien privé disponible en quantité globale y , on a : xi = y −

m

∑x

s

s ≠ i =1

Par contre, un bien est public s'il ne vérifie pas la propriété d’usage privatif : la consommation par un agent d’une unité du bien public n'empêche pas que la même unité soit consommée, peut-être en même temps, par d’autres agents. Donc chaque agent peut, sans porter préjudice aux autres, et en même temps qu'eux, consommer la totalité du bien public : xi = y ∀i . Cette même égalité peut également exprimer la condition d'équilibre du marché du bien public. Les services publics figurent en première place parmi les biens publics. Le bien public intervient par sa quantité, généralement égale à la quantité totale disponible en ce bien, dans la fonction d'utilité de chaque consommateur et dans la fonction de production de chaque producteur.

6.1.1 Formulation du modèle 

Notons par z la quantité de bien public, par xi = [ xi1 , xi 2 ,..., xin ] le vecteur des quantités de biens privés consommées par le consommateur

Microéconomie

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i et

par

Chapitre 6


4



y j =  y j1 , y j 2 ,..., y jn  le vecteur des offres nettes du producteur j; j = 1,2,...,  en biens

privés. La fonction d'utilité du consommateur i est : U i ( xi1 ,..., xin , zic ) ; i = 1, 2,..., m , et la fonction de production du producteur j est : G j ( y j1 ,..., y jn , z jp ) ; j = 1, 2,...,  . Le bien public est produit par une administration centrale, l’entreprise 0 , selon la fonction de coût total CT 0 ( z ) . Soit une allocation ( x 1 , x 2 ,..., x m , y 1,... y l , y 0 , z ) cette allocation sera efficace si elle est solution du programme suivant : m  i  Max ∑ σ iU ( x11 , x12 ,..., x1n , zic ) i =1  G j ( y j1 , y j 2 ,.... y jn , z jp ) ≤ 0 ( µ j ) ; j =1,...,   ( β ) CT ( z ) ≤ C  ( ρ zi )  zic ≤ z  z ≤ z ( ρ z j ) ip  l m (λ h ) ; h = 1, 2,.. .n ∑ xih ≤ Wh + ∑ y jh  i =1 j =1 Le lagrangien équivalent à ce programme se présente comme suit: L(.) =

m

i

l

∑σ U (x , z) − ∑ µ G i

i

i =1

j

j

j

( y , z ) + β (C − CT ( z )) +

j =1

n

∑ λ (W h

h

+ y h − xh ) +

h =1 m

∑ ρ ( z − z i z

i =1

ic



)+

∑ ρ ( z − z j z

jp

)

j =1

6.1.2 Optimisation du modèle Les conditions nécessaires de l'optimum se présentent comme suit: a) Par rapport aux biens privés:  Lih = σ iU hi − λ h = 0 ; h = 1, ..., n ; i = 1,..., m [ a − 1]  j j [a − 2]  L jh = µ Gh − λ h = 0 ; h = 1,..., n ; j = 1,...,  b) par rapport au bien public:   L = σ iU i − ρ i = 0 ; i = 1, 2, ..., m [b − 1] z z  z  j j [b − 2]  L z = − µ j Gz − ρ z = 0 ; j = 1,2,...,   m l  L = − β Cm + ρ i + ρ j = 0 [b − 3] ∑ ∑ z z z  z i =1 j =1 c) Par rapport aux multiplicateurs de Lagrange ic

jp

ic

jp

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5

  j  ( y j , z ) = 0 ; j = 1, 2,...,  L = G  µ   L β = C − CT ( z ) = 0   L ρ = z − zic = 0 ; i = 1,2,...m   L ρ = z - z jp = 0 ; j = 1, 2,...,   m   L = W + y − x = 0 ; h = 1,..., n ∑ ∑ h jh ih  λ j =1 i =1 j

i z

j z

h

Ces conditions du premier ordre montrent que pour les biens privés l'optimum est obtenu sous des critères identiques à ceux dégagés dans le cadre de l'optimum de Pareto. Pour tout couple de biens privés, le TMS de chaque consommateur est égal au TMT (ou TMST ) de chaque entreprise et au TMST de l’entreprise chargée de produire le bien public à partir d’inputs privés. i

U h U ki

=

λ h λ k

j

=

Gh

Gk j

; ∀(h, k ) ; ∀i ; ∀ j

Pour le bien public, par contre, la condition de l'optimum s'exprime différemment. Pour lui donner une forme facilement interprétable, considérons d’abord, un consommateur i et un producteur j , un bien privé quelconque et le bien public, les conditions du premier ordre correspondantes et les définitions des TMS et TMT (ou TMST ) nous permettent d’écrire : j j j i j  σ iU zi = ρ zi  G z   z U z G z −λ h dxhi h dyh i j  et  j j   z   j h  ⇔ ρ z = i λ h =  i i  G   Uh dz Gh dz σ U h = λ h  h h  Soit en remplaçant ces multiplicateurs dans la condition [b − 3] on obtient: j   l l  m   m Ui  m dx dy jh  G i j ih z z     (dxh  dyh )h  Cm z     z    z     i   j  h          h U G dz dz dz       1 1 1 1 1 1 i j i j i j h h      

Par conséquent, en présence du bien public, l'optimum est atteint lorsque le résultat de la somme des taux marginaux de substitution, entre le bien public et un bien privé quelconque (utilisé pour financer le bien public), de tous les consommateurs plus la somme des taux marginaux de transformation (ou taux marginaux de substitution technique) de toutes les entreprises, exprimés en termes du bien privé h , est proportionnel au coût marginal de production du bien public. Ce résultat traduit le fait que tous les agents soient concernés par la totalité de la quantité du bien public. En rappelant la signification du multiplicateur λ h , qui traduit le prix d’ordre (shadow price) affecté (collectivement) à un accroissement marginal unitaire de la ressource W h , à l’optimum et des multiplicateurs ρ zi et ρ z j qui sont les valeurs marginales (prix) affectées respectivement par le consommateur i et par le producteur j à un accroissement de l’offre du bien public d’une unité additionnelle à l’optimum, la condition [b − 3] peut être interprétée comme une collecte directe des

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6

prix individualisés consentis par chacun des usagers du bien public qu’il soit consommateur ou producteur. Elle peut également traduire de manière équivalente la collecte des quantités physiques que chaque usager serait disposé à sacrifier en bien privé h en contrepartie d’une unité additionnelle du bien public. Le prix social du bien collecté est donné par λ h . La condition d'efficacité n'impose pas que le taux marginal de substitution soit le même pour tous les consommateurs, ou que le taux marginal de transformation (ou taux marginal de substitution technique) soit le même pour tous les producteurs. Par conséquent, le prix du bien public est individualisé. Il peut changer d’un usager à l’autre en fonction de l’utilité marginale attachée par cet usager au bien public. Pour soutenir l'optimalité des décisions individuelles, les différences des TMS individuels doivent reposer sur des rapports de prix différenciés. Or le bien h étant un bien privé, son prix est déterminé par le marché et de ce fait doit être le même pour tous les agents, par conséquent, c’est le prix du bien public qui doit être différent d'un agent à l'autre pour pouvoir déboucher sur des TMS (ou TMT ) différents, à l'optimum. Si l'on désigne par p zi : le prix que le consommateur i serait disposé à payer pour une unité du bien public Z , et par p z j : la contribution de l'entreprise j au coût de production de cette unité de Z , alors les conditions respectives d'équilibre individuel pour le consommateur i et pour le producteur j seront : U

i z

U ih

dxih

 



dz

p

i

z

ph

dxih

 

pi z



dz ph

et

G

j z

G j h



dy jh

dz



p

j

z



ph

dy jh

p jz



dz ph

Autrement dit, à l’optimum avec présence d’un bien public on doit avoir : −dy jh dz −dxih ; ∀i ; i = 1, 2, . . ,m, ∀j ; j = 1, 2, ...,  ; = = i j p z

ph

pz

Le rapport de référence commun à tous les consommateurs et à tous les producteurs est donné par la quantité du bien public additionnelle par unité monétaire détournée d’une utilisation dans l’achat ou la production du bien privé. Des conditions précédentes on déduit : p zi =

ph dz

( −dxih ) qui exprime que la contribution du consommateur i au financement

d’une unité du bien public est proportionnelle à la quantité du bien privé que le consommateur serait disposé à sacrifier pour obtenir une unité additionnelle du bien public. p z j =

ph dz

( −dy ) qui traduit que la contribution de l’entreprise jh

j au financement du

bien public est proportionnelle à la quantité du bien privé qu’elle serait disposée à sacrifier pour obtenir une unité supplémentaire du bien public.

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7

6.1.3 Quelques principes pour le financement des biens publics Les conditions d’optimalité permettent d’approcher, au moins sur un plan conceptuel, le problème du financement du bien public. Sur le plan pratique cependant, la mise en œuvre de cette procédure pour le financement pose le problème de la détermination de la quantité exacte du bien h que le consommateur i serait prêt à sacrifier pour l'acquisition d'une unité du bien public. Autrement dit, le problème pratique repose sur la manière «d’amener les consommateurs à révéler leurs satisfactions exactes et les producteurs à révéler leurs intérêts exacts pour le bien public». En pratique, la formule adoptée pour résoudre les problèmes de financement du bien public s’appuie sur les principes suivants : Premier principe : le TMS entre deux biens X 1 et X 2 est une fonction croissante du niveau de disponibilité du bien à sacrifier. Autrement dit, pour un niveau satisfaction constant, ce principe traduit le fait que le TMS est décroissant de gauche à droite. Deuxième principe : Pour une quantité donnée du bien public, z = constante, la quantité du bien privé xh à sacrifier en contre partie de z augmente avec le niveau du revenu du consommateur concerné. −dxih augmente avec le revenu. Autrement dit, la désirabilité du Troisième principe : dz

bien public augmente avec le revenu. Ce dernier principe constitue l’un des fondements essentiels de la pratique de la taxe progressive sur les revenus, appliquée dans plusieurs pays en tant que système de collecte collective pour financer les projets publics. Le fondement de ce principe peut également être approché d’une manière intuitive. Pour cela, prenons, sur un plan purement conceptuel, pour critère d’équité sociale que « l’impact du sacrifice consenti pour contribuer au financement du bien public doit être le même pour tous les consommateurs » : −U hi dxih = Constante ; ∀i ; i = 1, 2,..., m i s et considérons deux consommateurs i et s tels que : U h > U h (le degré de satisfaction des besoins en bien privé h est plus faible chez le consommateur i que chez le consommateur s ) alors cette condition d’équité :

−U hi dxih = −U hs dxsh ⇒ ( − dxih ) < ( − dxsh ) qui traduit que « La contribution de chaque consommateur augmentera à mesure que son utilité marginale du bien privé, utilisé pour financer le bien public, diminue ».

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8

On sait par ailleurs, que les besoins en bien privé sont mieux satisfaits chez les consommateurs ayant des budgets plus élevés (riches) que chez les consommateurs à budgets réduits (pauvres).

6 2 . 2 O O pt imum eet e f f et s ee xt er nes Il y a effet externe lorsque le résultat de l'activité d'un agent est influencé par le comportement d'un autre agent, sans aucune contrepartie. L'absence de contrepartie signifie que l'effet enregistré ne résulte pas d'une transaction entre l'émetteur et le récepteur de l’effet externe. En se sens, il y a effet externe en absence de passage par le marché. L’effet externe peut être positif ou négatif. Par exemple, le profit d'une entreprise peut être une fonction croissante ou décroissante du comportement d'une autre entreprise. De même, la satisfaction d'un consommateur peut être affectée par le comportement d'un autre consommateur ou d’un producteur. On appelle économie externe l’effet externe positif et déséconomie externe l’effet externe négatif. De façon générale, en peut distinguer quatre types d’effets externes qui diffèrent selon la source (qui peut être un consommateur ou un producteur) et selon le signe (qui peut être positif ou négatif).

6.2.1 Effets externes engendrés par une activité de consommation. Supposons que le consommateur 1 consomme un bien X 1 qui affecte le niveau de satisfaction des autres consommateurs et les activités de production des producteurs. Soit x11, la quantité de X1, consommée par le consommateur 1, qui cause cet effet externe. L’optimum sous cet effet sera donné par la solution du programme suivant :

 MaxU 1 ( x11 ,..., x1n )  i i (σ i ) ; i = 2,3,..., m  s / à : U ( xi1 ,..., xin , x11 ) ≥ U  j G ( y j1 ,.... y jn , x11 ) ≤ 0 ( µ j ) ; j = 1,.. .,  m   x ≤ W + y ( λ h ) ; h = 1, 2,...n ∑ ih h jh ∑ j =1  i =1 Le lagrangien équivalent à ce programme se présente comme suit: m n m       L(.) = U 1 ( x1 ) + ∑ σ i (U i ( x i , x11 ) − U i ) − ∑ µ j G j ( y j , x11 ) + ∑ λ h  Wh + yh − ∑ xih  i =2 j =1 h =1 i =1   Les conditions nécessaires de l'optimum se présentent comme suit:

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a) Par rapport aux biens non générateurs d’effets externes :  L1h = U h1 − λ h = 0 ; h = 2,..., n [ a − 1]  i i [a − 2]  Lih = σ U h − λ h = 0 ; h = 1, ..., n, i = 2,..., m  L j j [a − 3]  jh = µ Gh − λ h = 0 ; h = 1, ..., n, j = 1, ...,  b) Par rapport à la quantité x 11 source d’effets externes : L11 = U11 +

m

∑

i σ U11 − i

i =2

l

∑µ G j

j 11

− λ 1 = 0

j =1

c) Par rapport aux multiplicateurs de Lagrange   L = U i ( x , x ) − U i = 0 ; i = 2,..., m 11 i  σ  j   Lµ = G ( y j , x11 ) = 0 ; j =1,...,   m   L = W + y − x = 0 ; h = 1,..., n ∑ ∑ h jh ih  λ j =1 i =1 Ces conditions du premier ordre montrent que pour les biens non générateurs d’effets externes, l'optimum est obtenu pour des critères identiques à ceux dégagés dans le cadre de l'optimum de Pareto. Pour tout couple de ces biens, le TMS de chaque consommateur est égal au TMT ou TMST de chaque entreprise: i

j

h

U hi i

Uk

=

λ h

Ghj

=

λ k

j

Gk

; ∀(h, k ) ; ∀i ≠ 1 ; ∀j; et ( pour i = 1; h ≠ 1 et k ≠ 1)

Pour la quantité x11 , par contre, la condition de l'optimum s'exprime différemment. Pour lui donner une forme facilement interprétable, cette condition peut être reformulée en remplaçant les multiplicateurs de Lagrange par leurs expressions déterminées à partir des conditions relatives aux biens privés. Ainsi des conditions [ a − 1] à [ a − 3] , on obtient : λh = U h1 = σ iU hi = µ j Ghj ; h = 2,..., n ;

et par conséquent : λ1 = U + 1 1

m



∑σ U − ∑ µ G i

i 11

j

i =2

j 11

= σ iU 1i = µ j G1j ; ∀j; ∀i ≠ 1 .

j =1

Ce qui donne également : σ = i

λ h U hi

et µ = j

=

U h1 U hi

λ h Gh j

L11 = U11 +

=

m

∑ i =2

; h = 2,..., n U h1 Ghj

; h = 2,...n 

i σ iU11 −

∑

µ j G11j − λ 1 = 0 ⇒ U11 +

j =1

m

∑ i=2

σ iU11i −

l

∑µ G j

j 11

= λ 1 = U11 − correction

j =1

Donc en présence d’effets externes, l'optimum est atteint si le multiplicateur de Lagrange associé au bien qui constitue la source de l’effet externe est égal à l’utilité marginale du consommateur source de cet effet, corrigée par la somme des effets sur Microéconomie

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10

l’ensemble des autres consommateurs et l’ensemble des producteurs. Ce résultat traduit le fait que tous les autres agents peuvent être concernés par cet effet externe qui peut être négatif ou positif pour chacun d’entre eux, négatifs pour les uns et négatifs pour les autres. Il peut, évidemment être nul pour certains d’entre eux. En termes de TMS et TMT , la condition d’optimalité de x11 peut, également s’écrire en remplaçant les σ i et les µ j par leurs expressions : L11 = U + 1 1

U h1

m

∑U U i h

i =2



i 11

−∑ j =1

U h1 j h

G

G − λ 1 = 0 ⇔ j 11

U11 U

1 h

m

+∑ i =2

i

U11 U

i h



−∑ j =1

j

G11 j h

G

=

λ1 U

1 h

=

λ 1

λ h

La condition d'efficacité impose que le rapport du multiplicateur de Lagrange du bien source des effets externes par rapport au multiplicateur de tout autre bien soit égal au TMS 1h du consommateur 1 (source de l’effet ) corrigé de la somme des j TMS (i11) h et des TMT (11 ) h , entre bien 1 (générateur des effets externes) et tout autre bien

h.

Sachant que : TMS

i

(11) h

=

i U11 i

Uh

=−

dxih dx11

⇔ dxih = −

i U 11

dx11 i Uh

Pour U 11i < 0 (effet négatif) ⇒ dxih > 0 : est la compensation, en équivalent de bien h , qu’il faut accorder au consommateur i , pour lui permettre d’éliminer l’effet négatif associé à l’augmentation de la consommation du consommateur 1 d’une quantité dx11 du bien 1 . Pour U 11i > 0 (effet positif) ⇒ dxih < 0 : est le gain du consommateur i , en équivalent de bien h , engendré par l’augmentation de la consommation dx11 . Autrement dit, c’est la quantité maximum de bien h que le consommateur i serait disposé à payer pour inciter le consommateur 1 à augmenter sa consommation du bien 1 de dx11 . j j G11 − dy jh G11 j TMT 11h = j = ⇔ dy jh = − j dx11 Gh

dx11

Gh

Pour G11 j < 0 (effet négatif) ⇒ dy jh > 0 : est l’accroissement de la production du bien h , nécessaire pour compenser l’effet négatif résultant de l’augmentation de la demande du consommateur 1 d’une quantité dx11 de bien 1 . Pour G11 j > 0 (effet positif) ⇒ dy jh < 0 : est le gain de productivité du producteur j , en équivalent de bien h , engendré par l’augmentation de la consommation dx11 . Autrement dit, c’est la quantité maximum de bien h que le producteur serait disposer à payer pour inciter le consommateur 1 à augmenter sa consommation du bien 1 de dx11 . En tenant compte de ces interprétations, la condition b) peut, également s'exprimer par :

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

m

λ 1 λ h

=

−dx1h dx11

m

−dxih

i =2

dx11

+∑



−∑ j =1

−dy jh dx11

−∑ dy jh

∑ x

ih

=

11

i =1

dx11

−

j =1

dx11

=

−(dxh − dy h ) dx11

=

−dX h dx11

Par conséquent, à l’optimum, le multiplicateur de Lagrange du bien 1 (source d’effets externe globalement positif) par rapport au multiplicateur de tout autre bien h doit être égal la quantité nette maximale que la collectivité tout entière (consommateurs et producteurs) serait disposée à sacrifier pour amener le consommateur 1 à augmenter sa consommation de bien 1 (source d’effet externe positif) d’une unité supplémentaire. Pour un effet globalement négatif on doit parler de la compensation minimale exigée par la collectivité (consommateurs et producteur) pour permettre au consommateur 1 d’augmenter sa consommation de bien 1 (source d’effet externe négatif) d’une unité marginale.

6.2.2 Effets externes engendrés par une activité de production Supposons que le producteur 1 produit un bien Y 1 qui affecte le niveau de satisfaction des consommateurs et les fonctions de production des autres producteurs. Soit y11 , la quantité produite par le producteur 1 et qui cause cet effet externe. L’optimum sous cet effet sera donné par la solution du programme suivant :

 MaxU 1 ( x11 , x12 ,..., x1n , y11 )  s/à : U i ( x , x ,..., x , y ) ≥ U i 11 i1 i2 in   1 G ( y11 , y12 ,..., y1n ) ≤ 0  j G ( y j1 , y j 2 ,.... y jn , y11 ) ≤ 0 m  ∑ xih ≤ Wh + ∑ y jh  i =1 j =1

(σ i ); i = 2,3,..., m ( µ 1 ) ( µ j ); j = 2,...,  (λ h ); h =1,2,.. .n

Le lagrangien équivalent à ce programme se présente comme suit : L(.) = U

1

m

1

i

( x , y ) + ∑ σ (U ( x , y = i

11

i

11

) − U i ) − µ 1G1 ( y11 , y12 ,..., y1n ) −

i 2

m   µ G ( y , y11 ) + ∑ λ h  Wh + yh − ∑ xih  ∑ j = 2 h =1 i =1   

j

j

j

n

Les conditions nécessaires de l'optimum se présentent comme suit: a) Par rapport aux biens non générateurs d’effets externes :

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 L1h = U h1 − λ h = 0 ; h = 1,..., n  i i  Lih = σ U h − λ h = 0 ; h = 1, ..., n; i = 2,..., m  1 1  L1h = µ Gh − λ h = 0 ; h = 2,..., n  L = µ j G j − λ = 0 ; h = 1, ..., n; j = 1,...,  h h  jh

12

[a − 1] [ a − 2] [ a − 3]

b) Par rapport à la quantité y11 source d’effets externes : L11 =

m

∑



σ U11 − µ 1G11 − i

i

i =1

∑µ G j

j 11

+ λ1 = 0

j =1

avec σ 1 = 1

c) Par rapport aux multiplicateurs de Lagrange   Lσ = U i ( xi , x11 ) − U i = 0 ; i = 2,..., m  1   Lµ = G ( y1 ) = 0   L = G j ( y j , x11 ) = 0 ; j =1,...,   µ m   L W y xih = 0 ; h = 1,..., n = + − ∑ ∑ h jh  λ j =1 i =1  Ces conditions du premier ordre montrent que pour les biens non-sources d’effets externes l'optimum est obtenu sous des critères identiques à ceux dégagés dans le cadre de l'optimum de Pareto. Pour tout couple de ces biens, le TMS de chaque consommateur est égal au TMT ou TMST de chaque entreprise.: i

1

j

h

U hi U ki

=

λ h λ k

=

Ghj Gk j

; ∀(h, k ); ∀i; ∀j ≠ 1 et pour j = 1, h ≠ 1 et k ≠ 1;

Pour le bien générateur de l’effet externe, y11 , par contre, la condition de l'optimum s'exprime différemment. Pour faciliter son interprétation, cette condition peut être reformulée en remplaçant les multiplicateurs de Lagrange par leurs expressions déterminées à partir les conditions relatives aux biens privés. Ainsi des conditions [ a − 1] à [ a − 3] , on obtient : λh = U h1 = σ iU hi = µ j Ghj ; h = 2,..., n ; n



Et, par conséquent, λ1 = µ 1G11 + ∑ µ j G11j − ∑ σ iU11i = σ iU 1i = µ jG1 j ; ∀i , ∀j ≠ 1 j = 2

Ce qui donne également : σ = i



L11 = µ 1G11 +

∑ j = 2

µ G11 − j

j

m

∑σ U i

i 11

i =1

λ h i

U h

=

1 h i h

U U

− λ1 = 0

i =1

; h = 2,..., n et µ = j

λ h j

Gh

=

U h1 j

Gh

; h = 2,...n

  j j m i i  ⇒ λ1 = µ G +  ∑ µ G11 − ∑σ U 11  i =1  j = 2  1

1 1

Donc en présence d’effets externes, l'optimum est atteint si le multiplicateur de Lagrange du bien source de l’effet externe est égal à la valeur de la marginale du bien source de cet effet corrigé par la sommes des effets sur l’ensemble des

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consommateurs et l’ensemble des autres producteurs. Ce résultat traduit le fait que tous les autres agents peuvent être concernés par cet effet externe qui peut être négatif ou positif pour chacun d’entre eux, négatifs pour les uns et négatifs pour les autres. Il peut, évidemment être nul pour certains d’entre eux En termes de TMS et TMT , la condition du premier ordre par rapport à x11 peut, également s’écrire en remplaçant les σ i et les µ j par leurs expressions :

  G11 j m U 11i  L11 = 1 G + ∑ j G − ∑ i U − λ 1 = 0 ⇒ 1 = = 1 +  ∑ j − ∑ i  Gh G U U Gh  j = 2 Gh i =1 U h  λ j = 2 i =1 h h h h La condition d'efficacité impose que le rapport du multiplicateur de Lagrange du bien source des effets externes par rapport au multiplicateur de tout autre bien soit égal au TMT 1h du producteur 1 (source de l’effet ) corrigé par la somme des TMT 11 j h et U h1



1 1

U h1

m

j 11

U h1

λ1

i 11

λ 1

G11

des TMS 11i h , entre bien 1 (générateur des effets externes) et tout autre bien h . Sachant que : i

i 11h

TMS

=

U11 U hi

=

−dxih dy11

i

⇔ dxih = −

U 11 U hi

dy11

Pour U 11i < 0 (effet négatif) ⇒ dxih > 0 : est la compensation, en équivalent de bien h , qu’il faut accorder au consommateur i , pour lui permettre d’éliminer l’effet négatif associé à l’augmentation de la production du producteur 1 d’une quantité dy11 de bien 1 . Pour U 11i > 0 (effet positif) ⇒ dxih < 0 : est le gain du consommateur i , en équivalent de bien h , engendré par l’augmentation de la production dy11 . Autrement dit, c’est la quantité maximum de bien h que le consommateur i serait disposé à payer pour inciter le producteur 1 à augmenter sa production du bien 1 de dy11 . −dy jh G j11 G j11 j TMT 11h = dy11 = ⇔ dy jh = − j j G

h

dy11

G

h

Pour G11 j < 0 (effet négatif) ⇒ dy jh > 0 : est l’accroissement de la production du bien h , nécessaire pour compenser l’effet négatif résultant de l’augmentation de la production de la production du producteur 1 d’une quantité dy11 . Pour G11 j > 0 (effet positif) ⇒ dy jh < 0 : est le gain de productivité du producteur j , en équivalent de bien h , engendré par l’augmentation de la production dy11 . Autrement dit, c’est la quantité maximum de bien h que le producteur serait disposé à payer pour inciter le consommateur 1 à augmenter sa consommation du bien 1 de dy11 . En tenant compte de ces interprétations, la condition b) peut, également s'exprimer par :

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

λ 1 λ h

=

−dy1h dy11



+

∑ j = 2

−dy jh dy11

−

m

−dxih

i=2

dy11

∑

∑ −dy =

j =1

dy11

14

m

−∑ − dxih

jh

−

i =1

dy11

=

−(dyh − dxh ) dy11

=

−dYh dy11

Par conséquent, à l’optimum, le multiplicateur de Lagrange du bien 1 (source d’effet externe globalement positif) par rapport au multiplicateur de Lagrange de tout autre bien h doit être égal la quantité maximale que la collectivité tout entière (consommateurs et producteurs) serait disposée à sacrifier pour amener le producteur 1 à augmenter sa production du bien 1 (source d’effet externe positif) d’une unité supplémentaire. Pour un effet globalement négatif, on doit parler de la compensation minimale exigée par la collectivité (consommateurs et producteur) pour permettre au producteur 1 d’augmenter sa production de bien 1 (source d’effet externe négatif) d’une unité marginale. En conclusion, on peut dire qu’en présence d’effets externes, qu’ils soient engendrés par une activité de consommation ou de production, l’égalité des TMS et TMT (ou TMST ) aux rapports du multiplicateur de Lagrange correspondants, condition nécessaire de l’optimum de Pareto en l’absence de ces effets, n’assure plus une allocation optimale des ressources. Elle conduit à une sous consommation, ou sous production, du bien source de l’effet (bien 1 dans notre cas) chez les agents qui ont bénéficié d’un effet externe positif et, à une surconsommation, ou surproduction, du bien source de l’effet chez les agents ayant subi des effets négatifs. En effet, dans le cas d’un effet externe positif, une unité supplémentaire de x11 (ou de y11 ), en plus de l’utilité marginale (ou de la marge bénéficiaire) de l’agent source de l’effet, apporte, sans contrepartie, une contribution dans l’accroissement des niveaux de satisfaction des autres consommateurs (et des marges bénéficiaires des autres producteurs). De même, dans le cas d’effets externes négatifs, une unité supplémentaire de x11 (ou de y11 ) entraîne, parallèlement à l’augmentation de la satisfaction du consommateur source (ou de la marge bénéficiaire du producteur source) des réductions des niveaux de satisfaction des autres consommateurs (et des marges bénéficiaires des autres producteurs).

6.2.3 Comment peut-on alors résoudre le problème des effets externes ? Il s’agit de déterminer comment peut-on assurer un niveau optimal de la production du bien source de l’effet externe positif (ou négatif). Supposons, sans restreindre la généralité, deux entreprises et deux biens et que la quantité y1 cause un effet externe négatif. C'est-à-dire, que la production du bien 1

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par le producteur 1 nuit la production du bien 2 par l’entreprise 2 et entraîne, donc, une réduction du niveau de production du biens 2 . La question est donc : sachant qu'il s'agit d'une surproduction du bien un (effet négatif ) comment rétablir l'allocation optimale. C'est-à-dire ramener le producteur 1 à agir dans le respect des exigences de l'efficacité sociale. Pour cela, plusieurs méthodes ont été proposées : La prohibition : l'interdiction de l'action produisant un effet externe négatif. Intervention de l’Etat : définition des niveaux acceptables pour les effets externes négatifs, mais cette intervention nécessite l'existence d'informations fiables sur les dommages causés par les effets externes négatifs. Action volontaire : par des paiements compensatoires mutuels. Ce qui peut déboucher sur des fusions des entreprises concernés. La réglementation gouvernementale : imposée un système de contrôle de l'Etat. Paiements incitateurs : aide à l'investissement par contribution dans les coûts du capital(par exemple, moins polluant). La taxation : qui se traduit par un transfert de l'entreprise « pollueur » à l'entreprise « polluée » par l'intermédiaire de l’Etat. La subvention : c'est l'entreprise « polluée » qui contribue dans la subvention de l'entreprise « pollueur » pour qu'elle réduise le niveau de sa pollution. Chaque méthodes à ses avantages et ses inconvénients. Donc il faut évaluer les avantages et les inconvénients de chaque méthodes et essayer d'arriver à l’action la moins pire

6.2.4 Détermination analytique du niveau de la taxe correctrice de la distorsion Supposons que l'entreprise 1 produit le bien 1 selon la fonction de coût variable total, CVT 1 ( y1 ) , et la fonction de profit : π 1 = p1 y1 − CVT 1 ( y1 ) et que l’entreprise 2 produit le bien 2 selon la fonction du coût variable total, CVT 2 ( y2 , y11 ) ; avec y11 , le niveau de y1 qui définit un certain seuil acceptable par l’entreprise 2 , qui cause un effet ∂CVT 2 ( y2 , y11 ) négatif sur l’entreprise 2 tel que > 0 , et la fonction de profit : ∂ y11 π 2 = p2 y2 − CVT 2 ( y2 , y11 ) .

Puisque l’effet est négatif, il est claire que pour l’entreprise 2 le niveau optimal de y1 est donné par y11 = 0 . C’est le seuil maximum à partir duquel l’entreprise 2 devra être compensée pour les dommages subis. Puisque l’effet est négatif le niveau optimal pour l’entreprise 2 sera y11 = 0 . Sinon, il faut compenser l’entreprise 2 pour l’effet négatif subi. Soit, t0 = δ  y1 ( 0 ) − y11 ( 0 ) : le prix associé à cet effet externe et, par conséquent, les profits réalisés sont :

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1 π = p1 y1 − CT ( y1 ) − t0 y1  2 π = p2 y2 − CT ( y2 , y11 ) + t0 y11

Les solutions sont données par y1 (1) , y2 (1) et y11 (1) . Si y1 (1) ≠ y11 (1) ⇒ t1 = t0 = δ  y1 (1) − y11 (1) . On a alors une formule itérative de détermination de la compensation qui s’écrit, pour une itération quelconque τ , comme suit : tτ = tτ −1 + δ [ y1 (τ ) − y11 (τ )]

La condition de l’accord sur la compensation optimale sera alors donnée par : tτ = tτ −1 = t * ⇔ y1 (τ ) = y1 (τ ) = y11*

et les fonctions de profit seront alors :

π 1 = p1 y1* − CT ( y1* ) − t * y1*  2 * * * π = p2 y2 − CT ( y2 , y1 ) + t y1

6.3 S Solut ion d d e ssecond r an g ( second best ) Nous connaissons les sources d’inefficacité dont les externalités, les biens publics, la concurrence imparfaite. Nous connaissons également les politiques d’intervention publique pour corriger certaines des distorsions créées par ces phénomènes dont l’impôt et taxes, la réglementation, le contrôle, l’intervention directe par la production, etc. La question qui se pose est de savoir ce qui se passera si le rétablissement des conditions de l’optimum de premier rang n’est plus possible. Peut-on définir une politique presque optimale (de second rang) avec les outils de politiques disponibles ? Réponse : Il n’y a pas de règle générale comparable, dans sa simplicité, aux conditions de l’optimum de Pareto. On peut dire :  S’il existe une distorsion dans un secteur, il n’est plus souhaitable, en général, de respecter les conditions de Pareto dans les autres secteurs (Malinvaud)

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S’il existe n distorsions, on ne peut pas dire que l’équilibre concurrentiel avec n-1 distorsions est meilleur (Green et Sheshinski) Les problèmes d’équité et d’efficacité deviennent inextricablement mêlés sauf si l’on dispose de systèmes de transferts forfaitaires personnalisés comme instruments de politiques économiques (Guesnerie et Laffont)

 

Par conséquent, les résultats découlant de l’analyse du second best peuvent contredire l’intuition de l’économiste acquise sur la base de la théorie du first best et chaque problème devient un cas particulier, à solutions particulières (non généralisables) et passe par des arbitrages entre l’équité et l’efficacité. Exemple : prenons le cas d’une entreprise publique qui produit un bien public Z sous une contrainte de financement dans le cadre d’une économie simplifiée de trois biens et un consommateur dont la fonction d’utilité est donnée par : U ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + H ( x2 ) + G ( x3 )

Le bien 1 est disponible en quantité globale W 1 . il peut être consommé ou transformé en biens 2 et 3 par une entreprise publique selon la fonction de coût total CT ( y 2 , y3 ) exprimée en unités du bien 1 (autrement dit, le bien 1 est utilisé comme numéraire). La fonction du coût total est strictement concave (rendements d’échelle croissants) et différentiable jusqu’au second ordre au moins. L’optimum de Pareto se formule alors comme suit :  Ma Ux ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + H ( x2 ) + G ( x3 )  s/à :  ( λ 1 )  x1 = W1 − C ( y2 , y3 )  ( λ 2 )  x2 = y2  x = y ( λ 3 ) 3  3 La fonction de Lagrange associé à ce programmes est : x3 ) L ( x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 , λ1, λ2 , λ3 ) = U ( x1, x2 , x3 ) + λ1 ( W1 − C ( y 2, y3 )) + λ 2 ( y 2 − x2 ) + λ 3 ( y3 −

Les conditions nécessaires de l’optimum sont :

 L x = 1 − λ 1 = 0   L x = H x − λ 2 = 0   L x = Gx − λ 3 = 0 1

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 ∂C ( y2 , y3 ) =0  L y = λ2 − λ 1 ∂ y  2   L = λ − λ ∂C ( y2 , y3 ) = 0 3 1  y ∂ y3  2

3

Il découle de ces conditions que : λ 1 = 1

∂C ( y2 , y3 ) ∂ y2 ∂C ( y2 , y3 ) λ 3 = G x = ∂ y3 λ 2 = H x2 =

3

En appliquant la règle de tarification au coût marginal et du financement du déficit par impôt forfaitaire on aura un équilibre de first best : p1 = 1 ∂C ( y2 , y3 ) o p2 = = H x = p2d ∂ y2 ∂C ( y2 , y3 ) p3o = = G x = p3d ∂ y3 2

3

Par contre, si au lieu du financement du déficit par l’impôt forfaitaire, on impose à l’entreprise la contrainte d’équilibre financier de son activité : p2 ( y2 ) y2 + p3 ( y3 ) y3 − C ( y2 , y3 ) = 0 ,

le problème devient :

 Ma Ux ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + H ( x2 ) + G ( x3 )  s/à :  x = W − C ( y , y ) 1 2 3  1   x2 = y2  x = y 3  3  p2 ( y2 ) y2 + p3 ( y3 ) y3 − C ( y2 , y3 ) = 0

( λ 1 ) ( λ 2 ) ( λ 3 ) (λ 4 )

et le lagrangien devient : L ( x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 , λ1, λ2 , λ3, λ 4 ) = U ( x1, x2, x3 ) + λ1 ( W1 − C ( y 2, y 3 ) ) + λ 2 ( y 2 − x 2 ) +

λ3 ( y3 − x3 ) + λ 4 ( p2 ( y2 ) y2 + p3 ( y3 ) y3 − C ( y2 , y3 ))

Les conditions nécessaires sont :

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 L x   L x   L x   L y    L  y 


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1

= 1 − λ 1 = 0

2

= H x − λ 2 = 0

3

= Gx − λ 3 = 0

2

= λ2 − λ1

∂C ( y2 , y3 )  ∂p ( y ) ∂C ( y2 , y3 )  + λ 4  p2 ( y2 ) + y2 2 2 − =0 y y ∂ y2 ∂ ∂ 2 2  

3

= λ3 − λ1

∂C ( y2 , y3 )  ∂p ( y ) ∂C ( y2 , y3 )  + λ 4  p3 ( y3 ) + y3 3 3 − =0 y y ∂ y3 ∂ ∂ 3 3  

2

3

De ces conditions on dérive : p2 = p2 ( x2 ) = p2 ( y2 ) = λ 2

 1 p − Cm2 λ 1 ⇒ p2 − Cm2 (1 − λ4 ) = λ 4 p2 1 +  ⇔ 2 =− 4 p2 1 + λ4 ε 2  ε2 

p3 = p3 ( x3 ) = p3 ( y3 ) = λ 3

 1 p − Cm3 λ 1 ⇒ p3 − Cm3 (1 − λ4 ) = λ 4 p3 1 +  ⇔ 3 =− 4 1 + λ4 ε 3 p3  ε3 

L’écart relatif du prix par rapport au coût marginal est proportionnel à l’inverse de l’élasticité prix de la demande du bien concerné. Le coefficient de proportionnalité est choisi tel que la contrainte de financement soit toujours vérifiée. Si cet écart est interprété comme une taxe relative, alors on taxera lourdement les biens dont les demandes sont les moins élastiques ce qui va à l’encontre de l’objectif de la justice sociale. Pour les deux biens, le rapport des écarts devrait vérifier : p2 − Cm2 p ε = 2 3 p3 − Cm3 p3 ε 2

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Syllabus, Exercices d’Application et Bibliographie

(2012-2013)

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Contenu Syllabus Consistance Plan détaillé du cours

3 3 3 3 4 5 5 6

Chapitre1 : THEORIE DU CONSOMMATEUR Chapitre 2 : THEORIE DE L’ENTREPRISE Chapitre 3 : EQUILIBRE PARTIEL (dans un marche isolé) Chapitre 4 : EQUILIBRE GENERAL

Chapitre 5 : OPTIMUM ECONOMIQUE EFFICACITE ECONOMIQUE ET BIEN ÊTRE SOCIAL Chapitre 6 : L’OPTIMUM ET LES INTERDEPENDANCES CREEES PAR LES BIENS PUBLICS ET LES EFFETS EXTERNES 7 Exercices d’application Questions communes Ch.1 Comportement du consommateur Ch.2 Comportement du producteur Ch.3 Equilibre dans un marché isolé Ch.4 Equilibre général Ch.5 Optimum et efficacité Ch.6 biens publics et effets externes

7 7 8 12 14 16 18 20

Références bibliographiques 1. Les imprimés 2. Documents numériques de sources Internet

22 22 23

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Syllabus Consistance Microéconomie : est la première partie d’un cours qui s’étend sur deux semestres. Elle a pour objet d’initier à l’analyse des décisions économiques. Ces décisions concerneront : - dans une première phase les choix des agents (consommateurs et producteurs), pris individuellement et, débouchant sur des expressions traduisant les principales caractéristiques des comportements stratégiques de ces agents face aux paramètres exogènes (prix, revenus, savoir-faire technique, etc. ) et à leurs variations. - Dans une seconde phase, les résultantes agrégées des demandes et des offres individuelles seront considérées comme des forces qui inter agissent pour définir les prix d’équilibre pour chaque marché pris isolément, et pour l’ensemble des marchés pris dans leurs interdépendances. Le contexte de l’analyse pour les 5 premiers chapitres de la Microéconomie I est le cadre de la concurrence pure et parfaite, un cadre théorique qui sera progressivement remis en question dans le 6ème chapitre et dans la deuxième partie (Microéconomie avancée) en éliminant les principales hypothèses restrictives qui caractérisent le cadre concurrentiel. Ce cours, qui constitue un prolongement du cours d’introduction à l’analyse économique, se différencie par un usage plus intensif des mathématiques pour dériver les principales règles de décision.

Plan détaillé du cours Chapitre1 : THEORIE DU CONSOMMATEUR

1.0 Introduction 1. 1. Approche classique 1.1.1 Domaine des choix possibles a) Contrainte physique b) Contrainte légale ou religieuse d'interdiction, c) Contrainte budgétaire ou de gestion administrée 1.1.2 Critères qui fondent le choix du consommateur a) Définition d'une relation de préférence b) définition d'une fonction d’utilité 1.1.3 Détermination des fonctions de demande Mi cr oéconomi e


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a) Conditions nécessaires de l'optimum (point de selle) b) Relations définissant la structure optimale du panier de consommation c) Relation de convergence des appréciations individuelle et collective d) Résolution du système défini par les conditions nécessaires e) Les conditions suffisantes de l’optimum 1.1.3 Propriété caractéristique des fonctions de demande ordinaires a) Homogénéité de degré zéro b) Comportement des fonctions de demande 1) Interprétation des éléments composant les expressions calculées 2) Propriétés des termes composant les équations de Slutsky a) les effets de revenu b) Les effets de substitution c) les effets de prix 1.1.5 La demande globale 1.2 Approche duale : analyse dans l’espace des valeurs 1.2.1 Propriétés et utilisation de la fonction d’utilité indirecte a) Propriétés b) Utilisation : identité de Roy 1.2.2 Propriétés et utilisation de la fonction de dépense a) Propriétés b) Utilisation 1.2.3 Dualité et mesure de la variation du bien-être a) la variation du surplus du consommateur b) Variation des prix et son impact sur le coût de la vie. c) La variation compensatoire et la variation équivalente 1) La variation compensatoire 2) La variation équivalente d) Mesures utilisant la méthode des indices de Laspeyres et de Paasche Chapitre 2 : THEORIE DE L’ENTREPRISE

2.1 Introduction 2.2 L’activité de production 2.2.1 Les inputs de l’entreprise 2.2.2 Formulation des relations de production a) Hypothèses relatives au domaine de production b) Définitions et propriétés des relations qui définissent la production. b.1 Techniques à proportions fixes ( à facteurs complémentaires) b.2 Les techniques à proportion variable (à facteurs substituables) c) Mesure de la substitution entre techniques : Elasticité de substitution d) Les Coûts de production 2.3 Equilibre du producteur 2.3.1 Approche en deux étapes a) Minimisation de la dépense et fonction de coût : première étape Programme à optimiser Mi cr oéconomi e


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Les conditions nécessaires de l'optimum Détermination des fonctions de demande conditionnelle des inputs Définition de l’expression du coût de production b) Maximisation du profit et fonction d’offre : deuxième étape 2.3.2 Approche en une seule étape a) La méthode par substitution b) La méthode du lagrangien 2.4 Variations au voisinage de l'équilibre de l'entreprise 2.4.1 Comportement des variables de décision de l’entreprise. a) Concernant la fonction d’offre de l’output b) Concernant les fonctions de demandes des inputs 2.4.2 Les rendements d’échelle et la profitabilité de l’activité 2.5 Notion d'offre du marché (offre globale) 2.6 Notion de surplus du producteur Chapitre 3 : EQUILIBRE PARTIEL (dans un marche isolé)

3.0 Introduction 3.1 Détermination de l’équilibre partiel concurrentiel 3.1.1 La fonction d'offre globale 3.1.2 La fonction de demande globale 3.1.3 Définition de l’équilibre partiel a) Selon l’approche de Walras, b) Selon l’approche de Marshall, 3.2 Dynamique d'ajustement des prix : stabilité de l’équilibre. 3.2.1 Stabilité statique a) Selon l’approche de Walras b) Selon l’approche de Marshall 3.2.2 Stabilité dynamique a) Adaptation retardée des prix b) Adaptation retardée de l'offre c) Stabilité dynamique en variation continue 3.3 Surplus associés à l’équilibre du marché Chapitre 4 : EQUILIBRE GENERAL

4.0 Introduction 4.1 Équilibre général dans une économie de distribution 4.1.1 Hypothèses 4.1.2 Formulation des équations du système a) Les équations de comportement b) Les équations d’équilibre 4.1.3. Résolution du système d’équilibre général 4.2 Équilibre général dans une économie d’échange pur 4.2.1 Définitions et concepts a) Agents économiques b) Allocation Mi cr oéconomi e


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c) Dotations initiales d) Ressources Totales e) Allocation optimale au sens de Pareto 4.2.2 Hypothèses 4.2.3 Formulation des équations du système a) Équations de comportement b) Équations d’équilibre c) Énoncé et démonstration de la Loi de Walras. 4.2.4 Résolution du système 4.2.5 Illustration simplifiée pour le cas de deux consommateurs et deux biens a) Utilisation de la boîte d'Edgeworth b) Les données de base c) Propriétés caractéristiques de la boîte d’Edgeworth d) Représentation graphique des courbes d’indifférence e) Les courbes d’indifférences bloquantes f) Illustration du concept de l’optimum au sens de Pareto g) Courbe de contrat et noyau de l’économie h) Définition de l'équilibre général 4.3 Équilibre dans une économie d’échange avec production 4.3.1 Hypothèses 4.3.2 Formulation du système a) Équations de comportement des entreprises b) Équations de comportement des consommateurs c) Équations d’équilibre des marchés 4.3.3 Résolution du système d’équilibre général

Chapitre 5 : OPTIMUM ECONOMIQUE EFFICACITE ECONOMIQUE ET BIEN ÊTRE SOCIAL 5.0 Introduction 5.1 Allocations efficaces dans une économie d’échange pur 5.1.1 Hypothèses 5.1.2 Détermination analytique des allocations efficaces 5.1.3 Passage des utilités individuelles à l’utilité collective 5.2 Allocations efficaces dans une économie d’échange avec production 5.2.1 hypothèses 5.2.2 Détermination analytiques des optima de Pareto 5.3 Optimum de Pareto et équilibre général de concurrence pur et parfaite 5.4 Optima de Pareto et fonction d’utilité collective 5.4.1 Existence de la fonction d’utilité collective (de bien-être social) 5.4.2 Hypothèses sous-jacentes à la formulation de la fonction d’utilité collective Mi cr oéconomi e


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5.4.3 Fonction d’utilité collective et optimum social 5.4.4 Fonction d’utilité collective et Calcul économique

Chapitre 6 : L’OPTIMUM ET LES INTERDEPENDANCES CREEES PAR LES BIENS PUBLICS ET LES EFFETS EXTERNES 6.0 Introduction 6.1 Optimum et biens publics 6.1.1 Formulation du modèle 6.1.2 Optimisation du modèle 6.1.3 Quelques principes pour le financement des biens publics 6.2 Optimum et effets externes 6.2.1 Effets externes engendrés par une activité de consommation. 6.2.2 Effets externes engendrés par une activité de production 6.2.3 Comment peut-on alors résoudre le problème des effets externes ? 6.2.4 Détermination analytique du niveau de la taxe correctrice de la distorsion 6.3 Théorie du second best

E xer cices d d ’ ’a p plicat ion Toutes les questions et exercices présentés dans cette annexe sont tirés des examens passés.

Questions communes A chacune des affirmations suivantes répondez par Vrai, Faux ou Incertain et justifiez brièvement votre réponse. 1) Si tous les biens consommés par un individu ont la même élasticité revenu alors la valeur commune de ces élasticités est égale à 1 . 2) Si la part du budget allouée à l’achat d’un bien X est indépendante du prix de ce bien, alors la fonction de demande du bien X est indépendante de son propre prix. 3) Si les effets prix croisés de deux biens sont égaux alors les élasticités-revenu de ces deux biens sont égales. Mi cr oéconomi e


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4) Le consommateur qui base ses choix sur l’indice d’utilité U ( x1 , x2 ) = x12 x23 affectera toujours 40% de son revenu à l’achat du bien X 1 . 5) Une situation de pénurie d’un bien peut être résolue par un rationnement quantitatif ou par un ajustement approprié des prix. 6) Dans un panier composé de deux biens X 1 et X 2 , si l’utilité marginale de X 1 est constante, alors toutes les courbes d’indifférences ont le même taux marginal de substitution en tout point x2 . 7) La courbe de demande marshallienne (ordinaire) est toujours plus élastique que la courbe de demande hicksienne (compensée). 8) Il est impossible que le panier d’un consommateur soit composé uniquement de biens inférieurs. 9) Le bien h est un bien inférieur donc la somme de ses élasticités par rapport aux différents prix est forcément positive. 10) Un bien inférieur est toujours accompagné d’un bien de luxe dans le même panier de consommation. 11) Une entreprise détermine son niveau optimal de production sur la partie croissante de sa courbe de coût marginal, donc sa fonction de production est à rendement d’échelle décroissant en ce point optimal. 12) Pour une fonction de production linéaire homogène, l’élasticité de l’output par rapport à un input est nécessairement égale au rapport de la valeur globale d’achat de cet input sur la valeur globale de vente de l’output. 13) Dans le cas d’une production à deux facteurs, la croissance de la productivité moyenne de l’un des deux facteurs implique la négativité de la productivité marginale de l’autre facteur. 14) Même si une entreprise est en mesure de disposer de plusieurs techniques alternatives pour produire un bien, les règles de l’efficacité lui imposeront de ne pas utiliser plus de deux techniques simultanément. 15) Si y = F ( x1 , x2 ) est une fonction de production homogène alors, en utilisant les notations habituelles, on a : ε yx = CM ( y ) / Cm ( y ) − Pm2 / PM 2 . 16) A l’équilibre d’une entreprise qui produit un bien Y à partir de deux inputs X 1 et X 2 achetés aux prix respectifs p1 et p2 , on a : Cm ( y ) Pmh = ph (avec Cm : coût marginal de Y et Pmh : productivité marginale de X h ). 1

Ch.1 Comportement du consommateur Exercice 1 Soit un consommateur qui maximise son utilité budgétaire p1 x1 + p2 x2 ≤ R ; 1) Déterminez les fonctions de demande ;

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U ( x1 , x2 ) = x1 x2 sous


sa contrainte

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Syll Syllabus, abus, Exercices d’Appli d’Ap plication cation et Bibliogr ibl iographie aphie

2) A partir des équations de Slutsky, associées aux fonctions de demande,  ∂ x 

 ∂ x 

 ∂x 

montrez que :  i  < 0 ∀i; i=1,2 i=1,2 et que  1  =  2   ∂ p2 U  ∂p1 U  ∂ pi U 3) Expliquez pourquoi p2 n’apparaît pas dans l’expression de la demande de

X 1 .

Exercice 2 Soit un consommateur C qui dispose d’un revenu R et d’une durée de 12 heures qu’il peut affecter au travail T et au loisir X 3 . Il peut acheter un bien de consommation X 1 ou épargner un montant X 2 . Le taux de salaire horaire est ω , le prix de X 1 est p1 et l’indice de satisfaction de C s’exprime sous la forme : α β γ U ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 1)Déterminez les signes de α , β et γ , pour un comportement normal de C ,

2) Montrez que l’utilité marginale de X 2 peut s’exprimer en fonction de

β x2

,

3) Déterminez les fonctions de demande de X 1 , d’épargne X 2 et d’offre de travail T , 4) Vérifiez les conditions suffisantes du maximum de la fonction d’utilité U sous la contrainte budgétaire ; 5) Calculez les valeurs de x1 , x2 et x3 pour : α = 1/ 2 , β = 1/ 6 , γ = 1/ 3 , R = 60 , = 10 . p1 = 10 et ω = Exercice 3 Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R pour acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix respectifs p1 et p2 . Son indice de satisfaction est donné par U ( x1 , x2 ) = x1 ( x2 − 1) . 1) Déterminez les fonctions de demande de ce consommateur. 2) On considère deux situations : une situation initiale caractérisée par p1 = 1 , p2 = 4 et R = 20 et une situation finale donnée par p1 = 1 , p2 = 2 et R = 20 3) calculez les quantités demandées dans chacune des deux situations 4) Décomposez les effets du prix p2 sur chacun des deux biens en effets de substitution et effets de revenu. 5) Explicitez l’ensemble des enseignements que l’on peut tirer de cette décomposition ? Exercice 4 Partie A

Le choix entre le revenu et le loisir peut être être intégré, de manière implicite, dans la théorie du consommateur où le problème peut s’écrire sous la forme :

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 Ma Ux ( x1 , x2 ,  ) = x12 x2  s/à:  p x + p x + ω  ≤ ω T 2 2 0  1 1

avec : pour le travail et le  : quantité demandée de loisir ; T 0 : la durée totale disponible pour loisir et ω : le salaire horaire du travail. 1)Déterminez les expressions des fonctions de demande des biens X 1 , X 2 et de loisir  ; 2) Calculez les quantités demandées pour p1 = 2 , p2 = 1 et ω = 5 et T 0 = 12 Partie B

Dans la méthode traditionnelle, on suppose implicitement que le consommateur réalise son programme en deux étapes : D’abord, il commence par répartir son temps disponible entre le revenu ( résultant du temps affecté au travail) et le loisir en maximisant une fonction d’utilité W ( R,  ) = R3 . Ensuite, connaissant son revenu R , il détermine ses fonctions de demande des deux biens par la méthode habituelle en se basant sur un indice d’utilité U ( x1 , x2 ) = x12 x2 3) Sur la base de la première partie A, complétez les formulations de ces deux programmes ; 4) Déterminez les expressions optimales de R ,  , x1 et x2 ; 5) Sachant que p1 = 2 , p2 = 1 , ω = 5 et T 0 = 12 , calculez les valeurs de R, , x1 et x2 . Exercice 5 Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R pour s’acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix p1 et p2 respectivement. Son indice de satisfaction s’exprime par : U ( x1 , x2 ) = x1 x2 1) Déterminer les fonctions de demandes des deux biens et en déduire leurs élasticités prix directes et croisées et leurs élasticités- revenu. 2) Montrer que l’on peut poser p2 = 1 sans affecter les décisions de ce consommateur. 3) Sur la base des équations de Slutsky montrer qu’aucun des deux biens ne peut être inférieur. 4) Calculer les quantités demandées pour p1 = 2 , p2 = 6 et R = 120 . 5) On réfléchit sur l’éventualité d’imposer une taxe indirecte de 50% sur le prix de X 1 . Quel sera l’effet de cette taxe sur les quantités demandées en X 1 et X 2 . 6) On pense aussi à l’alternative d’imposer un impôt sur le revenu de ce consommateur. On demande alors de déterminer le niveau de cet impôt dans chacun des cas suivants : i) Permettre à l’Etat de réaliser la même recette fiscale qu’avec la formule de la taxe indirecte envisagée plus haut ; ii) Amener le consommateur à réaliser le même niveau de satisfaction qu’en [5) ] mais avec les anciens prix. Exercice 6 Mi cr oéconom oéconomi e


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Dans une situation de rationnement souple, un consommateur utilise son revenu monétaire et un droit d’accès (sous forme de points de rationnement) pour acheter deux biens X 1 et X 2 . Aussi, une unité du bien X h coûtera-t-elle un prix monétaire ph et un nombre de points de rationnement κ h , h = 1, 2. Sachant que ce consommateur dispose d’un revenu monétaire R , d’un nombre global de points de rationnement K et d’une fonction d’utilité U ( x1 , x2 ) = x1 x2 , 1) Donnez la formulation mathématique de ce problème 2) Identifiez les différentes situations possibles (on peut s’appuyer sur des représentations graphiques appropriées) 3) Déterminez les conditions nécessaires pour un optimum dans chacune des situations identifiées. 4) Pour chacune de ces situations, déterminez les fonctions de demande correspondantes 5) Que devient ce problème si les points de rationnement pouvaient être échangés au prix unitaire de q ? On demande, dans ce cas, de réécrire le programme du du consommateur et d’en déduire les nouvelles fonctions de demande Exercice 7 Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R pour acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix respectifs p1 et p2 . Son indice d’utilité est donné par U ( x1 , x2 ) = x11,5 x2 . 1) Déterminer les fonctions de demande de ce consommateur ; 2) Calculer les quantités demandées pour p1 = 3 , p2 = 2 et R = 10 ; 3) Donner l’expression de l’élasticité de la demande de X 1 par rapport à son propre prix et en déduire la quantité de X 1 demandée si p1 passe de 3 à 4 , les autres paramètres restant inchangés ; 4) Y a-t-il une différence entre la demande de X 1 calculée en [c)] et celle qui résulterait d’une utilisation directe des expressions des fonctions de demande déterminées en [ a)] ? Justifier. Exercice 8 Soit un consommateur qui dispose d’un revenu R = 100 pour acheter deux biens : X 1 et X 2 aux prix respectifs p1 et p2 . Sa fonction d’utilité est donnée par U ( x1 , x2 ) = x1 x2 1) Déterminer les fonctions de demande du consommateur 2) Déterminer l’expression de la fonction du coût minimum qui permettra au consommateur de garder un niveau de satisfaction donné. 3) Calculer le gain pour le consommateur résultant d’une baisse effective du prix p1 qui passe de 1 à 0, 25 ; p2 demeure inchangé au niveau unitaire 4) Dérivez la fonction de demande compensée de X 1 et comparer sa pente avec celle de la fonction de demande ordinaire. 5) Utiliser la méthode d’intégration pour calculer la variation compensatrice associée à la même baisse, ci-dessus, de p1 et confirmer que le résultat est le même que celui calculé en 3). Mi cr oéconom oéconomi e


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Annexe Micro


6) Calculer la variation équivalente ( VE ) et comparer avec la variation compensatrice ( CV ). 7) Supposons que, parallèlement à la baisse de p1 , p2 passe de 1 à 2 , cette variation de p2 est-elle suffisante pour éliminer les avantages engendrés par la baisse de p1 ? 8) Calculer la variation compensatrice associée aux changements simultanés des deux prix. Exercice 10 Les préférences d’un consommateur, qui dispose d’un revenu R pour acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix p1 et p2 , sont représentées par la fonction d’utilité d’utili té U  x1 , x2  x1 x2 où x1 et x2 sont les quantités consommées. Le comportement de ce consommateur peut être approché de deux façons différentes : - par les fonctions de demande ordinaires : x1  p1 , p2 , R  R / 2 p1 et 



x2  p1 , p2 , R 



R / 2 p2



- par les fonctions de demande compensées : x1 p1 , p2 ,U



x2 p1 , p2 , U

  

p1U / p2

  

p2U / p1

1/2



et

1/2



a) Exprimez la fonction d’utilité indirecte de ce consommateur et précisez sa signification b) Exprimez la fonction de dépense minimale de ce c e consommateur et précisez sa signification c) On considère une situation initiale caractérisée par p1 0,5 0, 5 , p2 1 et R 100 et une situation finale où p1 1 , p2 1 et R 100 ( seul le prix p1 1. Calculez les quantités demandées à chacune des deux situations 2. Définissez, dans le cas particulier de cette hausse de prix, la variation compensatoire CV et la variation équivalente EV 3. Calculez CV et EV pour les données numériques de cet exercice. 











Ch.2 Comportement du producteur Exercice 1 Soit une entreprise qui produit un bien CT ( y ) =

1 3

Y

selon la fonction de Coût total

y 3 − 3 y 2 + 4 y + 10

1- Déterminez la fonction d’offre de cette entreprise qui cherche à maximiser son profit. 2- Déterminez le (les) seuil(s) de fermeture et de rentabilité en termes de Y si le prix de Y était fixé à 20 . 3- Déterminez le seuil de fermeture et le seuil de rentabilité ( en termes de prix ); 4- Comment nuancer entre les deux types de seuils déterminés en 2) et en 3). Mi cr oéconom oéconomi e


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Annexe Micro


5- Pour le même niveau du prix de à l’optimum.

Y ,

déterminez la quantité offerte par l’entreprise

Exercice 2 Pour produire des chemises Y , un producteur utilise une machine à coudre (qu’il actionne lui-même), du tissu qu’il achète au prix p 1 et peut, éventuellement se faire aider par un ouvrier qui fournit une quantité de travail x2 au taux de salaire unitaire de p2 . La machine à coudre fournit un travail équivalent à 25 unités du travail X 2 fourni par l’ouvrier, sans frais additionnels. La fonction de production des chemises est donnée par : 1/ 2 y = x11/ 2 ( x2 + 25) 1- Déterminez le niveau optimal de production si le producteur affecte un budget D = 30 pour l’achat des inputs aux prix p1 = 1 et p2 = 2 ; 2- Aux prix p1 et p2 fixés, déterminez le sentier d’expansion de cette entreprise; 3- Pour un coût fixe CF = 2 , déterminez la fonction de coût total et en déduire les expressions des coûts moyen et marginal 4- Sachant que le prix d’une unité de Y est désigné par q , déterminez la fonction d’offre des chemises. Exercice 3 Soit une entreprise qui utilise un input X pour produire un output Y selon la relation de transformation : x − y + y 2 − y 3 = 0 ; p désigne le prix de X , ( p = 1), et q le prix de Y . 1) Déterminer l’expression du coût moyen de production de Y . 2) Déterminer la fonction d’offre de l’entreprise . 3) Calculer la quantité offerte et le profit réalisé au prix q = 6 . Exercice 4 Dans une optique de prix variables, la fonction π ( p1 , p2 , ..., pn , q ) exprime le niveau maximum du profit associé au système des prix des inputs ( ph ; h =1,2,..., n ) et de l’output ( q ) utilisez cette fonction pour : 1) Déduire les expressions des fonctions de demande des inputs X h ; h =1,2,..., n et de la fonction d’offre de l’output Y . 2) Préciser le sens de variation des ces fonctions de demande des inputs et d’offre de l’output ; 3) Montrer la symétrie des effets prix croisés Exercice 5 Soit une entreprise qui utilise deux inputs X 1 et X 2 , achetés aux prix p1 et p2 , pour produire un output Y , vendu au prix q , selon la fonction de production y x11/ 5 x23 / 5 . a) Comment se caractérisent les rendements d’échelle de cette fonction de production ? b) Déterminez les fonctions de demande conditionnelles des inputs et en déduire les fonctions de coût de cette entreprise c) Déterminez la fonction d’offre de l’entreprise et le niveau du profit qui en résulte 



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d) Existe-t-il une autre méthode pour trouver directement les fonctions de demande des inputs et d’offre de l’output ? si oui, expliquez son cheminement et précisez les aspects qui la distinguent de la méthode précédente Exercice 6

Une entreprise produit un output Y en combinant deux inputs X et X selon la fonction y = x x , les prix de l’output et des inputs sont respectivement q , p et p . L’entreprise dispose d’un montant D pour l’achat des inputs. a) Quelle est l’expression de la production maximale possible. b) Déterminez la relation qui lie les quantités optimales des inputs lorsque D change, les prix restant constants ? c) Déterminez les fonctions de demande des inputs pour produire un niveau donné d’output et, en déduire les expressions des fonctions de coût total variable, du coût moyen variable et du coût coût marginal. d) Déterminer l’équilibre de l’entreprise et en déduire la fonction d’offre. e) Faites l’application numérique pour p = p = 1 , D = 10 et q = 6 . 1

1 2

2

1

1

2

2

Ch.3 Equilibre dans un marché isolé Exercice 1 Soit une économie simplifiée qui se compose de vingt ( 20 ) entreprises identiques qui produisent un bien Y à partir de deux inputs X1 et X 2 achetés aux prix respectifs p1 = 1 et p2 = 1 . La fonction de production de chaque entreprise j est : 1/ 2 1/ 2 y j = x j1 x j 2 ; j =1,2,...,20 . L’input X 2 est utilisé en quantité fixe par chacune des entreprises : x j 2 = 1 ∀j et la fonction de demande globale est donnée par : yd = 60 − 5q ; q est le prix de Y . 1- Sachant que le marché de Y est de concurrence pure et parfaite : 2- Déterminez les fonctions de coût total des différentes entreprises et en déduire la fonction d’offre globale de Y ; 3- Déterminez l’équilibre de ce marché et en déduire la quantité offerte et le profit réalisé par chaque entreprise ; 4- Si le prix du marché de Y s’ajuste avec retard, selon la formule : ∆qt = qt − qt −1 =

1 60

DE ( qt −1 ) ,

que peut – on dire alors quant à la stabilité de l’équilibre

de ce marché ? 5- Que dire de cette stabilité si, au lieu de l’ajustement retardé du prix, c’est l’offre qui s’ajuste avec une période de retard ? Exercice 2



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Dans une économie ouverte sur l’extérieur, la demande globale pour un bien X est donnée par : xd = 20 − 2 p et l’offre globale, des entreprises locales, s’exprime par : xo = − 5 + 3 p ; p est le prix de X . 1) Déterminez l’équilibre de ce marché. 2) Sachant que le bien X peut, également, être importé par des sociétés nationales au prix p = 4 quelle que soit la quantité importée, déterminez le niveau de l’importation à l’équilibre du marché. 3) Le gouvernement veut fixer l’importation à un niveau maximum de 4 unités. Pour cela, il impose une taxe ( droit de douane ) de t par unité importée, déterminez le niveau de t nécessaire pour ramener l’importation au niveau désiré et calculez ses effets sur les consommateurs, les producteurs, l’Etat et la collectivité. 4) Au lieu d’utiliser la taxe douanière, l’Etat accorde un droit exclusif à une seule société locale pour importer le bien X et ce, dans la limite du plafond fixé de 4 unités. Déterminez ce qui va changer par rapport à la situation précédente. 5) Des conventions internationales sur le libre échange empêchent l’utilisation des droits de douane et du droit exclusif. Pour continuer à limiter les importations au niveau désiré de 4 unités, le gouvernement décide alors d’accorder une subvention de s par unité vendue aux entreprises locales. Déterminez le niveau de la subvention et calculez ses effets sur les différentes parties concernées. Exercice 3 Soit une économie simplifiée qui se compose de 20 entreprises identiques qui produisent un bien Y à partir de deux inputs X 1 et X 2 , achetés aux prix respectifs p1 = 1 et p2 = 1 . La fonction de production de chaque entreprise j est : y j = x1/j1 2 x1/j 22 ∀ j ; j = 1,2,..,20 L'input X 2 est utilisé en quantité fixe par chacune des entreprises : x j 2 = 1 ∀ j et la fonction de demande globale est donnée par : yd = 60 − 5q ; q est le prix de Y . Sachant que le marché de Y est de concurrence pure et parfaite, a) déterminer les fonctions de coût total des différentes entreprises et en déduire la fonction d'offre globale de Y ; b) déterminer l'équilibre de ce marché et en déduire la quantité offerte et le profit réalisé par chaque entreprise ; c) si le prix du marché de Y s'ajuste avec retard, selon la formule : ∆qt = qt − qt −1 = (1/60) DE ( qt −1 ) , que peut dire alors quant à la stabilité de l'équilibre de ce marché ? d) que dire de cette stabilité si, au lieu de l'ajustement retardé du prix, c'est l'offre qui s'ajuste avec une période de retard ?

Exercice 4 Soit un bien X dont la production est assurée par 20 entreprises identiques ayant pour fonction d’offre individuelle y = 0, 5 p − 2 ; j = 1,2,...,20 , y est la quantité de X produite par j . La demande globale du bien X est donnée par : x = 200 − 5 p . a) Déterminez le prix et les quantités d’équilibre concurrentiel de ce marché. b) Que peut-on dire de la stabilité de cet équilibre : i) statique, au sens de Marshall. j

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j


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ii) dynamique sachant que l’offre s’ajuste avec une période de retard par rapport au prix observé. c) Le gouvernement impose une taxe de 3 unités monétaire par unité vendue du bien X, déterminez la répartition du fardeau fiscal entre les consommateurs et les producteurs et calculez la perte sociale, éventuelle, associée à cette taxe.

Ch.4 Equilibre général Exercice 1 Une économie simplifiée comprend 2 biens de consommation ( X 1 et X 2 ), ayant pour prix respectifs p1 et p2 , un input (le travail) dont le taux de salaire est ω , et 4 consommateurs offrant, chacun une quantité fixe de travail ( 6 heures). Le revenu Ri du consommateur i se compose uniquement de son salaire. Les biens de consommation sont produits par 2 entreprises selon les fonctions de production : y1 = 0,5t 1 et y2 = t 2 ; yh est la quantité du bien X h produite par l’entreprise h; h = 1,2 ; t1 et t 2 sont les quantités de travail respectivement utilisées par ces entreprises. Le consommateur a pour fonction d’utilité : i i U ( xi1 , xi 2 ) = ai Log ( xi1 ) + (1 − ai ) Log ( xi 2 )

avec

ai =

i −1

3

; i =1,2,3,4 .

1- Déterminez les fonctions de demande du consommateur i en biens X 1 et X 2 et en déduire les fonctions de demande globales ; 2- Caractérisez en fonction de p1 , p2 et ω les niveaux de production et de profits auxquels conduit le comportement de maximisation de profit. 3- En utilisant le travail comme numéraire ( ω = 1 ), déterminez les prix équilibre général , les niveaux de production, la quantité de travail utilisée par chaque entreprise. Exercice 2 Considérons une économie simplifiée d’échange pur composée de deux consommateurs C1 et C 2 et deux biens X 1 et X 2 . Les dotations initiales de ces consommateurs sont : (ω11 ;ω 12 ) = ( 4;10 ) pour C 1 et (ω 21 ;ω 22 ) = (16; 4) pour C 2 . Les fonctions d’utilité sont : U ( x11 , x12 ) = x11 x12 et U ( x21 , x22 ) = x21 x22 ; 1- Déterminez, par la boîte d’Edgeworth, l’équation de la courbe des contrats ; 2- Déterminez les expressions de demandes (offres) nettes de ces consommateurs ; 3- Calculez les prix et les quantités d’équilibre général de cette économie. Exercice 3 Soit une économie très simplifiée composée de deux consommateurs C 1 et C 2 qui disposent des revenus respectifs R1 et R 2 pour acheter deux biens X 1 et X 2 aux prix Mi cr oéconomi e


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. Les préférences de ces consommateurs sont données par : 1/ 2 0,4 0,6 U ( x11 , x12 ) = ( x11 x12 ) pour C 1 et U ( x21 , x22 ) = x21 x22 pour C 2 . 1) Déterminer les fonctions de demande individuelles des consommateur 2) Sachant que R1 = 20 et R 2 = 10 ,et que les quantités globales offertes sont : W 1 = 6 de X 1 et W 2 = 12 de X 2 , calculer les quantités individuelles demandées et les prix d’équilibre général de ces deux marchés . 3) Quel sera l’effet d’une augmentation de l’offre de X 1 qui passera à W 1 = 12 sur les prix d’équilibre p1 et p2 . 4) Sachant que l’on peut transformer X 2 en X 1 selon la formule : 1/ 2 x1e = (12 − x12 − x22 ) ; x1e est la quantité produite de X 1 ; x12 et x22 sont les quantités demandées en bien X 2 . 5) Déterminer la fonction d’offre de cette unité de transformation ainsi que sa fonction de demande 6) Sachant que le profit de cette transformation est réparti entre les deux consommateurs selon les parts : 25% pour C 1 et 75% pour C 2 , déterminer les nouvelles fonctions de demandes et en déduire le nouvelles équations d’équilibre p1 et p2

Exercice 4 Soit une économie simplifiée d’échange pur qui se compose de deux consommateurs et deux biens. Les préférences des consommateurs sont représentées par :  x21 x22  ,  . Les dotations 4 2  

U ( x11 , x12 ) = 0, 25 Log n ( x11 ) + 0, 75 Log n ( x12 ) et U ( x21 , x22 ) = min 

initiales des consommateurs sont : (ω11; ω 12 ) = ( 8; 0) pour le consommateur 1 et (ω 21 ;ω 22 ) = ( 0; 4) pour le consommateur 2 . 1) Déterminer les fonctions de demandes individuelles et globales 2) Ces fonctions de demande vérifient-elles la propriété d’homogénéité ? 3) Déterminer les prix et les quantités échangées à l’équilibre général des deux marchés. Exercice 5 Soit une économie d’échange pur qui se compose de deux biens, X 1 et X 2 , et de deux consommateurs dont les fonctions d’utilité sont : U  x11 , x12  x112 x12 et U  x21 , x22  x21 x22 . Les prix des biens sont respectivement p1 et p2 et les revenus des consommateurs sont sous forme de dotations initiales 11 , 12  et 11 , 12  . a) Déterminez les fonctions de demande ordinaire individuelles des consommateurs, b) Les dotations initiales des consommateurs sont 11; 12  5; 7 et 









;

21  22

 10; 4 . Les consommateurs ont-ils intérêt à échanger entre eux ? 

Pourquoi ? c) Déterminez l’équilibre général de ces marchés Exercice 6

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Soit une économie très simplifiée composée de deux biens X 1 et X 2 , ayant pour prix p1 et p2 , et de deux consommateurs C 1 et C 2 ayant pour fonctions d’utilités respectives 2 U ( x11 , x12 ) = x11 x12 et U ( x21 , x22 ) = x21 x22 . Les biens sont disponibles en quantités W 1 = 4 et W 2 = 6 respectivement pour X 1 et X 2 . a) On demande de calculer les prix et les quantités demandées à l’équilibre si les consommateurs disposaient des revenus R1 = 10 et R2 = 15 . b) Les revenus des consommateurs sont donnés sous forme de dotations en biens X 1 et X 2 . C’est-à-dire R1 = 3 p1 + p2 et R2 = p1 + 5 p2 , respectivement pour C 1 et C 2 . On demande de déterminer l’équilibre général concurrentiel qui en résulte. Peut-on calculer les prix absolus dans ce cas ? Pourquoi ?

Exercice 7 Considérons une économie simplifiée d’échange pur composée de deux consommateurs C et C et deux biens X et X . Les dotations initiales de ces consommateurs sont : (ω ; ω ) = ( 4;10 ) pour C et (ω ; ω ) = (16; 4) pour C . Les fonctions d’utilité sont : U ( x , x ) = Log ( x ) + Log (x ) et U ( x , x ) = x x ; a) Déterminer, par la boîte d’Edgeworth, l’équation de la courbe de contrats ; b) Déterminez les expressions de demandes (offres) nettes de ces consommateurs ; c) Calculez les prix et les quantités d’équilibre général de cette économie. 1

2

11

1

12

2

1

1

21

22

2

2

11

12

11

12

21

22

21 22

Ch.5 Optimum et efficacité Exercice 1 Soit une économie simplifiée composée de deux consommateurs C1 et C 2 et deux biens X 1 et X 2 disponibles en quantités globales W1 = 60 = W 2 répartis entre les consommateurs sous forme de dotations initiales. Les consommateurs ont pour indices d’utilité respectifs : U ( x11 , x12 ) = x11 x12 et U ( x21 , x22 ) = x21 x22 . Les dotations initiales de C 1 sont ω 11 = 20 et ω 12 = 40 . 1) Déterminez l’ensemble des allocations possibles et préférables, selon Pareto, pour les deux consommateurs. 2) Déterminez l’ensemble des allocations optimales au sens de Pareto 3) Déterminez l’ensemble des allocations optimales et préférables aux situations initiales des consommateurs ; 4) Identifiez les lieux géométriques des ensembles définis en 2) et 3). 5) Déterminez les équations des courbes de demande nette des deux consommateurs 6) Déterminez l’allocation qui assure un équilibre de concurrence pure et parfaite. Est-elle optimale au sens de Pareto ? Supposons que le consommateur C 2 adopte un comportement monopolistique face à C1 qui continue d’agir selon les règles de la concurrence pure et parfaite : Mi cr oéconomi e


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7) Déterminez l’allocation d’équilibre de monopole. Est-elle optimale au sens de Pareto ? 8) L’allocation déterminée dans le cadre de l’équilibre de concurrence pure et parfaite en 6) est-elle préférable au sens de Pareto à celle obtenue dans le cadre de monopole ? Commentez. Exercice 2 Par analogie avec la définition de la fonction d’utilité indirecte, on peut définir la fonction de bien-être (d’utilité collective) indirecte pour le cas de deux consommateurs et deux biens par : W (V 1 ( p1 , p2 , R1 ), V 2 ( p1 , p2 , R2 ) ) = a 1V( p1 , p2 , R1 ) + b 2V( p1 , p2 , R2 )

= W ( p1 , p2 , R1 , R 2 ) ; a > 0 et b > 0

1) Montrer que ∂W / ∂ph < 0 ; h = 1, 2 et ∂W / ∂Ri > 0 ; i = 1, 2. 2) En désignant par Di* ( p1 , p2 , Rs , W ) ; s ≠ i = 1, 2 , la dépense minimum du consommateur i , nécessaire pour atteindre le niveau du bien-être collectif W quand les prix sont p1 et p2 et le revenu du consommateur s est R s , déterminer ∂ D i* / ∂W , ∂D i*/∂R s et ∂Di* /∂ph ; h = 1, 2 (on peut, si besoin est, remonter à partir des expressions particulières des fonctions d’utilité individuelles U i ) Exercice 3 On considère une économie qui se compose de 10 consommateurs identiques et deux biens ayant pour prix p 1 = 1 et p 2. Chaque consommateur dispose de 10 unités du bien X 1 comme dotation initiale. Le bien X 2 est produit par une entreprise à partir du bien X 1 selon la technologie : xe 2 = xe1 ; xe1 ≥ 0 et xe 2 ≥ 0 . La quantité produite xe 2 est génératrice d’un effet négatif sur les utilités des consommateurs. La fonction

d’utilité du consommateur i est donnée par :

U ( xi1 , xi 2 , xe 2 ) = e

xi 1

xi 2 xe 2

; i = 1, 2,...,10 .

La fonction d’utilité est définie à une transformation croissante monotone près et le profit de l’entreprise est partagé de manière égalitaire entre les consommateurs. 1) Déterminez l’équilibre concurrentiel de cette économie. 2) Cet équilibre est–il un optimum de Pareto ? Caractérisez les optima de Pareto qui s’établissent avec des consommations positives du bien 1. 3) Déterminez le montant de la taxe par unité produite de xe 2 qu’il faut imposer au producteur pour restaurer (sous les conditions de la question1) les conditions d’un optimum de Pareto (On équilibre le budget de l’Etat par des transferts forfaitaires en faveur des consommateurs). 4) Calculez le nouvel équilibre et le niveau d’utilité individuel atteint lorsque le transfert forfaitaire est effectué de manière égalitaire. 5) On impose à l’entreprise, devenue publique, d’exercer sans perte ni profit. Déterminez le nouvel équilibre de l’économie. Comparez avec la solution obtenue à la question 1) et expliquez vos constats. Mi cr oéconomi e


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Ch.6 biens publics et effets externes Exercice 1 Une collectivité se compose de 2 consommateurs. Chaque consommateur, i , dispose d’un revenu R pour payer une contribution ci ; ci ∈ [0,W ] ; au financement d’un bien publique Z et utiliser le reste dans l’achat d’un bien privé X, utilisé comme numéraire. Sa fonction d’utilité est U i ( x, z ) = α Ln ( x ) + (1 − α ) Ln ( z ) ou, en procédant par substitution à partir des contraintes, [ci + xi = R et c1 + c2 = z ] , cette fonction d’utilité (objectif) s’exprime par U i ( c1 , c2 ) = α Ln ( R − ci ) + (1 − α ) Ln ( c1 + c2 ) ; i = 1, 2 . 1) Déterminez l’expression de la contribution optimale de chaque consommateur en fonction de celle de l’autre (Courbes de réaction des consommateurs !) 2) Déterminez l’équilibre de Cournot-Nash pour ce modèle. 3) Sachant que ces consommateurs acceptent d’apporter des contributions égales, recalculez la contribution individuelle optimale. 4) Comparez les résultats obtenus en b) et c). Commentez. Exercice 2 On considère la situation d’un producteur de miel installé près d’un producteur de pommes. Les abeilles butinent sur les pommiers et, par la même occasion, contribuent à une meilleure fécondation de leurs fleurs. Les rendements des deux producteurs sont ainsi positivement influencés, l’un par l’activité de l’autre. Soit x1 le nombre de ruches installés par l’apiculteur, au coût annuel total de CT ( x1 ) = ax1 , et x2 le nombre de pommiers plantés par l’exploitant du verger au coût annuel total de CT ( x2 ) = bx2 . Les quantités y 1 de miel et y 2 de pommes sont respectivement données par : y1=3α1(x1x2)1/3 et y2=3α2(x1x2)1/3 et, vendues prix unitaires (p 1=p2 =1 ). 1) Ecrivez les fonctions de profit des deux exploitants en fonction du nombre de ruches et du nombre de pommiers et en déduire les choix optimaux des deux producteurs. 2) Déterminez l’équilibre qui s’établira en l’absence de concertation entre les deux producteurs ; 3) Montrez qu’il existe des niveaux de x1 et x2 qui permettent des profits plus élevés pour les deux parties par rapport à l’absence de concertation ; 4) Déterminez les niveaux optima des nombres de ruches et de pommiers qui permettent de maximiser la somme des profits réalisables par les deux producteurs et montrez que cette somme est supérieure à la somme des profits réalisés en l’absence de concertation ; 5) Que vous inspire-t-il ce résultat en tant que solution simple pour résoudre les problèmes posés par les externalités dans le domaine de production ?. Mi cr oéconomi e


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Exercice 3 Une entreprise pollue l’atmosphère environnante par son activité de production d’un bien X. Elle peut contrôler le niveau de cette pollution moyennant des coûts supplémentaires à supporter. Son coût total s’exprime en fonction de la production du bien et de la pollution Z : z   x; si.0 ≤ z ≤ 100  10 − Ln C T ( x, z ) =   100  10 x; si.x > 100 

Pour simplifier considérez que le niveau de production x est fixé de manière exogène à 100. 1) D’un point de vue privé (égoïste) l’entreprise aura-t-elle intérêt à dépasser le seuil de pollution de 100 ? Quel est le niveau de pollution qui serait optimal de son point de vue ? 2) Les victimes de la pollution sont les habitants d’une localité de 1000 habitants. Le dommage subi par chacun peut être évalué monétairement par l’expression d(z) =z. Quel est le dommage subi par l’ensemble des habitants si l’entreprise ne prend en compte que ses propres intérêts privés ? 3) Quel doit être le niveau de pollution socialement optimal ? 4) Le gouvernement décide d’intervenir pour corriger ces effets externes en imposant à l’entreprise une taxe proportionnelle au niveau de la pollution émise. Exprimez la nouvelle fonction de coût de l’entreprise en présence de cette taxe et en déduire l’impact de cette taxe sur les décisions de l’entreprise. Exercice 4 On considère une économie qui se compose de 100 consommateurs identiques et deux biens ayant pour prix p 1 = 1 et p 2. Chaque consommateur dispose de 10 unités du bien 1 comme dotation initiale. Le bien 2 est produit par une entreprise à partir du bien 1 selon la technologie : y 2 = (xe1)0.5 ; xe1≥0 et y2≥0. L’activité de production du bien 2 crée un effet négatif sur les utilités des consommateurs. La fonction d’utilité du consommateur i est donnée par : U(x i1,xi2,y2) = xi1+ Log( xi2) - 0.5 logy 2 ; i=1,2,…,100 1) Le profit de l’entreprise est partagé de manière égalitaire entre les consommateurs, déterminez l’équilibre concurrentiel de cette économie. 2) Cet équilibre est –il un optimum de Pareto ? Caractérisez les optima de Pareto qui s’établissent avec des consommations positives du bien 1. 3) Déterminez le montant de la taxe par unité de Y 2 qu’il faut imposer au producteur pour restaurer, sous les conditions de la question1), les conditions d’un optimum de Pareto (On équilibre le budget de l’Etat par des transferts forfaitaires en faveur des consommateurs). 4) Calculez le nouvel équilibre et le niveau d’utilité individuel atteint lorsque le transfert forfaitaire est effectué de manière égalitaire. 5) On impose à l’entreprise, devenue publique, d’exercer sans perte ni profit. Déterminez le nouvel équilibre de l’économie. Comparez avec la solution obtenue en 1) et expliquez vos constats. Mi cr oéconomi e


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Ré f ér ences bbiblio g r ra phiques 1. Les imprimés 1. HENDERSON, J.M., QUANDT, R.E., Microéconomie : Formulation mathématique élémentaire, Dunod, 1970, 290p 2. MALINVAUD, E., Leçons de théorie microéconomique, Dunod, 1975, 332p. 3. VARIAN, Hal R. Analyse microéconomique, De Boeck, 1995, 550p 4. VARIAN - Microeconomic Analysis SOLUTIONS ; 51 pages 5. LEVY-LAMBERT, H. et DUPUY J-P., Les choix économiques dans l’entreprise et dans la nation, Tome1 : Principes de base, Dunod, 1973, 260p. 6. TCHIBOZO, Guy, Microéconomie approfondie, Armand Colin, 1997, 192p 7. GEOPHRY, A. & all ; Advanced Microeconomic Theory, 2011, 656 pages 8. MAS-COLELL & All, Microeconomic theory, 1995 ; 981 pages 9. MAS-COLELL & All, Microeconomic Theory, Solution Manual ; 265 pages 10. KREPS, David M, Leçons de théorie microéconomique , PUF, 1996, 803p 11. LAFFONT Jean-Jacques, Cours de théorie Microéconomique , Vol1 : Fondements de l’économie publique, Economica, 1982, 200p. 12. PICARD, Pierre, éléments de Microéconomie : 1. Théorie et applications , Montchrestien, 1987, 530p 13. BOUCHARD, M. L'Economie Complètement Rationnelle ; 1992, 385 pages 14. GRANGER Thierry, Microéconomie financière, Economica, 1994, 112p 15. GUERRIEN, B., NEZEYS, B., Microéconomie et calcul économique , Cours et exercices, Economica, 1981, 386p. 16. ABRAHAM, C., THOMAS, A. Microéconomie : décisions optimales dans l’entreprise et dans la nation , Dunod, 1966, 460p 17. JULLIEN Bruno et PICARD Pierre, éléments de Microéconomie : 2. Exercices et corrigés , Montchrestien, 1987, 530p 18. CHAMPSAUR, P., Milleron, J.C., Exercices de Microéconomie : Niveau avancé, Dunod, 1971, 242p 19. SCHUBERT Katheline , ZAGAME Paul et al., L’environnement : une nouvelle dimension de l’analyse économique, Vuibert, 1998, 458p. 20. ARROW Kenneth J., Choix collectif et préférences individuelles , Calmann-Levy, 1974 , 233p 21. BENARD Jean, Economie publique, Economica, 1985, 430p. 22. VIVIANI Jean-Laurent, Gestion de portefeuille , Dunod, 1997, 322p. 23. GRAAFF, J. de V., Theoretical welfare economics, Cambridge university press, 1975, 178p.

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