1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA SEDE CUENCA. ECUACIONES DIFERENCIALES Integrantes: Esteban Baculima, Freddy Cañar Jorge Molina, David Raiban Profesor: Ing. Diego Chacón MODELADO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS El modelado de un circuito eléctrico consiste en la descripción del mismo mediante unas series de ecuaciones diferenciales que liguen las tensiones y las corrientes de intereses (entrada y salida). Una vez que se dispone de las ecuaciones se aplica las ecuaciones de Kirchhoff que permite escribir las ecuaciones diferenciales. Las señales más utilizadas en el modela de circuitos eléctricos son las tensiones v (t), y las intensidades i (t) aunque pueden considerarse flujos ɻ (t), cargas q (t), potencia p (t), energía w (t), etc. Formulas: Resistencia 𝑽𝑹 = 𝑰𝑹 × 𝑹𝑹
𝑰𝑹 =
𝑽𝑹 𝑹𝑹
Capacitor 𝑉𝐶 =
1 ∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶
𝐼𝐶 = 𝐶
𝑑𝑉 𝑑𝑡
Figura 1. Circuito RLC
Inductor 𝑉𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖 𝑑𝑡
1 𝐼𝐿 = ∫ 𝑉(𝑡) 𝑑𝑡 𝐿
2 Ley de Voltaje de Kirchhoff (LVK) El voltaje (la fuerza electromotriz) que se imprime en un circuito cerrado es igual a la suma de las caídas de voltaje a través de los otros elementos del circuito cerrado. En la figura 1 el circuito es una espira cerrada y el voltaje E (t) que se le imprime, es igual a la suma de las caídas de voltaje a través de los elementos R, L, C de la espira. Caída de voltajes una corriente I que influye por un resistor inductor o capacitor causa una caída de voltaje (diferencia de voltajes medida en voltios) en los dos extremos estas caídas son: RI (Ley de Ohm) Caída de voltaje para un resistor con resistencia de R ohmios (Ω). Tabla 1. Caídas de voltaje para cada elemento del circuito descrito en la Figura 1, expresadas en función de la corriente i(t) y en función de la carga q(t)
Elementos del Circuito Inductor
Caídas de Voltaje en función de i(t) 𝐿=
Resistor
Caídas de voltaje en función de q(t)
𝑑𝑖 𝑑𝑡
𝑖𝑅
=𝐿
𝒅𝟐 𝑖 𝑑𝑡 2
=𝑅
𝑑𝑞 𝑑𝑡
1 𝑞 𝐶
Capacitor
Entonces, aplicando la ley de mallas de Kirchhoff al circuito de la Figura 1, para las caídas de voltaje en función de la corriente i (t), tenemos: (1) 𝑳=
𝒅𝒊 + 𝒊𝑹 = 𝑬(𝒕) 𝒅𝒕
Donde L, R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i (t) se llama también respuesta del sistema. En realidad esta ecuación (1), no es más que la ecuación (2) del artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales sin la caída de voltaje que genera el capacitor; dicha ecuación es: (2) 𝑳=
𝒅𝒊 𝟏 + 𝒊𝑹 + 𝒒 = 𝑬(𝒕) 𝒅𝒕 𝑪
3 Es importante tomar en cuenta que una vez modelado un circuito en serie del tipo RLC, las versiones de circuitos en serie del tipo LR y RC, son simplemente contracciones de la ecuación (2). Es importante hacer notar que en la ecuación (2) aparecen 2 variables dependientes i y q por lo que para poder resolverla con los métodos para ecuaciones lineales ordinarias es necesario adecuarla a la forma de una ecuación diferencial lineal ordinaria, la cual contiene una sola variable dependiente, lo cual se hace evidente al ver la ecuación en su forma estándar: Forma Estándar 𝑎2(𝑥)
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑎1(𝑥) + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥
La forma estándar anterior representa una ecuación diferencial de 2º orden, donde su única variable dependiente es y “y” su variable independiente es x. Utilizo la forma estándar de una ecuación diferencial línea ordinaria de 2º orden porque al adecuar la ecuación (1) a una ecuación diferencial lineal ordinaria da como resultado una ecuación de lineal ordinaria de 2º orden, ya que la relación que se necesita para sustituir una de las variables independientes eleva el orden la ecuación (1), al ser una diferencial. Es decir, la ecuación que relaciona a las variables dependientes i (t) y q (t) de la ecuación (1), es una ecuación diferencial. Dicha ecuación diferencial que relaciona a las variables dependientes i (t) y q (t), en su forma de derivada es: 𝒅𝑸 𝑰(𝒕) = 𝒅𝒕 𝑸(𝒕) = ∫ 𝑰(𝒕)𝒅𝒕 1) 𝑳𝑰´ + 𝑹𝑰 +
𝟏 ∫ 𝑰 𝒅𝒕 = 𝑬(𝒕) = 𝑬𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕 𝑪
Derivamos I´ para sacar la integra con respecto a t 𝑳𝑰´´ + 𝑹𝑰´ +
𝟏 𝑰´ = 𝑬´(𝒕) = 𝑬𝟎 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 𝑪
Para un RLC a partir de I´ usando I=Q´ y por lo tanto I´=Q´´ se tiene
𝑳𝑸´´ + 𝑹𝑸´ + Solución para la corriente en la EDO Donde
𝟏 𝑸 = 𝑬𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕 𝑪
4 𝑌𝑐 Es una solución general homogéneas. 𝑌𝑝 Es una solución particular RESOLUCION DE EJERCICIOS Resolución de Ejercicios aplicando las formulas estudiado de modelado de circuitos eléctricos CIRCUITO RL Se aplica una fuerza electromotriz de 30v a un circuito en serie LR con 01 Henrys de inductancia y 50 Ω de resistencia. Determine la corriente i (t) si i (0)=0. Determine la corriente conforme a t0 El circuito se describe a continuación
Circuito RL conectado en Serie
Para nuestro caso la ecuación diferencial a resolver, según la ecuación (1) y sustituyendo los valores del problema planteado, es: 𝑑𝑖 + 50𝑖 = 30 𝑑𝑡 Para resolver esta ecuaciones resolveremos mediante el método de los 4 pasos : 0.1 =
Método Estándar 𝑑𝑦 𝑑𝑖 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) ⇒ + 500𝑖 = 300 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Factor Integrante: 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 500𝑑𝑡 = 𝑒 500𝑡 Factor Solución 𝒚 = 𝒚𝒄 + 𝒚𝒑 ⇒ 𝒊(𝒕) = 𝒊𝒕𝒓(𝒕) + 𝒊𝒑𝒔(𝒕) 𝑦𝑐 = 𝐶𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝑖𝑡𝑟(𝑡) = 𝐶𝑒 − ∫ 500𝑑𝑡 = 𝐶𝑒 500𝑡 𝒊𝒕𝒓(𝒕) = 𝑪𝒆𝟓𝟎𝟎𝒕
5
𝑦𝑝 =
1
𝑒∫
∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑡)𝑑𝑥 ⇒ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑖𝑝𝑠(𝑡) = 𝑖𝑝𝑠(𝑡) =
𝑖𝑝𝑠(𝑡) =
1 𝑒 500𝑡
∫ 𝑒 500𝑡 ∗ 300𝑑𝑡
300 ∫ 𝑒 500𝑡 𝑑𝑡 𝑒 500𝑡
300 ∫ 𝑒 500𝑡 ∗ 500𝑑𝑡 500 ∗ 𝑒 500𝑡
𝑖𝑝𝑠(𝑡) =
3 −500𝑡 500𝑡 ∗𝑒 [𝑒 ] 5
𝒊𝒑𝒔(𝒕) =
𝟑 𝟓
Por tanto la corriente (total en el circuito), buscada es: 𝑖(𝑡) = 𝑖𝑡𝑟(𝑡) + 𝑖𝑝𝑠(𝑡) 𝒊(𝒕) = 𝑪𝒆−𝟓𝟎𝟎𝒕 +
𝟑 𝟓
Para hallar C tenemos las condiciones iniciales i (0)=0. 𝑖(𝑡) = 𝐶 − 𝑒 500𝑡 + 0 = 𝐶𝑒 −500(0) + 0 = 𝐶(1) + 0=𝐶+ 𝑪=−
3 5
3 5
3 5
3 5
𝟑 𝟓
La corriente total solo remplazamos el valor de C 𝒊(𝒕) = −
𝟑 −𝟓𝟎𝟎𝒕 𝟑 𝒆 + 𝟓 𝟓
6
CIRCUITO RC EN SERIE PROBLEMA Se aplica una fuerza electromotriz de 100V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 ohm y la capacitancia de 104 farads. Determine la carga q (t) del capacitor, si q(0)=0. Encuentre la corriente i(t). El circuito esta descrito en la Figura 1
Ilustración 1Circutio RC
Para nuestro caso la ecuación diferencial a resolver, según la ecuación (1) y sustituyendo los valores del problema planteado, es: 200
𝑑𝑞 1 + 𝑞 = 100 𝑑𝑡 1 × 10−4
Método Estándar 𝑑𝑦 𝑑𝑞 1 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) ⇒ + 50𝑞 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2
7 Factor Integrante: 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 50𝑑𝑡 = 𝑒 50 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑒 50𝑡
Factor Solución 𝒚 = 𝒚𝒄 + 𝒚𝒑 ⇒ 𝒒(𝒕) = 𝒒𝒕𝒓(𝒕) + 𝒒𝒑𝒔(𝒕) 𝑦𝑐 = 𝐶𝑒 − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝑖𝑡𝑟(𝑡) = 𝐶𝑒 − ∫ 50𝑑𝑡 = 𝐶𝑒 −50𝑡 𝒒𝒕𝒓(𝒕) = 𝑪𝒆−𝟓𝟎𝒕 𝑦𝑝 =
1
𝑒∫
∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑞𝑠(𝑡) =
𝑞𝑠(𝑡) =
1
1 50𝑡 ∫ 𝑒 ∗ 𝑑𝑡 𝑒 50𝑡 2
1 ∫ 𝑒 50𝑡 (50)𝑑𝑡 2 ∗ 50 ∗ 𝑒 50𝑡
𝑞𝑠(𝑡) =
1 ∫ 𝑒 50𝑡 (50)𝑑𝑡 100 ∗ 𝑒 50𝑡
𝑞𝑠(𝑡) =
1 ∗ 𝑒 −50𝑡 [𝑒 50𝑡 ] 100
𝒒𝒔(𝒕) =
𝟏 𝟏𝟎𝟎
Por tanto la corriente (total en el circuito), buscada es: 𝑞(𝑡) = 𝑞𝑡𝑟(𝑡) + 𝑞𝑠(𝑡) 𝒒(𝒕) = 𝑪𝒆−𝟓𝟎𝒕 +
𝟏 𝟏𝟎𝟎
Para hallar C tenemos las condiciones iniciales i (0)=0. 𝑖(𝑡) = 𝐶 − 𝑒 50𝑡 + 0 = 𝐶𝑒 −50(0) + 0 = 𝐶(1) + 0=𝐶+ 𝑪=−
1 100
1 100
1 100
1 100
𝟏 𝟏𝟎𝟎
Para hallar la carga en el condensador total solo remplazamos el valor de C
8
𝒒(𝒕) = −
𝟏 𝟏 𝒆−𝟓𝟎𝟎𝒕 + 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎
Obteniendo la corriente i(t), del circuito RC en serie 𝐿 𝑑𝑖/𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 + 1/𝐶 𝑞 = 𝐸(𝑡) 𝑅𝑖 + 200𝑖 +
𝑞(𝑡) =–
1 1 −50𝑡 1 [− 𝑒 + ] = 100 −4 1 × 10 100 100
1 −50𝑡 1 𝑒 + 100 100 200𝑖 +
1 𝑞 = 𝐸(𝑡) 𝐶
𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖(𝑡), 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
1 1 −50𝑡 1 [− 𝑒 + ] = 100 −4 1 × 10 100 100
𝑖(𝑡) +
10000 1 −50𝑡 1 1 [− 𝑒 + ]= 200 100 100 2
𝑖(𝑡) + 50[−
1 −50𝑡 1 1 𝑒 + ]= 100 100 2
1 1 1 𝑖(𝑡) + [− 𝑒 −50𝑡 + ] = 2 2 2 1 1 1 𝑖(𝑡) − 𝑒 −50𝑡 = − 2 2 2 𝒊(𝒕) =
𝟏 −𝟓𝟎𝒕 𝒆 𝟐
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CIRCUITO RLC
𝑅 = 20 Ω 𝐿 = 0,6 𝐻 𝐶 = 25 𝑚𝐹 = 0.025 𝐹 𝐸(𝑡) = 25𝑆𝑒𝑛(200𝑡) 𝑓= 𝐿
𝜔 200 = = 31,831 𝐻𝑧 2𝜋 2𝜋
𝑑2 𝐼 𝑑𝐼 1 𝑑𝐸 +𝑅 + 𝐼 = = 𝐸0 𝑤𝐶𝑜𝑠(𝑤𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡
10 0,6𝐼´´ + 20𝐼´ + 40𝐼 = (25.200)𝐶𝑜𝑠(200𝑡) Solución homogénea
0,6𝜇2 + 20𝜇 + 40 = 0 𝜇1 = −2,137 𝜇2 = −31,196 𝑰𝒉 = 𝑪𝟏 𝒆−𝟐,𝟏𝟑𝟕𝒕 + 𝑪𝟐 𝒆−𝟑𝟏,𝟏𝟗𝒕 Solución Particular
𝑠 = 𝜔𝐿 −
1 1 = (200.0,6) − = 119,8 𝜔𝐶 200.0,025
𝐼𝑃 = 𝑎𝐶𝑜𝑠(200𝑡) + 𝑏𝑆𝑒𝑛(200𝑡) 𝑎=
−𝐸0 𝑆 = −0,2030 𝑅2 + 𝑆 2
𝑏=
−𝐸0 𝑅 = 0,0339 𝑅2 + 𝑆 2
𝑰𝑷 = −𝟎, 𝟐𝟎𝟑𝟎𝑪𝒐𝒔(𝟐𝟎𝟎𝒕) + 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟗𝑺𝒆𝒏(𝟐𝟎𝟎𝒕) 𝑰(𝒕) = 𝑪𝟏 𝒆−𝟐,𝟏𝟑𝟕𝒕 + 𝑪𝟐 𝒆−𝟑𝟏,𝟏𝟗𝒕 − 𝟎, 𝟐𝟎𝟑𝟎𝑪𝒐𝒔(𝟐𝟎𝟎𝒕) + 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟗𝑺𝒆𝒏(𝟐𝟎𝟎𝒕)
Solución Particular
𝒊(𝟎) = 𝟎 𝑸(𝟎) = 𝟎 𝑖(0) = 0 = 𝑐1 + 𝑐2 − 0,2030 La segunda condición nos dice que:
𝒊´(𝟎) = 𝟎 𝐼´(0) = −2,137𝐶1 − 31,19𝐶2 − 0 + 0,0339(200)𝐶𝑜𝑠(200𝑡) = 0 𝑐1 = −𝑐2 + 0,2030 −2,137. (−𝑐2 + 0,2030) − 31,19𝐶2 − 0 + 0,0339(200)𝐶𝑜𝑠(200𝑡) = 0 𝑐2 (2,137 − 31,19) = −6,78 + 0.4338 𝒄𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟒 𝒄𝟏 = −𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟒 𝑰(𝒕) = −𝟎. 𝟎𝟏𝟓𝟒𝒆−𝟐,𝟏𝟑𝟕𝒕 + 𝟎, 𝟐𝟏𝟖𝟒𝒆−𝟑𝟏,𝟏𝟗𝒕 − 𝟎, 𝟐𝟎𝟑𝟎𝑪𝒐𝒔(𝟐𝟎𝟎𝒕) + 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟗𝑺𝒆𝒏(𝟐𝟎𝟎𝒕)
11 𝑰𝑷 (𝒕) = 𝑰𝟎 𝑺𝒆𝒏(𝝎𝒕 − 𝜽) 𝐼0 = √𝑎2 + 𝑏 2 = 0,2058 𝑆 𝜃 = tan−1 ( ) = 80,5222 𝑅 𝑰𝑷 (𝒕) = 𝟎, 𝟐𝟎𝟓𝟖𝑺𝒆𝒏(𝟐𝟎𝟎𝒕 − 𝟖𝟎, 𝟓𝟐°)
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. Comprobamos que la solución homogénea es la misma a la ecuación principal, y así podemos expresar matemáticamente los circuitos eléctricos. VII. BIBLIOGRAFIA. [1]Ecuación Homogénea Disponible en: http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edocap1-geo/node3.html [2] Libro de: Matemáticas Avanzada para Ingeniería KREYZIG 4ta Edición.
