MODELADO DE SISTEMAS HIBRIDOS DINAMICA DE SISTEMAS EN ESTE TRABAJO SE INTENTARÁ EXPLICAR LA MANERA EN QUE TRABAJAN ESTE TIPO DE SISTEMAS Y LA FORMA DE PLANTEARLOS MATEMATICAMENTE PARA LLEGAR A SU FUNCION DE TRANSFERENCIA. RAMON AMISADAI LOPEZ ROSAS 05/01/2012
INTRODUCCION
Debido a que es difícil encontrar en la realidad sistemas puramente eléctricos, mecánicos, hidráulicos o térmicos, desde un punto de vista estricto, es necesario realizar un estudio detallado de los sistemas híbridos, que son aquellos sistemas formados por la combinación de subsistemas de distinto tipo, por ejemplo electromecánicos, termoeléctricos y otros. Para enfatizar la importancia que tienen los sistemas híbridos se pueden citar ejemplos sencillos y analizar de manera breve sus diferentes partes o subsistemas. Considérese el caso de un automóvil, el cual puede ser tratado como una serie de subsistemas interconectados que interactúan de manera conjunta. En términos generales todo automóvil considerado como un sistema físico tiene un subsistema o parte eléctrica formado por las luces, sistema de encendido, tablero de control el cual incluye alarmas e indicadores, etc. A continuación se presenta la descripción de algunos elementos híbridos y además ejemplos de sistemas que incluyen elementos de este tipo.
DESARROLLO Un modelamiento de sistemas u obtención del modelo matemático del sistema, independientemente de su naturaleza, sigue una secuencia de 4 pasos:
Definición de las variables a considerar como de entrada y salida para lo cual se requiere un conocimiento cabal de los procesos al interior del sistema. Formulación de los justificativos teóricos (suposiciones) que reduzca la complejidad del modelo. Definición de ecuaciones de equilibrio Resolución del sistema de ecuaciones obtenidas
Entre los elementos híbridos se pueden citar como los más comunes por su simplicidad y uso frecuente los siguientes: Potenciómetro
Éste elemento hibrido relaciona dos variables, una eléctrica con una mecánica. Existen dos tipos de potenciómetros:
Traslacional Rotacional
TRASLACIONAL:El potenciómetro traslacional se representa por medio del
siguiente símbolo:
Su comportamiento físico está definido por la ecuación:
Dónde: V0= es el voltaje medido entre la posición del cursor y la referencia, la posición del cursor está determinada por el valor del desplazamiento (x), éste voltaje esta dado env. X= desplazamiento del cursor en m. xmax= valor máximo que desplaza el cursor en m. v= voltaje de alimentación al potenciómetro en [v]. ROTACIONAL:Éste potenciómetro se representa por medio del siguiente
símbolo:
Su comportamiento físico está definido por la ecuación:
Dónde: V0= es el voltaje medido entre la posición del cursor y la referencia, la posición del cursor está determinada por el valor del desplazamiento angular (θ) este voltaje esta dado en v. Θ= Desplazamiento angular del cursor del potenciómetro en rad. Θmax= Valor máximo que se desplaza angularmente el cursor en rad.
V: es el voltaje de alimentación aplicado entre las terminales del potenciómetro [v].
Motor eléctrico ideal de corriente directa
En este elemento son cuatro las variables asociadas: dos eléctricas y dos mecánicas. Las eléctricas son el voltaje y corriente de armadura, las mecánicas son el par producido en la flecha del motor y la velocidad angular de este. El motor eléctrico ideal de corriente directa se representa mediante el siguiente símbolo:
La relación entre las variables se define por medio de las ecuaciones:
Dónde: Tm y ωm:son el par producido por el motor y su velocidad angular, expresados N-m y en rad/seg respectivamente. Va e i a: son el voltaje y corriente de armadura del motor expresados en V y A respectivamente. Ka y Kf : son parámetros propios del motor expresados en respectivamente
y
Un generador eléctrico es una maquina eléctrica capaz de mantener una diferencia de potencial eléctrico entre dos de sus puntos, llamados polos, terminales o bornes. Los generadores eléctricos son destinados a transformar la energia mecánica en eléctrica. Esta transformación se consigue a través de una fuerza electromotriz (fem), de acuerdo a los principios de Lenz y Faraday.
Por su naturaleza el generados recibe energía mecánica a través del rotos y entrega energía eléctrica a través de los rodamientos. En los generadores reales, la velocidad de rotación se mantiene constante, y lo que se regula es la intensidad del campo magnético de excitación, a través de la variación del voltaje a la bobina del estator. De esta forma la variable de entrada será el voltaje de la bobina de excitación vb(t) y la variable de salida será el voltaje v(t) en los extremos de los rodamientos. Ahora introduciremos suposiciones cuyo objetivo básico es limitar o minimizar teóricamente la influencia de los elementos no lineales del sistema. Así para un generador de CD es importante pensar que:
No existe histéresis magnética en los circuitos magnéticos. La relación entre flujo magnético y fuerza de imantación es lineal.
La relación del armado del rotor esta compensada La inducción en la bobina del rotor es nula Los parámetros eléctricos de los embobinados son constantes en el tiempo La carga del generador es pasiva pura La velocidad de rotación del rotor es constante
A continuación obtendremos las ecuaciones de equilibrio. De acuerdo al principio básico de la conservación de la energía, la energía solo se transforma. Una ecuación de equilibrio es una expresión matemática que describe esa transformación.
EJEMPLOS El sistema electromecánico que se muestra en la figura se puede considerar como la representación más simple de un generador de corriente directa. La parte eléctrica representa el sistema de arranque del motor y la parte mecánica representa la inercia de éste.
Obtener un modelo matemático que sirva para representar el comportamiento del sistema, empleando como variable para el modelo la velocidad angular. SOLUCION: En este caso es necesario en primer término identificar y delimitar cada una de las partes que forman el sistema esto se hace con la finalidad de plantear las ecuaciones de elementos y las de equilibrio por separado para cada una de las partes. De esta manera para el sistema considerado, se pueden identificar una parte eléctrica formada por la fuente de alimentación, una resistencia y una inductancia; otra parte del sistema es la mecánica que está formada por un resorte rotacional (KT), una inercia (Jm) y un amortiguador rotacional (θm). Ambas partes están interconectadas atraves de un elemento hibrido (motor eléctrico ideal de corriente directa). 1. Selección de variables.
Leyes de elementos. Debido a que el sistema está formado por una parte eléctrica y una mecánica se deben plantear las ecuaciones de elementos para cada una de las partes por separado. Subsistema magnético
Una de las partes más importantes del motor, el devanado de inducido, consiste en un arrollamiento de varias espiras que puede girar inmerso en un campo magnético constante. Dicho campo magnético puede ser generado por un imán permanente o por un devanado de excitación consistente en una bobina por la que circula una corriente de excitación i f (t ), que supondremos constante para que el campo sea también constante. Al circular una corriente i a(t ) por el devanado de inducido, como resultado de la interacción con el campo magnético se ejerce sobre él un par T (t ) que es directamente proporcional al campo magnético y a la propia corriente de inducido i a(t ). Dado que hemos supuesto el campo magnético constante, el par motor será proporcional a la corriente de inducido T (t ) = K t. i a(t )
(1)
Por otra parte, el giro de las espiras del devanado de inducido en presencia del campo magnético, produce en bornas del mismo una caída de tensión o fuerza contraelectromotriz, e(t ), proporcional a su velocidad de giro
Subsistema eléctrico
Asimismo, el devanado de inducido es, a todos los efectos, un conductor, con una resistencia Ra y una inductancia La, sobre el que hay
que considerar, además, la fuerza contraelectromotriz como una fuente de tensión dependiente de la velocidad de giro. La ecuación en la malla de inducido será, por tanto: (3) Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación eléctrica se tiene: V a(s) = (Ra + sLa)Ia(s) + K esΘm(s)
Subsistema mecánico
El par mecánico T (t ) desarrollado por el motor se emplea para imprimir aceleración angular
a la carga y en vencer la fuerza de fricción
(la fricción viscosa es aproximadamente proporcional a la velocidad de giro): (5) Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior y teniendo en cuenta que la velocidad angular Ωm(s) = sΘm(s) se tiene:
Función de transferencia
Agrupando términos, la función de transferencia que relaciona la tensión de inducido con la posición angular es:
Anexos y referencias
Franklin et al. Feedback Control of Dynamic Systems 5ª Edición, Ed. Prentice Hall. http://isa.uniovi.es/ISAwiki/index.php/Modelado_de_un_motor_ CC. Francisco J. Rodríguez Ramírez Dinámica de sistemas 1° Edición, Ed.
