KATA PENGANTAR Puji uji syu syukur kur ka kam mi panj panjat atka kan n kepad epada a Alla Allah h SWT ata atas terselesaikannya bahan ajar ini, yaitu berupa modul matematika untuk untuk SMK rumpun rumpun tekhno tekhnolog logi. i. Modul Modul ini disusu disusun n berdas berdasark arkan an pendekatan pendekatan pembelajaran pembelajaran Kurikulum Kurikulum edisi 2006 yaitu Kurikulum Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Modul merupakan salah satu bahan ajar yang digunakan dalam dalam KTSP KTSP sehing sehingga ga dengan dengan mempel mempelaja ajari ri modul modul ini pesert peserta a didik diharapkan dapat menguasai kompetensi sesuai yang telah ditargetkan Modu Modull ini ini dapa dapatt terse tersele lesa saik ikan an tent tentu u saja saja berk berkat at berk berkat at perj perjua uang ngan an tak tak ke kena nall lela lelah h dan dan jasajasa-ja jasa sa dari dari tema temann-te tema man n semua semua sehi sehing ngga ga ke kepa pada da semua semua piha pihak k yang yang terk terkait ait dan dan ikut ikut membantu membantu dalam terselesaikanny terselesaikannya a modul modul ini kami sampaikan terimakasih. Kami Kami meny menyad adar arii bahw bahwa a masi masih h sang sangat at bany banyak ak terd terdap apat at kekurangan dalam prnyusunan modul ini sehingga kami sangat mengharapkan saran dan kritik dari pembaca semuanya. Demiki Demikian an pengan pengantar tar dari dari kami, kami, semoga semoga modul modul ini dapat dapat bermanfaat bagi kita semua. Surabaya, 26 September 2007
Penyusun
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL KATA PENGANTAR DAFTAR ISI PETA KEDUDUKAN MODUL I. PENDA PENDAHUL HULUAN UAN
1
A. Deskri Deskrips psii B. Pras Prasyr yrat at C. Petunjuk Penggunaan Penggunaan Modul D. Tujuan Tujuan Akhir Akhir E. Komp Kompet eten ensi si F. Cek Kemam Kemampua puan n II.
PEMBELAJARAN A. Rencan Rencana a Belaja Belajarr Pese Peserta rta Didik Didik B. Ke Kegi giat ata an Bela Belaja jarr a. Tujuan KegiatanPembelajara KegiatanPembelajaran n b. UraianMateri c. Rangkuman d. TugaS III. EVALUASI KUNCI EVALUASI IV. PENUTUP DAFTAR PUSTAKA
PETA KEDUDUKAN MODUL
2
Tingkat I
Bilangan Real
Aproksimasi Kesalahan
Persamaan dan
Matrik
Program
Logika Matematika
Trigonometri
Tingkat II
Tingkat III
Fungsi
Baris dan
Geometri Dimensi Dua
Limit
Diferensial
Integral
Geometri Dimensi Tiga
Vektor
Peluang
Statistika
Irisan
PENDAHULUAN A. DESKRI DESKRIPS PSII
3
Dalam modul ini anda akan dipelajari tentang definisi limit, cara mencari limit fungsi dengan perhitungan aljabar, dan mencari limit fungsi trigonometri B. PRASYARAT Sebelu Sebelum m mempe mempelaj lajari ari ini anda anda harus harus bias bias opera operasi si pada bilangan real dan trigonometri. C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL 1. Baca modul dengan teliti 2. Perhatikan contoh-contoh yang diberikan, lebih baik lagi jika contoh ditulis/dikerjakan ulang. 3. Kerjakan tugas dan evaluasi yang diberikan. D. TUJUAN AKHIR 1. Memahami pengertian limit dari suatu fungsi 2. Mampu untuk mencari limit dari suatu fungsi melalui perhitungan aljabar 3. Mampu untuk mencari limit suatu fungsi di titik tak hingga. 4. Mampu mencari limit fungsi trigonometri.
E. KOMPETENSI NAMA SEKOLAH : SMK MATA PELAJARAN : MATEMATIKA TINGKAT/JURUSAN TINGKAT/JURUSAN : 1/ OTOMOTIF SEMESTER : 1 STANDARD KOMPETENSI 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
4
F. CEK KEMAMPUAN
Kerjakan soal-soal di bawah ini : 1. apakah apakah pengertian pengertian dari dari limit limit suatu fungsi? fungsi? Jelaska Jelaskan n menurut sepengetahuan anda! 2. Apakah Apakah yang dimaksud dimaksud penyelesa penyelesaian ian fungsi fungsi secara secara intuitif? 3. Apakah Apakah yang dimaksud dimaksud penyelesa penyelesaian ian fungsi fungsi secara secara aljabar?
5
PEMBELAJARAN
a.
A.
RENCANA BELAJAR JAR SISW ISWA
B.
KEGIATAN BELAJAR Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari modul ini, siswa diharapkan dapat : 1. Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dan di titik tak hingga 2. Menghitung Menghitung limit limit fungsi fungsi trigonome trigonometri tri di suatu suatu titik
6
b.
Uraian Materi
LIMIT FUNGSI A.
Pengertian limit fungsi Penger Pengertia tian n limit limit fungsi fungsi di suatu suatu titik titik dapat dapat dipaha dipahami mi dengan cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Misalnya sua suatu fungsi f(x), akan ditentukan nilai limit fungsi f(x) untuk nilai x yang dekat dengan a. Sebaga Sebagaii contoh contoh fungsi fungsi f(x)=x f(x)=x+1 +1 dengan dengan daerah daerah asal asal D={x|x ∈ R}, akan ditentukan beberapa nilai fungsi f(x) jika x mendekati 2. Nilai-nilai fungsi f(x)=x+1 untuk x yang dekat dengan 2 dibuat seperti pada tabel berikut : x f(x)=x+ 1
1,8 2,8
1,9 2.9
1,99 2,99
->2,000<. . . ?. . .
2,001 3,001
2,01 3,01
2,2 3,2
Dari Dari tabe tabell diat diata as tamp tampak ak bah bahwa fun fungsi gsi f(x) f(x)=x =x+1 +1 mendekati nilai L=3 jika x mendekati 2, baik dari arah kiri kiri mau maupun pun ar arah ah ka kana nan n. Den Dengan gan demi demiki kian an dapat apat dituliskan bahwa : lim lim f(x) x→2
= lim lim (x +1 ) = 3 x→2
Diba Dibaca ca : limi limitt dari dari f(x) f(x)=x =x+1 +1 sama sama deng dengan an 3, jika jika x mendekati 2. B. LIMIT FUNGSI ALJABAR B.1. Metode substitusi langsung Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini : Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini! lim (2 x − 5) a) lim x →1
b) xlim1 →
x −1 x +1
Jawab : lim ( 2 x − 5) = lim(2(1) − 5) = -3 a) lim x→1 x →1 b) l xim1 →
x −1 x +1
= l xim1 →
1 −1 1 +1
= l xim1 →
0 2
=0
B.2. Metode Pemfaktoran
7
Perhatikan Perhatikan limit fungsi yang berbentuk
lim
x →2
−4 x − 2
x
2
apabila apabila dikrjakan dikrjakan dengan dengan substitusi substitusi lansung, lansung, akan diperoleh : lim
x →2
x 2
−
4
x − 2
= lim x →2
22
−
4
2−2
=
0 0
Perhat Perhatika ikan, n, bahwa bahwa bentuk bentuk 0/0 disebut disebut bentuk bentuk tak tentu dan tidak didefinisikan. Karena itu dilakukan pemfaktoran agar limit fungsi tersebut busa dicari. Jadi, lim x →2
( x − 2)( x + 2) −4 ( x + 2) = 2 + 2 = 4 = lim = lim x →2 x →2 x − 2 x − 2
x
2
Secara umum, pengerjaan limit fungsi yang memp mempun unya yaii bent bentuk uk tak tak tent tentu u dapat apat dila dilaku kuka kan n dengan menggunaka metode pemfaktoran sebagai berikut. Misalkan
lim lim
f ( x)
x →a
g ( x)
f (a) 0 = xlim = lim . →a g (a ) 0
Upayakan f(x) dan g(x) memiliki faktor yang sama yaitu adalah (x-a), sehingga : lim lim
x →a
f ( x ) g ( x )
= lim
x →a
( x − a ). p ( x ) ( x
= xlima →
= q (a)
≠
− a ). q ( x )
p ( x ) q ( x )
p ( a ) , dengan dengan catatan catatan p( a) q (a )
≠0
dan
0
Perhatikan Perhatikan bahwa
x − a x + a
=1, =1, seba sebab b nila nilaii x hany hanya a
dekat dengan a sehingga x − a ≠ 0 atau
x ≠ a .
Berikut ini diberikan contoh menentukan limit fungsi aljabar dengan menggunakan metode pemfaktoran. Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi berikut ! a) lim lim x →3
−9 x − 3
x
2
8
b) lim
x
2
x →1
+ 9 x −10 x −1
Jawab : a) lim lim x →3
−9 = x − 3
x
2
lim
( x − 3)( x + 3) x − 3
x →3
lim ( x + 3) = lim x→3
=3+3 =6
b) lim x →1
x
2
+ 9 x −10 = x −1
lim lim
( x −1)( x +10 ) x −1
x →1
lim ( x +10 ) = lim x →1
= 1 + 10 = 11
f ( x) C. Limit Fungsi Aljabar dengan Bentuk xlim →∞
Sekara Sekarang ng akan akan dijela dijelaska skan n cara cara menent menentuka ukan n limit limit fungsi fungsi alja aljaba barr jika jika x→∞ deng dengan an cara cara-c -car ara a tert terten entu tu’’ CaraCara-ca cara ra tertentu itu adalah membagi dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan faktor lawan. Limit fungsi aljabar jika x mendekati tak hingga yang dapat dikerjakan dengan cara-cara tertentu diantaranya : Limit fungsi rasional pecahan •
yang berbentuk xlim
→ ∞
f ( x) g ( x )
Limit Limit fungsi fungsi irrasio irrasional nal
•
yang yang
f ( x) − g ( x) berbentuk xlim →∞
C.1. Membagi penyebut
Limit
fungsi
Dengan
yang
Pangka gkat
berbentuk
Tertinggi lim
x →∞
f ( x ) g ( x )
dari
dapat
diseles diselesaik aikan an dengan dengan cara cara membag membagii pembil pembilang ang f(x) f(x)
9
dan penyebut g(x) dengan xⁿ, dan n adalah pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x). Sebagai ilustrasi misalkan akan dihitung lim x →
3 x x
2
2
+ −4 x +1 +10 x − 2
Maka
jika
dihitung
secara
langsung
akan
∞ yang yang merupa merupakan kan bent bentuk uk tak tak ∞ 2 3 x + −4 x +1 tentu. Oleh karena itu bentuk diubah 2 x +10 x − 2
menghasilkan
terleb terlebih ih dahulu dahulu.. Yaitu Yaitu dengan dengan membag membagii pembil pembilang ang dan dan peny penyeb ebut ut deng dengan an vari variab able le yang yang berp berpan angk gkat at tertinggi (x 2 ) sehingga diperoleh
3 x
− 4 x + 1 = lim lim lim lim 2 x → ∞ x →∞ x + 10 x − 2 3 x
2
2
−
2
x 2 x + 10 x − 2 x
3+ lim = lim
x →∞
=
4 x − 1
1+
4
x 10 x
+
2
1 x 2 2
−
x 2
3 +0 +0 1+0 +0
=3 Dari contoh diatas dapat disimpulkan 1. jika jika deraj derajad ad f(x) f(x) = der deraj ajad ad g(x) g(x),, mak maka a: lim
x →∞
f ( x ) g ( x )
=
perbandingan
koefisie sien
pangkat
tert tertin ingg ggii anta antara ra pemb pembil ilan ang g dan dan penyebut. 2. jika derajad f(x) > derajad g(x) dan koefisien pangkat tertingi bernilai positif, maka :
10
f ( x )
lim
x →∞
g ( x )
=∞
jika derajad f(x) > derajad g(x) dan koefisien pangkat tertingi bernilai negatif, maka :
3.
f ( x )
lim
x →∞
g ( x )
= -∞
JIka derajad f(x) < derajad g(x) maka nilai dari limit fungsi tersebut adalah nol (0).
4.
C.2. Mengalikan dengan Faktor Lawan Perhatikan contoh berikut ini
Hitunglah 2
2
x − 3 x + 4 −
lim
x − 7 x + 10
x → ∞
Jika dihitung langsung akan diperoleh (∞-∞) yang juga masu masuk k bent bentuk uk tak tak tent tentu. u. Ol Oleh eh ka kare rena na itu itu bent bentuk uk tersebut diubah dengan mengalikan factor lawannya, sebagai berikut : x
=
2
(
− 3 x + 4 −
x
2
− 7 x + 10 x
) ( 2
−
x
=
x
2
2
x
2
3 x + 4 + x
2
3 x + 4 −
−
x 2 x 2
−
7 x + 10
−
7 x + 10
)
− 3 x + 4 + − 3 x + 4 +
x 2 x 2
− 7 x + 10 − 7 x + 10
2
4 x − 6 x
2
− 3 x + 4 +
x
2
− 7 x +10
Dengan demikian, lim
2
x − 3 x + 4 −
2
x − 7 x + 10
=
x → ∞
lim
x →∞
4 x − 6
− 3 x + 4 + x 2 − 7 x + 10 4 −0 = 1−0 −0 + 1−0 −0 x 2
:
x x
=2
11
Rumus ( Nilai limit dari bilangan natural (e) ): x
1 a. xlim 1 + = e → ∞
x
− x 1 b. xlim 1 − = e x → ∞
c. xlim
→ ∞
( 1 + x)
1 x
= e
contoh : x
lim
x →∞
1 + 2 x
Jawab : x 2 lim 1 + = lim 1 + 1 x x x x 2 → ∞
→ ∞
2
x 2
= e2
D. Teorem Teorema a Limit Limit Sampai saat ini telah telah dibicarakan c a ra menyelesaikaan limit fungsi aljabar yang d a l am peny penyel eles esai aian an itu itu telah telah digu diguna naka kan n bebe bebera rapa pa sifa sifatt limi limitt fung fungsi si.. Sifa Sifatt-si sifa fatt itu itu seca secara ra ring ringks ks dira dirang ngku kum m dala dalam m teorema limit sebagai berikut :
1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c x→ a 2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku : x→ a x→a a. l i m [f(x) ± g(x)] = l i m f(x) ± l i m g(x) = F ± G x→ a x→ a x→ a
12
b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G x→ a x→a x→ a
c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F x→ a x→ a lim f(x) = x ->a g(x) lim x→ a
d. l i m x→ a
f(x) = F , dengan G≠0 g(x) G
E. Limit Limit Fungsi Fungsi Trigonom Trigonometr etrii Perhatikan limit-limit fungsi berikut ini : lim sin( 2 x) I. xlim → π
II. xlim
sin( 3 x )
π →
m III. xli→
x tan( 2 x) 7 x
π
Bentuk limit seperti ini disebut limit fungsi trigonometri . Rumus-rumus limit fungsi trigonometri : I.
lim
II.
lim
x →0
x →0
sin( x ) x tan( x) x
lim = lim
x →0
=
lim
x →0
x sin( x ) x tan( x)
=1
=
1
Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini : lim
x →0
tan( 6 x ) sin( 3 x )
Jawab :
13
lim
x →0
tan( 6 x) sin( 3 x)
tan( 6 x) 6 x 3 x = l xi→ ⋅ ⋅ m 0 sin( 3 x)
6 x 3 x
tan( 6 x) = lim ⋅ lim x →0 6 x
= lim lim x →0
tan( 6 x) 6 x
3 x
⋅ 6 x
sin( 3 x ) 3 x
⋅ lim lim x →0
3 x sin( 3 x)
⋅ lim lim x →0
6 x 3 x
=1.1.2 =2
c. Ra Rang ngku kuma man n 1. Pada limit fungsi aljabar dengan bentuk
lim f ( x)
x →∞
maka berlaku : a) jika jika der deraj ajad ad f(x f(x)) = deraj derajad ad g(x g(x), ), mak maka a: lim
x →∞
f ( x ) g ( x )
=
perbandingan
koefisien
pangkat
tertinggi antara pembilang dan penyebut. b) jika derajad f(x) > derajad g(x) dan koefisien pangkat tertingi bernilai positif, maka : lim
x →∞
f ( x ) g ( x )
=∞
c) jik jika a der derajad ajad f(x) f(x) > dera deraja jad d g(x) g(x) dan ko koef efis isie ien n
pangkat tertingi bernilai negatif, maka : lim
x →∞
f ( x ) g ( x )
= -∞
d) JIka JIka deraj derajad ad f(x) f(x) < deraja derajad d g(x) g(x) maka maka nilai nilai dari dari limit limit fungsi tersebut adalah nol (0). 2. Rumus ( Nilai limit dari bilangan natural (e) ): x
1 a. xlim 1 + = e → ∞
x
− x
1 b. xlim 1 − → ∞
c. xlim0 →
x
( 1 + x)
=e
1 x
= e
3. Rumus-rumus limit fungsi trigonometri :
14
o
lim lim
sin( x) x
x →0
o
lim
= lim x →0
tan( x)
x →0
=
x
lim
x →0
x sin( x ) x
=1
=
tan( x)
1
d.Tugas 1.
Hitunglah tiap nilai limit fungsi berikut :
− x x→0 x 2 + 2 x x
a. lim b. lim x →0
c.
x
5
x
4
lim
2
−
x
3
+
x
3
( x + h )
+
x
2
−
x
2 1
1 3
− x
3
h
h→0
2. Carilah nilai limit fungsi berikut ini : a. lim
x →∞
b.
− x 4 − 10 4 x + x − 2
x
2
2 x
lim
2
− 8 x + 4 +
6 x
2
− x + 10
x → ∞
c. l xim0 →
(
1 − x
)
1 x
3. Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut : 2
π
a. lim sin ( x − 4 ) x π
→
3
15
lim b. lim
(3 x + 6) tan( x − 4)
x →0
2 x
2
− 7 x − 4
EVALUASI A. Soal Evaluasi Evaluasi Hitunglah limit fungsi dari tiap-tiap soal yang diberikan : 1. lim
x
5
+
9 x
8 x
x →∞
4
2
+
−
x
4
−
10
7 x − 21
2. xlim 2 x + 3 − x + 2 →∞
3.
2
x + 4 x − 6 −
lim
2
x − 2 x + 3
x → ∞
2 4. xlim 3 x
−
2 x + 1 − 2 x
2
−
9 x + 8
→∞
x
5. xlim
→ ∞
lim 6. lim
x x +1
( cos( 2 x) − 1) x 2
x →0
lim 7. lim x →0
( x
2
− 7 x + 12) sin( x − 3) ( x 2 − x − 6) 2
B. Kunci Kunci Jawaba Jawaban n 1
1. ∞
5.
2. ∞
6. -2
3. 3
7.
e
−
1 25
16
4.
3 2
2
C. Penilaian Untuk soal 1 sampai 5 skornya 10 dan untuk soal nomor 6 dan dan 7 skor skorny nya a 20, 20, sehi sehing ngga ga jika jika 6 soal soal bena benarr semu semua a skornya 100.
PENUTUP Modu Modull ini ini meru merupa paka kan n awala awalan n yang yang pali paling ng pent pentig ig untu untuk k meng mengin inja jak k ke bab bab sela selanj njut utny nya, a, sehi sehing ngga ga setel setelah ah anda menyelesa esaikan modul ini anda berhak untuk mempelajari modul “DIFERENSIAL”.
DAFTAR PUSTAKA 1. Wirodikromo Wirodikromo,, Sartono, Sartono, Matemat Matematika ika untuk untuk SMA SMA , Erlangga, Jakarta, 2004. 2. free free.v .vls lsm. m.or org g
17
