Mukavemet 1

Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi

İnşaat Mühendisliği Bölümü

MUKAVEMET I 2012- 2013 2013 Güz Dönemi 

SUNU DERS NOTLARI Hakan EROL

H. Selim ŞENGEL

http://www.oguinsaat.net

 Yunus  Yunus ÖZÇELİKÖRS ÖZÇELİKÖRS

MUKAVEMET I TEMEL İLKELER KESİT ZORLAMALARI GERİLME ŞEKİL DEĞİŞTİRME VE MALZEME BAĞINTILARI GERİLME-ŞEKİL DEĞİŞTİRME ANALİZİ EKSENEL KUVVET

ALAN MOMENTLERİ BURULMA

BASİT EĞİLME EĞİK EĞİLME http://www.oguinsaat.net

2

OSMANGAZİ OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKULTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MUKAVEMET MUKAVEMET I DERS PLANI DERS SAATİ SINIF

:

KREDİSİ ÖĞRETİM ÜYESİ ÖĞRETİM ÜYESİ ÖĞRETİM ÜYESİ GÖRÜŞME SAATİ

: A 217 : 3+2 : Dr. Yunus ÖZÇELİKÖRS Oda No:213 Telefon: 3216 E-Mail: [email protected]  : Dr. Selim ŞENGEL Oda No:403 Telefon: 3232 E-Mail: [email protected]  : Dr. Hakan EROL Oda No:411 Telefon: 3228 E-Mail: [email protected]  :

Mühendislik  fakültesi öğrencilerine, öğrencilerine, yapı ve makine elemanlarında, etkisi altında oldukları dış yükler  sebebiyle DERSİN AMACI :Mühendislik fakültesi   sebebiyle oluşan gerilme ve  limitleri içinde kalmak kaydıyla şekil değiştirmelerin, şekil  değiştirmelerin, bir matematik disiplin içinde , yapı malzemesi derslerinde yapılan deney sonuçları, mühendislik  limitleri  kabuller ile statik derslerinde alınan genel denge kavramları kullanılarak hesaplanması yapılan basitleştirici  kabuller kullanılarak  hesaplanması için gerekli altyapının hazırlanmasıdır . Kiriş, kolon, mil ve benzeri yapı elemanlarının dış yüklerin etkisi altında davranışlarının incelenmesi ve dış yüklerin elemanda oluşturduğu gerilme ve şekil değiştirmelerin şekil  değiştirmelerin hesaplanmasıdır . KONU BAŞLIKLARI 1- Temel prensipler: Giriş  Analiz yöntemleri,  Kuvvet ye yük   tipleri, Denge koşulları, İç   kuvvetler (Kesit tesirleri)nin incelenmesi, İç   Kuvvet  Mesnet tipleri, Yük, kesme kuvveti ve moment ilişkileri  Kesit  Kesit tesiri diyagramları, (integrasyon Yöntemi, Kesitler yöntemi) Bileşenleri  Mesnet 2-Gerilme Kavramı : Giriş,  Gerilme tahmini, Gerime bileşenleri,  Gerime tansörü,  Eksenel kuvvet, Ortalama kayma gerilmesi, Basit yapı elemanlarında gerilme uygulaması, İnce cidarlı basınç kapları, basınç  kapları, Emniyet (Güvenlik) gerilmesi Emniyet faktörü 3-Şekil değiştirme, malzeme ilişkileri : Giriş, Birim şekil değiştirme, şekil  değiştirme, Birim şekil değiştirme şekil  değiştirme bileşenleri,şekil  değiştirme tansörü, Mühendislik  malzemeleri Gerilme-birim şekil değiştirme şekil  değiştirme diyagramları, Hooke Kanunu, Poisson oranı, Genelleştirilmiş Hooke Kanunu, şekil değiştirme şekil  değiştirme enerjisi. 4-Gerilme ve şekil değiştirme  analizi: Giriş, Düzlem  gerilme hali, Asal gerilmeler, En büyük  kayma   kayma gerilmesi Mohr gerilme dairesi, Gerilmenin  ve diferansiyel denge denklemleri, Düzlem şekil değiştirme değişimi  ve şekil  değiştirme hali, şekil değiştirmenin şekil  değiştirmenin ölçülmesi, Gerilme-şekil değiştirme şekil değiştirme ilişkileri .

3

5-Eksenel Kuvvet Hali: Giriş,  Eksenel yüklü  elemanlarda şekil  değiştirme hesabı,  Eksenel kuvvet halinde hiperstatik yapı elemanları, Süperpozisyon yönteminin uygulanması, Sıcaklık  değişiminden doğan şekil  değiştirme  ve gerilmeler, Eğik  düzlemlerde oluşan  gerilme bileşenleri, Gerilme yığılmaları, Saint-Venant prensibi. 6- Kesme kuvveti hali: Gerilme hesabı, Şekil  ve  ve yer değiştirme hesabı, Perçinli  ve  ve civatalı birleşimler . 7- Alan Momentleri: Tanım, eksenlerin değiştirilmesi, Asal atalet eksenleri ve momentleri. 8- Burulma Momenti hali:  Burulma momenti diyagramları, Dairesel kesitli elemanlarda gerilme hesabı, şekil  değiştirme hesabı, Dairesel kesitli elemanların boyutlandırılması, Burulmada şekil değiştirme şekil  değiştirme enerjisi hesabı, Dairesel olmayan kesitlerin burulması. 9- Eğilme: Tanım, kabuller, düz eğilme, .. düz  eğilme, eğik eğilme, eğik  eğilme, kompozit kirişlerin eğilmesi ..

DEĞERLENDİRME I. Yarıyıl içi  Final % 50 Yarıyıl içi  % Il. Yarıyıl içi  Yarıyıl içi  % Bilgi Yoklamaları % (Sınavlar kapalı (Sınavlar kapalı düzen olarak yapılacak, formül sayfası formül sayfası verilecektir) TELAFİ SINAVI Sözlü ve/veya yazılı olarak yapılacaktır . (Öğrencinin hangi sınava katılmadığına bakılmaksızın tüm konular kapsanacaktır .) .) DERS KİTABI Dr A.C, UĞURAL,  Mechanics of Materials , Mc.Graw-HiIl 1991 Dr. Mustafa İNAN Cisimlerin Mukavemeti, İTÜ Vakfı Yayını,1990  YARDIMCI KAYNAKLAR 1http://web.mst.edu/~mecmovie , http://web.mst.edu/~mecmovie  , http://web.mst.edu/~oci/frame1.html 2Dr. Mehmet H. OMURTAG, Mukavemet Cilt I ve Cilt II Birsen yayınevi, 2007 3Dr. Mehmet H. OMURTAG, Mukavemet Çözümlü Problemleri, Cilt I, Cilt II, Birsen yayınevi, 2006 4Ferdinand P.BEER & E.Russel JOHNSTON, Mechanics of Materials, McGraw-Hill Book Comp.1981 5Dr.N. KADIOĞLU,  Dr.H. ENGİN,  Dr.M. BAKİOĞLU ,Mukavemet Problemleri Cilt I, Cilt II, Beta Basım Yayım Dağıtım  A.~.1989

4

TEMEL İLKELER GİRİŞ Mukavemet, yük etkisi altındaki cisimlerin gerilme ve şekil değiştirme durumunun -iç davranışın- incelendiği uygulamalı mekaniğin  bir dalıdır. Buradaki cisim kelimesiyle çubuklar,  plak ve kabuklar, kolon ve miller ile bu elemanların birleştirilmesiyle oluşan  yapı ve makineler kastedilmektedir. Cisimlerin dayanımı  veya şekil değiştiren  cisimler mekaniği  olarak da adlandırılan  malzeme mekaniğinde öncelikle  gerilme analizi ve cisimlerin mekanik özelikleri incelenir. Malzeme mekaniği çalışmaları, kuvvet etkisindeki cisimlerde denge kavramının anlaşılmasıyla başlar. Statik dersinde dengedeki katı  cisimlerin dış davranışı  incelenirken mukavemette dış  yüklerden oluşacak iç  kuvvetler ve şekil değiştirme araştırılır. Burada ilk olarak statik denge denklemleri ve  yük etkisindeki bir cisimde uygulanması üzerinde durulacaktır. Daha sonra malzeme deformasyon  yasaları ve geometrik uygunluk koşulları ele alınacaktır.

Katı cisimlerin  yük  etkisindeki davranışlarının incelenmesi Galileo Galilei (1564-1642) ile başlayıp  kuvvet etkisindeki cisimlerin şekil değiştireceğini ilk defa ifade eden Robert Hooke (1635-1703) (1635-1703) la devam devam eder. O zamandan bu yana yana pek çok mühendis,  bilim adamı ve matematikçi  gerilme analizine katkıda  bulunarak bu gün kullandığımız  yeni  yöntemlerin gelişiminde önemli rol oynamıştır.

AMAÇ Mukavemette temel amaç,  cisimlerin  yük taşıma  kapasitelerinin dayanım,  rijitlik ve stabilite bakımlarından araştırılmasıdır. Sözü edilen kavramlarla bir cismin sırasıyla sürekli şekil değiştirme  veya kırılmaya karşı direnci, şekil değiştirme  direnci ve cismin denge konumunun kararlılığı  kastedilmektedir. Gerçek  yapılardaki karmaşık gerilme durumunu deneysel olarak tespit edilen eksenel gerilmeye bağlayan kırılma  teorilerinin vereceği  gerilme düzeyi,  bazen dayanım için  bir ölçü  olarak kullanılır. Göçme  veya kırılma  en genel anlamıyla  yapının  herhangi bir parçasının kendisinden beklenen işlevi yerine getirememesi olarak tanımlanacaktır. 5

Örneğin  eleman şeklindeki kalıcı   deformasyon, denge konumundaki değişiklik ve  yapı elemanının kullanımına  engel olacak şekil değişimleri bizim için ayrı ayrı birer göçme biçimidir. Mukavemetin başlıca uğraşı alanları şöyle özetlenebilir. 1- Yük etkisindeki cisimlerde gerilme ve şekil değiştirme durumunun araştırılması 2- Yapıların hasar görmeden ve/veya göçmeden ve kendisinden beklenen işlevi kaybetmeden taşıyabileceği büyük yükün büyük yükün hesap yada deneyle bulunması 3-

en

Belirli şartlar altında tanımlanmış  yüklere karşı  en etkin şekilde  direnebilecek malzemenin seçimi ve eleman şeklinin belirlenmesi –boyutlandırma-

Teknolojideki gelişme, yapı gelişme,  yapı ve makinelerin daha karmaşık hale gelmesine yol açmaktadır. Bu durumda mühendislerin gerilme, şekil değiştirme ve malzeme davranışı konularını iyi kavrayıp bu konularda ustalaşmaları gerekmektedir. Bu derste şekil değiştiren  cisimler mekaniğinin  temel kavram ve bilgilerinin verilmesi kadar uygulamadaki kullanılışı hususu üzerinde de durulacaktır. Konunun tam olarak anlaşılması yanında anlaşılması  yanında pratik problemlerin çözümünde kullanımını görmek en iyi öğrenme yöntemidir öğrenme yöntemidir.

ANALİZ YÖNTEMLERİ Elastisite teorisi olmak üzere Yüklerin şekil değiştiren  cisimler üzerindeki  etkisinin incelendiği  a) Mukavemet b) Elastisite  yaygın olarak kullanılan iki farklı yaklaşım farklı yaklaşım bulunmaktadır. Bu iki yaklaşım arasındaki temel fark, şekil değiştirmelerin tanımından ve  yapılan basitleştirmelerden kaynaklanmaktadır. Mukavemette, mühendislik uygulamalarıyla  deneysel çalışmaların sonuçlarından faydalanılarak bazı basitleştirici  kabuller altında  problemin çözümü aranır. Elastisite Teorisinde ise her adıma  matematik açıdan  yaklaşılır. Dolayısıyla  yükleme  ve problem şeklinin  basit olduğu durumlarda kesin sonuca ulaşılır. Elastisite Teorisinde kesin sonuca ulaşmada  matematik güçlükler  bulunur. Yapı elemanlarının analizinde aşağıda verilen hususların düşünülmesi gerekir 6

elemandan alınan herhangi bir parçada kuvvet denge 1- Statik denge: Yapı elemanının bütününde veya elemandan

denklemleri sağlanmalıdır. 2- Şekil değiştirmeler: Yapı elemanını oluşturan oluşturan malzemenin malzemenin davranışı gerilme gerilme-birim şekil değiştirme (σ -ε ) bağıntısına uygun olmalıdır. 3- Geometri: Yapı elemanında şekil değiştirmeden değiştirmeden sonra herhangi bir kopma kırılma ve kütle kaybı kaybı olmamalı, yapı elemanı bütünlüğünü korumalıdır.

Yukarıdaki  ilkelerin uygulanmasıyla  bulunan gerilme ve birim şekil değiştirmelerin elemanın sınır koşullarına  uygun her zaman  yukarıdaki adımların olması gerekir. Bu durum, sınır koşullarının sağlanması  olarak ifade edilir. Analizde her verilen sırayla uygulanması gerekmeyebilir. Gerilme ve şekil değiştirme  analizinde, şekil değiştirme  enerjisi kavramından hareketle geliştirilen enerji yöntemleri, denge  yöntemi yerine kullanılabilir. Her iki  yöntem yükleme  yöntem  yükleme ve eleman şeklinin düzenli olması   durumunda yeterli hassaslıkta sonuç  verirken karmaşık  problemlerin çözümünde de sayısal yöntemlerin sayısal yöntemlerin uygulanabileceği temeli oluştururlar. KUVVET VE YÜKLERİN SINIFLANDIRILMANSI Cisme etkiyen bütün kuvvetlerle mesnetlerde oluşan reaksiyonlar dış  kuvvetler   olarak düşünülür. Bu kuvvetleri  yüzey   kuvvetler  olarak ve cisim kuvvetleri olarak sınıflandırmak mümkündür. Tekil tipteki  yüzey kuvveti sonlu bir alana yada tek bir noktaya etkirken cisim kuvvetleri, çekim kuvveti veya manyetik kuvvetler gibi cismin her bir hacim elemanına etkide bulunur. Dünyanın  cisimlere uyguladığı çekim  kuvvetine ağırlık adını  veriyoruz. İç   kuvvetler   ise cismin bünyesini oluşturan malzeme parçaları arasındaki etkileşim kuvvetleri olarak algılanır. Cisme etkiyen yükler tekil veya  yayılı kuvvetlerle kuvvet çiftleri olabilir. Eğer kuvvetin etkidiği alan elemanın boyutları ile kıyaslandığında küçük kalıyorsa  kuvveti tekil kuvvet olarak kabul etmek mümkündür. Cisme  yavaşça  etki eden durağan yüklere durağan yüklere statik yükler, aniden etkiyen yüklere de darbe yada çarpma yükleri  çarpma  yükleri   denir. Yükün cisme binlerce defa etki edip kaldırılması  ise tekrarlı  yükleme  olarak isimlendirilir. Aksi belirtilmedikçe  cismin ağırlığı  ihmal edilip, newton (N), uygulamada uygulamada çoğu  zaman  yüklemenin  statik olduğu  kabul edilecektir. SI birim sisteminde kuvvet birimi newton kilonewton (kN) olarak kullanılır. 7

 Yüklerin Sınıflandırılması : 1) Şiddeti zamanla değişen yükler (Dinamik yükler) 2) Şiddeti zamanla değişmeyen yükler (Statik yükler)

Etkime Biçimine Göre Yüklerin Sınıflandırılması: 1) Tekil yük 2) Yayılı yük a) Eğri boyunca yayılı yük yük b) Alana Yayılı yükler c) Hacme yayılı yükler

Düzgün yayılı yük

Üçgen yayılı yük  L

y y

 

 R  q  x dx 

 L

q



 R  qL  qdx

  q

q  x

0

0

 L

0

x

x

Parabolik yayılı yük 1 2

  q

q  x

q0 L

0

sin

 L  L    x  R  q0 sin dx  L 0

y

q0

   x



x

x

L

L

L

STATİK DENGE KOŞULLARI

Yapı ve makine elemanlarının tasarımında bu elemanlarda oluşan iç kuvvetlerin dağılımının bilinmesi gerekir. Dış ve iç kuvvetlerin belirlenmesinde statiğin temel kavramları ile denge koşulları kullanılır. Daha sonra göreceğimiz bileşke iç kuvvetin bileşenlerinin –kesit zorlarının- oluşturacağı deformasyonlar mühendisler açısından özel bir anlama sahiptir. Cisme etkiyen kuvvet sisteminin bileşkesi sıfırsa, cisim dengededir. Newton’un birinci  yasasına göre parçacığa etkiyen bileşke kuvvet sıfır ise parçacık ya hareketsiz kalır yada sabit hızlı düzgün doğrusal hareket yapar. Statik adından da anlaşılacağı üzere  temelde cisim veya parçacığın  hareketsiz olma durumunu inceler. Üç  boyutlu bir cismin dengesi düşünüldüğünde, statikçe dengenin olabilmesi için aşağıdaki denklemlerin sağlanması gerekir. 8

 F

 x

0

F

y

0

F  0 z

M

x

0

M

y

0

 M   0 z 

Daha açık  bir ifade ile cisme etkiyen kuvvetlerin herhangi bir doğrultudaki toplamı ile herhangi bir eksen etrafında oluşturacağı momentler toplamı sıfır olmalıdır. Eğer cisme etkiyen kuvvetler tek bir (x-y) düzlemin içinde ve dengede ise  yukarıdaki bağıntılardan üçünün otomatik olarak sağlanacağı ΣFz=0, ΣMx=0, ΣMy=0 aşikardır. Dolayısıyla düzlem problemlerde üç bağımsız denge denklemi bulunmaktadır.

 F   0

 F   0

 x

 M   0

 y

 z 

Düzlem Hal için

Açıkça  kuvvetlerin herhangi iki doğrultudaki (x,y) toplamı ile düzlem içindeki herhangi bir A noktasına veya z eksenine göre bileşke moment sıfır olmalıdır. Yukarıdaki denklemlerin yerine aşağıdaki iki ayrı denklem takımı kullanılabilir.

 F

 x

 M

0

 A

0

M

A

M

0

B

0

 M 

Burada A ve B noktalarını birleştiren doğru x eksenine dik  0 olmamalıdır .

 M 

 0 Burada da A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde bulunmamalıdır.

B

C 

Alternatif denge denklemleri, kuvvet toplamının  moment toplamı  ile değiştirilmesi  yoluyla elde edilmiştir. Moment alınacak noktanın dikkatlice seçilmesi durumunda alternatif denklemler cebrik hesapları önemli ölçüde basitleştirir. 9

İvmeli hareket eden bir cisimde statik denge denklemleri  yazılırken ilave olarak atalet kuvvetlerinin de dikkate alınması gerekir. Yapı  analizi bakımından  atalet kuvvetlerinin dış  yüklere  eklenerek, cismin üzerindeki tüm  kuvvetlerin etkisi altında dengesinin incelenmesi D’Alembert ilkesi olarak adlandırılır. Mühendislik problemlerinin büyük çoğunluğu dengedeki  yapı ve makinelerle ilgilidir. Genellikle  yükler adını vereceğimiz tanımlı ve belirli kuvvetler etkisinde reaksiyonlar adını vereceğimiz yükleri vereceğimiz  yükleri dengeleyen bilinmeyen kuvvetlerin bulunması söz  konusudur. Yalnızca  denge denklemleri  yardımıyla bütün  kuvvetlerin belirlenebildiği  problemlere izostatik, denge denklemlerinin bütün  kuvvetlerin belirlenmesine  yetmediği  problemlere problemlere de hiperstatik denir. Hiperstatiklik derecesi, bilinmeyen bağımsız kuvvet sayısı ile  yazılabilen denge denklemi sayısı arasındaki farktır. Statikteki denge denklemleri ile belirlenebilecek olan dışındaki  her bir reaksiyona hiperstatik bilinmeyen (Redundant) adı verilir. Herhangi bir sistemdeki hiperstatik bilinmeyen sayısı ile hiperstatiklik derecesi birbirine eşittir.

İÇ KUVVETLER : KESİM YÖNTEMİ Kesim

Cisme dış  kuvvetler etkidiğinde,  cisimde bir şekil değişimi  ile birlikte cismi oluşturan parçacıklar arasında bu parçacıkları  bir arada tutacak iç  kuvvetler ortaya çıkar. Şimdi  mukavemetteki ana konulardan biri olan iç  kuvvetleri kesim  yöntemi  yardımıyla incelemeye başlayabiliriz. Kesim  yönteminin uygulanmasındaki adımlar şöyle sıralanabilir. 1- Cismin, bağlı olduğu diğer  cisimlerden ayrılarak  mesnet reaksiyonları  da dahil olmak üzere  etki eden bütün  kuvvetlerin gösterildiği çizimlere Serbest Cisim Diyagramı (SCD) adı verilir. Uygulamada cismin  yapacağı şekil değiştirmeler  cismin kendi boyutları  yanında  ihmal edilebilecek kadar küçük olacağından SCD çiziminde dikkate alınmazlar. 2- Bilinmeyen dış  kuvvetlerin belirlenmesi amacıyla   SCD üzerindeki kuvvet sistemi için denge denklemleri yazılır.

Düzlemi

Dış Kuvvetler 

İç Kuvvetler 

10

3- Cisim herhangi bir yerden hayali bir düzlemle  kesilerek ikiye ayrılır. Parçalardan  biri göz önüne alınarak 2. adımdaki işlemler tekrarlanır. Mademki cisim bir bütün olarak dengededir, kesimle ortadan kaldırılan iç kuvvetlerin dikkate alınması şartı  ile o bütünden ayrılan  herhangi bir parçanın  da dengede olması gerekir. Bu noktada, dış kuvvetlerin iç kuvvetlerle dengelenmekte olduğunu, diğer bir deyişle dış kuvvetlerin, eleman boyunca –kesim düzlemine bağlı olmak kaydıyla- iç kuvvetler şeklinde yayılı şeklinde yayılı olarak devam ettiklerini söyleyebiliriz. En büyük gerilmeyi oluşturan iç kuvvetlerin bulunduğu yere elemanın kritik kesiti adı verilir. Eleman üzerinde yalnızca üzerinde yalnızca tek bir kuvvet etki ediyorsa kritik kesitin yer ve doğrultusuna gözlemle karar verilebilir.

KESİT ZOR(LAMA)LARI

Yapı elemanlarının büyük bir çoğunluğu çubuklardan meydana gelir. Bir  yapı elemanının çubuk olarak isimlendirilebilmesi için uzunluğunun, enkesit büyük kenarının 5 katından daha fazla olması gerekir. Çubukların herhangi bir kesitine etkiyen iç  kuvvetleri, enkesitin ağırlık  merkezinde etkiyen bir kuvvetle bir kuvvet çifti vektörü  olarak gösterebiliriz. İç kuvvetlerin bileşkesi olan bu iki vektör, enkesite dik ve teğet doğrultulardaki bileşenlerine ayrılabilir. N, S, Mb ve Me ile gösterilen bu bileşenlerden yalnızca bileşenlerden yalnızca birinin bulunması haline, basit mukavemet halleri adı verilir.

F3

F1

M

Eğilme Momenti

F2

Me

M Burulma Momenti

Mb

s

R

N

Eksenel kuvvet

F5 F4

S Kesme Kuvveti

R 11

EKSENEL KUVVET - Akashi-Kaikyo Bridge from the air -

12

KESME KUVVETİ

13

14

KESME KUVVETİ

15

16

Her bir bileşen bir mukavemet halini gösterir. Bir kesitte kesitte bu tesirlerden bir kaçı bir arada bulunursa bu duruma bileşik mukavemet hali denir. Kullanılacak olan sağ-üçlü  koordinat takımının x ekseni her zaman çubuk  ekseni ile çakıştırılacak, y ekseni yukarı, z ekseni ise okuyucuya doğru yönlendirilecektir doğru yönlendirilecektir. y

Sağ Üçlü

(+) eksen

Eksen

x

Takımı

yönleri

z

Kuvvet çifti vektörünün yönleri vektörünün  yönleri daima sağ-el kuralı ile belirlenecek ve kuvvet vektörleriyle karışmaması için uçlarında çift ok gösterilecektir. Dik kesitte bulunan iç kuvvetlere kesit zor(lama)ları adı  verilir. Her bir kesit zoru çubukta farklı bir şekil değiştirme meydana getirir. Rx eksenel kuvveti elemanın boyunu uzatmaya yada kısaltmaya çalışır. Eğer bu kuvvet kesim  yüzeyinden uzaklaşıyorsa eksenel çekme, kesim yüzeyine doğru yönlenmiş doğru yönlenmiş ise eksenel basma kuvveti adını alır. R y, Rz kesme kuvvetleri komşu  malzeme parçalarını  keserek birbirinden ayırmaya çalışır. Genellikle S harfiyle gösterilir. Mx burulma momenti veya tork elemanı kendi ekseni etrafında döndürmeye çalışır ve genellikle T harfi ile gösterilir. M y, Mz eğilme momentleri ise çubuğu bükmeye çalışır 17

y

Bileşke kuvvetin

Bileşke kuvvet kuvvet çiftinin

eksenler

eksenler

doğrultusundaki bileşenleri

y

doğrultusundaki. bileşenleri

My (Eğilme Momenti) Ry Sy (Kesme Kuvveti)

Mx

x

Rz

x

Rx Nx (Normal Kuvvet)

T, M b (Burulma Momenti)

Sz (Kesme Kuvveti) z

R   R xi  Ry j  Rz k   R   Ni  S y j  S z k  

Mz (Eğilme Momenti ) z

M   M  x i  M  y j  M  z k  M  T i  M  y j  M  z k 

Herhangi bir  yapı elemanı kesit zorlarından bir veya bir kaçına veya tamamına aynı anda maruz kalabilir. Tasarımda her bir kesit zoru ayrı olarak ele alınıp çözüm yapılır çözüm  yapılır. Daha sonra bulunan sonuçların uygun şekilde birleştirilmesiyle nihai çözüme ulaşılır. Dolayısıyla  kesit zorlarıyla  kesit zorları kullanılarak  bulunan gerilme ve birim şekil değiştirmelerin hesaplanmasında kesim yöntemi ilk adım olarak karşımıza çıkmaktadır. Uygulamada bütün  kuvvetler tek bir düzlem içinde  etki ettiğinden  (x-y düzlemi)  problem büyük ölçüde basitleşmektedir. Düzlemsel problemlerde kesite etkiyen üç kesit zoru eksenel kuvvet N, kesme kuvveti S y ve eğilme momenti Mz dir. Bir düzlemin normal vektörünün koordinat ekseni ile aynı yönlü aynı yönlü olması  durumunda bu düzleme pozitif düzlem aksi halde negatif düzlem  denir. Newton’un üçüncü  yasasına göre  kesit zorları  kesimle ayrılan parçalara eşit ve zıt  yönlü olarak etkir. 18

KESİT TESİRLERİ İÇİN POZİTİF YÖN KABULLERİ Bir düzlem, o düzlemden dışarıya doğru  yönelen  birim vektörle   tarif edilir. Normalleri, koordinat eksenlerinin pozitif  yönleri ile çakışan düzlemlere sırasıyla +i, +j, +k düzlemleri denir. Aşağıda sol tarafta gösterilen ve normali +x ekseni  yönünde  olan (+ i) düzleme  pozitif x düzlemi  veya sağ  kesit de denmektedir. Eksenel kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momenti için  pozitif düzlemde  koordinat eksenleri  yönündeki,  negatif düzlemde  ise koordinat eksenlerine ters  yönlü kuvvetler pozitif kabul edilecektir. Bu işaret kabulü çubukların  yük  etkisi altındaki davranışına  adapte edilebilir. Örneğin pozitif eksenel kuvvetler çubuk boyunu uzatır. y

y

+y/+j

düzlemi

Sol kesit/ - x / - i

My

Mz

düzlemi Sz

Sy N

T x

+z/+k

x

N

Mb

Sy

düzlemi

Sz Mz

M

Sağ kesit/ + x / + i

z

My

düzlemi M

z

M

-

+ S

Düzlem çubukta + iç kuvvetler 

S

S

N

+

S

-

+ N

M

Düzlem çubukta – iç kuvvetler 

N

N

-

19

MESNET TİPLERİ VE GÖSTERİM ŞEKİLLERİ

Aynı düzlemdeki yüklerin düzlemdeki yüklerin etkisinde bulunan yapı elemanlarının mesnet tipleri aşağıda gösterilmiştir. Bu gösterim şekilleri  yapı elemanlarının SCD çizilirken kullanılır. Hareketli mafsal,  yapı elemanının  bir doğrultudaki  yer değiştirmesine ve dönmesine  izin veren ancak belirli bir doğrultudaki yer değiştirmeye engel olan mesnet tipidir. Sabit mafsal, elemanın dönmesine izin veren ancak herhangi bir doğrultudaki yer değiştirmesine engel olan bir mesnet tipidir. Sabit ve hareketli mafsallara basit mesnetler denir. Ankastre yada sabit mesnet, elemanın  yer değiştirmesine ve dönmesine  engel olan mesnet tipidir. Dolayısıyla  sabit mesnetlerde hem momente hem de herhangi bir doğrultudaki  kuvvete karşı konur. Bu kuvvet  yüzeye teğet ve normal doğrultulardaki bileşenlerine ayrılabilir. Serbest cisim diyagramlarında  her bir mesnetteki reaksiyon kuvveti (R) ve moment (M) gösterilir. Elemandaki iç kuvvetlerin bulunmasına reaksiyonların belirlenmesinden sonra başlanır. A) Hareketli Mafsal

B) Sabit Mafsal

y

C) Ankastre Mesnet

y

x

y

x

0  M  z   0  R x

y

y

Mz

x

R

 M  z   0 x

Rx

x

Rx Ry

20

H A R E K E T  L

İ

M A F S A

21

S A B

İ

T M A F S A L

BÜKREŞ’TE BİR ALIŞ-VERİŞ MERKEZİ, TEMMUZ 2004

22

TASARIMDA BAŞLICA ADIMLAR

Tasarımın  ana amacı,  yapı elemanlarının  verilen  yükleri göçmeksizin taşıyabileceği  ve kendisinden beklenilen işlevleri yerine getirebileceği uygun malzeme, eleman şekil ve boyutlarının belirlenmesidir. Bu aslında bir optimizasyon problemidir. Yukarıda sözü edilen amaçlara ulaşmadaki  etkinlik kullanılan malzeme ve  yapım maliyetinin minimum  yapılmasıyla başarılır. Yük  etkisindeki bir elemanın tasarımında aşağıdaki  hususlar göz önüne alınmalıdır. 1.   Elemanın kendisinden beklenilen işlevleri hangi durum(lar)da kaybedeceği belirlenmelidir. 2. Verilen yüklemeden oluşacak  gerilme ve birim şekil değiştirme durumu tespit edilmelidir. 3. Geril rilme ve bi birim şekil değiştirme gibi önemli büyüklüklerin elemanda göçme oluşturmaksızın alabileceği en büyük değerleri belirlenmelidir. 4.   Güvenlik katsayıları seçilmelidir. Yukarıdaki işlem adımları,  verilen problemin  yapısına bağlı olarak uzayıp kısalabilir. Pek çok  etkinin dikkate alınması söz konusu olduğunda çoğunlukla bir deneme- yanılma işlemiyle tasarım sonuçlandırılır. Bu derste eleman malzemesi ile geometrik boyutlar önceden seçilmiş olduğundan tasarım sırasında yalnızca sırasında yalnızca dayanım koşulunun sağlanması üzerinde durulacaktır. Basit mukavemet hallerinin incelendiği bölümlerde çıkartılacak formüller, uygun eleman boyutlarının seçiminde kullanılacaktır. Elemanların tasarımında  dikkate alınması  gereken diğer  hususlar da  yükleme  sonucu elemanda oluşacak deformasyonun hesaplanması ve burkulmadır. Bu konulara konulara daha daha sonraki sonraki bölümlerde açıklık getireceğiz.

23

Kullanılan Birim Sistemi

Faktör 

Hece

İşaret

Kuvvet

F

N, kN

1012

Terra

T

Uzunluk

L

mm, m

109

Giga

G

Zaman

t

sn

106

Mega

M

 Alan

A

mm2 , m2 

103

Kilo

k

Hacim

V

mm3, m3

102

Hekto

h

I

mm4, m4

10

Deka

da

Mukavemet Mukavemet Momenti

W

mm3, m3

Faktör 

Hece

İşaret

Moment

M

Nm, kNm

10-1

Desi

d

10-2

Santi

c

10-3

Mili

m

10-6 

Mikro



10-9

Nano

n

10-12

Piko

p

10-15

Femto

f

10-18

Atto

a

 Atalet Momenti

Gerilme

Elastisite Modülü İvme İş-enerji

, 

N/m2 ,

E

GPa

a

m/sn2 

W,U

N/mm2 

Joule

 Pascal   Pascal  1 Pa

  N  m 2

 MPa  MPa   MN  m 2

 MPa 1 MPa

 106  N  m 2

 N  mm 2  106  N  m 2   MPa  MPa

24

ÇUBUK MUKAVEMETİNİN ESASLARI Yapılar boyutları bakımından 1- Çubuklar (tel, halat, kablo, direk, kiriş, kemerler, Bir boyutlu taşıyıcı cisimler 2- Levha, plak ve kabuklar (Döşeme plakları, kubbe ve tonozlar) 3- Üç boyutlu  yapılar (Ağrılık barajları) şeklinde üç sınıfa ayrılabilir. Mukavemette yalnız çubuk şeklindeki cisimler incelenecektir. Çubuklar eksen ve dik kesiti ile belirginleşir. Eksen genel olarak bir uzay uzay eğrisi olup, çubuğun büyük olan boyutunu temsil ederken dik kesit ise kapalı  bir eğri  ile çevrelenmiş düzlem parçasıdır. Sabit kesitli, doğru  eksenli çubuklara  prizmatik çubuklar denir. Çubuğa etkiyen dış kuvvetler çoğu defa yayılı olup doğrultuları genellikle çubuk ekseninden geçer. Eğer dış kuvvetlerin tesir çizgileri çubuk ekseninden geçmiyorsa bu kuvvetler çubuk eksenine kuvvet çiftleri ile birlikte taşınır. KESİT ZORLARININ BULUNMASI Kesit zorlarının bulunmasında aşağıdaki yöntemler kullanılabilir. 1- Kesim yöntemi (STATİK) Dış kuvvetlerin etkisi altındaki sistemin mesnet tepkileri hesaplanır. Eleman, süreksizlik gösterdiği noktalardan bölgelere ayrılır. Bu noktalar, noktalar, tekil  yüklerin uygulandığı noktalar, yayılı yüklerin  yayılı yüklerin başladığı ve bittiği yerler ve çubuk kesitinin değiştiği noktalardır. Her bir bölgedeki kesit zorları yazılan zorları yazılan denge denklemleri yardımıyla hesaplanır. 2- İntegrasyon yöntemi Kesit zorlarına ait diferansiyel denge denklemleri, sınır koşulları dikkate alınarak çözülür.

25

 YAYILI YÜKLER ETKİSİNDEKİ DOĞRU EKSENLİ BİR KİRİŞTE

KESİT ZORLARININ DİFERANSİYEL DENGE DENKLEMLERİ Genellikle ekseni boyunca etkiyen yayılı yükleri  yayılı yükleri eğilme dirençleri yardımıyla dirençleri yardımıyla mesnetlerine aktaran bir boyutlu (en kesit boyutları küçük, uzunluğu büyük olan)  yapı elemanlarına kiriş adı  verilir. Şimdi dış  yüklerle  kesit zorları arasındaki bağıntıları elde etmek istiyoruz. Aşağıda gösterilen basit kirişe x ve y eksenleri doğrultusunda q x ve q y  yayılı yükleri  yayılı  yükleri etkisin. qx ve q y sırasıyla x ve y eksenleri doğrultusunda etki eden  yayılı yüklerin  yayılı  yüklerin şiddetindeki değişimi x koordinatına bağlı  olarak ifade eden fonksiyonlardır. Yayılı  yükler  ve mesnet reaksiyonları altında dengede olan kirişten dx kalınlıklı küçük  bir parça çıkartılsın. Bütünü  dengede olan çubuktan alınan bu küçük parçanın da üzerine etkiyen  yükler ve kesit zorları altında dengede olması  gerekir. Alınan dx kalınlıklı parçanın sağ  yüzündeki zorlamaların  sol  yüzdeki  zorlamalardan dN, dS ve dM kadar farklı olduğu  kabul edilmiştir. Eksenler doğrultusundaki denge denklemlerinden kirişe ait aşağıdaki üç diferansiyel denklem bulunur. y

 

y

q y  x

x

N

2 dx

 

q x  x

 F  0  N  dN   N  q dx  0  F  0  S  dS   S  q dx  0  M  0 M  dM  M  q dx dx2  Sdx  0  x

x

 y

S + dS

M

x 1

qydx

dN  dx

 q x

o qxdx S dx

dS  dx

 q y

x

N + dN M + dM

dM  dx

 S 

y

 z

y

dS dx

2 dM dM  d M      2  q y dx  dx  dx

d

2

d M   dx

2

 qy 26

Kiriş  diferansiyel denklemlerinin integrasyonu ile kesit zorları fonksiyonları  belirlenebilir. İntegrasyon sabitlerinin bulunmasında  kesit zorlarının başlangıç değerlerinden  yararlanılır. İntegrasyon  yöntemi özellikle  yayılı  yük fonksiyonlarının verildiği  hallerde kolaylık sağlar. Önceki  sayfada çıkarttığımız  diferansiyel denklemleri belirli iki nokta arasında  mesela 1 ve 2 noktaları arasında  integre edersek aşağıda gösterilen ifadeler elde edilir. Bu ifadelerin sağ taraflarındaki integrallerin fiziki anlamları sırasıyla negatif işaretle söz konusu noktaların arasındaki yayılı arasındaki yayılı yük  yük fonksiyonlarının altında kalan alan ile yine negatif işaretle kesme kuvveti diyagramının altında kalan alan olarak söylenebilir. Söz  konusu denklemlerin sol tarafları  ise sırasıyla  her bir kesit zorundaki değişimi vermektedir. dN  dx dS  dx

 q x

N2  N1

  qx dx  YFAKAx

Yayılı yük Yayılı yük fonksiyonu altında kalan alan

1 2

 q y

dM  dx

2

S2  S1

  qy dx  YFAKAy

Yayılı yük Yayılı yük fonksiyonu altında kalan alan

1 2

 S

M 2  M1

  S y dx   KKDAKA

Kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan

y

1

Py

KİRİŞE TEKİL YÜK TEKİL YÜK VE MOMENT ETKİMESİ HALİ Kesit zorlamalarına ait diferansiyel denge denklemleri bulunurken göz önüne alınan çubuk parçası üzerinde herhangi bir tekil kuvvet yada kuvvet çifti etkimediği düşünülmüştür. Eğer  tekil kuvvet ve kuvvet çiftleri varsa kuvvet zorlarında süreksizlik olacaktır. Herhangi bir kesitte x ve y eksenleri doğrultusunda Px ve P y  tekil kuvvetleri ile bir M momenti etkisin. Tekilliğin olduğu  yerden alınacak  bir eleman üzerinde denge denklemleri  yazıldığında  yandaki bağıntılara

M1

S2

M

N2

x

Px

N1

M2

S1  N2  N1   P   x S2  S1   P  y  M

M 

М

27

ÖRNEK 1

Şekildeki konsol kirişin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.

10 kN 2m

6 kN

10 6

6

10

10

6

10

100

 A

C 4m

B

20

10

6m

16

0   x  4

Sy [kN]

 F  0  y

6

M

16

6  S y  x   0  M o 0

N

o S

x

+

6 +

  0

6 x  M  z  x

x

100 [kNm]

4   x  10

 F  0  y

M

24 Mz

 _ 

4

N

 _ 

x

S y  x   6kN  

 M  z  x  6x

S y  x   16kN  

100

o S

x

20

10-x

16

 M 

o

0

100    1610  x 100

 M  z   x

28

Şekildeki kirişin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.

ÖRNEK 2 y

 F   0  R  0  F   0  R  R  qL L  M   0  R  L  qL 2  0

qy=-q B

 A

x

R yA

 A  y

 y

R xA q yL L

A  x

 x

 A  z 

R yB

d   M  z   x 2

dx q y L

+

dM z   x 

 _ 

  q 

 M  z   x  q

2

x

dx

Mz (+)

2

q y L 8

2

2

 c1 x  c2

 M  z  x  x  L

 0  c2  0  L

 M  z  x  q

2

x [kNm]

 L

2

S  x   qx  q +

q

2

 S y  qx  c1

 0  c1  q

2

(-)

 L

Sınır Şartları (Mesnet Şartlarından)  M  z  x x0

q y L

 A

 R y

B  y

 x

q

B  y

2

Sy [kN]

 B

 R y

 x

2

2

q

 L 2

 L 2

x

Maksimum Moment ve Yeri

   0  M 

S x

qx  q

max max

 L 2

 0   x   L

2

 M max  x L 2

q

 L2 8 29

Şekildeki konsol kirişin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.

ÖRNEK 3 y

qy=-(2x-2)

6 kN

0   x  1 bölg  bölge esi

6kN/m  A

B

dS 

x

dx 11 kN

1m

dM 

4 kN

3m

dx

 x  0; S  6  c1  6; S  6kN

 

 6  M  6x  c2  x  0; M  0  c2  0; M  6x kNm kNm

1   x  4 bölg  bölge esi

Sy [kN]

dS 

6

+

+  _  5

dM

x

dx Teğet yatay

 M

6  _ 

  x  1  2  S   5   c1  4; S  x  2x  4   3  x  4  x 32    x2  4 x  c2   c   ; 2  3 3  M   0 

   2  2 x   S  x2  2x  c1

dx

4

Mz [kN]m

 0  S  c1

  x2  2x  4  M



 x 3

3

 x2  4x 

32 3

veya AB bölgesi x +

2

d M  2

1,49

dx

dM  dx

 S 

 M   

 x

S

 q y    2x  2

dx

3

  x  2x  c1

  x  1    x2  2x  c1;    c1  4  S   5 

3

 x  4 x  c2 ; 2

dM 

   x  1   32    c2  

2

S

 M



 x

3

 x2  c1x  c2

 x 2  2x  4  M   

 x

3

 x 2  4x 

32

30

Şekildeki basit kirişin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz. Nümerik uygulama L= 7 m. q0=10 kN/m

ÖRNEK 4

  x    l  

q( x)  q0 sin 

y

 A

B

x

R

 F y  0

L R

1

l



20

q( x ).dx 

R 1

l 



20

   x  dx q0l      l   

q0l 

cos 

q0 sin 

q l   x    x   q( x)  q0 sin    S   0 cos    c1 dx      l   l  ql q l     x   x  0; S   0 c1  0  S    0 cos       l   2 q0l q0l    x dM x   S  cos    M  2 sin    c2 dx       l   l  q0l 2   x   x  0; M  0 c2  0  M   2 sin      l   dS

  x      l   10*7     cos  x  S ( x)     7  S ( x)  

q0l 2

 x    M ( x)  2 sin      l   10*7 2    x   M ( x)  s i n    2 7 

31

x

  x  q( x)  q0 sin    l  

y

 A

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7

B

x

R

L

R

25 20 15 10

S -22,2817 -21,72305 -20,07511 -17,42051 -13,89238 -9,667615 -4,958076 8,18E-05 4,958236 9,667762 13,8925 17,42061 20,07518 21,72309 22,2817

M 0 11,04761 21,54125 30,95471 38,81597 44,73082 48,40267 49,6474 48,40259 44,73066 38,81574 30,95442 21,54092 11,04726 -0,000365

5 Seri 1 0 -5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Seri 2

-10 -15

S ( x)  

-20 -25

60

10*7  

    cos  x  7 

50 40 30 Seri 1 20 10 0

 M ( x) 

10*7 2  2

   x   7 

sin 

32

 2 x    l  

q( x)  q0 sin 

y

Ödev sorusunun çözümü

Şekildeki çıkmalı kirişin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz. Nümerik uygulama L=7 m. q 0=10 kN/m

B

 A

C

x

L 0   x  l 

20

 2  x  q0l S ( x)   cos   2  l   4  l  x  1.5l  q0l

S ( x)  

L/2

q0l 2

 2  x  q0l  l    2 

cos 

15

 

10 5 0

      S

 

-5

Seri 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Seri 2

-10 -15 -20

0   x  l   M ( x) 

q0l 2 4 2

-25

 2  x 

sin 



l 

x

q0l

 4 x   

  x

-50

l  x  1.5l 

-40

 M ( x) 

q0l 2 4 2

 2  x 

sin 



l 

q0l

2 3 q0l  

 2 x 4    

-30

      t     n     e     m-20     o       M

Seri 1 Seri 2

-10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

33

Şekildeki çıkmalı kirişin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.

ÖRNEK 5 y q y



2,5 24

0   x  10 bölg  bölges esii

x

2,5kN/m

dS  y

x  A 14 m

8m

dx

3 8,5 7 k N

[kN]

 x  S y



x

48

2

 c1 

 x  0  S  y

S y  x  

c 0  0 1

 x

2

19,2

dS  y

18,57

dx

+

48

 x 2  M z   

2, 5 144

x3  c2



 x  0

  c2  0  M  z   0

 M  z  x  

+



2, 5 24

 x  S y



2, 5 48

x

2

 c3 

3

57,6

 x  10

 c  11, 11, 43  S  y  6,22 3

S y  x  

x

-

 x

10  x  24 bölg  bölgesi

5,208

-

dM  z 

6,22

dx 20 80

Mz [kNm]

2, 5

24

2, 5

B

11 ,43 kN Sy



dx

dM  z 

10 m



2, 5



2, 5 48

 x2  11, 43

M z   

2, 5 144

2

19,2

11, 43 11,

x3 11, 43x  c4

 x  10

  c4  114,3  M  z   17,36

17,36

 x

 M  z  x  

 x

3

57,6

 11,43x 114,3

24   x  32 bölg  bölgesi -

1,42

-

x

10   x  24 S y

dS  y dx

 2, 5  S y  2, 5x  c5 

 0  x  14, 81m

 M  z  14,81 ,81  1,41 ,41

 x  24

 x  24

 c  80  S  y  20 5

  2,5 x  80  M  z   1,25 x  80 x  c6  c6  1280  M  z   80 dx

dM  z 

2

2, 5x  80     2,

S y x

   1,25 x 

 M  z   x

2

 80x 1280

34

İki  ya da daha fazla çubuğun (kiriş elemanının) uçlarından  rijit şekilde birleştirilmesiyle oluşturulan taşıyıcı  sistemlere çerçeve  denir. Çerçeveyi oluşturan  elemanlar çeşitli doğrultularda uzanırlar. Tek katlı  tek açıklıklı çerçevelere  portik adı  verilmektedir. Sanayi  yapılarında sıkça karşılaşılan portiklerin açıklığı  26-30 metre civarındadır. Yan tarafta bir sanayi  yapısının taşıyıcı  sistemi şematik  olarak gösterilmiştir. Çerçeve elemanlarına  ait kesit zorları,  elemanlara ait eksen takımları kullanılarak belirlenir. Genelde elemanlara çerçevenin içinden bakılarak elemanın  sol ucuna koordinat takımının  merkezi  yapıştırılır. x ekseni eleman ekseni ile çakıştırılır. y ekseni (bakış  yönünde)  yukarı doğru,  z ekseni de kağıt düzlemine dik doğrultuda ve okuyucuya  yönelecek biçimde gösterilir. Şimdi  yatayla α açısı  yapan bir elemanın  herhangi bir kesitindeki Kesme kuvveti (S) ile Normal kuvvet (N) yi kolayca hesaplamak üzere iki bağıntı çıkaralım. N S



Pozitif S ve N kesit tesirleri

Y

 x y

Pozitif Y ve D kuvveti

 

D

 y  

C x  

  y

x

D   y

B

     x

x y

A

E

Yatayla herhangi bir α açısı yapan çubukta göz önüne alınan  kesitin solunda kalan parçadaki (yapıdaki)  Yatay ve Düşey doğrultudaki bileşke  kuvvetler Y ve D olarak belirlendiğinde söz  konusu kesitteki kesme kuvveti S ve normal kuvvet N; y ve x doğrultularında yazılacak rında  yazılacak toplam kuvvet sıfır denklemlerinden hesaplanabilir.

 F  F

 y

0

S  Y * sin   D cos    0

 x

0

N  Y * cos   D * sin    0

 Y * sin   D cos    N   Y * cos   D * sin   S

35

ÖRNEK 6

Şekildeki çerçevenin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.

80 kN B

C D

   m    /    N    k    0    4

82,5 kN

36,8°

 M  F  M

 A  z

Mesnet tepkilerini

3m

hesaplamak için  yapının tamamında denge denklemleri

 A

 yazılırsa,

120 kN 4m 2,5 kN

2m

2m

S

N M =0 D=-2,5 kN

S A

 120  0,6  2,5  0,8  70 kN 

 N A

   120  0,8  2,5 0,6   97,5 kN 

 M  A

S

N

 L

S B

B

 2,5  0,8  2 kN 

 N  B L

M =170

 M  B L

  2,5  0,6  1,5 kN  120  3 120 120 1,5  2,5  4  170kNm  120

D=-2,5 kN

 2,5 1  2,5 kN 

 R  B

S

 R

D=-2,5 kN

 0  Ay  2, 5 kN  

S=82,5

N=0 M=170

C   z

D noktasının sağı

S=2,5 kN B

 Y=0

0

B noktasının Sağı

 Y=0 kN

 0  Ax  120 kN  

B noktasının Solu

 A noktasının noktasının Sağı

 Y=-120 kN

 x

 Y * sin   D cos    N   Y * cos   D * sin  

Önceki sayfada çıkartılan iki bağıntıyı kullanarak yüklemede veya elemanların doğrultusunda değişme olan kritik noktalardaki zorlamaları hesaplayalım.

S

 0  Cy  82, 5 kN  

 N  B

 R  B

 M 

 2,5  0  0 1  0  170kNm

 R

S D  Y=0

N

D

M=165 D=-82,5

 82,5 kN 

 R

 N  D

 82,5  0  0 1  0

36

Bundan önceki  problemlerdeki (tekil veya  yayılı)  yükler ya elemanın sol ucuna  yapıştırdığımız x, y eksenleri doğrultusundaki bileşenleri  cinsinden verilmekteydi ya da söz  konusu eksenler doğrultusundaki bileşenlerine  kolayca ayrılabilmekteydi. Bu problemdeki 40 kN/m lik düşeyde düzgün  yayılı  yükün AB elemanının  A ucuna  yapıştırılan  x ve y eksenleri doğrultusundaki iki bileşene ayrılması (diğer  bir ifade ile q x , q y  yük  fonksiyonlarının belirlenmesi) gerekir.   N

 AB dN

  9 6

 q y

dx  M

72

qy=-72/5 =-14.4 kN/m

 14.4  S  14.4 x  c2

dx 2

3m

 A 4m 2,5 kN

2m

2m

+

B

 A

Sy [kN]

70

qx=96/5 =19.2 kN/m 170.14

 x  0; N  97.5  c1  97.5

170

+

kN 

Mz [kNm]

 x  0; S  70  c2  70

1,5

kN   97,5

dM  

 S

°

120 kN

  x

y

  x

 19.2  N  19.2 x  c1

dx dx S  14.4 x  70 dM

  k   9 6

B

 A

dS  

82,5 kN

36,8

   x

   y

  N

dN  

 q x

D

0 x5m

eleman elemanı

dx dx  N  19.2 x  97.5 dS

  y

 A

   m    /    N    k    0    4

C

2

B

120 kN   N   k

B

  N

  k   7 2

  k   7 2

  m    /    N    k    0    4

80 kN

 14.4 x  70  M  7.2x  70 x  c3  x  0; M  0  c3  0

70

2

kNm

+

Nx [kN]

37

BC elemanının ortasına etkiyen 80 kN lık bir tekil kuvvet bulunmaktadır. Dolayısıyla D noktasından önceki  ve sonraki kesit zoru fonksiyonları birbirinden farklıdır. Öncelikle koordinat takımını elemanın sol ucu olan B noktasına  yapıştırarak, x koordinatının  0 ile 2 m. arasında değiştiği BD kısmında geçerli olan kesit zorları fonksiyonlarını belirleyelim. Kesit zorlarının  x=0 daki başlangıç değerlerini  daha önce çıkartılan  S ve N bağıntıları  ile belirlemiştik. Şimdi aynı değerleri  kesim  yöntemi  ile hesaplayalım. BC elemanında qx , q y  yük fonksiyonlarının  her ikisi de sıfırdır.

C

B x

   m    /    N    k    0    4

82,5 kN

36,8

°

4m 2,5 kN

2m

Sıfır 

 x

3m

36,8°

2m

1,5

 F  0  N   0  F  0  S  2.5 kN  *1.5  2.5 * 4 120 *3 *3  0  M  0  M  120 *1

N

97,5

 y

 A

 M

120 kN

3m

 A

M

B

D

120 kN

S

   m    /    N    k    0    4

80 kN

y

+

Nx [kN]

82,5

 170 kNm

4m

+

2,5 kN

 BC dN

eleman ı 0 

  q x

dx  x  0; N

x

2

2 m

dN  

 0  N  c1 dx  0   c1  0 N  0

dS dS     q y  0  S  c2 dx dx 2.5   c2  2.5 S  x  0; S  2. dM dx

 S



0 M

 BC

dM     2.5  M dx 170  170

dN

  q x

dx  x  4; N

kN 

 2.5

eleman ı 2 

kN 

x

4

2,5

+

+

m

dN  

 0  N  c1 dx  0   c1  0 N  0

dS dS     q y  0  S  c2 dx dx 8 2.5   c2  82.5 S  x  4; S  82

Sy [kN]

kN 

70

 82.5

170.14

170

165

+

kN 

+

  2.5 x  c3

dM dx



 S 4 M

dM  

 82.5  M  82.5 x  c3

dx 0 

330

M

82 5

 330

kNm

Mz [kNm]

38

Şekildeki çerçevenin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.

Örnek 7 150 kN

y 

B

153 kN

10 k  kN     /   m  N m  30 kN

 x

5m   y

S y B = -  -9     2  9 2, 5 6  67     k N  7 N 

AB elemanı M = -390 kNm

C

 8  k   y N  /   m

x      x

A

dS  y N =-61,03 kN

78 kN4 m

dM 

6m

dx 78 kN

D

dN 

78,8 kN

 q y  0  S y  c1  78 kN   S y  78 kN 

dx

dx

 M   78 x

 78  M   78 x  c2

 N   78,8 kN 

 q x  0   N   c3

78,8 kN

BC elemanı

15 m 71,2 kN

dS  y

-

dM 

61,03 78,8

N [kN]

dx 71,2 -

dN  dx

78

48

 S  = -  4   8  k  N 

-

S [kN] 390

-

38 + 144

M [kNm]

144

 10x  92,567 ,567 kN  

 M   5 x 2  92,567x  390

CD elemanı

M = -144 kNm  8  k  N   /   m

S y

 N   61,03kN 

 q x  0   N   c3

dS  y dx

4   8  k  N 

 8  S y  8x  c1

dM  dx dN 

-

 10 x  92, 567  M  5x2  92, 567 x  c2

N =-71,2 kN

60,43

+

+ 92,567

390

   10  S y  10x  c1

dx

-

dx

 48  8 x  M   4 x2  48 x  c2

 q x  0   N   c3

S y

 8x  48 kN

 M   4 x 2  48x 144

 N   71,2 kN 

39

 

Örnek 8 Sy [kN]

20 kN

+

A

B

C -

-

10 kN

A ve B noktalarından  mesnetli bir çıkmalı kirişin  kesme kuvveti diyagramı şekilde gösterilmiştir. Yükleme durumunu belirleyip eğilme momenti diyagramını çiziniz.

 A’daki teğet yatay değil

2o Parabol

3m

4 kN 1m

4 kN  A

B

10 kN

C

24 kN q2

4 kN

q1

 A

Trapez  yayılı  yük,  biri q1 şiddetinde düzgün  yayılı diğeri q2 şiddetinde üçgen  yayılı  iki ayrı  yüklemeye ayrılıp kirişin tamamı için  yazılacak  iki denge denkleminden q1 ve q2 yük şiddetleri kolayca hesaplanabilir.

24  3  0  M  0  1, 5  q  2  3 q 1, 5 16  24  F  0  1, 5  q  3  q  4  34  0

B

10 kN

x

Kesme kuvveti diyagramındaki  her zıplama,  o noktada bir tekil kuvvetin bulunması anlamına  gelir. Dolayısı  ile A mesnet reaksiyonunun 10 kN, B deki mesnet reaksiyonunun da 24 kN olduğunu düşünebiliriz. Ayrıca çıkma ucunda 4 kN lık bir tekil kuvvet etkimektedir. A-B arasında kesme kuvveti diyagramının 20 olması  bu noktalar arasında 1 0 bir  yayılı yük  yayılı  yük fonksiyonunu akla getirmektedir. Yine kesme kuvveti diyagramının A noktasındaki teğetinin yatay olmaması  bu noktadaki  yayılı yük  yayılı yük şiddetinin sıfırdan farklı olduğunu, teğet eğiminin A dan B ye gittikçe artması yayılı artması  yayılı yük  yük şiddetinin de büyümekte olduğunu gösterir. B ve C noktaları arasında kesme kuvveti diyagramının  sabit olması (eğim sıfır)  bu noktalar arasında  yayılı  yüklemenin olmadığına işaret etmektedir. Şimdi sözünü ettiğimiz yükleme ettiğimiz  yükleme durumunu sembolik olarak yandaki şekil üzerinde gösterelim.

 A

24 kN

 y

2

 2,67 kN / m q2  14,67 kN / m q1

1

2

1

22 kN 14,67 8 kN

2.67

4 kN

 M  



?

A ?

 0  4  4  24  3  22  2  8 1,5  0 

40

y

14.67 kN/m

A ve B noktaları arasındaki  yayılı  yük  fonksiyonu belirlendikten sonra integrasyon  yöntemi  ile kesme kuvveti ve eğilme  momenti fonksiyonları hesaplanıp diyagramları çizilir. 14.67 q y ( x)  2.67  x 3 0  x  3 bölg  bölges esii

4 kN

B

 A x

C

2.67 kN/m

dS  y Sy [kN]

20 kN

+

A

B

10 kN

 A’daki teğet yatay değil

2o Parabol

3m

Mz [kNm]

dx  x  0  S y C

-

-

 2, 67  4, 89 x  S y  2, 67 x 

x

4,89 2

x

2

 c1

 10  c1  10

2  2, 44 445x  2, 67 67 x  10

S y

4 kN

dM  z  1m

dx  x  0  M z   0  c2

2, 44 445 3

x

3



2, 67 67 2

x

2

10 x  c2

0

 M  z   0,815 815 x 3 1,335 335 x 2  10 x

4 kNm -

 2, 445 x2  2, 67 x 10  M z   

x

Maksimum momentin yeri, Kesme kuvvetinin SIFIR olduğu yerdir. yerdir.

+

9,26 kNm

S y

 x1  1, 55 m 

 0  2, 445x2  2, 67 x 10  0

 x2



  0,815 815  1,55

 M  z   x  1,55

3

 -2,64 -2,641m 1m X

2 335  1,55  10  1,55  9,26 kNm 1,335

41

Çalışma Soruları Şekildeki çerçevenin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment fonksiyonlarını integrasyon yöntemiyle bularak diyagramlarını çiziniz.

A ve B noktalarından   mesnetli bir çıkmalı kirişin  kesme kuvveti diyagramı şekilde gösterilmiştir. Yükleme durumunu belirleyip eğilme momenti diyagramını çiziniz . y

80 kN

B    m    /    N    k    0    4

3m

x    

x

  y

3m

36,8°

 A C 4m

C

B

A  y    

3m

x

1m

4m

Sy [kN]

B’deki teğet yatay değil

12 kN +

A

B

C -

-

2o Parabol

x

3 kN

18 kN 3m

1m

42

GERİLME Mühendislerin yük Mühendislerin yük etkisi altındaki bir elemanın davranışını tanımlamakta kullandığı iki kavram; Gerilme ve Birim Şekil Değiştirme dir. Gerilme ve bileşenlerini tanımlamakta  kesim metodunu kullanıp,  eksenel kuvvetten oluşan  normal gerilme ile ortalama kayma gerilmesinin bulunuşu üzerine duracağız. Sonra, öğrendiklerimizin çeşitli problemlerde nasıl kullanıldığı açıklanacak eksenel yüklü çubukların ön boyutlandırılması ve emniyet gerilmesi incelenecektir. TANIM : GERİLME Neden normal ayakkabı   ile kara gömülen,  bata çıka adım  atabilen biri hedik giydiğinde  yeni  yağmış  kar üzerinde  bile batmadan rahatça  yürüyebilmektedir? Nedeni birim alana gelen ağırlığın  ikinci durumda azalması   olarak söylenebilir. Kuvvet etkisinde dengede olan bir elemanın içindeki  herhangi bir noktadaki iç kuvvetin şiddetine yani birim alana düşen iç kuvvete gerilme adını veriyoruz. Gerilme birimi Pascal’dır Uygulamada daha çok MegaPascal (MPa) kullanılır.  N  2

 F  y

F x

Gerilme ( ;  )

m  N  2

mm  A O

 F  z   F  x





 Pasca  Pascal  l 

 Pa

Hedik

 MegaP  MegaPasc ascal  al   MPa   MPa

 yandaki şekilde  dengede olan bir cisimden kesilerek alınan  bir parçanın kesim düzlemi üzerinde alınan  herhangi bir o noktası  ve bu nokta civarındaki A alanı ile bu alana etkiyen F iç kuvveti gösterilmiştir. O noktasına  yapıştırılan  koordinat takımının  x ekseni kesim düzlemine  dik olan doğrultu ile çakıştırılmıştır. 43

iç  kuvvetinin eksenler doğrultusundaki bileşenleri sırasıyla Fx , F y , Fz  olarak bilinsin. Bu gerilme bileşenlerini A alanına bölerek A sıfıra giderken limiti alınırsa her bir eksen doğrultusundaki gerilme bileşeni tanımlanmış olur. Yüzeye  dik doğrultudaki  gerilmeye normal gerilme adı  verilip σ   (sigma) harfi ile gösterilirken, kesim  yüzeyi içindeki gerilmelere de kayma gerilmesi denir ve τ (tau) harfi ile gösterilir. Her gerilme bileşenine eklenen iki indisden birincisi kesim düzleminin  normalinin doğrultusunu,  ikinci indis ise gerilme bileşeninin  kendi doğrultusunu belirtir. Örneğin τxz normali x ekseni olan düzlemde z ekseni doğrultusundaki kayma gerilmesidir. F

 F  y

F x  A

O

 F  z   F  x

  F x   dF x   x  lim   A  dA  A  0     F y  dF y    xy  lim   A 0  A    dA   F  dF z    xz   lim   z    A  0   A  dA  xx

Gerilme; P3

a) iç kuvvetin ( F) noktadan noktaya değişmesine bağlı olarak değişir. b) F’nin etkidiği noktadan geçen düzlemin doğrultusuna da bağlı  olarak değişir. Bir noktadaki gerilmenin tam olarak tanımlanması için  o noktadan geçen bütün düzlemlerdeki (sayısı  sonsuz) gerilmelerin verilmesi gerekir. Örneğin  yandaki şekilde gösterilen  ve o noktasının bulunduğu  yerden çıkartılan dört  yüzlünün üç  yüzündeki iç  kuvvetler verilmiş  ise dördüncü  yüzdeki iç  kuvveti ya da gerilme durumunu yalnızca denge denklemleri yardımı ile bulmak mümkündür.

P

f P P P



P

P2

44

Gerilmenin Bileşenleri Bir noktadan geçen  sonsuz sayıdaki düzlemin  her birindeki gerilmenin diğer  bir deyişle GERİLME HALİ’nin belirtilmesi için o noktadan geçen üç dik düzlemdeki gerilme bileşenlerinin verilmesi yeterli olur. Düzlemler  o noktadan geçen  eksenlere dik olarak seçilirse  sonsuz küçük  boyutlu bir kübik  eleman elde ederiz. Gerilmelerin elemanın  yüzlerine  yayılı  ve O ve O’ noktasındaki  gerilmelerin eşdeğer olduklarını düşünüyoruz. Gerilmeler her düzlemin  merkezinde bir vektörle gösterilmiştir. Bir noktada üç  dik düzlemdeki  toplam 9 gerilme  denir. bileşeni ile verilen gerilme hali gösterimine GERİLME  TANSÖRÜ  denir.

  x   xy   xz     T    yx   y   yz     zx   zy   z  

Gerilme tansörünün her bir satırında yalnızca satırında  yalnızca belirli bir düzlemdeki  gerilme bileşenleri sıralanırken  her bir sutunda ise belirli bir koordinat ekseni doğrultusundaki gerilmeler gösterilmektedir.

 y

 yz 

 yx 

O

 zy

 xy

 z   xz 

 x 

dy

 zx 

 x   zx 

y

 z 

O

 xz   zy

 xy  yx 

x

dx

 yz 

dz

Skaler büyüklüklerin  tarif edilmesinde bir rakam ve birimin verilmesi yeterli olurken vektörel büyüklüklerin anlaşılmasında bir rakam ve birim yeterli olmamaktadır. Örneğin  bir yer değiştirmenin 5 m olduğu söylemek cismin son konumu hakkında hiçbir  bilgi vermez. Yapılması  gereken şey  cismin başlangıç  konumuna bir eksen takımı  yapıştırmak  ve yer değiştirmenin  3 m., 4 m., 0 m. gibi bu eksenler doğrultusundaki üç bileşenini vermektir. Verilen bu üç  parametre ile cismin son konumu tam olarak tarif edilmiş  olur. Bir noktadaki gerilme hali  ile daha sonra göreceğimiz  bir noktadaki birim şekil değiştirme  hali  hep tansörel büyüklükler olup dokuz bileşeni verilmeden tam olarak anlaşılamayan büyüklüklerdir. . 45

Kayma gerilmesinin özelliklerinin bulunması için denge denklemlerini yazalım.

 F   0;

 F   0;

 x

 M  z   0

 F   0

 y

Otomatik olarak sağlanır

 z 

    yxdzdx dy    xydzdy dx  0

  xy

 M 

 x

0

   yx

DİK DÜZLEMLERDEKİ KAYMA GERİLMELERİ EŞİTTİR.

 M 

  yz     zy

 y

0

  xz     zx

bulunur. İşaret kabulü, düzlemin normali ile gerilmenin  yönünün her ikisinin de pozitif veya negatif olması durumunda gerilme POZİTİF  kabul edilir. Şimdi  gerilme halinin xy düzlemi üzerindeki izdüşümünü alalım (+z  yönünden bakıldığında).   x ,   y ,  xy  0

  z ,   xz ,  yz   0

 y

 y

 xy

 x 

 x 0 0   T 0 0 0    0 0 0

 x 

Tek eksenli, (bir boyutlu) Gerilme Hali

(Yalnızca normal gerilme varsa)

 x 

  x 0 0     y 0    0 0 0

T 0

 x 

0    0

T    yx

  xy

0

0

0

0

  0

 y

 xy

 x 

  x   xy 0     y 0    0 0 0

 x 

T    yx

 y

İki eksenli Gerilme Hali (İki tane normal

(Yalnızca Kayma

gerilme varsa)

gerilme varsa)

Tam Kayma Hali

Düzlem Gerilme Hali

46

Ekseni Doğrultusunda Kuvvetlerle Yüklü Doğru Eksenli Çubukta Eksenel Normal Kuvvetler

Bu durumda eksenel normal kuvvet ve uzama veya kısalma söz konusudur. ÖRNEK 1 3P

Şekilde görülen yükler etkisindeki alüminyum çubuğun eksenel kuvvet diyagramını çiziniz. P

4P

 A

B L/4

C L/2

AB arası;

 Yük Diyagramı

2P D L/4

3P

N(x)  A

BC arası;

3P

P  A

CD arası;

N(x) B

N (x)

Serbest Cisim Diyagramları

2P D

2P P

+ x

-

-

Eksenel Kuvvet Diyagramı

2P 3P

47

Çubuk boyuna ekseni doğrultusunda birkaç eksenel kuvvetle yüklü ise eksenel normal kuvvetler kesitten kesite değişir. Bu amaçla öncelikle eksenel normal kuvvet diyagramı çizilmelidir. Bunun için;. •Öncelikle reaksiyonlar hesaplanır. •Yüklemede değişme olan her bir bölgede (yükte süreksizlik olan her bir bölgede) ayrı bir kesim yapılarak o bölgedeki eksenel normal kuvvet, denge denklemi yazılarak hesaplanır. •Eksenel kuvvet diyagramı çizilir. Diyagramın kapanması hesaplamaların doğruluğunu kontrol etmek için kullanılabilir.

NORMAL GERİLME Cismin herhangi bir kesitindeki gerilme, sabit şiddete  veya düzgün  yayılı  ise buna basit gerilme adı  verilir.Yük taşıyan elemanların çoğunun düşünülen  bir kesitindeki iç  kuvvetler ya eksenel kuvvettir ya da kesme kuvvetidir. Örneğin  kablolar, kafes kiriş elemanları, eksenel  yüklü çubuklarda eksenel normal kuvvet, iki çubuğu birleştiren cıvata, pim ve perçinlerde ise kesme kuvveti söz  konusu olduğundan  normal gerilme ile kayma gerilmesini hesaplamakta doğrudan  gerilmenin tanımını ve denge denklemlerini kullanmak mümkündür.

Gerçek gerilme yayılışını bulmak için şekil değiştirmeleri dikkate almak gereklidir. Eksenel kuvvetle yüklü prizmatik bir çubuk düşünelim. I

P

P

h I

P

b

 0   P     A

 P 

Eksenel Çekme

  

I-I kesitinden kesip ayırırsak; I P

I

 

 A  b  h

 F 

 yata y

Çubuk ekseni ile 90o’lik açı yapan I-I kesitini düşünelim. Kesim  yüzeyindeki gerilme şekilde düzgün yayılı olarak gösterilmiştir .

gerilmesi

Bu enkesitteki üniform gerilmenin değeridir. Bunun için; P enkesitin ağırlık merkezinden uygulanmalı  Çubuk doğru eksenli, yapıldığı yapıldığı malzeme homojen olmalı Kesim düzlemi çubuk uçlarından uzak olmalı  İle verilen üç kriterin sağlanması gerekir. 1. kriter sağlanmaz ise moment oluşur gerilme enkesite 

48

ÇATAL UÇ ÖRNEĞİ

49

ÇATAL UÇLU BİRLEŞİMLER Çatal uçlardan  pime kuvvetin aktarılması  yarım  silindirik bir  yüzey üzerinden diğer  bir deyişle  temas  yüzeyi aracılığı  ile gerçekleşmektedir. Eğer  bir kuvvet  yarım  silindirik bir  yüzey üzerinden  bir elemandan başka  bir elemana aktarılıyorsa söz konusu  yüzeyde oluşan  gerilmelere ezilme gerilmesi adı  verilir. (Makine mühendisliğinde  ise bu gerilmeye yatak gerilmesi denilmektedir.) Gerçekte düzgün yayılı düzgün yayılı olmayan ezilme gerilmeleri kuvvetin pim çapı x levha kalınlığından oluşan yarım oluşan yarım silindirik  yüzeyin iz düşüm alanına bölünmesiyle hesaplanır.

d P

Çatal uç

b

c

b

c b  A P

P/2

C

 A=d*t

Pim

Temas yüzeyi ve ezilme gerilmeleri

t

P t P/2

 A=d*t

Çatal uçlardaki kuvvetin pime aktarılması

50

P

EZİLME GERİLMESİ t1 t

t

t

 P  2td 

B

b

c c

b

b

C

c

b Pim

d b

c  P 

c

S

S b

c  P  t 1d 

t 1d   A b

Çatal uçlardaki ezilme gerilmesi

 l 



 P  2td 

B Çubuğundaki ezilme gerilmesi

 l 



 P  t 1d 

P 51

ORTALAMA KAYMA GERİLMESİ

P

b d

t1 t

t B

b

c c

b

c

C

b

c

P/2

P/2

b

c

b

c

Pim

C

P

 A b

P/2 b

P

Normal gerilmenin tersine kayma gerilmeleri düzgün  yayılmazlar,  pimin aktardığı  kuvvetin, kesilen pim alanına bölünmesiyle bulunan değer ortalama kayma gerilmesini verir.

P/2 c C

b

Kayma gerilmeleri, uygulanan kuvvetlerin cismin bir parçasının komşu parçalara  nazaran kesme eğiliminde olması   halinde ortaya çıkar. Çatal uçlu birleşimdeki  pim, eksenine dik doğrultudaki kesme kuvvetinin etkisiyle b-b ve c-c kesitlerinden ayrılmaya karşı koymaktadır. Pimin bütünü  dengede olduğuna göre ayrılma  yüzeylerinin  her birinde P/2 kesme kuvvetleri oluşmaktadır. Kayma gerilmelerinin uygulanan kuvvete paralel düzlemlerde oluşması  halinde direkt kesme hali denir.

P

c

 ort 



 P  Akesilen

P 

 2

 d 2

4 52

PERÇİNLİ ve CİVATALI BİRLEŞİM

KİRİŞ EKİ ALIŞ-VERİŞ MERKEZİ BÜKREŞ

KOLON EKİ PROCTER-GAMBLE

GEBZE

53

Resim : inş.Yük müh. Bora Karakurt

54

Çelik yapı Çelik  yapı elemanlarının birleştirilmesinde perçin, bulon (cıvata) veya kaynak kullanılır. Perçin, küre takkesi bir baş ve hafif konik gövdeden oluşan  bir birleştirme elemanıdır. Kızıl  renk alıncaya  kadar ısıtılan perçin  elemanlara açılan delikten geçirilir. Diğer uçtan çıkan  konik kısım dövülerek küre  takkesi biçimi  verilir. Konik olan perçin gövdesi dövülme sırasında  silindire dönüşerek deliği  tam olarak kapatır. Eski  yapılarda kullanılan perçin,  kaynak teknolojisindeki ilerleme sebebiyle günümüzde kullanılmamaktadır. Perçin yada kaynakla birleştirilen yapı birleştirilen yapı elemanlarını, elemanlara zarar vermeden sökmek mümkün olmadığından bu birleşim araçları kalıcı  yapılarda kullanılır. Bir  yapının ileride sökülerek başka bir yere taşınması söz konusu ise bulon (cıvata) denilen birleşim aracı kullanılır. Cıvata altıgen bir baş ve üzerine diş açılmış silindirik bir gövdeden oluşur. Elemanlara açılan  delikten geçirilen cıvatanın dişli ucuna somun adı verilen bir parça anahtar  yardımıyla sıkılır. Hafif eğik yüzeylere eğik yüzeylere takılan cıvatalarda somun takılmadan önce  yükün yayılmasını  yükün yayılmasını sağlamak amacıyla pul denilen halka şeklindeki metal parçalar kullanılır. Çelik yapılardaki Çelik yapılardaki titreşimler sebebiyle zamanla somunların gevşemesi söz  konusudur. Somunların gevşemesine  engel olmak için  ya rondela adı verilen yaylar ya da çift somun sıkılması yoluna gidilir.

Direkt kesme haline örnekler: 1- Perçinli veya bulonlu –civatalı - birleşim Kayma gerilmesi hesabı P P

S

P

b

 ort    A

P t d

B

 P 1



2    d  m

4



P

P 1  = bir perçinin taşıdığı kuvvet m = bağlantıdaki eleman sayısı -1

55

Perçin/cıvata gövdesinde veya levhada delik kenarında oluşan ezilme gerilmesi

Resimler: Connections Teaching Toolkit Perry S. Green, Ph.D. & Thomas Sputo, Ph.D., P.E. & Patrick Veltri

 ezilme



 P 1

Burada; P1 bir perçin/civataya düşen kuvveti, d perçin / cıvata çapını, tmin birleşim

tmin  d 

bölgesine gelen yada giden levha kalınlıkları toplamından küçük olanını göstermektedir.

Zayıflamış kesitteki çekme gerilmesi : Yırtılma gerilmesi

  yırtılma  A

P/2

d

P

t P/2



 P  tmin b  k  d   min 

Burada; P zayıflamış kesite etkiyen çekme kuvvetini, b levha genişliğini k zayıflamış kesitte bulunan perçin sayısını, tmin birleşim bölgesine gelen yada giden levha

56

2- Bir plak üzerinde delik açılması (zımbalama gerilmesi) P

Delme Ucu

d

t

Plak

ÖRS

P

S

d

 ort  

 P  2    r  t 

Japonya da bulunan bu köprü zımbalama etkisi yüzünden 57

Örnek 2

d

Şekilde 40 kN’luk düşey  kuvveti taşıyan  kafes sistem görülmektedir. Bütün  pimler 20 mm çapa  sahiptir. Çatal uçlardaki kalınlık 10’ar  mm, bağlantı levhasının kalınlığı 15 mm’dir. Elemanlardaki normal gerilmeleri C mafsalındaki kayma ve ezilme gerilmelerini hesaplayınız.

t=10 mm

Fc

t1=15 mm

t=10 mm

y

B düğüm noktasının dengesinden çubuk kuvvetleri kolayca hesaplanabilir.

C

50 kN

30 kN

B

 A = 0.002 m2

  AB



 30103 0.004 004

 MPa  7.5 106 Pa  7.5 MPa

Basma

 MPa  25106 Pa  25 MPa

Çekme

2m

40 kN

 A

 A = 0.004 m2

B

5010

3

  BC  

0.002 002

5010

3

x

 C  

1.5 m

2

2 d 

P = 40 kN

50 10

3

 ezilme



0.015 0.015  0.020 0.020 50 10

 166.7 106 Pa  166.7 MPa

3

 



 125 106 Pa  125MPa

 79.6 106 Pa  79.6 MPa  MPa

4

Mesnet levhasında Çatal uçta

58

Kesici uç

Örnek 3

Civata keskisine 200 N’luk P kuvveti uygulanmıştır. a) Civataya ve A, B, C noktasındaki pime gelen kuvvetleri hesaplayınız. b) AD parçasının alanı 2x10 -4 m2’dir. Bu elemandaki gerilmeyi belirleyiniz. P = 200 N

B

 A

C 25 mm D

75 mm

25

sap

480 mm

12

FBy

480 mm

FBx=0

FCx

FBx

B F A Q

 F   M 

 B

100Q  75F A  0  100

 F 

dü ş

 0  F  A  Q  F By

 yat 

 0  F  Bx  0

vet etkisinde dengede olan cisim konusunu hatırlayınız)

 F  By



 8000 N 

4 3

Q Q 

 F  A

3

Q  24 kN 

 F Cy  20 200 0  8000  8.2 kN 

 F   0  F 

 F  A

 By

Cy

 x

Cx

 By

0

 F By



Q

 M   0 200 480  F  12  F   0   F   200  F   y

25 mm

 A

Bir  yapı  yada makine içerisinde yalnızca içerisinde  yalnızca iki pimle eleman bağlanan  bir bulunuyorsa ve bu elemanın üzerine hiç  bir dış  kuvvet etkimiyorsa bu elemanın görevi  pimleri birleştiren doğrultuda  kuvvet aktarmaktır. Kesme kuvveti ve moment oluşmaz. (iki kuv-

C 

P = 200 N

FBy

 Q  F  By  8  24  32 kN 

12

FCy

32 10

3

  AD 

4

2 10

 160 160 MPa MPa

NOT : Kesici uç ve sapta eğilme ve kesme etkisi vardır.

59

4 3

Q

İNCE CİDARLI BASINÇ KAPLARI

500 Gallon, 1000 psi Pres. Vessel

60

İNCE CİDARLI BASINÇ KAPLARI Uygulamada rastladığımız otomobil lastikleri, boru, tank ve LPG tüpleri gibi basınç kapları temelde eksenel kuvvet taşıyan araçlardır. Basınç kaplarının et kalınlığı/ iç yarıçap, iç  yarıçap, 1/10 ’dan küçük ise bu tip basınç kaplarını ince cidarlı olarak sınıflandırmaktayız. İnce cidarlı basınç kaplarında normal gerilme kalınlık boyunca sabit kalırken kalın cidarlı basınç kaplarında değişmektedir. İnce cidarlı basınç kaplarında ayrıca iç ve dış  yarıçap ayrımı  yapılmaz  (Bu iki değer birbirine çok yakındır) çok yakındır). Burada, ince cidarlı silindirik ve küresel basınç kaplarını ele alacağız . Basınç kabının cidarları  zar gibi –membrandavrandığından eğilme  momenti oluşmayacaktır. Kap eksenel simetrik  yapısı  ile taşıdığı  maddeden kaynaklanan basınç  etkisi ile serbestçe şekil değiştirirken  yalnızca  membran gerilmeleri adı  verilen düzgün  yayılı  normal gerilmeler oluşur. Bu kabul, kabın rahatça şekil değiştiremediği uç bölgeleri  ile mesnetleri dışında oldukça isabetlidir. Silindirik kapların uçlarındaki kapak kısımlarında kesme kuvvetleriyle eğilme momentleri ortaya çıkar. Kesme kuvveti ile Eğilme momentinden kaynaklanan bu gerilmelere süreksizlik gerilmeleri adı verilir. Süreksizlik gerilmelerini azaltmak için kapaklara uygun bir eğrilik verilir. Bu bölümde verilen bağıntılar, sıvı veya gazdan oluşan p iç basıncı halinde kullanılabilir. Vakum kapları ile denizaltılar gibi dış basınç altında kalan araçların incelenmesinde p’nin işaretinin negatif alınması yeterlidir. Dış basınç halinde hesaplanacak gerilmelerin kap cidarlarında burkulma oluşturan kritik gerilmelerden küçük olmalıdır.

SİLİNDİRİK BASINÇ KAPLARI

Şekilde gösterilen iç  yarıçapı r, et kalınlığı t, manometre basıncı p  olan silindirik hava tankı  veya boyleri düşünelim. Manometre basıncı; içteki basıncın, dış basıncı  ne kadar aştığını  vermektedir. Kap cidarı üzerinde gösterilen küçük bir  yüzey elemanına etki eden, c ve a gerilmelerini belirlemek istiyoruz. c gerilme bileşenine, çevresel  gerilme, teğetsel  gerilme veya halka gerilmesi; a  gerilme bileşenine  ise eksenel veya boyuna gerilme adları  verilir. Çevresel  gerilmeyi hesaplamak üzere L  boyundaki  yarım  silindirik bir elemanı içindeki akışkanla birlikte ayıralım. Akışkanın  kendi ağırlığı  ile basınç kabının  kendi ağırlığının  ihmal edilebilecek kadar küçük olduğunu düşünüyoruz. Eksenel doğrultudaki basınç  ile gerilmeleri basitlik nedeni ile şekil  b de gösterilmedi. Şekildeki kap cidarlarında taşınan eksenel kuvvet , c (2tL), aynı düzlemdeki akışkan basıncından oluşan kuvvet ise p(2rL) dir.

61

t

t L

r 

 c

 c

2r 

t

 a

p

(a)

L

(b)

p   a

(c)

Düşey doğrultudaki toplam kuvvetin sıfır olması gerektiğinden;  c  

 c 2tL   p2rL

 pr 

PEACHOID

t 

Eksenel gerilme, silindirik basınç kabından alınan ve şekil c’de gösterilen serbest cisim diyagramı kullanılarak hesaplanabilir. Bu diyagramdaki cidarın taşıdığı eksenel kuvvet a (2rt) ; taşınan akışkanın oluşturacağı eksenel kuvvet p(r2) ’dır. Eksenel kuvvetlerin eşitliğinde,  a 2 rt    p r 2 

 a



 pr  2t 

bulunur. Elde edilen gerilme bağıntılarından, c=2a olduğu görülmektedir.

62

KÜRESEL BASINÇ KAPLARI

Küresel basınç kaplarındaki  gerilmeler, silindirik kapların  incelenmesinde uygulanan işlemlere  benzer şekilde bulunabilir. Küresel kaptan alınan küçük bir elemana etkiyen gerilmeler simetri nedeniyle birbirine eşittir. Küresel kap tam ortasından ayrıldığında;

    r 

Yazılacak denge denklemi çevresel gerilme için

 2 rt    p ,r 2

p

 

  

2r 

 pr  2t 

t

sonucunu verir. Bu sonuç, kürenin çapını içeren bütün  kesimlerde aynı kalır. Radyal doğrultudaki  gerilme kabın iç  yüzünde – p ; dış yüzünde dış  yüzünde sıfır olacak şekilde değişir. İnce cidarlı kaplarda bu gerilme  c  ve  a  gerilmelerinden çok küçük olduğundan  genellikle ihmal edilir. İnce cidarlı basınç kaplarındaki  gerilme, iki eksenli gerilme hali olarak düşünülebilir.

Örnek 4 Uçlarında yarım Uçlarında yarım küre şeklinde kapaklar bulunan silindirik tank 1.38 MPa’lık basınçlı hava ile doldurulmuştur. Tankın  yarıçapı  250 mm, et kalınlığı  8 mm olduğuna göre  silindirik ve küresel kısımlarda oluşacak  gerilmeleri hesaplayınız.

Küresel kapaklardaki gerilme ile silindirik kısımdaki boyuna gerilme aynıdır.  pr  1.38  250  pr  1.38  250   43.13MPa      21.56 MPa silindirik kısımdaki çevresel gerilme       a

2t 

c

28

en büyük radyal gerilme tankın iç yüzünde

 r 

t 

 MPa dır.  1.38 MPa

8

63

EMNİYET GERİLMESİ: GÜVENLİK KATSAYISI

Yapıların tasarım  ve analizinde karşılaşılan çevresel  etkiler, kullanım  yükleri,  malzeme özellikleri  gibi çeşitli belirsizliklere karşı uygun bir güvenlik katsayısı seçilmesi önemlidir. Belirsizlik doğuran alanların başında gerilme ve şekil değiştirme  kabulleri gelmektedir. Yapının imalatında ve kullanımı sırasında oluşacak  gerilmeler kesin olarak bilinmediğinden güvenlik katsayısına  bazen cehalet katsayısı adı  verilir. Bazı  durumlarda malzeme, üzerindeki yük üzerindeki  yük sabit olduğu halde şekil değiştirmeye devam eder. Zamanla oluşan bu şekil değişimine sünme adı verilir. Diğer taraftan şekil değiştirmenin sabit olduğu hallerde gerilmedeki azalmaya ise gevşeme denir. Kurşun, lastik ve bazı  plastiklerde sünme  normal sıcaklıklarda  meydana gelmektedir. Pek çok  metalde sünme olayına ergime sıcaklığının yüzde sıcaklığının  yüzde 35-50’si düzeyindeki sıcaklıklarda görülmektedir. Herhangi bir malzemenin sünme hızı  yalnızca sıcaklığa değil aynı zamanda gerilme düzeyi ile yük geçmişine de bağlıdır. Sünme kaynaklı deformasyonları azaltmak amacıyla  gerilmelerin küçük tutulması faydalıdır. Güvenlik katsayısı, yapı katsayısı,  yapı elemanına uygulanacak  yükün, o elamanın taşıyabileceği en büyük yükü büyük  yükü aşmamasını garanti eder. Güvenlik katsayısı, yapı katsayısı, yapı elemanının (göçmeksizin) taşıyabileceği en büyük yükün büyük yükün kullanım yüküne kullanım yüküne oranıdır.

Güvenlik Katsayısı =

En Büyük Gerilme Kullanım Gerilmesi

  f   s 

 maks  em

En büyük  gerilme, ya akma gerilmesidir yada çekme (basınç) mukavemetidir. Güvenlik katsayısının oldukça küçük olması, emniyet gerilmesinin oldukça büyük olmasını, bu durumda da yapının kullanımı sırasında problem çıkabileceği gösterir . Diğer   taraftan oldukça düşük  emniyet gerilmesi ve oldukça yüksek güvenlik katsayısı  ile yapı ağır   ve fazla maliyetli olur.

Güvenlik katsayısı, genellikle 1.5 veya üstünde seçilir . Seçim de tecrübe ve mühendislik önsezisi önemlidir . Güvenlik katsayıları pek çok ülkede standart ve yönetmeliklerle  belirlenmektedir. 64

Örnek 5

Çapı 1.5 m, et kalınlığı 3 mm olan çelik silindirik tankın σ enbüyük = 240 MPa, f s = 2 olduğuna göre taşıyabileceği p basıncını hesaplayınız. Çevresel ve Eksenel gerilmeler, emniyet gerilmesini aşmamalıdır.  em



a 

 maks   f s  pr  2t



240 240

  em

2

 120 MPa  MPa;  c    p  2

 em  t  r 

 pr  t 

  em

 p 

120 3 750

MPa  0.48MPa

 0.96MPa MPa

Bulunur. Manometre 0.48 MPa’ı aşmamalıdır. Çekme ve Kısa Basma Çubuklarının Tasarımı

Eksenel yüklü prizmatik çubukların mukavemet yönünden boyutlandırılmasında 1.Mümkün göçme modunun belirlenmesi: Çoğunlukla göçmede normal gerilmenin temel bir büyüklük olduğu kabul edilir.  P  2. Yük  Yük ile gerilme arasındaki bağıntının yazılması:     A 3.En Büyük Çekme mukavemetinin belirlenmesi:  Malzemenin σ -ε diyagramındaki en büyük ordinatı σ maks maks 4.Güvenlik katsayısının seçilmesi: Enmiyet gerilmesinin hesaplanmasında güvenlik katsayısı f s  kullanılır.  em



 maks   f   s

Gerekli enkesit alanı

 A 

 P 

 em

Olur. Yukarıda sözü edilen işlemler çekme ve kısa basınç çubuklarının boyutlandırılmasında kullanılır. Narin basınç çubuklarının boyutlandırılması boyutlandırılması daha sonra incelenecektir. Eğer çubuk en kesitinde ani bir değişim varsa yukarıdaki işlemler 2. adımdaki gerilmenin hesabında gerilme yığılması katsayısı kullanılarak tekrarlanır.

65

Örnek 6

Şekilde gösterilen  kare kesitli alüminyum AB çubuğu  ile dairesel kesitli çelik AC çubuğunun  enkesit alanlarını hesaplayınız. Alüminyum ve çelik çubuklar için en büyük gerilmeler sırasıyla  275 ve 480 MPa ve güvenlik katsayısı 2.5’dir.

 A

1

P = 60 kN

Örnek 7

2m

C ve E düğümlerinde 50 ve 20 kN’luk  yükleri taşıyan kafesin AC, AD, CD ve CE çubuklarının alanlarını hesaplayınız. Emniyet gerilmesi çekmede  140, basmada 100 MPa’dır.

50 kN

a

R Ay

R Ax

2m 20 kN b C

 A

E

2m a RBx

b

B

D

7.2 3

3m

Çubuk kuvvetlerini, kesim yöntemini kullanarak (statik

1 7.8

2

B

bilgilerinizden yararlanarak) kolayca bulabilirsiniz.

C

70 kN

70 kN

FB Fc 3m

50 kN

90 kN

90 kN 20 kN

4.2 m

 A

20 kN

C

 A

45°

50 kN 99 kN

99 kN

 M

 B

 0  FC *

 MC



 0  FB *

?

3 7.8 1 2

 F   0  145.5 275 2.5

 110 MPa  MPa

145.5 10

 4.2  60  7.2  FB  145.5 kN 

1

x

 al  

 4.2  60  3  FC   111.4 kN 

2

 111.4

7.2 7.8

 çe

D

50 kN

70

90

20

20 C

 A

0

99

2m



480 2.5

 192 MPa MPa

90

B

20 kN

-90

-50

D

E    8    2  .    8    2   -

2010

3

 A AC    ACE  

140

3

 A AB



110

 1322.7 mm2  a  36.4 mm 99 10

3

111 4 10

3

 142.9 mm2

 A AD



50 10

3

 707.1mm2

 ACD



 500 mm2

66

Örnek 9

Örnek 8

Şekilde gösterilen çubuğa uygulanabilecek en büyük  P kuvvetini; çekme  gerilmesinin 100 MPa, basma gerilmesinin 140 MPa’ı aşmaması koşuluyla hesaplayınız.

Şekilde gösterilen sistem dengededir. a) Normal gerilmenin 140 MPa değerini aşmaması koşulu ile CD çubuğunun çapını, b) B’deki 8 mm çaplı pimdeki kayma gerilmesini, c) B mesnedindeki yatak gerilmesini, d) B mesnedine bağlanan çubuktaki yatak gerilmesini hesaplayınız. D C

B

 A P

C 6P

D

225 mm2

E P

4P 900 mm2

2P 150 mm

400 mm2

10 mm

5 kN

N

200 mm

60o

P

P

B +

C

 A

D P

-

E

B

 A

-

6 mm

6 mm

B 8 mm

2P 5P

 M 

 B

  AB



  BC    CD



  DE  

 P  225 5 P  900  P  400 2 P  400



in

 100  P  22.5 kN 

a)

 0  150 150 P  5 sin 60  200 200  P  5.774 774 kN 

 CD



5.774103

 d 2 4

 140  P  25.2 kN 

b)  140  P  56 kN 

c)

 140  P  28 kN 



kN 

d)

 140  d   7.25 mm

 5 sin 60  4.33kN 

 B x

cos 60  8.274kN   5.774  5 cos

  yatak     yatak  

9340 12  8

9340

 B  4.33

2

 B y

  

9340 2

 MPa  97.3 MPa

 116.75 MPa  MPa

 82

 8.2742  9.34 kN   92.95 MPa  MPa

4

67

Şekilde görülen iki plak dört adet 20 mm çaplı perçinle birleştirilmiştir.  em = 100 MPa,  em = 80 MPa, taşıyabileceği en büyük P kuvvetini hesaplayınız.  emezilme = 140 MPa olduğuna göre bu birleşimin taşıyabileceği

Örnek 10 15 mm

a

b

c 10 mm

P

P

P

   m    m    0    0    1

   m    m    0    2    1

Çok sayıda birleşim elemanının bulunduğu  sorularda her perçin  yada civatanın eşit kuvvet taşıdığı kabul edilir. Aşağıdaki şekilde üst  levhadaki P kuvvetinin a kesitini aşınca   P/4 kadar azalarak 3P/4 değerine düştüğü,  b kesitinden sonra 2*P/4 kadar daha azalarak P/4 değerine indiği, c kesitinden sonra üst  levhada hiç kuvvet kalmadığı şematik  olarak gösterilmiştir. Alttaki levhada başlangıçta sıfır  olan kuvvet a, b ve c kesitlerinden sonra arta arta en sonunda P değerine yükselmektedir değerine yükselmektedir. 15 mm

P

10 mm

P

80 mm

Bir perçinin kesilmeye ve ezilmeye göre taşıyabileceği kuvvet   

 P  1

 202 4  P 1

 ez  

 80   P1  25.132 kN

20 10

 140  P1  28 kN

P  4 * P1 10 1 00.53

P  4 * P1  112

kN 

Üst levhada Yırtılmaya göre tahkik;  aüstlevha a  büstlevha b üstlevha

 

 P 

80  20 15

 100   P  90 kN 

3 P / 4 2*20 15 100  2*20  P / 4

 100   P  120 kN 

 100

 P

480 kN 

kN 

P

3P/4

P/4

0

0

P/4

3P/4

P

P

Alt levhada Yırtılmaya göre tahkik;  caltlevha c



 baltlevha b



 aaltlevha a



 P 

 100  P  100 kN 

120  20 10 3 P / 4

2*20  10 120  2*20  P / 4

 100  P  107 kN 

 100

120  20 10

 P  400 kN 

Yırtılma bakımından kritik olan kesit ya birinci ya da ikinci kesittir.  P



kN 

min 90; 100.53 .53



90kN 

68

Şekilde gösterilen  pim bağlantılı çerçevede a)  150 mm2  enkesit alanına  sahip CE çubuğundaki  normal gerilmeyi, b) D noktasında çift tesirli olarak çalışan 10 mm çaplı pimdeki kayma gerilmesini hesaplayınız.

Örnek 11

 A

Pim bağlantılı çerçevelerde  ilk adım  mesnet reaksiyonlarının hesaplanmasıdır. Daha sonra çerçeve elemanları  teker teker ele alınıp  her bir elemanda üç adet denge denklemi  yazılması yoluyla

2m

istenen kuvvetler kolayca bulunur.

C

 M 

 B

6m

B

D

 F   0  B  x

E

2m

30o

10 kN

C

 x

 3.66 kN 

 F   0  B

8.66 kN

11.55 kN

 M 

 ACD  ACD  D

11.55 kN

 8.66 kN 

CE  16.33kN   CE  

16330 150

 108.9 MPa  MPa

CE = 16.33 kN

 D  2.892  11.552

 2.89 kN   D y  11.55 kN   D x

906 kN   11.906

2.89 kN   D

11.55 kN

 y

 0  CE cos 45 6  8  8.66  0

ACD çubuğunun dengesi D

 y

CE çubuğu, iki ucu mafsallı olduğundan yalnız eksenel kuvvet taşır.

6m

 A

 0  10 cos 30  8  8 A  0   A  8.66 kN 



11906 2

 102 4

 MPA  75.8 MPA

69

Örnek 12

150 mm çaplı  makara, 25 mm çaplı mile 5*5*25 mm boyutlara sahip bir kama ile bağlanmıştır. Kamadaki kayma gerilmesini hesaplayınız.

5 kN

5*5*25 mm boyutlu kama

Örnek 14 0.8 m  yarıçaplı küresel  bir basınç kabı ; iki  yarım küre parçanın eşit aralıklarla  yerleştirilen  40 adet cıvata  yardımıyla birleştirilmesinden oluşmaktadır. İç basınç  600 kPa olarak verildiğine göre cıvata çapı d  ile basınç kabının et kalınlığı t’yi hesaplayınız. Cıvata ve küresel kabın emniyet gerilmeleri sırasıyla 100 ve 50 MPa olarak bilinmektedir.

150 mm t

25 mm 3 kN

 M   0  5  3 75  F  0

12.5  F kama

kama

  

12000 5  25

0.8 m

 12 kN 

 96 MPa  MPa

d

Örnek 13 Bir barajın türbinlerine  su ileten cebri boru 120 m’lik su  yükü altındadır. Boru çapı 900 mm’dir. Boru malzemesinin en büyük gerilmesi 100 MPa, güvenlik katsayısı 1.6’dır. Borunun en küçük et kalınlığı t ne olmalıdır? (g su= 9.81 kN/m 3)

 p  g   h  120  9.81  1177 kN / m2  p  1.177 MPa  c



1.177 177  450 450 t 



 maks   f  



100 100 16

 t min  8.47 mm

c 

 pr 



0.6 800

2t t  4.8 mm

2t 

Bir civataya



düşen kuvvet   

30160

 d 2

 50   em

50  2    800 4.8 40

 30160 N 

 100  d  19.6 mm 70

Çalışma Soruları Şekilde gösterilen birleşim, levhaların  alt ve üst  yüzlerine  yerleştirilen  5 mm kalınlıklı bağ levhaları  ve 4 adet 19 mm çapındaki perçinle yapılmıştır perçinle  yapılmıştır. çem = 120 MPa, em =70 MPa, emezilme  = 240 MPa olarak bilindiğine göre birleşimin emniyetle taşıyabileceği P kuvvetini bulunuz.

Şekilde gösterilen ABC rijit elemanı CD  yüksek mukavemetli teli ve A noktasından  uygulanan P kuvveti ile dengededir. Telin taşıyabileceği en büyük çekme gerilmesi  = 350 MPa ve güvenlik katsayısı 3,3; B noktasındaki pimin taşıyabileceği en büyük  kayma gerilmesi   = 300 MPa ve güvenlik katsayısının  3,0 olduğu bilindiğine göre  telin ve pimin en küçük çapı ne olmalıdır?

120 mm

Şekilde gösterilen üç elemanlı

kafes sisteme E noktasından P kuvveti etkimektedir. C ve D mafsalla noktasından  birleştirilen, eksenel  yük taşıyan CD mm elemanı  30x50 kesitlidir. E dikdörtgen  uygulanan P noktasından  kuvvetinin şiddeti  210 kN olduğunda CD çubuğunda oluşan normal gerilmeyi hesaplayınız.

71

BİRİM ŞEKİL DEĞİŞTİRME VE MALZEME (BÜNYE) BAĞINTILARI Bir önceki bölümde bir  yapı yada makine elemanındaki gerilmeler incelendi. Şimdi gerilme kadar önemli bir konu olan şekil değiştirme  konusunu ele alacağız . Şekil değiştirme  veya deformasyon analizi, birim şekil değiştirmelerin tanımları ile başlar . Birim şekil değiştirmeler deformasyonun şiddetinin ölçülmesinde kullanılır.

İleriki bölümlerde  malzemelerin önemli  karakteristik özellikleri tanımlanacaktır. Mühendislikte kullanılan malzemelerin eksenel çekme deneyi yardımıyla belirlenen mekanik özellikleri üzerinde durulacaktır. Tek eksenli, çok eksenli ve kesme kuvvetleri etkisinde gerilme ve birim şekil değiştirme arasındaki bağıntılar ele alınıp şekil değiştirme enerjisi kavramı  ile tekrarlı yüklemelerin tekrarlı yüklemelerin oluşturacağı kırılma olayına giriş yapılacaktır giriş yapılacaktır. Dış  kuvvetlerin etkisi altında  bulunan bir cismin her noktası  yer değiştirir. Herhangi bir noktanın  yer değiştirmesi; şekil değiştirmeden  yada rijit cisim hareketlerinden (ötelenme ve dönme)  veya bu iki etkinin bileşiminden meydana gelir. Cisim içindeki noktaların  birbirlerine göre  olan konumlarında  bir değişme  varsa cisim şekil değiştirmiştir denir. Herhangi iki nokta arasındaki uzaklık  yada herhangi üç  nokta arasındaki açı olabilir. Bu bölümde yük değişmiyorsa yer değiştirmenin sebebi rijit cisim hareketleri olabilir. bölümde  yük etkisindeki mühendislik  yapılarında, şekil değiştirme ile ortaya çıkan küçük yer değiştirmeler incelenecektir. Şekil değiştirme sonucu cismin hacminde yada biçiminde değişme olabilir. Bir  yapı elemanındaki gerçek gerilme  yayılışının  belirlenmesinde bu  yapı elemanındaki şekil değiştirmenin  dikkate alınması  gerekir. Dış  yükler ve sıcaklık   tesiri etkisindeki hiperstatik  yapıların  analizinde şekil değişimi kullanılarak  hiperstatik kuvvetlerin hesaplanması için gereken ilave denklemler sağlanır. Toplam eksenel şekil değiştirme  d ile gösterilecektir. Cisim içerisindeki  herhangi bir noktada x, y ve z eksenleri  yönündeki  yer değiştirme bileşenleri  u, v ve w ile tanımlanacaktır. Birim şekil değiştirmeleri 1’in  yanında küçük, çarpımlarıyla karelerini ihmal edilebilecek kadar küçük kabul etmekteyiz. 72

BİRİM ŞEKİL DEĞİŞTİRME TANIMLARI Normal birim şekil değiştirme prizmatik bir çubuk üzerinde tanımlanacaktır. Birim boydaki uzunluk değişimi: Uzama oranı

L  A

B

 A’ u

e  



x

x

B’

 

P yükü uygulandıktan sonra çubuk boyundaki toplam uzama

 L Çubuk başlangıç boyu

P

u+u

> 0 UZAMA

BİRİMSİZ

< 0 KISALMA

Kayma şekil değiştirmesi, başlangıçta  dik olan iki doğru arasındaki açının şekil değiştirme sonrası  diklikten saptığı değerin tanjantına denir. Açı küçük olduğundan tanjantı yerine radyan cinsinden kendisi yazılabilir.

g  

  2

  

> 0 DİK AÇI KÜÇÜLÜR

BİRİMSİZ

< 0 DİK AÇI BÜYÜR

Elastik bölgede şekil değiştirmeler 0.002 veya 2000

değerlerini pek aşmaz.

Uzunluk ve açıdaki değişimler  uniform ise dikdörtgen içine aldığımız  iki formül  yeterli hassasiyette sonuç  verir. Uniform olmayan bir şekil değiştirme söz konusu ise bir noktadaki n oktadaki birim şekil değiştirmelerin tanımlanması gerekir. 73

Üçgen ABC plağı, ABC’ şeklini alacak biçimde biçimde üniform şekil değiştirme yapmıştır. a) OC ekseni doğrultusundaki normal şekil değiştirmeyi, b) AC kenarı boyunca normal şekil şekil değiştirmeyi, değiştirmeyi, c) AC ve BC kenarları arasındaki arasındaki kayma kayma şekil değişimini, hesaplayınız. hesaplayınız.

Örnek 1

 A

e OC  

0.001 b

b b

O

C

b

  2 tan  AC  B

C’

ˆ

1

 0.001 0.001  1000 1000 

  b    89.943o    1.001 b 

b

Radyan cinsinden

0.001b

B

e  AC 

b 

2

 b  0.001 b2  2  2 b 1

2 b

 502 

Dik açıdaki değişim = 90 -89.943 = 0.057o       995    180 

g   0.057

ACB açısı azaldığı için kayma şekil değişimi pozitiftir.

ÖRNEK 2

ÖRNEK 3

Küresel  bir balonun 200 mm olan çapı, şişirildikten  sonra 201 mm olmuştur . Ortalama çevresel  uzama oranını hesaplayınız.

İçi boş bir silindir iç basınç etkisinde 200 mm olan iç çapı 0.5 mm, 400 mm olan dış çapı  0.3 mm artmıştır . a) Çevresel doğrultudaki en büyük  uzama oranı b) Radyal b) Radyal doğrultudaki ortalama uzama oranını hesaplayınız. İç çevredeki uzama oranı

Çevre=  D, D0  : ilk çap e c



 D     D0    D0  



 D  D0  D0



1 200

 5 103

Dış çevredeki uzama oranı

Radyal doğrultudaki uzama oranı

e ciç



e cdi ş ş 

 200.5   200  200 400.3   400 400  400

e r  

400  400

 

0.5 200 0.3 400 400

 0.0025  0.00075

t  99.9 100 100   0.001 001 t 

100 100

74

Şekilde görülen dikdörtgen levha, yüklemeden sonra bir paralel kenara dönüşmüştür . Levhanın AB ve CD kenarları  0.005 mm uzayıp 0.0012 radyan saat dönüşü yönünde dönerken AD ve BC kenarları  ise 0.002 mm kısalarak 0.0004 radyan saat dönüş yönüne ters yönde dönmüştür . a=40mm, b=20mm olduğuna göre düzlem birim şekil değiştirme bileşenlerini hesaplayınız.

ÖRNEK 4

y

y B

e  x

C

B

D

a=40 mm

     5     0     0  .     0     2

0.0012

x

e  y  mm 39.998 mm

 A

0.0004

ÖRNEK 5

 0.002 002

C

b=20 mm  A



x D

g  xy



40 0.005 005 20

 0.00005

 0.25103

 0.0012  0.0004  0.0016 e  x  6104 e y  4104

Şekilde görülen ince dikdörtgen plak iki eksenli çekme gerilmeleri etkisinde uzama oranlarını yapmaktadır. yapmaktadır. AC köşegenindeki boy değişimini hesaplayınız. 0.061

y B

y C

C

C’

 AC köşegeninin şekil değiştirdikten değiştirdikten sonraki ilk uzunluğu;

B   3. 6  4   2  5   7   3   3 . 7   2  5

152 mm x

 A 203 mm

2

 253.734mm

x

0.122

 AD kenarındaki toplam şekil şekil değiştirme=

 AD  e  x

 0.122 122mm

 AB kenarındaki toplam şekil değiştirme= değiştirme=

 AB  AB  e  y

 0.061 061mm

 AC köşegeninin ilk uzunluğu= uzunluğu=

2

D

 A

D

152.061  203.122

152 152

2

2

203 203

253 253 6

 AC köşegenindeki köşegenindeki boy değişimi;

 AC    0.1343mm 75

Şekil Değişiminin Bileşenleri Üniform şekil değiştirme  yoksa birim şekil değiştirme cismin içinde noktadan noktaya değişir . Daha önce yazdığımız bağıntıların  x  uzunluğundaki  bir AB doğru parçası  ile ilgili olması  gerekir. Eksenel kuvvet altında doğru parçasının uçları  u ve u + u  yer değiştirmelerini  yaparak  A’ ve B’ noktalarına gelir. Yani doğru parçasının boyunda u kadarlık  bir uzama gerçekleşir . Tanım gereği  normal şekil değiştirme e  x

Bir düzlem elemanın doğrusal şekil değiştirmeleri y

yapabilecektir.

u dx  x

u v

v dy  y

dy v

x

 dx  u  u dx  u   dx   u  x      e  x  dx  x

    v  dy  v  dy  v   dy  y v    e  y    dy  y

dx

Bir düzlem elemanın açısal (kayma) şekil değişimi u dy  y

y

u du lim  lim   x 0  x dx

dır . Burada limitin anlamı düşünülürse Δ x , sıfıra  giderken yalnızca A noktasında x doğrultusundaki  uzama oranı ifade edilmektedir. Düzlem veya iki eksenli şekil değiştirme durumunda yükleme öncesi ve sonrası cisim içindeki  her nokta yine aynı düzlem içinde kalırlar . Bu durumda birim kalınlıklı dx  ve dy   boyutlu bir eleman doğrusal ve açısal şekil değiştirme

u

C’

u

B’

B

C

D’

dy

 A’

v

 A

D

v dx  x x

u v dy dx  y x  g  xy  u    v   dy  v   y dy   v  dx  u   x dx   u   u v dy dx u v  y   x   1  e  y  dy 1  e  x  dx y x

dx

Örneğin u’nun y ekseni doğrultusundaki değişimi (hızı) u , u’daki

 y u  u artış ise sonsuz küçük elemanın başlangıçta dy dır. Burada  y  y

76

gösterimi (notasyonu) kullanılmaktadır. Benzer şekilde

 B

 x



v  y

e  x



u  x

g  xy



u v   y  x

u u dx  dy  x y v v dv  dx  dy  x y du 

Bu ifadelerdeki her terim, fiziksel anlamından hareketle yandaki şekil üzerinde işaretlenmiştir.

u dy  y

C 

Rijit ötelenme

u dx  x

 D

dy

u

Bir noktadaki düzlem şekil değiştirme  halini anlatabilmek için  yukarıda tanımlanan üç  birim şekil değiştirme bileşeninin  verilmesi gerekir. Önceki sayfada süperpozisyon kuralı kullanılarak elde edilen bir noktadaki doğrusal ve açısal düzlem şekil değiştirme bileşenlerini tek bir şekil üzerinde tekrar gösterelim. Yer değiştirme fonksiyonlarındaki değişimi aşağıdaki biçimde yazmak mümkündür.

v dx  x

B

 y

 yatay kenar da v açısı yapacak şekilde şekilde yükselir. e  y

C 

v dy  y

u dy  y

u ve v, x ve y’nin fonksiyonu olduklarından kısmi türev

 A

v dx  x

 D

v

 x

dx

Düzlem elemanın doğrusal şekil değiştirmeleri

 dx  u dx   dx  u  x    e  x  x dx

 v   dy   y dy   dy v   e y   dy y

Düzlem elemanın Açısal şekil değiştirmeleri u u v v dy dy dx dx u v  y  y  x g  xy     x    v   dx  u dx  1  e  y  dy 1 e  x  dx y x  d y dy    x   y   77 

UYGUNLUK DENKLEMLERİ Bir noktadaki düzlem şekil değiştirme hali örneğin xy düzlemi için, x ve y eksenleri doğrultusundaki uzama oranları ile xy düzlemindeki kayma açısı yardımıyla açısı yardımıyla tanımlanmaktadır. Bir noktadaki üç boyutlu şekil değiştirme halinin tanımlanmasında x, y ve z eksenleri doğrultusundaki uzama oranları ile xy, yz ve xz düzlemlerindeki kayma açılarının verilmesi yeterlidir. Kenarları dx, dy ve dz olan üç boyutlu bir prizmatik elemanın yapacağı elemanın  yapacağı şekil değiştirmeyi tanımlamakta aşağıdaki altı adet şekil değiştirme bileşenleri kullanılır. Bu şekil değiştirme bileşenleri tıpkı  gerilme haline benzer bir simetrik tansör oluşturur.

e x



u ,  x

g  xy



u v  ,  y x

ey



v , y

g yz



e z  

v w  , z y

w z  g xz  

u w  z x

 e x g xy g xz     e  g  yx e y g yz   g  zx g zy e z    

Eğer  bir noktadaki şekil değiştirme  halini anlatan 6 bağımsız şekil değiştirme bileşeni  biliniyorsa, prizmanın boyutlarındaki ve şeklindeki değişimi tam olarak belirleyebiliriz. 6 adet birim şekil değiştirme bileşeni,  eksenler doğrultusundaki üç  adet  yerdeğiştirme fonksiyonlarına türevlerle bağlıdır. Demek ki bu büyüklükler birbirlerinden bağımsız  olamazlar . ex, ey, ez, gxy, gyz ve gxz’nin sağlaması gereken 6 adet ifadeye UYGUNLUK denklemleri denir. İki  boyutlu problemlerde  yalnızca  1 adet uygunluk denklemi vardır. Uygunluk denklemleri şekil değiştirmenin sürekli ve tek değerli olduğunu ve şekil değiştirme sırasında cismin içinde kütle kaybı (boşluk) olmayacağını ifade ederler. 2 2  2e  x  e  y  g  xy    y 2  x 2  x  y

Düzlem Hali için Uygunluk denklemi

78

ÖRNEK 7

Örnek 6 0.4x0.4 m’lik  kare ABCD plağının yüklemeden plağının  yüklemeden sonraki hali şekil üzerinde kesikli çizgilerle gösterilmiştir. A

köşesinde, düzlem şekil değiştirme bileşenlerinin ortalama değerlerini hesaplayınız.

Şekilde gösterilen  bisiklet fren lastiği  V kesme kuvveti etkisiyle deforme olup AB’C’D  şeklini almıştır. Kayma açısının; a) herhangi bir noktada, b) Yüksekliğin ortasında c) Orijinde aldığı değerleri hesaplayınız.

y

y 0.15 mm

400 mm

h=0.5 mm

B 0.25 mm

C 400 mm 0.1 mm

 A 0.3 mm

e  x



u D  u A

e  x  g  xy



 x



vB

400



0.1  0 400

C’

C 2

D

x

a

 vA  y

0.7  0.3  1000    400 0  0.3

 A

0.7 mm

e  y

  y   x  h   b 

b=200 mm x

D

V

B’

B

e  y

2

g  xy 



 0.25 400

 500 

Negatif işaret açının arttığını gösterir.

u B  u A

 y



 625 

  y  u  h  , v  0   b   2h u v g   xy    2  y  y x b

v D  v A

x

g  xy



b) g  xy



a)

c) g 

2  0.5 2

200

2  0.5 2002 0

 y  0.025 103  y

100  0.0025

79

ÖRNEK 8

ÖRNEK 9

Şekilde görülen ince üçgen plak, uniform şekil değiştirme yaparak A’B’C’ biçimini almıştır. e  x  ve e y  uzama oranları ile AC ve BC kenarları arasındaki kayma açısını hesaplayınız y 1.2mm

 A

1m

1m

1.2mm

B

B’

 A’



C’

Şekilde gösterilen çubukta oluşacak en büyük e  x  uzama oranını; elemanın uzunluğu doğrultusundaki yerdeğiştirme fonksiyonunu



a)

u   x L

b)

u   L 10

2



10

3

3

sin    x   2 L 

olması durumları içi ayrı ayrı hesaplayınız. 1m

1.5mm

x

C

x

L

e  x



1.2 1000

 0.0012  

2    2  tan

1

e  y



1.5 1000

 0.0015

 1001.2     90.15o 998.5     998

   g  xy  90  90.15

  180 180

   0.0027radyan

a)

b)

e  x



e  x 



du dx

du dx

 





2 x  L

 2L

103

 0.002 maks  x  L



3

 L 10

 cos  2L   x



 maks

 10   0.00157  2 3

80

Mühendislikte Kullanılan Malzemeler 

Eksenel yüklü çubuk problemini tekrar ele alalım. Yazılabilecek iki denklemde; Gerilme-Dış yük

  x  

Birim şekil değiştirme - yerdeğiştirme

e  x 

 P   A u

 x

  .  x , e  x , u Olmak üzere üç bilinmeyen vardır. Gerekli olan bir ilave denklem σ -ε ilişkisi malzeme kaynaklıdır. Sonuçta eleman üzerindeki yüklerden üzerindeki yüklerden oluşan yerdeğiştirmeler oluşan yerdeğiştirmeler ve malzemelerin mekanik özellikleri birleştirilebilir.

Bünye Bağıntılarının Deneysel Olarak Belirlenmesi Malzemenin  yük altındaki davranışını tanımlamakta gerilme ve birim şekil değiştirme kavramlarının kullanılacağı daha önce GERİLME konusu anlatılırken söylenmişti. Bu bölümün başında uzama oranı ve kayma açısı adı verilen iki birim şekil değiştirme kavramı açıklandı. Malzemenin  yük altındaki davranışını belirlemek amacıyla eksenel çekme ve kesme deneyi gibi basit deneyler  yapılır. Eksenel çekme  deneyinde genellikle silindirik numuneler kullanılır. Numuneye uygulanan çekme  kuvveti  yavaş  yavaş arttırılarak numunenin boyundaki uzamalar ölçülür. Düşey  eksende uygulanan çekme  kuvveti yatay eksende numune boyundaki uzamayı gösteren  kuvvet-deplasman diyagramından  yalnızca o numune hakkında bilgi alınabilir. Malzeme davranışını betimleyen sabitlerin bulunmasında birim alana gelen kuvvet ile birim boydaki değişimi ifade eden σ -ε diyagramı tercih edilir.

İki ve üç eksenli gerilme halinde, bünye bağıntılarının deneysel olarak belirlenmesi pratik bakımdan mümkün değildir. Hem  yapılması gereken deney sayısı çok fazladır, hem de deneylerin  yapılmasında teknik zorluk söz  konusudur. Bu sebeple tek eksenli çekme  ve kesme deneyi sonuçları çok  eksenli gerilme etkisindeki malzeme davranışını  ifade etmek üzere genelleştirilir. Yük altındaki malzemede oluşan gerilmeleri, birim şekil değiştirmelere bağlayan bünye  yada malzeme bağıntılarına genelleştirilmiş Hooke  yasaları adı verilir. Şimdi mühendislikte kullanılan çeşitli metaller, plastikler, ahşap, seramikler cam ve beton gibi malzemelerin önemli özelliklerini tanımlayacağız. 81

ELASTİK MALZEME Elastisite : Yüklerin kaldırılması ile ilk şekillerine geri dönme özeliğidir. Yüklemenin büyüklüğüne bağlı bir özelliktir. Plastisite : İlk şekle dönüş olmayan malzemelere has bir özelliktir. Süneklik : Kırılmadan önce büyük şekil değiştirme yapabilme özelliği. Örnek: çelik, çeşitli alaşımlar, naylon Gevreklik : Kırılmadan önce çok az deformasyon yapma özelliğidir. Örnek: Dökme demir, beton

SÜNEK 

Yükleme Hızı

Gerilme Şekli

Sıcaklık

GEVREK

KOMPOZİT MALZEME İki  veya daha fazla sayıda  malzemeden oluşan bünyeye  denir (Çelik  lifli cam, polimerler) Matris adı  verilen bağlayıcı içinde  yüksek dayanımlı  malzemenin katılmasından oluşur. Homojen malzemelere göre daha  yüksek dayanım/öz ağırlığa sahiptir. Mukavemet dersinde HOMOJEN İZOTROP malzemeler ele alınacaktır.

İzotrop  malzemenin  yük altındaki davranışı  yönden bağımsızdır. Örneğin  izotrop malzemeden  yapılmış  bir kübe uygulanan  yük, hangi doğrultuda etkirse etkisin aynı şekil değişimi ölçülecektir. Ahşap ise anizotrop bir malzemedir. Kuvvet etkisindeki davranışı yöne davranışı  yöne bağlıdır. Ahşabın büyüme doğrultusunda etkiyen  yükü taşıma özelliği iyi iken enine doğrultuda etkiyen yükleri taşıma özelliği düşüktür. Süneklik önemli bir malzeme özelliği olduğu kadar  yapısal davranış açısından da aranan bir özelliktir. Deprem gibi çok büyük zorlamalar geldiğinde her elemanın taşıyabildiği kadar kuvveti taşıması fazlasını ise komşulara aktarabilmesi (yüklerin yeniden dağılımı) ancak yapı elemanlarının kırılmadan büyük şekil değiştirme yapabilmesi ile diğer bir deyişle sünek davranışla mümkündür. Sünek davranışda büyük  deformasyonlar söz  konusu olduğundan zorlanmayı  haber verme özelliği bulunmaktadır. Gevreklik ise sünekliğin  tersi bir özellik  olarak deformasyon yapma kabiliyetinin olmaması   demektir. Gevrek davranışta malzeme yada  yapı aniden göçerek büyük mal ve can kaybına sebep olur. Gevrek davranışta haber vericilik  yoktur. 82

GERİLME-BİRİM ŞEKİL DEĞİŞTİRME DİYAGRAMI

σ -ε diyagramları  malzeme özelliklerinin  belirlenmesinde kullanılır. Diyagramlar eksenel çekme  deneyi  yapılarak çizilir. Genellikle dairesel kesitli bir numune deney aletine taklılır  ve oda sıcaklığında  yavaş  yavaş arttırılan eksenel çekme kuvveti uygulanır. Numunedeki uzamaları ölçmek için Ekstansometre adı verilen bir alet kullanılır.

  a    P    M   

  e   m    l    i   r   e    G

  a    P    M

Ölçek N Ölçek M

Ölçek M

  

Ölçek M

  e   m    l    i   r   e    G

Solda verilen diyagram,  yapı çeliği için σ -ε diyagramıdır. OABCDE diyagramının  ilk kısmı ölçek değiştirilerek  yeniden çizilmiştir. OABCF gerçek  gerilme-gerçek uzama oranı diyagramı Diyagramlar: Uğural, 1991

Birim Şekil Değiştirme e

Uzama Oranı e

Gerçek  gerilme- gerçek  uzama oranı diyagramı  malzeme konusundaki araştırmalarla  plastik davranışın incelenmesinde kullanılır. DİYAGRAMIN OA KISMI : Elastik bölge, A noktasına kadar σ -ε doğrusal A noktasından sonra malzemede gerilme artmaksızın uzama görülür. Genellikle A ve B akma noktası aynı alınır. Orantı sınırı

  pL

  a

Akma sınırı

83

AE KISMI :Plastik bölge, CD arasında  uzamalar gerilmenin artmasıyla mümkün,  buna pekleşme adı  verilir. C noktasından sonra ulaşılan D noktası σ çekmedayanımı  çekmedayanımı  adı verilir. σ E = Kırılma dayanımı, Kırılmada parçalar çubuk  eksenine 45o açı yapan yüzeyler oluşturur. Klasik diyagramlar, gerçek  gerilme gerçek şekil değiştirme diyagramlarındaki açılmanın  sebebi uzamaların  tek bir kesitte

Boyun verme

birikmesidir. Buna boyun verme denir.

Standart Süneklik Ölçüleri:

Uzama Yüzdesi =

 L0

 Lk ıırılm ıırılm

Alan Azalma Yüzdesi =

 L0

100  %25

 A0   Ak ıırılm ıırılm  A0

(Yapı çeliğinde)

100  %50

(Yapı çeliğinde)

Alüminyum, magnezyum ve bakırda belirgin bir akma noktası görülmez. Akma gerilmesini bulmak üzere 0.002’lik uzama oranına karşı gelen noktadan başlangıç teğetine paralel çizilir. Plastik bölgedeki  numuneden  yük kaldırılırsa başlangıç teğetine  paralel olarak  yük boşaltma eğrisi (doğrusu) görülür. BG//OA, B noktasındaki uzama malzemede kalıcı  olur. Yeniden  yüklendiğinde GB ve orijinal diyagram üzerindeki eğri boyunca ilerlenir. Sünek  malzemelerin eksenel çekme  ve eksenel basınç altındaki davranışları aynıdır. Gevrek malzemelerin çoğunda eksenel basınç dayanımları, çekme dayanımlarından fazladır. Malzeme özellikleri direkt kesme ve burulma deneyleriyle de bulunabilir. Bu deneylerde τ-γ diyagramları çizilir. Akma gerilmesi ve dayanım sınırı çekme deneylerinde bulunanın yarısı bulunanın yarısı mertebesinde elde edilir. 84

HOOKE YASASI VE POISSON ORANI

Yapı malzemelerinin çoğunda σ -ε diyagramları doğrusal elastik bir bölge ile başlar.    E  e 

İfadesi HOOKE yasası olarak bilinir.

E : Elastisite modülü (Young Mudülü) Birimi gerilme birimi ile aynı [Pa, MPa] Başlangıç teğetinin eğimidir. Çelik için 200-210 GPa dır. ε : boyutsuz büyüklük

Orantı limiti üstündeki noktalardaki diyagram eğimine teğet modülü Et adı verilir.  

Eğim = E t

   Yine orantı limiti üstünde       E  oranına Sekant modülü adı verilir. Bu  e   üç değer malzemenin çekme ve basınçtaki rijitliğinin ölçüsü olarak kullanılır. Elastisite özelliği kesme kuvveti taşıyan bir eleman üzerinde benzer şekilde ölçülebilir.  – g diyagramının doğrusal elastik olduğu kısımdan  s

 0

   pL

Eğim = E s

Eğim = E

e 

   G  g 

Kayma gerilmesi  – Kayma şekil

değiştirme için “Hooke “Hooke Yasası” Yasası ” denir.

Kayma Modülü [Pa, MPa] Çekme gerilmeleri uygulandığında elemanın boyu uzarken elemanın en kesit alanı azalır (enine doğrultuda büzülme olur). Elastik bölgede; Enine Uzama Oranı n : Poisson Oranı : 0.3 Çelik için  = Boyuna (eksenel) Uzama Oranı 0.5 kauçuk genellikle 0.25-0.35 0.1 beton arasında değişir. 85

Örnek 10

ÖRNEK 11

Şekilde görülen çelik dikdörgen blok iki ucundan uygulanan çekme kuvveti etkisindedir. P = 46706 N’luk çekme kuvveti uygulandığında x = 0.07112 mm artış, z = 0.005334 mm azalma ölçülmüştür. E ve n’yü hesaplayınız.

Şekilde görülen elemanın üzerine yüklemden önce 10x10

mm2 lik ABCD karesi çizilmiştir. Yüklemeden sonra kare,

eşkenar dörtgen şeklini aldığına göre Elastisite modülü ile Poisson oranını hesaplayınız. B

y

85 MPa

C

 A

14.15mm

85 MPa

D

12.7 mm P

14.11mm

P x

z

25.4 mm

101.6 mm

Yüklenmeden önce köşegen uzunluğu;  AC   AC    BD  BD  10

2

  x

  x



46706 25.4 12.7

 e  x 

144.79 MPa  MPa  144

   E  e 

144. 144.79 79

 L E   E  206841MPa MPa e  z  

n   

 z  25.4 e  z 







0.07 0.0711 112 2 101.6

25.4

 2.1104 7 10

4



14.14 14.15 14.14

 2.1104 e boyuna 

 0.3

 85  40.6 * 103  MPa  MPa e  14.11 14.14

 

 7 104 e enine 

 0.005334

 E  

 102  14.14mm

14.14

 0.000707

14.1114.14 14.14

n   

e enine e boyuna



 -0.00212 86

1 3

HACİM DEĞİŞİMİ :

dx.dy.dz hacimli bir küp eleman üzerine yalnızca x gerilmesi uygulayalım.

y

e  y

 e  z   ne  x  n 

dx dz

Kübün son hacmi

eydy

x

x

Birim Hacim Değişimi V   V 0

e

V 0

  x  E 





V 

exdx

e



 e  x  e  y  e  z   

1 2n  

Sıkıştırılamaz cisimlerde

1  2n   E 



V   1  e  x dx  1  e  y dy  1  e  z  dz 

V   V 0  V 

ezdz z

 E 

     V   1  e  x  e  y  e  z   2ve3. mertebe terimler  dx  dy  dz         ihmal edilir   

x

dy

  x

  x  E 

n 

  x  E 

n 

e

 x  E 

Çekme Gerilmesi Hacmi Arttırır.

  x

e  0  1  2n   0  n  

V 0

Basma Gerilmesi Hacmi Azaltır. 1 2

Lineer elastik bölgede n < 0.5 Plastik bölgede n = 0.5 (hacim sabit kalır)

87

ÖRNEK 12

Çapı 52 mm, boyu 102 mm olan bir çubuğun eksenel çekme kuvveti altında hacminin 125 mm3 arttığı gözlenmiştir. Eksenel kuvveti (P) hesaplayınız E=70 GPa, Poisson Oranı=0.3 y

P

x

z

P

52 mm

102 mm

e

eV0

V   V 0 V 0



125 

  x  E

 e  x  e  y  e  z   

1 2n V0 

  x  E 

n 

1  2n  E 

  x  E 

  xV0

n 

 x  E 

 

(1  2  0.3) .3)   P  70000

  A  A102  

 P  214461 N 

88

GENELLEŞTİRİLMİŞ HOOKE YASALARI Tek eksenli, - e bağıntısı  iki ve üç  eksenli gerilme hali için genişletilebilir . Deney sırasında,  normal gerilmelerin kayma birim şekil değiştirmesi oluşturmadığı  veya kayma gerilmelerinin de normal birim şekil değiştirmesine  yol açmadığını görmekteyiz. Malzemenin lineer elastik, şekil değiştirmelerin küçük oldukların kabul edildiğinden süperpozisyon ilkesinden faydalanarak iki ve üç eksenli gerilme durumu için Hooke yasaları formüle edilebilir. y

  x

n  x

y

 E 

  y

  xy

 E 

x

Tam kayma etkisindeki eleman

İki eksenli gerilme etkisindeki eleman y

x

e  x

Birim kalınlıklı elemanın iki eksenli gerilme etkisinde olduğunu düşünelim. x gerilmesinden x ekseni doğrultusunda x/E kadar uzama oluşur. y gerilmesi ise x ekseni doğrultusunda ny/E kadar kısalmaya neden olur. x ve y gerilmelerinin etkisi altında x ve y doğrultusundaki uzama oranlarını; e  x



  x  E 

n 

  y  E 

e  y



  y  E 

n 

  x

g  xy 

 E 

  xy G

  xy

Tam kayma düşünüldüğünde ise elastik gerilme – şekil değiştirme bağıntısı g  xy  olmakta idi .  xy gerilmesi yalnızca G kayma birim şekil değiştirmesi oluşturmaktadır. Yukarıdaki Yukarıdaki ifadeleri gerilmeler cinsinden yazarsak;  E e  x n  y  E e  y

   x

   y  n  x

 E e  y

   y  n  E e  x n  y

 E e  y n E e  x   y 1 n 2 

  x



 E  1 n 

2

e  ne    x

bulunur. bulunur. Bu ifadelere iki boyutlu gerilme halinin HOOKE YASALARI denir. ASALARI denir.

 y

  y



 E  1 n 

2

ne

x

 e y  

  xy

g  xy

 Gg xy

89

Benzer şekilde üç boyutlu gerilme halinin Genelleştirilmiş Hooke Yasalarını şöyle yazabiliriz.



 1

e  y 

1

e  x

 E 

 E 

  n  

   z    y

 x

 

 y

g  xy

n   x    z  



g  yz  

  xy G

  yz 

 y

G  yz 

e  z  

 1  E 

  n        z 

 x

g  xz  

 y

  xz 

 yx 

O

 zy

 xy

 z 

G

 xz 

 x 

dy

 zx 

Bu ifadeleri gerilmeler cinsinden yazarsak;  x 

  x



 E n 

1 n 1  2n 

e   e   x

 y

 e  z    2Ge x

  xy

 Gg  xy

 zx   z 

 xz   zy

O  xy

  y



 E n 

1 n  1  2n 

e   e   x

 y

 e  z    2Ge y

 yz 

 yx 

  yz   Gg  yz 

dz

dx  y

  z  

 E n 

1 n 1  2n 

e   e   e    2Ge   x

 y

 z 

z 

  xz 

 Gg  xz 

Daha önce doğrusal ve açısal şekil değiştirmeleri incelediğimiz elemanın diyagonalindeki boy değişimi normal birim şekil  ve n  ile ilgili olması değiştirme x ve e y  ile kayma birim şekil değişimi g  x y’den oluşacağını görerek kayma modülü G ’nin ’nin E  ve gerektiği sonucuna varırız. Bu durum ileri bölümlerde tekrar ele alınacaktır. G

 E  21 n 

Sonuç olarak izotrop malzemelerin iki bağımsız elastik sabitinin olacağını bu sabitlerin de eksenel  ve ν  şeklinde bulunduğunu, Kayma modülü G ’nin  ve ν  cinsinden  cinsinden ifade çekme deneyi ile E  ve ’nin E  ve 90 edilebileceğini söyleyebiliriz.

ÖRNEK 13

x

ÖRNEK 12

Şekilde görülen dökme demirden yapılmış

Şekilde görülen bloğa  P = 17800 N’luk  eksenel kuvvet etkimektedir. Bloğun  y ve z eksenleri doğrultusunda şekil değişimi engellendiğinde eksenel doğrultudaki uzama oranı ne olur?

120 mm

silindir, eksenel

doğrultuda 40 MPa, radyal doğrultuda 10 MPa’lık basma gerilmeleri

(E = 69 GPa, n   13 ) y

z

200 mm

etkisindedir. E = 100 GPa, n = 0.25 alarak silindirin

boyu ve çapındaki değişimleri ve hacimdeki değişimi hesaplayınız.

 m  m   9  1

P=17800N

y

101.6 mm z

  x

 MPa  40 MPa 1

e  x



e  y

 e z  

10010

3

  y

  x 

MPa    z   10MPa

10010

3

e  y 

10  0.2510  40  0.025103

 L  0.35103  200 200  0.07mm

e  e  x  e  y  e z   0.3510 3

2 3

3

 2  0.02510  0.3010

V   e V 0  0.3010    60  200  679mm 2

3

19  9.53

 98.3 MPa  MPa

1     y  E   

  y    z  

 d   0.025 025 10 3 120 120  0.003 003mm

3

17800

1    98.3   z    0 3   1   1   e  z     z   98.3   y   0  E   3  

 40  0.2510 10  0.35103 1

x P=17800N

9.53 mm

Hacim azalması

3

 

e  x

 y



   z   

1 3

 

 y

  z   196 196.6  0

196 196.6 3

MPa    y    z    98.3MPa

1   98.3    y   z    69000  3  1  1  1

98 3

98 3

6

950 950 10

91

Örnek 14

Bir noktadaki şekil değiştirme bileşenleri e x = 900, e y = -100 ve g xy = 600 olarak biliniyor. Bu şekil değiştirme durumunu oluşturacak düzlem gerilme halini belirleyiniz. E=200 GPa Poisson oranı=0.3  x



  y



 xy

 E 

200000 10   191.2 e ne   1  0.3 (900  0.3  ( 100)) 10

 MPa

200000 9 00) 10 10  37.4 e ne   1  0.3 (100  0.3  90

 MPa

6

1 n 

2

 E 

x

y

2

6

1 n 

2

y

 Gg xy 

x

 E  2(1   )

2

g xy



200000 2(1  0.3)

600 106

 46.15 MPa

Şekilde görülen blok bütün yüzeylerinden etkiyen p = 150 MPa’lık üniform basınç etkisindedir. E = 200 GPa, n = 0.3 alarak hacimdeki ve her bir kenarındaki boy değişimini hesaplayınız.

ÖRNEK 15

y

  x

   y    z    p

e  x



e  y



1  E 

P 40 mm P

1  E 

  p n  2 p 

  p n  2 p 

1  2n   E  1  2n 

x

e  z  

30 mm P z

e  

e  x

100 mm

1  2  0.3 20010

3

150  0.3103

V  V 0

1  E 

  p n  2 p  

 e  y  e  z   e  

 E 

  p

1  2n 

1  2n   E 

  p

 E 

  p

  p 

  V  3 0.3103100  40  30  108mm3  e x  e y  e z   3e 

92

ÖRNEK 16

Uzunluğu L, kalınlığı t ve genişliği b olan levha iki rijit duvarın arasına şekilde gösterildiği gibi  yerleştirilmiştir. P eksenel basınç kuvveti taşıyan levhadaki gerilme ve birim şekil değiştirme bileşenlerini belirleyiniz.

ÖRNEK 17

20X20 mm. Lik kare plağın Şekilde gösterilen düzlem gerilme hali etkisinde AC köşegeninin eğimindeki değişimi hesaplayınız. E=70 GPa, Poisson Oranı=0.3 y

y=80 MPa

y

C

D

MPa



y

B

e  y 

t

x

20 mm

  z   0

e  y

 1

 

n  y   19.43104

e  x

 

n  x   4.57 10 4

e  z   

 x

 y

b

L

 A

 E  1

z

P

x=160

x

1

P

x

20 mm

e  x 

y

 E   AB  AB  (1  e  x )  20  20.03886

 BC   (1  e  y )  20  20.00914



 0   x  

  n  

e  y

n 

n 

 E 

 x

 E 

 y

         x

1 n 

 y

2

e  x



 E 



 P  b  t 

 P  b  t 

0

1 n 

 e z  

g  xy

 g  yz   g xz   0

 

n  x     y n x

  x



1  E 

e x

 y

 P  b  t 

   y  n 

1 n 

2

e  x



 E 

  x

 P  b  t 

n 1 n   P   E 



b  t 

1

.00914    tan ( 20 )  44.957 20.03886

 Aç  Açı deg deg  44.957  45  0.043  Egim  Egim deg deg  tan 44.957  tan 45 

 0 0015 radyan

  x e  x



E  1 n 

2

Efektif elastisite modülü



e  z  e  x



n  1 n 

Efektif poisson oranı

93

ŞEKİL DEĞİŞTİRME ENERJİSİ Dış yüklerin cismin şekil değişimi sırasında yaptıkları iş şekil değiştirme enerjisi olarak cismin içinde depolanır. depolanır. Enerji kaybının olmadığı, tam elastik cisimlerde yükün kaldırılması ile (şekil değişimini yok ederek) geri alınabilir. Bu bölümde verilecek şekil değiştirme enerjisi kavramı statik ve dinamik yüklerle ilgili çeşitli problemlerin çözümünde kullanılacaktır. Şekil değiştirme enerjisnin en büyük faydası elemandaki kırılmanın belirlenmesi ile darbeli yüklemenin malzeme üzerindeki etkisinin incelenmesinde ortaya çıkmaktadır. çıkmaktadır. Tek eksenli gerilme halinde şekil değiştirme enerjisini belirlemek üzere yavaş yavaş artan x gerilmesine maruz bir eleman düşünelim. Elemanın x yüzlerinde xdydz kuvveti etkir. x ekseni doğrultusunda exdx kadar bir uzama oluşur. Lineer elastik malzemeler için Hooke yasası y   x  E  e  x

x

  x

dz

  x

Orantı sınırı

U*0 x

Non-Lineer Elastik

dy

u0 dx

z

ex

Şekil değiştirme sırasında elemanın yüzlerine etkiyen ortalama kuvvet değiştirme enerjisi dU,

1

  

2

 x

Lineer Elastik

 dy  dz  e  x  dx olur. dU  

1 2

  x

 dy  dz olur. Bu kuvvetin yaptığı iş, yani ş ekil

1

1   x  e  x  dy  dz  dx    xe  x dV  2 2

SI birim sisteminde iş ve enerji birimi Joule (J)’dür. (J)’dür. (N.m) Birim hacimdeki şekil değiştirme enerjisi alır ve U0 ile gösterilir. U 0

1

  x2

2

2 E 

   x  e  x 



 E e  x2 2

dU  dV 

enerji yoğunluğu adını

Bu alan şekilde mavi olarak gösterilmiştir.  –e diyagramının üzerindeki alana 94

Şimdi xy kayma gerilmesi taşıyan bir eleman düşünelim. Üst yüze etkiyen xydxdz kuvveti gxydy yerdeğiştirmesini oluştursun. Gerilmeler sıfırdan başlayıp yavaş yavaş artarak son değerine ulaştığından ortalama kuvvet 1 2

  xy  dx  dz 

Olur. Tam kayma halinde enerji yoğunluğu; dU  dV 

 U 0 

1   xy  dx  dz  g   xy  dy 2

dx  dy  dz 



1 2

2

  xy  g   xy



  xy

2G



Bulunan bu ifadenin  – g diyagramının altındaki alana eşit olduğu söylenebilir. söylenebilir.

2 Gg   xy

2

2

U  

 xy

 2G dV 

Kayma gerilmesinden oluşan şekil değiştirme  enerjisi  yukarıdaki  ifadenin hacim üzerinden  entegrali alınarak  elde edilir. Bu ifade burulma etkisindeki millerle, kesme kuvveti etkisindeki kiriş problemlerinde kullanılabilir. En genel gerilme durumunda şekil değiştirme enerjisi aşağıdaki biçimlerde yazılabilir .

U 0

Asal eksen takımı kullanıldığında

U o



U o



1 2 E 

1 2 E 



1 2

  e 

 x  x

   ye  y    z e  z     xyg  xy    xz g  xz     yz g  yz 

 

   y2    z 2  2n   x  y    x  z     y  z   

 

  22   32  2n  1 2   2 3   1 3 

2  x

2 1

1 2G

 

2  xy

   xz 2    yz 2 

95

SI birim sisteminde enerji yoğunluğu birimi J/m3 dür veya (pascal). Şekil değiştirme enerjisi ifadesinde sx’in karesi geldiğinden bu her zaman pozitif bir büyüklüktür.  

Kırılma Göçme

a Tokluk Modülü

Rezilyans Modülü

e –ε diyagramında  akma noktasının altında kalan alan veya akma gerilmesine ulaşan  bir malzemedeki şekil değiştirme  enerjisi  yoğunluğu Rezilyans Modülü adını alır. Rezilyans modülü  malzemenin kalıcı şekil değişimi  yapmadan  yutabileceği  enerjinin ölçüsünü verir. Örneğin yumuşak Örneğin yumuşak çelik;  2 2 E 

220 220 10  

e

–ε  diyagramının altındaki bütün alan Tokluk Modülü adını alır ve malzemenin kırılmaksızın  yutabileceği enerji miktarını gösterir.

6 2

2  200 200 10

9

121  121

kJ 

3

m

Tek eksenli normal gerilme durumunda şekil değiştirme  enerjisi , enerji  yoğunluğu  ifadesinin hacim üzerinde entegre edilmesi yolu ile;

U  

 x2

 2 E  dV 

Bulunur. Bulunan bu ifade eksenel yükleme ve ve kirişlerin eğilmesi eğilmesi problemlerinde kullanılabilir.

96

ÖZEL DURUM:

İki ucundan N eksenel kuvveti etki eden prizmatik çubuğa  depolanan şekil değiştirme  enerjisinin hesabı y

dv=A.dx

N

N

x dx

ÖRNEK 19

Şekilde gösterilen konik çubuk P kuvveti etkisi altında dengededir. Çubukta depolanan şde ni hesaplayınız.

L

P x

r 

U



2  x

 

2 E

dV



N

2

r 

2

2

2EA

Adx

 U  

 Amin

2EA

ÖRNEK 18

u

10 mm çaplı 3 metre uzunluğundaki çubukta depolanan şekil değiştirme  enerjisi 70 J dür. P kuvvetinin değerini hesaplayınız. E=200 GPa

 A

x

P

U  

2 EA

du 

4 L

dx dx 2

U



  x2 2 E

2

2

dV



 P

2 2

2EA x

A x dx 

P

2

2E

dx

A

x

2



P L 8 EAmin

P  *3

2 * 200 10 109 * 7.854 10 105  P  27075 N 

du

u

2

2

70 

 L

x 1

4  4   A x   r   r  x  1  Amin  x  1   L  L 

U   2

4

P

L

2 x

L

 P L

5r 

N L

 P L 10 EAmin

97

2

ÖRNEK 20

Şekilde gösterilen iki çubuklu kafes sistemde sistemde B düğümündeki düşey yer değiştirmeyi iş-enerji yöntemiyle hesaplayınız. E=70 GPa

İŞ-ENERJİ YÖNTEMİ İLE DEPLASMAN HESABI

C

Eğer bir kafes kirişe sadece bir tek kuvvet etki ediyorsa kuvvetin etki ettiği noktadaki yer değiştirmeyi iş-Enerji yöntemi ile hesaplayabiliriz. Dış kuvvetin yaptığı iş (W), kafes sistemde depolanan toplam şekil değiştirme enerjisine (U) eşit olmalıdır. Dış Kuvvet sıfırdan başlayıp yavaş  yavaş artarak son değerine ulaştığı için yapılan işi ortalama kuvvet x yer değiştirme olarak yazmak mümkündür.

 A  =   0  .  L  =   0   00      2   2  .  5    5    m  2   m  

   m    2

 A

2

 A=0.004 m

B L=1.5 m P =40

kN

FCB=50 kN

W

U

1 2

P d ışış  

n

2

 Ni Li

 2 EA i 1

 F   0   y

 F   0 

i

 x

 F  BC   50 kN   F  AB

 30 kN 

F AB=30 kN

B 40 kN

2 1.5 50000  2. 2.5 U   24.732 J  9 9 2  0.004  70 10 10 2  0.002  70 10 10 2

30000

1

W



  B

3 1.24 10  1.24

2

P  B

 24.732 m

1 2

40000  B

 24.732 98

Tekrarlı Yükleme Ve Yorulma

Yapı elemanlarının göçme  gerilmesinden oldukça küçük gerilme düzeylerine  binlerce defa  yüklenmesi  halinde kırılmasına yorulma adı verilir. Yorulma çatlağının genellikle gerilmenin  yoğunlaştığı bölgelerdeki iç  yapı  kusurlarından/çatlaklarından başladığı,  yüzey  kalitesi, kimyasal  yapı ve iç yapı iç yapı kusurlarıyla ilgili olduğu söylenebilir. Yorulma ömrü  veya dayanıklılık genellikle kırılma oluşturan gerilme tekrar sayısı  ile ölçülür. Deneysel olarak malzeme iki gerilme sınırı arasında sürekli değişen gerilme durumuna kırılıncaya  kadar devam edilir. Yorulma deneyi sonuçları aşağıdaki  gibi  yarı  logaritmik bir diyagram üzerinde işaretlenir.

  a    P    M  ,        e   m    l    i   r   e    G

Çelik Sürekli Dayanım Sınırı

Alüminyum

Yorulma Ömrü N, Devir Sayısı. Uğural, 1991 99

ÖRNEK 22 Şekilde görülen dikdörtgenler prizması şeklindeki  beton blok P x  = 100 kN, P y   = 150 kN ve P z   = 50 kN’ luk kuvvetlerin etkisi altındadır. a) Bloğun boyutlarındaki değişmeleri b) Bloğun  yalnızca y  yüzünden  etkiyip önceki  yüklemenin  sebep olduğu  yer değiştirmeyi  (y ekseni doğrultusunda) oluşturacak  P kuvvetini hesaplayınız. (E = 24 GPa, n  0.2 )

Py

3

  x

a) 100 mm Px    m    m     0     5

200 mm

  y



e  x



e  y



b)

 0.4375 103 

  y  E 

  y

200 200  50

24000 1 24000

e  z  

e y

150 150 10

1

Py

200   0  0.1375mm   x  e  x 20



100 100  50

 20 MPa  MPa

3

Px

Pz

100 100 10

1 24000

3

 15 MPa  MPa

  z   

100 100  200 200

 2.5MPa MPa

 20  0.2 15  2.5  0.6875 10

3

 15  0.2 20  2.5  0.4375 10

3

 2.5  0.215  20  0.1875 103

10 0  0.04375mm  e  y100

  y  10.5MPa MPa

5010

   0.009375mm   z   e  z 50

 P y   y A  10.5*2 5*20 00* 0*5 50  105000N  105kN 

100

Uçları kapalı  olan ve p iç basıncı etkisinde bulunan bir silindirin  yarıçapındaki ve L boyundaki değişmenin

ÖRNEK 23

2

r  

 pr 

2 Et   Et 

2 n  

 c r  2 E 

2 n ,

 L 

 prL 2 Et 

1  2n  

 a L  E 

1  2n 

Formülleriyle hesaplanabileceğini gösteriniz. r yarıçap; t et kalınlığını göstermektedir. e c 

 pr  t 

r 

 pr   Et   Et 

n 

 pr  2 Et   Et 

 pr 

çevre  2  r '2  r   e c 2  r 

2t 

2  r   e c 2  r  2

r   r e c 

L

e L

 pr 2 Et

2 Et 

n 

2 n  

pr  Et 

 c r  2 E 

2 n 

 L  e  L L 

 prL 2 Et   Et 

1  2n  

 a L  E 

1  2n 

50.8 mm çaplı pirinç çubuk (E = 103 GPa, n  0.30), bronz bir borunun içine geçirilmiştir. Pirinç çubuğa  178 kN’luk  eksenel basınç  kuvveti uygulandığında çubuk  yüzeyi gerilmesiz olarak bronz boruyla temas etmektedir. Bronz borunun iç çapını hesaplayınız.

ÖRNEK 24

  pirinç



 pr 



178000 2

 

50.8

 MPa  87.82 MPa

e enine  0.3

87.82 103000

6  255 255.8 10

4

iç d bronz   50.8  e enine  50.8  50.813mm

101

ÖRNEK 25

50 mm çaplı 1200 mm. boyundaki alüminyum çubuk P =  200 kN’luk eksenel kuvvet etkisindedir. (E = 70 GPa, n  0.30 ) Yük etkisi altında çapının alabileceği en küçük değer ve hacminin ulaşacağı en küçük değer ne olur?

Çapın minimum olması için uygulanması gereken eksenel kuvvet çekme kuvveti olmalıdır. Buna göre;   

200000 2

 25

 101 101.86 MPa  MPa  

e boyuna 

101 101.86 70000

 0.001455

e enine  n    e boyuna  0.3  0.001455  0.4365 10

d min

3

 50  0.4365 103  50  49.978 978mm

Hacmin en küçük değeri olması için uygulanması  gereken eksenel kuvvet basma  kuvveti olmalıdır. Buna göre;    101.86 MP  MPa  

e  e  x

e boyuna  0.001455

e enine  0.4365 103

 e  y  e  z    e boyuna  2e enine  582106

6 2 3 V   582 582 10    25 1200  1370.73mm

V min

3    252 1200   1370.73  2353629mm

102

GERİLME VE BİRİM ŞEKİL DEĞİŞTİRME ANALİZİ Daha önceki bölümlerde  ele aldığımız  gerilme ve birim şekil değiştirmeleri tanımlamakta  eleman eksenine dik doğrultuda alınan kesitleri kullandık. Bu bölümde ise eğik bir düzlem üzerinde bulunan bir noktadaki gerilme ve birim şekil değiştirme hali incelenecektir. Gerilme ve birim şekil değiştirme bileşenleri  her zaman yük etkisindeki elemanda göz önüne alınan noktanın konumuna bağlıdır . Dolayısı  ile gerilmenin noktadan noktaya değişimi de ele alınacaktır . Bu bölümde düzlem  gerilme ve düzlem şekil değiştirme durumları üzerinde durulacaktır . Burada çıkarılacak formüller   ile tanıtılacak  grafik teknik çeşitli yüklere  maruz elemanın  bir noktasındaki gerilme ve birim şekil değiştirme dönüşümünün analizinde büyük kolaylık sağlar . Özellikle  grafik tekniğin  bir noktadaki gerilme değişiminin anlaşılması bakımından ayrı  bir önemi vardır . İlerideki bölümlerde lineer elastik malzemelerde E, G ve arasındaki bağıntının bulunmasında dönüşüm yasaları kullanılmıştır .

DÜZLEM GERİLME y

P3

 y 

P2

 xy   xy   X 

 X 

P4

P1

x  y 

z

P1

P5

Gerilmeler koordinat eksenlerinin herhangi birinden bağımsız  ise (burada z ekseni) iki boyutlu gerilme hali söz  konusu olur. Örneğin; eksenel yüklü  bir çubuğun eğik  bir kesitinde oluşan  gerilmeler, burulma etkisindeki bir mil, eksenine dik doğrultuda yüklenmiş bir kiriş. Bu gerilme hali bir’den fazla yük etkisindeki elemanın  herhangi bir noktasından geçen bütün düzlemlerde de oluşur . TANIMLAR: İki boyutlu problemler düzlem  gerilme ve düzlem şekil değiştirme  olmak üzere  iki sınıfa ayrılabilir . Bu durum, kalınlığı  boyunca düzgün yayılı yükler   etkisindeki ince levhalarda karşımıza çıkar . Levha ince olduğundan  iki boyutlu gerilme bileşenlerinin kalınlık  boyunca değişmediği, ve diğer   gerilme bileşenlerinin de sıfır  olduğu  kabul edilebilir.

103

Düzlem gerilme haline bir diğer örnek, yapı ve makine elemanlarının serbest yüzeyleri verilebilir. verilebilir. Düzlem gerilme halinde,   z     xz     yz   0 ;

  x ,  y , xy  0

olur. Bu gerilmelerin genelleştirilmiş Hooke yasalarında yazılmasıyla, e  x



 1  E 

  n     x

 y

e  y



 1  E 

 

n   x   y 

e  z   

n   E 

       x

g  xy

 y

bulunur. bulunur. ilk iki denklemden   x    y çözülüp e  z  de yerine yazılırsa,

e  z   



  xy

n  1 n 

G

, g  xz   g yz   0

e   e    x

 y

Bu ifade düzlem dışı asal birim şekil değişimi e  z ’nin düzlem içi e x ve e y birim şekil değişimi cinsinden ifadesidir. ifadesidir. Düzlem şekil değiştirme halinde   xz  ve  yz  benzer şekilde sıfır alınabilir  sıfır alınabilir . Ancak  z sıfır değildir  sıfır değildir  ve  ve değeri   x ve  y cinsinden hesaplanabilir. hesaplana bilir.   x,   y ve  xy sıfırdan farklı değerler  alabilir.   alabilir.  Amacımız cismin içindeki bir noktadan alınan sonsuz küçük eleman üzerindeki   x,  y ve   xy gerilme bileşenlerinin dönüşüm denklemlerini çıkartmaktır . Aşağıdaki şekilde bir gerilme elemanı gösterilmiştir . Şimdi elemanın x ekseni ile  açısı yapacak y

şekilde dönmesi durumunda x’ ve y’ dönmüş eksen takımındaki -ya da diğer bir ifade ile x’ düzlemindekidüzlemindeki- gerilme bileşenlerini bulmak istiyoruz. z doğrultusundaki gerilme

y

y

  y  '

   y  ’

  ’

    x  ’  y

xy

y'

   x  ’

  x  '

x'

x

x  O

x



   x  ’

 O

x    y  ’

sıfır olmasa bile şu anda ilgi alanımız dışındadır. dışındadır. Gerilme elemanın üç boyutlu görünüşü unutulmadan problemi basitleştirmek üzere elemanın düzlemsel gösterilişini vermek adettendir. adettendir. Şekilden de fark edilebileceği gibi elemanın paralel yüzlerindeki gerilme bileşenlerinin şiddetleri değişmemektedir. değişmemektedir. 104

y

y

EĞİK DÜZLEMLERDEKİ GERİLMELER

xy

y'

Şimdi, gösterilen  birim kalınlıklı  (sayfa düzlemine dik doğrultudaki kalınlık) elemanın şekildeki  x,y eksen takımını,  x referans ekseninden başlayıp saat dönüşüne  ters yönde  açısı  kadar döndürerek xı ve yı dönmüş  eksen takımını oluşturalım.  Amacımız x’ eğik düzlemindeki x’ ve x’y’  gerilmelerini bulmaktır . xı ekseninin doğrultusunu gösteren  açısı, saat dönüş yönüne ters olduğundan pozitiftir. x ı eksenine dik olan AB kenarına  etkiyen gerilmeler, yandaki kama üzerinde pozitif yönde gösterilmiştir . AB kenarının bulunduğu yüzeyin alanı  A ise 0A ve 0B kenarlarının bulunduğu yüzeylerin alanları sırasıyla, A 0A=Acos ve A 0B=Asin olur. xı ve yı doğrultularındaki kuvvetlerin dengesinden,

x'

x

x  O

y

y x

y'

 A

  A

      ’    ’  y   x   

  A x'

      ’    x



 ACos x ACos



 ACos xy ACos O

x

B

 ASin xy ASin  ASin y ASin

 F x  0 :

 xA   xA cos cos  xyAcos sin  yAsin sin  xyAsin cos   0

 F y  0 :

 xyA   xA cos sin    xyA cos  cos    y Asin  cos    xyAsin  sin    0

Denklemleri basitleştirip yeniden düzenlersek,

  x

   x cos cos 2     y sin 2   2  xy sin  cos cos  

  x y

   xy cos cos 2   sin 2     x    y sin  cos cos  

  y gerilmesi   x teriminde  yerine +/2 yazılarak  hesaplanabilir.

  y

2    x sin 2     y cos cos   2  xy sin  cos cos  

105

2 2 sin sin  cos    sin sin 2  2 sin2    1  cos 2  2 cos    1 cos 2  Yukarıda çıkarılan denklemlerde trigonometrik bağıntılarını kullanarak 2  cinsinden yazabiliriz. Bu durumda gerilme dönüşüm denklemleri,

  x

1

1

2

2

   x    y    x    y cos 2    xy sin 2  1

  x y

    x    y sin 2    xy cos 2 

  y '

   x    y    x    y cos 2    xy sin 2 

2

1

1

2

2

biçiminde yazılabilir . En son elde edilen bağıntılar  bir   bir noktadaki gerilme halinin yani dik iki düzlemdeki üç gerilme bileşeninin bilindiği  durumda,  açısı  ile tanımlanan bütün mümkün AB yüzeylerindeki  gerilmelerin hesaplanmasında kullanılabilir . Gerilme, birim şekil değiştirme  ve atalet momenti gibi büyüklükler   ikinci mertebeden tansörler   olup yukarıdaki bağıntılarla dönüştürülürler . Daha sonra göreceğimiz  MOHR dairesi, tansörel büyüklüklerin dönüşümünde kullanılan  grafik bir gösterim tarzıdır . Son elde edilen ilk iki bağıntı  taraf tarafa toplanırsa;

  x

  y   x   y    Sabit 

ifadesi bulunur. Dolayısıyla  iki dik düzlemdeki  normal gerilmelerin toplamı  açısından bağımsız  olup değişmezmiş. Bu durum üç  eksenli gerilme halinde de geçerlidir .  Aşağıdaki  problemde  açısına bağlı  olarak gerilmelerin değişimi incelenecektir.

106

Örnek 1 Şekilde bir makine parçası üzerindeki bir noktadaki gerilme hali gösterilmiştir. gösterilmiştir. a -a ve b-b doğrultularına paralel düzlemlerdeki normal ve kayma gerilmelerini hesaplayıp yönlenmiş bir eleman üzerinde gösteriniz.

y

xı doğrultusu eğik düzleme dik olarak seçilmektedir. seçilmektedir. Burada, ı ı x, y takımındaki gerilme halini x  , y takımına dönüştürmek

5 MPa

istiyoruz. Gerilmeler ve dönüşleri kendi işaretleri ile

b

a

60o

10 MPa

kullanmaya dikkat edilmelidir.

10 MPa

45o x

b

   45o   x

a)

6 MPa

1

  x



  x y



  y



2

5 MPa a

b)    30  90  120o   x

  x   x y   y



1 2

 

1 2

 MPa  10 MPa

  y

1 2

 MPa  5 MPa

 MPa   y  5 MPa  MPa   xy  6 MPa  MPa  10 MP

10   5  1 10   5cos 90   6sin 90  3.5 MPa 2

1 2

10   5sin 90   6cos 90  7.5 MPa

10   5  1 10   5cos 90   6sin 90  8.5 MPa 2

  xy

 MPa  6 MPa

10   5  1 10   5cos 240   6sin 240  3.95 MPa 1 2

2

10   5sin 240   6cos 240  9.5 MPa MPa

10   5  1 10   5cos cos 240   6sin 240  1.05 MPa MPa 2

107

ASAL GERİLMELER: EN BÜYÜK KAYMA KAYMA GERİLMESİ Bir noktadaki gerilmelerin şiddetlerinin  o noktadan geçen düzleme bağlı olduğunu  daha önce belirtmiştik. En büyük gerilmeler ile bu gerilmelerin etkidiği düzlemlerin yapıdaki göçme ile ilgili olması sebebiyle bizim için ayrı  bir önemi vardır . Enbüyük   x gerilmesini hesaplamak üzere ’ ya göre türevini alarak sıfıra eşitleyelim.

d   x d  

2

    x    y sin 2  2  xy cos 2   0

tan 2  p  

2

  xy

1

2

       x

 y

Kutu içerisinde gösterilen bağıntıdan bulunacak  açısı en büyük ve en küçük normal gerilmenin etkidiği düzlemi gösterdiğinden   yerine p  ile yazılmıştır . tan2  = tan(2+) olduğundan  birbirinden 180 o farklı 2p açıları yukarıdaki bağıntıyı sağlarlar . Dolayısıyla p ve bundan 90o farklı iki düzlem, normal gerilmenin en büyük ve en küçük olduğu iki dik düzlemi gösterir . Şimdi normal gerilmenin maksimum ve minimum olduğu düzlemlerdeki kayma gerilmelerini hesaplayalım.



tan 2  p

  2

  2

        x  y         x   2          r      



2  xy

       x

    y

  xy

2p

  x y



  x

 y

 

  xy



cos cos 2  p

r 

 

  x    y 2r 

   y    xy    x    y     xy   0 2 2r    r   

Kayma gerilmesinin sıfır olduğu düzlemlerdeki en büyük ve en küçük normal gerilmelere ASAL gerilmeler adı verilir.

  x    y 2

    x    y            xy    xy    x   maks    x    y     x    y   2 2 2r    min     r    1



sin 2  p

1

 1, 2



1 2

2

        x

 y

Sayısal olarak büyük olan normal gerilmeyi  1 ile gösterip en büyük asal gerilme adını verelim.

   x    y       xy 2   2   108

 1 ve σ 2 asal gerilmelerinin doğrultularını veya etkidiği düzlemleri gösteren p açılarını pı ve pıı ile göstereceğiz.   x  '

y

  y  '

  2    2

Yukarıda izlediğimize  benzer işlemler   yaparak en büyük kayma gerilmesiyle etkidiği düzlemleri araştıralım.

y

  1

p

x

 O

d  



d   x y

x

p

  1

d   x y

  1

  x  '

  2

  1

d  

bağıntısından,

0 2

    x    y cos 2  2  xy sin 2   0 2

  2

  y  '

     

 x

tan 2  s

   y

2  xy

bulunur. Burada s en büyük kayma gerilmesinin etkidiği düzlemi göstermektedir . Çerçeve içindeki bağıntıyı birbiriyle 90 o lik açı yapan iki ayrı doğrultu da sağlar . Bu doğrultuları sı ve sıı ile gösterelim. Asal doğrultular  ile   ile en büyük kayma gerilmesi doğrultusunun kıyaslanmasıyla aralarında 45o’lik açı bulunduğu anlaşılır . En büyük kayma gerilmesinin değerini hesaplayalım.   2

  2

        x  y     y          x   2          r      2s

  xy

tan2  s   



  x

  x    y 2  xy

cos cos2  s   

   y

 maks

2 2

   x    y       xy 2 2    maks     2 min         

  xy

sin 2  s  

r 

  x   y    2r    

    x    y        x    y     2      xy      xy     2 r    r         

2

   x    y       xy 2   2  

2

 



   x    y  2     109

Fiziksel olarak cebrik işaret anlamsız olduğundan en büyük kayma gerilmesindeki işarete dikkat etmeden maksimum kayma gerilmesi adı verilir. verilir. Eğer   x ve   y asal gerilmeler olursa    0 olacağından  xy

 maks



 1   2 2

bulunur.  y  '  

y

maks

'  

   

'  

   

  y  ' '  

   

 '   

  2

x  '  

   k  s   a

'  

   

 a  K a y m  n i  g e  K ö ş e

maks x

'  

 '   

s

y'

  x  '

45o

x

 '   

   

s

  1

     m

'  

   



p

  1

'  

   

x

'  

   

x  '  

 '   

   2

 Asal gerilmelerin etkidiği düzlemlerde  kayma gerilmesi bulunmamasına karşın  maksimum kayma gerilmesinin etkidiği düzlemlerde normal gerilme bulunur. Bu gerilmenin hesaplanması için   x bağıntısında 2s yazılması yeterlidir.

    x    y       x    y   x    y    xy  2       xy     x    2 2 r  r              x

  x '

   

  x    y 2

   y toplamı sıfır olmadıkça maksimum kayma gerilmesinin bulunduğu düzlemlerde normal gerilme de olur.

Gerilme etkisindeki bir elemanda en büyük  kayma gerilmelerini gösteren okların buluştuğu köşeleri birleştiren  diyagonale KAYMA KÖŞEGENİ denir. Bu diyagonal maksimum asal gerilme doğrultusundadır .  Ayrıca en büyük asal gerilme, en büyük

110

Üç eksen doğrultusundaki  1 ,  2ve  3 gerilmelerinin aynı noktaya etkidiğini düşünelim Aşağıdaki düşünelim Aşağıdaki şekilde  gerilmelerin  1   2  3

olarak sıralandığını  kabul edelim. Gerilmelerin etkidiği  noktadan alınan elemanın üç farklı yönden görünüşü şeklin  yan tarafında verilmiştir .  2

 2

1

 3

 3

 2

1

1

1

1

 3

 3

 2

 2

 3

 2

1

 3

 2

Bu durumda en büyük kayma gerilmesinin,

 maks

  m a k s



 1   3

2

ifadesiyle hesaplanacağı ve en büyük ve en küçük asal gerilmenin etkidiği düzlemleri ikiye ayıran doğrultularda olacağı anlaşılmaktadır 1

111

Şekilde bir düzlem gerilme hali gösterilmiştir. a) Asal gerilmeleri hesaplayınız. hesaplayınız. b) Maksimum b) Maksimum kayma gerilmesini ve ilgili normal gerilmeyi bularak a ve b şıklarında bulduğunuz gerilmeleri yönlenmiş bir eleman üzerinde gösteriniz

Örnek 2 y

2 MPa

 1, 2 5 MPa

7 MPa

2

2



 7  2   MPa  MPa    52  4.5  5.59    101.09 .09 MPa  MPa   2   1

  p

2



1 2

tan

1

  2  5     31.7    7  2    121.7 ı  p ıı  p

Hangi düzlemin  hangi asal gerilmenin doğrultusunu gösterdiğini  bulmak için dönüşüm denkleminde  = 31.7o yazalım.

7 MPa

  x   31.7  10.09 MP  MPa

Sonuç olarak,

bulunur.

o

x

5 MPa



72

ı  MPa    p  1  10.09 MPa

 2

 31.7o

o  MPa    pıı  121.7  1.09 MPa

2 MPa 2

 maks



 7  2   52  5.59 MPa     2  

 eb ’ın etkidiği düzlem,

  s



1 2

tan

1

 1   2

ayrıca

2

  7  2   13.3     2 * 5  76.7

Söz konusu düzlemlerdeki normal gerilme,

o

  x y   13.3  5.59 MPa o

o

  

  x    y 2

bağıntısı da aynı sonucu vermektedir. vermektedir.



72 2

o  MPa    sı  13.3  maks  5.59 MPa

ıı o  maks  5.59 MPa  MPa    s  76.7

 4.5 MPa  MPa

 maks ’ın doğrultusunu bulmakta kayma diyagonali kullanılabilir . Bu noktadaki gerilme hali matris formunda,  = 0o

7 5  MPa 5 2 MPa  

 = 31.7o 0  10.09  MPa  MPa  0 1.09 

 = -13.3o

 4.5 5.59 

5.59  MPa  MPa 4.5 

verilebilir.

112

o

o

DÜZLEM GERİLME HALİ İÇİN MOHR DAİRESİ Gerilme dönüşüm  denklemlerine grafik bir yorum getirmek mümkündür . Bu kısımda,  bir noktadaki gerilme halinin anlaşılmasını büyük ölçüde kolaylaştıran ve düzlemlerin değişmesiyle  gerilmelerdeki dönüşümlerin hızla yapılmasını sağlayan grafik bir teknik üzerinde durulacaktır . Bu amaçla

     x ,      x y

İfadelerini tekrar yazalım.

  

  x    y 2

  x    y



   

2

  x    y 2

cos cos 2   xy sin 2 

sin 2   xy cos 2 

Denklemlerin kareleri alınıp toplanırsa,

(  

  x    y 2

bulunan bu bağıntı,  -   eksen takımında

Çemberin merkezi

  x    y

)

2

    (

r   (

2

  x    y 2

  x    y

)

2 2

   xy 2

)

2

   xy 2 yarıçaplı çember  denklemi   denklemi olur.

’de dir.

2

113

y

MOHR DAİRESİNİN ÇİZİLMESİ Mohr dairesinin çiziminde öncelikle  yatay  ve düşey  kartezyen eksen takımı, gerilme ölçekleri aynı  olacak şekilde çizilir . + i düzlemindeki gerilme hali referans alınır . Bu düzlemdeki  normal gerilme ile kayma gerilmesi koordinat değerleri olarak alınıp - düzleminde  bir nokta (x) işaretlenir . Benzer şekilde + j düzlemindeki gerilme hali yardımıyla  ikinci bir nokta (y) belirlenir. Bu iki noktayı birleştiren doğrunun  yatay ekseni kestiği nokta, dairenin merkezi olup C harfi ile gösterilir . C merkezli Cx yada Cy yarıçaplı daire çizilir . Gerilme elemanı ile Mohr dairesi üzerindeki dönüş yönlerinin aynı olabilmesi için  ekseninin pozitif yönünü aşağı alıyoruz. Mohr dairesi, bütün tansörel büyüklüklere uygulanabilmektedir. Ölçekli  olarak çizim yapıldığında sonuçların  grafik olarak okunması mümkündür . Çoğunlukla  kaba bir çizim yapılarak uzunluk ve açı değerleri  trigonometri yardımı  ile hesaplanır . Bu teknikle çok  eksenli gerilme durumlarının pek çoğu ele alınabilir . Mohr dairesindeki 1 ve 2 noktaları  asal gerilmeleri; D ve E noktaları  da en küçük  ve en büyük  kayma gerilmelerinin etkidiği düzlemleri göstermektedir . Mohr dairesinden, en büyük kayma gerilmelerin etkidiği düzlemlerin  asal gerilmelerin bulunduğu düzlemlerle 450  lik açı  d a görülmektedir . Dairenin merkezi C, eb yaptığı da ’nin etkidiği düzlemlerdeki normal gerilme ‘ nü

y xy

y'

referans noktası :

x'

 x( x ;  xy )

x

x 

 y(  y ;

 xy )

x

O

y      ; y  

 x y



 y

  x   y   2 ; eb   D 

y' F

2 C

 2

2 2 s

1

2 p1



 



x'  x' ; x' y'

1

x   x ; xy

  



E

114

Mohr Dairesinin Yorumu Yorumu

•Mohr dairesindeki dönüş yönü ile  açısının dönüş yönü aynıdır. •Daire üzerindeki 2’ lık açı dönüşü gerilme elemanının  kadarlık dönüşüne karşı gelir. 2

   y  •Dairenin yarıçapı CX  CF  FX   CX     x    xy2   2  2

2

olup maksimum kayma gerilmesi  maks ’ın şiddetine eşittir . x ve y düzlemlerindeki gerilmeler daire üzerinde A ve B noktalarıyla temsil edilir. AB den farklı her bir çap, orijinal eksen takımına göre  kadar bir açıyla dönülen x’ ve y’ düzlemlerindeki  x  gerilme ’ halini gösterir . Daire üzerindeki A noktasının koordinatları gerilme dönüşüm denklemlerini vermektedir. vermektedir. CX ile C1 arasındaki açı

 x



 x   y 2

2  p1

olsun. Mohr dairesinden

 CX  cos  2 1p  2 

 xy

 CX  sin  2 1p  2 

veya açı farklarının trigonometrik eşitliklerini yazarak,

 x



 x   y 2

CX cos 2 p1

 x



 CF, CX sin 2 1p  FX  

 x   y 2

 CX  cos 2 1p cos 2  sin 2 p1 sin 2 

 CF cos 2  FX s in 2 

 

 xy   CX  sin 2 1p cos 2

 cos 2 p1 sin 2   

ifadeleri yerine yazılırsa,

 xy  CF sin 2

 FX c os 2 

CF



 x   y 2

, FX     xy

gerilme dönüşüm denklemleri elde edilir. Böylece daire üzerinde 2  açısıyla belirlenen x  noktasının, gerilme elemanında  açısıyla dönülerek bulunan  x düzlemindeki gerilme bileşenlerini gösterdiği anlaşılmaktadır. anlaşılmaktadır. 115

Burada sık karşılaşılan  gerilme durumlarına  ait Mohr daireleri gösterilmiştir . Değişik yükleme durumlarındaki  malzeme davranışını, gösterilen  gerilme durumlarından  elde etmek mümkündür .  Aşağıda görülen eşit çekme  ve basma halinde z0 olup ayrıca ez0 de sıfır olmaktadır  sıfır  olmaktadır . Dolayısıyla hem düzlem gerilme hem de düzlem şekil değiştirme hali söz konusudur. o Bu haldeki elemanın 45 döndürülmesiyle  tam kayma hali bulunmaktadır . Üç  eksenli çekme  halinde Mohr dairesi çizilirken elemanın her bir yüzündeki durumun ayrı ayrı çizimi yapılmaktadır .

Eş Çekme ve Basma; Tam kayma  2

=-

 Yanal Basma Ve Ve Çekme

1

 2

1

=-

Üç Eksenli Çekme  2

1

1

1  2

1

45°  3

 3 =-

maks 

O



1

 

 O



 O

maks =







maks

1







116

Örnek 3

y

Önceki problem Mohr dairesi yardımıyla çözülecektir.

Dairenin merkezi,   ekseni üzerinde, C  

72 2

2 MPa

 4.5 MPa  MPa’ dadır .

5 MPa

Referans noktası koordinatları x(7, 5)’ dir.

7 MPa 2

 Asal gerilmeler, gerilmeler,

 1,2

72  OC  C 1  4.5    52   2 

 10.09 MPa  2  1.09 MPa

7 MPa

 1

2 MPa

 Asal gerilme düzlemleri, düzlemleri,

     5  1   63.4o 2  p  tan   7  2    2   Dolayısıyla

y (2, -5)

2  p  63.4  180 180  243 243.4o

  p

 31.7 o   1  10.09 MPa  MPa

  p

 121.7o   2  1.09 MPa  MPa

b) En büyük kayma gerilmesi D ve E noktasıyla tanımlandığından

2

O

2

 eb

7  2         52  5.59 MPa   2  

Bu gerilmelerin etkidiği düzlemler, o   s  76.7o  90o  16 166 6.7

x

5 MPa

Veya -13.30

D

C

2  p



1

2  s

X (7, 5)



E 117

y (2, -5)

 Yönlenmiş eleman üzerinde gerilme halinin gösterilmesi:  Asal gerilmelerin gösteriminde,  Mohr dairesindeki x referans noktasından başlanarak en kısa yoldan 1 noktasına gidilir. xC1 açısı birinci asal doğrultunun x referans ekseni ile yaptığı açının iki katını gösterir . Bu açının yarısı x ekseninden başlanıp  Mohr dairesi üzerinde gösterilen yönde alınarak  birinci asal eksen çizilir . Bu asal eksene 90 derece eklenerek ikinci asal eksen belirlenir. Asal eksenlerin üzerine sembolik bir birim boyutlu kare eleman yerleştirilir . Asal doğrultulardaki  gerilmeler elemanın yüzlerinde vektörlerle gösterilir . En büyük kayma gerilmelerinin gösterimi için, Mohr dairesindeki x referans noktasından başlanarak en kısa  yoldan E noktasına gidilir. xCE açısı en büyük  pozitif kayma gerilmesinin etkidiği düzlemin  normalinin x referans ekseni ile yaptığı açının  iki katıdır . Bu açının yarısı  x ekseninden başlanıp  Mohr dairesi üzerinde gösterilen yönde alınarak  birinci eksen çizilir . Bu eksene 90 derece eklenerek ikinci eksen belirlenir. Eksenlerin üzerine sembolik bir birim boyutlu kare eleman yerleştirilir . Kare elemanın yüzlerinde sırası ile E ve D noktalarındaki gerilme hali vektörlerle temsil edilir.

2

O

D

C



1

°

63,4 °

26,6

X (7, 5) E



En büyük kayma Gerilmelerinin yönlenmiş eleman üzerinde gösterimi d

  M 

P a  a 

1.09 MPa

Asal Gerilmelerin

i

10.09 MPa

  M 

P a  a 

2 1

yönlenmiş eleman üzerinde gösterimi

,7 10.09 MPa

b

D

76,7°

,7

 M P a  9  5   5 .  5 E

x

 x

118

Örnek 4

Şekilde ahşap bir yapı elemanı üzerindeki gerilme hali verilmiştir. verilmiştir. Ahşabın büyüme doğrultusundaki liflerine paralel düzlemlerdeki normal ve kayma gerilmesi nedir ? y

2.07 MPa

x'

4.83 MPa

4.83 MPa

o

30

C 15°

(-4.83;0) x

x

y (2.07;0)



o

210

2.07 MPa

Merkez

C  

 4.83  2..07 2

y'

 MPa  1.38 MPa

E

 x ' 2

Yarıçap

 4.83  2.07  r     MPa   02  3.45 MPa 2    

     



 M P a 1.725 MPa

 P a

X’

cos 30  1.61 MPa  MPa  1.38  3.45cos 3.45sin 30  1.725 725 MPa  MPa   x  y   cos 30  4.37 MPa  MPa   y   1.38  3.45cos

 M   7   

  x 

o    15  90  10 105 5 çember üzerinde saate ters yönde

0

Y’

 P a

x

 M   7     y '

2   210o dönülecek.

     

 M P a 119

GERİLMENİN CİSİM İÇİNDEKİ DEĞİŞİMİ Daha önce yük etkisindeki bir cisimde gerilmenin noktadan noktaya değiştiğinden söz etmiştik. Gerilmedeki bu değişim elastisite teorisinde diferansiyel denge denklemleri ile verilir. İki boyutlu halde, birim kalınlıklı dx, dy kenar uzunluklarına sahip bir elemana etkiyen gerilmeler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir . y   y O dan O noktasına hareket edildiğinde gerilmedeki artış, örneğin  x gerilmesi için Taylor dy   y   y serisi açılımıyla,

  yx dy  y   O’   xy   xy dx  x   x dx   x   x

  yx 

dy

  x   xy

O

dx

x

  yx   y

  x 

  x dx  x

biçiminde ifade edilebilir. Burada   x ’in  x ve y ile değiştiği düşünüldüğünden kısmi türev kullanılmıştır . Diğer  gerilme  gerilme bileşenlerinin de aynı şekilde değiştiği düşünülerek yandaki şekil üzerinde gösterilmiştir . Görülen elemanda  M o  0 bağıntısının sağlanması koşulundan,

        yx      y   dx    x    xy     dy      yx      0           dxdy  dxdy  dy dxdy dx dxdy  xy   y    x         y 2  x 2                        

dx ve dy ‘nin bulunduğu üçlü çarpımlar ihmal edilerek,

  yx

  yx

daha önce bulunan sonuca ulaşılır .

x doğrultusundaki kuvvetlerin dengesi için,

     x   x  x 

 



dx  dy   x dy

ve benzer bir denklemin  F y

  x   xy  0  x  y

   

yx 

  yx y

 

dy  dx   yx dx  0

 0 için yazılıp sadeleştirilmesi sonucu

  y   xy  0  y  x

elde edilir. Yanda çerçeve içerisindeki bağıntıların her malzeme için sağlanması gerekir. Bu denklemler, normal gerilmedeki değişimin ancak kayma gerilmelerindeki değişmeyle mümkün olduğunu göstermektedir. göstermektedir. Ayrıca bu bağıntılarda   x ,   y ,  xy gibi üç bilinmeyen gerilme bulunduğundan gerilme analizindeki problemlerin içten hiperstatik olduğunu da anlıyoruz. Mukavemet derslerinde yapılan şekil değiştirme hipotezleri ve 120

Üç boyutlu gerilme halinde ise yukarıda açıklanan hususların genelleştirilmesinden genelleştirilmesinden faydalanabiliriz. İlk bölümde sözü edilen tam analiz matematik açıdan burada başlamaktadır. başlamaktadır.

 ,  y   ,  xy  ,  x  ,  y   ,  xy , u ve v den oluşan sekiz büyüklük araştırılır.Bu İki boyutlu elatisite probleminde  x  araştırılır.Bu sekiz bileşenin eleman içinde geçerli olan sekiz denkleme ek olarak önceki konularda verilen sınır koşullarını sağlaması gerekir. Elastisite teorisi nin çözüm metotlarından burada söz edilmeyecektir. Elastisitenin temel denklemlerinin buraya alınmasındaki amaç katı mekaniğindeki önemli problemlerin temelindeki basit yaklaşımları öğrencilere tanıtmaktır. Ayrıca Ayrıca bundan sonraki bölümlerde kuvvet_deformasyon bağıntılarının kritik değerlerinin hesabında bu formulasyon kullanılacaktır. kullanılacaktır. Elastisite teorisi ve Mukavemetteki Mukavemetteki yaklaşımların her biri ayrı ayrı önemli olup birbirlerine katkıda bulunurlar. bulunurlar. DÜZLEM BİRİM ŞEKİL DEĞİŞTİRME İki boyutlu veya düzlem birim şekil değiştirme durumunda, yükün etkimesinden önce ve sonra her noktanın aynı düzlem (x,y) içinde kaldığı varsayılır. Böylece z = xz = yz = 0 olup, 0 olup, x, y ve xy sıfırdan farklı değerler alacaktır.Bu birim şekil  ,  y  ve  xy  gerilme bileşenleri sıfırdan farklıdır. değiştirmelere bağlı olan  x  farklıdır. Geneleştirilmiş Hooke yasalarından;   z   n    x

   y

  xz    yz   0

bulunur. bulunur. Daha önce bir noktadaki gerilme halinin iki dik düzlemdeki gerilme bileşenleri ile verilmesi gerektiği gösterilmişti . Benzer bir durum birim şekil değiştirme hali için de söz konusudur. DÜZLEM ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİNİN DÖNÜŞÜMÜ Birim kalınlıklı, dx , dy kenar uzunluklarını sahip A  ve D köşeleri doğrusal şekil değiştirme yapan bir eleman düşünelim. A  ve y eksenleri doğrultusundaki yer değiştirmeleri u ve v  olsun.  olsun. C  noktasının yerdeğiştirmeleri sırasıyla  u+du ve noktasının x  ve v+dv ’dir. ’dir. Yerdeğiştirmedeki değişim; du 

u u dx  dy  x  y

dv 

v v dx  dy  x  y 121

y

C’



B’

x' dv

E

B

C

y' dy

du

F

ds

 

 A

 EC ' ds

e  x '

dx



du  cos cos   ds



D

dv  sin  ds

x

e  x'

Deformasyondan sonra  AB’C’D’  şeklini alan elemanda  A C  ile  AC’  arasındaki küçük açı  , C  noktasının x ve y eksenleri doğrultusunda yaptıkları yerdeğiştirmeler de sırasıyla C F  ve  ve FC’  ile gösterilmiştir.  Aşağıdaki türetmelerde Cos  =  = 1, Sin  =  = tan =  alınacaktır.

x’, y’ koordinat takımı şekildeki gibi seçilirse bu eksen takımına göre birim şekil değiştirme bileşenleri ex’, ey’ ve gx’y’ olur.  EC ' cos cos     EC   EC '  du cos cos   dv sin   Yazılabilir. Normal birim şekil değiştirme değiştir me tanım gereği; e  x '    EC ' ds dir. Burada ds, AC köşegeninnin başlangıç uzunluğudur. Son iki bağıntı birleştirilir, birleştirilir,

dx ds

yerine

cos ,

dy

yerine

sin  yazılırsa,

ds

 u cos    v u   cos v   sin    dx  dy    dx  dy   y   ds   x  y   ds   x

cos 2   e  y sin2   g xy sin cos cos    e  x cos

elde edilir. Bu ifade çift açı cinsinden; e  x '



e  y '



e  x  e  y 2



e  x

 e  y 2

cos cos 2 

g  xy 2

sin 2 

Olur. y’  doğrultusundaki uzama oranı için   yerine  yerine  +   /2  yazarsak;  yazarsak;

e  x

 e  y 2



e  x  e  y 2

cos cos 2 

g  xy 2

sin 2 

Bulunur. Kayma açısı g  x’y’  nün bulunması için ilk olarak  x’  doğrultusundaki dönme  ’nın ’nın hesaplanması gerekir. Yeniden şekle dönerek; , CE  yazılabilir. yazılabilir. Açı ve birim şekil değiştirme küçük CE   dv cos   du  sin sin   EC ' sin sin   tan    ds olduğundan olur.  EC   EC ' sin sin    e  x'  ds  sin sin    e  x'  ds    0

  

CE 

 v v   cos u   sin  cos    u   dx  dy    dx  dy 

122

   e  y  sin   cos  e  x  sin   cos 

   e  x  e  y  sin  cos 

v u  cos2    sin 2    x  y

v u cos 2    cos  sin2    x  y

Elde edilr. y’  doğrultusunun dönmesi için   yerine  yerine  + /2 /2 yazılarak;

 

 

g  x ' y '

kayma açısı

ve

  

 

 

 

 

 e  x  e  y  sin   cos 

2

v u  sin 2    cos2    x y

dönmeleri arasındaki farka eşittir. eşittir.

2

g  x ' y '

cos   g xy cos cos 2   sin2    2e  x  e  y  sin  cos

Çift açı cınsinden; g  x' y '

cos 2    e  x  e  y  sin 2  g xy  cos

Haline dönüşür. Yukarıda çerçeve içerisinde verilen bağıntılar birim şekil değiştirme bileşenlerinin dönüşüm denklemleridir. ASAL ŞEKİL DEĞİŞTİRMELER: MAKSİMUM KAYMA KAYMA BİRİM ŞEKİL DEĞİŞİMİ Gerilme dönüşüm denklemleri ile birim şekil değiştirme bileşenlerinin dönüşüm denklemleri kıyaslandığında büyük bir benzerlik görülmektedir. görülmektedir. Eğer gerilme dönüşüm denklemlerinde   yerine  yerine e ,  xy yerine de g xy/2 yazılırsa şekil değiştirme dönüşüm denklemleri bulunmaktadır. bulunmaktadır.   x

1

1

2

2

   x    y    x    y cos 2    xy sin 2 

  y 

1 2

 

       1      cos cos 2     x

 y

1

2

 x

 y

       sin 2   

 xy

sin 2 

cos 2 

   i   r   e    l   e   m    l    k   n   e    d   e   m    l    i   r   e    G

  e    i   m   r   r    i   e    t    l   ş   e    i    ğ   m   e   l    d   k    l    i   n   e    k   d   e    Ş

e  x '



e  y ' 1

g 

e  x



 e  y 2

e  x

 e  y 2 1



e  x



 e  y 2

e  x  e  y 2

cos 2 

cos cos 2  1

g  xy

2

g  xy 2

sin 2 

sin 2 

cos 2    e   e   sin 2  g  123  cos

 Asal birim şekil değiştirmeler değiştirmeler veya uzama oranları ile doğrultuları; doğrultuları;

e 1, 2



e  x  e  y 2

2

 e   e     g       x    y    xy    2     2  

2

tan2  p



g xy e x  e y

 Asal düzlemlerde kayma kayma açıları yok olur. Maksimum Maksimum kayma şekil değişimi değişimi olan düzlemler, düzlemler, asal düzlemlerle 45 o’lik açı yapar ve şu ifadeyle verilir: 2

 e  x  e  y   g xy      g eb  2  2       2   ek 

2

En büyük kayma birim şekil değişiminin oluştuğu düzlemlerdeki uzama oranları aşağıdaki gibi elde edilir e ' 

1 2

e   e    1 e   e    x

y

2

1

2

124

GERÇEK EN BÜYÜK B ÜYÜK KAYMA KAYMA AÇISININ BULUNMASI Bir noktadaki düzlem şekil değiştirme bileşenleri εx , ε y ve γxy değerleri ile tanımlanmış olsun. Şimdi kalınlık yada z ekseni doğrultusundaki  uzama oranını  belirlemek istediğimizi düşünelim. Genelleştirilmiş  Hooke  yasalarında σ z  yerine sıfır  yazılarak  yanda verilen bağıntı elde edilir. Bu denklemdeki parantez içi gerilmeler toplamı iki boyutlu halde geçerli olan Hooke yasalarından hesaplanıp yerine yazılırsa,   x 

 E  1 n 

2

e  ne    x

 y

  y 

 E 

ne x  e y   2  1 n 

e z  

  xy

n  E 

e  E 1 n

x

 Gg xy

e y   

e z 

 z n  x   y     n   x   y     E  E  1

 x   y

n  1 n 

e

x



 E 1 n

2

 (1 n )e

x

 (1 (1 n )e y  

E  1 n 

(e x

e y )  

e y   

Z ekseni doğrultusundaki  uzama oranını düzlem içi  uzama oranları  cinsinden veren  yukarıdaki bağıntı  bulunur. Düzlem şekil değiştirme halinin düzlem içi asal uzama oranları ε1 ve ε2 , düzlem dışı asal uzama oranının da εz = ε3 ma şekil değişimi, ε 1 ve ε 3  cebrik olarak en büyük ve olduğu hatırlanırsa üç boyutlu analizdeki gerçek en büyük kay ma en küçük  asal şekil değiştirme  olmak kaydıyla; (en büyük  Mohr dairesinin  yarıçapından) aşağıdaki  gibi hesaplanabilir.

g 

eb  gerçe  gerçek  k 

 e1  e 3

olur. Eğer x, y ve z asal gerilme doğrultuları olursa   xy    xz    yz   0 olup ayrıca  g  xy  g  xz   g yz   0 Bu durumda x, y ve z eksenleri ayrıca asal şekil değiştirme eksenleridir. Dolayısıyla izotrop malzemelerde asal gerilme ve asal şekil değiştirme  eksenleri çakışırlar. Bu durumun uygulamadaki anlamı,  verilen bir gerilme durumuna ait asal eksenleri bulmada ister gerilme; ister şekil değiştirme bağıntılarının kullanılabilecek olmasıdır. 125

DÜZLEM ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ İÇİN MOHR DAİRESİ Düzlem şekil değiştirme halindeki Mohr dairesi, düzlem gerilme halinde çizilen Mohr dairesine benzer olarak çizilir. Yatay Yatay eksende uzama oranları (e ), ), düşey eksende kayma açılarının yarısı ( g /2) /2) alınmalıdır. Eksenlerin pozitif yönleri sağa ve aşağı doğrudur. doğrudur. Kayma birim şekil değişimindeki işaret kabulleri daha önce kayma gerilmesi için yapılan işaret kabulüne uygun olmalıdır. olmalıdır. Kayma birim şekil değişimi pozitif ise x noktası e  ekseninin  ekseninin g /2 /2 kadar altına, y noktası ise e  ekseninin  ekseninin ( g /2) /2) kadar üstünde işaretlenmelidir. işaretlenmelidir. x’, y’, 1, 2, D ve E noktalarıyla ilgili büyüklükler Mohr dairesi kullanılarak kolayca hesaplanabi hesaplanabi lir.

 e  x  e  y g eb     ; D 2     2

y

e

x'

y'

 y

;  g xy 2

y

y'  O

x

F

2

e 2

referans noktası :  x(e x ;

g xy / 2)

 y(e y ;

 g xy / 2)

C

2

1

2p1

e 

x' e x ' ; g x ' y ' 2 

2s1

E

g 

2

e 

x

e

 x

; g xy 2

 126

Bir noktadaki şekil değiştirme bileşenleri e x = 900, e y = -100 ve g xy = 600 olarak biliniyor. Mohr dairesini kullanarak asal şekil değiştirmeleri ve maksimum kayma şekil değişimini belirleyip yönlenmiş elemanlar üzerinde gösteriniz.

Örnek 5

D

Dairenin Merkezi =

e  x

 e y 2

 400  y

 900   100    600   583      2       2   2

Dairenin Yarıçapı =

r  

2

(-100; -300) 1 O

2

e1  OC  R  400  583  983 

2s

e 2  OC  R  400  583  183   I   p

2 

 tan

1

    600    31o 900  100        2

g eb

 2

983   15.5o , e 1  983

  p I   II   p

 

105.5  105

o

, e 2

veya

983   183 183  1166   983

  s II     p I   45o

 15.5  45  60.5o

183   183

x (900; 300)

g 

2

E

2

 900  100    600      1166      2       2  

e 1  e 2

2

C

e 

I p

Mohr dairesinden en büyük  kayma birim şekil değişiminin asal eksenlerle 45 o  lik açı yaptığı görülmektedir . geb’ın olduğu düzlemdeki uzama oranları, OC = e ’ = 400x10-6dır . Mohr dairesinde maksimum pozitif kayma açısı e  ekseninin  ekseninin alt tarafında E noktası ile temsil edilmektedir.

127

 Yönlenmiş   eleman üzerinde şekil değişiminin gösterilmesi:

D

 Asal şekil değiştirmelerin  eleman üzerinde gösteriminde Mohr dairesindeki x referans noktasından başlanarak en kısa  yoldan 1 noktasına gidilir. xC1 açısı  birinci asal doğrultunun  x referans ekseni ile yaptığı açının  iki katını gösterir . Bu açının yarısı x ekseninden başlanıp Mohr dairesi üzerinde gösterilen yönde alınarak  birinci asal eksen çizilir . Bu asal eksene 90 derece eklenerek ikinci asal eksen belirlenir. Asal eksenlerin üzerine  sembolik bir birim boyutlu kare eleman yerleştirilir . Asal doğrultulardaki şekil değiştirmeler   uzama ya da kısalma  kesikli çizgilerle birim eleman üzerinde işaretlenir . En büyük açısal şekil değiştirmelerin gösterimi için Mohr dairesindeki x referans noktasından başlanarak en kısa yoldan E noktasına gidilir. xCE açısı en büyük pozitif açı bozulmasının oluştuğu  birinci düzlemin normalinin x referans ekseni ile yaptığı açının  iki katıdır . Bu açının yarısı  x ekseninden başlanıp  Mohr dairesi üzerinde gösterilen yönde alınarak  birinci eksen çizilir . Bu eksene 90 derece eklenerek ikinci eksen de gösterilir . Eksenlerin üzerine  sembolik bir birim boyutlu kare eleman yerleştirilir . Kare elemanın her iki eksen doğrultusunda yaptığı birim boy değişimi birbirine eşit  olup değeri,  Mohr dairesinin merkezinin absisidir. Kayma açısının doğru  olarak çizilebilmesi hususunda e ve d düzlemlerinde  etkiyen “sembolik kayma gerilmelerinin ” düşünülmesi  deformasyon halinin çiziminde büyük kolaylık sağlar .

y (-100; -300)

121 1 O

2

C

e 

31 x (900; 300)

59

g 

2

E

983

i

d

183

400 2 1

D

b

105,5°

60,5

15,5°

x

E

x

29,5

g =+1166 eb

 Asal şekil değiştirmeler ve doğrultuları

400

e

En büyük kayma şekil değiştirmelerinin 128

Bu örnekteki elemanın düzlem gerilme etkisi altında olduğu düşünülür ise n  =  = 0.3 için üçüncü doğrultudaki asal uzama oranı e z

 e3  

n 

e 1 n 

x

ey   

0.3 1  0.3

 900 100  343

 

g  

olarak hesaplanabilir. hesaplanabilir. Gerçek en büyük kayma açısı;

eb  gerçek   gerçek 

983   343 343  1326   e 1  e 3   983

Bu durumda düzlem içi maksimum kayma açısının her zaman en büyük kayma açısını göstermediğini söyleyebiliriz. söyleyebiliriz. Önceki örnekte verilen şekil değiştirme halinde; (a) Asal gerilmelerle doğrultularını, (b) En büyük kayma gerilmesi ve doğrultularını hesaplayınız. E = 200 GPa, n  =  = 0.3

Örnek 6

Önceki örnekten e 1 = 983 , e 2 = -183 , g eb = 1166  1 

 eb



 eb

1 n 

2

e 1 ne 2  

 E  21 n 



200 200 10

3

 E 

2

20010

3

983 983  0.3183 183  204 204MPa MPa

3

g eb

 1   2 2

1  0.3





6

1166 10

21  0.3

204 204  24.6 2

200 200 10

 89.7MPa MPa

 2



 ' 

183 183  0.3  983 983  24.6MPa MPa

1  0.3

2

 1   2 2



114.3 MPa

 89.7 MPa  MPa 24.6 MPa

D

60,5 2 1

204 MPa

1

ve

doğrultuları

204 MPa

 114 114.3MPa MPa

2

d

2 Asal Gerilmeler

204 204  24.6

15,5°

x

29,5

89.7 MPa

x

E

114.3 MPa

e

129

BİRİM ŞEKİL DEĞİŞİMİNİN ÖLÇÜLMESİ Düzlem şekil değiştirme yapan bir elemanın serbest yüzeyindeki yüzeyindeki uzama oranının ölçülmesi amacıyla optik, elektriksel ve mekanik sistemler geliştirilmiştir. geliştirilmiştir. Yaygın olarak kullanılan ve doğru sonuç veren yöntemde elektriksel esaslı “ strain gage” ölçerler kullanılır. kullanılır. Bu kısımda serbest yüzeye yapıştırılan strain gage’ler ve özel düzenlenmiş şekilleri üzerinde durulacaktır. Yüzeyin dış normalini z doğrultusu olarak alırsak  z =  xz =  yz = 0 olur. Söz konusu gerilme durumunda düzlem dışı elastik deformasyonları önleyecek her hangi bir kısıt olmadığından düzlem içi e x, e y, g xy şekil değiştirme bileşenlerine ilaveten düzleme dik doğrultuda normal birim şekil değiştirme de oluşur. Genelleştirilmi Genelleştirilmişş Hooke yasalarında g xy = g yz = 0 olduğu için e z aynı zamanda asal şekil değiştirmedir. Düzlem dışı asal uzama oranı, gerçek maksimum kayma birim şekil değişiminin belirlenmesi açısından önemlidir. önemlidir. Düzlem şekil değiştirme hali için çıkarılan bağıntılarda e z asal şekil değişimi e x ve e y cinsinden bulunmakta idi. Dolayısıyla bir önceki kısımda yapılan türetmeler burada da geçerlidir. Strain gage’ler iki tabaka kağıt ya da plastik arasına yerleştirilen yaprak biçimli çok ince kalınlıklı levha/küçük çaplı tel den oluşur. oluşur. Genellikle 0.03 mm çaplı tel yada 0.003 mm kalınlıklı yaprak levha kullanılır. Ölçer pullar dış yüzeyden ölçüm yapıla cak yüzeye yapıştırılırlar. yapıştırılırlar. Yük etkisi altında söz konusu yüzeyde şekil değişimi olduğunda tel ızgara yüzeyle birlikte uzar yada kısalır. kısalır. Bu boy değişimi ölçerin elektriksel direncinde değişime yol açar. Ölçerin uçlarına bağlanan bir akım köprüsü elektri k direncindeki değişimi uzunluk değişimine dönüştürür. Bu amaçla kullanılan akım köprüsüne Wheatstone köprüsü adı verilir.

Strain Gage

Rozet

130

ROZETLER: Referans ekseni x ile  a,  b,  c açısı yapan üç uzama ölçer bir önceki sayfadaki şekilde gösterilmiştir. gösterilmiştir. a,

b, c doğrultularındaki uzama oranları;

e a

 e  x cos2  a  e  y sin2  a  g  xy sin a cos cos  a e b

 e  x cos2  b  e  y sin2  b  g  xy sin b cos b e c  e  x cos2  c  e  y sin2  c  g  xy sin c cos c

Yazılabilir. Burada  a,  b,  c doğrultularındaki e a, e b ve e c uzama oranları bilinmekte e x, e y, g xy aranmaktadır. Uzama ölçerlerin bu tarda düzenlenmiş haline ROZET adı verilir. Rozetler çoğunlukla 45o ve 60o lik açılarla düzenlenen üç uzama ölçerden oluşur. Örnek 7

45olik rozetle yapılan ölçüm sununda eleman üzerindeki bir noktada  a = 0o,  b = 45o ve  c = 90o için 900 , e b = 700 , e c = -100 değerleri okunmuştur. e x, e y ve g xy değerlerini hesaplayınız. hesaplayınız.

e a

 e  x ,

700 700  Şekil

1 2

e c

 e  y ,

e   e   x

  y  g  xy 

de ğiştirme

Hali :

e b 1 2



e  x

 e  y 2

e  x



2

900 900  100 100  g    g 

 900   e  y   100   g  xy  600  

 xy

 e  y

xy

cos cos 90 

 600 600 

g xy

2

e a =

sin 90

hesaplanabilir.

e x

131

Örnek 8

Bir yapının serbest yüzeyin üzerine bir noktada 60 olik rozetle yapılan ölçüm sunun  a = 0o,  b = 60o ve  c = 120o için e a = 70 , e b = 850 , e c = 250 değerleri okunmuştur. a) Düzlem içi asal uzama oranları ile maksimum kayma açısını b) Poisson oranı n = 0.3 alarak gerçek maksimum kayma açısını c) a şıkkındaki sonuçları yönlenmiş birer eleman üzerinde gösteriniz.

e  x e a

 e  x

e b 

e c



e  x  e  y 2 e  x  e  y 2





e  x  e  y  1  g  xy   3       2  2  2   2  



g  xy

  3         2  2   2  

e  x  e  y  1  2

g  xy

 Asal şekil değiştirmeler değiştirmeler ve doğrultuları 2

693     23.6  e 2  tan1     II  o  70  710    p  66.4  e 1  I   p

2

693  g  xy  693

 3   600 600 

710  e y  710

e x  70 

En büyük kayma şekil değiştirmeleri

862  70  710 710 70  710 710   693 693    e 1  862   e 1, 2        2   2     2    e 2  83  2

2  p

e b  e c

 e a  70 

2

2

710   693 693   70  710 943  g eb  2      943   2     2  

e ' 

o

e  x  e y 2



70  710 710 2

 390 390 

En büyük kayma açısının oluştuğu düzlemler  2  s

 tan

1

 I o  70  71  0  s  21.36  g maks maks   693  II  o     s 111.4  g maks maks

132

Söz konusu noktada dik eksen takımındaki şekil değiştirme bileşenleri

e'=390

82

b (1)

862

 70   e y  710   g  xy  693   e x

D 82

y

i (2)

(710;-346.5)

1 2

66,4°

referans noktası  x(70 ; 346.5 346.5))    y (710 (710;;

 Asal şekil değiştirmeler değiştirmeler ve doğrultuları

1196

 346. 346.5) 5) 

3

2

(-334;0)

x

137.2

1

C O

(862;0)

e 

2s =42.8

x

2pI=132.8

(70; 346.5)

En büyük kayma şekil değiştirmelerinin yönlenmiş bir eleman üzerinde gösterimi

E g  2

d

b) Düzlem dışı asal uzama oranı;

e  z   e 3



0.3 1  0.3

70  710 710  334 334 

D E

390

Gerçek en büyük kayma açısı;

g  

eb  gerçek 

 e 1  e 3   862 862   334 334  1196 

e

21,4

°

g

eb =

943

390

x

133

d

g eb

e’

2

e’

d

 ......... 

d

e’

D

g ek  2

e

E

 .........  D

D

 111.4

'  s

  E

  s

E

390

x

°

21,4

x

g

eb =

e’

e

e

e

390

943

390 d

X noktası,  Mohr dairesinin C merkezinin solunda ise en kısa  yoldan E ye (veya D  ye) gidilerek ve aynı  yönde  90 derece ekleme ile belirlenen eksenler üzerine çizilen  elemanda pozitif kayma açısı meydana gelir. Tersine x noktası, C’nin sağında  ise  yukarıda söz  edilen yolla belirlenen eksenler üzerine çizilen elemanda negatif kayma açısı oluşur. Sarı ve  yeşil  renkli şekil değiştirme elemanlarında  kayma açısının  pozitif olduğuna dikkat ediniz.

e

e’ e

x

g

eb=-943

 21,4

  s    68.6

x E

68,6 E D

e’

D

390

d

d 134

x

GENELLEŞTİRİLMİŞ HOOKE YASALARI e  x 

 1  E 

  n  

 y    z  

 x

g  xy



e  y



 1  E 

  xy

 

  y n   x    z  

g  yz  

G

e  z  

  yz 

 1  E 

  n        z 

 x

g  xz  

G

 y

  xz  G

Bu ifadeleri gerilmeler cinsinden yazılırsa;   x



 E n 

1 n 1  2n 

  xy

e   e   x

 y

 e  z    2Ge x

  y



 E n 

1 n  1  2n 

 Gg  xy

İKİ BOYUTLU HALDE GENELLEŞTİRİLMİŞ HOOKE YASALARI

e   e   x

 y

 e  z    2Ge y

  z  

 E n 

1 n 1  2n 

  yz   Gg yz 

e x



1

 x n y    E  

  x 

 E  1 n 

2

e  ne    x

 y

e   e   x

 y

 e  z    2Ge z 

  xz   Gg  xz 

e y



  y 

1

 y n x    E    E  1 n 

2

ne

x

 e y  

  xy

g  xy



  xy

 Gg xy

G

135

E,

ve G Arasındaki Bağıntı

Elastisite modülü E, kayma modülü G ve Poisson oranı ν arasındaki bağıntıyı çıkartmak için bir eksen doğrultusunda çekme diğer eksen doğrultusunda aynı şiddette basma gerilmeleri bulunan bir gerilme elemanını düşünelim. Bu gerilme elemanına ait hem gerilme, hem de şekil değiştirme Mohr dairelerini çizelim.  y 

   x    y   xy

=

-a

a  a 0

 x 

 x 

=

a

y

x

O



e x



e y





1  E 1

 E g  xy  0

eba

a

 a n a  1 n  E 

a

y

 a n a   1 n 

 yarıçapları eşitlersek, a  E

1 n  

a 2G

G

 21 n 

e

E 

g/

 y 

Gerilme elemanının  45 derece döndürülmesi ile tam kayma adı  verilen ve hiçbir  normal gerilmenin bulunmadığı farklı bir gerilme hali elde edilir. Bu durumda elemanın bütün  yüzlerine a şiddetinde  yalnızca  kayma gerilmeleri etkimektedir. Asal düzlemlerle kayma düzlemleri arasındaki 45olik açı bulunmaktadır. Tam kayma halindeki gerilme Mohr dairesi, daha önce çizdiğimiz  dairedir. Şekil değiştirme  Mohr dairesini çizip,

x

O

a

g /2  E a 1n  eb

y

0 e  y  0 e  x

45°

a

      °    5   4

g  xy

e O

 aG

x

g/

g /2 a 2G eb

bulunur. x, y eksen takımının başka keyfi doğrultularda seçilmesi halinde de çerçeve içerisindeki bağıntının geçerli olduğunu söyleyebiliriz. Dolayısıyla elastik izotrop malzemelerde iki ve üç boyutlu gerilme-birim şekil değiştirme bağıntılarının iki bağımsız malzeme sabitiyle  yazılması mümkündür. 136

60X80 mm boyutlarındaki boyutlarındaki dikdörtgen çelik plak şekilde gösterilen gerilmelerin etkisindedir. etkisindedir. E=210 GPa, n=0.33 olduğuna göre; a) AC ve BD diyagonalindeki boy değişimlerini hesaplayınız.

Örnek 9

 y

150 MPa 150 MPa

 B

60 mm

 A

e  x 

100 MPa 100 MPa C  300 MPa 300 MPa

80 mm

 x

 D

e  y  g  xy 

1 210*10 1

3

6 300  0.3 0.33  150    1664.10

3

6 150  0. 0.33  300    1186.10

210*10 100

3

100



3

210*10   78.95.10

 1267.106

2(1 2(1  0.33) 0.33)  DAC   DAC   tan

e AC  

1

 60     80  37  

1664  (1186) 2



1664 1186 2

*37)   cos(2 *3

1267 2

*37)  12 1241  sin(2 *3

 

uzama  AC  e AC . AC  100 *1241  0.124 mm. uzama 6 e BD  e 143  23.31 23.31*1 *10 0 , 6 3 0*23.31*10  2.33*1 3*10 mm.   BD  100*23

137

Çelik bir elemanın düzlem gerilme etkisindeki serbest yüzeyi üzerinde 60° lik rozetle ölçülen uzama oranları εa =400μ , εb =500μ , εc =-700μ  dur. E=200 GPa, n =0.30 olarak bilindiğine göre; a) Asal uzama oranları ile doğrultularını b) asal gerilmeler, en büyük kayma gerilmeleri ile ilgili normal gerilmeler ve doğrultularını belirleyip yönlenmiş birer eleman üzerinde gösteriniz.

Örnek 10

500 

400  e y

700 



2 400  e y 2

400  e y

( 0.5) 

2 400  e y



2

g xy

2 g xy

(0.5) 

00µ e a =e x =400µ

 e  =-266.67µ   g  =1386µ

(0.866)

2

( 0.866)

xy

2

 12.85  S   77.15

1386

3

1 

200*10



200*10

1  0.3

2

ek

  

 1   2 2

e1  836  

400 400  266.6 266.67 7

 P   122.15

e2

 702 

99.2 MPa 137.45 MPa

 y '

   '   x

 1538  g min  1538 

 MPa  702  0.3* 836   99.20 MPa

1  0.3

ek  

 P    32.15

32,2

°

 MPa   P   32.15 836  0.3 702   137.45 MPa

2

 G.g eb 

1386

x

3

 eb

tan2  P  

2

g maks

3

2

2

2

400  266.67   1386      2  2    

2

 S

400 400  266.6 266.67 7



y

 g    400  266.67   1386  769   2 eb       2   769 2  ek      tan2 S   

e 1,2

400  266.67

210*10

2(1 2(1  0.30) 0.30)



137.4 137.45 5  99.2 99.2 2

6

1538.10

 118.3 MPa

y ' '  9 

  P   122.15  S    12.85  S   77.15

9 

M P  Pa     a

 a  3 M P . 3  1 1 8

M P  Pa     a



77.15

x

8

 MPa  19.1 MPa 9  M 

x ' ' 

138

ROZET problemi

Enbüyük Kayma Şekil Değiştirmeleri ve etkidiği Düzlemler 

Şekil Değiştirme Durumu

e x , e y , g xy

 Asal Şekil Değiştirmeler e1 , e 2 ,   p'

g enbüyük , g enküçük ,  s'

   e 

Bünye Bağıntıları

 Asal Gerilmeler '  p

 1 ,  2 ,  

Enbüyük Kayma Gerilmeleri ve

Gerilme Durumu

etkidiği Düzlemler 

 x ,  y ,  xy

 enbüyük ,  enküçük ,  s'

139

Örnek Problemler 

Şekilde  bir noktadaki düzlem

y

  y

  xy B  A

  x x

gerilme hali ile bu gerilme haline ait mohr çemberi  yalnızca  asal gerilmeleri ile gösterilmiştir. σ  y=2σ x olduğu bilindiğine göre A ve B düzlemlerindeki  gerilmeleri hesaplayıp  mohr çemberi üzerinde gösteriniz.

Düzlem gerilme haline maruz bir levhanın P noktasında aralarında bilinmeyen bir  açısı bulunan iki düzlemdeki gerilmeler şekilde gösterilmiştir. a- P noktasındaki asal gerilmeler ile düzlemlerini bulunuz. Yönlenmiş bir eleman üzerinde gösteriniz. b- Gerilme durumuna ait Mohr çemberini çizerek A ve B düzlemlerini tasvir eden noktaları çember üzerinde gösteriniz.   P  a   P  a   M   1 4  M B   3  8 50 MPa P



10 MPa  A

00 MPa

0 MPa



Şekilde gösterilen eğik düzlemdeki normal gerilme 28 MPa, kayma gerilmesi 10 MPa’dır. +y düzlemindeki normal gerilme sıfır olarak bilindiğine göre +x düzlemindeki normal gerilme ile kayma gerilmesini hesaplayıp yönlenmiş bir eleman üzerinde gösteriniz. y





  

0

x

140

06 OCAK 2012 UYGULAMA SORUSU

Şekilde gösterilen alüminyum dikdörtgen  levha x ekseni doğrultusunda  7.5 mm uzama, kalınlık doğrultusunda  0.1 mm uzama yapmıştır. x ve y gerilmelerini hesaplayınız.

Bir noktadaki şekil değiştirme  hali, en büyük açı bozulmalarının olduğu düzlemler  esas alınarak aşağıdaki şekil üzerinde gösterilmiştir. Bu şekil değişimine  sebep olan gerilmeleri sağ  yanda x ve y eksen takımlı  gerilme elemanı üzerine yönleri ile birlikte yazınız.

E = 70 GPa, n =1/3

 ..........   y  ..........   xy  ...........

y

  x

d y D

e’

y

x

   m    2

x

z

g eb

2

3m

E

 ......... 

  m   2   2  0   0.

  s

e   430  E  200 GP GPa a

e

e’ g eb 2

x

x

O

 570

 s

 2 7

   0.3

Çelik  bir elemanın düzlem   gerilme etkisindeki serbest yüzeyi üzerinde 30°  lik rozetle ölçülen  uzama oranları εa = 250μ , εb = 350μ , εc = -200μ dur. E = 200 GPa, ν = 0.30 olarak bilindiğine göre;

a) Dik doğrultulardaki uzama oranlarını belirleyiniz. b) SADECE MOHR ÇEMBERİNİ KULLANARAK asal uzama oranları ile doğrultularını bulunuz. c) Asal gerilmeler ve doğrultularını belirleyip yönlenmiş bir eleman üzerinde gösteriniz.

c

b a

d)En büyük  kayma gerilmeleri ile ilgili normal gerilmeleri ve gerilmelerin etki ettiği düzlemlerin doğrultularını belirleyip yönlenmiş birer eleman üzerinde gösteriniz.

141