mukavemetle ilgili bilgiler örnek çözümlerFull description
Full description
SAU Mukavemet 1 dersi notlar
SAU Mukavemet 2 dersi notlarFull description
mukavemet sorulariFull description
Full description
Mukavemet 2 eskişehir osmangazi üniversitesi ders notlarıFull description
Mukavemet 2 eskişehir osmangazi üniversitesi ders notları
Full description
Descripción: Mukavemet 2 eskişehir osmangazi üniversitesi ders notları
Mukavemet 2 eskişehir osmangazi üniversitesi ders notları
asansör hesabıFull description
Çözümlü sorularFull description
ELASTİK EĞRİ Yapı yönetmeliklerindeki deformasyon hükümleri 2- Eğilme Momenti ile Şekil değiştirme arasındaki ilişki 3- Elastik Eğri (EE) tanımı, Diferansiyel Denkleminin çıkartılması ve sınır koşulları 4- Örnek problemler 1-
– – – – –
Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm Dördüncü mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm İkinci mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm Yük veya yük şiddetinde şiddetinde değişme olması hali ile ilgili problemler Hiperstatik problemlerin çözümünde EE’nin EE’nin kullanılması
Çalışma soruları DALGALANAN KÖPRÜDE ASFALTTA SÖRF 6 KATLI BA BİNANIN DEPREM TESTİ
Amaç: y eksenine göre simetrik kesite sahip kirişlerde yalnızca Momentten oluşan eğim ve sehimin bulunması
dM
EI v
dx
x,u
dx
d 2v dx
2
v
1 v2
dS dx
3/ 2
M
, EI
q y
v,
1
M
EI
EI v M dM dx
S
İkinci mertebeden diferansiyel denklem
EI v M EI v
dv
S
Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem
d 2M
dS q x dx 2 dx
Dördüncü mertebeden diferansiyel denklem
Sınır koşulları V
v a 0
a x
a 0
Ankestre uçta çökme ve dönme yoktur.
M a C
P
V
C x a
S a P
Serbest uçtaki moment ve kesme kuvveti etkiyen yüke eşit olmalıdır.
V a
v a 0
x M a
Mafsallı uçta çökme ve moment yoktur.
0
Geometrik
Sınır Koşulları
Dinamik
Sınır Koşulları
ÖRNEK 1
Şekilde gösterilen konsol kirişin elastik eğri denklemini üçüncü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak bulunuz. B noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.
y
A
P
EI v
x
B
L-x
M A=-PL S A=-P
dM dx
M
N
x L
S M
P
P
PL
S N
+
B
S=-P
S
Sınır Koşulları
EI v P EI v Px C 1 EI v EI v
y
Px 2 2
Px3 6
M ( x 0) PL C1 PL
C1 x C 2 C1
x2 2
C2 x C 3
v( x 0) 0 C 3 0 P x 2
P x
A
PL2 v Lx B EI 2 2EI v
v B B L
v( x 0) 0 C 2 0
P x3
Lx 2
PL3
v B EI 6 2 3EI
ÖRNEK 2
Şekilde gösterilen konsol kirişin elastik eğri denklemini dördüncücü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak bulunuz. B noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.
y
S M
qL²/2 A
N
EI v q
x
+
B
L M A=-qL²/2 S A=-qL
S
N
q
qL
M
Sınır Koşulları
EI v q
S ( x 0) qL
EI v qx C 1 EI v q
2
x
EI v q EI v q
x 2
C1x C 2
3
6
x 4 24
C1 C1
x
M ( x 0) q
L2
2
2 x3 6
C 2 x C 3 C2
x2 2
C3x C 4
2
C1 qL C2 q
v( x 0) 0
C 3 0
v( x
C 4
0) 0
L2 2
0
y x
A
v B B
q
qL
qL2
EI v x x x 6 2 2 EI v
q 24
3
x 4
qL 6
2
x 3
qL2 4
x
B 2
v B
qL3 6 EI qL4 8
7
Şekilde gösterilen basit kirişin elastik eğri denklemini ikinci mertebeden diferansiyel denklem kullanarak bulunuz. En büyük sehimin yerini ve değerini hesaplayınız.
ÖRNEK 3
y
y q
M ( x )
q
A
x
B
qL
L
2
qL
2
2
2
2
qL 2
x
x
A
qL
qx
x
S ( x) qx
q L 2
EI v M EI v EI v EI v
qx 2
2 qx
3
qx
4
24
EI v EI v
qx 6 q
24
4 qL 12
3
4
Sınır Koşulları
x
2 qL
6
qL
y q
3
v( x L) 0 C1
x 2 C 1
x
4
3
2
x
qL 12
24
A
B A
v( x 0) 0 C 2 0
x 3 C1x C 2
qL
qL
qL
Eğimin sıfır olduğu yerde sehim en büyük değerine ulaşır.
24
x
B
L
3
3
v0
qL
24
x
v( ) 0, L 2
v( ) L 2
5 qL4 384 EI
x
ÖRNEK 4
y
Şekilde gösterilen basit kirişin elastik eğri denklemini bulu nuz. C noktasındaki sehimi hesaplayınız.
A
L
P b 6 L
b L
Pa c
L
EI v2
x
P b
x 3 c1x c2
C
c2 0
B
Sınır Koşulları
x
v1 x a v2 x a
vc v2
L
x P x a P a 1
2 x EI v2 P a x c3 2 L x 2 x 3 EI v2 P a c3 x c4 2 6 L
y
v1
x
a < x < L bölgesi
v1 x 0 0
A
B Vc
a
P b
P b 2 EI v1 x c1 2 L EI v1
A
C
0 < x < a bölgesi P b
x
B
L
EI v1
y
P
v1 x a v2 x a
x
L
PaL2
v2 x L 0 Pa3b 6 L Pa2b 2 L
c1a
Pa 3 2
c1 Pa 2
2
Pa 4 6L
Pa 3 2L
PaL2 6
c3L c4 0
c3a c 4
c3
9
y P A
B
x
C
c1
v1
Pb 6 L
L b ,
Pb 6 LEI
v1
2
c2 0,
2
xL b x
Pb
2
2
L b 6 LEI 2
2
2
3x
c3
Pa 6L
2L a , c4 2
2
2
pa3
P b
6
L
v2
v2
Pb
b
Pa L
L
3
L b 6 LEI Pb
a
2
L b 6 LEI 2
2
2
x 2
3x 2
P x a 6 EI
P x a
2
2 EI
C noktasındaki eğim ve sehim (x=a)
Pb
Özel durum: a=b=L/2
c
L 3a 6 EIL
vc
Pba
v1 0
2
L a 6 EIL 2
2
2
b2
P
b2
ya da v2 0 dan x
C 0 3
vmaks
PL
48 EI
en büyük çokme hesaplanabilir.
10
ÖRNEK 5
Şekilde görülen konsollu kirişin elastik eğri denklemini; a)
İkinci mertebeden diferansiyel denklem kullanarak,
b)
Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak çıkartınız. y
P x
A
EI v M 0 x L
EI v1
P 2
EI v1
B P/2
M1
P 2
3P/2
L
L/2
3 L x L 2
x
EI v2 Px
x
P
EI v1
C
P
x2 c1
EI v2
x3 c1 x c2
EI v2
4 P 12
v1 x 0 0
c2 0
v1 x L 0
P
12
L c1L 0 3
c1
PL2 12
2
6
3 L x 2
M 2 P
3 PL 2
x2
P
3PL
x3
2
x c3
3PL 4
x 2 c3 x c 4
11
P
v1 x L v2 x L
L 2
4
P L2 12
P L2
2
3 P L2 2
c3
c3
y
5 P L2
P
6
x
A
PL3
v2 x L 0
6
3PL3 4
5PL2 6
c4
c4 0
C
P L3 B
4 P/2
3P/2
L
L/2
Elastik eğri denklemleri Konsol
v1
Px
L
2
12 EI
x
0 xL EIv1
2
v2
S 1
P 2
P 2 P
EI v1
2
EI v1
P
EI v1
P
4 12
P
3L
2
12 EI
2
2
10L x 9Lx 2x
EI v
dM dx
3
3
PL 3 L v2 8 EI 2
Ucundaki
Çökme
S L x
3
S2 P
L
2
EI v2 P x c1
EI v2 Px c4
x 2 c1x c2 x c1 3
x2 2
c2 x c3
EI v2 EI v2
P 2
P 6
x 2 c4 x c5
x c4 3
x2 2
c5 x c6 12
Şekilde gösterilen konsollu kirişin reaksiyon kuvvetlerini çift katlı integrasyon yolu ile hesaplayınız.
ÖRNEK 6 y
q
A
x
C B
L
L/3
q MA
A
C
Düşey yükler etkisindeki yatay kirişlerde reaksiyon doğrultuda oluşmayacağından yazılabilecek iki adet denge denklemi mevcuttur. Bu iki denklemde bilinmeyen üç reaksiyon kuvveti bulunur. Çözüm için gereken üçüncü denklemi elastik eğri bağıntısı sağlar.
B R A
F y 0,
R A RB q L 3
I
4 L 4 L L 4 2 qL 3 6 3 9
R A L M A q
2
RA x 0,
EIv R A x M A
EIv
M 0 4
M M A q
x 2
qx
2
6
II
1 1 qL 24 3 2 R L M L 0 * A A 2 2 24 6 L 4
1
c1
qx4
c1x c2 R A x M A x 2 24 3
2
v 0 0 c2 0 v 0 0 c 0 1
Sınır koşulları: EIv
1 6
1
qx4
R A x M A x 2 24 3
2
v1 L 0
1 6
1
qL4
0 R A L M A L 2 24 3
2
III
4 R A L 12M A qL2
16 2 7 2 2 8 M qL qL qL A 9 9 R A L M A qL2 9 4
M A
2
2 qx3
6
M RA x M A
qx2
2
1
1
M
x
R A
EIv R A x 2 M A x
RB L/3
L
q
MA
7
qL2 , RA
13
qL,
RB
19
qL
13
ÖRNEK 7
y
Şekilde gösterilen ankastre kirişin B mesnedi kiriş eksenine dik yönde Δ kadar yer değiştirmektedir. Çubuk uç kuvvetlerini elastik eğri denklemi sehim yardımıyla hesaplayınız. Eğim ve fonksiyonlarını yazınız. Δ=1 olması durumundaki çubuk ucu kuvvetlerini bir şekil üzerinde gösteriniz.
M A
L B
EI x
L
A
L
L
EI v M EI v EI v EI v
M A M B L
M A M B x 2 L
2
M A M B x 3 L
Sınır Koşulları
x M A
6
M A x C 1 M A
x2 2
C1x C 2
x
L
M A M B
M A M B
x
y
M B
EI
B EI
B
y
A
A
v( x 0) 0 C 1 0 v( x 0) 0 C 2 0
Ek Sınır Koşulları EI v EI v
M A M B x 2 L
2
M A M B x3 L
6
M A x M A
x2 2
v( x L) 0
M A M B L2
v ( x L)
L
2
2 M A L3 L
M A L 0 M A M B
M A
6
L2 2
M A
x L3 2 L2 L2 L 12 EI x 3 6 EI x 2 6 EI x 3 x 2 EI v 2 3 2 L 6 L 2 L 3L 2 EI v
12 EI x 2
6 EI
x
6 EI
EI
y
x2
B
6 EI
6 EI EI
L2
1
2
L
A
x
L
12 EI 3
L
12 EI 3
L
6EI L2
ÖRNEK 8 Şekilde gösterilen ankastre kirişin B mesnedi M B momentinin etkisiyle θ kadar dönmektedir. Çubuk uç kuvvetlerini elastik eğri denklemi yardımıyla hesaplayınız. Eğim ve sehim fonksiyonlarını yazınız. θ=1 olması durumundaki çubuk ucu kuvvetlerini bir şekil üzerinde gösteriniz.
y M B
A
M B
A
L
B
A
x
EI
M A
y
EI v
L
M A M B
M A M B
L
L
M A M B L
x M A
M A M B x 2 L
2
M A M B x L
6
Sınır Koşulları
M A x C 1
3
M A
EI
EI v M
EI v
x
y
EI v
B
EI
x
2
2
C1x C 2
v( x 0) 0 C 2 0 v( x 0) 0 C 1 0
B x
EI v EI v
M A M B x 2 L
2
M A M B x 3 L
6
Ek Sınır Koşulları
M A x M A
x2
M A M B L3
v ( x L) 0
2
v( x L) 6 EI x 2
EI v
L2
2
6 EI x 3
EI v
L2
6
M A M B L2
2 EI L
L
x
2 EI x 2 L
6
L
2
2
EI 3x 2
L L
0
M MA B 2
M A L EI
M B
M A
2x
EI x 3
2 x L L
1
y
4 EI
A
L
2 EI L
6 EI 2
L
B x
EI 6 EI 2
L
L2 2
4 EI L
ÖRNEK 10
ÖRNEK 9
Yükleme durumu şekilde verilen konsol kirişin elastik eğri denklemini bulunuz.
Yükleme durumu şekilde verilen konsol kirişin elastik eğri denklemini bulunuz. A noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.
35 kN
y
A
B
x
M 35 x 144, EIv 35x 144 1
A
x
4 4m
v'
10 kN
y
(17.5 x 2 144 x)
EI 1 v (5.833 x 3 72 x 2 ) EI
kNm
C
B 2m
1m
0 x 1 m
1 x 3 m
EIv1 0
EIv2 10 10 x
v '1
20
EI 1 v1 (20 x 46.667) EI
v '2
1
(5 x 2 10 x 15)
EI 1 v2 ( 35 x3 5x 2 15x 45) EI
18
Yükleme durumu ve boyutları şekilde gösterilen kirişlerin elastik eğri denklemini çıkartınız. En büyük sehimin yerini ve değerini hesaplayınız. y
a
y
q A
B
x
b
q B
A
x C
L/2
L
L/2 y
y
c
A
L/2
M0
B
x
d
M0
A
B
x C
D
L/3
L
2L/3
L
y
Yükleme durumu yanda verilen hiperstatik kirişin B mesnedi, eksenine dik doğrultuda Δ kadar yer değiştirmektedir. Mesnet reaksiyonlarını elastik eğri denklemi yardımıyla hesaplayınız. B mesnedindeki eğimi belirleyiniz.
