Problemas Resueltos. Capítulo 39: Naturaleza Ondulatoria de las Partículas.
39.2
Longitud de onda para una partícula alfa. Una partícula alfa (m = 6.64 x 10-27 kg) emitida en el decaimiento radiactivo del uranio 238 tiene 4.20 MeV de energía. ¿Cuál es su longitud de onda de De Broglie? λ =
h p
h
=
2mE
(6.63 × 10 −34 J ⋅ s)
λ =
2(6.64 × 10 −27 kg )(4.20 × 10 6 eV)(1.60 × 10 −19 J e V)
= 7.02 × 10 −15 m.
39.5
En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, ¿cuál es la longitud de onda de De Broglie del electrón, cuando está a) en el nivel n 5 1 y b) en el nivel n 5 4? En cada caso, compare la longitud de De Broglie con la circunferencia 2prn de la órbita. a) En el modelo de Bohr mv r n La onda de De Broglie es 2π r n h h for n = 1 : = = λ = p
mv
n
=
nh
2π
.
r 1 = a0 = 5.29 × 10
−11
m ⇒ λ 1 = 2π (5.29 × 10 −11 m) = 3.32 × 10 −10 m.
Esto es igual a la circunferencia de la orbita b) n = 4 :
r 4
= (4) 2 a0 = 16a0 ⇒ λ 4 =
2π (16a0 ) 4
= 4λ ,
⇒ λ 4 = 1.33 × 10−9 m. La longitud de onda de Broglie es de un cuarto de la circunferencia del la órbita, 2πr 4 .
39.6
a) una partícula libre no relativista de masa m tiene energía cinetica K. deduzca una ecuación de la longitud de onda de De Broglie de la particula en función de m y K b) ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un electron de 800 eV.? a) para una particula no relativista, K =
λ =
h p
h
=
2 Km
p 2
2m
, so
.
b) (6.63 × 10−34 J ⋅ s)
2(800 eV) (1.60 × 10−19 J/eV ) (9.11 × 10−31 Kg) = 4.34 × 10 −11 m.
39.9 a- Si hay un fotón y un electrón tienen la misma energía de 20eV cada uno, determine su longitud de onda. b- Si un fotón y un electrón tienen la misma longitud de onda de 250nm cada uno, calcule su energía. c- Va a estudiar una molécula orgánica de unos 250nm de longitud, ¿usará un microscopio óptico o uno electrónico? Aproximadamente, ¿cuál es la longitud de onda que debe usar y qué técnica?, ¿los fotones o los electrones? Probablemente, ¿cuál de los dos dañará menos la m ólecula?
a) fotón E =
hc
λ
⇒ λ =
hc E
=
(6.626 × 10
−34
J ⋅ s) (2.998 ×10 m s) 8
(20.0 eV) (1.602 × 10−19 J e V)
= 62.0 nm
electrón E = p 2 (2m) ⇒ p =
2.416 × 10
−24
2mE =
2(9.109 × 10−31 kg) (20.0 eV) (1.602 × 10−19 J e V) =
kg ⋅ m s
λ = h p = 0.274 nm − 19
b) fotón
E = hc λ = 7.946 × 10
electrón
λ
=h
p⇒ p
=h
J = 4.96 eV
λ = 2.650 ×10
−27
kg ⋅ m s
E = p (2 m) = 3.856 × 10 2
− 24
−5
J = 2.41 × 10 eV
c) Debes usar una sonda de longitud de onda de aproximadamente 250 nm. Un electron con λ = 250 nm tiene mucha menos energía que un fotón con λ = 250 nm, por lo que es menos probable que dañe la molécula.
39.12
¿A través de qué diferencia de potencial se deben acelerar los electrones para que tengan a) la misma longitud de onda que un rayo x de 0.150 nm y b) la misma energía que el rayo x del inciso a)? λ = h mv → v
e∆ V
= 21 mv
∆V = =
= h mλ
2
mv 2
2e
=
m( mhλ )
2e
2
=
h2
2emλ 2
(6.626 ×10 − J ⋅ s) 34
2
2(1.60 ×10 −19 C)(9.11×10 −31 kg)(0.15 ×10 −9 m) 2
= 66.9V E foton = hf =
hc
λ
=
(6.626 × 10 −34 J ⋅ s)(3.0 × 10 8 m s) 0.15 × 10
−9
m
= 1.33 × 10 −15 J
e∆V = K = E foton
∆V =
E foton e
=
1.33 × 10 −15 J 1.6 × 10 −19 C
= 8310V
39.14.
Un haz de electrones de 188 eV se dirige, con incidencia normal, hacia una superficie cristalina como se observa en la figura 39.4b. El máximo de intensidad de m =2 está en un ángulo θ = 60.6º . a) ¿Cuál es la distancia entre átomos adyacentes en la superficie? b) ¿En qué otro ángulo, o ángulos, hay un máximo de intensidad? c) ¿Para qué energía de electrón (eV) estaría el máximo de intensidad de m=1 en θ = 60.6º ? Para esta energía ¿hay un máximo de intensidad de m=2? Explique por qué.
La intensidad maxima ocurre cuando d sθeλ. nm =
λ
h p
h
=
2 ME
mh
d =
a)
=
2 ME senθ
=
⇒ d sθ e n =
mh .
2 ME
(2) (6.63 ×10 −34 J ⋅ s) 2(9.11×10 −31 kg) (188 eV) (1.60 ×10 −19 J e V) s e n(60.6 °)
= 2.06 × 10 −10
m = 0.206 nm.
b) m = 1 also gives a maximum.
− (1) (6.63×10 34 J ⋅ s) mh θ = arcsen arcsin = −31 −19 −10 med 2 2(9.11×10 kg) (188 eV) (1.60 ×10 J e V) (2.06 ×10 m)
= 25.8°. . c) E =
m2h2
2 Md 2 sin 2 θ
=
(1) 2 (6.63 × 10 −34 J ⋅ s) 2 2(9.11 × 10 −31 kg) (2.60 × 10 −10 m) 2 sin 2 (60.6°)
= 7.49 × 10 −18 J = 46.8 eV. Usandando esta energia, si dejamos que
= 2 maximos en este caso
mθ= 2, ⇒ sin no hay > 1en ∴, m
39.15
Un haz de partículas alfa de 840 eV (m=6.64 x
kg) se dispersa en los
atomos cuya distancia es 0.0834 m en el plano superficial de un cristal. ¿a qué ángulo φ en la figura 39.3 se presenta el máximo de intensidad de m = 1?
d sin θ = mλ .
si m = 1 : pero λ =
θ = arcsin[λ d ] h p
=
h
2mE
=
6.63 × 10 −34 J ⋅ s 2(6.64 × 10 −27 kg) (840 eV) (1.60 × 10 −19 J/eV)
⇒ λ = 4.96 × 10 −13 m. 4.96 × 10 −13 m por eso θ = arcsin = 0.341°. −11 8 . 34 10 m ×
39.20
Una canica de 10.0 g se coloca suavemente sobre una mesa horizontal que tiene 1.75 m de ancho. a) ¿Cuál es la incertidumbre máxima en la posición horizontal de la canica? b) Según el principio de incertidumbre de Heizenberg, ¿qué incertidumbre mínima tiene la velocidad horizontal de la canica? c) A la luz de su respuesta al inciso b), ¿cuál es el tiempo máximo que la canica podría permanecer en la mesa? Compare este tiempo con la edad del Universo, que es aproximadamente de 14 mil millones de años. (Sugerencia: ¿puede usted saber que la velocidad horizontal de la canica es exactamente cero?) a) (∆ x) ( m∆ vx ) ≥ h 2π , y estableciendo ∆vx = (0.010)vx y el producto de la incertidumbre es igual a h / 2π (por el minimo de incertidumbre) da vx = h (2π m(0.010)∆ x) = 57.9 m s. b) Lo repetimos con la masa del protón 31.6 mm s.
39.21
La distancia entre átomos adyacentes sobre la superficie de un cristal de níquel es 0,125nm. Si la fila de átomos de la figura 39.4b está en la dirección x, podemos considerar que la incertidumbre en la coordenada x de cada átomo es, aproximadamente, la mitad de la distancia entre ellos. La masa de un solo átomo de níquel es 3,75 ⋅10−26 kg . a- Estime la incertidumbre mínima en el componente x de la cantidad de movimiento de un átomo de níquel en el cristal. b. Si la magnitud de la cantidad de movimiento de un átomo de níquel es igual a la incertidumbre determinada en la parte (a) ¿cuál es su energía cinética? Exprese el resultado en joules y en electrón volt. c- Si cada átomo de un cristal de níquel de 1kg tuviera la energía cinética calculada en la parte (b), ¿cuál sería la energía cinética combinada de todos los átomos, en joules? d- Si toda esta energía cinética se pudiera convertir en energía potencial gravitacional, ¿a qué altura subiría el cristal de níquel? e- Aplique el principio de incertidumbre de Heisenberg para explicar por qué es imposible la conversión de la energía descrita en la parte (d).
h h ⇒ ∆p = 2π 2π ∆ x
∆p∆x =
=
=
J ⋅ s)
0.215 × 10 m 2π 2 −9
−25
= 9.82 × 10−25 kg ⋅ m s.
p (9.82 × 10 m) = = 4.95 × 10 −24 J = 3.09 × 10 −5 eV. −26 2m 2(9.75 × 10 kg) 2
b) K
−34
(6.63 × 10
2
1.00 kg −24 (4.95 × 10 J) = 50.8 J. −26 9.75 × 10 kg Ni
c) K total
= NK =
d) mgh
= K total ⇒ h =
K total mg
=
50.8 J (1.00 kg) (9.81 m s 2 )
= 5.18 m.
e) Uno espera saber ambos: un exacto momento para cada átomo (dando lugar a una energía cinética exacta del sistema) y una exacta posición para cada átomo (dando lugar a una energía potencial exacta del sistema), violando el principio de incertidumbre de Heisenberg.
39.23
La partícula ψ (“psi”) tiene una energía en reposo de 3097 MeV (1 MeV= 106 eV). Es inestable y su vida es de 7.6 x 10 -21 s. Estime la incertidumbre en la energía en reposo de la partícula c. Exprese su respuesta en MeV, y como fracción de la energía en reposo de esa partícula. −34
∆E∆t =
(6.63 × 10 J ⋅ s) h h ⇒ ∆E = = 2π 2π ∆ t 2π (7.6 × 10 −21 s)
= 1.39 × 10 −14 J = 8.69 ×
10 eV = 0.0869 M eV. 4
∆E 0.0869 M eV c2 = = 2.81 × 10 −5. 2 E
3097 MeV c
39.26:
a) En un microscopio electrónico, ¿qué voltaje de aceleración se necesita para obtener electrones con una longitud de onda de 0.0600 nm? b) Si en vez de electrones se usan protones, ¿qué voltaje de aceleración se necesita para producir protones cuya longitud de onda sea de 0.0600 nm? (Sugerencia: en cada caso, la energía cinética inicial es despreciable.) a) eV = K =
p 2
2m
=
(h λ ) 2 2m
, so V =
( h λ ) 2 2me
= 419 V.
b) El voltaje se reduce en la proporción de la masa de las partículas, (419 V)
9.11 × 10 −31 kg 1.67 × 10 −27 kg
= 0.229 V.
39.28
Calcule |Ψ
para Ψ = ψ sen wt, siendo ψ independiente del tiempo, y w una
constante real. ¿es una función de onda para un estado estacionario?¿por qué?
Ψ ∗ = ψ ∗ sin ωt , so 2
Ψ = Ψ *Ψ = ψ *ψ sin 2 ωt = ψ Ψ
2
2
sin 2 ωt .
no es independiente del tiempo, so Ψ no es una función de onda para un
estado estacionado. 39.30
Calcule para C 5 csen vt, donde c es independiente del tiempo, y v es una constante real. ¿Es una función de onda para un estado estacionario? ¿Por qué?
a) a) La incertidumbre en la posición de la partícula es proporcional a la
()
anchura de ψ x , y es inversamente proporcional a
α . Esto puede ser visto por
cualquiera de representar la funciónpara diferentes valores de α , encontrar el valor esperado de la función de onda normalizadao por encontrar el ancho a la mitad del máximo. La incertidumbre de la partícula en la posición disminuye con el aumento α . La dependencia de la expectativa de valor 〈x
2
α considerando:
〈 x 〉 = ∫ 2
∞
x 2e
− 2 α x 2
−∞ ∞ − 2 α x 2
∫e
−∞
=−
dx
dx
∂ ∞ − 2α x ln e 2 ∂α ∫ − ∞
1
2
dx
〉 se pueden encontrar en el
=−
∂ 1 ∞ −u e ln 2 ∂α 2α ∫− ∞
1
2
1 = , 4α
du
Donde se ha hecho la sustitución u = α x . (b) Dado que la incertidumbre disminuye en la posición,la incertidumbre en el momento debe aumentar.
39.35 Sean ϕ 1 y ϕ 2 dos soluciones de la ecuación (38.19) con energías E 1 y E 2 ,
respectivamente, donde E1 ≠ E 2 . ¿Es ϕ = Aϕ1 + Bϕ 2 una solución de la ecuación(38.18), si A y B son constantes distintas de cero? Explique su respuesta. 2
2
d ψ − + Uψ = BE1ψ 1 2m dx2
+ CE2ψ 2 .
Si ψ fuera una solución con energía E, entonces BE1ψ 1 + CE2ψ 2 B(E1 − E )ψ 1
= BEψ 1 + CEψ 2 o
= C( E − E2 )ψ 2 .
Esto significaría que ψ 1 es una constant múltiplo de ψ 2 , y ψ 1 y ψ 2 serían funciones de onda con la misma energía. Sin embargo, E1 ≠ E 2 , entonces ésto no es posible, y ψ no puede ser solución de Ec. (39.18).
39.40
Unos electrones pasan por una sola rendija de 150 nm de ancho y llegan a una pantalla a 24.0 cm de distancia. Se determina que no llegan electrones a la pantalla en ángulos mayores que 620.0°, pero que sí los hay en todos los puntos más cercanos al centro. a) ¿Qué velocidad tenían esos electrones al pasar por la rendija? b) ¿Cuáles serán los siguientes ángulos mayores en los que no llegan electrones a la pantalla? a) Difracción de rendija: asinθ = mλ −9 −8 λ = a sinθ = (150 × 10 m) sin20° = 5.13 × 10 m λ = h mv → v = h mλ −34 6.626 × 10 J ⋅ s v= = 1.42 × 10 4 m s −31 −8 (9.11× 10 kg)(5.13 × 10 m) b) asinθ 2 = 2λ
−8
λ 5.13 × 10 m sinθ 2 = ± 2 = ± 2 = ± 0.684 −9 a 150 × 10 m θ 2 = ± 43.2°
39.42 Para explorar la estructura interior del núcleo atómico se usan electrones de
alta rapidez. Para ellos sigue siendo válida la ecuación l λ =
h p
, pero se debe
usar la ecuación relativista de la cantidad de movimiento p = mv
( c)
1− v
2
Demuestre que la rapidez de un electrón cuya longitud de onda l de De Broglie es c v= 2 mcλ 1+ h
b) la cantidad h/mc es igual a 2.426 x10−12 m [Como vimos en la sección 38.7, esta misma cantidad aparece en la ecuación (38.23), de la dispersión de Compton de fotones por electrones.] Si λ es pequeña en comparación con h/mc, el denominador en la ecuación determinada en la parte a) se acerca a la unidad, y la rapidez v se acerca mucho a c. En este caso, conviene escribir v = (1 − ∆ )c y expresar la rapidez del electrón en función de ∆ y no de v. Deduzca una ecuación para ∆ que sea válida cuando λ << h [Sugerencia: use el desarrollo del binomio válido para el caso mc z < 1 ] c) ¿Con qué rapidez se debe mover un electrón para que su longitud de onda de De Broglie sea de 1 x10−15 m , comparable con el tamaño de un protón? Exprese su respuesta en la forma v = (1 − ∆ )c , y determine el valor del delta. 12
a)
λ
=
⇒v =
h p
v 2 h1 − 2 c = mv
h
2
b) v =
∆=
2 v 2 h 2v 2 2 2 2 2 v 2 ⇒ λ m v = h 1 − 2 = h − 2 ⇒ λ m v + h 2 = h 2 c c c 2
2
2 2 h 2 λ m + 2 c
c
=
12
λ 2 1 + (h mc)
2h 2
.
2
2
2
λ 2 m 2 c 2 + 1 2 h
c
m 2 c 2 λ 2
2
⇒v=
c
mcλ 1 + h
1 mcλ 2 ≈ c1 − = (1 − ∆)c. 2 h
2
12
.
c)
λ
= 1.00 × 10 −15 m <<
Entonces
∆=
h
.
mc
(9.11 × 10 −31 kg) 2 (3.00 × 108 m s) 2 (1.00 × 10 −15 m) 2 2(6.63 × 10
−34
J ⋅ s)
2
= 8.50 × 10 −8
⇒ v = (1 − Δ)c = (1 − 8.50 × 10−8 )c.
39.44
Para una partícula la relación de De Broglie λ = h/p sigue siendo válida, pero la magnitud de la cantidad de movimiento p se relaciona con la energía total E mediante E² = (pc)² + (mc²)². La energía cinetica es K = E - mc² a) demuestre que la longitud de onda de De Broglie para una particula de energía cinética K y masa en reposo m es
b) deduzca ecuaciones aproximadas para expresar λ en función de K en los casos especiales: i) K mc² (limite no relativista) y ii) K mc² (limite relativista extremo) c) calcule la longitud de onda de De Broglie para un protón de 7.00GeV de energía cinética d) repita la parte c) para un electrón con 25.0MeV de energía cinética.
a) E 2
= p 2 c 2 + m 2 c 4 and E = K + mc 2 ⇒ ( K + mc 2 ) 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4
⇒ p =
=
[( K + mc 2 ) 2 − m 2 c 4 ]1 2
=
c
[ K 2 + 2 Kmc 2 + m 2 c 4 − m 2 c 4 ]1 2 c
[ K ( K + 2mc 2 )]1 2 c
⇒ λ =
h p
=
hc
[ K ( K + 2mc 2 )]1 2
b) i) K << mc 2
λ ≈
ii) K >> mc 2
λ ≈
.
hc
(2 Kmc 2 )1 2 hc
( K 2 )1 2
=
h
=
hc K
( 2 Km)1 2 .
c) K = 7.00 × 10 9 eV = 1.12 × 10 −9 J.
.
m = 1.67 × 10 λ
=
=
−27
kg.
hc
[ K(K + 2mc 2 )]1 2 (6.63 × 10 −34 J ⋅ s)(3.00 × 10 8 m s)
[(1.12 × 10 −9 J)(1.12 × 10 −9 J + 2(1.67 × 10 − 27 kg)(3.00 × 10 8 m s) 2 )]1 2
= 1.57 × 10 −16 m. d) K = 25.0 × 10 6 eV = 4.00 × 10 −12 J. m = 9.11 × 10 − kg. 31
λ
=
(6.63 × 10 −34 J)(3.00 × 108 m s) [4.00 × 10 −12 J(4.00 × 10 −12 J + 2(9.11 × 10 −31 kg)(3.00 × 108 m s)]1 2
= 4.87 × 10 −14 m.
39. 45 ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un glóbulo rojo, con masa de 1.00 3 10211 g, que se mueve a 0.400 cm>s? ¿Debemos preocuparnos por la naturaleza ondulatoria de los glóbulos rojos al describir el flujo de la sangre por el organismo? 2 a) Ya que K > mc debemos usar la expresión relativista para la energía. 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 E = p c + m c but E = K + mc ⇒ ( K + mc ) = p c + m c [(K + mc ) − m c )] ⇒ p= c 2 2
If K
2
= 3mc2 then λ =
b) i) m = 9.11 × 10 = 2.46 × 10 −13 J
4
12
h hc . = p [(K + mc2 )2 − m2 c4 ]1 2 hc h = . [(4mc2 )2 − m2 c4 ]1 2 15 mc
−31
⇒ λ =
kg K = 3mc
2
= 3(9.11 × 10 −31 kg)(3.00 × 108 m
s)
= 1.54 M eV. λ =
h 15 mc
=
(6.63 × 10
15(9.11 × 10
ii) m = 1.67 × 10 = 4.51 × 10−10 J
= 2.82 × 103 M eV.
−27
kg
−31
−13
J ⋅ s)
kg)(3.00 × 10 m s) 8
= 6.2 × 10 −13 m. − 27 2 8 2 K = 3mc = 3(1.67 × 10 kg)(3.00 × 10 m s)
2
λ =
h 15 mc
=
(6.63 × 10 −34 J ⋅ s)
15(1.67 × 10
−27
kg)(3.00 × 10 m s) 8
= 3.42 × 10 −16 m. 39.48 Energía de un protó n en un núcleo. Los radios de los núcleos atómicos son del orden de 5 ⋅ 10−15 m . a- Estime la incertidumbre mínima en la cantidad de movimiento de un electrón, si está confinado dentro de un núcleo. b- Suponga que esta incertidumbre en la cantidad de movimiento es una estimación de la magnitud de esa cantidad. Use la relación relativista entre la energía y la cantidad de movimiento, la ecuación (37.39), para obtener una estimación de la energía cinética de un protón confinado dentro de un núcleo. c- Para que un protón permanezca enlazado dentro de un núcleo ¿cuál debe ser la magnitud de la energía potencial (negativa)? Exprese su respuesta en eV y en MeV. Compárela con la energía potencial de un electrón en un átomo de hidrógeno, cuya magnitud es de algunas decenas de eV. −34
(6.626 × 10 J ⋅ s) = 2.1 × 10 −20 kg ⋅ m s. a) −15 2π (5.0 × 10 m)
b) K
=
2
( pc)
+ (mc2 )2 − mc2 = 1.3 × 10 −13 J = 0.82 M eV.
c) El resultado de la parte (b), alrededor de 1MeV = 1 × 10 eV, es muchos órdenes de magnitud mayor que la energía potencial de un electrón en un átomo de hidrógeno. 6
39.49 Energía del electrón en un núcleo. Los radios de los núcleos atómicos son del orden de 5.0 x 10 -15 m. a) Estime la incertidumbre mínima en la cantidad de movimiento de un electrón, si está confinado dentro de un núcleo. b) Suponga que esta incertidumbre en la cantidad de movimiento es una estimación de la magnitud de esa cantidad. Use la relación relativista entre energía y cantidad de movimiento, ecuación (37.39), para obtener un estimado de la energía cinética de un electrón confinado dentro de un núcleo. c) Compare la energía calculada en el inciso b) con la magnitud de la energía potencial de Coulomb de un protón y un electrón separados una distancia de 5.0 x 10 -15 m. Con base en su resultado, ¿podría haber electrones dentro del núcleo? (Nota: es interesante comparar este resultado con el del problema 39.50.)
a)
−34
6.63 × 10 J ⋅ s h ∆p(min) = = = 2.1 × 10−20 kg ⋅ m s −15 2π ∆ x 2π (5.0 × 10 m) b)
E = ( pc)
+ (mc2 )2 = [(2.1 × 10−20 kg ⋅ m s)(3.0 × 108 m s)]2 + [(9.11 × 10−31 kg)(3.0 × 108 m s)2 ]2 2
= 6.3 × 10−12 J = 39.5 M eV. 2 K = E − mc = 38.8 M eV −19
(1.60 × 10 C) qq c) U = 1 2 ⇒ U = − 4πε 0V 4πε 0 (5.0 × 10−15 m) 2
= −4.60 × 10 −14 J = − 0.29 MeV
39.51:
El pión neutro ( π 0 ) es una partícula inestable producida en choques de partículas con alta energía. Su masa aproximada es 264 veces la del electrón, y su duración promedio es de 8.4 x10−17 s antes de desintegrarse en dos fotones de rayos gamma. Use la relación E = mc 2 entre la masa en reposo y la energía, para calcular la incertidumbre en la masa de la partícula, y exprésela como fracción de esa masa.
∆ E =
h
2π ∆t
=
(6.63 × 10 −34 J ⋅ s) 2π (8.4 × 10
Pero ∆ E = ( ∆m)c
⇒
∆m m
=
2
−17
⇒ ∆m =
1.4 × 10 −35 kg 264(9.11 × 10
s)
−31
kg)
= 1.26 × 10 −18 J ∆ E c
2
=
1.26 × 10 −18 J (3.0 × 10 m s) 8
2
= 1.4 × 10 −35 kg
= 5.8 × 10 −8
39.55
En otro universo, el valor de la constante de Planck es 6.63 x
J.s
Suponga que las leyes de física y todas las demás constantes físicas son las mismas que las de nuestro universo. En el otro universo, un átomo se encuentra en un estado excitado a 4.50 eV arriba del nivel fundamental. La vida de este estado excitado (el tiempo promedio que permanece el electrón en ese estado) es 2.24 x
¿Cuál es la incertidumbre mínima (en eV) en la energía del fotón emitido cuando el átomo hace la transición de este estado excitado al estado fundamental?
∆ E =
h′
2π ∆t
=
6.63 × 10 −22 J ⋅ s 2π ( 2.24 × 10
−3
s)
= 4.71 × 10 −20 J = 0.294 eV.
note que esta incertidumbre es mucho más grande que la incertidumbre verdadera como comparar 4.50 eV.
39.56
Incertidumbres en los espectros atómicos. Cierto átomo tiene un nivel de energía de 2.58 eV arriba del nivel fundamental. Una vez excitado hasta este nivel, permanece allí durante 1.64 3 1027 s (aproximadamente) antes de emitir un fotón y regresar al nivel fundamental. a) ¿Cuál es la energía del fotón (en electrón volts)? ¿Cuál es su longitud de onda (en nanómetros)? b) Cuál será la mínima incertidumbre posible en la energía del fotón? Exprese su respuesta en electrón volts. c) Demuestre que si Use esto para calcular la magnitud de la incertidumbre mínima posible en la longitud de onda del fotón. Exprese su respuesta en nanómetros. senθ ′ =
λ ′ λ h
senθ , y __ λ ′ = (h p ′) = (h
2mE ′) ,y tambien
senθ λ 2m E ′
θ ′ = arcsen
(6.63 × 10 −34 J ⋅ s) sen35.8° = arcsen (3.00 × 10 −11 m) 2(9.11 × 10 −31 kg)(4.50 × 10 + 3 )(1.60 × 10 −19 J eV)
= 20.9°. 39.59
Una partícula de masa m se mueve en un potencial U(x)=A|x|, siendo A una constante positiva. En una imagen simplificada, los quarks (que forman los protones, neutrones y otras partículas) tienen energía potencial de interacción que tiene aproximadamente esta forma, donde x representa la distancia entre un par de quarks. Ya que cuando , no es posible separar los quarks entre sí. a- Según la física clásica ¿cuál es la fuerza que actúa sobre esta partícula en función de x?
b- Aplicando el principio de incertidumbre, determine en forma aproximada la energía de punto cero de la partícula.
a) U
=
A x pero F
Para x < 0, x
=−
dU dx
. Para x > 0, x
= x ⇒ F = − A.
= − x ⇒ F = A. Entonces
b) Del problema 39.58, E
= K +U =
p
2
2m
F ( x)
=−
A x
+ A x,y
x
para x ≠ 0.
p x≈ h ⇒ E
=
h
2
2mx 2
+ A x.
2
Para x > 0; E = dE dx
=−
=0⇒ h2 mx3
h 2mx2
+ A x. . La minima energía aparece cuando
dE dx
=0= 13
13
39.60 La descripción de la sección 39.5 demuestra que la función de Onda Ψ = ψ e2iωt es un estado estacionario, donde ψ es independiente del tiempo y ω es una constante real (no compleja). Considere la funci ón de onda donde ψ1 y ψ2 son distintas funciones independientes del tiempo, y ω1 y ω2 son distintas constantes de valor real. Suponga ψ1 y Ψ2 son funciones de valor real, por lo que y ¿Esta Ψ es una función de onda para un estado estacionario? ¿Por qué?
Ψ∗ = ψ 1∗eiω t +ψ 2∗ei ω t , so Ψ 2 = Ψ ∗Ψ = (ψ 1∗ei ω t + ψ 2∗ei ω t )(ψ 1e−iω t + ψ 2 e−i ω t ) = ψ 1∗ψ 1 + ψ ∗2ψ 2 + ψ *1 ψ 2 ei ( ω −ω )t + ψ ∗2ψ 1ei (ω −ω ) t . 1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
Las frecuencias ω 1 y ω 2 se dan como no sean las mismas, Ψ por lo que no es independiente del tiempo, y Ψ no es la función de onda de un estado estacionario.
39.68:
13
h2 h2 h2 3 h2 A2 ′ + A ⇒ x = . Por lo tanto Emin = + A = 2 23 2 m mA 2 m ( h mA ) mA
La naturaleza ondulatoria de las partículas da como resultado la situación mecánico-cuántica que una partícula confinada en una caja sólo puede tener longitudes de onda que causen ondas estacionarias en esa caja, con nodos en sus paredes. a) Demuestre que un electrón confinado en una caja unidimensional de longitud L tendrá niveles de energía definidos por E n =
n2 h2
8mL2
(Sugerencia: recuerde que la relación entre la longitud de onda de De Broglie y mv = h λ . La energía de la partícula la rapidez de una partícula no relativista es 1
es
2
mv 2
.
b) Si un átomo de hidrógeno se modela como una caja unidimensional de longitud igual al radio de Bohr, ¿cuál es la energía (en electrón volts) del nivel mínimo de energía del electrón?
a) Para una onda estacionaria, nλ = 2 L, y E n =
p 2
2m
=
(h
λ )
2m
2
=
n2h2
8mL2
.
b) Con L = a0
= 0.5292 ×10
−10
m, E 1 =
n2 h2 2
8mL
=
1 ⋅ h2 8me ⋅ a0
= 2.15 ×10 −17 J = 134 eV.
