Ortega Lavadora

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA ELO211 Sistemas Digitales

9. SISTEMAS SECUENCIALES 9.1. Definiciones Definiciones En un sistema secuencial las salidas dependen de las entradas presentes y de los valores de las entradas anteriores. En un sistema combinacional las salidas sólo dependen de las entradas presentes o actuales. En caso de existir múltiples variables lógicas de entrada, al valor de la combinación(o vector) se lo denomina palabra de entrada; y más simplemente: entrada. Los distintos valores que toma la entrada, a medida que transcurre el tiempo, se denomina secuencia temporal de entrada. En forma análoga se define una secuencia secuencia temporal de salida. Gráficamente: 

x( t )

z( t )



Sistema Combinacional

Entonces, en un sistema combinacional, la palabra de salida es una función booleana de la palabra de entrada: z ( t ) = f ( x ( t )) 





Cuando se deja explícita la variación temporal, se desea destacar que se está describiendo una secuencia de valores. xi = { xi ( t0 ), xi (t1 ), xi (t2 ), .. ... , xi (t n )...} Si: ti = t0 + i ∆t , los valores de la secuencia secuencia se dan a intervalos regulares de tiempo. tiempo. Si ∆t es constante, se denomina secuencia sincrónica al caso anterior. Si ∆t es variable, entonces t i describe los valores que toma una variable aleatoria; en este caso se dice que la secuencia es asincrónica.

Observaciones. Debido a que las variables x i , toman valores discretos (0 y 1), se asume que es de interés considerar al tiempo como como una variable discreta. Por ejemplo, podría ser de interés conocer conocer el tiempo cuando se producen cambios (sec. asincrónica) o a intervalos regulares (intervalos de reloj, en secuencias sincrónicas).

Prof. Leopoldo Silva Bijit.

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9.2. Ejemplos de Secuencias.

a) Sincrónica de nivel. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(valores de j )

t0

... xn = { 0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

... }

Figura 9.1. Secuencia sincrónica de niveles. Se dice que la señal x n es una secuencia sincrónica de niveles, niveles, con respecto a un reloj, ya que ésta sólo cambia en cantos de bajada(o de subida) del reloj, y además permanece constante el nivel de la señal entre cantos de bajada( o de subida) del reloj.

b) Sincrónica de pulsos reloj

x p = {

0,

1,

0,

0,

1,

1,

0,

1,

0,

0,

... }

Figura 9.2. Secuencia sincrónica de pulsos. x p es una secuencia sincrónica de pulsos. Los valores de la secuencia secuencia se interpretan cuando el reloj reloj está alto. No toma valores entre pulsos.

c) Asincrónica de nivel t0

t1

t2 t3

xa = { 0

1

0

0

t4

1

t5

1

t6 t7

0

1 ... }

Figura 9.3. Secuencia asincrónica de niveles. Los intervalos t i tienen una duración aleatoria.


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d) Asincrónica de pulsos.

t

0

t

t

1

2

t

3

t

t

4

5

t

6

Figura 9.4. Secuencia asincrónica de pulsos. Los pulsos, de igual ancho, se presentan con intervalo aleatorio.

9.3. Modelo Secuencial En un sistema combinacional, la salida es generada simultáneamente; es decir, en forma concurrente o paralela y sólo depende de la entrada. Los cambios individuales de cada una de las señales se producen en una secuencia temporal. También se dice serial en el tiempo. En un sistema secuencial, para poder generar la salida en un tiempo dado, es preciso conocer valores previos de algunas variables. No bastan los valores presentes de la entrada. Es decir, debe almacenarse información concerniente a los valores de las entradas pasadas, para poder generar la salida a partir de la entrada presente y los valores almacenados. La información anteriormente mencionada, se almacena en estados internos. Los valores que deben registrarse para recordar la situación, debida a los valores de las entradas pasadas, se almacena en variables de estado. Podemos considerar que las variables de estado son salidas de elementos con memoria(flip-flops, registros, latches, retardos). En cualquier instante, una máquina secuencial está en uno de un número finito de estados; éstos quedan determinados por el valor de las variables de estado. Por ejemplo, si hay cuatro estados, se requieren 2 variables de estado para registrar que el sistema se encuentra en uno de los cuatro estados posibles: 00, 01, 10, 11. La secuencia de estados internos resume la historia del sistema secuencial. A veces se emplea el término: estado total, para referirse a la combinación de los estados internos con la entrada. Esquemáticamente: Salida

Entrada 

X

Sistema Combinacional sin memoria

z 



y



Y Memoria

Estado actual Realimentaciones

Próximo estado

Figura 9.5. Modelo máquina secuencial.


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Si se aplica una secuencia de entrada, la máquina generará una secuencia de salida, y pasará por una secuencia de estados internos. La memoria queda modelada por: y ( t + ∆ t ) = Y ( t ) 



Es decir, en el futuro, y tomará el valor actual de Y . La memoria debe ser capaz de almacenar Y i (j) y sostener este valor durante el intervalo j+1: y i ( j + 1) = Yi ( j ) En el modelo planteado, la salida y el próximo estado interno son funciones del estado total. A estas máquinas se las denomina determinísticas. Es decir:  

z = C ( x , y ) 



(función combinacional)





Y = S ( x, y) 



(función secuencial)

Ecuaciones que indican que tanto la salida como el próximo estado dependen de la entrada y el estado actual. Eliminando la variable Y , se logra: y ( j + 1) = S ( x ( j ), y ( j )) 



(Función Secuencial)





Ecuación de recurrencia que permite determinar el próximo estado, a partir de la entrada y el estado presente. Para resolverla, es preciso conocer el valor del estado inicial y la secuencia de entrada a partir del tiempo inicial. Gráficamente:

y( 0 ) 

y ( 3)  ⇒ ⇒ ⇒    ....... .. x( 0 )  x(1)  x( 2)  x( 3)  



y (1)  



y ( 2 )  







Para conocer y(1) se requiere conocer y(0) y x(0). Para conocer y(2) se requiere conocer y(1) y x(1). Para conocer y(3) se requiere conocer y(2) y x(2). Y así sucesivamente. Si el próximo estado es igual al actual y la entrada se mantiene constante, se dice que es un estable:

estado

y ( j + 1 ) = y ( j ) 


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

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Si el próximo estado es diferente al actual, se dice que habrá una transición o cambio de estado. Ese estado actual se denomina inestable: y ( j + 1) ≠ y ( j ) 



Lo anterior implica que una de las variables de estado conmuta, o cambia, su valor lógico.

Los elementos de almacenamiento pueden ser simplemente líneas de realimentación, en este caso se tienen sistemas secuenciales asincrónicos. En sistemas secuenciales sincrónicos los elementos de almacenamiento serán flip-flops, comandados por un reloj. Lógica Combinacional

Entrada

Salida

Estado actual

Próximo Estado Elementos de

Figura 9.6. Compuertas y flip-flops. La lógica combinacional puede ser separada en dos sistemas, uno que implementa la función para la lógica de salida( la función C) y otro que calcula el próximo estado(la función S). En el siguiente diagrama se representa un sistema secuencial sincrónico, en el que se indica una señal de reloj, para el dispositivo que registra o memoriza el estado presente o actual.

Entrada

lógica de salida

Salida

 

z = C ( , ) 



lógica de próximo estado 



Y = S ( x, y) 



Próximo Estado

Estado actual Reloj

Figura 9.7. Modelo de Mealy.


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9.4. Representación de máquinas secuenciales Se entiende por representación la descripción de cómo se pasa de un estado a otro, debido a los cambios de las entradas. Las representaciones deben describir en forma precisa y completa a la máquina. Además, deben ser adecuadas para una manipulación formal.

9.4.1. Modelo de Mealy Es un modelo secuencial en el cual la salida está asociada a las transiciones entre estados. Las salidas y el próximo estado cambian instantáneamente con los cambios de las entradas. El diagrama se ilustró antes.

i) Diagrama de estados Los estados se representan mediante círculos, y por líneas rotuladas y orientadas las transiciones. El rótulo indica la entrada y la salida que provoca la transición. Se separan con una pleca (slash, en inglés). En general: Y x/z y

Figura 9.8. Diagrama de Estados de Mealy. Que se lee: Estando en el estado y, cuando llega la entrada x se pasa al estado Y , con salida z .

ii) Tabla de transición de estados A esta tabla también se la llama matriz de transiciones. En las columnas se indican los diferentes valores que puede tomar la entrada. En los renglones se indican los estados internos actuales. En cada casillero de la matriz, se indica el próximo estado y la salida asociada. x

Esquemáticamente:

y

Y/z

Figura 9.9. Tabla de transición de estados de Mealy.


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Las representaciones son equivalentes, puede lograrse una a partir de la otra; y viceversa. Es decir, la matriz de transiciones y el diagrama de estado suministran la misma información. Pueden emplearse tablas separadas para Y y para z . x

x

y

z

y

Y

Y(x,y) Matriz Transiciones

z(x,y) Mapa de Karnaugh

Figura 9.10. Matriz de transiciones y matriz de salida. 9.4.2. Modelo de Moore Modelo secuencia en el cual la salida sólo está asociada al estado presente. cambian sólo en cantos de sincronización del reloj.

Las salidas

Salida

lógica de salida 

z = C ( y ) 



Entrada

lógica de próximo estado 



Y = S ( x, y) 



Próximo Estado

Estado actual Reloj

Figura 9.11. Modelo de Moore i) Diagrama de estados Y/z 2 x y/z

Figura 9.12. Diagrama de estados de Moore. Estando en estado y, con salida z; cuando ocurre la entrada x se pasa al estado Y, con salida z2. La salida no cambia en la transición. Por esta razón, las salidas se asocian a los estados.


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ii) Tabla de transiciones x

y

Y

y

Figura 9.13. Tabla de transiciones de Moore. El modelo de Mealy es más general que el de Moore. Este último es un caso particular del primero.

Las representaciones anteriores permiten analizar una máquina dada. Entendemos por análisis, al proceso de determinar el funcionamiento de la máquina a partir del diagrama de estados. El análisis de una máquina secuencial nos permite obtener la secuencia de salida a partir de la secuencia de entrada; también determinar la secuencia de estados a partir de la secuencia de entrada.


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Ejemplo 9.1 Determinar la secuencia de salida para la siguiente matriz de transiciones:

X Estado

A B C D

0

1

D/0 B/1 C/1 A/0

C/1 A/0 D/0 B/1

Secuencia de Entrada ={0,1,1,0,1,0,1,1,0,0,0,...} Estado inicial = A

Próximo estado/z

Figura 9.14. Matriz de transiciones ejemplo 9.1. Estando en A, con entrada 0, se pasa al estado D con salida 0. Estando en D, con entrada 1, se pasa al estado B con salida 1. Procediendo en forma similar, se logra:

Secuencia

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Entrada Estado actual Próximo estado Salida

0 A D 0

1 D B 1

1 B A 0

0 A D 0

1 D B 1

0 B B 1

1 B A 0

1 A C 1

0 C C 1

0 C C 1

0 C C 1

Figura 9.15. Secuencia de salida. La máquina de Mealy anterior, se comporta como un generador de secuencias.

x

... 0123..

z

... 012...

Figura 9.16. Esquema generador de secuencias. Se ingresa la secuencia de valores: x0, x1, x2,.. y se genera la secuencia de valores de salida: z0, z1, z2, z3,...


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Puede obtenerse el diagrama de estados, a partir de la matriz de transiciones: 1/1 A

0/1

C 0/0

1/0

1/0

0/0

0/1 B

D 1/1

Figura 9.17. Diagrama de Estados ejemplo 9.1. Ejemplo 9.2. Determinar la secuencia de estados para la siguiente máquina de Moore: 1 0 A/1

C/0

1

0

0 B/0

Figura 9.18. Diagrama de estados ejemplo 9.2. Con estado inicial C y secuencia de entrada: {0,0,0,1,1,1,...} Se tiene: i Entrada Estado presente Estado próximo Salida

0 0 C B 0

1 0 B A 0

2 0 A A 1

3 1 A B 1

4 1 B C 0

5 1 C A 0

Figura 9.19. Secuencia salida ejemplo 9.2. Las máquinas de Moore suelen emplearse como reconocedores de secuencias. Es decir, que entreguen una determinada salida cuando ocurre una determinada secuencia en la entrada.


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Puede obtenerse la tabla de transiciones y la tabla con la lógica de salida, a partir del diagrama de estados: Estado Entrada x Estado Salida actual 0 1 A 1 A A B B 0 B A C C 0 C B A Próximo Estado

Figura 9.20. Tabla de transiciones ejemplo 9.2 Existen procemientos sistemáticos para representar un diagrama de Mealy mediante uno de Moore. Debe considerarse la representación de Mealy como más general que la de Moore.

Ejemplo 9.3. Detectar la secuencia 110 cada vez que se presente: El diagrama de Moore, requiere 4 estados: 1

1

0

0

Inicio 0

Estado0

Estado1

0

0

Estado2 1 1

0 1

reset

0

Figura 9.21. Diagrama de Moore ejemplo 9.3. El diagrama de Mealy requiere tres estados:

1/0

1/0 0/0

1/0 Inicio

Estado 0

Estado 1

0/0

0/1 reset

Figura 9.22 Diagrama de Mealy ejemplo 9.3. Algunas observaciones sobre las representaciones:


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Las salidas de Moore son sincrónicas con el reloj, las de Mealy son asincrónicas. Es decir, se genera el próximo estado y se genera la salida sin esperar el canto del reloj. En las de Mealy, las salidas pueden cambiar inmediatamente cuando ocurre un cambio en las entradas. Si esto no se desea, pueden sincronizarse las salidas asincrónicas, de una máquina de Mealy, pasándolas por un flip-flop. En general los modelos de Mealy pueden generar las mismas secuencias de salidas que una máquina de Moore, pero con menos estados. En diseños de máquinas secuenciales de estados finitos completamente sincrónicas, debe preferirse el modelo de Moore. Así también cuando se empleen dispositivos lógico programables(PLD) para la implementación.

Ejemplo 9.4. Los siguientes diagramas ilustran la diferencia entre el número de estados para un detector de la secuencia de dos unos seguidos, cada vez que se presente.

reset reset

0 S0/0 0

0/0

S0

1 S1/0

0

0/0

1/0 S1

1 1

1/1

S2/1

Figura 9.23. Diagramas de Mealy y Moore ejemplo 9.4. Ejemplo 9.5. Modelado de diagrama de estados. Lavadora. En situaciones reales puede concebirse el funcionamiento de un sistema mediante la elaboración de un diagrama de estados. Supongamos que disponemos de una lavadora, que externamente tiene tres botones: Encender, Detener, Lavar; de un indicador luminoso L, y de un interruptor ubicado en la puerta. La figura 9.25 ilustra la máquina:


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encender

detener

lavar

L

puerta

Figura 9.24. Lavadora. Se consideran eventos (entradas) la activación de los botones de la consola y del interruptor de la puerta. El indicador luminoso es una acción (salida) que debe ejecutarse. Se visualizan tres estados asociados a la lavadora: apagada, detenida y lavando. La detección de cuáles son los estados, está basada en la visualización de situaciones distinguibles que se mantienen un determinado tiempo. Los eventos producen cambios de estado. Estando apagada, el evento encender dispara una transición al estado detenida (o encendida). Estando en el estado detenida, la ocurrencia del evento lavar produce la transición al estado lavando. Si está lavando, la presión del botón detener gatilla la conmutación al estado detenida. Al producirse el evento abrir la puerta, la lavadora debe pasar al estado apagada. La luz L debe encenderse cuando hay potencia aplicada a la lavadora. Es decir, desde que se pasa de apagada a encendida y mantenerse iluminada hasta que se abra la puerta, cuando se pasa a apagada. Las especificaciones anteriores permiten dibujar un diagrama de estados, el que se muestra en la figura 9.25. Los eventos producen cambios de estado. Cada transición o cambio de estado, está asociada a un (y sólo un) evento. Un evento puede desencadenar varias transiciones, en el ejemplo, la entrada o evento puerta produce dos transiciones, dependiendo del estado en que se encuentra la lavadora.


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La única acción de salida L se ilustra asociada a las transiciones; en este caso también es posible asociarla a los estados. La luz L debe estar encendida mientras la lavadora esté encendida o lavando; debe apagarse cuando esté en el estado apagada. Encender/ L

Apagada

Lavar/ L

Encendida

Puerta/ L’

Lavando

Detener/ L

Puerta/ L’

Figura 9.25. Diagrama de estados de la Lavadora. El estado inicial para esta máquina es el estado apagada. A partir del diagrama puede escribirse un programa Abel, para programar la máquina secuencial, en un dispositivo programable.

module Lavadora clock, Encender, Lavar, Detener, Puerta pin ; L pin istype 'com'; q1, q0 pin istype 'reg'; registroestado = [q1, q0]; "Estados. Apagada = 0; Encendida = 1; Lavando = 2;

equations [q1,q0].clk = clock; state_diagram registroestado; State Apagada: IF (Encender) THEN Encendida WITH L= 1; ELSE Apagada WITH L= 0; State Encendida: IF (Puerta) THEN Apagada WITH L= 0; ELSE IF (Lavar) THEN Lavando WITH L = 1; State Lavando: IF (Detener) THEN Encendida WITH L= 1; ELSE IF(Puerta) THEN Apagada WITH L= 0; End


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Se emplean dos elementos con memoria (q1 y q0), que se declaran de tipo reg (por registro), a los cuales se les especifica una señal de reloj, con la ecuación [q1,q0].clk = clock. Se le coloca un nombre simbólico al registro de estado con: registroestado = [q1, q0]. Luego se inicia la descripción del diagrama mediante: state_diagram registroestado. Mediante sentencias If-then-else se especifican los cambios de estado, debido a la ocurrencia de eventos. La descripción de la lavadora puede seguir especificándose con mayor detalle, si se define con mayor precisión el estado lavando. Esto significa observar señales internas de la lavadora. Si se define el evento rotar, que produce que el motor de una vuelta, y de la señal de salida giro (G=1 a la izquierda, y G=0 a la derecha) y se define que el proceso de lavar sea dar dos vueltas a la izquierda seguidas por dos vueltas a la derecha, en el diagrama aparecen cuatro nuevos estados para describir el estado lavando.

Apagada

Puerta/ L’

Puerta/ L’

Encender/ L Puerta/ L’

Encendida

Lavar/ L

Detener/ L Rotar

Izquierda/ G

Puerta/ L’

Derecha 1/ G’

Rotar

Rotar

Izquierda 1/ G

Puerta/ L’

Derecha/ G’

Rotar

Figura 9.26. Diagrama de estados ampliado de la Lavadora. La descripción permite diferentes niveles de abstracción, en el ejemplo, lavando se ha descrito como una sub-máuina digital.


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9.4.3. Transformación de Mealy a Moore. a) En el diagrama de Mealy deben separarse aquellos estados, para los cuáles existan transiciones con diferentes valores de salida, para igual entrada:

x/0 x/0

Sa0

Sa Sa1

x/1

x/1

Figura 9.27. Separación de estados. Luego cada estado tendrá sólo un valor de salida asociado. Y se transforma a representación de Moore, según:

x

Sa0/0

Sa1/1 x

Figura 9.28. Conversión a Moore. b) Para el estado inicial pueden presentarse dos casos: b1) Estado inicial con salida 0. No requiere modificación.

reset

S/0

Figura 9.29. Estado inicial con salida cero. b2) Estado inicial con salida diferente de cero.

S/1 reset

Figura 9.30. Estado inicial con salida uno.


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En este caso debería haber salida, sin haber aplicado una entrada. Se corrige agregando un estado adicional:

S/1

Si/0 reset

Figura 9.31. Agregar estado inicial. Ejemplo 9.6.Transformación para el reconocedor de dos unos seguidos. Al modificarse el estado S1 del diagrama de Mealy, resulta:

reset reset 0/0

0/0

S0

0/0 S0 0/0

1/0

1/0 S10

S1

0/0

1/1 1/1 S11

1/1

Figura 9.32. Separación de estado S1. No es necesario corregir el estado inicial. Luego puede asociarse la salida al estado y no a la transición hacia el estado.


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reset 0/0 S0 0/0

1/0 0/0

S10 1/1 1/1 S11

Figura 9.33. Separación de estado S1. Finalmente puede plantearse:

reset 0 S0/0 0

1 S10/0

0

1 1 S11/1

Figura 9.34. Diagrama de Moore ejemplo 9.6. Que resulta igual al diagrama de Moore planteado antes en el ejemplo 9.4. La transformación explica el mayor número de estados que tiene generalmente un diagrama de Mealy.


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Ejemplo 9.7. Detector de las secuencias 01 ó 10, cada vez que se presenten. Para un modelo de Moore, se especifican las salidas asociadas al estado. 0 1

B/0 0

D/1

0

rese A/0

1

0

1

1

C/0

E/1

0

1

reset

entrada

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

estado próximo actual estado A A B A C B B B D C E C C D E D C E B E D

salida 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

Figura 9.35. Representación de Moore ejemplo 9.7. En un diagrama de Mealy, se especifican las salidas asociadas a las transiciones. 0/0 B

reset

entrada

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1

0/0 reset/

1/1

0/1

A 1/0

C

estado próximo actual estado A A B A C B B B C C B C C

salida 0 0 0 0 1 1 0

1/0

Figura 9.36. Representación de Mealy ejemplo 9.7.


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Índice de Figuras. Figura 9.1. Secuencia sincrónica de niveles.......................................................... 173 Figura 9.2. Secuencia sincrónica de pulsos........................................................... 173 Figura 9.3. Secuencia asincrónica de niveles........................................................ 173 Figura 9.4. Secuencia asincrónica de pulsos......................................................... 174 Figura 9.5. Modelo máquina secuencial. ............................................................... 174 Figura 9.6. Compuertas y flip-flops. ....................................................................... 176 Figura 9.7. Modelo de Mealy.................................................................................. 176 Figura 9.8. Diagrama de Estados de Mealy. .......................................................... 177 Figura 9.9. Tabla de transición de estados de Mealy............................................. 177 Figura 9.10. Matriz de transiciones y matriz de salida. .......................................... 178 Figura 9.11. Modelo de Moore ............................................................................... 178 Figura 9.12. Diagrama de estados de Moore......................................................... 178 Figura 9.13. Tabla de transiciones de Moore......................................................... 179 Figura 9.14. Matriz de transiciones ejemplo 9.1..................................................... 180 Figura 9.15. Secuencia de salida........................................................................... 180 Figura 9.16. Esquema generador de secuencias................................................... 180 Figura 9.17. Diagrama de Estados ejemplo 9.1. .................................................... 181 Figura 9.18. Diagrama de estados ejemplo 9.2. .................................................... 181 Figura 9.19. Secuencia salida ejemplo 9.2. ........................................................... 181 Figura 9.20. Tabla de transiciones ejemplo 9.2 ..................................................... 182 Figura 9.21. Diagrama de Moore ejemplo 9.3........................................................ 182 Figura 9.22 Diagrama de Mealy ejemplo 9.3. ........................................................ 182 Figura 9.23. Diagramas de Mealy y Moore ejemplo 9.4......................................... 183 Figura 9.24. Lavadora. ........................................................................................... 184 Figura 9.25. Diagrama de estados de la Lavadora. ............................................... 185 Figura 9.26. Diagrama de estados ampliado de la Lavadora................................. 186 Figura 9.27. Separación de estados. ..................................................................... 187 Figura 9.28. Conversión a Moore........................................................................... 187 Figura 9.29. Estado inicial con salida cero............................................................. 187 Figura 9.30. Estado inicial con salida uno.............................................................. 187 Figura 9.31. Agregar estado inicial. ....................................................................... 188 Figura 9.32. Separación de estado S1................................................................... 188 Figura 9.33. Separación de estado S1................................................................... 189 Figura 9.34. Diagrama de Moore ejemplo 9.6........................................................ 189 Figura 9.35. Representación de Moore ejemplo 9.7. ............................................. 190 Figura 9.36. Representación de Mealy ejemplo 9.7............................................... 190


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