I
Geniraliks
-
I -1
.
I -2 I
-3
.
.
Presented
Ei Vue
de
In
cars
conserved
dl ensemble
sur
un
ex
1D
NF04 Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur
Intervenants (permanents) : •E. Lefrançois (4988) : resp. UV •M. Rachik •A. Rassineux °
o
a
Version 09/2006 (E.L.)
Tatum Branched
Find
NF04 - Automne - UTC
1
En quelques mots … Fournir des outils dédiés pour la résolution informatique des phénomènes physiques
Structure Thermique Fluide Source : ONERA Source : technoscience
Modèle réel Version 09/2006 (E.L.)
Modèle numérique NF04 - Automne - UTC
2
Autres exemples (source google…)
NF04 Automne (E.L.)
3
Pourquoi NF04 ? Passage incontournable dans la boucle de conception d’un produit industriel Automobile, aéronautique, acoustique, génie civil … 1 emploi ingénieur sur 3 concerné par le numérique
99 % de la physique sous la forme d’E.D.P.
( Eg
°
derives particles )
« Outils » mathématiques actuels généralement inadaptés dans un contexte industriel.
NF04 Automne (E.L.)
4
Présentation générale Déroulement sur 14 semaines:
Cours (2 intervenants) TD/TP sur machines (Windows) Acoustique automobile
Moyens à disposition:
Ensemble de scripts de calculs sous Matlab Site web nf04 : http://www4.utc.fr/~nf04 Mecagora : http://www.utc.fr/~mecagora
Évaluation:
Median
Devoir-maison (10%), médian (30%), final (40%) Compte-rendu technique « Mise en œuvre de la MEF » (20%) Acoustique automobile, musicale pget Transport-diffusion d’un polluant
:L i↳gsttFCdctlt##t#t£3€mw
NF04 Automne (E.L.)
.
Pollution d’un lac
5
Semaines
Plan du cours (indicatif…)
Références transparents
1
Introduction générale
: Cours d’introduction
2,3
Différences finies 1D, 2D
: Cours 1, 2
4,5
Éléments finis 1D
: Cours 3, 4
6,7,9 8
Eléments finis 2D
10,11
Problèmes temporels du 1er ordre et stabilité
Médian
: Cours 3, 4, 5, 6 : Cours 7, 8
Problèmes temporels du 2nd ordre 12
- Approche modale
: Cours 9
13
- Approche instationnaire « pas-à-pas »
: Cours 10
14,15
Mise en œuvre de la méthode des éléments finis (MEF) : COURS + TP Final (semaine ces finaux) NF04 Automne (E.L.)
6
Bagages nécessaires … Mathématique : Équations différentielles ordinaires Techniques d’intégration standard Opérations matricielles de base Notion d’interpolation
Physique : ?
Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique Informatique : apprentissage de l’outil Matlab
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NF04 - Automne - UTC
7
Site web Mecagora : portail UTC « ouvert »
Accès au cours Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
8
Site web Mecagora : page d’accueil
caractéristique
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
9
Site web Mecagora : accès aux exemples
caractéristique
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
10
Site web Mecagora : lecture d’un exemple
Boucle de modélisation caractéristique
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
11
Site web Mecagora : 300 fiche-notions type cours
caractéristique
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
12
Cours 1 Introduction générale
• • •
Version 09/2006 (E.L.)
Généralités Concept de la boucle de modélisation Apprentissage « simple » par l’exemple : thermique 1D
NF04 - Automne - UTC
13
Principe des méthodes numériques Objectif : fournir une solution approchée du comportement réel d’un phénomène physique. On parle ainsi de « modèles numériques » La physique possède un caractère: Tridimensionnel Temporel Non linéaire (HPP, matériaux …)
Le rôle du modélisateur est de simplifier suffisamment le problème tout en conservant l’essentiel de la physique à l’origine du phénomène étudié
Donc :
Approchée = simplifiée
Mais chaque hypothèse simplificatrice doit être justifiée, d’où une remise en cause possible des modèles numériques !
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
14
Généralités
K U
Équilibre
F
Stationnaire
K U
Valeurs propres Discret Instationnaire
M U
C U
U (t0 ) , U (t0 ) Système physique •Linéaire •Non linéaire
Différences finies Éléments finis
Équilibre Stationnaire Valeurs propres
M U
K U
F
connus.
L u
fv
0
C u
fs
sur S
sur V
L1 u
L2 u
sur V
C1 u
C2 u
sur S
Continu
mu cu L u Instationnaire
C u
fs
fv
sur S
u (t0 ), u (t0 ) connus. Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
15
Ey
'
de
la
{
Fit
section
<
At date Q=o
.
on
milieu
DEFINITE
:
condos auxhwiks
cake
parwum
par
aE¥#Eh¥ # dies
isotope
[k]H=
He
in
dinipad chaleur
courant
{
kPon±z+fy±y+Q=9 t.am
.
os
.
Joule par effet dan
s
Exemples d’hypothèses simplificatrices (1/3) Dimension du problème : 1, 2 ou 3 dimensions Existence ou non de dimensions négligeables devant les autres ?
Hauban : 1D
Tablier : 2D
Pile de pont : 3D ou 1D ?
Comportements linéaires ou non : HPP vérifiée ? Caractéristiques matériaux bien identifiées ?
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NF04 - Automne - UTC
16
Exemples d’hypothèses simplificatrices (2/3) Problème temporel ou non :
Réponse liée aux échelles de temps caractéristiques : … des sollicitations externes … du fluide, du matériaux …
Air environnant (très affecté) : analyse instationnaire
ensoleillement
Sol (peu affecté) : analyse quasi-statique
Solution recherchée sur une courte ou longue période ?
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
Source : ldeo.columbia
17
Exemples d’hypothèses simplificatrices (3/3) Présence ou non de couplages multi physiques ? Échelle des temps caractéristiques : fluide (~10-6s), structure (~10-2s), thermique (~10s) ... Réponse en fonction du rapport des temps :
URéduite = Réservoir en ballottement Acoustique musicale (fluide ~ immobile % solide)
URéduite <<1
Version 09/2006 (E.L.)
Temps caractéristique solide Temps caractéristique fluide Ouvrages génie civil (pont …) (fluide et solide se « voient »)
URéduite
1
NF04 - Automne - UTC
Aéroélasticité supersonique (solide ~ immobile % fluide)
URéduite >>1
18
Complexité : multi compétences Fluide: •Aérodynamique •Traînée •Acoustique •…
Intérieur: •Capacité transport •Confort passagers •…
Structure: •Tenue •Fatigue •Aéroélasticité •Fréquences •Commandes •…
Moteurs: •Combustion •Poussée •Acoustique environmentale •…
Source : futura-sciences Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
19
Chaîne de conception « industrielle »
Aérodynamique
Aéroélasticité
Tenue mécanique
Conception
Simulation
Expérimental
Production Sources : engineering.swan ONERA
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NF04 - Automne - UTC
20
« Boucle de modélisation » Démarche en 4 étapes (ou modèles) distinctes : NF04
Modèle physique
Sources d’erreurs
=
Modèle mathématique (continu)
Écart entre solution réelle et solution exacte du problème mathématique
Version 09/2006 (E.L.)
+
Modèle numérique (algébrique)
Écart entre solution exacte du problème mathématique et solution du système discret
NF04 - Automne - UTC
+
Modèle informatique
Écart entre solution exacte du système discret et solution informatique
21
« Boucle de modélisation » NF04
•Observation du phénomène •Définition des objectifs
Modèle physique
u u , ...) f 0 x t Conditions auxlimites L(u ,
et initiales
Modèle mathématique
k11
k12
k13
u1
f1
k21 k22 k31 k32
k23 k33
u2 u3
f2 f3
Modèle discret
Modèle informatique
L’idéal est d’avoir une approche indépendante : de la physique étudiée ; de la dimension géométrique du problème ; du régime (stationnaire ou non) ; de la méthode de discrétisation et des schémas employés.
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
22
Analyse des sources d’erreurs Mathématique : 3D 1D, 2D? temporel ? grands déplacements et grandes rotations ou HPP ? loi de comportement du matériaux absence de couplage ? Algébrique : choix du découpage, de l’élément choix de l’algorithme de résolution … Informatique : précision machine programmation …
estime et contrôle
Question : qu’est-ce qu’un bon modélisateur ?
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
il annule les erreurs
23
Apprentissage par l’exemple … « Isolation thermique d’un mur »
Objectif : Réduire les pertes caloriques par une meilleure isolation : il nous faut donc connaître le profil de température au travers du mur et en déduire le flux.
Méthode : Différences finies
Simplifications du modèle : Stationnaire : à justifier ! Un seul isolant Rayonnement négligeable : à justifier ! Monodimensionnel : à justifier !
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
Source : www.isover.be - Saint Gobain
24
Modèle physique Pertes caloriques = flux thermique : q(x) (W/m2)
Fonction des matériaux employés Conductivité thermique : k (W/°C-m) Fonction du champ de température : T(x) (°C) Loi de comportement entre flux et température (Fourier) Fonction des échanges avec l’extérieur : h (W/°C-m2) et Text
Objectifs :
Calculer la température en tout point En déduire les valeurs de flux pour déterminer les pertes
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
25
Modèle mathématique
L
Définition du domaine d’étude :
x
Équilibre thermique régi par :
.q x
Loi de comportement :
k T x
soit à résoudre: k
d 2T x dx 2
q x
fv
0,
x
0, L
fv
0,
x
0, L
0, L
Conditions aux limites (CL) : Température imposée en x=0 (CL type Dirichlet) : Condition en flux en x=L (CL type Cauchy) :
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
T 0
30 C
q L
h T L
Text
26
il
F
T=
iilqn
OD
nur
=q?n =g
sur
Caudill de type Newman
iiil
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h(T- To
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OD
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kdEH=hH4
-
parte
une
:
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To )
k
de 8D
parte
une
OF de
na
de 8D
.
k
Cauchy
0qIny on
-
kfFnz=f
Ehage
par
connect
,
net ;D
Modèle numérique (1/4) Discrétisation du domaine d’étude : Notion de discrétisation : nombre fini de nœuds de calcul
they
Bn : pas de debut 1
T1
>
2
3
T2
T3
4
T4
5
6
T5 T6
Nœud fictif pour traiter la condition à la limite en dérivée en x=L
On associe une variable inconnue par nœud : soient 5+1=6 inconnues
Objectif suivant : trouver 6 équations !
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
27
Modèle numérique (2/4) Discrétisation des termes de dérivées (démonstration au prochain cours) : Précision du schéma Dk
.
Taylor
:
Tktbaktkkbn dEH +01N .
(1)
dT dx
(2) 1 1
Version 09/2006 (E.L.)
dT dx
2 2
d 2T dx 2 dT dx
Ti
x
i
i
Ti Ti x Ti
1
Ti
1
i
i
Ti
1
1
2Ti Ti x2
Ti 2 x
1
1
x ...
Décentré droit
x ...
Décentré gauche
x 2 ...
Centré
x 2 ...
Centré
Termes tronqués
Type
NF04 - Automne - UTC
28
Modèle numérique (3/4) L’équation d’équilibre devient : d 2T k 2 dx
i
Ti
1
k
f vi
0
2Ti Ti x2
i
1
2,..,5
f vi
4 eq.
0
Les conditions aux limites deviennent : T1 k
6 inconnues
30 dT dx T6
k i 5
T4
T5 1 T5 1 2 x
h T5 Text
2h x Text T5 k
2 eq.
Au total : 6 équations pour 6 inconnues Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
29
Modèle numérique (4/4) Réorganisation matricielle 1
0
0
0
0
T1
30
k x2
2k x2
k x2
0
0
T2
f2
0
k x2
2k x2
k x2
0
T3
f3
0
0
k x2
2k x2
k x2
T4
f3
0
0
0
2h x2
2
k x2
h x
T5
fN
2
2h Text x
Astuce : on a éliminé T6 Plus qu’à résoudre ce système ….
Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
30
Modèle informatique (langage Matlab) clear all close %----- Paramètres géométriques et physiques L = 1; % longueur m k=2; % coeff. de conductivité W/°C-m h=3; % coeff. d’échange convectif W/°C-m2 f0=10; % production W/m3 T0=30; Text=10; % conditions aux limites %----- Paramètres numériques nnt=input('entrer le nombre de points: '); dx = L / (nnt - 1); % pas de discrétisation vkg=zeros(nnt,nnt); % initialisation de la matrice vfg=zeros(nnt,1); % initialisation du second membre c=k/dx^2; % Schéma aux différences finies [-1 2 -1]*k/dx^2 for i=2:nnt-1 vfg(i) = -f0; vkg(i,[i-1 i i+1])=[c -2*c c]; end %---- Condition de Dirichlet vkg(1,1)=1; vfg(1)=T0; %---- Condition de Cauchy vkg(nnt,[nnt-1 nnt])=[2*h/dx^2 –2*(k/dx^2+h/dx)]; vfg(nnt)=-f0-2*h*Text/dx; %----- Résolution vsol = vkg\vfg %---- Affichage vcorg = 0:dx:L; plot(vcorg,vsol,'b -o') …
% Coordonnées des noeuds % trace solution calculée
Post-traitement des résultats
Puis analyse … Version 09/2006 (E.L.)
NF04 - Automne - UTC
31