I.PELUANG 1.0
Pendahuluan
&
alam kehidupan sehari - hari banyak kejadian yang terjadinya didasarkan pada peluang
atau probab probabilita ilitas, s,
misalnya misalnya peluang peluang seseoran seseorang g
terkena terkena jantung jantung adalah adalah 0,00001 0,00001 ,
peluang hasil pertandingan pertandingan final sepak bola antara Perancis dan Brasilia Brasilia adalah 3 - 2, dan lain sebagainya. ejadian - kejadian seperti di atas sebenarnya tidak hanya terjadi sekarang saja, tetapi hal tersebut sudah terjadi sejak ratusan tahun yang lalu, atau mungkin juga ribuan tahun yang lalu. !amun secara ilmu baru dirumuskan sekitar abad ke tujuh belas, yaitu ketika ada Chevalier de Mere Mere mengajukan pertanyaan kepada seorang seorang penjudi kelas kakap bernama bernama Chevalier Pascal dan mendiskusikan kepada Fermat " 1#01 - 1##$%.
&engan perumusan kedua orang tersebut maka lahirlah ilmu peluang yang tidak saja menja'ab tentang perjudian , tetapi juga berkembang menjadi ilmu yang bermanfaat bagi ilmu pengetahuan, khususnya statistika.
1.1
Ruang samel dan !e"adian
Pekerjaan statistika'an pada dasarnya adalah menafsirkan hasil yang mungkin dari suatu eksperimen atau percobaan yang dirancang sebelumnya atau yang muncul dalam penelitian ilmiah. (isalnya dalam pelemparan satu mata uang logam sekali maka yang muncul adalah ( " muka % atau ) " gambar%, dalam pelemparan satu mata dadu yang setimbang maka yang muncul adalah angka 1, 2, 3, *, $, atau #.
#e$inisi 1.1
+impunan semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan percobaan disebut ruang sampel , yang dilambangkan dengan
S.
#e$inisi 1.%
+impun +impunan an bagian bagian dari ruang ruang sampel sampel diseb disebut ut &e"adian, yang biasany biasanyaa dilambang dilambangkan kan dengan huruf besar.
#e$inisi 1.'
1
uatu kejadian yang hanya mengandung satu unsur dari ruang sampel disebut kejadian sederhana. uatu kejadian majemuk adalah kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan beberapa kejadian.
1.'
Menghitung titi& samel
alah satu problem problem yang dihadapi dihadapi para peneliti adalah menentukan menentukan banyakny banyaknyaa anggota anggota ruang sampel dari suatu suatu percobaan. percobaan. &alam banyak hal penentuan penentuan anggota ruang sampel tidakl tidaklah ah mudah, mudah, tetapi tetapi kadang kadang-ka -kadan dang g juga juga sulit, sulit, misaln misalny ya berapa berapa banya banyakny knyaa nomor nomor kendaraan yang dapat dapat dibuat jika ketentuannya ketentuannya sebagai berikut. !omor !omor kendaraan tersebut tersebut dia'ali dengan satu huruf, diikuti oleh empat angka dan diakhiri oleh dua huruf dengan masing-masing angka dan huruf hanya digunakan sekali dan angka nol tidak boleh didepan. ntuk ntuk memuda memudahka hkan n penghi penghitun tungan gan banya banyakny knyaa anggo anggota ta ruang ruang sampel sampel dapat dapat diguna digunakan kan teorema-teorema sebagai berikut.
(e)rema (e)re ma 1.1
ika suatu operasi dapat dilakukan dengan n cara, dan jika pada setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan m cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan nm cara.
*u&ti +
arena arena setiap setiap n dapat berpasangan berpasangan dengan setiap m, maka banyaknya banyaknya pasangan pasangan yang dapat terjadi adalah nm cara.
C)nt)h +
(isalkan seseorang mempunyai 3 celana dengan 'arna berbeda dan * baju dengan 'arna yang yang berbed berbedaa pula. pula. /da /da berapa berapa cara cara orang orang terseb tersebut ut memaka memakaii pasang pasangan an baju baju dan celana celana dengan setiap pasangan tersebut berbeda . " a'ab 3.* 12 %
#e$inisi 1.,
Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya.
(isalnya ada tiga huruf /, B, dan maka susunan yang dapat dibuat adalah /B, /B, B/, B/, B/, B/, /B, /B, dan B/. usuna usunan n semaca semacam m di atas atas disebu disebutt permu permutas tasii penuh penuh atau atau
2
permutasi saja. ecara umum untuk n obyek yang berbeda terdapat n"n-1%444444.3.2.1 susunan yang berbeda. Pergandaan semacam di atas biasanya dinotasikan dengan n 5 " dibaca n faktorial atau n fakultet %.
(e)rema 1.%
051
*u&ti + n5
&ari definisi n5 n."n 6 1 %."n 6 2% 4443.2.1 n . " n 6 1 % 5 didapat
" n 6
n
1 % 5. ika n 1 maka didapat 05 1.
(e)rema 1.'
Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda adalah n 5
*u&ti +
/nggap ada n tempat yang masing 6 masing tempat akan diisi satu obyek, sehingga tempat satu dengan yang lain berisi obyek yang berbeda. &engan cara seperti di atas maka tempat pertama dapat diisi dari pilihan n obyek sedangkan tempat ke dua dapat diisi dari n 61 pilihan, dan seterusnya sebagaimana gambaran di ba'ah. n
n-1
n-2
.
.
.
.
.
.
3
2
1
&engan menggunakan teorema 1.1 didapat hasil pergandaan dari n."n-1%44.3.2.1 atau n5.
C)nt)h +
(isalnya dalam antrian loket untuk mendapatkan karcis pertunjukkan sepak bola terdapat $ orang. /da berapa cara orang tersebut membentuk antrian yang berbeda $.*.3.2.1 120 cara %
3
" a'ab $ 5
(e)rema 1.,
Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda jika diambil r n Pr
n5 "n - r%5
≤
n adalah
.
*u&ti +
/nggap ada r tempat dengan masing-masing tempat hanya dapat diisi dengan obyek yang berbeda, maka didapat hasil seperti gambar di ba'ah. n
n-1
n-2
.
.
.
.
.
.
.
.
n-r71
&engan menggunakan teorema 1.1 didapat hasil pergandaan dari n."n-1%4.."n-r71% atau
n " n - 1%.................."n - r + 1%"n - r%................3.2.1 n5 = "n - r%"n - r - 1%...............3.2.1 "n - r% 5
C)nt)h +
(isalnya ada 8 orang sebagai formatur yang dapat dipilih menjadi pengurus organisasi dengan susunan pengurus sebagai berikut satu orang sebagai ketua, satu orang sebagai sekretaris, dan satu orang sebagai bendahara. /da berapa susunan pengurus yang berbeda
dapat dibuat . " a'ab
85 " 8 - 3%5
=
8.#.$.* 5 *5
8.#.$ 210 %
(e)rema 1.-
Banyaknya permutasi n obyek yang berlainan yang disusun melingkar adalah " n - 1 % 5.
*u&ti +
ika ada n obyek yang berbeda akan disusun melingkar pada n tempat maka tinggal n-1 tempat yang bebas dapat ditempati n-1 obyek. ehingga susunan berbeda yang dapat terjadi adalah " n-1% 5.
C)nt)h +
(isalnya ada # orang membentuk konferensi meja bundar. /da berapa cara susunan cara duduk ke 6 enam orang tersebut . " a'ab " # 6 1 % 5 $ 5 120 %.
(e)rema 1.
*
Banyaknya permutasi dari n obyek yang terdiri atas n1, 44444., nk adalah
n n5 n1 n2 . . . . . nk n15n2 5 nk 5
k
, dengan n
∑ni
i =1
*u&ti +
/nggap jika n obyek tersebut berbeda, maka susunan yang terjadi adalah n5. arena setiap ni juga membentuk susunan sebanyak n i5 9ang mestinya hanya dihitung satu. (aka
banyaknya susunan berbeda yang terjadi adalah
n5 n 15 . n 2 5..........n k 5
atau sama dengan
n n n ..............n .
1 2
k
C)nt)h +
(isanya dalam perayaan peringatan hari kemerdekaan yang akan dilaksanakan pada bulan yang akan datang, didepan gang masuk kampung akan dipasang lampu hias yang terdiri 3 lampu 'arna merah, 2 lampu 'arna hijau, * lampu 'arna kuning, dan 1 lampu 'arna biru. ika lampu 6 lampu tersebut disusun secara berjajar, ada berapa susunan lampu hias yang dapat dibuat . " a'ab
10 5 3 5 . 2 5 . * 5.15
=
10.:.;.8.#.$.* 5 # . 2 . * 5.1
$
= 10.:.*.8.$ = 12#00 %.
(e)rema 1./
Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda jika diambil r
≤n
adalah
n n5 2 r "n- r % 5 r
*u&ti +
ntuk kombinasi urutan /B B/. ika dianggap urutan /B tidak sama dengan urutan B/ maka banyaknya urutan yang terjadi sama dengan n5 "n - r%5
kejadian pada teorema 1.* yaitu
. arena setiap r obyek dapat menyusun r5 susunan yang berbeda maka banyak
susunan yang terjadi dari kasus kombinasi adalah
n n5 2 r "n- r % 5 r
.
C)nt)h +
(isalnya ada 8 orang sebagai formatur yang semuanya dapat dipilih untuk menjadi pengurus suatu organisasi yang terdiri 3 orang. /da berapa susunan pengurus yang dapat
dibuat . " a'ab
85 " 8 - 3 % 5. 3 5
=
8.#.$. * 5 * 5 . 3.2.1
1.,
8 . $ 3$ %.
Peluang !e"adian
Pada dasarnya tugas statistika'an adalah menyimpulkan atau menginferensi hasil suatu percobaan yang mengandung ketidakpastian. /gar kesimpulan tersebut dapat dipertanggung
#
ja'abkan secara ilmiah maka diperlukan pemahaman ilmu peluang. ntuk dapat menja'ab dengan tepat hasil pertandingan final sepak bola yang akan dilaksanakan diperlukan ilmu peluang tentang sepak bola beserta analisisnya yang dapat dinyatakan sebagai peluang. &idalam merumuskan peluang suatu kejadian ada tiga cara yang dapat digunakan yaitu
1. Cara &lasi& (isalnya banyaknya anggota ruang sampel adalah n dan banyaknya anggota kejadian / adalah m maka peluang terjadinya kejadian / yang dinotasikan dengan P"/% adalah m.
%. Cara $re&ensi relati$ ika suatu percobaan dilakukan sebanyak n " n
→ ∞ % dan kejadian / yang diamati pada
percobaan tersebut terjadi sebanyak m maka P" / %
lim
n →∞
m n
. (isalnya pada
pelemparan mata uang dilakukan sebanyak 1000 kali, dari pelemparan tersebut banyaknya muka muncul $0# kali, maka peluang munculnya muka adalah $0# < 1000
≅
0,$.
'. Cara su2e&ti$
Banyaknya peluang dalam kejadian sehari - hari yang tidak dapat ditentukan dengan kedua cara di atas, misalnya berapa peluang nanti sore akan hujan . ntuk menja'ab pertanyaan tersebut diperlukan seorang ahli yang dapat memperkirakan dengan baik kapan terjadinya hujan. Peluang yang ditentukan seperti di atas disebut peluang secara subyektif.
#e$inisi 1.
ika / suatu kejadian dan merupakan ruang sampel, maka 0 ≤ P"/% ≤ 1, P " ∅ % 0, P " % 1.
1.-
*eeraa 3u&um Peluang
8
&alam banyak kasus yang terdiri atas beberapa kejadian, untuk menentukan nilai peluang yang satu dapat ditentukan dengan peluang yang lain. ntuk itu diperlukan teorema sebagai berikut.
()rema 1.4
ika / dan B dua kejadian sebarang , maka P " / ∪ B % P " / % 7 P " B % - P " / ∩ B %
*u&ti +
∪ B % n " /% 7 n " B % 6 n " / ∩ B %.
&ari teori himpunan diperoleh n " /
ika
kedua ruas dibagi dengan n " % maka didapat
n "/∪B% n "%
=
n " /% n "%
+
n "B% n "%
-
n " /∩B% n "%
atau
P " / ∪ B % P " / % 7 P " B % - P " / ∩ B %
A&iat + ika / dan B saling lepas, maka P " /
∪ B % P " / % 7 P " B %.
*u&ti +
arena / dan B saling lepas maka /
∩ B ∅, sehingga P " / ∩ B % 0 dan
P " / ∪ B % P " / % 7 P " B %.
(e)rema 1.5
ika / dan /? kejadian yang saling berkomplemen, maka P " /? % 1 - P " / %.
*u&ti +
&ari teori himpunan diketahui / ∪ /? , dan / ∩ /? ∅ sehingga didapat
P
"/ ∪ /? % P " / % 7 P " /? % P " % 1, yang berarti didapat P" /? % 1 6 P " / %.
C)nt)h +
(isalkan sebuah dadu ditos sekali. Berapa probabilitas bah'a mata dadu yang keluar lebih besar sama dengan 2 . a'ab
;
(isalkan / kejadian mata dadu yang keluar lebih besar sama dengan 2, maka
/?
kejadian mata dadu yang keluar satu. Berarti P " /? % 1<#, sehingga P " / % 1 6 1<# $<#.
1.
Peuah Aca&
&ari percobaan pelemparan dua mata uang logam yang setimbang sebanyak sekali maka didapat @ ((, (), )(, )) A. (isalnya adalah fungsi dengan domain yang didefinisikan "((% 0 , ")(% "()% 1, dan "))% 2. Cni berarti merupakan fungsi bernilai real dengan domain .
#e$inisi 1./
Dungsi bernilai real yang domainnya ruang sampel disebut peubah acak atau Eariabel random.
#e$inisi 1.4
ika banyaknya nilai dari peubah acak berhingga atau sama dengan banyaknya bilangan asli maka peubah acak tersebut disebut tipe diskret.
#e$inisi 1.5
ika banyaknya nilai peubah acak sama dengan banyaknya titik dari sepenggal garis atau sama dengan banyaknya titik bilangan real maka peubah acak tersebut disebut tipe kontinu.
1./ #istriusi Peluang Peuah Aca& #is&ret
adang - kadang dalam banyak kasus diinginkan bentuk distribusi dari suatu peubah acak, misalnya jika seseorang mempunyai tiga anak, bagaimana distribusi peluang dari peubah acak banyaknya anak laki - laki dari ketiga anak tersebut. (isalnya banyaknya anak laki-laki , maka distribusi peluangnya adalah sebagai berikut P"F%
0 1<;
1 3<;
1.4 Fungsi !eadatan Peluang 6 $&7
#e$inisi 1.10
:
2 3<;
3 1<;
Peubah acak tipe diskret dikatakan mempunyai fkp atau pdf " probability density function % f"F% jika
1.
2.
f"F%
≥ 0, ∀ F
∑ f " F % 1 F
ika peubah acak tipe diskret maka memenuhi sifat sebagai berikut 1.P " F % f "F % 2. P " / %
∑f"F% F∈ /
C)nt)h +
(isalkan f " F %
kF 12
, F 1, 2, 3 dan nol untuk yang lain merupakan pdf dari peubah
acak . a% berapakah k b% hitung P " 2 % c% hitung P " G 2 % d% hitung P " ≤ 2 % a'ab a% &ari syarat pdf ke-dua maka didapat
k . 1 k.2 k.3 + + = 1 atau #k 12 , sehingga 12 12 12
2. b% &ari a% berarti f " F %
F #
, sehingga P " 2 % f " 2 %
=
1
d% P " ≤ 2 % P " 1 % 7 P " 2 %
1
c% P " G 2 % P " 3 % f " 3 %
3 #
2 #
=
1 3
2 #
+
2 #
=
3 #
=
1 2
#e$inisi 1.11
Peubah acak tipe kontinu dikatakan mempunyai fkp f " F % jika
1. f " F % ≥ 0 , ∀ F 2.
∫ f " F % dF 1
F
ika peubah acak tipe kontinu maka mempunyai sifat sebagai berikut
10
k
1. P " F % 0 2. P " / %
∫ f " F % dF /
C)nt)h +
(isalkan f " F % kF , 0 H F H 1 dan nol untuk yang lain merupakan pdf dari . a% hitung k b% hitung P " 0,$ % c% hitung P " H 0,$ % d% hitung P " G 0,3 % a'ab a%
1
1
∫ 0 kF dF = 2 kF
2
1 0
=
1 2
k = 1 atau k 2
b% P " 0,$ % 0
1.5
0,$
c% P " H 0,$ %
∫ 0
2F dF = F 2
d% P " G 0,3 %
∫ 0,3 2F dF = F
1
2
0 ,$ 0
" 0,$ %2 6 0 0,2$
1 0,3
1 6 " 0,3 % 2 1 6 0,0: 0,:1
Fungsi #istriusi 8 #istriusi !umulati$
(isalkan peubah acak mempunyai fkp f " F %, dan F adalah bilangan real sehingga P"/%P"
∈
/ % P " ≤ F %, maka peluang seperti di atas disebut distribusi kumulatif
dari peubah acak yang dinotasikan D " F %.
#e$inisi 1.1%
ika peubah acak mempunyai fkp f "F % maka distribusi kumulatif dari adalah F
1. D " F % ∑ f " y % , jika diskret y
F
2. D " F % ∫ y f " y % dy , jika kontinu
11
C)nt)h +
Ientukan distribusi komulatif dari peubah acak yang mempunyai pdf sebagai berikut 1. f " F % 1 untuk 0 H F H 1 dan nol untuk yang lain 2. f" F % e-F untuk F G 0 dan nol untuk yang lain 3. f" F %
1 3
*. f " F %
F #
untuk F 1 , 2, 3 dan nol untuk yang lain untuk F 1 , 2 , 3 dan nol untuk yang lain
9aa + x
1. D " F %
∫ dy =
x
y0
F untuk 0 H F H 1
0
1.10 E&se&tasi Matemati&
alah satu dari sekian banyak penggunaan konsep dalam problem distribusi peubah acak adalah ekspektasi matematik. (isalnya adalah peubah acak yang mempunyai fkp f " F % dan misalnya u " F % adalah fungsi dari F sehingga dan
∑ u"F%f"F%
∫ u " F % f " F %
dF ada untuk kontinu
ada jika diskret. Cntegral dan jumlahan di atas disebut ekspektasi
matematik, yang dinotasikan J K u " F % L.
#e$inisi 1.1'
ika peubah acak mempunyai fkp f " F % maka J " % disebut mean dari peubah acak dan J " - J " % % 2 dinamakan Earians atau ragam, ditulis Ear " %.
(e)rema 1.10
J " - J " % %2 J " 2 % - " J " % %2
(e)rema 1.11
1. J " a % a J " % 2. J " 7 a % J " % 7 a 3. Ear " a % a 2 Ear " % *. Ear " 7 a % Ear " %
12
#e$inisi 1.1, + M)ment Generating Functi)n 6 MGF7
Dungsi pembangkit momen dari peubah yang mempunyai fkp f " F % adalah
J " etF % ,
- h H t H h untuk h bilangan real positif, yang dinotasikan ( " t %.
(e)rema 1.1%
ika peubah acak mempunyai fungsi pembangkit momen ( " t % maka ("n% " 0 % J " n %.
#e$inisi 1.1-
ika peubah acak mempunyai mean J" -
µ
%3
3
µ dan Earians σ2 sehingga
J " - µ % 3 ada maka
disebut kemencengan atau ske'ness.
σ
#e$inisi 1.1
ika peubah acak mempunyai mean J" -
µ
%*
*
µ dan Earians σ2 sehingga
J " - µ % * ada maka
disebut keruncingan atau kurtosis.
σ
1.11
Pertida&samaan Che2shev
&alam bagian ini akan dibahas tentang teorema yang dapat digunakan untuk menghitung peluang suatu peubah acak jika tidak diketahui fkp nya, tetapi diketahui mean dan Eariansnya saja.
(e)rema 1.1'
(isalkan u " % fungsi non negatif dari peubah acak . ika J " u " % % ada maka untuk setiap konstanta c berlaku P " u " % ≥ c % ≤
(e)rema 1.1, 6 (e)rema Che2shev 7
13
J"u"%% c
.
(isalkan peubah acak mempunyai distribusi peluang dengan mean (aka untuk setiap k G 0 berlaku P " P " -
µ
µ≥
µ dan Earians σ2 .
k σ % ≤ 1< k 2 atau
M k σ % ≥ 1 - 1< k 2 .
:)al ; s)al latihan
n
n
n i 2 0 i
∑
1. Buktikan a .
∞
2. Buktikan
∑ n F 1
2 n
n
b.
n n - 1 i n2 i1 i
∑
- log " 1 - F % , - 1 H F H 1
n 1
k
3. Buktikan a.
∑i = k " k 7 1 %
k
b.
i =1
i ∑ = i
2
1<# k " k 7 1 % " 2k 7 1 %
1
*. ika / dan B suatu kejadian maka buktikan a. P " / ∩ B N % P " / % - P " / ∩ B % b. P " / ∪ B % 1 - P " /? ∩ B? % $. (isalkan P " / % P " B % 1<3 dan P " /
∩ B % 1<10. +itung
a. P " B? % b. P / ∪ B? % c. P " B ∩ /? % d. P " /? ∪ B? % #. (isalkan P " / % = , P " B % 1<; , dan P " % > , dengan / , B , dan saling lepas. +itung
1*
a. P " / ∪ B ∪ % b. P " /? ∩ B? ∩ ? % 8. ntuk bilangan bulat positif n G r , buktikan
nn
a.
2
r n -r
b.
n n-1 n-1 2 7 r r - 1 r
;. Peubah acak tipe diskret mempunyai a. f " F % k " = % F , F 1, 2, 3 dan nol untuk yang lain . Ientukan nilai k agar f " F % merupakan fkp.
1$
b. /pakah fungsi yang berbentuk f " F % k K " = % F - = L , untuk F 0, 1, 2 merupakan fkp :. Peubah acak tipe diskret mempunyai fkp f " F % c " ; - F % , untuk F 0, 1, 2, 3, *, $ dan nol untuk yang lain.
a. Ientukan konstanta c b. Ientukan distribusi komulatifnya c. +itung P " G 2 % d. +itung J " % 10.
Peubah acak mempunyai distribusi komulatif D " F % 1 - " = % F 7 1 , F 0, 1, 2, 4 dan nol untuk yang lain.
a. Ientukan fkp dari b. +itung P " 10 H ≤ 20 % c. +itung P " genap % 11. (isalkan peubah acak diskret memenuhi sifat P " F % G 0, jika F 1, 2, 3 atau * dan P " F % 0, untuk yang lain. (isalkan distribusi komulatif D " F % 0.0$ F " 1 7 F % untuk nilai F 1, 2, 3, atau *.
a. Buat grafik dari distribusi komulatifnya b. Buat grafik dari fkp-nya c. +itung J " % 12.
Peubah acak tipe kontinu mempunyai fkp f " F % c " 1 - F % F 2 , jika 0 H F H 1 dan nol untuk yang lain.
a. Ientukan konstanta c b. +itung J " % 13.
uatu fungsi f " F % mempunyai bentuk sebagai berikut f " F % k F
-"k71%
, jika
1, dan nol untuk yang lain.
a. ntuk nilai k yang mana agar f " F % merupakan fkp . b. Ientukan distribusi komulatif berdasar hasil a. c. ntuk nilai k yang mana agar J " % ada . 1*.
Ientukan fkp dari suatu peubah acak jika diketahui distribusi komulatifnya adalah
a. D " F % " F 2 7 2 F 7 1 % < 1# O -1 ≤ F ≤ 3. b. D " F % 1 - e - λ F - λ F e - λF O F ≥ 0 O λ G 0.
1#
F G
1$.
Peubah acak mempunyai distribusi komulatif
D
F< 2 , 0 H F ≤ 1 "F% F - 1< 2 , 1 H F ≤ 3< 2 a. Buat grafik dari D " F % b. Buat grafik dari f " F % c. +itung P " ≤ = % d. +itung P " ≥ = % e. +itung P " H 1,2$ % 1#.
Peubah acak tipe kontinu mempunyai fkp f " F % 2F < :, 0 H F H 3 , dan nol untuk yang lain.
a. Ientukan distribusi komulatif dari b. +itung P " H 2 % c. +itung P " - 1 H H 1,$ % d. Ientukan m sehingga P " ≤ m % P " ≥ m % e.
18.
+itung J " %
Peubah acak mempunyai fkp f " F %
F 2 , jika 0 H F ≤ 1 2 < 3 , jika 1 H F ≤ 2 0 , untuk yang lain
a. Ientukan median dari b. Buat grafik dari distribusi komulatif dari 1;.
(isalkan peubah acak untuk F G 0 tipe kontinu dengan fungsi distribusi D " F % dan J ∞
" % ada. Buktikan J " %
∫ ( 1 − D " F %)
dF
0
1:.
)unakan pertidaksamaan hebycheE untuk menentukan batas ba'ah " $<; H H 8<; % jika mempunyai fkp f " F % 3 F 2 , 0 , F H F H 1
18
P
20.
ika /1, /2, 444.. merupakan himpunan-himpunan sehingga / k ⊂ /k 7 1 untuk
1, 2, 44 dan
tentukan
lim / k didefinisikan sebagai union dari / ∪ / 1
k→ ∞
2
k
∪ /3 ∪ 44.. , maka
lim / k jika k→∞
a. /k @ F < 1
≤ F 2 7 y 2 ≤ * - 1
21. ika /1, /2, 444.. merupakan himpunan-himpunan sehingga /k ⊃ /k 7 1 untuk
44 dan
lim / k k→ ∞
44.. , maka tentukan
didefinisikan sebagai interseksi dari
k 1, 2,
/ 1∩ /2 ∩ /3 ∩
lim / k jika k→ ∞
a. /k @ F < 2 - 1
≤
c. /k @ " F , y % < 0
22.
2 7 1
≤ F 2 7 y 2 ≤
1
(isalkan f " F % F<1$ , F 1, 2, 3, *, $ dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari peubah acak . Ientukan a% P " 1 atau 2 %
23.
ntuk setiap fkp di ba'ah ini hitung P "
b % P " = H H $<2 % H 1 % dan P " 2 H : %
a. f " F % F 2<1; , -3 H F H 3 , dan nol untuk yang lain b. f " F % " F 7 2 % < 1; , - 2 H F H * , dan nol untuk yang lain
2*.
(isalkan f " F , y % * Fy , 0 H F H 1 , 0 H y H 1 ,dan nol untuk yang lain merupakan fkp bersama antara dan 9. Ientukan P " 0 H H = , > H 9 H 1 % dan P " 9 %.
2$.
(odus dari distribusi suatu peubah acak adalah nilai F yang memaksimumkan fkp " F %. &ari fkp berikut tentukan modusnya
a. f " F % " = % F , F 1, 2, 3, 4444.. ,dan nol untuk yang lain b. f " F % 12 F 2 " 1 - F % , 0 H F H 1 , dan nol untuk yang lain
1;
f
c. f " F % " = % F 2e - F , F G 0 , dan nol untuk yang lain 2#.
(edian dari distribusi suatu peubah acak adalah nilai F sehingga P " H F % "
≤
F %
≥ =.
≤=
dan P
Ientukan median dari masing - masing distribusi yang mempunyai fkp
berikut
a. f " F %
*5 F 5" * - F %5
( 1< *)
x
" 3< * %
*-F
, F 0, 1, 2, 3, *, dan nol untuk yang lain.
b. f " F % 3 F 2 , 0 H F H 1 , dan nol untuk yang lain. c. f " F % 28.
1 2
∏ " 1 7 F %
, -∞ H F H ∞.
(isalkan f " F % merupakan fkp dari peubah acak . Ientukan fungsi distribusi " distribusi komulatif % D " F % dan buat grafiknya dari fkp berikut.
a. f " F % 1 , F 0 , dan nol untuk yang lain. b. f " F % 1<3 , F -1, 0, 1 , dan nol untuk yang lain. c. f " F % F<1$ , F 1, 2, 3, *, $ dan nol untuk yang lain. d. f " F % 3 " 1 - F 2 % , 0 H F H 1 , dan nol untuk yang lain. e. f " F % 1
f " F % 1<3 , 0 H F H 1 atau 2 H F H * , dan nol untuk yang lain. (isalkan f " F % 1 , 0 H F H 1 , dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari . Ientukan
fungsi distribusi dan fkp dari 9 √ .
2:.
(isalkan f " F % F<# , F 1, 2, 3 ,dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari . Ientukan fungsi distribusi dan fkp dari 9 2.
30.
(isalkan dan 9 mempunyai fkp f " F , y % 1 , 0 H F H 1 , 0 H y H 1, dan nol untuk yang lain. Ientukan fkp dari 9.
31.
(isalkan peubah acak mempunyai fkp f " F % " F 7 2 % <1; , -2 H F H * , dan nol untuk yang lain. Ientukan J " % , J K " 7 2 % 2 L, dan J K # - 2 " 7 2 % 3 L.
32.
(isalkan fkp bersama antara dan 9 adalah f " F, y % e -F - y , F G 0 , y G 0 , dan nol untuk yang lain. /mbil u " , 9 % , E " , 9 % 9, dan ' " , 9 % 9 . Buktikan J Ku " , 9 % L. J KE " , 9 % L J K' " , 9 % L.
33.
(isalkan peubah acak tipe kontinu mempunyai fkp f " F %. ika m adalah median yang tunggal dari dan b konstanta real , maka buktikan b
J " - b % J " - m % 7 2 ∫ " b
- F % f " F % dF
m
1:
3*.
(isalkan peubah acak memenuhi sifat J K " - b % 2 L ada untuk semua b. Buktikan J K " - b % 2 L minimum jika b J " %.
3$.
(isalkan peubah acak mempunyai mean maka J K " -
µ
%
3
L<
σ
µ dan Earians σ 2 sehingga J K " - µ % 3 L ada
3
dinamakan ukuran kemiringan " ke'ness %. Ientukan ukuran
kemiringan dari distribusi yang mempunyai fkp sebagai berikut.
a. f " F % " F 7 1 % < 2 , - 1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain. b. f " F % = , -1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain. c. f " F % " 1 - F % < 2 , - 1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain. 3#.
(isalkan peubah acak mempunyai mean maka J K " -
µ
%
*
L<
σ
µ dan Earians σ 2 sehingga J K " - µ % * L ada
*
dinamakan ukuran keruncingan " urtosis %. Ientukan ukuran
keruncingan dari distribusi yang mempunyai fkp sebagai berikut.
a. f " F % = , - 1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain. b. f " F % 3 " 1 - F 2 % < * , - 1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain.
20
