Pont de Mila

République Algérienne Démocratique et Pupillaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique ECOLE NATIONAL DES TRAVAUX PUBLICS

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En Vue de l’Obtention du Diplôme D’Ingénieur d’Etat en Travaux Publics

Encadré par :

M. MAKHLOUFI FARID

Elaboré par :

LAMRI MOHAMED HADDACHE YOUCEF

SOMMAIRE  INTRODUCTION CHPITRE I- GENERALITE I.1- PRESENTATION DU PROJET …………………………………………………. I.2- HISTORIQUE SUR LA CONSTRUCTION PAR ENCORBELLEMENT …….. I.3- TECHNIQUE DE LA CONSTRUCTION PAR ENCORBELLEMENT ……….. I-4- DOMAINE D'APPLICATION ET AVANTAGE DU PROCEDE E …………... I-5- MODE DE CONSTRUCTION ………………………………………………….

1

a- voussoir coulé sur place …………………………………………………. b- voussoirs préfabriqués …………………………………………………..

4 5

I-6- SYSTEMES RENDUS CONTINUS …………………………………………….

CHPITRE II - LES MATERIAUX

2 2 3 4

6 7

II -1 - CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX UTILISEES …………………... 7 a- BETON ………………………………………………………………………... 7 b- ACIER …………………………………………………………………………. 9

CHPITRE III- PREDIMENTIONEMENT III-1- PORTEE DE L'OUVRAGE …………………………………………………… 10 III-2- CHOIX DU TYPE DE CAISSON ……………………………………………. 10

a- pile Hauteur du voussoir sur …………………………………………… b- Epaisseur des âmes ……………………………………………............... c- Epaisseur du hourdis supérieur …………………………………………. d- Epaisseur du hourdis inférieur ………………………………………….. e- Caractéristique mécanique des voussoirs ………………………………..

11 11 11 12 12

III-3- CONCEPTION DES APPUIS ………………………………………………..... 14 III-4- LOIS DE VARIATION DES DIFFERENTS PARAMETRE ………………... 15

a- la hauteur h(x) …………………………………………………………... b- épaisseur du hourdis inférieur e(x) …………………………….............. c- la Section s(x) ……………………………………………….................. d- La variation de centre de graviter de la section du voussoir e- La variation de l’inertie …………………………………………............. CHPITRE IV - EFFORT DUS À L'EXECUTION D'UNE CONSOLE IV – 1 – PHASES DE REALISATIONS …………………………………….. IV – 2 - CHARGES APPLIQUEES AU FLEAU …………………………….. a- Efforts dus au poids propre dans un fléau isostatique ………………….. b. Efforts dus aux surcharges ……………………………………………… IV-3- DETERMINATION DU MOMENT HYPERSTATIQUE …………………….

15 15 16 17 17 19 21 22 23 29

CHPITRE V- ETUDE DE LA PRECONTRAINTE DE LA CONSOLE V-1 DETERNINATION DES CABLES ……………………………………………. 30 V.2- ETUDE DU CABLE EN ELEVATION ………………………………………… 35 V.3- ETUDE DU TRACE EN PLAN ……………………………………………….. 37

CHPITRE VI- PERTES DE TENSION DANS LES CABLES VI.1- LES PERTES INSTANTANEES ……………………………………………..

a- pertes par frottement …………………………………………………….

41 41

b- pertes de tensions dues au recul des encrages ………………………….. c- pertes par raccourcissement du béton …………………………………..

43

VI.2- LES PERTES INSTANTANEES DIFFEREES ………………………………

48

a- pertes de tensions dues au retrait du béton ……………………………... b - pertes de tensions dues au fluage du béton ……………………………. c- pertes de tensions dues a la relaxation des armatures ………………….

48

VI.3- PERTES DIFFEREES TOTAL ……………………………………………….. VI.4-VALEUR DE LA PRECONTRAITES APRES PERPES INSTANTANEES … VI.5-VERIFICATION DES CONTRAINTES ………………………………………

50

45

48 49 51 52

CHPITRE VII-CHARGES ET SURCHARGES VII-1. DEFINITION DES CHARGES ……………………………………………… 55

1.1. Charge permanente ……………………………………………………. a- Revêtement …………………………………………………………...... b- Gardes corps …………………………………………………………… c- Poids des trottoirs + corniches …………………………………………. d - Glissières de sécurité ………………………………………………...... 1.2. Surcharges ………………………………………………………….... a- Système de charge A (L) ……………………………………………… b- Système Bc …………………………………………………………….. c- Surcharges militaires MC120 ………………………………………… d- Charge exceptionnelle (D240) ………………………………………….. e- Surcharge de trottoir …………………………………………………… f- Le vent ………………………………………………………………... g- Effets des gradients thermiques ……………………………………... h- Force de freinage ………………………………………………………. i- Fluage …………………………………………………………………. j- Actions accidentelles (séisme) ………………………………………….

55 55 55 55 56 56 56 57 58 59 59 59 59 62 62 63

2. COMBINAISONS DES CHARGES ……………………………………………... 63 3. LA MODELISATION …………………………………………………………... 65

CHPITRE VIII - ETUDE DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE VIII .1 -COMBINAISON DES EFFORTS ……………………………………... a- Travée intermédiaire …………………………………………………… b- Travée de rive …………………………………………………………. CHPITRE IX- ETUDE TRANSVERSALE IX -1 - CHARGES PERMANENTES ET SURCHARGES ROUTIERES

66 66 69

………...

72

a- Poids propre des sections AA’ et BB’ …………………………………. b- Calcul le flux de cisaillement sous charges permanentes ……………...

72

IX.2- CALCUL DES MOMENTS FLECHISSANTS SOUS CHARGE A(L) + SURCHARGE DE TPOTTOIR ……………………………………………... IX.3- CALCUL DES MOMENTS FLECHISSANTS SOUS CONVOI D 240 ….. IX.4- CALCUL DES MOMENTS FLECHISSANTS SOUS Mc120 …………… IX.5- CALCUL DES MOMENTS FLECHISSANTS SOUS + SURCHARGEDE TPOTTOIR ……………………………………………………………..

IX -6 - FERRAILLAGE DES DIFFIRENT ELEMENT DU VOUSSOIR …..

72 73 77 78 79 84

CHPITRE X - RESISTANCE A L'EFFORT TRANCHANT X-1 - DETERMINATION DE L'EFFORT TRANCHANT DU A L'EFFORT DE PRECONTRAIN ……………………………………………………………..

a- Effet isostatique ………………………………………………………… b- Effet hyperstatique ……………………………………………………... X-2- EFFET RESAL ........................................................................................ X- 3- VERIFICATION DE L'EFFORT TRANCHANT …………………….. X- 4- CALCUL DES ARMATURES DE L'EFFORT TRANCHANT ……… CHPITRE XI- DIFFUSION DE L'EFFORT DE PRECONTRAINTE DERRIERE L'ANCRAGE ………………………………………

86 86 86 87 87 90

XI.1 -EXPLICATION DU PHENOMENE …………………………………………

91

a- Ancrage centré ………………………………………………………… b- Ancrage excentré par rapport au centre de gravité de la section ……... c- Plusieurs câbles ancrés dans la section et non parallèle à la fibre moyenne ………………………………………………………………. d- Justification dans les zones de première régularisation ……………….. e- Justification vis-à-vis de l'équilibre général de diffusion pure

91

XI.2- EXEMPLE DE CALCUL …………………………………………………….

92 92 95 97 98

a- justification vis-à-vis de l'équilibre générale …………………………. b- armature d'équilibre générale …………………………………………. XI.3- ETUDE ET FERRAILLAGE DE LA BOSSAGE …………………….. CHPITRE XII –L'INFRASTRUCTURE XII-1- LES PILES ……………………………………………………………. a- Généralité ……………………………………………………………… b- Choix du type de pile ………………………………………………….. XII- 2 – FONDATIONS …………………………………………………….. a- Choix du type de fondation ……………………………………………. b- Nombre de files de pieux ……………………………………………... c- L’effet d’un groupe de pieux …………………………………………… XII-3- LE FERAILLAGE …………………………………………………… . a- Les Combinaisons de charges ………………………………………….. b- Le ferraillage de la pile ……………………………………………….. c- Le ferraillage de la semelle …………………………………………….. d- Le ferraillage des pieux ……………………………………………….. CHPITRE XIII – EQUIPEMENTS DE PONT

100 102

XIII-1- JOINT DE CHAUSSEE …………………………………………………… XIII-2- APPAREIL D'APPUI ………………………………………………………

115

103 105 105 105 106 107 107 107 109 109 111 113 114

117

Projet de pont: Viaduc de oued MENAR

INTRODUCTION

INTRODUCTION : Construction a été toujours l'un premier souci de l'homme et l'un de ses occupations privilégiées. De nous jour, la construction des ouvrage d'art a connu un grand essor, permet ses ouvrages, on peut citer les pont dans le domaine était marqué par une évolution rapide et importante par des techniques aussi bien que sur conception que sur le plan de réalisation. De façon général, on appel pont tout ouvrage permettant a une vois de circulation de franchir un obstacle naturel ou une autre vois de circulation. Dans ce travail nous avons développé les étapes de calcul d'un viaduc qui un ouvrage de franchissement a grade auteur au dessus d'une brèche ou constitue de nombreuses travée successives.

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- 1Projet de pont: Viaduc de oued MENAR

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I- GENERALITES: I.1- PRESENTATION DU PROJET: Le projet de fin d’étude consiste à étudier la partie construite en encorbellement successif du viaduc au oued menar- wilaya de MILA. Ce viaduc est implanté sur la RN 77 franchissant oued MENAR pour relier la wilaya de Jijel à la wilaya de Sétif. L'ouvrage se compose respectivement de deux travées à poutre de 50 m et 06 travées en encorbellement successif avec une hauteur variable de 55et100m de portée. Nous allons étudier la partie en encorbellement. Les piles sont construites en béton armé encastré à la semelle et au tablier, les semelles sont fondu sur groupe des pieux de diamètre de 1.2 m. Le tablier est constitué d'une poutre continue sur six travées constitues d'une caisson à trois âmes construit en encorbellement à partir des piles. Les épaisseurs des âmes sont de 50et 80 cm, le hourdis inférieur varie entre 80et 25 cm à partir de la pile. Le hourdis supérieur reste constant avec une épaisseur moyenne de 25 cm pour les encorbellement et 40 cm au niveau de la pile. Le tablier est précontraint dans le sens longitudinal avec des câbles de DYWIDAG type1770, 12T15.le sens longitudinal est dimensionné en béton armé. Le tablier sera construit par encorbellement à partir des piles à l'aide des équipages mobiles, la continuité de l'ouvrage sera ensuite assurée par clavage des fléaux à mi-travée et aux extrémités.

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I.2- HISTORIQUE SUR LA CONSTRUCTION PAR ENCORBELLEMENT: L'idée de la construction par encorbellement est très ancienne, on construisait des ponts en encorbellement en bois en avançant des troncs d'arbre à partir des deux rives de la brèche à franchir Plusieurs ouvrages de ce type ont été retrouvés dans plusieurs régions (Himalaya, Caucase, chine…), le même principe à été exploité pour la construction des fausses voûtes en pierre. Mais ce n'est qu'en 1950, en Allemagne avec le développement de la technique du béton précontraint, que la construction par encorbellement successif a pris naissance dans sa forme moderne.

I.3- TECHNIQUE DE LA CONSTRUCTION PAR ENCORBELLEMENT: La construction par encorbellement consiste à réaliser le tablier en consoles au dessus du vide, sans l'aide d'échafaudage, en opérant par tronçon successifs dits voussoirs, et en faisant supporter à la partie déjà réalisée le poids des tronçons suivants. La construction des consoles peut être effectuée à partir des piles ou à partir des culées. A partir de pile, On peut procéder symétriquement et c'est le cas le plus fréquent afin de ne pas soumettre ces dernières à des moments renversant. On construit d'abord le voussoir sur pile, puis de part et d'autre, on réalise les autres voussoirs successivement, avec mise en tension des câbles de précontraintes dénommés câbles de fléau,la double console ainsi obtenue et appelée fléau. En réalité la symétrie n'existe pas, il y a toujours un déséquilibre entre demi-fléau 'x ' lie a la réalisation (déformation de béton, le coffrage, charges accidentelles,…..)Ce qui engendre des moment des flexion sur la pile, tendant à la renverser, pour s'en prémunir, il faut solidariser le voussoir sur pile à la tête par cloutage en utilise des câbles de précontrainte (provisoire dans le cas d'un pont appuyé simplement). On peut aussi équilibrer le fléau à l'avancement par la mise en place de palées d'appuis provisoires. Une fois la construction des fléaux terminée, on les solidarise par articulation ou par clavage, et on obtient ainsi la construction complète. Dans certains cas, il peut être intéressant d'effectue la construction dissymétrique par apport aux piles. Plusieurs solutions se présentent pour stabiliser les fléaux: * Réalisation d'appuis provisoires. * Lestage en béton léger. * Réalisation d'ancrage par tirants précontraints.

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La construction à partir des culées peut être faite soit par utilisation d'appuis provisoires, soit par solidarisation du tablier par ancrage au niveau des culées, ou en équilibrant la structure par une culée contre poids. En fin la construction par encorbellement peut s'effectue exceptionnellement à partir d'échafaudages provisoires. I.4- AVANTAGE DU PROCEDE ET DOMAINE D'APPLICATION: Le principale avantage de la construction par encorbellement set la suppression des cintres et échafaudage, libèrent ainsi l'espace situe au dessous de l'ouvrage, ce procédé et donc particulièrement adapte aux conditions locales suivantes: * l'ouvrage comporte des piles très hautes et franchissant des vallées larges et profondes (cintres onéreux) * rivières à crues violentes et soudaines (cintres dangereux) * nécessité de dégager sur la vois franchie un gabarit de circulation de navigation pendant la construction (cintres gênants)

Domaines d'application : Le domaine d'application de l'encorbellement couvre couramment les portées de 60 à 150 m.(fig I-1)

fig I-1 domaine d'application des procédés de construction des grandes ponts en p.p Domaine optimal. Domaine normal. Domaine exceptionnel. .

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I.5- MODE DE CONSTRUCTION : a- voussoir coulé sur place: C’est la technique la plus ancienne. Plusieurs procédés peuvent être utilisés selon le mode de support du coffrage du voussoir à bétonner : Un échafaudage se déplaçant sur le sol ou sur une estacade en rivière fondée sur pieux. Ce mode de construction n’est retenu que dans le cas d’un tablier situé à faible hauteur au dessus d’un terrain accessible et horizontal. Une poutre métallique provisoire reposant sur les appuis du pont en cour de construction sur laquelle est suspendue les coffrages qui peuvent se déplacer après exécution de chaque voussoir. Cette solution est intéressante pour les ouvrages à grand nombre de travées. Un équipage mobile composé d’une charpente métallique prenant appui sur la poutre de fléau déjà construite et d’une plate – forme de travail supportant les coffrages suspendus en porte à faux à l’extrémité de la charpente. L’ensemble est stabilisé à l’arrière par un contre poids dont l’effet est parfois complété par des tirants ancrés dans le tablier. Un équipage mobile de bétonnage doit jouer deux rôles : * Assurer le positionnement géométrique du voussoir dans l’espace. * Supporter le poids du voussoir avant durcissement du béton et solidarisation par précontrainte à l’élément précédent. Il est constitué de coffrages suspendus à une charpente métallique portée par la partie du tablier déjà construite. De façon conventionnelle, on désigne habituellement par équipage mobile l’ensemble des deux coffrages nécessaires à l’exécution d’une paire de voussoir. (Voir les figures suivantes).

Fig I-2 voussoirs coulés sur place

Fig I-3 Stabilité du fléau lors de la réalisation.

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b- voussoirs préfabriqués: Ce mode de construction est intéressant dans le cas au l'ouvrage est important, pour un délais d'exécution minimum. Il présente les avantages suivants: * la vitesse de réalisation * la facilité du contrôle de la qualité de béton et sa mise en ouvre (possibilité de vibration), ce qui donne des éléments résistants et plus légers et laisse au béton son temps de durcir et d'effectuer son retrait avant la mise en tension. En revanche, la préfabrication pose des problèmes pendant l'assemblage et du problème d'étanchéité et de résistance vis-à-vis de l'effort tranchant au niveau des joints. Affins d'assurer un bon assemblage on colle les deus voussoirs par de la résine époxyde, de plus on ménage au niveau des âmes des clés vde cisaillement qui empêchent le glissement relatif des voussoirs. Pour plus de détail voir les figures I-4 ; I-5.

Fig I-4 pose des voussoirs préfabriqués:

Fig I-5 Stockages des voussoirs

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I.6- SYSTEMES RENDUS CONTINUS: Cette solution consiste à relier des consoles en regard par bétonnage ou pose d'un voussoir dit"de clavage"(Fig I-6). avec mise en ouvre des câbles de précontrainte assurant la solidarité des fléaux de continuité de la structure, c'est la solution la plus statique: - pas de joints de chaussée. - déformation plus faible et continue. -structure plus résistant. -réalisation aisée.

Fig I-6 voussoirs de clavage

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-7Projet de pont : Viaduc de oued MENAR

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II – LES MATERIAUX

II – 1 - CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX UTILISEES: a. BETON : Le béton est défini par la valeur de sa résistance à la compression à l’age de 28 jours qui est notée fc28. Le béton est dosé à 400 kg/m3 de ciment CPA 325, avec un contrôle strict.

Densité : La masse volumique du béton armé γ =2,5 t/m3

• Résistance caractéristique à la compression : Pour un béton âgé de 28 jours, on a : 35 MPa

pour le béton du caisson.

27 Mpa

pour le béton d’appuis et la fondation.

fc28 =

Pour un béton âgé de mois de 28 jours on utilise la formule suivante:

f cj =

j f c 28 4,76 + 0,83 j

• La résistance caractéristique à la traction : La résistance à la traction est liée à la résistance à la compression : ftj = 0,6+0,06fcj ftj = 2,7 MPa

(pour caisson)

ftj = 2,22 MPa (pour les appuis et les fondations) • Contrainte de calcul pour l’E.L.U.R:

f bu =

0.85 f cj

θ γb

Le coefficient θ est fixé à 1 lorsque la durée probable d’application de la combinaison d’action considérée est supérieure à 24h, à 0.9 lorsque cette durée est comprise entre 1h et 24h, et à 0.85 lorsqu’elle est inférieure à 1h. 1,5 γb

en situations durables ou transitoires.

= 1,15 en situations accidentelles.

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D’où :

fbu

19,83 Mpa 15,30 Mpa

en situations durables ou transitoires

25,86 Mpa 19.95 Mpa

en situations accidentelles

=

• Contrainte limite de service : 0,5 fc28

en service.

0,6 fc28

en construction.

σ=

• Coefficient de poisson : Le coefficient de poisson ν représente la variation relative de dimension transversale d’une pièce soumise à une variation relative de dimension longitudinale. Le coefficient ν du béton pour un chargement instantané est de l’ordre de 0,3 mais il diminue avec le temps pour se rapprocher de la valeur 0,2. Quand au cas d’un béton fissuré, ν devient nul. On retendra pour les calculs de béton précontraint la valeur. ν =0,2 pour un béton non fissuré (ELS) et ν =0 pour un béton fissuré (ELU).

• Module de déformation longitudinale du béton E : -

Module de déformation instantanée (courte durée <24 heures). Eij =11000

-

fcj

(MPa).

Module de déformation différée (longue durée) Eij =3700

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3

3

fcj

(MPa).

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b. ACIER

Aciers passifs : On utilise pour les aciers passifs des barres à haute adhérence de classe FeE400 On a : σs = Fe / γs Avec : γs : coefficient de pondération pris égale à 1,15. D’où : σs = 400/1,15 =347,8 (MPa).

Aciers de précontrainte « actifs » : Concernant notre ouvrage, Les aciers utilisés pour la précontrainte sont des aciers à très haute résistance qu’on appelle aciers durs et qui ont la plus forte teneur en carbone. Alors on utilise des câbles 12T15 de type DYWIDAG. • Caractéristiques des câbles : -

Unité de précontrainte : 12 torons. Poids de 1T15 =1,12 (kg/m) Section de 12T15S =1668 (mm2) fpeg = 1583 (MPa) fprg = 1770 (MPa)

• La valeur max de la tension à l’origine σ0 doit être :

σ0 < Min (0,8fprg, 0,9fpeg) σ0 < Min (1416, 1424.7) = 1416 MPa Gaines : -

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Φint : 80 mm. Φext : 88 mm.

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CH III

III- PREDIMENTIONEMENT (CHOIX ET JUSTIFICATIONS) : 1- PORTEE DE L'OUVRAGE: La portée de l'ouvrage est de 510m suffisante pour franchir l'oued MENAR le tablier est encastré sur 5 piles de hauteur légèrement différentes, de ce fait il est constitué de 6 travées reparties de la façon suivant : 55m+100m+100m+100m+100m+55m=510m L=100 m β L=55m

2- CHOIX DU TYPE DE CAISSON: Etant donnée que la largeur de l'ouvrage dépasser 12m on avait le choit entre trois solutions. -un caisson à trois âmes -un double caisson à deux âmes -un caisson multicellulaire. Seules les poutres caissons sont utilisées dans la construction par encorbellement, pour les raisons suivantes : Les moments de flexions sont négatifs dans la majeure partie des travées et très importants au voisinage des appuis, car le tablier travaille en console. Donc il est nécessaire de prévoir un hourdis inférieur formant une table de compression. La grande rigidité à la torsion des sections fermées permet d’obtenir une stabilité en phase de construction et de supprimer les entretoises. Le bon rendement mécanique (de l’ordre de 0,6) et une résistance élevée à la rupture. Les poutres sont, le plus souvent, de hauteur variable à fin de réduire le poids propre en adaptant la section résistante aux efforts appliqués. Les caissons ne comportent pas des entretoises intermédiaires, on dispose simplement une entretoise à l’intérieur des caissons au droit des appuis pour permettre une bonne diffusion des réactions d’appuis. -B≤13m : domaine courant des caissons à deux âmes -13≤B≤17m : un caisson à 3 âmes peut être envisagé - B>17m : selon les portées, envisagera soit :

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Un caisson à trois âmes Un double caisson à 2 âmes mais il faut une précontrainte transversale. Plus rarement, un caisson multicellulaires a- Hauteur du voussoir sur pile La hauteur h p sur pile est généralement varie entre l /16et l/20 Tel que L désigne la portée de la plus grande travée adjacente à la pile c l = 5,26m 19 On prend h p = 5.4m

hp =

Hauteur du voussoir à la clé : Lors de la construction, le moment au niveau de l’extrémité libre est nul, donc on peut avoir une hauteur de l’encastrement nulle pour le dernier voussoir. A la clé, la hauteur doit être comprise entre l/30 et l/60 On prend hc =

l = 2,5m 40

b- Epaisseur des âmes : L’âme doit assurer la résistance aux efforts de cisaillement et permet la bonne mise en place du béton ainsi que, dans de nombreux cas, l’ancrage des câbles de précontrainte. L’épaisseur minimale est de 30cm. GUYON propose une formule empirique :

a≥

h +5+Φ 36

(cm)

Sachant que : Φ : Diamètre de gaine

h : Hauteur de l’âme a≥

540 + 5 + 8,8 = 28.8cm 36

On prend l’épaisseur des âmes 80cm pour les âmes extérieure et 50cm pour les âmes intermédiaire Ce choix reste de l'aménagement du tablier en chaussé de trois voix et de deux trottoir l'un de 1.5 m et l'autre : c- Epaisseur du hourdis supérieur : Le hourdis supérieur est essentiellement dimensionné par sa résistance à la flexion transversale sous l’effet des charges roulantes. GUYON indique la formule d’épaisseur e0 du hourdis suivante : e0 =

l 560 + 10 = + 10 = 25cm 36 36

On prend l’épaisseur de l’hourdis supérieur 25cm constante sur toute la portée.

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d- Epaisseur du hourdis inférieur : L’épaisseur du hourdis inférieur en travée est généralement fixée par la condition d’enrobage des câbles de solidarisation qui s’y trouvent placés. Au voisinage des appuis intermédiaires, l’épaisseur du hourdis inférieur est déterminée par la contrainte de compression admissible sous charges de service sur la fibre inférieure. On prend : L’épaisseur du hourdis inférieur sur pile : ei p = 50cm. L’épaisseur du hourdis inférieur à la clé : eic =25cm

Demi-coupe sur pile

Demi-Coupe à la clé

e- Caractéristique mécanique des voussoirs: La figure III-15 montre une section de poutre – caisson symétrique à trois âmes dont les dimensions ont été choisies de façon à simplifier les calculs. Les caractéristiques mécaniques sont les suivants : G : Le centre de graviter de la section ; V : La distance de G à la fibre supérieure ; V’ : La distance de G à la fibre inférieure ; h =V+V’ : la hauteur totale de la section ; B : L’aire de la section ; Iy : Son moment d’inertie (par rapport à un axe horizontal passant par G) ; Iz : Son moment d’inertie (par rapport à un axe vertical passant par G) ; ENTP

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CH III

Le rendement géométrique de la section :

ρ=

Iy B. v . v '

ρ v C=: l’ordonnée (par rapport à G) du point le plus haut du noyau central ρ v ' C’ = l’ordonnée (par rapport à G) du point le plus bas du noyau central

Fig.III.1. Section transversale du voussoir à la pile.

Fig.III.2. Section transversale du voussoir à la clé.

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CH III

3- CONCEPTION DES APPUIS: Le tablier repose simplement sur les deux culées mais il est encastré sur les piles définitivement .ceci pour obtenir d'une manière rassurante la stabilité du fléau pendant la construction. Cette stabilité peut être assurée au moyen d'un encastrement provisoire à l'aide de câbles de précontraint qu'on coupe dés que l'ouvrage devient hyperstatique (après le clavage). Mais ces manœuvre (et il y en d'autres) demandent des moyens coûteux et surtout une main d'œuvre qualifiée. Dans ces conditions l'encastrement définitif parait le plus adapté ceci d'une part, d'autre part le problème de stabilité du fléau est assuré par l'ensemble pile groupe de pieux Pour cette raison quand les caractéristiques des ouvrages s’y prêtent (tablier longueur modérée, piles flexibles), l’encastrement permanent sur les piles. La section des piles peut alors être massive mais une section tubulaire est plus efficace et plus économique, à la fois en construction et pour l’ouvrage terminé. La géométrie des piles cherche à concilier les 3 critères suivants : a. Résistance aux efforts. b. Posséder une souplesse importante afin de limiter les efforts engendrés par les forces horizontales appliqués au niveau du tablier, en particulier d’origine sismique et freinage des véhicules.

Fig.III.3. Section transversale de la pile.

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CH III

4- LOIS DE VARIATION DES DIFFERENTS PARAMETRE : h(x),s(x),g(x),e(x),I(x).

a- la hauteur h(x) : 1) travée de rive : L’intrados suit une variation parabolique (partie proche de la pile), puis une partie du tablier (les 5 m derniers coté de culée) a une hauteur constante égale à hc x h( x ) = h p + (h p − hc ) × ( ) 2 : 0 ≤ x ≤ l l h( x) = hc =2.5m: l ≤ x ≤ l + 5

Fig.III.4. La variation de la hauteur de la travée de rive.

b) travée symétrique: x x h( x ) = h p − 2 × (h p − hc ) × (2 ) + (h p − hc ) × (2 ) 2 l l

Fig.III.5. La variation de la hauteur de la travée symétrique.

b- épaisseur du hourdis inférieur e(x) : 1) travée de rive : Elle suit une loi de variation parabolique analogue à celle de h(x). x e( x) = ec + (e p − ec ) × ( ) 2 l e( x ) = e c

: 0≤ x≤l : 0 ≤ x ≤ 5 .5

Fig.III.6. La variation d’épaisseur du hourdis inférieur de la travée de rive.

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CH III

2) travée symétrie :

Fig.III.7. La variation d’épaisseur du hourdis inférieur de la travée symétrique.

x x e( x ) = e p − 2 × (e p − e c ) × ( 2 ) + (e p − e c ) × ( 2 ) 2 l l

e( x ) = ec .

: 0≤ x≤l : 0 ≤ x ≤ 5 .5

c- la Section s(x) : 1) Travée de rive :

Fig.III.8. La variation de la section de la travée de rive.

0 < x < 5 .5 m : S ( x ) = S c 5 .5 ≤ x ≤ l :

S(x) = Sc+ (Sp –Sc) (x/L) 2 S p : La section au niveau de pile. S c : La section au niveau de culée. 2) travée sémitique :

Fig.III.9. La variation de la section de la travée symétrique.

0 < x < L: S(x) = Sp -2(Sp- Sc) (2x/L) + (Sp –Sc) (2x/L) 2

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CH III

d- La variation de centre de graviter de la section du voussoir : x  x YG = YGP − 2(YGP − YGc )  + (YGP − YGC )( ) l l

YGP : centre de graviter du voussoir sur pile. Y Gc : centre de graviter du voussoir sur e- La variation de l’inertie: 1) travée de rive : La loi de variation d’inertie est en fonction de la hauteur qu’a été retenue : 5

I = k ×h2

Elle est comprise entre la loi limite I = k × h 2 et la loi de variation des sections rectangulaires I = k × h3 . Hypothèse des tables de GULDAN, elle correspond bien aux sections en Té et en caisson. 0 ≤ x ≤ ul : I ( x) = I c



 x − ul      l − ul   2

ul ≤ x ≤ l : I ( x) = I c 1 + k 



5 2

 Ip  Avec : k =    Ic 

0, 4

−1

Fig.III.10. La variation de l’inertie de la travée de rive.

1) Travée symétrique La loi de variation de l’inertie est comme suite : 5

2x  2  0 < x < l : I ( x) = I c 1 + k (1 − ) 2  l  

Avec :

 Ip k =   Ic

  

0, 4

−1

: Fig.III.11. La variation de l’inertie de la travée symétrique.

ENTP

Promotion 2007


CH III

Travée intermédiaire 6 0.25 2 x+ x 47 2209 0 .5 0.25 2 e ( x ) = 0 .5 − x+ x 47 2209 h( x) = 5.40 −

s ( x ) = 18.465 −

15.97 7.897 2 x+ x 47 2209

g ( x) = 2.776 −

2.144 1.207 2 x+ x 47 2209

2x   I ( x) = 8.2581 + 1.386(1 − )2  47   g ( x) = 46.16 −

5/ 2

39.92 19.96 2 x+ x 47 2209

h(x)

e(x)

s(x)

Yg(X)

I

v

v'

p

c

c'

0

5.4

0.6

20.360

2.770

95.750

2.854

2.630

2.770

0.646

1.698

3

5.4

0.5

18.465

2.766

71.861

2.634

2.766

0.534

1.477

1.477

3.75

5.305

0.492

18.212

2.732

68.612

2.573

2.732

0.535

1.461

1.461

8.75

4.711

0.443

16.631

2.522

50.292

2.189

2.522

0.539

1.360

1.360

13.75

4.185

0.399

15.230

2.339

36.828

1.846

2.339

0.544

1.272

1.272

18.75

3.726

0.361

14.010

2.183

27.089

1.543

2.183

0.550

1.201

1.201

23.75

3.336

0.328

12.971

2.055

20.166

1.281

2.055

0.561

1.152

1.152

28.75

3.013

0.301

12.112

1.954

15.346

1.060

1.954

0.577

1.128

1.128

33.75

2.759

0.280

11.435

1.880

12.084

0.879

1.880

0.604

1.135

1.135

38.75

2.572

0.264

10.937

1.834

9.983

0.738

1.834

0.642

1.178

1.178

43.75

2.453

0.254

10.621

1.814

8.770

0.639

1.814

0.692

1.255

1.255

48.75

2.402

0.250

10.486

1.823

8.278

0.579

1.823

0.746

1.360

1.360

2.4

0.25

10.48

1.829

8.258

0.571

1.829

0.760

1.389

1.389

x

50

ENTP

Promotion 2007


CH III

Travée de rive Si 0≤x≤5 h(x)=2.4 m e(x)=0.25 m s(x)=10.48 m2 yg(x) =1.559 m I(x) =8.258 m4 Si 5≤x≤L h ( x ) = 2.4 +

3 ( x − 5) 2 2209

e( x ) = 0.25 +

0.25 ( x − 5) 2 2209

s ( x ) = 10.48 +

7.985 ( x − 5) 2 2209

1.207 2 x 2209 5/2 x−5 2  I ( x ) = 8.258 1 + 1.376 ( )  47   g ( x ) = 1.559 +

g ( x ) = 26.20 +

x

19.96 ( x − 5) 2 2209

h

e

s

Yg(X)

I

v

v'

p

c

c'

0

2.4

0.25

10.48

1.829

8.258

0.571

1.829

0.760

1.389

1.389

5

2.4

0.25

10.48

1.829

8.258

0.571

1.829

0.760

1.389

1.389

6.25

2.402

0.250

10.486

1.823

8.278

0.579

1.823

0.746

1.360

1.360

11.25

2.453

0.254

10.621

1.814

9.983

0.639

1.814

0.692

1.255

1.255

16.25

2.572

0.264

10.937

1.834

12.084

0.738

1.834

0.642

1.178

1.178

21.25

2.759

0.280

11.435

1.880

15.346

0.879

1.880

0.604

1.135

1.135

26.25

3.013

0.301

12.112

1.954

20.166

1.060

1.954

0.577

1.128

1.128

31.25

3.336

0.328

12.971

2.055

27.089

1.281

2.055

0.561

1.152

1.152

36.25

3.726

0.361

14.010

2.183

36.828

1.543

2.183

0.550

1.201

1.201

41.25

4.185

0.399

15.230

2.339

50.292

1.846

2.339

0.544

1.272

1.272

46.25

4.711

0.443

16.631

2.522

68.612

2.189

2.522

0.539

1.360

1.360

51.25

5.305

0.492

18.212

2.732

8.770

2.573

2.732

0.535

1.461

1.461

52

5.4

0.5

18.465

2.766

71.861

2.634

2.766

0.534

1.477

1.477

55

5.4

0.6

20.360

2.770

95.750

2.854

2.630

2.770

0.646

1.698

ENTP

Promotion 2007

- 20 Projet de pont : Viaduc de oued MENAR

CH IV

IV - EFFORT DUS À L'EXECUTION D'UNE CONSOLE : IV – 1 – PHASES DE REALISATIONS : Les ponts construits par encorbellements successifs sont généralement réalisés à partir des piles en confectionnant les voussoirs de pert et d’autre de la pile considérée. Les voussoirs sont fixés à l’aide des câbles de précontrainte symétriquement par rapport à la pile aux extrémités du tablier. Lorsque les extrémités éteignent le voisinage de la clé pour les deux extrémités, on dit que l’on a construit un fléau. Les étapes suivantes consistent à réaliser la continuité de l’ouvrage; La continuité de l’ouvrage s’obtient par coulage, entre les extrémités des fléaux adjacents, des voussoirs dits de clavage, puis mise en tension des câbles de continuité assurant la liaison de ces voussoirs de clavage avec les consoles voisines. -Les schémas ci-dessous expliquent les phases de construction. 1) deux piles + deux fléaux isolés :

2) quatre Piles +quatre fléaux + deux clavages (c1et c4) :

3) une pile + deux clavages (c3et c2) :

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Promotion 2007


CH IV

IV – 2 - CHARGES APPLIQUEES AU FLEAU (PHASE DE CONSTRUCTION): Les différentes phases de calcul correspondent aux phases de construction jusqu'à mise en service de l’ouvrage. La phase de construction du fléau est modélisée par un portique, le tablier travaillant comme un bi console. Les charges à prendre en compte dans ces phases sont : • Le poids propre du tablier: Les surcharges de chantier : On tient compte des divers matériels de chantier que l’on assimile à une surcharge uniformément répartie de 50 kg /m2 et surcharge concentrée de 11.63 tonnes. • Equipage mobile : On prend le poids de l’équipage mobile égale à 70 tonnes concentrée au bout de l’avant dernier voussoir qui déjà mis en tension, donc le clavage on n’a pas besoins de l’équipage mobile. •

• Le vent : Le fascicule 61Titre II du règlement française prescrit de 100kg/m2 si la phase de construction n’excède pas un mois, et 125kg/ m2 sinon. Donc dans notre cas on prend 125 kg/ m2. • Surcharges accidentelles : Des incidents pouvant survenir en cours d’exécution, tels par exemple la chute d’un équipage mobile, et doivent être pris en compte. On considère qu’en cours de manœuvre, l’équipage vide puisse chuter. Le poids correspondant est multiplié un coefficient de majoration dynamique égal à 3.

Fig.IV.1.charges aléatoires appliquée aux fléaux.

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Promotion 2007


CH IV

a. Efforts dus au poids propre dans un fléau isostatique: G Le tablier possède une hauteur variant paraboliquement, on peut admettre que la loi de variation de l’aire de sa section droite est également parabolique. Considérons alors le demi- fléau représente sur la figure suivante :

Fig.IV.2.Efforts dus au poids propre.

La fonction représentative de l’aire de la section droite est alors :

x x s(x) = s1 − 2(s1 − s0 )( ) + (s1 − s0 )( ) 2 l l s ( x ) = 18 .465 −

15 .97 7.897 2 x+ x 47 2209

γ :désigne le poids volumique de béton (γ =2.5t/m3) La densité de charge verticale correspondant au poids propre est donc g (x) = γ S(x) g ( x ) = 46.1625 −

39.925 19.7425 2 x+ x 47 2209

Efforts dus au poids propre : -L’expression de l’effort tranchant :

l 2 − x2 l3 − x3 T(x) = g1(l − x) −(g1 − g0 ) + (g1 − g0 ) 2 l 3l 2

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CH IV

-L’expression du moment fléchissant : (g − g )  2l 3 − 3xl2 + x3  (g1 − g0 )  3l 4 − 4xl3 + x4  1  −   M (x) = − g1 (l − x)2 + 1 0  2 2 3  l 12 l   

L ≤ X ≤ L+αL ⇒ On n’aura pas besoin de calculer le moment et effort tranchant dans cette partie puisque le denier voussoir c à d le clavage sera coulé directement avec coffrage léger, ce qui implique que son poids propre n’influe pas sur le console, donc le cas le plus défavorable est avant le coulage de clavage. b. Efforts dus aux surcharges : Q Les charges Reparties :  x2 L2  + xL +  2  2

Surcharge de chantier : M (x ) = 0,675  −

T(x) = 0,675 (L –x)

 x2 L2    ( ) M x = 1 , 6875 − + xL − Surcharge verticale du vent :  2 2   T(x) = 1,6875 (L –x) c. Les charges Concentrées : Surcharge d’équipage mobile M(x) = 70 (x 5 – L) T(x) = 70 La charge concentrée M(x) = 11.63 (x +– L) T(x) = 11.63 Le cas le plus défavorable est lors de coulage de l’avant dernier voussoir, et la valeur maximale du moment sera au niveau de l’encastrement(x=0). Les combinaisons d’action à prendre sont : 1.03G+Q+W 0.98G+Q+W Le moment dus à (1.03G+Q+W) est supérieur à celle de (0.98G+Q+W), donc on utilisé se la combinaison de charge (1.03G+Q+W) pour les calcules. Avec : G : Charge permanents Q : Surcharges W : Vent

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CH IV

Fig.IV.3. Schéma d’équipage mobile.

Fig.IV.4. Schéma des Charges et surcharges.

Le moment maximum est à l’encastrement lords de coulage du dernier voussoir sur l’équipage mobile. On peut avoir les valeurs de moment du à ce cas chaque extrémité de voussoir.

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CH IV

Fig.IV.5. La Lure de diagramme de moment

Le tableau qui donne les valeurs des moments et les efforts tranchants à l’encastrement de chaque voussoir, calcules avec la combinaison de charge (1.03G+Q+W) Pour le console :

voussoirs

ENTP

x (m)

1.03G+Q+W Effort tranchant: V (t)

moment fléchissant: M (t.m)

SVSP

0

1902.725

- 43509.662

S1

3.75

1701.175

- 36758.264

S2

8.75

1465.600

- 28850.118

S3

13.75

1249.658

- 22069.729

S4

18.75

1050.894

- 16325.070

S5

23.75

866.855

- 11536.384

S6

28.75

695.086

- 7636.186

S7

33.75

533.132

- 4569.258

S8

38.75

378.542

- 2292.657

S9

43.75

228.859

- 775.705

S10

48.75

81.630

0.00

Promotion 2007


CH IV

Clavage de la travée : Dans cette phase de construction, on à deux types de clavage : • Clavage dans la travée de rive. • Clavage dans la travée intermédiaire. dans le premier cas on considère que la console est solidaire avec la partie coulée sur cintre , la structure est devenue alors hyperstatique, et pour le calcul des efforts, cette dernière est supposée soumise à l’effet du poids propre de la partie de clavage.

• Calcul des coefficients de souplesse : a, b, c. Les coefficients ai, bi, ci, qui sont les coefficients de souplesses désignent les constantes mécaniques de la travée i. Si, on considère une travée i de langueur L, et d'inertie Ii(x), les coefficients de souplesses sont définies comme suit: x2

xn dx An (x1, x2) = ∫ ( 1 + x 2 )5/2 x1

dt t 1 t  A0 (t ) = ∫ = −   5 (1 + t 2 ) 2 1+ t2 3  1+ t 2  0 t

tdt 1 1 1  A1 (t ) = ∫ = −   5 2 2 3 3 1+ t2  ( 1 + t ) 0 t

t 2 dt 1 t  A2 (t ) = ∫ =   5 (1 + t 2 ) 2 3  1 + t 2  0 t

3

3

3

t 3dt 2 1 1 1  A3 (t ) = ∫ = − +   5 2 2 2 2 3 3 ( 1 + t )   1 + t 1 + t 0 t

Avec An = An (0,

ENTP

3

K ). Promotion 2007


CH IV

• Calcul des coefficients de souplesse d’une travée de rive : 1 dx α 1−α A0 ( K) = + J0 = ∫ L 0 I(x) I0 I0 K L

A ( K) 1 x dx α2 1−α  A0 ( K) = + +(1−α) 1 α  ∫ L 0 L I(x) 2I0 I0  K  K L

J1 =

2 L A ( K) 1  x dx α3 1−α  2 A0 ( K) 2 A ( K)  J2 = ∫   = + + 2α(1−α) 1 +(1−α) 2 α   L 0  L I(x) 3I0 I0  K K K K 

A ( K) 1  x dx α4 1−α  3 A0 ( K) 2 A ( K) 3 A ( K)  J3 = ∫   = + + 3α2 (1−α) 1 + 3α(1−α) 2 +(1−α) 3 2  α  L 0  L I(x) 4I0 I0  K K  K K K D’où L

3

a = J 0 − 2 J1 + J 2 L b E = J1 − J 2 L c E = J2 L E

Rotation isostatique dans une travée de rive : Charge uniformément répartie sur toute la travée de rive :

 α  x  2 1 2 µ ( x ) = q L     2  L  L  E '' 1 E ' 1 ω = ( J2 − J3 ) ω = ( J1 − 2 J 2 + J 3 ) 3 qL 2 qL3 2

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CH IV

La partie de la hauteur constante (0≤ x ≤ L) est supposée avoir un moment d’inertie de flexion également constat (I0). Sur la partie de hauteur variable, la loi de variation du moment d’inertie des sections est la suivante : α L ≤ x ≤ L ⇒ I (x) = I0 (1 + K (

x - α L 2 5/2 ) ) L -α L

Avec :

α=

5 = 0.09091 55

0 .4

I   71.861  K =  1  − 1 =    8.258   I0  K = 1.376

0 .4

−1

K = 1.376 ⇒ K = 1.173 Application numérique : I0= 8.258 m4 I1= 71.861m4 α = 0.09091 K = 1.376 ; K = 1.173 A0 (0, 1.173) = 0.614097 A1 (0,1.173) = 0.24232 A2 (0, 1.173) = 0.146905 A3 (0, 1.173) = 0.108932 J0 = 0,078612 J1 =0,02732 J2 = 0,014061 J3 = 0,008796 Ea = 0,0380333 L Eb = 0,0132588 L Ec = 0,0140611. L

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CH IV

IV-3- DETERMINATION DU MOMENT HYPERSTATIQUE (sur appui): Pour déterminer ce moment, on utilise la formule des trois moments (formule de CLAPEYRON) :

E 1 E ω ω ' ' = 0 .00263235 ' ' = ( J − J ) ⇒ 2 3 qL 3 2 qL 3 0 . 00263235 qL 3 11474 . 5 ⇒ ω ''= E E Ec 0 . 7733605 = 0 . 0140611 ⇒ c = L E

ω ''=

⇒ M = − 14837 t .m

Moments totaux dus au poids propre : Après le clavage en aura le diagramme du moment fléchissant total du au poids propre. M1 (x) = - 26.2/2 x2 +990.26x-14837 M (x) = M max pour x =37.796 m ; d’ou M max =3877.16 KN .m M (x = 0) = -14837 KN .m M (x) = 0 pour x = 20.592 m

ENTP

Promotion 2007


CH V

V- ETUDE DE LA PRECONTRAINTE DE LA CONSOLE Généralité : La précontrainte longitudinal d'un pont construit par encorbellement se compose de deux famille de câble : les câbles des fléau et les câble de continuité (sollicitation) 1-) les câble des fléaux: Ils ont un double rôle; assure le tenu des fléaux pendant la construction et assure la Résistance aux moments négatifs de l'ouvrage en service. En pratique, on arrête au mois un câble par âme est par voussoir. 2-) les câbles de continuités Ils assurent la résistance aux moments et sot enfilés au voisinage de clé de chaque travée pour assurer la continuité du tablier. V-1- DETERNINATION DES CABLES: Les câbles du fléau sont disposés au voisinage de la membrure supérieur des poutres et mis en place au fur et à mesure de l'avancent de construction. La décroissent des moment à partir de l'encastrement permet d'arrêter les câbles dans chaque voussoir. Câblages: Les moments dus à l'exécution du fléau engendrent au nivaux des fibres supérieures et inférieures des contraintes. Moment négatif:

σ sup = −

MV I

σ inf

MV ' = I

Traction dans les fibres supérieures, compression dans les fibres inférieures. L'effort de précontraintes est pour rependre le moment négatif maximal à l'encastrement. Pour déterminer l'effort P de précontrainte il suffit d'équilibre des contraintes dues à la surcharge avec celles dues à la précontraintes.

P Pe M − > 0 En fibre supérieure I S I V V

P Pe M − > 0 En fibre inférieure I S I V V'

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Promotion 2007


CH V

Avec: P: effort de précontrainte. M: moment maximal du au poids propre et surcharge. V: distance de CDG de la section à la fibre supérieure V': distance de CDG de la section à la fibre inférieure. e: distance de P AU centre de la section. S: la section A la limite on aura:     1 e M  P + − =0 S I  I   V  V'  V I ⇒P= 1 eV + 3 I M

Dans cette dernière expression “P” et “e” sont des inconnues, pour cela on fixe “e” et on détermine “P”. Le nombre des câbles est donné par la relation suivante : N=

p .p 0

Avec : P0 : Effort de précontrainte limite qu’un câble de 1 T15 s peut créer et P0 est estimé à 20% de perte. Fprg= 1770Mpa .pour un câble de 1 T15. Fpeg= 1583Mpa .pour un câble de 1 T15. La tension d’origine : σ p 0 = Min (0.8Fprg, 0.9 Fpeg) = Min (1416,1424.7) = 1416Mpa. σ p0 =

p0 ⇒ p 0 = 0,8.σ p 0 × s 0 .8 s

P0 = 0.8 x 1416 x 1668 x 10-6 x 102=192.73 t Détermination de P : Pour la Détermination de P, on fait des itération pace qu' on a deux inconnues e et p on a : e =V-d . d : distance entre le centre de gravité de l'ensemble des câble et la fibre supérieure. Donc, on fixe 'd' et on calcule le nombre des câble puis on cherche 'd',correspondant a la disposition de nombre de câble , on fait cette opération plusieurs fois jusqu'à ce qu' on trouve le nombre réel . ⇒P=

ENTP

M max .V I I e.V + S I Promotion 2007


CH V

Sur la section de l'encastrement on a : • • • • Pour

Section : S = 20.36m² Inertie : I = 95.75m4 Distance du centre de gravite à la fibre supérieure : V = 2.63m e = V- d On prend l’enrobage d = 0.1 m ⇒ e =2.63– 0.1= 2.53 m M=43509.66 t.m ⇒ P1 = 10075.104t

Avec :

P N= i P0

On trouve que N= 52.28 a. Répartition des câbles dans chaque voussoir : La décroissance des moments fléchissant à partir de la pile permet d’arrêter au moins 3 câbles dans chaque voussoir, pour éviter le phénomène de torsion ; on doit arrêter le nombre de câble par trois de gousset supérieure. Soit le nombre nécessaire des câbles pour le caisson : M

S

V

e0

I

P

P0

N=p/p0

N réel

0

43509.66

20.36

2.63

2.53

95.75

10075.983

192.73

52.280

54

3.75

36758.26

18.212

2.573

2.473

68.471

9343.265

192.73

48.479

51

8.75

28850.12

16.631

2.189

2.089

49.497

8365.721

192.73

43.406

45

13.75

22069.73

15.23

1.846

1.746

35.753

7313.454

192.73

37.947

39

18.75

16325.07

14.01

1.543

1.443

25.969

6173.685

192.73

32.033

33

23.75

11536.38

12.971

1.281

1.181

19.137

4945.438

192.73

25.660

27

28.75

7636.19

12.112

1.06

0.96

14.478

3657.735

192.73

18.979

21

33.75

4569.26

11.435

0.879

0.779

11.408

2387.320

192.73

12.387

15

38.75

2292.66

10.937

0.738

0.638

9.511

1262.240

192.73

6.549

9

43.75

775.71

10.621

0.639

0.539

8.514

432.514

192.73

2.244

3

48.75

0

10.486

0.579

0.479

8.266

0.000

192.73

0.000

0

x

ENTP

Promotion 2007


CH V

Le tableau donnant le détail de nombre des câbles par âme : N reel

nombre des câbles par âme

X

M

S

V

e0

I

P

p0

N=p/p0

0

43509.66

20.36

2.63

2.53

95.75

10075.98

192.73

52.28

54

18

3.75

36758.26

18.212

2.573

2.473

68.471

9343.27

192.73

48.48

51

17

8.75

28850.12

16.631

2.189

2.089

49.497

8365.72

192.73

43.41

45

15

13.75

22069.73

15.23

1.846

1.746

35.753

7313.45

192.73

37.95

39

13

18.75

16325.07

14.01

1.543

1.443

25.969

6173.68

192.73

32.03

33

11

23.75

11536.38

12.971

1.281

1.181

19.137

4945.44

192.73

25.66

27

09

28.75

7636.19

12.112

1.06

0.96

14.478

3657.74

192.73

18.98

21

07

33.75

4569.26

11.435

0.879

0.779

11.408

2387.32

192.73

12.39

15

05

38.75

2292.66

10.937

0.738

0.638

9.511

1262.24

192.73

6.55

09

03

43.75

775.71

10.621

0.639

0.539

8.514

432.514

192.73

2.24

03

01

48.75

0

10.486

0.579

0.479

8.266

0.000

192.73

0

0

0

Vsp V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

V9

FIG V.1. Disposition du câble au niveau de la section sur pile :

ENTP

Promotion 2007


CH V

La répartition des câbles par âme: Dans la répartition des câbles il faut tenir compte la parité des âmes, car il y a 3 âmes par voussoir ce qui nous oblige de mettre le même nombre de câbles dans chaque âme. Ce ci pour éviter le phénomène de torsion. Le tableau suivant nous à donne La valeur entière du nombre des câbles arrêtés par âme: N° de câble (12T15)

Nbre de câble par âme

Nbre des câbles arrêtés

0

54

18

01

3.75

51

17

8.75

45

15

13.75

39

13

18.75

33

11

23.75

27

09

28.75

21

07

33.75

12

05

38.75

06

03

43.75

03

01

48.75

0

0

X (m)

02 02 02 02 02 02 02 02 02

ENTP

Promotion 2007


CH V

V.2- ETUDE DU CABLE EN ELEVATION: Le câble en élévation suit une ligne droite jusqu'au début du voussoir où il emprunte une courbe en forme de parabole jusqu'à son ancrage d'équation : L’équation de la courbe est de la forme :  x Y ( x ) = d 0 + (d 1 − d 0 )  l

2

d0 : distance a la face supérieure du câble filant. d1 : distance a la face supérieure du point d'ancrage. l : longueur sur la quelle s'effectue la courbure

FIG V.2. Câblage du voussoir en élévation

L’équation du rayon de courbure à pour expression : R ( x) =

x² ≥ R min = 4.8m 2( d 1 − d 0 )

La tangente au point d’ancrage est la suivante : tgα =

dy dx

= 2(d 1 − d 0 )

x x  ⇒ α = arctg 2(d 1 − d 0 )  l² l²  

Exemple de calcul : Etude de câble n°1 de voussoir 1 : Dans ce voussoir ont arrête 3 câbles, soit 1 câble par âme au niveau de voussoir 1 (section x= 3.75m). Câble 1 : Le câble n° 1 s’ancrera à l’axe de l’âme à une distance de 0,25m au dessus CDG de la section. X = 3.75m V= 2.573 m d0 = 1.15 m

ENTP

Promotion 2007


CH V

d1 = V→ y1 = 1.423m R=

1 X2 3.75 2 = = 4.9411m 2 (d 1 − d 0 ) 2 × 1.423

L’inclinaison de la courbure avec l’horizontale : tan α =

2 × 1.423 = 0.7589 ; 3.75

donc α=37.19°

Le câble suit une parabole de la forme : d ( x) = d 0 + ( d1 − d 0 )

X2 l2

d ( x) = 0.3 + (0.55 − 0.3)

X2 2 .5 2

d(x)=1.15+0.10119x2 Le reste du calcul pour les câbles est mentionné dans le tableau suivant :

cables

L

V

d0

d1

y

R

α°

(d0-d1)/L2

equation

C1

3.75

2.573

1.15

2.573

1.423

04.941

37.19

0.10119

0.10119x2+1.15

C2

5

2.189

0.90

2.439

1.539

08.122

31.61

0.06156

0.06156x2+0.9

C3

5

2.189

0.70

1.939

1.239

10.090

26.36

0.04956

0.04956x2+0.7

C4

5

1.846

0.50

2.096

1.596

7.832

32.55

0.06384

0.06384x2+0.5

C5

5

1.846

0.30

1.596

1.296

9.645

27.40

0.05184

0.5184 x2+0.3

C6

5

1.543

0.10

1.793

1.693

7.383

34.10

0.06772

0.06772x2+0.1

C7

5

1.543

0.10

1.293

1.193

10.478

25.51

0.04772

0.04772x2+0.1

C8

5

1.281

0.10

1.531

1.431

8.735

29.78

0.05724

0.05724x2+0.1

C9

5

1.281

0.10

1.031

0.931

13.426

20.42

0.03724

0.03724x2+0.1

C10

5

1.06

0.10

1.31

1.21

10.331

25.82

0.04840

0.04840x2+0.1

C11

5

1.06

0.10

0.81

0.71

17.606

15.85

0.02840

0.02840x2+0.1

C12

5

0.879

0.10

1.129

1.029

12.148

22.37

0.04116

0.04116x2+0.1

C13

5

0.879

0.10

0.629

0.529

23.630

11.94

0.02116

0.02116x2+0.1

C14

5

0.738

0.10

0.988

0.888

14.077

19.55

0.03552

0.03552x2+0.1

C15

5

0.738

0.10

0.488

0.388

32.217

8.82

0.01552

0.01552x2+0.1

C16

5

0.639

0.10

0.889

0.789

15.843

17.51

0.03156

0.03156x2+0.1

C17

5

0.639

0.10

0.389

0.289

43.253

06.59

0.01156

0.01156x2+0.1

C18

5

0.579

0.10

0.579

0.479

26.096

10.84

0.01916

0.01916x2+0.1

ENTP

Promotion 2007


CH V

V.3- ETUDE DU TRACE EN PLAN: Le tracé en plan suit aussi une parabole qui commence du début du voussoir jusqu'à l'ancrage. Mais avec une variation très lente, car le câble subit en même temps deux courbures ; en plan et en élévation, ce qui pose des problèmes au niveau de l'exécution bien que théoriquement il est conseillé de donner au câble une forme en S plus ou moins prononcée pour diminuer au maximum la composante V de la précontrainte dans le plan, il est difficile de le réaliser en pratique. Ceci du point de vue pratique, et du point de vue perte de précontrainte celle-ci est très importante lorsque les courbures augmentent en tenant compte de ces remarques on a choisi le tracé suivant :

FIG.V.3. Tracé d’un câble en plan.

Equation de la courbure : Z(x)= x²+bx+c Avec les conditions aux limites.  x Z ( x) = Z 0 + ( Z 1 − Z 0 ) ×   l

2

Le rayon de courbure : Ri +1 =

(l )² 2( Z 1 − Z 0 )

L’inclination : tg ( β ) =

ENTP

2( z 1 − z 0 ) l

Promotion 2007


CH V

Exemple : étude du câble n°6  x Z ( x) = Z 0 + ( Z 1 − Z 0 ) ×   l

2

Pour le câble n° 6 : Z0 = 0.18m Z1 =0 2

x Z ( x ) = 0.18 + (0 − 0.18) ×   5 (5)² R= =- 69.44m 2(0 − 0.18) 2( z 1 − z 0 ) tg ( β ) = =- 0.072 l

Z ( x ) = 0.18 − 0.0072 x 2

Equations des câbles en plan est mentionné dans le tableau suivant : N° V

N° de câble

Rc (m)

Z0 (m)

tgβ

β°

Equation

VSP

C1

0

0

0.000

0.000

/

C2

0

0

0.000

0.000

/

C3

0

0

0.000

0.000

/

C4

0

0

0.000

0.000

/

C5

0

0

0.000

0.000

/

C6

-69.44

0.18

-0.072

-4.118

0.18-0.0072x2

C7

69.44

-0.18

0.072

4.118

-0.18+0.0072 x2

C8

-34.72

0.36

-0.144

-8.194

0.36-0.0144 x2

C9

34.72

-0.36

0.144

8.194

-0.36+0.0144 x2

C10

-23.14

0.54

-0.216

-12.189

0.54-0.0216 x2

C11

23.14

-0.54

0.216

12.189

-0.54+0.0216 x2

C12

-17.36

0.72

-0.288

-16.066

0.72-0.0288 x2

C13

17.36

-0.72

0.288

16.066

-0.72+0.0288 x2

C14

-13.88

0.9

-0.360

-19.800

0.9-0.036 x2

C15

13.88

-0.9

0.360

19.800

-0.9+0.036 x2

C16

-11.57

1.08

-0.432

-23.364

1.08-0.0432 x2

V8

C17

11.57

-1.08

0.432

23.364

-1.08+0.0432 x2

V9

C18

0

0

0.000

0.000

/

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7

ENTP

Promotion 2007


Vus en élévation de la console et la disposition des câbles

CH V

ENTP

Promotion 2007


Vus en plan des câbles de la console pour une âme

CH V

ENTP

Promotion 2007

-41 Projet de pont : Viaduc de oued MENAR

CH VI

VI- PERTES DE TENSION DANS LES CABLES: La contrainte existant dans l’acier des armatures varie constamment en fonction du temps, du fait de l’existence des phénomènes propres au béton de la structure, à savoir le retrait et le fluage, que ceux concernant la relaxation de l’acier. Il faut donc tenir compte de ces phénomènes pour connaître l’état de la tension réelle de l’armature à un instant t quelconque. Donc, la réduction de l’intensité de la force le long de précontrainte est liée aux plusieurs phénomènes instantanés et différés : LES PERTES INSTANTANEES :

Les pertes instantanées sont les pertes causées lors de la mise en tension ; elles sont de trois sortes : • Pertes dues au frottement de l’acier dans la gaine • Pertes dues au relâchement des câbles et aux déplacements des ancrages • Pertes dues au raccourcissement élastique du béton LES PERTES DIFFEREES:

Dans ce type de perte, il existe : • Pertes par retrait du béton • Pertes par fluage. • pertes de tensions dues a la relaxation des armatures. VI.1- LES PERTES INSTANTANEES :

a – pertes par frottement: Elles sont provoquées par le frottement des câbles sur les gaines lors de leurs mises en tension .Les augmentations des pertes par frottement sont essentiellement dues aux irrégularités au niveau des joints de voussoirs Tout force de contacte entre armature et gaine donne lieu par suite du frottement à une réaction qui s’oppose au mouvement et même dans les parties linéaires il y’a des frottements car le trace réel des câbles présente des déviation s parasites. Elles sont données par la formule suivante :

∆σ f ( x) = σ

p0

− σ p ( x) = σ

p0

1 − e − ( f 

θ +ϕ x )

 

Avec :

σ p 0 : Tension à l’origine. σ p 0 = 1416Mpa .

ƒ : Coefficient de frottement de courbure, tel que : ƒ=0.19 rad-1. φ : Coefficient de frottement droit, tel que : φ =0.002 m-1 x : Abscisse de la section considérée à partir de l’ancrage. θ : La variation angulaire du câbles de l’abscisse (x).

ENTP

Promotion 2007


CH VI

Ainsi, on aura :

 ∆σ f = 1416  1 − e −( 

0.19 θ + 0.002 x )

  

Les résultats sont donnés dans les tableaux suivants : perte dus au frottement ∆σf en Mpa cables c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11 c12 c13 c14 c15 c16 c17 c18

X 3.75 8.75 8.75 13.75 13.75 18.75 18.75 23.75 23.75 28.75 28.75 33.75 33.75 38.75 38.75 43.75 43.75 48.75

S0 173.65 141.04 166.93 179.36 158.06 198.56 163.79 195.58 159.74 197.34 163.42 204.46 176.00 217.15 195.37 234.26 218.23 176.90

S1 0.00 153.60 131.44 170.05 148.59 189.39 154.36 186.39 150.29 188.17 153.99 195.34 166.67 208.13 186.18 225.36 209.21 167.57

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

0.00 0.00 157.53 135.85 177.06 141.68 174.03 137.57 175.83 141.31 183.07 154.11 195.99 173.82 213.40 197.09 155.02

0.00 0.00 164.61 128.87 161.55 124.72 163.37 128.50 170.68 141.43 183.73 161.33 201.31 184.84 142.35

0.00 0.00 148.94 111.74 150.78 115.56 158.17 128.62 171.34 148.72 189.10 172.46 129.55

0.00 0.00 138.06 102.49 145.52 115.68 158.84 135.99 176.77 159.96 116.62

0.00 0.00 132.76 102.61 146.20 123.12 164.32 147.34 103.56

0.00 0.00 133.44 110.13 151.74 134.59 90.37

0.00 0.00 139.03 121.71 77.05

0.00 0.00 63.59

0.00

S9

S10

Perte par frottement au niveau de chaque âme phases

X

S0

0

0

0.00

1

3.75

173.65

0.00

2

8.75

481.62

285.04

0.00

3

13.75

819.04

603.68

293.38

0.00

4

18.75

1181.38

947.43

612.12

293.48

0.00

5

23.75

1536.70

1284.10

923.72

579.75

260.68

0.00

6

28.75

1897.46

1626.27

1240.86

871.61

527.01

240.55

0.00

7

33.75

2277.93

1988.27

1578.04

1183.73

813.80

501.76

235.37

0.00

8

38.75

2690.45

2382.58

1947.85

1528.79

1133.87

796.58

504.69

243.57

0.00

9

43.75

3142.94

2817.16

2358.33

1914.93

1495.43

1133.31

816.35

529.90

260.74

0.00

10

48.75

3319.83

2984.73

2513.35

2057.28

1624.98

1249.93

919.91

620.27

337.79

63.59

ENTP

S1

S2

S3

S4

S5

S6

en Mpa S7

S8

0.00

Promotion 2007


CH VI

b- pertes de tensions dues au recul des encrages: Ces pertes correspondent à un léger glissement de l’armature en mouvement, il n’affecte qu’une partie X de la longueur du câble comptée à partir de l’ancrage. Cette longueur est donnée par la relation suivante :

X =

σ

p

0

gE P − σ p0 (l )

Avec : X : longueur sur laquelle s’effectue le recul d’ancrage. σp0 : contrainte initiale. σp0’ : contrainte après recul d’ancrage. ∆ σr : la perte de tension. g : l’intensité du recul d’encrage

1 g = Ep

X

∫ ∆σ

dx = 0 . 005 m

0

la perte par recul d'ancrage est donnée par la formule suivante :

∆σ r = σ p0 ( x) − σ ' p0 ( x) Avec

σ p ( x ) = σ p e − ( fθ + ϕ 0

x)

0

σ ' p ( x) = σ p e − ( fθ +ϕ ( X − x )) 0

0

σ p ( x ) = σ p e − ( fθ + ϕ 0

ENTP

x)

0

Promotion 2007


CH VI

Les résultats sont donnés dans les tableaux suivants : tension après perte par frottement en Mpa cables

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11 c12 c13 c14 c15 c16 c17 c18

1242.35 1252.97 1274.96 1236.64 1257.94 1217.44 1252.21 1220.42 1256.26 1218.66 1252.58 1211.54 1240.00 1198.85 1220.63 1181.74 1197.77 1239.10

1416.00 1262.40 1284.56 1245.95 1267.41 1226.61 1261.64 1229.61 1265.71 1227.83 1262.01 1220.66 1249.33 1207.87 1229.82 1190.64 1206.79 1248.43

1416.00 1416.00 1258.47 1280.15 1238.94 1274.32 1241.97 1278.43 1240.17 1274.69 1232.93 1261.89 1220.01 1242.18 1202.60 1218.91 1260.98

1416.00 1416.00 1251.39 1287.13 1254.45 1291.28 1252.63 1287.50 1245.32 1274.57 1232.27 1254.67 1214.69 1231.16 1273.65

1416.00 1416.00 1267.06 1304.26 1265.22 1300.44 1257.83 1287.38 1244.66 1267.28 1226.90 1243.54 1286.45

1416.00 1416.00 1277.94 1313.51 1270.48 1300.32 1257.16 1280.01 1239.23 1256.04 1299.38

1416.00 1416.00 1283.24 1313.39 1269.80 1292.88 1251.68 1268.66 1312.44

1416.00 1416.00 1282.56 1305.87 1264.26 1281.41 1325.63

1416.00 1416.00 1276.97 1294.29 1338.95

1416.00 1416.00 1352.41

1416.00

S9

S10

tension après perte dues en recul d'encrage σ'p0(x) cables

S0

S1


1238.49

1229.23

0.00

ENTP

S2

1251.64

1239.18

1270.88

1258.23

S3

S4

S5

1240.81

1228.46

1259.37

1246.84

1241.56

1229.20

1216.97

1272.14

1259.48

1246.95

1250.74

1238.29

1225.97

1281.58

S6

S7

S8

1268.83

1256.21

1256.33

1243.83

1231.45

1285.30

1272.51

1259.85

1257.72

1245.20

1232.81

1282.26

1269.50

1256.87

1254.55

1242.07

1229.71

1273.75

1261.07

1248.53

1247.58

1235.17

1222.88

1262.08

1249.52

1237.09

1319.39

1306.26

1293.26

1280.39

Promotion 2007


CH VI

pertes dues au recul d'encrage ∆σr en Mpa câbles c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11 c12 c13 c14 c15 c16 c17 c18

S0 3.87

S1 186.77 10.76 13.68

S2 176.82 157.77 17.66 20.78 0.00 2.18

S3

187.54 169.16 22.18 27.65 3.71 9.70

S4

199.03 169.05 28.76 35.43 8.90 15.14

S5

190.03 159.79 34.11 41.00 12.76 18.06

S6

184.55 156.15 38.04 43.89 15.25 19.13

S7

S8

S9

S10

183.19 159.13 40.49 44.80 16.68 19.33 6.24

186.29 167.47 41.80 44.77 32.69

193.12 178.91 59.15

135.61

c- pertes par raccourcissement du béton : La construction par encorbellement se distingue par la non simultanéité de la mise en tension des câbles, traversant ainsi des sections d'age différentes et donc des modules d'élasticité différentes au coure de temps. De ce fait il y a lieu de tenir compte: -

d'une perte de tension dans les câbles par raccourcissement instantanée de béton lors de la mise en tension dans chaque section déjà coulée. D'autre perte de son influence sur chaque câble tiré au paravent et dans chaque section.

Soit le câble ' n' pour lequel on recherche la perte de tension dans la section 'k' d'age de béton 'j'

ENTP

Promotion 2007


CH VI

La perte par raccourcissement de béton est donnée par la formule suivante:

∆M 1  ep + (σp 0 − ∆σ f − ∆σ r )Ap + ep 2  cos α I S  ∆σ i = E bj 1  + Ap + ep 2  cos α Ep S  Avec: ∆M : Augmentation du moment du à l'exécution de voussoir ' i '; ∆σ f : Perte due au frottement ;

∆σ r : Perte due au recul d'ancrage; σp0 : Tension à l'origine (1416 Mpa) 2

Ap : Section nominal d'un câble 1 2T15 (1668 mm );

α : Angle en élévation ; ep : Distance de centre de gravitée de la section au barycentre des câbles qui la traverse; E p : Module d’élasticité de l’acier; Eb j : Module de déformation instantanée du béton à l’age ' j' jours;

la mise de précontrainte est faite après 15 jours. Remarque: Dans le cas ou il s'agit de tirer deux câbles en même temps il suffit de remplacer da la 2 2 formule ci-dessous σp0 par 2 σp0, ∆σf par ∑1 ∆σ fi , ∆σr par ∑1 ∆σ ri ;Ap par 2Ap. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : pertes dues au raccourcissement de béton ∆σi en Mpa cables

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

c1

0 1.576 0.822 0 0 0 0 0 0 0

0 2.835 2.177 1.096 0 0 0 0 0 0

0 3.220 2.150 0.451 0 0 0 0 0

0 3.605 1.659 0 0 0 0 0

0 3.575 1.239 0 0 0 0

0 3.388 0.612 0 0 0

0 3.074 0 0 0

0 2.697 0 0

0 2.336 0

0 0

0

c2-c3 c4-c5 c6-c7 c8-c9 c10-c11 c12-c13 c14-c15 c16-c17 c18

ENTP

Promotion 2007


CH VI

Somme des pertes instantanées (∆σr+ ∆σf+∆σi) en Mpa cables

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

c1

177.51

186.77

c2-c3

309.55

312.32

334.58

c4-c5

338.24

320.82

335.04

356.70

c6-c7

362.34

344.85

323.08

346.92

368.08

c8-c9

355.32

336.67

312.05

301.33

328.45

349.82

c10-c11

360.77

342.16

317.14

291.86

291.61

319.05

340.70

c12-c13

380.47

362.01

337.19

312.11

286.79

292.64

320.37

342.32

c14-c15

412.52

394.31

369.81

345.06

320.07

294.82

303.70

331.56

353.76

c16-c17

452.49

434.58

410.48

386.15

361.57

336.74

311.66

322.34

349.65

372.03

c18

176.90

167.57

155.02

142.35

129.55

116.62

103.56

96.61

109.74

122.74

135.61

11.65

9.58

Moyenne des pertes instantanées en pourcentage (%) %

13.05

12.56

12.02

11.69

11.33

10.98

10.83

11.03

11.49

Moyenne du pourcentage des pertes instantanées est égale à : 11,47%

ENTP

Promotion 2007


CH VI

VI.2-PERTES DE TENSION DIFFEREES: La force de précontrainte dans le câble se réduit progressivement par les effets du retrait et du fluage du béton, ainsi que la relaxation des aciers jusqu’à une valeur finale à prendre en compte dans le calcul de l’ouvrage. a- pertes de tensions dues au retrait du béton: La perte finale de tension dus au retrait du béton est égale à : ∆σr =Ep . εr (t) εr(t)= εr r(t)

εr : étant le retrait totale du béton.2 .10-4 en climat humide.(BPEL) r (t ) : Une fonction du temps variant de 0à1, quand le t varie de 0 à l’infini à partir

du bétonnage. Ep : module d’élasticité de l’acier de précontrainte (Ep =190 KN/mm2pour les toron). ∆σr =190000 × 2.10-4 ∆σr =38Mpa soit : 2.68%

b - pertes de tensions dues au fluage du béton: La déformation due au fluage correspond à un raccourcissement différé ou béton sous l’effet des contraintes de compression. La perte final de tension , due au fluage du béton , dans le cas conditions thermo hygrométriques constante, est fonction de la contrainte maximale et de la contrainte finale, supportées par le béton dans la section considérée, de l’age du béton lors de sa mise en précontrainte, est :

∆σ fl = Ep ξ fl =

Ep (σ b + σ max ) Eij

Avec : Ep: Module d’élasticité de l’acier. Eij : Module de déformation instantanée du béton à l’age j jours σ max et σ b étant, respectivement la contrainte maximale et la contrainte finale supportées par le béton dans la section considérée, au niveau de centre de gravité des armatures de précontrainte. Comme σ max ≤ 1,5 σ b et

Ep Ep = 6, nous avons : ∆σfl = 2,5 × σ b × Eij Eij

∆σfl = 2,5 × 35 × 6 = 525 Mpa Soit : 2.06 %

ENTP

Promotion 2007


CH VI

c- pertes de tensions dues a la relaxation des armatures : La relaxation de acier est un relâchement de tension à longueur constante. Elle n'apparaît pour les aciers à haute limite élastique utilisée en béton précontraint que pour les contraintes supérieur à 30 ou 40 % de leur contrainte de rupture garantie. Elle dépent de la nature de l'acier de son traitement et l'on distingue des aciers: - à la relaxation normale, RN - à très base relaxation, TBR Compte tenu de la faible différance de coût existant entre ces aciers, l'économie réalisé sur les aciers par une perte par relaxation plus faible, fait choisir en général les aciers TBR. Un acier est caractérisé par sa relaxation à: 1000 heures exprimée en % = ρ1000 En général : ρ1000 =2.5% pour les aciers TBR; ρ1000 =2.5% pour les aciers RN; La perte relaxation s'écrira alors:

∆σ p =

6 ρ1000 σ Pi ( − µ 0 )σ Pi 100 f prg

σpi étant la tension initiale de l'acier, c'est-à-dire après pertes instantanée, fprg la contrainte de rupture garantie, µ0 un coefficient prés égale à: - 0.43 pour les aciers TBR; - 0.3 pour les aciers RN; - 0.35 pour les autres aciers. D’où : σpi =σp0 – ∆σi ∆σi : pertes instantanées = ∆σf + ∆σr +∆σn = 170.91Mpa. σpi =1416- 1245.09=1245.09MPa. ∆σ p =

6 × 2.5  1245.09  − 0.43 1245.09 = 51.07 MPa  100  1770 

Soit ∆σp = 3.61%.

ENTP

Promotion 2007


CH VI

VI.3- PERTES DIFFEREES TOTAL: La pertes différée finale set prêt égale:

5 ∆σ d = ∆σ r + ∆σ fl + ∆σ p 6 Le coefficient

5 tient compte de la non- indépendance des pertes. La perte par 6

relaxation diminue sous l'effet du retrait et du fluage du béton. ∆σd(%) = 2.68+ 2.06 +

5 × (3.61) = 7.75 6

∆σd=7.75% La perte totale du aux pertes instantanées et pertes différées égale à : 11.47+7.75= 19.22%

La perte totale egales19, 22% de la tension initiale au vérin. Donc, on maintient le nombre des câbles précédent, 18 câbles 12T15.

ENTP

Promotion 2007


CH VI

VI.4-VALEUR DE LA PRECONTRAITES APRES PERPES INSTANTANEES : La valeur de la force de précontrainte P j(x) au jour j dans une section d'abscisse x calculées à partir de la tension.

σ pj ( x) = σ p 0 − ∆σ pj ( x) σ p0

: Tension initiale totale de l'ensemble des câbles traversant la section d'abscisse' x '

∆σ pj (x) : Pertes de tension instantanées de l'ensemble des câbles traversant la section d'abscisse' x ' est égale à:

p j ( x ) = Ap.σ pj ( x )

Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : valeur des contraintes dans chaque section après perte instantanée σpj(x) en Mpa cables c1 c2-c3 c4-c5 c6-c7 c8-c9 c10-c11 c12-c13 c14-c15 c16-c17 c18

S0 3715 11283 18764 26173 33603 41017 48371 55630 62768 66486

S1 3688 11247 18780 26242 33728 41197 48607 55920 63113 66858

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

7492 14983 22510 30070 37614 45099 52485 59750 63533

7426 14881 22473 30094 37653 45114 52452 56273

7392 14902 22524 30159 37695 45106 48966

7447 14985 22603 30215 37701 41599

7474 15009 22594 30155 34092

7469 14970 22499 26458

7435 14882 18801

7380 11260

3841

valeur des forces des contraintes après perte instantanée au niveau de chaque section (pj(x) en t) cables c1 c2-c3 c4-c5 c6-c7 c8-c9 c10-c11 c12-c13 c14-c15 c16-c17 c18

ENTP

S0 620 1882 3130 4366 5605 6842 8068 9279 10470 11090

S1 615 1876 3133 4377 5626 6872 8108 9328 10527 11152

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

1250 2499 3755 5016 6274 7522 8755 9966 10597

1239 2482 3749 5020 6281 7525 8749 9386

1233 2486 3757 5031 6288 7524 8167

1242 2500 3770 5040 6288 6939

1247 2503 3769 5030 5687

1246 2497 3753 4413

1240 2482 3136

1231 1878

641

Promotion 2007


CH VI

VI.5-VERIFICATION DES CONTRAINTES :

Pj(x)=σpj(x). Ap valeur de la précontrainte après pertes instantanées dans la section D'abscisse x au jour j. M : moment du à l'exécution du voussoir Vi .

e0 : distance du centre de gravitée ²de la section au barycentre des câbles qui traversent. Le diagramme des contraintes normales sous l'effet de M est:

σM

SUP

σM

INF

MV I MV ' =− i =

Le diagramme des contraintes normales sous l'effet de Pj(x) est:

σP

SUP

σP

INF

ENTP

1 e V  = P j ( x ) + 0  I  s 1 e V  = P j ( x ) − 0  I  s

Promotion 2007


CH VI

Le diagramme résultant sous l'effet de Pj(x) et M sera:

σ

SUP

=σM

SUP

+σ

σ

INF

=σM

INF

+σP

P SUP INF

≥σ ≤σ

tj cj

σ tj : contrainte limite de traction dans le béton. σ cj : Contrainte limite de comprissions dans le béton. f cj =

f cj =

j f c 28 4.76 + 0.83 j

si j<28 jours si j28 ≥ jours

35 Mpa

ftj=0.6+0.006fcj

σ cj = 0.6 f cj σ tj = f tj

jours 15 28

ENTP

σ tj (Mpa) σ cj (Mpa) 18.30 21.00

-2.43 -2.70

Promotion 2007


CH VI

Les résultats sont groupés dans les tableaux qui suit : Valeurs des contraintes au niveau de la fibre supérieures en Mpa S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

0 3.75

0.620

8.75

1.395

2.007

13.75

2.468

3.446 3.386

18.75

3.456

4.786 5.068 3.726

23.75

3.920

5.460 5.965 4.912 3.654

28.75

4.117

5.797 6.422 5.603 4.663 3.531

33.75

4.014

5.761 6.395 5.739 5.061 4.299 3.329

38.75

3.583

5.310 5.831 5.259 4.762 4.319 3.814 3.073

43.75

2.790

4.399 4.665 4.093 3.686 3.473 3.389 3.254 2.800

48.75

1.592

2.991 2.907 2.258 1.844 1.741 1.925 2.241 2.404 2.050

Valeurs des contraintes au niveau de la fibre inférieures en Mpa S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8

S9

0 3.75

0.202

8.75

0.400

0.068

13.75

0.500

0.039

-0.356

18.75

0.654

0.110

-0.478

-0.394

23.75

1.316

0.867

0.216

0.230

0.046

28.75

2.222

1.975

1.373

1.431

1.158

0.596

33.75

3.395

3.463

3.032

3.255

3.050

2.349

1.254

38.75

4.857

5.368

5.241

5.763

5.793

5.162

3.810

1.984

43.75

6.635

7.731

8.061

9.029

9.480

9.150

7.814

5.496

2.721

48.75

8.284

9.943

10.751 12.143 13.024 13.056 11.894

9.385

5.865

ENTP

2.334

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- 55Projet de pont : Viaduc de oued MENAR

CH VII

VII-CHARGES ET SURCHARGES: L’ouvrage doit tenir en phase de service sous l’effet des différentes actions (surcharge routière, superstructures, surcharges de trottoirs) y compris son poids propre en phase finale. Les caractéristiques du pont sont : o o o o o

Largeur droite 14m. Largeur roulable =10.5m. Largeur chargeable = 10.5m Pont de première classe Le nombre de voies n=3, de largeur de 3.5m pour chaque voie.

VII-1. DEFINITION DES CHARGES :

1.1. Charge permanente (CP): Les charges permanentes comprennent le poids propre de la structure porteuse, les éléments non porteurs et des installations fixes. • Les éléments porteurs : Ces charges concernent le tablier seul. • Les éléments non porteurs : a- Revêtement : Une couche de revêtement en béton bitumineux de 8 cm d’épaisseur. Prev= e.l.γBB= 10.5x2.2x0.08=1.848 t/m. b- Gardes corps : le poids d’un garde corps est estimé à 0,1 t/m donc : Pg= 0,2 t/m. c- Poids des trottoirs + corniches :

FIG.VII.1. Coupe transversale du trottoir gauche avec corniche

ENTP

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CH VII

P (tr+corniche) droit = 2,5×0.448= 1,12 t/m. P Totale =1,12×2 =2.24 t/m d - glissières de sécurité : La glissière de sécurité est en acier, son poids est de Pgl = 0,06 t/m P (2gli) =0,12 t/m CCP =Trottoirs +revêtement +gardes corps + glissière de sécurité. CCP = 2,24+1,848 +1,12+0,12 = 4.408 t/m. 1.2. Surcharges : D’après le fascicule 61 titre II, les surcharges a utilisées pour le dimensionnement sont les suivantes : • La surcharge de type A (L). • Système Bc. • La surcharge militaire Mc120. • Le convoi exceptionnel D240. • Les surcharges sur trottoirs. a- Système de charge A (L) : D’après le fascicule 61 titre II A( L) = 230 +

36000 (Kg/m2) L + 12

Avec : L : longueur chargée (portée du pont) Pour travée intermédiaire L = 100 m ⇒ Pour travée de rive L = 55 m ⇒

A (L) = 0,551 t/m2 A (L) = 0,767 t/m2

D’où : A (L) =0,551 t/m2 A (L)= α1. α2. A (L) .l

• l est la largeur chargée. • α1 est déterminé en fonction de la classe du pont, et du nombre de voies chargées. V0 avec V0 = 3,5m (pont de première classe). V V = 3.5m : largeur d’une voie. Donc α2= 1 Une voie chargée : α1=1 → A (L) = 0.551×3.5×1×1=1.9285 t/m. Deux voies chargées : α1=1 → A (L) = 7×0.551×1×1=3,857 t/m. Trois voies chargées : α1= 0,9 → A (L)= 10.5×0.551×0.9×1=5,207 t/m.

•

α2 =

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CH VII

b- Système Bc : Un camion type du système Bc comporte trois essieux, tous les trois à roues simples munies de pneumatiques, et répond aux caractéristiques suivantes : Masse totale des essieux ……………. ………………………………….30t Masse portée par chacun des essieu arrière ……………………………12 t Masse portée par l’essieu avant…………………………………………..6 t Longueur d’encombrement ……………………………………….…10,5 m Largeur d’encombrement ……………………………………………..2,5 m Distance de l’essieu avant au premier essieu arrière …………………..4,5m Distance d’axe en axe des deux roues d’un essieu ……………………....2m On dispose sur la chaussée au plus autant de files ou convois de camions que la chaussée comporte de voies de circulation, et en place toujours ces files dans la situation la plus défavorable pour l’élément considéré. Dans le sens transversal, chaque file est supposée circulant dans l’axe d’une bande longitudinale de 2,5m de largeur. Dans le sens longitudinal, le nombre des camions par file est limité à deux , la distance des deux camions d’une même file est déterminée pour produire l’effet le plus défavorable, les camions homologues des diverses files sont disposés de front, tous les camions étant orientés dan le même sens. Nota : les charges du système Bc sont frappées de majorations dynamiques, ce coefficient est le même pour chaque élément d’ouvrage. Le coefficient de majoration dynamique relatif à un tel élément est déterminé par la formule : δ = 1+

0.4 + 1 + 2L

0.6 G 1+ 4 S

L : longueur de la travée. G : la charge permanente de l’ouvrage. S : la charge B maximale. La valeur de « S » à introduire dans la formule est celle obtenue après multiplication par le coefficient bc en fonction de la classe du pont et du nombre des files considérées suivant le fascicule 61 titre II . 1,2 …… pour 1 file. bc = 1,1 …… pour 2 files. 0.95 …….pour 3 files.

Le coefficient bc = 0,95dans notre cas (3 files, classe -1-). S : la charge Bc max : (S = 30x6x 0,95 = 171 t) G : poids propre de tablier (G = 17234 t)

ENTP

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CH VII

Après avoir effectuer les calculs, le coefficient de majoration dynamique pour Bc est de : δ = 1,003

c- Surcharges militaires MC120 : Un convoi militaire qui se compose d’un groupe de deux essieux, assimilés à un rouleau, sa surface d’impact sur la chaussée est un rectangle uniformément chargé et il ne développe ni force de freinage ni force centrifuge. « Fascicule 61-II ». Les majorations dynamiques sont applicables à ce modèle de charge qui est calculé par la même formule que celle donnée pour le système Bc Poids totale : 110t Longueur d’une chenille : 6.10m Largeur d’une chenille : 1.00m L=100 m ; G=17234 t ; S =110t ;

δ =1.02.

Le coefficient de majoration dynamique pour MC120 est de δ = 1,02.

ENTP

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CH VII

d- Charge exceptionnelle (D240) : Comporte une remorque de trois éléments de 4 lignes à 2 essieux de 240 t de poids total, ce poids est supposé réparti au niveau de la chaussée sur un rectangle uniformément chargé de 3,2m de large et 18,6m de long, le poids par mètre linéaire égale à 12,9 t/m e- Surcharge de trottoir : Nous appliquons sur les trottoirs une charge uniforme de 150 kg/m2 réservé exclusivement à la circulation des piétons et des cycles de façon à produire l’effet maximal envisagé. f- Le vent : Le vent souffle horizontalement dans une direction normale à l’axe longitudinale de la chaussée, la répartition et de la grandeur des pressions exercées par celui-ci et les forces qui en résultent dépendent de la forme et des dimensions de l’ouvrage. En générale ; la valeur représentative de la pression dynamique de vent est égale à 2N/m2 (selon le fascicule 61-titre II).

g- Effets des gradients thermiques : On appelle conventionnellement gradient thermique la différence de la température qui s’établit journellement entre fibres supérieure et inférieure d’une poutre sous l’effet de l’ensoleillement. On admet toujours que l’extrados est plus chaud que l’intrados, bien que des gradients inversés aient déjà été constatés, avec cependant des valeurs numériques beaucoup plus faible, ce qui justifie le fait que ces derniers soient négligés. La réparation exacte de la température θ dans un ouvrage suit des lois complexes, de la forme indiquée sur le schéma ci-dessous : y z

θ ( x, y , z )

∆θ

x G

réel

ENTP

∆θ

conventionnel

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CH VII

A titre de simplification on admet que θ est indépendant de x et de z et qu’elle varie linéairement en y sur la hauteur h de la section droite, la différence de température entre intrados et extrados conservant une valeur constante θ tout le long du tablier. En fait les valeurs et hypothèses conventionnelles les plus utilisées ont été fixées de façon à obtenir des variations des réactions d’appuis et des flèches conformes à ce qui a pu être mesuré sur un certain nombre d’ouvrage. Ces gradients conventionnels n’induisent aucune sollicitation, ni contrainte, (dans la mesure où h varie assez lentement) dans les poutres isostatiques, mais seulement des dw − λ ∆θ = variations avec comme coefficient de dilatation du béton λ = 10 −5 par ds h degré celsius. d s (1 + λ ∆ θ )

Les rotations aux extrémités d’une travée indépendante sont ainsi :

ω = '

L

∫

λ ∆θ 

x 1 −  dx  L

H

0 L

ω = −∫ ''

0

λ ∆θ H

x dx L

Dans un système hyperstatique, ces déformations sont gênées par les liaisons surabondantes et provoquent l’apparition de sollicitations supplémentaires. La circulaire du 2 avril 1975 donne deux valeurs caractéristiques pour le gradient thermique : 0 - ∆ θ = 6 c , valeur suffisamment fréquente pour qu’elle soit cumulable avec celle des charges d’exploitation. 0 - ∆ θ = 12 c , valeur rare réputée incompatible avec les charges d’exploitation. Ces deux gradients agissant avec une périodicité journalière, le module de déformation longitudinale, pris en compte pour évaluer les effets, est le module instantané du béton Ei, environ égal à 40 000 MPa. L’existence de ces gradients entraîne une augmentation non négligeable des moments positifs du tablier. En milieu de travée courante, le gradient de 6°c engendre sur la fibre inférieure, une contrainte de traction couramment comprise entre 1 et 2 MPa, d’où une augmentation de la précontrainte de continuité ainsi que de la longueur de ces câbles. Ces phénomènes, agissant dans le même sens que la redistribution des efforts par fluage, se traduisent finalement pour le projeteur par la nécessité d’augmenter, par rapport aux anciennes habitudes, les quantités de précontrainte et la hauteur de poutre au voisinage des clés.

ENTP

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CH VII

Précisons enfin que pour le calcul des appuis on ne prend en compte que les sollicitations transmises par le tablier, c’est à dire que l’on n’envisage pas d’appliquer des gradients thermiques aux piles ou culées. Cette position est justifiée par les faits suivants : • Les revêtements en produits noirs rendent le tablier particulièrement sensible aux effets de l’ensoleillement, alors que les appuis sont relativement protégés. • Les appuis sont justifiés avec une excentricité additionnelle forfaitaire de l’effort normal (voir règlement BAEL) qui tient compte implicitement des efforts éventuels d’un gradient thermique sur ces appuis. Le calcul des efforts dans la structure se fait par la méthode générale de résolution des poutres hyperstatiques en plaçant au second nombre des équations les rotations isostatiques des travées dues au gradient thermique.

I. Rotations isostatiques d’une travée de rive (hauteur variable) : x ≤α L

H(x) = H0

x ≥α L

H(x) = H0 +

ω' =

H1 − H0

(1−α)2

α  λ ∆θ L(1 − α ) 1 −  +  2 H0 ( H1 − H0 )

λ ∆θ α L  H0

ω '' = −

λ ∆θ α 2 L 2 H0

2

−

 H1 − H0 1 H0 H  − log 1   Arctg H0 2 H1 − H0 H0   

λ ∆θ L(1 − α )  H1 − H0 1− α + α Arctg H0 ( H1 − H0 ) 

H0

2

H0 H  log 1  H1 − H0 H0  

II. Rotations isostatiques d’une travée courante symétrique (hauteur variable) :

xx  H ( x ) = 4( H1 − H0 )  − 1 + H1 L L 

ω ' = −ω '' =

ENTP

λ ∆θ L

2 H0 ( H1 − H0 )

Arctg

H1 − H0 H0 Promotion 2007


CH VII

h- Force de freinage : Pour la vérification de l’aptitude au service, la valeur de courte durée de la résultante totale de force de freinage vaut 30t. Les forces de freinages seront appliquées au niveau de la chaussée. i- Fluage : Dans les structures réelles, les bétons sont souvent d’âges différents et mis en charge à des âges différents, de plus, la loi de fluage envisagée ici est très grossière. Dans le cas général, seul un calcul numérique à l’aide de l’ordinateur permet de faire une estimation fine des effets du fluage. Le seul ombre au tableau réside dans le fait qu’aucune des lois de fluage actuellement proposées n’est entièrement satisfaisante. Pour les ouvrages de conception classique, on admet, à défaut de calcul «scientifique », d’estimer forfaitairement les sollicitations de fluage Sfl par formule : Sn =

1 ( S 2 − S1 ) 2

Dans la quelle S1 et S2 représentent les sollicitations développées, tant par le poids propre que par la précontrainte, qui sont calculé avec les hypothèses suivantes : S1 : en tenant compte des phases de construction successives. S2 : en considérant l’ouvrage entièrement coulé sur cintre général. Cette façon de faire, connue sous le nom de ʺméthode forfaitaireʺ, conduit généralement à des résultats plus pessimistes que le calcul scientifique à partir de la loi proposée dans les règles BPEL, bien que très simple dans sa formulation (elle consiste à dire l’état initial et l’état fictif qu’elle aurait si elle était d’emblée construite sur cintre selon son schéma statique réel), elle ne peut être utilisée au stade du pré dimensionnement, puisqu’il faut connaître le câblage réel. C’est pourquoi, au stade du pré dimensionnement, on se limite d’observer la règle de prudence suivante qui consiste à décaler du coté des compressions les contraintes limites inférieures du béton au voisinage de l’intrados de : 1,5 MPa pour les tabliers à voussoirs coulés en place, 1,0 MPa pour les tabliers à voussoirs pré fabriqués. On transforme alors cette réserve de compression en moment. De fluage fictif à la clé de chaque travée sous la forme :

M fl =

I0 Vi

σ∗

I0 = Moment d’inertie à la clé. Vi = Distance de la fibre moyenne à l’intrados. σ ∗ =1,5MPa

ENTP

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CH VII

j- Actions accidentelles (séisme) : Pour un séisme de probabilité d’occurrence donnée, le dommage causé à un ouvrage conçu est dimensionnée d’après les dispositions suivantes, situé n’importe où en Algérie, ne devrait pas dépasser une limite établie. Dans les régions sujettes au séisme, les ponts doivent être conçus pour résister. Aux charges dites sismiques dont le programme est fixé par le C.P.S 2. COMBINAISONS DES CHARGES :

Les combinaisons sont obtenues en considérant une action prépondérante accompagnée d’actions concomitantes Les coefficients des majorations sont mentionnés dans le tableau suivant :

Actions

E.L.U

E.L.S

Poids propre (G)

1,35

1

Surcharge A(L)

1,5

1

Système BC

1,5

1

MC120

1,5

1

D240

1,5

1

0

0,5

Vent (W)

1,5

0

Trottoirs

1,5

1

Température (∆θ)

Les combinaisons mentionnées ne sont pas à considérer simultanément, seul sont à étudier celles qui apparaissent comme les plus agressives, les notations utilisées sont définies comme suit : o o o o

G : les charges permanentes. Qr : charges d’exploitations des ponts routes sans caractère particulier. W : action du vent. ∆θ : gradient thermique

ENTP

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CH VII

Les combinaisons : Action prépondérante

A L’E.L.U

A L’E.L.S

ENTP

Combinaisons

Numéro de la combinaison

1 ,35G +1,6 (A (L) +ST)

1

1,35G +1,6(BC+ST)

2

1,35G +1,35MC120

3

1,35G +1,35D240

4

G +Qr

5

G +1.2 (A (L) +ST)

6

G + 1.2 (BC+ST)

7

G +MC120

8

G + D24

9

G +A (L) +0,5∆ θ+Tasse

10

G +BC + 0,5 ∆ θ+Tasse

11

G + MC120 +

12

G + D240 + 0,5 ∆ θ+Tasse

13

Promotion 2007


CH VII

3. LA MODELISATION:

Le logiciel utilisé est le SAP2000 v10 La modélisation de l’ouvrage est la partie la plus prépondérante dans l’étude d’une structure. Puisque l’inertie est variable le long de notre poutre caisson, nous choisissons la méthode des éléments finis, qui nous donne une bonne approche du problème et une idée plus précise du comportement réel de l’ouvrage. Les données nécessaires pour la modélisation et les calculs sont : • • • •

Les dimensions géométriques de la structure et les conditions d’appuis. Les aires et les inerties des sections à considérer Les charges et leurs combinaisons. Les caractéristiques des matériaux utilisés.

FIG.VII.2.

FIG.VII.3.Valeurs

FIG.VII.4.

ENTP

Modélisation longitudinale.

des moments max dus à la combinaison

Valeurs des efforts tranchants max dus à la combinaison

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CH VIII

VIII - ETUDE DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE: Une fois l’ouvrage est fini le schéma statique final est devenu un système hyperstatique, la précontrainte totale sera évalue en fonction des efforts suivants : • Poids propre. • Superstructure. • Surcharge de trottoirs. • Surcharges routières. • Gradient thermique. • Tassement de la pile. • Fluage du béton. • Moment hyperstatique de précontrainte. VIII .1 -COMBINAISON DES EFFORTS : Le dimensionnement d’un tablier est une étape différente de la vérification, les combinaisons à considérer sont en fait rares définies pour les justifications à l’état limite de service. Selon le BPEL 91 on prend deux combinaisons suivantes qui donnent le moment max : • G + 1.2 Q + 0.5∆θ (6°) G : Poids propre + superstructure. Q : L’effet de A (L) +l’effet de surcharge de deux trottoirs. ∆θ : Effet du au gradient thermique. T : Tassement des piles.

a- Travée intermédiaire :

FIG.VIII.1. Le moment maximal de travée intermédiaire du à la combinaison.

ENTP

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CH VIII

X(m)

M(t.m)

T(t)

0

-33826.5

2243.2

3.75

-25851.6

2013.91

8.75

-16474.7

1740.18

13.75

-8418.68

1485.12

18.75

-1596.11

1246.45

23.75

4069.34

1021.89

28.75

8642.63

809.2

33.75

12177.43

606.12

38.75

14716.39

410.57

43.75

16290.98

219.91

48.75

16920.27

32.08

50

16932.31

-14.70

51.25

16883.54

-61.47

56.25

16107.33

-249.29

61.25

14385.85

-439.94

66.25

11699.39

-635.66

71.25

8016.92

-838.73

76.25

3296.08

-1051.39

81.25

-2516.75

-1275.9

86.25

-9486.53

-1514.51

91.25

-17687.5

-1769.56

96.25

-27213.2

-2043.23

100

-35297.7

-2272.42

e dimensionnement de la précontrainte suppose que l’on connaisse l’enveloppe des sollicitations dans les sections, or ces sollicitations contiennent les effets hyperstatiques de la précontrainte, qui ne sont connus puisqu’ils d’épandent de l’effort que l’on doit déterminer, il convient de procède à des estimations. Nous ferons donc une première détermination de la précontrainte, en supposant que les effets hyperstatiques de la précontrainte sont nuls. Après avoir déterminer les forces des précontraints nécessaires, on détermine les moments hyperstatiques dus à la précontrainte de l’ensemble des câbles.

ENTP

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CH VIII

EFFORT DE PRECONTRAINTE (sans tenu compte des moment hyperstatique) On s’intéresse aux moments positifs pour la détermination des câbles de continuité. L’effort de précontrainte sera calculer à partir de moment max déterminé à partir des combinaisons établies ci –dessus (voir tableau précèdent). '

Vi Ii Pi = ' 1 ei.V1 + S Ii Le moment max se situe en x = 48,75 m à partir de l’encastrement. MMax = 16920.27 t.m qui est du à la combinaison : G + 1,2 Q + 0,5 ∆θ (12°) Mi

V’=1,823m;

e = V’- d = 1,823–0.125= 1.698 m; I = 8,266m4; S = 10.486 m

P = 7942.24t = 79.42 MN Avec : 20% de perte P0 = 0.8 x 1416 x 1668 x 10-6 x 102=192.73 t 7942.24 = 42 Câbles. 192.73 Les autres résultats sont donnés par le tableau suivant : N=

X

M

S

v'

e0

I

0

-33826.5

20.36

2.63

2.505

95.75

3.75

-25851.6

18.212

2.732

2.607

8.75

-16474.7

16.631

2.522

13.75

-8418.68

15.23

18.75

-1596.11

14.01

23.75

4069.34

12.971

28.75

8642.63

12.112

33.75

12177.43

38.75

Nbre des câbles arrêtés

p0

N=p/p0

-7879.174

192.73

-40.882

-

68.471

-6490.237

192.73

-33.675

-

-

2.397

49.497

-4605.603

192.73

-23.897

-

-

2.339

2.214

35.753

-2616.406

192.73

-13.576

-

-

2.183

2.058

25.969

-549.037

192.73

-2.849

0

09

2.055

1.93

19.137

1536.794

192.73

7.974

9

12

1.954

1.829

14.478

3540.985

192.73

18.373

21

09

11.435

1.88

1.755

11.408

5327.755

192.73

27.644

30

06

14716.39

10.937

1.834

1.709

9.511

6740.854

192.73

34.976

36

06

43.75

16290.98

10.621

1.814

1.689

8.514

7645.092

192.73

39.667

42

00

48.75

16920.27

10.486

1.823

1.698

8.266

7942.248

192.73

41.209

42

00

50

16932.31

10.48

1.829

1.704

8.258

7931.478

192.73

41.153

42

00

51.25

16883.54

10.486

1.823

1.698

8.266

7925.007

192.73

41.120

42

00

56.25

16107.33

10.621

1.814

1.689

8.514

7558.908

192.73

39.220

42

00

61.25

14385.85

10.937

1.834

1.709

9.511

6589.450

192.73

34.190

36

06

66.25

11699.39

11.435

1.88

1.755

11.408

5118.607

192.73

26.558

30

06

71.25

8016.92

12.112

1.954

1.829

14.478

3284.624

192.73

17.043

21

09

76.25

3296.08

12.971

2.055

1.93

19.137

1244.771

192.73

6.459

9

12

81.25

-2516.75

14.01

2.183

2.058

25.969

-865.723

192.73

-4.492

0

09

86.25

-9486.53

15.23

2.339

2.214

35.753

-2948.279

192.73

-15.297

-

-

91.25

-17687.5

16.631

2.522

2.397

49.497

-4944.655

192.73

-25.656

-

-

96.25

-27213.2

18.212

2.732

2.607

68.471

-6832.066

192.73

-35.449

-

-

100

-35297.72

20.63

2.63

2.505

95.75

-8221.859

192.73

-42.660

-

-

ENTP

P

N réel

Promotion 2007


CH VIII

Ces câbles sont disposés et ancrés de façon que pour chaque section passe un nombre de câbles n calculé précédemment qui engendrent l’effort de précontrainte suffisant pour reprendre les moments positifs dans ces sections.

b- Travée de rive :

FIG.VIII.2. Le moment maximal de travée rive du à la combinaison.

ENTP

X(m)

M(t.m)

T(t)

0

0

-787.96

6.25

4192.75

-554.06

11.25

6493.58

-365.92

16.25

7846.78

-174.68

21.25

8231.42

21.88

26.25

7615.42

225.94

31.25

5955.88

439.66

36.25

3199.05

665.22

41.25

-719.69

904.79

46.25

-5875.94

1160.58

51.25

-12356.11

1664.34

55

-18160.08

1436.76

Promotion 2007


CH VIII

EFFORT DE PRECONTRAINTE: (sans tenir compte des moments hyperstatiques) On s’intéresse aux moments positifs pour la détermination des câbles de continuité. L’effort de précontrainte sera calculer à partir de moment max déterminé à partir des combinaisons établies ci –dessus (voir tableau précèdent). ' Vi Mi Ii Pi = ' 1 ei.V1 + S Ii Le moment max se situe en x= 21.25 m à partir de l’encastrement. MMax = 8231.42 t.m qui est du à la contrainte : G + 1,2 Q + 0,5 ∆θ (6°) V’=1,64 m;

e = V’- d = 1,834 – 0.125 = 1,709m; I = 9.511 m4; S = 10.937 m

P = 3770.4 t = 37.7MN P0 = 0.8 x 1416 x 1668 x 10-6 x 102=192.73 t N=

8231.42 = 19.56 = 21 câbles. 192.73

Les autres résultats sont donnés par le tableau suivant :

X(m)

N réel

M(t.m)

S(x)

V'

d

e(m)

I(m4)

p0

P(t)

N

0

0

8.63

1.559

0.125

1.434

8.258

192.73

0.0

6.25

4192.75

8.63

1.559

0.125

1.434

8.258

192.73 2047.5 10.623

12

11.25

6493.58 10.486

1.823

0.125

1.698

8.266

192.73 3048.0 15.815

18

16.25

7846.78 10.621

1.814

0.125

1.689

8.514

192.73 3682.4 19.106

21

21.25

8231.42 10.937

1.834

0.125

1.709

9.511

192.73 3770.4 19.563

21

26.25

7615.42 11.435

1.88

0.125

1.755

11.408 192.73 3331.8 17.288

18

31.25

5955.88 12.112

1.954

0.125

1.829

14.478 192.73 2440.2 12.661

15

36.25

3199.05 12.971

2.055

0.125

1.93

19.137 192.73 1208.1

9

-

6.268

0

Ces câbles sont disposés et ancrés de façon que pour chaque section passe un nombre de câbles n calculé précédemment qui engendrent l’effort de précontrainte suffisant pour reprendre les moments positifs dans ces sections.

ENTP

Promotion 2007


CH IX

IX- ETUDE TRANSVERSALE: Pour l’analyse transversale on choisit deux sections (une a l’encastrement et l’autre sur culée). Les calculs des sollicitations sont faits par logiciel SAP2000 V10.

FIG.IX.1. Coupe longitudinal du demi travée.

FIG.IX.2. Coupe transversale des deux voussoirs s d’extrémités.

ENTP

Promotion 2007


CH IX

IX – 1 - CHARGES PERMANENTES ET SURCHARGES ROUTIERES: DETERMINATION DES CHARGES PERMANENTES:

a- Poids propre des sections AA’ et BB’ : Poids de la coupe (AA’)=S × γ =18.465 × 2.5=46.16 t Poids de la coupe (BB’)=S × γ =10.48 × 2.5=26.2 t • -poids de corniches +trottoirs : P = 1.12 x2=2.24 t. • poids de glissière+carde corps : P = 2x(0.1+0.06)=0.32 t • -Une couche de revêtement en béton bitumineux de 0.08 cm d’épaisseur. Prev= e.l.γBB= 0.08 × 1 × 2.2 =0.176 t /m PT(AA)=46.16+2.24+0.32+0.176x10.5=50.57 t PT(BB)=26.2++2.24+0.32+0.176x10.5 =30.61 t b- Calcul le flux de cisaillement sous charges permanentes : -le flux de cisaillement dû a l’effort centré est donné par W =

T 2h

T : effort centré h :hauteur de l’âme -

le flux de cisaillement dû au moment de torsion est donné par W =

T' 2( h × b )

T’ : moment de torsion B : longueur de la cellule h :hauteur de l’âme

ENTP

W (BB' )=

50.57 =4.68 t/m 2 × 5 .4

W (AA' )=

30.61 = 6.38 t/m 2 × 2 .4 Promotion 2007


CH IX

IX.2- CALCUL DES MOMENTS FLECHISSANTS SOUS CHARGE A(L)+SURCHARGE DE TPOTTOIR: CALCUL LE FLUX DE CISAILLEMENT:

Cas n°1 : une voie chargée : Section (AA') :

Wg 1 = Wg 2 =

T 0.15 × 1.5 + 0.496 × 3.5 = = 0.41t / m 2h 2 × 5 .4

T' 0.15 × 1.5 × 6 + 0.496 × 3.5 × 3.5 = = 0.33t / m 2( h × b ) 2 × (2.4 × 4.63)

Wd1=0.t/m

Wd2=0t/m

Section (BB') :

ENTP

Promotion 2007


CH IX

Wg 1 =

T 0.15 × 1.5 + 0.496 × 3.5 = = 0.19t / m 2h 2 × 5 .4

Wg 2 =

T' 0.15 × 1.5 × 6 + 0.496 × 3.5 × 3.5 = = 0.15t / m 2( h × b ) 2 × (5.4 × 4.62)

Wd1=0.t/m

Wd2=0t/m

Cas n°2 : deux voies chargées.

Wg1 0.59

Wg1 0.26

ENTP

section AA' Wg2 Wd1 0.37 0.18

section BB' Wg2 Wd1 0.16 0.08

Wd2 0.03

Wd2 0.02

Promotion 2007


CH IX

Cas n°3 : deux voies de rives chargées et voie centrale vide:

Wg1 0.41

Wg1 0.18


Wd2 0.33

section BB ' Wg2 Wd1 0.15 0.18

Wd2 0.15

Cas n°4 : voie centrale chargée : section AA'

ENTP

Wg1

Wg2

Wg1

Wg2

0.23

0.10

0.23

0.10

Promotion 2007


Wd1 0.10

section BB' Wd2 Wd1 0.04 0.10

CH IX

Wd2 0.04

Cas n°5 : trois voies chargées :

ENTP

Wg1 0.59

section AA' Wg2 Wg1 0.37 0.59

Wg2 0.37

Wg1 0.59

section BB ' Wg2 Wd1 0.37 0.18

Wd2 0.03

Promotion 2007


CH IX

IX.3- CALCUL DES MOMENTS FLECHISSANTS SOUS CONVOI D 240 :

• Cas n°1 Wg1 2.69


Wd2 0.00

section BB' Wg1

Wg2

Wd1

Wd2

1.19

0.91

0.00

0.00


Wd2 0.00

• Cas n°2 :

Wg1 1.34

ENTP

Promotion 2007


Wg1 0.60


CH IX

Wd2 0.00

IX.4- CALCUL DES MOMENTS FLECHISSANTS SOUS Mc120 : • Cas n°1 :

ENTP

Wg1 3.76


Wg1 1.67


Wd2 0.00

Wd2 0.00

Promotion 2007


•

CH IX

Cas n°2 :

Wg1 1.88

Wg1 0.83



Wd2 0.67

Wd2 0.30

IX.5- CALCUL DES MOMENTS FLECHISSANTS SOUS + SURCHARGEDE TPOTTOIR: • Cas n°1 :

Wg1 2.55

ENTP

Section AA' Wg2 Wd1 2.23 0.00

Wd2 0.00

Promotion 2007


Wg1 1.13


CH IX

Wd2 0.00

• Cas n°2 :

ENTP

Wg1 5.05


Wd2 0.00

Wg1 2.24


Wd2 0.00

Promotion 2007


CH IX

• Cas n°3 : Wg1 5.67


Wg1 2.52


Wd2 0.27

Wd2 0.12

FIG. X.3. Modèle de calcul du voussoir.

ENTP

Promotion 2007


CH IX

Tableau n°1: donnant les valeurs des moments fléchissant (en t.m) pour la section AA'. MOMENT FLECHISSANT TRANSVERSALE DE LA SECTION AA' Elém

Station

M poids pro

M Cas 1

G+1.2 (AL+Q) M M M Cas Cas Cas 2 3 4

M Cas 5

G+D240 M Cas M 1 Cas 2

G+Mc120 M M Cas Cas 1 2

G+1.2 (Bc+Q) M M M Cas Cas Cas 1 2 3

M max

m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

1 2

3

4 5 6 7 8 9

10

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

0

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0

0.00

0.00

0.00

0.00

1.5

-2.33

-2.53

-2.53

-2.53

-2.53

-2.53

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.53

-2.53

-2.53

-2.53

0

-2.33

-2.53

-2.53

-2.53

-2.53

-2.53

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.53

-2.53

-2.53

-2.53

1.03

-5.29

-6.09

-6.09

-6.09

-5.77

-5.77

-7.03

-5.29

-10.07

-5.29

-11.39

-11.39

-11.39

-11.39

0

-1.26

-1.70

-2.21

-1.64

-1.38

-2.13

-5.76

-2.20

-5.34

-4.66

-6.22

-11.05

-10.92

-11.05

2.34

0.48

0.53

0.93

0.53

0.56

0.91

2.18

1.32

3.61

3.89

2.16

5.94

5.89

5.94

4.22

-0.98

-1.00

-1.77

-1.07

-1.32

-1.86

-3.37

-3.87

-5.12

-6.38

-2.24

-7.53

-7.85

-7.85

0

-0.98

-1.05

-1.54

-1.07

-1.32

-1.86

-1.12

-3.87

-2.22

-6.38

-1.52

-2.07

-5.74

-6.38

1.88

0.48

0.47

0.63

0.53

0.56

0.91

0.41

1.32

0.25

3.89

0.43

0.27

4.19

4.19

4.22

-1.26

-1.19

-1.36

-1.64

-1.38

-2.13

-1.24

-2.20

-0.24

-4.66

-0.78

-0.52

-4.14

-4.66

0

-5.29

-5.29

-5.29

-6.09

-5.77

-5.77

-5.29

-5.29

-5.29

-5.29

-5.29

-5.29

-5.29

-6.09

1.03

-2.33

-2.33

-2.33

-2.53

-2.53

-2.53

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.53

0

-2.33

-2.33

-2.33

-2.53

-2.53

-2.53

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.33

-2.53

1.5

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-5.18

-0.34

-0.47

-5.18

0

-4.03

-4.39

-3.88

-4.45

-4.39

-3.64

-1.26

-3.09

-4.74

-0.63

2.2

-0.99

-1.05

-1.04

-0.99

-0.99

-0.99

-0.89

-1.00

-1.69

-1.02

-1.35

-1.34

-1.41

-1.69

0

0.00

0.05

-0.23

0.00

0.00

0.00

-2.25

0.00

-2.91

0.00

-0.72

-5.46

-2.11

-5.46

2.2

0.00

-0.12

-0.08

0.00

0.00

0.00

0.32

0.00

-1.17

0.00

-0.64

-0.35

-0.63

-1.17

0

4.03

4.10

3.93

4.45

4.39

3.64

4.05

3.09

5.05

0.63

4.51

4.78

1.15

5.05

2.2

0.99

0.93

0.94

0.99

0.99

0.99

1.11

1.00

0.27

1.02

0.61

0.67

0.62

1.11

0

-0.99

-1.05

-1.04

-0.99

-0.99

-0.99

-0.89

-1.00

-1.69

-1.02

-1.35

-1.34

-1.41

-1.69

1.876

0.54

0.53

0.53

0.54

0.54

0.54

0.53

0.54

0.41

0.53

0.54

0.47

0.52

0.54

4.22

-1.11

-1.05

-1.07

-1.11

-1.11

-1.11

-1.26

-1.11

-0.53

-1.10

-0.79

-0.93

-0.78

-1.26

0

-1.11

-1.17

-1.15

-1.11

-1.11

-1.11

-0.94

-1.11

-1.70

-1.10

-1.43

-1.28

-1.41

-1.70

2.34

0.54

0.55

0.55

0.54

0.54

0.54

0.55

0.54

0.68

0.53

0.61

0.65

0.61

0.68

4.22

-0.99

-0.93

-0.94

-0.99

-0.99

-0.99

-1.11

-1.00

-0.27

-1.02

-0.61

-0.67

-0.62

-1.11

11

FIG.IX.4. Diagramme du moment max de la section AA'.

ENTP

Promotion 2007


CH IX

Tableau n°2: donnant les valeurs des moments fléchissant (en t.m) pour la section BB'. MOMENT FLECHISSANT TRANSVERSALE DE LA SECTION BB' G+1.2 (AL+Q) Elém

G+D240

G+Mc120

G+1.2 (Bc+Q)

Station

poids proper

M CAS1

M CAS2

M CAS3

M CAS4

M CAS5

M CAS1

M CAS

M CAS1

M CAS

M CAS1

M CAS

M CAS

m 0 1.50 0.00

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

t-m

1 2

3

4 5 6 7 8 9

10

11

t-m

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.00

-1.88

-2.08

-2.08

-2.08

-2.08

-2.08

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-2.08

-2.08

-2.08

-2.08

-1.88

-2.08

-2.08

-2.08

-2.08

-2.08

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-2.08

1.03

-4.53

-5.33

-5.33

-5.33

-5.02

-5.33

-6.10

-4.53

-9.31

-4.53

-10.63

0.00 1.72 4.22 0.00 2.02 4.22 0.00 1.03 0.00 1.50 0.00 5.20 0.00 5.20 0.00 5.20 0.00 1.88 4.22 0.00 2.81 4.22

-1.38

-2.15

-2.33

-2.09

-1.59

-2.26

-5.74

-2.33

-5.40

-4.70

-6.29

-2.08 10.63 11.13

-2.08 10.63 10.94

-2.08 10.63 11.13

0.36

0.68

0.76

0.68

0.42

0.76

2.59

0.73

1.66

2.25

2.14

6.04

5.94

6.04

-0.92

-1.22

-1.70

-1.32

-1.38

-1.80

-3.10

-3.79

-4.96

-6.34

-2.19

-7.18

-7.71

-7.71

-0.92

-1.01

-1.49

-1.32

-1.38

-1.80

-1.22

-3.79

-2.21

-6.34

-1.45

-2.31

-5.73

-6.34

0.46

0.44

0.59

0.76

0.60

0.90

0.35

1.20

0.21

3.72

0.38

0.11

4.14

4.14

-1.38

-1.32

-1.49

-2.09

-1.59

-2.26

-1.29

-2.33

-0.50

-4.70

-0.98

-0.61

-4.29

-4.70

-4.53

-4.53

-4.53

-5.33

-5.02

-5.33

-4.53

-4.53

-4.53

-4.53

-4.53

-4.53

-4.53

-5.33

-1.88

-1.88

-1.88

-2.08

-2.08

-2.08

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-2.08

-1.88

-1.88

-1.88

-2.08

-2.08

-2.08

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-1.88

-2.08

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-3.15

-3.18

-3.00

-3.24

-3.43

-3.07

-0.35

-2.21

-3.92

0.17

-4.35

0.50

0.31

-4.35

-0.86

-0.93

-0.95

-0.85

-0.82

-0.87

-0.92

-0.98

-1.85

-1.29

-1.31

-1.68

-1.92

-1.92

0.00

-0.21

-0.21

0.00

0.00

0.00

-1.88

0.00

-2.75

0.00

-0.74

-4.87

-1.98

-4.87

0.00

-0.02

-0.02

0.00

0.00

0.00

0.76

0.00

-0.43

0.00

-0.43

0.82

-0.14

0.82

3.15

3.22

3.04

3.24

3.43

3.07

3.24

2.21

4.04

-0.16

3.55

3.92

0.24

4.04

0.86

0.78

0.80

0.85

0.82

0.87

1.16

0.98

-0.35

1.29

0.20

0.41

0.63

1.29

-0.86

-0.93

-0.95

-0.85

-0.82

-0.87

-0.92

-0.98

-1.85

-1.29

-1.31

-1.68

-1.92

-1.92

1.17

1.14

1.13

1.18

1.18

1.17

1.01

1.13

0.69

1.02

0.99

0.57

0.70

1.18

-2.23

-2.22

-2.21

-2.24

-2.25

-2.22

-2.53

-2.17

-2.07

-2.02

-2.07

-2.55

-1.96

-2.55

-2.23

-2.24

-2.23

-2.24

-2.25

-2.22

-1.76

-2.17

-2.50

-2.02

-2.50

-1.73

-2.10

-2.50

1.06

1.11

1.10

1.07

1.08

1.05

1.02

1.00

1.78

0.84

1.41

1.53

1.26

1.78

-0.86

-0.78

-0.80

-0.85

-0.82

-0.87

-1.16

-0.98

0.35

-1.29

-0.20

-0.41

-0.63

-1.29

FIG.IX.5. Diagramme du moment max de la section BB'.

ENTP

M Max

Promotion 2007


CH IX

IX – 6 - FERRAILLAGE DES DIFFIRENT ELEMENT DU VOUSSOIR : EXIMPLE DE CALCUL: Le ferraillage se fait pour 1 ml. La fissuration est très préjudiciable



2 3

σ s = 0.8 min  fe; max(0.5 fe;110 nf tj ) = 288,63Mpa 

b= 1m , h=0.375m ,d=0.9h=0.337 m 15σ bc X= d = 0.316 ; 15σ bc + σ s X Z = d − = 0.234m 3

σ BC = 0.6 f c 28 = 21Mpa M1 =

1 bσ bc xZ = 0.771MN 2

M ser < M 1 M 0.114 As1 = ser = 10 4 = 17.007cm 2 Z .σ S 0.234 x 288.63 Soit 6Ø20=18.85cm2 St=17 cm CONDITION DE NON FRAGILITE

Amin=(0.23fcj/fe)bd=5.24 cm2 Amin < AS1 Apres les calculs on trouve que :

Elém

2 3 3 7 8 10 11

ENTP

Mser

Aser Amin (Mpa (Cm4) (Cm4) M1

(Mpa)

h (m)

d (m)

X (m)

Z (m)

1.03

0.1139

0.375

0.338

0.316

0.232

0.771

17.007

5.240

6HA20

17

0.00

0.1113

0.250

0.225

0.211

0.155

0.343

24.929

3.493

6HA25

17

1.72

0.0604

0.250

0.225

0.211

0.155

0.343

13.528

3.493

7HA16

14

0.00

0.0518

0.800

0.720

0.675

0.495

3.508

3.626

11.178

6HA16

17

0.00

0.0546

0.500

0.450

0.422

0.309

1.370

6.115

6.986

5HA14

20

4.22

0.0255

0.500

0.450

0.422

0.309

1.370

2.856

6.986

5HA14

20

2.81

0.0178

0.500

0.450

0.422

0.309

1.370

1.993

6.986

5HA14

20

Abscisse (m)

Armature

St (cm)

Promotion 2007

- 85 CH IX

Ferraillage d'un voussoir

Projet de pont : Viaduc de oued MENAR

ENTP

Promotion 2007


CH X

X - RESISTANCE A L'EFFORT TRANCHANT : Introduction : L’âme est la partie la plus sollicitée en effort tranchant, les membrures supérieures et inférieures du fait leur inertie par rapport au CDG de la section est des éléments résistants à la flexion. X-1- DETERMINATION DE L'EFFORT TRANCHANT DU A L'EFFORT DE PRECONTRAINT : Sous l’effet de la précontrainte, deux effets à prendre en compte ; effet isostatique, effet hyperstatique.

a- Effet isostatique : A gauche de l’élément, les actions s’exerçant sur l’élément se réduisent aux composantes verticales de tous les efforts appliqués à : - un effort tranchant positif. - une composante verticale de la précontrainte P sin α qui vient se retrancher à l’effort tranchant. On aura : V =P sin α

FIG.X.1. Effort tranchant dans une section de poutre en béton précontraint

b- Effet hyperstatique : A cette action, on doit ajouter l’effort tranchant du au moment hyperstatique de précontrainte et vaut : dM V = dx

ENTP

Promotion 2007


CH X

X-2- EFFET RESAL : Dans notre cas l’intrados du tablier suit une courbure, auprès des piles une partie de l’effort tranchant est crée par cet effort de précontrainte incliné : M dh VRe s = ⋅ Z dx

FIG.X.1. Effet RESAL

X- 3- VERIFICATION DE L'EFFORT TRANCHANT : •

Calcul du cisaillement à l’état limite de service : V τ= r Zbn Tel que : Vr : Effort tranchant Z : Bras de levier. bn : Epaisseur nette de l’âme, elle est égale a la différence entre l’épaisseur totale de l’âme et des diamètre des câbles qui traversent cette âme . La vérification à faire est : τ p τ •

A l’état limite de service : V (ELS ) τ= r Z 3bn Le cisaillement admissible vaut 2

Avec : τ = 0.4 f tj ( f tj + σ x )etσ x =

ENTP

p S

Promotion 2007


CH X

Vérification des contraintes pour la travée intermédiaire

τ

τ

(Mpa)

(Mpa)

4.53

2.79

0.59

20.13

3.56

2.58

0.56

-164.74

17.4

2.77

2.43

0.69

3

-84.18

14.85

1.72

2.18

0.85

4

-15.96

12.46

0.39

1.82

1.03

5

40.69

10.21

1.18

2.04

1.2

6

86.42

8.09

2.92

2.46

1.31

7

121.77

6.06

4.66

2.81

1.3

8

147.16

4.1

6.16

3.09

1.09

9

162.9

2.19

7.2

3.26

0.67

clavage

169.2

0.32

7.57

3.33

0.1

τ

τ

(Mpa)

(Mpa)

Section

MELS (MN.m)

Vr (MN)

σX (Mpa)

Vsp

-338.26

22.43

1

-258.51

2

Vérification des contraintes pour la travée de rive

ENTP

Section

MELS (MN.m)

Vr (MN)

σX (Mpa)

Vsp

41.92

-5.54

1.88

2.22

-1.39

1

64.93

-3.65

2.87

2.45

-0.88

2

78.46

-1.74

3.29

2.54

-0.37

3

82.31

0.21

3.15

2.51

0.04

4

76.15

2.25

2.58

2.38

0.3

5

59.55

4.39

1.73

2.18

0.42

6

31.99

6.65

0.79

1.93

0.46

7

-71.9

9.04

1.47

2.12

0.44

8

-58.75

11.6

0.99

1.99

0.39

9

-123.5611

16.64

1.70

2.18

0.4

clavage

-181.6008

14.36

2.43

2.35

0.33

Promotion 2007


•

A l’état limite ultime :

τ=

Vr (ELU ) Z 3bn

CH X

fcj 35 = = 5.83Mpa 4.γ b 4.1,5 Vérification des contraintes pour la travée intermédiaire: Le cisaillement admissible vaut : τ =

τ

τ

(Mpa)

(Mpa)

Melu (Mpa)

Vr (MN)

σX (Mpa)

-482

-30.76

4.53

0.81

5.83

1

-372.52

-27.67

3.56

0.77

5.83

2

-243.48

-23.98

2.77

0.95

5.83

3

-132.24

-20.54

1.72

1.18

5.83

4

-37.61

-17.33

0.39

1.43

5.83

5

41.41

-14.3

1.18

1.67

5.83

6

105.73

-11.44

2.92

1.85

5.83

7

156.06

-8.7

4.66

1.86

5.83

8

192.97

-6.07

6.16

1.62

5.83

9

216.88

-3.5

7.2

1.07

5.83

clavage

228.07

-0.97

7.57

0.31

5.83

Section Vsp

Vérification des contraintes pour la travée de rive: Section Vsp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 clavage

τ

τ

σX (Mpa)

(Mpa)

7.32

1.88

2.33149

85.89

4.78

2.87

1.47062

10.34

2.21

3.29

0.59257

10.79

0.53

3.15

0.11408

98.90

-3.18

2.58

-0.51504

75.84

-6.06

1.73

-0.71003

38.00

-9.1

0.79

-0.75368

-15.48

-12.32

1.47

-0.70601

-85.65

-15.77

0.99

-0.62717

-173.66

-19.47

1.7

-0.54039

(Mpa) 5.83 5.83 5.83 5.83 5.83 5.83 5.83 5.83 5.83 5.83

-252.39

-22.56

2.43

-0.63486

5.83

Vr (MN)

55.60

Melu (Mpa)

Conclusion : D’après les deux tableaux on conclure que τ < τ est vérifié toujours, et nous constatons ainsi que l’épaisseur de l’âme est suffisante du point de vue cisaillement.

ENTP

Promotion 2007


CH X

X- 4- CALCUL DES ARMATURES DE L'EFFORT TRANCHANT : At fe . ≥ (τ − f tj 3) tgBU bn.St γ s 1 fe La valeur de Bu est limitée à 30° On prendre St =15 cm

⇒ At = τ .tgBu.bn.S t .γ s .

Pour les différentes valeurs de τ u trouvées on aura :

τu

ENTP

At min (cm )

At par ame 2 (cm )

Choix des armatures

19.43

2.16

6.47

8HA12

0.77

18.08

3.09

6.02

8HA12

2

0.95

19.78

1.13

6.59

8HA12

3

1.18

21.48

5.07

7.16

8HA12

4

1.43

23.02

8.57

7.67

8HA12

5

1.67

23.75

10.95

7.91

8HA12

6

1.85

23.43

12.01

7.81

7HA12

7

1.86

21.38

11.05

7.12

7HA12

8

1.62

17.15

7.61

5.71

6HA12

9

1.07

10.75

1.72

3.58

4HA12

clavage

0.31

3.01

5.80

1.006

1HA12

Section

(Mpa)

Vsp

0.81

1

At

2

(cm )

2

Promotion 2007

- 91CH XI


XI- DIFFUSION DE L’EFFORT DE PRECONTRAINTE DERRIERE L’ANCRAGE: XI.1 -EXPLICATION DU PHENOMENE:

Dans les ponts en béton précontraint construits par encorbellement successif, le ferraillage des âmes tient compte seulement de la flexion transversale du caisson et de l’effort tranchant. Donc, il est nécessaire de tenir compte de la diffusion de précontrainte derrière les ancrages. L'effort à l'ancrage introduit dans les âmes une forte contrainte de compression sur un faible surface du béton. Cet effort se diffuse ensuite progressivement sur une plus grande surface dans le corps de l'âme au bout d'une certaine distance LR appelée longueur de zone de régularisation, on admet que le principe de Saint-Venant s'applique et que la répartition des contraintes existe linéaire. Donc il est nécessaire de tenir compte de ce phénomène, pour ferrailler les zones ou apparaissent des fissures lors de la mise en tension. a- Ancrage centré : On considère une pièce prismatique, de section rectangulaire (bxh) et un câble rectiligne ancre au centre de gravité de la section d'extrémité (figure qui suit).

Dans une section courante de la poutre, la contrainte normale vaut ( σ = F ), mais bh

non applicable au voisinage immédiat de l'ancrage, derrière l'ancrage les contraintes n'obéissent pas à la loi de NAVIER. La distribution classique des contraintes engendrées par cet effort, n'est retrouve qu'a une distance (LR) dite longueur de la zone de régularisation. Dans cette zone, il y a risque d'éclatement du béton lors de la mise en tension, du fait que celui-ci est soumis à un système de contraintes normales et tangentielles ce qui nécessite un équilibrage par des aciers. Des expériences et des études théoriques ont montré que : • La longueur de régularisation LR = hauteur du caisson (au niveau d'ancrage). • Existence des efforts de tractions perpendiculaire à l'axe de câble : 1. immédiatement sous l'encrage. 2. a l'intérieur d'un 'rognon d'éclatement' situe dans les deux derniers tiers de la zone de régularisation. • Existence des contraintes de cisaillement parallèle à l'axe du câble.

ENTP

Promotion 2007

- 92CH XI


On résume donc les efforts soumis au béton comme suit : - des efforts de surface ( sous l'ancrage ) - des efforts d'éclatement sur les 2/3 avals de la zone de régularisation

b- Ancrage excentré par rapport au centre de gravité de la section : On considère la même poutre, mais avec un effort excentré. Donc on aval le schéma suivant:

On peut effectuer le calcul en admettant que la précontrainte se diffuse en deux phases: 1ère phase : à l'intérieur d'un prisme symétrique ( d × d ) avec d = 2 min ( c,c') 2ème phase : dite équilibre général, sur une longueur ( LR = h ) c- Plusieurs câbles ancrés dans la section et non parallèle à la fibre moyenne :

ENTP

Promotion 2007

- 93CH XI


Le calcul se fait de la manière suivante : On attribue à chaque ancrage un prisme Symétrique de dimension (d × d). d /2 étant la plus petite des valeurs suivantes : c = distance de l'axe du câble à l'axe du câble le plus voisin. c' = la moitie de la distance de l'axe du câble à l'axe du câble le plus voisin. Exemple:

Pour l'équilibre général, la tranche de la pièce comprise entre (SA) et (SR) est en équilibre sous l'effet de: • Des forces concentrées sous les ancrages Fj • . Des forces reparties appliquées par les câbles sur le béton entre les sections SA df négligeable) ds • Des contraintes tangentes τ (Fj') et normales

et SR (forces tangentielles

σ (Fj') qui équilibrent dans ( SR ) les

sollicitations de précontraintes développées, par les câbles dans ( SA ). Pour l'équilibre général : F1 F1x F2

F1t

SR

SA

F r

σ ( F’J )

F2x F2t

τ

( Fj’ )

Pour la commodité du calcul, les règles BPEL admettent de considérer cet équilibre général comme superposition de deux états d'équilibre. - Un état d'équilibre selon la résistance des matériaux en remplaçant les efforts Fj en SA par une distribution de contraintes réparties σ ( Fj ) et τ ( Fj ) calculées selon la résistance des matériaux. - Un équilibre général de diffusion pure qui résulte de l'application à la poutre de répartition des forces concentrées Fj et réparties σ (Fj ) et τ ( Fj ).Cet équilibre traduit l'écart entre la résistance des matériaux et la distribution réelle des contraintes.

ENTP

Promotion 2007

- 94CH XI


F1

τ

SR

SA

(Fj)

σ ( FJ’ )

SR

SA

- τ (Fj)

σ ( FJ )

F2

+

= τ

( Fj’ )

τ ( Fj’ )

σ ( FJ )

Equilibre général

- σ ( FJ )

Equilibre de diffusion pure

Equilibre selon RDM

Sur un plan de coupure quelconque BC situé entre les deux ancrages 1 et 2 d'ordonnée t par rapport à l'extrados, on obtient les sollicitations suivantes. - Effort tranchant Vx = F1x - x. - Moment fléchissant : Mt = F1x ( t - c1 ) - α x +

e ( T - F1t ) 2

- Effort normal : Nt = F1t - T Avec:

x = ∫ σ (Fj ).b.dt AB

T=

T

SA

∫ t (F ).b.dt

SR

j

AB

x F1x

t

α C

B

vx F1t

Mt Nt

τ

ENTP

h

σ

Promotion 2007

- 95CH XI


d- Justification dans les zones de première régularisation : Les effets de surface et d'éclatement nécessitent : - une vérification de l'état de contraintes dans le béton. - la mise en place d'un ferraillage passif approprié et dimensionné de façon à travailler au max. à 2/3 fe. 1- Effets de surface : Au voisinage immédiat de SA, on dispose une section d'acier As :

AS = 0.04 ×

max (Fj )

σs

Avec : Fj représente la force à l'origine de l'ancrage de niveau j σ s = 2 fe 3

2- Effets d'éclatement : A l'intérieur de chaque prisme symétrique, la contrainte maximale de l'éclatement vaut : aj Fj σ t j = 0,5 ( 1 - ) × dj b dj Avec: aj : dimension de la plaque d’ancrage dans le sens considéré. dj : dimension de prisme dans le sens considéré. Et la contrainte de compression longitudinale est :

σxj =

Fi d jb

Il faut vérifier que :

σ t j ≤ 1,25 ftj σ x j ≤ 1,25 ftj

σcj : résistance caractéristique à la compression du béton. σcj : contrainte de traction de référence (Ftj=0.6+0.06fcj ) La résultante des contraintes d'éclatement vaut:

Rj = 0,25 ( 1 -

aj ) × Fj dj

Donc à chaque niveau d'ancrage une section d'acier Aei.

A ej = ENTP

Ri k jσ Promotion 2007

- 96CH XI


Avec: kj : vaut 1 pour un ancrage d’extrémité et 1,5 pour un ancrage intermédiaire. En définitive :

max( Aej )  Ae = sup  Fj 0 . 15 max( )  σ  Ces armatures, sont reparte sur une longueur égal à max (dj) à partir de (Sa) et de façon telle que chaque prisme soit transverse par nue au mois égale à Aej.

ENTP

Promotion 2007

- 97CH XI


e- Justification vis-à-vis de l'équilibre général de diffusion pure : On remplace, ici, les forces Fi concentrées par des forces repartes sur la plaque d'encrage de hauteur aj.

1- Justification des contraintes du béton: La contrainte de cisaillement vaut:

τd =

2 Vx b × lr

A chaque niveau z la contrainte

contrainte τ calculée selon la RDM. On à ainsi:

τ d est composée algébriquement avec la

τ g max = max(τ d + τ )

Il faut vérifie que:

τ g max ≤ 1.5 f tj

2-Armatures de l’équilibre général : On considère l'effort tranchant:

ftj 2   Vxe = Vx = 1 − ( ) 3 τd   AC =

ENTP

Vxe

max

- Ntc

2 fe 3

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- 98CH XI


XI.2- EXEMPLE DE CALCUL :

On prendra comme exemple le voussoir n°1 qui se trouve entre l’abscisse x = 3.75m et x = 8.75m Par rapport à l’encastrement.

LR = h = 4,711m ( la hauteur du caisson au niveau de l’ancrage ). La section du caisson est assimilée à une section en I. 13,50 0,2 5 V = 2,537 4.711

V’= 2,732 1,0 0,.443

Plaque d’ancrage

Caractéristique de la section : h = 4,711m V’ = 2,732m F0=192.8 t

einf = 0,443m V= 2,437m

9,24

esup = 0,25m I = 50.292 m4

Zones de régularisation de précontrainte : Hauteur des prismes : Plan de diffusion vertical : (PV)

1.937 0,5

d1 = min ( 2 × 1,937 0,5 ) = 0,5 m d2 = min ( 2 × 2,272 , 0,5 ) = 0,5 m -plan de diffusion horizontal ( PH ) :

0,5 0,5

2,272

0,5

d = min ( 2 × 0,5 , 2 × 0,5 ) = 1,00 m ENTP

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Equilibre de la zone de 1ère régularisation L R = 4,711 m Les effets de surface et d’éclatement qui se manifestent dans les zones exigent une vérification de l’état de contraintes dans le béton, ainsi que la mise en place d’un ferraillage dont la contrainte de traction est limitée à 2/3 fe. - Effort de surface : As = 0,04 ×

max ( Fj )

σs

PV ⇒ As = 0,04 ×

192.8 × 10 4

PH ⇒ As = 0,04 ×

σs =

avec

2 fe 3

fe = 400 Mpa

= 2,89 cm2

2 × 40000 3 2 × 192.8 × 10 4 2 × 40000 3

= 5,78 cm2

PV : As = 2,89 cm2 soit 2 cadre de Ø 14 auteur chaque ancrage. PH : As = 5.78 cm2 soit 4 cadre de Ø 14 auteur de chaque ancrage. -

Effort d’éclatement:

Vérification des contraintes. Eclatement : σ tj = 0,5 ( 1- aj ) × Fj ≤ 1,25 ftj dj b dj F j Compression : σ xj = ≤ 2 fcj b dj 3

1,25 ftj = 1,25 × 270 = 337,50 t /m2

(ftj=0.6+0.06 fcj)

2 f = 2 × 3500 = 2333,33 t / m2. 3 cj 3

σ tj = 0,5 ( 1 -

40 192.8 )× = 38,56t / m2 < 337,50 t / m2 50 1,00 × 0,5

PV σ xj =

192.8 = 385,60 t / m2 < 2333,33 t / m2 1,00 × 0,5

σ tj = 0,5 ( 1 - 30 ) × 373,92 = 134.96 t / m2 < 337,50 t / m2 100

1,00 × 0,5

PH σ xj =

192.8 = 385,60t / m2 < 2333,33 t / m2 1,00 × 0,5

Relations vérifiées. ENTP

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Aciers d’éclatement : Ae = max

0,25 ( 1 - aj ) Fj dj 2 fe 3 0,15 × ( Fj max ) 2 fe 3

3,625 cm2 PV :

2

Ae = max

2

⇒ Ae = 10.845 cm soit 8 Ø 14

10.845 cm 7.25 cm2 Ae = max

PH:

2

⇒ Ae = 21.69 cm2 soit 8 Ø 14

21.69 cm

(2encrages)

Ce ferraillage est réparti sur une profondeur égale à 0,50m de façon que chaque prisme soit traversé par Ae. a- justification vis-à-vis de l'équilibre générale: On se fixe des plans de coupure et on procède à la détermination des sollicitations (Vx, Nt). Par l’étude de l’équilibre. Les sollicitations varient en fonction de la position ( t ) de coupure sur la hauteur de la pièce, ce qui nécessite de déterminer la position qui donne les efforts les plus défavorables. α° 26.36 31.61

F cos α (t) 172.75 164.20

F sinα (t) 85.61

Σ

336.95

186.66

172.75

101.05 85.61

336.95

164.20

Vx = ∑ Fi cosαi − X

101.05

Nt = ∑ Fi sin αi − T Avec :

X = ∫ σ ( Fj ) × .b . dt AE

T = ∫ τ ( Fj ) . b .dt AE

ENTP

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σ=

N M + .y B I

T' . S b.I

σ=

336.95 327.95 × 0 + = 24.96 (t / m 2 ) 13.50 50.292

τ=

186.66 S × ( t / m2 ) 50.292 b

2

σ(t/m ) 2

S (m ) b (m)

τ

τ=

2

(t/m )

0

0.25

2.287

2.787

4.268

4.711

24.96

24.96

24.96

24.96

24.96

24.96

0.000

3.375

5.412

5.922

4.093

0.000

13.25

13.25

1.00

1.00

1.00

1.00

9.24

9.24

00

0.95

12.53

20.09

21.98

15.19

1.64

0.00

Calcul de l’effort tranchant Vx et l’effort normal Nt : t1 (m)

t2 (m)

V(x)

V(x) cumulé

Ti

P (ti )

Nt

Nt cumulé

b(m)

X (t)

P( xi )

-

0.25

13.50

6.240

-

-6.24

-6.24

0.2375

-

-0.24

-0.24

0.25

2.287

1.00

50.844

-

-50.84

-57.08

28.42

-

-28.42

-28.66

-

-

1.00

-

172.75

172.75

115.67

-

85.61

85.61

56.95

2.537

2.787

1.00

12.480

-

-12.48

103.19

22.55

-

-22.55

34.40

-

-

1.00

-

164.20

164.20

267.39

-

101.05

101.05

135.45

0

0.443

9.24

11.057

-

-11.06

256.33

0.73

-

-0.73

134.73

σ (t/m ) 2

ENTP

τ (t/m ) 2

V (t)

Nx (t)

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τ max = max (τ d + τ )

τd =

avec

2 Vx = b × Lr

Il faut faire la vérification : τ max ≤ 1,5 f tj = 1,5 × 270 = 405 t / m2 t (m)

τd ( t / m ) τ ( t / m2 ) τmax(t/ m2 ) 2

0.00

0.25

2.287

2.787

4.268

4.711

0.00

-2.65

-24.23 49.11

43.81 113.52

108.82

0.00

0.00

12.53

20.09

21.98

15.19

0.00

0.00

9.88

65.79 135.50

124.01

0.00

-4.14

69.20

τ max= 135.5 < 405 t / m2 OK b- armature d'équilibre générale: Ces armatures transversales dans la zone de régularisation des contraintes doivent satisfaire globalement à la règle des coutures.

A' c =

Vxe

max

- Nte

2 fe 3

Avec

τ max = 135.5 >

 

Vxe max = Vx max 1 - ( f tj 3 

= 90 t / m 2 90

 )2  3 τ max  ftj

OK 

Vxe max = 267.39 1 - ( ) 2  = 148.55 t 135.5   148.55 - 34.4 = 42.81 cm 2 2 × 40000 3 Le ferraillage à mettre en place sera : Ac = A’c – As – Ae = 42.81-2.89-10.84 Ac =29.08 cm2 A' C =

C'est-à-dire 27A12soit 9Ø 14 par âme répartis sur une longueur de (2/3)LR=3.14 m

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XI.3- ETUDE ET FERRAILLAGE DE LA BOSSAGE: Nous avons vu que les câbles de continuités étaient disposés dans le hourdis inférieur, et peuvent être relevés dans des bossages et arrêtés au dessus du hourdis inférieur ou en dessous du hourdis supérieur. Nous avons étudions les câbles bossages affleurant sur le hourdis inférieur du caisson il s'agit d'ancrage de câble dans le hourdis et dévies à leurs extrémités d’un angle α pour s’ancrer en saillie sur celui-ci. A l'ancrage du câble, il en résulte localement des efforts tangents entre le bossage et le hourdis, et une poussée au vide du droit de la courbure du câble et des efforts de flexion dans le hourdis.

L'action des bossages sur le hourdis peut se schématiser par les sollicitations suivantes: -un moment dû à l'excentrement de l'ancrage par apport au plan moyen de hourdis, que l'on évalue à M = F L sin α . 2

- deux poussées reparties, l'une traduisant l'action de la composante (F sin α) verticale de la force à l'ancrage, l'autre la poussée au vide dans la zone coude de la gaine dans le sens transversale, ces poussées sont réparties sur une longueur du bossage plus épaisseur du hourdis.

L:étant la longueur qui couvre entièrement la zone de courbure du câble ancré sur la bossage.

FERAILLAGE DU BOSSAGE:

Pour un effort F à l'ancrage et avec σ S =

3 fe , on prévoir les armatures suivantes 4

repartie en trois groupes précisés sur le schéma qui suit:

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L'effort maximal ne s'exerçant qu'à la construction et diminuant par la suite: 1°) Armature se section total A1 formant tirant en tête de consol.(a répartir sur une longueur de 20à30cm).

A1

F

σs

( 0,5 - sin α )

F : force de précontrainte à l’ancrage. α : L’angle que fait la force de précontrainte avec la fibre supérieure du hourdis. 3 σs : Contrainte admissible en traction σ S = fe 4 2°) armatures de couture de section total A2 reparties entre la tête de bossage et le début de la courbe du câble.

A2 =

0,5 . F

σs

2°) armatures de section total A3 destinée à reprendre la poussée au vide le long de la zone courbe du câble.

A3 =

F . sin α

σs

Bossage à un seul ancrage: P0 = 192.8 t pour un câble 12 T15. Armatures de tirant : A1 =

192.8 3 × 40000 4

( 0,5 - sin 7.35) = 23.91cm² soit 5 HA 25 répartie sur 30cm

Armatures de coutures : A2 =

0,5 × 192.8 = 32.13 cm² soit 7 HA 20 3 × 40000 4

Armatures de la poussée au vide: A3 =

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192.8 × sin 7.35 = 8.20soit 6 HA 14 3 × 40000 4

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XII –L'INFRASTRUCTURE : XII-1- LES PILES : a. Généralité : La définition des appuis d’un ouvrage est une des options fondamentales du projet. Cette définition est indissociable de celle de l’ouvrage dans son ensemble. Le choix ne peut se faire que progressivement, ou itérativement ; il résulte d’une vaste synthèse englobant : • La nature et le mode de construction du tablier. • Les contraintes naturelles du site. • Les contraintes fonctionnelles du projet. Toute fois, il convient d’insister sur le fait qu’un projet de pont ne débute pas par l’étude de détail du tablier. Dans la plupart des cas, on commence par implanter les appuis extrêmes, c'est-à-dire les culées. Une fois ces culées implantées, on connaît la longueur totale de la brèche à franchir et on peut élaborer une première esquisse de solution. Si cette esquisse n’est pas satisfaisante, on retouche l’implantation des appuis extrêmes et on reprend le raisonnement, selon un processus itératif. La conception des piles est tributaire du type et du mode de construction du tablier, du type du mode d’exécution des fondation et de certaines contraintes naturelles ou fonctionnelles liées au site. Par ailleurs, les piles peuvent jouer un rôle plus ou moins important dans le fonctionnement mécanique du tablier selon que ce dernier est simplement appuyé sur elles ou bien partiellement ou totalement encastré. Il en résulte que leur implantation ne peut résulter que d’une étude globale de la structure assurant le franchissement. b. Choix du type de pile : On peut classer les piles en deux familles ; les piles de type caisson et les piles de type poteau. Notre choix s’est porté pour les piles caissons (une section rectangulaire évidée) à cause de la grande hauteur des piles où l’économie sur la matière est plus forte que le coût du coffrage intérieur. Ces piles sont construites soit par la méthode des coffrages glissants, soit par la méthode des coffrages grimpants. Les fûts ont des dimensions constantes suivant l’axe longitudinal et transversal de l’ouvrage.

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FIG. XII.1. Coupe longitudinale de la pile

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FIG. XII.2. Coupe transversale de la pile

XII- 2 – FONDATIONS: Fonder une construction est une des plus anciennes activités des travaux publics, et le problème de géotechnique le plus courant encore aujourd’hui. Selon la capacité du sol à supporter l’ouvrage, les fondations peuvent être superficielles ou profondes. Les fondations superficielles (dalles, semelles isolées ou filantes, radiers) constituent la partie basse de l’ouvrage qui transmet directement l’ensemble des charges au sol. Elles sont enterrées pour réduire les effets du gel, du soulèvement de certains sols ou d’autres dommages provenant de la surface. Lorsque le sol de surface n’a pas une résistance suffisante pour supporter l’ouvrage par l’intermédiaire d’une fondation superficielle, des fondations profondes sont mises en place. Ce type de fondation (pieux, puits) permet de reporter les charges, dues à l’ouvrage qu’elles supportent, sur des couches de sol situées à une profondeur variant de quelques mètres à plusieurs dizaines de mètres. Dans le calcul de la capacité portante des fondations profondes, il y a donc à considérer en plus de la résistance du sol sous la base, la résistance du sol le long du fût, c'est-à-dire le frottement sur les parois latérales de la fondation.

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a. Choix du type de fondation : D’après les rapports, géologique et géotechnique, le mode de fondation à préconiser pour les appuis de l’ouvrages est de type profond: pieux de 25m de longueur, et de diamètre Ф= 1,2m. Les pieux forés sont le type de pieux le plus couramment utilisé dans les ouvrages neufs, il convient de ne pas descendre en dessous d’un diamètre minimal de 0,8m. b. Nombre de files de pieux : Le nombre de fils de pieux est essentiellement lié au choix du schéma mécanique de résistance, ces éléments vont essentiellement travailler à la pointe. Pour le choix de l’entraxe et le nombre de file de pieux, il est référable de faire un espacement trop grand entre les pieux ; en général 3Φ car un espacement trop faible présente des inconvénients tant à l’exécution que sur le plan mécanique. Dans le cas des pieux forés, dont la résistance aux efforts horizontaux mobilise la butée du terrain, il convient d’éviter un nombre impair de files qui conduit à disposer une dans l’axe de l’appui (file intermédiaire très chargée). Puisque la charge descendante est assez importante, on opte quatre files de six pieux au niveau des piles, deux files de quatre pieux au niveau des culées. c. L’effet d’un groupe de pieux : La semelles de liaison des pieux sont toujours considérées comme étant infiniment rigides. Il convient donc de les dimensionner en conséquence : La largeur : B= (N-1)×l +2Ф = 13,2 m, tel que : N : nombre des files des pieux (4). l : la distance entre deux files (l=3 Ф). Ф : diamètre des pieux (1,2m). La longueur : Ls = (N -1)×l +2Ф = 20,4 m. N : nombre des files des pieux (6). La hauteur : ht ≥ l / 2,5 =3,6 / 2,5 = 1,44m ⇒ ht = 1,5m La semelle transmet à la fondation des efforts qui induisent dans les pieux des forces axiales et, le plus souvent, des moments pour que ces moments soient transmis, il faut que les pieux soient mécaniquement encastrés dans la semelle. Ceci s’obtient facilement avec des pieux forés.

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FIG.XII.3. Fondation (sous la pile) sur quatre files de pieux.

FIG.XII.4 Disposition des pieux au niveau des piles

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XII-3- LE FERAILLAGE : La pile étant soumise à une flexion composée, elle est sollicitée que par un effort vertical appliqué au centre de gravité de la section et un effort horizontal. Pour estimer les efforts de dimensionnement des piles, des semelles et des pieux, nous avons pris la pile N°2 de hauteur H=50m. a. Les Combinaisons de charges : G : La charge permanente. V : La charge verticale (la réaction d’appui verticale sur la pile la plus élancée) W : La charge du vent. FF : la force de freinage. Ex : La composante horizontale du séisme suivant l’axe x. Ey : La composante horizontale du séisme suivant l’axe y. Les combinaisons : E.L.S: G+V+W+FF E.L.U: 1,35(G+V) +1,5(W+FF) E.L.A: G+V+EX G+V+EY Application numérique : La charge permanente G : S =21.4 m2 ; H =50m G = S*H*γ = 21.4*50*25 =26750 KN La charge verticale V : La réaction d’appui verticale sur la pile R=42243.55 KN La charge du vent W : W = 2 KN/m2 La force de freinage FF : F = 15t =150 KN La composante horizontale du séisme suivant l’axe x Ex : Ex = 20% g g: est le poids effective totale de la structure, égale à la poids du tablier augmentée de la poids de la moitie supérieur des piles liées au tablier (g = 18761 + 0.5*26750= 32136 KN) Ex = 0,2*32136 = 6427.2 KN La composante horizontale du séisme suivant l’axe y Ez : Ey = 14% g Ey = 0,14*32136 = 4499.04 KN

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Diagramme du moment sur pile.

Efforts sur pile .

FIG.XII.5 – Efforts et diagramme du moment sur pile.

Le tableau suivant résume les sollicitations maximales obtenues par le calcul manuel de la pile la plus sollicitée dans le cas le plus défavorable :

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Les combinaisons

E.L.S

E.L.U

E.L.A

R (KN)

42243.55

57028.79

42243.55

Nx (KN)

980

1470

6427.2

My (KN.m)

28250

42375

321360

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b. Le ferraillage de la pile : On détermine la section d’armature de la pile selon les abaques de Walther, pour cela on aura à appliquer les formules suivantes :

FIG.XIII.6. Abaque de Walther.

ty / h =0,6 / 6 =0,10 tx / b =1 / 9.3 =0,10 Soit :

n =N / b . H . Bw ≈ 6.4272 / (8.3* 6 * 35) = 0,0036 my = My / H . b2 . Bw ≈ 321.36 / (6*8.32 *35) = 0,022

Avec: n : effort intérieur relatif sans dimension b :largeur de la pile = 6m H : longueur de la pile dans le sens transversale du tablier =8.3m βW= βW28 =35Mpa : résistance du béton sur cube à 28 jours ω : degré mécanique d’armature totale = As . σf / bHβW On a d’après l’abaque : ω =0,06 Donc : As = 2614.5 cm2 ; σf =400 Mpa Donc : As /m²= 122.17cm2 Soit : 16HA32/ml suivant Y. 16HA25 /ml suivant X.

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• Les étriers : On a:

As, min ≥ 0,2 % Ab

Avec :

Ab = 21.4 m2 Donc : As , min ≥ 428 cm2 et H =50m Donc : As , min 8.56 cm2/ml = 8HA12 /ml

FIG..XII.7 Ferraillage de la pile

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c. Le ferraillage de la semelle : D’après document « SETRA » la section par la méthode des bielles est égale :  l b  − R 4 A s = max  2  h σs  

d’armature transversale inférieure est déterminée      

Avec : l = 360 cm, b = 200 cm, h = 100 cm , Rmax = 57028.79 KN, σs = 2 fe/3 = 267Kg/cm2 D’où : A s = 277.67 cm2 Ces armatures transversales inférieurs sont placées sur une bande de : Ф + hs = 1,2+2 = 3,2 m As / 3,2 = 86.77 cm2

Nappe inférieure On prendra des armatures en 7HA40 avec un espacement de 25 cm en disposant un paquet de deux barres. Les armatures dans l’autre sens seront prises en HA32 avec un espacement de 25 cm. Nappe supérieure On prendra des armatures en HA40 avec un espacement de 25 cm. Les armatures dans l’autre sens seront prises en HA32avec un espacement de 25 cm.

FIG.XIII.8. Ferraillage de la section de la semelle.

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d. Le ferraillage des pieux : Les efforts sont : N = 57028.79 KN M = 42375 / 24 = 1765.625 KN.m Le pieu est ferraillé en flexion composée Donc on doit calculer une section circulaire en flexion composée. e = M / N =1765.625 / 57028.79 =0.03 ≤ D / 24 section est totalement comprimée. Ke = Nx. R / M =57028.79x 0, 6 / 42375 = 0.8 Ka = M / R3. σ a = 1953 / 0,63.26700 = 0.3 Etant donné que les valeurs des coefficients Ke et Ka sortant du tableau 4.59 de l’aide mémoire de B.A (Victor DAVIDOVICI); et d’après le CPC (fascicule 68 art. 36) le ferraillage minimal de la zone fléchie d’un pieu est égale à 1% de la surface du pieu. Amin = 0,01x 602x П = 113,01 cm2 On prendra 24 HA25 avec un espacement de 15 cm.

FIG.XIII.9. Schéma de ferraillage des pieux

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XIII –EQUIPEMENTS DE PONT :

XIII-1- JOINT DE CHAUSSEE : Les joints de chassée sont les dispositifs qui permettent d’assurer la continuité de la circulation au droit d’une coupure du tablier, lorsque les lèvres de la coupure se déplacent l’une à l’autre. C’est le cas général de la coupure entre l’extrémité du tablier et le mur garde-grève de la culée, cette coupure s’ouvre et se referme du fait des déformations du tablier dues essentiellement aux variations thermiques, rotations d'extrémités de la poutre, fluage et le retrait. Calcul du souffle des joints : Le souffle est la variation maximale d’ouverture que peut tolérer un joint. Les variations maximales de la longueur ∆l des tabliers définissent donc le souffle du tablier. Elles sont la somme algébrique de plusieurs facteurs : Les rotations d’extrémités des poutres, la température, le retrait et le fluage. • Rotation d’extrémité sous chargements : La rotation d’extrémité d’une poutre sous charges crée, au niveau du joint de chaussée, un déplacement horizontal, ∆l = h × tgα , on accepte pour le dernier voussoir une rotation de 0,02 rd ce qui crée un déplacement de 5,8 cm. ∆l

h

About du tablier About après Rotation

α Appareil d’appui

• Dilatation thermique : La température étant considérée comme action de courte durée. On prend dans le cas généralement un raccourcissement relatif ∆l = 3 × 10-4 . l Pour notre cas l = 255 m ⇒ ∆l = 7.65 cm • Retrait : ∆l = 3,5 × 10-4 dans les zones oû la température est considérable, (cas de mila). l l = 255 m ⇒ ∆l = 0.89 cm

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• Fluage : Les raccourcissements dus au fluage sont fonction des contraintes normales appliquées. On pourra prendre en première approximation ∆l = 3 × 10-4. l l = 255 m ⇒ ∆l = 7.65cm . Donc le ∆l sous les phénomènes précédents égale à 16.19 cm.

Suivant ∆l et la rotation α la rotation d’extrémité, on choisit le joint FT150. Les souffles admissibles pour ce genre de joint, permettent des déplacements transversaux admissibles en service ± 10 mm, et des déplacements longitudinaux de 20 à 170 mm. Ce joint peut absorber des rotations de leurs appuis jusqu’à 0,03 rad. 29 cm 38 cm

6 cm

2 à 17 cm 20 cm 6,5 cm

19 cm

Tablier

Culée

Coupe transversale sur le joint de chaussée

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Promotion 2007

117 CH XIII


XIII-2- APPAREIL D'APPUI : Le rôle d’un appareil d’appui, placé à la liaison d’une structure et son support est de permettre dans certaines limites et sous certaines conditions : • La transmission des efforts normaux avec un ou deux degrés de liberté dans le plan perpendiculaire ; • La liberté des déplacements et rotations tout en garantissant la stabilité d’ensemble. Dimensionnement de l’appareil d’appui : On considère que a > b , T est l’épaisseur totale d’élastomère non compris les frettes. T = n × t ; n est le nombre de feuillets élémentaires. t est l’épaisseur d’un feuillet élémentaire. Sous réaction verticale R : σm' = R ab b la contrainte de cisaillement correspondante T au milieu du côté b vaut : a 3t ( a + b )R τR = a² b² la réaction totale sur l’appui = 8831.3KN sur la culée, si on prend 3 appareils d’appui on aura : 8831.3 R= = 2943.76 KN , ( cette réaction est calculée sous la combinaison de charge 1,35G + 3 1,6Q ). On prend a = 600 mm, et b = 700 mm, et t = 15 mm. 3 × 15 × ( 600 + 700 ) × 2943760 ⇒ τR = = 0.97MPa 600² × 700² 2943760 et σm' = = 7.008 MPa 600 × 700 Sous force horizontale H : Sous l’effet des forces horizontales apparaît une distorsion u

⇒ a

T u

La contrainte de cisaillement correspondante vaut : • sous déformation lente u1 ( effort horizontal H1 de dilatation, retrait, fluage ) τH1 = H1 = G × u1 , tel que G = 0,8 MPa module de déformation transversale d’ élastomère. ab T u1 =76.5 mm ( calculé lors le calcul des joints de chaussée pour les dilatation thermique ). Si on prend 9 élastomères on aura T = 171 mm. 0,8 × 76.5 ⇒ τH 1 = = 0.35MPa 171 • Sous effort dynamique H2 ( freinage, vent, force centrifuge ) entraîne la distorsion u2 Un camion Bc freine ( Selon le Fascicule n°61 ) ⇒ H2 = 30 = 10 t = 100000 N. 3 τH2 = H2 = 2G× u2 = 100000 = 0,24 MPa ab T 600 × 700 ENTP

Promotion 2007

118 Projet de pont : Viaduc de oued MENAR

CH XIII

τH = τH + τH = 0.35 + 0,12 = 0.47 MPa. 1

2

2

Sous rotation αT : La contrainte de cisaillement vaut : 2 ταT = G a αT avec αT = α + α0 2 T Tel que : α0 est la rotation permet par le joint de chaussée égale à 0,02 rad. α égale 0,003 rad.

()

2

0,8  600    × ( 0,02 + 0,003 ) = 0,11 MPa 2  171  On doit vérifier les conditions suivantes : τR + τH + ταT ≤ 5G ……………….(1) τH1≤ 0,5G ………………………(2) τH ≤ 0,7G ………………………(3) La première condition :0.97+ 0.47 + 0.11 = 1.55 MPa ≤ 5 × 0,8 = 4 MPa. ( condition vérifiée ) La deuxième condition 0.35 ≤ 0,5 × 0,8 = 0,4 MPa ( condition vérifiée ). La troisième condition : 0.47 ≤ 0,7 × 0,8 = 0,56 MPa ( condition vérifiée ). ⇒ ταT =

Vérification de condition de non-flambement : On doit vérifier σm' ≤ k× G × a² , T² Puisque les valeurs de k ne sont pas connues, on respecte la condition suivante pour satisfaire la condition de non-flambement : a ≤ T ≤ a , 60 ≤ 171 ≤ 120 condition non vérifiée 10 5 Vérification de condition de non-soulèvement : 3 T2 σ′ On doit vérifier la condition suivante : α T ≤ × 2 × m β a G 600 × 700 ab β= = = 10.76 2t × (a + b ) 2 × 15 × ( 600 + 700 ) La relation devient :

3 1712 7.008 × × = 0.19rad ≥ 0,023 rad 10.76 600 2 0,8 Donc la condition de non-soulèvement est vérifiée. Dimensionnement des frettes : L’épaisseur des frettes devra respecter les deux conditions suivantes : ts ≥ a × σm' ; ts ≥ 2 mm. Avec σe = 245 MPa pour l’acier inox.

β

σe

600 7.008 × = 1.59mm . 10.76 245 Donc on prend ts = 4 mm. ⇒ La hauteur totale de l’appareil d’appui égale à : 12 × 9 + 4 × 9 = 171 mm

ts =

ENTP

Promotion 2007

MOMENT FLECHISSANT TRANSVERSALE DE LA SECTION AA' Elém

1 2

3

4 5 6 7 8 9

10

11

Station m 0 1.5 0 1.03 0 2.34 4.22 0 1.88 4.22 0 1.03 0 1.5 0 2.2 0 2.2 0 2.2 0 1.876 4.22 0 2.34 4.22

M poids pro t-m 0.00 -2.33 -2.33 -5.29 -1.26 0.48 -0.98 -0.98 0.48 -1.26 -5.29 -2.33 -2.33 0.00 -4.03 -0.99 0.00 0.00 4.03 0.99 -0.99 0.54 -1.11 -1.11 0.54 -0.99

M Cas 1 t-m 0.00 -2.53 -2.53 -6.09 -1.70 0.53 -1.00 -1.05 0.47 -1.19 -5.29 -2.33 -2.33 0.00 -4.39 -1.05 0.05 -0.12 4.10 0.93 -1.05 0.53 -1.05 -1.17 0.55 -0.93

G+1.2 (AL+Q) M M M Cas 2 Cas 3 Cas 4 t-m t-m t-m 0.00 0.00 0.00 -2.53 -2.53 -2.53 -2.53 -2.53 -2.53 -6.09 -6.09 -5.77 -2.21 -1.64 -1.38 0.93 0.53 0.56 -1.77 -1.07 -1.32 -1.54 -1.07 -1.32 0.63 0.53 0.56 -1.36 -1.64 -1.38 -5.29 -6.09 -5.77 -2.33 -2.53 -2.53 -2.33 -2.53 -2.53 0.00 0.00 0.00 -3.88 -4.45 -4.39 -1.04 -0.99 -0.99 -0.23 0.00 0.00 -0.08 0.00 0.00 3.93 4.45 4.39 0.94 0.99 0.99 -1.04 -0.99 -0.99 0.53 0.54 0.54 -1.07 -1.11 -1.11 -1.15 -1.11 -1.11 0.55 0.54 0.54 -0.94 -0.99 -0.99

M Cas 5 t-m 0.00 -2.53 -2.53 -5.77 -2.13 0.91 -1.86 -1.86 0.91 -2.13 -5.77 -2.53 -2.53 0.00 -3.64 -0.99 0.00 0.00 3.64 0.99 -0.99 0.54 -1.11 -1.11 0.54 -0.99

G+D240 M M Cas 1 Cas 2 t-m t-m 0.00 0.00 -2.33 -2.33 -2.33 -2.33 -7.03 -5.29 -5.76 -2.20 2.18 1.32 -3.37 -3.87 -1.12 -3.87 0.41 1.32 -1.24 -2.20 -5.29 -5.29 -2.33 -2.33 -2.33 -2.33 0.00 0.00 -1.26 -3.09 -0.89 -1.00 -2.25 0.00 0.32 0.00 4.05 3.09 1.11 1.00 -0.89 -1.00 0.53 0.54 -1.26 -1.11 -0.94 -1.11 0.55 0.54 -1.11 -1.00

G+Mc120 M M Cas 1 Cas 2 t-m t-m 0.00 0 -2.33 -2.33 -2.33 -2.33 -10.07 -5.29 -5.34 -4.66 3.61 3.89 -5.12 -6.38 -2.22 -6.38 0.25 3.89 -0.24 -4.66 -5.29 -5.29 -2.33 -2.33 -2.33 -2.33 0.00 0.00 -4.74 -0.63 -1.69 -1.02 -2.91 0.00 -1.17 0.00 5.05 0.63 0.27 1.02 -1.69 -1.02 0.41 0.53 -0.53 -1.10 -1.70 -1.10 0.68 0.53 -0.27 -1.02

G+1.2 (Bc+Q) M M M Cas 1 Cas 2 Cas 3 t-m t-m t-m 0.00 0.00 0.00 -2.53 -2.53 -2.53 -2.53 -2.53 -2.53 -11.39 -11.39 -11.39 -6.22 -11.05 -10.92 2.16 5.94 5.89 -2.24 -7.53 -7.85 -1.52 -2.07 -5.74 0.43 0.27 4.19 -0.78 -0.52 -4.14 -5.29 -5.29 -5.29 -2.33 -2.33 -2.33 -2.33 -2.33 -2.33 0.00 0.00 0.00 -5.18 -0.34 -0.47 -1.35 -1.34 -1.41 -0.72 -5.46 -2.11 -0.64 -0.35 -0.63 4.51 4.78 1.15 0.61 0.67 0.62 -1.35 -1.34 -1.41 0.54 0.47 0.52 -0.79 -0.93 -0.78 -1.43 -1.28 -1.41 0.61 0.65 0.61 -0.61 -0.67 -0.62

M max t-m 0.00 -2.53 -2.53 -11.39 -11.05 5.94 -7.85 -6.38 4.19 -4.66 -6.09 -2.53 -2.53 0.00 -5.18 -1.69 -5.46 -1.17 5.05 1.11 -1.69 0.54 -1.26 -1.70 0.68 -1.11

MOMENT FLECHISSANT TRANSVERSALE DE LA SECTION BB' Elém

1 2

3

4 5 6 7 8 9

10

11

Station m 0 1.50 0.00 1.03 0.00 1.72 4.22 0.00 2.02 4.22 0.00 1.03 0.00 1.50 0.00 5.20 0.00 5.20 0.00 5.20 0.00 1.88 4.22 0.00 2.81 4.22

poids proper t-m 0 -1.88 -1.88 -4.53 -1.38 0.36 -0.92 -0.92 0.46 -1.38 -4.53 -1.88 -1.88 0.00 -3.15 -0.86 0.00 0.00 3.15 0.86 -0.86 1.17 -2.23 -2.23 1.06 -0.86

M CAS1 t-m 0 -2.08 -2.08 -5.33 -2.15 0.68 -1.22 -1.01 0.44 -1.32 -4.53 -1.88 -1.88 0.00 -3.18 -0.93 -0.21 -0.02 3.22 0.78 -0.93 1.14 -2.22 -2.24 1.11 -0.78

G+1.2 (AL+Q) M M M CAS2 CAS3 CAS4 t-m t-m t-m 0 0 0 -2.08 -2.08 -2.08 -2.08 -2.08 -2.08 -5.33 -5.33 -5.02 -2.33 -2.09 -1.59 0.76 0.68 0.42 -1.70 -1.32 -1.38 -1.49 -1.32 -1.38 0.59 0.76 0.60 -1.49 -2.09 -1.59 -4.53 -5.33 -5.02 -1.88 -2.08 -2.08 -1.88 -2.08 -2.08 0.00 0.00 0.00 -3.00 -3.24 -3.43 -0.95 -0.85 -0.82 -0.21 0.00 0.00 -0.02 0.00 0.00 3.04 3.24 3.43 0.80 0.85 0.82 -0.95 -0.85 -0.82 1.13 1.18 1.18 -2.21 -2.24 -2.25 -2.23 -2.24 -2.25 1.10 1.07 1.08 -0.80 -0.85 -0.82

M CAS5 t-m 0 -2.08 -2.08 -5.33 -2.26 0.76 -1.80 -1.80 0.90 -2.26 -5.33 -2.08 -2.08 0.00 -3.07 -0.87 0.00 0.00 3.07 0.87 -0.87 1.17 -2.22 -2.22 1.05 -0.87

G+D240 M M CAS1 CAS t-m t-m 0 0 -1.88 -1.88 -1.88 -1.88 -6.10 -4.53 -5.74 -2.33 2.59 0.73 -3.10 -3.79 -1.22 -3.79 0.35 1.20 -1.29 -2.33 -4.53 -4.53 -1.88 -1.88 -1.88 -1.88 0.00 0.00 -0.35 -2.21 -0.92 -0.98 -1.88 0.00 0.76 0.00 3.24 2.21 1.16 0.98 -0.92 -0.98 1.01 1.13 -2.53 -2.17 -1.76 -2.17 1.02 1.00 -1.16 -0.98

G+Mc120 M M CAS1 CAS t-m t-m 0 0 -1.88 -1.88 -1.88 -1.88 -9.31 -4.53 -5.40 -4.70 1.66 2.25 -4.96 -6.34 -2.21 -6.34 0.21 3.72 -0.50 -4.70 -4.53 -4.53 -1.88 -1.88 -1.88 -1.88 0.00 0.00 -3.92 0.17 -1.85 -1.29 -2.75 0.00 -0.43 0.00 4.04 -0.16 -0.35 1.29 -1.85 -1.29 0.69 1.02 -2.07 -2.02 -2.50 -2.02 1.78 0.84 0.35 -1.29

G+1.2 (Bc+Q) M M M CAS1 CAS CAS t-m t-m t-m 0 0 0 -2.08 -2.08 -2.08 -2.08 -2.08 -2.08 -10.63 -10.63 -10.63 -6.29 -11.13 -10.94 2.14 6.04 5.94 -2.19 -7.18 -7.71 -1.45 -2.31 -5.73 0.38 0.11 4.14 -0.98 -0.61 -4.29 -4.53 -4.53 -4.53 -1.88 -1.88 -1.88 -1.88 -1.88 -1.88 0.00 0.00 0.00 -4.35 0.50 0.31 -1.31 -1.68 -1.92 -0.74 -4.87 -1.98 -0.43 0.82 -0.14 3.55 3.92 0.24 0.20 0.41 0.63 -1.31 -1.68 -1.92 0.99 0.57 0.70 -2.07 -2.55 -1.96 -2.50 -1.73 -2.10 1.41 1.53 1.26 -0.20 -0.41 -0.63

M Max t-m 0.00 -2.08 -2.08 -10.63 -11.13 6.04 -7.71 -6.34 4.14 -4.70 -5.33 -2.08 -2.08 0.00 -4.35 -1.92 -4.87 0.82 4.04 1.29 -1.92 1.18 -2.55 -2.50 1.78 -1.29

tension après perte par frottement en ( Mpa)

σp (x) cables

X

θ

S0

S1

c1

3,75

0,6491

1242,353

1416,000

0,5517

1274,963

1262,398

1416,000

0,4601

1249,067

1284,561

1416,000

0,5681

1236,639

1245,948

1258,470

1416,000

0,4782

1257,943

1267,413

1280,151

1416,000

0,5978

1217,445

1226,610

1238,937

1251,389

1416,000

0,4496

1252,213

1261,639

1274,319

1287,126

1416,000

0,5323

1220,425

1229,612

1241,970

1254,452

1267,060

1416,000

0,3800

1256,256

1265,714

1278,434

1291,283

1304,260

1416,000

0,4873

1218,656

1227,831

1240,171

1252,635

1265,224

1277,939

1416,000

0,3428

1252,578

1262,008

1274,691

1287,502

1300,442

1313,511

1416,000

0,4655

1211,538

1220,659

1232,927

1245,318

1257,834

1270,475

1283,244

1416,000

0,3433

1239,997

1249,332

1261,888

1274,570

1287,380

1300,318

1313,387

1416,000

0,4683

1198,845

1207,871

1220,010

1232,271

1244,656

1257,165

1269,799

1282,561

1416,000

0,3735

1220,635

1229,824

1242,184

1254,668

1267,278

1280,014

1292,878

1305,872

1416,000

0,4913

1181,741

1190,638

1202,604

1214,690

1226,898

1239,228

1251,683

1264,263

1276,969

1416,000

0,4204

1197,768

1206,785

1218,914

1231,164

1243,537

1256,035

1268,658

1281,409

1294,287

1416,000

0,1892

1239,103

1248,432

1260,978

1273,652

1286,452

1299,381

1312,440

1325,630

1338,953

1352,410

c2

8,75

c3 c4

13,75

c5 c6

18,75

c7 c8

23,75

c9 c10

28,75

c11 c12

33,75

c13 c14

38,75

c15 c16

43,75

c17 c18

48,75

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

1416,000

perte dus au frottement de chaque câble (Mpa)

∆σf= σp0- σp (x) cables

X

S0

S1

c1

3,75

173,647

0,000

c2

8,75

141,037

153,602

0,000

166,933

131,439

0,000

179,361

170,052

157,530

0,000

158,057

148,587

135,849

0,000

198,555

189,390

177,063

164,611

0,000

163,787

154,361

141,681

128,874

0,000

195,575

186,388

174,030

161,548

148,940

0,000

159,744

150,286

137,566

124,717

111,740

0,000

197,344

188,169

175,829

163,365

150,776

138,061

0,000

163,422

153,992

141,309

128,498

115,558

102,489

0,000

204,462

195,341

183,073

170,682

158,166

145,525

132,756

0,000

176,003

166,668

154,112

141,430

128,620

115,682

102,613

0,000

217,155

208,129

195,990

183,729

171,344

158,835

146,201

133,439

0,000

195,365

186,176

173,816

161,332

148,722

135,986

123,122

110,128

0,000

234,259

225,362

213,396

201,310

189,102

176,772

164,317

151,737

139,031

0,000

218,232

209,215

197,086

184,836

172,463

159,965

147,342

134,591

121,713

0,000

176,897

167,568

155,022

142,348

129,548

116,619

103,560

90,370

77,047

63,590

c3 c4

13,75

c5 c6

18,75

c7 c8

23,75

c9 c10

28,75

c11 c12

33,75

c13 c14

38,75

c15 c16

43,75

c17 c18

48,75

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

0,000

perte par frottement au niveau de chaque âme en (Mpa)

X S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

0

0,000

3,75

173,647

0,000

8,75

481,617

285,041

0,000

13,75

819,035

603,680

293,379

0,000

18,75

1181,378

947,430

612,122

293,485

0,000

23,75

1536,697

1284,105

923,718

579,750

260,680

0,000

28,75

1897,463

1626,266

1240,856

871,613

527,015

240,549

0,000

33,75

2277,927

1988,275

1578,041

1183,725

813,801

501,756

235,370

0,000

38,75

2690,447

2382,580

1947,847

1528,786

1133,868

796,577

504,692

243,567

0,000

43,75

3142,938

2817,157

2358,330

1914,932

1495,432

1133,313

816,351

529,896

260,744

0,000

48,75

3319,834

2984,726

2513,351

2057,280

1624,980

1249,932

919,911

620,265

337,791

63,590

S10

0,000

tension a l'abscisse x après perte par frottement en (Mpa) σp0(x) S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

cables

L

θ (x)

σp0

σp0(L)

X

σp0(x)

c1

3,75

0,6491

1416

1242,353

4,529

1403,231

c2

8,75

0,5517

1416

1252,965

7,140

1395,922

c3

8,75

0,4601

1416

1274,963

7,677

1394,424

c4

13,75

0,5681

1416

1236,639

8,534

1392,037

c5

13,75

0,4782

1416

1257,943

9,091

1390,487

c6

18,75

0,5978

1416

1217,445

9,472

1389,429

c7

18,75

0,4496

1416

1252,213

10,429

1386,772

c8

23,75

0,5323

1416

1220,425

10,741

1385,906

c9

23,75

0,3800

1416

1256,256

11,885

1382,740

c10

28,75

0,4873

1416

1218,656

11,764

1383,072

c11

28,75

0,3428

1416

1252,578

12,928

1379,858

c12

33,75

0,4655

1416

1211,538

12,523

1380,977

c13

33,75

0,3433

1416

1239,997

13,497

1378,288

c14

38,75

0,4683

1416

1198,845

13,020

1379,603

c15

38,75

0,3735

1416

1220,635

13,727

1377,654

c16

43,75

0,4913

1416

1181,741

13,320

1378,776

c17

43,75

0,4204

1416

1197,768

13,800

1377,452

c18

48,75

0,1892

1416

1239,103

16,180

1370,911

tension après perte due en recul d'encrage en (Mpa)

σ'p0(X)= σp0(X) S2

S3

S4

EXP(-(fθ +φ (X-x))

cables

X

θ (x)

σp0(X)

S0

S1

S5

S6

S7

S8

S9


4,529

0,6491

1403,231

1238,487

1229,233

7,14

0,5517

1395,922

0,000

1251,637

1239,183

7,677

0,4601

1394,424

1270,879

1258,233

8,534

0,5681

1392,037

1240,806

1228,460

9,091

0,4782

1390,487

1259,373

1246,842

9,472

0,5978

1389,429

1241,558

1229,204

1216,973

10,429

0,4496

1386,772

1272,135

1259,478

1246,946

10,741

0,5323

1385,906

1250,740

1238,295

1225,974

11,885

0,3800

1382,740

1281,584

1268,832

1256,207

11,764

0,4873

1383,072

1256,327

1243,826

1231,450

12,928

0,3428

1379,858

1285,300

1272,511

1259,850

12,523

0,4655

1380,977

1257,719

1245,205

1232,815

13,497

0,3433

1378,288

1282,256

1269,497

1256,865

13,02

0,4683

1379,603

1254,552

1242,069

1229,711

13,727

0,3735

1377,654

1273,747

1261,073

1248,525

13,32

0,4913

1378,776

1247,584

1235,171

1222,880

13,8

0,4204

1377,452

1262,078

1249,520

1237,087

16,18

0,1892

1370,911

1319,387

1306,259

1293,261

S10

1280,393

perte due au recul d'encrage en (Mpa) ∆σ'p0(X)

cables

S0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11 c12 c13 c14 c15 c16 c17 c18

3,866

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

186,767 10,761

176,817

13,682

157,767 17,664

187,540

20,778

169,158

-2,620

22,185

199,027

2,184

27,649

169,054

3,712

28,765

190,026

9,698

35,428

159,793

8,897

34,113

184,550

15,142

41,000

156,150

12,756

38,039

183,185

18,062

43,889

159,135

15,247

40,492

186,289

19,131

44,799

167,475

16,678

41,798

193,120

19,331

44,767

178,913

6,243

32,694

59,148

135,607

perte due en recul d'encrage dans chaque âme en (Mpa) X S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

3,75

3,866

186,767

8,75

3,866

211,210

334,584

13,75

3,866

211,210

373,026

356,698

18,75

3,866

211,210

372,589

406,531

368,081

23,75

3,866

211,210

372,589

419,942

432,274

349,819

28,75

3,866

211,210

372,589

419,942

456,312

424,933

340,701

33,75

3,866

211,210

372,589

419,942

456,312

455,751

422,629

342,320

38,75

3,866

211,210

372,589

419,942

456,312

455,751

457,007

427,610

353,764

43,75

3,866

211,210

372,589

419,942

456,312

455,751

457,007

463,620

440,330

372,033

48,75

3,866

211,210

372,589

419,942

456,312

455,751

457,007

469,863

473,024

431,181

S10

135,607

les jours

Cables S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150

15 30 45 60 75 90 105 120 135

15 30 45 60 75 90 105 120

15 30 45 60 75 90 105

15 30 45 60 75 90

15 30 45 60 75

15 30 45 60

15 30 45

15 30

15

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

c1

30.506

30.506

c2-c3 c4-c5 c6-c7 c8-c9 c10-c11 c12-c13 c14-c15 c16-c17 c18

35.401 37.402 38.490 39.173 39.643 39.985 40.245 40.450 40.616

35.401 37.402 38.490 39.173 39.643 39.985 40.245 40.450 40.616

30.506 35.401 37.402 38.490 39.173 39.643 39.985 40.245 40.450

30.506 35.401 37.402 38.490 39.173 39.643 39.985 40.245

30.506 35.401 37.402 38.490 39.173 39.643 39.985

30.506 35.401 37.402 38.490 39.173 39.643

30.506 35.401 37.402 38.490 39.173

30.506 35.401 37.402 38.490

30.506 35.401 37.402

30.506 35.401

30.506

c1 c2-c3 c4-c5 c6-c7 c8-c9 c10-c11 c12-c13 c14-c15 c16-c17 c18

fcj en (Mpa)

Cables

∆M en (Mpa)

Cables c1 c2-c3 c4-c5 c6-c7 c8-c9 c10-c11 c12-c13 c14-c15 c16-c17 c18

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

-7.75705 -15.16952 -22.76601 -30.66928 -39.00198 -47.88686 -57.44659 -67.80389 -79.08146 -67.51398

-7.80194 -15.31883 -23.06379 -31.18887 -39.84609 -49.18751 -59.36518 -70.53114 -61.07889

-7.89636 -15.62121 -23.63145 -32.11736 -41.2692 -51.27726 -62.33179 -54.95994

-8.06742 -16.15893 -24.60938 -33.65811 -43.5444 -54.50756 -49.02331

-8.28821 -16.85584 -25.88606 -35.68727 -46.56788 -43.0503

-8.56897 -17.74925 -27.54562 -38.36876 -36.88458

-8.91037 -18.85713 -29.67099 -30.34837

-9.31651 -20.23706 -23.26854

-9.80431 -15.47036

-6.77872

0

Cables

X

V

c1 c2-c3 c4-c5 c6-c7 c8-c9 c10-c11 c12-c13 c14-c15 c16-c17 c18

0 3,75 8,75 13,75 18,75 23,75 28,75 33,75 38,75 43,75 48,75

2.854 2.573 2.189 1.846 1.543 1.281 1.06 0.879 0.738 0.639 0.571

d0i

1.15 0.8 0.4 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

S0

S1

S2

S3

S4

0 1.707 2.057 2.457 2.757 2.757 2.757 2.757 2.757 2.757 2.757

0 1.773 2.173 2.473 2.473 2.473 2.473 2.473 2.473 2.473

0 1.789 2.089 2.089 2.089 2.089 2.089 2.089 2.089

0 1.746 1.746 1.746 1.746 1.746 1.746 1.746

0 1.443 1.443 1.443 1.443 1.443 1.443

Ep en (m) S5 S6

0 1.181 1.181 1.181 1.181 1.181

0 0.96 0.96 0.96 0.96

S7

S8

S9

S10

0 0.779 0.779 0.779

0 0.638 0.638

0 0.539

0

∆σi Cables c1 c2-c3 c4-c5 c6-c7 c8-c9 c10-c11 c12-c13 c14-c15 c16-c17 c18

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

0 1.576 0.822 0 0 0 0 0 0 0

0 2.835 2.177 1.096 0 0 0 0 0 0

0 3.220 2.150 0.451 0 0 0 0 0

0 3.605 1.659 0 0 0 0 0

0 3.575 1.239 0 0 0 0

0 3.388 0.612 0 0 0

0 3.074 0 0 0

0 2.697 0 0

0 2.336 0

0 0

0

∆σr+∆σf+∆σi


S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

177.51 309.55 338.24 362.34 355.32 360.77 380.47 412.52 452.49 176.90

186.77 312.32 320.82 344.85 336.67 342.16 362.01 394.31 434.58 167.57

334.58 335.04 323.08 312.05 317.14 337.19 369.81 410.48 155.02

356.70 346.92 301.33 291.86 312.11 345.06 386.15 142.35

368.08 328.45 291.61 286.79 320.07 361.57 129.55

349.82 319.05 292.64 294.82 336.74 116.62

340.70 320.37 303.70 311.66 103.56

342.32 331.56 322.34 96.61

353.76 349.65 109.74

372.03 122.74

135.61

perte due en raccourcissement du béton dans chaque section en Mpa

Cables S0

S1

c1

532.5

560.3

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

c2-c3

1461.2

1497.3

1003.8

c4-c5

2475.9

2459.7

2008.9

1070.1

c6-c7

3562.9

3494.2

2978.1

2110.9

1104.2

c8-c9

4628.9

4504.3

3914.2

3014.9

2089.6

1049.5

c10-c11

5711.2

5530.8

4865.7

3890.5

2964.4

2006.6

1022.1

c12-c13

6852.6

6616.8

5877.2

4826.8

3824.8

2884.5

1983.2

1027.0

c14-c15

8090.1

7799.7

6986.6

5862.0

4785.0

3769.0

2894.3

2021.6

1061.3

c16-c17

9447.6

9103.4

8218.1

7020.4

5869.7

4779.2

3829.3

2988.6

2110.2

1116.1

c18

9978.3

9606.1

8683.1

7447.5

6258.3

5129.1

4140.0

3278.5

2439.5

1484.3

S10

406.8

valeur des contraintes après perte instantanées


S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

3715 11283 18764 26173 33603 41017 48371 55630 62768 66486

3688 11247 18780 26242 33728 41197 48607 55920 63113 66858

7492 14983 22510 30070 37614 45099 52485 59750 63533

7426 14881 22473 30094 37653 45114 52452 56273

7392 14902 22524 30159 37695 45106 48966

7447 14985 22603 30215 37701 41599

7474 15009 22594 30155 34092

7469 14970 22499 26458

7435 14882 18801

7380 11260

3841

valeur des forces des contraintes après perte instantanées


S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

620 1882 3130 4366 5605 6842 8068 9279 10470 11090

615 1876 3133 4377 5626 6872 8108 9328 10527 11152

1250 2499 3755 5016 6274 7522 8755 9966 10597

1239 2482 3749 5020 6281 7525 8749 9386

1233 2486 3757 5031 6288 7524 8167

1242 2500 3770 5040 6288 6939

1247 2503 3769 5030 5687

1246 2497 3753 4413

1240 2482 3136

1231 1878

641


S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

0.389 1.395 2.468 3.456 3.920 4.117 4.014 3.583 2.790 1.592

2.007 3.446 4.786 5.460 5.797 5.761 5.310 4.399 2.991

3.386 4.968 5.848 6.297 6.270 5.717 4.573 2.850

3.653 4.816 5.493 5.627 5.156 4.013 2.214

3.583 4.571 4.961 4.669 3.614 1.808

3.462 4.215 4.234 3.405 1.706

3.263 3.739 3.323 1.887

3.012 3.190 2.197

2.745 2.356

2.009

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

0.202 0.400 0.500 0.654 1.316 2.222 3.395 4.857 6.635 8.284

0.068 0.039 0.110 0.867 1.975 3.463 5.368 7.731 9.943

-0.356 -0.478 0.216 1.373 3.032 5.241 8.061 10.751

-0.394 0.230 1.431 3.255 5.763 9.029 12.143

0.046 1.158 3.050 5.793 9.480 13.024

0.596 2.349 5.162 9.150 13.056

1.254 3.810 7.814 11.894

1.984 5.496 9.385

2.721 5.865

2.334

Cables 3.75 8.75 13.75 18.75 23.75 28.75 33.75 38.75 43.75 48.75

Pont de Mila

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