CHAPITRE II LES EQUATIONS DE BASE
II. LES EQUATIONS DE BASE
II.1 Base de calcul II.1.1 Réglementat!n "1# "$# "%# "&#
Pour la combinaison d’actions ou de sollicitations, les coefficients utilisés sont ceux du titre V du fascicule 61 : conception, calcul et épreuve d’ouvrage d’art. EL : 1,! "1,1 s"#$ % 1,&& s"'$$ si ' est une surc(arge non accidentelle 1,!"1,1 s"#$ % 1,1 s"'$$ si ' est une surc(arge accidentelle EL) : s"#$ % 1,! s"'$ pour ' non accidentelle s"#$ % s"'$ pour ' accidentelle -
Le calcul de la dalle est conduit suivant les r*gles +EL -1 modifié --
-
La ustification des poutres mixtes est conduite suivant le document provisoire n/02134 51-4
-
La ustification des poutres métalli7ues est conduite soit selon les r*gles 2866 soit selon le titre v du fascicule 61 selon la complexité de la ustification de l’élément en vue.
II.1.' C(a)ges et su)c(a)ges "'#
Les c(arges considérées sont celles du fascicule 61 titre 99. Le camion +c est remplacé par le camion +c iger. Les surc(arges utilisées pour le calcul sont : •
La surc(arge : c’est une c(arge surfaci7ue dont l’intensité est donnée par la formule : "l$ + !&3 *
&6333 l * 1!
=
"!.1$
l : longueur c(argée •
La surc(arge +c iger : c’est un camion de >!t possédant 7uatre essieux portant respectivement, de l’avant vers l’arri*re 6,?t @ -,?t @ 1&t @ 1&t. La surface d’impact des roues des deux essieux avant est de !?cm x !?cm tandis 7ue celle des roues des deux essieux arri*re est de &3cm x &3cm.
2.25
2.25
4.00
1.50
2.25
0 0 . 2
0.50 0 0 . 2
t 5 . 6
t 5 . 9
t 3 1
t 3 1
Aigure !.1. Vue en plan du camion +c iger
•
La surc(arge +t : cette surc(arge est un tandem de 6>t. c(acune des roues a une surface d’impact de !?cm x 63cm et porte une c(arge de 4t.
2.00
5 3 . 1
t 6 1
1.00
t 6 1
2.00
t 6 1
Aigure !.!. Vue en plan tandem +t
•
La roue +r : une roue isolée de 13t aBant pour surface d’impact &3cm x 63cm.
t 6 1
l a n i
0 3 . 0
10 t
0.60
d u t i s g n n e o s l
Aigure !.&. 9mpact de la roue +r
•
Le convoi militaire 8e1!3 : il est composé de deux essieux distants de 1,43m portant c(acune une c(arge de &&t aBant une largeur de 3,1?m c(acune. 0ans le sens transversal, les deux essieux sont séparés par une distance de >,33m.
33t 5 1 . 0
4.00
0 8 . 1
Aigure !.>. Vue en plan du convoi militaire 8e1!3 Le convoi militaire 8c1!3 est composé de deux c(enilles de longueur 6,13m portant c(acune une c(arge de ??t. la largeur d’impact de c(a7ue c(enille est de 3,?3m.
Convoi Mc120
55 t
1.00 0 3 . 2
1.00
55 t 6.10 Vue en plan Aigure !.? : Vue en plan du convoi 8c1!3
•
Le convoi exceptionnel de tBpe 0 comporte deux remor7ue supportant c(acune 1>3t dont le poids est supposé réparti au niveau de la c(aussée sur un rectangle uniformément c(argé de &,&3m de large et 11m de long :la distance entre axes des deux rectangles est de 1-m.
Convoi D
11.00
8.00
11.00
140 t
3.30
140 t
Aigure !.6. Vue en plan du convoi exceptionnel 0
•
Pour la ustification sous les contraintes dues au retrait et C la température le raccourcissement relatif est pris égal C 3,333> correspondant C un climat c(aud. =-;
Calcul du c!e,,cent de ma-!)at!n dnam/ue 0
Les c(arges du sBst*me + et 8 sont frappées de maoration dBnami7ue représentée par le
coefficient D 7ui s’exprime :
δ
= 1+
3. > 1 + 3.! L
+
3.6 G 1+ > S
"!.!$
II.1.$ até)au2 "3# "4#
L’acier
utilisé
dans
la
construction
est
l’acier
E!>
EF!1333da5mmG @
HeF!>da5mmG @ nF3,&. 0ensité raF.4?t5m& Le béton est caractérisé par la contrainte en compression C !4 ours fc!4F&38Pa @ nF3,!
C l’état fissuré @ nF3 C l’état non fissuré. 0ensité r bF!.?t 5m&
II.' Dalle "4# "1$#
II.'.1 Dmens!ns
Le panneau de dalle est considéré comme articulé sur ses 7uatre cItés. n appelle Lx le petit cIté et LB le grand cIté.
II.'.' Déte)mnat!n des s!llctat!ns
La t(éorie utilisée est celle due C 8. P9#E0.
Aigure !.. 0iffusion d’une c(arge rectangulaire C travers le revJtement et la table de
compression
u F uo % 1,?e % (o @ e F 3.3&m @ (o F 3,!3m uo : dimension du rectangle d’impact de la c(arge prise dans le sens de L x, petit cIté du panneau. : dimension du rectangle diffusée dans le sens de L x. 0e faKon analogue, on a V o et V respectivement dimension du rectangle d’impact et dimension du rectangle diffusé prises dans le sens de L B. Le moment maximal produit par une c(arge est donné par : 0ans le sens de Lx : 8x
0ans le sens de LB,
+
P 6 "81
* 58 ! $
"!.&$
8B
+
P 6 " 5 8 1
*
8!$
"!.>$
P est la c(arge totale du rectangle d’impact @ 81 et 8! sont des coefficients donnés par 8. P9#E0 en fonction de FL x5LB, u et v. 9l est C noter 7ue cette t(éorie concerne le rectangle d’impact situé au milieu du panneau. Lors7ue le rectangle n’est pas au milieu du panneau, 8. ME)L a proposé un artifice. 9l a été utilisé pour l’évaluation des moments dans ce document. Pour l’artifice, voir cours de béton armé de 0r E#L Nouma "E)9 5L$. La détermination de l’effort tranc(ant est fonction de u et v. insi on a :
u milieu de u, T = u milieu de v T =
p
( &v )
, si u
p
( !v + u )
, si u
T =
O
+
p
( !u + v ) p
7 &u 8
, si u
, si u
9
> v "!.?$
v
"!.6$
II.$ Les :!ut)es
2omme énoncé plus (aut les poutres sont C me pleine, leur (auteur est variable, la (auteur de l’me est constante.
II.$.1 Déte)mnat!n des s!llctat!ns
Les poutres constituent la structure maQtresse des ponts. Pour ce fait plusieurs mét(odes de calcul de leurs sollicitations ont été développées : la mét(ode de #uBon 8assonnet, la torsion gJnée, l’ossature plissée, les entretoises rigides etc. La mét(ode utilisée dans ce document est celle des entretoises rigides exposée dans le livre Analse st)uctu)ale des ta;le)s de :!nts de R. . 2L#M et 8. V9ML#9ES. ous rappelons ici 7uel7ues
principes de la mét(ode.
II.$.1.1 !ment "<#
La mét(ode des entretoises rigides demande de considérer tout le pont comme une poutre uni7ue et calculer le moment global 8. 2e moment global sera réparti aux différentes poutres selon un coefficient T défini par :
∆i = 1 +
6d
n − 1 + !i
×
λ
nG − 1
"!.$
n : nombre de poutres U : entraxe des poutres d : excentricité égale C la distance de la résultante des c(arges appli7uées par rapport C l’axe du pont. La répartition se fait suivant l’expression : M i = M × ∆ i ×
I i
Σ I i
"!.4$
i : inertie de la poutre i. 2omme nos poutres sont identi7ues la formule devient M i
= M
∆
n
"!.-$
II .$.1.' E,,!)t t)anc(ant "1%# "<#
9l est admis 7ue la répartition totale de l’effort tranc(ant disparaQt uste apr*s la premi*re entretoise rencontrée en se déplaKant de la section considérée vers la c(arge appli7uée. Pour cela on appli7ue la formule de répartition comme dans le cas des moments lors7ue la c(arge est située apr*s la premi*re entretoise. Oi F OxTi 5n. Lors7ue la c(arge est appli7uée entre la section considérée et la premi*re entretoise, la mét(ode consiste C interpoler entre l’effort tranc(ant calculé en admettant une répartition totale et celui calculé dans l’(Bpot(*se de la non répartition de l’effort tranc(ant de la faKon suivante :
T " s3 $ = T W " s3 $ × 1 −
L x − s3 s3 L × + × − T s W W " $ 3 × L − s − − s1 − s3 L s s s L 3 3 1 3 x − s3
"!.13$
O’ : effort tranc(ant dans l’(Bpot(*se de non répartition O’’ : effort tranc(ant dans l’(Bpot(*se de la r épartition totale x : abscisse de la c(arge )1 : abscisse de la premi*re entretoise )o : abscisse de la section considérée L : portée du pont 2ette formule est générale et se simplifie pour des cas particuliers. insi, dans notre cas, sur appui, l’espacement des entretoises est constant, ")1)3$ F 0 @
x sera noté 0.
n a alors pour une c(arge ponctuelle : T i
=
(1 − α ) + T W W×α
T W×
"!.11$
Pour une c(arge répartie, l’abscisse de la c(arge est variable @ on démontre par intégration 7ue la formule devient : T i
∆ 1 D 1 D = qi × D × − + p × D × i × − n ! & L ! 6 L
"!.1!$
7i : la portion de la c(arge 7ui arrive sur la poutre i n : nombre de poutres pi : la c(arge totale répartie 7ui se trouve entre l’appui et la premi*re entretoise. O’ : est donné par la formule : O W + "1 E >$
L E =0 L
6P
"!.1&$
dont les param*tres sont indi7ués sur le sc(éma ciapr*s.
D a
PRM!R "#R#$!%
D
C'a(ge P
) B b
P$&#R C$"%!DR
Aigure !.4. 9nfluence d’une c(arge, placée avant la premi*re entretoise, sur une poutre
II.$.$ T(é!)e de calcul des c!nt)antes :!u) une :!ut)e m2te ace)?;ét!n "&#
II.'.$.1 H:!t(@ses
La liaison entre l’acier et le béton est supposée rigide : les deux matériaux ne peuvent glisser l’un sur l’autre car ils en sont empJc(és par les connecteurs. n peut admettre donc 7ue les sections planes restent planes apr*s déformation. L’acier et le béton sont supposés Jtre des matériaux élasti7ues obéissant C la loi de Xoo
"!.1>$
Y : est la déformation Z : la longueur de l’élément étudié Ha : la contrainte normale de l’acier H b : la contrainte normale du béton Ea et E b sont respectivement le module élasti7ue de l’acier et du béton
En posant
"n : est appelé coefficient d’é7uivalence acier béton$, on a :
"!.1?$
n peut donc étudier la section comme si elle était formée d’un matériau (omog*ne. ous (omogénéisons la section par rapport C l’acier, c’est C dire 7ue nous considérons 7ue toute
section + de béton é7uivaut C la section fictive d’acier
aBant mJme centre de gravité
7ue la section +. 9l ressort de la définition du module d’élasticité du béton "instantané ou différé$ 7ue différentes valeurs de
n
sont C considérer suivant la durée de la sollicitation. ous
prendrons pour f c!4 F&3 8Pa n F 14 pour l’étude des c(arges de longue durée n F 6 pour des surc(arges instantanées n F 1? pour l’étude l’action du retrait et des différences de température éventuelles entre l’acier et le béton
II.$.$.' Ca)acté)st/ues de la sect!n d)!te de la :!ut)e m2te
*+ +
+
, v
c
*
v
a
*a
v
a
v
Aigure !.-. Position des points de contraintes maximales par rapport C l’axe neutre dans une section mixte
•
ire de la section mixte
)oit respectivement et +, les aires de l’acier seul et du béton seul, l’aire de la section mixte est donnée par : "!.16$ n
: est le coefficient d’é7uivalence acier béton
•
Position du centre de gravité de la section mixte )oit
#a, # b et # sont respectivement les centres de gravité de la section d’acier, de la section de béton et de la section mixte.
En partant du fait 7ue le moment stati7ue de la section mixte par rapport C l’axe (ori[ontal passant par le centre de gravité # de la section mixte et appartenant au plan de ladite section est nul, on obtient : "!.1$ •
9nertie de la section mixte )oit 9a et 9 b les inerties respectives des sections d’acier et de béton, l’inertie 9 de la section mixte est donnée par :
"!.14$ +ras de levier z C considérer dans le calcul de l’effort de glissement longitudinal "
•
$ tendant C séparer l’acier du béton. )oit ) b le moment stati7ue de l’aire de béton par rapport C l’axe (ori[ontal passant par le centre de gravité # de la section mixte, on a :
"!.1-$
II.$.$.$ C!nt)antes n!)males dans la :!ut)e m2te •
2ontrainte normale due au moment fléc(issant
0ans le béton :
0ans l’acier :
"!.!3$ "!.!1$
2ontrainte normale due au retrait Le retrait est le p(énom*ne 7ui nécessite d’Jtre considéré et étudié •
minutieusement dans les constructions mixtes.
0ans le béton :
"!.!!$
0ans l’acier :
"!.!&$
Yr : est le raccourcissement du béton y :
est le bras de levier compté C partir du point de fluage et de retrait nul \ o n a :
"!.!>$
II.$.$.% C!nt)antes tangentes dans la :!ut)e m2te
•
#lissement C la onction acierbéton L’effort tendant, par unité de longueur C faire glisser le béton par rapport C l’acier et au7uel doivent résister les connecteurs vaut : "!.!?$
•
2isaillement de l’me Le cisaillement de l’me est donné par la formule :
"!.!6$
( : est la (auteur de l’me e : l’épaisseur de l’me O : l’effort tranc(ant
II.% Ent)et!ses "4#
Les entretoises ont été calculées en isostati7ue. Pour la transmission des c(arges, on découpe la dalle en une infinité de lani*res parall*les aux poutres principales et on consid*re 7u’une c(arge appli7uée sur un panneau se transmet sans diffusion aux deux entretoises adacentes. Le calcul est le mJme 7ue celui des planc(ers de btiment lors7ue ] 3,> "les entretoises représentent les grands cItés$.
