Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
Verificar experimentalmente experimentalmente las leyes de Kirchoff. Kirchoff. Aplicar las Leyes de Kirchoff a circuitos combinados.
El físico Alemán Gustav Robert Kirchoff, hace mas de 100 años enunció dos leyes que empleamos a menudo en la resolución de circuitos combinados como el de la figura 1. Antes de la definición y aplicación de estas leyes es necesario presentar los siguientes s iguientes conceptos: Nudo.Punto donde se unen tres o mas conductores, en consecuencia, es una punto de convergencia de tres o mas intensidades de la corriente. En la figura, son nudos los puntos b y e. Malla.Trayectoria cerrada de un circuito. En la figura 1, son mallas las trayectorias cerradas abefa y bcdeb. Primera Ley de Kirchoff: Ley de los nudos. Constituye la aplicación del principio de conservación de la carga, y establece que la suma de las intensidades de corriente que entran en un nudo es igual a la suma de las que salen. n
n
i
i ( entran )
ii ( salen )
i 1
i 1
(1)
Por convenio, se toman como positivas la s corrientes que entran al nudo y como negativas a las que salen. Segunada Ley de Kirchoff: Ley de las Mallas. Es la aplicación del principio de conservación de la Energía, y establece que la suma algebraica de las tensiones aplicadas a una malla es igual a las caidas de tensión de las resistencias de esa malla. n
i 1
V i
n
V
Ri
i 1
Con la Ley de Ohm:
V R iR
(2)
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
n
n
V (iR) i
i 1
i 1
i
(3)
Aplicaciones de las Leyes de Kirchoff.
La aplicación de la Segunda Ley de Kirchoff, ecuación (2), al circuito de la figura 2 resulta: V = V1 + V2 + V3 + V4 (4) Con el fin de verificar la ecuación (4), en el laboratorio se medirá por separado la diferencia de potencial V que suministra la fuente y las caídas de tensión V1, V2, V3 y V4 en cada resistencia.
Resistencia equivalente en Serie.
Con la ley de Ohm, la ecuación (4) resulta: i Req = i R1 + i R2 + i R3 + i R4 = i ( R1 + R2 + R3 + R4 ) La corriente que circula en un circuito en serie es la misma, entonces: Req = R1 + R2 + R3 + R4 (5) Además, volviendo a la ley de Ohm:
V iReq
Req
V i
(6)
Ecuación que muestra que la resistencia equivalente puede también calcularse midiendo la tensión aplicada ala circuito y la corriente que circula por el.
La aplicación de la primera ley de Kirchoff a los nudos a, b y c del circuito de la figura 3 resulta: Nudo a :
i
i
i
1 5
Nudo b :
i5 i2 i6
(8)
Nudo c :
i6
(9)
i
i
3 4
(7)
Sustituyendo (8) y (9) en (7) se obtiene: i = i1 + i2 + i3 + i4 + i5
(10)
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
Para verificar la ecuación (10), en laboratorio se medirá por separado la intensidad de corriente i que ingresa al circuito, y las intensidades de corriente i1, i2, i3 e i4 que circulan por cada resistencia.
De la ley de Ohm:
i
V
i1
Req
;
V 1
i2
R1
;
V 2
i3
R2
;
V 3
i4
R3
;
V 4 R4
Sustituyendo estas en la ecuación (10), y considerando que es una conexión en paralelo: V = V1 + V2 + V3 + V4
1 Req
1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
(11)
Volviendo a la Ley de Ohm: V iReq
Req
V i
(12)
Para resolver el circuito de la figura 4, es decir, hallar las corrientes que circulan por cada resistencia, es necesario aplicar las leyes de Kirchoff del siguiente modo: Nudo a: Malla I: Malla II:
i1 i2 i3
V i1 R1 i3 R3
(13)
(14)
0 i2 R2 i2 R4 i3 R3
(15)
De la ecuación (13): i3 = i1 – i2
(16)
Sustituyendo (16) en (14) y (15), y resolviendo para las corrientes i1, i2 se tiene:
i1
i2
V ( R2
R3 R4 )
( R1 R3 )( R2 R3 R4 ) R3
2
(17)
(18)
VR3 ( R1 R3 )( R2 R3 R4 ) R3
2
Estas ecuaciones permiten calcular las corrientes del circuito en función de la tensión V suministrada por la fuente y las resistencias R1, R2, R3 y R4.
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
Por otro lado, tomando en cuenta que las resistencias R2 y R4 están en serie y a su vez en paralelo con R3 y todo este conjunto en serie con R1, la resistencia equivalente del circuito está dad por: 1
1 1 Req R1 R R R 2 4 3 (19) Finalmente, la resistencia equivalente de la combinación serie también calcularse aplicando la ley de Ohm a todo el circuito. V iReq
Req
–
paralelo que estamos tratando, puede
V i
(20)
Análisis de Errores. Error en la medida de la Resistencia Equivalente.-
Req
V i
Por propagación de errores:
E Re q Req
Ev V
E i
(21)
En laboratorio se han medido:
V V Ev ;
i i Ei
Error en las medidas del circuito en Serie. V = V1 + V2 + V3 + V4
(22)
Del laboratorio:
V 1 V 1 Ev1 ; V 2 V 1 Ev2
;
V 3 V 3 Ev3
Estas expresiones en la ecuación (22):
Vi (V 1 V 2 V 3 V 4 ) ( Ev1 Ev2 Ev3 Ev4 ) Si las medidas se efectuaron con el mismo instrumento:
; V 4 V 4 Ev4
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
Ev1 = Ev2 = Ev3 = Ev4 = Ev Luego:
V (V 1 V 2 V 3 V 4 ) (4 E V )
(23)
Error en las medidas del circuito en paralelo.i = i1 + i2 + i3 +i4
(24)
Del laboratorio:
i1 i1 Ei1 ;
i2 i 1 Ei2
;
i3 i3 Ei3
;
i4 i4 Ei4
Estas expresiones en la ecuación (24):
i (i1 i2 i3 i4 ) ( Ei1 Ei2 Ei3 Ei4 ) Si las medidas fueron hechas con el mismo instrumento: Ei1 = Ei2 = Ei3 = Ei4 = Ei Luego:
i (i1 i2 i3 i4 ) (4 E i )
Tablero de resistencias.
Cables de conexión
(25)
Voltímetro
Amperímetro
Tester
Fuente de voltaje.
Mediante el código de colores, determinamos el valor de cada resistencia y comparamos con el que proporciono el tester. Anotamos el valor con su respectivo error.
Armamos el circuito de la figura, pedimos la autorización del docente o ayudante antes de encender la fuente de voltaje.
Medimos las intensidades de corriente I, I1, I2, I3, I4 con sus respectivos errores colocando el amperímetro en las posiciones mostradas en la figura.
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
Medimos el voltaje que entrega la fuente con su respectivo error.
Conectamos el circuito de la figura, luego pedimos la autorización del docente para encender la fuente.
Medimos el voltaje que entrega la fuente y las caídas de tensión en cada resistencia colocando el voltímetro en Las distintas posiciones como se muestra en la figura.
Medimos la intensidad de corriente que se suministra al circuito con su respectivo error.
d.d.p. suministrada por la fuente :
Intensidad de corriente suministrada
:
Resistencia equivalente
:
(tester)
R1
0,449
0,309 0.01
R2
0,0175
0,0116 0.01
R3
0,548
0,380 0.01
R4
2,24
5,00 0.01
d.d.p. suministrada por la fuente :
Intensidad de corriente suministrada
:
Resistencia equivalente
:
(tester)
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
R1
0,449
1 0.1
R2
0,0175
0,9 0.1
R3
0,548
1,1 0.1
R4
2,24
8,3 0.1
Circuito combinado.
d.d.p. suministrada por la fuente :
Intensidad de corriente suministrada
:
Resistencia equivalente
:
(tester)
R1
0,449
0,485 0.1
R2
0,0175
0,015 0.1
R3
0,548
0,003 0.1
R4
2,24
0.002 0.1
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
V = i Req = V1 + V2 + V3+ V 4 = i ( R1 + R2 + R3 + R4 ) Para el caso de nuestro experimento, se tiene: i = 1,9 mA V1= i R1 = 0,309V V2= i R2 = 0, 0118 V V3= i R3 = 0,380V
V 4 =i R4 =5V Entonces, reemplazando en la fórmula: V = (0,309+0,0118+0,380+5)V Si se compara este valor obtenido por la Ley de Kirchoff con el obtenido mediante medición directa con el tester ( ) ; se puede observar un error prácticamente despreciable, como se muestra a continuación: Hallamos primero la relación porcentual:
Re l .
V real Videal
100%
5,64 V 5,7 V
100% 98,94%
Luego el error porcentual será: Ep = 100% - Rel.
Ep = 100% - 98,94% Ep = 0,33%
Si referimos este error a la cantidad ideal hallada por la Ley de Kirchoff, diríamos entonces que se tiene un 0,33% de exceso con relaci{on a la medida confiable o real (hecha con un instrumento de precisión como el tester). Este error como ya se dijo es prácticamente despreciable dentro de los límites estándar manejados en laboratorio.
Req = R1 + R2 + R3+ R4
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
Para el caso del experimeto realizado:
R1 = 0,449K 0.01 K R2 = 17,5 0,01 R3 = 0,548 K 0,01 K
R4 =2,24 K 0,01 K Calculando Req:
3
0,449 + 17,5 e + 0,548+2,24 K
3,25 K Como todas las medidas se hicieron con el mismo instrumento, el error de Req se calcula así:
(R1 + R2 + R3) (3ER) Donde: 3ER Para nuestr caso: 0.01 K Entonces Req será:
0,03 K
Req
V i
Para nuestro experimento: V = 5,7 V 0,01V i = 1,9 mA 0,1 mA
Calculando Req:
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
Req
5,7 V
Req = 3 K
1,9 mA
Y su error vendrá dado por:
E Re q
R e q
Ev
V
Ei i
Calculando el error se tendrá:
EReq 3 K
0,01V 5,7 V
0,1 mA 1,9 mA
EReq = 0,163 K
i4 Para el caso de nuestro experimento, se tiene: i 1=
1 mA
i 2=
0,9 mA
i 3=
1,1 mA
i4 =8,3mA Entonces, reemplazando en la fórmula:
1 mA + 0,9 mA + 1,1 mA+8,3mA
11,3 mA Comparando con la cantidad medida directamente con el tester (23,6 mA) y sacando el correspondiente error, se puede observar que el mismo es, como en el anterior caso muy pequeño, haciéndose prácticamente despreciable:
Re l .
ireal iideal
100%
11,3 mA 11,4 mA
100% 99,12%
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
Ep = 100% - Rel.
Ep = 100% - 99,12%
Ep = 0,877% Refiriéndonos a la magnitud hallada analíticamente, se infiere un error del 0,29 % por defecto. El cual como ya ha sido expuesto es despreciable.
1 Req
1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
Para el caso del experimento realizado: R1 = 0,449K 0.01 K
R3 = 0,548 K 0,01 K
R4 =2,24 K 0,01 K
R2 = 17,5 0,01
Calculando Req:
1 Req
1 0,449 K
1 17 ,5
1 0,548 K
1 2,24 K
0,017 K
El error vendrá dado por:
E R1
EReq Req
R1
E R 2 R2
E R 3 R3
E R 4
R4
El error será:
0,01 K 0,01 K 0,01 K 0,01 K 0,449 K 17 0,548 K 2,24 K
EReq 0,017 K
EReq = 0.01 K
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
Req
V i
Para nuestro experimento:
V = 9,00 V 0,01V i = 11,3 mA 0,1 mA
Calculando Req: Req
9,00 V 11,3 mA
Req = 0,796 K
Y su error vendrá dado por:
E Re q
R e q
Ev V
Ei i
Calculando el error se tendrá: 0,01V
EReq 0,017 K
9,00 V
0,1 mA
11,3 mA
EReq = 0,00017K
Se tiene primeramente:
i1 i2
V ( R2 R3 ) ( R1 R3 )( R2 R3 ) R3
2
VR3 ( R1 R3 )( R2 R3 ) R3
2
Seguidamente calculamos:
i1
9,02 V (1,78 K 0,61 K ) ( 2,18 K 0,61 K )(1,78 K 0,61 K ) 0,61 K
2
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
3,42 mA Y también calculamos:
i2
9,02 V 0,61 K (2,18 K 0,61 K )(1,78 K 0,61 K ) 0,61 K
2
0,87 mA Una vez calculadas i 1 e i 2 se procede al reemplazo en la ecuación (16):
3,42 mA – 0,87 mA 2,55 mA
1
3,4 mA
3,42 mA
2
0,9 mA
0,87 mA
3
2,5 mA
2,55 mA
Se observa claramente una diferencia casi mínima en todos los casos. Esto dice de un buen trabajo en laboratorio y una buena toma de medidas. También se puede acotar que los buenos resultados son también una consecuencia de la familiarización con el equipo de laboratorio.
1 1 Req R1 R3 R2 Haciendo el cálculo correspondiente:
1
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
1 1 Req 2,18 K 0 , 61 K 1 , 78 K
1
2,63 K Luego, por diferenciación logarítmica, el error vendrá dado por:
E R3 E Re q
2
E R1
E R 2
R R2 3 1 1 R1 R3 R2
2
Y el error será: 0,02 K
Req
V i
Para nuestro experimento: 9,02 V 0,01V 3,4 mA 0,1 mA Calculando Req:
Req
9,02V
2,65 K
3,4mA
Y su error vendrá dado por:
E Re q
R e q
Ev V
Ei i
Calculando el error se tendrá:
E Re q 2,65 K
0,01V 9,02V
0,1mA 3,4mA
0,08 K
Se tomara como ecuación base:
Laboratorio de Fis - 102
Leyes De Kirchoff
i R
Primero calculamos la potencia para cada resistencia: (3,4 mA)2 * 2,18 K (0,9 mA)2 * 1,78 K (2,5 mA)2 * 0,61 K Ahora se calcula la potencia total: PT = P1 + P2 + P3 0,03 W
Al final de la practica y analizando todo lo sucedido durante esta, concluimos:
Se pudo verificar exitosamente las leyes de Kirchoff, ya que los valores obtenidos, tanto teórica como experimentalmente, de las intensidades, resistencias, potencia, etc. se asemejan bastante unos de otros, y queda la satisfacción de mencionar que se realizo un exitoso laboratorio.
Fue interesante el armado de los diferentes sistemas y además también utilizamos las leyes de Ohm
A pesar de todo el laboratorio fue un poco largo, pero eso no nos debe importar pues la ciencia necesita de mucha paciencia.
Se lograron alcanzar todos los objetivos planteados al principio de laboratorio incluso nos alcanzó el tiempo no solo para verificar las dos leyes de Kirchoff sino también para realizar la parte aplicativa propuesta en la guía.
JHON H. WATT, “Manual del operador electricista” REVERTE “Manual de TESTER “ HUISAKA HINKI
WHILE, ESTREETER , Física Electricidad, Mac Graw Hill.
FEBO FLORES “Guía
de Laboratorio de Física, Fac. de ingeniería ”
