UNASAM
FIC
PRÁCTICA CALIFICADA
1.
La plataforma A de 50 kg está unida a los resortes B y D de constante k = 1900 N/m cada uno. Se desea que la frecuencia de vibración de la plataforma no varíe cuando sobre ella se deposita un bloque de 40 kg , por lo que se añade un tercer muelle C. Determine la constante del resorte C.
2.
Un bloque de 25 kg está soportado por un cable, que se enrolla sobre un disco circular de 35 kg y 0,5 m de radio y está sujeto a un resorte como se muestra en la figura. Se tira el bloque hacia abajo 0,2 m desde su posición de equilibrio y se suelta. Determine: (a) la ecuación diferencial para el movimiento del bloque, (b) el período natural de la vibración y (c) la velocidad máxima del bloque.
3.
DE
Una barra uniforme AB de 0,75 kg de masa está articulada en A y unida a dos resortes, ambos de constante elásticas k = 300 N /m. /m. Halle: (a) la masa m del bloque C para que el período de las pequeñas pequeñas oscilaciones sea T = 0,4 s , (b) Si el extremo se desplaza y se suelta desde el reposo, halle la velocidad 40 mm máxima del bloque C.
1
FISICA II
Hz 17/07/2009
OLVG
4.
Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento c para el cual el sistema está críticamente amortiguado si la constante de cada resorte es k = 70 kN/m y m = 90 kg
5.
El movimiento del cuerpo puntual E de la figura es armónico y lo define la ecuación y E =0,15 sen10t, donde y E y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. La constante de R 1 es k 1 = 150 N/m y la constante de R 2 es k 2 = 250 N/m. Se considera despreciable despreciable la masa de las barras que soportan al cuerpo W el cual tiene 15 kg de masa. Halle la solución estable (permanente) que describe el movimiento del sistema. (Sugerencia considere al sistema formado por las dos barras más el cuerpo W y hágalo girar en sentido horario) horario)
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FIC
PRÁCTICA CALIFICADA
DE
PROBLEMA 01.
FISICA II
Hz 17/07/2009
La frecuencia será
Datos e incógnitas
m A f
50kg ; k
OLVG
3800
1900 N / m; mx
n
40kg ; k x ???
8, 72
50
1,39hz
f1
no var ía
2 f 1
Cuando se coloca m x y k C, se tiene
En la figura se muestra el DCL del sistema cuando se añade el resorte y el bloque, en estado de equilibrio
(m A
mx ) y ( k1
k2 ) y
kC
(3800 kC ) y (40 50) y (3800 kC ) y 90 y
0 0
0
En este caso la frecuencia es
3800 k C n
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
1
f 2 (m A
mx ) g
(k1
kC
s
k 2 s )
s
3800 k C
2
0
F y
2 f 2
90 90
Como las frecuencias son iguales, se tiene
0
f1
En la figura se muestra el DCL del sistema para un desplazamiento y a partir de la posición de equilibrio.
1,39
1
f 2 3800 k C
2
90
Resolviendo la ecuación se tiene
kC
3040 N / m
Rta
PROBLEMA 02 Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
F y (m A
mx ) g (k1
mA
mx y
k2 )( y
kC
En la figura se muestra el DCL del bloque en equilibrio
s
)
(mA
mx ) y
Remplazando la ecuación (1) en (2) se tiene
F y (k1 k C (m A
mA k2 ) y
mx y (m A
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
mx ) y
mx ) y (k1 k C k 2 ) y
0
F y m B g T 0
Cuando todavía no se coloca m x y k C, la ecuación anterior se escribe
0 (1)
0
En la figura se muestra el DCL del disco en equilibrio estático
m A y (k1
k2 ) y
3800 y 40 y
0 0
2
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PRÁCTICA CALIFICADA
DE
FISICA II
Hz 17/07/2009
OLVG
Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
s
T0
(R )
k
k
k
kxe
s
0
m D R 2
mB y
m D R kxe 2
m B y
(6)
(2)
0
De la cinemática de los desplazamientos se tiene
s
xe
xe / R
R
x / R e
0
s
m B g
xe )
s
Remplazando la ecuación (3) en (6), resulta
Remplazando (1) en (2) resulta
m B g
k(
0
M O T0 ( R ) k
m B g
(mD R 2 / 2) mB y R
y/R (7)
y/R
(3) Al remplazar la ecuación (7) en (6) se tiene
Bloque desplazado una distancia y a partir de la posición de equilibrio
m D R
m B y
2
m B y (2m B
( y / R ) ky
m D
y ky 0 2 mD ) y 2ky 0
900 y 85 y Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
m B g T
mB y
0
0
(8)
La frecuencia circular será
(4)
900 n
En la figura se muestra el DCL del disco cuando gira un ángulo θ en sentido horario
10,588
85
2 T
De donde se obtiene el período
T
1,93s
La solución de la ecuación diferencial es
x
Asen(
n
t
)
Asen( 10, 588t
La velocidad será Ecuación de movimiento de rotación
M O T ( R) k ( T
k(
s
xe )
s
x
I O xe ) R I O R
A 10, 588cos( 10, 588t
Remplazando las condiciones iniciales resulta
I O
0,2 Asen 0 A 10, 588 cos
(5)
3
)
)
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PRÁCTICA CALIFICADA
DE
FISICA II
Hz 17/07/2009
M A k1 (
6,5cos( 10, 588t
s1
mC g (0,8) m AB (0, 55) k (
y e )(0,5cos )
I A
y
mC g (0,8) mAB (0, 55)
/ 2)
s2
ye )(0,5cos )
Para ángulos pequeños
Remplazado estos valores en la velocidad se tiene
x
I A
mC g (0,8cos ) m AB (0,55cos ) k 2 (
2 0,2
A
OLVG
k(
s1
,
s1 s2
I A
2 ye )(0,5)
s2
I A (2)
)(0, 55) 0,5k (2 y e )
La velocidad máxima será
vmax
xmax
2 10,588
Remplazando la ecuación (1) en (2) resulta
0,65m / s
I A
ye
Datos e incógnitas
0, 75kg ; k1
(a)mC
(2)
De la gráfica se tiene
PROBLEMA 03.
m AB
0
kye
??;T
k2
300 N / m
0, 4s ;(b )vmax
0,5sen
0,5
(3)
El momento de inercia está dado por
?? I A
I var illa
Icollar
En la figura se muestra el DCL de la barra más el bloque m.
1
I A
3
1 3
mAB L2
(0,75)(1,1) 2
mC (0,8m) 2
mC (0,8) 2
0,3025 mC (0,8)2
I A
(4)
Remplazando la ecuación (3) (4) en (2) resulta
0, 64mC 0,3025 k (0,5 ) Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
150
M A mC g (0,8)
mAB (0,55) k2
(0,64mC 0,3025)
0 s2
mC g (0,8) mAB (0,55) k ( s 2
(0,5) k1 s1
s1
)(0,5)
(0,5)
0
0
(1)
0
0
La frecuencia angular viene dada por
150 n
En la figura se muestra el DCL del sistema barra más bloque cuando se ha desplazado un ángulo θ en sentido anti horario.
2
0, 64mC 0, 3025
T
El período es
T
2
(0, 64mC
0, 3025)
150
0, 4
La masa se obtiene despejando de la ecuación anterior
mC
0,477 kg
Remplazando este valor en la frecuencia circular
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación a la barra se tiene. 4
UNASAM
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PRÁCTICA CALIFICADA
FISICA II
0,64(0,477) 0,3025
sen(
0
n
n
cos(
)
t n
OLVG
15, 7rad / s
F y mg 3k (
Aplicando las condiciones iniciales resulta
0
Hz 17/07/2009
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
150 n
DE
0, 036 )
t
0
0
0
sen
n
cos
my y ) 2cy
s
my
Remplazando la ecuación (1) en (2) se tiene
2cy 3ky my
0
2cy 3(70000) y 90 y 2cy 90 y
2 0,036
0
2c
y
La velocidad angular máxima será
90
ceff
0,5652m / s
2 1(2333,3)
El amortiguamiento crítico ocurre cuando
r 0,5652(0,8) mas C vmax
0
2c / 9 0
2 meff k eff
La velocidad lineal máxima es
vmax
2333, 3 y
0
La razón de amortiguamiento está dada por
0,036(15,7)cos 15,7t max
y
210000 y
0
1
0,45m / s c
PROBLEM A 04
c / 90 1(2333,3)
4347,4 N .s / m
En la figura se muestra el DCL del bloque m en equilibrio PROBLEM A 05
En la figura se muestra se muestra el DCL del sistema girado un ángulo θ respecto a la posición de equilibrio
Aplicando la ecuación de equilibrio se tiene
F y 3k
s
0 mg
En la figura se muestra el DCL del bloque m en movimiento, para una posición y
Las ecuaciones de movimiento serán
M A k2 (
2
y E
I A
ye 2 )(1, 2 cos ) k1 ( mg (1, 2sen )
5
1
ye1 )(0, 6cos )
I A
UNASAM
k2 (
2
y E
FIC
PRÁCTICA CALIFICADA
ye 2 )(1, 2) k1 (
ye1 )(0, 6)
1
mg(1, 2 )
DE
I A (1)
En el equilibrio, θ = 0°, y1e = 0, y2e = 0, y y E = 0, entonces se tiene
k2 (
2
)(1, 2) k 1 ( 1)(0, 6)
0
(2)
Remplazando al ecuación (2) en (1) resulta
I A 1, 2k2 ye 2
0, 6k1 ye1 1, 2mg
1, 2k2 y E
I A 1, 2k2 (1, 2 ) 0, 6k1 (0, 6 ) 1, 2 mg
1, 2 k2 yE
m(1, 2) 2 1, 2 2 k2
0, 6 2 k1
1, 2 mg
1, 2 k 2 y E
m(1, 2) 2 (1, 2 2 k2
0, 6 2 k1 1, 2 mg)
1, 2 k2 y E
Remplazando los valores del enunciando resulta
21, 6 590, 4
45 sen10t
(3)
La solución estable será
sen10t
m
10
m
cos10t
(4)
100 m sen10t
Al remplazar las ecuaciones (4) en (3), resulta
21, 6( 100 m sen10t ) 590, 4( 2160
m m
590, 4
m
sen10t )
m
45sen10t
45
0,028
Por tanto la solución estable será
0, 028 sen 10t 0, 028 sen 10t
6
FISICA II
Hz 17/07/2009
OLVG
