Universidad Alas Peruanas
Estadística y Probabilidades
Escuela Profesional de Ingeniería Industrial, Sistemas y Electrónica
III Ciclo / 2009-2
EJERCICIOS RESUELTOS RESUELTOS DE COMBI NACIONES Y PERMUTACIONES 1.
¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los números 2, 3, 5, 7, 8, 9?
2.
Cinco personas entran en un vagón de ferrocarril en que hay 7 asientos. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse?
3.
¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los números 1, 3, 5, 6, 8, 0?¿cuantos de ellos son pares?
4.
Si tenemos la siguiente placa de de auto, con 2 letras y 4 números, de las cuales se pueden repetir. ¿Cuántas patentes se pueden formar?. (Considere como 27 el número de letras del abecedario.)
5.
Si se quiere formar el siguiente comité con 1 presidente, 2 secretarios y 3 tesoreros, para lo cual se tienen 32 postulantes para los cargos mencionados anteriormente. ¿Cuántos comités se pueden formar? 32
C1
31
x C2
29
C3
x
6.
¿De cuántas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses, y 2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?
7.
a) ¿Cuántas números distintos pueden formarse tomando cuatro dígitos 3, 4, 7, 5, 8, 1, sin repetición? 6
5
4
3
b) ¿Cuántas combinaciones distintas pueden formarse tomando cuatro dígitos 3, 4, 7, 5, 8, 1? 6
C4 8.
Se tienen cuatro banderas distintas para hacer señales, las cuales se muestran en un asta vertical.¿Cuántas señales pueden hacerse, si cada señal puede tener 1, 2, 3,4 o 5 banderas?
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R: 325 señales.( Es una pemutación de 1 sobre 5 más una permutación de 2 sobre 5 más una permutación de 3 sobre 5 más una permutación de 4 sobre 5 y más una permutación de 5 sobre 5)
9.
¿Cuántas señales distintas, cada una de 6 banderas colgadas en una línea vertical pueden formarse con 4 banderas rojas y 2 azules?.
R: 15 señales.(Es una permutación con repetición de 4, 2 sobre 6). 10.
Se desea formar una comisión de 5 alumnos, 3 de primer año y 2 de segundo año. Si se presentan 7 voluntarios de primero pero solo 3 de segundo. ¿De cuántas maneras puede formarse esta comisión?.
R: De 105 maneras.(La combinatoria de 3 sobre 7 por la combinatoria de 2 sobre 3)
11.
Encontrar el numero de palabras que se pueden formar con todas las letras de MARCELINO
R: 9! = 362880 12.
¿Cuántos números diferentes de 5 cifras se pueden escribir con los dígitos 1,2,3,4,5?. ¿Cuántos empiezan con 1?
13.
¿De cuántas maneras se pueden ordenar 7 personas en una fila?
R: 7! = 5040 14.
Se tienen 12 cadetes, 5 de la 1ª compañía, 4 de la 2ª y 3 de la 3ª. ¿De cuántas maneras pueden alinearse los cadetes, por compañía?
R: De 103680 15.
Si entre las ciudades A y B existen 5 caminos ¿De cuántas maneras se puede ir y volver da A a B?¿De cuántas maneras se va y vuelve pero por caminos distintos?
R: De 25 maneras y de 20. 16.
¿Cuántas combinaciones de 3 cifras, puede hacerse con los dígitos impares?
R: 10 17.
De una empresa se seleccionan 7 trabajadores, de un grupo de 12 ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar?
R: 792 18.
Un D.T. dispone de 5 defensas, 6 delanteros, 4 centros. ¿Cuántos equipos puede formar, si cada equipo es de 2 defensas, 2 delanteros y 1 centro?
R: 600
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Encontrar el numero de palabras que se pueden formar con todas las letras de ALGEBRA, pero que la L siempre esté primero.
R: 360 Ayuda:son 7 letras pero como la L debe ir siempre primero me quedan 6 asi tengo 6! , pero como tengo 2 A ellas se pueden mover y queda la misma palabra , luego se debe dividir 6! por 2!
B A T ER ER I A I I 1.Se cuenta con 12 analistas de sistemas y se desea asignar tres al trabajo 1, cuatro al trabajo 2 y cinco al trabajo 3. ¿De cuántas formas distintas se puede efectuar esta asignación? 12 P3, 4, 5
2.-
12 !
=
Se contrata un servicio de calificación de computadoras para encontrar las tres mejores marcas de monitores EGA. Se incluirá un total de diez marcas en el estudio. ¿De cuántas formas distintas puede el servicio de calificación llegar al ordenamiento final? V310
3.-
720
8! 5!
(8
−
=
5) !
56
Un mecanismo electrónico de control requiere de 5 chips de memoria iguales. ¿De cuántas maneras puede ensamblarse este mecanismo colocando los cinco chips en las cinco posiciones dentro del controlador? =
5!
=
120
Un conferencista dispone de ocho temas sobre los que puede disertar durante 30 minutos. Se le pide que presente una serie de cinco conferencias de 30 minutos a un grupo de personas. ¿Entre cuántas secuencias de conferencias puede escoger?
A 58 6.-
=
7!
=
P5
5.-
10 !
=
Una tarjeta de circuito tiene ocho posiciones diferentes en las que puede colocarse un componente. Si se colocan cinco componentes idénticos sobre la tarjeta, ¿cuántos diseños distintos pueden obtenerse? 8 C5
4.-
27 720
=
3!× 4!× 5!
8!
=
=
(8 −5 ) !
8!
=
3!
6720
Se inspecciona un lote de 140 chips mediante la selección de una muestra de cinco de ellos. Suponga que 10 chips no cumplen con los requerimientos del cliente. a)
¿Cuál es el número de muestras distintas posibles? 140
C5
b)
140 ! 5 ! 135 !
=
416 965 528
¿Cuántas muestras de cinco contienen exactamente un chip que no cumple con los requerimientos? 130
C4
c)
=
10
x C1
=
11358 880
×
10
=
113 588 800
¿Cuántas muestras de cinco contienen al menos un chip que no cumple con los requerimientos?
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C130 C10 4 1
7.-
+
C130 C10 3 2
C130 C10 2 3
+
=
8!
=
4!
=
=
130 721752
24
95 040
=
Si los cinco chips que se colocan sobre la tarjeta son del mismo tipo, es el número de diseños distintos posibles? C12 5
=
¿cuál
792
Un byte es una secuencia de ocho bits, y cada bit es 0 o 1. a) ¿Cuál es el número de bytes distintos? 2 b)
2
2
2
2
2
2
2
=
28
=
256
Si el primer bit del byte sirve para verificar la paridad, esto es, el primer bit depende de los siete restantes, ¿cuál es el número de bytes distintos que pueden obtenerse? V27
=
7!
=
5!
42
¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar dos fichas rojas, dos verdes y tres azules? P27 , 2 , 3
12.-
C130 C10 0 5
En el diseño de una tarjeta de circuito impreso, existen 12 posiciones diferentes donde pueden colocarse chips . a) Si se colocan cinco tipos diferentes de chips sobre la tarjeta, ¿cuál es el número de diseños distintos posibles?
b)
11.-
+
En una encuesta se recomienda a un consumidor que ordene sus preferencias por cuatro marcas de gaseosa. ¿Cuántas ordenaciones puede resultar?
V512
10.-
C130 C10 1 4
6 720
=
3!
P4 9.-
+
¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar ocho personas en una banca con capacidad para cinco personas? V58
8.-
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7!
=
2!
×
2!
= ×
3!
210
El diseño de un sistema de comunicación considera las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos prefijos de tres dígitos de teléfono pueden crearse para representar un área geográfica en particular (código de área) con los dígitos del 0 al 9? 10 b)
10
=
1000
Al igual que en el inciso a) , ¿cuántos prefijos de tres dígitos pueden crearse de modo que el primer dígito no sea 0 ni 1, y el segundo sea 0 o 1? 8
c)
10
2
10
=
160
¿Cuál es el número de prefijos de tres dígitos en los que ningún dígito aparece más de una vez en cada prefijo?
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10
13.-
9
8
=
720
Un grupo de personas son clasificadas de acuerdo al sexo, estado civil (soltero, casado, viudo) y profesión. Si hay 30 profesionales, ¿de cuántas maneras se puede hacer esta clasificación? 2 x 3 x 30
14.-
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180
=
Alrededor de una torta de cumpleaños, se ubican seis vasos diferentes, ¿de cuántas formas pueden ser ubicados? Pc = ( 6 – 1) ! = 5 ! = 120
15.-
¿Cuántos números enteros y desiguales mayores que 10 y menores que 100 se pueden formar con las ocho primeras cifras no entrando repetida ninguna de ellas? 11 V28
16.-
8!
=
=
2!
70 × 6
×
5 C6 4 C4
+
10
15
+
×
=
6!
28
×
1 = 420
5
×
C6 C5 3 5
+
20
+
×
1
=
155
¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER? 6!
=
=
3 !× 2 !×1!
60
¿En cuántas formas puede un sindicato local elegir entre sus sus 25 25 miembros miembros a un presidente y a un secretario? A 25 2
=
25 ! 23 !
=
600
Una placa de automóvil consta de dos letras distintas seguidas de tres dígitos de los cuales el primero no es cero. ¿Cuántas placas diferentes pueden formarse? 28
22.-
8!
=
2 ! (8−2) !
P36, 2 ,1
21.-
56
=
6!
De un conjunto de seis hombres y cinco mujeres, ¿cuántos comités de ocho miembros se puede formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos tres mujeres?
6
20.-
99
De cuantas maneras diferentes puede un padre dividir 8 regalos entre sus 3 hijos si el mayor debe recibir 4 y los menores 2 cada uno.
6 C5 C5 3
19.-
<
8!
=
4 2 C8 4 C2 C2
18.-
x
¿Cuántas rectas diferentes se pueden formar uniendo los vértices de un octógono?
C 82 17.-
<
27
9
10
10
= 680 400
Se va a presentar 6 conferencistas en una reunión. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario los seis conferencistas en fila? P66
=
6!
=
720
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23.-
En un proceso de manufactura hay seis operaciones distintas, que se indican con A, B, C, D, E y F. En general no existe una secuencia fija para las operaciones, con la salvedad de que A debe efectuarse al principio y F al final. ¿Cuántas secuencias diferentes pueden ocurrir? 1
24.-
4
3
3
1
= 24
5
4
= 240
10 !
=
7!×3!
=
120
¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar a partir de las cifras 1,2,3,4 1,2,3,4 y 5 si es posible repetir cada número? 5
27.-
1
Una prueba de Falso-Verdadero estaba formado por diez preguntas de las cuales 7 eran falsas y 3 verdaderas. Si un estudiante supiera esto pero sus respuestas fueran al azar; ¿cuántas respuestas diferentes podría dar? P710, 3
26.-
2
¿Cuántos almuerzos diferentes son son posibles, si se componen de una sopa, un emparedado, un postre y una bebida y puede elegirse entre cuatro sopas, tres tipos de emparedados, cinco postres y cuatro bebidas? 4
25.-
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5
5
= 125
Utilizando las letras de de la palabra EQUATION, ¿cuántas palabras código con cuatro letras diferentes pueden ser formadas, a) Empezando con T y terminando con N. 1
6
O también: A 62 b)
=
= 30
Empezando y terminando con una consonante. 5
O también: A 32
×
A5 2
=
4
2
= 180
3
2
= 120
CVCC
+ VCCC
180
Sólo con vocales. 5
4
O también: A 54 d)
1
30
3
c)
5
=
120
Con tres consonantes. CCCV 3 × 2 ×1× 5
+ CCVC +
+
3 × 2 × 5 ×1
O también: ( P3
×
A15 ) × 4
=
+
3 × 5 × 2 ×1
120
+
5 × 3 × 2 ×1
=
120
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28.-
¿De cuántas formas pueden sentarse 12 miembros del Consejo de Facultad, alrededor de una mesa circular? c P12
29.-
11 !
=
2
2
=
b)
5!
=
120
63 960
=
Al final al profesor le falta dinero y solo rifa dos premios. ¿A cuánto baja la cantidad de grupos diferentes que pueden ser favorecidos? 1640
=
¿Cuántas listas de 5 socios pueden pueden formarse de un total de 9 que presentaron solicitudes de préstamo, los cuales se otorgan por prioridad o calificación? 9 A5
9!
=
=
4!
15 120
¿Cuántas ensaladas pueden prepararse con lechuga, pepino, tomate, betarraga y zanahoria? C15
+
C5 2
C5 3
+
C5 4
+
+
C5 5
=
31
¿De cuántas formas puede seleccionarse un comité de 3 personas desde 4 matrimonios. a) Si todos son igualmente elegibles. C8 3
b)
8!
=
=
3!×5!
56
Si el comité debe constituirse de dos mujeres y un hombre. 4 C2
36.-
= 288
¿Cuántos tríos diferentes podrían salir favorecidos?
41 A2
35.-
6
En una sección con 41 alumnos, el profesor va a rifar tres premios.
41 A3
34.-
6
Cierta sustancia química se forma mezclando 5 líquidos distintos. Se propone verter un líquido en un estanque y agregar sucesivamente los otros líquidos. Todas las combinaciones posibles se deben probar para establecer cuál da mejor resultado. ¿Cuántas pruebas posibles deben hacerse?
a)
33.-
2520
=
2!
P55
32.-
7!
=
A un producto se le codifica codifica asignándole 3 letras y 2 números (las letras deben ir antes que los números); sólo se podrán emplear las letras A y B y los dígitos del 1 al 6. ¿Cuántos códigos diferentes es posible obtener? 2
31.-
39 916 800
=
Un vendedor de automóviles tiene siete modelos para exhibir en una vitrina, pero ésta sólo tiene espacio para 5 carros. ¿Cuántas muestras puede poner? 7 A5
30.-
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×
C14
=
24
Cuando se lanzó ocho veces una moneda en sucesión, se obtuvo el siguiente resultado: SCCSCSSS. ¿En cuántos otros órdenes podrían haber aparecido?
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P58, 3
37.-
8!
=
=
5!×3!
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56
56
⇒
−
1
=
55
¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con los dígitos del 1 al 9 si: a)
Los números pueden repetirse. 9
b)
10
= 9000
9
8
7
= 4536
El último número ha de ser cero y los números no pueden repetirse. 9
d)
10
Los números no pueden repetirse. 9
c)
10
8
7
1
= 504
10
5
= 4 500
Los números deben ser pares. 9
10
La última cifra puede ser par o cero. e)
Los números deben ser múltiplos de 5. 9
10
10
2
= 1800
La última cifra puede ser 5 ó cero. 38.-
Un examen está formado por tres grupos de preguntas. El grupo A contiene 5 preguntas, el grupo B dos y el grupo C dos. Se va a contestar una pregunta de cada grupo. ¿De cuántos modos diferentes puede una alumna elegir sus respuestas? 5
39.-
2
×
4 C2
=
60
En los laboratorios “Beta” hay 3 plazas vacantes. De un total de 33 solicitudes de empleo, sólo 14 se han considerado aceptables, en base a las entrevistas practicadas por el departamento de personal. ¿De cuántas maneras pueden asignarse las 3 plazas? a)
Si todos los empleos son de la misma categoría C14 3
b)
=
364
Si un empleo es de gerente de ventas, uno es de agente visitador para las ciudades de Trujillo y Chiclayo y otro de agente visitador para las ciudades de Cusco y Arequipa. A14 3
41.-
= 20
En un grupo de cinco hombres y cuatro mujeres ¿de cuántas maneras es posible seleccionar a tres hombres y a dos mujeres? C5 3
40.-
2
=
2184
Se va a conformar un comité de tres miembros compuesto por un representante de los trabajadores, uno de la administración y uno del gobierno. Si hay tres candidatos de los
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trabajadores, dos de la administración y cuatro del gobierno. Determinar cuántos comités diferentes pueden conformarse. 3 42.-
2
4
Hay doce maneras en las cuales un artículo manufacturado puede tener un pequeño defecto y diez maneras en las cuales pueden tener un defecto mayor. a) ¿de cuántas maneras puede ocurrir un defecto menor y uno mayor? C12 1
b)
C6 2
×
b) c)
C6 2
6300
=
C10 3
=
120
×
C10 21
=
90
C10 1
=
10
Ambas baterías defectuosas. ×
¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra INDEPENDENCIA?
P213, 2, 3, 3
13 !
=
=
2!× 2!× 3!× 3!
43 243 200
¿Cuántos números distintos, de cinco cifras, se pueden formar con tres números 1 y dos números 2? P5 2, 3
5!
=
=
2! × 3 !
10
¿De cuántas maneras se pueden repartir 12 libros entre entre tres alumnos de forma que cada uno reciba 4 libros? 12 P4 , 4, 4
48.-
2970
=
Una defectuosa.
C2 2
47.-
C10 2
×
×
C12
46.-
×
Una caja de cartón con 12 baterías para radio contiene dos baterías defectuosas. ¿De cuántas maneras diferentes puede el inspector escoger tres de las baterías y obtener: a) Ninguna batería defectuosa. C2 0
45.-
120
=
Una tienda de artículos electrodomésticos posee en existencia ocho clases de refrigeradoras, seis tipos de lavadoras y seis clases de hornos microondas. ¿En cuántas formas diferentes pueden elegirse dos artículos de cada clase para una barata? C8 2
44.-
C10 1
×
Dos defectos menores y dos defectos mayores. C12 2
43.-
= 24
12 !
=
4!× 4!× 4!
=
C12 4
34 650
×
C8 4
×
C4 4
=
34 650
¿De cuántas maneras diferentes puede ser escrito: a)
a
b)
a
3
4
bc
b
6
6
⇒
⇒
P310, 1, 6 10 P4, 6
=
10 !
=
=
3 !× 1!× 6 ! 10 ! 4! × 6 !
=
210
840
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49.-
Dados diez puntos fijos en un círculo. ¿Cuántos ¿Cuántos polígonos convexos pueden ser formados que tengan vértices escogidos de entre estos puntos? C10 3
50.-
+
C10 4
+
C10 5
+
C10 6
C10 7
+
9!
=
=
+
C10 10
=
968
45
¿Cuántas líneas no pasan por A o B? C8 2
=
28
¿De cuántas formas diferentes puede el director de un laboratorio de cómputo elegir a dos matemáticos entre 7 aspirantes y 3 estadísticos entre 9 candidatos? C7 2
×
C9 3
1764
=
Un comité de cuatro va va a ser seleccionado de un grupo de tres estudiantes de de cuarto año, cuatro de tercero y cinco de segundo. ¿De cuántas maneras puede se hecho si: a) No hay restricciones en la selección. C12 4
b)
c)
495
×
C14
×
C13
120
=
El comité debe tener al menos 3 de segundo año. C5 3
d)
=
El comité debe tener 2 de segundo año, 1 de tercero y 1 de cuarto . C5 2
×
C17
+
C54
C7 0
×
=
75
El comité debe tener por lo menos uno de cuarto. C13
54.-
C10 9
Hay diez puntos en un plano, en una misma línea no hay tres. a) ¿Cuántas líneas forman los puntos?
b)
53.-
+
126
=
5!× 4!
C10 2
52.-
C10 8
+
¿Cuántos grupos diferentes pueden formarse con los signos de la siguiente sucesión: +-+---++-? 9 P5, 4
51.-
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×
C9 3
C3 2
+
×
C9 2
+
C3 3
×
C19 = 369
Hallar los números que se pueden formar con 4 de los 5 dígitos 1,2,3,4,5. a) Si éstos no se pueden repetir. 5 b)
2
5
5
5
= 120
V45
=
120
= 625
Empezando por 2, si los dígitos no se pueden repetir. 1
d)
3
Sí se pueden repetir. 5
c)
4
4
3
2
Terminando en 25, sin repetirse los dígitos.
= 24
V34
=
24
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3
55.-
1
2
10
8
1
1
8
1
6
10
10
10
10
10
9
8
= 72
Escoge indistintamente las diez. C13 10
b)
c)
×
C11 8
=
165
×
C11 9
=
110
Debe responder obligatoriamente a 3 de las 5 primeras. C5 3
e)
286
Debe responder a la primera o la segunda pero no ambas. C12
d)
=
Las dos primeras son obligatorias. C2 2
×
C8 7
=
80
Debe responder por lo menos a 3 de las 5 primeras. 8 5 ≥ 3 : 3 , 4 , 5 ⇒ C5 3 × C7 + C 4
×
C8 6
+
C5 5
×
8 = 276 C5
El gerente de una pequeña planta desea determinar el número de maneras en que puede asignar trabajadores al primer turno. Cuenta con 15 hombres que pueden servir como operadores del equipo de producción, 8 que pueden desempeñarse como personal de mantenimiento y 4 que pueden ser supervisores. Si el turno requiere 6 operadores, 2 trabajadores de mantenimiento y 1 supervisor, ¿de cuántas maneras puede integrarse el primer grupo? C15 6
59.-
=
Un estudiante debe responder diez de trece preguntas en una prueba escrita. ¿Cuántas selecciones podrá hacer si: a)
58.-
V23
= 6
Un testigo de un accidente de tránsito tránsito en el que el causante huyó, le indica al policía que el número de matrícula del automóvil tenía las letras RLH seguidas por tres dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puede recordar los otros dos dígitos pero está seguro de que los tres eran diferentes, hallar el número máximo de registros de automóvil que debe verificar la policía. 1
57.-
1
Un número telefónico tiene diez dígitos que consisten en un código de área (3 dígitos, el primero no es cero ni uno, el segundo es cero o uno), un código de intercambio (3 dígitos, el primero no es cero ni uno, el segundo no es cero ni uno) y un número de línea (4 dígitos, no todos son ceros). ¿Cuántos de tales números con diez dígitos hay? 8
56.-
2
III Ciclo / 2009-2
×
C8 2
×
C14
=
560 560
En una caja se tiene cinco tickets de S/100 cada uno, tres tickets de S/300 cada uno y dos tickets de S/500 cada uno. Se escogen aleatoriamente tres tickets, ¿en cuántas de estas muestras la suma de los precios de los tres tickets es de S/700?
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de 100 : 5
de 300: 3
de 500 : 2
2 de 100 y 1 de 500 C5 2 ×
60.-
ó +
C12
2 de 300 y 1 de 100 5 C3 = 2 × C1
35
Martha, Teresa y Carla vieron huir de un banco en un automóvil a tres hombres justo antes de que sonara una alarma contra robos. A pesar de que todo ocurrió en cuestión de segundos, cuando fueron interrogadas por la policía pudieron darle la siguiente información acerca de la placa del automóvil, que constaba de tres letras seguidas por tres dígitos. Teresa tenía la seguridad que la segunda letra de la placa era una M o una N y que el penúltimo dígito era un 5 o un 8. Carla está segura de que la tercera letra de la placa era una E o una F y que el último dígito era un 4 o un 7. Martha dijo que sólo estaba segura que la primera letra era definitivamente una R. A partir de esta información, ¿cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía? 1
61.-
III Ciclo / 2009-2
2
2
10
2
2
= 160
¿Cuántas palabras código con cuatro letras diferentes pueden ser formadas, si se quiere utilizar las letras de la palabra PROBLEMAS? 9 letras : 3 vocales + 6 consonantes a)
Empezando y terminando con una vocal. 3
b)
7
6
2
= 252
C13
×
C17 × C16 × C12
=
252
Con tres vocales. VVVC + VVCV + VCVV + CVVV 4 ( 3 × 2 × 1 × 6 ) = 144
c)
Empezando con con y terminando con P. 1
d)
7
1
= 42
4
3
= 360
Sólo con consonantes. 6
62.-
6
5
Una empresa dedicada a la venta de computadoras, ofrece cinco modelos diferentes de la marca A, seis modelos diferentes de la marca B y cuatro de la marca C. La facultad ha decidido comprar tres computadoras para el laboratorio 3. Luego de un estudio de mercado, se decidió efectuar la compra en dicha empresa. ¿De cuántas maneras se podrá seleccionar las tres computadoras, si: a) Todas deben ser de la misma marca. 5 A + 6B + 4C = 15 C5 3
b)
C6 3
+
+
4 C3
=
34
Deben corresponder a dos marcas diferentes. A 2B C15
×
C6 2
+ +
C5 2
2A B + ×
C16
+
C15
A 2C + ×
4 5 C2 + C2
2A C + ×
C14
+
B 2C + C16
×
4 C2
+
2B C C6 2
×
C14
=
301
Universidad Alas Peruanas
Estadística y Probabilidades
Escuela Profesional de Ingeniería Industrial, Sistemas y Electrónica
c)
Las tres deben ser de marcas diferentes. C15
63.-
III Ciclo / 2009-2
×
C16
×
C14
Se quiere formar comisiones integradas por un médico y dos ingenieros de un grupo de cuatro médicos y seis ingenieros. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá nombrar dicha comisión si cierto médico se rehúsa integrar la comisión si está el ingeniero A o el ingeniero B presente en dicha comisión? está el médico (no está ni A ni B : 6 – 2 = 4 C1 1
64.-
120
=
ó
4 C2
×
no está el médico C13
+
×
C6 2
=
51
Carlos y Javier acuden a un restaurante que ofrece un menú con con diez comidas diferentes. Si cada uno desea pedir una comida diferente a lo que pide el otro. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacer el pedido? 10
9
= 90
Otra forma: C10 1
65.-
×
C19
=
C5 2
+
+
C5 3
+
C5 4
+
C5 5
90
31
=
Al salir de la tienda, Patricia y Mariela Mariela vieron cómo cómo dos hombres huían de una joyería, en la cual sonaba la alarma. Patricia está segura que el último dígito de la patente del auto en que huyeron los asaltantes era un 5 ó un 6, y el segundo era un 3, mientras Mariela asevera que la primera letra era una O o una D, y que el primer dígito era un 1 ó un 7. ¿Cuántas patentes cumplen estas restricciones, suponiendo cuatro letras y cinco dígitos? 4 letras 2
67.-
=
La profesora de Estadística está pensando asignar trabajos individuales o grupales a los alumnos del ISI 33: Jorge, Claudia, Juan, Pedro Pedro y Paola. ¿Cuántos trabajos podría asignar? C15
66.-
A10 2
90
26
26
5 dígitos 26
2
1
10
10
2
= 14 060 800
Un lote de cincuenta discos duros fue inspeccionado, para ello se seleccionó una muestra aleatoria de cinco de ellos. Si se sabe que siete no cumplen con los requerimientos del cliente, ¿Cuántas muestras contienen al menos un disco duro que no cumple con los requerimientos? C17
×
C 43 4
+
C7 2
×
43 C3
+
C7 3
×
43 7 + C4 C2
×
C143
+
7 C5
×
43 C0
=
1 156 162
o también: C50 5
68.-
−
43 C5
=
1 156 162
De seis números positivos y cinco números negativos, se escogen cuatro números al azar y se multiplican. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea positivo. 6 (+) + 5 (-) = 11 0 negativos
ó
2 negativos
ó
4 negativos
Universidad Alas Peruanas
Estadística y Probabilidades
Escuela Profesional de Ingeniería Industrial, Sistemas y Electrónica
C5 0
69.-
C6 4
×
C5 2
+
×
C6 2
III Ciclo / 2009-2
C5 4
+
×
C6 0
=
170
Carlos, Pedro, Patricia y Claudia abordan un automóvil en el que hay seis asientos. Si sólo dos de ellos saben conducir; ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse dentro del automóvil? Sean A y B los dos que saben conducir:
A conduce
1
5
4
3
B conduce +
1
5
4
3
= 120
Otras formas de resolver: V11 2 V11
70.-
×
×
V35
V35 =
+
V11
×
V35
V35
120
=
×
V12
=
120
120
Una casa dispone de cerradura electrónica abriéndose únicamente si se acierta el número secreto que consta de cuatro cifras. a) ¿Cuántos intentos debemos hacer para estar seguros de abrirla? 10 b)
10
10
= 10 000
Desanimados por el gran número de intentos necesarios nos fijamos en que los dígitos 2, 5 , 7 y 8 aparecen más desgastados que los demás. ¿Cuántas opciones tendremos si el número secreto está formado por esos dígitos? P4
c)
10
=
4!
=
24
¿Y si los números desgastados desgastados fuesen sólo 2, 5 y 8? 8? está formado por cuatro cifras y se conocen tres, entonces una se repite (puede ser el 2, el 5 o el 8) y para cada una de ellas: 4 P2, 1,1
3
⇒
71.-
×
4!
=
=
2!× 1!× 1!
12
12 = 36
¿Cuántos números mayores que 13 y menores menores que 100 existen, tales que en su escritura sólo se utilizan cifras impares? impares : 1 , 3 , 5 , 7 , 9 : 5 cifras
5
5
= 25
Los números son de dos cifras, pero no pueden ser : 11 ni 13 25 - 2 = 23 ⇒ Otra forma: A15
72.-
×
A14
+
A13
=
23
Un grupo está formado por tres economistas, seis ingenieros, cuatro médicos y dos contadores. Si se eligen tres personas al azar, ¿cuántas muestras se formarán de tal manera que los tres integrantes resulten de profesiones diferentes?
Universidad Alas Peruanas
Estadística y Probabilidades
Escuela Profesional de Ingeniería Industrial, Sistemas y Electrónica
III Ciclo / 2009-2
3E + 6I + 4M + 2C C13
73.-
×
C16
×
C14 + C13
C16
×
C12
C16
+
C14
×
×
C12
+
C14
×
C12
×
C13
=
180
Para que una cerradura especial sea abierta, es es necesario que se digite en un panel magnético una secuencia correcta formada por cuatro dígitos diferentes y dos letras también diferentes. Los dígitos pueden variar de 1 a 9. ¿cuál es el número máximo de intentos que una persona que no conoce la secuencia correcta puede hacer para que la cerradura sea abierta? 8
9 74.-
×
7
6
26
25
= 1 965 600
Un investigador privado desea acceder a una información confidencial, para ello debe ingresar un “password” a la computadora. Si dicho password posee 3 caracteres (letras y/o números). a) ¿Cuántos intentos tendrá que realizar el investigador para encontrar el password? disponibles para cada carácter: 28 letras + 10 dígitos = 38 38 b)
38
38
37
37
ó +
3 diferentes 38
37
36
= 102 638
Se han matriculado cinco chicos y siete chicas en el curso de Estadística, en el cual las prácticas se dan en el laboratorio. En dicho laboratorio se deben formar grupos bipersonales, necesariamente formados por un chico y una chica. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dichos grupos si un chico decide no trabajar con dos de sus compañeras? C15
76.-
= 54 872
¿Cuántos intentos realizará el investigador si dicho password tiene por lo menos dos caracteres diferentes? 2 diferentes
75.-
38
×
C17
−
2
=
C1 1
33 o también:
×
C15
+
C14
×
C17
=
33
En un grupo de dieciocho alumnos hay que formar grupos de seis. a)
¿De cuántas maneras puede hacerse? C18 6
b)
18 564
¿De cuántas maneras puede hacerse sabiendo que un alumno en particular, Jorge, debe integrar el grupo? C17 5
c)
=
=
6188
¿De cuántas maneras puede hacerse excluyendo a Jorge? C17 6
=
12 376
