Practicas de Logica

Elementos de Lógica y Matemática Discreta

PRACTICA Nro. 1 INTRODUCCIÓN 1) Indique cuáles de las siguientes expresiones lingüísticas son proposiciones: a) Debes cumplir con lo prometido. b) No hay habitantes en Venus. c) Los árboles nos miraban con miles de ojos. d) ¿ Qué superficie tiene la Tierra? e) Entremos en el comedor. f) Si te interesa este libro, te lo regalará. g) ¡Te felicito! h) 5 + 5 = 10. i) El centro de una circunferencia es un punto perteneciente a ella. j) El terreno es muy rico y hay hay suficiente lluvia. 2) Distinguir premisas y conclusiones en los siguientes razonamientos, e i ndicar las expresiones derivativas si las l as hubiera. Encolumnar premisas y conclusiones. c onclusiones. a) La cosecha se atrasará, ya que hace varios días que no llueve, y cuando no llueve se atrasa la cosecha. b) Los cimientos o el hormigón de este edificio deben estar mal construidos. Pero los cimientos fueron analizados con resultado positivo. Luego, es el hormigón de este edificio el que debe estar mal construido. c) El perro tiene el olfato mas desarrollado que el gato, pues el perro tiene el olfato mas desarrollado que el caballo, y este lo tiene mas desarrollado que el gato. d) La música expresa los sentimientos de un pueblo. Todo lo que expresa los sentimientos de un pueblo es parte del arte de ese pueblo. Por eso la música es parte del arte de un pueblo. 3) Los siguientes razonamientos son inválidos. Demostrar que lo son mediante el método de analogía lógica. (Buscar un ejemplo de premisas verdaderas y conclusión falsa). a) 7 es mayor que 3 5 es mayor que 3 7 es mayor que 5 b) Ningún perro vuela. Todo perro es cuadrúpedo. Ningún cuadrúpedo vuela

c) No todas las aves vuelan. Ningún perro vuela. Ningún perro es ave.

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Elementos de Lógica y Matemática Discreta 4) Dada la siguiente forma de razonamiento. Todo F es G Algún G es H Todo F es H Buscar ejemplos de razonamientos de esta forma que se correspondan con los cuatro casos posibles de razonamiento invalido a) V b) V c) F d) F V F V F lo que prueba la invalidez del razonamiento. 5) Dada la siguiente forma de razonamiento Todo F es G Ningún G es H Ningún H es F ¿ Garantizaría que su forma da un razonamiento válido?. Buscar ejemplos de: a) V V

c) F V

d) F F

Verá que no puede encontrar un ejemplo de la forma V F 6) Responda las siguientes preguntas a) Si un razonamiento es válido, ¿su conclusión es verdadera?. b) Si un razonamiento es válido y tiene premisas verdaderas, ¿tendría una conclusión verdadera?. c) Si un razonamiento es inválido, ¿seria falsa su conclusión?. d) Si un razonamiento tiene conclusión falsa, ¿es inválido?. e) Si un razonamiento es válido, ¿podrá tener premisas verdaderas y conclusión falsa?. f) ¿Puede haber razonamientos inválidos que tengan sus premisas verdaderas? NOTA: Para contestar, tenga en cuenta el siguiente cuadro: Razonamiento Válido

Razonamiento Inválido

Conclusión Premisas

Conclusión

V

F

Premisas

V

F

V

Si

No

V

Si

Si

F

Si

Si

F

Si

Si



PRACTICA Nro. 2 SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD DE LAS PREMISAS 1) Coloque una A después de cada proposición atómica y una M después de cada proposición molecular. En este último indique el término de enlace utiliz ado. a) Las bacterias en el agua o se destruyen hirviendo el agua o se destruyen por cloración. b) Este libro tiene mas paginas que aquel otro. c) Si la sentencia es contra el defensor, entonces el apelara el caso. d) El reconoció la obra como de un poeta inglés del siglo XIX. e) No somos capaces de hacer todos los ejercicios de esta página. f) Si dos o mas elementos se unen químicamente para formar una nueva substancia, entonces el producto se denomina un compuesto. g) Las proposiciones moleculares contienen términos de enlace. h) Este problema no es correcto. i) Necesitamos ayuda o tardaremos dos días en c ompletar el reportaje. j) La guerra no puede explicarse totalmente por una causa. 2) Simbolice las siguientes proposiciones: a) No ocurre que, a la vez Juana sea su hermana y Rosa sea su hermana. b) O Beta está antes que Delta y Delta está antes que Tita o yo no sé griego. c) Si ha hecho eso, entonces es un ingenuo o un delincuente; y si es un delincuente ira a la cárcel. d) Si a la vez X es menor que 3 y X es mayor que 1, entonces X es igual a 2. 3) En cada una de las proposiciones siguientes se indica el tipo de proposición molecular que debe entenderse. Coloque los paréntesis necesarios: a) Negación ¬ P ⇒ R b) Condicional ¬ P ⇒ R c) Conjunción ¬P ∧ ¬R d) Negación ¬R ∧ T e) Condicional ¬T ⇒ ¬Q f) Negación ¬P ⇒ ¬Q g) Disyunción ¬Q ∨ ¬R h) Negación ¬T ∨ S i) Conjunción ¬S ∧ ¬Q j) Negación ¬R ⇒ S k) Condicional X = 0 ∨ X = 1 ⇒ Y = 2 l) Disyunción X = 0 ∨ X ≠ 0 ∧ Y = Z m) Conjunción X = 1 ∨ X ≠ 1 ∧ Y ≠ 3 n) Condicional X = Y ⇒ Y ≠ Z ∧ Y > 5 o) Conjunción X = Y ∨ X = Z ∧ Y > 3


Elementos de Lógica y Matemática Discreta 4) Dadas las siguientes formas proposicionales y el vocabulario detallado en cada caso, enunciar las proposiciones correspondientes: a) P: La sociología es una ciencia. Q: Toda ciencia formula hipótesis refutables. R: La sociología formula hipótesis refutables. I) P ∧ Q ⇒ R II) ¬(R ∧ P ⇒ Q) b) P: NN es un delincuente. Q: NN ira a la cárcel. R: NN será desagraviado. I) (P ⇒ Q) ∧ (¬P ⇒ R) II) ¬P ⇒ Q ∨ R III) P ⇒ ¬R 5) Decir si la proposición molecular S ^ T es verdadera (v) o falsa (f) en cada uno de los siguientes casos: a) c) e)

√ (S) = v; √ (T) = v √ (S) = f; √ (T) = f √ (¬S) = v; √ (T) = f

b) d) f)

√ (S) = v; √ (T) = f √ (¬S) = f; √ (¬T) = f √ (¬¬S) = v; √ (¬T) = f

6) Indicar el valor de la proposición molecular P ^ ¬Q en casa uno de los siguientes casos: a) c) e)

√ (P) = f; √ (Q) = v √ (P) = √ (Q) = v √ (P) = √ (¬¬Q) = v

b) d) f)

√ (P) = v; √ (Q) = f √ (P) = √ (¬Q) = f √ (¬Q) = v = √ (¬P)

7) Indicar el valor de verdad de la proposición molecular ¬A v ¬B en cada uno de los siguientes casos: a) c) e)

√ (A) = √ (B) = v √ (A) = v; √ (B) = f √ (A ^ B) = v

b) d) f)

√ (A) = f; √ (B) = v √ (A) = f; √ (B) = f √ (A v B) = f

8) Indicar si la proposición molecular M ⇒ ¬L es verdadera en cada uno de los siguientes casos: a) c) e)

√ (M) = √ (L) = v √ (M) = v; √ (L) = f √ (M v ¬L) = f

b) d) f)

√ (M) = √ (L) = f √ (M ^ L) = v √ (M ⇒ L) = f


Elementos de Lógica y Matemática Discreta 9) Indicar el valor de verdad de la proposición molecular D ⇔ E en cada uno de los siguientes casos: a) c) e)

√ (D) = v; √ (E) = f √ (D ⇒ ¬E) = f √ (¬D ⇒ E) = f

b) d) f)

√ (D ^ E) = v √ (¬D v ¬¬E) = f √ (D ^ E ⇒ ¬D) = f

10) Analizar el valor de verdad de la proposicion molecular P ⇔ ¬P para cada uno de los posibles casos. 11) Determinar los valores de certeza de las siguientes proposiciones por medio de diagramas, si A y B son proposiciones verdaderas y C y D son proposiciones falsas: a) c) e)

A ⇒ (A ⇒ B) (A ⇒C) ⇒ (¬A ⇒ ¬C) [(A ^ B) ⇒ D] ⇒ [A ⇒ (B ⇒ D )]

b) d) f)

(C ⇒ A) ⇒ (A ⇒ C) ¬(A ^ B) ⇒ (¬A v ¬B) (¬A v ¬B) v (¬D ^ C)

12) Siendo las proposiciones atómicas: E) La provincia de Córdoba tiene más superficie que la provincia de Tucumán. F) La provincia de Tucumán está más al norte que la provincia de Córdoba. G) La provincia de Chubut tiene menos superficie que la provincia de Tucumán Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones moleculares: a) b) c) d) e)

E vG E^G ¬E ^ ¬G E ⇔ ¬F v G (F ⇒ E) ⇒ [(E ⇒ ¬G) ⇒ (¬G ⇒ F)]

13) Siendo: 2 H: (-2) = 4 0 I.: 5 = 0 J: (-3) * (-2) = 6 K: -1 = -1 Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones moleculares: a) (H ^ I) ^ (J ^ K) ⇒ H v K b) (H ^ I) v K ⇒ (H ⇔ K) c) (H ⇒ I) ⇒ [(I. ⇒ J) ⇒ (J ⇒ K)]



PRACTICA Nro. 3 REGLAS DE INFERENCIA 1) ¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas?. En el caso d) demuestre la conclusión. a) Si esta planta no crece, entonces o necesita más agua o necesita mejor abono. Esta planta no crece. b) 1) Q ^ R ⇒ ¬P 2) Q ^ R c) 1) P ⇒ ¬(Q v R) 2) P d) Demostrar: B 1) ¬Q ⇒ E 2) E ⇒ K 3) ¬Q 4) K ⇒ ¬L 5) ¬L ⇒ M 6) M ⇒ B e) No ocurre que un medio no es el cincuenta por ciento. 2) Simbolizar las proposiciones que sea necesario y demostrar que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas. a) Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales. Si las moleculas forman cristales, entonces el agua aumenta su volumen. Por lo tanto si el agua se hiela, entonces aumenta su volumen. b) Demostrar: Q ⇒ R 1) Q ⇒ ¬P 2) ¬P ⇒ R c) Demostrar: S v T ⇒ ¬P 1) S v T ⇒ R v Q 2) R v Q ⇒ ¬P 3) Simbolizar cuando sea necesario y demostrar la conclusión con las reglas conocidas hasta el momento. a) Si el viento se mantiene fuerte, entonces habrá destrozos. No habrá destrozos. Por lo tanto el viento no se mantendrá fuerte. b) Demostrar: ¬(J v S)] 1) J v S ⇒ P ^ R 2) ¬(P ^ R) c) Demostrar: U ^ V 1) ¬(U ^ V) ⇒ S 2) ¬S


Elementos de Lógica y Matemática Discreta 4) Obtener la conclusión utilizando las reglas conocidas hasta ahora. a)

c)

Demostrar: C 1) ¬B 2) A ⇒ B 3) ¬A ⇒ C Demostrar: T ^ V 1) R ⇒ ¬S 2) S 3) ¬R ⇒ T ^ V

b)

d)

Demostrar: F 1) G ⇒ H 2) ¬G ⇒ ¬¬F 3) ¬H Demostrar: G 1) H 2) ¬G ⇒ ¬H

5) Simbolizar cuando sea necesario y demostrar qué conclusiones pueden sacarse con las reglas conocidas hasta el momento. a) Ana salió a comprar y se encontró con María. b) Los niños van a la escuela. Las madres descansan. c) 1) (S v T) ^ Q d) 1) R 2) S e) Demostrar: A ^ C 1) A ^ ¬B 2) ¬C ⇒ B f) Demostrar: ¬S ^ Q 1) ¬S ⇒ Q 2) ¬(T ^ R) 3) S ⇒ T ^ R 6) Demuestre y obtenga una conclusión cuando sea necesario. Aplique las reglas conocidas. a) O Roma está sobre la costa del mar Tirreno o está cerca de los Alpes Suizos. Roma no está cerca de los Alpes Suizos. b) 1) ¬(S ^ R) v T 2) S ^ R c) Demostrar: M 1) S ^ P 2) M v ¬N 3) S ⇒ N d) Demostrar: X = 0 1) X ≠ 0 ⇒ X ≠Y 2) (X = Y v X = Z) ^ X ≠ Z e) Demostrar: X = 0 1) X = 0 v X = Y 2) (X = Y ⇒ X = Z) ^ X ≠ Z


Elementos de Lógica y Matemática Discreta 7) Simbolizar los conjuntos de premisas siguientes y efectuar la deducción formal de las conclusiones. a) Si Juan ganó la carrera, entonces o Pedro fue el segundo o José fue segundo. Si Pedro fue el segundo, entonces Juan no ganó la carrera. Si Carlos fue el segundo, entonces José no fue el segundo. Juan ganó la carrera. Entonces, Carlos no fue el segundo. b) Si el reloj esta adelantado, entonces Carolina llego antes de las diez y vio partir el coche de Ricardo. Si Ricardo dice la verdad, entonces Carolina no vio partir el coche de Ricardo. O Ricardo dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj esta adelantado. Por tanto, Ricardo estaba en el edificio en el momento del crimen. 8) En los ejercicios siguientes, dar una deducción completa de la proposición que se desea demostrar a)

Demostrar: S ^ T 1) P ^ R 2) P ⇒ S 3) R ⇒ T

b)

c)

Demostrar: X < 5 1) X < Y v X = Y 2) X = Y ⇒ Y ≠ 5 3) X < Y ^ Y = 5 ⇒ X < 5 4) Y = 5

d)

Demostrar: ¬T 1) P ⇒ S 2) P ^ Q 3) (S ^ R) ⇒ ¬T 4) Q ⇒ R Demostrar: X > Y 1) X ≠ Y ⇒ X > Y v X < Y 2) X > Y v X < Y ⇒ X ≠ 4 3) X < Y ⇒ ¬(X ≠ Y ⇒ X ≠ 4) 4) X ≠ Y

9) Simbolice cuando sea necesario, demuestre y obtenga una conclusión. a) Este número o es número positivo o es número negativo. Si es un número positivo es mayor que cero. Si es un número negativo es menor que cero. b) O la planta es una planta verde o es una planta no verde. Si es una planta verde, entonces fabrica su propio elemento. Si es una planta no verde, entonces depende de las materias de otras plantas para su alimento. c) 1) (R ^ S) v T 2) (R ^ S) ⇒ ¬Q 3) T ⇒ P d) 1) ¬Q ⇒ ¬S 2) P v ¬Q 3) P ⇒ ¬S e) Demostrar: ¬T ^ S 1) P ⇒ ¬Q 2) P v R 3) R ⇒ ¬Q 4) T ⇒ Q 5) S -------------------------------------------------------------------------------------------------------U.N.PAT. “San Juan Bosco” - Facultad de Ingenieria - Sede Ushuaia 8

Elementos de Lógica y Matemática Discreta 10) ¿Qué se puede concluir de las premisas siguientes?. Demuestre la conclusión en los casos e) y f). a) No ocurre que o el aire es un buen conductor del calor o el agua es un buen conductor del calor. b) El río Mississippi no corre en dirección Norte y el río Nilo no corre en dirección Sur. c) 1) ¬(¬S v ¬T) d) 1) ¬(¬A ^ ¬B) e)

Demostrar: ¬S 1) ¬(P ^ Q) 2) ¬Q ⇒ T 3) ¬P ⇒ T 4) S ⇒ ¬T

f)

Demostrar: X < Y v Y ≠ 4 1) X = 1 ⇒ X < Y 2 2) X - 4.X + 3 = 0 ⇒ X = 1 v X = 3 2 3) ¬(X = Y v X - 4.X + 3 ≠ 0) 4) X = 3 ⇒ X < Y

11) Simbolizar completamente las premisas y conclusiones del ejercicio a), y dar una demostración formal completa de los siguientes. a) El acusado será condenado si y solo si el testigo declara. O el testigo declara o las pruebas en contra del acusado son insuficientes. Si las pruebas en contra el acusado son insuficientes, entonces el acusado quedará en libertad. Por tanto, o el acusado será condenado o quedará en libertad. b) Demostrar: X + Y = 5. 1) 3.X + Y = 11 ⇔ 3.X = 9 2) 3.X = 9 ⇒ 3.X + Y = 11 ⇔ Y = 2 3) Y ≠ 2 v X + Y = 5 c) Demostrar: ¬(Y = 2 ^ X + 2.Y ≠ 7) 1) 5.X = 15 ⇔ X = 3 2) 5.X = 15 ^ 4.X = 12 3) X = 3 ⇒ X + 2.Y = 7 d) Demostrar: X < Y ^ Y = 6 1) X < Y ⇔ Y > 4 2) Y = 6 ⇔ X + Y = 10 3) Y > 4 ^ ¬( X + Y ≠ 10) e) Demostrar: ¬(X < Y ^ X = 1) 1) X = Y ⇒ ¬(X < Y) 2) Y = 0 ⇔ ¬(X < Y) 3) X = 0 v X.Y = 0 ⇒ Y = 0 4) (X = Y ⇒ Y = 0) ⇒ X = 0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------U.N.PAT. “San Juan Bosco” - Facultad de Ingenieria - Sede Ushuaia 9


PRACTICA Nro. 4 CERTEZA Y VALIDEZ 1) Los razonamientos siguientes no son válidos. Para cada razonamiento dar una asignación de certeza que demuestre su invalidez. a) Si los primeros capítulos presentan definiciones básicas entonces es necesario leer el libro completo. O es necesario leer el libro completo o fotocopiaremos solo los tres últimos capítulos. Los primeros capítulos presentan definiciones básicas. Por tanto, no fotocopiaremos solo los tres últimos capítulos. b) O el Pascal es un lenguaje potente o no esta equipado con elaborados instrumentos. Si el principiante se pierde, entonces el Pascal es un lenguaje potente. El Pascal esta equipado con elaborados instrumentos. Por tanto, el principiante se pierde. c) Un programa es una secuencia de instrucciones si y solo si con un programa se obtiene un resultado determinado. Con un programa se obtiene un resultado determinado. O un programa es una secuencia de instrucciones o no se puede expresar en código binario. Por tanto, un programa se puede expresar en código binario. d) Si un lenguaje de programación es un subconjunto del lenguaje humano, entonces permite al programador dar ordenes libre de ambigüedades al computador. Si un lenguaje de programación es un subconjunto del lenguaje humano entonces para comunicarse con el computador se puede usar un lenguaje humano cualquiera. Un lenguaje de programación permite al programador dar ordenes libre de ambigüedades al computador y para comunicarse con el se puede usar un lenguaje humano cualquiera. Por tanto, un lenguaje de programación es un subconjunto del lenguaje humano. e) El FORTRAN no es de los lenguajes más usados o el BASIC ocupa un reducido espacio de memoria. Si el FORTRAN es uno de los lenguajes más usados entonces el ALGOL es de implementación compleja en el computador. El BASIC no ocupa un reducido espacio de memoria. Por tanto, el ALGOL no es de implementación compleja en el computador. 2) Si cada uno de los razonamientos simbolizados a continuación es válido, dar una deducción formal completa. Si alguno no es vlalido, demostrarlo mediante una asignación de certeza. a)

Demostrar: ¬S 1) T ^ S ⇔ R 2) ¬R 3) T

b)

Demostrar: S 1) Q ⇒ R 2) P ⇒ Q 3) P v T 4) T ⇒ S 5) ¬R



c)

Demostrar: ¬Q 1) T ⇒ Q 2) ¬T v R 3) ¬R

d)

e)

Demostrar: T 1) ¬(P v Q) 2) P v R 3) T ⇒ R

f)

g)

Demostrar: ¬S 1) ¬(P ^ R) 2) Q ⇒ R 3) Q v ¬S

h)

Demostrar: S 1) R v S 2) ¬P 3) Q v ¬R 4) P ⇔ Q Demostrar: ¬R 1) P ⇒ T 2) Q ⇒ S 3) S v R 4) P v ¬Q Demostrar: ¬P 1) Q ⇒ R 2) ¬R ⇒ S 3) ¬T v ¬P 4) (Q ⇒ S) ⇒ T

3) Demostrar por medio de una deducción formal o una asignación de certeza si cada uno de los razonamientos siguientes es válido o no válido.

2

a) X = 9 ⇒ X = 3 v X = -3 X = 3 v X = -3 ⇒ X * Y < 20 ¬(X * Y < 20) 2 Por tanto: X = 9 v X * Y < 20 2

b) X = 9 ⇒ X = 3 v X = -3 X = 3 v X = -3 ⇒ X * Y < 20 ¬(X * Y < 20) 2 Por tanto: X ≠ 9 c) X ≠ 0 X = 0 v ¬[X < 1 v ¬(Y > X)] Y > X ⇒ Y > 1 ^ X + Y > 2 Por tanto: Y > 1 ⇒ X < 1 d) X ≠ 0 X = 0 v ¬[X < 1 v ¬(Y > X)] Y > X ⇒ Y > 1 ^ X + Y > 2 Por tanto: X + Y > 2 ^ Y > 1 2

e) X - 3.X + 2 = 0 ⇒ X = 1 v X = 2 2 X = 1 v X = 2 ⇒ 3.X > X ¬ (3.X > X 2) 2 Por tanto: 3.X > X v X = 1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------U.N.PAT. “San Juan Bosco” - Facultad de Ingenieria - Sede Ushuaia 11


4) Utilizar una demostración condicional para deducir la conclusión en cada uno de los siguientes razonamientos simbolizados. a)

Demostrar: ¬ P ⇒ Q 1) P v Q

b)

c)

Demostrar: ¬(R ^ S) ⇒ T 1) ¬P 2) ¬R ⇒ T 3) ¬S ⇒ P Demostrar: P ^ Q ⇒ S ^ T 1) R v S 2) ¬T ⇒ ¬P 3) R ⇒ ¬Q

d)

e)

f)

Demostrar: R ⇒ ¬Q 1) ¬R v ¬S 2) Q ⇒ S Demostrar: ¬Q ⇒ T ^ S 1) R ⇒ S 2) S ⇒ Q 3) R v (S ^ T) Demostrar: ¬(P v R) ⇒ T 1) Q ⇒ P 2) T v S 3) Q v ¬S

g) Demostrar: Q ⇔ ¬P 1) ¬(¬P ^ ¬Q) 2) S ⇒ ¬Q 3) ¬P v S h ) Demostrar: (Y = 2 v Y = 4) ⇒ (Y < 4 v Y > 3) 1) (Y = 4 ⇒ X > Y) ^ X > Z 2) X > Y v Z > Y ⇒ Y < 4 ^ Y ≠ 3 3) Y = 2 ⇒ Z > Y i.) Demostrar: Y = 2 ⇒ X = Y 1) X ≠ Y ⇒ X > Y v Y > X 2) Y ≠ 2 v X = 2 3) X > Y v Y > X ⇒ X ≠ 2 j) Demostrar: X = 1 ⇒ (X ≠ 2 ^ Y ≠ 1) 1) X = 1 ⇒ X * Y = 2 2) X + Y ≠ 3 ⇒ X ≠ 1 3) Y = 1 v X = 2 ⇒ ¬(X + Y = 3 ^ X * Y = 2)

5) Demostrar que los conjuntos de premisas siguientes son inconsistentes, deduciendo una contradicción para cada uno. a) 1) T ⇒ P 2) T ^ R 3) Q ⇒ ¬R 4) P v S ⇒ Q


Elementos de Lógica y Matemática Discreta b) 1) R ⇒ R ^ Q 2) ¬S v R 3) ¬T v ¬Q 4) S ^ T 6) Demostrar que los siguientes conjuntos de premisas son consistentes presentando interpretaciones en las que todas las premisas sean ciertas. Use asignación de certeza. a)

c)

1) Q ^ ¬S 2) ¬(P v S) 3) Q ⇒ T 1) R ⇒ Q 2) P ⇒ Q 3) Q ⇒ ¬T

b)

d)

1) T ⇒ R 2) ¬R ⇒ S 3) S v T 1) 3 * 5 = 12 ⇒ 6 + 8 = 11 2) 6 + 8 = 11 ⇒ 13 - 9 = 7 3) 3 * 5 = 12 ^ 13 - 9 = 7

7) Para cada uno de los conjuntos de premisas siguientes, decidir si son consistentes o inconsistentes. Demostrar las respuestas. a) Si María es la mayor, entonces Jose en mas joven que Susana. María es la mayor e Isabel no es mayor que Susana. No ocurre que o Susana es la mayor o Isabel es mayor que Susana. b) Juan esta en la biblioteca y no ocurre que, Tomas está en la clase de Historia o que Luis está en la clase de Historia. Si Pedro está en el laboratorio de Química, entonces Luis está en la clase de Historia. Si Miguel está en la clase de Gramática, entonces Tomas está en la clase de Historia. Si Juan está en la biblioteca, entonces o Pedro está en el laboratorio de Química o Miguel está en la clase de Gramática. c) Sánchez continuara en el consejo y, o Pérez será elegido o Ruiz será elegido para el próximo periodo. Si Pérez fuera elegido, entonces Sánchez no continuará durante todo el periodo del presente consejo.

d) 1) B ⇒ A 2) B v D 3) ¬(A ^ C) 4) ¬A ⇔ ¬C e) 1) 2.X + Y = 4 ⇔ X + 2.Y = 5 2) (2.X + Y = 4 ⇒ X + 2.Y = 5) ⇒ X = 1 3) X = 1 v Y = 2 4) Y = 2 ⇒ 2.X + Y = 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------U.N.PAT. “San Juan Bosco” - Facultad de Ingenieria - Sede Ushuaia 13


f) 1) X = Y ⇒ X < Z 2) X < Z ^ ( X = Y v Y < Z) 3) Y < Z ⇒ X < Z 8) Demostrar que las conclusiones siguientes son válidas utilizando una DEMOSTRACION INDIRECTA. a) Demostrar: ¬P 1) ¬(P ^ Q) 2) P ⇒ Q 3) Q v ¬R b) Demostrar: ¬T 1) P v Q 2) T ⇒ ¬P 3) ¬(Q v R) c) Demostrar: ¬(A ^ D) 1) A ⇒ B v C 2) B ⇒ ¬A 3) D ⇒ ¬C 2

d) Demostrar: ¬[Y = 1 ⇒ ¬(X > X.Y)] 1) X = 1 v ¬[ X + Y = Y v ¬(X > Y)] 2 2) X > Y ⇒ X > X.Y ^ Y = 1 3) X ≠ 1



PRACTICA Nro. 5 TABLAS DE CERTEZA 1) Mostrar por medio de una tabla de certeza cuál de los siguientes ejemplos de inferencia es válido. Construir la tabla de certeza completa. a) Si tengo 18 años, entonces soy mayor que Pablo. Si no tengo 18 años, entonces soy más jóven que Jorge. Por tango, o tengo 18 años, o soy más jóven que Jorge. b) Un átomo de hidrógeno tiene un protón en su núcleo y el número atómico del hidrógeno es uno. Por tanto, un átomo de hidrógeno tiene un protón en cada núcleo si y sólo si el número atómico del hidrógeno es uno. c) O AB es mayor que BC o AB es igual a CD. Por tanto, AB no es igual a CD y AB es mayor que BC. d) (P v Q) ^ Q Por tanto, P. 2) Completar la Tabla de Certeza dada a continuación para mostrar que la Ley del Silogismo Hipotético es una buena regla.

P Q R V V V V F F F F

V V F F V V F F

P ⇒ Q

Q⇒R

P⇒R

V F V F V F V F

3) Construir una tabla de certeza para demostrar que ¬P ^ ¬Q es consecuencia lógica de ¬(P v Q). 4) Construir una tabla de certeza para probar que la regla de Adjunción es una buena regla de inferencia. 5) Probar mediante una tabla de certeza cuales de los siguientes razonamientos matemáticos son válidos y cuáles no. a) X = 3. Por tanto, Y = 0 ⇒ X = 3. b) X ≠ Y ⇒ X = Y. Y = 1 v X ≠ Y. Por tanto, Y = 1. c) X < 5 ⇒ X = Y. X ≠ Y ^ X < 5. Por tanto, ¬(X < 5) ^ X = Y d) X < 3 ⇒ ¬(X < 3). Por tanto, ¬(X < 3). e) X = Y ⇒ ( X ≠ Y ^ Y = Z). Por tanto, X ≠ Y -------------------------------------------------------------------------------------------------------U.N.PAT. “San Juan Bosco” - Facultad de Ingenieria - Sede Ushuaia 15

Elementos de Lógica y Matemática Discreta f) X = Y ⇒ (X = Y ^ Y = Z). Por tanto, X = Y. g) X = Y ⇔ Y ≠ 1. ¬(X = Y ^ Y ≠ 1). Por tanto, Y ≠ 1. h) X ≠ Y ⇒ X < 5. ¬(X < 5) v Y < 6. Por tanto, X = Y ⇒ Y < 6 6) Si P, Q y R son proposiciones atómicas distintas, cuales de las siguientes expresiones proposicionales son tautologías. Utilizar tablas de certeza. a) P ⇔ Q b) P v Q ⇔ Q v P c) (P ⇒ Q) ⇔ (Q ⇒ P) d) (P ⇔ P) ⇒ P e) P v Q ⇒ P f) ¬P v Q ⇒ (P ⇒ Q) g) P ⇒ (P v Q) v R h) P ^ Q ⇒ P v R 7) Construir la condicional correspondiente a cada uno de los razonamientos siguientes para obtener una implicación tautológica. a) Demostrar: R 1) ¬Q 2) ¬R ⇒ Q b) Demostrar: ¬(P ^ ¬Q) 1) P ⇒ Q c) Demostrar: ¬(A v B) 1) C ^ ¬D 2) C ⇒ ¬A 3) D v ¬B

8) Construir el razonamiento, (premisas y conclusión) correspondiente a cada una de las condiciones siguientes. a) P ^ (Q v ¬P) ⇒ Q b) ¬(X < 0 ^ Y ≠ X) ⇒ ¬(X< 0) v Y = X c) (Q ⇒ T v R) ^ ¬S ^ (R v T ⇒ S) ⇒ (S ⇒ Q ^ ¬T) 9) Utilizar tablas de certeza para determinar para cada uno de los pares de proposiciones siguientes si son lógicamente equivalentes. a) P ^ ¬Q Q ⇒ P


Elementos de Lógica y Matemática Discreta b) P v ¬Q ⇒ ¬P P ⇒ ¬P ^ Q c) X = 1 v ¬(X < 3) ¬(X < 3 ^ X ≠ 1) 10) Determinar si los razonamientos siguientes son válidos, construyendo la condicional correspondiente y determinar por tabla de certeza si es una implicación tautológica. a) X ≠ Y ⇒ X = Y Por tanto, X = Y b) A ⇒ B ^ A B v ¬A ⇒ C Por tanto, A ⇒ C 11) Utilizando la proposición P ^ Q como premisa, determinar mediante tablas de certeza a cuáles de las siguientes implica tautológicamente. a) P (O sea, dar la tabla de certeza para (P ^ Q) ⇒ P). b) P ^ ¬Q c) ¬P v Q d) P ⇔ Q 12) Algunas de las reglas de inferencia introducidas hasta ahora, son implicaciones tautológicas y algunas son equivalencias tautológicas. Utilizar tablas de certeza para mostrar cuales de las siguientes son implicaciones tautológicas y cuales son equivalencias tautológicas. a) Ley de Simplificación ( ver si P ^ Q ⇒ P es una tautología y si P ^ Q ⇔ P es una tautología). b) Ley de Doble Negación. c) Ley de Adición. d) Leyes Conmutativas. e) La Ley de P ⇒ Q, si puede inferir ¬(P ^ ¬Q) 13) Determinar si las siguientes formas proposicionales son: Tautologías, contradicciones o contingencias. a) ¬P ⇒ (Q v ¬P) b) (P ^ Q) ⇔ (¬P v ¬Q) c) (P ⇒ (Q v ¬P)) ⇒ ¬Q d) ((P ^ Q) ⇒ P) ⇒ Q



PRACTICA Nro. 6 TERMINOS Y PREDICADOS 1) Simbolizar los siguientes enunciados a) Roberto Arlt fue un escritor famoso. b) O García vuelve pronto a trabajar, o Pérez renunciará. c) Si Esteban u Diana no llegan, Eduardo no elevara el concepto. d) Si se desbordara el Paraná, se inundarían Barranquera y Corrientes. e) Si el Sol es una estrella tiene luz propia. f) Si la Luna no es una estrella, no tiene luz propia. g) Inés es simpática, pero Daniel no es simpático ni inteligente. 2) Formular las proposiciones correspondientes a las siguientes formas. a) Fa ^ Ca

a: Aníbal

F: alto

C: moreno

b) Fa v Fb

a: Diana

b: Nestor

F: germano

c) Fa ⇒ Gb

a: R. Paraná

b: Mesopotamia

F: bajar

d) Fa ⇔ Ha

a: Andrés

F: llegar a tiempo

H: tomar el tren.

G: perjudicar

3) Simbolizar las siguientes expresiones, e indicar si son funciones proposicionales o proposiciones a) x es múltiplo de 3. b) 2 es par y z también. c) Rosa es servicial. d) Si Pedro es estudiante, x es graduado. 4) Simbolizar completamente los siguientes enunciados. Decir cual o cuales son los predicados. a) Todo es perecedero. b) No todo es perecedero. c) Algo es frágil. d) No hay cosas sólidas. e) Nada cambia. f) Hay marcianos. g) Nada se mueve. h) Nada es absolutamente frío. i) Ninguno es absolutamente libre. j) Alguien no es perfecto. k) Nadie acepta con alegría un desastre. l) A nadie le gusta no tener razón. m) Cada uno necesita un mínimo de alimentos. n) Si Marta llega tarde, todos saldremos. -------------------------------------------------------------------------------------------------------U.N.PAT. “San Juan Bosco” - Facultad de Ingenieria - Sede Ushuaia 18

Elementos de Lógica y Matemática Discreta o) Si llega alguno, Marta no cantara. p) Si llega alguno, todos saldremos. q) Si todo es rojo, hay algo rojo. r) Algo es rojo si y solo si algo no es rojo. s) Marta es amable y simpática, pero no todas son simpáticas. 5) Simbolizar los siguientes enunciados categóricos e indicar a qué tipo corresponden. a) Todos los franceses son europeos. b) Cada millonario tiene sus riquezas. c) Algunos trabajos son insalubres. d) Cualquier rectángulo tiene cuatro lados. e) Hay osos blancos. f) No todas las tortugas son acuáticas. g) Ningún ruiseñor vive en cautiverio. h) No todos los hombres son inteligentes. i) todos los caballos y vacas son cuadrúpedos. j) Para todo x, si x > 2 entonces x > 1. k) Algunas avenidas tienen doble circulación. l) Ningún mal dura cien años. m) Algunos caminos no han sido reparados. n) Nada que se obtenga será beneficioso. o) Hay programas de televisión que son educativos. p) Hay cuervos que no son negros. q) Los lagartos viven en los pantanos. r) Todos los que lleguen tarde no entraran. s) Ningún soldado se retirará. 6) Simbolizar completamente. a) No todos los elefantes son africanos, algunos son asiáticos. b) Algunos elefantes son africanos y otros no. c) Si hay elefantes asiáticos, no todos los elefantes son africanos. d) todos los elefantes son africanos y ninguno es asiático. e) Algunos elefantes no son africanos y otros no son asiáticos. f) Si todo es perecedero, las plantas son perecederas. g) Si Jorge es dentista, hay por lo menos un dentista. h) Si Ana esta arrepentida, no todo esta perdido. 7) Dadas las siguientes formas cuantificacionales, indicar cuales representan funciones proposicionales y marcar sus variables libres. a) Fx v Gx b) (∀ x) (Hx ⇒ Gx) c) (∃ x) (Fx ^ Gx) v Hx d) (∀ x) (Fx ⇒ Hy) e) ¬(∃ x) Fy ^ (¬Gx) f) (∀ x) (Fx ⇒ Gx) v Gx -------------------------------------------------------------------------------------------------------U.N.PAT. “San Juan Bosco” - Facultad de Ingenieria - Sede Ushuaia 19

Elementos de Lógica y Matemática Discreta g) (∀ x) (Fy ⇒ Gx) ^ Hx h) (∃ x) (Fx ^ ¬Gx) ^ Ha i) (∀ x) Fa ⇒ Gx j) (∃ x) (Fx ^ ¬Gx) ⇔ Gb 8) Probar mediante el método demostrativo, utilizando intercambio de cuantificadores, que los siguientes pares de formas son equivalentes. a) (∀ x) (Fx v ¬Gx) ; ¬(∃ x) (¬Fx ^ Gx) b) (∃ x) (Fx ^ ¬Gx) ; ¬(∀ x) (Fx ⇒ Gx) c) ¬(∃ x) (Fx ^ (Tx v Hx)) ; ( ∀ x) (Fx ⇒ (¬Tx ^ ¬Hx)) 9) Probar la validez de los siguientes razonamientos mediante el método demostrativo, utilizando intercambio de cuantificadores. a) Como algunas aves no vuelan, no todas las aves vuelan. Todas las aves vuelan a menos que alguna esté lastimada. Algunas aves no vuelan. Luego, algunas aves están lastimadas. NOTA: La segunda premisa se simboliza por: (∀ x) (Ax ⇒ Vx) v (∃ x) (Ax ^ Lx) b) Si todos los perros ladran, Rosita se asustará. No se da el caso de que algunos perros no ladren. Luego, Rosita se asustará.. c) Algo no es azul, o el Río de la Plata es azul. Pero el Río de la Plata no es azul. Luego, no todo es azul. 10) Dadas las siguientes formas de enunciados, transformarles, siempre que sea posible mediante distribución de cuantificadores. a) (∃ x) (Fx v ¬Gx) b) (∀ x) Fx ^ ( ∀ x) (Gx ⇒ Hx) c) (∃ x) Fx v ( ∃ x) ¬Gx d) (∃ x) ¬Fx ^ (∃ x) ¬Gx 11) Probar la validez de los siguientes razonamientos mediante el método demostrativo, utilizando distributividad de cuantificadores. a) Todos los peces tienen ojos pero no tienen párpados. Luego todos los peces tienen ojos, y ningún pez tiene párpados.


Elementos de Lógica y Matemática Discreta b) Algo es rojo o algo es azul, o todo es blanco. Pero algunas cosas no son blancas. Luego algo es rojo o azul. c) Algunas cosas son delicadas y frágiles. Por consiguiente hay cosas frágiles. 12) Simbolizar los siguientes razonamientos y probar que son válidos mediante el método demostrativo. a) Ernesto no es un buen fotógrafo, pues los buenos fotógrafos son imaginativos y Ernesto no lo es en absoluto. b) Fernández es estudiante y empleado. Todos los empleados cobrarán su sueldo y su aguinaldo. Luego Fernández cobrará su sueldo. c) Todos los premiados fueron examinados. Todos los visitantes fueron premiados. Algunos escritores no fueron examinados. Luego algunos escritores no eran visitantes. 13) Dadas las siguientes formas de razonamiento valido, indicar en cada paso de la prueba que reglas se han utilizado, y de que número de pasos se valió. a) 1) (∃ x) (Fx ^ (¬Gx v Hx)) 2) (∀ x) ((Gx ^ ¬Hx) v Ix) 3) Fw ^ ( ¬Gw v Hw) 4) (Gw ^ ¬Hw) v Iw 5) ¬(Gw ^ ¬Hw) ⇒ Iw 6) (¬Gw v ¬¬Hw) ⇒ Iw 7) (¬Gw v Hw) ⇒ Iw 8) (¬Gw v Hw) 9) Iw 10) (∃ x) Ix

←

b) 1) (∀ x) (Fx ⇒ (Gx ^ Hx)) 2) (∃ x) (¬Gx ^ Ix) 3) ¬Gw ^ Iw 4) Fw ⇒ (Gw ^ Hw) 5) ¬Gw 6) ¬Gw v ¬Hw 7) ¬(Gw ^ Hw) 8) ¬Fw 9) (∃ x) (¬Fx)

Conclusión

←

Conclusión


Elementos de Lógica y Matemática Discreta c) 1) (∀ x) (Fx ⇒ Gx) ⇒ (∃ x) Hx 2) (∀ x) ¬Hx 3) (∀ x) (Gx v Ix) 4) ¬(∃ x) Hx 5) ¬(∀ x) (Fx ⇒ Gx) 6) (∃ x) ¬(Fx ⇒ Gx) 7) (∃ x) ¬(¬Fx v Gx) 8) (∃ x) (¬¬Fx ^ ¬Gx) 9) (∃ x) (Fx ^ ¬Gx) 10) Fw ^ ¬Gw 11) Gw v Iw 12) ¬Gw 13) Iw 14) Fw 15) Fw ^ Iw 16) (∃ x) (Fx ^ Ix)

←

Conclusión

14) Dar deducciones formales completas para mostrar que los razonamientos siguientes son válidos. a) Todas las serpientes son reptiles. Todos los reptiles son vertebrados. Por tanto, todas las serpientes son vertebrados. b) Ningún violín es instrumento de viento hecho de madera. Todos los oboes son instrumentos de viento hechos de madera. Por tanto, ningún violín es oboe. c) Todos los realistas son monárquicos. Ningún demócrata es monárquico. Por tanto, ningún demócrata es realista. d) Todas las ambulancias son automóviles. Todos los automóviles son vehículos. Por tanto, todas las ambulancias son vehículos. e) Todas las rosas son plantas. Todas las plantas son seres vivientes. Por tanto, todas las rosas son seres vivientes. f) Todos los sonetos son poesía. Ningún documento legal es una poesía. Por tanto, Ningún documento legal es un soneto



PRACTICA Nro. 7 ESPECIFICACION UNIVERSAL Y LEYES DE IDENTIDAD 1) Simbolizar las siguientes premisas y conclusiones y dar una demostración formal completa de ésta última, aplicando Leyes de Inferencia y Especificación Universal. a) Ningún número es mayor que él mismo. Tres es un número. Por tanto, tres no es mayor que tres. b) Todas las madres son docentes. Todos los docentes son desinteresados. Julieta es madre. Por tanto, Julieta es desinteresada. c) Todos los número negativos son menores que cero. Seis no es menor que cero. Por tanto, seis no es un número negativo. d) Ningun número impar es divisible por dos. Seis es divisible por dos. Ocho es divisible por dos. Por tanto, ni seis ni ocho son números impares. e) Todos los estudiantes de Ingeniería o son hábiles en Matemática o son perseverantes en su estudio. José es un estudiante de Ingeniería, Pero no es hábil en Matemática. Por tanto, José es perseverante en su estudio. f) Tres mas siete es mayor que dos mas cinco. Cada numero mayor que dos mas cinco no es igual a dos por tres. Por tanto, tres mas siete no es igual a dos por tres. g) Cada numero que no es igual a cero es mayor que cero o menor que cero. Seis dvidido por dos no es igual a cero y seis dividido por dos no es menor que cero. Por tanto, seis dividido por dos es mayor que cero. h) Un numero es par si y solo si es divisible por dos. Tres por cinco no es par, pero tres mas cinco es divisible por dos. Por tanto, tres por cinco no es divisible por dos, pero tres mas cinco es par. i) Para cada x, no ocurre que x sea a la vez un numero positivo y x sea un numero negativo. Para cada x, si x es menor que cero, entonces x es un numero negativo. 1+1 es un numero positivo Por tanto, 1+1 no es menor que cero. -------------------------------------------------------------------------------------------------------U.N.PAT. “San Juan Bosco” - Facultad de Ingenieria - Sede Ushuaia 23


j) Para cada x, si x es mayor que dos, entonces x mas dos es mayor que dos. Para cada x, si x mas uno es mayor que dos, entonces x mas dos es mayor que dos. Dos es mayor que dos o dos mas uno es mayor que dos. Por tanto, dos mas dos es mayor que dos 2) Probar las siguientes conclusiones presentando una deducción completa a partir de las premisas. a) Demostrar: 2 + 0 > 1 1) (∀x) (x = 2 ⇒ x = 1 + 1) 2) (∀x) (x = 1 + 1 ⇒ x > 1) 3) 2 + 0 = 2 b) Demostrar: Fa ⇒ La 1) (∀x) (Fx ⇒ ¬Px) 2) (∀x) (Px ∨ Lx) c) Demostrar: ¬N4 1) (∀x) (x > 0 ⇔ Px) 2) (∀x) (Px ⇒ ¬Nx) 3) 4 > 0 d) Demostrar: 12 = 4 * 3 1) (∀v) (12 = v * 3 ⇔ 3 + 1 = v) 2) (∀v) (v + 1 = 4 ⇔ 8 - v = 5) 3) 8 - 3 = 5 e) Demostrar: 5 - 5 = 0 1) (∀x) (¬Px ⇒ (¬Nx 2) ¬N(5-5) 3) (∀x) (x > 0 ⇔ Px) 4) ¬(5 - 5 > 0)

x = 0 ))

⇒

f) Demostrar: 3 < 5 1) (∀x) (x < 4 ∧ 4 < 5 ⇒ x < 5) 2) (∀z) (-4 < -z ⇔ z < 4) 3) 4 < 5 4) -4 < -3 5) Traducir en símbolos los siguientes predicados dobles: a) Si Pedro visita a Juan, entonces Luisa visita a María. b) Cada águila es mayor que cada colibrí. c) Luisa ayuda a María, y es ayudada por Juana. d) Los pájaros tienen miedo a los gatos.


Elementos de Lógica y Matemática Discreta 4) Traducir los siguientes razonamientos en símbolos lógicos y dar una deducción de la conclusión a partir de las premisas. a) Las mangostas pueden matar a las cobras. Montgomery no puede matar a Charlie. Por tanto, si Charlie es una cobra entonces Montgomery no es una mangosta. b) Todo aquel que quiera a Jorge elegirá a Pedro para su partido. Pedro no es amigo de nadie que sea amigo de Juan. Luis no elegirá a nadie que no sea amigo de Carlos para su partido. Por tanto, si Carlos es amigo de Juan, entonces Luis no quiere a Jorge. c) Los coroneles tienen graduación superior a la de los sargentos y los sargentos tienen mayor graduación que los soldados. Todo aquel que no tiene mayor graduación que otro tiene que recibir ordenes de él. Todo aquel que tiene mas graduación que otro que a su vez tiene mas graduación que un tercero, tiene mas graduación que el tercero. Si López tiene mayor graduación que Gómez, entonces Gómez no tiene mayor graduación que López. López es un coronel, Pérez es un sargento y Gómez es un soldado. Por tanto, Gómez ha de recibir ordenes de López d) Para cada x e y, si x es mayor que y entonces y no es mayor que x. Por tanto, uno no es mayor que uno e) Para cada x e y, x es igual o mayor que y ó y es igual o mayor que x. Por tanto, uno es igual o mayor que uno. 5) Deducir las conclusiones requeridas de las premisas dadas a) Demostrar: E ( 3 * 8) 1) (∀x) (∀y) (Ex ⇒ E(x * y)) 2) (∀u) (∀v) (E(u * v) ⇔ E(v * u)) 3) E8 b) Demostrar: -4 * (-4) < -4 1) (∀x) (∀y) (x < -1 ∧ y > 1 ⇒ x * y < x) 2) (∀z) (z < -1 ⇒ z > 1) 3) -4 < -1 ²

²

c) Demostrar: E(5 + 7) 1) (∀y) (∀z) (Oy ∧ Oz ⇒ E(y + z)) 2) (∀x) (Ox ⇔ ¬Dx) 3) (∀w) (Ow ∨ Ew) 4) ¬D7 ∧ ¬E5


Elementos de Lógica y Matemática Discreta d) Demostrar: 5 + ¼ > 5 1) (∀x) (∀y) (Px ∧ Py ∧ x < 1 ⇒ y + x > y) 2) (∀x) (∀y) ((Py ∧ Px) ∨ ¬(y + x > x ∨ y + x > y)) 3) ¼ < 1 4) ¼ + 5 > 5 e) Demostrar: P5 ⇒ (P(-3) ⇔ P(5*-3)) 1) (∀z) (∀y) (Pz ∧ Py ⇒ P(z*y)) 2) (∀y) (∀w) (Py ∧ ¬Pw ⇒ ¬P(y*w)) f) Demostrar: P7 1) (∀x) (∀y) (x > 0 ∧ y < 0 ⇒ Nx/y) 2) (∀u) (∀v) ((u < 0 ⇒ Nv/u) ⇒ Pv) 3) 7 > 0 6) Traducir las siguientes proposiciones utilizando el signo de identidad cuando sea apropiado. a) El 20 de octubre es el Día de la Madre. b) Yul Brinner fue un actor famoso. c) José Hernandez fue el autor de Martín Fierro d) Los peces son vertebrados. e) Rawson es la capital del Chubut. f) Benjamin Franklin fue un impresor. g) Un caballo es un buen corredor. h) La mitad de cuatro es dos. 7) Deducir las siguientes conclusiones de las premisas dadas. a) Demostrar: a ≠ b 1) (∀x) (Tx ⇒ Bx) 2) ¬Ba 3) T b) Demostrar: 2 + 1 > 2 1) 4 = 2 2) 4 = 4 3) (∀x) (∀y) (x = y ⇒ x + 1 > y) ²

²

²

c) Demostrar: 3 ≠ 6 1) (∀x) (x < 7 ⇒ x < 8) 2) ¬(3 < 8) 3) 6 < 7 ²

²

d) Demostrar: 4 + 3 ≠ 3 * 2 1) (∀x) (∀y) (x + 3 = y + 2 2) 4 + 1 ≠ 4 3) 3 * 2 = 4 + 2

x + 1 = y)

⇒



e) Demostrar: O(25) 1) (∀x) (∀y) (∀z) (x + y = x + z ⇒ y = z) 2) 4 + 5 = 29 3) (∀x) (∀y) (x = y ⇒ (Ox ⇒ Oy)) 4) 4 + 25 = 29 5) O(5) ²

²

f) Demostrar: 4 > -4 1) (∀x) (∀y) (∀z) (x > y ∧ y > z ⇒ x > z) 2) 4 > 2 + 1 3) (∀w) (∀z) (Pw ∧ Nz ⇒ w > z) 4) P3 ∧ N(-4) 5) 2 + 1 = 3 g) Demostrar: E36 1) (∀z) (z = z * z) 2) (∀x) (∀y) (Ex ⇒ E(x*y)) 3) E6 4) 6 = 36 ²

²

h) Demostrar: 3 * 7 = 21 1) (∀x) (∀y) (∀z) (x * (y + z) = (x * y) + (x * z) 2) 3 * 5 = 15 3) 3 * 2 = 6 4) 2 + 5 = 7 5) 6 + 15 = 21 8) Deducir cada conclusión de las premisas dadas. a) Deducir: 3 + 1 = (2 + 1) + 1 1) 3 = 2 + 1

b) Deducir: 4 = 2 + 2 1) 2 + 2 = 4 c) Deducir: (2 * 3) * 5 = 30 1) 2 * 3 = 6 2) 6 * 5 = 30 d) Deducir: (2 * 7) * 15 = 14 * (3 * 5) 1) 2 * 7 = 14 2) 3 * 5 = 15


Elementos de Lógica y Matemática Discreta e) Deducir: 2 * (3 + 4) = (2 * 3) + (2 * 4) 1) 3 + 4 = 7 2) 2 * 7 = 14 3) 6 + 8 = 14 4) 2 * 3 = 6 5) 2 * 4 = 8 f) Deducir: 8 + (5 - 2) = (2 * 3) + 5 1) (∀w) (∀z) (w + z = z + w) 2) 3 + 8 = 11 3) 5 - 2 = 3 4) 2 * 3 = 6 5) 5 + 6 = 11 g) Deducir: (1 + 0) + 1 = 2 1) (∀x) (x + 0 = x) 2) 1 + 1 = 2 h) Deducir: 2 + (2 + 1) = 5 1) (∀x) (∀y) (x + y = y + x) 2) 3 = 2 + 1 3) 3 + 2 = 5 i) Deducir: 2 * (5 * 7) = 70 1) (∀x) (∀y) (x * y = y * x) 2) 5 * 7 = 35 3) 35 * 2 = 70 j) Deducir: 13 - (1 + 2) = 2 * 5 ⇒ 10 = 4 + 6 1) 13 - 3 = 10 2) 2 * (2 + 3) = 4 + 6 3) 1 + 2 = 3 4) 2 + 3 = 5


Practicas de Logica

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