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~ ~ Instituto de Matemáticas, UNAM
PRINCIPIOS DE OLIMPIADA Alejandro lllanes Mejfa
CUADEI1NOS DE OLIMPIADAS llf MAIEMAliCAS
COMITÉ EDITORIAL Luis Briseño Aguirre, Facultad de Ciencias, UNAM. Ignacio Barradas Bribiesca, CIMAT. Alejandro lllanes Mejia, lnstiruto de Matemáticas, UNAM.
e
e UNAS PALABRAS DE LOS EDITORES Uisfmtú nse momento como niugiÍll otro en HU vida. Ahí eHtaba de pie, rPcihimHlo la primPra mPdalla de oro para un estudiilnte mexicano en una
a crist.aliza.rsP, la vmdad <~s que hahfa trabajado i nt unsmuentu y, sin embargo, también había disfrutado, pues resolver prohiPutas du matemáticas se había convertido en una pasión que no lo iba a nhat1donar ntutca.. Pensó Pll su n~greso a M(~xieo, en sus amigos y en su familin. También, sin salH~r por qn(·, recordó a un periodista tonto que criticó a 1111 atleta mexicano qw~ había obtenido un quinto lugar en los p lugm <'tt [;¡ Oli111piad:t lllltTttaciottal de Maten¡;\ticas, ( 'on~a. ~()()().
s<•p,nndo lng;tr <'11 las (>limpiadas llwroamericarw¡;; rlP MatPmáticas (k Costa i{i(';¡ ''" l~J!Hi y d<• V<'tl<'"-llda en 2000, -tn~s nwdallas el<~ plata Pll las olimpiadas internacionales de matemáticas, gan;~das por: Patricio T. Alva Pufiean (ArgPntina, 1997), Omar Antolín ( ~am;Jreu;~ (Taiwan, 1!)!18) y Carlos A. Villalvazo .lauregni (Con~a, 2000), di(•z ttl<'d<~lln~' d<~ oro c•n la olimpiada,; ilH'roaJll('t'Í('altas de matem;íticmardo AhrPgo Lurma (Argcmtina, 1U!lJ ), Patricio T. Al va l'llil<·:tll (('.,¡.;l:t llic·:t. l!l!lfi), .lt•st'ts Ht>drígw•z Vinrnt<• (1\f(·xi('n, 1!)<)7). llohPrto 1>. Cliií\·c·z C;íudma (li. l>otllillicillla. I!Hli'l}. ( ':1tlos ll
e
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1999), .Jnvier A. Chávez Domínguez, Carlos A.Villalvazo .Jauregui (ambos en Venezuela, 2000) y David J. Mireles Morales (Uruguay, 2001). Esta serie está diseñada como material de apoyo a los jóvenes qne se preparan para la olimpiada nacional de matemáticas. Nuestro delleo es que estos cuadernos sirvan como un bloque más de la pirámide que algún día tendrá en su cúspide a un joven como el que describimos al principio de esta presentación. Queremos agradecer al Instituto de Matemáticas de la UNAM, en particular a su director, el Dr. José Antonio de la Peña Mena, por su apoyo para la publicación de estos cuadernos. Los Editores, junio de 2002
Clli\lllllNOS DF OliMPIADAS DE MATEMÁTICAS
( INTRODUCCIÓN Estn pPqneiio libro es una guía para los alumnos que se preparan para PI C'oncmso Nacional dP la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Ningún foil< ·t o pncdc cnbrir t.odos los cmwcimientos que se podrían necesitar para nst as olimpiadas. Corno es de esperarse, \a;; olimpiadas de matemáticas no ,;on <~xámerws dn aprov<~cltmuiento sitio twí:; bien son prw~bas en las que ~,·.¡o pnndmt df'st a<·ar los ¡·oncunmnt <'S Íll¡l,('lliosos. Dn pní.ct.icament.c toda.'l In;; nunaH dn ]m.; !ll;lt.<~Jwitica.s He pundPu plaut.nar problcrJmH que podrían apan·<·nr en laH olirnpiadaH, Hin nmlmrgo, la columna vnrtdmt1 de estos ,."ll<'lll:;os son ]o,; prnhlc·nlll.'i d<• C<'OIIif'l.rfa, Cmuhinatoria y Arit.111Nica. i'or <•st.a nmín, en este libro se da una introducción directa a estos temas.
Primera Relmpretl6n, 1001
Primera Edición, 2001 Instituto de Matemáticas Universidad Nacional Autónoma de México Av. Universidad 3000 0451 O- México, D.F. ISBN 968-36-8598-4 (Cuadernos de Olimpiadas Matemáticas)
En mal.<'lll<ít.icas, como <'ti ca.<>i todas las disciplinas, uno aprend<~ viendo '' l<>s d<~lll(J.<; lla('(~r y tnml•i(•n llacim1d<> 11llo lllÍSIIIO. l•:n la;; dmH~s usuaks d<~ la <•senda, generalment<~ llllo práctica nu\s la primera parte. Es decir, tiene IlllH'ha importancia lo q1w d profesor enseña y 1mo lo complda haciendo los <'.i<•r('il'ios d<~ la t arm, qw~ g<~Itnra.lnwnt <~ Ito ofrecen gran dificultad. En las olimpiadas d<• matemática¡.; se iuviertf: la balanza, es mucho más importante lo <¡11<' 11110 hac(' por sí mismo que lo que nos puede d<'cir un profesor o un lil11". ]•;¡, <'SI.<' se•nt ido la;; olinq>iadas de• mal<'lll<íti('a¡.; son JWÍ:-i pan•cida;; a la:-; ('O!ll]ld.Pucia:-; dPportivas <¡1H~ a la;; da;;es nonnalm; de matemáticas. Así c·omo los nnísculos no se fortaln('(~Jl s<'l]o co11 las explicaciones que dan los <•ntrewHlows, la capacidad de hac<'r prohlemaH 110 se cultiva sólo viendo ¡·omo los demils los n•suelven, adenuís d<~ Pso, uno tiew~ que hacer sus propios int<~nt os.
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Esta obra está sujeta a copyright. Ninguna parte de ella puede ser reproducida o transmitida, mediante ningún sistema o método, eletrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación, o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del editor. Impreso y hecho en México
E,;k lihr() pan~<:(' III<ÍS illofPI!SÍ\'Cl ciPIH~n S<'r tratados ,·c•ll r<'SJl<'lo. Por snpn<'sto qne no son ¡·c¡¡¡¡o !m: <'Íe'ITÍ<'Í>l,; de• 1111 libro d<' 1c•x1o. No son pnra lcnnarlos ('11 nua 1:1rcl<· el<· aiJiliTÍIIIi<•lllo ,v n•solvPrlos <'ll lfnea. Tatll]HH'o ci(•IH~ ('
y rnf'dia :1 ('ada prohlf'llHl y muy pocos p1wdt:n n~solv<~rlos <~ll f'Sf' tiPlllJHl. Esta <·ol<'('ci(m de probhmm,.;; son una ¡_?;uía excdentn para quien s<' pwpara para el concurso nacional. Estos problemas son para leerlos, entendt:rlos, discutirlos, mast.ica.rlos, soüarlos y, a vec<~s, hasta resolverlos. Ik ind11ido al final sng<~rencias para su :-;olución. A la..<; sugenmcia,'l tambión hay qtw t ra t. arias con respeto. Teuer una sugenmcia no significa qtw tmo pw !IV<'r un problema, pmo todavía hay que trabajar para acallado. Co1uo la IIJ:I nora de resolver problema.<; no es única, no se extraÜP si ustr~d enctHmt.ra una solución que es rn sencilla que la :-;ugerida en este libro. Una versi!Ín más corta de efit.e libro se publicó m1 la. Rc~vista d<'l Sc'IIIi nario de Em;eüanza y Titulación de la Facultad de Ciencias dP la UN Al'Vl (Vol. IX, Nurn. 76), que dirigía, impulsaba, defendía, distribuía, de. f'l inquieto Guillermo Gómez A. El hermano menor del presente libro Se' llamaba "Primeros Pasos en las Olimpiadas de Matemáticas". Ap;radezco inmensamente a Luis Miguel Garda Velázqucz por la cuidadosa wviHi<ín que hizo del manuserito. T'arnbi
~
lndice General CPc 1metrín
2 Algunas Fórmulas Importantes 3
Combinatoria
3
17 21
4 Divisibilidad
41
5
Olimpiadas Nacionaks
59
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Sugerencias Olimpiadas Nacionales
91
Capítulo 1 Geometría A. LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO ES IGUAL A 180"
Para comprobar est.o, tracemos un triángulo cualquiera ABC. Por el vr,rtic:e C t.racemos una paralela al lado AB como en d dibujo. El ángulo n es igual
e -=
tso".
e
B
A
Ejercicio l. ¡,Cwlnto snrnau los üngulo:-; interinn•s de <·< >llVPX<' cualqtii<•ra?
:J
\111
cuadrilátero
CAPÍTULO l.
·1
Ejercicio 2. ;,Cuánto vale cada uno de los ángulos octágono regular?
CiEOMl~TU.ÍJ\
interion~s
5
de 1m -
Ejercicio 3. Smw Al3C y DEF dos tri;íngulo;; tah~H que: úttgnlo ;\ ángulo D y ángulo B = ángulo E. Muestre que ángulo C -- ángulo V Eu r~ste caso se dice que los dos triángulos son semejantes. Ejercicio 4. Sea ABC un triángulo rectángulo donde ángulo A = !JO". Tracemos la altura que pasa por A. Pruebe que la altura divide a Al3C en dos triánguloH Heuwjantes al triángulo original.
'lf)
Ejercicio 5. Demuestre que todo ángulo externo llc un triángulo es ·igual a la suma de los i\.ngulos internos opuestos.
EjPrcieio 6. Caknk d valor di' la diagonal de un cuadrado de lado l. Ejercicio 7. Muestre qw• d árm tk t's igual a <~:¡1.
B. TEOREMA DE PITÁGORAS. EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS
a~ h
1111
trúíugulo <'quilátero de lado d
C. TRIÁNGULOS SEMEJANTES TIENEN LADOS PROPORCIONALES
Hay muchas maneras de demostrar este teorema, considero que la siguiente es eh~ las que convencen más rápido. Tomemos un triángulo rectángulo de catPtos o. y /1 e hipohmusa e como en la siguiente figura.
a
Tracmnos un cuadrado C 0 de lado rL + h, como en la figura. Los cuatro triángulos resultantes son iguales al original. Esto implica que o:+ f3 = 90", dt~ mm ter a qur~ 1 = 90", entonces el dP enmedio es un cuadrado de lado t' al qw• llantawmo;; C' 1 . 'Ihwmos dos ntatH'nlH de calcular d área dP C 0 : una din·da, lltllltiplicaudo (a 1 h)(a -1 /;) .v la ot.ra caknlando d ;ín~a dP los cwtt.ro t ri;íngulos y sunuindosela a la dPl cuadrado C\. La ba.'le de cada t ri;\ngulo mide a y la altma h, de rnanPra que d área de cada. triángulo es igual a·~. Admmí.-: d área dP C'1 Ps igual a c: 2 , de nmnera qne: (a+ h) 2 = ;ín~a dP C 0 = 4( + c2 . Es decir, a 2 + '2nb + b2 = 2ah + c2 . Esto implica 2 qn<' a' +· /1 = e'. Que ns lo que querfanws demostrar.
Antes de probar t)sto, paralela a BC.
considen~111os
la siguiente figura, donde DE es
A
b
b
1/
/1
1
ah~ ~b _l _ll_ _u b
a
1
[)
B/
E
~e
CAPÍTULO l. GEOl\IETU Íi\
(i
Prohawmos que ~fy
= ~f.
7
Parn ha\'N Pst.o, ol>s<~rvemos los t.ri:íHgulos
D. SI DOS ÁNGULOS EN UN CÍRCULO SUBTIENDEN EL MlSMO ARCO, ENTONCES ELLOS SON IGUALES E IGUALES A LA l\liTAD LH~L ÁNGULO CENTRAL COHHESP
AED y JJBE, notemos que tieiWII la miRma altura
•irm(DBB) _ ¡\n·a(AED) -
Dll(a!tma d .. s.J<• Jo:)j2 ALJ(ail>11a
/Jli AIJ.
. .1ar t.enemos que lirea(C:D!:J_ De manera s1m1 ,1,.,a(AJ·:nj = "e ;.F;· Al 1ora. COilSH· ]<~wmos los triángulos CDE y DEB, que tienen a DE corno una base en comúu. Dado que DE y BC son paralelos, la altura que correspondP. a ()Sa. ha~e <'11 a.rnboH triángulos es la misma., de manera que áwa( O DE) ;ín~a ( 1) !•,' 11). De las igua.ldades de arriba tenemos entonces qH<' ~g = ~·~~. Ejercicio 8. En la última figura pruebe que ~}~
= ~~~.
(1
l•:sta ;tfinn;l(·i<'m se ilustra <'11 la sig11Íl~nü~ figura y nos die<' que üngulo ..lllt'lll
'
¡
Ejercicio 9. Pruebe que si dos triángulos ADC y DEF HOil H<~lll!~jantPH con ángulo A = ángulo D, ángulo B = ángulo E y ángulo C --= ángulo F, entonces sus lados correspondientes son proporcionales, es ducir, =--= ~~ = ~~. El inverso de este teorema también es cierto, es d<~cir si dos triángulos tienen lados proporcionales (en el sentido ele que cumplen la.-; dos igualdades mencionadas) entonces ellos son semejantes. Este inverso 110 lo varno:o; a jnRt.ifica.r pero RÍ haremo.'l uso de 6l cuando haga fn Ita.
Nf:
Ejercicio 10. Muestre que el segmento entn) los puntos medios de dos lados fl<~ nn triángulo mide la mitad de la longitud del tercer lado y es paralelo a ese lado. Ejercicio 11. Smm a. y b dos medianas de un tri:í.ngnlo qu<' H<~ intPrsectan en un punto p. Pruebe que p divide a a en dos segmentos
Para jnst.ificm <~sta afirmacitín, ba:-:f;n·;\ probar que o 1111 di<ÍIIH'i 1'0 por d ]lliii!.O ;\, l'!llllll l'll \a fignnl.
1r
=
1,. Pnra "
eHto,
9
CAPÍTULO l. GEOMETHÍA
H
A
90", donde el
Ejercicio 14. Pmche q1w en In siguiente figura, n Sl')!;llWiltO (' J1 PS Ull
di;ímdro.
El trián!!;lllo AOJJ es isósceles pues AO y OB ¡.¡on radio¡.¡ del círculo. Entonces ángulo OAB =ángulo OBA. Por razones similares, ángulo ODI3 = ángulo O B D. Como la suma de los ángulos interiores del tricín~ulo AD 13 es 180", tenemos que 2(ángulo OAB +ángulo ODB) = 180", de modo que ángulo OAB +ángulo ODB = 90". Por otra parte, ángulo DOB
= ·180"- 2(án~ulo ODJ3)
e·
e
B
lHO"- 2(!10"
- ángulo OAB) .= 2(ángulo OAB). Por tanto, ángulo DOB
= 2(ángulo OAB).
De manera análoga se muestra que ángulo DOC = 2(ángulo OAC). Por tanto ángulo COB = 2(ángulo CAB). Es decir, 'Y = 2a. Que es lo que queríamos probar. Ejercicio Irí. Tolll<'lll<>c; 1111 ;Ín¡•,ldn lijo n y dos puntos fijos U y C. A tal<•s qw• ;íngn\o JJ;t(' "" !1.
DPsnil~;l PI lugm geom{•trico d<• los puntos
Ejorcicio 13. El ar¡!;lllnnnto anterior 110 H(~ aplica a la siJ.?;IlÍ<'llt<~ li).!,ma. Diga como se probaría
<¡111~
'Y = 2n, en est.e ca:;o.
Ejercicio lG. MuPsl n• ;\nguln /\
<¡IIP si
ALJC' <~s
1111 1.1
i:íngulo r<'('t ;ÍIIJ',Illo dowk
q()" y 1\f <'S <•1 punto nH•dio rl<• //( '. ('lllnll<'<'S
M .1\
=
M /J.
e
e 11
CAPITULO l. GEOMETHÍA
10
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA Ejercicio 17. En la figura siguiente, pruebe quePA· P B = PC · P D = - r 2 = P M 2 , donde O es el centro del círculo, r es el radio del círculo y M f'.S un punto de tangencia del segmento PM. A este valor (PA · PB) :-;e ~~~ llama. ¡mtrnria de P con n~specto a.! círculo. ¡,Qn<~ ocnrre cuando P PO~
l. Sea ADC nn triángulo acutángulo. Construya un punto O dentro clt> AH(:' tal
es un punto interior del círculo?
~A
2. Pruch<' la [,.y de los cosenos que dice que si tenemos un triángulo AIJC' y hnc<'111<>S 11 BC:, h ··= AC, e=, AH y (1 = :í.ngnlo JIHC, cmt.onceR //· = a< + e< '2w· cos j3. Dedn~ca. el recíproco dd Teorema de Pitágoras.
p
B
3. Pnwhn la fórmula de Herón, qw1 dicn que el área de un triángu!G Al3C con lados a, /¡ y e es igual a:
js(s- o)(s- b)(s- r·), domif,
8
= a±~±c.
4. SPn AJJC nn tri:1ngulo tal que :íngulo DAC = 2(ángulo ABC). SPall (1. = ue, {¡ ""' AC: V r· = AD. Pruebe <}IH1 b(b +e)= a 2 . Ejercicio 18. En la figura siguiente, demuestre que o:
+ j1 =
1HO".
5. S<'illl .\')'/,y i1/J('dost.ri:íngnlos: YZpa:-;a por A, X X pa:--..1 por U y X)· pa:-;a por ( .'. S< 1a 11 1', (J y H !m; circunceutros dn los t.ri;íugulos X 13C, YC;\ y ZAJ1, n•sp1~diva11Hmte. Pruebe que: (a) los cin:uncfrculo:-; d11los tri;\ugnlos X IIC', YC'A y ZAB tienen un punto 1111 común, (h) los triángnlos l'(JH y XY X son sPmnj:mt.<'S.
n. s('i\
;\/1(' 1111 lri;\ngnlo dPlildo:-;
rl,
/¡y
1'.
Slla,. <'1 radio d(' Sil círculo
insnitn. PnwlH' qw~:
.,. "' V.!l~0.9_~,:;_:.:.I·J e··;:;.o;
d () 11 <~ ('
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j
¡, 1 r·) /'2.
7. S¡•¡¡ ¡,· <'1 ciiTIUldn·¡do II dP 1 CPII [ir'~· l'v' PI otro punto d<· intPrs<'C<:Í<-111 d<~ 1 con /\'. S<~a !11 el [HIItl
,·k., ~~
(
CAPÍTULO l.
1'2
13
GEOMETH{A
pa:;a por A, B y L con el segmento AC. Pruebe que á.rea(BN M) = cíwa (fHHC).
A/3 yAC, respect.ivament.<\ Sea D d pnnt.o nH'dio de BC. Pruebe que PD y Q f) son pPrpnndicularns y df~ la rni:-;ma longitnd. l!í. S<•a .'\11( '/) 1111 pnr:tll'logriiJil(). D••ttllli'Sira
8. ConsidmemoH un triángulo rectángulo ABC: con hipotenusa AC. SPnll /' y Q los JHtntos •k intersección de AB y BC, respectivamente, con la rec:t.a que mu• a los incentros de los t.ri<íngulos AB li y BC li. (:1) Prw•ll(• qtl!' IÍJignlo n rq ,.., IÍllgnlo nq r. (h) Pruebe que los segmentos BQ y B El sou igualeH.
!H" "'= AC" 1
S••a 11 d piP d1• la nlt nra hajada ¡(¡~sd1~ /J.
9. Sea ABC nn triángulo rectángulo. m~fif~jarnos d punt.o A ( wsp .. !J y ( .') cott ws¡H~<'io al :-;egment.o BC (rnsp., AC' y ;\/3) para oht.PllPI' 1111 punto JJ (reRp., E y F). Calcule la r»7.Ón de )a:; áren.H de los triángulos ABC y nEF. 10. Smn ABC UJI triángulo acutángulo, D, E y F !oH pieRde laH altura¡.; del triángulo ABC, trazadas desde los puntoR A, B y C, respectivamente. SPan L, M y N los otros puntos de intersección de la circunferencia cir¡·tmH
j
12. SPall ABC un triángulo y D, E y F loH respectivos pnnt.oH rrwdios de los ladoH BC, CA y AB. Pruebe que existe un triángulo cuyos lados tinrwn longitudes AD, BE y CF. Pruebe tarnhi{m qtw el perímetro p d1~ diC"ho tri<íngulo y Pl perímetro q del triángulo ABC satiHfac:en qtw 111 < 71 < r¡.
13. Sc•a ABC un triángulo reetáHgulo isóseeleH con {lngulo wdo PI\ 13. TommuoH puut.oH 1', CJ y H sobre loH lados BC, A y A[]' I'PHpediV
e
14. AfuPra dP 1111 t.ri;íngltlo ABC' :-;e n:-;cogmt dos pnnt.o¡.; P -y Q taks qne Al'!J y AQC son triángulos rectángulos iHósceh~s y con hipott:un:-;as
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corta a ( '¿ (;IJ A .Y Pll /', C¿ corta a e:~ en y en Q, corta a en y en .Y C:.¡ cort.a a(.'¡ <:11 D y en S; de llt:lllPI'II que d cuadrilátero PQRS eHU~
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dclico si .v sólo si •·1 cuadrihíiPro P(J!lc'·i es cíclico.
17. S<':l 1' 1111 p1111to sohn• d aJTo (menor) AB dP !<1 !'Írcnnfen~ncia Ali< '. D<•mtu•:-;tn• qw• /'(' - /'/1 1 /'U.
··irt'ltll:-;nil;¡ :d 1 ri:iu¡•,1tln <'t)llil:íl<'m
lR. S<:n ;\ UC un t.ri:íugulo. Construya 1111 puut.o T' t.al que los áugnlos I'All. /'/!(' \' !'( ',1 :-;¡•:111 Í¡>,11ah~H. l\1n!'sln• qtH' dil'ho pnnt.o Ps t'111ico.
14
15
CAPÍTULO l. GEOMETR.ÍA 11. Smn A y . •jil(~ A~ .A ,,' [ lli'S·1 11'
SUGERENCIAS A LOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA l. Dado un segmento AB, complete a un triángulo equilátero ABJ) y constrnya d r:itTllllCÍrculo eh~ PSÜ~ triángulo. Los puntos E PII d meo IIW!lor, ddPnninado por An, de la circunfen~ncia. tic~tHm la propiPd |
e
2. Trace la altura teorema de Pit.;í.goras.
por C.
Esto
le~
pm-rnitirá calcular d cos {1 y usar
Pi
3. Pnr PI ProhiPnw 2 usted ya puede poner PI <"OS (1 en tí~rminos dP los Indos d1•l l.ri;ÍJI)',IIIo. l•:sln le• ¡wnnil.e• JH>IWr d S<~n/1, y l'lli.OJWI~S 1111a ;dlura. m tí~rminrJs d!~ los lados del triángulo. Para d resto hay que gastar el lápiz.
4. La figma
tiPil<~
dos triángulos daranwntc semejantes y
11110
lll<Ís
isósceh~s.
5. (a) Sea I el punto en el que se int.ersectan los circuncfrculos de los t.riúngulos Y C: A y A 13 Z. Pnwhc que la suma de los :ingulos C I IJ y C X H <~s igual a 180". Se sabe, por ejemplo, que la suma de los ángulos CY A y CI A es igual a 180". (b) Los :;;iguimt.es pare:;; de segmentos son perpendiculares: P R y B I; (J H y /\f; (J P v ( 'f.
A 1 las n•spc•<'l.iva:-; ;ín•a:-; d<~ los /le. · ¡7¡--. ¡\L' ( /JI) j 1) ( AE + 1) /)(' e· ¡¡¡o-IX' .
t.ri:íngulos
ATJC y DEC.
12. S1 •;1 (: 1·1 griiVÍ<'I'Ill '" (" ('l'lllroide) dPI t ri;íugnlo AJ3C. Mw~st.n~ q111 · .. 1!: 1 (: 1 ' · :U:¡.;. l•:sl o s1' p1 H'< l1· l1<11·e ·r 1 ·o111 pl1•l n 11do d lri;íngnlo ,·\Un ;1 1111 p;lr;lll·l<>gr<~lll<>. s¡,,,¡~;¡,IIH'nl<' f.'fJ
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14. S1';111 V v F los n•spndivos p11111o::; m<~dios de los segmentos AC y \/1. l\111<'.'-111' ljll<'los lri:íu¡•,1dos /)fi!J ,. /'/•'[) Sllll e·oll)'.lll<'lll<·~<.
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6. Sea 1 d ('(mtro del incfrculo. Calcule el área de los triángulos AH 1, ACI y BCI. 7. Ba.'iht probar que los segmentos BM y NC son paralelos y, para es suficiente con probar que los ángulos M BC y BC N son iguales.
<~sto,
8. SPall 1 y .! los inccmtros de lo:;; triángulo:;; A B H y BC H, n~spPd.i vmwmt.n. Mm~stre que el triángulo 1 H J es semejante al triángulo AJJC y que el ángulo AH I mide 45". Esto le permitirá calcular el ángulo I PA. 9. sl~a fl d pi<~ de la altura dd triángulo FBD <[IW pa:-;a por n. Muestre que HE es una altura del triángulo F DE y que los triángulos F BD y ABC son c:ongruentPll.
10. Sea P d punto en el que se intersectan las altura.'> del tri11ngulo ABC. Mun::·ltre que d cuadrilátero P DC E es cíclico. Deduzca que todos los ánp;u!o:;; BCL, BML, BAL, PCD, PED y FEP son iguales.
""-,/('.
A y B.
e y A.
Capítulo 2 Algunas Fórmtilas Importantes Dr·rliwin•JJJ<>C' IIJJ;) fr')J'lllllbl
(l
r·aknlar ,'-,'ce. 1 ¡ ¿ ¡
1
/1,
l'rinlr'ro r'.~tTihiHIOS S"'~ l ! :2 1 + (n 1) 1 n, T:uuhih1 podt•mos f'scribir S = 11 + (n -- 1) 1 + :2 1 1, Sumando las dos igualdadPs en <'1 sigui
1
1
t
+
(11-
S
'/1
1-
(n ! 1)
+ +
:2
'28
1 ¡
Así
CJIH',
:2.'->'
·e-
:2 (n- l) 1 (n + l)
n(n -1
( 11
11
1 ). Por (all(Cl, ,'-,'o-c "("_2
Ejnrcido l. 1kdm:c:1 '2 + 1 + (i 1 __ _ 1 '2n,
llllil
1/n·nnila para 1:!
l)
+ 1)
+ + 1
n (11.
+ l)
).
SlllliH
d<· l(ls prinwms paws
J;:::;jen:icio 2. 1h•duzc;1 1111<1 l'r'liii111Lt para l:1 .~11111:1 dr• los pri11wros itu-
pares l 1 :¡
+ :í t- ·-- +-
(:2n
1).
Ejercicio 3. Cakuk 1~lOO
+ 1!)0 1
¡ __ .
+ :2000.
EJEJ\,1PLO. Vamos a deducir un:t f/mnula para la suma dP los priuwros ('!l;ulrado~. Prinwro no(r•1rHlS q1li' par:1 lodo nÚ!lH'I'
klllliiJI
(11 -- 1), ( 11
/, 1
:\/,:~ 1 :\/,- 1 l. 1\plic:~lldll t·~t;¡ (/nilllll:t
;¡ /,-
11,
2), ... 2.1, 1<'1W11LOS la éoigllÍI'II1<' éol'l'it•
.. ,\'
(n + lfl
n3
·-
n3
(n--1)~
=
(n . l):t
d<·r<'cho
1r
+
13
1
t.odos los
y
--
u~nninos
f 1 . De manera (n 2
2
2
3. 22 :3. ¡2
=
+ +
¡\ l
1
+ +
3·1
con sip;uo nu\.-; y
quP
+ 1):1 --
con
l~jercicio
signo
lllf'llf
•s
=
:!(n +(n--l ) +(n-2) + ... +2 + 1 ) f-:!(n+(n-1)+(n-2)+ ... +2+ 1) f n. Despejando la suma dP los cuadrados tenemos que
~[(n
+
n 2 + (n- 1) 2 + (n- 2) 2 + ... + 22 + 12 = ¡:t- 3(n + (n- 1) + (n- 2) + ... + 2 + 1)- n] = 1 n+l' -· ·] ;¡l[( n + 1):1 -· 1:1 ... .·¡n:.:.'--;¡...:.~. n ~ 2 ~ (n + 1) [(n + l ) - ~" - 1J = ~(n + 1)(2n 2 + n) =
1) 3 -
h(n 1 1)11(2n 1· 1). Por tanto 12
+ 2 2 + ... + {n --
2) 2
+ (n-
Ejercicio 4. Deduzca una fórmula.
+ n'2 ~ ~(n + l)n(2'11 f 1) para 13 + 2:1 + ... + (n- 2):1 + (n -1) 2
+ n3. ( Hra fónr111la útil
!'ti
la signi<'nl <~. 1'ara t.oda. :e
i
1, 1 1· :r + :r'l 1
1 :r"
(:¡;" ¡ 1 - 1l/(:1:- 1). '~s sufiu~nk con qw~ mult.ip1iqnPIIIOS de la izquierda, haciéndolo obtenernos:
Para comprobarla, u~rmino
T
t
T2
T
-
T'l
~
r~
X~
+ -
+
.r'l .r1'
~
:r:
.r''41
-
1, qu<'
('S
lo que teníamos que obte-
1111<1 l
<'S inqmr a
u!'
/1''
y ¡,son enteros, entonces a+ h
divicl<~
obtenemos la igualdad: 13
r.. ()ht<•nga
Ejercicio n. Pmehn q1w :-;i a u"+ /J''.
1
1
2
2
ca u celar. súlo sohrPviv,·n .r"+ 1
111'1'.
+
:3. 2
+ +
1
todas esta..c; igualdades por columna:-;. Notemos que dd lado
apan•nm
•~xcepto (n
23
-
Sumf~mos
:Jn2 3n + 3(11- 1) 2 + ~(n- 1) :1(11 - 2)~ + :l(n ·· 2)
:¿rl
(n
33 23
1rl
19
CAPiTULO 2. ALUllNAS FC)RMULAS IMPOHTANTES
IH
1 por d
loe;
Ejercicio 7. Ennl~'lll n· la su111a df' todos ]o:-; mínwros de 9 cifra...;; en ¡,,loe. l"s dí¡•;ito:-; l. :2, , !l ;!p:ll<'<"<'ll 1111:1 y súlo 1111:1 VI'Z.
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J..
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.....:::
1.
~l·_
"7
22
2:{
(',\PÍTULO :i C:Ol\1niNJ\TOJ?T;\
!JUIH'IllOS 1'11 1'1 prÍill<'r lugar, fl~llPIIIOS J () posi!JI1•s dl'l'I'ÍOIH'S Jllll'il l'l Sq~lllld< J litgar. Por tanto hay 10 ·lO= 100 pawja.s.
( )t ra forma de cout.ar estas p
a la (1, 2) le a.sociamos Pi 12, a la (O, 7) le asociamos el 07 = 7. de.
l~as;índonos 11< '1
<'11
'st as <'XJH'l'Í<'ucia.s podl'liJ<>s <'lllllH'iar
l'am r:omproh;1r ••:;1<' priiH'ipio. J¡asf;¡ l'
Para r<'sponder esto, denot.m11os los caminos de !l a B por n 1 , 11. 2 , 11.:1, 11.1 D<•not.PJIIOS los caJIIilloS d<• /1 ;¡ (' por h 1 , h2 , ... , h2 !J· Un camino d<· :1 a pasando por H puedf) ser d<)IJ
u,,.
e
Una forma bn•v<• de 1kcir todo <'slo c•s: En el primc~r lugar de las panü diferr~ut.cs. Por t ;¡ 111 O ha~· !j · 2fl e~ 145 f"l'lllHS di) d<•gir las parejas.
(u 1, b'.!),
(U.¡ ' /¡ 1), ( !1.2, h¡ ),
(o.~. h2)'
'(11¿,
/¡1)'
( 1/1/1 h¿) 1
. (u 11 .11 11 , )
( 1/1/.
e
principio gc-
l. Sl TENEJ\IOS DOS CON.JliNTOS FINITOS DE OB.JETOS ,¡ ju 1 , ,u.,.} y /1 j/1 1 , .. ,/,,,.},ENTONCES SE POEDEN FOH.MAH u·'" PARE.IAS DE LA FORMA (u,.l1 1 ).
Ha('icndo esto, te11ernos tantas parejas como níuncros del O al 99 y como h
EJEMPLO. De la ciudad A a la ciudad B hay 5 caminos y ele la ciudad lJ a la ciudad C hay 2!J caminos. ¡,Cuántos caminos hay d<~ la ciudad A a la cindad pa.">ando por la ciudad /1'(
1111
:ti:
pan~
. (11¡' /¡"') h,.,)
Jl.i<·l os y p;1r:1 cada 1111a d1•las <'l<·•·e·iolli'S dd prinwr lugar, podPJJios l)l<•gir 111 ohjd os p;~r;1 el S<'gnndo. l'or tanto podl'mos degir n ·m pareja~ 1'11 tot ;¡l. lls;n¡do <·si<' ]>1'111< 1pio, t;nnhi<.'JJ pocle•¡nos e·o1!1:11 I<'J'I'd:ls, snpnngm!Jlljlllll 1, ... /,.,,}y {t· ,1',}, <'l!loJJ<'<'S d JJÚJJt<'r< • d< • t 1'1'1'< ·t; 1:" 'l1• l;~ fonJJ :1 (11,, {¡-'. '·¡ '! q 11! · sc> Jll u•d1~ fonn ar es n · 111 • 1'. ]r;:-;lo S<' dc>IH· :1 HJOS l'S<'I>g<'l la p;tn•j;¡ (u,, h¡) y .Y;t s;dll'JJJos qw• j¡;¡y 11 · 111. fonuas di' e!Pgir <'SI:\.'i p;lJ<',Í;ls. ( '"d" tJJJa d<' esl:1s p:m•jas S<' ptH'dl' ,·,nnple•tar con t.odos los 1'¡., .¡,. IJI <¡JI<' !1:>\' 1 fonna:-; .1 .. ''"IIIJ>l••l;ll' <> ··:uL> J><>l'<'.Í:>. P11r t:>Jtlo J¡;¡v 11 111 · /' f ''l'l'<'f :JS. 1 ,
lié;f<• j>l'lll<'ljJIO ;;,• Jlll<'dl' <'Xf<'lld<'l' de• lii:IJJ<'J':I 11:>f IJJ';\1 Id :ts, CJIIÍIJI<•f ;¡:-:. ,.¡ <
IJIII'
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...
I'IJJJ11'<1 di' 1'11;11
l•:jm·CÍc:ÍO J. ¡,( '¡¡;Íilfos !IÚIIJ<'IIlS de• 2 ('ifJ:lé' ;.;¡• ]JIJI'd<'ll flli'IIJ:ll SÍ SI' pid<• \;¡ ¡>riJJJI'I'il ¡·jf¡;¡ <';l ÍJJJ]l;lJ \. 1:1 S<'i',lli!d;¡ p:¡¡ ':'
"'
'24
25
CAPÍTULO :J. COMBINATOWA
Ejercicio 2. ¿Cuántas placas para automóvil p1wdcn fonnars<~ tomalldo primero 3 letras (sin incluir las letras eh, 11, y o) y después tres números enteros del O al 9? Ejercicio 3. El concurso de pronósticos deportivos consiste de llenar una planilla qm~ tiene 13 renglones. Cada renglón tiene el nombre de dos 1:quipos do fut.l>ol y timw tres ca.o.;illas. La primera c:a.o.;illn die<~ local, la sf'guuda empate y la tercera visitante. Uno tiene que marcar una. do <:st.a.o.; tws Ca!-iillns. Si uno llcma, por ejemplo la ca!-iilla do local, m;t.l\ apostando a que va a ganar el equipo marcado como local. Entonces
Ejercicio 4. En Letrolandia sólo se permite usar nombres de a lo m;l.o.; cinco letras, no se usan ni la eh ni la ll (por lo menos no se consideran como una sola letra) pero se vale cualquier otra combinación posible, por ejemplo hay una persona que se llama Zzq. Antes de que naciera Pedro 2, habían podido hacer que todos los nombres fueran diferentes. Pero por máo.; 1:sfumzos que hicieron a Pedro 2 le tuvieron que poner el mismo nornlm~ que a Pedro pero añadiéndole el 2. ¿Qué número de habitante es Pedro 2'! Antes de enunciar otro principio, consideremos el siguiente: EJEMPLO. ¿Cuántas sextetas (a 1 , a 2 , ... , a 6 ) se pueden formar tornando los a.; diferentes en el conjunto { 1, 2, ... , m} (donde m ~ 6)? Ln diferenc:in. di' nstn ejemplo con los anteriores residn on qw~ s1~ pidP que los n S<.!/1.11 difewutes. Esto significa que ahora 110 se pt!nnit.c, por ejemplo, la sexteta (G, G, 4, 3, 1, 2). Para dar la respue8t.a a la pregunta, podemos decir qnc: para armar una sexteta de ésta.<;, podemos pom~r m va.lom:-; difnn~nt.ns en d primer lugar (cualquiera de los uúrueros 1, 2, ... , 'In). Una vez que~ ponemos un número en el primer lugar, para el segundo lugar ya nada 1m1s podemos elegir entre m - 1 números porque ya. uo poderoo:-; repetir el que pusimos en el primero. Una. vez que ocupamos las dos primeras posiciones, en el tercer lugar podemos elegir 1ínica.mmltc <~nt.n~ m - 2 mínwros y a¡.,f sucesivamente hasta que para el sexto lugar s!'llo
pod<'lltos t.
111. ·-··
S míJueros
difPn~nt1:s.
Por tanto se pueden armar
m· (m - 1) ·(m -- 2) ·(m.- :1) · (rn- 4) ·(m- 5) sextetas. HazoumHlo principio:
<:01111 1 1'11
d
<~.i<~lltplo
aut.m-ior, sn puedc: obtener el siguiente
11. SI m:~ n Y TOMAMOS UN CONJUNTO FIJO {b 1 , ... ,b,.}, ENTONCES EL NÚMERO DE n-ADAS DE LA FORMA (a¡, ... , an), DONDE LOS a, SON DIFERENTES Y SE TOMAN DEL CON-, JUNTO {h 1 , ... , /J,,} ES IGUAL A rn· (m.-1) ·(m-- 2) · ... ·(m- (n-1)). l'ara silllplilil'ar nxpn·sioJli'S 1'11111• • la qllt~ apnn'C<' 1'11 d p;í.rrafo autl'rior, s1• dditw 1'1 shuholo n! = 1 · 2 · ... ·11 q1w se leen factorial, entonces 1! = 1, 2! = 2, :3! = G, 4! = 24, 5! = 120, etc. Por conveniencia se define O! = l. ColiJO ·n! = 1 · 2 · ... · (n- 1) · n, tenemos que n! = (n ·- 1)! · n. Además la uxpn~sil'm del p;\rrafo mtterior puede ser p.o.;crita asf:
m·(m--1)·(111
2)- ... ·(m--(n- 1}) = m·(m--l}·(m.-2)· ... ·(m--n+l) = 1! \"! __ !1:.:.:~"-'-'-'lJ. '!'-~:2±~·-'-~L~ __.!.".!__
'" Í"'.
(n• u)·(m--u-·1)·. ·2 1
-· (m- n)l'
EJEMPLO. Si 1:11 la propi<~dad JI tPn<'mos n = m, ent.oncPs d resultado
¡,Cw\11t os uü11wros SI' Jlltl'd<'Il
s11s C"ifras dikn•t1h:s
~~ntn'
sí .Y difenmt.es d<' cPro'?
formar
1 pw
t l'llg
e
e 26
CAPITULO 3. COMBINATOIUA
27
Ejercicio 7. En una carrera compiten cinco corredores A, B, C, D y E. Si nunca hay empates, de todos los posibles resultados, ¡,en cuántos resultados A le gana a B?
Para. convencernos de la validez del principio III, procederemos en forma
Antes de enunciar el tercer principio, consideraremos un ejemplo. EJEMPLO. ¡,Cuántos subconjuntos de 3 elementos se pueden extraer del conjunto {0, 1, ... , 9}? Un ejemplo de un subconjunto de tres elementos es el conjunto {4,5,9}, aquí se entiende que lo importante es lo que contiene el conjunto y no el orden en que están acomodados sus elementos, de manera que {4, 5, 9} es igual a {4,9,5}, {5,4,9}, {5,4,9}, {9,4,5} y {9,5,4}. Para armar un subconjunto de l~stos, podemos elegir d prinu~r elemento dt~ 1O formas, el segundo de 9 y el tercero de 8 fonna.'i. Pero sería así si supusieramos que el subconjunto tiene un orden en sus elementos, de hecho al hacer esta elección realmente estamos formando las tercetas y no los subconjuntos. Por ejemplo, el conjunto { 4, 5, 9} lo formaríamos 6 veces (las enumeradas arriba). A pesar de que esta elección está equivocada nos sirve porque sa.b<~mos exactamente cuánto elegimos de más. Con CHta eh~<:ci<'m eHcogiIIIOI' 10 · o · 8 tercetas, podernos agrupar esta.<; tercet.a.-; en p:u¡udPs de 6. Por ejemplo, un paquete estaría formado pór las tercd.a.'-l (4, 5, !l), (4, n, 5), (5, 4, 9), (5, 4, 9), (9, 4, 5) y (9, 5, 4) y todas ella.'l representan al suheonjunto {4, 5, 9}. Entonces, si queremos saber el número de subconjuntos, tenemos qtw calcular el m1mero de paquetes que stl puoden formar. EHt.o núrrwro d<~ paquetes es igual al número de tercetas entre seiH. Por tanto d número buscado es 10 r~·R = 120.
análoga al ejemplo anterior. Primero formamos las n-adas que se pueden annar con los deiiiCUtos de JJ. Esta.-; n-adas son de la. forma (a 1 , ... ,a11 ), donde a 1 , •.. , a, son elementos de B = { b1 , ... , bm}. Por el segundo principio el número de n-adas que se pueden formar es igual a (m~;,),. Dada una n-ada ((/. 1 , ••• ,a.,.), como en loH subconjuntos no importa el orden de los elementos, cualquier permutación de los elementos de la n-ada representa al mismo conjunto. Por ejemplo, (a 1 , •.. , an) y (a 2 , a1 , a3 , .•. , an) representan al conjunto {a 1 , ..• , a11 }. Corno en el ejemplo anterior, podemos agrupar las n-, adus en paquetes. PonemoH en d mismo paquete a todas la.s permutaciones de la n-ada (a 1 , ••• ,a.. ). Para saber cuantos elementos tiene el paquete correHpow 1ient.e a (a 1 , ... , a 11 ), notemos que en él e_stamos poniendo todas las n-ada:-; que st~ puedcll armar con los elementos del conjw1to {a 1 , ... , an}. Entonces, por el ejemplo que sigue del segundo principio, cada paquete tiene nl elementos. Ya que hay tantos paquetes como subconjuntos y el número de paquetes es igual al número de n-adas entre nl, tenernos que hay nl(.::'~n)l subconjuntos con lo que queda probado el tercer principio.
Para facilitar la escritma,
sP ddiw~
d símbolo:
m! (rH) 11-~· A <~st.n ¡.;fmllOlo se
lt~ llama
mmhinacionns de m en n.
E.JEMPLO. El concurso IVIELATE consiste en eHcoger 6 números del
conjunto { 1, 2, ... , ~4}. La persona. que adivina los 6 mínwroH ganadores EHtamos listos para mnmcia.r el
tc~rcer
ol>t.it~IH'
principio:
111. SI B ES UN CONJUNTO CON m. ELEMENTOS, B {/, 1, ... ,11.,,}, Y ADEMÁS n S m, ENTONCES EL NÜMERO DE SUBCONJUNTOS CON n ELEMENTOS QUE SE PUEDEN 1
FORMAR CON LOS ELEMENTOS DE B SON ~-'-" -. n!(m ·n}!
1111 premio millonario. Para. <'Htn concurso no importa PI orden en nJ qiH! S;tJt~¡¡loH lli"llllf!IOS. ,:.( :111\.iii.HS ("!llllhinaciOII!!S di' (j lli'IIIWI'OH Hl~ pw•dt•ll f!scoger? Como no import.n ¡•] orck~n, tenemos qm~ contar d mímero dP Rnbcon··
jnnt os d<• !i <•1< 'llH •nt o~; qw~ s<• P' wden fon 11ar d< •1 <"olljHnt.< • { 1, 2, .... ·1 ·1}. Por
. · · P1 kn·«·r pmwlpto, 7, OGD. or,2.
«!:-;!.<~
Ja ' · mtlll<'ro eH I¡>;HH
('H) (i
11! ·-= ¡¡t:;¡¡¡¡
111~A2AI·11l:l\l ...... --·-·m---·· ,...
e
e 28
CAPÍTULO 3.
29
COMI3INJ\TOTUJ\
EJEMPLO. Madame Lulú nos ha dado nn pwdicc:ión para los dos pró-ximos concursos de melat.e. Nos ha dicho que para esta semana van a salir 3 números pares y tres impares. Mientras que para la próxima smnaua 2 números estarán entre 1, 2, ... , 15, 2 números estarán entre 16, 17, ... ,JO y dos números estarán entre 31, 32, ... , 44. ¿Cuál de las dos predicciónes es mejor? O dicho de otra manera, si jugaramos a todas la.'> combinaciounH po(>ibles con las características que nos dió Madame Lulú, ¡,en cuál de la.'i dos semanas tendríamos que invertir menos dinero?
('otilo sil'lltpn!, aulcs «k l'llllllciar d c·uarto principio, veamos un ejemplo.
EJEMPLO. Este ejemplo t.ieiH\ que ver con el conteo del mímero dc- subconjuntos que tiene un conjunto dado. Empecemos por contar el uúuwro de subconjuntos de conjuntos pmlueños. El conjunto { 1} sólo tiene dos subconjuntos a saber 0 (el conjunto vacío) .V {
Para la primera semana, se deben escoger 3 elementos del conjunto {2, 1, ... , 44} y tres dementos de { 1, 3, ... , 43}. En los dos cmms tenemos dos cantidade.s mencionadas. Por tanto, para la primera semana se tienen = 22 261 20 . 22-~1-20 = 2, 371, 600.
e
en .en
Para la seg!Jnda semana, hay que elegir los dos primeros números de un conjunto de 15 elementos, entonces los 2 primeros números se puedm1 formas. Lo mismo ocurre para los sc~gundos l.'í !IIÍIIWWS y escoger de
en
los terceros 2 números se pueden escoger de semana tenemos [)p ttlllllf\l"/1.
qw~
C~) . e25) . c24) =
1\H
ttwjor la
C formas. Por tanto, 4 ) 2
105. 105. Dl
=
¡u·«~((¡cd<'JII de la sq~111ula.
m1
esta
1, 002, 27fi dl'ccioiii'S. Hl!llllllllt..
Ejercicio 8. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo dP n lados? Se entiende que una diagonal es cualquior segmento qtw mm dos vértices del polígono y que no sea un lado. Ejercicio 9. Pruebe de dos manera.<;, usando factoriales y contando subconjuntos que, (';:) + ("': 1) = cuando n < m..
(';::f),
ll-
1•:1 ("crihi111os todos los ~ildl("o!ljnut.os d!' { 1, 2} y tamhi(m 1odos dios aúadiéndole a cada tmo el :3. Por esta razón el número de
:q
:q
snlwonjuntos de {1, 2, 3} es d doble del número de subconjuntos de {1, 2}. i. C{nno podnmos formar los sulwo¡¡j untos ck { 1, 2, 3, 4} 't Pnns podemos tomar todos los snbcm~junt.os de { 1, 2, :~} (y aquf estamos poniendo todos los subconjnntos de {1, 2, 3, 4} que no tienen al 4) y además tornar todos <'st os conjuntot-> y alladirlns <'1 4 (y aquí (•st amos poniendo todos los subconjnníos d(! { 1, 2, :~, '1} que t.Í de { 1, 2, 3, 4} es igual al doble del número de subconjuntos d<~ { 1, 2, 3}, (~S decir, {1, 2, 3, 4} tiene IG = 24 tmbconjuntos que son: 0, {1},
{2}, {1,2}. {:q, {1,3}, {2,3}, {1,2,:1}, {4}, {1,4}, {2,4}, {1,2,4}, {3,4}, { t,:l.·1}, {2,:3,1} y {1,2,3,4}. ,.¡,11-1111<'1'0 dn snlwon :t! ·-= 2''. Eu gmwra.l podemos decir que el tn'unnro de subconjuntos de { l, 2, ... , n} Ps 2". Entonces podemos enunciar ,.¡ !"Uart.o principio:
l'nwc•clíc•lidc• ele·
la 111ÍHIIIH lllillll'l". :;e· ,,J,Iíc•IH' qlll'
.i 11111 os d( ~ { 1, 2, ;¡, ·1, .'í} (!S 2 · 1(i
""
IV. EL NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UN CONJUNTO DEn ELEMENTOS ES IGUAL A 2".
e JO
CAPÍTULO
a.
COMHIN.'\T()J?J!\
Para convencernos del principio IV, tomemos tm conjunto cualqui1~ra A = {n 1 , .•• ,n,} cou n nlmrwntos. EutoJWt!s JI tiPtlP tautos sulworr.irrntos como subconjuntos t.it~JW d co11junLo B = {1, 2, ... , n} ptwsto que podmnos identificar los subconjuntos de A con los subconjuntos de B. Por ejemplo, podríamos identificar el subconjunto {a 1 , a4 , a 2 } de A con el subconjunto {1,4,2} de B. Y corno ya argumentamos que B tiene 2" elenwntos, entonces A ti1~ne 2" dmnentos.
Ejercicio 10. ¡,DI~ cui\nt.aH marwra.'i SI~ pu1~1h~11 n~partir la¡.; ;,¿ c·arta.o.; de una baraja a dos perso11as si: (a) se les reparten igual mí mero de cartas, (b) s1~ les reparte cualquier nümero de carta¡.; pero In toca alHw1ros tiiJa 11 cada una?
Ejercicio 11. Pnwbe cpw
e
('(¡') + (';') + ('~') + ... + (;;;) = 2"'.
El siguinnte ejmnplo 1~s muy útil ¡mm a.c:ost.mubrarsn a ln.o.; dift~n·nt.c•s th:HicaH de conteo pero tiene el defecto de que se cuentan objd.o:; de 1111 sólo tipo.
EJEMPLO. En la baraja inglesa se tienen la.'l siguientes carta.<;:
Espadas 1,2, ... , 10, ./, Q, K, Corazones 1, 2, ... , 10, ./, q, ]{, Diamantes 1, 2, ... , 10, ./, q, K, 'fréboles 1, 2, ... , 10, .J, Q, I<.
Se define una mano corno un subconjunto de 5 cartas, y se define una mano con juego a la que contenga alguno de lo::; eonjuutos que se definen a continuación.
:ll
dos cartas dd IIIÍSillo mínwro, dos cartas dd mismo IIÚIIH'ro y dos cartas de otro, tcr·r"fll. - t.n•s cartas del mismo núnwro, cm7·ida - las 5 cartas con los mímeros seguidos sin importar el palo, es ch·ir, sin importar que sean espadas, diamantes, corazones o tréboles, jlm·- 5 carta¡.; del mismo palo, jlor !'SI'II.li"IY/. - 5 cartas del mismo palo con los mímeros consecutivos, .f11.ll p¡¡ r lfl;Ís h~rcia, 711 j/;u,¡· - ;¡ cartas del müm10 míHwro. J'm· -·
:J
Jlll.l't·s
¡,Cwí11ta.s lltallos hay? Hespuesta: ('~~) = 2, 598,960. Porque para formar una. mano se elige un subconjunto de 5 elementos de entre las 52 cart.a.o.;.
¡,CwíutaH mauos tierwn pókar de a..<;es? Respuesta: 48. Porque si tmnamos las cuatro r·a.rtas qm• son m.;ps, podernos completar la mano con c·wtlqHic•ra de· las ·IK carta¡.; l'l!st.ant.t•s. ¡,Cwí.ntas manos tiPJH'n pókar? Ht~Splwsta: 13 · 18 == 624. Porque hay twce mínwros y el pókar do cada uuo de los números se puede formar de 48 forma.'> distintas. ¡,Cwínt.a.o.; manos tienen fior de ~~spada.s? Respuesta: (~3 ) = 1, 287. Porque sn forma la mano escogiendo 5 dP las trece cartas dP Pspadas. ¡,Cuántas manos tienen fiur? Respuesta: 4 · (~1 ) llorns d1' cuatro palOl; difl!l'l~llfi~S.
= 5, 148. Porque hay
¡,Cuántas manos tiPnen flor escalera c:on espada.? RespuPsta: esta..'3 lllHIH>s se pw•dn11 ""llt.;rr, <'onsid(~rando priHH'ro la qrw Plllpin;~,a con as, la. qnt• <'lllpinza cou 2, la q1w mupit,za co11 :1, y sn tiigw~ así lwst.a la que empieza ('ou !l. Por taut.o, hay H flore:; escalm-a c:on espada.
e :J2
('l\/'[Tfi/J> .'!.
e
COl\WlN!\'l'U/U¡1
i.Cwintas manos tienen flor e¡.;ca!Pra'! Hcspu(~:-;t.a: D · 4
G)
y nada más, el par de ases puede srr Pscogido de maneras distinta.<; y laR cHttas rcst.aut.<~:-; de :IH ~~ forma~-;, D<~ manera que las manos que tienen un
= :w.
;,Cuántas manos tienen full de 2 as<~s y tws doses? Respuesta: = 24. Porque los dos H.'les se escogen de cuatro cartas y los tres doses de o1rm-: cuatro. Si q1wremos contar cuántos fulles tienen dos ases y tres cartas de otro mímero entonces tenemos que multiplicar 24 por 12 porqw~ d otro mímero se JllH'
C) ·C)
;,CwíntaR manos tienen corrida? Respuesta: 9 · 4fi. Las corrida...,
;,Cuánta..'l manos tienen tercia de ases y nada müs? Respuesta: 8 44
C) ·
! ~ = 4, 224. Primero observemos que se pueden formar (~) tercia.'! simple.s de ases. La cuarta carta puede ser tomada entre las 48 carta.•:; que no :-;on ases y la quinta entre las 44 que resultan de quitar loH a:.;<~H y la.'> cuat.ro cartas que timwn el mismo número de la cuarta. Finalmente dividimo:-; <~n tre dos para evitar distinguir entre la cuarta y la quinta (no es mm pan~.ia ordtmada sino un conjunto), entonces hay (~) · 4 H/ 4 = 4, 224 nwuos qw~ tienen una tercia de a.'les y nada más. ¿Cuánta..<; manos tienen una tercia y nada müs? Respuesta: 13 ·
iH/
4
= !i•1, !Jl2.
Como la tercia se
G) ·
48~44
= 54, 912 manos con una
¡,Cuántas manos contienen un par nada más? Respuesta: 13 ·
1li~t
40
= 1, 098, 240.
C) ·
pw~de formar de ases, de dos<~H, <•t.c, d<~
;H·twrdo con el párrafo anterior hay 13 · simple.
t<~rcia
33
C) ·
Primero veamos cuántas manos tienen un par de a:-:;es
par
d!~ ast~s son
C) ·JH·¡;-10 . Y como hay tren~ números distintos el mímero
d(• Ill
¡,Cwíut as
(~)
C) · 48 ·¡;- 40 = 1,098,240.
lllHilOS contienen dos pares .Y nada más?
· C) · 1<1.--
Respuesta:
c;l)
12:l,r).'i2. Pritlt<'ro ohHf'rV<'trtos CJIH' do:-; mínwros entn• ¡;¡SI' pw~d<~u <~:-;cogPr d<· ( 1 formas distintas. Una vez elegidos los dos números
n
C)
d!• do11d!' Yiilil"s a fmnar los pm·<·s, <'otno cada par SI' puede escoger r. lllll:lS .Y la últitna carta la podemo:-; ('Ht:oger d<~ lH.'i 44 cartas restantes (hay qw~ quitar la:-; ocho dP donde escogimos los dos pares para que no se hagan t<·n·i;lH). EntOJ)('PH ('OllcllliiiHlS
C). C).
RESlJMEN Total de manos Flores Pscalm-a Manos con pókar M a nos con full M a u os co11 flor ivfatlos con <:11rrida ivfa.tiOS ('Oll j¡'JTia l'v1anos t'Oil do:-; p;lrr~s l'vlauos con par
2,!í98,9fi0 36 624 :~, 744 :í, 141'\ !J, 2 f(i ,r¡,¡, Dl2 12:l,Mi2 1, 0!)8, 240
e
e 34
35
CAPÍTULO :J. COMBINATORIA
(i. i.C '¡¡;íutos míuu~ros menores que 1m millón hay tales que en sus cifras
PROBLEMAS DE COMBINATORIA
ti<~neu exactamente~
Para no dar la falsa idea de que todos los problemas dP conteo sP plw
qtw tlll 1_nilkn1 hay
7. ( kho ¡wrsouas van a comer en mm mesa redonda. ¿De cuántas mall<'ras pw~dl'!l sPr acornodadas? Sc~ entiende que dos acomodos son iguales
cwtJHI
l. Considermnos la figura:
dos nueves y un uno? y ¿cuántos números menores que en sus cifras aparnce a.! menos un nueve?
t;d<~s
JH~rsoun¡.¡
~. Pnt<'IH~ qw~ t~l
tim1cu a su
den~cha
al mismo acompañante.
producto
ihl(' t•nt n · n! H. (_', Jllsid<'r<' un cubo de lado 3 dividido Pn !) subcubitos de lado 1 (Dllll<> d cubo dt~ Bubik). Suponga que los subcubitos son de queso y que S<' ti,•Jw 1m ra.t/lll caprichoso al qnP Húlo lP gusta comer queso en cubitos (!11' Ltdo 1). IVItH'sln~ <¡111' ~~s Íiilposihl<' <¡11<' <•1 rat<'lll SI~ pw~da co11wr todos los cul1itos cid qtwso <~nqa~zando por una esquina, terminando en el centro, y avanzando de tal mannra que si se como un cubito e inuwdiatamente d<~spn{•s sP com(~ otro <:ubit.o, eut.ouces <~sos dos cubitos comparten una
~-+-·-t-+-+-1-~--·--··
¡,Cuántos caminos hay de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha si no se permite caminar hacia la izquierda y no se vale pa1-1ar dos v<~CPS por el mismo lugar? (sf se vale caminar hacia arriba).
2. La misma pregunta que en 1 pero ahora sólo se ¡>(~rmite avan11ar a la derecha y hacia abajo. 3. Llamemos K6 ala gráfica completa con6 puntos. Es decir, K 6 const.a de 6 puntos y todas la.•;; aristas posibles que los unen. Como no queremos que las aristas se toquen, esto sólo se puede visualizar geomótricmnent.<~ en 1'1 espacio. Pruebe que si cada una de las aristas de K 0 os ihuniuada y s<~ usan únicamente dos colorf'..s, entonces tiene que existir un triángulo con sus tres lados del mismo color. 4. Pruebe el Teorema del Binomio que dice que si a y b son mírrwros 1h1 + reales y n es un número natural, entonces (a+b)" = (~)a"IP+
(7)a"-
( ") ~ n n-2b2
+ ... + (") n aObn .
5. Dado un conjunto finito y no vacío A, pruebe que el número de Hllhmnjuntos con un nümero par de elementos es igual a la mitad del tlllnt~>ro de~ subconjuntos de A.
pan~
10. Se tienen trPs dados diferentes. De todos los posibl<~s resultados qtlP s<• ohtimt<'ll al tirarlos, i.cu;íl <'S In SllliW dn puntos
12. ¡,Cw\.nt.os subconjuntos de { 1, 2, :l, 1, 5, 6, 7, R, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15} !lO COll( ÍI'IWII
dos
IIIÍilli'I"OS COilSPCllt.ivos'(
l:J. Consid<'r<' una cuadrícula de 4 por 4. Supongamos que cada. uno
e ;{(i
C'AI'ÍTTTU>
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C'Ol\fl31N;1TO/U;\
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SUGERENCIAS A LOS PROBLEMAS DE COMBINATORIA l. Numere las lineas horizontales de abajo hacia arriba con los núnwros O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Un camino queda determinado por las 8 pequmlas líneas horizontales por las que camina, las líneas verticales por la..c; q1w pasa el camino no importan porque están perfectamente determinadas por las horizontales. Entonces un camino queda determinado por una octeta de números de la forma ( a 1 , a 2 , ... , a 8 ) donde los a1 se toman en el coujunt.o {0,1,2,:~,1,!!,(),7,R}. Por ejemplo, laoctd.a (O,K,G, I,H,:J,.'í, 1) rqm•sc'JJI.;¡ al camino:
¡l 2. Todo camino tiene, intercalados en a.lg11n orden, 1:! pa..'los a la dcn)cha y 8 pasos hacia abajo. Entonces para determinar un camino, basta dar 1ma sucesión de 16 pasos, donde 8 son derechas y 8 sm¡ nhajoH. Por njn111plo si damos la sucesión (D, D, A, A, A, A, D, A, D, D, D, D, A, D, A, A) ()i:iUtuios indicando el camino:
:t
Snpouga q1w los colows ::.;ou rojo y mml. Elija uno de los vPrtices
y ll:í 111d() !\. 1ksde ,1 sah)ll !í aristas, dP ellas al m unos 3 deben Hm del lllÍSIIlO color. Así que suponga que lm; aristas de A a los puntos B' y D SOil rojas. Analic(' lPs colores eh) las arista::.; que unen a los puntos B, y
e
n.
e
4. lkcncrdc) que (a+ h)" = (a+ h) ·(a+ b) · ... ·(a.+ b) (n veces). Si usted de•sanolla d producto dP la derecha se dará cuenta que resulta una suma Pll donde• cada 11110 ele los sumandos Ps mt producto de un elemento del pri11u~r pnr{•JJic·~üs (ya S!'a 11. o/,) por olro d1•l sc•guwlo, por otro dd tercero, de., h:~sta e·cHnpletar n facton~c;. Así, por c)jf'mplo, 1mo ck los sumandos e•s e·11ando SI' 1m11a11 IÍuie·;mwnh~ las lc~tras 11. y n)slllt.a. n". Si querernos ver C"li<Ílll:lei \"t'("!'Ci s loiiJ:tr d(~ loe; siguic~ut.Ps pan~s dP p:~rhit(•sis: 1 y 2, 1 y 3, 1 y 4, ... , 1 y n, 2 y 3, etc. 5. Usc) <'1 l'rohkma 1 para dc)sarrollar PI binomio (1
+ (-1))".
(i)s:
6. Para la prinwra part(), el n~sultaclo es (~) . Para la spgunda parte\ ••s 111:\s f:\cil nmt:~r los lllÍlllPros quP no contienen ningún !.J. 1
7. ~;,·,¡o J¡ay <¡IH' c·mtt.ar las lu·pt!'las qw• se IHI!'d('ll fim11ar c·ou 7 pcrsowts. i. Por qní~? 8. Supouga prillU'l"O <(11!' los IIIÍIIH'lH.; son posil.ivos y quc· !'111JliP7.all <'lllúuwro k. Om::.;iderc el número
<~11
('1,",').
11 i11il' los CllbÍtoH COll dos c:olon•s, blanco y lll~gro, alt.entadamentP, <"oJno <'JI 1111 1:d>kro dP ajPdn~¡r, tridinH'Ilsioual. Pi11l.<' mm Psquina dn 11<)gru, l'J11onccs toda:-; las l'squina:; eHtanín pintadas de ungnJ y el cubito del n~ut n > qnc~daní piut ndo dn blanco. Si Pi ratón pudiera co11wr loH cnhitos, <'111JlPZ:JI'Ía cou nuo IH'gro. <"cl!Jt.innaría con lUto blanco, de. !),
10. i\quí no hay m:\s rPnwdio qtw contar cu:lut a.-; v<~ce:,; aparece cada SlllJla. Por cj<•mplo la S111JW :l sólo {HH'df' apan•c·c·r cuando dP los :3 dados da11 l. La Sillita .¡ s(>lo JHI<'i<' oht it'll<' de:¡ f.,nJJ:l.'i.
e :lt~
CAPiTULO 3. COMBINATORIA 11. Cuente los subconjuntos de {2, :3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
12. Para cada mimPro n = 1, 2, ... , 15, ponga f(n) = mímero rle subconjuntos de {1, 2, ... , n} que no tienen rnímeros COIIS(~Cilt.ivos y cpw no tienen al m1mero n y g(n) = número de subconjuntos de {1, 2, ... , n} que no tienen números consecutivos y que tienen al número n. Muestre que f(n + 1) = f(n) + g(n) y g(n + 1) = f(n).
13. En la primera línea vertical debe haber 3 puntos rojos o 3 puntos azules. Suponga que los tres primeros son rojos. Analice los c:olores flllP tienen los tres primeros puntos de las otras líneas verticales.
e
--
e
....
Capítulo 4 Divisibilidad A. DESCOMPOSICIÓN EN PRIMOS l 1no <1<· los conceptos m;\:-; importa11te rda.cionado ro u los mí meros enes la divisibilidad. Se dice que un entero a divide a otro 1mtero b si el ('oci1mlr• ~ <'S otro mí mero p¡Jt.ero. Si escribimm; .!>. = e, entoun~s h = a · e. '' a Así qw~ otra rumwra de definir que a divide a b PB diciendo que existe un <~nt <~rú r· t. a 1 que b = a · r.. Esta última definición es la nuís usual y la que v;nnos ;1 IIS:Ir. 1,as dos ddiuicioncs no son <~xa<:tamentn eqniva.lmrtes pm~st.o qw~ la s<~~·.1111da si p<:nuit.<~ qnn n sea igual a. O, mimrt.ra:-; que la. primma no lo ]J<~nuite. Claro que ¡:u Pi caso 1~11 quP a = O, ::;e (.iene que ::;i a divide a b <•Jdon('(~S h f:nui>i(m t.icrw qw~ s<~r O. En <'1 caso nn que a divide a b t.ambióu S!~ dice qw~ h es un rnúlt:iplo
1 :11tn•
J!' 1
:¡
1
b).
Ejercicio l. Pnwbe que si a divide a b y a r:
tllÍllWI'ClS
l'llt !'ros cpw dividm1 a 1!lO.
J•;u ci<1111' a /1 <'11 1111 rn'nnmo I'X:wto (1'11t.cro) di' partl's. Co11 <'Sf<> l!~llgllaj<• pod<'lii!IS dc•finir a los
·11
J, •.•,:
·~·
'1}1!·,·
.
e
e 42
CAPÍTULO 1. DIVISIBILIDAD
43
números primos como aquellos que no pueden ser partidos. La definici6n precisa es: Un número entero pes primo Hi es un rnínwro mayor que 1 y los únicos enteros que lo dividen son 1, 1, p y -p. A los mí meros rh~ la forma -p donde p es un primo les llamaremos primos negativos. A !oH enteros que no son ni primos ni primos negativos y que son diferentes de 1 y -1 se les llama mímeros compuestos.
Est.o prueba qne m t)fl producto de primos. Ahora si tornamos un entero IH'gativo m dikreut<• dn ---1, como -m, ns poRitivo y diferente de 1, por lo qll<) hicimos auU)H, --m ns un producto de primos. Por tanto, el número -m, S<) pw~de e::;crihir en la forma -m = p 1 · p~ · ... ·Pn. Esto termina la prueba de la prinwra parte dd tmrema. Para probar la segunda parte (la unicidad), se neet)Hita ch~Harrollar más herramientas por tal razón la pospondremos para tli:ÍH tarde. Por ahora tomaremos corno cierto el teorema y veremos aJ¡~llliOS d!' SliS 11HOS.
Los números primos son importante$ porque son los ladrillos (indivisibles) con los que se arman todos los mírnmos enteros. Esto es lo
Es decir, si m es un entero, entonces m se escribe de manera única en la forma m = ±p¡ · P2 · ... · Pn donde cada p; es un primo y la unicidad sP entiende el sentido de que eualquier otra descomposieión de m como producto de primos tiene exactamente a los mismos primos, y cada uno dP ellos se repite en la nueva descomposición tantas veces como aparecía en la primera. E,.., decir, la nueva descomposición es igual a la vieja salvo (~1 orden en que se acomode a los primos. Est.n u~omma tiene dos partes. La primera es que todoH loH Pnt.eros difPnmtes de 1 y -1 se descomponen en primos y la sPgunda Aólo llll primo en('] producto). Si 111. rto ('H primo, entonces m puede ser partido en el producto de dos enteros positivos menores que él y mayorP.s que 1, es decir m = a · b, donde 2 < a, b
EJEMPLO. La deHcomposición en primos de 360 es 360 = 2 · 3 · 5 · 2 · 2 · :l. EHta deHcompo::;ición HP puede escribir: 360 = 2:1 · 32 · 5. Este il).'..l'lipaini<~nto se puede hacer en todoH los números. Entonces podemos H qnn ctw.lqui(~l' diviHor (u ••ra 1111 divisor nwlqui<•ra de m.) d<• 111. se ¡nwdc con::;eguir agrupando algunos dt) !oH priluoH de su deHcomposición. AHí por ejemplo, loH divisoreH de 360 HO!l 1. 2, 4, 8, 3, 2 · 3, 4 · 3, 8 · 3, 9, 2 · ~). 1 · !l, H · !J, ;,, 2 · f'>, ~1 · ;,, 8 · ri, ;¡ · ;,, 2 · ;¡ · ;,, 1· ;¡ · ;,, H · ;¡ · ;,, !) · ri, 2 · !l · ;,, ·1 · !) · ;, y H · !J · 5. EjPrcicio 2. SupougarnoH qw• 111 <•s un rnínwro natural y que: ·m.= !'~! ..... !';.' · ('S su ckscomposici<'n1 en primoH. Pnwh<' qw• m. fÍPIIP (':-;;wlalltt~lit(~ (n 1 + 1) · (n 2 + 1) · ... · (n, + l) divisores poHitivos.
¡1'1' 1
•
Ejercicio
a.
¡,CwíntoH divisoreH posit.ivos
tiPJW
JO!?
Ejercicio 4. ¡,Cwint.os ceros apan•('Pll al final dd mínwro lOO! cuando t'•st <' S<' ('cwri!H~ Pll Hll notaci(m d<)CÍmal? E.i<>rcicio !l. Encunnl n· d tllÍllH'l'll nnt ural r qtw sal isfa(·(~ qw· ()" ('H i¡•,lt:d ;1] prod11cto d(~ todos loH diviHon•s d<• 2 1"". :~ 1 '"'.
·!;.:'
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CAPÍTULO 4. DIVISIBILIDAD
45
Ejercicio 6. Muestre que no hay ningún número primo entre los siguientes enteros. 1, 573;157, 573;15, 757, 573; etc.
a 2~ y por eso no incluirnos también a 22 ), tiene que tener a 3 2 a 5 y a 7. Por tanto 1' = 2:1 · :3 2 · 5 · 7 = 2520.
B. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Sean n y m dos mímeros naturales, notemos que 1 divide a ambos. Tomemos el conjunto D qw~ consiste de t.odm; los números positivos qw~ dividen tanto a n como a m. Entonces, al menos 1 está en D y D t.il'll<' s<'•lo 1111 mírnero finito de elementos porque todos los elementos ck ]) sou divisores den (y de m) y todos los divisores positivos den P..stán entre 1 y n. Entonces D es un conjunto finito y no vacío. De manera que podernos hablar del elemento más grande de D y llamarlo d. A este d se le llama má.ráno común divisor· (m. c. d.) de n y m, y se acostumbra a denotarlo por d = (n, m). Cuando (n, m)= 1, se dice qne n y m son primos relativos y <~st.o ocurre cuando el único natural que los divide a ambos es el l. Ahora comüderemos los rmíltiplos positivos de n, es decir, consideremos a n, 2n, :~n, 4n, ... y a los múltiplos positivos de m: m, 2m, 3m, 4m, ... Los números que pPrtfmecen a ambas colecciones se llaman múltiplos comunes de n y m. Notemos que el número n ·m es un múltiplo común den y m. De manera que podemos considerar al menor de los múltiplos comunes de n y m y llnma.rle mínimo carmín multiplo. Este número se denota por [n, m]. Ejercicio 7. Mtm<>tre que si njm, entonces (n, m) = n y [n, m] =m. EJEMPLO. Obtendremos d = (360, 84) y e = [:360, 84]. Como d Ps 1111 divis<"' de :3GO y de ~4, d debo S
EJEMPLO. Supongamos que n = pf' ·p~ 2 • ... ·p~·· y que m = p~ 1 ·pg2 ..... ¡JI,;·, donde los números n; y los núrrwros fJ; son mayores o iguales que cero. Antes de seguir tenernos que hacer una aclaración. En las descomposiciones de~ primos habfamos tomado exponentes positivos. Cuando ponemos pf' c:on n; = O, t~starnos escribiendo 1 = 1, que no aporta nada al producto, nntouc:es, n, porqll<' <~ut.ouces d ya no dividiría a n y tampoco es posible q1w ¡, < o; porqnP debemos tomar d lo más grande posible. Entonces 'Y; = n,. Similarnwnte, en el caso un que {3; :::; n; tendríamos que tomar ¡, =ji,. Por tanto"(; c;iempn~ es d meuor entren; y {J; (sin;= (1;, entonces ¡·, ,-en;= {1;). Esto se expn~sa di<'i<'II
p¡
Ejercicio 8. En el ejemplo ankrior mtwstre qw~ e = 71j' · p~ 2 dmuk ll; c..-c mayor Plltn~ o, y /'1,. Es dt'!'ir, ll, ·-e max{o,,(J,}. Ejercicio
!).
• ... •
Pnwbc que (n, m) · [n, m] = n ·m.
Ejercicio 10. Pnwhe que si f y .11 son números mil nraks tales que y f[m, cnl.oiW<'s f[(n, m) y que, si ·n[y y ·m[y, Put.onccs [n, m.J[y.
Ejercicio 11. Plll OllC!~S
rf
-ce
p~··,
.fin
Demuestre qtw si d y d 1 son positivos, d[d 1 y d 1 [d,
¡/ 1 .
Ejercicio 12. Sin~~ m ·IJ
+ ·r,
prnebP <¡11<~ (n,m.)
Ejercicio l:J. Pnu~IH~ qun n: ¡m: si y srílo si n[m. 1
1
= (m,r).
e 4ti Ejercicio 14. Pruebe que si tales que n./rn · s, entonces n/8.
8
e
CAPÍTULO 4. DIVISIBILIDAD
47
e.s un entero y n y m son primos relativos
no nos convimw hacer las o¡wraeiones necesarias para obtener la expresión decimal de 2 1!lU2 y después tomar la última cifra. Quien quiera atreverse a intentarlo, basta con que calcule 2 20 para darse cuenta que estos cálculos son dmunHiados. Para resolw•r P:->ta pregunta. con congruencias, primero w >t muos <¡lH) todo número <'s cungnwut.e cou su última. cifra módulo 10. Por e.iemplo, al tomar 37'589, 367 - 7 = 37'589, 360 = 3'758, 936 · 10, tenemos que 10/37'589, 367-7. De manera qw~ 37'589, 367 = 7 (rnod 10). La prueba <)ll gPneral es similar a este ejemplo. Entonces queremos averiguar a qué es congruente 2 1992 módulo 10. Notemos que 2 5 = 32 2 (mod 10). Por el rüPmplo anterior (las congruencias respetan productos), 25 · 25 = 2 · 2 (mod 1()), a plicaudo otra vm~ el ejemplo, 2'' · 2'' · 2~ = 2 · 2 · 2 ( mod 10). Siguiendo 2" · 25 · ... • 2r. 2 · 2 · ... · 2 = 2n cou nst.<) proc<)so, tmwmos
Ejercicio 15. Demue.:;tre que, para cualquier número natural n, la fra.CCJÓn . ~ n2+n-l es lfW . d liCI'hl e.
C. CONGRUENCIAS Una herramienta poderosa para tratar algunos problemas relacionados con los mírneros enteros son las congruencias. Para definirlas, se toma un rnímero ha¡;;e m.. Los mímeros que Ron congruentcR módulo m. ROJJ aqudlos que dPjan el miRmo re.'liduo cuando se dividen entre m. Por njernplo, al dividir los números 3, 13, 23, 33, 43, 53, etc. entre 10, siempre sobra :J por lo que rhx:imos que todos ellos son congruentes módulo 10. La dcfinici6n formal r~s la siguiente: Dados dos rmt.eros a y h diremos que son congnwnt.Ps mr'idulo m. cuando ocurre que rn/a-b. Todo esto se denota escribiendo a h (mod m.).
=
=
=
EJEMPLO. Vamos a probar que la..'> congruencias se portan bien con la multiplicación. Vamos a mostrar que: Si a= b(mod m) y e= d (mod m), entonces a·c = b·d (mod m). La suposición es que m/a-h y q1w m./c-d. Esto quic~e decir que hay dos enteros r y 8 que satisfacen a- b = m·.,. y e- d = rn · 8. Entonces a = b + rn · r y e= d +m· 8. Multiplicando ambas igualdadeR y fa.ctorizando m tenemos a· e= b · d + m(b · s + d · r +m· ·r · s). Asf rpw a· e··- b · d =m.· z, donde z = b · s + d · 7' +m· r · 8. De modo qw· rn.Ja. ·e- b ·d. Por tanto a· e= b · d (mod m). (a) (b) (e) ( d)
Ejercicio 16. Pruebe que: si 11. == /¡ (tuod m) y b =e (rnod m), entonces a= e (mod m), Si a= b (mod m) y e= d (mod m), entonces a+ e= b + d (mod rn), m/a. si y s<'>lo si a::::() (mod m), 11. = a ( mod 111) para toda a.
Esta~ propiedades panJcPn inofensivas pero se puede ver <'.iPtnplos como el que sigue:
Rll
poü'rwia
2 1!1!1~
EJEMPLO. Encontraremos la última cifra del número 2 1992 cuawlo (':->f P s<~ <~scrib(~ en notadr'in ciPcimal. Por supuesto qw~ para lwn·r Pst.o,
=
:t·
= 2''
4
=2 2 =2 2 =2 =2 = 16 =6 (mod 10).
2•
3ns 2
4oo =
5.so
so =
2 s.2o
=2
2o
4
=
Por ei <~jm!'icio W (a), 2 1\JD".! 6 (mod 10). Y como 21!!92 tiene que ser cougnwnt.c~ con su última cifra, entonces su última cifra es 6. Ejercicio 17. Pruebe que 10"
= 1 (mod 9)
para cualquier n.
EJEMPLO. Usando el Ejf~rcicio 17, podemos deducir el siguiente crid<' divisibilidad: Un uúmcro uat mal Ps divisible entrn 9 si y sólo si, la stuJm d<' sus cifras es divisible eJJt.re !). Para comprobar esto, tomemos un nat mal n y escribámoslo en notaci6n decimal n = arar-· J ... a 1a 0 • Esto qni<'W decir qiH' n =a,.· J(Y +a,. . 1 · 1()' · 1 + ... + a 1 • 10 1 + 11 0 • De acuerdo con el E.i<~rcicio 17, sabmuos que 10', lw-t, ... , 10 == 1 (mor! 9). De modo 1 fJlW 11.,. · 1()" :::::: a,. (mod 9), (J,r-1 • 10r--J ::::: a,.¡ (rnod 9) , ... , a¡ · 10 := a¡ (111). Smn:mdo: u~rio
/J
f'll
= 2 ~~~~>o . 2 ~
=
=- 11
1
•
1()' t
11 r
1·
1()" ..
J
+ ... +U¡
·
10 1 + U(l :=
TI
= 11,. + 1/.
7.
1 + ...
+ 0.¡ + 11.0
(111<>d D).
Por t auto n Ps coHgrmmtn a la suma de sus cifras módulo 9. Usando d l•:j<·n icio !() (<') t!~JH~mos qlH~ Hin si y sólo si n == O (mod U) si y sólo si
e 18
e
CAPÍTULO /1. DJVISII3ILIDAD
la suma de sus cifras es congruente a O módulo 9 si y sólo si 9 divide a la suma de las cifras de n . Por tanto, 9jn si y sólo si 9 divide a la suma de las cifras de n. Ejercicio 18. Expresando los mírrwros enteros en <~1 sistmua
49
:J). Elc~vando al cuadrado y stmmndo, teuemos que n2 -+- m 2 aHí qtw :!In~-+- m.~. <'S
=O (mod 3),
Ejercicio 19. Deterntine todos los l'nteros positivos tales que 2n divisil•k nutn~ :l.
+1
Ejercicio 20. Hoy es lun<'s y es el mediodía (12 horas). Diga qué día ele! la sPmana y que hora ser:ín cuando hayan pasado 132,000 horas.
(b) Un número es divisible entre 3 si y sólo si, la suma de sus cifra.<; es divisible entre 3.
D. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN (ALGORITMO DE EUCLIDES)
(e) Uu número es divisible entre 5 si y sólo si, su última cifra dP la es O 6 5.
d1~1H:ha
(d) On ul'mwro 1~s divisibln 1~11tw 7 si y s<'¡lo si, la difnrmcia <~ntn~ Pi lltíllwro que se obtiene quitándole la tíltima cifra di' la d<'n~dta y dos VP<'<'s
EJEMPLO. Vamos a probar que una suma del tipo n~ -t-m 2 es divisibln <·ntw 3 si y s6lo si 3 divide a n y a m. Para cmpmmr recordemos qtw <·qando dividimos un número entre 3 podemos obtener residuos iguales a tl, 1 cí 2. ¡.Qué quiere decir esto? cuando dividimos un rnímero cntn~ :1, vc~mos cuantas veces cabe el 3 en él y, a lo que sobra le llamarnos residuo. No nos pm~de sobrar más de 2 por lo que el residuo siempre es O, 1 ~~ 2. Por
<'jPmplo, al dividir 1991 entre 3, vemos que caben 66.1 treses y sobra 2. Es dc•cir, 19Ul = 3 · 663 + 2. De manera que :l!1991- 2. Por tanto 1!1!)1 2 ( tnod :3). En general todo número es congruente con su residuo. De manera 1)111! t.odo IliÍIIIPJ"O es congruente con O, 1 ó 2 (mod a). Sabiendo c~st.o, ya p 2, elevando al cuadrado, f.c!IWIJlos 2 IJIII' ,< y m deben ser congruentes a O, 1 6 4. Como 4 1 (mod :~), tl'lll'lllos que n2 y m 2 son congruentes a O ó 1 módulo 3. Entonces la suma "J 1 ,,< PH cougruent0 a O+ O, O+ 1, 1 +O <'i 1-+- l. La ünic:a lll1111 p11rt.e es más fácil, si 3ln y 3jm, entonces n =O (mod :3) y m. O (mod
S 11 pnngau11 ,,e; q 1w 11 y 111 so11 do:-; ut'tuww wd.mal<\'l. Cuando dividimos <'lit n• '111., ohtmH!IIIos 1111 uiÍutero r: qtw iudi<'a c·.uanta.<; w~ces cabe m en 11 y Llln!Ji(!ll oht<'IH'lllOS d residuo .,. (lo qtw sobra). Esto significa que, ohtc·n<~lnos nn 111hw•ro e y un número .,. t.a!Ps que n = m ·e-+- r-, donde O ' ,. <: m. Todo c~sto yn lo sabemos d<'sdP la primaria, pnro podemos ohl<'ll!'l' III<ÍH infO, dividimos ·r <~nt.rn r 1 y oht<'Jl<'IIIOS una c2 y nna '1' 2 tales que .,. = r· 1 • c2 + r- 2 , donde O · _ ,.'/. <: ·r 1 . l·~st 1' pmc<'so 110 pued<~ continuar indefinidamente porque oht <'IH~mos ntÍJIImos cada Vf'Z rm1s pc•q nniios y mayon~s o i~uales que O (O':. r 2 < '1' 1 < ·r ·· 111). Entonces dl'h<' habm al~tín momento en q11e el n·sid11o nos d<'• igual a O. J•;s dc!cir, dc•IH'JIIc's oiJt.<'IH'r 1111a cadena dd t.ipo: 11
=
=
=
=
'f/.CC'f//,•('+f',
n1. = r · c1 t
/' = ¡· 1
r,
:l
r, 1".,
'/'¡ '('•!
= r'/.
·
',., :2. 2
1
I'J,
+ 1''/.,
c·: 1 -t-r;1,
r·,.
'+ 1',,. 1,
1 • ,.,
-+- r."
,., . r:s+l
+o.
,.,
O ·:::: r· <.. m., () ~ I'J
() <;
1'2
() :::; 7";¡
() ~·:
·r.,
() <
1'.-
< r, < ,.1 ' < ¡·'/.' r, ~. r, 1,
1 ·-·.
l'<'to. OJ>:lt:<
.Í
e 50
e
CAPÍTULO 4. DIVISIBILID!II)
51
Esto nos da otra. manera de obtener el máximo común divisor d<~ dos números sin necesidad de factorir.arlos, sino nada müs haciendo divisiones sucesivllS.
<'1 'lhm~nla Flllldamental (k la Aritmdica, que si p es un primo y plnm, Pnt.ouc¡•s f!lll <'>film. Deduzca de aquí la uuicidad en dicho teorema.
Este algoritmo t.ÍPJW otw nso: D<'spr!jmulo ,., de la pe111Íitima •~•·.u;wi<.lll, tenemos que r· .• S(~ puede poner Pll U•nuinos dn r_, .. 2 y '1'_, __ 1 , ,._, = r_, '2 + ,., 1· (-c.). De la penúltima ecuaci(Jn podmnos dPsp<~jar r_,_ 1 en tórminos dP r·, _ _ 2 y 1'8 _ 3 , obteniendo la igualdad r_,_ 1 = r, .. ;1 + r, 2 · (---c,_J). Sustitu_v('ndo r_, _1 en la ecuación anterior, tenemos que r., = r·_, .. 2 + (r_,_;1 +r_, __ 2 · (-e, 1)) · (-1· .• ) = r_, 2(l +(e,, 1 · 1:,,)) + .,._, _:1 · (--e_,). D<' la ant.epmnílt.irna •·•·wwi Rust.it.JwioJH:s ha."'t.a la primPra. ecuación, fi11ahncntP po¡h:rnos Pscrihir a r_, <'11 f{·nniii
Si n y rn son dos números natumles, entonces (n, m) se pueril: I'SI'I'iln·r como combinación lineal de n y m, donde esto quiere decir- qne e:r:istcn dos enteros a y b tales que (n, m) =a· n + b ·m.
EJEMPLO. Oht.endrc~mos (360, 84)
y lo
pondwrnos corno <'
liru•alde:3GOy84. Ya.que360=84·4+24,84=24
=
Ejercicio 23. Sean n, m dos números naturales tales que (n, m) = l. Pruebe que si se toman los residuos de dividir los níuneros n, 2n, Jn, ... , m.· n entre m, entonces se obtienen los números O, 1, 2, 3, ... , m. - 1 aunque poRiblemente en otro orden. Muestre que esto no es cierto si no se s11porw que (n, m) = l. Ejercicio 24. Pruebe, wmndo d algoritmo de la divisiún y siu usar
E. PRIMOS ¡,Cómo se cornpnwba que un número m <~s primo? A primera vista, lo que t mwmos que hacer es probar que p no tiene divisores propios. Esto se h;H'I' si Sf' I'OIIlJll'llf'ha qm~ ningm1o .¡., lfls 111Íillnros 2, :1, ·1, ... ,]! - 1 divide a p. l·:n n:alidad no SI' t imwn que comprolmr LltltoR números, por la siguiente f>T< lJ>i¡•¡Ja s es me11or o igual que .¡:m porque de lo contrario, r > J1ñ. y s > .¡¡ñ, rnultiplicaJH!o amba:-> desigula.dadcs se obtiene que m. = r · s > Jirl. · ,¡m = m., lo que es absurdo. De esta manera podemos Sllf>O!Wr qw· ,. •: Como m •, 1' por 1'1 Tcnrnma Fundamental ¡]¡; la ;\¡ it IIIÍ:t.i<'a, d<·IH• !I;tl"·r al).'/111 p1 Íill<> 1' <¡IH~ divida :1 r. Eutulle<~s p::; r :S m. y coJ¡JO ¡!Ir y r! 111, <'nt.oHc<~s p¡m, lo qiH: termina la prueba de la propiedad. Euto!IC<'S para comprobar, por <Ü<'mplo, que 17:1 es primo, como 14 2 > 17:1, si 17:1 no fw~ra pri111< 1, t <:ndrfa qnn •~xistir 1111 primo menor o igual que l:l que lo dividiera. Pero como no lo divirkn loR mímeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, <~Jlt.( lllccs t7:l eH primo. 1111"11111' 11
vm.
{1ua III:Ill<~ra de obt.etwr los prinwros núuwros primos es mediante la ll:nHada Criba de Era.tr58fcncs que funciona así: Supongamos que querernos ohlf'HPr los primos que se eucnent.ran eutn~ 1 y 100 (el método se aplica a cua.lquim· número natural en lugar dd 100). Se nHcribe una numeración dd 1 al 100, sP tacha el 1, se eli~e d 2 y sr~ tachan todos suR múltiplos n part.ir dd 'l, tomamos el siguieute número que 110 se tachó (que por snpnnst.o ~~s PI 3), PtttonceR el 3 es primo y se tachan todos sus múltiplos a partir d<~l G (algunos ya eRtaban tad1ados). Tomamos PI siguiente número q1w u o se tachó (qHe es el 5) qHe timw q11<~ sPr tlll número primo y se t al'hnu todos sus mlÍit.iplos mayon·s qlH' í·l y, finalrtwnt.<•, st~ escoge al 7 y
'>:
e
e G2
( '¡\ PÍTliLO l.
/JI VJSIBTLWJ\D
.);~
sP tachan lo..'l múltiplos que quedan dP (~! Pn la lista. Y ya t.Prminamns porque dP acuerdo con lo que proba.lllos <~11 el p;írrafo illtt<~rior, los míttH~ros compuestos tuvieron que haber deHapan)<·.ido pum, como son rn
2 3 16 17 18 :31 :~2 3:$ 46 47 48 61 62 63 76 77 78 91 92 93
4 5 6 7 R 19 20 21 22 2:1 :34 :35 36 :w :lH 49 50 51 52 53 64 65 66 67 68 79 80 81 82 83 94 95 96 97 98
!) 21 3D
10 25 40 55
54 69 70 84 85 99 100
11
26 ·11 56 71 86
12 27 12 57 72 87
:n
5
3
19 33
47 61
14 ];) 2H 2n :m 1:1 iJ.1 1ií 58 59 60 7:l 7·1 7!í 88 89 uo
63
51 65
79
93
!Jl
2~~
:m
37 53 67 81
95
25
69
97
13 27
1L 55
8:3
29 1:1
57 71
85
15 ·1G
59 73
H7
7!í
H!l
!)!)
Escogemos al 3 y t.ndmmos a sus nllílt.iplos (los q1H~ nos qn<•dan) y obtenernos: 2
17
3
5
31 47 77
2:i
35
37
65
67
95
97
49
61
91
7
19
53
79
83
11
1:l
41
13
71
73
¿;¡
2!)
55 85
59 89
Haciendo lo propio con el 5 y el 7, obtenemos que los primos ent.n· 1 y 100 Aon:
:~
G
7
I!J
:11
11
13
41
4:3
71
73
¿;~
:~7
/17
2!J
;¡;¡
(jJ
67
79
83
09
89
97 l'or SIIJHI<'st.o que es twís fúcil ha<:<)rlo si tomamos la sucesión original (dd 1 al lOO) y. sobre ella Himplerrwnf<• tachamos de acuerdo eon el método d<~;writo (:-ün l<·twr qne escribir los HÚtHeros varias veces). Ejercicio 25. Encnmt.re todos loH mímeroH primos mayores que 880 y
11
9
21
35 49
77
7
2 17
1;~
Tachamos al 1, escogernos al 2 y tachamos a SllH nnílt.iplos, nos
2 17
«···-·~·--~»
IIH'llOWS ()lit!
900.
'll·nHinaremos PHt.a Hección probando 4ue el número de primos es infinito. SupougarnoH que e~to no ocurre, entonces sólo existen un número finito
e 54
e
CAPÍTULO 4. DIVISTJ3IUIMD
55
PROBLEMAS DE Dl V lSIBlLIDAD
11. l'vhwstn•
l. Pruebe que si P(x) = an:c"+an·-·lxn-l + ... +a 1:c+a0 PS un polinomio, donde an,an_ 1 , •.. ,a 1 ,a0 son <~nteros, y si el mírnrro racional z =~<'S una raíz de p( x) con r y 8 primos rnlativos (es decir, ~ es simplificada), ent.mw<~s 8/a,. y r/a0. Oht.cmp;a toda.'> la.'> raíces racionales de 10:r:1 -- 12:r: 2 + :l:r: + ;¡ · . ll. Pruebe que los únicos enteros positivos que tienen raíz cuadrada raciomd son 1,4,9, 16,25, ...
12. PnwiH~ que si un HÚllH~ro real tierw una expansión decimal periódic<1. <'llloJH"<'s d Illímero es racional. 1:1. Sm .r '""' t2:H5G78!H01112l:il4 LG ... , dowle x se obtiene escribiendo slwcsiv:nue111<• todos los cnt.<~ros positivos. ¿Es :r: un número racional?
14. l\1uest n· qiH~ el uúmero
n la Sllllla dn todas las cifras del mírnero 555G 5""'', sea ·m la Slllllil d
2.
SPa
l!'í. D<1da 1111 halamm con dos diarolas y Ull sistema de pesas de 1, 3, 2 :1 , ;¡:l, ;¡1, ... kilos, mw•stn~ que 11110 pnede pesar cualquier número entero d<· kilos (las IH'Sas se ¡nu~d<'ll poner
1'.
3. ~kan u, 111 y,,. t.n!s núuwros naturales tales q1w n 2 + m 2 = ,.~ (s
16. Dados Plll<•nJS positivos
17. Pnu!l><~
4. Encur~ntre todos los <~llteros positivos n talus que n -t 1 dividP a
,"2
+ l.
i.
5. Encuentre todos los números primos que son tanto suma de dos
!
1
primos como diferencia de dos primos.
6. Encuentre todos los triángulos rectángulos con un cateto P hipot
Mnestw que para c:ua.lqnier entero positivo que no son primos.
11,
Pxist.PII n PIIIPros
t·ons<~cut.ivos
10. Pruebe q1w todo entero positivo t.i
J2 + /7 no es racional.
11
y
1111 IIIÍlllero
h, llliH!st.re que (a",b") = (a,b)". infinito de primos de la forma 4n- l.
l S. S
57
CAPÍTULO 4. DIVISIBILIDAD
!J{j
mostraremos 1111 ejemplo. Sea :e = 23741.387463535353535 ... , 11 17 .r 1o'':r 2:!7·1 1:¡x¡.w:¡;,,:¡s:l!í:!!í:l& ... 2:H·ll :IK7·1Ci.:l5:353535:~!í.. :2:~7·1 1:3874635 --- 237 4138746. Y despejando, ya H!' ¡nwdP poner a :z: Pll la forma 'f.'. 12.
SUGERENCIAS A LOS PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD
s,·.Jo
<'1 11, >JI('('c:
l. Sustituya ; en el polinomio e iguale a O (pues se trata de una raíz). Ahora multiplique los dos lados de la igualdad por sn.
¡-
2. ¿Cuánto valen n, m y r módulo 9? ¿Qué tan grande es r? 3. Analice los mímeros módulo 2, 3 y 5. 4. Co11:->idPm n~
14. S 11 pouga que
5. El 2 no es suma de dos pri~os. De manera que los primos que se :->mnan o que se restan no pueden ser ambos impares. Entonces el primo que estarnos buscando debe ser de la forma p = q + 2 y p = r - 2, donde q y r son primos. Así que q, q + 2 y q + 4 son primos. Muestre que esto implica que q = 3. 6. Dada la ecuación 1988 + b2 = c2 • Se tiene que 1988 = (e+ b)(c- b). Esto nos permite buscar sólo entre los divisores de 1988.
7. Sean a, b, e, d, ,_, J, g, 7 números enteros. Considere los número:-; a +-IJ, a+ e, a+ d, a+ e, a+ f, a+ g, a- b, a- e, a- d, a- e, a- f, a- y. Como hay 11 residuos módulo 11 y tenemos 12 números, hay dm; dP ello:-;
que tienen el mismo residuo. 8. Muestre que los 11nicos números que tienen un número impar de divisores son los cuadrados perfectos.
+ 1)! + 2,
(n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, ... ,(n +
10. Considere número.<; de la forma 123456789000000 ... 000 el número de ceros es el apropiado y 1 ~ i ~ n.
11. En el número
+ 1.,
donde~
;¡, simplemente comience a hacer la división m/
:r '"-'
/2 + v7
SI~
pnPdP ( 'HCri bir !m
la forma
X
=
!!! .
l·;]¡~v•· :d ¡·¡~adrado y ch~s¡HÜ!~ hasta ol>l.!·u,~r que /14 es un número racion~l.
+ 1 múdulo n + l.
9. Con..<;idere los números (n l)l+(n+1).
13. l'vlw•:-;tre que la expansión dPcimal de :r no puede ser periódica pues bloque:-; de ceros tan ¡?;randes como se quiera.
tiPHC
n
y diga. por qu(~, a partir d1~ ciPrto mouumto, la espresi<'iu qtw HP poli!' a.rri!Ja de la "casita" se repite.
Esto !'S coutrario a lo que se mostró mi PI problema l. 15. 1 =--= l, 2 ~' ;¡- 1, :l = ;¡, 4 = :3 + 1, 5 = 32 -3- 1, 6 = 3 -3, 7 '·'' ;¡ 2 -- (:l- l), K= ;¡ 2 - l. ¿,Puede usted ver el patrón seguido? 2
= p;'' · p'? · ... · p;~, y b = r/i' ·p~ 2 (a.h) .,, p'{' · p}" · ... ·Pi', doll!h~ ¡, = min{n;,!1;}· 16. Escriba a
• ••• •
rf!.r
y recuerde que
17. Suponga que súlo hay uu número finito p 1 , ... , p,., de primos de la forma '1n --- l. Considen~ d HÚllH~ro m = 4(¡1 1 • ... • p,. ) 2 - 1. lH. A n1da uuo d1• eso:-> y ns<'H'id1• la r--ada ((1 1 , (/~,
'2). ( ~IH'Ill.<~.
I'Hcríhalo Pll la forma 71\'' · p~'~ · ... · p~·· JI,), d(lllrl<' nula fi, "~ O ú 1 y (J, =.= n 1 ( lllOd
IliÍliH'I'OH ..
. 1 ~-------
-
e (i()
e
CAPÍTUUJ !í. OLTI\IfPIADAS NM 'lONA U•:S
(i]
PRIMERA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS .Jalapa, Ver., novi<~mbre de l~JH7 Primma Scsi<'m
Seg11nda Sesión
5. C()Jtsidl)l'f! 1m triángulo n~d.;íngulo AlJC"! donde la hipotenusa es BC. 111 <'s un puut.o en DC y P y Q son las proy<~cciones de M sobre AB y AC, rcHpectivameute. Pruebe que para ninguno de tales puntos M son ignales las áreas del triángulo BPM, del triángulo MQC y del rectángulo
l. Demuestre que si dos fracciones son irreducibles (simplificada.s) y su suma es un entero, entonces ambas fracciones tienen el mismo denominador.
2. ¡,Cuántos enteros positivos dividen a 20! (20! = 1 · 2 · :~ · ... · El· 20)?
;\(jl\[ F'.
J
1
3. Considere dos md.as paralelas l y l 1 . Un pnnt.o fijo !' qw· dista lo mismo de l que d1) l 1 . ¿ Quó lugar g!)Olllétrico descri bun los ¡mutos A/ que son proyección de P Robre A B, donde A esb1 Pn l. /] Pst<í. en 11 y d ¡\ ll!!;lllo A 1' 1J es l'l'd.o? 4. Calcule el producto de todos los euteros positivos menores qúe 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número eH un cuadrado perfecto.
6. Dem11estrn q11n para. cua.Jqui!)l' eut.em posit.ivo n) ( ;,Hn-H + :3 1" 1 ~) eH u u nníltiplo ctP :1, 804.
'11,
!'l mínwro (n3 -
7. DmnuC'Rt.re que si n es un Pntrro positivo, entoncf'.'l ':~1t2~,1 es una
¡
-1 1
f'r:lt'I'ÍI,lll irn•dll('Íhh~ (simp]ÍfÍl'lld:i).
8. (a) 'fi'es rectas en despacio l, m y n concurren en el punto S y un plauo perpendicular a m. corta a l, rn y n en A, B y C, respectivamente. Suponga que los ¡tn,~ulos AS B y B SOII de 45 gradoR .Y que el ángulo ABC: Ps redo. Calculn nl ángulo ASC. (h) Si un plano JH'I'JH'lHiicular a 1 ('orta a l, m y n l'll P, Q y R, l'PSJH~d.ivamente y SP = l, calcule los lados dd tri:íngulo PQ R (recuerde qw~ la ley df~ los cosenos Pll un tri:íugulo cuyoR lados son a, b y e es: ~~~ = h2 + ~·~ ·- 2/w(cos(:íngulo eutn• h y 1')).
se
e ()2
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CAPÍTULO iJ. OLIJ\1PIADAS NACIONALES
G:3
SEGUNDA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS
Segunda Sesión
Hermosillo, Son., noviembre de 191:\8 Priuwra Sesi<'m á.
l. ;,Dn c:uá.nt.as formas sn pll!~dnll ac·omodar cm lfuea recta :·Üd<~ p<~lot.a.-; blancas y cinco negra.<; de tal forma q\1(~ no estén dos pelotas negras junta.
2. Si a y b son enteros positivu:>, pruebe que 19 divide a lla sólo si 19 divide a 18a + 5b.
+ '2h si
y
3. Considere dos circunferencias tangentes ext.c~riormm1te y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule d área dn dicho triángulo en términos de los radios de la..'l circunferencias.
4. ¡,De cuántas formas se pueden escoger oeho enteros a. 1 , a~, ... , o.H no necesarimmmt.e distintos, t.ftlns qun 1 :S a. 1 'S n~ 'S ... 'S 11-H 'S H't
Si a y h smt enteros posit ivm: primos relativos y n es un entero, d máximo comün divisor de a 2 -·r b2 - nab y a+ b divide a n + 2.
pnu~hP que
6. Considere dos puntos fijos By C de um1 circunferencia C. Encuentre ,.¡ l11gm gPotHNrico de lm: iflt.ers<~I'I'Í
pruebe qnc~ d número de elementos de A y también deBes menor que~8. Cak\11(~ d volumen de un octaedro que circunscribe a una esfera de rarl io uno.
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CAPÍTULO ti. OLIMPIADAS NACIONALES
65 Sq!;llllria Sesiún
TERCERA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS MdPp<·c. l'w'., novi<~mhm d<~ 1!JK!l I'rim<'ra Sesi(m
l. Consi(kre un triángulo AIJC: en el que la longitud AIJ <~s 5, las medianas por A y por B son perpendiculares entre sí y el área AS 18. Hall<~ las longitudes de los lados BC y AG.
'l. t•;unteut.w <'1 <~nt<~ro positivo tll;ís J><'qnmlo n tal que si su expansión decimal c~s n = amam-t···a 2 11 1a. 0 y sir es d número cuya expansión decimal <~s ·r = u¡ ao(/,mam-· ¡ .. a.20, <~ut.onces r PS ni doble de n.
5. Sean C' 1 y C 2 dos círculos tangentes de radio 1 dentro de un círculo d<' rndio 2. S<';l e:l 1111 drntlo dPntro
2. Encuentre dos números enteros positivos a y b tales que, h2 sea mt'tlt.iplo de a, a:1 sea múltiplo de b2 , b4 sea múltiplo de a. 3 y, a. 5 sea múltiplo de b4 , 6 pero b no sea múltiplo de a"
6. Sigui
3. Pnwhe que no existe un mímPro entero positivo de Hl8!) cifra.'i qtw tPnga al menos tres de ellas iguales a 5 y tal que la suma de todas sus cifras sm igual al producto de las mismas.
B
·it?
6()
67
CAPÍTULO 5. OUMPIADAS NACIONALES
Segunda Sesión
CUARTA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Guanajuato, Gto., noviembre de 1990 Primera Sesión
4. Considere las 27 fichas de dominó que quedan quitando la blancablanca. Tornando en cuenta los puntos que hay en una ficha, a cada ficha le corr<'Hpondc un número racional menor o igual que uno. ¿Cuál es la suma ck todos c~stos mímeros?
l. Erww~utw ni total de caminos q1w hay d<)l punt.o A a la línea l
5. Si r,' 1'2, ... , Pw HUJI 19 puntos del plano <"011 coordenadas enteras, l.alcs qtw cada trPll de ellos no son colinealm;, demuestre que hay tres de Pilos con la propiedad de que su baricentro (punto de intersección de las IIH·
A
2. St~a ALJC 1111 t.rü\ngulo rect;\ngulo con ;tngulo recto PJJ IJ y sm JI el punto de intersección del lado AC y la altura por lJ. Llamemos r, r 1 y r¿ a los radios de las circunferencias inscritas Pll los tri;íugnlos ;1 !JC. ¡j n Il, y lf FJ(', rf)HJH'c·.tivmJH'.JII.<). Eucii<~Ht.re 1111a ig11aldad <¡111~ rdaC".iOJH' a r. r 1 y 1·¿.
3. Pnwhc qw~ n" 71
e': 2.
1
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1 <'S diviHihlc <~nt.n~ (n
1) 2 para todo
<'lli<•Jo
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CAPÍTULO 5. OLJMPTADAS NACIONALES
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69 Sq!,UIH 1il S<~sión
QUINTA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Oaxtepec, Mor., noviembre de 19!)1 Primera Sesión
l. Calcule la suma de todas las fraccionPs positivas irreduciblPs (simplificada.<;) rmmores que uno cuyo denominador es 1991.
4. ( ~onsid<•rp un cuadri]¡íf<'r
5. La suma d<) los cuadrados
tnl cuadrado
2. Una compañía de n soldados es tal que ( 1) n es un número capicúa (es decir, se lee de la misma manera al de¡u·ho al n•v(~, por ()_jmnplo 12!121 <'l !"!2:\:120), (2) Si lo:-; soldados se f(mna.n: (i) de :3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila, (ii) de 4 en 4, <¡ll!~dan a soldados en la última fila y, (iii) de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila. (a) ¡_Cml.l es el mínimo número n tal que se satisfacen (1) y (2)? . ( h) DPIIIIIPSt.n~ q11n hay 11na infinidad dn números n que sa.tisfanm ( 1) y lfltr'
(2).
3. Se t iPnen cuatro canica~> de radio 11110 colocada~> <)11 d t.angnllt.P a las ot.ras :~. ¡_Cwí.l <'S <'1 radio dP la menor Psf(•m <1'1<) cont.imtP a la:-; <'anica,..;'! IJJaw~ra
(1>) 1•:11<'11<'111 r<' 1111 <'.i<'lltplo d<) JI 111-tlll!'l"os po:;if.ivos cous<'<"Uf,ivos cuya Sltllla d<' cuadrados l'i()i\ llll cuadrado JH'rl'P<·to.
6. En 1111 polígono de~ n lados (r1 2': ;J) sn c:onsidera una familia T de trilíngul(¡s fonnados con los v{)Jtic<'S dd polígono con la propiedad de q1w cada dos tri:íugulos de la familia cmuplcm IIWl de las siguientes dos ('!
>11! iÍCÍOIH'S:
(:1) 11<> 1 i<'ll<'ll
( !J)
j Í<~IH'll
2
v<'·rf
i('(•s c•n <'
y{)¡j Í<~!)S (~11 COIIJi'tll.
DelltW~st n· <¡11<) '/'
1Í<)JI<' :1 lo llt:ís 11 t.rÍ<ÍIIgltlos.
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CAPÍTULO 5. OLIMPIADAS NACIONALES Sr·¡•_illtda :-1<•:-;i,·nt
SEXTA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS La Trinidad, Tlmc, octuhre dP- 1992
Primera Sesión l. 1 In tdnwdro ()f'(Jil I'S tal qtw los ángulos T'O(J, POR y (J()I? sott n·dos. l\I,wstw qw~ si X, Y, Z son los puntos medios de PQ, QR y /ll'. cntoncf's <'1 tetraedro OXY Z tiene sus cuatro caras iguales. 2. SPa 71 tm tll'ntH•ro primo, mH:uentre toda.-; la.-; cuartda~ (a., h, r-. d) listiut as con a, b, r· y d <~nteros y O ::; a, b, e, d ::; p- 1 tales que ad- /)(' s<~a IIIIÍJt ip]o d<• 7'·
1
:1. C:ousid(•n• si PI<' puut.os d<'ulro o sobre lliJ lwxágono regular y prw~IH• qtH~ tn~s df~ dios
fonnau
;írm dd hPx;\gono.
1111
t.ri
4. !Vhwstw que 100 clividr~ al+ 11 11 -t-111 111 + ... +1111111111 11111 11111 5. Sr•au .r, t¡, z números reales positivos tah~s que x +y+ z = 3. Si S - .¡'2-;-:·¡--·;¡ + J2y + 3 + y"2Z+:I, pmPhP que() < 8 ::; 3v'5. fi. Sr•:t il !JC:D un rect.;ínguh :-;,.a11 1 ,.¡ punt.o uwdio de~ C: J) y !'vi la lJJ con la diagonal 11C. (:1) Pruebe que DA1 pa~a por el punt.o nwdio de BC, (h) S<~a E 1111 punt.o exf<'rior al n•ct:í.ngulo tal que ABE sea un triángulo i:-;úsccles y n·ct;íngulo <~11 g Adetwb, sn¡Hmganws que lJC = BE = a. Pruebe que l\1 E es bisectriz dd :íngulo AM B, (e) Caklllr• d área del cuadril:í.tPru ALJ'JJM en funcióu de a. int.r~r:-;¡•n:ir'm
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CAPÍTULO 5. OLIMPIADAS NACIUNALL
73 Segunda Sesión
SÉPTIMA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS A<:apulco, Gro., noviembre de 1993 Prilllt'ra SPsióu l. Sea AIJC un triángulo rectángulo en A. Se construyen PXt<'rioruwnt<• a t•stP tri;íngulo los triángulos rectángulos isósceles AEC y ADU con hipotermsas AC y AB, respectivamente. Sea O el punto medio de JJC y serm E' y D' los puntos de intersección de O E y O D con D B y FX', rPsp(~<·tivam(~lll.<~. Calcule el área del cuadrilátero DED'E' en fmrci<'n1 dt~ los lados del triángulo ABC. 2. Encuentre los mí meros del lOO al 999 tales que la suma di' los e u l>os dfgitos SPH Ígua] al lllÍ!Tlero.
¡Jp SIIS
3. Dentro de un pentágono (k área 1993 se encuentran 995 puntos. C'onsidPn• Psos puntos junto con los vértices del pentágono. Mm~strP <¡llf' d<• t od< 1s los tri;íngulos que sn ptwdc~u formar con los 1000 puntos antc~rion~s,
flay
;¡j III!'II!JS 11110
dP
;\I'(!H IIHHIO!' O
ip;11ai
lt llllO.
4. Para cualquier mímero entero n ~ O, se define: (i) .f(n, O) 1 y .f(n, 11) ~ 1, ( i i) f (11, 1.:) •· f (11 -- 1, k - 1) + f (11 1, k), para O < k < n. i.C'wíntns c;ílculos se tic•rwn que hacer para encontrar f(3991, 1993), sin mnt ar aqudlns de• )¡¡ fornw f(u, O) y .f(n, n)? 5. Por 1111 punto () de una circunferencia, se tienen tres cuerdas que sirven como di<ímetros de t.ws cin:unfmen!'ias. Además del punto común (), las circuufi•rew:ias se int<~rsect ;n1 por pawjas
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CAPÍTULO 5. OLIMPIADAS NACIONALES 75
Segunda Sesi<'m
OCTAVA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Guadalajara, .Jal., noviembre de 1994· Primera Sesión l. La colección infinita de mímeros 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, ... se ha formado de la siguiente manera: Se coloca primero el primer impar (1), luego los siguientes dos pares (2, 4), después los siguientes tres impares (5, 7, 9), luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó y a¡;;í sucmivamente. Encuentra el (.{~rmino de la secuencia rm'JS cercano a 1994.
2. Los doce números de un reloj Hn desprendieron y al colocarlos nue-, varrwnt<-\ se comctif~ron algunos nrrores. Demuestre que en la nueva colocación hay un número que al sumarle los dos números que quedaron a sus lados se obtiene un resultado mayor o igual a 21. 3. Considere un paralelogramo ABCD (con AB paralela a CD y BC paralela a DA), sobre la prolongación del lado AB encuentre un punto E, de manera que BE = BC (y con B entre A y E). Por E, trace una perpendicular a la línea AB, ésta sn encontrará nn un punto F con la línea que pasa por C y es perpendicular a la diagonal BD. Muestre que AF divide en dos ángulos iguales al ángulo DAB.
4. Un matemático caprichoso escribe un libro que tiene páginas de la 2
a la 400 y q1w ekbe se~r leído de la siguiente manera: Primero deberán leerse todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con 400 (por suerte, éstAs se leen en orden normal, de menor a mayor). Una vez leídas éstas, se toma el último ntínwro de la..-; que no se han leído (en este caso 399) y entonces se leen toda..'> las páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes. Este proceso (tomar el último número de las qm~ uo se han leído y leer la.., páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes) continúa hasta terminar de leer <~!libro. ¡,Cuál es <~1 rnírnero de la última página que se debe leer? 5. Sea A 13C D 1111 cuadrihl.tcro couw~xo (cada uno de sus ángulos es menor que 180") y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos . que se pueden formar con los vértices A, B, C y D. Demuestre que no importa que <:uadrilM.nro convexo se tome, alguno de estos 12 puntos se encuentra sobre un lado del cuadrilátero. 6. Sea formas:
e un cuadrícula de 10 X
10. Considere piezas de las siguientes
c:BJdblllll a
b
e
doudo Pll e•¡.¡tnH pilda!llPllte CO!l 2fi pÍt~:l.ii.S de~ Ja forma (b), (iii) C llO SP JllH~dP cubrir completamente COil 25 pieza¡.¡ de la forma (e).
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CAPÍTULO 5. OLIMPIADAS NJ\CTONJ\ LF;s
77 Segunda Sesión
NOVENA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Colima, Col., noviembre de 1995 Primera Sesión l. En una Olimpiada de Matemáticas los concursanteB están ocupando todos los asientos de un salón rectangular dond.P lm; asientos Pst:1n alin<~ados <~11 lilas y colurnua.s de tal manera que hay u¡¡í¡.; de dos lila.-; y eu cada lila hay tmb de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere q1w ¡.;e deseen suerte dándose la mano; cada uno de los c:oncursant.es estwcha la 111ano ele los concnrsant.ns qno e¡.;t.fíu junto a
2. Cou::;idere 6 puntos eu d plano con la propi<~dad d<~ qw~ 1-\ d<~ las distancias entre ellos son iguales a. l. Muestre que al menos tws d<~ los puntos forman un triángulo cquilá.tnro de lado l. 3. Sean A, B, C y D vértices con::;ncntivos de uu hepbíp;ono n~gnlar, snau AL .Y AM las tangentes desde A a la circunfnrencia de C
e
4. (a) Encuentre un subconjunto B del conjunto A= {1, 2, 3, ... , 40}, de manera que B tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de B sea un cuadrado perfecto. (b) Demuestre que no se puede obtener un subconjunto de A de 27 dementas con la característica mencionada en (a). 5. S<'n .1DCDE
1111
puut¡ígouo couv(~xo dP manera que los triángulos
!llJC, BCD, CDE, DEA y EAB son todos de igual área. Demuestre que i;irea(ABCDE) < área(ABC) < ~área(ABCDE). G. Solm~ los <'lladmdos d(~ 1111a <:Hadrlcula do 4 por 4 se colocau símbolos O .Y 1; estos símbolos se cambian, llllo por el otro, de acuerdo a las siguientes operaciones: La operación (a) cambia lm; símbolos de todos los <'bJI(~utos dP uu reugl6n, La opemcíóu (b) cambia los símbolos de todos los dPnHmtos de una columna, La operación (e) cambia. los símbolos de todos los demento::; df~ una diagonal (líneas puntnadas en la figura). Determine n¡;íh~s :-~ou los arreglo::; d\~ los que se pw~de partir para que con un número fiuito ele opnraciones se pueda llegar a un arreglo de puros símbolos O.
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CAPÍTULO.~. OLIJ\,1PIADAS NAC:JONALf<:.C.,'
DÉCIMA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Mórida, Yuc., noviembre de Hl9(i Primera Sesión l. Sea ABC D un cuadrilátero y sean P y Q los puntos de trisección de la diagonal B D (es decir, P y Q son puntos del segmento B D para los cuales la.'l longitudes BP, PQ y QD son toda."' iguales). Sea 8 la intersección de la recta que pasa por A y P con el segmento BC y sea F la iut.t~fH(1(:c:i6n dn la recta que pasa por A y q cou ni !·u~glllmlt.o DC. Demuestre lo siguiente: (i) si ABCD es un paralelogramo, entonces E y F son los respectivos puntos medios de los segmentos BC y CD. (ii) si E y F son los respectivos puntos medios de los segmentos BC y C: [), nut.onces ABC D es un paralelogramo.
2. Bordeando una mesa circular hay dibujadas 64 casillas y en cada una hay una ficha. Las fichas y las casilla.<; P$tá.n numeradas del 1 al 64 en orden consecutivo (cada ficha está en la ca.<>illa dd mismo número). En la part!) central de la mesa hay 1996 focos apagados. Cada minuto todas las fichas se desplazan simultáneamente, en forma circular (en el mismo sentido de la nunwradón), como sigue: la ficha #1 se desplaza una. ca...;;illa, la ficha #2 se desplaza dos casillas, la ficha #3 se desplaza 3 casillas, etcétera, pudiendo varias ficha..;; ocupar la misma posición. Cada vez que una ficha comparte ca.<>illa con la ficha #1, se prende uno de los focos (se prenden tantos focos corno fichas estén compartiendo la posición de la ficha # 1 en f\Sfl momento). ¿En dónde P$t.ará la fieha #len el primer momento en que ya todos los focos estén prendidos? 3. Demuestre que no es posible cubrir la cuadrícula de 6em. x () cm. con 18 rectángulos de 2cm. x 1em. de tal manera que cada una dP )m; recta.c; de longitud 6 cm. que forman la cuadrícula y qtw erst1ln Pll ni interior de la misma pase por uno de los rectángulos. Dcnmest.rn t.ambih1 que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6cm. x 5cm. con 15 rectángulos de 2cm. x lcm. de tal manera que cada una de hu.; rectas d!~ !í cm. () () crn.
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!pi!~ linlll
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CAPÍTULO 5. OLIMPIADAS NACTONATBS Hl
Segunda Sesi<ín
B' A
4. ;,Para quP. enteros n ? 2 se pueden acomodar los míuH'ros del l al 16 en los cuadros de una cuadrícula de 4 x 4 (un número en cada cuadro, sin repetir los números) de tal manera que la..'l 8 sumas de los mínwros quP quedan en cada fila y
2
4 5 7 8
3
e
6J
nJ
Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de tlll cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el n 2 , de tal manera. qun en ca< lit ,, .. ,.,<, PI moviminnt.o S!!a hacia la derecha () hacia abajo. Si e (~S 1111 ('HIIIÍIIO, dmwtamos por L(C) a la smna de los uümeros por los c¡ue pa:-;a d c:;unill()
C. (i) Sea M la mayor L(C) que se puede! obt.c~ner d(~ ont.n~ Lodos los caminos G en una cuadrícula fija de tamaiío n x n y sea. m la uumor L( U) (también de entre todos los caminos en una cuadrfcula fi.ia dn t.atttalto 11 x n). Prw~b!' qun k! ~ ·m ns 1111 e: u ho p<~rfPdo. (ii) Pnu!h
e
6. En la. figura se muestra un triángulo acutángulo AIJC nu ••1 qw' la lougit.nd de AB P.S menor que la de BC y la de BC es menor qtw la el<' 11< .'. LoH punt.oH A', !J' y C' son tal<'s que A!l' <'S p
B
-
A', B' y C' Hon colirwa!es.
A
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CAPÍTULO 5. OLIMPIADAS NACJONALL~S
~3
Segunda Sesión
UNDÉCIMA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Monterrey, N.L., noviembre de 1997 Primera Sesión l. Encuentre todos los números primos positivos p tales que 8p 4 - 3003 también sea un primo positivo.
2. En 1111 1rilíllglllo AIJC, sean p y P' puntos sobre d SPglll<'lll.o nr:, (j Pll el segmento A y R sobre el AB de forma que: ~~~ = ~{: = ~ = ]{!;;. Sen. G d cnnt.roide del triángulo ABC y sea. J( AR punto dn int:<~rHPcciún d" las recta..<; AP' y RQ. Demuestre que los puntos T', G y K son colinmde:·L
e
3. En una cuadrícula de 4 x 4 se van a colocar los mírneros enteros del 1 al 16 (uno en cada casilla). (i) Pruebe que es posible colocarlos de lllllllera que los mínwros que aparecen en cuadrados que comparten un lado tengan una diferencia. menor o igual a 4. (ii) Pruebe que no {)8 posible colocarlos de t.a.luuuwra que los mínwros que aparecen en cuadros que comparten un lado tonga.n difcrmu:ia uwnor ·o igual a 3.
,..
4. Dado::; 3 puntos no alineados en el espacio, al único plano que los couti<~llt' le llamamos plano determinado por los puntos. ¿Cuál es el mínimo mínwro de plauos determinados por 6 puntos en el espacio si no hay 3 alüwados y uo están los G en un mismo plano? 5. Sean P, Q y R puntos sobre Jos lados de un triángulo ABC con P
<~ti d :-;<'gltu•nt.o f3C, q en d seg;tueut.o AC y R en el segmento BA, de tal lllill!P!'a <(IH~ :-;i A' es la intersección de f3(,J con R, B' es la intersección de 1\J' con (.'R, y C' <~s la int.PrHn<:ci(m de AJ' con BQ, entonces AB' = B'C',
e
LJ ( '' = (~''A' y CA' = A' B'. Calcule el cociente del área del triángulo PQ R del triángulo ABC.
<~utre el iÍrm
6. Pnwb<~ fl'lC elntímero 1 se Jl1J(~de escribir de una infinidad de maneras distintas l'll la forma: 1 ~" + .l + ... + ...L, donde n, a 1 , ... , an son enteros positivos y 5 < a¡ < a2 < ... < a".
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CAPÍTULO 5. OLIMPIADAS NACIONALES
85 Sep;unda. Sesión
DUODÉCIMA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Qunrétaro, Qro., noviembre de Hl!JH Primera Sesión l. Un uúnu:~ro es SlWrtudo si al sunuu· los c1tadrados de sus c·ifras y n~JH~tir nsta opentción suficientes veces obtenemos d mímPro l. l'or <'.imnplo, 1!..100 !~S suert.udo, ya que 1900 -+ g2 -1 ()g -• 100 --.. l. EucuPutn• nna infinidad de parejas de enteros consecutivo:-;, doudn ambos JJlÍIIteros
sean suertudos.
2. Dos rayo.~ l y m parten de un mismo punto fi~t·ntando un :ín¡~11lo n, H«'ll /' 1111 punto en l. Pn.rR cnda circuuli·n~JI(:in <: t.angPut.c~ al c•u /' cpw corte a m en puntos Q y R, sea T el punto doudP la his<~d.ri:r. dd :íJJ)!,lllo QPR corta a C. Describa la figura geomNrica q11e forman los pllntos '/', jnstifiqm~ su rnspueRta. 3. Cada uno de los lados y las diagonaks de 1111 octágono n~p;lllar si' Jlintan de rojo o de m~gro. Dmrmestw !Jil!! hay al lll!!llos sil'!<• t ri:í.n¡•,Jilr•H C"ll_yos vhtin•s :ion vhtic!~s dd ocf.¡l.gollo y SllS t.n·s Indos son cid ttJÍSJtlo r-olor.
4. Eucueutre tu dos los enteros que se escriben como 1._ + .l. + ... + .2.., a¡ a2 ag donde a 1 , a 2 , ... , a¡¡ son
6. Uu plauo en el <~spado es equidistante a un conjunto de puntos si la distanciad(' cada punto al plano Ps la miHJJHl. ¿Cuál es el mayor número de pla11oH equidistantes a 5 puntos de los cuales no hay 4 en un mismo plano?
e RG
e
CAPÍTULO !í. OLIMPIADAS NACIONALES
87 Segunda Sesión
DÉCIMA TERCERA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Oaxaca, Oax., noviembre de 1999 Primera Sesión l. Sobre una mesa hay 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuál de sus dos lados está hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona en Hn turno hace una el<• las siguientes cosas: (i) Retira un número cualquiera de fichas, con la condición de que toda." la fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba, (ii) Voltea un número cualquiera de fichas, con la condición fh~ qtw todas las fichas tengan el mismo color hacia arriba. Gana el que toma la ült.ima ficha. ¡,CwH jugador ¡med
2. Demue..<;tre que no existen 1, 999 primos en progresión aritm0tica todos ellos menores que 12, :J45.
3. Considere un punto P en el interior del triángulo ABC. SPan /J, lo' y F los puntos medios de AJ', BP y Cl', I'
4. Eu una cu;¡drícula bisectrices exteriores d
e ~H
CAPfTrTU> !í.
e
(JUMPTADA8 NA('U>N;\LF,<..,' ,'\!1
DÉCIMA CUARTA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS
d<· !l' coJJst nJÍIIIOs A" d<' la ntistna manera que A' se construye a partir dr· _,\. I•:JwiJr'Jii 1' IIIÍIII<'I'<> dn <'IPiliPIII.os que lllllr•¡¡¡•,a ;¡todo.-; los l!lll<:ros dcll al 40 (iudm;ive).
Morelia, Mich., noviembre de 2000 Primera Sesión
e
l. SPan A, B, y V circunferencia.<; tales que A es tnngmtt.(' PXt.Pria B (!JI /', B os t.ang<:Jite (!XI.<:rionnent.<: a (!11 (J, I!S t.an¡•,<'lli.<· •·xt,·ri~>nJH'Ill.<' a V <~11 R y 'Des t.augeut.e ext.eriomJ<:nl.
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( >111!1'111 ('
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(ii) Suponga además que A y e tienen radio 2, By V ti
PQRS. 2. Se construye un triángulo como el de la figura, pero empezando con lo:-; Hünwros del 1 al 2000. Cada número del triángulo ·{)xcept.o los dPI primer renglón-- e..s la suma de los dos números arriba de él. ¿Cuál es d número que ocupa el vértice inferior del triángulo?
2
1
3
3 5
8
4 7
12
20
5 9
16
28 48
3. Dado un conjunto de enteros positivos A, construirnos el conjunto
A' poniendo todos los elementos de A y todos los enteros positivos qw~ sn pumlf:n oht.ener de la siguiente m¡wera: Se escogen algunos dmrH'IIfos de A, ~in repetir, y a cada uno de eBos números se le pone el signo+ o en signo ·-; luego se suman esos números con signo y el resultado, si e.<> positivo, se (Hllle 1m A'. Por ejemplo, si A= {2, 8, 13, 20}, eut.once:-; algunos f'i<'IIH:nt.os . d<~ A' Hon 8 y 14 (pues 8 es elemento de A y 14 = 20 + 2 - 8). A partir
''.;J(i'
e 90
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CAPÍTULO 5. OLIMPIADAS NACIONALES Segunda Sesión
4. Para Pntero:-; posit.ivos a y /J, no mültiplos de 5, sn con:-;truy<' tllJ;t lista d<~ números como sigue: El primer número es 5 y, a partir del segundo mínwro, cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por a y sumándole b. (Por ejemplo, si a= 2 y b = 4, (mtmwe:-; los primeros tres números en la lista serían: 5, 14,32 (pues 14 = !! · 2 + 4 y :u ·" ¡,¡ · 2 + 4). ¡,Cuál e.'l la máxima cantidad de primos qlH~ se p1u•d<~rr
nht I'JII'r
antPH
dP nht.<~ner d priuu~r mímoro no primo?
5. S<~ tiene un tablero de n x n pintado como t.ahlnro dP a.i<·dn·z. Est.;\. p<'rmitido efectuar la siguiente operación en el t.ahlmo: /•,'s('()yt"f' uu
Capítulo 6 Sugerencias Olimpiadas Nacionales
r·¡·¡·fányulo rn la r.uadrlcula tal que la8 longitudt'8 de 8'/J..~ lado8 8t'an amlms pm-es o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al m:i.mw tiempo, e invertir los colores de los cuadritos de ese r-ectángulo (t~s decir·, los r.uadr'itos del rectángulo que emn negros se c.onvicrten en blancos y los lfllt' ·m.n hla:/1.1'118 81! convier·ten en ncgrns). Encuentre para qub IIÜllwro:-; 11 <':-;
)Jsiblc lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color, despu<~s (~~~ habPr pfectuado la operación el nümero de vece..'l que sea necesario. (Nota: La.'i dinu•usioneR de los rectángulos que se escogen pueden ir cambiando.) 6. Sea ABC un triángulo en el que el ángulo B es obtuso y <~u d quP 1m punto H sobre AC tiene la propiedad de que AH = B II, .v R lf p:-; JH~I'Jli'IHlicular a nc:. Smn D y E los puntos medios dP AIJ .Y LJC, ¡·pspPctivallwHt.e. Por H se traí':a uua paralela a AJJ que corta a 1)f•; <~ti !".
Pnwbe quP los ángulos BC: F y AC D son iguales.
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CAPiTULO 6. SUGERENCIAS OLIMPIADAS NACION!\LES
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PRIMERA OLIMPIADA l. Suponga que las fracciones del enunciado son~ y~, con by d > O. En realidad el problema tiene una falla de redacción puesto que, por ejemplo, -; + ~ es un PnU~ro, amha."i fraccimws son reducida.<; y los denorninadon•:-; son diferentes. Sin embargo, cuando suponemos que b, d > O, entonces el problema sí se puede resolver. Pruebe que b divide a d y que d divide a b.
2. Factorice a 20! como producto de primos.
3. Tome dos pnntos A y B, corno Jos indica el mmnciado, y wfi~~•to a /' obteniendo puntos A' y B'. i.Qu(~ ¡HIPdP dPcir d1• los t ri;íngulos A DI' y A' B' P?
SEGUNDA OLIMPIADA l. Suponga que p0111~ la.<.; siete pelotas blancas en línea pero que entre dos consecutivas de ellas pone usted un espacio vacío. También pone usted 1111 l's¡mcio vado a la izqui1•rda dP la primera pelota y otro a la derecha
2. Multiplique una dn las PXpresiones por un uümero de tal manera que obtenga lo mismo que la otra módulo 19.
:J.
En
4. Muestre que los ünicos enteros positivos qne timwn exad.amPnl.!~ t.n~s divisores positivos son los cuadrados de los primos. B.
e:.. Demuestre que la ünica manera de que las á.was de los t.ri;\ugulos l y M QC sean igualf'..s es cuando M es el punto medio dd seg11wnt.o
ne.
6. l'nwi>P <¡IH! n:1 - n es d producto de tn•s t•ntt!ros coust't'IJ!.ivos. l\11wstn• qu<' G1 :.-:: -:fl (módulo :117). 7. Suponga quf! I!Xiste un primo p qtw dividP al llllliWrador y al dt•nominador, rlcduzca que entonc:Pfl TJ divid1~ 11 n + l y a n(n + 2) lo <¡11P 110 t>S posihlP pn.ra 1111 primo. (a) Antt•s q1w nada t.Í!~tw qtw imagiHarSt! la sil.wtci<'>H d<~ lllall<~ra aprt•piadn. lrllaJ'.Íil~'Nt' qun t~l plattu ~~~~ d piHo y 111iro hacia la nsquina dt• la hahital'i<'lll. (h) Si 110 pudo imagi11arsP la Hit.uadrlll dd i11ciso (a), pit'I1Sf' c·n 1 rPs t ri;í.ugulos isóscP!t~s y rectángulos cuyos c:at.nt.os midan 2 y col<'>qw~los <'11 la esquina de la habitación poniendo uno en el piso y los otros doH sohm hs pan•dps ,[¡. tal Hiai1PI"H qtl<' t>l ;íHgulo I'Pd.o d1! los t.n•s ('oitwicla 1'1111 la t'S
l'nwb
= ~-
4. Cnusid
5.
s(~(l rf
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lll<ÍXÍlllO COlll\Íil
divisor
d<~ (}'2
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- nuf¡ y
(1.
+h. Usando
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CAPÍTULO 6. SUGER.ENCTA.'i OLI!I·fPIADAS NACIONALES !17
o 1• 1 1 1 1 1 1 4. Lo~ mímeros que hay q1w ~umar son: 1· 2• ~· 1• ~· ¡¡, 2• 3• 4• ~· 6• () 11 "
2
2
2
:¿, 1, ;¡'
2 2 ~' (i'
:¡ :.! :.! :¡. 4' !')'
~
()'
1. 1. 1. !! "
11 ()
Q
-1, !i, ()) ,r¡' (i' ().
5. Para n•solvnr este prohlf'tll
+'; +Q ,
6. Sea K la intersección de la recta AC con la wct.a pcrpmrdic1dar " AC que pa.<;a por l. Sea M d punto llledio del sc~gmeuto AL'. S<~a .r la lou.e;itud de FC. Muestre que :r = K M y qw· PI triángulo /\"/11/ <~s semejante al ABC (para esto, es ütil notar que :-;j .! e:-; d otro punto d<• int<•rsPcción del circuncírculo del triángulo AEH con C:H,
4. l\ilH'stn~ que AJN <'s panddo a/\(' y d<~duzca r lo tpw <'si":-; nwtm p11111os <'st;I.H <~11 una cin:unf<'lHJcia ('. l'rnPIH', por <~.imnplo,
e.
á. (;¡) l'mPh<• qw· !;1 i¡•,u;ddad (11 1)~ ¡ n 2 + (n + !)~ = Jn 2 t 2 "'' ,. 2 no H' pw·de dar, anali('(· '"~' <·asos ,. '""' O, 1 ú 2 (módulo 3). Para m = 6, haga d nwílisis múdulo 12.
6. Pruebe que la familia T se pu<'d<· descm11poner en tres subfamilias a.i<'llas d<~ los si¡;uieutt•s t n•s tipo:-;: l. t.rÍ;IIl).!,lllos aislados (sin v(•rtic<'s <'<•llllllH'S con los derná¡.;), 11. suhfmnila dn 3 ó 4 tri;ín~;ulos <·nvos vh·tices SP tornan de 4 vhticns fijos, 1Ir. suhfantilia de tri;ín¡~ulos COl! do.~ v(T1 icPs connmes a t.odos.
L
QUINTA OLIMPIADA l. Corno 1991 = 11 · 181, se tienen que sumar todos los números de la forma ,,;~ll' donde 1 :S n :S 1DD1 y n no <~s divisihk entre 11 ni entn~ P\ l. Sume todos !m; mírneros d<~ la forma 1,;; 11-, donde 1 S n S 1991 y n~ste los <¡IH' sobran.
2. La condit'Í(IH (iii) di('(~
O (, nu 5, pero como 1~s t'lwde terminar E~ll O, por lo que n empieza y termina en 5.
l<~rmina
()!1
3. Con:-;idPn~ el tet.nwdro 1' df'I.Prminado por lo:-; centro:-; de las c:nat.ro t>sll~ra¡.;. Ent.oncPs Tes un tdra<~dro n~gnlar cuya.<; ari:-;tas miden 2 y d radio 1JIIHcado <~S igual a r1 + 1' donde rl PS la distancia del centro de T a 11110 d<' sus v(~rtin~H. Dd.nrrniru~ cu:\nto ruid<· la altura h de~ T. Para snlwr <'11 qu{• proporción corta C a h, tonw una rara del tetraedro y construya <~1 1<'tnwdro T 1 determinado por esa cara y por C. ;,Cuál cs la proporci•''u •·nt n' <'1 volunwn dn T y <'1 dP 7'1 '!
e
SEXTA OLIMPIADA l. l'nwh•· <¡11<' d sq',lll<'lll.o /,). rnidP la mitad dd PQ y,
<'11
Pl
2. Mucsl.n~ <¡11<' si O < 11 S Ji -· 1 y e <~s un entero, entonces exi:-;t.c una 1ínic;¡ <'tal q111~ () :::; 1' S Ji-- 1 y n1· = e (módulo p). Tambit'n V<''' <¡IH' si /uf () (11J(Idlllo Ji), !'llfOllC<'S /¡c.= t) (l!IÚdi!IO p) <Í d '= () (llt<Ídlllo¡J).
:t l'n whP <¡1 H' todo t ri:í.ngulo lo ur:Í.'i la rnitad dPl ;\n•a.
ci I!Jt.•·nido en
llll
paralelogramo abarca a
4. llay qw• prohnr dulo 100. Todos los rnírrH•ros 11, 111, ... , 1111111111 son <'OIIgnwnt.p:-; a 11 utúdulo 1Otl.
e <)H
e
<'i\PÍTPLO 6. SUC:EI?ENCIAS OUJ\11'1:11M8 NACTON;\U.'S
!1!1
5. ( :;¡lcnlc ,e,·~. d<•rmwHtn~ qw· 11110
1()' ·1 !l.:l
i.P,wrl qlH' llllO. Esto sirvr• p:rr;r llllil d<· las dPSÍ)!;1Wldad<•s. Parn In ',¡ r:1 lr:r.v <¡11<' 1rs:~r 1:~ d<~sigu:rld:~d <·ntn· l:r nH·dia aritlll{:tica y la g<~
:-;
•)
1,.:...
":ti'·
7, l
(:~) (f,,, '1'''' los tri:ÍIIJ',lllos il!U\! y C:T/11 son S<'llH'jant<•s p:1rn \'''1 '1'''' [1!1! ,._.; 1:~ ,,,,.,¡¡:11rn d<'l tri:íngulo IJIJC. (h) 13m;ta probar qw~ ;1, M.
!l,tJ S, :1 1', 1 7,2 7, ;¡ 7,;1 G, 1 G.2 G,:3
(i.
:,, 1
11 y H r·st:ín todos <'11 una misma circunferencia (¡,por qu{~ haHt.a?). f':¡r;¡ 11:11'<'1 ,.,;¡,,, f¡;¡;;f;¡ 1·r•r :t., ¡Jif 1111" :·.•· f>ll<'d<• l'lliiiJ!IOll:U IISHII!Io d '(h!l'etna de !'it;ígonrH.
SÉPTIMA OLIMPIADA
1. l\ lw~st n• que (}E PS perpendicular a AC y que DO es perpendi<·nlm )\.EJ. Entonces el triángulo OED' es rectángulo en O e is<'>scdes. Sirnilanw•uf.<'. <'1 t.ri;\.ngulo [)()E' t.ambir~u eH isóscd<~H. Como()¡.; s<· prw
2. Strpo11ga que torna el mímero ahr, donde a, h y r son Rus dígitos. los posihl<'H valon~s para e est:ribi
¡\ nali<'<'
<'.i<•rnplo, sir·= O, 1, 4, 5, Ci <'J 9, Pnt.ouc:es a:¡+ h:1 es congruente a O, m<'Hinlo ! O. l'duPHf n• qnP, f'll (•st.e caso, a = 10 ·- b.
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(), 4
')
:., ;¡ 1' 1 1, :2
,), ~
;¡,
1
:•.. ¡
<1, ;¡ :l, 2 :!., 1
l~n carh n~ngl•'•n pmtemos lo tpw s<~ ll<'C<'sita para calcnlar d nmglóu antnrior. Ya no po!IPillos pan•j:1:-> d<'l tipo 11, n ni d<'l t.ipo 11, O. lmagfTH'S<' r·(nno S(' V<'l'fa d arreglo ('OIT!'SJH!IIlli<•nf<' Jlilnl los IIÚIIWI'OS :.l991 y 1993.
5. Suponga qtw las tn•s Cll<~rdas son OC:, ()IJ y OA, colocando OC OC y OA. S<~nn !J, E y F los puut.os de intersección de la.'> circunferencias que tienen como di:írrwtros OA y OB; OA y OC; y OB y OC, respectivamente. Muestn~ qne cada mw de lnR siguientes t.erci&s de f!llllf.os IJ, n y A; ¡~·.e .Y ;\;y F, ('.V 11, ~()11 :diJH'IldaH. DeJillH~St.n~ qw~ los <~nt.re
siguientes ángulos son todos igual<•s: J~CF, FOE, BCA y BOA. Lo mismo ot·mTP con los ;\ugulos FF;O y /·'('(J. 1)d lllisino modo, los siguil:ntt~s :\.ngulos son iguales: DO A y lJ E A. fi. t\IIJ(~stn~ qtw f(n) ·.e (n(n + :1) 1 1¡:'y t.nrhaje mngnwncia:-> módulo 2 y '1 son primoR rdat.ivos !'oll JI.
JI, n~<'ll<'rde qw~
OCTAVA OLIMPIADA
:l. Suponga q1w no hay twH puntos colineales. El pentágono se pw~d<• partir (m al rneuos tres triángulos que tienen vértices en los vértices del 1" •lfl',o11o. Si ngn~gnruos 1111 flllllto ¡1, d<~ut.ro d<~l peuL\.gouo, o] t.ri:í.ngulo :ti <¡11<' ¡wrt.ow~e<~ JI puede ser partido en tres pequeños t.riangulitos, por lo
<¡11<' la figura original se parte en al menos cinco triángulos. Si agregamoH IIIJfos hasta qtw compkt(• los !JD0. 4. Vamos a pow~r, f( 1O, !J ).
<'11 tlll
arn~glo, lo qtw
se
ne(x~sit.a para cnk11lar
l. ( lhs<'IV!' (y d<~llllll'C:I n•) !JII<~ <·ada Jdu<¡lH' do llt'IIIH'IIIS
f.I'I'IIIÍllil <~ll llll
cuadrado. 2. lJ11a VI'Z
Jos lll'IIIH~l'OS,
!'IIIISÍd<•l'<' (';¡,];¡
111.1111<'1'0
a los dos a s11 lado, y d<·s¡mós sttHH' iflda;-; osas SIIJWJH.
y :'IÍIIH~]o
Cada JllÍllwro ap;m~cor;l. :1 w~ces "" la smlla total, la <'IIa.l soní. <~llt.onco;-; :~ 1 ~};¡ 23;J == () · 1!l 1 () · :20. Supo11ga quo uing1111a. stnua do un !11ÍIItoro cn11 sus V!'ciuos es nlui<'llos igual a 21. l'vluPst.re qw• <'nt.onc<'s 110 Jl11<'de haber 7 o lti<Í,o.; SllllHI.'i
e CAPÍTULO fi.
100
e
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___
,,.,.......,.,......,..~,..,-
SUGERENCTAS OLIMPIADAS NACIONALES
1() 1
dP 20 y ckduzca que ddH1 haber G stmtw-; ck 20 y (j el<~ 1!J. Vea c¡ue ocurn~ con los números que nstáll apartados nxactamente dos lugares del l.
qtu~ sc~ dan se• ohtiPne la oc:uaci(m 8nrn. - Gn - Gm JHllH'r como (-In-- :3)(4m- 3) = 4081 = 7 · 11 ·53.
3. Haga lo mismo para PI otro lado. Es decir, sobre· la prolonga.ciún dd lado J\f) construya 1111 punto G, de\ marwra cpw J)(: = !JC: (y con 1) cmtre Jl y Por G tram \liJa pmpeudicular a la línea AD, (~sta se (~IICOiltraní. c•n 1111 plllllo F' !"Oil la lhu~a ('F. Sc•a F" e•] plllll.o donde• se• int.c·rsPd.an l:tK líuc•a¡.; GF' y h'F. Por la simdría del cuadrilútero A8F"G, la línm AF" c~s la bisectriz cid :íngulo DAD. De manera cpw, sc'>lo se ncn~sit.a prol>ar que ¡:. F' .V F" son c•l 111ÍSII1o p1111to. S••:t 11 1'1 ptnilo c~11 la intc·rsc~c·c·ic'llt de~ /)/J v /·'( '. Mw~strc• qtw los punt,()s U, ('y /•,' c~st.:í.n :tlitH'ados. 'l'rac·c• e~] grau t riúngulo que sP forma con la.-; líneas /) H, G F" y /•,' F'. Para. proha.r que F, F' y F" c·oitwidc•IJ, es :mficimttc• probar qtll~ los sc•gtttentos F' II y F"/1 son iguales, c~sto S<' puede hacer usa11do :tlgtmos dc~ los tri:íHgulos semejantes
Mw~st.w
qtw alguno dc~ los ¡\ngnlos del cuadrilátero tiene que Her menor o igw1.l que 90".
6. Para las de la forma (a), rubra una Psquina del cuadrado y vea. cómo f11crzan las pieza.<> vecina.<>. Para la.'> eh~ la forma (h), ihuninc~ el cuadrado ''"'"" 1111 1nh]Pro .¡,. aj•~cln~"-, c'<>ll c'llildrii."H blancos y IIC'gros. Cndn piei\H cubrir:\ tres cuaclritos blaucos o t.rc•s nc~gros. Supouga qun b eH el número de pic'ZHH blancas y n d dc) rwgra.-;. ¡,Cuántos cuadroH negros y cuántos hlnncos SP cubren Pn total? Para laH de! la forma (e) ilumine el cuadrado ¡•,ra nd<' como si fiH~m un t.ablPro elc~ ajndrnr, do ii x ii (con cuadradm; de 2 x 2). Cada pieza cubre tanta área. uc)gra como blanca.
SP
p11ede
2. ( 'nllHiclen~ los casos:
(h) de a.lv/III punto Halen 1 distanc:iaH ignalPs a 1, (e) de~ :tlgtill (Htlll.o sal<'ll :1 clisl.a!lc:ÍlL'i igtl1ll<•s a 1, (el) de todos los puntos saku a lo más 2 distancias igual1~s a l.
:t J':tr:t l'lll(H!ZHI', 110 t ÍC'IH' 11:111:1 1(111' \'1'1' 1(111' Sl';t 1111 )IC'pL\gono, C!ll rc~;tlidad c•slc• prohlc~ma es v:ílido pmn <·wtlqnic•r n-;ígono regular, co11 n ~~ G. I\ltwHtre que los trüí.ngulos IJNC: y Jl!J(7 son semc~ja11tm y que LC = BC. De aquf
qtw aparecen en la figura. 4. Se est:í buscando el último llÚIIH\1'0 cpw se va a diminar. Con el 400 y el ) se eliminan todos loH múltiploH de 2, 3, 5, 7 y 19. Los primos 11, 13 y 17, si no se eliminan antes, Heguro se eliminan cuando llegamos a p 2 . Vicmdo los múltiplos cercanos a 400 de los mímeros 23, 29 y 31, mue..'ltre . c~nt.ouces que el :37 sc)lo es eliminado cuando llegamos a. (~l.
20:36 que
(a.) de• algt'111 punto salen ii dist.anc:iaH igunlc~s a 1,
e:.
5.
-.----·-··
.f-
r
1
¡
t
1
5. Muestre que los segmentos AB y CE son paralelos y deduzca que ~área(ABD) < área(ABC) < Mea( ABD). 6. Dist iuguimos dos z• >ll:IH '¡,, 1:1 <·uadríc:11la. La zona A que comprende la,'> esquina.-; y los cuatro cuadrados c:<~ntra!Ps, y la zona B q1w compn~nde los deuuí.-; cuadrados. Muestre· qnc· simuprc! se ptwden convertir e11 cm-os todos los cuadros de la t~ona A. PntehP qnP la.'> OfH'ra.ciones ¡wrmit.ida.-; no ca.mbia.u la pal'idad dd númc•ro d<' unos Pll la zona B.
SI'
NOVEN A OLIMPIADA l. Snpong;1 que f'] snlc'lll tic•tu' n fil:ts y m hilPras. Cont.andn los saludos
,i
1 .~
Dl~CIMA (>LIMPIADA
j
·•¡
l. T'rac:e la diagonal AC. Sna 111 d pnnt.o de iut.nrs(•n·ic'm de la:-; diagonales JlC y 13D. La c:law dc~ estP problema está en probar, para. (i), y observar, para (ii), qw• AF es una IIIPdiana del tri;1.ngulo ADC. 2. J•;u 1'1 tuiuuto i, la lil'lta H t cWII('111'1Í la posil'iúut + 1 (lllc'Hilllo (j.¡ ). En gc!ueral, la Jidm #n o<·ttp;n·:í la posil'ic'llt {i + l )n (müclnlo fi1). EntmH·c·s, la ficha #n c·ompartin\ s11 posicic'm con la ficha #1 Pll <'1 minnto i ~i .v sc'llo si i 1· 1 =e (i + 1)11 (lllc'ldlllo ().1). Así qllc!, para. s:tiH\1" c·t¡:ínt.as fichas c·otllp:trl
e
e 102
( '/\ l'f'l'lTLO (i. .'!UOEHENCTA8 OLTMPIADA8 NACIONALES
lo:!
la posic:i(HI ('OII la ficha # 1 mt ni tninuto i (con i ~ 63), hay que encontrar 1'1 n1'u1wm el<~ sol1tcio1H~s de In <"ongnwncia i + 1 = (i + 1)n (m<~dulo (i4), ;uplf la variaiJI<• <'S n. Escribi<~lldo i t- l eu la forma i + 1 = 2"1.:, dum!P
m
k I'S impar, pnwbe q1w el mímPro de soluciones de esta ecuación es igual
m :S: Hl96 S Af, de aq11í ohtc11ga que 12 :S: n S 15. En el cuadrado
lta¡;t.a la (~Sqllina HIIJ)('rior d1·n·d1a y
Si hay 111111 cnadrí('lil;1 y 1111 camiuo para los que L(C')
=
m 1 {rnódnlo 26 ·-·n). Por !'ÍI'rf.o, J>ó!l
4. Supongamos que n 2: 2 satisfae<~ la." propiedades. Como J + 2 + t- Hi "'"' fiH = 2 · 2 · 17, n debe ser 1111 divisor de G8 que tenga 8 múlt.iplos <¡11<' dividan a
()H. )),. 11
,.
aq11f oht<'llga qnc
'11
'""
2
(i
!l. Muestn~ qw• hay 1111
4.
5. ( :on<"{~ntn•sp Pn un cuadrado
d!~
2 x 2 como m1 al figura:
Le__ l ~~ ~Ici!~=~ f<:s claro qw• cu cada cuadrado cu1uo éste, la suma de 1111 camiuo que v:1 dn r a n r + 1 es mayor si primero bajarnos y luego carniuamos a h dIIto, se obti1~11c que Pi camino para,.¡
+
<¡ti<' ];¡ Slllll
=
l!.IU(i, eutouces
6. l\Iw•stn~ qw• los tri<íllgulos Aflfl' y (.''(';1 son cougnwnt.!•s y d<~dnzca qnc Pi triüng 1do : \( "JJ' '·s r<:!'híngulo <· is(>S('(~]cs.
FHifB p;. i 111< ·riur d<' In franja m 1 1111 lllÍIIH'l'O impar de e<~nt.fmetros cuadrados. El n·st '' dP <~sta porci<íll no S<~ podni cuhrir con rect.üngulos df~ 2cm. x J en t.
aquí oht.<~n,..;a qw~
figura, ohs<'rvp qtu• la dif<•n•twia ••nt.n• las cl"s Sllllla.-; posihl<•s p:1r<1 los dos caminos <'s ignal11 11 .. 1. IJ<· aquí obt.<~Hga que la diferencia ont.w ]a¡;¡ sumas que cmTcspniHI<'Il a dos f'
:l. Con<·í•HtresP <'11 una franja d<· 2 x 6 como la ilustrada en la figma.
MHf'stw qn<' si en esta franja se pom: un mímero impar de fichas que nnc:Pn la lín<'a horizontal centmL <'llton('es, de las fichas que cubren el resto el<• la fra11ja. sohn~sal<'n hacia la parte dr~ abajo 1111 número impar dP fichas y. ·i.
Do
UNDÉCIMA OLIMPIADA l. 'fb1baj•• con congtllf'IH'ias 111c'>dnlo 1
1
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!""1.
2. 1\ltwstn• q11P <·1 !'li y <¡1H' Pl <"Ptlf.roidP dnl tri;íngnlo /'i1/''
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3. !'ara d inciso (i1). priiiH')'(I cl, f'S<' camino d••h<· f.<'IH'I' a lc1.~ III,IIIH'ro l'lilist.ados arriba., p1ws si por Pj<'IIIJllo, 1111 camino dP cinco pasos P111pinza en 1 y el siguiente paso fÍ<'II<' :t :1. l'llfoncPs nl siguiPntP paso tiPrw a lo más al(), d sigiiÍPliÜ' fi<'ll(' a '" IIIIÍS al n. ,., si,f',IIÍf'llff• fi<'llf' il lo III:Ís ¡¡J 12 y PI sigiiÍ<'IIf<• fil'lll' a lo lli<ÍS al];¡, <'ltf<>II\'<'S 1111 podrf;1111os ll<·gar al](;, ( :on <'Sto s<~ t.ion<~ !JIH~ no puede ltnhnr uuís .¡,. 1111 c;nninfl de Ií pasos o menos dnl 1 al 1(), J'or f illlfO J .\' lf) S<'J'V(' );¡ diagonal q1w IIIW a 1 y <1 Hi. l>c~lllli<~Hfn~ !JIH~ en Psa diagou;tl d<·IH~JJ qncdar acomodados los lliÍJlleros 1, (i, ll, 16.
4. An:dic·c• los si¡•,ni<•nlc•,; ,.;¡,,o,;: (:!) l~:•y ;, 1HIIilo:; c·c¡pl;¡¡¡;m·:;; (1•) 110 hay !í p1111fOH CO)IIfiiillltiiiS I'IIJllail, ii'JIIÍ ltay qw~ ('.ollsid<~rar los sltl)(':l.'-'flS 1'11
!'fiJl)HIIH)'(~S 1'011 1111<1, ('011 d•JS
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e SUGEflENCTAS OLIMPIADAS NACIONALES
107
dP t.odo:-; los unos y todos los mPnos unos es igual a O. Suponga ahora todos los lados tienen \ongit.ud impar. Tome usted 1mo de los lado!'. < :orno tie11e lonJ!,itud impar, hay un cuadro negro de más que está cubierto y que tiene una orilla en ese lado o hay uno blanco de más. Muestre que si hay 11110 negro de más entonce..s en todos los lados hay un negro de más y 1:1 suma O.
~~~~ dos c11adrit os w~grm; juntos. Con un rectángulo de 4 x 2 convierta esos dos Cllaclritos IH'¡•,ros Pll dos blancos más un rectángulo de 3 x 2 cuadrit.os 1u:gros, los c·llaiPs pucclcm ser convertidos en c:uadritos blancos usando dos rccLíngulos dc~ :{ x l.
( 'Al'{'/'l/LO fi.
l!lfl Sllllln
epi<'
6. Todos los fingulos sig11Í
quc: DH es paralelo a BF. De manera que el ángulo FBE también es igual al :ínguln H :lll. Sea G la intersec:cic'm de la recta B F con AG. Muestre cpw los tri
DÉCIMA CUARTA OLIMPIADA
oA' 08' Oc
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y Ov los centros de las circunferencias A. B, y E.
wsp<~d.ivamente.
D,
1
1
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2. Muestre que cada número del triángulo, a partir del tercer rengl<'m, igua.l a cuatro veces d m1mero que está exactamente sobre él.
3 Para ver que con conjuntos de tres elementos A se puede conseguir cc.ntenga a los números 1, 2, ... , 40, encuentre un r,onjunto d<1 tres dc~rnentoR A tal que A' contenga a todos los mlmeros 1, 2, 3, ... , 10. Para vnr que no hay un conjunto A con dos elementos y que tenga la propiedad pedida, tome un conjunto A = {a, b} con a < b. Entonces A' == {a, b, a + b, b - á}. Muestre que los elemr1ntos de A" son de la forma rw + rnb, con -:J:::; n,m :S: 3. quf
=O (módulo 5) 6 a +a: +a +a + 1 =O (m(tdnln 5), depcndicndo de si a= 2, 3, 4 (módulo 5) ó a= 1 (módulo f>), 4. Mucstre que a3 + a2 + a+ 1
4
1
n•spec:t.ivarnnntc. Encuentre a y b de manera que la liAta le prilllUH.
2
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5. Es claro que para n = 2 no se puede. Muestre que para n = :3 He puede. Para n. = 4, elija el subcuadrado de 3 x 3 de la esquina superior i;r,quimda, convierta todos los cuadritos de este subcuadrado y entonces s1'tlo falta conw•rtir los cimdritoR negros de la última columna y el lÍitirno n•ngh'm. Con n~c:t.ángulos de :3 x 1, convierta dos cuadrit.os negros suc:esivoH
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81/Uf•:HI•:N( '1!\S OLJMPJ!\[);\8 N!\CION!\LFS
LECTURAS COMPLEMENTARIAS
l. Niv(•JI y JI. Zuc:kerma.n, lntmdut·t·úin ala Tmrfa dt• Núm.ems, Li1n11sa
Wih!_y,
Mr~xico,
l!J72.
Ma.. Luisa Pére;r, Sep;ui, Combinatoria, Cuadernos de Olimpi¡Hia,.., de Mal.t'llll\t.i('a.o;, Instituto de Matt•Jn;íl ica~, UNAM, 2000.
N. Sha.riguin, Pmblernas de Grmnetr·ía, Colección Ciencia Popular, Editorial Mir, Moscú, 1!)89.
<
Varios Autores, Olimpiada de Matemáticas, 140 pmblemas, Academia IP la Investigación Científica, México, 1993.
t'll..~,
Varios Autores, Problemarios pam las Olimpiadas Mccica:nas de Malf'mátiPublicación Anual, Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
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CUADERNOS DE OLIMPIADAS DE MATEMATICAS PRINCIPIOS DE OLIMPIADAS Se lt'nninó de imprimir en junio de 2002 en los talleres de CREATIVA IMPRESORES, Delfín Madrigal 128, Col. Pedregal de Sto. Domingo, Coyoacán, 04369, México D.F. Tel. 5421-2077 El ti raje de esta edición fue de 1000 ejemplares
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Curso de Entrenamiento Olímpico UAEH
Centro de Investigación en Matemáticas Febrero 28, 2004
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l. Encuentra el resultado si se suman todos los dígitos de los números desde ell hasta el lOO.
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2. Una cuadrícula rectangular está formada por 2004 cuadrados iguales. Determina todas las posibilidades para el número de cuadrados que hay en el contorno del rectángulo.
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3. Encuentra el valor de cada una de las sumas siguientes:
\ (00 \~0 ~' :~ D
a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 2004 ::: j(."C'I:: ¡{;. ' b) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ... - 2004 e) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + ... - 2004 d) 1 + 2 + 3 - 4 - 5 - 6 + 7 + 8 + 9 - ... - 2004
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Olimpiadas de Matemáticas Curso de Entrenamiento CIMA-UAEH 21 de Febrero de 2004
l. En cada caja hay tantos chocolates como cajas
hay en cada cuarto, y hay tantas cajas en cada cuarto como cuartos hay en cada casa, y hay tantos cuartos en cada casa como casas hay ~n una cuadra. Hay 81 chocolates en una cuadra. ¿Cuántos chocolates hay en cada caja? 2. Se va a colorear la cuadrícula de 4 x 4 de abajo de forma que cada cuadro sea verde o rojo, y tal que los 12 cuadros del contorno tengan todos el mismo color. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto?
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3. Dentro de un triángulo isósceles ABC, con AB = AC, se dibuja otro triángulo isósceles BCD, con Den AC y BC = BD. Encontrar las medidas de los ángulos inte. Jres de ABe si el triángulo ABD es isósceles.
