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FLUJO MÁSICO AIRE CÁLCULO
Probabilidad
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Probabilidad y Estadística Unidad II: Parte II
PROBABILIDAD Experimento aleatorio: Es aquel que puede producir resultados diferentes aun cuando se repita
de la misma manera. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleator
espacio muestral generalmente se representa con S. Un resultado particular, es decir, un elemento
se llama punto muestral. Un suceso A es un conjunto de resultados o en otras palabras un subcon del espacio muestral S. Dos sucesos A y B se llaman mutuamente excluyentes sin son incompatibles; es decir, si A ∩ B otras palabras A y B son excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente. simultáneamente. Ejemplo 1: Tirar un dado y observar el número que sale: S= {1,2,3,4,5,6}
Sea A el suceso de que salga un número par, B que salga impar y C que salga un número prim Denotar cada suceso utilizando la notación de conjuntos, b) realizar las operaciones A ∪ C , c excluyentes. C ,c) encontrar cuales de los sucesos son mutuamente excluyentes. a) A={2,4,6}, B={1,3,5}, C={2,3,5} c
b) A ∪ C = {2,3,4,5,6} , B ∩ C = {3,5} , C = {1,4,6} c) Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes dado que A ∩ B = {Ø}
Ejemplo 2: Tirar una moneda 3 veces y observar la secuencia de caras (H) y cruces (T) que aparece
Determinar el espacio muestral, b) Encontrar el suceso A de que dos o más caras apar consecutivamente consecutivamente y el B de que todas las tiradas sean iguales, c) Encontrar A ∩ B . a) S={HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} b) A={HHH, HHT, THH}, B={HHH, TTT} c)
A ∩ B = { HHH } Teoremas de probabilidad
1: La probabilidad del suceso imposible, o en otras palabras del conjunto vacio Ø es nula, es P(Ø)=0 2: Para cualquier suceso A se cumple que 0 ≤ P( A) ≤ 1 3: Si A ⊆ B , entonces P( A) ≤ P ( B) 4: Para dos sucesos cualquiera A y B se verifica que:
P( A \ B) = P( A)
P( A ∩ B)
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Probabilidad y Estadística Unidad II: Parte II
asigna la probabilidad 1/n y si a cada suceso A que contiene r puntos se le asigna la probabilidad r/ otras palabras:
p ( A) =
número
de elementos
número
de
de A
elementos de
S
=
n( A) n( S )
Ejemplo 1: Elegimos de forma aleatoria una carta de una baraja con 52 cartas. Consideremo sucesos: A={La carta es un corazón}, B={La carta es una figura}. fi gura}. Calcular p(A), p(B) y p ( A ∩ B)
P( A) = P( B) =
número
de
número número
de de
número
P( A ∩ B ) =
corazones cartas figuras
de
número
cartas de
13
=
52
12
=
=
52
=
de
4
3 13
figuras de
número
1
corazones
cartas
=
3 52
Ahora suponga que queremos hallar la probabilidad de que la carta o sea una de corazones o se figura ¿A cuánto será igual esta probabilidad?
P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B) − P ( A ∩ B) =
13
+
12
−
3
=
22
52 52 52 52 Nota: Colores={Rombos, tréboles, espadas y corazones}, Figuras={J, Figuras={J,Q,K} Q,K} Ejemplo 2: Se elige aleatoriamente a un estudiante de entre 80, de los cuales 30 estudian matemá 20 química y 10 ambas asignaturas. Hallar la probabilidad P de que el estudiante este estud matemáticas o química. U M
Q 10
20
10
40
P( M ∪ Q) = P( M ) + P (Q) − P( M ∩ Q ) P( M ) =
30 80
, P(Q ) =
P( M ∪ Q) =
30 80
+
20 80
20 80 −
y P( M ∩ Q) =
10 80
=
40 80
=
1 2
10 80
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Probabilidad
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Probabilidad y Estadística Unidad II: Parte II
n
2) ∑ Pi = 1 i =1
Ejemplo: Tirar 3 monedas y observar el número de veces que sale cara: S={0,1,2,3} Resultado Probabilidad Probabilid ad
0
1
2
3
1/8
3/8
3/8
1/8
Sea A el suceso de que aparezca cara al menos una sola vez y B el que aparezcan todas caras o t cruces, encontrar p(A), p(B), p ( A ∩ B ) y p( A ∪ B ) .
p ( A) = p (1) + p (2) + p (3) = p ( B) = p (3) + p (0) = p ( A ∩ B ) = p (3) =
1 8
+
1 8
3 8
=
+
3 8
+
1 8
=
7 8
2 8
1 8
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) =
7 8
+
2 8
−
1 8
=
8 8
=1
Ejercicio: Tres caballos A,B,C están en una carrera, A tiene el doble de posibilidades de ganar que
tiene el doble que C. a) Hallar sus respectivas probabilidades de ganar. b) ¿Cuál es la probabilida que gane B o C? a) P(A)=4/7, P(B)=2/7, P(C)=1/7 b) p ( B ∪ C ) = 3/7 Probabilidad Condicional
Supongamos que E es un suceso de un espacio muestral S con p(E)>0. La probabilidad de que un s A ocurra dado que ha ocurrido E o concretamente la probabilidad condicionada de A dado E, se d como sigue:
P( A | E ) =
P ( A ∩ E ) P ( E )
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Ejemplo 1: Se tira un par de dados. El espacio muestral S se compone deNot 36useful pares ordenados Useful donde a y b pueden ser cualquier numero entre 1 y 6. Así la probabilidad de que salga cualquier p es 1/36. Hallar la probabilidad de que salga un 2 en uno de los dados, si la suma ha sido 6, es
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Probabilidad
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Probabilidad y Estadística Unidad II: Parte II
2
P( A | E ) =
P ( A ∩ E )
2 = 36 = 5
P ( E )
5
36 Ejemplo 2: La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(D) = 0. probabilidad de que llegue a tiempo es P( A) = 0.82 ; y la probabilidad de que salga y llegue a tiem
P( D ∩ A) = 0.78 . Encuentre la probabilidad de que un avión a) llegue a tiempo, dado que s tiempo y b) salió a tiempo dado que llegó a tiempo. a) La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es
P( A | D) =
P ( A ∩ D) P( D)
=
0.78 0.83
= 0.94
b) La probabilidad de que un avión saliera a tiempo, dado que llegó a tiempo es
P( D | A) =
P ( A ∩ D) P( A)
=
0.78 0.82
= 0.95
La noción de probabilidad condicional proporciona la capacidad de reevaluar la probabilidad d
evento a la luz de información adicional; es decir, cuando se sabe que ocurrió otro event
probabilidad P( A | B ) es una “actualización” de P ( A) basada en el conocimiento de que ocur
evento B. En el ejemplo anterior es importante conocer la probabilidad de que los vuelos llegu tiempo. Se nos da la información de que el vuelo no salió a tiempo. Con esta información adicion c
probabilidad más pertinente es P( A | D ) , esto es, la probabilidad de que llegue a tiempo, dad
no salió a tiempo. En muchas situaciones las conclusiones que se obtienen de observar la probab
condicional más importante cambian por completo la situación. Para el ejemplo anterior el cálcu c
P( A | D ) es: c
c
P( A | D ) =
P( A ∩ D ) c
P( D )
=
0.82 − 0.78 0.17
= 0.24 c
Nota: Dado que P ( A) = P ( A ∩ D ) + P( A ∩ D ) = 0.82 , entonces, c
P( A ∩ D ) = P( A) − P( A ∩ D ) = 0.82 − 0.78
Como consecuencia la probabilidad de una llegada a tiempo considerablemente an Signdisminuye up to vote on this title presencia de información adicional.
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Multiplicación para la probabilidad condicionada
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Probabilidad y Estadística Unidad II: Parte II
P( A ∩ E ) = P( E ∩ A) = P( E | A) xP( A) En otras palabras, no importa cual evento se considera como E y cual como A.
Ejemplo 1: Un lote contiene 12 televisores de los cuales 4 son defectuosos. Se sacan 3 televiso azar, uno detrás del otro. Hallar la probabilidad P de que los tres sean no defectuosos.
P=
8
x
7
x
6
12 11 10
=
14 55
= 0.255
Ejemplo 2: La producción de un día de 850 partes manufacturadas contiene 50 partes defectuosa seleccionan 2 partes al azar sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda part defectuosa dado que la primera es defectuosa?, b) Si se seleccionan 3 partes al azar ¿Cuál probabilidad de que las dos primeras partes sean defectuosas y la tercera no lo sea? a) P(B|A)=49/849 b) P(DDN)= P( DDN ) =
50
x
49
x
800
850 849 848
= 0.0032
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Probabilidad y Estadística Unidad II: Parte II
Teorema de probabilidad total
Considere la siguiente figura. Si los eventos B 1, B2,…,Bk constituyen una partición del espacio mues tal que P ( Bi ) ≠ 0 para i=1,2,…,k, entonces para cualquier evento A de S, k
k
i =1
i =1
P( A) = ∑ P( Bi ∩ A) = ∑ P( Bi ) P( A | Bi )
B1
B4
B5
A A B2
B3
BK
En esta figura se puede ver que el evento A es la unión de los eventos mutuamente excluyentes excluyentes
( B1 ∩ A), ( B2 ∩ A),..., ( BK ∩ A) ; es decir, y a se vio anteriormente: A = ( B1 ∩ A) ∪ ( B2 ∩ A) ∪ ... ∪ ( BK ∩ A) , por lo que como ya
P( A) = P[( B1 ∩ A) ∪ ( B2 ∩ A) ∪ ... ∪ ( BK ∩ A)] = P( B1 ∩ A) + P( B2 ∩ A) + ... + P( BK ∩ A)
=
k
k
i =1
i =1
∑ P( Bi ∩ A) = ∑ P( Bi ) P( A | Bi )]
Ejemplo: En cierta planta de montaje, tres máquinas B 1, B2 y B3, montan 30%, 45% y 25% d
productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2%, 3% y 2% de los prod ensamblados por cada máquina respectivamente, tienen defectos. defectos. Ahora, suponga que se seleccio forma aleatoria un producto terminado. ¿Cuál es la probabilidad de que este defectuoso? Considere los eventos siguientes: siguientes: A: el producto esta defectuoso defectuoso B1: el producto esta ensamblado por la máquina B1 B2: el producto esta ensamblado por la máquina B2 B3: el producto esta ensamblado por la máquina B3
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Probabilidad y Estadística Unidad II: Parte II
Regla de Bayes
Si los eventos B1, B2,…,Bk constituyen una partición del espacio muestral S, tal que P( Bi ) ≠ i=1,2,…,k, entonces para cualquier evento A de S, tal que P( A) ≠ 0 ,
P( Br | A) =
P ( Br ∩ A) k
=
P ( Br ) P ( A | Br ) k
para r=1,2,…,k .
∑ P ( Bi ∩ A) ∑ P( Bi ) P( A | Bi ) i =1
i =1
Ejemplo 1: Respecto al problema anterior, si se elige al azar un producto y se encuentra q
defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que este ensamblado por la máquina B3? Con el uso de la l a regla de Bayes podemos escribir:
P( B3 | A) = P( B3 | A) =
P ( B3 ) P( A | B3 ) P( B1 ) P( A | B1 ) + P( B2 ) P( A | B2 ) + P ( B3 ) P ( A | B3 ) 0.005 0.006 + 0.0135 + 0.005
, entonces:
= 0.204
Ejemplo 2: Un compañía de seguros divide a las personas en dos clases, quienes son propen
accidentes y quienes no lo son. Sus estadísticas muestran que una persona propensa a accide
tendrá, en no más de un año, un accidente con una probabilidad de 0.4; mientras esta probab
decrece a 0.2 para personas no propensas a accidentes. Si pensamos que 30% de la poblaci propensa a accidentes, a)¿Cuál es la probabilidad de que una persona que compra una nueva
tenga un accidente en no más de un año?, b) Suponga que un nuevo asegurado ha tenido un accide
no más de un año de haber comprado su póliza. ¿Cuál es la probabilidad de que sea prope accidentes? A: accidente Pa: Propenso a accidente accidente Npa: no propenso a accidente Sign up to vote on this title
P(pa)= 0.3, P(npa)=0.7, P(A|pa)=0.4 P(A|pa)=0.4 y P(A|npa)=0.2, por lo que utilizando la fórmula para la probab
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total. La probabilidad de que se le presente un accidente seria igual a:
P( A) = P( pa ) P( A | pa ) + P (npa) P( A | npa)
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Probabilidad y Estadística Unidad II: Parte II
más de un año, esta probabilidad cambia a 0.46, es decir se aumenta considerablemente la probab de que sea propensa a accidentes al actualizarse la información.
Ejemplo 3: Una prueba de sangre de laboratorio es 99% efectiva para detectar una cierta enferm
cuando ocurre realmente. realmente. Sin embargo, la prueba también da un resultado “positivo falso” en 1%
personas sanas a quienes se les aplica (es decir, si se le hace la prueba a una persona sana
probabilidad de 0.01 el resultado de la prueba implicará que la persona padece la enfermedad). S
de la población tiene realmente la enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que una persona ten enfermedad si la prueba dio resultado positivo? E: Tiene la enfermedad Ne: No tiene la enfermedad P: Da positivo en la prueba
P( E | P) =
P ( E ) P( P | E ) P ( E ) P( P | E ) + P ( Ne) P( P | Ne)
=
(0.005)(0.99) (0.005)(0.99) + (0.995)(0.01)
= 0.3322
Así se tiene que solamente 33% de las personas en quienes la prueba da un resultado positivo, pa realmente la enfermedad. Sucesos independientes
Los sucesos A y B de un espacio probabilístico S son independientes si la ocurrencia de uno de ell
influye en la ocurrencia del otro. Más concretamente, B es independiente de A si P(B) es igual a P(
por lo que si sustituimos P(B) por P(B|A), en el teorema de la multiplicación para la probab condicional, es decir, P ( A ∩ B ) = P( A).P( B | A) , nos queda:
P( A ∩ B ) = P ( A).P ( B ) Entonces podemos decir que: Sign up to vote on this title
Los sucesos A y B son independientes sí P ( A ∩ B ) = P ( A).P( B) ; de cualquier otra forma Useful Not useful dependientes.
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Probabilidad y Estadística Unidad II: Parte II
Entonces: P(A)=
4 8
=
1 2
, P(B)=
2
P( A ∩ B ) = P ( SSS , SSA) =
8
4 8
=
=
1 4
1 2
, P(C)=
2 8
=
1 4
, además:
, P ( A ∩ C ) = P ( SSA) =
1 8
, P( B ∩ C ) = P( SSA, ASS ) =
2 8
De acuerdo con esto:
1 1 1 P( A).P ( B ) = x = = P ( A ∩ B) , entonces A y B son independientes 2 2 4 1 1 1 P( A).P (C ) = x = = P ( A ∩ C ) , entonces A y C son independientes 2 4 8 1 1 1 P( B).P (C ) = x = ≠ P( B ∩ C ) , ces B y C son dependientes 2 4 8
Ejemplo 2: Se sabe que 30% de las lavadoras de cierta compañía requieren de servicio mientras
vigente la garantía, en tanto que solo 10% de sus secadoras necesitan de este servicio. Si alguien co
una lavadora y una secadora secadora de esta compañía compañía ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que ambas máq requieran servicio de garantía? Suponiendo que A es el evento de que la lavadora necesite de servicio mientras está vigente la ga
y B el mismo evento pero para la secadora, entonces P(A) = 0.30 y P(B) = 0.10, por lo que si la máquinas funcionan de manera independiente la probabilidad deseada es:
P( A ∩ B ) = P ( A) ∗ P ( B ) = (0.30) ∗ (0.10) = 0.03 Así también se puede obtener la probabilidad de que una o la otra requiera de servicio como:
P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B) − P( A ∩ B ) = 0.30 + 0.10 − 0.03 = 0.37 De la misma manera la l a probabilidad de que ninguna de las máquinas requiera mantenimiento es: c
c
c
c
P( A ∩ B ) = P ( A ) ∗ P( B ) = (0.70) ∗ (0.90) = 0.63
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