Probabilidad y Estadística
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Probabilidades
¿Qué es estadística?
2
Probabilidades
¿Qué es estadística? • La ciencia utiliza modelos para describir fenómenos.
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Probabilidades
¿Qué es estadística? • La ciencia utiliza modelos para describir fenómenos.
• Un modelo es una explicación teórica del fenómeno objeto de estudio. Esta explicación suele expresarse en forma verbal, muchas veces mediante ecuaciones matemáticas.
4
Probabilidades
¿Qué es estadística? • La ciencia utiliza modelos para describir fenómenos.
• Un modelo es una explicación teórica del fenómeno objeto de estudio. Esta explicación suele expresarse en forma verbal, muchas veces mediante ecuaciones matemáticas. • Existen modelos determinísticos y modelos no determinísticos. 5
Probabilidades
¿Qué es estadística? • Modelo determinístico:
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Probabilidades
¿Qué es estadística? • Modelo determinístico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de interés a partir de otras.
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Probabilidades
¿Qué es estadística? • Modelo determinístico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de interés a partir de otras. • Modelo no determinístico:
8
Probabilidades
¿Qué es estadística? • Modelo determinístico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de interés a partir de otras. • Modelo no determinístico: No es posible determinar un valor preciso de la variable de interés pues está presente la incertidumbre.
9
Probabilidades
No determinísticos
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Probabilidades
No determinísticos • Duración de la batería de litio de una laptop.
11
Probabilidades
No determinísticos • Duración de la batería de litio de una laptop. • Cantidad de personas que compran con tarjeta de crédito en una tienda en un período determinado.
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Probabilidades
No determinísticos • Duración de la batería de litio de una laptop. • Cantidad de personas que compran con tarjeta de crédito en una tienda en un período determinado. • Promedio de notas en los estudios universitarios (conocido el promedio de notas en secundaria). 13
Probabilidades
¿Qué es estadística? La Estadística nos enseña cómo realizar juicios inteligentes y tomar decisiones en presencia de incertidumbre.
Los métodos estadísticos están ideados para permitir evaluar el grado de incertidumbre de los resultados. La Estadística se ocupa de fenómenos no determinísticos.
modelos
y 14
Probabilidades
¿Qué es estadística? Asociado a modelos no determinísticos está el concepto de probabilidad.
Existe la Estadística Descriptiva Estadística Inferencial.
y
la
15
Probabilidades
¿Qué es estadística? Estadística Descriptiva: Técnicas para describir o representar conjuntos de datos (gráficos y cálculo de medidas numéricas). Estadística Inferencial: Métodos para derivar conclusiones acerca de un gran grupo de objetos al observar una parte de ellos. 16
Probabilidades
Cierto tipo de dispositivos electrónicos se envían en lotes de 50. Se seleccionó una muestra de 60 lotes y se determinó el número de dispositivos en cada lote que no cumplían con las especificaciones de diseño y se obtuvieron los datos siguientes: 2
1
2
4
0
1
3
2
0
5
3
3
1
3
2
4
7
0
2
3
0
4
2
1
3
1
1
3
4
1
2
3
2
2
8
4
5
1
3
1
5
0
2
3
2
1
0
6
4
2
1
6
0
3
3
3
6
1
2
3 17
Probabilidades
a) ¿Qué proporción de lotes muestreados tienen a lo sumo 5 dispositivos electrónicos que no cumplen con las especificaciones? b) ¿Qué proporción tiene menos de 5? c) ¿Qué proporción tienen por lo menos 5 unidades que no cumplen con las especificaciones?
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Probabilidades
Histograma de frecuencias 16
14
12
10
8
6
4
2
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
19
Probabilidad
20
Probabilidades
MODELOS
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Probabilidades
MODELOS Cuando utilizamos la Matemática para estudiar fenómenos observables se intenta construir modelos matemáticos.
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Probabilidades
MODELOS Cuando utilizamos la Matemática para estudiar fenómenos observables se intenta construir modelos matemáticos.
Los modelos pueden ser determinísticos o probabilísticos.
23
Probabilidades
MODELOS Cuando utilizamos la Matemática para estudiar fenómenos observables se intenta construir modelos matemáticos.
Los modelos pueden ser determinísticos o probabilísticos. Modelo determinístico: resultados.
Se
pueden
predecir
los
24
Probabilidades
MODELOS Cuando utilizamos la Matemática para estudiar fenómenos observables se intenta construir modelos matemáticos.
Los modelos pueden ser determinísticos o probabilísticos. Modelo determinístico: resultados.
Se
pueden
predecir
los
Modelo probabilístico: No pueden predecirse los resultados, solo se expresan las probabilidades de los resultados posibles. También se le llama no determinístico o estocástico. 25
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO
26
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO Los modelos probabilísticos son apropiados para fenómenos que se pueden denominar experimentos aleatorios.
27
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO Los modelos probabilísticos son apropiados para fenómenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple:
28
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO Los modelos probabilísticos son apropiados para fenómenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple: • Todos los resultados se conocen de antemano.
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO Los modelos probabilísticos son apropiados para fenómenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple: • Todos los resultados se conocen de antemano.
• No es posible predecir el resultado.
30
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO Los modelos probabilísticos son apropiados para fenómenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple: • Todos los resultados se conocen de antemano.
• No es posible predecir el resultado. • El experimento condiciones.
puede
repetirse
bajo
idénticas
31
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - Ejemplos
32
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - Ejemplos Ejemplo 1: Lanzar un dado equilibrado (no cargado) y ver el número que sale.
33
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - Ejemplos Ejemplo 1: Lanzar un dado equilibrado (no cargado) y ver el número que sale.
Ejemplo 2: Lanzar una moneda cuatro veces y contar el número de caras.
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - Ejemplos Ejemplo 1: Lanzar un dado equilibrado (no cargado) y ver el número que sale.
Ejemplo 2: Lanzar una moneda cuatro veces y contar el número de caras. Ejemplo 3: Contar la cantidad de fumadores en una sección de alumnos determinada.
35
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - Ejemplos Ejemplo 1: Lanzar un dado equilibrado (no cargado) y ver el número que sale.
Ejemplo 2: Lanzar una moneda cuatro veces y contar el número de caras. Ejemplo 3: Contar la cantidad de fumadores en una sección de alumnos determinada. Ejemplo 4: Contar el número de artículos defectuosos producidos en un día.
36
Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL
37
Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento aleatorio.
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Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL
39
Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL Ejemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
40
Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL Ejemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ejemplo 2: U = { 0, 1, 2, 3, 4 }
41
Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL Ejemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ejemplo 2: U = { 0, 1, 2, 3, 4 }
Ejemplo 3: U = { 0, 1, 2, 3, …, n }
donde n es la cantidad de alumnos de la sección
42
Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL Ejemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ejemplo 2: U = { 0, 1, 2, 3, 4 }
Ejemplo 3: U = { 0, 1, 2, 3, …, n } Ejemplo 4: U = { 0, 1, 2, 3, …, n }
donde n es la cantidad de alumnos de la sección donde n es la cantidad de artículos producidos 43
Probabilidades
SUCESO o EVENTO
44
Probabilidades
SUCESO o EVENTO
Es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.
45
Probabilidades
SUCESO o EVENTO
46
Probabilidades
SUCESO o EVENTO Ejemplo 1: A: salió un número par
A = { 2, 4, 6 }
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Probabilidades
SUCESO o EVENTO Ejemplo 1: A: salió un número par
A = { 2, 4, 6 }
Ejemplo 2: B: salieron tres caras
B={3}
48
Probabilidades
SUCESO o EVENTO Ejemplo 1: A: salió un número par
A = { 2, 4, 6 }
Ejemplo 2: B: salieron tres caras
B={3}
Ejemplo 3: C: hay 5 fumadores en la sección
C={5}
49
Probabilidades
SUCESO o EVENTO Ejemplo 1: A: salió un número par
A = { 2, 4, 6 }
Ejemplo 2: B: salieron tres caras
B={3}
Ejemplo 3: C: hay 5 fumadores en la sección
C={5}
Ejemplo 4: D: se producen menos de 10 artículos defectuosos D = { m entero | 0 ≤ m < 10 } 50
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO
51
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO
Para todo suceso se puede definir un suceso complementario de modo que la unión de ambos sucesos sea todo el espacio muestral.
52
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO
Para todo suceso se puede definir un suceso complementario de modo que la unión de ambos sucesos sea todo el espacio muestral. El suceso complementario o complemento de A se denota por Ac ó A’ 53
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO
54
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO Ejemplo 1: A: salió un número impar
A = { 1, 3, 5 }
55
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO Ejemplo 1: A: salió un número impar
A = { 1, 3, 5 }
Ejemplo 2: B: no salieron tres caras
B = { 0, 1, 2, 4 }
56
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO Ejemplo 1: A: salió un número impar
A = { 1, 3, 5 }
Ejemplo 2: B: no salieron tres caras
B = { 0, 1, 2, 4 }
Ejemplo 3: C: en la sección hay una cantidad de fumadores distinta de 5 C = { x entero | x ≠ 5 }
57
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO Ejemplo 1: A: salió un número impar
A = { 1, 3, 5 }
Ejemplo 2: B: no salieron tres caras
B = { 0, 1, 2, 4 }
Ejemplo 3: C: en la sección hay una cantidad de fumadores distinta de 5 C = { x entero | x ≠ 5 } Ejemplo 4: D: se producen al menos 10 artículos defectuosos D = { 10, 11, 12, …, n }
58
Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
59
Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos sucesos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, su intersección es vacía.
60
Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos sucesos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, su intersección es vacía.
Dos sucesos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, si uno ocurre no ocurre el otro.
61
Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos sucesos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, su intersección es vacía.
Dos sucesos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, si no ocurre no ocurre el otro. Ejemplo 1: Al lanzar un dado A: sale el 3 y
B: sale un número par
62
Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos sucesos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, su intersección es vacía.
Dos sucesos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, si no ocurre no ocurre el otro. Ejemplo 1: Al lanzar un dado A: sale el 3 y
B: sale un número par
Ejemplo 2: Dos sucesos complementarios siempre son mutuamente excluyentes.
63
Probabilidades
PROBABILIDAD
64
Probabilidades
PROBABILIDAD Hay varias maneras probabilidad:
de
definir
el
concepto
de
65
Probabilidades
PROBABILIDAD Hay varias maneras probabilidad: •
de
definir
el
concepto
de
Definición clásica
66
Probabilidades
PROBABILIDAD Hay varias maneras probabilidad:
de
•
Definición clásica
•
Definición frecuencialista
definir
el
concepto
de
67
Probabilidades
PROBABILIDAD Hay varias maneras probabilidad:
de
•
Definición clásica
•
Definición frecuencialista
•
Definición axiomática
definir
el
concepto
de
68
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición clásica:
69
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición clásica: La probabilidad p(A) de un suceso A es el cociente de la cantidad de casos favorables al suceso entre la cantidad de casos posibles.
70
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición clásica: La probabilidad p(A) de un suceso A es el cociente de la cantidad de casos favorables al suceso entre la cantidad de casos posibles. Ejemplo: Sea A: sale un número par mayor que 3 al lanzar un dado
71
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición clásica: La probabilidad p(A) de un suceso A es el cociente de la cantidad de casos favorables al suceso entre la cantidad de casos posibles. Ejemplo: Sea A: sale un número par mayor que 3 al lanzar un dado
p(A) =
2 6
=
1 3
72
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición frecuencialista:
73
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso.
74
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso. Ejemplo: En una cadena de supermercados se venden dos marcas de un producto. Se sabe (por observación) que el 25% de los clientes compra la marca M1 y el 75% la marca M2 .
75
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso. Ejemplo: En una cadena de supermercados se venden dos marcas de un producto. Se sabe (por observación) que el 25% de los clientes compra la marca M1 y el 75% la marca M2 . 1 p(un cliente compre M1) = 4 76
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso. Ejemplo: En una cadena de supermercados se venden dos marcas de un producto. Se sabe (por observación) que el 25% de los clientes compra la marca M1 y el 75% la marca M2 . 1 p(un cliente compre M1) = p(compre M2) = 0.75 4 77
Probabilidades
PROBABILIDAD Definición axiomática: Sea E un experimento y U espacio muestral asociado a E. Para cada suceso A se define p(A) y se llama probabilidad del suceso A si se cumplen las propiedades: 1.
p(A) ≥ 0
2.
p(U) = 1
3.
Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes entonces p(A U B) = p(A) + p(B) 78
Probabilidades
PROBABILIDAD De la definición axiomática se deduce: 4. p(ø) = 0
(ø es el suceso imposible)
5. p(A) ≤ 1 para todo A c
6. p(A ) = 1 – p(A) 7. Si A está contenido en B entonces p(A) ≤ p(B) 8. p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A
B) 79
Probabilidades
σ-álgebra
80
Probabilidades
σ-álgebra Una familia de subconjuntos de X es una σ-álgebra si:
81
Probabilidades
σ-álgebra Una familia de subconjuntos de X es una σ-álgebra si: 1. El conjunto vacío pertenece a la familia
82
Probabilidades
σ-álgebra Una familia de subconjuntos de X es una σ-álgebra si: 1. El conjunto vacío pertenece a la familia 2. Si un subconjunto pertenece a la familia también su complemento pertenece
83
Probabilidades
σ-álgebra Una familia de subconjuntos de X es una σ-álgebra si: 1. El conjunto vacío pertenece a la familia 2. Si un subconjunto pertenece a la familia también su complemento pertenece 3. Si A1, A2, A3, … pertenecen a la familia entonces UAi también pertenece 84
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
85
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
86
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
87
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
88
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
89
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (σ-álgebra)
90
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (σ-álgebra)
91
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (σ-álgebra)
Medida de probabilidad o función de probabilidad
92
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (σ-álgebra)
Medida de probabilidad o función de probabilidad
93
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (σ-álgebra)
Medida de probabilidad o función de probabilidad
P(A) ≥ 0
94
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (σ-álgebra)
Medida de probabilidad o función de probabilidad
P(A) ≥ 0 P(S) = 1
95
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (σ-álgebra)
Medida de probabilidad o función de probabilidad
P(A) ≥ 0 P(S) = 1 P(UAi) = Σ P(Ai) 96
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una σ-álgebra.
(S, β, P) es un espacio de probabilidad
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (σ-álgebra)
Medida de probabilidad o función de probabilidad
P(A) ≥ 0 P(S) = 1 P(UAi) = Σ P(Ai) 97
Ejercicios
98
Probabilidades
EJERCICIO 1
99
Probabilidades
EJERCICIO 2
100
Probabilidades
EJERCICIO 3 La distribución de grupos sanguíneos en Estados Unidos es de casi 41% del grupo A, 9% del grupo B, 4% del grupo AB y 46% del tipo O. Una persona llega a una sala de emergencias y es necesario indagar su grupo sanguíneo. ¿Cuál es la probabilidad que sea A, B ó AB?
101
Probabilidades
EJERCICIO 4 Consideremos un sistema de tres componentes idénticos conectados en serie:
Cada componente tiene probabilidad de un 90% de no fallar. El sistema falla cuando al menos uno de los componentes falla. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema falle?
102
Probabilidades
EJERCICIO 5 Considérese un sistema en el que el motor principal tiene un motor de respaldo. Ambos motores están diseñados para funcionar independientemente. El sistema funciona si uno u otro motor funciona. Un sistema así se dice que tiene los motores en paralelo. Suponga que cada motor es 90% confiable, o sea, tiene probabilidad 0.9 de no fallar. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no falle?
103
Probabilidades
EJERCICIO 6 Un químico analizará muestras de agua de mar en búsqueda de dos metales pesados: plomo y mercurio. La experiencia indica que existen valores tóxicos de plomo o mercurio en el 38% de las muestras obtenidas cerca de la desembocadura de un río, sobre cuyo margen se localizan numerosas plantas industriales: 32% con concentraciones tóxicas de plomo y 16% con concentraciones tóxicas de mercurio. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra seleccionada aleatoriamente contenga solo valores tóxicos de plomo? 104
Probabilidades
EJERCICIO 7 Cuando una computadora se bloquea existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga y de 15% de que sea un problema de software. La probabilidad de que se origine una sobrecarga o un problema de software es de 85%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga? 105
Probabilidades
EJERCICIO 8 Considere que en un ejercicio militar de dos unidades, Roja y Azul, existe probabilidad de 60% de que la unidad Roja cumpla sus objetivos y 70% de que lo haga la unidad Azul. La probabilidad es de 18% de que solo tenga éxito la unidad Roja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas unidades logren sus objetivos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una u otra lo alcancen, no así ambas? 106
Probabilidades
EJERCICIO 9 La muerte puede sobrevenir cuando una persona se ve expuesta a la radiación. Entre los factores que afectan el pronóstico están la magnitud de la dosis, la duración e intensidad de la exposición y la composición biológica del individuo. La sigla DL50 se usa para denotar la dosis que suele ser letal en 50% de las personas expuestas a ella. Suponga que en un accidente nuclear 30% de los trabajadores tiene exposición a DL50 y fallece, que 40% de los trabajadores muere y que 68% tiene exposición a DL50 o fallece. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar haya sido expuesto a DL50 ? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar tenga exposición a DL50 y no fallezca? c) ¿Cuál es la probabilidad de que muera un trabajador sin exposición a DL50 ? 107
Probabilidad Condicional
108
Probabilidades
109
Probabilidades
DOLOR DE CABEZA
110
Probabilidades
DOLOR DE CABEZA
GRIPE
111
Probabilidades
GRIPE
DOLOR DE CABEZA
40
10
50
100
112
a) ¿Total de personas?
Probabilidades
GRIPE
DOLOR DE CABEZA
40
10
50
100
113
a) ¿Total de personas?
Probabilidades
b) ¿Con dolor cabeza?
GRIPE
DOLOR DE CABEZA
40
de
10
50
100
114
a) ¿Total de personas?
Probabilidades
b) ¿Con dolor cabeza?
de
c) ¿Con gripe? GRIPE
DOLOR DE CABEZA
40
10
50
100
115
a) ¿Total de personas?
Probabilidades
b) ¿Con dolor cabeza?
de
c) ¿Con gripe? DOLOR DE CABEZA
40
d) Se elige una persona al azar. Sea A: la persona tiene dolor de cabeza. Calcule P(A).
GRIPE
10
50
100
116
a) ¿Total de personas?
Probabilidades
b) ¿Con dolor cabeza?
de
c) ¿Con gripe? DOLOR DE CABEZA
40
d) Se elige una persona al azar. Sea A: la persona tiene dolor de cabeza. Calcule P(A). e) Sea B: la persona tiene gripe. Calcule P(B).
GRIPE
10
50
100
117
a) ¿Total de personas?
Probabilidades
b) ¿Con dolor cabeza?
de
c) ¿Con gripe? DOLOR DE CABEZA
40
d) Se elige una persona al azar. Sea A: la persona tiene dolor de cabeza. Calcule P(A). e) Sea B: la persona tiene gripe. Calcule P(B).
GRIPE
10
50
100
f)
Se sabe que la persona tiene gripe. ¿Probabilidad de que tenga dolor de cabeza? 118
Probabilidades
Probabilidad condicional Para dos eventos cualesquiera A y B con P(B)>0 la probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido se define por: P(A|B) =
P(A
B)
P(B)
119
Probabilidades
EJERCICIO 1 Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que tiene 10 semillas de flores rojas y 5 semillas de flores blancas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera semilla sea de una flor roja? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda semilla sea de una flor blanca dado que la primera semilla fue de una flor roja? 120
Probabilidades
EJERCICIO 2 Suponga que de todas las personas que compran cierta cámara digital 60% incluye una tarjeta de memoria opcional en su compra, 40% incluyen una batería extra y 30% incluyen tanto una tarjeta como una batería. a) Dado que una persona elegida al azar adquirió una batería extra, ¿cuál es la probabilidad de que haya adquirido una tarjeta opcional? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya adquirido una batería extra dado que adquirió una tarjeta opcional? 121
EJERCICIO 3
Probabilidades
Una revista publica tres columnas tituladas Arte, Libros y Cine. Los porcentajes de lectores que leen con regularidad las diferentes columnas son: Columna
Porcentaje
Arte
14%
Libros
23%
Cine
37%
Arte y Libros
8%
Arte y Cine
9%
Libros y Cine
13%
Arte, Libros y Cine
5%
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lector seleccionado al azar lea la columna Arte dado que lee la columna Libros? b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea la columna Arte dado que lee la columna Libros o la columna Cine? c) ¿Cuál es la probabilidad de que lea Arte o Libros dado que lee Cine? d) ¿Cuál es la probabilidad de que lea la columna Arte dado que lee por lo menos una de las tres? 122
Independencia
123
Probabilidades
REGLA DE LA MULTIPLICACION
P(A B) = P(A|B) · P(B)
124
Probabilidades
EJERCICIO Investigaciones recientes muestran que casi el 49% de las infecciones se deben a bacterias anaerobias. Además, el 70% de todas las infecciones anaerobias son polimicrobianas, es decir, resultan de dos o más bacterias anaerobias. ¿Cuál es la probabilidad de que una infección dada se deba a bacterias anaerobias y también sea polimicrobiana?
125
Probabilidades
INDEPENDENCIA
Los eventos A y B son independientes si P(A|B) = P(A) y son dependientes en caso contrario.
126
Probabilidades
INDEPENDENCIA
Si los eventos A y B son independientes entonces P(A|B) = P(A) y también P(B|A)=P(B).
127
Probabilidades
Relación entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes
128
Probabilidades
Relación entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes Considere una gasolinera con seis bombas: B1, B2, B3, B4, B5 , B6 . Supongamos que la bomba B1 es utilizada por el 10% de los clientes, la B2 por el 15%, la B3 por el 25%, la B4 por el 25%, la B5 por el 15% y la B6 por el 10%. Consideremos un cliente definido al azar y definamos los eventos: A = el cliente selecciona una de las bombas B2, B4, B6 B = el cliente selecciona una de las bombas B1, B2, B3 C = el cliente selecciona una de las bombas B2, B3, B4, B5 Bi = el cliente selecciona la bomba Bi para i=1…6 129
Probabilidades
Relación entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes Si A y B son dos eventos NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES pueden o no ser INDEPENDIENTES
130
Probabilidades
Relación entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes Si A y B son dos eventos NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES pueden o no ser INDEPENDIENTES Si A y B son MUTUAMENTE EXCLUYENTES no pueden ser INDEPENDIENTES
131
Probabilidades
EJERCICIO Se sabe que el 30% de las lavadoras de cierta compañía requieren servicio mientras se encuentran dentro de garantía, en tanto que solo el 10% de sus secadoras necesitan dicho servicio. Si alguien adquiere una lavadora y una secadora fabricadas por esta compañía, ¿cuál es la probabilidad de que ambas máquinas requieran servicio de garantía? 132
Probabilidades
EJERCICIO a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras en tres lanzamientos de una moneda?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro 6 y luego otro número al lanzar un dado cinco veces?
133
Probabilidades
EJERCICIO Cada día, de lunes a viernes, un lote de componentes enviado por un proveedor arriba a una instalación de inspección. Dos días a la semana también arriba un lote de un segundo proveedor. El 80% de todos los lotes del proveedor 1 son inspeccionados y el 90% de los del proveedor 2 también lo son. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un día seleccionado al azar, dos lotes sean inspeccionados? Se supone que en los días en que se inspeccionan dos lotes, si el primer lote pasa es independiente de si el segundo también lo hace. 134
Ley de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
135
Probabilidades
En ocasiones el resultado de un experimento depende de lo que sucede en varias etapas intermedias…
136
Probabilidades
EJEMPLO La terminación de un trabajo de construcción se puede retrasar a causa de una huelga. Las probabilidades son 0.60 de que habrá huelga, 0.85 de que el trabajo de construcción se termine a tiempo si no hay huelga y 0.35 que el trabajo de construcción se termine a tiempo si hay huelga. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajo de construcción se termine a tiempo? 137
Probabilidades
HUELGA
NO HUELGA
138
Probabilidades
HUELGA B1
NO HUELGA
B2
A
139
Probabilidades
Esta idea se puede generalizar…
140
Probabilidades
A
B1
B2
B3 141
Probabilidades
A
B1
B2
B3
B4 142
Probabilidades
LEY DE LA PROBABILIDAD TOTAL Si los eventos B1, B2, …, Bk constituyen una partición del espacio muestral S y P(Bi)≠0 para i=1, 2, …, k entonces para cualquier evento A en S se cumple: P(A) = P(A|B1) P(B1) + P(A|B2) P(B2) + … + P(A|Bk) P(Bk)
143
Probabilidades
EJERCICIO 1 Los miembros de una empresa de consultoría rentan automóviles en tres agencias de renta de automóviles: 60% de la agencia 1, 30% de la agencia 2 y 10% de la agencia 3. Si 9% de los automóviles de la agencia 1 necesitan una afinación, 20% de los autos de la agencia 2 necesitan una afinación y 6% de los autos de la agencia 3 necesitan una afinación, ¿cuál es la probabilidad de que un automóvil rentado, entregado a la empresa, necesite una afinación?
144
Probabilidades
EJERCICIO 2 Si un vehículo rentado entregado a la empresa necesita afinación, ¿cuál es la probabilidad de que haya venido de la agencia de renta 2?
145
Probabilidades
TEOREMA DE BAYES Si los eventos B1, B2, …, Bk constituyen una partición del espacio muestral S y P(Bi)≠0 para i=1, 2, …, k entonces para cualquier evento A en S tal que P(A) ≠0 se cumple: P(Br|A) = =
=
P(Br
A)
P(A)
P(A|Br) P(Br)
P(A|B1) P(B1) + P(A|B2) P(B2) + … + P(A|Bk) P(Bk) P(A|Br) P(Br) Σ P(A|Bi) P(Bi)
146
Probabilidades
EJERCICIO 1 Un taller repara tanto componentes de audio como de video. Sea A el evento en que el siguiente componente traído a reparación es un componente de audio y sea B el evento en que el siguiente componente es un reproductor de discos compactos (así que el evento B está contenido en A). Suponiendo que P(A)=0.6 y P(B)=0.05, ¿cuál es la P(B|A)? 147
Probabilidades
EJERCICIO 2 En una gasolinera, 40% de los clientes utilizan gasolina regular (A1), 35% usan gasolina plus (A2) y 25% utilizan premium (A3). De los clientes que utilizan gasolina regular, solo 30% llenan sus tanques (evento B). De los clientes que utilizan plus, 60% llenan sus tanques, mientras que de los que utilizan premium, 50% llenan sus tanques. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina plus y llene el tanque (A2 B)? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque? c) Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad que pida gasolina regular?, ¿plus?, ¿premium?
148
Probabilidades
EJERCICIO 3 Por experiencia se sabe que en una cierta industria 60% de todos los litigios entre los trabajadores y la administración son por los salarios, 15% por las condiciones de trabajo y 25% son sobre aspectos de prestaciones. También 45% de los litigios por salarios se resuelven sin huelgas, 70% de los litigios por condiciones de trabajo se resuelven sin huelgas y 40% de los litigios acerca de prestaciones se resuelven sin huelgas. ¿Cuál es la probabilidad de que un litigio entre trabajadores y la administración se resuelva sin una huelga? 149
Probabilidades
EJERCICIO 4 El 70% de las aeronaves ligeras que desaparecen en vuelo en cierto país son posteriormente localizadas. De las aeronaves que son localizadas, 60% cuenta con un localizador de emergencia, mientras que 90% de las aeronaves no localizadas no cuentan con dicho localizador. Suponga que una aeronave ha desaparecido. a) Si tiene un localizador de emergencia, ¿cuál es la probabilidad de que no sea localizada? b) Si no tiene un localizador de emergencia, ¿cuál 150 es la probabilidad de que sea localizada?
Probabilidades
EJERCICIO 5 Las garrapatas de venados pueden ser portadoras de la enfermedad de Lyme o de la Erhlichiosis granulocítica humana (HGE, por sus siglas en inglés). Con base en un estudio reciente, suponga que 16% de todas las garrapatas en cierto lugar portan la enfermedad de Lyme, 10% portan HGE y 10% de las garrapatas que portan por lo menos una de estas enfermedades en realidad portan las dos. Si se determina que una garrapata seleccionada al azar ha sido portadora de HGE, ¿cuál es la probabilidad de que la garrapata seleccionada también porte la enfermedad de Lyme? 151
