Probability

Espacio muestral

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria aleator ia (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Experimento Experimento aleatorio. aleatorio. Espacio muestral, S . Punto Muestra, a 2 S  Evento, A  S .

Espacio muestral

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria aleator ia (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Para un experimento aleatorio, el espacio asociado, no es único. Ejemplo: Se manufacturan resistencias de 100Ω, sus valores heredan inexactitudes en la manufactura y en el proceso de medición, puede registrar valores en el rango de 99Ω a 101Ω. El proceso de medición es el experimento aleatorio, en el cual los posibles resultados se pueden de…nir en una variedad de formas dependiendo del propósito para lo que se esté llevando a cabo el experimento. Si la medición registra una resistencia en el rango 99.9  101Ω, se considera como aceptable, o bien inaceptable en otro caso. De esta forma S  = faceptable, inaceptableg. Desde el punto de vista de otra persona, los posibles resultados pueden establecerse mediante los rangos

Espacio muestral

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria aleator ia (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Para un experimento aleatorio, el espacio asociado, no es único. Ejemplo: Se manufacturan resistencias de 100Ω, sus valores heredan inexactitudes en la manufactura y en el proceso de medición, puede registrar valores en el rango de 99Ω a 101Ω. El proceso de medición es el experimento aleatorio, en el cual los posibles resultados se pueden de…nir en una variedad de formas dependiendo del propósito para lo que se esté llevando a cabo el experimento. Si la medición registra una resistencia en el rango 99.9  101Ω, se considera como aceptable, o bien inaceptable en otro caso. De esta forma S  = faceptable, inaceptableg. Desde el punto de vista de otra persona, los posibles resultados pueden establecerse mediante los rangos

Relaciones entre teoría de conjuntos y probabilidad

Teoría de conjuntos Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria aleator ia (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Espacio,

S 

Conjunto vacío,

Espacio muestral, evento seguro

∅

a, b , ... Conjuntos A, B , C , ... A A¯ A [ B  AB  Elementos

A  B  AB  = ∅

Teoría de probabilidad

evento imposible Puntos muestrales (eventos simples)

A, B , C , ... El eventos Asucede El evento Ano sucede Eventos

Al menos uno de los eventos

Ao B sucede sucede

Ay B suceden suceden Aes un subevento de B  (que suceda Aimplica que suceda B ) Ay B son son eventos exclusivos

Los dos eventos

(no pueden ocurrir de forma simultánea)

Conjuntos y probabilidad Ejemplo: El experimento es contar el número de autos que dan Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria aleator ia (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

vuelta a la izquierda en un cruce en un grupo de 100 autos. Los posibles resultados (los posibles autos que den vuelta a la izquierda) son 0, 1, 2, 3, ..., 100. El espacio muestral es S  = f0, 1, 2, ..., 100g Cada elemento de S  es un punto simple, o bien, un posible resultado A1 = f0g, A2 = f2g, ..., A100 = f100g. El conjunto A = f0, 1, 2, ..., 50g es el evento en el que el número de autos que den vuelta sea menor a 50. El conjunto B  = f40, 41, ..., 60g, el evento en el que el número de autos que dan vuelta sea mayor que cuarenta y menor que 60. El evento A [ B  indica el número de autos que dan vuelta sea menor que 60. El evento A \ B  indica el número de autos entre 40 y 50.

Axiomas de probabilidad Función de probabilidad, P  Dado un experimento aleatorio con espacio muestral, S , Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

P  tiene como dominio todos los posibles eventos de S . P (A) 2 R, para cada evento de S  (medida de  probabilidad ).

Axiomas de probabilidad Función de probabilidad, P  Dado un experimento aleatorio con espacio muestral, S , Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

P  tiene como dominio todos los posibles eventos de S . P (A) 2 R, para cada evento de S  (medida de  probabilidad ). Axiomas Axioma 1:P (A)  0 Axioma 2: P (S ) = 1 Axioma 3: para una colección de eventos mutuamente exclusivos A1 , A2 , ..., en S  P (A1 [ A2 [ ...) = P 

 !

∑ A j  = ∑ P (A j ).

 j 2J 

 j 2J 

Propiedades de la función de probabilidad (las más importantes)

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Dado que S  \ ∅ = ∅, tenemos P (S ) = P (S  [ ∅) = P (S ) + P (∅), entonces, por Axioma 3, P (∅) = 0

Propiedades de la función de probabilidad (las más importantes)

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria aleator ia (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Dado que S  \ ∅ = ∅, tenemos P (S ) = P (S  [ ∅) = P (S ) + P (∅), entonces, por Axioma 3, P (∅) = 0 Si A  C  C ,, entonces A + B  = C , C , donde B   C  y A \ B  = ∅, por el Axioma 3 P (C ) = P (A + B ) = P (A) + P (B ) puesto que P (B )  0, (Axioma 1), entonces P (A)  P (C )

Propiedades de la función de probabilidad (las más importantes)

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria aleator ia (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Dado que S  \ ∅ = ∅, tenemos P (S ) = P (S  [ ∅) = P (S ) + P (∅), entonces, por Axioma 3, P (∅) = 0 Si A  C  C ,, entonces A + B  = C , C , donde B   C  y A \ B  = ∅, por el Axioma 3 P (C ) = P (A + B ) = P (A) + P (B ) puesto que P (B )  0, (Axioma 1), entonces P (A)  P (C ) P (A [ B ) = P (A) + P (B )  P (AB )

Propiedades de la función de probabilidad

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria aleator ia (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Para tres eventos P (A [ B  [ C ) = P (A) + P (B ) + P (C )  P (AB )  P (AC )  P (BC ) + P (ABC )

Propiedades de la función de probabilidad

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria aleator ia (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Para tres eventos P (A [ B  [ C ) = P (A) + P (B ) + P (C )  P (AB )  P (AC )  P (BC ) + P (ABC ) Para n eventos

[ ! n

P 

A j 

=

 j 

n

n

n

n

n

∑ P (Ai )  ∑ ∑ P (Ai A j ) + i =1

i =1 j =2 i < j 

n

(1)n 1 P (A1 A2 ..., An ) ∑  ∑  ∑ P (Ai A j Ak )  .. + ( i =1  j =2 k =3 i < j 
donde A j , j  = 1, .., n con eventos arbitrarios.

Ejemplo RegresarEjemplo

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Supongamos que conocemos las probabilidades P (A), P (B ), y P (C ). Queremos calcular P (A [ B ) y P (A [ C ). La probabilidad P (A [ C ), es la probabilidad de que 50 autos o menos den vuelta a la izquierda, o bien, entre 80 a 100 den vuelta a la izquierda es, por el Axioma 3, P (A) + P (C ). Sin embargo, P (A [ B ), es la probabilidad de que 60 autos o menos den vuelta a la izquierda, y se calcula por medio de P (A [ B ) = P (A) + P (B )  P (AB ) la información es insu…ciente para el calculo de esta probabilidad, necesitamos además, la información de P (AB ), que es la probabilidad de que entre 40 y 50 autos den vuelta.

Asignación de probabilidad

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No hay guía para asignar probabilidades a varios eventos, mencionamos dos de ellas que son consistentes con la intuición. Para problemas asociados a las ciencias aplicadas, una manera natural de asignar probabilidad es a través de la observación de la frecuencia relativa. Supongamos que un experimento aleatorio se realiza un número alto de veces, digamos, n, entonces para algún evento A sea nA el número de veces que ocurre A en n ensayos, entonces, la frecuencia relativa de A es nA /n Se espera que el cociente nA /n tienda a un mismo valor cuando n es muy grande. Así, P (A)  = nA /n, por ejemplo la probabilidad de obtener ’cara’ en el lanzamiento de una moneda es 12 .

Asignación de probabilidad Otra aproximación a la asignación de probabilidad es la de verosimilitud relativa. Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Cuando no es posible, o no es factible realizar un número alto de veces, la probabilidad de un evento, se puede asignar como el resultado de un juicio subjetivo. El enunciado ’hay un 40% de probabilidad de que llueva mañana’, es un ejemplo de esta interpretación, donde el número 0.4 se asigna en base a la información disponible y al juicio profesional. Trabajaremos con ambos tipos de asignación de probabilidad, de hecho, el ejemplo anterior (contabilizar el número de autos que giran a la izquierda), proporciona un ejemplo de asignación de probabilidades a través de la teoría de probabilidades para P (A [ B ) y para P (A [ C ), que se derivan de la asignación,

Independencia

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De…nición: Dos eventos A y B  se dicen independientes , si y

sólo si, P (AB ) = P (A)P (B )

Ejemplo

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Extracción al azar de una carta de la baraja española: S  = f“as de oros”; “dos de oros”;...g jS j = 40 sucesos elementales. A = f“rey”g ) P (A) =

jA j jS j

=

4 40

B  = f “sota o caballo”g ) P (B ) = C  = f“oros”g ) P (C ) =

jC j jS j

=

jB j jS j

=

8 40

10 40

Análisis de independencia: P (AB ) = P (∅) = 0; P (A)P (B ) = 32/(40)2 . No son independientes. P (AC ) = P (“rey de oros”) = 1/40; P (A)P (C ) = 1/40. Son independientes. P (BC ) = P (“sota o caballo de oros”) = 2/40, P (B )P (C ) = 2/40. Son independientes.

Probabilidad condicional

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

P (F ) = 0.30

8< :

P (F jH ) =

0 .18 0 .49

= 0.40

P (F jH ) =

0 .12 0 .51

= 0.22

Probabilidad condicional

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

De…nición: Se de…ne la probabilidad de A condicionada a B , y

se denota como P (AjB ), al cociente P (AB ) P (AjB ) = P (B )

= 0. donde se asume P (B ) 6

Interpretación frecuencial Ejemplo Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Encuesta a una población de N  personas jS j = N . A = f"es un hombre”g ! nA ) P (A) ' nN A B  = f"mide más de 1.85 metros”g ! nB  ) P (B ) ' nN B  Observamos que nAB  personas son hombres y miden más de AB  1.85 P (AB ) ' nN  Probabilidad de que una persona de más de 1.85 sea hombre: nAB  = P (AjB ) ' nB 

nAB  N  n B  N 

'

P (AB ) P (B )

Utilidad

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Actualizar probabilidad del evento A en función de la información disponible B  P (AjB ) = P (AB )/P (B ) Cálculo de la intersección de sucesos P (AB ) = P (AjB )P (B ) Cálculo de probabilidad de un suceso ¯ ))) P (A) = P (( AB  [ (AB  ¯ )P (B  ¯) = P (AjB )P (B ) + P (AjB 

Ejemplo urna

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Probabilidad de “primera Blanca y segunda Negra” Sin reemplazamiento: P (B 1 N 2 ) = P (B 1 )P (N 2 jB 1 )

= (3/5)( 2/4) = 3/10 Con reemplazamiento: P (B  N  )

P (B  )P (N  jB  )

Cumpleaños

Espacio muestral

Probabilidad de que en un grupo de r  = 25 personas haya al menos dos con el mismo cumpleaños.

Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

A = f" No haya ninguna coincidencia"g 2 )...(365 r +1 ) P (A) = 365 (365 1 )(365 365 r  P (A¯ ) = 1  P (A) ¯ ) = 0.578 si r  = 25 ) P (A

Cumpleaños

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

B r  = f"No haya ninguna coincidencia en r "g = A2 )...P (B r jA1 6 = A2 6 = P (B r ) = P (B r )P (B 2 jA1 )P (B 3 jA1 6 ... 6 = Ar 1 ) 1 365 2 365 r +1 P (B r ) = 1 365 365 365 ... 365 ¯ r ) = 1  P (B r ), si r  = 25 ) P (B  ¯ r ) = 0.578 P (B 

Teorema de la multiplicación

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

P (A1 A2 A3 ...An ) = P (A1 )P (A2 jA1 )P (A3 jA2 A1 )...P (An j \ni =11 Ai ) Partición: Sea S  espacio muestral de algún experimento

aleatorio, A1 , A2 , ..., An  S  es una partición de S , si: 1 A A = ∅ para i  6 = j  i   j  n

2

[

i =1

Ai  = S 

Probabilidad total Teorema de probabilidad total: Sea S  un espacio muestral, y

A1 , A2 , ..., An una partición de S  y B  un evento, entonces Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

n

P (B ) =

∑ P (B jAi )P (Ai ) i =1

Teorema de Bayes

Espacio muestral Eventos independientes

Teorema: Sea S  un espacio muestral, A1 , A2 , ..., An una

partición de S . Para todo B , evento tenemos P (Ai jB ) =

Probabilidad condicional

Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

n

∑ P (B jA j )P (A j )

Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias

P (B jAi )P (Ai )  j =1

De…niciones: P (Ai ) : Prob. a priori: (modelo, experiencia, medidas pasadas) P (Ai jB ) : Prob. a posteriori. P (B jAi ) : Verosimilitud

Ejemplo (Bayes)

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

El porcentaje de piezas defectuosas fabricadas por tres máquinas es 5%, 20% y 10%. La primera fabrica 200 piezas por hora y las otras dos 100 piezas por hora. Todas las piezas fabricadas se llevan a un almacén. Al …nal del día se toma una pieza del almacén y es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de

Ejemplo (Bayes)

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

P (D jM 1 )P (M 1 ) P (D jM 1 ) + P (D jM 2 )P (M 2 ) + P (D jM 3 )P (M 3 ) (0.05)( 0.5) = = 0.25 (0.05)(0.5) + (0.20)( 0.25) + (0.10)( 0.25)

P (M 1 jD ) =

P (D jM 2 )P (M 2 ) P (M 2 jD ) = P (D jM 1 ) + P (D jM 2 )P (M 2 ) + P (D jM 3 )P (M 3 ) (0.2)( 0.25) = = 0. 5 (0.05)( 0.5) + (0.20)( 0.25) + (0.10)( 0.25) P (D jM 3 )P (M 3 ) P (M 3 jD ) = P (D jM 1 ) + P (D jM 2 )P (M 2 ) + P (D jM 3 )P (M 3 ) (0.1)( 0.25) = = 0.25 (0 05)(0 5) + (0 20)( 0 25) + (0 10)( 0 25)

Ejemplo (Bayes)

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Si una persona es portadora del virus A, un análisis de sangre lo detecta el 99% de las veces. Sin embargo, el test también proporciona “falsos positivos”, indicando la presencia del virus en el 3% de personas sanas. Si sólo 5 de cada 1000 personas tienen el virus, ¿cuál es la probabilidad de que una persona tenga el virus realmente si el análisis ha dado positivo? V  = ftener virusg W  = fel análisis es positivog P (VW ) P (W jV )P (V ) P (V jW ) = = ¯ )P (V  ¯) ( ) P  W  P (W jV )P (V ) + P (W jV  (0.99)(0.005) = = 0.142 0.99(0.005) + 0.03(0.995)

Variables aleatorias

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Es conveniente para el trabajo futuro, saber relacionar los resultados de un experimento con números reales, ya que cuando los resultados de un experimento se pueden asociar con números reales, son más fáciles de analizar. Desafortunadamente, no todos los experimentos dan como resultados números reales.

Variables aleatorias Ejemplo:Suponga que una moneda se lanza dos veces. S  es,

pues, Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

S  = f(Cara, Cara), (Cara, Cruz ), (Cruz , Cara), (Cruz , Cruz )g Estos resultados no son números reales, pero si cada uno se asocia con el número de caras, podemos asociar un único real a cada resultado. Ejemplo, Al resultado (Cara,Cara) se le puede asignar el número 2 (porque hay dos caras). Al resultado (Cara, Cruz) se le puede asignar el número 1 (porque hay una cara). Al resultado (Cruz,Cara) se le puede asignar el número 1 (porque hay una cara). Al resultado (Cruz, Cruz) se le puede asignar el número 0 (porque hay cero caras)

Variables aleatorias

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Al hecho de asociar los resultados de una espacio muestral de  un experimento con números reales únicos se le llama variable  aleatoria. La variable aleatoria en el ejemplo anterior es “número de caras que pueden resultar al lanzar una moneda dos veces” y se dice que tiene los tres valores 0, 1, 2. De…nición: Una variable aleatoria X  es una función que asigna un único número real a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio. X  : S  ! R, conjunto de los números reales. Notación: X , Y , Z  : denotarán variables aleatorias. x , y , z  denotarán los posibles valores de las variables aleatorias, por ejemplo, si s  2 S , X (s ) = x , por brevedad R

Variables aleatorias discretas De…nición: Una variable aleatoria es discreta, si y sólo si, tiene

una cantidad o …nita o (in…nita) numerable de valores. Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Variables aleatorias continuas

De…nición: Una variable aleatoria es continua, si y sólo si, Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

tiene una cantidad o in…nita no numerable de valores.

Variables aleatorias

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Identi…que las siguientes variables aleatorias en discretas o continuas: (a) El número de transistores defectuosos en un lote de 1000 transistores. (b) El número de robos ocurridos en un almacén en determinado período de tiempo. (c) El tiempo requerido por un colectivo de una ruta determinada para realizar el trayecto Centro-Universidad. (d) El número de pólizas de seguros vendidos en un determinado mes por un agente de seguros. (e) El tiempo de vida de una bombilla. (f) El punto de fatiga, en kg por cm2 , de un cable de acero de 1.5 cm de diámetro. (g) El tiempo que dura un semáforo, de una determinada esquina en la Ciudad, en cambiar de rojo a verde.

Variables aleatorias

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Un embarque de cinco máquinas de coser contiene dos que están defectuosas. Si un almacén de electrodomésticos recibe tres de estas máquinas al azar, enumere los elementos del espacio muestral S  con las letras B  y D  para “buena” y “defectuosa”, respectivamente. Luego a cada elemento de S  asigne un valor x  de la variable aleatoria X  que representa el número de máquinas de coser defectuosas que el almacén compra. Un experimento consiste en la preparación de una comida y se registra el tiempo que tarda en hacer esto. (a) De…na una variable aleatoria que represente el tiempo, en minutos, requerido para preparar la comida. (b) ¿Qué valores puede asumir la variable aleatoria? (c) ¿Es discreta o continua esta variable aleatoria?

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas Probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome cierto valor

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Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores  con una cierta probabilidad. Ejemplo: Supóngase que se lanza una moneda dos veces y sea X  la variable aleatoria que representa al “número de caras que resultan”. Hallar la probabilidad de que X  tome el valor (a) 0, (b) 1 y (c) 2. El espacio muestral es S  = f(Cara, Cara), (Cara, Cruz ), (Cruz , Cara), (Cruz , Cruz )g X ((Cara,Cara)) = 2, X ((Cara, Cruz)) = 1, X ((Cruz,Cara)) = 1, X ((Cruz, Cruz)) = 0. P (X  = 0) = P (( Cruz, Cruz)) = 14 P (X  = 1) = P ((Cara, Cruz) o (Cruz, Cara)) = P ((Cara,Cruz)) + P ((Cruz, Cara)) = 14 + 14 = 12 . 1 P (X  2) P (( Cara,Cara))

Función de probabilidad y su representación grá…ca

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La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe cómo se distribuyen las probabilidades de los diferentes  valores y de la variable aleatoria. Ejemplo: Consideremos nuevamente el lanzamiento de dos monedas y X  la variable aleatoria de…nida como en IraEjemplo . Entonces, la Tabla de distribución de probabilidades (Tabla de  probabilidades) es: x  0 P (X  = x ) 14

1

2

1 2

1 4

Función de probabilidad

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Para una variable aleatoria discreta X , las probabilidades de que X  tome cada uno de sus valores generalmente se modelan también a través de la llamada función de probabilidad , que representaremos por f . Esta función de…ne la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria. De…nición: X  una variable aleatoria discreta en un espacio muestral y supongamos que X  toma los valores x 1 , x 2 , ... (…nito o in…nito numerable). Una función f  : R  ! [0, 1] es una función de probabilidad de X  si P (X  = x k ) para todo valor x k  de X  f (x k ) = 0, de otra forma.



1

f  (x k )  0 para todo valor x k  de X .

2

∑ f (x k ) = 1 k 

Función de probabilidad Ejemplo: Consideremos otra vez el lanzamiento de dos Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

monedas y X  "el número de caras". Sea f  : R  ! [0, 1] de…nida por f  (x ) = P (X  = x ), en donde x  es un posible valor de X , es decir, 1 si x  = 0, o x  = 2; 4 1 f (x ) = si x  = 1; 2 0, en otros casos.

8< :

luego en particular, si f (1) = 1/2 se interpreta de la siguiente manera: de un gran número de veces que lancemos dos monedas, el 50% de las veces saldrá 1 cara.

Función de probabilidad Ejemplo: Para veri…car la exactitud de sus estados …nancieros, Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

las empresas a menudo emplean auditores que veri…quen sus ingresos. Los empleados de la empresa se equivocan al registrar los ingresos 5% de las veces. Suponga que un auditor revisa aleatoriamente tres ingresos. Determine la función de probabilidad del número de errores detectado por el auditor. Sea M i , i  = 1, 2, 3 evento que representa al hecho de que el auditor detectó un error en el ingreso i . Sea B i  el evento que representa al hecho de que el auditor no detectó un error en un ingreso i . De los datos del problema, P (M i ) = 0.05 ) P (B i ) = 1  P (M i ) = 0.95

Función de probabilidad

Espacio muestral Eventos independientes

X  : la variable aleatoria que representa al "número de errores detectado por el auditor" y f  su correspondiente función de probabilidad. Regresar X  = 0, X  = 1, X  = 2, X  = 3, además, suponga, M i , B i  independientes,

Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

f (0) = P (X  = 0) = P (B 1 B 2 B 3 ) =

= P (B 1 )P (B 2 )P (B 3 ) = (0.95)3 = 0.857375; f (1) = P (X  = 1) = = P (B 1 B 2 M 3 o bienB 1 M 2 B 3 o bienM 1 B 2 B 3 ) = 3(0, 05)( 0, 95 f (2) = P (X  = 2) = = P (B 1 M 2 M 3 o bienM 1 B 2 M 3 o bienM 1 M 2 B 3 ) = 3(0.05)2 (0.9 f (3) = P (X  = 3) = P (M 1 M 2 M 3 ) = (0.05)3 = 0.000125.

Función de distribución acumulativa

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Hay muchos problemas en los cuales se desea calcular la probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria X  sea menor o igual a algún número real x . Si se escribe F (t ) = P (X   t ) para cada número real t , se dice que F  es la función de distribución acumulativa o, simplemente, la función de distribución de X .

Función de distribución acumulativa

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

De…nición:La función de distribución (acumulativa)

F  : R ! R de una variable aleatoria discreta X  está de…nida por F (t ) = P (X   t ), para todo t  real. Observemos que si X  tiene distribución de probabilidad f , entonces, F (t ) =

∑  f (x ), x ;x t 

para todo t  real

Función de distribución Ejemplo: Consideremos el lanzamiento de dos monedas y X  la Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

variable aleatoria “número de caras que resultan”. Sabemos que: 1 f (0) = P (X  = 0) = 4 1 f (1) = P (X  = 1) = 2 1 f (2) = P (X  = 2) = 4 Ahora, hallaremos la función de distribución F  de X . Como los posibles valores de X  son 0, 1 y 2, primero determinamos F (t )

Función de distribución

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional

1 F (0) = P (X   0) = ∑  f (x ) = f (0) = 4 x ;x 0

Probabilidad total y Teorema de Bayes

3 F (1) = P (X   1) = ∑  f (x ) = f (0) + f  (1) = 4 x ;x 1

Variables aleatorias

F (2) = P (X   2) =

Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

∑  f (x ) = f (0) + f (1) + f (2) = 1 x ;x 2

Función de distribución

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes

Determinamos F (t ) para cualquier otro número t  (distinto de los valores posibles que toma x , es decir, distinto de 0, 1, 2). En este caso, F (t ) coincide con F (x ), siendo x  el valor más cercano posible de X  a la izquierda de t . Ejemplo: Tomemos t  < 0

Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

F (0.5) = P (X   0.5) = P (∅) = 0. F (10) = P (X   10) = P (∅) = 0. es decir, para todo t  < 0, siempre F (t ) = 0.

Función de distribución

Espacio muestral

Ejemplo: Tomemos 0

<

t  < 1

Eventos independientes Probabilidad condicional

F (0.1)

Probabilidad total y Teorema de Bayes

F (0.53)

Variables aleatorias

F (0.73)

Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

F (0.98)

1 = P (X   0.1) = P (X   0) = . 4 1 = P (X   0.53) = P (X   0) = . 4 1 = F (0) = 4 1 = F (0) = 4

es decir, para todo 0 < t  < 1, siempre F (t ) = F (0) = 14 .

Función de distribución

Espacio muestral

Ejemplo: Tomemos 1

<

t  < 2

Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

3 F (1.32) = P (X   1.32) = P (X   1) = F (1) = . 4 3 F (1.556) = F (1) = . 4 3 F (1.91) = F (1) = 4 es decir, para todo 0 < t  < 1, siempre F (t ) = F (1) = 34 .

Función de distribución

Espacio muestral Eventos independientes

Ejemplo: Tomemos 2

<

t 

Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

F (3.84) = F (2) = 1. F (45) = F (2) = 1. es decir, para todo 2 < t , siempre F (t ) = F (2) = 1.

Función de distribución

Espacio muestral

F (t ) =

Eventos independientes Probabilidad condicional

8>< >:

0 si t  < 0; 1 4 si 0  t  < 1 3 4 si 1  t  < 2 1 si t   2

Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Ejercicio: Sea X  la variable aleatoria de…nida como en el

Ejemplo distrib

, construye y gra…ca la función de acumulada F  de X 

IraEjemplo

Función de distribución

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Sea X  una variable aleatoria discreta con función de distribución acumulada F . Entonces, 1

0  F (t )  1, para todo número real t ,

Función de distribución

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Sea X  una variable aleatoria discreta con función de distribución acumulada F . Entonces, 1 2

0  F (t )  1, para todo número real t , si a y b  son dos números reales con la propiedad de que a  b , entonces, debe cumplirse que F (a)  F (b ). Es decir, F  es creciente.

Cálculo de probabilidades a partir de la función de distribución Ejemplo: Sea X  una variable aleatoria discreta con valores 0,

1, 2 y 3 y con función de distribución acumulada F  de…nida por Espacio muestral Eventos independientes

F (t ) =

Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

8> >< >>:

0 si t  < 0; 1 7 si 0  t  < 1 1 3 si 1  t  < 2 3 4 si 2  t  < 3 1 si t   3

f (3) = P (X  = 3) = P (X  toma valores 0, 1, 2, 3)  P (X  toma val 1 = P (X   3)  P (X   2) = F (3)  F (2) = 4 f (2) = P (X  = 2) =? f (1) =? f (0) =?

Cálculo de probabilidades a partir de la función de distribución Ejemplo: Sean X  y F  la variable aleatoria y su correspondiente Espacio muestral

función de distribución acumulada, de…nidas como en el ejemplo anterior:

Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

P (2  X   3) = P (X  toma valores 2 o 3)

= P (X  toma valores 0, 1, 2, 3)  P (X  toma valores 0, 1) 2 = P (X   2)  P (X   1) = F (3)  F (1) = 3 2 P (1 < X   3) = P (2  X   3) = 3 P (2  X  < 3) = P (X  toma sólo el valor 2) = P (X  = 2) = f (2) P (0 < X  < 2) = P (X  = 1) = f  (1) P (1 < X  < 2) = P (∅) = 0. Observemos que P (

X 

) 6 F ( )

F ( )

Calculo de probabilidades a partir de la función de distribución

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Sea X  una variable aleatoria discreta con función de distribución acumulada F . Entonces, 1

Si a y b  son dos números reales con la propiedad de que a  b , entonces, se tiene que P (a  X   b ) = F (b )  F (a ), en donde “a ” representa el valor máximo posible de X  que sea estrictamente menor que a.

Calculo de probabilidades a partir de la función de distribución

Espacio muestral Eventos independientes

Sea X  una variable aleatoria discreta con función de distribución acumulada F . Entonces, 1

Probabilidad condicional

P (a  X   b ) = F (b )  F (a ),

Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Si a y b  son dos números reales con la propiedad de que a  b , entonces, se tiene que

2

en donde “a ” representa el valor máximo posible de X  que sea estrictamente menor que a. En particular, si los únicos valores posibles son enteros y a y b  son enteros, entonces, P (a  X   b ) = F (b )  F (a  1),

Calculo de probabilidades a partir de la función de distribución

Espacio muestral Eventos independientes

Sea X  una variable aleatoria discreta con función de distribución acumulada F . Entonces, 1

Probabilidad condicional

P (a  X   b ) = F (b )  F (a ),

Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias

2

Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Si a y b  son dos números reales con la propiedad de que a  b , entonces, se tiene que

en donde “a ” representa el valor máximo posible de X  que sea estrictamente menor que a. En particular, si los únicos valores posibles son enteros y a y b  son enteros, entonces, P (a  X   b ) = F (b )  F (a  1),

3

Si se toma a = b , entonces, P (X  = a) = F (a)  F (a  1).

Ejecicios 1

Espacio muestral Eventos independientes

Se determinará el número de computadoras en uso en dos o…cinas, una o…cina con cinco computadoras y otra con tres. Proporciona los posibles valores para cada una de las siguientes variables aleatorias. 1

Probabilidad condicional

2

Probabilidad total y Teorema de Bayes

3

Variables aleatorias

4

Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

2

X  = número total de computadoras en uso. Y  = la diferencia entre los números de computadoras en uso de las o…cinas 1 y 2. Z = número máximo de computadoras en uso en cada una de las o…cinas. W  = número de o…cinas que tienen exactamente dos computadoras en uso.

Determine el valor de k  de modo que la siguiente función sea una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X : f  (x ) = k (x 3 + 4), para x  = 0, 2, 3.

Esperanza de una variable aleatoria Ejemplo: Suponga que estas encargado de crear y administrar un puesto Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

de juego en una feria que tradicionalmente tiene lugar anualmente en una fecha …ja. Por experiencia previa, sabes que a la feria sólo asisten los a…cionados a las ferias. Tu juego debe ser simple, y como eres quien lo administra, e…ciente. Te decides por un juego que se llama “dinero en el sombrero”. Entonces, consigues un sombrero elegante y colocas allí 5 billetes de $100, 4 de $200 y un billete de $500. A cada jugador se le permite meter la mano en el sombrero y sacar un solo billete que gana como resultado del juego. Suponte que este juego se va a  jugar muchas veces durante el día (digamos 100 veces) y que quieres ganar $100 en promedio por persona en ingresos netos o utilidades. Esto es, precio por jugar - ganancia promedio por jugada = $100. Suponiendo que cada billete, sin importar su denominación, tiene la misma oportunidad de ser seleccionado, ¿cuánto debes cobrar por jugar “dinero en el sombrero”?

Esperanza de una variable aleatoria

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Sea X  la variable aleatoria discreta que representa a la cantidad de dinero que un jugador podría ganar en una sola jugada. En este caso, X  puede tomar los valores $100, $200 ó $500. Como hay 10 billetes en total en el sombrero y cada billete, sin importar su denominación, tiene la misma oportunidad de ser seleccionado, entonces, 5 = 0.50 10 4 = 0.40 P (X  = 200) = 10 1 = 0.10 P (X  = 5.000) = 10 P (X  = 100) =

Esperanza de una variable aleatoria

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Para decidir cuánto debes cobrar por jugar “dinero en el sombrero” necesitamos calcular la “ganancia promedio por  jugada”. Como se jugó n = 100 veces durante el día, esperaríamos que nP (X  = 100) = (100)( 0.50) = 50 veces los jugadores sacarían un billete de $100 para una pérdida de (50)( $100) = $5000 para el dueño de la feria; nP (X  = 200) = (100)( 0.40) = 40 veces los jugadores sacarían un billete de $200 para una pérdida de (40)( $200) = $8000 para el dueño de la feria; nP (X  = 500) = (100)( 0.10) = 10 veces los jugadores sacarían un billete de $500 para una pérdida de (10)( $500) = $5000 para el dueño de la feria;

Esperanza de una variable aleatoria

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Como la pérdida total para el dueño de la feria (o las ganancias totales para los jugadores) es $5000 + $8000 + $5000

= $18000

para los 100 jugadores, la pérdida promedio por jugar es $18000

100

= $180

Esperanza de una variable aleatoria

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Por lo tanto, para tener un promedio de $100 de ganancia por cliente, debemos cobrar $280, para el privilegio de sacar un billete del sombrero. Otra manera de considerar la pérdida promedio para el dueño de la feria por cliente es: $100P (X  = 100) + $200P (X  = 200) + $500P (X  = 500)

= $180.

Este valor de $180, que corresponde a la “ganancia promedio del cliente por jugada” la llamaremos el valor esperado  de X .

Esperanza de una variable aleatoria

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Fórmula para calcular el valor de la media poblacional µ:

(v   x ) ∑  µ= n

v  : frecuencia de un dato particular x  y n es el tamaño de la población. v  µ = ∑  x  n v  v  frecuencia relativa, i.e., : n n = P (X  = x ) = f  (x )

 

µ

= ∑ (xf (x ))

Esperanza de una variable aleatoria

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

De…nición: Sea X  una variable aleatoria discreta de…nida

sobre un espacio muestral S  y supongamos que X  toma los valores x 1 , x 2 , ... (…nito o in…nito). Sea f  la función de probabilidad de X . Entonces, la esperanza (valor esperado o  media) de X , simbolizada por µ o E (X ), se de…ne como µ

= E (X ) = ∑ (x k f  (x k )) k 

Esperanza de una variable aleatoria Ejemplo: Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Consideremos el lanzamiento de dos monedas y sea X  la variable aleatoria “número de caras que resultan”. Se ha encontrado que la distribución de probabilidad f  de X  está de…nida por 1 f (0) = P (X  = 0) = 4 1 f (1) = P (X  = 1) = 2 1 f (2) = P (X  = 2) = 4 Por consiguiente, la esperanza de X  está dada por Regresar

1 1 + 2 = 1. 2 4 Es decir, cuando el lanzamiento de las monedas se repite un número grande de veces, se espera que resulte en promedio 1 E (X ) = 0f (0) + 1f  (1) + 2f  (2) = 0 +

Esperanza de una v.a. Una planta industrial grande realiza una campaña para promover el uso compartido del automóvil entre sus empleados. Los datos en la tabla se registraron entre todos los empleados de la planta para conocer los efectos de la campaña. Ejemplo: Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Regresar

Esperanza de una v.a.

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

,864 La media poblacional está dada por µ = 1945 = 1.97. Ahora escojamos un coche al azar que transporte empleados al trabajo y contemos el número de ocupantes. Este número representa una variable aleatoria X , que toma los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6 con las probabilidades 0.45, 0.249, 0.217, 0.555, 0.023 y 0.006 respectivamente. La esperanza de esta variable aleatoria es entonces

E (X ) = 1f  (1) + 2f  (2) + 3f (3) + 4f  (4) + 5f  (5) + 6f (6)

= (1)( 0.45) + (2)(0.249) + (3)(0.217) + (4)( 0.555) + (5) = 1.97. Observe que esto concuerda con valor calculado anteriormente.

Esperanza de una v.a. Una empresa considera dos inversiones posibles. Como aproximación inicial, asigna probabilidades (subjetivas) a cada uno de los siguientes eventos: perder un 20% por cada dólar invertido, perder un 10%, ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%. Sea X  el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto y Y  el rendimiento por cada dólar invertido en el segundo. Las probabilidades asignadas son Ejemplo: Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes

Regresar

Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Calcule los rendimientos esperados por cada dólar invertido en cada proyecto. ¿Cuál proyecto le parece a usted que representa

Esperanza de una v.a.

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

El proyecto X , de acuerdo con cualquier estándar razonable, parece menos atractivo. Resulta igualmente posible perder un 20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo. El proyecto Y  ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y relativamente pocas de perder. Ahora,E (X ) = 0 y E (Y ) = 0.114. Por lo tanto, el rendimiento esperado de X  es (como hemos anticipado) menor que el rendimiento esperado de Y .

Esperanza de una función

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Ejemplo: Un contratista puede tener cierta incertidumbre

sobre el tiempo que requerirá terminar un contrato. Esta incertidumbre puede representarse mediante una variable aleatoria cuyos valores posibles son el número de días transcurridos desde el comienzo hasta la conclusión del trabajo que se ha contratado. Sin embargo, el principal interés del contratista no es el tiempo necesario sino el costo de cumplir el contrato. Este costo será una función del tiempo. Luego, para determinar el costo esperado, es necesario expresar la esperanza como una función de la variable aleatoria “tiempo necesario para la conclusión del trabajo”.

Esperanza de una función

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Ejemplo: Suponga que una librería compra tres ejemplares de

un libro a $100 para venderlos a $200, entendiendo que al terminar el periodo de tres meses, cualquier ejemplar no vendido se venderá en $30. Si X  es la variable aleatoria “número de ejemplares vendidos”, entonces, la utilidad neta es una variable aleatoria h(X ) que depende de X  y que está dada por h(X ) = 200X  + 30(3  X )  300 = 170X   210.

Esperanza de una función

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Sea X  una variable aleatoria discreta de…nida sobre un espacio muestral S  y supongamos que X  toma los valoresx 1 , x 2 , ... (…nito o in…nito). Sea f  la función de probabilidad de X . Entonces, la esperanza o media de cualquier función h(X ) de X , simbolizada por E  [h(X )] , se de…ne como E  (h(X )) = ∑ h(x k )f  (x k ) k 

La esperanza E  (h(X )) puede entenderse como el valor promedio que tomaría h(X ) sobre un número muy grande de repeticiones.

Esperanza de una función

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Ejemplo:Si en el ejemplo anterior, la variable X  (número de

ejemplares vendidos) toma los valores 0, 1, 2 y 3 con las probabilidades 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4, respectivamente, entonces, la utilidad esperada es E  (h(X )) = h(0)f (0) + h (1)f  (1) + h(2)f (2) + h (3)f  (3)

= (210)( 0.1) + (40)( 0.2) + (130)( 0.3) + (300)( 0.4 = 130 Es decir, sobre un número muy grande de repeticiones, se espera que el vendedor tenga una utilidad de $130.

Propiedades de la esperanza

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Hemos de…nido la esperanza de una función h(X ) de una variable aleatoria X . Sean X  una variable aleatoria discreta de…nida sobre un espacio muestral y a, b  números reales …jos. Entonces, 1

E (aX  + b ) = aE (X ) + b .

Propiedades de la esperanza

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Hemos de…nido la esperanza de una función h(X ) de una variable aleatoria X . Sean X  una variable aleatoria discreta de…nida sobre un espacio muestral y a, b  números reales …jos. Entonces, 1 2

E (aX  + b ) = aE (X ) + b . E (aX ) = aE (X ) (si se toma b  = 0).

Propiedades de la esperanza

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Hemos de…nido la esperanza de una función h(X ) de una variable aleatoria X . Sean X  una variable aleatoria discreta de…nida sobre un espacio muestral y a, b  números reales …jos. Entonces, 1 2 3

E (aX  + b ) = aE (X ) + b . E (aX ) = aE (X ) (si se toma b  = 0). E (b ) = b  (si se toma a = 0).

Propiedades de la esperanza

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Ejemplo: Sea X  cualquier variable aleatoria discreta. Si la

variable aleatoria 5X  + 2 tiene esperanza 1, ¿cuál es la esperanza de X ? Por hipótesis, se tiene que E (5X  + 2) = 1. Por consiguiente, por las propiedades de la esperanza, 1 = E (5X  + 2) = 5E (X ) + 2. Con lo anterior, 5E (X ) = 1  2 = 1, o sea, E (X ) =  15

Varianza de una v.a. discreta De…nición: Sea X  una variable aleatoria discreta de…nida Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

sobre un espacio muestral S  y supongamos que X  toma los valores x 1 , x 2 , ... (…nito o enumerable). Sean f  y µ la función de probabilidad y esperanza de X , respectivamente. Entonces, lavarianza de X , simbolizada por σ 2 o V (X ), se de…ne como 2

σ 



= V (X ) = E  (X   µ)

2



= ∑ (x k   µ)2 f  (x k ) k 

La desviación estándar de X , denotada por σ , se de…ne como la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Varianza de una v.a.

Espacio muestral Eventos independientes Probabilidad condicional Probabilidad total y Teorema de Bayes Variables aleatorias Función de probabilidad Esperanza de una variable aleatoria (v.a.) discreta Varianza de una v.a.

Sea X  una variable aleatoria discreta de…nida sobre un espacio S  muestral y supongamos que X  toma los valores x 1 , x 2 , ...(…nito o enumerable). Sean f  y µ la función de probabilidad y esperanza de X , respectivamente. Entonces, la varianza de X  es la esperanza del cuadrado de X  menos el cuadrado de la esperanza de X . Es decir, 2

V (X ) = E (X 2 )  (E (X )) = ∑ x k 2 f  (x k )  (E (X )) k 

2