Problema Cilindros 3.h2

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PROB PROBLEM LEMA A 3.H2 3.H2 Dist Distrib ribuio uion n de veloci velocida dad d entre entre dos dos cilindros que giran

determinar V θ (r) entre dos cilindros coaxiales de radios R y kR que giran con velocidades angulares Ω0 y Ω1  respectivamente. Supongase que el espacio comprendido entre dos cilindros esta ocupado por un fluido isotermico imcomprensible que se mueve con flujo laminar . •

 Ecuacion de movimiento de coordenadas cilindricas

ρ( ∂V   + V r ∂V   + ∂T  r θ

θ

V  θ ∂V  θ r

∂ θ

+ V  rV   + V z ∂V   )= ∂  r

θ

θ

z

−

1 ∂P  r ∂ θ

+ µ[ ∂ ∂  ( r1 ∂ ∂  (V θr )) + r1 r

r

2

∂ 2 V  θ ∂θ

2

+ r2

2

∂V  r ∂r

2

+ ∂ ∂Z V   ] + ρθ θ 2

(1)

•

  Eliminando terminos

∂  1 ∂  µ[ ∂r ( r ∂r (V θr ))] = 0 (2)

•

 

  Resolviendo la ecuacion diferencial (variables separables y µ   y cero son constantes se eliminan ya que no afectan a la ec. dif)

∂  ∂ ( r1 ∂r (V θr )) =

1

∂  r ∂r )

•

 

  

∂θ (3)

(V θr ) =  C 1 (4)

 Resolviendo la ecuacion diferencial ya que es de segundo orden (variables separables)

∂ (V θr ) =

  

C 1 r∂r r∂ r (5)

2

r V θ  =  C 1 r2 + C 2 (6)

•

 Pasando la r del otro lado dividiendo y reduciendo terminos

V θ  =  C 1 r2 +

C 2 r

(7)

•

 condiciones de frontera

Vθ  = Ω1 KR @r  =  K R

Vθ  = Ω0 R@R  =  R •

 Sustituir las condiciones de fronteras en la ecuacion

Ω1 KR  =  C 1 KR + 2

Ω0 R  =  C 1 R2 + •

 ) R2

C 2 R

  sustituyendo en la ec. de V θ

Vθ = •

C 2 R

 despejar C1 de la ec. 1 de sustitucion de fronteras

C1  = (Ω0 R + •

C 2 KR

−

Ω0 Rr r

=  C 2 ( Rr

2

−

1 r

)

  Despejar C2

C2  = •

C2  =

V  θ −Ω0 r

(

r

R2

− 1r )

 Sustituir la condicion de frontera Ω1 KR  para r  =  kR

Ω1 KR −Ω0 KR 1 KR  − KR 2 R

•

C2  = •

  Factorizando terminos

Ω1 k2 R4 −Ω0 K 2 R4 K 2 R2 −R2

 Se hace la igualdad de C 1 Y C 2

C1  = 2Ω0 + •

= 2Ω0 +

R2

2R2 (Ω1 k2 −Ω0 ) (KR )2 −R2

  Sustituyendo C 1 y C 2 en V θ

2

2

2

R K  Ω −R Ω Vθ 2r(2(( KR ) −R )

•

1 2

O

2

−

K 2 R4 (Ω1 −Ω0 ) r ((KR 2 )−R2 )

 ( 1) −

 Eliminando terminos y factorizando

Vθ = •

2(KR )2 (Ω1 −Ω0 ) (KR )2 −R2

 Pasando del otro lado de la igualdad y eliminando terminos

C1  = •

2C 2

r (R2 Ω0 −K 2 R2 Ω1 ) R2 −K 2 R2

−

K 2 R4 (Ω0 −Ω1 ) r ((R2 −K 2 R2 ))

 Obteniendo el resultado

Vθ =

1 R2 (1−K 2 )

(r(R2 Ω0

 R2 K 2 Ω1 ) −

−

K 2 R4 r

(Ω0

 Ω1))

−