Tensiones en Vigas
29.- Una viga de Ciprés tiene una sección de 10 cm x 20 cm y flecha según
un eje paralelo a la cara de 10 cm. Si la tensión máxima producida es de 500 kg/cm2. Determinar el momento flector máximo. Sol. 3.333 kg-m 10 cm
20 cm
20cm
σ=
10cm= y
10cm
M .Y I
500 kg/cm 2= 20 cm ¿ ¿ ¿3 (10 cm)¿ b .h 3 I= =¿ 12
M (10 cm) =¿ I
50 kg /cm3 .6666,66 cm4=M =333.333 Kg/cm
M =3.33 Kg/cm
30.- Una viga en voladizo de 2.70 m de longitud soporta una carga aislada de 4000 kg en su extremo libre. El material es acero de estructuras y la tensión máxima por flexión no debe exceder los 1250 kg /cm2. Determina el diámetro necesario si la barra ha de ser circular. Sol. 20.7 cm E.N
D
A
2.7m
D/2 D/2
M=F.d M=400Kg x 2.70=10800kg-m
σ=
M .Y I
12500 kg/cm 2=
(10800 kg−m)(D/2) =¿ π D4 64 4
1250 kg/cm . π . D =5400 kg−m(D)(64) D=20.7
31.- Una viga de roble de 4 cm de longitud esta simplemente apoyada en los extremos y cargada en el centro con una fuerza aislada de 700 kg. El límite de proporcionalidad de la madera es de 550 kg/cm 2 y es suficiente un coeficiente de seguridad de 4. Determinar la sección de la viga si (a) ha de ser cuadrada y
1
(b) si la altura debe ser 1 2
veces la anchura. Sol. (a) 14.5 cm, (b) 11.1 cm x
16.6 cm Mmax : X=[0,4] A
B 2m
700
4m
x-2
x x 350
[0,4]
350 M= 350x -700(x-2) M= F.d
M=350x-700x+1400
M=350x
M= 1400-350x
MAX=¿ 1400 kg−m=M M¿ 550 =137,5 4 a ¿ σ =137,5 kg/cm2 3
a¿ ¿ a¿ 3 bh I= =¿ 12
I=
a4 12
σ=
MY I
137,5
kg = cm2
a=18.28 cm 1 3 b¿1 = 2 2
(1400 kg−m ) a4 12
( a2 )
3a 3 ¿ 2 ¿ a¿ I =¿ σ=
MY I
137,5
kg = 2 cm
(1400 kg−m )
( 34 a)
4
27 a 96
a=11.1 cm∗16,6 cm
32.- Una viga de pino simplemente apoyada tiene 3 m de longitud y soporta una carga uniformemente repartida de 40 kg por metro lineal. La tensión máxima por flexión no debe exceder de 105 kg/cm2. Si la altura de la viga
1
debe ser 1 4 cm x 6.85 cm
3 m
veces la anchura, determinar la sección necesaria.
Sol.5.48
∑ Fy= A−120+B
Mmax
0 ≤ x <3
A+B=120
( 120 ) + ( 3 ) ( B )
MA= (1.5)
120k g
B=
( 1.5 )−( 120 ) =B=60 3
60kg 1.5 x
A+B=120
x −60 x ( 40 x ) + 4 ( 2
()
M=
60 x−20 X 2
60 ( 1 )−20 ( 1 )2=40 60 ( 2 )−20 ( 2 )2=40 60 ( 3 )−20 ( 3 )2=0 D/2
5/8 a
5 a 4
5 4500( a) 3 b(h) 8 I= 105= 4 12 125 a 768
E.N
D
D/2
3
5 b( a) 4 4500.5.768 I= a= 12 125.105 .8
√
4
125 a I= a=5.48 768 5 b= a 4 5 b= (5.48 )=b=6.85 4
33. Se emplea un perfil H 160 para las características, véase tabla al final del capítulo como viga en voladizo. Tiene te de seguridad de 4. Determinar la sección de la viga si(a) ha de ser cuadrada y (b) si la altura debe ser veces la anchura. Sol. (a) 14.5 cm (b) 11.1 cm x 16.6 cm
34.- Una viga de acero de 1.5 m de longitud esta simplemente apoyada en cada extremo y soporta una carga aislada de 10000 kg a 60 cm de uno de los apoyos. Determinar las tensiones máximas que se producen por flexión en la viga si es de sección rectangular de 10 cm de anchura y 15 cm de altura. Sol. 960 km/cm2 de altura
∑ F ( Y )=0
10000 kg 1º corte
2º corte
Ay + By−10000=0 Ay =6000 150 cm Ay
By 60cm
∑ M ( A )=0 −10000 ( 60 ) + By ( 150 ) =0
By=4000
1º corte: 0 ≤ X ≤ 60
∑ M ( PC )=0 M PC=0 −6000 x + M
6000 kg
M =6000 x
X
2º corte: 2≤ X ≤
4
10000 kg
V
∑ M ( PC )=0 J
M
PC ) + M =0 −6000 x +10000 ( x−60
6000 kg
X
M =−4000 x+ 600000 60 cm
M max = 360000 kg.cm 15 cm
10 cm
I=
b∗h3 12
σ=
M.y I
σ=
360000 kg . cm∗7.5 cm 4 2812.4 cm
=
10∗153 =2812.4 cm4 12
= 960 kg/cm2
35.- Determinar las tensiones por flexión máximas para una barra cargada como en el problema anterior si la viga es un perfil H 180. Sabemos del problema anterior que el momento máximo es : 360000 kg.cm Por tabla sabemos que el módulo de un perfil H180 es 426 cm 3
σ=
M W
σ=
360000 kg . cm 3 426 cm 2
σ =845 kg /cm
36.- Se ha arqueado una barra de acero de 1 mm de grueso para formar un arco de círculo de 70 cm de radio. Determinar las tensiones por flexiones máximas. Tomar E= 2.1x 106 kg/cm2 Sol. 1500 kg/cm2
E=2.1 x 10 6 kg/cm2 Radio de curvatura=70 cm
y t= 1mmx 0.1=0.1cm p 1 ( 0.1 ) cm ( 2) t= =7.143 x 10
−4
70 cm
σ =ET=2.1 x 10 6 kg / c m2 x 7.143 x 10−4 1500.07 kg /cm2
37.- El momento flector máximo que existe en una viga de acero es de 550000 kg-cm. Elegir el perfil de ala ancha más económico que resiste este momento si la tensión de trabajo y la compresión es de 1400 kg/cm 2. Sol. H 180
M max=550000 kgcm W=
M 550000 kgcm = σ kg 1400 2 cm
W =392,86 cm3 : H180
38.- En la viga representada en la fig. Esta simplemente apoyada en sus extremos y soporta las dos cargas colocadas simétricamente, de 6000 kg cada
una. Si la tensión de trabajo, tanto en tracción como en compresión es de 1250 kg/cm2. Elegir el perfil de ala ancha más económico para soportar esas cargas. Sol. H160 6000 Kg
6000 Kg
0.6 m
0.9 m
0.6 m
∑ M ( A )=0 -6000(0,6)-6000(1,5) +By (2,1) = 0 By = 6000
∑ Fy=0 Ay-12000+6000 = 0
0 ≤ x ≤ 0,6
Ay = 6000
−6000 x + M =0 M
X M
0 0
0,6 3600
M =6000 x
x 6000 6000
6000
M
M
x
0.6
0.6 6000
6000
6000
x 0.9
1,5 ≤ x ≤2,1 -6000+6000(x-0,6)+M=0 0,6)+6000(x+1,5)+M=0
-6000x+6000(x-
M= 3600
M= -6000x+12600 X M
M max=3600 kgm
1,5 3600
2,1 0
M max=360000 kgcm
W=
M 360000 kgcm = σ kg 1250 2 cm
W =288 cm3
RESULTADO: H160
39.- Considerar la viga simplemente apoyada con las cargas aisladas y uniformes de la fig. Elegir un perfil de ala ancha apropiado para resistir esas cargas basándose en la tensión de trabajo en tracción y en compresión de 1400 kg/cm2. Sol. H200. 9000 Kg 1500 Kg/m
0.9 m
2.1 m
∑ Fy=0 9000k gv
3150
FA+ FB−900−3150=0 A
FA + FB=12150 … … …( I )
B 0,9m
1,05m
1,05m
FB
FA
∑ MA=0 -9000(0.9)-3150(1,15) +FB (3) =0
Reemplazando en I
-8100-5142,5+FB (3) =0
FA+4747.5=12150
FB=4747.5
FA= 74025
x
M
1402. 5
1,5 ≤ x ≤2,1
∑ MN =0 M = 7402.5x = 0 M = 7402.5x
9000k g
1500kg m
x 0.9m
N
M
x-0.9
7402.
9000k g
1500(x0,9) N
x 0,9m
7402. 5
∑ MA=0
(x0,9)
x−0,9 2
M
M −7402.5 x+ 9000 x ( x−0.9 ) +1500 ( x−0.9 )
=0 ( x−0.9 2 )
x−0.9¿ 2=0 M −7402.5 x+ 9000 x−3100+ 750¿ 2
M + 15975 x−8100+750 x −1550 x +6075=0 M + 750 x 2 +2475 x−7492.5=0 M =−750 x 2−247.5 x−7492.5
X = 0,9
M max=6662,25 kgm M max=666225 kgcm σ =1400
W=
kg 2 cm
M 666225 kgcm = σ kg 1900 2 cm
W =475.87 cm 4 Rpta: H 200
40.- Las dos cargas repartidas están soportadas por la viga simplemente apoyada como se muestra en la fig. Se trata de un perfil H160. Determinar la magnitud y situación de la tensión por flexión máxima en la viga. Sol. 613 kg/cm2, a 1.83 m del soporte derecho.
2m
2m
2m
600 Kg/m
1200 Kg/m
∑ Fy=0 ∑ MA=0 A – 1200-2400+B=0 5(2400) +6B=0
-(1) (1200)-
A+B= 3600
B=2200 A+2200=3600
0 ≤ x ≤2
600x
M x 1400
A= 1400
x/2
-1400X+(X/2) (600X) +M=0 -1400X+300 x -300 x
2
2
+M=0
++1400X=M
0≤x<4
1200kg/ m
1m
x
M
2m (x-2)
1400 -1400X + (X-1) 1200 + M= 0 -1400X + 1200X -1200 + M=0 -200X – 1200 + M =0 200X + 1200 = M
0 ≤ x <6 1200kg/ m
200(X-4)
1m
x 1400 2m
2m
(x-1) / 2
M (x-4)
−1400 x + ( x−1 ) (1200 )+
( x−4 ) ∗1200 ( x−4 ) + M =0 2
−1400 x +1200 x−1200+600 x2 −2400−4800+ M =0 −200 x−8400+ 6200 x 2 + M =0 −600 x 2 +200 x+ 8400=M M =2016.66 kg . m
41.- Una viga con extremo en voladizo representada en la fig. Es de sección circular con 15 cm de diámetro. Determinar (a) la tensión por flexión máxima en la barra y su situación, (b) el valor de esta tensión en las fibras de la barra en la sección central entre los soportes. Sol. (a) 1230 kg/cm 2 bajo la carga aislada; (b) 870 kg/cm2
1m
4500 Kg
5m
∑ MA=0
300 Kg/m
2m
−4500 ( 1 )−2100 ( 3.5 ) +By ( 5 )=0 By=2370
∑ Fy=0 Ay −4500−2100+2370=0
Ay =4230
300x
M x
Xx/2 M
4230
−4230 x+300 x
0 0
1 4080
( 2x )+ M =0
M =−150 x 2 +4230 x
4500 300x 1m
X M x x/2 4230
2 5 4080 M -600
−4230 x+ 4500 ( x −1 )+ 300 x
( 2x )+ M =0
−4230 x+ 4500 x −4500+150 x 2+ M =0 M =−150 x 2−270+ 4500
−4230 x+ 4500 x + 4500+150 x2−2370 ( x−5 )+ M =0 2
270 x−4500+150 x −2370 x+ 11850+ M =0 M =−150 x 2 +2100 x−7350
X M
5 -600
7 0
Resultado 1.230 Kg/ cm2
42.- Elegir el perfil de ala ancha más económico para soportar la carga descrita en el problema anterior. Utilizar una tensión de trabajo en tracción y en compresión de 1250 kg/cm2. Sol. H160.
W=
M σ
W=
408000 kg . cm 3 =326 cm 2 1250 kg /cm
Rpta: Perfil H160 43.- Con referencia a la fig. una viga T con la sección representada vuela metro y medio en voladizo desde un muro, y soporta una carga uniformemente repartida de 600 kg/m incluyendo su peso propio. Determinar las tensiones de compresión y de tracción máximas. Sol. -1417 kg/cm 2, +607 kg/cm2.
2 cm 2 cm 8 cm
5 cm
5 cm
∑ M ( A )=0 −900 ( 0.75 )−M =0 M =675 kg . m
It=333.3 cm4 Y=7cm σc=
σt =
−67500 kg .cm∗7 cm =−1417.6 kg /cm 2 4 333.3 cm
+ 67500 kg . cm∗3 cm =607 kg /cm2 4 333.3 cm
44.- La viga de acero simplemente apoyada está cargada con la carga uniformemente repartida y el par representado en la fig. tiene la sección U representada. Determinar las tensiones máximas de tracción y de compresión que se originan. Sol. 353 kg/cm 2 tracción, 645 kg/cm2 compresión
1000 Kg/m
18 cm
1000 kg-m 16 cm 3.6 m
0.5 m
0.9 m
3 cm Hallamos las reacciones:
∑ M =−3600 (1.8 )−1000+ By ( 5 )=0 By=1496
Procedemos a hallar el momento flector maximo: El momento maximo lo encontramos en el corte “0≤x≤3.6”
∑ Fy=Ay + By=3600 Ay=2104
M=-500x2+2104x Al hallar su vertice nos da en “x” 2.104m , reemplazando en la ecuacion nos da como MOMENTOmax 2213.4 kg.m Formulas: Momento de I: “I”
θtension=
M∗C I
θcompresion=
−M ∗C I
11285.3 cm4 0.000112853m4
θtension=
2213.4∗C I
θtension=
2213.4∗0.032 0.000112853
θtension=627620.0012 kg . m
θcompresion=
−2213.4 .∗C I
θcompresion=
−2213.4 .∗0.068 0.000112853
θcompresion=−1333692.503 kg . m
45.- Dos angulares de 120 x 120 x 12 están soldados entre sí, como puede verse en la fig. y se utilizan como viga para soportar cargas en un plano vertical de modo q se produzca un flexión respecto a un eje neutro horizontal. Determinar el momento flector máximo q puede existir en la viga si la tensión por flexión no puede exceder 1400 kg/cm 2 ni en tracción ni en compresión. Sol. 1220 kg-m
120 cm
12 cm
θ=
My I
120 cm
Reemplazamos lo que tenemos: 1400=
1400=
M∗3.7 I
Necesitamos hallar el eje neutro: A 25.92 cm2
y 5.4 cm
Fig. 2 14.4 cm2 Eje neutro= (∑Ay/∑A)
0.6 cm
Fig. 1
M∗3.7 18587.6
Ay 139.968 cm3 8.64 cm3
Eje neutro= 3.7cm I=18587.6cm4
M=7033145.946kg.cm
46.- La viga en Forma de U con un extremo en voladizo está cargada como se ve en la fig. El material es fundición gris con una tensión de trabajo admisible de 350 kg/cm2 en tracción y 1400 kg/cm2 en compresión. Determinar el máximo valor admisible de P. Sol. 455 kg.
2P
P
16 cm
10 cm 2m
2m
1m
2 cm
2P º
1 corte
º
2 corte
3º corte
P
∑ F ( Y )=0
Ay −2 P−P+ 9 P/4=0 Ay =3 P /4
Ay
∑ M ( A )=0
By 2m
2m
1m
−2 P ( 2 )−P(5)+By ( 4)=0
By=9 P /4 1º corte: 0≤ X≤2
∑ M ( PC )=0 M PCM =0 −3 P/ 4(x )+
3P/4
M =3 P/4 (x)
X
2º corte: 2≤ X ≤ 4 2P
∑ M ( PC )=0 J
M PC
−3 P ( x ) +2 P ( x−2 ) + M =0 4 3P/4
X 2m
M=
−5 P x +4 P 4
3º corte:
4≤ X ≤5 2P
∑ M ( PC )=0 J
M PC
−3 P ( x ) +2 P ( x−2 )−9 P /4 (X−4)+ M =0 4 3P/4
M=Px−5 P
X
9P/4
2m
2m
It=628.48 cm 4 σt =
,
Y=3.2 cm
M.y I
350=
150 Pkg. cm∗3.2cm =P=458.26 kg 628.48 cm4
47.- Una viga de madera de 8x12 cm de sección está sometida a un esfuerzo cortante transversal máximo de 1000 kg. Determinar la tensión cortante en los puntos separados 2 cm en la altura de la viga. Sol. 0, 8.7 kg/cm2, 13.9 kg/cm2, 15.6 kg/cm2, 13.9 kg/cm2, 8.7 kg/cm2, 0
a.12 m
8m
Momento estático:
b(hseccion)(y)=8*0*6=0cm3 v
τ=
T ∗∫ y da Ib y
τ=
1000 kg 2 ∗0=0 kg/cm 1152∗8
b.12 cm 2cm 8cm
Momento estatico:8*2*5=80
τ=
cm3
1000 kg ∗80 cm 3=8.7 kg/ cm2 4 1152 cm ∗8 cm
c.12 cm
4cm 8cm
Momento estatico:8*4*4=128
τ=
cm3
1000 kg ∗128 cm 3=13.9 kg /cm 2 4 1152 cm ∗8 cm
d.12 cm
6cm 8cm
τ=
3∗1000 kg =15.6 kg /cm2 2∗8 cm∗12 cm
e.12 cm
8cm 8cm
Momento estatico:8*8*2=128
τ=
cm3
1000 kg ∗128 cm 3=13.9 kg /cm 2 4 1152 cm ∗8 cm
f.12 cm
10cm
8cm
Momento estatico:8*10*1=80
τ=
1000 kg ∗80 cm 3=8.7 kg/ cm2 4 1152 cm ∗8 cm
g.12 cm
8cm
τ=
cm3
1000 kg ∗0=0 kg/cm2 1152∗8
48.-La viga simplemente apoyada de 3 m de longitud y sección 10 cm por 20 cm soporta una carga uniforme de 300 kg/m, como puede verse en la figura adjunta. Despreciando el peso propio, hallar (a) la tensión normal máxima normal en la viga; (b) la tensión cortante máxima; (c) la tensión cortante en el punto a 60 cm de la derecha de R 1 y 2.5 cm por debajo de la cara superior de la viga. Sol. (a) 50.6 kg/cm2; (b) 3.4 kg/cm2; (c) 0.89 kg/cm2.
10 cm 300 Kg/m 20 cm
R1
3m
R2
∑ F ( Y )=0 º
1 corte
300kg/m
Ay −900+450=0
Ay =450
Ay
By
∑ M ( A )=0
3m
−900 ( 1.5 )+ By (3)=0 By=450
1º corte: 0≤ X≤3 30X
V
∑ M ( PC )=0 J
M
−450 x+300 x ( PC x /2 ) + M =0 450 kg
X 2
MX/2 =−150 x +450 x
Mmax= 33750 kg.m
a.-
σ=
I=
b∗h3 12
=
10∗203 =6666.6 cm 4 12
33750 kg . cm∗10 cm =50.6 kg/cm2 4 6666.6 cm ∑ F ( y )=0
b.-
450−300 x−V =0
V =−300 X + 450 τ medio=
Vmax=450 kg
450 kg =2.25 kg /cm 2 2 200 cm
3 2.25 kg τ max= ( )=3.4 kg /cm 2 2 2 cm c.Momento estático: 10*2.5*8.75 = 218.75
cm3
τ=
270 kg ∗218.75 cm3=0.89 kg /cm 2 4 6666.6 cm ∗10 cm
49.-Determinar (a) la tensión por flexión máxima y (b) la tensión cortante máxima en la viga representada en la figura. La viga esta simplemente apoyada y tiene sección rectangular. 5 cm 1000 kg-m
4000 lb/ft 15 cm
1.5 m
2m
Conversión:
lb ∗( 0.3048 ) ft ft kg 4000 ∗1 m 0.4535924 lb 2687.876 kg /m Hallar Reacciones ∑ Fy=0
Ay + By=26.88
∑ MB=0
-4Ay+ 26.88(2) + 1000=0
Ay= 263.44 kg By=-236.56 kg
•CORTE 1. Σ Fy=0
2m
V=0 ∑ M=0 M=1000 •CORTE 2. Σ Fy=0 -v+3226.59=0 V=3226.59 ∑ M=0
−1000+3226.59 ( x−1.5)+ M =0 M =3226.59 x−3839.885 •CORTE 2. Σ Fy=0 3226.59-V-3953.18(X-3.5) =0 V=-5953.18+21979.107=V ∑ M=0
−1000−3226.59 x+ 4839.885+2976.59 ( x2 −7 x+12.25 ) + M =0 M =−2976.59 x 2 +24062.72−40303.1125 M máx.=262500 kg • cm Entonces:
σ=
262500 ( 7.5 ) 1406.25
σ =1400 kg/c m2
50.-Una viga rectangular de cedro Colorado que tiene una sección de 15x20 cm esta simplemente apoyada en los extremos y tiene una luz de 2.4 m. Si la tensión por flexión admisible es de 165 kg/cm2 y la tension cortante de 6.5 kg/cm2, determinar la intensidad de la carga uniforme q puede aplicarse sobre toda la viga. Sol. 1083 kg/m
carga uniforme que puede aplicarse sobre toda la viga. 240P kg
Ay −240 P+120 P=0 Ay =120 P
Ay
240c m
By
∑ M ( A )=0
120c m P ( 120 ) +By ( 240 ) =0 −240
By=120 P
1º corte: 0 ≤ X ≤ 240 PX
V
∑ F ( Y )=0 J
M PC
120 P−Px−V =0
120P kg
X
V X/2 =−Px+120 P
∑ M ( PC )=0
−120 Px+ Px ( x /2 ) + M =0
τ max=
−P ( x 2 ) M= +120 Px 2
3T 2 bh
6.5 kg /cm2=
3(120 P) 2 ( 15 ) (20)
P=1083 kg /m
51.-Una viga tiene una sección en U representada en la fig. Si el esfuerzo cortante máximo en la viga es de 3000 kg, determinar la tensión cortante máxima que se produce. Sol. 138 kg.
2 cm
2 cm
8 cm
2 cm
6 cm
It=272 cm 4 Y = 5 cm Momento estático: 2(2*13*1.5)+8*2*2 = 50
τ=
cm3
3000 kg 3 2 ∗50 cm =137.86 kg/cm 4 272 cm ∗4 cm
