Problemas de Fisica

PROFESOR: WALTER WALTER PEREZ TERREL / PROBLEMAS DE VECTORES

1.

Calcular el módulo del vector:

2.

Calcular el módulo del vector:

3.

Dado Dado los los punto untos s

2012

y

dete determ rmin inar ar los los vect vector ores es::

y

y

deter determin minar ar los vecto vectores res::

y

respectivamente.

4.

Dado Dado los los punto puntos s respectivamente.

(

(

1


5.

2012

Dete Determ rmin inar ar el punt punto o N, con con que que coin coinci cide de el extr extrem emo o del del vect vector or sabiendo que el origen coincide con el punto M de coordenadas (1!"#$

%ntonces:

6.

Determinar el punto &, con que coincide el extremo del vector

sabiendo

que el origen coincide con el punto ' de coordenadas (!"1#$

%ntonces:

7.

e dan los vectores

y

. Determinar la proyección del vector

sobre los e)es coordenados cartesianos.

%ntonces:

2


8.

Dado el módulo de vector

y los *ngulos que +orman con los e)es coordenados coordenados

cartesianos cartesianos x, y,  respectivamente respectivamente del vector

2012

. Determinar Determinar la proyección proyección

sobre los e)es coordenados.

Datos:  %ntonces:

Donde:

&or lo tanto:

9.

Dado el módulo de vector

y los *ngulos que +orman con los e)es coordenados coordenados

cartesianos cartesianos x, y,  respectivamente respectivamente del vector

. Determinar Determinar la proyección proyección

sobre los e)es coordenados.

Datos:  %ntonces:

Donde:

3

PROFESOR: WALTER PEREZ TERREL / PROBLEMAS DE VECTORES

&or lo tanto:

10.

Calcular los cosenos directores del vector -enemos: %ntonces:

allando el

:

&or lo tanto:

11.

Calcular los cosenos directores del vector -enemos:

%ntonces:

4

2012


allando el

2012

:

&or lo tanto:

12.

/&uede +ormar un vector con los e)es coordenados los *ngulos siguientes 0 &robar si existe el vector:

13.


5


14.

2012


15.

n vector +orma con los e)es 23, y 24 los *ngulos

respectivamente,

/'u5 *ngulo +orma el vector con el e)e 260

Z

45

O

°

60 12

°

Y

0°

X

16.

n vector +orma con los e)es 23, y 26 los *ngulos /'u5 *ngulo +orma el vector con el e)e 240 6

respectivamente,


17.

n vector +orma con los e)es 26, y 24 los *ngulos /'u5 *ngulo +orma el vector con el e)e 230 Z

6

9

0°

0

1 5

Y

O 0°

°

X

18.

Calcular

el

vector

unitario

del

vector

7

2012

respectivamente,


2012



19.

Calcular el vector unitario del vector



20.

Calcular el vector unitario del vector



21.

Determinar el vector unitario perpendicular al vector i

y ninguno de los vectores es nulo, entonces, ambos son perpendiculares

entre si. i

es perpendicular a

, entonces

 7uego se obtiene

 8


22.

2012

e tiene un cuadrado de v5rtices 8, 9, C y D y *rea ! unidades cuadradas. i conocemos el v5rtice 8 (1; !;$ y el lado 89 es paralelo al vector

. Determinar la

posición de los v5rtices 9, C y D. Calculando los vectores unitarios Debido a que es un cuadrado si el *rea es ! entonces el lado es .

allando la posición 9

allando la posición C

allando la posición D

23.

i los módulos de los vectores los e)es 3, 6 y 4 son

son 1< y 1= unidades y sus cosenos directores con respectivamente. Determinar el resultado de:

9


24.

Dado

25.

abiendo que los vectores

26.

/&ara qu5 valores de ?p@ y ?q@ los vectores

+orman entre s> un *ngulo de

2012

y adem*s

son

coliniales0 i los vectores

son colineales, sus componentes en 3, 6, 4 ser*n proporcionales:

Aeemplaando:

27.

&ara qu5 valores de ?r@ y ?s@ los vectores paralelos0

i los vectores

son paralelos, se cumple 10

son


28.

7os siguientes vectores

/son coliniales0

&ara que sean colineales se cumple:

&or lo tanto no son colineales

29.

7os siguientes vectores

/son paralelos0



30.



e conocen los v5rtices de un cuadril*tero: /%s un trapecio0

i

son paralelos, entonces existe un

, -al que:

11

2012


i

31.

son paralelos, y 89CD es un trapecio

Dado

los

puntos

/

coliniales0 allando los vectores

&ara que

sean paralelos entonces existe un

, tal que:

por ser positivo ambos vectores tienen la misma dirección. 32.

2012

Dado los vectores en el plano

. %xpresar el vector

en +unción de los vectores

B gualando las componentes

y

Aesolviendo la ecuación se obtiene Aeemplaando se tiene

12

son


33.

Dado los vectores en el plano

. %xpresar el vector


gualando las componentes

y

Aesolviendo la ecuación se obtiene Aeemplaando se tiene 34.

2012

Dados los vectores en el plano

%xpresar el vector


(+)

Aeemplaamos en ($: #(

13




35.

2012



Dados los vectores en el plano

%xpresar el vector


(-)

Aeemplaamos en la ecuación:



36.

e dan los vectores descomposición del vector

Determinar la en base a los vectores en base a los vectores

14


2012

. (1$ 7uego:

(+)



37.



e dan los vectores descomposición del vector

Determinar la en base a los vectores en base a los vectores

15


2012

7uego: (+)

 Aeemplaamos en la ecuación:





Como:

38.

e conocen los vertices de un cuadrilatero 8(1,"!$ 9 (!,1$, C(#,!$ y D ("!,#$ Determinar la descomposicion del vector

tomando como

base los vectores

16


•

2012

(-)

•

Aeemplaando:  

39.


tomando como base los vectores

(-)

17


2012

Aeemplaando:



40.


tomando como

base los vectores

(-)

Aeemplaando:



18


41.

2012


tomando como base los vectores

(-)

Aeemplaando:



19


42.


2012

Determinar la descomposicion del vector

en base a los vectores

(+)

Aeemplaamos en la 1E ecuación:

43.


Determinar la

descomposicion del vector

en base a los vectores

. . .

20


(+)

Aeemplaamos en la 1E ecuación:

Aeemplaamos en :

 Como: 44.

7os vectores

+orman entre si un angulo de

abiendo que


abiendo que

Calcular

B

45.

7os vectores Calcular

21

2012


46.

7os vectores


abiendo que


abiendo que

Calcular

Aeemplaando en

47.

:

7os vectores Calcular

Aeemplaando en

:

22

2012


48.

7os vectores r

Calcular 3a

+orman entre si un angulo de r

2b

a

2012

abiendo que

2b

Aeemplaamos en la ecuación:

49.7os

vectores a y b +orman entre si un *ngulo de 1!;E. abiendo que Calcular: ( 3a + 2 b )

a



=

3

y b

=

2

50.Conociendo

los vectores

a

=

1 j

,

b

=

1i

+

2 j

y

23

c

=

3i

. Determinar:

E =

a

•b +

a



a

•

c

+

+

c



+

b



b

•

c

4

.


51.

Conociendo los vectores

52.

7os Fectores

. Determinar:

son perpendiculares entre si, adem*s el vector

de ellos un *ngulo de

2012

. abiendo que:

=

 (a$

Por ser ortogonales entre sí

Aemplaando en (a$ 24

+orma con cada uno

calcular:


53.

7os Fectores

son perpendiculares entre si, adem*s el vector . abiendo que:

calcular: De la ®unta anterior solo reemplaamos en l ecuación que nos piden =

54.

Cada par de vectores

+orman entre si un *ngulo de G;E. abiendo que . Determina el módulo de

i

55.

.

B

&ara que valores de ?m@ los vectores

son

perpendiculares entre s>.



56.

&ara que valores de ?p@ los vectores

son

perpendiculares entre s>.

25

2012


2012

 57.

abiendo que

y

determinar para que valor de ?q@ los vectores

y

son perpendiculares entre s>.

i

58.

 &or

⦁

abiendo que

dato

y

determinar para que valor de ?q@ los vectores

y

son perpendiculares entre s>.

i

59.

⦁

 &or

dato

'u5 Condición deben satis+acer los vectores

y

perpendiculares entre s>. i

⦁

&ero como todo nHmero elevado al cuadrado que

26

es

sean


60.

7os Fectores

+orman #;E entre s>. abiendo que

medida del *ngulo que +orman entre si los vectores

2012

y

. Determine la

y

. Determine la

y

30 ° 1

tiliando la +órmula para Iallar el *ngulo entre ! vectores:

61.

7os Fectores

+orman 1!;E entre s>. abiendo que


120° 5 5

27

y


2012


62.

7os Fectores

+orman G;E entre s>. abiendo que


5 60° 3


28

y y

. Determine la


63.

2012

Calcular la medida del *ngulo obtuso +ormado por las medianas traadas desde los v5rtices de los *ngulos agudos de un tri*ngulo rect*ngulo isósceles. a X

2a

a

45 °

64.

Calcular la componente del vector

65.

Calcular la proyección del vector

45 °

sobre el e)e del vector

sobre el e)e del vector

29


66.

e conocen los v5rtices de un tri*ngulo:

2012

Calcular

la medida del *ngulo interno del v5rtice C

7ey de Cosenos "! ⦁

67.

⦁


Calcular

la medida del *ngulo interno del v5rtice 9

30


2012

7ey de Cosenos "!

⦁

68.

⦁




. Calcular

la medida del *ngulo interno del v5rtice 8

7ey de Cosenos "!

⦁

69.

⦁



%l Fector de módulo

es colineal con el vector

y +orma un

*ngulo agudo con el e)e 24. Determine las componentes cartesianas del vector . y es colineal con

31


Aeemp en

, tenemos que

70.

Determine el vector

si se sabe que es perpendicular con los vectores: adem*s satis+ace a la condición:

&or dato:

(

(

(

( 32

2012


Aeemp (

2012

en:

%n (

71.


Determinar el vector

que es

perpendicular al e)e 24 y satis+ace a las condiciones:

(

(

!E(

#° Reemp (

bB"#

=E

72.

Determinar las componentes del vector

sobre el e)e

e)es cartesianos *ngulos agudos iguales. 33

que +orma con los


2012

Z

Y

&or Jr*+ica y -eor>a sabemos que para que

se pueda proyectar sobre

y mantenga la

X

igualdad de *ngulos agudos con los e)es

tiene que ser

.

&iden Iallar

73.

Dado los vectores se sabe que

es paralelo a

se cumple que: i

y

adem*s

determinar las expresiones vectoriales de

.

34

y


74.

7os Fectores

+orman entre si un *ngulo de #;E. abiendo que

Calcular

75.

abiendo que

, adem*s

76.

abiendo que

, adem*s

35

. Calcular

. Calcular

2012

.


77.

abiendo que

, adem*s

&artimos del origen

2012

. Calcular y

Nos piden

78.

abiendo que

, adem*s

&artimos del origen

. Calcular y

Nos piden

79.

7os vectores ( a + 3b ) × ( 3a 



−

a y b 2b

)

+orman 1!;E entre s>. abiendo que:

2

36

a

=

1

y

b

=

2

. Calcular:


2012

Aeemplaando en la ecuación: 1!1( 80.

Dado los vectores A = 3 i − 1 j − 2 k y vectoriales de: a × b

B

=

1i

+

2 j

−1

k determinar

las componentes

Aeemplaando la ecuación en el problema:

81.

Dado los vectores A = 3 i − 1 j − 2 k y vectoriales de: ( a + b ) × b

B

=

1i

+

2 j

−1

k determinar

las componentes

82.

Dado los vectores A = 3 i − 1 j − 2 k y vectoriales de: ( 2a − b ) × ( 2a + b )

B

=

1i

+

2 j

−1

k determinar

las componentes

37


2012

(!

83.

Dados los vectores:

determinar las componentes

vectoriales de

84.

e conocen los vertices de un cuadrilatero: 8(!,"1,!$, 9(1,!,"1$ 6 C(#,!,1$, determionar las componentes vectoriales de

$

85.

e conocen los vertices de un triangulo: 8(!,"1,!$, 9(1,!,"1$ y C(#,!,1$ determinar las componentes vectoriales de: 38


2012

$

86.

e conocen los vertices de un triangulo 8(1,!$, 9(K,G$ y C(L,!$ calcular la longitud de la altura ba)ada desde el vertice 9 al lado 8C. 8A%8 D% N -A8NJ72:

%l *rea del tri*ngulo 89C, es igual a la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores

87.

e conocen los v5rtices de un tri*ngulo 8 (1,"1,!$, 9 (,"G,!$ y C (1, #,"1$ calcular la longitud de la altura ba)ada desde el v5rtice 9 al lado 8C. 8A%8 D% N -A8NJ72:

%l *rea del tri*ngulo 89C, es igual a la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores

39


88.

7a +uera

2012

esta aplicada al punto 8 (!,"1,"!$ Determinar el torque de

esta +uera respecto al origen de coordenadas. abiendo que

donde

es

el vector posición.

89.

7a +uera

esta aplicada al punto 8 (=,"!,#$ Determinar el torque de

esta +uera en el punto 9 (#,!,"1$. abiendo que

donde

es el vector

posición.

90.

7a +uera

esta aplicada al punto 8 (!,"1,1$ Determinar el torque de

esta +uera respecto al origen de coordenadas. abiendo que el vector posición.

40

donde

es

PROFESOR: WALTER PEREZ TERREL / PROBLEMAS DE VECTORES 91.

Dados los vectores

92.

e dan las +ueras F1

2i 1j 3 k , F2

cosenos directores de F1 F2 F1

93.

F2

2012

3i

2 j 1k y F3

4i 1j 3k , determinar los

3i

2 j 1k y F3


F3

F3


2i 1j 3 k , F2

cosenos directores de

F1

F2

F3

41


94.


2i 1j 3 k , F2

cosenos directores de F1

F1

95.

F2

F3

F2

F2

F3

3i

2 j 1k y F3

2012


F2

B

e conocen los v5rtices de un tri*ngulo: *rea de la región triangular.

%l *rea del tri*ngulo es:

42

. Calcular el


2012

Aeemplaando:

F 3i 2 j 1k F3 4i 1j 3k est*n aplicadas en el +ueras F1 2i 1j 3 k , 2 y punto 8 (!"1"!$. Determinar el torque que produce la +uera resultante respecto del origen de coordenadas.

96.7as

F 3i 2 j 1k F3 4i 1j 3k est*n aplicadas en el +ueras F1 2i 1j 3 k , 2 y punto 8 ("1 = "!$. Determinar el torque que produce la +uera resultante respecto del punto 9 (! # "1$.

97.7as

43


98.

%l

vector

de

módulo

!G

es

perpendicular

a

los

2012

vectores

adem*s +orma con el e)e 26 un *ngulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de

%l vector

.


%l vector unitario en la dirección de

es

7uego

99.

%l

vector

de

módulo

#L

es

perpendicular

a

los

vectores

adem*s +orma con el e)e 26 un *ngulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de .

%l vector


44


2012

%l vector unitario de

100.

%l vector

de módulo 1 es perpendicular al e)e 24 y al vector

y,

adem*s +orma con el e)e 23 un *ngulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de

%l vector

.


%l vector unitario en la dirección de

101.

es

Determina las componentes rectangulares del vector

a los vectores

%l vector

, sabiendo que es perpendicular

adem*s satis+ace a la condición

es colineal con

45


Debido a que

2012

es colineal con , se cumple:

%l valor de a es negativo, entonces

102.


103.


tienen sentidos opuestos

. Calcular

. Calcular

46


104.


2012 . Calcular

B

105.


vector unitario

. Determinar el

contenido en el plano +ormado por los vectores

adem*s que sea

perpendicular al vector allando

%l vector solicitado debe ser perpendicular a

106.

. &or lo tanto debe ser colineal a


. Determinar

47


107.


108.


109.

7os vectores

que el vector

2012

. Determinar

. Determinar

+orman entre s> un *ngulo de módulo # es perpendicular a

adem*s

abiendo

, Calcular

%ntonces ol: 110.


Determinar

48


2012

7uego

111.


112.

e

dan

los

vectores

coplanares los vectores &or propiedad si

. Determinar

/on 0

son coplanares se cumple que:

i son coplanares 113.

e

dan

los

vectores

coplanares los vectores &or propiedad si

/on 0

son coplanares se cumple que:

No son copln!es"

49


114.

e conocen los cuatro puntos:

2012 /on

coplanares estos cuatro puntos0 %ntonces:

&or de+inición:

115.

e conocen los cuatro puntos:

/on

coplanares estos cuatro puntos0 Datos:

%ntonces:

&or de+inición:

50


116.

2012

Determinar el volumen de un tetraedro cuyos v5rtices est*n en los puntos .

Folumen del tetraedro:

%ntonces:

allando el volumen:

117.

e tiene un tetraedro cuyos v5rtices son

.

Calcular la longitud de la altura ba)ada desde el v5rtice D al plano 89C. &ara ello:

%ntonces: 51


2012

&ara:

118.

%l volumen de un tetraedro es  unidades cHbicas, tres de sus v5rtices est*n en los

puntos:

Determinar las coordenadas cartesianas del

cuarto v5rtice, D, si se sabe que est* contenida en el e)e 26. ea: %ntonces:

&or el volumen:

119.

Determinar el volumen en unidades cHbicas del paralelep>pedo construido sobre los

vectores concurrentes

52


2012

allando el volumen: &rimero:

7uego:

120.

Determinar el volumen en unidades cHbicas del paralelep>pedo construido sobre los

vectores concurrentes

, donde ?m@ es un nHmero real.

allando el volumen: &rimero:

121.

e

tiene

un

plano

P

cuya

ecuación

Determine

el

unitario perpendicular al plano. aciendo intersección se tiene: 53

es: vector




2012



%ntonces:

122.

e tiene un plano

P

cuya ecuación es:

Determine el vector

unitario perpendicular al plano. aciendo intersección se tiene: 

 B

C

%ntonces:

54

A


123.

Descomponer el vector

2012

en dos componentes rectangulares en las

direcciones perpendicular y paralela al plano

P cuya

ecuación es:

aciendo intersección se tiene:

B

C A

%ntonces:

55


124.

na +uera

2012

(en netons$ actHa sobre un bloque que logra

desplaarlo desde la posición

Iasta

Determinar la cantidad de

traba)o que realia la +uera sobre el bloque cuando se desplaa desde 8 Iasta 9. %l traba)o se calcula multiplicando escalarmente la +uera por el desplaamiento:

7as coordenadas est*n expresadas en metros y el traba)o se mide en )oules ($. allar:

125.

%ntonces:

na +uera

(en netons$ actHa sobre un bloque que logra

desplaarlo desde la posición

Iasta

Determinar la cantidad de

traba)o que realia la +uera sobre el bloque cuando se desplaa desde 8 Iasta 9. 7as coordenadas est*n expresadas en metros y el traba)o se mide en )oules ($. allar:

%ntonces:

126.

e muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. %n el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación:

1

Del gr*+ico: 56


a.

b.

c.

d.

e.

+. 57

2012


g. abiendo que

, donde m y n son nHmeros reales. Determine (mOn$.

%ntonces: O

I. abiendo que

, donde r y s son nHmeros reales. Determine (rOs$.

%ntonces: O

i.

abiendo que

2012

, donde m y n son nHmeros reales. Determine (pOq$.

%ntonces:

58


2012

O

127.

e muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. %n el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación:

#



$ c

Del gr*+ico:

a.

b.

c.

59

Problemas de Fisica

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