1. Encontrar en el eje de ordenada un punto que diste 5 unidades del punto P = (–3, 1).
A)
2
A) (0, 2) E) (0, 6)
D)
3 2 2
B) (0, 3)
C) (0, 4)
D) (0, 5)
2. Encontrar en el eje de abscisas un punto equidistante de los puntos P = (–1, 0) y Q = (7, –4) A) (2, 0) E) (5, 0)
B) (3, 0)
C) (4, 0)
D) (4, 1)
3. Desde el punto A = (–3, 1) se han trazado un segmento al punto B = (4, –2). ¿Hasta qué punto es necesario prolongarlo en la misma dirección para que se duplique su longitud? A) (11, 5) D) (12, 5)
B) (11, 5) E) (10, 5)
B) 2 2
C)
2 2
2 4
E)
8. El segmento cuyos extremos son los puntos: A = (–2, 3) y B = (4, –1), está dividido en tres partes iguales. Halle el punto de trisección interior y cerca al punto B.
A) 2, D) 2,
2 3 21 3
B) 1, E) 3,
2 3 1 3
1 C) 2, 3
9. En la figura, si P es un punto tal que el área del triángulo es cinco veces el área del triángulo , calcular la longitud de P
C) (11, 4)
Y (0, 6)
4. Dado los puntos A = (2, 5), B = (9, 2) y C = (–3, 4), encontrar un punto D tan que su abscisa sea negativo y de tal manera que ABCD sea un paralelogramo. A) (11, 7) D) (10, 6)
B) (11, 6) E) (12, 7)
P
C) (10, 7)
5. Hallar el punto Q que divide al segmento AB , A = (1, 2) y B = (9, 7) en la razón 3:2 A) (, 5) D) (, 5)
B) (6, 5) E) (29/5, 6)
C) (29/5, 5)
30° B) 36
5 10 3
C) 54
tiene
los
C) 10
vectores
a r p,
Y
6 3 30°
B)
p X D) 81/2
60°
q O
7. Halle la longitud de la mediana del lado PQ en el triángulo cuyos vértices son P = (3, 7), Q = (–4, 0) y R = (1, –4).
X
b tq,
c 3, 2 3 . Calcular || b || si: c r p tq,
a
9 3
A) 9 E) 81
D)
10. Se
Y b
5 10 2 5 10 E) 4
A) 5 10
6. En la figura, dados los vectores a y b . Determine: a.b
O
( 10, 0)
A)
6
D) 4 6
B) 2 6 E) 3 6
X C) 3 6
Dados los vectores u a, b , v 2b, c ,
11.
u v 1, 1 , si u / / v . Calcular: abc A) 0
C) 1
B) 1
E) 2
D) 2
12. Dado los puntos A(2, 8), B(–1, 3) y C(3, 6). Halle el área del triángulo ABC 7 2 u 2 13 2 D) u 2
A)
B)
9 2 u 2
E) 12u
C)
11 2 u 2
2
13. Dado un segmento AB = 10u, que es paralelo al vector (–3, 4), además A(4, 2). Halle la suma de las componentes de las coordenadas del vértice B. A) 6
B) 8
C) 10
D) 7
19. Se tiene un cuadrado ABCD, A(2, 3), B(6, 7). Halle las coordenadas en el segundo cuadrante del vértice D. A) (2, 5) D) (1, 6)
20. Dado un triángulo equilátero ABC, A(–6, –2), B(2, –8), halle la coordenadas positivas del vértice C
C) 3 3 2, 4 3 4 E) 3 3 2, 4 3 5 A) 3 3, 4 3
21. Si:
A)
7 2
B)
27 5
C)
28 5
D)
29 5
E) 6
15. Dado el cuadrado ABCD cuya diagonal BD es paralelo al vector (–7, 1), si A(3, 0) y B(7, 3); halle las coordenadas del vértice D A) (0, 4) D) (1, 4)
B) (0, 4) E) (0, 3)
B) () E) (3, 0)
C) (1, 4)
B) () E) (6, 3)
B) () E) (3, 10)
y
|| a || 2, || b|| 5, || c|| 6 .
3 2
C)
1 2
D)
9 2
E) 6 t , si s
c ta sb , halle el valor de
A)
12 25
23. En
B) la
25 12
C)25
figura:
D)12
E)
|| OP || 8.
TP / /OX ,
24 25
Si:
OT mOP nOP . Calcular: m + n
Y T
P
C) (3, 6)
45° 30°
C) (7; 3)
18. En un rectángulo ABCD de área 50u2, calcular las coordenadas positivas del vértice C, si A = (8, –1) y B = (0, 5). A) (2, 8) D) (3, )
D) 3 3 1, 4 3 5
17. En un cuadrado ABCD de centro P =(3, 1) y C = (7, 5), halle las coordenadas del vértice D. A) (7, 1) D) (6, 2)
3 2, 4 3 3
c a b , donde a 3, 5 y b 2, 2
16. En un rectángulo ABCD de área 64u2, calcular las coordenadas del punto D, si la abscisa de D es positiva, B = (9, 12) y C = (1, 4). A) (4, 0) D) (5, 0)
3
B)
a b c 0,
B)
22. Sea
26 5
C) (
Calcular: a.b
E) 9
14. Halle la suma de sus coordenadas del punto M sobre el segmento QP tal que: 5PM 2 PQ , si: P(3, 5) y Q(9, –7) A)
B) (2, 6) E) (1, 7)
X
O A)
7 2
B)
3 2
C)
1 2
D)
9 2
E) 6
24. Halle el área del triángulo cuyos vértices son: A = (3, 2), B = (3, 2) y C = (4, 5)
C) (4, ) A) 20u2
B) 21u2
C) 22u2
D) 23 u2
E) 24u2
25. Calcular
|| a b || ,
si
|| a || 13 ,
|| b || 19
y
|| a b || 24
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
A) (4, 4) D) (4, 5)
B) (3, 3) E) (5, 4)
C) (5, 5)
33. Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas diagonales tiene por extremos los puntos A = (3, 4) y C = (9, 16), si los lados de mayor longitud son paralelos al vector (1, 1); determine el vértice B.
26. Los vectores a y b forman un ángulo de 60°, si sabe además que: || a || 5 y || b || 8 . Determine: || a b ||
A) 7
B) 6
C) 5
D) 8
E) 9
A) (12, 16) D) (14, 16)
B) (12, 14) E) (12, 18)
C) (13, 16)
34. Los vértices de un triángulo ABC son: A = (), B = (5, 10) y C = (14, 34). Halle la pendiente de la bisectriz interior trazada del vértice A.
27. Los vectores a y b forman un ángulo de 45°,
|| a || 3 y a b a . Halle: || b || A)
2
B)
C) 2 3
3
A)
D) 3 2
1 1 D) 1, , 2 2
1 1 B) 1, , 2 2 1 1 E) 1, , 2 2
B)
2 1
C)
2 1
D) 2
E)
E) 3 3
28. Halle el vector x que es paralelo al vector a 2, 1, 1 y satisface la condición a. x 3 A) 2,1, 1
2
1 1 C) 1, , 2 2
1 2
35. Dado un rectángulo ABCD, A = (2, 4), D = (6, 1) y la diagonal AC es paralelo al vector (4, 3). Halle las coordenadas del vértice C. 114 103 , Rpta: 7 7 36. En el segmento AB, A = (2, 2) y B = (6, 8) encontrar un punto P que diste 5 unidades del punto B
29. Dado el vector a 3, 4 , halle el vector b , tal
A) (2, 4)
que sea perpendicular a a y || b || 10
37. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P = (0, 1), Q = (3, 5) y R = (1, 2). Halle las coordenadas de los vértices.
A) 8, 6
B) 8, 6
D) 8, 6
E) 8, 6
30. Calcular el ángulo a 12, 2 y b 3, 3
A) 30°
B) 45°
C) 60°
C) 8, 6
entre
los
vectores:
B) (1, 5)
C) (2, 4)
A) (4, 5), (4, 8) y (5, 6) C) (4, 4), (6, 2) y (4, 9) E) (4, 3), (3, 6) y ()
D) (3, 5) E) (1, 4)
B) (4, 4), (2, 6) y (4, 2) D) (4, 4), (6, 2) y ()
38. Si: a b c 0 y || a || 3 , || b || 5 y || c || 7 . D) 90°
E) 120°
Determine el ángulo que forma los vectores a y b Rpta: 60°
31. El ángulo entre a y b es 150°, || a || 3 y || b || 5. Los vectores a y b tienen la misma longitud y forman
Calcular: || a b || A) 34 15 3 D) 17 15 3
B) 34 15 3 E) 17 30 3
C) 17 15 3
32. El vértice A = (1, 6) es uno de los vértices del cuadrado ABCD cuyo centro es el punto P(3/2, 5/2), halle el vértice D que está en el primer cuadrante.
un ángulo de 60°, si la longitud de a b es 4 unidades mayor que la longitud que uno de ellos. Halle || a || Rpta: 2 3 39. En la figura ABCD es un cuadrado y ABE es un triángulo equilátero, si A = (4, 9) y B = (12, 3). Halle la ordenada del punto E.
E Y
D) 1, 3 3 A) 1, 2 3
A
1 B) , 3 3 2
E) 2, 3 3
C) 0, 3 3
43. En la figura, calcular el vector FD
Y
B
D
D 3
X
O
G
C B) 6 3
A) 6 4 3
4
D) 3 3
C) 3 3 3
F
E) 6 3 3
P(12, 5)
40. En la figura: a b 3, 3 , si || a || m y || b || n . Halle: m + n
Y
a
b
X
O 33 56 Rpta: FD = , 13 13 44. Dado el gráfico ABC, donde
|| AB || 4
y
AC || AC || 7 . Halle: CompBC
B
60°
30°
X
O
120°
Rpta: m n 3 3 41. En el hexágono regular de la gráfica, de lado a. Si: M a b c d . Calcule: || M ||
d
c
b
a Rpta: || M || 2a 42. Halle el centro de gravedad de un hexágono regular ABCDEF si A = (2, 0) y B = 5, 3 3 son dos
de sus vértices adyacentes.
AC Rpta: CompBC
A 21 93 31
C
1. El complemento del suplemento de un ángulo es igual al doble del suplemento del doble. Halle la medida del ángulo. A) 72°
B) 80°
C) 90°
D) 60°
4 m AOB 3 Calcule la medida del ángulo COD
C) 120°
D) 140°
E) 135°
3. En la figura A y B son puntos medios de los lados del cuadrado, halle x, si ABC es un triángulo equilátero.
A) 97,5º B) 122,5º C) 127,5º D) 120º E) 137,5º
C
A 70º
B
B) 75º C) 80º D) 85º
x
30º
E) 90º
L2
8. En la figura determinar el menor valor entero expresado en grados sexagesimales que puede tomar “x”
A) 36º B) 35º C) 44º D) 37º E) 46º
y 2x - y
x+y
9.A) En 30ºla figura: m // n, calcule x
B) 15º C) 20º D) 40º E) 10º
x
x
q
q 40º
m DOA
B) 110°
L1
E) 85°
2. Alrededor de un punto y en un mismo plano se trazan los rayos consecutivos OA, OB, OC y OD de tal manera que: 1 1 m BOC m AOB COD 3 4 y
A) 90°
7. Si L1 // L2. Calcule el ángulo xº
60º x
A
45º
4. Si m / / n , calcular x 118°
A) 90° B) 70° C) 68° D) 96° E) 86°
m x
S + SS2 + SSS3 = 300°
q
156°
A) 10°
q n
5. Tres ángulos consecutivos situados a un mismo lado de una recta están en progresión aritmética. Si el complemento del menor y el suplemento del mayor están en la relación de 4 a 11. Calcular la diferencia entre el mayor y el menor. A) 30°
10. Si: S suplemento Calcular ° en:
D) 40° E) 50°
11. Si: S suplemento y C complemento Simplificar: M = SCSCSC
SCx
n veces
A) 45n + x D) 90n + x
B) 60n + x E) 0
C) 30n + x
B) 15° C) 10° D) 20° E) 25°
6. Si “4x + 48” es un ángulo no convexo, ¿Cuántos valores enteros tomaría x?
x x´ x g x m m se obtiene: 12. Al calcular E x´ x A) 160
A) 42
B) 20° C) 30°
B) 43
C) 44
D) 45
E) 46
B) 161
C) 162
D) 163
E) 164
13. Al calcular se obtiene 1 2 3 2012 E 1rad 2rad 2012rad A)
B)
C)
200
D)
180 14. De la figura calcular el valor de x
2
19. A un sector circular de área 100, se le aumenta su radio en 20% y se le disminuye su longitud de arco en 40%. Obtener el área de este nuevo sector. E)
A) 36
380
B) 54
C) 53
D) 72
E) 81
20. En la figura AOB y CBO son sectores circulares L con centro en O y B respectivamente. Calcular 1 L2
A) q B) q C) q D) q E) q
q
x
15. Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, simplificar: CS 5S 2C J 1 CS CS
A) 1
B) 3
C) 2
D) 4
E) 5
A) 12 m
O
C) 12 3 m D) 12 4 m
6m
E) 6 m 3
30°
17. En la figura, calcule el espacio que recorre la masa m que recorre desde “A” hasta “B”. Datos: BC =4m; CD = 2m
L1
40°
A) 1,68 m B) 1,67 m C) 1,66 m D) 1,65 m E) 1,63 m 22. De la figura, se tiene el cuadrante AOB, siendo O, A y B centros de los arcos AB, OQ y OP respectivamente: AO = OB = 6m, calcular el perímetro de la región sombreada.
A A) m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m
A) m 30°
C) 3 m
150g
D) 4 m
C
E) 5 m
A
B
18. Reducir: E = A) 71
B) 72
R P Q
O
m
B
23. Se tiene dos ruedas en contacto exteriormente, si los radios de dichas ruedas miden 4 y 8m, y el ángulo que gira la menor es de 240o, calcular el ángulo de giro la mayor rueda.
220´ 3g10m m 14´ 5 C) 73
B
O
D
B) 2 m
A
L2
21. La figura muestra un montacarga con un tambor de 60cm de diámetro, si el montacarga gira 7/4 rad, entonces la carga se eleva aproximadamente a una altura de: ( = 3,1416)
16. En la figura halle el perímetro de la región sombreada. B) 12 2 m
A) 4/7 B) 7/4 C) 3/7 D) 7/3 E) 5/7
D) 74
E) 75
A) 60°
B) 90° C) 120° D) 240°
E) 300°
24. ¿A cuánto equivale
1 del ángulo de 1 vuelta en 5
a AC , se toma un punto R, de modo que, el ARM sea equilátero. Hallar la medida del ángulo MRC.
cada sistema? A) 30º; 50g;
B) 60º; 70g;
rad
5 2 C) 72º; 80g; rad 5
D) 64º; 70g;
3 rad 5
5
A) 52°
B) 12º6’36” E) 12º18’ 54”
C) 12º16’18”
S S3 26. Calcular M 2 S1 Donde, S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas.
S2 S1
S3
m m n n
A) 2b + a = 360º C) 4b + a = 540º E) b + 2a = 180º
x qq
y z
q
B 108°
x
24° F
C
33. Calcular x, si: + q = 124°
p p
B) 3b + 2a = 240º D) b + a = 180º
mm
A) 56° B) 72° C) 62° D) 66° E) 48°
28. Calcular x y, en el gráfico mostrado
A) 40° B) 80° C) 20° D) 30° E) 45°
E) 58°
31. Una recta perpendicular a la base AC de un triángulo isósceles ABC, intersecta en M a AB y en N a la prolongación de CB . Si AM = a y NC = b, calcular: BC ba ab A) B) C) a + b 2 2 b ab D) a E) 2 2
A
q
x
y
q
x q
q
160°
29. “M” es punto interior del ABC, equilátero, tal
A) 150° B) 180° C) 240° D) 175° E) 205°
A) 12° B) 24° C) 36° D) 15° E) 30°
a
b
D) 68°
32. Calcular x, si AF = BF + BC
27. Del gráfico, halle la relación correcta.
q
C) 48°
30. Calcular x + y + z, en el gráfico mostrado
rad
25. Calcular: M = 12,311º 3,6” A) 12º18’24” D) 12º18’36”
B) 62°
que: MAC = 24° y MBC = 28°. Exteriormente y relativo
34. El ángulo exterior B, de un triángulo ABC, mide 62°. Las mediatrices de AB y BC, cortan a AC en los puntos E y F, respectivamente. Hallar la medida del ángulo EBF. A) 56°
B) 62°
C) 52°
D) 66°
E) 64°
35. Determinar el menor ángulo de un triángulo rectángulo, si la altura relativa a la hipotenusa determina sobre este segmento que se encuentran en la relación de 1 a 3. A) 15º
B) 30º
C) 22º30´
D) 45º
E) 26º30´
36. El ángulo A de un triángulo isósceles ABC mide 120º. Calcular el valor de la bisectriz BR si se sabe también que la altura relativa al lado AC mide 3 2m. A) 3m
B) 2m
C) 4m
D) 6m
E) 8m
37. En un triángulo rectángulo la distancia del ortocentro al baricentro es 5m. ¿Cuánto mide la hipotenusa? A) 8m
B) 9m
C) 10m
D) 12m
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 44. Hallar: a º bº cº d º eº
c b
A) 180° B) 270° C) 360° D) 540° E) 720°
C) 13/4
D) 13/6
E) 13/5
39. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide 30°, calcular la m HIK , siendo: H ortocentro; I incentro y K circuncentro A) 90°
B) 105°
C) 120°
D) 135°
E) 150°
40. En un triángulo acutángulo la distancia del circuncentro al ortocentro es 24, calcular la distancia del ortocentro al baricentro del triángulo mencionado. A) 8
B) 16
C) 12
D) 15
E) 13
41. Calcular la distancia del incentro de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) al excentro BC, si se sabe que la distancia del incentro al vértice C es de 2 A) 3
B) 2
C) 4
D) 2,5
E) 3,5
42. Del punto medio M del lado AB de un triángulo equilátero ABC se traza la perpendicular MP a AC y de P la perpendicular PQ a BC. Calcular PQ si el lado del triángulo dado mide 2 3. B) 2
C) 2,75
D) 2,5
B) 54º
C) 72º
D) 48º
E) 45º
46. En un triángulo ABC, se conoce que m B = 124º, una bisectriz exterior es paralela a uno de los lados del triángulo. Calcular la m IAH . Si: I Incentro del ABC H ortocentro del ABC A) 34º
B) 33º
C) 42º
D) 46º
E) 48º
47. Hallar uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si la mediana relativa a la hipotenusa es perpendicular a una bisectriz interior de uno de los ángulos agudos. A) 15° B) 37° C) 45° D) 60° E) 53° 48. Si ABC es un triángulo rectángulo, recto en B, AD bisectriz. Hallar BM, si DB = 3 y DC = 7
B A) 10 B) 7 C) 4 D) 3 E) 6
D M C
A
49. En un ABC, AB = 12, m A = 78° y m C = 39°; la mediatriz de BC corta a AC en el punto E. Hallar EC A) 6
A) 2,25
e
a
45. En un triángulo ABC, se sabe que: m EIC m IEC 36º Si: I Incentro del ABC EExcentro del ABC relativo al lado BC. Calcular la m ABC . A) 36º
B) 13/3
d
E) 15m
38. Determinar la distancia del circuncentro al baricentro en un triángulo, sí sus lados miden: 5, 12 y 13. A) 13/2
E) 8
B) 9
C) 12
D) 15
E) 8
E) 3,5
43. Por el baricentro de un triángulo ABC se traza PQ ( P AB y Q AC ), tal que: AP = 10 y 3.AQ = 5.QC, calcular PB.
50. En un triángulo isósceles ABC, “M” es punto medio de AB y AC es la base. Se traza MQ AC (Q en AC). Si AQ = 2. Hallar QC A) 4 B) 6 C) 8 D) 2 E) 3
1. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética. El coseno del mayor ángulo agudo de ese triángulo es: A)
3 2
B)
3 4
C)
1 2
D)
3 5
E)
4 5
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), reducir: A C H b c Tan a b Tan 2 2 A) c
B) b + c
C) a + b
D) a + c
E) a.c
x 7o Calcular: Cot 2 A) 2 3 B) 2 3 D) 4 3 E) 5 3
C) 1 3
8. Siendo x un ángulo agudo, se cumple que: Sen Cot Secx .Csc Tan Secx 1 8 3 Calcular: Tanx A)
22 11
B)
23 11
C)
2 6 11
D)
26 11
29 11
E)
Del gráfico, calcular: P = Sen2
3.
9. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C). Calcular: a b M A B aCot bC ot 2 2
2
A) 9/14 B) 2 C) 1/2 D) 9 E) 5
7
A) 1/2 4.
Del gráfico, hallar: TanTan
A) 1 B) 1/2 C) 3 D) 4 E) 2
C) 1
B) 1
D) 2
E) 2
10. Una semicircunferencia de radio
3 1
se
divide en treinta arcos iguales. Calcular la proyección del arco comprendido entre la quinta y décima división sobre el diámetro horizontal.
A)
1 4
B)
1 2
C) 1
D)
5 4
E) 2
11. Del gráfico obtener: Tan, si OP / /TQ 5. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 51m y la tangente de uno de los ángulos agudos del triángulo es 8/15, calcular (en m) el perímetro del triángulo.
A)
A) 80m
C)
B) 90m
C) 100m
D) 110m
E) 120m
D)
6. Determinar: Cot, en: A) 2 2
E)
B) 2 1 C) 2 2 1 D) 2 2 1 E)
R
1 4
R 7.
B)
Siendo x ángulo agudo se cumple que: Sen(x + 21º)Tan(x + 22º) = Cos(69º – x)
1 7 2 7 3 7 4 7 5 7
T
O
Q
53° P
12. Las bases de un trapecio isósceles son B y b. Si los lados no paralelos forman con la base mayor un ángulo , halle el área del trapecio.
Bb A) Tan 2 B 2 b2 D) Tan 4
B2 h2 B) Cos 2 E)
Bb Tan 4
C)
Bb Sen 2
13. Desde la parte superior e inferior del segundo piso de un edificio de cuatro pisos iguales, se observa una piedra en el suelo y a una distancia de 12m con ángulos de depresión y respectivamente. Desde la parte mas alta del edifico la depresión angular para la piedra es . Si se conoce que:
1 Tan Tan Tan = 4 La altura del edificio es: A) 6m
B) 10m
C) 9m
D) 8m
E) 12m
14. Los ángulos de elevación de la cúspide de una torre, vistos desde 2 puntos situados en línea recta y a un mismo lado con el pie de la torre son de 45° y 30° respectivamente, si la distancia entre los puntos de observación es de 60m, la altura de la torre (en m), es: A)
60 3
B)
60 60 C) 3 1 1 3
32 60
D)
E)
3 60
15. La elevación de una torre desde un punto A al oeste de ella es de 60° y desde un punto B al sur de A, la elevación es de 30°. Si la torre tiene 75m de altura. Determinar la distancia comprendida entre A y B. A) 50 6 B) 30 3
C) 20 6
D) 30 2
E) 90
16. Si se cumple que: CosxCscy + Cot26º30´ = Cot18º30´ siendo x e y ángulos agudos, calcular el valor de: x y x y W Sen Cos TanxTany 2 3 6 3 2 6 2 A) B) C) D) E) 4 4 4 2 2 17. Calcular el valor de:
4Cos36 9Sen54 Sec36
M=
A) 13
Cot18.Cot 72
B) 13
C) 5
D)
5
A) 1
1 1 B) 2
C) 3
D) 4
M= A) –2
Cot 360 x Tan 450 x Tan 270 x Cot 180 x
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
20. Si: Tan = 2 Calcular: Sen Cot 270 Sec 180 M= Cos 360 Tan 270 Csc 180 A) 1 B) 2 C) 4 D) –3 E) –4 21. De la figura calcular: M = 4Cot.Cot Y
1 A) 25 B) 31 C) 33 D) 35 E) 37
4
X
22. A partir del gráfico, calcular Tan, siendo ABCD un cuadrado de lado 2m 7 A) Y 2 C N D 3 B) 2 3 C) 2 7 D) 2 X A ( 3; 0) B 2 E) 7 23. Calcular dos ángulos coterminales que están en la relación de 1 a 6, sabiendo que su suma está entre 2520° y 3228°
E) 3
18. Sabiendo que “” y “” son complementarios, además: Sen Sen Cos Cos 0 Evaluar:
19. Simplificar:
E) 5
A) 532°, 2592° D) 432°, 2592°
B) 432°, 2692° E) 504°, 3228°
C) 452°, 2592°
24. Hallar la medida de dos ángulos coterminales que están en la relación de 3 a 5, y la suma de ambos están comprendidos entre 4032° y 4608° A) 1320° D) 1610°
B) 1240° E) 1840°
C) 1620°
2 , calcular 3 Sen 180 Cos 90 Tan 1260 M= Cos 270 Sen 540 Tan 450
25. Si: =
A) 4 3
B) 3
C) 3 3
D) –3
E) –1
26. Del cuadrado ABCD que se muestra, obtenga: Tan Y
A) 0,5 B) 0,1 C) 1 D) 2 E) 3
D
C
A
B
X
y
C) –0,4
D) –0,2
Cosx Sen
B) –n
B) 2
M = Cos 4 7 A) 3
12
B)
31 C) 22
C) n
C) 3
5 7 11 Cos 4 Cos 4 12 12 12
Cos 4
7 2
E) –0,1
11
35 D) 22
D) 3n
D) –1
E) –24
C)
7 4
7 5
D)
E)
7 9
33. Simplificar: 3 3 13 Tan x .Cos x x .Sec 2 2 2 5 Csc x 4 .Sen x .Cot x 2 2
A) 2 2
37 E) 22
E) 2n
30. Simplificar: Sen 120 Cos210 Sec300 M= Tan 135 Sec 225 Sec 315 A) 1
32. Calcular:
D) –13
B) Cosx E) Tanx
C) Tanx
1 3
+=
y
2
Calcular: Tan(2 + 3)
29. Si: Tan10° = n, expresar E en términos de n, donde: E = Tan40° + Cot80° + Tan130° A) –2n
C) –10
B) 1
Sen(3 + 2) =
28. Halle el valor de “x” del IIIC y menor que una vuelta de modo que:
27 29 A) B) 22 22
A) 0
34. Sabiendo que:
x
Calcular el valor de: Sec x y Cosx Cosy H= x y Csc Senx Seny 6 B) –0,5
16Tan2397° – 9Sec4210° –(2Cot315°)3
A) Secx D) Cotx
27. Según la figura:
A) –0,6
31. Simplificar:
E) –2
C)
B) 2 2
2 4
D)
35. El valor de la siguiente expresión: 7 Sen Sen 12 12 7 Cos Cos 12 12 Es igual a: A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 36. Reducir al segundo cuadrante: A) Sen170° D) –Sen100°
B) –Sen170° E) –Cos160°
2 4
E) 2
E) –2
Sen280° C) Sen100°
37. Simplificar: Sen 4 x Cos 4 x Sen 6 x Cos 6 x R= 2 2 SenxCosx 3 3SenxCosx
3 2 2 3 6 3 2 2 3 D) 6 A)
2 3 6
B) E)
1 6
C)
2 2 3 3 6
46.
2 Sen 3Sen Csc 2Cos 3 3Cos Sec 3
38. Simplificar:
F=
A)Tan3 D) Tan
B) Cot3 E) Cot
A) Tanx
C) Tan3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
40. Siendo: Senx – Cosx = m Halle: P = Tanx + Cotx + Secx – Cscx A) 1 m
B) 1 m
1
D) 2 1 m
C) 2 1 m
1
Halle: M = Senx + Cos4x B) 1/2
C) Sen2x
D) Cos2x E) 1/2
42. Elimine las expresiones trigonométricas: a2Sec2x = b + a2Tan2x A) a2 b = 1 D) a2 b = 0
B) a2 + b2 = 0 E) a – b2 = 1
C) b = a2 + 1
B) m3 + 1 = n2 E) m – n3 = 1
C) m3 – n2 = 0
44. Si: m = Senx.Secy n = Cosx. Secy p = Cscz. Coty q = Cotz. Coty
C) Sen2y
D) Cos2y
E) 1
45. Reducir: M = (Senx + Cscx)2 + (Cosx + Secx)2 – (Tanx + Cotx)2 A) 3
B) 5
A) 1
A) 2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 1
C) 4
D) 8
E)
2
50. Sabiendo que: F(n) = (Senx)2n + (Cosx)2n – n Sen2x Cos2x Reducir: M = F(1) + F(2) F(3) (Tanx + Cotx)2 C) 1
B) 1
51. Sabiendo que:
E) 2
D) 2
1 Senx Cosx n; 1 Senx Cosx
n 1
Halle: Senx 2n n n 2n A) B) C) 2 D) 2 2 2 1 n 1 n n 1 n 1
A) 1
(m2 + n2 1)(p2 q2) B) Cot4y
81 9 9 18 81 B) C) D) E) 49 7 14 7 98 48. Reducir: Tan 2 x Cot 2 x 7 Tan 2 x Cot 2 x 1 M= Tanx Cotx 3 Tanx Cotx 1
A)
n2 1 E) n
52. Simplificar: 1 1 1 1 M= 2 2 2 1 Sen x 1 Cos x 1 Sec x 1 Csc 2 x
Calcular: A) Tan4y
2 7 Determinar: E = (1 + Senx)(1 – Cosx)
A) 0
43. Si: SenxCosx = m3; Senx – Cosx = n, la relación entre m y n es: A) 1 – n2 = 2m3 D) n – m2 = n3
E) 1
49. Hallar “K” de: A = (1 + Senx + Cosx)2 – 2(1 + Cosx) B = (1 + Senx Cosx)2 – 2(1 Cosx) K = AB. Csc4x
41. Si: Senx + Cos2x = 1.
A) 1
C) Cotx D) Cot
1
E) 2 1 m
1
B) Tan
47. Si: Senx Cosx =
39. Sabiendo que IC; señale el valor mínimo de: M = (Sen+ Sec)2 + (Cos + Csc)2– (Tan – Cot)2 A) 3
Simplificar: 1 Secx Tanx 1 Cscx Cotx M= 1 Tan Sec1 Tan Sec
C) 6
D) 7
E) 9
B) 2
C) 3
D) 4
E) 3/2
53. Eliminar “” aSen Cos = 1 bSen + Cos = 1 A) a – b = 1 D) a2 b2 = 1
B) a . b = 1 E) a2 b2 = 2
C) a + b = 1
1. En la figura calcular x
6. En la figura mostrada, hallar x
2x A) 36° B) 54° C) 30° D) 18° E) 20°
A) 80° B) 20° C) 40° D) 70° E) 50°
x
3x
2. Si: M, P, Q y T son puntos de tangencia. Calcular: x
x 50°
siendo: mPQ mQT = 250°
7. Si AB BC , halle x
x A) 125° B) 34° C) 175° D) 35° E) 90°
50°
A) 80° B) 70° C) 60° D) 40° E) 50°
Q T
P
C
x B 60°
A
R
M
3. Si ABCD es un romboide, halle x
8. De la figura mostrada, halle x
B
A) 25° B) 15° C) 30° D) 20° A 40° E) 40°
C x
A) 18° B) 9° C) 20° D) 30° E) 36°
x
18°
D 9. De la figura mostrada, hallar x
4. Si AB es diámetro, halle x
x A) 120° B) 60° C) 90° D) 150° E) 30°
A) 120° B) 40° C) 60° D) 100° E) 80°
40°
20°
120° A
10. En la figura mostrada, calcular x.
B
AB es diámetro y AO = OB = MN = NC. Calcular x 5. Si
A ) 30º B ) 45º C ) 60º D ) 53º E ) 37º
x
P
M 3x
x A
O
N B
x
F
A) 20º B) 30º C) 36º D) 45º E) 35º
Q
C
11. En la figura mostrada. Si P, Q y T son puntos de
tangencia. Halle x
P
A) 20º B) 18º C) 15º D) 30º E) 36º
x 80º Q
60º
T 12. En la figura mostrada, calcular D
A) 18º30´ B) 22º 30´ C) 30º D) 37º E) 45º
C
A
B
O
13. Halle x , si ABCD es un cuadrado:
B
C
A) 15º B) 22º30´ C) 30º D) 24º E) 18º30´
x
D
A
A) sen5;sen(1);sen4;sen6 B) sen4;sen(1);sen5;sen6 C) sen(1);sen5;sen4;sen6 D) sen5;sen4;sen(1);sen6 E) sen(1);sen4;sen5;sen6 18. Sabiendo que:
Sen(Sen − 2)(Sen − 4)(Sen − 8) < 0 Además , es positivo y menor que una vuelta. Halle el intervalo al que pertenece A)
B) 0; 2
3 ; 2 2
C) 0;
3 E) 0; 2 19. En la circunferencia es C. T., calcular el área del triángulo sombreado D) 0;
y
A) Cos
B) Sen Cos 2 Sen D) 2 E) 1
C)
x
O
14. En la figura mostrada, O es centro calcule x. B
a) 50º b) 45º c) 35º d) 27º e) 60º
x O
x
y
A) Cos
A) 30 B) 45 C) 90 D) 120
21. Si: 30º 150º, calcular la variación de:
15. En la figura mostrada. Calcular el ángulo x
triángulo sombreado
B) Sen C) 1 1 D) 2 E) Sen
C
A
20. En la circunferencia es C. T. , calcular el área del
E) 60
O
x
M = 2Sen − 4
60°
A) [−3; −2] 16. Ordenar de mayor a menor
Sen 2 ; Cos3; Cos4; Sen2; Cos(6) Dar como respuesta el mayor de todos. A) Sen2 B) Sen 2 C) Cos(6) D) Cos4 E) Cos3
22. Si:
B) [1; 2]
C) [0; 2]
D) [2; 5] E) [4; 5]
x1 x2 0 2 Decir si es verdadero o falso, las desigualdades: I. Senx1 < Senx2 II. Cosx1 < Cosx2 III. Tan(−x1) > Tan(−x2)
17. Ordenar en forma creciente:
sen4, sen5, sen6, sen(1)
A) FFF
B) FVF
C) VFF
D) FVV E) VVV
23. Teniendo en cuenta que: IC, se pide determinar
30. Del gráfico, se cumple: 8PB = 7AQ y CR = 4m.
el intervalo de variación de W si: Cos 3 W= Cos 1
Calcular RD
A
A) 0; 1 B) −2; 0 C) 1; 2 D) 3; 4 E) 2; 3 2
24. Sabiendo que: M = 4Sen x – 1; se pide calcular la
suma del máximo y mínimo valor que puede tomar M, si: x ; 6 4 A) −1
B) 2
C) 0
D) −3
E) −2/5
25. Calcular el intervalo de valores para M:
M = 1 + Cosx + Cos2x A) [1/4; 2] D) [3/5; 2]
B) [−3/4; 0] E) [3/4; 3]
C) [−3/4; 2]
A) 3m B) 3,5m C) 3,2m D) 2,8m E) 1,6m
P
C R
D
Q
B
31. En la figura mostrada. Si: M // N // L // R, halle “x” M
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
x
2
3x+2
N
2y+1 L
6
y R
32. En la figura mostrada, BE//CD, AD = 9 y AE = 6.
Hallar FE. 26. Si [0; /4], calcular la variación de “m” en:
4m 3 Sec = 2 5 2 2 3 1 2 1 A) ; C) ; B) ; 4 4 4 2 3 1 3 2 D) 0; E) ; 2 3 3 2m 1 27. Si: Secx = , entonces todos los 3 “m” que no verifican la igualdad se comprendidos en:
A) −2; 4 D) −2; 1
B) −3; 1 E) −1; 1
3 3
C A)1 B)2 C)3 D ) 2,5 E)4
B
A
F
valores de
33. En la figura. Si EB//CD, AB = 11, BC = 7, AE =
encuentran
C
EF y BP = 14. Hallar PF.
P
28. Determine el valor de “a + b” si se verifica la
A
D) −3
E) 3
E 34. En la figura. Hallar x
D
siguientes proposiciones: I. Cos1 > Cos3 II. Cos4 Cos5
x
III. Cos2 < Cos3 B) FVF
9
C) VFF
D) VVV
E) FFV
F
6
29. Identifica los valores de verdad o falsedad de las
A) VVF
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 16
C) −2; 3
siguiente desigualdad: 7Cos 3 a b 2 A) −1 B) 0 C) 2
D
E
12
A ) 10 B)7 C)4 D)6 E)8
35. En qué relación deben estar los radios de dos
circunferencias, tangentes exteriores, para que el ángulo formado por las dos tangentes exteriores comunes sea 600. A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 2.5
36. En un triángulo ABC se sabe que AC = 12m, BC
= 10m, se traza la bisectriz interior CD y luego DM paralelo a AC (M en BC), calcular DM A) 6m
B) 5m
C) 5,5m D) 6,5m
E) 60/11m
37. En la figura: AB = 4m, BP = 12m. Halle BC
B
41. Si AB = 8m y BC = 6m. Halle R
A) 1 B) 1,75 C) 1,5 D) 1,25 E) 1,875
R B
2
C
42. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
se trazan las bisectrices interiores AE y CF , tal que: AF = a y EC = b. Calcule la longitud del inradio del triángulo ABC A)
ab ab
B)
2 a b ab
D)
2ab ab
E)
2 2ab ab
A) 24m B) 28m C) 18m D) 36m E) 40m
A
2ab ab
C)
A 43. Se tiene un trapecio rectángulo ABCF de tal
C P 38. ABCD es un cuadrado, si BP = 2, PC = 4, hallar MN
P
B
C
altura AB se toma el punto medio R tal que m∢CRF = 90°, halle CF A) 3m
M
A) 3 B) 4 C) 6 D) 4,5 E) 3,5
manera que la base BC =1 y la base AF = 4, sobre la
B) 4m
C) 5m
D) 6m
E) 7m
44. En un triángulo ABC rectángulo, recto en B, se
traza la bisectriz interior BS, además I es el incentro. Halle IS, si el inradio mide 1m y el circunradio mide 11m.
N
A)
D
A
11 2 11 2 11 2 11 11 m B) m D) m E) m m C) 12 6 6 12 3
39. Del grafico AB // QE //PF y BE = 4, EF = 2. Halle 45. La sombra proyectada por el tercer piso de un
FC
edificio es de 12m, si el primer piso mide 3m, además la sombra proyectada por el primer piso es igual a la altura del tercer piso. Calcular la altura del tercer piso.
B E
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
F A) 6m
Q
C) 10m
D) 5m
E) 8m
46. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
A
C
P
40. Se
tiene dos circunferencias tangentes exteriormente en el punto P, cuyos radios miden 6m y 18m. Calcular la distancia del punto P a la recta tangente común exterior. A) 9m
B) 9m
B) 8m
C) 7m
D) 6m
E) 5m
inscribe un cuadrado MNPQ (M en AB, N en BC, P y Q en AC). Calcular la longitud de MN, si AQ = 8m y PC = 18m A) 6m
B) 12m
C) 15m
D) 18m
E) 14m
47. ABCD es un cuadrado de 30cm de lado. Hallar
OP
A
B
A ) 20 B ) 17,5 C ) 17,2 D ) 16 E ) 15
O
P
D
C
48. En el gráfico, las bases BC y AD del trapecio
ABCD miden 4 y 12 respectivamente. Si GH es la base media del trapecio mencionado, hallar la longitud de la base media del trapecio GEFH B C
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
E
16 respectivamente. Si EC = 9, hallar DE, siendo E punto de tangencia
A)4 B ) 4,5 C)5 D ) 5,5 E)6
D E
A
H
54. En la figura AP = 9 y AN = 3. Hallar
trapecio, si m∢BMC = 90, siendo M un punto situado sobre AD, tal que MD = (AD)/3. A) 3 2
B) 4 2
C) 5 2
D) 6 2
E) 7 2
50. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la
bisectriz exterior del ángulo A, que corta en D a la prolongación de la altura BH . Calcular la longitud de AH , si AB = 6m y la distancia del punto D a BC mide 8m. A) 4m
B) 1m
C) 3m
D) 0,5m E) 2m
51. Hallar AB, si BP = 9m y PC = 15m
C
A ) 16m B ) 18m C ) 24m D ) 30m E ) 20m A
A N
R
r P
T
55. En el paralelogramo ABCD de la figura Calcular
CP, si AB = 12 y 4(BQ) = 3(BD)
B
A)3 B)4 C)5 D)6 E)8
C P
Q A
D
56. A partir de los datos que se muestran en el gráfico,
se pide calcular el valor de x
A) 1 B) 2 C) 3 D) 1,5 E) 2,5
x
2
3
57. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se
P
B) 43º
traza la altura BH y en el triángulo BHC la bisectriz interior BM. Además AM = 2 y MC = 3. Calcule HM. A) 1,8
B 52. En un triángulo acutángulo ABC, exteriormente se construyen los cuadrados BPRA y BQSC, si mQAC = 43º. Calcular la mPCA. A) 21º30´
R , si T es r
punto de tangencia.
A
D 49. Se da un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D. Las bases AB = 2 y CD = 8. Hallar la altura del
C
O2 B
O1
A)9 B ) 4,5 C)6 D)3 E)5
F
G
53. Los diámetros AC y AB de la figura miden 20 y
C) 47º
D) 57º
E) 45º
B) 1,2
C) 1,6
D) 1,5
E) 1,4
58. En un ABC, AB = BC = 10 y AC = 8; la
circunferencia inscrita es tangente a AB en E y BC en F. Hallar EF. A) 4
B) 4,2
C) 4,5
D) 4,8
E) 5
QUINTA SEMANA
MATEMÁTICA II
1 Reducir: E = A) tan a
sen(a + b) + sen(a − b) cos(a + b) + cos(a − b)
B) tan b
C) cot a
8 Calcular: tan β A) 1
D) cot b
A) 1
2 Calcular: M = 2 cos 80o + 4 sen 70o · sen 10o A) 3
B) 1
C) 5
D) 2
E) 4
B
4a
F
C
B) 2 C)
1 2
D)
1 3
3a
E b
E) 3
3 Si: A + B + C = π sen A = n sen B · sen C cos A = n cos B · cos C
2a
3a
D
A
9 Si tan(b − c) = 1 y tan(a − b) = Hallar: tan(a − c).
Halla tan A. A) n+1 B) n C) n−1 D) n +1 E) n −1 2
2
A) −
m+n . m−n
m m 2m n 2n B) C) − D) − E) − n n n m m
10 Calcular: tan x
4 Si: α − β = 60o . Calcular:
A) 1 2
T = (cos α + cos β) + (sen α + sen β) A) 2
B) 1
B
2
C) 6
D) 3
B) 2
E) 4
C)
5 Calcula el valor de x en la figura mostrada. A) 15 B B) 17
45
3a
7 6
4 D) 5
x A
2a
o
12
√ 11 Si cot x = 1 + 3 − tan y. Hallar el valor de
D) 11
x
D
B) 1
C) 5
A) 1,73
77 85
B)
76 88
C)
66 85
D) 3
D)
2 cos(x − y) sen(x + y) + sen(x − y)
B) 0,73
C) 1,41
D) 2,41
E) 2,73
12 Calcular: tan α E) 4
15 7 Siendo; tan α = − , α ∈ IV C 8 5 sec β = , β ∈ IV C. Hallar: cos(α − β) 4 A)
M=
C
3
sen 3θ cos 3θ − 6 Efectuar: M = sen θ cos θ A) 2
C
E) 3
C) 9
E) 13 A
2a
M
D a
85 77
A) 1 B) −1 13 C) 16 D)
E) 1
16 13
E) 2
8
B
C
2
F
a
3
A
4
E
D
Matemática II : Quinta Semana √ 13 Si: sen(α + 45o ) =
2 . Calcule: 6
19 Hallar R si, AB = BC = 6. A) 3 √ B) 4 3 √ C) 3 3 √ D) 2 3 √ E) 3
sen3 α + cos3 α . 4 A) 9
5 B) 9
13 C) 27
12 D) 27
8 E) 9
√ 3 + tan 50o + tan 70o 14 Calcular: F = tan 50o tan 70o √ √ √ √ √ 3 3 3 3 A) B) C) D) E) 3 3 2 4 6
√ A) 13
o
C
o1
B) 10
√ D) 2 13
C) 1
E) 13
21 En la siguiente figura: ABCD es un cuadrado, hallar x. A) 3
16 En la figura, halla x.
C
B
B) 2
A) 5
B
B) 4
4
D) 4
E
E) 6
D) 7
B
R
20 En un rect´angulo ABCD se considera un punto interior E, cumpli´endose: EA = 4, EC = 10, EB = 8. Hallar: ED.
15 En un tri´angulo ABC, recto en B, en AC y en la prolongaci´on de BP se ubican los puntos P y Q respectivamente (P ∈ AC). Si m∠BQC − m∠BCP = m∠P CQ = 45o , BP = 3 y P Q = 2; calcule AC. √ √ √ A) 34 B) 6 C) 7 D) 2 17 E) 58
C) 6
A
C
x +3
C) 5
x +5
x
D
A
3
22 Si, P Q = 3, P T = 4. Hallar OP . E) 4,5 17 Calcula BC, √ 6 5 A) 10 √ B) 2 10 √ 12 10 C) 5 √ D) 4 5
A
x
F
D B) 3
B G
4
Q
C) 5
C
P D) 4
O
o
E) 6
F
A
D
E
18 Hallar el cateto mayor de un tri´angulo rect´ √ angulo conociendo que el per´ımetro es 2 10+5 y la altura relativa a la hipotenusa la divide en la relaci´on 1 a 9. √ √ √ √ 10 3 10 D) 2 10 E) A) 10 B) 5 C) 2 2
B
T
8
E) 6
2
A
A) 7
O es centro.
23 En la semicircunferencia √ mostrada: AB = BC = CD = 2. Hallar M N . A) 2
N B) 3 √ C) 2 √ D) 3 √ E) 5
M
A
B
C
D
Matemática II : Quinta Semana
24 En un tri´angulo acut´angulo ABC, se traza la altura AN . Calcular BN · N C si; 2 2 2 AN = 4, AB + AC − BC = 6 A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 10
A) 19
B
C
B) 12 C) 13
P
D) 14 25 ABCD es un paralelogramo, BM = 7, M C = 2, O es centro. Hallar AB. A) 4
M
B
C
C) 5
A
A) 2
r
O
8
C) 3
D
D) 1,5
26 En un cuadril´atero ABCD, las diagonales son perpendiculares, AB = 9, BC = 6, CD = 2. Hallar AD. B) 10
C) 9
D) 8
E) 2,5 31 Hallar r. A) 3
E) 7
r
B) 4 27 Halle AB, si F E = BC, GD = BD + AG, √ 2 2 GC = 120 y F E − AG = 24. A) 11
E F G
D) 9
A
B
O
28 La figura muestra un cuarto de circunferencia, una circunferencia y una semicircunferencia. OE = EB = 8. Hallar x.
A
C) 6
T
x H
A) 7 √ B) 2 13
M
C
B H
C) 5
D) 7 E) 8
32 En un tri´angulo ABC, AB = BC; la prolongaci´on de la ceviana interior BP , corta a la circunferencia circunscrita al tri´angulo, en el punto Q. Si BP = 9 y P Q = 3, hallar AB. √ A) 12 B) 15 C) 10 D) 6 3 E) 7 33 En la figura HC = 2. Hallar BH.
A) 4 B) 5
9
E) 3,5
C
E) 14
C) 5 D) 6
D
B) 12 C) 13
D
B) 1
E) 2
A) 5
A
30 Hallar r.
B) 3
D) 1
E) 15
O
E
Q
B
29 En la figura, ABCD es un cuadrado. AD, di´ametro AP = 12 y P D = 7. Hallar P B.
D) 6 √ E) 3 2
D
A
34 En un cuadril´atero ABCD: m∠BAC = 80o , m∠BCA = 20o , m∠ABD = 25o , 3
Matemática II : Quinta Semana 2
2
m∠BDC = 70o y AB + AD = 32. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. √ √ A) 2 2 B) 3 2 C) 4 D) 2 E) 8 35 Hallar r. A)
1 3
B)
2 3
Q
D) 4 r
A
C
B
E) 8
4
2
o
41 Hallar x.
o1
A) 10
5 3
B) 11
36 En un trapecio ABCD (BC//AD), AB = 2 2 8, AD = 10, CD = 6. Calcular AC +BD , Sabiendo que las bisectrices de los ´angulos internos so concurrentes. B) 175
C) 180
D) 185
C) 12
18
8
x
D) 13 E) 12,5
E) 190 42 Hallar r, si ab = 40.
37 Hallar x. A) 5 B)
T
C) 2
D) 1
A) 170
A) 6 B) 1
4 C) 3
E)
40 En el gr´afico: AB y BC son di´ametros; AB 2 = y AQ = 8. Calcular QT . BC 3
A) 3
9 2
B) 4
4
C) 5
x
11 C) 2
4
2
D) 4
a
1
b
r
5
D) 4,5 E) 5,5
E) 6 38 En un tri´angulo oblicu´angulo ABC, m∠B = 57o . Calcular m∠C sabiendo que a2 − c2 = bc. A) 35o
B) 37o
C) 39o
D) 41o
E) 43o
39 En el gr´afico mostrado, el tri´angulo ABC es equil´atero, AC = 6 y CN = 3. Calcular CM . A) 5
B
A
B) 1 C) 2
C
D) 4 E) 6 4
M
N
43 La recta tangente en B a la circunferencia circunscrita al tri´angulo ABC es paralela a la bisectr´ız interior CD.Hallar AC, si AD = 5, BD = 4. A) 6
B) 7
C) 7,5
D) 8
E) 6,5
44 En un cuadril´atero ABDE se ubica el punto L en BD, tal que ABLE es un cuadril´atero inscriptible. Calcule AE, si m∠BEA = m∠LED, LD = 2BL = 8, DE = 2LE y AB · LE = 40 A) 6
B) 7
C) 4
D) 8
E) 5
SEXTA SEMANA
MATEMÁTICA II
´ DE TRIANGULOS ´ RESOLUCION ´ RECTANGULOS
A) sen α + tan α
01. Calcular: tan α · tan β, Sabiendo que: AD = AB = 1 y DC = 2
C) cos α + tan α
A) B) C) D) E)
1 2 1 4 3 2 4
O D
D) cos α + cot α
a E) sec α + cot α A
B
b
a A
A) C
D
3 02. Hallar BP , si AM = 2, CN = 1, tan θ = 2 y AB = BC.
C) D)
B
1 A) 2 1 B) 3 C) 1
B
05. ABCD es un cuadrado. Hallar N P , si M N = a, P Q = b
B)
E) M P
N q
D) 2
C
B) sen α + cot α
A
C
E) 3
a+b cot θ − 1 M a+b cot θ + 1 b−a cot θ − 1 a+b tan θ − 1 a+b
B
C
N
P q
A
D
06. Hallar el m´aximo valor de EF , si: AB = 1, BC = 4, DC = 3.
A
E
B O
F
C
03. Calcular tan β, si AB = 4CN A) B) C) D) E)
5 6 5 3 5 4 3 5 4 5
B
M
f
C
N
b P
A
04. Hallar AB, si: CD = 1
D
Q
A) sen ϕ − tan ϕ C) 2 tan ϕ E) sen ϕ + 3 tan ϕ
D
B) 3 sen ϕ − tan ϕ D) 4 sen ϕ − tan ϕ
⌢ ⌢
07. Hallar P C, si BC = CD, AP = d. A) d(tan2 α − 1) B) d cot2 α d tan2 α C) 1 − tan2 α d cot2 α D) 1 − cot2 α A E) d tan2 α
C B P
a O
D
Matemática II : Sexta Semana
08. Hallar BC, si AM = d
12. Nataly se encuentra a 80m de su casa en la direcci´on SE y Vanessa se encuentra a 60m de su casa en la direcci´on N E. Hallar la distancia entre las hermanas Nataly y Vanessa.
B
q
A) 40m B) 50m C) 100m D) 120m E) 90m
M P A
C
A) d(cot2 θ − cot θ) C) d(cot2 θ + cot θ) E) d(cot3 − cot θ)
B) cot2 θ + d D) d(cot3 θ − 1)
13. Un m´ovil se desplaza 300km, seg´ un la direcci´on OαN , con respecto a un punto inicial A. Hallar cu´antos km se ha desplazado 7 hacia el oeste, sabiendo que la cot α = . 24 A) 288 B) 144 C) 84 D) 100 E) 200 14. Un m´ovil se desplaza 7km hacia el oeste con respecto √ a un punto inicial, luego se desplaza 5 2 km, hacia el N O con respecto a su nueva ubicaci´on; hallar su desplazamiento total.
09. Hallar AB, si P C = a, P A = b
B
P
A) 11km B) 5km C) 7km D) 13km E) 16km b
a C
O
A) b sen β − a sen α C) b cos β − a cos α E) b sen β − a cos α
A B) b sen α − a sen β D) b cos α − a cos β
10. Hallar tan θ A) sen x cos x B) cos x cot x C) sec x csc x D) sen x tan x
x q
q
E) tan x cot x 11. Un avi´on vuela horizontalmente a una altura de 2000m con respecto al nivel del mar. Desde un punto de observaci´on situado sobre la costa se le observa en un instante determinado bajo un ´angulo de elevaci´on α, luego de 5 seg el nuevo ´angulo de elevaci´on es β. Si el avi´on vuela con velocidad constante. Calcular dicha velocidad si 2 4 tan α = , tan β = . 21 11 A)100m/s B)200m/s C)300m/s D)400m/s 2
15. Un barco navega en la direcci´on S30o E y otro barco la hace en la direcci´on N 30o E; en un instante dado el segundo barco se encuentra al norte del primero y a 60km. Calcular la separaci´on del primero con respecto del punto A, si ambos partier´on simultaneamente de A. √ √ A) 10 3km B) 20km C) 20 3km D) 10km 16. Una ni˜ na colocada a la orilla de un rio, ve un ´arbol plantado sobre la rivera opuesta bajo un ´angulo de 60o se aleja 40m y este ´angulo no mide mas de 30o ¿cu´al es la altura del ´arbol? A) 43, 6m B) 30m C) 34, 6m D) 36, 4m 17. Calcular el mayor ´angulo formado por las direcciones SE 14 S y N 14 N E. A) 250o B) 210o C) 225o D) 270o E) 185o 18. Rendo le dice a Maria. La UNA est´a al OSO de mi casa y al SSE de la tuya y la distancia entre la UNA y nuestras casas es la misma. ¿En qu´e direcci´on est´a la casa de Rendo respecto a la casa de Maria?. A) N ON B) SOS C) N EN D) SES E) ESE
Matemática II : Sexta Semana
´ DE TRIANGULOS ´ RESOLUCION ´ OBLICUANGULOS 19. En un tri´angulo ABC se cumple que: cos A cos B cos C c + + = a b c ab Calcular la medida del mayor ´angulo del tri´angulo. A) 120o B) 90o C) 150o D) 135o E) 108o 20. En un tri´angulo sus lados: 9, 10 y 17. Hallar la tangente de la mitad del mayor ´angulo. A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
21. En un tri´angulo ABC se sabe que: C = 60o y a = 3b. Determinar el valor de: tan(A − B). √ √ √ √ 3 A) 4 3 B) 2 3 C) 3 D) E) 1 2 22. Siendo R el circunradio y r el inradio de un tri´angulo ABC, simplificar: √ 2R + r − a E= 2R A) sen A B) cos A C) tan A D) sec A 23. Los lados de un tri´angulo miden: x2 + 1, x2 − 1, 2x. Calcular el valor de x para el cual el ´angulo comprendido entre los dos primeros lados mide: 60o √ √ √ √ 1 3 3 6 A) B) C) 3 D) E) 2 2 3 2 24. En un tri´angulo ABC, simplificar: M= A)
(cos B + cos C)(1 + 2 cos A) 1 + cos A − 2 cos2 A
a−c b+c b−c a−b a+c B) C) D) E) b b a a c
25. En un tri´angulo rect´angulo ABC el producto de los lados opuestos a los ´angulos B y C es igual al cuadrado de la hipotenusa a multiplicado por: A sen B 2 C) sen A sen C E) sen B sen C A) cos
A 2 D) sen A sen B
26. El ´area de un pol´ıgono regular de 36 lados es igual al cuadrado de su lado multiplicado por: A) 9 csc 5o B) 9 cot 5o C) 9 sec 5o D) 9 cos 5o 27. Las longitudes de los lados de un tri´angulo son tres n´ umeros enteros consecutivos y el ´angulo mayor es el doble del menor (θ). La relaci´on del lado mayor es: A) 2 cos θ B) cos 2θ C) cos θ D) 2 sen θ E) 28. En un tri´angulo ABC simplificar: b cos B + c cos C cos(B − C) A) a B) b C)c D) b + c E) b − c 29. En un tri´angulo ABC se verifica: a b c = = cos A cos B cos C ¿Qu´e tipo de tri´angulo cumple la relaci´on? A) Is´osceles B) Rect´angulo C) Equil´atero D) Escaleno E) No se puede afirmar √ √ 30. Los lados de un tri´ a ngulo son: 26, 20 y √ 18. Calcular el ´area de dicho tri´angulo. A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
31. El coseno de mayor ´angulo de un tri´angulo cuyos lados son tres n´ umeros enteros y con1 secutivos es igual a . Calcular el per´ımetro 5 de dicho tri´angulo. A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
32. Indicar uno de los ´angulos de un tri´angulo ABC en el cual se cumple: 1 3 1 + = a+b a+c a+b+c
B) cos C cos
A) 30o
B) 45o
C) 60o
D) 120o
E) 75o 3
5 3
Matemática II : Sexta Semana
33. Un tri´angulo tiene por lados tres n´ umeros impares consecutivos siendo el mayor ´angulo 120o . Hallar las longitudes de los lados.
40. Calcular cot α A) 2
A) 1, 3, 5 B) 3, 5, 7 C)5, 7, 9 D) 7, 9, 11 B)
o
30
D) 3
2
5
o
2
x o
45
60
E)
41. Del gr´afico hallar: J = A) B)
A) 60o B) 15o C) 7o 30′ D) 45o E) 130o
C)
36. En un tri´angulo ABC se cumple que: 2bc a2 − b2 − c2 = 3 A .Hallar: tan 2 √ √ 1 A) 2 B) 2 C) 3 D) 3 E) 2
D) E)
m n n m n+m m n+m n A n−m n+m
sen α . sen β B
a P
b Q
m
C
n
42. Los lados a, b y c de un tri´angulo ABC est´an en progresi´on aritm´etica. Calcule: A C tan tan 2 2
37. En un tri´angulo ABC, reducir: a(sen 2A + sen 2B) Q= sen A cos(A − B) 3c c A) c B) 2c C) 4c D) E) 2 2 38. Una diagonal de un paralelepipedo rect´angulo forma con las tres aristas concurrentes a un mismo v´ertice los ´angulos α, β y ϕ. Calcular: cos2 α + cos2 β + cos2 ϕ. 3 1 1 C) D) E) 1 A) 0 B) 2 2 3 39. Hallar cot α m A) m + 2n m B) m − 2n mn C) m+n √ m D) √ m−2n m E) m+2n
5 2
o
35. Determinar el ´angulo C de un tri´angulo ABC, √ sabiendo que: B = 120o , a = 2m y c = ( 3 − 1)m.
4
a
3 C) 2 13
34. Calcular x. √ A) 2 √ B) 3 √ C) 5 √ D) 6 √ E) 7
1 3
A)
1 2
B)
1 4
C)
1 3
D)
2 3
E)
4 5
43. Dos barcos parten al mismo tiempo de un punto A, siguiendo rumbos N E 14 N y E 1 SE, cuando el primero recorre (2 − √4 2)millas observa al segundo con direcci´on SE 14 E. Calcular la distancia que separa a los barcos en ese instante. A) 2 millas B) 1 milla C) 3 millas D) 1, 5 millas E) 2, 5 millas 44. Los lados de un tri´angulo miden x, ax, 2ax. Calcular el valor de a sabiendo que el ´angulo opuesto x mide 120o .
m
n a
2a
A) 1
√ 2 B) 2
√
6 C) 6
√
5 D) 5
√ 7 E) 7
MATEMÁTICA II
´ ´ FUNCIONES TRIONOMETRICAS BASICAS Y COMPUESTAS. DOMINIO, RANGO Y ´ GRAFICAS 01. Calcule el dominio de la funci´on f definida por: f (x) =
sen 2012x + sen 2012x + cos 2012x cos x − 1
A) R−{2kπ}; k ∈ Z B) R−{kπ}; k ∈ Z { kπ } C) R − ; k ∈ Z D) R; k ∈ Z 2 E) R − {(2k + 1)π}; k ∈ Z 02. Determine el dominio de la funci´on dada: y = cos x cot x { kπ } A) R − ; k ∈ Z B) R − {kπ}; k ∈ Z 4} { kπ } { kπ ; k ∈ Z D) R− ; k∈Z C) R− 3 { 2kπ } E) R − ; k∈Z 5 03. Determine el dominio de la funci´on f , definida por: f (x) =
√ √ sen x + − cos x
{ kπ } kπ A) R− ; k ∈ Z B) R−{ }; k ∈ Z 4} 5} { kπ { kπ C) R− ; k ∈ Z D) R− ; k∈Z 2 3 ] [ π E) (4k + 1) ; (2k + 1)π ; k ∈ Z 2 04. Determine el dominio de la funci´on f definida por: f (x) =
1 1 + sec2 x csc2 x
{ kπ } A) R − ; k ∈ Z B) R − {kπ}; k ∈ Z 4} { kπ { kπ } C) R− ; k ∈ Z D) R− ; k∈Z 3 { 2kπ } E) R − ; k∈Z 5
SÉPTIMA SEMANA
05. Determine el dominio de la funci´on f definida por: √ π f (x) = 4 csc(x − ) + 5 6 { kπ } A) R − ; k ∈ Z B) R − {kπ}; k ∈ Z 4} { kπ { kπ } C) R− ; k ∈ Z D) R− ; k∈Z 3 {5 } π E) R − kπ + ; k∈Z 6 06. Calcule el dominio de la funci´on f definida por: x x f (x) = tan2 + sec2 2 2 { kπ } A) R − ; k ∈ Z B) R − {kπ}; k ∈ Z 4 { kπ } C) R; k ∈ Z D) R− ; k∈Z 5 { } E) R − (2k + 1)π ; k ∈ Z 07. Calcule el dominio de la funci´on f definida por: sec x + cos x f (x) = cos 2x − 1 { kπ } A) R− ; k ∈ Z B) R−{2kπ}; k ∈ Z 4} { kπ } { kπ C) R− ; k ∈ Z D) R− ; k∈Z 7 { 2kπ } E) R − ; k∈Z 5 08. Determine el dominio de la funci´on f definida por: f (x) =
156 tan x cot x | sen x| − | cos x|
{ kπ } A) R − ; k ∈ Z B) R − {kπ}; k ∈ Z 4} { kπ { kπ } C) R− ; k ∈ Z D) R− ; k∈Z 3 { 2kπ } E) R − ; k∈Z 5 09. Calcule el dominio de la funci´on f definida por: √ √ f (x) = sen x + cos x + sen x + cos x
Matemática II : Séptima Semana ⟨ ⟩ en el int´ervalo de 0; 2π ⟨ ⟩ A) 0; π ⟨ π] C) 0; ⟨ 2] E) 0; 2π
14. Calcule el rango de la funci´on f definida por: f (x) = sen 2x − 2 sen x [ ⟩ [ ] A) [ − 1; 3] B) ⟨ − 2; 3 ] C) ⟨ − 1; 3⟩ D) − 2; 3 E) − 4; 5
⟨ π⟩ B) 0; ⟨ 2 ⟩ D) 0; 2π
10. Calcule el dominio de la funci´on f definida por: √ √ f (x) = tan x + 1 + 1 − tan x ⟨ π π⟩ en el intervalo − ; 2 2 [ π π⟩ ⟨ π π⟩ B) − ; A) − ; [ π4 π4 ] ⟨ 4π 4π ] C) − ; D) − ; 4 4⟩ 2 2 ⟨ π π E) − ; 2 2 11. Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La distancia entre dos puntos de corte entre las gr´aficas sen x y cos x en el ⟨ π⟩ int´ervalo − π; es π. 2 II. La distancia entre dos puntos de m´axima ordenada de la funci´ o⟩n | sen x| es ⟨ π en el intervalo de 0; 2π √ √ π 2 2 3π III. Los puntos (− ; − ) y (− ; ), 4 2 4 2 son los puntos de corte enter las fun⟨ciones⟩ sen x y cos x en el intervalo 0; 2π . A)F F F
B)F V F
C)V V F
f (x) = cos(sen x−cos x)+sen(sen x−cos x) √ √ √ √ √ 2 3 D) E) 6 A) 2 B) 3 C) 2 3 13. Calcule el m´ınimo valor de la funci´on f siendo f (x) = a cos 2x + b cos x adem´as f ( π2 ) = −1, f (2π) = 5
2
B) − 1
C)1
D) − 3
16. Calcule el de la siguiente funci´on f definida por: f (x) = sen6 x − sen2 x cos4 x − sen4 x + 1 [4 ] ;2 [3 ] C) ⟨ − 1; 3⟩ E) − 4; 5 A)
E) − 2
[3 ] ;1 ⟨4 ] D) − 2; 3 B)
17. Calcule el rango de la funci´on f definida por: [ ] f (x) = | sen x| + 2; x ∈ π; 2π [4 ] ;2 [3 ] C) ⟨2; 3 ⟩ E) − 4; 5 A)
[3 ] ;1 ⟨4 ] D) − 2; 3 B)
18. Calcule el rango de la funci´on f definida por:
D)V V V
12. Calcule el m´aximo valor de la funci´on f definida por:
A)2
15. Calcule el rango de la funci´on f definida por: sen x + 3 f (x) = sen x + 2 [4 ] ⟨3 ] A) ; 2 B) ; 3 [3 ] ⟨4 ] C) ⟨ − 1; 3⟩ D) − 2; 3 E) − 4; 5
f (x) = tan2 x + cot2 x + 1 [4 ] ;2 [3 ] C) ⟨ − 1; 3⟩ E) − 4; 5 A)
[3 ] ;1 [4 ⟩ D) 3; +∞ B)
19. Calcule el rango de la funci´on f definida por: ⟨ π⟩ f (x) = sen x + tan x ; x ∈ 0; 3 [4 ] [3 ] A) ; 2 B) ; 1 [3 ] [4 ⟩ C) − 1; 3 D) 3; +∞ √ ⟨ 3 3⟩ E) 0; 2
Matemática II : Séptima Semana
20. Calcule el rango de la funci´on f definida por: √ f (x) = sen x + 2 sen x [4 ] [3 ] A) ; 2 B) ; 1 [3 ] [4 ⟩ C) 0; 3 D) 3; +∞ √ ⟨ 3 3⟩ E) 0; 2 21. Calcule el rango de la funci´on f definida por: f (x) = | sen x| − cos 2x [ ] [3 ] A) − 1; 2 B) ; 1 [ ] [4 ⟩ C) 0; 3 D) 3; +∞ √ ⟨ 3 3⟩ E) 0; 2 22. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones respecto a la funci´on f definida por: esen |x| f (x) = x I. Domf =R − {0}
26. Indique las funciones pares que tienen por regla de correspondencia. x cos x II. f (x) = 2 sen x + 3 cos x I. f (x) =
III. f (x) = x3 tan πx
A)III B)I, II C)II, III D)II E)I, III 27. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones respecto de la funci´on f definida por: f (x) = sen x + 2 cos x [ √ √ ] I. Ranf = − 5, 5 ⟨ π ⟩ II. Si, x ∈ − ; 0 , f es creciente 8 III. f es de periodo 2π
A)V F V B)V V F C)F F V D)V V V E)V F F
II. f es una funci´on impar. 28. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones respecto de la funci´on f definida por:
III. f es una funci´on peri´odica A)F F F B)F V F C)V V F D)V V V E)V F V 23. Calcule el periodo m´ınimo de la funci´on f definida por: f (x) = 10 sen x + sen A)2π
B)4π
C)π
x 2
D)3π
E)
π 2
24. Calcule el periodo m´ınimo de la funci´on f definida por: 6
6
f (x) = sen x + cos x A)2π
B)
π 8
C)
π 4
D)3π
E)
π 2
25. Calcule el n´ umero de puntos en los que se intersecan la funci´on f y el eje de ⟨abscisas, ⟩ siendo f (x) = cos x en el intervalo 0; 10π . A)2
B)4
C)5
D)10
E)20
f (x) = tan x − cot x I. Domf =R − {kπ}, k ∈ Z II. Ranf =R ⟨ 3π ⟩ III. Si x ∈ 0; , entonces f (x) < 2 8 A)V F V B)V V F C)F V V D)V V V E)V F F 29. Dada las funciones definidas por: f (x) = sen4 x+sen x y g(x) = cos4 x. Halle cu´antos puntos de cortes existen entre las gr´ [ aficas ] de dichas funciones en el intervalo 0; 2π . A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
30. Del gr´afico adjunto, calcule el ´area de la regi´on sombreada. 3
Matemática II : Séptima Semana √ √ √ √ √ A) 2 B)2 3 C)2 2 D)3 2 E) 3
x y = sen x
35. Calcule el periodo y amplitud de la funci´on f definida por:
1/2
y f (x) = 2 cos(−3x) A)
2π π 3π 3π , 2 B) , 2 C) , 2 D) , 2 E)π, 2 3 3 2 4
π π B) C)π D)2π E)3π 3 2 31. Halle el m´ınimo√valor de la funci´on f si f (x) = cos 2x − 3 cos x 11 11 21 A) B)− C)− D)21 E)−11 3 8 8
36. Calcule el periodo y amplitud de la funci´on f definida por:
32. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones
37. Hallar las tres primeras soluciones positivas de: 1 cos(2x + 15) 2 Indicar la suma de ´estas.
A)
I. Si la funci´ √ on f est´a definida por f (x) [= ] cos x, entonces el rango de f es 0; 1 . II. Si la funci´ √ on f est´a definida por: f (x) = cos x − 1 entonces el rango de f es {1} III. Si la funci´on f est´a definida por: ( 4| cos x| ) f (x) = cos , entonces el do|x|2 + 1 minio de f es R.
f (x) = −π sen
A)2π 2 , 2π B)2π 2 , π C)5π 2 , π D)3π, π E)1, π
335o A) 2
725o C) 2
0
D)360
735o E) 2
3 tan2 x + 5 = 7 sec x Siendo k entero.
A)V F V B)V V F C)F F V D)V F V E)V F F
I. Si la funci´o√n f est´a definida por: f (x) [= sen ] x, entonces el rango de f es − 1; 1 . II. Si la funci´on f est´a definida por: 1 f (x) = sen , entonces el rango de f x⟨ ] [ ⟩∪ es − 1; 0 0; 1 III. Si la funci´on f est´a definida por: f (x) [= sen ] |x|, entonces el rango de f es 0; 1 .
715o B) 2
38. Resolver:
A)2kπ± 33. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones
x π
π 3
B)kπ±
π 3
C)
kπ π ± 2 3
D)2kπ±
39. Hallar la suma de las tres primeras soluciones positivas de: √ 2 o sen(5x − 10 ) = 2 A)115o
B)117o C)119o D)121o E)123o
40. Resolver: 2 cos 2x + 3 = 4 cos x A)2kπ±
π 3
B)4kπ±
π 3
C)
kπ π ± 2 3
D)2kπ±
41. Resolver: A)V F V B)V V F C)F F V D)V F V E)V F F 34. Calcular el valor m´aximo de la funci´on f definida por: √ 16 f (x) = 4 tan x + cot4 x 4
π 6
3(1 − cos x) = sen2 x A)2kπ
B)4kπ±
π 3
C)
kπ π ± 2 3
D)2kπ±
π 6
π 6
OCTAVA SEMANA
MATEMÁTICA II
01. Hallar la longitud de la mediana del lado P Q en el tri´angulo cuyos v´ertices son P = (3, 7), Q = (−4, 0) y R = (1, −4). √ √ √ √ 234 324 432 324 B) C) D) A) 2 2 3 2 02. Hallar x ∈ R tal que si A = (x2 − 9, −x), B = (1 − x, x2 − 8), P = (2x2 − 1, x − 5) y −→ −−→ AP + 3P B = (0, 0) A) 1
C) − 2
B) 2
D) 3
E) − 3
−−→ 3 −−→ 03. En el tri´angulo ABC se tiene AM = M C. 4 −−→ −→ −−→ Si BM = rBA + tBC. Hallar r − t. A) B) C) D) E)
2 7 1 7 3 7 4 7 5 7
07. Los puntos P1 = (x1 , y1 ) y P2 = (x2 , y2 ) de la recta 5x−12y [ +15 = 0 distan ] 3 unidades de L : (3, 4) · (x, y) − (0, 3) = 0, hallar el valor x1 + x2 .
C
M
√ √ A)√ 34 − 15 3 √ D) 34 − 15 2
√ √ B) √ 34 + 15 3 √ E) 34 − 15 5
C) 4
−→ 05. Encontrar el vector AB de la figura.
Y
B
C) 3
D) 4
E) 5
A) 7 y−2
B) −7 y 2
C) 7 y 2
D) 7 y−3
09. Hallar la ecuaci´on de la recta paralela a la recta 8x + 15y = 10 y que se encuntra a una distancia igual a 5 unidades del punto (2, 3). A) 8x + 15y = 24 C) 8x+15y = 146 E)8x + 15y = 120
B) 8x + 15y = 20 D) 8x+15y = 14
10. Hallar el punto Q que divide al segmento 3 AB en la raz´on , si A = (1, 2) y B = (9, 7). 2 29 29 2 19 A) ( , 5) B) ( , 6) C) ( , 5) D) ( , 5) 5 5 5 5
P(35,12) 8 C
A
B) 2
08. Determinar los valores m y n para los cuales la recta de ecuaci´on (m + 2n − 3)x + (2m − n + 1)y + 6m + 9 = 0 es paralelo al eje de abscisas e intersecta al eje Y en el punto (0, −3).
B
A
1 B)(35, 12) C) (29, 460) 37 1 E) (42, 46) 37
06. Sean ⃗a y ⃗b vectores no paralelos y ⃗c = (cos t)⃗a + (sen t)⃗b. ¿Para que valores de t el vector ⃗c es paralelo al vector ⃗a? π A) nπ, n ∈ Z B) nπ + , n ∈ Z 2 π C) nπ + , n ∈ Z D) 2πn, n ∈ Z 3 E)nπ + π, n ∈ Z
A) 1
04. El ´angulo entre ⃗a y ⃗b es 150o , ||⃗a|| = 3 y ||⃗b|| = 5. Calcular: ||⃗a + ⃗b||.
O
1 (429, 460) 37 D) (15, 8) A)
15 X
11. Determinar m y n para que las rectas, L1 : P = (2, 0) + t(m, 1) y 1 L2 : P = ( , 0) + s(−2, n) sean coincidenn tes. A) 4 y−2 B) −4 y 0,5 C) −4 y 1, 5 D) 2 y 0, 5
Matemática II : Octava Semana
12. Hallar la ecuaci´on de la recta que est´a situada a 6 unidades del origen, que pasa por (10, 0) y que corta a la parte positiva del eje Y. A) 3x + 4y = 30 C) 3x + 4y = 31 E)3x + 4y = 12
B) 4x + 3y = 20 D) 3x + 4y = 15
19. Hallar el valor de a tal que la recta L1 : ax + (a − 1)y + 18 = 0 sea paralela a la recta L2 : 4x + 3y + 7 = 0. A) 1
B) 2
Y
C) 3
D) 4
E) 5
L2
O
B) 2
D) 3
20. Si el ´area del de la figura es 2u2 y L1 es ortogonal a L2 , encontrar las ecuaciones de dichas rectas.
13. Si las bases de un trapecio tienen las ecuaciones 4x − 3y + 10 = 0, 8x − 6y + 30 = 0, hallar la altura del trapecio. A) 1
C) 4
X
6
E) 5
L1
14. Dados los puntos A = (1, 1) y B = (9, 7), determinar las coordenadas de un punto de la recta L : y = x − 6, tal que el ´angulo ACB sea recto. A) (10, 2) D) (15, 4)
B) (5, 4) C) (10, 4) E)(10, 12)
15. Hallar las coordenadas del punto R sobre el −→ −→ segmento P Q tal que 5P R = 3P Q donde P = (3, 5) y Q = (9, −7). 1 A) (33, −11) 5 1 D) (3, 1) 5
1 B) (33, 11) 5 1 E) (2, 4) 5
1 C) (−33, 11)) 5
16. Hallar el punto sim´etrico de (4, 6) con respecto a la recta L : P = (3, 1) + t(2, −2). A) (−2, 0)
B) (2, 0)
C) (2, 5)
D) (2, 1)
17. Una recta corta segmentos de longitudes iguales en los ejes coordenados y pasa por (3, 2). Hallar su ecuaci´on. A) x − y = 1 C) 2x + y = 8 E)3x − y = 7
B) x + y = 5 D) x + 2y = 7
18. Una recta pasa por (3, 5) de modo tal que el segmento de ella, situado entre los ejes coordenados, es dividido por el punto dado en su mitad. Halle su ecuaci´on. A) x + y = 8 C) 2x + y = 11 E)5x + y = 20 2
B) 5x + 3y = 30 D) x + 2y = 13
A) 3x − 2y = 18; 2x + 3y = 18 B) 3x + 4y = 9; 2x − 3y = 12 C) 3x + 2y = 18, 2x − 3y = 12 D) 3x + 2y = 18; 2x − 3y = 12 E)3x − 4y = 9; 2x − 3y = 18 21. Calcular el ´area del cuadril´atero limitado por los ejes coordenados y las rectas de ecuaciones 4x + 3y = 12; 8x + 6y = 48. A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
22. La recta L1 : 3kx + 5y + k = 2 es paralela a la recta 5x + 3y = 7. Hallar el valor de la constante k. 25 25 25 A) B) C) 5 D) 3 E) 9 8 7 23. Determinar los valores de k para los cuales las rectas ky + (2k − 1)x + 7 = 0; (k − 1)y + kx = 5 se cortan en un punto situado en el eje de las abscisas. 1 1 2 5 5 A) B) C) D) E) 5 3 5 16 17 24. un rayo va dirigido por la recta 2x − 3y = 12. Al llegar al eje de las ordenadas se refleja en ´el. Determinar el punto de contacto del rayo con ´el, y la ecuaci´on del rayo reflejado. A) (1, −4); 3x + 2y = −12 B) (0, −4); 2x + 3y = −12 C) (0, 4); 2x + 3y = −12 D) (0, 4); 2x − 3y = −12 E)(0, −4); 2x − 3y = 12
Matemática II : Octava Semana
25. Dado el segmento de extremos A = (2, −2) y B = (6, 2), determinar la ecuaci´on de la recta con pendiente positiva que pasa por el origen y divide al segmento en dos partes cuyas longitudes est´an en la relaci´on de 5 a 3. A) x + 9y = 0 C) 2x + 9y = 0 E)9x + 5y = 0
B) 3x + 9y = 0 D) x − 9y = 0
26. Dada la recta L1 : 3x − 2y = −12, hallar la ecuaci´on de la recta que es paralela a L1 y que forma con L1 y los ejes coordenados un trapecio de ´area igual 15u2 . A) 2y + x = 8 C) 2y − 3x = 18 E)5y + x = 28
B) 3y + x = 16 D) 2y + 3x = 13
27. Hallar los valores de a y b si el punto de intersecci´on de las rectas L1 : ax + (2 − b)y = 23, L2 : (a − 1)x + by = −15; en el punto (2, −3). A) 4 y − 7
B) − 4 y 6
C) 4 y 7
D) 2 y 7
28. Dadas las rectas L1 : 3x + ky + 10 = 0, L2 : P = (1, 3)+t(1, 1), L3 : x−4y+14 = 0; encontrar el valor de k para que las tres rectas sean concurrentes. A) 1
B) − 1
C) − 4
D) 3
E) 5
29. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ´angulos formados por las rectas 2x + y − 7 = 0, x − 2y − 6 = 0. A) 3x − 2y = 18; 2x + 3y = 17 B) 3x + 4y = 9; 4x − 3y = 12 C) 3x + 2y = 13, 2x − 3y = 1 D) 3x − y = 13; x + 3y = 1 E)3x − 4y = 9; 4x − 3y = 18 30. La part´ıcula P1 tiene una velocidad v⃗1 = (12, −5) y parte del punto (−100, 150) en el instante t = 0. Una segunda part´ıcula P2 tiene una velocidad v⃗2 = (8, 6) y parte del punto (−120, −75) en el instante t = 0. ¿En qu´e punto se intersectar´an las trayectorias de las dos part´ıculas. A) (70, 75) B) (40, 60) C) (80, 75) D) (80, 70)
31. Hallar los puntos de intersecci´on de la circunferencia con centro en el origen y radio 4 5, con la recta de pendiente − y que pasa 3 por (1, 7). A) (4, 3)
B) (2, 7)
C) (2, 6)
D) (4, −7)
32. La distancia entre las√rectas x + 2y − a = 0, x + 2y + 4a = 0, es 2 5. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que es tangente a ambas rectas y cuyo centro se encuentra en el eje Y . 3 A) x2 + (y − )2 = 5 2 B) x2 + (y − 3 = 5 C) x2 + (y − 2)2 = 25 3 D) x2 + (y + )2 = 5 2 √ E)x2 + (y − 1)2 = 5 33. Determinar la ecuaci´on del di´ametro de la circunferencia x2 + y 2 − 6x + 4y − 12 = 0 que biseca a la cuerda cuya ecuaci´on es: 3y + x = 6. B) 3y − 2x = 11 D) 3x − y = 11
A) 2y + 5x = 12 C) 3y − 2x = 12 E)3y + 2x = 21
34. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia con centro en la intersecci´on de las rectas x + y = 4, 5x + 2y = −1 y de radio 3. A) (x + 3)2 + (y − 3)2 = 5 B) (x + 4)2 + (y − 3 = 5 C) (x + 3)2 + (y − 9)2 = 18 D) (x + 3)2 + (y − 7)2 = 9 E)(x + 5)2 + (y − 1)2 = 7 35. Hallar la m´axima distancia del punto (10, 7) a la circunferencia x2 + y 2 − 4x − 2y − 20 = 0. A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
36. Hallar la distancia del punto (4, 26) a la circunferencia x2 + y 2 + 10y = 6x + 15. A) 21
B) 23
C) 24
√ D) 962−7
E) 19 3
Matemática II : Octava Semana
37. El punto (8, 6) es el centro de una cuerda de la circunferencia x2 + y 2 − 12x − 4y = 0. Hallar la longitud de dicha cuerda. √ √ √ √ √ A) 2 5 B) 3 5 C) 4 5 D) 7 5 E) 5 5 38. Determinar el valor de la constante k para que la recta 2x + 3y + k = 0, sea tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 6x + 4y = 0. A) 21
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26
39. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 4x − 6y = 12 en el punto (−2, 6). A) 2y + 5x = 26 C) 3y − 2x = 26 E)3y + 2x = 21
B) 3y − 2x = 11 D) 4x − 3y = −26
40. Desde el punto (4, 2) se han trazado tangentes a la circunferencia x2 + y 2 = 10. Hallar el ´angulo formado por dichas tangentes. A) 45o
B) 600
C) 75o
D) 90o
E) 120o
41. El ancho de un reflector parab´olico es 12m y su profundidad es de 4m. Hallar la distancia del foco al v´ertice. A) 2
B) 2, 25
C) 2, 5
D) 3
E) 3,25
42. Hallar la ecuaci´on del lado recto de la par´abola con v´ertice en (2, 2) y foco en (5, 6). A) 3x + 5y = 26 C) 3x + 4y = 39 E)3y + 2x = 39
B) 3y + 2x = 11 D) 4x − 3y = 29
43. Hallar el centro de la circunferencia que pasa por (0, 1) y que es tangente a la curva de ecuaci´on y = x2 en (2, 4). 1 1 (−32, 53) B) (−33, 50) 10 10 1 1 C) (−32, 52) D) (32, 53) 10 10 1 E) (32, 53) 10 44. Si una par´abola vertical tiene el foco en (0, 4) y su lado recto mide 12, hallar su ecuaci´on. A)
A) x2 = 6(y − 1) C) x2 = 12(y − 3) E)x2 = 4(y − 1) 4
B) x2 = 12(y − 2) D) x2 = 12(y − 1)
45. Una piedra arrojada hacia arriba formando un ´angulo agudo con la horizontal, describe el arco de una par´abola y cae a una distancia de 16m. Hallar el par´ametro de esta par´abola si la altura m´axima alcanzada es de 12m. 3 4 3 4 A) B) 1 C) D) E) 5 4 3 2 46. Hallar la ecuaci´on de la cuerda com´ un a 2 la par´abola y = 18x y a la circunferencia (x + 6)2 + y 2 = 100. A) x = 2 C) x − y = 1 E)x = 3
B) x = 1 D) x − y = 2
47. Una elipse tiene los focos en (−7, −8) y (17, 2). Hallar el centro de la elipse. A) (−5, 3) D) (5, −3)
B) (−5, 5) E)(5, 5)
C) (5, −2))
48. El techo en el pasillo de 20 pies de ancho tiene la forma de una semielipse de 18 pies de altura en el centro y 12 pies de altura en las paredes laterales. Encontrar la altura del techo a 4 pies de cualquier pared. A) 16 pies B) 16, 2 pies C) 16, 4 pies D) 16, 8 pies E) 14 pies 49. Hallar la recta tangente a la elipse 3x2 + 4y 2 = 16 que es trazada desde el punto (3, 2). A) y − 2 D) y = 3
B) y = 1 C) y = 2 E)y = −3
50. Hallar las abscisas de los puntos de intersecci´on de la recta 20x + 21y + 12 = 0 con la hip´erbola 16x2 − 9y 2 = 144. A) 5 y−
15 15 15 B) −5 y C) 4 y 7 D) 2 y − 4 2 7
51. Hallar el ´angulo formado por las rectas as´ıntotas de una hip´erbola si la excentricidad es 2. A) 45o
B) 600
C) 75o
D) 90o
E) 120o
52. Hallar la excentricidad de la hip´erbola, si el ´angulo formado por sus as´ıntotas es 90o . √ √ √ √ √ A) 3 B) 2 2 C) 2 D) 3 2 E) − 2
