RAICES MULTIPLES
Una raíz corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de
fx=(x-3)(x-1)(x-1)
O, multiplicando términos,
fx=x3-5x2+7x-3
La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x anula dos términos de la ecuación. Gráficamente, esto significa que la curva toca tangencialmente al eje x en la raíz doble.
EJEMPLO 1:
En esta grafica se observa que x = 1La función toca el eje, pero no cruza en la raíz.En esta grafica se observa que x = 1La función toca el eje, pero no cruza en la raíz.
En esta grafica se observa que x = 1
La función toca el eje, pero no cruza en la raíz.
En esta grafica se observa que x = 1
La función toca el eje, pero no cruza en la raíz.
Una raíz triple corresponde al caso en que un valor de x se anula en
fx=(x-3)(x-1)(x-1)(x-1)
O, multiplicando,
fx=x4-6x3+12x2-10x+3
EJEMPLO 2:
En esta grafica se observa que la función es tangencial al eje en la raíz, pero en este caso si cruza el eje.En esta grafica se observa que la función es tangencial al eje en la raíz, pero en este caso si cruza el eje.
En esta grafica se observa que la función es tangencial al eje en la raíz, pero en este caso si cruza el eje.
En esta grafica se observa que la función es tangencial al eje en la raíz, pero en este caso si cruza el eje.
En general, la multiplicidad impar de raíces cruza el eje, mientras que la multiplicidad par no lo cruza.
EJEMPLO 3
En esta grafica se observa que la raíz cuádruple no cruza el eje.En esta grafica se observa que la raíz cuádruple no cruza el eje.
En esta grafica se observa que la raíz cuádruple no cruza el eje.
En esta grafica se observa que la raíz cuádruple no cruza el eje.
Las raíces múltiples ofrecen algunas dificultades a muchos de los métodos numéricos:
El hecho de que la función no cambie de signo en raíces múltiples pares impide confiarse de los métodos cerrados.
Otro posible problema se relaciona con el hecho de que no sólo f(x), sino también ƒ (x) se aproxima a cero en la raíz. Tales problemas afectan los métodos de Newton Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas (o su aproximación) en el denominador de sus fórmulas respectivas. Esto provocará una división entre cero cuando la solución converge muy cerca de la raíz. Una forma simple de evitar dichos problemas, que se ha demostrado teóricamente (Ralston y Rabinowitz, 1978), se basa en el hecho de que f(x) siempre alcanzará un valor cero antes que ƒ (x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que ƒ (x) llegue a cero.
Es posible demostrar que el método de Newton-Raphson y el método de la secante convergen en forma lineal, en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples (Ralston y Rabinowitz, 1978). Se han propuesto algunas modificaciones para atenuar este problema. Ralston y Rabinowitz (1978) proponen que se realice un pequeño cambio en la formulación para que se regrese a la convergencia cuadrática, como:
xi+1=xi-mf(xi)f'(xi)
Donde m es la multiplicidad de la raíz (es decir, m = 2 para una raíz doble, m = 3 para una raíz triple, etc.). Se trata de una alternativa poco satisfactoria, porque depende del conocimiento de la multiplicidad de la raíz. Otra alternativa, también sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978), consiste en definir una nueva función u(x), que es el cociente de la función original entre su derivada:
ux=f(x)f'(x)
Se puede demostrar que esta función tiene raíces en las mismas posiciones que la función original. Por lo tanto, la ecuación desarrollar una forma alternativa del método de Newton-Raphson:
xi+1=x1-u(xi)u'(xi)
Se deriva con respecto a x la ecuación para obtener
u'x=f'xf'x-f(x)f''(x)[f'(x)]2
Se sustituyen las ecuaciones y se simplifica el resultado:
xi+1=xi-f'xif'(xi)[f'(xi)]2-fxif''(xi)
Este método es una corrección a la técnica de Newton-Raphson, dado a que éste solo garantiza la convergencia en la raíz si y solo si la derivada de la función f(x) nunca se hace cero.
¿Para qué sirven las raíces múltiples?
El método de Newton Raphson modificado permite resolver funciones no lineales que contengan raíces críticas (máximos, mínimos o puntos de inflexión que corten el eje x), es decir, lugares donde simultáneamente la función y su derivada se hagan cero. En estos puntos la raíz se repite y por ello recibe el nombre de raíz múltiple.
Cuando la raíz es un punto de inflexión, la raíz se repite un número impar de veces.
Cuando la raíz es un máximo o un mínimo, la raíz se repite un número par de veces.
EJERCICIOS DE RAICES MULTIPLES:
f=x.^3-5.*x.^5+7.*x-3
GRAFICA
f=x.^3-5.*x.^5+7.*x-3
f'=-25*x4+3*x2+7
f''=-100*x3+6*x
xi+1=xi-f'xif'(xi)[f'(xi)]2-fxif''(xi)
BIBLIOGRAFIA
METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS, STEVEN C. CHAPRA RAYMOND P. CANAL
INGENIERIA DE LOS LOGARITMOS Y METODOS NUMERICOS, JOSE LUIS DE LA FUENTE
ARTICULO DE METODO DE NEWTON RAPHSON, UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA
METODOS NUMERICOS BASICOS PARA INGENIERIA, CARLOS ARMANDO DE CASTRO
METODOS NUMERICOS, ANTONIO RODRIGUEZ
INTEGRANTES:
KATHERYN LIZBET PUMA PILA
INCISO RIOS FRANKLIN
