UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA SEDE CUENCA
RESISTENCIA DE MATERIALES II
TEMA:
TRABAJO TRABAJO DE SINGULARIDAD
DOCENTE:
ING. PAUL TORRES
NOMBRE:
ANDRES ARIZAGA
CUENCA
2015 - 2015
OBJETIVO GENERAL: •
Realizar un estudio de las funciones de singularidad y ampliar conocimientos sobre el tema
OBJETIVOS: •
•
El objetivo del trabajo es complementar y profundizar el método de singularidad Ampliar el aprendizaje de clases acerca de los diagramas del cortante y del momento que obtenemos al analizar distintas vigas con cargas estructurales, tales vigas se encuentran en el día a día con la ingeniería.
MARCO TEORICO: El cortante y el momento se pueden describir por funciones analíticas en el caso de una viga en voladizo que soporta una carga uniformemente distribuida w, el cortante y el momento fleionantés se pueden representar por funciones analíticas quedando el cortante como!
( )
V =−w ( x ) y M =
−1 2
w ( x
2
)
esto se debi" q que no eiste discontinuidad en la carga.
En el caso de la viga simplemente apoyada que est# cargada solo en su punto central, la carga $ aplicada en el centro representa una singularidad en la carga de la viga. Esta singularidad resulta en discontinuidades en los diagramas de cortante y de momento y requiere de del uso de diferentes funciones analíticas para representar % y & en las porciones de la viga que se analizan. Este capítulo su prop"sito es mostrar como el uso de funciones de singularidad 'ace posible representar el cortante % y el momento flector & por epresiones matem#ticas (nicas
)igura *
+onsidere la viga simplemente apoyada A de longitud -a, que lleva una carga uniformemente distribuida w que se entiende desde punto medio + 'asta su soporte derec'o y que
w 0 =w
$rimero se dibuja el diagrama de cuero libre de la viga completa remplazando la carga distribuida por una carga concentrada equivalente y sumando momentos alrededor de se tiene que!
)igura -
+ ↑ ∑ MB= 0: ( wa )
( ) 1 2
1
∗a − Ra (2 a ) =0 Ra= wa 4
e corta la viga en un punto / entre A y +. /el diagrama de cuerpo libre de A/ se concluye que, en el intervalo 0 1 1 a, el cortante y el momento flector son epresados por las funciones!
)igura 2.
V 1 ( x )=
1 4
w a y M 1 ( x )=
1 4
wax
+ortando la viga en el punto E se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porci"n AE reemplazando la carga distribuida por la canga concentrada equivalente, se tiene!
)igura 3. 4viga momento 5
+ ↑ ∑ Fy = 0:
1 4
wa−w ( x − a )−V 2= 0
1
+ ↑ ∑ ME= 0: − wax − wa ( x − a ) −V 2=0 4
e concluye que, en el intervalo a 1 1 -a el cortante y el momento fleionante se epresan como! 1
V 2 ( x )=
4
wa−w ( x − a ) y M 2 ( x )=
1 4
1
wax− w ( x −a )
2
2
El 'ec'o de que el cortante y el momento flector estén representados por diferentes funciones de dependiendo de si es menor o mayor que a, se debe a la discontinuidad de la carga de la viga, sin embargo las funciones v4* y -5 pueden representarse por una epresi"n (nica. 1
v ( x )= wa− w < x − a >¿ 4
i se especifica que el segundo término deber# incluirse en los c#lculos cuando 6a e ignorarse cuando 1a en otras palabras, los corc'etes 1 6 deber#n reemplazarse por paréntesis ordinarios 4 5 cuando 6a y por cero cuando 1 a de la misma forma el momento flector queda como! 2
¿ x − a > ¿
( )
M x =
1 4
wax−
1 2
w¿
e observa que la carga distribuida en cualquier parte de la viga puede epresarse como!
W ( x ) =w < x −a >¿
/e 'ec'o, si los corc'etes deberían reemplazarse por cero para 1 a y por paréntesis para 6a7 entonces se verifica que w458 0 para 1 a y, definiendo la potencia cero para cualquier numero como la unidad que 19a6:0 849a5:- 8 *. ;as epresiones, 19a6 0, 19a6, 19a6 - , se conoces como funciones de singularidad iempre que la cantidad entre los corc'etes sea positiva o cero, los corc'etes deber#n reemplazarse por paréntesis ordinarios! en cambio, si la cantidad es negativa el corc'ete mismo es igual a cero. /e esto se sigue de la definici"n de las funciones de singularidad, que
)igura <
∫ ¿ x −a ¿
n
dx =
1
n+ 1
< x − a ¿
n+ 1
paran > 0
d n n−1 < x −a ¿ = n < x − a ¿ paran > 1 dx
)igura =.
e muestra una tabla se muestran cargas b#sicas aplicables a vigas se utiliz" el fondo con color m#s intenso con el fin de indicar, para cada carga, la epresi"n que m#s f#cilmente se deduce o recuerda y de la que otras pueden encontrarse por integraci"n.
Ejemplo! graficar los diagramas de corte y momento del ejerci" propuesto
/onde w 8 2lb>plg ; 8 *0plg Aplicando una sumatoria de momentos en y A tenemos *< lb *< lb
Realizando los diagramas. $or tener una carga distribuida el esfuerzo cortante queda
Realizando el diagrama de momentos tenemos que para el primer triangulo por ser positivo 'ar# una par#bola siendo el resultado el #rea de dic'o triangulo y ese ser# su momento m#imo cuando pasa a ser negativa la curva bajara de manera gradual. /"nde! El #rea del tri#ngulo es
A =
15 x 5 2
8 2?.<
/e esta forma se obtuvo el esfuerzo cortante y el momento m#imo de forma analítica procedemos a realizarlo por medio de &/solids. @BA! El ejercicio que se utilizo es muy sencillo con el fin de aprender a utilizar el programa y tratar de aclarar de manera detallada todos los pasos a realizar para la resoluci"n de este. *.9seleccionamos el segmento de vigas en este caso determinate beans
-.9 seleccionamos el tipo de apoyo que se utilizara son uno fijo y otro con rodamiento.
2.9seleccionamos la distancia que tendr# la viga y sus unidades 3.9a'ora seleccionamos el tipo de carga 4se observa son C tipos de cargas que se le pueden aplicar a la viga5 que tendr# la viga así como las unidades que se utilizaran y se le da clicD en enter
<.9 al darle entrer a la carga el programa nos arroja inmediatamente el diagrama de momento y cortante las reacciones que tiene la viga y diferentes tipos de unidades.
$odemos observar la curva que crea el momento y como tiene el mismo valor que la que obtuvimos de forma analítica, las reacciones y las unidades 'ay que tener muc'o cuidado con las unidades porque un mal uso de ellas nos puede afectar todo el resultado la imagen también nos muestra, cabe resaltar que para decir una fracci"n no se separa con un punto si no con una coma 42?,<5.
CONCLUSIONES: •
+omo conclusi"n podemos decir que con la aplicaci"n del método de singularidad 'emos ampliado nuestro conocimiento sobre vigas y diagramas de cortante y de momento.
•
&ediante el software &/solids pudimos ampliar el aprendizaje mediante el uso y simulaci"n del problema propuesto del software &/solids, teniendo una ventaja tecnol"gica disponible para obtener resultados y compararlos con los realizados de una forma manual.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
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R.+. ibbeler, F&E+A@G+A /E &ABERGA;EH =ta edici"n, $earson educaci"n, meico -00= eer, Io'nston, /e Jolf, &azureD, F MECÁNICA DE MATERIALES H,
