Tugas Proses Stokastik
PROSES PEMBARUAN TERTUNDA
Disusun Oleh : KELOMPOK III LILIK HARDIANTI ( H 111 08 273 ) FIFIK ASTUTI H. ( H 111 09 001 ) LA ODE MUH. IKHSAN ( H 111 09 008 ) AFRIANI ( H 111 09 009 ) ANDI MUH. AMIL SIDDIK ( H 111 09 259 ) QHARNIDA K. ( H 111 09 261 ) MUHAMMAD SADNO ( H 111 09 279 )
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2011
Proses Pembaruan Tertunda Misal
* + ∑ * + *+
adalah barisan peubah acak tak negatif yang saling bebas
dengan
mempunyai distribusi G, dan
Misalkan pula
,
mempunyai distribusi F , n > 1.
, dan didefinisikan :
Definisi
Suatu proses stokastik
disebut proses pembaruan tertunda.
Jika G = F , maka proses tersebut berbentuk proses pembaruan biasa yang berbentuk :
* + * + * + ,- ̃ ∫ , -
Misalkan :
dengan mengambil transformasi (1), didapatkan :
Proposisi : Misalkan i.
Dengan peluang 1,
dimana
ii.
iii.
dimana
Jika F tidak berkisi, maka :
dimana
iv.
Jika F dan G berkisi dengan periode d , maka :
dimana
v.
Jika F tidak kisi,
dan h Integral Riemann, maka :
Contoh Soal dan Penyelesaian : 1.
Misal N t adalah proses renewal tertunda dengan waktu antar kedatangan
jika waktu
antar kedatangan
(c,d ) maka N t berdistribusi :
berdistribusi L(a,b) dan
Ψ t (x) =
Berdasarkan teorema proses pembaruan maka :
2.
Misal N t adalah proses renewal tertunda dengan waktu antar kedatangan
jika waktu antar kedatangan
(d,e,f ) maka N t berdistribusi Ψ t (x)=
berdistribusi
(a,b,c) dan
0, jika t c f x (c f x t )
Ψ t(x) =
c f x (b e x )
, jika b e x t c f x
(2b a 2e x d x t ) (b e x ) ( a d x )
, jika b e x t c f x
1, jika t a d x
Dan nilai tersebut tidak mutlak jika memenuhi :
,- ( )
3.
, √ ,- Misal
adalah proses renewal tunda dengan waktu antar kedatangan jika waktu antar kejadian tersebut berdistribusi tak tentu
LOGN(
dan LOGN (
, maka
berdistribusi :
Berdasarkan teorema pembaruan tertunda, jika
√
, maka :
, - √ √ , - √ , - ,- csc(
Sebaliknya diketahui :
Jika
4.
dan
maka
(Sistem Paralel) Sebuah sistem paralel dengan tiga komponen yang dianggap identik. Waktu untuk kegagalan suatu komponen adalah identik dan saling bebas eksponensial dengan tingkat λ dan waktu untuk pembaruan juga identik dan saling bebas eksponensial dengan tingkat μ. Sistem akan mengalami kerusakan setiap kali semua tiga komponen menurun. Misalkan N(t) jumlah kali sistem rusak oleh waktu t. Kemudian, kita melihat bahwa
*+
adalah proses pembaruan tertunda. Misal
waktu kerusakan sistem pertama dan pertama dan kedua. Lalu
adalah
menjadi waktu antara kerusakan
adalah waktu sampai semua tiga komponen yang
turun ditambah waktu untuk perbaikan satu komponen . Namun,
adalah waktu sampai semua berfungsi (tidak harus ketiga-tiganya) komponen yang turun ditambah waktu untuk perbaikan satu komponen.
* + * + * + * + * + , Distribusi dari
diberikan :
maka :
maka fungsi pembaruan ditentukan oleh :
5. Suatu sistem terdiri dari n komponen yang saling bebas, masing-masing komponen berproses pembaruan yang bersifat eksponensial. Secara khusus, komponen i, i = 1, . . . , n, berdistribusi ekponensial dengan mean
. dan kemudian setiap keadaan yang tersisa tetap dengan mean
sebelum proses kembali dan memulainya lagi.
Misalkan sistem dikatakan berfungsi jika paling sedikit satu komponen berfungsi pada saat itu. Jika kita misalkan N (t ) dinotasikan sebagai berapa kali sistem tidak berfungsi (rusak) dalam selah [0, t ] maka adalah suatu proses pembaruan tertunda.
*+
Misalkan kita ingin menghitung rata-rata waktu antara kerusakan. Pertama, kita lihat peluang suatu kerusakan pada ( t,t+h) untuk t yang besar dan suatu h yang kecil. Kerusakan yang terjadi pada ( t,t+h) setidaknya mempunyai satu komponen pada waktu t dan komponen lainnya rusak. Hingga semua kemungkinan lain terjadi secara bersama mempunyai peluang O(h), dan :
* + { ∏ }
Menurut Teorema Blackwell hanya terjadi h kali secara resiprok (timbalbalik) dengan rata-rata waktu antara kerusakan, dan jika kita mengabaikan
kita dapatkan :
, -∏
