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Méthode de synthèse de filtre (résumé)
2007-200
Résumé de la méthode de synthèse de filtre
Sommaire !" Introdu#tion """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""" 2 2" Méthode de synthèse de filtre"""""""""""""""""" filtr e""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""" 2 2"!" S$é#ifi#%tions S$é#ifi#% tions du filtre"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" filtre""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""" 2 2"2" Ré$onse du filtre"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" filtre""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""" """" & 2"&" 'étermin%tion de lordre du filtre""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" filtre"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""& """"""""""""""""""""""""& 2"4" 'étermin%tion du $olynme""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" $olynme"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""" & 2"4"!" *%#toris%tion du $olynme $olynme en #ellules du se#ond ordre et du $remier $remier ordre""""""""""""""""""" ordre""""""""""""""""""" & 2"4"2" Mise en forme des #ellules""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" #ellules"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""" """"""" 4 2"4"&" +#ritures #l%ssi,ues des #ellules dordre ! et 2 (non norm%lisées)""""""""""""""""""""""""""""""""""""4 &" Mise en e n oeure $%r A./""""""""""""""""""""""""""""""""""""" A./"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""" """""""" 4" Mise en oeure $%r filtre 1 #%$%#ités # %$%#ités #ommutées""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" #ommutées""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""" 4"!" /résent%tion3 $rin#i$e"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" $rin#i$e""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""" """"" 4"2" Mise en oeure du M*!0"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" M*!0"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""" 4"2"!" Résumé des not%tions """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""" 4"2"2" Mise en 5%rde T/ $our l% mise en oeure du M*!0"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" M*!0"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""
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1. Introduction o89e#tif de #e do#ument est de $résenter une méthode de synthèse de filtre en s%$$uy%nt sur des outils $uiss%nts #omme MATA:" Il s%5it dun #ondensé ,ui doit $ermettre de #on#eoir des filtres %n%lo5i,ues %insi ,ue des filtres 1 #%$%#ités #ommutées" % méthode re$ose sur les $oints sui%nts !- Méthode de synthèse (norm%lis%tion3 ty$e de filtre3 ordre3 $olynme3 f%#toris%tion en $olynmes dordre ! ; 2) 2- Ré%lis%tion de filtres 1 A./ &- Ré%lis%tion de filtres 1 #%$%#ités #ommutées
2. Méthode de synthèse de filtre 2.1. Spécifications du filtre % s$é#ifi#%tion $eut se f%ire en terme de 5%in3 <(f)3 ou d%tténu%tion A(f) = !6<(f)" Exemple filtre $%sse-8%s B<(f)B f
@
f A
BA(f)B
f
Amin
Am%? f @
f A
f
Bande passante passante (>one de fré,uen#e d%ns l%,uelle le si5n%l est tr%nsmis) Atténu%tion m%?im%le %dmise Gmin 5%in minimum %dmissi8le ou Amax *ré,uen#e de #ou$ure3 #est 1 dire fré,uen#e $our l%,uelle on définit Gmin ou Amax " f C C Bande atténuée (>one de fré,uen#e d%ns l%,uelle le si5n%l est 8lo,ué) 5%in m%?im%l %dmissi8le ou Amin Atténu%tion minim%le %dmise Gmax f A *ré,uen#e d%tténu%tion3 #est 1 dire fré,uen#e $our l%,uelle on définit Gmax ou ou Amin. Normalisation : se f%it tou9ours tou9ours $%r r%$$ort 1 f @3 ? = f6 f @" @" Ainsi3 ?=! #orres$ond 1 l% fré,uen#e de #ou$ure3 ,uel,ue soit l% fré,uen#e de #ou$ure réelle (en >) du filtre"
/%sse-8%s f @ est l% fré,uen#e de #ou$ure 8%sse" – /%sse-h%ut f @ est l% fré,uen#e de #ou$ure h%ute" /%sse-8%nde ou #ou$e 8%nde 8%nde f @ est moyenne 5éométri,u 5éométri,uee des fré,uen#es fré,uen#es de #ou$ure 8%sse et – /%sse-8%nde − − h%ute3 ou 8ien des fré,uen#es %tténuées 8%sse et h%ute f C = f f C " f C = f f A " f A –
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2.2. Réponse du filtre Cn filtre ,uil soit $%sse-8%s3 $%sse-h%ut"""est #%r%#térisé $%r un $olynme (dénomin%teur en $)" Il donne l% forme de l% réponse en fréquence du filtre" Il en e?iste 8e%u#ou$3 dont les $lus #onnus sont les filtres filt res de :utterDorth3 de @he8y#he3 de e5endre""" @h%,ue @h%,ue ré$onse ré$onse $résente $résente des %%nt%5es %%nt%5es et des in#onénien in#onénients3 ts3 $%r e?em$le3 e?em$le3 un filtre de @he8y#he $résente une $ente de dé#roiss%n#e rel%tiement rel%ti ement r%ide3 m%is $résente une ondul%tion (ri$$le) d%ns l% 8%nde $%ss%nte" % ré$onse de :utterDorth est un 8on #om$romis3 elle ne $résente $%s dondul%tion d%ns l% 8%nde $%ss%nte et $ossède une r%ideur #onen%8le" '%ns l% suite3 ne seront éo,uées ,ue les ré$onses de :utterDorth et de @he8y#he"
2.. !étermination de l"ordre du filtre +lle se f%it 1 l%ide d%8%,ues ou 8ien de formule %d%$tées en fon#tion du ty$e de filtre retenu ($olynme de :utterDorth3 @he8y#he""")"
2.#. !étermination du pol$n%me +t%n +t%ntt donn donnéé l% ré$on ré$onse se du filtre3 filtre3 on $eut $eut trou troue err 1 l%i l%ide de de MATLAB3 MATLAB3 le?$ression e?%#te du $olynme #orres$ond%nt #orres$ond%nt 1 lordre oulu" Exemple : cheby1(43 cheby1(43 0"3 F0"2 "0G3 8%nd$%ss3 s) renoie le $olynme de @he8y#he dordre 4 norm norm%l %lisé isé #orr #orres$ es$on ond% d%nt nt 1 un $%sse $%sse-8 -8%n %nde de dont dont les fré, fré,ue uen# n#es es de #ou$ #ou$ur ures es 8%ss 8%ssee et h%ut h%utee H norm%lisées sont ?@ = 032 et ? @ = " ondul%tion (ri$$le) est de 03 d:" MATLAB fournit un $olynme en s %u lieu de $3 #est l% not%tion %méri#%ine" /%r Remarque MATLAB fournit %illeurs3 il f%ut 8ien noter ,ue #e $olynme est norm%lisé3 don# en toute ri5ueur3 on ne doit $%s $%rler de $ $our l% %ri%8le de %$l%#e3 %$l%#e3 m%is $lutt de /3 %ri%8le de %$l%#e %$l%#e norm%lisée" j.f p = = jx. / = 9"? +n effet3 P = = j. c C f C
2.#.1. &actorisation du pol$n%me en cellules cellules du second ordre et du premier premier ordre
e $olynme o8tenu $ré#édemment $eut tre dordre éleé (J2)3 et ne $eut $%s tre m%téri%lisé dire#tement" +n effet3 les #ellules 8ien #onnues 1 A./ sont dordre 2 m%?imum3 mme #hose $our un filtr filtree 1 #%$% #%$%#i #ités tés #omm #ommut utée ées" s" A l%i l%ide de de l% #omm #omm%n %nde de roots roots sou sous MATLAB3 MATLAB3 on ré#u$ère lensem8le des r%#ines du $olynme" +n les re5rou$%nt deu? 1 deu?3 on o8tient les #ellules en ,uestions"
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2.#.2. 'ise en forme des des cellules
e résult%t $ré#édent doit doit tre mis sous une forme %d%$tée $remier ordre – $%sse-8%s ou $%sse-h%ut $our un $remier $our un se#ond ordre – $%sse-8%s3 $%sse-h%ut ou $%sse-8%nde $our Exemple $our un $%sse 8%s3 on doit #her#her 1 o8tenir un 5%in #onst%nt 03 en 8%sse fré,uen#e ($ tend ers 0)" @el% donne en %ri%8le de %$l%#e norm%lisée
F P = =
H 0 2
! aP b.P
#e ,ui dénote une %m$lifi#%tion 0 en 8%sse fré,uen#e"
Remarque $our un filtre de ty$e :utterDorth3 8 = ! $our toute les #ellules" @el% im$ose in fine3 ,ue l% fré,uen#e $ro$re de #h%,ue #ellule est é5%le 1 l% fré,uen#e de #ou$ure f @ du filtre 1 synthétiser" @e nest $%s le #%s $our un @he8y#he $%r e?em$le" Remarque @ette forme de $olynme est très $eu instru#tie" +n effet3 on %$$rend 9uste ,ue le $olynme dordre 2 est définit $%r deu? $%r%mètres3 % et 83 #e ,ui est une éiden#e""" .n $réfère utiliser deu? %utres $%r%mètres3 ωn et m (ou ξ ou > ou en#ore K) ,ui eu?3 ont un sens $hysy,ue n pulsation propre du filtre (interse#tion des tr%#és %sym$toti,ues d%ns :ode) ou z ou m amortissement du filtre ($lus il est f%i8le3 $lus on o8ere de dé$%ssement %u? %lentours de ωn d%ns le $l%n de :ode) Q @e nest $%s un troisième $%r%mètre m%is une %utre m%nière de?$rimer l%mortissement" @est le facteur de qualité utilisé utilisé surtout $our le passe-bande" K = !6(2"m)" /hysi,uement3 #est le r%$$ort entre l% fré,uen#e #entr%le du du $%sse-8%nde et l% 8%nde 8%nde $%ss%nte 1 -&d:" 2.#.. Ecritures classiques des cellules d"ordre 1 et 2 (non normalisées)
*asse +as d"ordre d"ordre 1 H p =
!
*asse ,aut d"ordre d"ordre 1
Module ⇒ ! ,u%nd ω ⇒ ers 0
! " p
H p =
*asse +as d"ordre d"ordre 2
!
p
2"m"$
n
p
2
2 n
Module ⇒ 0 ,u%nd
ω ⇒ ers 0
H p = H 0 "
!
T"R"
2"m"$
n
p
2
2n
Module ⇒ 0 ,u%nd
2"m"$
n
p
2
ω ⇒ ers ∞
2n
*asse +ande d"ordre 2 (écriture (écriture a-ec )
2"m"$
n
2
2n !
*asse +ande d"ordre 2 (écriture (écriture a-ec m)
H p = H 0 "
Module ⇒ ! ,u%nd ω ⇒ ers ∞
*asse ,aut d"ordre d"ordre 2
H 0
H p =
" p ! " p
Module ⇒ 0 ,u%nd ω ⇒ ers ωn
p Q n
H p = H 0"
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!
p Q n
p
2
2n
Module ⇒ 0 ,u%nd ω ⇒ ers ωn
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3. Mise en oeure par !"# /our les #ellules du se#ond ordre3 on utilise des stru#tures de S%llen Ley3 R%u#h""" e?$ression de l% fon#tion de tr%nsfert se f%it en fon#tion des éléments (résist%n#es et #ondens%teurs)" % forme #l%ssi,ue3 $our un se#ond ordre et $our un filtre $%sse-8%s est (%ri%8le $) H 0
H p = !
2"m"$
n
p
2
ou en#ore
H 0
H p = !
2 n
p Q n
p
2
n2
%e#
Q=
! 2"m
n " +nfin3 on en déduit les éléments du
/%r sim$le identifi identifi#%ti #%tion3 on3 on déterm détermine ine m (ou K) et #ir#uit"
@e r%isonnement est 1 re$roduire $our tout %utre filtr%5e $%sse-h%ut ou $%sse-8%nde" /oici la structure de Sallen0e$
% fon#tion de tr%nsfert3 en $ren%nt R!=R2=R sé#rit S p ! = e p ! 2"R"@! " p R2 " C ! " C 2 " p2
.n en déduit don#
n=
!
R. C C ! " C 2
et
m=
C ! C 2
"
@h%,ue @h%,ue $olynme $olynme déterminé déterminé lors l% $h%se $ré#édente $ré#édente ser% m%téri%lisé $%r une stru#ture de S%llenS%lleney ou une stru#ture R@ dordre !"
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$. Mise en oeure par filtre % capacités commutées #.1. *résentation principe Cn filtre 1 #%$%#ités #ommutées utilise des stru#tures dites unierselles
Extrait documentation '&13
+lle #om$rend un A./ #l%ssi,ue en entrée sus#e$ti8le dtre mis en #ontre-ré%#tion (i% les entrée I! A3 et "AP"HP et "AP"HP A)" .n troue troue %ussi deu? deu? élémen éléments ts $rin#i $rin#i$%u $%u? ? ,ui sont sont les inté5r inté5r%teu %teurs" rs" .n $eut $eut oir oir ,uils ,uils sont sont #ontrlés $%r une horlo5e3 CL# A" @ette horlo5e #omm%nde l% #ommut%tion dune #%$%#ité dont oi#i le $rin#i$e % $ériode dé#h%ntillonn%5e (@ A) est notée Te" Te" ! et 2 sont tou9ours d%ns un ét%t inersé3 i@(t) ,u%nd lun est ouert l%utre est fermé" e(t) s(t) @(t) ! fermé de 0 1 Te623 ouert de Te62 1 Te (inersement $our 2)" .n su$$ose e et s #onst%nt (hy$othèse r%i si Te très $etit)" i!(t)
!
2
i2(t)
A t = 0- – #(t) = #(0-) A t = 0H – #(t) = #(0H) = e(0) (#h%r5e inst%nt%née du #ondens%teur 1 l% tension e(0)) – % #h%r5e ,ui sest %##umulée sur le #ondens%teur %ut K(0H) = @"e(0)" .r il y %%it 9uste %%nt3 l% ,u%ntité K(0-) = @"#(0-)" Ainsi l% #h%r5e ,ui % tr%ersé ! est Q & '.(e()* + ,c()-** – % tension #(0-) est l% tension ,ui ét%it en#ore %$$li,uée %u #ondens%teur %%nt l% fermeture de !3 don# 9uste %%nt louerture de 23 soit s(0)" :il%n sur une $ériode #om$lète3 ($uis,ue de Te62 1 Te3 il ne se $%sse $lus rien $our i !)3 on $eut %ffirmer ,ue l% ,u%ntité de #h%r5e é#oulée d%ns ! est Q & '.(e()* + s()** e #our%nt ,ui % #ir#ulé %ut en moyenne3 sur l% durée Te i! = ∆K 6 ∆t & '.(e()* + s()** e & '.fe.(e()* + s()** $end%nt3 l% durée te3 on $eut don# don# dire ,ue le #ir#uit 1 #ondens%teur #ommuté #ommuté $eut tre u #omme T"R"
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une résist%n#e de %leur (e-s) 6 i ! = R = 1('.f e* / R 4 15(C.fe)
i2(t)
i!(t) e(t)
@(t)
i@(t)
s(t)
(e mme r%isonnement $eut tre mené $our i2(t)3 #onduis%nt 1 l% mme #on#lusion") e(t) t s(t) t i!(t) t Te i!(t)
t 'hronoramme des randeurs mises en eu
e #our%nt i! est en f%it $ulsé 1 l% fermeture de !3 %illeurs3 il %ut 0" e #hrono5r%mme i!(t) re$résente le #our%nt moyenné d%ns d%ns linter%lle Te" Il n% $%s de?isten#e $hysi,ue" Cn mont%5e inté5r%teur est un A./ monté en inerseur %e# une résist%n#e et un #ondens%teur d%ns l% #ontre-ré%#tion" 'essinons-le %e# un #ondens%teur #ommuté 1 l% $l%#e de l% résist%n#e
i!(t) e(t)
!
2
@
i2(t) -
@(t)
i@(t) 0
H
s(t)
% fon#tion de tr%nsfert est l% sui%nte S p −! −! −C = = = " fe e p R.C $ " $ " p ! C $ " $ " p l% fré0uence de transition de linté5r%teur est " C $ " $ " p C.fe proportionnelle % fe"
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#.2. 'ise en oeu-re du '&13 e M*!0 est un #ir#uit ,ui #ontient deu? stru#tures unierselles (1 #%$%#ités #ommutées) ,ui $ermettent de $roduire toutes sortes de filtres du se#ond ordre" Cn si5n%l #%rré de fré,uen#e f#L im$ose une mme %leur de résist%n#e é,ui%lente $our #h%,ue #ondens%teur #ommuté" +t%nt donnée une fré,uen#e de #ou$ure f @3 on #hoisit (en fon#tion dune 8ro#he) f#L = !00"f @ ou 0"f @" Tou9ours $our un filtre $%sse-8%s3 le?$ression O#onstru#teurO donne H 0 = F P = 2 P P ,ui est une formule norm%lisée en /" ! Q.F n F n2 e f%#teur *n $ermet de dé#%ler l% fré,uen#e $ro$re de l% #ellule3 is 1 is de f @" identifi#%tion se f%it %lors dire#tement 1 $%rtir de l% formule trouée en 2.$.2" +n effet3 si on dénorm%lise3 /6*n = $6(ω@"*n ) " /our un sim$le $%sse-8%nde3 #est très sim$le3 on % dire#tement K et *n %ut !" dimension utilisée $%r le #onstru#teur #onstru#teur du Remarque ne $%s #onfondre * n 3 ,ui est un f%#teur s%ns dimension M*!03 %e# f n ,ui est l% fré,uen#e $ro$re $our une #ellule du se#ond ordre (,ue lon note $%rfois f 0)" #.2.1. Résumé des notations : – – – –
– – – – –
m3 z3 ou coeff%c%ent '$amort%ssement (sans '%mens%on) Q = !62m C$est *e facte+r 'e ,+a*%t- '+ f%*tre. Po+r +n passe ban'e (et +n%,+ement ) Q / fn"B0 B -tant *a ban'e passante passante 23'B (Q sans '%mens%on) f n ou f ) d%ns le l%n5%5e théori,ue usuel fr-,+ence usuel fr-,+ence propre '$+ne ce**+*e '+ secon' or're or're (H4) f ' Fr-,+ence Fr-,+ence 'e co+p+re co+p+re '+ f%*tre synth-t%ser en (H4) f ! Fr-,+ence Fr-,+ence att-n+-e (H4)" (H4)" Fr-,+ence po+r *a,+e**e on '-f%n%t '-f%n%t +ne att-n+at%on m%n%ma*e. 4 5 fr-,+ence norma*%s-e ( sans '%mens%on) p ou s 5 6ar%ab*e 'e Lap*ace (ra'"s) # ou 5 6ar%ab*e 'e Lap*ace norma*%s-e (sans '%mens%on) f n ou 6n $our #onstru#teur M*!0 ,+ant%t- sans '%mens%on ,+% permet 'e '-p*acer *a fr-,+ence propre '$+ne ce**+*e '+ secon' or're par rapport *a fr-,+ence 'e co+p+re '+ f%*tre (fc7"89 ( fc7"89 o+ fc7"199). f ) $our #onstru#teur M*!0 f n o+ f 9 'ans *e *an:a: *an:a:ee th-or%,+ th-or%,+ee +s+e*0 +s+e*0 c$est c$est '%re fr-,+ence fr-,+ence propre.
#.2.2. 'ise en 6arde 7* pour la mise en oeu-re du '&13:
Aliment%tion 7-8,9 bien découplées3 %u $lus $rès du M*!0" Att%,u Att%,uer er les %m$lif %m$lifi#%t i#%teur eurss M*!0 M*!0 %e# %e# !00m$ !00m$$ $ m%?imu m%?imum" m" es es stru#tu stru#tures res unier uniersell selles es • inté5rées d%ns le M*!0 ont tend%n#e 1 ite s%turer3 mme %e# des f%i8les K (P&)" • /l%#er les ét%5es 1 fort K en $remier %fin déiter les s%tur%tions • Toutes les résist%n#es seront su$érieures 1 3L" •
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