TASAS RELACIONADAS 2014

TASAS RELACIONADAS

Se les llama así a los problemas en que intervienen intensidades de cambio, con respecto al tiempo, de variables relacionadas. Por ejemplo, cuando se llena una cisterna cilíndrica con agua su altura h  y consecuentemente su volumen V   aumenta con el tiempo o sea son funciones del tiempo. Estas variables están relacionadas por la ecuación: V  es el radio de la cisterna.



  

r 2 h   donde r 

La razón de cambio con respecto al tiempo indica cuán rápido varía una magnitud. Una razón de cambio negativa índica que la variable en consideración está disminuyendo y si es positiva indica que está aumentando. Pasos para resolver un problema de tasas de cambio. PASOS:

1. Definir las variables con información conocida y la variable cuya tasa ha de de determinarse. Si es posible, haga una figura de la situación que se plantea (si no se da la figura) 2. Determinar una ecuación que relacione a las variables conocidas con la variable cuya tasa ha de calcularse. 3. Derivar implícitamente, con respecto al tiempo, en la educación del numeral numera l dos. 4. Sustituir en la ecuación obtenida en el paso tres todos los valores conocidos y despeje la cantidad a determinar. Ejercicio 1:  El diámetro y la altura de un cilindro circular recto son, en un cierto instante 10 cm y 20 cm   respectivamente. Si el diámetro aumenta a razón de 1 cm min min   ¿Qué

alteración de la altura mantendrá constante el volumen?

 APLICACIONES DE LA DERIVADA

CICLO II /2014

Paso 1: h: altura del cilindro D: diámetro del cilindro V: volumen del cilindro dD 

dt 

1 cm / min

dh dt 



?,

D



10, h



20

2

 APLICACIONES DE LA DERIVADA

CICLO II /2014

3

Ejercicio 2: Un auto A viaja hacia el oeste, a 50 mi/h y el auto B hacia el norte a 60 mi/h. Los dos se dirigen al cruce de dos carreteras. ¿A qué velocidad se acercan entre sí, cuando A está a 0.3 millas y B a 0.4 millas del cruce? Solución: Paso 1: Definición de variables

Sean:  x  y





distancia de A a C

distancia de B a C

 z  distancia de A a B 

Entonces

 APLICACIONES DE LA DERIVADA

CICLO II /2014

4

Ejercicio 3: Una artesa con las medidas mostradas en la figura posee extremos en forma de triángulos isósceles. Si se le echa agua a razón de 2 p 3/min. ¿Cómo está subiendo el nivel cuando hay 1 pie de profundidad?

 APLICACIONES DE LA DERIVADA

CICLO II /2014

5

Ejercicio 4:  Una cámara de TV sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete, que se produce de acuerdo ala ecuación de posición  y 50t 2  , donde y   está dado en pies y t  en segundos. La cámara está a 2000 pies del lugar de despegue. Hallar la razón de cambio del ángulo de elevación de la cámara 10 segundos después del despegue. Solución: 

 APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ejercicios de razones relacionadas 1)

CICLO II /2014

6

(Para primera evaluación colectiva)

El radio de un círculo crece 2 cm. por minuto. Determine la razón de cambio del área 2 cuando r 6 cm. R/ 24    cm min 

2)

Una cometa a 100  pies   sobre el suelo se mueve horizontalmente con una velocidad de 8

  pies  s

. ¿Con qué velocidad cambia el ángulo formado por el hilo y la horizontal, cuando se

han soltado 200  pies de hilo?

3)

Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10  pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del cono es aproximadamente tres veces su altura. ¿A qué ritmo está cambiando la altura del montón cuando su altura es 15 pies? R/

8  pies 405   min

4)

Si una bola de nieve se derrite de tal forma que su área superficial disminuye con una tasa de 1 cm 2 min . Calcule la tasa con que se reduce el diámetro en el momento en que mide 10 cm .

5)

Un reflector en el piso ilumina una pared de un edificio a 12 m . de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el edificio a una velocidad de 1.6 m / s  ¿Con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el edificio cuando está a 4 m   de la pared? R/ 0.6 m s

6)

La altura de un triángulo aumenta con una velocidad de 1 cm min , mientras que su área lo hace a una velocidad de 2 cm 2 m in . Calcule con qué velocidad aumenta la base del triángulo cuando su altura es 10 cm  y el área es 100 cm 2 .

7)

Un hombre camina 7½  Km  por hora hacia la base de una torre que tiene 18 m  de altura. ¿Con qué rapidez se acerca a la cima de la torre cuando su distancia de la base es 24 m ?

 APLICACIONES DE LA DERIVADA

8)

CICLO II /2014

Un corredor entrena en una pista circular de 100 m de radio, a una velocidad constante de m 7 . Su amigo está parado a 200 m  del centro de la pista. ¿Con qué velocidad cambia  s la distancia entre ambos cuando se encuentran a 200 metros?

9)

7

R/

7 15 m 4

 s

Una placa circular de metal se dilata por el calor, de manera que su radio aumenta con una rapidez de

0.01 cm . ¿Con qué rapidez aumenta el área cuando el radio es de

 s

2 cm?

10)

Uno de los extremos de una escalera de 15 m   se apoya contra una pared vertical levantada en un piso horizontal. Suponga que se empuja el pie de la escalera alejándola de la pared a razón de 0.9 m min , determine: a) ¿Con qué velocidad baja la extremidad superior de la escalera cuando su pie dista 4 m de la pared? b) ¿Cuándo se moverán con la misma velocidad las dos extremidades de la escalera? c) ¿Cuándo baja la extremidad superior de la escalera a razón de

11)

1.2

m min

?

El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de 3 cm h  y la altura disminuye a razón de 4

cm

h  ¿Cómo

varía el área total del cono cuando el radio mide 7 cm   y la altura mide

24 cm  ?

12)

El gas de un globo esférico se escapa a razón de

radio es 25 cm  calcule: a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio?

R/





1000 cm

min

. En el instante en que el

2 5   cm min

b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie?

13)

3

R/ 80 cm 2

min

El volumen de un cubo está creciendo a razón de 10 cm 3 min . ¿Qué tan rápido está creciendo la superficie lateral en el momento en que la arista del cubo mide 30 cm ?