Tecsup Gestión de Proyecto- Unidad 4

UNIDAD IV “EL ALGORITMO DE PERT DE UN PROYECTO ” 1. ASIGNACIÓN DE TIEMPOS A LAS ACTIVIDADES La duración de una actividad no puede fijarse, en la mayor parte de los casos, con exactitud. Depende de circunstancias aleatorias. Por ejemplo, la duración de la actividad “levantar los muros” de un cierto edificio depende, entre otras cosas de las siguientes circunstancias: averías en las máquinas, cortes de energía eléctrica, retraso en la entrega de suministros, enfermedad del personal, etc. El método PERT aborda el problema del carácter aleatorio de las duraciones de las actividades de una manera muy peculiar, pues considera tres estimaciones de tiempo distintas: la estimación optimista (a), la estimación más probable (m) y la estimación pesimista (b). El significado de estas estimaciones de tiempo es el siguiente: La estimación optimista (a) Representa el tiempo mínimo en que podría ejecutarse la actividad si todo marchara excepcionalmente bien, no produciéndose ningún tipo de contratiempo durante la fase de ejecución. Se considera que la probabilidad de poder finalizar la actividad en esta estimación optimista no es superior a 0,01. La estimación más probable (m) Llamada también estimación modal, representa el tiempo que normalmente se empleará en ejecutar la actividad. Es decir, el tiempo que se empleará cuando las circunstancias que influyen en la duración de la actividad no sean excesivamente favorables ni excesivamente desfavorables. Se considera que este tiempo es el que se hubiera producido con más frecuencia si la actividad se hubiese ejecutado un cierto número de veces. La estimación pesimista (b) Representa el tiempo máximo en que podría ejecutarse la actividad si todas las circunstancias que influyen en su duración fueran totalmente desfavorables, produciéndose toda clase clase de contratiempos. Entre estos contratiempos contratiempos se exceptúan casos extremos: incendios, huelgas, etc. Asimismo, se considera que la probabilidad de finalizar la actividad en la estimación pesimista no es superior a 0.01. Una vez establecidas las tres estimaciones de tiempo, se calcula el tiempo PERT D de ejecución de la actividad, ponderando las anteriores estimaciones por medio de la fórmula. f órmula.

D=

66

a + 4m + b 6

Elaboración y Evaluación de Proyectos

Es decir, el tiempo PERT es igual a la estimación optimista, más cuatro veces la estimación modal, más la estimación pesimista, dividiendo la suma anterior entre seis.

2. CALCULO DE LOS TIEMPOS MÁS PRONTO POSIBLE (TIEMPOS “EARLY”)

Una vez construido el gráfico que refleja las prelaciones existentes entre las diferentes actividades en que se ha descompuesto el proyecto, y después de haber asignado los tiempos de ejecución a las actividades, podemos pasar a la fase siguiente de un estudio PERT. Esta fase es puramente algorítmica; es decir, consiste simplemente en un proceso de cálculo. Este proceso comienza con el cálculo de los llamados tiempos early y last de cada suceso1. Vamos a explicar el procedimiento de cálculo de estos tiempos apoyándonos en un ejemplo concreto. Se trata de un proyecto cuyas actividades y tiempos de ejecución son las que figuran reflejadas en el siguiente cuadro. Cuadro N° 01

Duración en días Optimista Más probable Pesimista Tiempo PERT

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

1 2 3 2

1 2 9 3

4 7 10 7

2 8 14 8

1 2 9 3

5 8 17 9

4 7 16 8

0 2 4 2

2 2 2 2

8 9 16 10

Las prelaciones existentes entre las diferentes actividades que constituyen el proyecto son:

A B, C D E F G, J

precede a preceden a precede a precede a precede a preceden a

C, D E, F F H G, J I

De los datos anteriores deducimos inmediatamente el correspondiente cuadro de prelaciones, que es el siguiente:

1

Los tiempos tiempos que vamos vamos a calcular calcular en los dos primeros párrafos de este capítulo capítulo reciben en lengua inglesa inglesa los nombres de tiempos early y de tiempos last . La traducción más correcta de estos términos podría ser la de tiempos más pronto posible y más tarde permisible, respectivamente. No obstante, en la literatura especializada en lengua española se ha popularizado el empleo de ambos términos, early y last , por lo que nosotros los utilizamos con más frecuencia que sus correspondientes términos equivalentes en nuestra lengua.


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Cuadro N° 02

Actividades Precedentes (1) (2) A B C D E F G H I J

____ ____ A A B,C B,C,D F E G, J F

A partir del cuadro de prelaciones construimos el correspondiente gráfico PERT, que está representado en la figura 2.1. Sobre cada arco del gráfico hemos colocado una letra que designa a la actividad correspondiente, así como el tiempo PERT de ejecución de la misma. Sobre este gráfico vamos a proceder al cálculo de los tiempos early y last. Comenzaremos con los tiempos early. El tiempo early de un cierto suceso j trata de medir el tiempo mínimo necesario para llegar a ese suceso, es decir, lo más pronto que se puede llegar a él. El procedimiento de cálculo de estos tiempos es iterativo, se efectúa de izquierda a derecha del gráfico, comenzando por el suceso inicio del proyecto al que se le designa un tiempo early de 0 (cero). Para distinguirlo de los tiempos last, que calcularemos posteriormente, se inscribe este tiempo en un triángulo. Una vez calculado el tiempo early del suceso inicial, se calculan los tiempos early de los sucesos en los que finalizan actividades que nacen en el suceso inicio del proyecto. En nuestro ejemplo, tenemos que calcular los tiempos early de los sucesos que vienen representados por los vértices 2 y 3. Obviamente, el tiempo early del suceso representado por el vértice 2 es igual a dos días. Ahora bien, ¿cuál es el tiempo early del suceso representado en el vértice 3? A primera vista parece que ese tiempo tendría que ser igual a tres días, pues ese es el tiempo que se necesita para poder finalizar la actividad B. Sin embargo, eso no es cierto, ya que el suceso representado por el vértice 3 representa simultáneamente el fin de las actividades B y C y el comienzo de las actividades E y F, y a los tres días de haberse iniciado el proyecto estaremos todavía ejecutando la actividad C. (Recuerde F1 es una actividad ficticia, no consume recursos). El tiempo early del suceso representado por el vértice 3 tiene que ser igual a nueve días, ya que es el tiempo mínimo que se necesita para poder finalizar las actividades B y C y por tanto, poder comenzar las actividades E, F.

68


El método que hemos empleado para calcular el tiempo early del suceso representado por el vértice 3 puede generalizarse, de manera que nos sirva para efectuar este cálculo en cualquier suceso del proyecto. En efecto, el tiempo early de un cierto suceso j, que representaremos por t j será igual a:

t j =

máx (

t i + t ij ),

i

( 2.1 )

Donde t ij es la duración de la actividad que comienza en el suceso representado por el vértice i y finaliza en el suceso representado por el vértice j.

Es decir, el tiempo early de un cierto suceso j se calcula eligiendo la mayor de las sumas obtenidas, al sumar los tiempos early de los sucesos inmediatamente anteriores con los tiempos PERT de las actividades que finalizan en dicho suceso j. Así, por ejemplo, el tiempo early del suceso representado por el vértice 4 es igual a:

t4

= máx ( 2+8= 10; 9+0=9 ) = 10

Aplicando iterativamente la fórmula (2.1) de los demás sucesos de nuestro proyecto, obtenemos los restantes tiempos early que están reflejados en el gráfico de la figura 2.1.

El tiempo early del suceso fin del proyecto tiene una importancia especial, pues nos indica el tiempo mínimo necesario para poder finalizar el proyecto. Este tiempo mínimo, que en lo sucesivo se denominará duración del proyecto, será el objetivo a cubrir por los encargados del control del proyecto. En nuestro ejemplo, el tiempo early del suceso fin del proyecto es 31. Por tanto, la duración del proyecto es de treinta y un días.


69

Figura N° 1

70


3. CÁLCULO DE LOS TIEMPOS MÁS TARDE PERMISIBLE (TIEMPOS “LAST”)

Una vez calculados los tiempos early, proseguimos la fase algorítmica del PERT calculando los llamados tiempos last. El tiempo last de un cierto suceso i trata de medir lo más tarde que podemos llegar a ese suceso de manera que la duración del proyecto (medida por el tiempo early del suceso final) no se retrase en ninguna unidad de tiempo. El procedimiento de cálculo de estos tiempos es también iterativo, efectuándose de derecha a izquierda del gráfico y comenzando por el suceso fin del proyecto, al que se le asigna un tiempo last igual al tiempo early previamente calculado. Para distinguir los tiempos early de los last se inscriben estos últimos en un cuadrado2. Una vez calculado el tiempo last del suceso final (vértice 9), se calculan los tiempos last de los sucesos en los que nacen actividades que finalizan en el suceso fin del proyecto. En nuestro ejemplo, tenemos que calcular los tiempos last de los sucesos representados por los vértices 5 y 8. Obviamente el tiempo last de ambos es igual a 29, que también es el tiempo last correspondiente al vértice 7, pues los vértices 7 y 8 están unidos por un arco que representa una actividad ficticia. El cálculo del tiempo last del suceso siguiente, el correspondiente al vértice 6, es algo más complicado, pues de este vértice salen dos arcos (actividades G y J). Podría pensarse que el tiempo last de ese suceso es 21 (29 – 8 = 21), ya que sumando esa cantidad a los ocho días necesarios para ejecutar la actividad G podríamos estar en el suceso representado por el vértice 8 en su tiempo last. El suceso representado por el vértice 6, además de representar el inicio de la actividad G, representa el inicio de la actividad J. Por tanto, si el tiempo last de este suceso fuera 21, esto implicaría un retraso de dos días en la finalización del proyecto, pues no estaríamos en el suceso representado por el vértice 7 antes de los treinta y un días. Del razonamiento efectuado se deduce que el tiempo last del suceso correspondiente al vértice 6 ha de ser igual a 19. El razonamiento anterior puede generalizarse obteniendo una fórmula general que nos permita calcular el tiempo last de cualquier suceso del proyecto. En efecto, el tiempo last de un cierto suceso i, que representaremos por t i* será igual a:

t i* =

mín ( t j

*

- t ij ),

j

( 2.2 )

Es decir, el tiempo last de un cierto suceso i se calcula restando a los tiempos last de los sucesos en los que finalizan actividades que nacen en dicho suceso i, la duración de dichas actividades, eligiendo seguidamente entre todas las 2

A lo largo de nuestra explicación utilizaremos siempre este sistema de representación, es decir, los tiempos early inscritos en un triángulo y los tiempos last inscritos en un cuadrado. No obstante, existen otros sistemas para representar estos tiempos. Así, suele ser bastante usual dividir el círculo, en el que se numera el vértice, en tres partes. En la parte de la izquierda se escribe el tiempo early (ti); en la parte de la derecha, el tiempo last (ti*), y en la parte inferior, el n úmero del vértice (i). Así, por ejemplo, si para el vértice 3 el tiempo early del suceso correspondiente es 5, y el tiempo last 8, escribiríamos: 5 8 3


71

diferencias, la menor. Así, por ejemplo, el tiempo last del suceso representado por el vértice 3 es igual a:

t3*

= mín ( 29 - 3= 26; 10 - 0= 10 ) = 10

Aplicando iterativamente la fórmula (2.2) a los demás sucesos de nuestro proyecto, obtenemos los restantes tiempos last que están reflejados en el gráfico de la figura N° 1.

4. MATRIZ DE CÁLCULO PARA LOS TIEMPOS “EARLY” Y “LAST” El procedimiento de cálculo de tiempos early y last que hemos descrito en los apartados anteriores de esta unidad es sencillo y fácil de aplicar si el gráfico correspondiente no es muy grande. En gráficos PERT formados por numerosas actividades, el procedimiento anterior puede volverse engorroso. Zaderenko3 ha propuesto un método matricial de cálculo de tiempos early y last que resulta muy sencillo, tanto en gráficos pequeños como en gráficos muy grandes. Otra ventaja del algoritmo de Zaderenko es que, pudiendo efectuarse con facilidad los cálculos de manera manual, puede asimismo programarse sin dificultad para ser procesado en computador. Vamos a explicar el método de Zaderenko, aplicándolo al cálculo de los tiempos early y last de nuestro ejemplo. Para ello comenzaremos construyendo una matriz cuadrada cuya dimensión sea igual al número de vértices que posee el gráfico, nueve en nuestro caso. Los elementos de esta matriz indican los tiempos PERT de las actividades que nacen en el vértice que corresponde a la fila que cruza ese elemento y finalizan en el vértice que corresponde a la columna que cruza dicho elemento4. La matriz correspondiente a los datos de nuestro ejemplo está representada en el cuadro 2.1. Para calcular los tiempos early se comienza por agregar una columna adicional en la parte izquierda de la matriz, en la que se irán escribiendo los valores de los tiempos early. El primer elemento de esa columna es cero, ya que éste es el valor del tiempo early del suceso inicio del proyecto. Para calcular los tiempos early de los demás sucesos se opera de la siguiente manera: se suman los elementos de la columna que corresponde al suceso cuyo tiempo early estamos calculando a los elementos de la columna adicional que representen sucesos en los que comienzan actividades que finalizan en el suceso del que estamos calculando su tiempo early. De todas las sumas obtenidas, la mayor nos indicará el tiempo early buscado. Así, por ejemplo, para calcular al tiempo early del suceso correspondiente al vértice 3 sumaremos los elementos de esa columna (3 y 7) a los dos primeros elementos 3 4

Zaderenko, S.G. Sistema de Programación por camino crítico . Editorial Librería Mitre, 1968 Páginas 35 – 37. Cuando los vértices del gráfico, como ocurre en nuestro ejemplo, se enumeran de manera que i j, la matriz correspondiente será triangular. Es decir, solamente los elementos situados por encima de la diagonal principal podrán tomar un valor distinto de cero.

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de la columna adicional (0 y 2). Como de las dos sumas la mayor es 9, (7+2=9 3+0=3), el tiempo early del suceso correspondiente al vértice 3 será 9.

Operando de esta forma se completa la columna adicional de tiempo early. Otro ejemplo sería, el tiempo early del suceso correspondiente al vértice 8 sumaremos los elementos de la columna 8, (8 y 0) a los dos elementos que les corresponden horizontalmente en la columna adicional (19 y 29). Como de las dos sumas la mayor es 29, (29+0=29 19+8=27), el tiempo early del suceso correspondiente al vértice 8 será 29. Operando de esta forma se completa la columna adicional de tiempos early. Estos tiempos early están representados en las columnas (4) y (5) del cuadro 2.2.

Para calcular los tiempos last, se comienza por agregar una fila adicional en la parte inferior de la matriz, en la que se irán escribiendo los valores de los tiempos last. El primer elemento de esa fila (contando por la derecha) es 31, ya que éste es el valor del suceso fin del proyecto, que, como sabemos, coincide con su tiempo early.

Para calcular los tiempos last de los demás sucesos se opera de la siguiente manera: se restan los elementos de la fila que corresponde al suceso cuyo tiempo last estamos calculando a los elementos de la fila adicional, que representan sucesos en los que finaliza la actividad que comienza en el suceso del que estamos calculando su tiempo last. De todas las diferencias obtenidas, la menor nos indicará el tiempo last buscado.

Así, por ejemplo, para calcular el tiempo last del suceso correspondiente al vértice 6, restaremos los elementos de la sexta fila de la matriz (8 y 10) a los elementos segundo y tercero de la fila adicional (29 y 29). Como de las dos diferencias la menor es 19, el tiempo last correspondiente al vértice 6 será 19.

Para calcular el tiempo last del suceso correspondiente al vértice 3, restaremos los elementos de la tercera fila de la matriz (0 y 3) a sus correspondientes en la fila adicional (10 y 29). Como de las dos diferencias la menor es 10, (29-3=26 10-0=10) el tiempo last correspondiente al vértice 3 será 10. Operando de esta forma se completa la columna adicional de tiempos last. Estos tiempos last están representados en las columnas (6) y (7) del cuadro 2.2.


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Cuadro N° 03

Matriz de Zaderenko ti

J

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

-

-

-

-

-

-

7

8

-

-

-

-

-

0

3

-

-

-

-

-

9

-

-

-

-

-

-

2

10

8

-

0

-

i 0

1

2

2

9

3

10

4

12

5

19

6

29

7

29

8

31

9 t*i

2

0

2

10

10

29

19

29

29

31

5. CONCEPTO DE HOLGURAS Y DE CAMINO CRÍTICO EN EL MÉTODO PERT La información que proporciona al responsable del control del proyecto el conocimiento de los tiempos early y last de los diferentes sucesos no es, en sí misma, demasiado importante, con la excepción del tiempo early o last del suceso fin del proyecto, pues, como hemos indicado en esta unidad, este tiempo representa la duración del proyecto, siendo esta duración el objetivo a lograr por parte del responsable del proyecto. Ahora bien, la verdadera importancia de los tiempos early y last es que constituyen la base para el cálculo de las holguras, que son la pieza fundamental en todo el proceso de análisis del método PERT.

74


Comenzaremos por el concepto de holgura de suceso. La holgura de un cierto suceso i, que representaremos por Hi se define como la diferencia entre los tiempos last y early de dicho suceso, es decir: *

H i= t i - t i

( 2.3 )

La holgura de un suceso nos indica el número de unidades de tiempo en que puede retrasarse la realización del mismo, de manera que la duración del proyecto (medida por el tiempo early del suceso fin del proyecto) no experimente ningún retraso. Así, en el ejemplo que estamos desarrollando, la holgura del suceso 6 es cero (19 – 19 = 0).

Es decir, el suceso fin de la actividad F y comienzo de las actividades G e I no puede experimentar ningún retraso con respecto al tiempo calculado de diecinueve días, pues ese retraso influiría en la duración prevista del proyecto.

Por el contrario, la holgura del suceso 5 es de diecisiete días (29 – 12 = 17). Es decir, el suceso fin de la actividad E y comienzo de la actividad H puede retrasarse un máximo de diecisiete días con respecto al tiempo calculado de doce días, sin que por ello la duración prevista del proyecto experimente ningún retraso. Aplicando la fórmula (2.3) a los demás sucesos del proyecto obtenemos las holguras correspondientes. Estas holguras están representadas en las columnas (8) y (9) del cuadro 2.2 (cuadro de holguras).

A continuación, vamos a definir el concepto de holgura total de una actividad5. La holgura total de una cierta actividad ij, que representaremos por HT ij, se define como el tiempo que resulta de restar al tiempo last del suceso final el tiempo early del suceso inicial y la duración de la actividad, es decir: HT ij *

HT ij = t j - t i - t ij

5

(2.4)

Esta holgura se suele denominar en bastantes ocasiones holgura de actividad a secas, pues en realidad es la única holgura que se establece para las actividades en el método PERT. Las otras holguras de actividad que estudiamos posteriormente, la libre y la independiente, no son propias del método PERT, sino del CPM, aunque en este método no reciban el nombre de holguras, sino de flotantes (traducción al español del término inglés Float). No obstante, las holguras libres e independientes pueden incorporarse al proceso de análisis del PERT, pues proporcionan una información complementaria que resulta de gran utilidad.


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Cuadro N° 04

Actividad Designación Duración (1) (2) (3)

t i t j t i* t j* Hi Hj HT ij HLij HIij Camino (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) Crítico (13)

1 – 2

A

2

0

2

0

2

0

0

0

0

0

CC

1 – 3

B

3

0

9

0

10

0

1

7

6

6

---

2 – 3

C

7

2

9

2

10

0

1

1

0

0

---

2 – 4

D

8

2

10

2

10

0

0

0

0

0

CC

3 – 5

E

3

9

12 10 29

1

17

17

0

-1

---

4 – 6

F

9

10

19 10 19

0

0

0

0

0

CC

5 – 9

H

2

12

31 29 31

17

0

17

17

0

---

6 – 7

J

10

19

29 19 29

0

0

0

0

0

CC

6 – 8

G

8

19

29 19 29

0

0

2

2

2

---

8 – 9

I

2

29

31 29 31

0

0

0

0

0

CC

La holgura total de una actividad nos indica el número de unidades de tiempo en que puede retrasarse la realización de la actividad con respecto al tiempo PERT previsto, de manera que la duración del proyecto no experimente ningún retraso. Así, en el ejemplo que estamos desarrollando, la holgura total de la actividad F es cero (19 – 10 – 9 = 0). Es decir, la realización de la actividad F no puede experimentar ningún retraso con respecto al tiempo PERT previsto de nueve días, pues ese retraso incidiría en la duración prevista del proyecto. Por el contrario, la holgura de la actividad B es de siete días (10 – 0 – 3 = 7). Es decir, la realización de la actividad B puede demorarse siete días con respecto al tiempo PERT previsto de tres días, sin que esa demora repercuta en la duración prevista del proyecto. Aplicando la fórmula (2.4) a las demás actividades del proyecto obtenemos las holguras correspondientes. Estas holguras están representadas en la columna (10) del cuadro N° 04. Es muy importante, que el lector tenga en cuenta que si una actividad consume la totalidad o parte de su holgura total, este hecho puede producir una disminución en la holgura total de la actividad siguiente. En efecto, en nuestro ejemplo las holguras totales de las actividades E y H valen 17 en ambos casos. Sin embargo, si la actividad E consumiera la totalidad de su holgura, la correspondiente holgura de la actividad H pasaría a ser de cero, pues el tiempo early del suceso inicio de dicha actividad se habría convertido en 29. De igual forma si la actividad E consumiera, por ejemplo, diez días de su

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holgura total, la correspondiente holgura de la actividad H descendería a siete días, pues el tiempo early del suceso inicio de dicha actividad pasaría a ser de veintidós días. Aquellas actividades cuya holgura total sea cero se denominan actividades críticas. Uniendo todas las actividades críticas se forma un camino que va desde el vértice que representa el suceso inicio del proyecto al vértice que representa el suceso fin del proyecto. Este camino recibe el nombre de camino crítico y resulta esencial para efectuar el control del proyecto. En efecto, el responsable del proyecto deberá extremar la vigilancia de estas actividades críticas, pues un retraso en la realización de cualquiera de ellas producirá un retraso en la finalización del proyecto. En nuestro ejemplo, el camino crítico está formado por las actividades: A, D, F, J e I. En lo sucesivo utilizaremos una doble línea para representar las actividades críticas, pues de esta forma se podrá distinguir fácilmente el camino crítico en un gráfico. En la columna (13) del cuadro N° 04 se han marcado con el signo CC las actividades críticas. De otra parte, el responsable del control del proyecto no debe desatender a las actividades no críticas, pues un retraso excesivo en su ejecución puede llegar a convertirlas en críticas, cambiando la estructura del camino crítico del gráfico. Así, si la ejecución de la actividad C se demora dos días con respecto al tiempo PERT previsto de siete días, pasará a ser actividad crítica, dejando de serlo la actividad D. Este cambio de camino crítico producirá un retraso de un día en el tiempo previsto para finalizar el proyecto. Para que una actividad sea crítica es necesario que la holgura de los sucesos inicio y fin de la actividad sea cero. Ahora bien, esta condición, aunque necesaria, no es suficiente. Así, la actividad G no es crítica (tiene una holgura total de dos días), aunque la holgura de sus sucesos inicial y final son cero. Por otro lado, en un gráfico PERT puede existir más de un camino crítico. Así, en nuestro ejemplo, si el tiempo PERT previsto para la actividad G fuera de diez días en vez de ocho, esta actividad pasaría a ser crítica, por lo que en el gráfico aparecería un nuevo camino crítico, el formado por las actividades A, D, F, G e I. Es interesante que el lector tenga en cuenta que el camino crítico no es otra cosa que el camino de longitud generalizada máxima que va desde el vértice que representa el suceso inicio del proyecto al vértice que representa el suceso fin del proyecto. Por tanto, para calcular el camino crítico de un gráfico podremos aplicar los algoritmos de teoría de gráficos que permiten calcular el camino de longitud generalizada de un gráfico6.

6

Los lectores interesados en esta forma de calcular el camino crítico pueden consultar, entre otros trabajos: BALLESTERO, E. op. It. Apéndice VII; Kaufmann, A. Y Desbazeile, G, op. It págs. 61 – 70.


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6. HOLGURA LIBRE ACTIVIDAD

Y

HOLGURA

INDEPENDIENTE

DE

UNA

Una vez establecidos e interpretados los conceptos de holgura de suceso, holgura total de una actividad y camino crítico de un gráfico PERT, pasamos a estudiar los conceptos de holgura libre y holgura independiente de una actividad. Estos conceptos no son específicos del método PERT, sino que pertenecen al método CPM, aunque con el nombre de flotantes libres e independientes. No obstante, como ya habíamos comentado en el apartado anterior, estas holguras, pese a no ser propias del PERT, proporcionan una información complementaria muy útil, por lo que las vamos a incorporar a la fase de análisis del método PERT. Comenzaremos por el concepto de holgura libre de una actividad. La holgura libre de una cierta actividad ij, que representaremos por HLij se define como el tiempo que resulta de restar al tiempo early del suceso final el tiempo early del suceso inicial y la duración de la actividad, es decir: L

H ij = t j - t i - t ij

(2.5)

La holgura libre de una actividad nos indica la cantidad de holgura disponible después de haber realizado la actividad, si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos early. Es decir, la holgura libre representa la parte de la holgura total que puede ser consumida sin perjudicar a las actividades siguientes. Así, en el ejemplo que estamos desarrollando la holgura libre de la actividad B es de seis días (9 – 0 – 3 = 6) frente a una holgura total de siete días. Esto quiere decir que de los siete días de holgura total se pueden consumir seis días, pudiendo, pese a ello, comenzar las actividades siguientes, E y F, en sus tiempos early. Por el contrario, la holgura libre de la actividad E es cero ( 12 – 9 – 3 = 0) frente a una holgura total de diecisiete días. Esto quiere decir que de los diecisiete días de holgura total no se puede consumir ningún día, si queremos que la actividad siguiente, que es la H, comience en su tiempo early. Aplicando la fórmula (2.5) a las demás actividades del proyecto obtenemos las holguras correspondientes. Estas holguras están representadas en la columna (11) del cuadro N° 04. De la observación de las fórmulas (2.4) y (2.5) se deduce que la holgura libre de una cierta actividad será siempre menor o igual que su holgura total. Para que ambas holguras sean iguales es condición necesaria y suficiente que la holgura del suceso fin de la actividad sea cero, pues en tal caso los tiempos early y last del suceso fin de la actividad coinciden (t j = t j*) por lo que las fórmulas (2.4) y (2.5) se hacen iguales. Para finalizar, vamos a establecer el concepto de holgura independiente de una actividad. La holgura independiente de una cierta actividad ij, que

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representamos por HIij, se define como el tiempo que resulta de restar al tiempo early del suceso final, el tiempo last del suceso inicial y la duración de la actividad, es decir:

H ij = t j - t

i

- t ij

(2.6)

La holgura independiente de una actividad nos indica la cantidad de holgura disponible después de haber realizado la actividad, si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos last. Esta holgura es escasa y a veces negativa. Aplicando la fórmula (2.6) a las actividades en que está descompuesto el proyecto que estamos estudiando obtenemos las holguras correspondientes. Estas holguras están representadas en la columna (12) del cuadro 2.2. De la observación de las fórmulas (2.5) y (2.6) se deduce que la holgura independiente de una cierta actividad será siempre menor o igual que su holgura libre. Para que ambas holguras sean iguales es condición necesaria y suficiente que la holgura del suceso inicio de la actividad sea cero, pues en tal caso los tiempos early y last del suceso inicio de la actividad coinciden (t i = t*i), por lo que las fórmulas (2.5) y (2.6) se hacen iguales. Por tanto, la condición necesaria y suficiente para que las tres holguras de actividad coincidan es que las holguras del suceso inicio y del suceso fin de una actividad sean nulas.

7. ESTABLECIMIENTO DE UN CALENDARIO DE EJECUCIÓN DEL PROYECTO El proceso de cálculo que hemos desarrollado en los apartados anteriores de esta unidad proporciona una información de gran utilidad para el responsable encargado de la ejecución del proyecto. Por otra parte, de esta información puede deducirse fácilmente un calendario de ejecución del proyecto, que va a constituir la pieza básica para efectuar el control del mismo. En este calendario se establecen cuatro fechas básicas para cada una de las actividades: fecha de comienzo más temprana, fecha de comienzo más tardía, fecha de finalización más temprana y fecha de finalización más tardía. Seguidamente vamos a definir cada una de estas fechas. La fecha de comienzo más temprana de una cierta actividad ij, que representamos por Δij , nos indica lo más pronto que puede comenzarse la actividad ij. Obviamente, dicha fecha será igual a la dada por el tiempo early del suceso inicio de la actividad, es decir: Δij = t i (2.7)

La fecha de comienzo más tardía de una cierta actividad ij, que representamos por Δ* ij, nos indica lo más tarde que puede comenzarse la actividad ij, de manera que la duración prevista del proyecto no se retrase en ninguna unidad


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de tiempo. Dicha fecha será igual a la dada por la suma del tiempo early del suceso inicial y la holgura total de la actividad, es decir: Δ* ij = t i + HT ij (2.8)

Teniendo en cuenta la fórmula de la holgura total de una actividad, dada por (2.4), la expresión (2.8) se convierte en: Δ* ij = t* j - t ij (2.9)

La fecha de finalización más temprana de una cierta actividad ij, que representaremos por ij, nos indica lo antes que puede finalizarse la ejecución de la actividad ij. Dicha fecha será igual a la dada por la suma del tiempo early del suceso inicial y el tiempo PERT previsto para esa actividad, es decir: ij

= t i + t ij (2.10)

La fecha de finalización más tardía de una cierta actividad ij, que representaremos por ij *ij nos indica la fecha tope en que puede finalizarse la actividad ij, de manera que la duración prevista del proyecto no se retrase en ninguna unidad de tiempo. Obviamente, dicha fecha será igual a la dada por el tiempo last del suceso final de la actividad, es decir: *ij

= t* i (2.11)

Las fechas de comienzo más temprana y más tardía para una actividad crítica coinciden. En efecto, al ser la actividad crítica, su holgura total es cero (HTij = 0), por lo que las fórmulas (2.7) y (2.8) o (2.7) y (2.9) coinciden. Asimismo, las fechas de finalización más temprana y más tardía para una actividad crítica también coinciden, ya que al ser la holgura total de la actividad cero, esto implica que t* j = t i + t ij, por lo que las fórmulas (2.10 y (2.11) coinciden. Por otra parte, se puede comprobar, por simple sustitución, que la diferencia de tiempo existente entre las fechas de comienzo más tardía y más temprana es exactamente igual a la diferencia de tiempo existente entre las fechas de finalización más tardía y más temprana (es decir: Δ*ij - Δij = *ij - ij ). Además, dicha diferencia coincide con el valor de la holgura total de la actividad. A partir de las fórmulas anteriores se puede establecer fácilmente un calendario de ejecución del proyecto. Así, vamos a calcular, a título de ejemplo, las cuatro fechas correspondientes a la actividad C (la que nace en el suceso representado por el vértice 2 y finaliza en el suceso representado por el vértice 3). En este proyecto se toma como fecha de inicio del mismo el día 17 de octubre de 1977, no considerándose laborales ni los sábados ni el día 1 de noviembre. Las cuatro fechas para la actividad C se obtendrán aplicando las fórmulas anteriores; de esta manera obtenemos:

80


Δ 23 = 2 (19 de octubre). Δ*23 = 2 + 1 = 3 (20 de octubre). 23

= 2 + 7 = 9 (28 de octubre).

* = 23

10 (31 de octubre).

Las fechas anteriores se llevan al diagrama – calendario de la figura 2.2. Repitiendo el proceso con las demás actividades en que está descompuesto el proyecto se completa dicho diagrama – calendario. De este diagrama se deduce fácilmente el calendario de ejecución del proyecto que está representado en el cuadro N° 05.

Figura N° 2


81

Cuadro N° 05: Calendario de Ejecución del Proyecto

Actividad

Fecha de comienzo

A B C D E F G H I J

Fecha de finalización

17 octubre 17 – 26 octubre 19 – 20 octubre 19 octubre 28 octubre – 23 noviembre 31 octubre 14 – 16 noviembre 3 – 28 noviembre 28 noviembre 14 noviembre

19 octubre 20 – 31 octubre 28 – 31 octubre 31 octubre 3 – 28 noviembre 14 noviembre 24 – 28 noviembre 7 – 30 noviembre 30 noviembre 28 noviembre

ESQUEMA GENERAL Actividades, sucesos y prelaciones entre las actividades.

Tiempo early o last de las actividades.

Conoce ( 1 )

Empresario

Recibe ( 5 )

Información para ejecución y control del proyecto.

Determina ( 2 )

Obtiene ( 3 )

- Camino crítico. - Duración del proyecto.

Construye ( 4 )

Calendario de ejecución del proyecto.

Figura N° 3

82


8. EJERCICIOS Ejercicio N° 1 Un proyecto puede descomponerse en las siguientes actividades: Cuadro N° 06

Actividades

Prelaciones

Estimación optimista

Estimación pesimista

Estimación Modal

A B C D E F G I J K L M

A precede a B, C B precede a I C precede a D, E D precede a G, M, I E precede a F F precede a K, L G precede a K, L I precede a J J precede a L --------------------------------------------M precede a J

0 1 3 4 1 2 5 2 0 1 2 1

4 9 5 6 3 10 7 4 2 5 6 3

2 2 4 5 2 3 6 3 1 3 4 2

Se pide: a) Asignar tiempos a cada una de las actividades. b) Efectuar el cuadro de prelaciones. c) Dibujar el gráfico PERT. Enumerar los sucesos recordando que al inicio de una actividad. d) corresponde un suceso menor que a final de la misma actividad. e) Desarrollar el algoritmo de Demoucrón. f) Gráfico PERT ordenado por niveles. g) Encontrar tiempos early y last según la matriz de Zaderenko. h) Desarrollar el cuadro de holguras. Solución: Obtener los tiempos PERT, de acuerdo con las estimaciones optimista, pesimista y modal, asignados a las diferentes actividades. Cuadro N° 07

Actividades Tiempo PERT

A

B

C

D

E

F

G

I

J

K

L

M

2

3

4

5

2

4

6

3

1

3

4

2

Haga uso de la fórmula: Tiempo PERT = (Estimac. Optimista + Estimac. Pesimista + 4 x Estimac. Modal)/ 6.


83

Por ejemplo: Cuadro N° 08

Actividad

Tiempo PERT

A B C D

(4+2x4)/6=2 (1+9+2x4)/6=3 (3+5+4x4)/6=4 (4+6+5x4)/6=5

Cuadro de prelaciones: Cuadro N° 09

Actividades

Precedentes

A

-----

B

A A C C E D B, D I, M F, G F, G, J D

C D E F G I J K L M

Gráfico PERT. I

6

7

J B M 1

A

F1

2

C

9

5

F2

1

K

G

D E 3

L

F

4

8

Figura N° 4

84


Determinación de niveles por el algoritmo de Demoucrón. (Considerar también las actividades ficticias) Cuadro N° 10

j i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

9

10 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 0 0 0

1 2 2 1 3 1 1 1 0 X

1 1 2 2 2 2 1 0 3 1 1 0 0 X 0 X X X X X

1 1 1 X 0 X X X X X

1 1 0 X X X X X X X

1 0 X X X X X X X X

0 X X X X X X X X X

10

9

7 8

4 6

5

3

2

1

VII

VI

VI

V

IV

III

II

I

Gráfico PERT ordenado por niveles.

I

6

7

J

B F1 1

A

M

2

L

9

10

5

C

F2

G

D

E 3

4

F

K

8

Figura N° 5


85

Tiempos early y last, empleando la matriz de Zadarenko.( En las actividades ficticias considerar un tiempo PERT de cero). Cuadro N° 11 ti

j

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

2

5 -

3 0

2 3

4 6 -

1 0

3 4

2

6

13

11

13

16

17

17

21

i 0 2 6 11 11 11 14 17 17 21

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t i*

0

Luego, la duración del proyecto es de 21 unidades de tiempo. Cuadro de holguras. (Aquí, no se incluyen las actividades ficticias, ya que estas no consumen tiempo, ni tienen holgura). Cuadro N° 12

Actividad Designación Duración t i t j t i* t j* Hi Hj HT ij HLij HIij Camino (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) Crítico (13) 1–2

A

2

0

2

0

2

0

0

0

CC

2–3

C

4

2

6

2

6

0

0

0

CC

2–6

B

3

2

11

2

13

0

2

8

-----

3–4

E

2

6

11

6

13

0

2

5

-----

3–5

D

5

6

11

6

11

0

0

0

CC

4–8

F

4

11 17 13 17

2

0

2

-----

5–7

M

2

11 14 11 16

0

2

3

-----

5–8

G

6

11 17 11 17

0

0

0

CC

6–7

I

3

11 14 13 16

2

2

2

-----

7–9

J

1

14 17 16 17

2

0

2

-----

8 – 10

K

3

17 21 17 21

0

0

1

-----

9 – 10

L

4

17 21 17 21

0

0

0

CC

86


Por lo tanto la ruta crítica es: A – C – D – G – F2 – L. Realice el gráfico calendario y el calendario de ejecución del proyecto.

CASO PRÁCTICO N°2 (Debe ser enviado al profesor en la fecha señalada). Se pretende controlar, por medio del método CPM, el proceso de lanzamiento de un nuevo producto al mercado. Las diferentes actividades en que se puede descomponer la fase de lanzamiento del producto, así como los tiempos previstos de ejecución para cada una de las actividades, están representados en el siguiente cuadro. Cuadro N° 13

Designación de la actividad

Tiempo necesario ( semanas )

A) Compra de materias primas.

2

B) Producción del stock inicial.

4

C) Envasado del stock inicial.

1

D) Estudio del mercado.

6

E) Estudio de la campaña de publicidad.

3

F) Realización de la campaña de publicidad.

5

G) Estudio y diseño de los envases.

2

H) Preparación de los envases.

2

I) Selección del equipo de vendedores.

3

J) Entrenamiento del equipo de vendedores.

4

k) Selección de los posibles distribuidores.

3

L) Venta a los distribuidores.

5

M) Envío de los primeros pedidos.

2

Por la naturaleza del problema, las prelaciones existentes entre las diferentes actividades son:


87

A precede a B B, H preceden a C C, L preceden a M D precede a G, I , K E precede a F G precede a E, H I precede a J J, K preceden a L L preceden a M

Se pide: Cuadro de prelaciones. Gráfico de actividades. Encontrar tiempos early y last según Zaderenko, y mostrarlos en el gráfico. Confeccionar el cuadro de holguras y señalar el camino crítico. Realizar el gráfico calendario y el calendario de ejecución del proyecto.

88


Tecsup Gestión de Proyecto- Unidad 4

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