Tema 01 - Conceptos Basicos de Electrotecnia

1 SistemasElectrotécnicosdePotencia–1ºSISTEMASDEREGULACIÓNYCONTROLAUTOMÁTICOS Profesor:JoséMaríaDelgadoCasado

Curso 2008/2009

TEMA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ELECTROTECNIA. 1. CORRIENTE ELÉCTRICA. Recibe el nombre de corriente eléctrica el desplazamiento de electrones sobre un cuerpo conductor. Todos los cuerpos tienden al estado eléctricamente neutro, por lo que si se pone un cuerpo con exceso de electrones en contacto con otro con defecto, se establecerá de forma natural entre ellos un intercambio de electrones, hasta que se igualen eléctricamente con la misma carga. Es fundamental tener en cuenta que los electrones se mueven del cuerpo menos cargado al más cargado (de negativo a positivo), mientras que el sentido convencional elegido para la corriente es el contrario, por simplicidad de análisis. Llamaremos circuito eléctrico al camino a través del cual se desplazan los electrones. Cualquier material puede constituir un circuito eléctrico. La resistencia que ofrecen los materiales al paso de la corriente eléctrica no es siempre la misma. Se expresa a través de un valor que se denomina constante dieléctrica. 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ELECTRICIDAD. 1) Tensión (o diferencia de potencial): Denominamos tensión o diferencia de potencial al desnivel eléctrico existente entre dos puntos de un circuito. Su unidad en el sistema internacional es el Voltio [V], y su magnitud se representa indistintamente con las letras U, V, u y v, reservándose generalmente las mayúsculas para valores de continua y las minúsculas para valores de alterna o instantáneos de la magnitud. 2) Corriente (o intensidad): Denominamos corriente a la cantidad de electricidad (carga eléctrica Q, que es el número total de electrones que recorren un conductor en un momento determinado) que atraviesa un conductor por unidad de tiempo. Su unidad en el sistema internacional es el amperio [A], y su magnitud se representa con las letras I e i.

Matemáticamente se cumple:

SISTEMAS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICOS


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3) Resistencia: Llamamos resistencia a la dificultad que presenta un material al paso de la corriente eléctrica. Se representa con la letra R y su unidad es el Ohmio ( Ω). Cada material posee una resistencia específica característica que se conoce con el nombre de resistividad específica ( ρ). Cuanto menor sea la resistividad, mejor conductor es el material. Podemos expresar la resistividad como:

R

L =

ρ ⋅

[1.1]

S

donde L representa la longitud del conductor y S la sección del mismo. De este modo, la resistividad nos viene dada, cuadrando magnitudes, en Ω mm2 / m. La inversa de la resistividad es la conductividad ( σ), cuyas unidades son las inversas de la resistividad. Son muy corrientes los valores para el Cobre (56) y Aluminio (35).

4) Ley de Ohm:

La Ley de Ohm relaciona las tres magnitudes electrotécnicas principales, estableciendo que “en un circuito eléctrico, la intensidad de corriente que lo recorre es directamente proporcional a la tensión aplicada e inversamente proporcional a la resistencia que éste presenta”. Matemáticamente se expresa de la forma:

I

U =

[1.2]

R

5) Potencia eléctrica: La potencia eléctrica es siempre la cantidad de trabajo desarrollado en la unidad de tiempo. Llamaremos potencia eléctrica al producto de la tensión por la corriente. Tendremos que distinguir 3 tipos de potencia: a) Potencia activa:

Es la potencia real absorbida o disipada por una carga totalmente resistiva. Se mide en

Watios [W]. b) Potencia reactiva:

Potencia de flujo y reflujo entre una fuente y la carga, que no es aprovechada en forma

de trabajo. Se mide en Voltio-Amperios reactivos [VAr]



c) Potencia aparente:

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Suma (vectorial) entre las potencias activa y reactiva. Se mide en Voltio-Amperios

[VA].

Teniendo en cuenta la definición de potencia, podemos expresar ésta de la forma: P

=

[1.3]

U ⋅ I ⋅ cosϕ

donde el término ϕ es el ángulo de desfase entre la magnitud tensión y la magnitud corriente. Al término cos ϕ se le denomina “factor de potencia”, ya que de su valor depende la cantidad de potencia que es aprovechada en forma de trabajo, y que depende fundamentalmente de la carga conectada. Tal y como antes se definió, el resto de potencia que no es aprovechada en forma de trabajo es lo que conocemos como potencia reactiva (Q), o potencia de flujo y reflujo entre la fuente y la carga, que de igual forma viene dada por la expresión: Q

=

[1.4]

U ⋅ I ⋅ sin ϕ

Podemos observar que P y Q son complementarias. La potencia entregada por la fuente podemos expresarla como: 



[1.5]

S = U ⋅ I = P + Q

donde S representa la potencia aparente [VA], dada por la suma vectorial de la potencia activa y la potencia reactiva, y representa la potencia cuyo aprovechamiento depende fundamentalmente de la carga 1. Con las definiciones dadas previamente, es sencillo deducir algunas expresiones para el cálculo de potencia activa, reactiva y aparente. Para el caso de que el factor de potencia sea la unidad (carga totalmente resistiva):

P

=

U ⋅ I ⋅ cosϕ

=

U ⋅ I

=

U ⋅

2

U R

U =

R

1

[1.6]

La potencia de los transformadores en centros de transformación siempre viene dada por potencia aparente (p.e. 1000 VA o 1 KVA). La razón es que el aprovechamiento de esta capacidad de suministro de potencia del transformador dependerá de las cargas conectadas. Del factor de potencia de las mismas depende si esta potencia es aprovechada totalmente (1000 W para el caso de cosϕ =1) o no (para un factor de potencia menor, disminuirá P y aumentará Q).



P

=

U ⋅ I ⋅ cosϕ

=

I ⋅ R ⋅ I

2

=

I

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[1.7]

⋅ R

Para aquellos casos en que la carga no sea totalmente resistiva (cos ϕ < 1), las relaciones entre P, Q y S pueden deducirse fácilmente recurriendo al llamado triángulo de potencias:

S

Q

ϕ

P De acuerdo al análisis por el teorema de Pitágoras del triángulo de potencias, se puede deducir fácilmente que: P

=

S ⋅ cosϕ

Q

=

S ⋅ sin ϕ

tan ϕ

=

=

U ⋅ I ⋅ cosϕ

[1.8]

U ⋅ I ⋅ sin ϕ

[1.9]

Q

sin ϕ =

cosϕ

=

S P

S

Q =

P

[1.10]

6) Energía eléctrica: La energía eléctrica [E] es el trabajo desarrollado en un circuito eléctrico durante un tiempo determinado. Viene dado por la fórmula: E

=

[1.11]

P ⋅ t

y su unidad de medición, al tratarse de una energía, es el Julio [J]. Del estudio de dimensiones, podemos igualmente deducir que 2: 1 J

=

[1.12]

1W ⋅ 1s

2

De esta forma, un múltipo de esta unidad es el Kw.h, empleado como término de medición de consumo de energía en las facturas eléctricas.



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2. MAGNITUDES CONTINUAS Y ALTERNAS. Las magnitudes en electrotecnia pueden clasificarse de acuerdo a diversos criterios, como por ejemplo de acuerdo a su variabilidad e invariabilidad en el tiempo. De este modo, representando las magnitudes frente al tiempo en un sistema de coordenadas, obtenemos lo que se denomina forma de onda de las magnitudes. De entre las distintas clasificaciones de magnitudes eléctricas, nos centraremos en aquella que las clasifica de acuerdo a su forma de onda, entre periódicas sinusoidales (alternas) y formas de onda continuas o invariables en el tiempo. 1) Formas de onda continuas o invariables en el tiempo.-

Son aquellas cuyo valor es constante a lo largo del tiempo. Para el caso de la tensión y corriente, sus magnitudes suelen representarse como V DC o VCC (para la tensión) o I DC o ICC (para la corriente). En ocasiones, suele recurrirse a la representación de las magnitudes en mayúsculas para simbolizar la magnitud continua y minúscula para representar la magnitud alterna.

Figura 1.1. Forma de onda continua.

2) Formas de onda alternas.-

Por formas de onda alternas identificamos aquellas cuyo valor de magnitud es variable en el tiempo con una periodicidad concreta. Dentro de estas, las más representativas de magnitudes físicas son las ondas sinusoidales, que es la que se obtiene de los generadores de centrales eléctricas, y constituyen además la base de la producción, transporte y distribución de energía eléctrica, ya que los valores de tensión y corriente son adaptables en magnitud gracias al uso de transformadores. Una onda sinusoidal tiene la forma:



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Figura 1.2. Forma de onda alterna.

Existen una serie de parámetros fundamentales de las ondas de alterna que son básicos a la hora de analizar una onda de alterna: 1) Periodo y frecuencia.Entendemos por periodo el tiempo que invierte la onda periódica en realizar un ciclo completo. Se mide en segundos [s]. Su relación con la frecuencia es:

[1.13] La frecuencia la mediremos en Herzios [Hz]. 2) Valor máximo (de pico o de cresta).El valor de pico o de cresta de una forma de onda periódica es el valor máximo que alcanza dicha señal [Vmáx o I máx]. Por otro lado, el valor pico a pico [V pp o I pp] es la diferencia entre el valor máximo de la señal y el valor mínimo de la misma.

Figura 1.3. Forma de onda alterna cuadrada.

3) Frecuencia angular (o velocidad angular).-



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La velocidad se expresa como la relación que existe entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en dicho recorrido. Si el espacio recorrido es e y el tiempo empleado en recorrerlo es t diremos que la velocidad v = e / t Si se recorre con un vehículo una distancia de 144 Km. en 2 horas, podemos decir que su velocidad (media) es de v = 144 / 2 = 72 Km./h. Del mismo modo, en un movimiento circular, es decir, en aquel cuya trayectoria es una circunferencia, se puede definir de otra manera la velocidad. Ahora nos interesa, más que el camino recorrido, el ángulo que ha descrito nuestro movimiento durante un tiempo determinado. Y así diremos que si nuestro móvil se traslada a lo largo de la circunferencia un ángulo de 70º en 2 segundos diremos que se ha movido con una velocidad de 70/2 = 35º en un segundo. Esta nueva manera de expresar la velocidad se denomina velocidad angular (w). De esta forma, la velocidad angular nos expresa la relación que existe entre el ángulo recorrido por un móvil y el tiempo empleado en recorrer dicho ángulo. La velocidad angular se mide en radianes por segundo [rad/s], teniendo en cuenta que una circunferencia de 360º tiene un ángulo equivalente en radianes de 2 π. El movimiento angular tiene una relación directa con la representación de una forma de onda a lo largo del tiempo. Imaginemos de esta forma que la magnitud representada en la forma de onda [v(t) o i(t)] varía a lo largo del tiempo con una forma de onda senoidal. Dado que el seno del ángulo que forma la recta que une el centro de una circunferencia con un punto sobre la misma viene dada por la relación expresada en la figura:

Podemos de esta forma imaginar que, para generar la función senoidal a la que estamos acostumbrados, el punto (x,y) vaya girando con una cierta velocidad sobre el perímetro de un círculo de radio unidad, de forma que el seno del ángulo variará entre 0 y |1| según el punto vaya recorriendo con velocidad uniforma el perímetro de la circunferencia. A esa velocidad de recorrido la denominamos velocidad angular (w), y la forma de onda generada podríamos representarla de la forma que aparece en la figura 1.2, donde



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podemos ver que para los instantes correspondientes a wt= n π/2 el valor de la función senoidal tensión es máximo, mientras que para los instantes correspondientes a wt= n3 π/2 el valor de la función senoidal es mínimo, siendo 0 para los instantes en que el punto (x,y) se encuentra en el eje de ordenadas (n π). Podemos de esta forma representar analíticamente la función senoidal anterior como: v ( t ) = V m

⋅ sin( wt + ϕ )

[1.14]

Siendo: v(t).- Valor instantáneo de la magnitud tensión [v]. Vm.- Valor máximo de la tensión. w.- Velocidad angular [rad/s]. De esta forma dado que T es el tiempo de duración de un ciclo, la relación entre w y T vendrá dada por: [1.15]

ϕ.-Ángulo

de desfase. Es el ángulo inicial formado por el radio antes de empezar a contar el tiempo.

En el movimiento sinusoidal representa el desplazamiento del eje vertical respecto del comienzo de la sinusoide. De esta forma podemos concluir que el movimiento sinusoidal no es más que la proyección del movimiento circular sobre unos ejes de ordenadas y abcisas.

4) Valor medio.Entendemos por valor medio de una magnitud periódica al promedio integral en un periodo T, es decir, a su valor medio en un ciclo. Matemáticamente:

V med

1 =

T

∫ f (t )dt

T 0


[1.16]


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5) Valor eficaz.Suele representarse por

o

(valor cuadrático medio o root mean square), y es el valor medio

del cuadrado de la función en un periodo T. Matemáticamente viene dado por:

V rms

1

=

T

f ( t ) dt T ∫ 2

[1.17]

0

En el caso de representar corrientes en vez de tensiones, los valores medios y eficaces tienen un signif significa icado do físic físicoo import important ante, e, y es que que el valor valor medi medioo de una una corrie corriente nte alte alterna rna (

) indica indica el valo valorr consta constante nte

de una corriente continua que produce la misma cantidad de electricidad en el periodo T que la onda alterna; mientras que el valor eficaz indica el valor constante I de una corriente continua que produce la misma cantidad de calor en el periodo T que la onda periódica, al circular por una resistencia de valor R. Del resultado de la integral anterior para una onda senoidal obtenemos la relación entra el valor máximo y el valor eficaz de una magnitud, que podemos expresar como:

[1.18]

3. ELEMENTOS PASIVOS EN ELECTROTECNIA. Los elementos y componentes eléctricos y electrónicos pueden clasificarse de acuerdo a multitud de criterios (por su estructura física, material de fabricación, funcionamiento…), como veremos en temas posteriores. Dentro de los componentes eléctricos y electrónicos nos centraremos en primer lugar en aquellas que denominamos componentes pasivos . Estos son aquellos que disipan o almacenan energía eléctrica, y constituyen los receptores o cargas de un circuito o forman parte de otras partes esenciales de estos como pueden ser elementos de filtrado. Pueden realizar tres funciones: a) Disipación de energía eléctrica (R). b) Almacenamiento de energía en campos magnéticos (L).



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c) Almacenamiento de energía en campos eléctricos (C). De cara al estudio de las leyes básicas que rigen el comportamiento de los circuitos eléctricos, nos centraremos en los elementos que cumplen las funciones anteriormente descritas: resistencias (R), bobinas (L) y condensadores (C). 3.1. Resistencias. La resistencia es el elemento del circuito en el que se disipa energía eléctrica. Las resistencias o resistores los clasificamos como fijos, variables y no lineales. a) Fijas. Tienen un valor concreto invariable dentro de una cierta tolerancia. Dependiendo de su uso, se fabrican de uno u otro material. Su uso en sistemas eléctricos de potencia se reduce al calentamiento a caídas de tensión provocadas, como por ejemplo en sistemas de arranque de motores. En este caso, suelen ser voluminosas y construirse en materiales como la baquelita, buen aislante térmico. En electrónica las más corrientes son de aglomerado, película de carbón y película metálica, y su valor viene dado mediante código de colores, como podemos ver en la figura Independientemente de su uso, su valor viene dado en Ohmios ( Ω), y es igualmente importante, además de su valor nominal en Ohmios, la potencia que son capaces de disipar en su diseño. Dado que la resistencia es un elemento que no provoca desfase entre tensión y corriente, su cos ϕ = 1. Su símbolo más habitual es:

Figura 1.4. Resistencia



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Figura 1.5. Códigos de colores de resistencias (Fuente: Wikipedia).

b) Variables. Son resistores cuyo valor resistivo se puede variar. Se clasifican en ajustables y potenciómetros. Sus símbolos respectivos son:

Figura 1.6. Potenciómetro y resistencia variable.

c) No lineales. Son aquellas en las que la resistencia depende de ciertos valores externos, como por ejemplo la temperatura: NTC (disminuye la resistencia al aumentar la temperatura), PTC (aumenta la



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resistencia al aumentar la temperatura), LDR (la resistencia depende de la cantidad de luz recibida), VDR o varistor (la resistencia depende de la tensión aplicada)… En el uso dentro del campo de la electrónica de potencia, es igualmente destacable el aspecto del encapsulamiento,

es decir, la forma en la que las resistencias van encerradas dentro de un cuerpo que les

permite la interconexión en el circuito, aislamiento exterior, etc., ya que de ello dependen muchas de sus propiedades. Asociación de resistencias Como elementos pasivos en un circuito, las resistencias pueden asociarse de dos formas: en serie o en paralelo. a) Asociación de resistencias en serie: Para una serie de resistencias R 1, R 2, R 3, … R n colocadas en serie en un circuito, el valor de la resistencia asociada viene dado por: [1.19]

RT = R1 + R2 + R3 + ... + Rn

…. R 1

R 2

R 3

R n

b) Asociación de resistencias en serie: Para una serie de resistencias R 1, R 2, R 3, … R n colocadas en paralelo en un circuito, el valor de la resistencia asociada viene dado por: 1 RT

1 =

R1

1 +

R2

1 +

R3

+

... +

1 Rn


[1.20]


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R 1 R 2 R 3 …. R n

3.2. Condensadores. El condensador es un elemento pasivo en un circuito eléctrico o electrónico capaz de almacenar energía eléctrica en forma de campo eléctrico. Suelen estar compuestos por 2 láminas conductoras separadas por un material aislante (dieléctrico). Existe una gran diversidad de condensadores, según la función que deban cumplir (de filtrado, de estabilización, de almacenamiento de energía, de corrección de factor de potencia), material (cerámicos, de plástico, electrolíticos,…),etc. Los iremos viendo con detalle en temas posteriores. Los condensadores se definen por dos parámetros fundamentales: capacidad y tensión. a) Capacidad.Se denomina capacidad de un condensador a la propiedad de almacenamiento de energía eléctrica del mismo. Depende de 2 factores: de la tensión aplicada entre sus bornes (armadura) y de sus características constructivas. De forma general, se cumple que: Q

=

C ⋅ V


[1.19]


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donde: Q.- Carga eléctrica del condensador (Culombios). C.- Capacidad del condensador (Faradios). V.- Tensión entre placas (Voltios). Dado que el Faradio es una unidad excesivamente elevada para la medición de capacidades, se recurre a submúltiplos como el microFaradio (1 µF = 10-6 F), nanoFaradio (1nF = 10 -9 F) o picoFaradio (1pF = 10-12 F). La capacidad de un condensador depende fundamentalmente de sus características constructivas. Para un condensador de placas, se cumple que:

C

2

S [ m ]

ε =

4π ⋅ 9 ⋅ 10

9

⋅

[1.20]

d [ m ]

b) Tensión.La tensión es uno de los parámetros fundamentales de un condensador, ya que afecta directamente al proceso de carga y descarga. Un condensado tiene un valor límite de tensión entre sus placas, que es hasta donde aguanta el dieléctrico sin perforarse. Para explicar la variación de la tensión entre placas de un condensador en sus procesos de carga y descarga, recurriremos a la figura 1.8. En ella tenemos un condensador conectado en serie con una resistencia R (circuito RC) y con una fuente de tensión continua. El circuito se cierra a través de un interruptor S.

Vcc

S

R

C Figura 1.8. Circuito RC.



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Para explicar la variación de la tensión entre placas de un condensador en sus procesos de carga y descarga, recurriremos a la figura 1.8. En ella tenemos un condensador conectado en serie con una resistencia R (circuito RC) y con una fuente de tensión continua. El circuito se cierra a través de un interruptor S. Proceso de carga del condensador Inicialmente, el condensador se encuentra descargado. Dado que no fluye corriente por el circuito (interruptor S abierto), en función de la Ley de Ohm expresada por [1.2], una de las armaduras del condensador se encuentra a V+, mientras que el potencial de la otra armadura es indefinido y por tanto el condensador se encuentra descargado. En el instante t=0, procedemos a cerrar el interruptor S. Bajo esta circunstancia, comenzará a circular corriente por el circuito en función del valor de la resistencia R. Se da la circunstancia que esta corriente que circula no es constante, sino que irá disminuyendo con el tiempo hasta que el condensador se encuentre totalmente cargado y ya no circule corriente. Como podremos deducir posteriormente cuando veamos las leyes de Kirchhoff, la corriente en un instante determinado vendrá dada por la expresión:

i( t )

=

V cc R

⋅e

(

− t RC

)

[1.21]

Consecuentemente, a medida que disminuye la corriente, aumentará la tensión en bornes de condensador, que partirá de su valor inicial (V 0, que hemos supuesto 0) a su valor final, que es la tensión de la fuente Vcc.

V C ( t )

=

V cc

− (V cc − V 0 ) ⋅ e

(−

t RC

)

[1.22]

Al producto RC se le denomina constante de tiempo del circuito, ya que de su valor depende la rapidez de carga y descarga del condensador. Proceso de descarga del condensador El proceso de descarga del condensador es similar al anteriormente descrito. Supongamos que hemos cortocircuitado la fuente de tensión de la figura 1.8, por lo que la situación actual sería la de la figura 1.9.



R

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S

C Figura 1.9. Circuito RC.

El condensador parte de un estado inicial V cc. En t=0, al cerrar el interruptor, y debido a la carga eléctrica almacenada en el condensador, se establecerá una corriente eléctrica variable con el tiempo, que irá disminuyendo progresivamente hasta llegar a 0 en el momento en que el condensador se encuentre sin carga. La tensión en bornes del condensador en un instante t vendrá dada por la expresión:

V C ( t )

=

V cc ⋅ e

(−

t RC

)

[1.23]

La corriente por el contrario vendrá dada por la misma expresión [1.21], ya que parte de un valor inicial, determinado ahora por la carga inicial del condensador, y tiende a cero en un tiempo infinito, instante en que el condensador estaría totalmente descargado y por tanto la corriente sería nula.

Mediante inferencia inductiva, vemos que de lo anteriormente expuesto llegamos a una conclusión, y es que en un condensador, la corriente que circula a través del mismo es directamente proporcional a la variación de tensión entre sus bornes. A mayor variación de tensión, mayor corriente, y viceversa. Matemáticamente, podemos expresarlo como:

i( t )

=

C ⋅

du( t )

[1.24]

dt

De igual forma podemos deducir matemáticamente la relación inversa entre tensión y corriente, que vendrá dada de este modo por: u( t )

=

v ( t 0 ) +

1

t

∫ i(t )dt

C t

0


[1.25]


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Asociación de condensadores Un aspecto fundamental a la hora de analizar el comportamiento de los condensadores en circuitos eléctricos es conocer el comportamiento de sus parámetros fundamentales en las asociaciones de los mismos. De esta forma se cumple: a) Condensadores en serie: La capacidad total de la asociación de condensadores viene dada por: 1 C T

1 =

C 1

1 +

1

C 2

+

C 3

+

... +

1 C n

[1.26]

b) Condensadores en paralelo: En paralelo, los condensadores suman sus capacidades, de forma que se cumple que: C T

=

C 1

+

C 2

+

C 3

+

... + C n

[1.27]

3.3. Bobinas. La bobina es un elemento pasivo capaz de almacenar energía eléctrica en forma de campo magnético. Se representa por el símbolo:

La bobina es un elemento poco usado en electrónica de potencia, debido a su tamaño, y su uso en la misma suele restringirse a etapa de filtrado de señal. En sistemas eléctricos de potencia, la bobina es más un elemento inherente a ciertas cargas que un componente individual y separado. Es el elemento fundamental de transformadores y motores eléctricos, en los cuales se produce una conversión energética eléctrica-eléctrica o eléctrico-motriz en las cuales la bobina realiza la misión fundamental de la transformación, con una serie de contraprestaciones que veremos más adelante.



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El parámetro fundamental de la bobina es su autoinductancia L (o coeficiente de autoinducción). Se mide en Henrios (Hr), y representa el flujo magnético que atraviesa la propia bobina debido al campo magnético creado por la corriente que circula a través de ella. La ecuación fundamental de comportamiento de la bobina viene dada por:

u( t )

=

L⋅

di( t )

[1.28]

dt

La ecuación anterior nos muestra que la caída de tensión en la bobina es directamente proporcional al coeficiente de autoinducción y a la variación de la corriente a través de la misma. De este modo, podemos deducir que si i(t)=cte, como en el caso de corriente continua, no existe caída de tensión en la bobina. Por tanto, en corriente continua la bobina se comporta como un cortocircuito . Por el contrario, si i = i(t), a partir de la ecuación anterior, podemos expresar de forma inversa la corriente en función de la tensión de la forma:

i( t ) = i( t 0 ) +

1 L

t

∫ u(t )dt

[1.29]

t 0

Asociación de bobinas El principio de asociación de inductancias es similar al de resistencias. En serie, la inductancia total del conjunto es la suma de las inductancias individuales de cada una de las bobinas, mientras que en paralelo la inversa de la inductancia total es la suma de las inversas de cada una de las inductancias asociadas en paralelo.

4. PRINCIPIOS Y TEOREMAS PARA LA RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS. 4.1. Simplificación en circuitos mixtos. Uno de los factores fundamentales en la resolución de circuitos eléctricos es su simplificación. Previo paso a la resolución del circuito por alguno de los teoremas que a continuación veremos, la regla general dice que siempre hemos de tender a la expresión más simple y sencilla del circuito que no modifique su comportamiento.



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Algunas de las claves de la simplificación de los componentes pasivos de un circuito ya las hemos visto a la largo del tema, como son la asociación de componentes pasivos en serie y paralelo. De todos modos, rara vez se puede aplicar esta técnica al caso de bobinas y condensadores para el análisis de comportamiento del circuito en el dominio del tiempo, ya que su planteamiento nos obliga a entrar en el campo de las ecuaciones diferencias, herramienta matemática que queda mucho más allá del alcance de esta unidad y este módulo. Hasta llegar por tanto al tema 9, donde nos introduciremos en el análisis de circuitos electrónicos en el dominio de la frecuencia, nos centraremos pues en dominar la técnica de análisis de circuitos de potencia únicamente introduciendo las resistencias como elementos pasivos (circuitos puramente resistivos), y las fuentes de alimentación de tensión y corriente continuas como elementos activos. Normalmente los circuitos que nos encontremos no tendrán únicamente elementos resistivos en serie o paralelo, sino que estarán colocados de forma que no sea posible una simplificación única, sino simplificaciones sucesivas hasta reducir el circuito a la expresión más sencilla posible. El proceso a seguir será siempre el siguiente: 1) Reducir el circuito a un circuito equivalente lo más sencillo posible a base de asociar aquellas partes que estén claramente acopladas en serie o paralelo. 2) Dibujar sucesivamente los circuitos equivalentes obtenidos en los pasos intermedios de simplificación, indicando magnitudes conocidas y desconocidas. 3) Calcular las magnitudes desconocidas del circuito equivalente directamente o mediante la aplicación de los principios y teoremas del análisis electrotécnico.

Dependiendo del tipo de análisis del circuito, será necesario añadir además al proceso una serie de suposiciones de base. Para nuestro caso, partiremos siempre de la suposición de que los elementos conectores entre elementos pasivos son ideales, y por tanto, sin resistencia, que estará concentrada totalmente en las resistencias del circuito. 4.2. Leyes de Kirchhoff. Las leyes de Kirchhoff se emplean para resolver circuitos complejos de CA y CC en los cuales existan varios generadores y receptores interconectados. 1ª Ley de Kirchhoff:

“En todo circuito eléctrico, la suma de las intensidades que entran en un nudo es igual a

la suma de intensidades que salen del mismo”. Un nudo (o nodo) del circuito es un punto donde confluyen bornes de distintos elementos del circuito. SISTEMAS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICOS


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Gráfica y analíticamente, la ley puede expresarse como: n

n

∑ I

in

=

∑ I

i 1

[1.30]

out

i 1

=

=

Para un nudo de la forma:

I 1 I 4

I 3

se cumple que:

I 1 + I 3 + I 4 = I 2

I 2

2ª Ley de Kirchhoff:

“En un circuito cerrado, la suma algebraica de las fuerzas electromotrices (fem) de los

generadores es igual a la suma algebraica de las caídas de tensión en los receptores”. O de otra forma: “A lo largo de un camino cerrado o malla de un circuito eléctrico, la suma algebraica de todas las diferencias de potencial es igual a cero”. Es decir, para un circuito de la forma:

E

I V= I R

R Figura 1.10. 2ª Ley de Kirchhoff

Si aplicamos la 2ª Ley de Kirchhoff a la única malla del circuito:



E − R ⋅ I

=

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[1.31]

0

Veamos un caso más complejo para un circuito de 2 mallas y detallemos los pasos a dar. Para el circuito de la figura 1.11 deseamos conocer las corrientes que circulan por cada rama y las caídas caí das de tensión en cada elemento del circuito, conocidos los valores de las fuentes de tensión y de cada una de las resistencias.

Figura 1.11. Circuito de ejemplo.

Los pasos a dar en un circuito de este tipo son los siguientes: 1) Fijamos arbitrariamente el sentido de circulación de corrientes en cada rama (aunque arbitrariamente es posible, la lógica nos suele marcar unas pautas). Una vez resuelto el circuito, si el sentido elegido de la corriente es erróneo, el valor final lo obtendremos con signo negativo, señal de que la corriente circula en sentido contrario. (Figura 1.12) I1

A

I3

I2 B Figura 1.12. Marcamos el sentido de las corrientes.

2) La aplicación de la 2ª Ley de Kirchhoff requiere fijar previamente y de forma arbitraria un sentido de recorrido para cada malla, tal y como observamos en la figura 1.13. Las fuerzas electromotrices (fem) y las caídas de tensión se consideran positivas si la flecha que indica su sentido coincide con el sentido de recorrido de la malla, y negativas en caso contrario.



M1

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M2

Figura 1.13. Marcamos el sentido de recorrido de cada malla.

3) Aplicamos la 1ª Ley de Kirchhoff a todos los nudos del circuito menos 1. Dado que en el circuito tenemos los nudos A y B que podemos ver en la figura 1.12, aplicaremos la ley al nudo A. 4) Se aplicará la 2ª Ley de Kirchhoff a tantas mallas como sea necesario para tener un sistema de ecuaciones con tantas ecuaciones como incógnitas.

De esta forma, para nuestro ejemplo: 1ª LK Nudo A:

I 1 + I 2 = I 3

2ª LK Malla 1:

12 − 0.2 ⋅ I 1

+

2ª LK Malla 2:

11 − 0.1 ⋅ I 2

− 10 ⋅ I 3

0.1 ⋅ I 2

− 11 = 0

=

0

Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que puede resolverse mediante multitud de técnicas, siendo las más sencillas habitualmente la sustitución, reducción o la combinación de ambas técnicas mediante el método de Gauss. Se deja como ejercicio la resolución del sistema anterior por cualquiera de estos métodos [SOL: I1=3.71 A, I 2=-2.58 A, I 3=1.13 A]. 4.3. Teorema de la superposición. El teorema de la superposición es un teorema enormemente útil para la resolución de circuitos complejos. No resuelve directamente los circuitos, sino que los simplifica para aplicar con mayor comodidad otras leyes como los teoremas de Kirchhoff. Según este teorema, “en un circuito formado por varias fuentes de tensión o de corriente, la tensión o corriente que se presenta en cualquier componente de dicho circuito es la suma de los efectos producidos por cada una de las fuentes trabajando por separado”.



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Para ilustrar el funcionamiento del teorema, veamos un ejemplo y detallemos los pasos a dar para su resolución.

I1

A

I2

I3

Figura 1.14. Teorema de la superposición.

El teorema de la superposición se basa en el “divide y vencerás”. Seguiremos los siguientes pasos: 1) Elegimos igual que en la 2ª Ley de Kirchhoff un sentido arbitrario de recorrido de corrientes para cada rama, tal y como se refleja en la figura 1.14. 2) Para comenzar a aplicar el teorema de la superposición, dividiremos en proceso en tantos pasos como fuentes de tensión o corriente existan en el circuito. En este caso, dos (dos fuentes de tensión). 3) Seleccionamos una de las fuentes de tensión del circuito para que actúe por separado. En este ejemplo, comenzaremos por la de 12 V. 4) Eliminaremos en cada paso el resto de elementos activos del circuito de acuerdo al siguiente criterio: -

Cortocircuitamos las fuentes de tensión.

-

Dejamos en circuito abierto las fuentes de corriente.

5) Calculamos los valores de corriente, caídas de tensión, potencias… de cada circuito por separado y sumamos al finalizar los valores de acuerdo al criterio de signos escogido arbitrariamente para las corrientes. Dado que nuestro circuito tiene dos fuentes de tensión, lo dividiremos en dos partes, que será las que calculemos individualmente para luego sumar los resultados. Estos circuitos parciales son los de la figura 1.15.



Circuito 1

I’1

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Circuito 2

I’2

I’’2

I’’1 I’’3

I’3

Figura 1.15. Circuitos parciales para aplicar el teorema de la superposición.

Una vez planteados los circuitos parciales, dibujamos los sentidos de circulación de las corrientes en el mismo sentido que los planteados en el paso 1 .

Para distinguirlos de los originales, los nombramos de otra

forma (en este caso I’ e I’’). Cada uno de estos circuitos individuales puede resolverse de forma sencilla simplificando y asociando elementos, ya que cada uno de ellos solamente tiene un elemento activo. Resolviendo cada uno de los circuitos mediante la 1ª y 2ª Ley de Kirchhoff, obtenemos los siguientes resultados: Circuito 1

Circuito 2

TOTALES

I '1

6.28 A

I ' '1

−4.76 A

I 1 = I '1 + I ' '1 = 6.28 − 4.76 = 1.52 A

=

=

I ' 2

=

5.24 A

I ' ' 2

=

−5.71 A

I 2 = I ' 2 + I '' '' 2 = 5.24 − 5.71 =

−0.47 A

I ' 3

=

0.57 A

I ' ' 3

=

0.48 A

I 3 = I ' 3 + I ' ' 3 = 0.57 + 0.48 = 1.05 A

4.4. Teorema de Thévenin. Mediante el Teorema de Thévenin podemos reducir una red compleja con cargas interconectadas entre sí a un circuito sencillo, con una sola fuente de tensión ideal y una resistencia en serie. El teorema de Thévenin es útil para aquellos casos en los que el interés sobre el circuito sea hallar determinados valores de corriente o tensión en ciertas ramas , pero no resolver completamente el circuito.

A título de ejemplo ilustrativo, supongamos que tenemos un circuito como en la figura 1.16, en el cual queremos conocer la corriente que circula entre los puntos A y B por la rama de R L.



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A

B

Figura 1.16. Circuito para resolver por Thévenin.

Mediante el teorema de Thévenin pretendemos reducir este circuito a un equivalente de la forma del circuito de la figura 1.17, en el cual hemos simplificado el circuito desde el punto de vista de los terminales A y B a una fuente de tensión (fuente de tensión Thévenin o V TH) en serie con una resistencia (resistencia Thévenin o R TH TH). R TH TH

A

VTH B

Figura 1.17. Circuito equivalente Thévenin.

Para llevar a cabo este proceso y encontrar un circuito serie que se comporte igual que el original desde el punto de vista de A-B, seguiremos los siguiente pasos: 1) Cortocircuitamos las fuentes de tensión y dejamos en circuito abierto las fuentes de corriente, reduciendo el circuito a una sola impedancia (para nuestro caso, resistencia) vista desde los terminales A-B. Ésta impedancia será R TH TH. 2) Para el circuito original eliminada la carga R L, VTH será la diferencia de potencia que aparezca entre los terminales A y B. 3) Conocidos R TH TH y V TH, planteamos el circuito final de acuerdo a la figura 1.16. La corriente que circule por la rama R L de este circuito será la misma que circule por dicha rama del circuito original.


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De cara a ilustrar el procedimiento, lo aplicaremos al igual que en los casos anteriores a un ejemplo concreto, que será el de la figura 1.18. Para este circuito, queremos hallar el valor de la corriente que circula por la resistencia de 10 Ω. A

B

Figura 1.18. Ejemplo para solucionar por Thévenin.

RTH

De cara a hallar R TH TH, operamos de acuerdo al paso 1 anteriormente descrito. El circuito que nos quedará, una vez cortocircuitada la fuente de tensión será el de la figura 1.19. A

B Figura 1.19. Ejemplo para solucionar por Thévenin.

Como podemos ver, las resistencias de 20 y 100 Ω se encuentran en paralelo, por lo que R TH vendrá dada por:

RTH =

1 1 20

1 +

= 16.67Ω

100

V TH TH

Para hallar VTH, planteamos el circuito original con sus fuentes de tensión y eliminada la carga. La diferencia de potencial que aparezca entre A y B (V AB) será la tensión Thévenin (Fig. 1.20).



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A

VAB B Figura 1.20. Ejemplo para solucionar por Thévenin.

Es interesante a título práctico tener en cuenta que nos es indiferente obtener V AB o VBA del circuito anterior, ya que lo que nos interesa es el valor absoluto de la tensión, que será la que coloquemos en nuestro circuito equivalente. Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la única malla del circuito, obtenemos que:

I =

5 20 + 100

=

−2

4.17 ⋅ 10 A

Por lo que la tensión V AB será: V AB

=

V TH

=

4.17 ⋅ 10

−2

⋅ 100

=

4.17V 4.17V

Con estos valores, ya podemos plantear nuestro equivalente Thévenin y hallar la corriente I L: A

IL B

Figura 1.21. Circuito equivalente Thévenin.

Aplicando de nuevo la 2ª Ley de Kirchhoff al circuito equivalente Thévenin obtenemos la corriente:

I L =

4.17 16.67 + 100

=

−2

3.57 ⋅ 10 A


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4.5. Otras técnicas de simplificación y resolución de circuitos. En algunos casos, tendremos impedancias en el circuito conectadas de forma que no se puedan asociar en serie o paralelo entre ellas, como es el caso de las impedancias en estrella o en triángulo. Para estos casos, es especialmente útil la aplicación de las leyes de Kirchhoff. De esta forma, podemos deducir las transformaciones estrella-triángulo de impedancias, de forma que se cumple:

A

A

Ra R1 Rb

Rc

C

B

Ra =

Rb

=

Rc =

R2

R1 ⋅ R2 R1 + R2 + R3

R1 ⋅ R3 R1

+

R2

+

R3

R2 ⋅ R3 R1 + R2 + R3

B

R1

=

R2

=

R3

=

C

R3

Ra ⋅ Rb

+

Rb ⋅ Rc

+

Rc ⋅ Ra

+

Rc ⋅ Ra

+

Rc ⋅ Ra

Rc Ra ⋅ Rb

+

Rb ⋅ Rc Ra

Ra ⋅ Rb

+


Rb ⋅ Rc Rb

Tema 01 - Conceptos Basicos de Electrotecnia

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