2017
“Teoría de la Utilidad”
TEORÍA DE DECISIONES INGENIERÍA INDUSTRIAL
29-5-2017
UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
“Una Nueva Universidad para el Desarrollo” ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
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TEORÍA DE DECISIONES RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE TEORIA DE LA UTILIDAD
TERRONES GALVEZ EDWARD IVAN
-
Benancio Colonia Wilian Luna Villarreal Sharon Romero Perez Alex Sánchez Depaz Steffany HUARAZ-ANCASH-PERÚ
TEORÍA DE LA UTILIDAD
UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
“Una Nueva Universidad para el Desarrollo” ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE TEORIA DE LA UTILIDAD 12. Determine razonadamente que función elegiría entre las siguientes como función de
utilidad.
=5+3
SOLUCIÓN
=10+3
3
Lo primero que debemos hacer es estudiar si ambas son funciones de utilidad. Ambas son polinomios, concretamente rectas, por lo que podemos estudiar si son crecientes a través de su primera derivada o su pendiente. En ambos casos son positivas, 5 y 10 respectivamente, por lo que las dos funciones son de utilidad en toda la recta real. Ahora bien, recordemos que la función de utilidad es única para cada decisor salvo transformaciones lineales positivas. Si este fuese el caso se trataría de la misma función de utilidad para ese decisor y le resultaría indiferente elegir cualquiera a las dos expresiones. Comprobemos si existen a > 0 y b є Si fuese
=+
ℝ
tal que
= +
=0 0=0+ ⇒3 = 1=1+ ⇒10+3=5+3+ =3 13=8+3 =2 para todo , se tendría en particular para
y para
por lo que:
Así pues
y
lineal no negativa de
, es decir,
. Por tanto, ciertamente
=1
es transformación
, y como consecuencia se deduce que es indiferente elegir una u
otra de las funciones, pues ambas llevan a la misma ordenación de las alternativas.
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,
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13. En un concurso los tres participantes pueden ganar uno de los cuatro premios:
,,
. Para ello deben contestar las preguntas que el presentador les formule,
pudiendo elegir entre las del sobre blanco o las de sobre naranja. Las probabilidades asociadas a los premios son: -
-
Si elige sobre blanco
=0.3 =0.2 =0.2 =0.3
Si elige sobre naranja:
=0.2 =0.3 =0.3 =0.2
1. ¿Cuál de los dos sobres elegiría un concursante que se compone según la actividad de Luce y Raiffa y que admita las siguientes situaciones?
a) Obtener recibir
b) Obtener
con certeza es indiferente a participar en una lotería donde pueda
con probabilidad 0.75 o
con probabilidad 0.25.
con certeza le resulta indiferente a participar en una lotería donde
pueda recibir c)
con probabilidad 30% o
, es el mejor premio y
es el peor.
con probabilidad 70%.
2. Indique la función de utilidad de este individuo para el conjunto de premios establecidos.
3. Ordene las alternativas según el principio de la máxima utilidad esperada, comparando el resultado con el obtenido en el apartado 1.
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SOLUCIÓN
1. Las dos opciones las podemos representar por loterías, de forma que si llamamos
= 0.3 0.2 0.2 0.3 = 0.2 0.3 0.3 0.2
la opción coger el sobre blanco y
a elegir el naranja, tendremos:
5
Y las situaciones recogidas en a y b podemos expresarlos como:
~ 0.75 0.25 ~ 0.75 0.25 Si el decisor se comporta según la axiomática de Luce y Raiffa, en virtud del cuarto axioma podemos afirmar que:
0. 2 0. 2 0. 3 0. 3 0. 7 5 0. 2 5 ~ = 0.7 0.3
Y seguido el segundo axioma:
Donde
~0.51 0.49 =0.3+0.2∗0.75+0.2∗0.3=0.51 0. 3 0. 3 0. 2 ~ == 0.75 0.25 0.3 0.7 0.2 ~ 0.515 0.485 =0.2+0.3∗0.75+0.3∗0.3=0.515
Análogamente para la lotería
Donde
La aplicación de estas axiomas nos permite, como vemos, expresar las loterías
>
expresa la función de los dos mismos premios el mejor
sexto axioma nos indica ordenar estos tipos de lotería, de forma que que
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.
y el peor
>
. el
puesto
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2. El axioma tercero permite definir una función real normalizada en el conjunto de premios de
, tal que:
→ [0,1] →=
6
Esta función real es isótona y como el conjunto de premios tiene estructura de pre orden completo (axioma primero), en virtud de la proposición fundamental, es representación fiel y, por lo tanto, es la función de utilidad de decisor:
Premios:
: ()
Utilidades
:
1
0.75 0.3
0
3. Según el principio de la máxima utilidad esperada, la lotería optima es aquella que maximiza la utilidad esperada. Calculemos la utilidad esperada de cada lotería:
=∑ =∗0.3+∗0.2+∗0.2+∗0.3= 1∗0.3+0.75∗0.2+0.3∗0.2+0∗0.3=0.51 =∑ =∗0.2+∗0.3+∗0.3+∗0.2= 1∗0.2+0.75∗0.3+0.3∗0.3+0∗0.2=0.515 > >
Como
se tiene que
Vemos que el resultado es el mismo al que llegamos en el apartado 1. El numero al que denominamos utilidad de la lotería no es más que la probabilidad de ocurrencia del mejor premio
establecíamos para
cuando, aplicando la axiomática de Luce y Raiffa, según loterías indiferentes con solo dos premios
y
es
decir, según la axiomática de Luce y Raiffa, el criterio racional de elección es el de la máxima utilidad esperada de la lotería.
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