Teoría y práctica sobre vectoresDescripción completa
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Unidad 4 de matemática I, carrera de Analista de sistemas.Descripción completa
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Física Bachillerato
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Descripción: Operaciones básicas con vectores en el plano o el espacio
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Colegio Internacional Suma de vectores concurrentes.
Colegio Internacional 2.
Para dos vectores de igual módulo el vector resultante biseca el ángulo entre los vectores.
Es necesario que para sumar dos vectores ambos representen la misma magnitud física. Existen métodos gráficos y analíticos para adición de vectores.
a
R
α
Método del paralelogramo Se emplea para sumar dos vectores, donde los orígenes de ambos vectores deben coincidir. De acuerdo con este método se construye un paralelogramo r
R = 2 ⋅ a ⋅ cos α α a
3.
Para dos vectores de igual módulo que forman un ángulo de 60º.
r
a partir de los vectores A y B quienes forman un ángulo θ, donde la r
resultante R viene dada por una de las diagonales. Su módulo se determina la relación matemática llamada Ley de los Cosenos .
r
r
A
r
θ
θ
r
r
r
β γ
α
Para dos vectores de igual módulo que forman un ángulo de 90º. a
R
B r
r
R =a 3
a
4.
r
B
R
30º 30º
R =A+B
A
a
R =a 2
r
Donde la resultante de la suma R = A + B tiene como módulo: 45º a
A 2 + B 2 + 2AB cos θ
r
R =R =
5.
Para dos vectores de igual módulo que forman un ángulo de 120º.
r
La dirección de la resultante (ángulo α) con respecto al vector B se puede determinar mediante.
a
R
Asenθ α = arctg B + A cos θ
60º
O también por Ley de Senos R senγ
Siendo:
=
A senα
=
6.
B senβ
a Para dos vectores cuyos módulos tienen un divisor común “n” y un ángulo “α” cualquiera. n⋅a
sen γ = sen (180- θ) = sen θ
R
R = n a 2 + b 2 + 2 ab cos θ
Casos Particulares: 1.
R =a 60º
θ
Cuando el ángulo entre los vectores es θ = 90º, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras. La suma es la diagonal
7.
n⋅b Para tres vectores de igual módulo que forman ángulos de 120º entre sí. a
r
A r
r
r
R = A+B
R=
2 2 A +B
120º 120º 120º
r
B
a
a
R=0
Colegio Internacional Método del triángulo
Colegio Internacional Sustracción de vectores. →
Es válido para hallar la resultante de dos vectores. El método consiste en unir los vectores uno a continuación de otro, para luego formar un triángulo. La resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del segundo.
→
Dados dos vectores A y B que representan la misma entidad física, la →
→
→
diferencia A − B se define como la suma de A con el negativo del vector →
→
B ; ( − B ) . Así tenemos:
r
Sean los vectores:
A
r
B
→
→
D
A
θ
γ
θ
Aplicando el método tenemos:
→
θ r
β A
r
R
=
R
r
γ
α
D=
A+B
=
A 2 + B2 − 2AB cos θ
B+A
A senγ
El módulo de la resultante se puede hallar por Ley de Senos: R A B = = senγ senα senβ Método del polígono
→
vector A , se puede obtener
r
B
C
r
A
C
→
→
entidad física de A .
A + B+ C
Si
m> 1
Si
m < −1
Si –1 < m < 0
A
E
r
A
E
Recta de referencia
→
P lleva la misma direcci ón y es una dilatación de A .
→
→
P lleva dirección opuesta y es una dilatación de A .
→
→
P lleva dirección opuesta y es una contracción de A .
→
C
B
→
C
r
r
θ
→
→
C r
D
y
θ lleva la es una
Componentes de un vector.
r
r
B
P
Se denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados dan como resultado un determinado vector. Debe tomarse en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes.
r
B
r
→
→
En el caso de que el origen del primer vector coincide con el extremo del último, el vector resultante es nulo, y al sistema se le llama “polígono cerrado”
r
P
A
contracción de A .
R =
→
→
otro vector P = mA , de la misma
r
R
mA
A
→
Si 0 < m < 1 misma dirección
B r
r
sen θ
Dado un escalar m, real y un
r
r
D
=
Multiplicación de un vector por un escalar.
Es válido para dos o más vectores, el método consiste en dibujar los vectores dados uno a continuación del otro y el vector resultante se obtiene trazando un vector a partir del origen del primero y se dirige al extremo del último. La suma es el segmento que completa el polígono
A
B
→
Y su dirección por la ley de senos, calculando γ
B =
→
La magnitud del vector diferenci a, D, puede ser calculado mediante
