Teoria Dos Fractais

Fractais Fernando R. Secco, Tatiane T. Rocha Trabalho da disciplina Teoria da Computação Prof. Jorge M. Barreto Curso Ciência da Computação - 2003.2 Universidade Federal de Santa Catarina {secco, tatiane}@inf.ufsc.br 13 de abril de 2004

Resumo

que é a geometr geometria ia por nós conheci conhecida. da. Essas Essas formas na geometria chamadas de amorficas, na geomet geometria ria euclid euclidian iana, a, foram foram estudad estudadas as e analisadas por vários pesquisadores e em 1960, Benoit B. Mandelbrot, Mandelbrot, apresentou uma posição concreta sobre o que seriam essas “não “não-fo -form rmas as”. ”. Refa Refaze zend ndoo algu alguns ns estud estudos os nessa nessa área área e conh conhec ecen endo do idéi idéias as de outr outros os auto autore ress apre aprese sent ntou ou estudo estudoss sobre sobre fract fractai aiss criando assim a teoria dos fractais.

Neste trabalho iremos apresentar um resumo da teoria teoria dos frac fracta tais is.. Aqui Aqui procur procurar ar-s -see-áá most mo stra rarr a defin definiç ição ão de fract fractai ais, s, o que que eles eles represe representa ntam m na nature natureza, za, seus seus os princi principai paiss autores, pesquisas desenvolvidas, descobertas importantes e possíveis aplicações. Pala Palavr vras as-c -cha have ve:: frac fracta tais is,, conj conjun unto toss de Julia Julia,, conj conjun unto toss de Mand Mandel elbr brot ot,, curv curvaa de Koch.

1

Fracta Fractais is caract caracteri erizam zam-se -se por terem terem uma aparência confusa e bagunçada mas quando olhadas matematicamente sua análise denota figuras regulares e apresentam comportamentos curiosos como o de se assemelharem a elas mesmas quando observadas de diferentes escalas de tamanho. O objetivo desse estudo é mostrar o que são fractais, a matemática por traz deles, os principais autores e aplicações baseadas em fractais . Para apresentar apresentar a teoria de fractais fractais iremos inicialmente citar algumas teorias importantes que aparecem inclusas na teoria dos

Intr Intro oduçã dução o

Na geometria somos acostumados a descrever as coisas coisas atravé atravéss de suas formas regula regulares res retas, retas, circunfe circunferên rência cias, s, cones cones etc. Mas será será mesmo que uma nuvem formada por esferas, uma montanha formada por cones e continentes por circunferências? Existem alguns comportamentos na natureza que são tão irregulares, tão sem-forma que fogem completamente da geometria Euclidiana, 1

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fractais como números complexos, teoria do 2.2 2.2 caos, curva de Koch entre outros.

2

Núme Númerros Comp Comple lexo xoss

Para que possamos entender a teoria de fractais e conjuntos de Mandlebort precisamos antes de mais nada entender de números complexos. plexos. Abaixo Abaixo segue segue uma explicaç explicação ão simples sobre o que são e como são representados números complexos.

2.1

O que são números complexos?

Repr epresen esenta taçã ção o de complexos no plano

núme númerros

Para representar os números reais precisamos de uma linha de uma dimensão chamada de “linha “linha dos número númeross reais”. reais”. Para Para separar separar os números reais em negativos e positivos usamos a origem ( o zero ) como limitador limitador.. Assim os números negativos ficam a esquerda da origem e os positivos a direita da origem. negativos

positivos R

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Números complexos são números que posFigura 1: reta dos reais suem suem cara caract cter eríst ístic icas as espe especi ciai ais, s, um pouc poucoo difere diferente nte dos números números que nos depara deparamos mos Já para os números complexos precisamos diaria diariamen mente. te. Eles Eles possuem possuem uma parte real duas dimens dimensões: ões: a que repres represent entaa a reta reta dos e parte imaginária parte real real é formada formada ter duas imaginária. A parte por por núme número ross comu comuns, ns, como como,, por por exem exempl ploo reais e a que representa a reta dos imaginários. 1, 2, 50. 50. A parte parte imagin imaginár ária ia é um número número comum comum multip multiplic licand andoo um número número i, este I chamad chamadoo de imagin imaginári ário. o. Assim Assim um número número 5i complexo pode ser 2 + 3i por exemplo, parte 4i real real mais parte imagin imaginári ária. a. A origem origem deste 3i nome imaginário imaginário vem do fato de que nenhum 2i número real multiplicado por ele mesmo pode 1i resul resulta tarr em um núme número ro nega negati tivo vo,, ou seja seja,, não é possível obter-se a raíz quadrada de R −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 um número imaginário imaginário expressa em números números −1i reais [MATH2] ou em outras palavras não −2i é possível obter-se a raíz quadrada de um −3i número negativo. −4i −5i

4

5

6





3

A teo teoria ria do Caos Caos

mostra o comportamento de um sistema que é sensível as condições iniciais. Uma simples altera alteração ção nest nestas as condiçõ condições es pode levar levar o experi experi-ment mentoo a ter ter um resu result ltad adoo comp comple leta tame ment ntee dife diferrente do esperado. esperado. Essas pequenas pequenas alterações alterações podem ser causadas causadas por ruídos no ambiente ambiente ou problemas com o equipamento e não podem ser evitadas.

O que é o caos? A definição de caos segundo o dicionário é turbulência, aleatoriedade não desejada, falta de ordem entre outros termos. Mas a teoria do Caos pode ser vista como um universo com sistemas extremamente sensíveis síveis as condições iniciais. iniciais. Sistemas Sistemas caóticos são indeterminí indeterminísticos sticos e é muito difícil difícil prever seus resultados. Seu comportamento não Aspirall dupla dupla e Replica Replicação ção é periódico portanto não se tem a expressão 3.2 Aspira descrevendo o estado do sistema. Lorenz concluiu que não havia como afirmar as condi condiçõ ções es do tempo. tempo. Entã Entãoo come começo çouu a 3.1 Instab Instabili ilidad dadee inic inicial ial de um sis- procurar um sistema simples que possuía sensibilidade sibilidade as condições condições iniciais. iniciais. A principio principio tema esse sistema era composto composto por doze equações A teoria do caos foi, formalmente, descoberta e foram simplificadas até ter-se três equações. resultado dessas equações equações parecem parecem ser ser comprimeirament primeiramentee pelo metereologi metereologista sta Edward Edward O resultado pletamente aleatórios, aleatórios, mas quando plotados Lorenz em 1960. Lorenz, querendo rever uma pletamente de suas seqüências, seqüências, usara 3 casas decimais decimais de criam uma espiral dupla. precis precisão ão ao invés invés de 6 casas decima decimais. is. O a evolução da série foi completamente diferente da original. original. Este efeito efeito é conhecido também também como efeito borboleta [IS].





encontrado na biologia na análise do crescimento populacional. Em teoria o resultado da equação equação sempre cresceria, cresceria, mas os predadores predadores causam instabili instabilidade dade no sistema. sistema. A equação varia entre 0 e 1 onde 0 é extinção e 1 a população máximo, r é a taxa de crescimento, pp é o crescimento populacional e pa é a população atual. Assim temos: pp = r pa(1

∗

observado de maneira mais minuciosa apresenta senta espaço espaçoss em branco. branco. Quando Quando observa observa-se os espaços em branco é possível verificar que eles revelam pequenas janelas de ordem no gráfico. É possível ver as curvas crescendo novamente e bifurcando-se e então retornando ao caos. Este fato mostra que o gráfico possui pequenas cópias dele mesmo inseridas no seu interior.

− pa)

O biologista biologista Robert May fez experimentos experimentos com com a equa equaçã çãoo de cres cresci cime ment ntoo a fim de verificar o seu comportamento a medida em que a população crescia. crescia. Utilizando Utilizando r = 2.7 o pp ficav ficavaa em .6296. .6296. Na medi medida da em que a r aume aument ntaava, va, o pp tenderi tenderiaa a aument aumentar ar tamb também ém.. Mas Mas quan quando do chego chegouu ao valo valorr 3 a linha de crescimento se partiu em duas, ou seja, a população se separaria em duas. Fazendo r = 4 a linha se partiu em 4 e assim quanto maior o grau de r mais rápido rápido a população se bifurcava até o caos aparecer.

4

Fractais

A pala palavr vraa “fra “fract ctaal” vem da junç junção ão das das palavras Latinas fractus que significa “irregular”e frangere que significa ”quebrar” e a pronuncia correta é “frac’tal”. Fractais Fractais são comumente comumente conhecidos conhecidos por serem geradores de figuras , aparentemente, irregulares. ulares. Mas também também possuem possuem muitas muitas outras aplicações científicas tais como compressão de dado dados, s, simul simulaç ação ão de filme filmes, s, anál análise ise de pulsos elétricos no cérebro e dos batimentos cardíacos, estudos demográficos entre outros. A geomet geometria ria de fracta fractais is é relati relativa vamen mente te nova nova,, mas mas teori teorias as de conj conjun unto toss de dime dimennsões fractais e equações equações não-lineares não-lineares diferenciais datam de mais de um século [MATH4] [MANDEL [MANDELBR BRO OT]. Os fracta fractais is foram foram realrealmente reconhecidos reconhecidos quando Mandlebort consegu seguiu iu junt juntar ar tant tantoo os estudo estudoss nessa nessa área área quanto seus estudos provando que existia regular ularid idad adee por por tráz tráz das das figura figurass , apar aparen ente te-ment mente, e, amor amorfic ficas. as. Um import importan ante te recurs recursoo utilizado por Mandelbrot foi o computador.





devido a quantidade quase infinita de paços de iterações que estes necessitam. Nesta seção ira-se montar os estudos mais importantes na área de fractais, seus descobridores e teorias existentes.

4.1

Similaridad Similaridade-pró e-própria pria ou Autosimilaridade

No espaço euclidiano uma dada escala r ,onde determ rmin inaa a tran transfo sform rmaç ação ão que é r > 0, dete cham chamad adaa simi simila lari rida dade de.. Essa Essa transf transform ormaa o ponto x = (x1, ...x pontoo r(x) = ...xn n) no pont ...rxn n) e o conjunto S em r (S ). Abaixo (rx1, ...rx segue segue uma explic explicaçã açãoo simpli simplifica ficada da do que seriam seriam conjun conjuntos tos auto-si auto-simil milar ar.. A definiç definição ão de auto-similaridade e outros conceitos relacionados é encontrada em [HUTCHINSON]. Um conjunto é dito auto-similar se:

• Dado um conjunto limitado S, com es-

cala r e um inteiro N , S é a união de N sem sobreposição e congruente (idênticos exceto pelo deslocamento e rotação), r(S ), r S i S j = 0 .

 

∈

R

|S

> 0, S i

 S ∧ j

• Dado um conjunto limitado S, com um

vetor de escalas r 1 , r2....rn , S é a união de N sem sem sobre sobrepo posi siçã çãoo e cong congrue ruent ntee rn (S ), r S i S j = 0 .

 

∈

R S > 0, S i

|

 S ∧ j

• Dado um conjunto ilimitado s, com  escala r , r(S) é congruente a S, r(S ) S .

inovações matemáticas dos últimos séculos. Ao distinguir distinguir números algébricos algébricos e transcentranscendentais (número irracional), Cantor encontrou a maneira de comparar os tamanhos de con juntos juntos infinitos, mostrando que o conjunto conjunto de todos os números é maior do que o conjunto dos número númeross algébr algébrico icos. s. Encara Encararr totali totalidad dades, es, e não objetos individuais ( números, pontos ou funções ), foi uma das inovações de Cantor, revelandorevelando-se se que as totalidades totalidades possuem propriedades priedades que não são partilhadas partilhadas pelos objetos dessas dessas totalidades. totalidades. Em 1873, ele provou provou que os números racionais podem ser colocados em correspondência biunívoca com os números naturai naturais. s. Em 1874, Cantor Cantor demonstra que a classe de todos os números algébricos é enumerável; em 1878 apresenta regra para construir classe não enumerável de números números reais reais.. Entre Entre as conseqüên conseqüência ciass dos estudos de Cantor está a de que existem totalidades que não são eqüipotentes, podendo um conjunto infinito ser colocado em correspondência com uma de suas partes próprias. E Peitgen ([PETGEN1] , p79) exalta a importância de Cantor dizendo: “It is probably fair to say that in the zôo of mathematical monste monsters rs ? or early early fracta fractals ls ? the Canto Cantorr set is by far the most important.” important.” Pois através através do seu modelo é que foram derivados os modelos posteriores, como por exemplo o de Julia.





é um quadro triangular que cresce indefinidaindefinidamente para baixo e cujas cinco primeiras linA função de Weierstrass é a soma da série: has são mostradas na figura abaixo: sin(Πk x)

4.3

Função Função de Weierst eierstrass rass

f (x) =



2

∞

k=1

Πk

2

que é uma função função contín contínua ua em R mas não é de1 1 1 1 1 rivável em nenhum ponto de R , [MANDEL[MANDEL1 2 3 4 5 BROT]. 1 3 6 10 15 A figura gerada pela plotagem do gráfico é 1 4 10 20 35 uma função que possui similaridade-prórpia, e 1 5 15 35 70 na medida que nos aproximamos dela isso se torna mais nítido. Figura 8: Triângulo de pascal no quadro triangular

4.5

Figura 7: Função diferenciável e não derivável em nenhum ponto

4.4

Triângu riângulo lo de Pas Pascal cal

Blaise Pascal (1623 - 1662) - matemático e cien cienti tist staa francê francês. s. O qual em 1654 1654 divul divul-gou gou o Triân riângul guloo de Pasc Pascal al.. Triân riângu gulo lo de Pascal - É um quadro de forma triangular onde são dispostos, sucessivamente e de cima

Triângu riângulo lo de Sierp Sierpins inski ki

Wacla aclaw w Sier Sierpi pinsk nskii (188 (18822 - 1969) 1969) - mate matemá máti tico co polonês, que foi professor em Lvov e Warsaw. Warsaw. Em 1915 descreveu o Triângulo de Sierpinski. Este Este triâng triângulo ulo é obti obtido do como como limite limite de um processo recursivo. Para começar o processo partimos de um triângulo equilátero. Em seguida unem-se os pontos médios de cada lado do triângulo, formando 4 triângulos cujos lados estão ligados. Retira-se agora o triângulo central. A recursão consiste em repetir indefinidamente o procedimento anterior em relação a cada cada um dos triân triângu gulo loss obtid obtidos. os. O Triân riân-gulo de Sierpinski tem várias propriedades curiosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, ser auto-semelhante (isto é, uma pequena porção do triângulo é idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada) e não perder a sua definição definição inicia iniciall à medida medida que é ampliado..







Figura Figura 9: Triân Triângul guloo de Sierpi Sierpinski nski após após de n Figura 10: Curva de Koch, da esquerda para a direita, quatro iterações e abaixo infinitas iteriterações ações A Curva de Koch é uma forma fractal clássica simples de ser entendida. Partindo de um triângulo equilátero divide-se cada lado em três segmentos. segmentos. Os segmentos intermediári intermediários os são então então substit substituíd uídos os por dois dois segmen segmentos tos semelhantes que vêm a formar os lados de um triângulo equilátero menor. Isto resulta numa figura na forma de uma estrela com 12 lados (6 pontas). Realizando Realizando o mesmo processo em cada um dos 12 lados e assim sucessivamente obtém-se uma figura em evolução constante que lembra um floco de neve. O comprimento

funções x → f (x) = z 2 − µ | µ = λ, 4 − λ, w e z → f (x) = z 2 − µ | z = x + iy ∧ z, i ∈ I a técnica consiste na geração do gráfico para um dado λ ∈ R e então escreve-se este passo numa árvore árvore e o processo é repetido indefinidamente. Enquanto Fatou utiliza µ ∈ R, Julia utiliza um µ ∈ R | {µ > 0 < µ} e então um µ ∈ I . O método iterativo consiste nos seguintes passos, dado um µ a cada iteração mantém-se o µ fixo e modifica o valor de Z como explicado em [MATH3] e [MANDELBROT] BROT] página p ágina 183.





I

A

D

Figura 11: uma surpresa quando a amostra de milhões de pontos é plotada a mesma conclusão que Gaston Julia havia chegad chegado. o. Por ser um modelo modelo mais simple simpless que o de Julia e por possuir recursos computacionais, Mandelbrot conseguiu fazer de seu trabalho o berço da teoria dos fractais e também foi possível encontrar relação do trab trabal alho ho de outros outros pesq pesqui uisa sador dores es ( Koch, och, Julia, Cantor, entre outros ), com o seu.

B

R

Figura 12: reta dos imaginários em y, reta dos reais em x, e D é a magnitude

Em [MANDELBROT] Mandelbrot define seu conjunto da seguinte seguinte maneira: maneira: “Conjun“Conjuntos de Mandelbrot marcam os pontos no plano complexo para os quais o conjunto de Julia é conexo conexo (pode ser separado separado em dois subconjunsubconjuntos que possuam ao menos um elemento), e não computável compu tável .” Ao plotar uma amostra de milhões de ponConjuntos de Mandelbrot é o domínio de tos de um número do conjunto de Mandlebort convergência da série dos números complexos obtemos: obtidos através da equação Z n+1 = Z n 2 + C . Onde a variável C permanece constante entretanto Z vai variando durante o processo. Na medida em que interagimos com Z , duas coisas podem ocorrer: ou Z ≤ 2 para qual-





rápido a série convergir para o infinito maior é sua velocidade de escape e mais quente é a cor cor apli aplica cada da a este este ponto ponto ao cont contrá rári rioo das das core coress mais próximas ao centro que recebem cores mais frias.

[HOTT], estudo do comportamento da World Wide Web (WWW). Por exemplo, o princípio básico da codificação baseada em fractais é aplicar algumas transformações em alguns segmentos ( grandes ) da imagem. Algumas dessas transformações utilizam redundância na imagem em escalas escalas diferentes. diferentes. UtilizandoUtilizando-se se do fato de que partes diferentes da imagem em escalas diferentes são semelhantes. Pode-se então reconstruir a imagem ( com perda ) utilizando somente os parâmetros da transformação [ZHANG].

5 Figura 14: as cores mais quentes quentes representam pontos mais afastados da origem, enquanto as cores mais frias pontos mais próximos

4.9 4.9

Aplic plicaç açõe õess

Frac Fracta tais is tem tem sido sido usad usados os para para desc descre reve verr muitos muitos aspecto aspectoss da natureza natureza . Biólog Biólogos os uti-

Con Conclus clusão ão

Fractais Fractais são uma outra visão da geometria geometria do mundo, uma nova maneira de ver e organizar velhas velhas coisas. Como sempre, sempre, as criações criações do homem acabam refletindo em alguma coisa já existente na natureza, nesse caso, os fractais. Os fractais da natureza não são tão perfeitos como os fractais gerados pelo homem, e por isso que por muitos séculos achava-se que essas formas naturais eram não pussuiam formas geométricas.





mente impossível de ser feito de forma manbeau beauty ty of frac fracta tals ls.. Spri Spring nger er-ual, e com a ajuda do computador isso tornaVerla erlag, g, Berl Berlin in Heid Heidel elbe berg rg,, se mais viável e o tempo de pesquisa é re1986. duzido duzido em muito. muito. Fracta Fractais is podem podem ser usados de tanto para geração de imagens colori- [HUTCHINSON] HUTCHINSON,J.E; Fractals and the Self-simila Self-similarity rity,, Indas quanto para desenhar terrenos complexos. diana university Mathematics, Também é muito utilizado em várias áreas de p. 16, 1981 pesquisa pesquisa como medicina medicina e física, física, por exemplo, exemplo, para explicar muitos fenômenos. [MATH1] http://www.emayzine.com/infoage/math/ math4.htm

Referências [HOTT]

[ZHANG [ZHANG]]

[MOHA]

[MATH2]

Hott ott, Marc Marcos os C. et al. Aplicação da Relação Fractal Comprimento / Área em uma mi[MATH3] crobacia hidrográfica. Ying Zhang, Zhang, Lai-Man Lai-Man Po .Frac.Fractal Color Image Compression [MATH4 [MATH4]] Using Vector Distortion Measure. Proceedings ICIP-95. Mohammad GharaviAlkhansari, Alkhansari, Thomas S. Huang. Video ideo Coding Coding : The The Seco Second nd Generation Approach.

http://www.olympus.net/personal/dewey/ mandelbrot.html http://www.geocities.com/CapeCanaveral/ 2854/mandelbrot.html http:/ http://ma /mathw thworl orld.w d.wolf olfram ram.co .com/ m/

Teoria Dos Fractais

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