MECÁNICA DE FLUÍDOS
Yudy Alexandra Díaz Tapia 2120331166 Presentado a Esp. Ing Gustavo Cordoba Guerrero
Programa de Ingeniería Civil Civil Facultad de Ingeniería Universidad de Nariño.
Junio de 2014
1. CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE FLUJO
Tipos de flujo
FLUÍDOS
La clasificación de los flujos obedece a varias variables, entre ellas, la viscosidad y la densidad del fluido, o la permanencia, el orden, la región, la vorticidad y el comportamiento espacial del flujo. Cada característica del fluido o del flujo originará una clasificación particular y existen muchas otras propiedades y características que se pueden agregar.
Propiedades del fluido: Densidad ( )
[kg m-3]
•
Viscosidad ( )
[kg m-1 s-1]
Régimen del flujo: •
Velocidad (V)
•
Caudal de fluido:
[m s-1]
Másico (m) [kg s-1] Volumétrico (QV) [m3 s-1]
Presión (P)
[Pa = N m-2 = kg m-1 s-2]
Parámetros de la conducción: •
Diámetro (D)
•
Rugosidad interna ( )
Si el fluido que forma el flujo es real su viscosidad es positiva y se tratará de un flujo real. Para ciertas aproximaciones se ignorará el efecto de la viscosidad y se le asignará un valor nulo a la resistencia viscosa. En ese caso el fluido es ideal y el flujo así formado también lo será. Densidad del fluido
Parámetros de estado del flujo: •
Viscosidad del fluido
•
[m] [m]
Si el flujo se da para un fluido de densidad constante, el fluido y el flujo se denominarán incompresibles. El flujo será compresible si el fluido que lo origina lo es y en ese caso la función de densidad será un campo escalar de posición y tiempo. Permanencia del flujo Si las características del flujo son invariantes en el tiempo, esto es, permanecen, se dirá que el flujo es permanente, de lo contrario se clasificará como flujo no permanente. Una característica particularmente importante desde este punto vista es la velocidad. Así se tendrán campos de velocidad para flujos permanentes o para flujos no permanentes: Flujo no permanente: V=V(x, y, z, t) Flujo permanente: V=V(x, y, z)
Orden del flujo El orden del flujo dará origen a los flujos laminares o turbulentos. Esta característica depende de la combinación de las propiedades del flujo, del fluido y de la región de flujo. En el flujo laminar las partículas viajan siguiendo trayectorias muy definidas, sean rectilíneas o curvilíneas, sin variaciones macroscópicas de la velocidad, de manera que unas capas o láminas de flujo se deslizan o escurren las unas sobre las otras. En el flujo turbulento ocurren fluctuaciones irregulares del flujo, las partículas intercambian cantidad de movimiento lineal y angular. El asunto fue abordado por Osborne Reynolds quien en la Inglaterra de 1883 logró establecer los criterios para la clasificación de los flujos desde este punto de vista. Este criterio es el número de Reynolds (R=rVD/m) que indica flujo laminar para valores bajos y flujo turbulento para valores altos y muestra la influencia que tienen las variables del fluido (r, m), las del flujo (V) y las de la región del flujo (D) en el orden del movimiento de las partículas fluidas. Región de flujo Los flujos reales ocurren en el espacio y por consiguiente sus características, estrictamente, varían en tres coordenadas espaciales y en el tiempo. Esos son los flujos tridimensionales. En muchos casos prácticos, con resultados satisfactorios, se ignora la variación de las propiedades del fluido y de las características del flujo a lo largo de una de las direcciones del espacio y se obtiene un flujo bidimensional. En el caso real se puede estudiar un flujo con esta simplificación y posteriormente introducir las correcciones en los bordes o fronteras de la región de flujo para lograr la conformidad con la naturaleza. Ejemplos de estas situaciones son aquellas que se dan en el flujo alrededor de la pila sumergida de un puente, o alrededor de un perfil alar, o sobre la cresta de un vertedero de caudales máximos en una presa. En otras situaciones se puede simplificar aún más el flujo que se estudia y considerar que la variación de las p ropiedades del fluido y las
características medias del flujo varían solamente a lo largo de una dirección en el espacio y con el tiempo. Ejemplos de tales situaciones son el flujo a lo largo de una tubería o de un canal donde se considera que las propiedades del fluido y las características medias del flujo tienen valores que solamente dependen de la abscisa a lo largo del conducto y del tiempo. Para este caso puede ser muy útil el sistema coordenado de línea (s, t). Vorticidad del flujo Una partícula fluida, en el seno de un medio fluido en movimiento, está sometida a esfuerzos normales (presión) y cortantes (fricción) y como consecuencia de la acción combinada de los esfuerzos cortantes que soporta puede rotar sobre alguno o algunos de sus ejes. La velocidad angular es particular alrededor de cada eje. La combinación de esas velocidades angulares origina que la partícula rote en el espacio con mayor o menor rapidez, o que no rote en absoluto respecto a ningún eje. En parte eso depende de la distribución de velocidades a lo largo de cada una de las direcciones espaciales y de la viscosidad misma del fluido. Si alguna partícula del flujo rota se dirá que el flujo es rotacional. Si ninguna partícula lo hace se dirá que el flujo es irrotacional. Analíticamente se encuentra que esto queda expresado por el vector vorticidad que no es más que la aplicación del operador rotacional al campo de velocidades:
Flujo rotacional, si la vorticidad es diferente de cero Flujo irrotacional, si la vorticidad es nula Comportamiento espacial Si las características del fluido y del flujo no cambian entre los diferentes puntos de la región de flujo se tiene un flujo uniforme. Si esas características varían de uno a otro punto dentro de la región de flujo se tiene un flujo variado. A su vez, si la variación del flujo en el
espacio ocurre con pequeñas modificaciones en el recorrido por el espacio se tendrá un flujo gradualmente variado y si tal variación ocurre precipitadamente, en relativamente cortas distancias y con acentuada concavidad de la geometría del flujo, se tiene flujo rápidamente variado.
1.2. Flujo externo.
Extensión del campo de flujo El flujo interno corresponde al flujo en una región limitada, el flujo externo se refiere al flujo en una región no limitada, donde el foco de atención está en el patrón de flujo alrededor de un cuerpo sumergido en el fluido.
Por lo tanto: 1.1.Flujo interno.
Podemos clasif icar los f lu jos de acuerdo tam bié n a su vi scosidad, par a ello, se hace necesari o conocer el signi fi cado de esta palabra. La viscosidad
Propiedad física del fluido, sólo depende de su naturaleza. Varía con la temperatura y, en menor medida, con la presión.
Indica la resistencia que ofrece un cuerpo a fluir, es decir a moverse en una dirección dada. Está relacionada con el desplazamiento de unas capas de las moléculas constitutivas del fluido con respecto a otras y los entrecruzamientos que se producen.
La viscosidad del fluido determina la existencia de un gradiente (perfil) radial de velocidades para el flujo interno de un fluido a través de una conducción. CLASI FI CACI ÓN DE LOS FL UI DOS (en fu nción de la viscosidad) 1.5.F lu idos newtonianos Aquell os en qu e el gradiente de velocidades es proporci onal a la f uerza aplicada ( ) para man tener dich a distri buci ón. La constante de proporcionalidad es la
viscosidad ( ).
Ley de Newton Clasifi cación del f lu jo de fl uidos según su vi scosidad
1.3.Flujo ideal. 1.4.Flujo real o viscoso.
1.6. Fl ui dos no newtonianos La velocidad a la que circula un fluido altera las interacciones entre las partículas.
No se comportan de acuerdo a la ley de newton.
El gradiente de velocidades no es p roporcional a la tensión rasante.
No puede hablarse de una viscosidad única y propia del fluido, sino que depende del régimen de velocidades: viscosidad ap arente ( a)
2. CAMPOS DE FLUJO
Sin embargo, en un fluido en movimiento, no es muy útil ya que surgen complicaciones adicionales pues una partícula típica de fluido con frecuencia experimenta un desplazamiento largo. Ecuación matemática: V = V (identidad de la partícula, t) Donde las variables independientes son la identidad de la partícula y el tiempo.
Es el espacio donde un flujo se encuentra en movimiento, a condición de que la región o sub-región del flujo este ocupada por el fluido. Es necesario decir que es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas en cada punto del campo de fluido, tales como escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro del flujo.
3. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE FLUJO DE FLUIDOS
3.2. El segundo enfoque, es el euleriano (en honor de matemático suizo L. Euler, 1707-1783), donde se fija la atención sobre un punto particular en el espacio y describe lo que sucede en ese punto a lo largo del tiempo. En él las variables independientes son la posición en el espacio, (x, y, z) y el tiempo. Las propiedades de la partícula de un fluido dependen de la localización de la partícula en el espacio y el tiempo, expresado matemáticamente, el campo de velocidad es: V = V (x, y, z, t)
Existen dos enfoques diferentes para describir un campo de flujo. 3.1.
El primero es conocido como lagrangiana (en honor del matemático francés J. L. De Lagrange, 17361813), identifica cada partícula determinada de fluido y describe lo que le sucede a lo largo del tiempo.
Este enfoque se usa sobretodo en el campo de la mecánica de los fluidos y en el estudio de la dinámica. Este es indispensable si se trata de un número pequeño de partículas que se mueven como un sólido rígido o si todas las partículas se desplazan solamente un poco de su posición inicial.
Además éste se emplea con mucha más frecuencia en la mecánica de fluidos, es necesario para resolver un problema de flujo de fluidos la determinación de la velocidad, la presión, etc., en función de coordenadas de espacio y tiempo. Entonces se puede usar las funciones: V(x, y, z, t) o P (x, y, z, t) Para encontrar la velocidad o presión en cualquier lugar dentro del campo en cualquier instante, sustituyendo simplemente los valores para x, y, z y t. También resulta particularmente adecuada para el desarrollo de problemas de la mecánica de fluidos, ya que no se enfoca en lo que le sucede a una partícula de fluido en especial.
4. CAMPOS VECTORIALES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
4.1.Campo de aceleración:
Esta ecuación es la derivada tomada con respecto al tiempo siguiendo el movimiento del punto, y como podemos apreciar no tiene dirección como en el caso de la velocidad.
Es una consecuencia derivada de las velocidades, ya que el vector aceleración de una partícula fluida en un único punto se define como el cambio o variación temporal de la velocidad en ese punto.
A esta derivada se la conoce como la derivada total y corresponde a la aceleración de las partículas fluidas, que puede asumirse como la superposición de dos efectos.
Empleando las variables del primer enfoque, es decir desde el lagrangiana, la velocidad de una partícula fluida estaría en función de X, Y, Z, t; es decir (x, y, z, t) no permanece constante sino que varía en forma continua y dan en cada instante la posición de la partícula que estudiamos. Entonces la aceleración de la partícula será:
4.2.Campo rotacional o de velocidad
Estas son las componentes de la velocidad en los tres ejes ortogonales x, y, z respectivamente; podemos escribirla como:
Campo derivado del de las velocidades que examina la rotación de una partícula fluida. Se define matemáticamente por el producto vectorial del operador nabla, multiplicado por el vector velocidad (V) es decir:
Este igualmente es función, de posición y de de tiempo, además es una medida de la rotación de la partícula dentro del flujo; por ésta razón se le conoce también como “campo”.
5. DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES
Se basa en la Ley de Poiseuille, donde el caudal de volumen es proporcionado por la diferencia de presión dividida por la resistencia viscosa. Esta resistencia depende linealmente de la viscosidad y la longitud, pero la dependencia de la cuarta potencia del radio, es totalmente diferente. Imaginemos una tubería horizontal de radio R constante. En ella se encuentran dos secciones transversales A y B separadas una distancia L.
Sustituyendo el valor de la superficie AL por 2 π r L y despejando F nos queda F =
2\pi r L \eta {dv\over dr} Reemplazando y simplificando queda: \pi r^2 \Delta p = -2 \pi r L \eta {dv \over dr} r \Delta p = -2 L \eta {dv \over dr} Con lo que:
Estas secciones delimitan un trozo de tubería por los puntos ABCD. A su vez un cilindro coaxial se encuentra dentro de la tubería definido por los puntos abcd con área de tapas A = π r2 y radio r. La viscosidad del fluido ante el cilindro crea una energía cortante que se llamará T inducida por una fuerza cortante F sobre un área longitudinal, es decir: AL = 2π r L. Esta fuerza es igual a F = p1 A - p2. Donde A poseerá un sentido izquierda - derecha igual al desplazamiento del fluido, inducido por un gradiente de presión en la que p1 y que es mayor que p2. Integrando las fuerzas que actúan sobre el cilindro considerado, se obtiene la expresión de la ley de Poiseuille. Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, si p1 y p2 son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del área transversal del cilindro en las secciones 1 y 2: p1 A - p2 A + F = 0 (F es la fuerza ejercida por fluido gracias a la viscosidad del mismo contra la sección de tubo de radio r) El esfuerzo de corte es proporcional a la velocidad de corte por una constante llamada viscosidad, es decir: F\over AL} = \eta {dv\over dr
dv = -{\Delta p \over 2 L \eta} r dr Integrando esta ecuación: v = -{\Delta p \over 4 L \eta} r^2 + C Entonces el valor de la constante C es determinado por los entornos en los límites. (Cuando r =R entonces v = 0) C = {\Delta p \over 4 L \eta} R^2 Sustituyendo el valor de C en la ecuación inicial se tiene que: v = {\Delta p \over 4 L \eta} \left(R^2 - r^2 \right) Esta ecuación ofrece la distribución de velocidades en una tubería. Como se puede observar, el del radio elevado al cuadrado indica que se trata de un paraboloide, donde la velocidad máxima se obtiene en el eje del mismo y que coincide con el eje de la tubería. Donde los efectos del rozamiento con las paredes de la tubería es menor. La expresión de la velocidad máxima queda del siguiente modo: v{max} = {\Delta p \over 4 L \eta} R^2 Aún así es más sencillo medir la velocidad media que la velocidad máxima. La expresión de la velocidad media es la siguiente: v{media} = {Q \over \pi R^2}
La ley de Poiseuille se ha encontrado razonablemente de acuerdo, con experimentos para líquidos uniformes (llamados fluidos Newtonianos) en casos donde no hay apreciables turbulencias.
6. NUMERO DE REYNOLDS
Reynolds (1874) estudió las características de flujo de los fluidos inyectando un trazador dentro de un líquido que fluía por una tubería. A velocidades bajas del líquido, el trazador se mueve linealmente en la dirección axial. Sin embargo a mayores velocidades, las líneas del flujo del fluido se desorganizan y el trazador se dispersa rápidamente después de su inyección en el líquido. El flujo lineal se denomina Laminar y el flujo errático obtenido a mayores velocidades del líquido se denomina Turbulento.
Las características que condicionan el flujo laminar dependen de las propiedades del líquido y de las dimensiones del flujo. Conforme aumenta el flujo másico aumenta las fuerzas del momento o inercia, las cuales son contrarrestadas por la por la fricción o fuerzas viscosas dentro del líquido que fluye. Cuando estas fuerzas opuestas alcanzan un cierto equilibrio se producen cambios en las características del flujo. En base a los experimentos realizados por Reynolds en 1874 se concluyó que las fuerzas del momento son función de la densidad, del diámetro de la tubería y de la velocidad media. Además, la fricción o fuerza viscosa depende de la viscosidad del líquido. Según dicho análisis, el Número de Reynolds se definió como la relación existente entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas (o de rozamiento).
Este número es adimensional y puede utilizarse para definir las características del flujo dentro de una tubería. El número de Reynolds proporciona una indicación de la pérdida de energía causada por efectos viscosos. Observando la ecuación anterior, cuando las fuerzas viscosas tienen un efecto dominante en la pérdida de energía, el número de Reynolds es pequeño y el flujo se encuentra en el régimen laminar. Si el Número de Reynolds es 2100 o menor el flujo será laminar. Un número de Reynold mayor de 10 000 indican que las fuerzas viscosas influyen poco en la pérdida de energía y el flujo es turbulento.
6.1.FLUJO LAMINAR. A valores bajos de flujo másico, cuando el flujo del líquido dentro de la tubería es laminar, se utiliza la ecuación demostrada en clase para calcular el perfil de velocidad (Ecuación de velocidad en función del radio). Estos cálculos revelan que el perfil de velocidad es parabólico y que la velocidad media del fluido es aproximadamente 0,5 veces la velocidad máxima existente en el centro de la conducción.
6.2.FLUJO TURBULENTO. Cuando el flujo másico en una tubería aumenta hasta valores del número de Reynolds superiores a 2100 el flujo dentro de la tubería se vuelve errático y se produce la mezcla transversal del líquido. La intensidad de dicha mezcla aumenta conforme aumenta el número de Reynolds desde 4000 hasta 10 000. A valores superiores del Número de Reynolds la turbulencia está totalmente desarrollada, de tal manera que el perfil de velocidad es prácticamente plano, siendo la velocidad media del flujo aproximadamente 0,8 veces la velocidad máxima.
7. EJERCICIOS RESUELTOS
7.1.EJEMPLOS DE CAMPOS DE FLUJO 7.1.1. FIGURA 1.
7.2.MÉTODOS PARA DESCRIBIR EL FLUJO Descripción de Lagrange y de Euler de fluido en movimiento.
7.2.1.
7.1.2. FIGURA 2.
7.2.2. Una tobera está diseñada de manera tal que la velocidad varía en función de la longitud, es decir:
7.3. NÚMERO DE REYNOLDS 7.3.1.
7.3.2.
7.3.3.
7.4.DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES 7.4.1. Sea el conducto de sección rectangular y longitud L de la figura por donde circula de manera completamente desarrollada un fluido que posee una viscosidad absoluta de μ=4.88x10 -3 kgf·s/m2 y densidad relativa al agua s=0.913. Al ser b<
SOLUCIÓN:
7.4.2.
Tabla de contenido
1.
CLASIFICACIÓN DE LOS TIPOS DE FLUJO .....................................................
2
1.1.
Flujo interno.
..................................................................................................
1.2.
Flujo externo.
.................................................................................................. 4
1.3.
Flujo ideal.
1.4.
Flujo real o viscoso.
1.5.
........................................................................................ Fl uidos newtonianos
1.6.
............. ............. ............. ............. ............. ............. ...... 6 Fl uidos no newtonianos
......................................................................................................
CAMPOS DE FLUJO .............................................................................................
3.
MÉTODOS DE ANÁLISIS DE FLUJO DE FLUIDOS ..........................................
5
7 7
3.1.
El primero es conocido como lagrangiana .......................................................
7
3.2.
El segundo enfoque, es el euleriano .................................................................
7
CAMPOS VECTORIALES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ............. .......... 8 4.1.
Campo de aceleración:
4.2.
Campo rotacional o de velocidad ........... ............. ............. ............. ............. ...... 8
.................................................................................... 8
5.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES ..................................................................
6.
NUMERO DE REYNOLDS
7.
5
......................................................................................... 5
2.
4.
4
9
................................................................................. 10
6.1.
FLUJO LAMINAR.
6.2.
FLUJO TURBULENTO. ...............................................................................
...................................................................................... 11
EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................................
11 12
7.1.
EJEMPLOS DE CAMPOS DE FLUJO ........................................................
12
7.2.
MÉTODOS PARA DESCRIBIR EL FLUJO ................................................
12
7.3.
NÚMERO DE REYNOLDS ..........................................................................
14
7.4.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES .........................................................
15
BIBLIOGRAFíA Fundamentos de Mecánica de Fluidos (2ª Edición). P. Gerhart, R. Gross y J. Hochstein. Adison-Wesley Iberoamericana 1995. La mecánica de los fluidos. I.H. Shames. Editorial Castillo. 1979. Mecánica
de
fluidos.
F.M.
White.
Editorial
McGraw
Hill.
1984.
