Resolución de Problemas
Ene s t apág i nas emu mue s t r ane j e m mp pl o sdee j e r c i c i o sypr o bl e m ma as r e sue l t o s ,r e l ac i o nado sc o nl o sc o nt e ni do sdel auni dad.Enmayo ro me no rme di das eabo r dant o do sl o st i po sdee j e r c i c i o sypr o bl e m ma as quesepuedenhac er . e do n de ad as No t a:T o dasl asope r ac i o ne se s t ánr c o ndo sot r e s de c i mal e s .
EJERCICIO 1: Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :
Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateo opuesto es , el contiguo !" y la #ipotenusa !$.
EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo %#ora en este e&ercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo vamos a utilizar el 'eorema de Pitágoras. (o primero ponerle nom)re a los lados. *amos a llamarle con letras min+sculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra may+scula es decir a - ! m, ) - / m y c es el lado que queremos calcular %plicando el 'eorema de Pitágoras tenemos: a" - )" 0 c " !"- /" 0 c" !1 - 1 0 c " !1 2 1 - c" !3" - c" !!, - c (uego c - !!, m.
y aplicando las fórmulas tenemos:
EJERCICIO 3: 4etermina los ángulos del e&ercicio anterior 5)viamente ya sa)emos que el ángulo % es el ángulo recto y por tanto % - 67. Para calcular los otros dos vamos a #acerlo con las razones trigonométricas y con la ayuda de la calculadora. 8i queremos calcular el ángulo C con los datos que parto, lo primero es identificar los lados que conozco respecto al ángulo C, que en este caso son cateto contiguo e hipotenusa y pienso en qué razón trigonométrica intervienen esos lados. (a respuesta es el coseno, así que calculo cos C Cos C - / 9 ! - 6,$. %#ora con la calculadora sacamos cuál es el ángulo, utilizando la función inversa de la tecla ;cos;, y el resultado es C - $$,"$7. Para calcular < puedo #acer lo mismo, pensar qué razón puedo calcular, o como ya tengo dos ángulos, sacarlo de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es !/67 ( A + B + C = 180). Por cualquier camino el resultado es < 3,$7.
EJERCICIO 4: 4e un triángulo rectángulo se sa)e que uno de sus ángulo agudos es 67 y que el cateto opuesto a éste mide !6m. Calcula el ángulo y los lados que faltan.
(o primero es #acer un di)u&o que nos aclare la situación y ponerle nom)re a los lados y ángulos =sta sería nuestra situación.
Para empezar los más fácil es sacar el ángulo que falta, y aplicando que la suma de los tres es !/6, el ángulo < vale $67. *amos a calcular a#ora por e&emplo el lado ;);. 8i me fi&o en el ángulo C, el lado que sé es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razón trigonométrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despe&ar a partir de a#í:
Por tanto ya tenemos el lado ;);. Para calcular el lado ;a; podríamos aplicar Pitágoras o sacarlo por alguna razón. *amos a seguir este camino que será más corto. Por e&emplo voy a fi&arme en el lado ;c; y el ángulo ;C;, aunque ya podría utilizar cualquiera de los datos que tengo. Para el ángulo ;C; sé cateto opuesto y quiero #ipotenusa así que #a)rá que utilizar el seno:
EJERCICIO 5: Calcula la altura de la torre si nuestro persona&e está a m de la )ase de la torre, el ángulo con el que está o)servando la c+spide es de 167 y sostiene el artilugio a una altura de !,$ m.
Para comenzar, vamos a #acer un di)u&o que aclare un poco la situación poniendo los datos que conocemos.
8i nos fi&amos en el triángulo, el lado c mide m y una vez que tengamos calculado el lado ), para calcular la altura de la torre sólo tendremos que sumarle los !,$ m. %sí pues, vamos a calcular el lado ). Para el ángulo 167, el lado que conozco es el cateto contiguo y el que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo la tangente de 167.
Por tanto la altura de la torre es !",!! m 0 !,$ m - !3, 1! m.
EJERCICIO 6: =l seno de cierto ángulo α del segundo cuadrante vale 6,$. Calcula el coseno y la tangente. Para resolver este e&ercicio tenemos que recurrir a las relaciones trigonométricas. 4e la primera sacaremos el valor del coseno y una vez que lo tengamos sacaremos la tangente: 8acamos el valor del coseno despe&ándolo de la fórmula:
sen"α 0 cos"α - !.
Como nuestro ángulo está en el segundo cuadrante y en ese cuadrante el coseno es negativo, tenemos que quedarnos con el signo 2, por tanto cos α - 2 6,/3.
Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda fórmula:
EJERCICIO 7: 8a)iendo que cos "7 - 6,. Calcula: sen """7, tg !3/7, cos /7, sen 3!/7 y sen !3"7. sen 222º
=l ángulo """7 pertenece al tercer cuadrante. *amos a ver con que ángulo del primero se relaciona: α - """7 2 !/67 - "7. Por tanto y teniendo en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo, sen"""7 - 2 sen "7 - 2 6,11 > Para calcular el sen 42º seguimos el mismo procedimiento ue en el e!ercicio "). tg 138º
!3/7 está en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con α - !/67 2 !3/7 - "7, que vuelve a ser el ángulo que conocemos. Como la tangente es negativa en el segundo cuadrante, tg !3/7- 2 tg "7- 26, (tg 42º lo calculamos igual ue en el e!ercicio ") cos 48º
/7 es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario del ángulo que conozco "7. =ntonces cos /7 - sen "7 - 6,11. sen 318º
3!/7 está en el cuarto cuadrante y se relaciona con 3167 2 3!/7 - ". =ntonces sen 3!/ 7- 2 sen "7 - 2 6,11 sen132º
!3"7 es del segundo y se relaciona con !/67 2 !3"7 - /7 que es el complementario de "7. =ntonces y como el seno es positivo en el segundo cuadrante, sen !3"7 - sen /7 - cos "7 - 6,.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los lados de un triángulo rectángulo. Se define:
Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo. Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce que la consecante es entre el seno Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es entre el coseno. Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es entre la tangente.
!e las definiciones anteriores se deduce que:
Dadount r i ángul or ect ángul ocomoeldel afigur asesabequel oscat et osmi den: a=2 b=10 Cal cul aelsenodelángul oA Elsenodelángul oAes= ( redondea l aso l uc i ó nado sci f r a sde c i mal e s ) Comprobar
