95
Siendo S, C, R los números convencionales para un cierto ángulo trigonométrico tal que se cumple que: S C 2R 4 180 200 SISTEMAS SEXAGESIMALES (S)
Calcular el valor de
1Vuelta 360 : 1 60' : 1' 60' '
E
A) 3/2 D) 4
SISTEMA CENTESIMAL (C)
CS 95 B) 1/2 E) 5/2
C) 3
1Vuelta 400 g : 1g 100m : 1m 100s Se tiene 3 ángulos tal que la suma del primero con el segundo es 20°; del segundo con el tercero es 40 g y del primero con el tercero es 5/9 rad. Hallar el mayor de dichos ángulos. A) 42° B) (140/9) g C) 240 g D) 29/90 rad E) 190°
SISTEMA RADIAL (R)
1Vuelta 2 radianes CONVERSIÓN DE SISTEMAS
S 180 S
S 9
C
200 180R C
R
;C
200R
Si 42 grados A equivale a 70ª, ¿A cuántos radianes equivalen 72 grados A? A) 2/3 rad B) rad C) /5 rad D) 4/5 rad E) 3/2 rad
;
: =3,1416
10
NOTA: 180°=200g =rad Reducir:
PROBLEMAS PROPUESTAS
CS CS 17 CS CS
A) 2 D) 5
Siendo S, C los números de grados convencionales para un cierto ángulo trigonométrico. A partir del gráfico calcular dicho ángulo en el sistema circular.
B) 3 E) 6
C) 4
Hallar “” del gráfico mostrado. A) 10 B) 20 C) 30 D) –20 E) Absurdo
55º
(20 +)g
18°
2cº sº A)
rad
B)
rad 4
E)
10 D)
rad 6 rad 3
C)
rad 5
S y C son lo convencional para una medida angular, calcular el valor de A a partir de: S-1 + 2C-1 = A(S-1 – C-1) A) 21 B) 23 C) 25 D) 26 E) 28
El cuadrado de la medida geométrica de los números que presentan la medida de un determinado ángulo en grados centesimales y sexagesimales es 15 veces la diferencia de los mismos números. Hallar la medida de dicho ángulo, si es diferente de cero. A) 1°30’ B) 1°45’ C) 1°25’ D) 2°20’ E) 1°42’
Si los números de grados sexagesimales de dos ángulos difieren en 18 y además la suma de los números de grados centesimales de estos ángulos es 140. Hallar la medida del mayor ángulo en radianes. A) /6 B) /4 C) /3 D) 7/18 E) 2/5 Sea = 1º + 2º + 3º + ….la medida de un ángulo. Calcular el menor valor de “” de tal modo que al convertirlo al sistema centesimal se obtiene un número entero A) 27º B) 54º C) 36º D) 45º E) 63º
Reducir la siguiente expresión:
11g 22g 33g ... 770g 400 M 2 rad 4 rad 6 rad ... 140 rad π A) 10 D) 22
Los ángulos de un triángulo equilátero miden xº, yg, zrad, según esto calcular la expresión racional:
4x 3y 6z
A) 10 D) 30
B) 20 E) 35
Los C) 25
B) 11 E) 7
tres
ángulos
de
un
C) 15
triángulo
son
9 x 10
grados
sexagesimales, (x+1) radianes y (x+2) grados centesimales respectivamente. El mayor de ellos expresado en radianes es :
96
100 100 9 90 c) 10 100 a)
e)
100 1000
b)
E
2 d) 180 100
(a b)a' (a b)'
(a b) g b m (a b ) m
A) 121 D) 151
B) 131 E)161
C) 141
100 Halle la medida radial del ángulo tal que verifique la igualdad: 2 2S C C S 36R 12 ;en radianes(rad)
Siendo: x + y + z = 60. Además:
xy' z' ' yz' x' ' zx' y' ' xy y' . Calcule:
A)/3
z3 B)4 E) 10
Calcule el valor de: J A) 1,674
1g 1
C)6
1m
1'
2 1 1 1 3 S C 2n S C C
1s
A)2 D)8
1' '
B)1,564 C)1,754 D)1,764
n 10 g 6' A)11/8 D)9/4
B)4 E)10
Siendo S, C y R los números convencionales que determinan las medidas de un ángulo; halle la medida radial del ángulo que cumple:
n g 9
1 S.R
50 m
6
5
E 100( 1) 1 b
10
2 R
C.R
2 ; en radianes (rad) B) 10 E)16
S5 9
A)/3 D)2/5
(a+b)m
B)21 E)32
C) 12
C5 10
R5
12(S 4 C 4 R 4 ) B)/2 C)/5 E)/25
20
C)23
Si se tiene que:
PROBLEMAS PROPUESTAS
(a b ) 2 4ab , calcule el valor de: ab' ba' a' b'
En el gráfico mostrado. Hallar la longitud del arco BC.
A)120 D)126
B)122 E)128 ángulo
puede
(a 1)(b 2) a(b 1)
g
C)124
B A
expresarse
O
R
CS
5
B)6 E)9
2m 2m
C)7/10
D A) 3 m D) 6 m
Si S y C representan los números de grado sexagesimal y centesimal que mide un ángulo respectivamente, calcule.
2C S
2C S CS
3m
2m
como:
. Determine la medida circular de
dicho ángulo en radianes (rad). A) B)7/20 D)2 E)4/5
A)5 D)8
1
Determine la medida radial del ángulo que verifique la igualdad: (en radianes)
a
Un
A)8 D)9
C)10/9
Del gráfico mostrado, calcule:
A)12 D)77
C)6
E)1,456
B)55/4 E)1/5
(b-a)’
C)2/3 D)5/6
Determine el valor de “n” en la igualdad:
Hallar el valor de “n” para que se verifique la igualdad:
M
B)/6 E)/4
xy
A)2 D)8
o
3m B) 4 m E) 8 m
C) 5 m
Calcular el radio de una circunferencia tal que un arco de 15 cm de longitud subtiende un ángulo central de 3 rad. A) 15 cm B) 12 cm C) 10 cm D) 5 cm E) 2,5 cm
4 C)7
Hallar “” si L2=5L1 Calcular el valor de la expresión:
97
L2
C
D
B L1
A
rad O
A) /3 D) /6
B) /4 E) /8
2 3 4 O
A) m D) 6 m
C) /5
E B) 2 m E) 8 m
C) 4 m
Calcular: L1 L2 L 2 L3
De la figura, calcular “x” x
O O
1 Rad
2
L1
L2
L3
5
A) 1/2 D) 2/5
x
A) 2/5 D) 3
B) 5/2 E) 6
C) 1
B) 2/3 E) 3/5
C) 3/4
De la figura, calcular “x” : x
A un alumno se le pide calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 50°, pero él por equivocación escribe 50 grados centesimales y obtiene un arco de longitud 9. Calcular la longitud verdadera del arco. A) 5 B) 10 C) 8 D) 9 E) 11
O
A) 2/5 D) 3
O
C) 1
1 Rad 2
5
B C
A) D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
A un alumno se le pide calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 50°, pero él por equivocación escribe 50 grados centesimales y obtiene un arco de longitud 9. Calcular la longitud verdadera del arco. A)5 B)10 C)8 D)9 E)11
En el gráfico mostrado. Hallar la longitud del arco BC. B 3m A
Se tiene un sector circular en el cual R, L y representan al radio, longitud de arco y número de radianes del ángulo central, respectivamente. Se Construye otro sector agregado x, a cada una de estas cantidades obteniéndose ahora: R+x, L+x,+x. Hallar: x. A)1+-R B)1-+R C)1++R D)1--R E)2--R
2m 2m 2m 3m
B) 4 m E) 8 m
B) 5/2 E) 6
A
Sean S1 y S2 dos sectores circulares. Si el radio de S2 es el doble del radio de S1 y el ángulo central de S2 es tres veces el ángulo central de S1, Hallar la relación que existe entre las áreas de S1 y S2 A)1/5 B) 1/10 C)2/7 D) 1/12 E) 3/8
A) 3 m D) 6 m
5
Calcular la longitud de la circunferencia inscrita si la longitud de los arcos AB y CD miden 2 y 5 D
El ángulo central que subtiende un arco de radio 18, mide C radianes, si se disminuye dicho ángulo hasta que mida S radianes. Cuanto se debe aumentar al radio para que la longitud de dicho arco no varíe. Si S y C representan al número de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo respectivamente. A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) 4
D
2
x
Se tiene un sector circular de 6 cm de radio y 12 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta en 2 cm sin que el ángulo central varíe, ¿Cuál será la nueva longitud de arco? A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 14 cm E) 16 cm
O
1 Rad
C) 5 m
Calcular el área de la región sombreada
En figura, hallar la longitud del arco BC si AE=20 m.
98
Si: x2 + y2 =
D
10 π
x
A π a) a) 1/2 d) 3/2
b) 4/5 e)1
c) 5/4
S2
S1
a) 1 d) 4
2 π
d)
Hallar el ángulo central de un sector circular, como se muestra en el gráfico S1=S2 (S=áreas), además igual perímetro.
E
S1
y
B π b)
rad
e) rad
3
A 1 a)
c)
e)
4
(π 6)t
1 12
1 12
C
1 b)
6 1
d)
4
B
(6 )t
2
r
(6 - )t
L
R
A)3 D)4
3π 8
21 2 u 2
d) 19
π 2
L
rad
b) 9u2
u
2
13m C
b) 30cm c) 10cm e) 6cm
R2 L XS L 2 L
B)6 E)5
C)2
calcular la suma de las áreas de El ángulo central que subtiende un arco de radio 18, mide C radianes, si se disminuye dicho ángulo hasta que mida S radianes. Cuanto se debe aumentar al radio para que la longitud de dicho arco no varié. Si S y C representan al número de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo respectivamente. A)2 B)1 C)3 D)5 E)4
dichos sectores. (>)
a)
D
Si R, L y S son el radio, longitud de arco y el área de un sector circular respectivamente cuyo ángulo central mide radianes. Calcular x, si:
En la figura se tiene dos sectores circulares tales que:
rad
c) 4cm
O a) 20cm d) 40cm
R
y
12m 8m
(6 - )
6 π
rad
Hallar el perímetro (en metros) de la región sombreada. Donde “O” es el centro de la circunferencia.
D
2
4
C
b) 3cm e) 6cm
E
2
( 6 )t
M
a) 2cm d) 5cm
M
E
c)
N
P
Las figuras ABCD es un paralelogramo donde mBCD=30°, BC=2t, DC=t. BE y FD son arcos de circunferencia cuyos centros, son A y C respectivamente. Hallar el área sombreada.
N
π
rad
B
c) 3
F
C
rad
A
B
S2
En el triángulo equilátero ABC, los puntos M, N y P son puntos medios de los lados. Calcular el perímetro de la región sombreada formado por las tres áreas de circunferencia, cada lado del triángulo mide 12cm.
a
b) 2 e) 5
5
a O
e)
23 2
u
3cm
c) 6u2
2
Si las áreas de S1 y S2 son iguales, calcular “” en radianes.
99
D) 18
E) 20
En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple que: 4SenA=7SenB; Calcular:
E 65Sen 2 A 42TgB C
b A
a B
c
A) 10 D) 25
a y c: catetos b: hipotenusa = 90º
las
C) 20
El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6. Calcular la longitud del mayor cateto. A) 20 u B) 30 u C) 40 u D) 50 u E) 60 u
Teorema de Pitágoras: a2 + c2 = b2
Del gráfico anterior podemos definir trigonométricas de ángulos agudos, así:
B) 15 E) 30
razones Del gráfico mostrado, calcular:
B
Cateto opuesto al a Sen hipotenusa b Cateto adyacente al c Cos Cos hipotenusa b Cateto opuesto al a Tg Tg Cateto adyacente al c Cateto adyacente al c Ctg Ctg Cateto opuesto al a hipotenusa b Sec Sec Cateto adyacente al c hipotenusa b Csc Csc Cateto opuesto al a Sen
F
A
2a
a
E
A) 2 D) 8
C
B) 4 E) 3/2
C) 6
Del gráfico mostrado. Calcular:
" Tg Tgw "
Si: ABCD es un cuadrado
B
C
w
2a
PROPIEDADES Razones trigonométricas recíprocas:
E
Sen .Csc =1 Cos .Sec =1 Tg .Ctg =1
3a
A
A) 0,1 D) 0,4
D
B) 0,2 E) 0,5
C) 0,3
Razones trigonométricas de ángulos complementarios:
Si:
Del gráfico, calcular: “Ctg”, si: Ctg = 2,4
+ = 90º
B
C
Sen = Cos
Tg = Ctg Sec = Csc
A A) 1 D) 4
PROBLEMAS PROPUESTAS Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética. El coseno del mayor ángulo agudo de ese triángulo vale: a) 3/5 b) 1/2 c) 3/2 d) 4/5 e) 3/4
D C) 3
w
T 13 Sen 12 Cot B) 14
E
Del gráfico, calcular: “Tg”, si: Tgw = 5/12
Si "" es la medida de un ángulo agudo y se cumple que: Tg = 2/3; Calcular: A) 12
B) 2 E) 5
A) 0,5 D) 2
C) 16
100
B) 1 E) 2,5
C) 1,5
a Del gráfico, calcular: Ctg
A
4a
w
E F 37 º
O
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
C) 2
Del gráfico mostrado, calcular: “Tg”, si: ABCD es un cuadrado.
C
B C) 7
Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1 Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x A) 5 B) 6 D) 8 E) 9
37 º
E
C) 7
Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º) A) 20 B) 22 D) 26 E) 28
A
A) 3/4 D) 3/5
En un triángulo equivalente de:
B) 3/7 E) 3/8
rectángulo
F
D
C) 24
Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1 Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º) A) 5 B) 6 D) 8 E) 9
C) 4/7
ˆ 90º ) (B
ABC
señale
K T anA T an A 1 T anA Cot A 1 2 2 2 2 2 a) Sen A b) Cos A c) Tan A 2 2
C) 7
d)
Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos. Calcular:
xy xy ).Cot( ).Tgx.Tgy 2 3
A) 1 D) √5
B) 1,5 E) 3
B
Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo, Calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º). A) 5 B) 6 D) 8 E) 9
E Tg(
45 º
A) 1 D) 2,5
Cot A
e)
Sec A
Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros. Calcule:
B) √2 E) √6
C) √3
Tanx Tany Si:
AC CE EG 3 2
Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: Tg
B
D
2 N
A
A) √3/5 D) 2√3/7
E) 3√3/7
B) 2√3/5
N
M
8
M
C
A
C
x y
B a) 35/66 d) 13/11
C
45º
Si:
F A A) 1 D) 4
E
b) 65/77 e) 5/7
F
c) 55/72
Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º)
Cos (x y) Cos (4 y 10 º ) 2 Sen (100 º 4 y)
37º B) 2 E) 5
G
C) √3/7
Del gráfico mostrado, calcular: 11Tg
B
E
D
Calcular: Sec 2 (x 10 º ) Sec 2 3 y
C) 3
K
a) 4
Del gráfico mostrado, calcular: “Ctgw"
101
Cos(x y 10 º ) b) 8
c) 16
el
d) 24
e) 32
W Csc 2 (x y) Csc 2 3 y a) 4 d) 10
b) 6 e) 5
c) 8
Del gráfico, calcular:
K 2 3 Cot 5 T an
Del gráfico calcular:
W (Csc 1)(Csc 1)(Csc 1)(Csc 1)
Si: CD se dibuja con centro en "E"
B
Q
C
P
60º E
A
a) 3 d) 8
D
b) 5 e) 10
O1
c) 7 a) 4 d) 81
O2
O3
b) 9 e) 100
c) 16
En el cuadrado ABCD; calcular:
K 3 Tan 9 Tan
Del gráfico calcule:
W (Sec 1)(Sec 1) Cos Cos
E B
Siendo "A" centro del arco BD.
C
B
O
8º
A a) 3 d) 6
D
b) 4 e) 7
A
c) 5
D
a) 1 d) 3
T
C
b) 0 e)3/2
c) 2
Sabiendo que: Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1) Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89º Calcule:
W Sec 2 (2x 5 º ) T an2 (y 5 º ) Csc 2 (y x 5 º ) a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
c) 7 De la figura, hallar “Tg”
B
En el cuadrado ABCD, calcular:
W 2 2 Cos 5 Cos Si: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD
B
53°
C
E
45°
A
M
A) 0,1 D) 0,4
M
A
F
C B) 0,2 E) 0,5
C) 0,3
B) 6 E) 15
C) 9
Hallar “a” en la figura :
D
N
a)
11
b)
13
d)
19
e)
17
3x + 2
c) 4 6
2x + 4 53° a A) 3 D) 12
Sabiendo que:
Sen (2x y 20º ) Cos 3 x 2 y 2 x x T an 3 y T an 3 y 1 2 4
Calcular: E = (Sec37° + Tg230°)Sec245° A) 17/6 B) 19/6 C) 18/7 D) 17/9 E) 15/7
Calcule:
102
Del gráfico, si : AC = m, hallar BD en términos de “m” y “”
En el gráfico, hallar AB
A
C 23°
37°
D
C
15 A) 9 cm D) 16 cm
A
B
B
A) mTg D) mCsc
B) 12 cmC) 14 cm E) 18 cm
D
B) mCtg E) mSenCos
C) mSec
De la figura, hallar el valor de “x” en términos de “a” y “”
Hallar “x” en función de “” y “a”
a
x a
A) aSen D) aCtg
x
A) aCos D) aSec3
B) aSec E) aCos2
B) aCos E) aTg
C) aTg/2
C) aCos3 Hallar "x"
C
Calcular “h” en términos de , y m
x B
h
a
m
A) mCtgTg C) m/( Tg-Tg) E) m/(Tg+Tg)
B) m/(Ctg+Tg) D) m.TgTg
A A) Sen + aCos C) bSen - aCos E) aSec + bTg
Del gráfico, calcular HC en función de “m” y “” B
b
D
B) bSen + Cos D) aSen + bCos
Del gráfico, hallar: "Ctgx".
A) mSen2 D) mCtg2
A m H
C
B) mCos2 E) mSec
C) mTg2
x A) (2Sec - Cos)/Sen C) (Sec + Cos)/Sen E) (Sec - Cos)/Sen
Obtener “x” en términos de a, b,
a
b x
B) aCtg + b D) aTg - bCtg
Si ABCD es un cuadrado. Calcular “Tg” B
C a
A) B) C) D) E)
b A
A) b/(a - b) D) 1
D
B) a/(a + b) E) a + b/a - b
B) (Sen + Cos)/Sen D) (Csc + Sen)/Sen
En el siguiente esquema hallar ”x” en función de
A) (a - b)Tg C) (a - b)Ctg E) abTg
C) a/b
103
atg actg2 a(tg+tg2) a(ctg.tg2 -1) atgsec
OR
ÁNGULOS VERTICALES
Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 37º nos acercamos una cierta distancia y el ángulo de elevación es ahora de 45º. Si la altura de la torre es de 24m. ¿Cuál fue la distancia que nos acercamos? A) 6m B) 4 C) 12 D) 8 E) 16
Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 45º, y lo alto de la antena que se encuentra al borde del edificio con un ángulo de elevación de 53º. Si la antena mide 6m. ¿Cuál es la altura del edificio? A) 18 B) 24 C) 32 D) 36 E) 42
Línea horizontal
2. Ángulo de depresión Es el ángulo vertical cuyo lado final se ubica por debajo de la línea horizontal.
Dos barcos están al sur y oeste a distancias de 7 y 24 km respectivamente. ¿Cuál es la distancia de separación de los barcos? A) 7 km B) 24 C) 31 D) 25 E) 50
Línea horizontal
Una persona observa la parte más alta de un faro con una elevación angular "". Si camina "d" metros hacia el faro, observaría al punto anterior con una elevación "2" y a otro punto que está "x" metros más abajo que el primero con un ángulo de elevación "". Hallar "x". A) dtg B) dcos2tg C)dsen2tg D) d/2 csc E) dctg2
ÁNGULOS HORIZONTALES Azimut.- Se denomina azimut de un punto A respecto a B, al ángulo medido a partir del norte hasta la recta AB en sentido horario.
Desde lo alto de un edificio de altura "H" se divisa lo alto de un poste, con un ángulo de depresión ""; y desde la base del poste se ve lo alto del edificio con un ángulo de elevación "90º - ". Si la altura del poste es "h"; hallar: "h/H". A) tg2 B) tg C) 1 - tg2
D) 1 - tg
Rumbo.- El rumbo de una recta está dado por el ángulo agudo que forman la recta y la dirección norte o sur La lectura y escritura del rumbo siempre está referido al Norte o al sur e indicando hacia dónde se ha medido, hacia el Este (E) o hacia el Oeste (W, de west)
Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio y de la antena que se encuentra en su parte más alta; con ángulos de elevación de 45º y 53º respectivamente. Si la longitud de la altura es de 6m. ¿Cual es la altura del edificio? A) 10 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36
En la figura:
P W
Q
O
Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30º, al avanzar 10 m, el nuevo ángulo de elevación se duplica. Hallar la altura del faro. A) 8,7 m B) 4,6 c) 9,6 D) 8,6 E) 5,3
E
R S Línea OP OQ
E) 1 + ctg2
Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "". Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora 37º. Calcular: "ctg" A) 5/3 B) 4/3 C) 7/3 D) 3 E) 2
S ° E
PROBLEMAS PROPUESTAS
1. Ángulo de elevación Es el ángulo vertical cuyo lado final parte del ojo del observador y se ubica sobre la línea horizontal
S grados Este
Lectura del Notación Rumbo N grados N ° W Oeste N grados Este N ° E
Subiendo por una colina inclinada 45º respecto a la horizontal se observa a 20 m, arriba un poste con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura del poste? A) 1 m B) 2 C) 3 D) 4 E) 7
104
53°. Si a partir de la segunda posición emplea 9 s en llegar al edificio. ¿A qué velocidad se desplaza? A) 3 m/s B) 4 m/s C) 5 m/s D) 6 m/s E)7m/s
Una antena de radio está colocada en la azotea de un edificio, a 12 m de distancia del edificio sobre el suelo; son ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio 53º y 37º respectivamente. Hallar la longitud de la antena. A) 5 B) 7 C) 9 D) 6 E) 10
Desde un punto en el suelo, se observa la parte más alta de un edificio con una elevación angular de 37°, nos acercamos al edificio una distancia de 10 m y el nuevo ángulo de elevación para el mismo punto es 45°. Calcular la altura del edificio. A) 14m B) 15m C)28m D) 30m E)32m
A 16 m de la base de un árbol el ángulo de elevación para la parte más alta es 37°. Calcular la altura del árbol. A) 10 m B) 11 m C) 12 m D) 13 m E) 14 m
Desde un punto en el suelo, situado entre 2 muros de 3 m y 4
3 m se observa sus puntos más altos con ángulos de
Desde un punto en el suelo, se observa la parte más alta de un edificio con una elevación angular de 37°, nos acercamos al edificio una distancia de 10 m y el nuevo ángulo de elevación para el mismo punto es 45°. Calcular la altura del edificio. A) 14 m B) 15 m C) 28 m D) 30 m E) 32 m
elevación de 30° y 60° respectivamente. Calcular la distancia entre dichos puntos. A) 10m B) 12m C) 14m D) 16m E)18m
Dos personas que están separadas una distancia de 10( 3 + 1)m observan en un mismo instante una paloma que se ubica entre ellos con ángulos de elevación de 30° y 45°. Calcular la altura de vuelo en ese momento.
Desde lo alto de un acantilado de 45 m de altura, los ángulos de depresión para 2 botes que están en el mar y en una misma dirección del observador miden 60° y 45°. Determinar la distancia entre los botes. A) 15(3 - 3 ) C) 15 3 ( 3 - 1) E) Hay 2 respuestas
B) 15(3 + 3 )
A) 10 m
B) 10 3 m
D) 20 3 m
E) 5 3 m
C) 20 m
D) 15 3 ( 3 + 1) Martín observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación , cuando la distancia que los separa se ha reducido a su tercera parte, el ángulo de elevación se ha duplicado. Calcular la medida del ángulo . A)15° B)30° C)45° D)60° E)75°
Desde un punto en el suelo, situado entre 2 muros de 3 m y 4
3 m se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 30° y 60° respectivamente. Calcular la distancia entre dichos puntos. A) 10 m B) 12 m C) 14 m D) 16 m E) 18 m
Desde la base de un árbol se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 45° y desde la parte superior del árbol se observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 37°. Si la altura del edificio es de 120 m. Calcular la altura del árbol. A) 10m B) 20m C) 30m D) 40m E)50m
Martín observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación, cuando la distancia que los separa se ha reducido a su tercera parte, el ángulo de elevación se ha duplicado. Calcular la medida del ángulo. A) 15° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°
Una persona observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 37°, luego camina 28 metros hacia el edificio y lo vuelve a observar con un ángulo de elevación de 53°. Si a partir de la segunda posición emplea 9 s en llegar al edificio. ¿A qué velocidad se desplaza? A)3m/s B)4m/s C)5m/s D)6m/s E)7m/s
Dos personas que están separadas una distancia de 10( 3 + 1)m observan en un mismo instante una paloma que se ubica entre ellos con ángulos de elevación de 30° y 45°. Calcular la altura de vuelo en ese momento. A) 10 m
B) 10 3 m
D) 20 3 m
E) 5 3 m
C) 20 m Una persona colocada a 36 m de una torre observa su parte más alta con un ángulo de elevación (Tg = 7/12).¿Qué distancia habría que alejarse para que el ángulo de elevación sea ? donde : Tg = 1/ 4 A)36m B)40m C)42m D)46m E)48m
Desde la base de un árbol se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 45° y desde la parte superior del árbol se observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 37°. Si la altura del edificio es de 120 m. Calcular la altura del árbol. A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m
Desde la parte superior de un muro de 2 m de altura, se observa un árbol con un ángulo de depresión de 30° su base y con un ángulo de elevación de 60° su parte superior. Hallar la altura del árbol. A) 4 m B) 6 m C) 8 m D) 10 m E) 12 m
Una persona observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 37°, luego camina 28 metros hacia el edificio y lo vuelve a observar con un ángulo de elevación de
105
Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 45° y lo alto de la antena que se halla sobre el edificio con un ángulo de elevación de 53°. Si la antena mide 3 m. Calcular la altura del edificio. A) 18 m B) 15 m C) 12 m D) 9 m E) 8 m
ordenada y radio vector r abcisa x cos θ radio vector r ordenada y tgθ abcisa x abcisa y ctgθ ordenada x radio vector x secθ abcisa r radio vector y cscθ ordenada r senθ
Un asta de bandera está clavada verticalmente en lo alto de un colegio de 6 m de altura, los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte superior del colegio son de 60° y 30° respectivamente. Hállese la longitud del asta. A) 8 m B) 9 m C) 10 m D) 11 m E) 12 m Un avión vuela en línea recta y horizontalmente y cuando se ubica entre 2 puntos en tierra A y B distantes entre sí (x) m los observa con depresiones angulares y . Calcular la altura de vuelo. A) x(Tg+ Tg) B) x(Ctg + Ctg) C) x(Tg + Tg)-1 D) x(Ctg + Ctg)-1 E) 2x(Ctg + Ctg)
SIGNOS DE LAS R.T. EN LOS CUADRANTES Cuadrante Raz. Raz. Negativas Positivas IC Todas Ninguna IIC sen; csc csc;sec;tg;ctg IIIC tg; ctg sen,cos.sec.csc IVC cos; sec sen;tg;ctg;csc
ÁNGULOS CUADRANTALES Son ángulos que están en la posición normal, cuyo lado final queda en un eje coordenado de valores de estos ángulos son múltiplos de 90° O π/2 rad. α = n.90°; n Z ó α = n π/2 rad
Un ángulo “” está en posición normal, posición estándar canónica si su vértice está en un origen de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abcisas. y (ordenada)
Sen Cos Tg Ctg Sec Csc
"" en posición normal "" en posición normal :+ :-
P Lado final
Q
o
0° 0 1 0 ND 1 ND
270° -1 0 ND 0 ND -1
360° 0 1 0 DN 1 ND
x (abcisa)
PROBLEMAS PROPUESTAS
Las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal en el primer cuadrante podemos definir las R.T. de un ángulo cualquiera de la siguiente manera:
NIVEL I
P(x,y)
Siendo P( 5 ,-2 ) un punto del lado final del ángulo en posición normal. Calcular el valor de:
y
A = Csc - 5 Tg A)1/5 D)1/2
y (ordenada)
B)1/4 E)1
C)1/3
B)-8
C)-6
Si: 3Tg + 2 = 0; Sen> 0 Calcular el valor de:
x (abcisa)
x
B = 4Ctg A)-10 D)-5
r: radio vector
2
180° 0 -1 0 ND -1 ND
Lado inicial
Propiedad: R.T. () = R.T.(α)
r
90° 1 0 ND 0 ND 1
2
x: abcisa r= x y ; r > 0
13 Sen
E)-2
Si Ctg+ Cos60° = Csc53°; IIIC Calcular el valor de: A = Sen- Cos A)-0,1 B) 0,1 D)0,2 E)0,4 Calcular el valor de:
106
C)-0,2
Sen90 Cos 2 45 Tg70.Tg20 Cos 0 A)1/2 D)1/9
B)1/4 E)1/6
C)1/3
Afirmar si (V) o (F): I. Sen30° + Sen245° = -Cos180° II. Sec180° + Tg180° = Ctg45° III. Cos60° - Cos0 = Sen270° - Sec30° A)VVF B)FFV D)VFV E)FVF
A) -0,2 D) -0,8
B) -0,4 E) -1,0
C) -0,6
C)VFF Si: sen 1 ; ( IIC )
Calcular:
4
Calcular: A) 4 D) 19
3Cos Tg 2 2Sen (3 / 2) A Sen ( / 2) Cos ( / 3)
A)1 D)3
B)1/2 E)1/3
10 sen - cos
B) 15 E) 26
C) 11
C)2 Si:
A)
1 ; ( IIIC ) 125 cos cot
5csc
Hallar: Del gráfico, halle:
csc - cot2
B) 2 / 2 C) 4 2 / 5 E) 1
2 /3
D) 4 2 / 3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) -2
Del gráfico mostrado, hallar:
13 sen cos
A) -10 B) -2/3 C) -5 D) -3 E) -1/5
De la figura, hallar: 3tan 2 A) 0 B) -1 C) -2 D) 1 E) 2
Si el lado final del ángulo en posición normal «α» pasa por el punto medio del segmento de extremos (5; -7) y (-3;11), halle: Del gráfico, halle: 10sec cos A) -8 B) -13 C) -26 D) -34 E) -39
Del gráfico mostrado M(12,5), además
"csc cot"
5 sen cos
A) 0 D) -1
B) 1 E) -2
C) 2
Si:169 - 144sec
0; ( IIIC ) . Halle: "cot - csc " 2
A) -3 D) 5
B) 3
C) -7
E) 7
Si: Sen Cosα < 0, ¿a qué cuadrante pertenece? A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) No se puede afirmar
MN=NP. Calcular:
A) -5 B) -3 C) 0 D) 3 E) 5
Simplificar:
2 (x y) Cos0 2kyTg2π 4xySecπ π 3π 2 2 k Sen y Csc 2 2
xy A)
Halle « tan», si: C(-4;6)
107
x y
x y
xy B)
x y
C)
x y
x-y D)
2xy E)
x y
A
x y
Afirmar si es (V) o (F): I. x IIC; entonces: Tgx< 0 óSenx< 0 II. x IIIC; entonces: Ctgx< 0 óSecx< 0 III. x IVC; entonces: Cosx< 0 y Senx< 0 A) VFV B) FFV D) VFF E) VVF
Cos(341 π α)
Tg121
Cos(π α)
Tgα
A) 1 D) -1
A)
xy xy
B)
xy xy C) xy xy
D)
xy xy
E)
2 xy xy
C) FFF
Afirmar si es (V) o (F): I. x IIC; entonces: Tgx< 0 óSenx< 0 II. x IIIC; entonces: Ctgx< 0 óSecx< 0 III. x IVC; entonces: Cosx< 0 y Senx< 0 A) VFV B) FFV D) VFF E)VVF
Simplificar: Tg(20π α)
π 4
B) 2 E) -2
( x y) 2 Cos 0 2xyTg2 4xySec 3 x 2 Sen y 2 Csc 2 2
C) 3
C) FFF
Simplificar: Si es obtuso, determinar los signos de: I. Tg(+ )Sen (3/2 - ) II. Cos(2+ )Ctg(- ) III. Csc(/2 + )Sec(2+ ) A) (-)(-)(+) B) (+)(-)(+) D) (+)(+)(-) E) (-)(-)(-)
A A)1 D)-1
C) (-)(+)(-)
8
(Sec45)
Calcular: A = Sec - Tg A)1 D)-1/2
C)3
y
2 Tg 3
1
B)2 E)-1/3
x'
C)3
x 9
Si + = 90°, además es un ángulo en posición estándar del segundo cuadrante, donde se cumple: Csc 2 2 Csc 1
(sen )
B)2 E)-2
Calcular: Sen
Si es un ángulo en posición estándar del cuarto cuadrante para lo cual se cumple que: Tg
Tg( 20 ) Cos (341 ) Tg(121 ) Tg Cos ( ) 4
y'
(Cos )
Calcular: J = Sen - Cos45°Cos A)1 B)-1 D)1/3 E)-1/3
C)2/3
A)
2 /2
B)
3 /3
D)
10 / 10
E)
11 / 11
C)
5 /5
A partir de la figura, calcular Tg:
y
Resolver la ecuación: xSec0 + (x - 1)Tg - (x + 1)Sen(3/2) = x2Cos + Csc(/2) A) 0 B) 1 C) -1 D) -2 E) Hay 2 respuestas
x
x'
(4; -3)
De la figura, calcular: A=
13 Cos - Tg
A)1/3 D)2/3
y
x'
y' B)3/4 E)3/2
x
(1; -4)
(-2; -3)
CASO I Para ángulos menores de 360º (2rad.) A)1 D)3
y'
B)1/2 E)1/3
C)2
180º F F( ) 360º
Simplificar:
108
Sigue la mima función depende del cuadrante
C)4/3
D)FVF
90º F 270º CO.F( )
Se cambia a cofunción
E)VVV
Calcular: A = Sec40°+ Sec80°+ Sec100°+ Sec120°+ Sec140° A)1 B)-1 C)2
depende del cuadrante
D)-2 CASO II Para ángulos mayores de 360º (2rad.) El ángulo dado se divide entre 360º y se trabaja con el “residuo” y si aún no está en el I.C. se aplica la regla anterior.
E)2
Reducir:
CASO III Para ángulos negativos. Sen (-) = -Sen Csc (-) = -Csc Cos (-) = Cos
Tg (-) = -Tg
Sec (-) = Sec
Ctg (-) = -Ctg
2
A
Tg(180 x ).Sen (360 x ) Cos (90 x ) Ctg (90 x )
A)Senx D)Cosx
B)2Senx C)-2Senx E)2Cosx
Simplificar:
PROBLEMAS PROPUESTAS A) senx D) –cosx
Simplificar:
sen(360º-xº )cos(270º-xº ) - sen(180º-xº )
A) senx D) –cosx
B) cosx E) cotx
III.
T 2Cos360º-3Tan135º Cot225 B) 3
E) 6
A) 0 D) 2
B) cosx
C) –senx
E) cscx
3π 2
Cos
x =-Senx
B) VFV E) VVF
B) -1
I. Sen210° =
C) FVV
verdadera
1 2
C) 1
3
II. Tg510° =-
E) -2
Afirmar si es (V) o (F): I. Tg( - x) = -Tgx II. Csc(2 - x) = Cscx III. Cos(3/2+x) = Sen x A)FVF D)VFF
3
III. Sec1485 = A) Sólo I D) II y III
B)VFV E)VVF
2 B) Sólo II C) Sólo III E) I y IIº
Reducir:
C)FVV
Tg(180º x)Sen(360º x) A=
Ctg(90º x)
A) Senx D) Cosx
De las siguientes proposiciones cuál (es) es (son) verdadera (s) I. Sen 210° = 1/2 II.Tg 510° = - 3 /3 A) Sólo I D) II y III
x)
De las siguientes proposiciones cuál (es) es (son) (s)
sen(180º x) cos90º x tan(360 x) sen(-x) senx cot(90 x)
III.Sec 1485 =
2
sen(2 - x)sen( - x) 2
A) FVF D) VFF
C) 4
Simplificar:
Afirmar si es (V) o (F) : I. Tg( - x)=-Tgx II. Csc(2 - x)=Cscx
C) –senx
Hallar: A) 2 D) 5
cot( x) cos(3
B) 2Senx C) -2Senx E) 2Cosx
Simplificar:
2
B) Sólo II E) I y II
C) Sólo III
Afirmar si es (V) o (F): I. Sen(+ x) = Sen(-x) II. Sec (3 /2+x) = Csc(-x) III. Tg(2 - x) = Tg(-x) A)VFV B)VFF
A=
Tg(21π x)
A) 2 D) 1
Calcular: C)VVF
109
Tg( x)
243π 2
Sen
Cos( x)
B) -2 E) -1
x
C) 0
Sen480º Cos150º Tg930º A=
A
Ctg240º Sec660º Csc330º
A) 3/11 D) 3/17
B) 3/13 E) 3/19
3Senx .Sen ( y / 2) 2Tg 2 x . Cscy Seny . Cos ( x / 2) Tg 2 y . Cscx
A)5 D)2
C) 3/16
B)4 E)1
Calcular:
Reducir:
9π 2 A= 11π Cos(x 24 ) Ctg x 2
A
Tg(21π x)Sen x
A) 1 D) -2
B) -1 E) -3
C) 2
B)3/13 E)3/19
A=Cos10°+Cos20°+......+Cos170°+Cos180° A) 1 B) 0 D) ½ E) -1/2
A)1 D)-2
4
5π
Sec
4
4π
Csc
3
7π 6
B) 2 2
D) -2 2
E) -4 2
A) IA; IIB; IIIC C) IB; IIA; IIIC E) IIIA; IIB; IC
C) 4 2
Calcular el valor de: A = Sec
3
Tg
3π
B)-1
C)2
E)-3
Relacionar según corresponda: I. Tg(x - ) II. Sen (343/2-x) III. Sen (x - 2)
A) 2
31π
Tg( 21 x ).Sen ( x 9 / 2) Cos ( x 24 ).Ctg ( x 11 / 2)
C) -1
Calcular:
Tg
C)3/16
Reducir:
Simplificar:
7π
Sen 480.Cos150.Tg930 Ctg 240.Sce660.Csc330
A)3/11 D)3/17
A
A= Cos
C)3
A. B. C.
Cosx Tgx Senx
B) IB; IIC; IIIA D) IIA; IIIB; IC
Calcular:
Tg
3
A) 1 D) -1
13π
A Cos
14 B) 2 E) -3
C) 3
A)
7 5 4 7 .Tg .Sec .Csc 4 4 3 6 B)2
2
C)4
2
D)-2 2
2
Simplificar:
Tg(21 x ) A Tg(x ) A)2 D)1
Afirmar si es (V) o (F): I. Tg(x - )=Tgx II. Cos(x-3/2) = Senx III. Csc(x - 2)=-Cscx A)VFV D)FVF
243 Sen x 2 Cos (x )
B)-2 E)-1
B)VFF E)VVF
Calcular el valor de:
Sec C)0
A)1 D)-1
31 3 13 Tg .Tg 3 7 14 B)2
C)3
E)-3
Simplificar: A = Sen (30+x)+Cos(80°-x)+Sen(190°+x)+Cos(240°-x) A)1/2 B)-1/2 D)0 E)-1
C)FVV
C)1
Si y son complementarios y Sen (2+3)=-1/3 Calcular el valor de :Tg(3+2) Si: x + y = 2 Calcular: B =Tgx + Senx + Tgy + Seny A)1 B)2 D)0 E)-2
A)
2
B)-
C)2
2
D)-2
2
E)
2
2
/4
C)-1 Si: 2Senx + 1 = 0; Tgy +
3
=0, además x IIIC yIVC.
Calcular: Cos(x+y) A)1/2
Si: x + y = Calcular:
110
B)-1/2
C)
3
/2
D)-
3
/2
E)-3/5
I. En el III cuadrante el seno crece II. El máximo valor del coseno es (1) III. En el II cuadrante el coseno varía de (0) a (-1) A) FFV B) VFV D) FVV E) FVF Es una construcción geométrica que nos permite representar el valor de las razones o funciones trigonométricas mediante segmentos de línea recta. El tamaño y la ubicación nos indicarán el valor y el signo de la función o razón trigonométrica. Para realizar un mejor análisis trigonométrico a esta circunferencia la ubicaremos en un sistema de coordenadas rectangulares con centro en el origen del sistema, el radio de este circulo es igual a la unidad que se le utiliza como unidad de longitud del sistema de coordenadas, en la práctica también se le llama circunferencia unitaria.
C) VVF
Hallar el área de la región sombreada. A) senα B) cosα C) senα+cosα D) senα/2 E) cosα/2
Determinar el intervalo de x, a partir de 2Sen=3x - 5 A) [1; 1/3] B) [1; 5/3] D) [-1; 7/3] E) [-1; 5/3]
Elementos:
C)[1;7/3]
(x, y) A partir de la figura calcular el área de la región sombreada A) Sen B) Cos C) -Cos D) -Sen E) 2Cos
senα 1 , cosθ A= cscα senα
A (1; 0): origen de arcos y origen de la línea tangente. B (0; 1): origen de complementos de origen de la línea ctg. A’ (-1;0): origen de suplementos. B’(0;-1): sin denominación especial O(0; 0): centro de la circunferencia y origen de la línea sec y línea csc. M(x;y): Extremo de arco o punto Terminal del arco y origen de la línea sen y la línea cos.
PROBLEMAS PROPUESTOS
Hallar el intervalo de “a” si IIIC
cos A) 1 ; 1
5 3 D) 1 ; 1 3 5
A) 1 D) 3/2
B) 2 E) 5/2
Hallar el área de la región sombreada. A) senα B) cosα C) senα+cosα D) senα/2 E) cosα/2 C)VVF
Hallar el área de la región sombreada. A) (4/3)senα B) (3/4)cosα C) senαcosα D) senα/2 E) cosα/2
5a 1 4
B) 1 ; 1 C) 1 ; 1
5 3
calcular:
Afirmar si es (V) o (F): I. La tangente en el IIIC es creciente II. El coseno en el IIC es creciente III. El seno en el IVC es creciente A) VFF B) VFV D) FVF E) FVV
rad: medida del arco trigonométrico AM. X2 + y2= 1: ecuación algebraica de la circunferencia unitaria o trigonométrica.
Afirmar si es (V) o (F): I. En el III cuadrante el seno crece II. El máximo valor del coseno es (1) III. En el II cuadrante el coseno varía de (0) a (-1) A)FFV B)VFV D)FVV E)FVF
Si: Cos=
3 5
E) 1 ; 1
5 3
Afirmar si es (V) o (F) :
111
C)
2
C) VVF
Determinar los signos de: I.
Sen1Cos2
Simplificar:
Tg3
II.
A)1
Sen8
III.
Cosx 1 Cosx 3
A
Ctg4Sec6
Senx 1
B)2
C)3
D)4
E)1/2
Csc3Cos5
Calcular el máximo valor de: F = 3Senx - 4Sen3y - 5Cos2z (x y z) A)1 B)3 C)5
Ctg8
A) (+)(-)(+) D) (-)(-)(+)
B) (+)(+)(-) E) (+)(-)(-)
C) (-)(+)(-)
D)7
E)2
Calcular el área de la región sombreada
Si IIIC; además Cos = (3K + 2/ 7), calcular la suma de los valores enteros que pueden tomar k A)-1 B)-2 C)-3 D)2 E)3
2
2
x +y =1
A partir de la figura calcular el área de la región sombreada:
x2+y2=1
A) Sen + Tg C) 2(Sen + Tg) E) 2(Tg - Sen)
B) (Sen+ Tg)/2 D) (Sen - Tg)/2
A)Sen D)-Sen
Si: Cos= Calcular:
B)Cos E)2Cos
¿En qué cuadrante las líneas seno y tangente son crecientes en valor relativo? A) II y III B) I y IV C) III y IV D) I y III E) II y IV
C)-Cos
Sen 1
Calcular el área de la región sombreada
A
Cos Csc Sen
A)1 D)3/2
B)2 E)5/2
Si: /2 < x1< x2< Afirmar si es (V) o (F) I. Senx1> Senx2 II. Cosx1> Cosx2 III. Tgx1> Tgx3 A) VVF D) FVV
B) VFV E)FFV
C.T. C)
2
A) (Cos )/ 2 D) Cos
C)FVF
A partir de la figura calcular PT
B) (Sen )/2 E) 2Cos
Determinar el mínimo valor de: A = 2Senx - 5Cos2y + 3Tg2z; (x y z) A)-3 B)-4 C)-5 D)-6
T
x2+y2=1
A partir de la C.T, calcular PQ
P
A
P Q A) TgSen C) Tg (1 - Cos) E) Tg (1 + Cos)
C) Sen
B) Tg Cos D) Tg (1 - Sen)
112
C.T.
E)-7
PROBLEMAS PROPUESTAS A) Cos+Cos C) Cos - Cos E) 1 + Cos - Cos
B) Cos - Cos D) -(Cos + Cos)
Simplificar:
J tg 2 x cosx(secx)-1 cscx De la figura calcular el área de la región sombreada
A) senx
B) 1
D) 2
E) csc2x
C) cosx
Simplificar:
E senx(1 senx) cosx(1 cosx) - 1
A) senx D) senx + cosx
B) cosx E) 2senx
C) senx – cosx
Halle:
S tg 2 x(ctgx 1) - tgx A) Sen - Cos C) Sen+Cos E) (Sen - Cos)/2
B) Cos - Sen D) (Sen+Cos)/2
A) 1
B) 2
D) tg2x
E) ctg2x
C) tgx
Simplificar: Determinar el mínimo valor de: A=2Senx - 5Cos2y+3Tg2z (x y z) A) -3 B) -4 D) -6 E) -7
A (1 - senx) (1 senx) secx
A) senx D) 2cosx
C) -5
B) 2senx
C) cosx
E) 1
Reducir:
L (1 cosx) (1 - cosx) ctgx cscx
A) 1 D) cosx
B) tgx E) 2cosx
C) senx
Simplificar:
A
Es Una igualdad en la que intervienen funciones trigonométricas y que se verifican para todo valor permitido de la variable. Se dividen en fundamentales y auxiliares.
A)Senx D)Cscx
Fundamentales: 1. Identidad Pitagórica Sen2x + Cos2x = 1
B)Cosx E)Secx
C)Tgx
Reducir: A = (Secx - Cosx) (1+Ctg2x) A)Secx B)Cscx D)Cosx E)Senx
2. Identidades por Cociente: Senx Cosx Tgx Ctgx Cosx Senx
C)Tgx
Hallar K si la igualdad:
Cosx Senx 1 1 Secx Cscx K Tg 2 x
3. Identidades Reciprocas 1 1 1 Secx Cscx Ctgx Cosx Senx Tgx 4. Identidades Derivadas 1 + Tg2x = Sec2x ; 1 + Ctg2x = Csc2x
A)Csc2x D)Cos2x
B)Sec2x C)Sen2x E)Ctg2x
Calcular el valor de A si la igualdad:
Auxiliares:
Ctg 2 x 1 1 Cscx
Secx Cosx Tg A x Cscx Senx
Sen4 + Cos4x = 1 - 2Sen2x . Cos2x Sen6x + Cos6x = 1 - 3Sen2x . Cos2x Tgx + Ctgx = Secx .Cscx Sec2x + Csc2x = Sec2x . Csc2x Sec4x + Tg4x = 1 + 2Sec2x . Tg2x Sec6x - Tg6x = 1 + 3Sec2x . Tg2x Csc4x + Ctg4x = 1 + 2Csc2x . Ctg2x Csc6 - Ctg6x = 1 + 3Csc2 . Ctg2x (1 + Senx + Cosx)2= 2(1 + Senx)(1 + Cosx) Senoverso: Vers x = 1 - Cosx Converso: Covx = 1 - Senx Exsecante: Exsecx = Secx – 1
Es una identidad. A)1 B)2
C)3
D)4
E)5
Simplificar:
A A)Senx
B)Cosx
Cosx 1 1 Senx Ctgx C)Secx
D)Cscx
E)Tgx
Simplificar: A)Senx
113
A = 1 + Sen2x(1 + Cos2x + Cos4x) + Cos6x B)2 C)1/2 D)3/2 E)2Cosx
Simplificar:
A (cscx - senx) (secx - cosx) (tgx ctgx)
Reducir: A = SecxCscx + (Secx + Tgx)-1 - Ctgx B)Secx C)Ctgx D)Tgx
A)Cscx
Reducir: A = (Cscx + Ctgx)-1 + Senx/Versx A)2Senx B)2Cscx C)2Tgx D)2Ctgx
A) 1 D) 2
E)Cosx
B) senxcosx E) 2senx cosx
ctgx 3 ; Calcular: E senx cosx Si: tgx
E)2Secx
A)1/2 D) 1
Si la igualdad es una identidad Calcular: M + N
B) 2/3
B)2
C)3
D)4
2 Ctg x
E)5
Simplificar: A=
1 Senx A 1 Senx Cscx 1 A)Senx
B)Cosx
C)Tgx
D)Ctgx
A) Sen D) Cos2
Secθ
A = CtgCos - Csc (1 - 2Sen2) B) Sen2 C) Cos E) Sen3
Si: Cosx(1 + Cosx) = 1 Calcular: A = Ctgx - Senx A)1 B)-1 C)1/2
1 B) Cosx E) Secx
Senθ Cscx
Csc2x
A) D) Cos2x
1 K
1 2 Tg θ
B) Sec2x E) Ctg2x
C) Sen2x
Calcular el valor de A si la igualdad: D)-1/2
Si: Senx + Cosx = 2 (x IC) Calcular: A = Tg2nx + Ctg2nx (n N) A)1 B)2 C)2n
Secx Cosx
E)0
Cscx Senx
A Tg x , es una identidad
A) 1 D) 4 D)22n
B) 2 E) 5
Simplificar:
25 Tgx 7 Secx Tgx
Calcular: A = Cscx + Ctgx A)1 B)3/4
C)4/3
D)7
Simplificar: A = 4(Sen6x + Cos6x) - 3(Cos2x - Sen2x)2 A)1 B)2 C)1/2
D)3
Si: Cscx + Ctgx = 2 Calcular: A =Tgx + Ctgx A)7/12 B)11/12
D)7/3
C)25/12
Hallar M en la siguiente identidad: Sen8x + Cos8 x = M(1 - Sen2x Cos2x)2 – 1 A)5 B)4 C)3
D)2
A) Senx D) Cscx
E)5
E)1/3
E)11/3
E)1
Simplificar:
A A)Sen
Tg Ctg 2 Sec 2 2 2 Tg CtgSEc x Sec Csc 2 B)Cos
5Secx - 4Tgx = 3 Calcular: A = Senx + Cosx A)1,0 B)1,2
C) 3
E)4
Cosx Si:
C) Tgx
Hallar K si la igualdad:
E)Secx
Cosθ Simplificar:
1 Cscx
A) Senx D) Cscx
Hallar A en la siguiente identidad
C) 3/2
E) 1/3
Cscx Ctgx Cscx Ctgx M 4Ctg N x Cscx Ctgx Cscx Ctgx A)1
C) secxcscx
C)Tg
D)Sec
E)Csc
C)1,4
D)1,6
E)1,8
114
A=
1 Senx
B) Cosx E) Tgx
1 Ctgx C) Secx
