UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL DE INGENIERIA
SEPARATAS DE CLASE DE MECANICA DE FLUIDOS II DISENIO DE TUBERIAS
Prof: MSc. Ing. Roberto Campaña Toro
REFERENCIAS: Las Separatas de Clase se han basado en las siguientes referencias: ref erencias:
- Hidráulica de Tuberías y Canales. Arturo Rocha Felices. - Mecánica de Fluidos. Merle Potter y David Wiggert. Wiggert. - Hidráulica. Gilberto Sotelo
CAPITULO 1
FLUJO EN TUBERIAS -
En una tubería el liquido esta confinado, hay presión ejercida por el fluido sobre todo el contorno
-
En tuberías tuberías la presión presión ejercida por el fluido fluido en cada punto está representada gráficamente por la altura que el alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) (piezómetro) conectado conectado a la tubería.
-
La forma más común de las tuberías es la circular, sin embargo existen también secciones cuadradas, rectangulares, etc
Presión en Tuberías
Velocidades en Tuberías
Esfuerzos Cortantes en Tuberías
Ecuaciones Fundamentales en Flujo en Tuberías
Ecuación de Continuidad:
V 1 . A1 = V 2 . A2 Ecuación de Cantidad de Movimiento
ΣF x = ρ .Q(V 2 x − V 1 x ) ΣF y = ρ .Q V 2 y − V 1 y
TIPOS DE FLUJOS EN TUBERIAS Flujo Permanente:
Es aquel que no presenta variaciones de sus características hidráulicas, en una sección determinada, con respecto al tiempo. En una sección dada el gasto, presión, velocidad, etc, permanecen constantes a lo largo del tiempo.
Flujo Impermanente : Es aquel donde las características hidráulicas en una sección determinada pueden cambiar con respecto al tiempo.
Flujo Uniforme: En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y el caudal son constantes en todas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica. (no necesariamente paralelas al eje de la tubería).
La línea de energía es paralela a la línea piezométrica
Flujo No Uniforme: En una tubería con movimiento uniforme el área y la velocidad cambian a lo largo del tramo y la línea de energía no es paralela a la línea piezométrica.
La línea de energía no es paralela a la línea piezométrica
Flujo Laminar Es el flujo donde las líneas de corriente fluyen siempre paralelas entre si. Se presenta para Re<2300. Donde Re=V.D/ν, siendo V=Velocidad Media (m/s), Diámetro (m) y
ν=Viscosidad Cinemática (m2/s)
Flujo turbulento Es el flujo donde las líneas de corrientes no siguen una trayectoria paralela. Se presenta para Re<5000
(a) (b) (c) (a) Flujo laminar de agua. (b) Flujo turbulento de agua (c) Flujo primero laminar y luego flujo turbulento de humo
Experiencia de Reynolds para visualizar flujo turbulento y laminar
CONTORNOS HIDRAULICAMENTE LISO E HIDRAULICAMENTE RUGOSO EN FLUJO TURBULENTO
Aplicación 1
CAPITULO 2 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS CORTANTES EN FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO -
La distribución de esfuerzos cortantes en una tubería representa la manera en que actúan los esfuerzos de fricción.
-
Su conocimiento es útil para posteriores demostraciones.
En el cilindro coaxial mostrado en la figura, la fuerza debido a la diferencia de presiones y al peso es igual a la fuerza debida al corte (fricción) τ h . A L = ( p1 − p2 ). A + W .sen θ (1) La fuerza debido al corte es:
D τ h .2π 2
− h ∆s
(2)
La fuerza debido a la diferencia de presiones y al peso es: 2
2
D D ( p1 − p2 )π − h) + γπ − h ∆s.senθ 2 2
operando,
(3)
2
D P P γπ − h) 1 − 2 + ∆s. sen θ (4) 2 γ γ pero,
∆s. sen θ = z1 − z2 (5) Luego (4) se transforma en,
D γπ − h) 2
2
P1 P2 γ + z1 − γ + z 2
(6)
teniendo en cuenta que de la ecuación de la energía
P1 P + z1 − 2 + z2 = ∆s.S (7) γ γ se obtiene que (6) se transforma en: 2
D γπ − h) ∆s.S 2
(8)
Igualando (2) y (8) se obtiene:
2
D D τ h .2π − h ∆s = γπ − h ∆s.S (9) 2 2
de donde,
D h − S (10) 4 2
τ h = γ
DISTRIBUCION DE VELOCIDADES Y VELOCIDAD MEDIA PARA UNA TUBERIA CON MOVIMIENTO LAMINAR
Combinando (10) y
µ
τ h = µ
dvh dh
D h = γ − S (11) dh 4 2
dvh
De donde: V h =
gS Dh
h 2
− + C (12) ν 4 4
el valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones de borde (h=0, Vh=0; C=0), Luego,
V h =
gS Dh
2 h
− (13) ν 4 4
Ecuación de distribución de velocidades en tubería con movimiento laminar
Distribución parabólica de velocidades La velocidad máxima se obtiene cuando h=D/2 en (13),
V max =
Integrando y dividiendo por el área se obtiene la velocidad media h = D / 2
V =
∫V dA / A h.
h =0
V =
g .S D .
2
ν .32
V=Vmax/2
(14)
g .S . D
ν .16
2
DISTRIBUCION DE VELOCIDADES PARA TUBERIA CON MOVIMIENTO TURBULENTO EN CONTORNO HIDRAULICAMENTE LISO Para obtener la ecuación de distribución de velocidades en el flujo turbulento es necesario establecer una relación entre los esfuerzos de corte y las velocidades.
De la expresión de Reynolds τ h
= ρ .u ' v'
(15)
τh = Esfuerzo tangencial presente en el flujo turbulento u’ y v’ son las fluctuaciones de la velocidad en un punto
Según Prandtl. u’ es proporcional a
u’ es proporcional a
dvh dh
dvh dh
de donde, u ' = L
de donde, u ' = L
dvh dh
dvh dh
por lo tanto: 2
dv τ h = ρ L h dh 2
de donde
(16)
τ h ρ
= L
dvh dh
(17)
Estableciendo una relación entre L y la profundidad, debiendo ser su valor igual a cero en las paredes. 1/ 2
2h L = χ h1 − D
(18)
Reemplazando (18) y (10) en (17) gyS dh
dvh =
χ
h
la expresión dvh =
v* dh
χ h
,
(19)
gyS recibe el nombre de velocidad de corte (v*), reemplazando en (19)
(20)
Integrando: vh =
v*
χ
ln h + C
(21)
la ecuación (21) solo es válida hasta cierta distancia (ho) muy próxima del fondo La constante de integración C tendría la forma siguiente.
C = −
V *
χ
ln ho
(22)
Reemplazando en (21) V h =
h χ ho v*
ln
(23)
Debido a la imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 23, Prandtl supuso que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa de
espesor “δ” en la que el flujo es laminar y donde la distribución de velocidades es diferente de la del resto de la sección.
La imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 23 En el flujo laminar la distribución del esfuerzo de corte esta dada por: τ h = µ dvh dh
=
dvh
D dvh 2 , reemplazando τ h = τ 0 = ρ .g . .S = ρ .v* y despejando dh 4 dh
v*
2
ν
(24)
Integrando
vh
=
v*
2
ν
.h + C (25)
La condición de velocidad nula en el fondo determina que C=0 Luego: vh =
v*
2
ν
.h para 0
Se tiene asi dos distribuciones de velocidad, la ec(23) para flujo turbulento y la ec(26) para flujo laminar.
Para h=δ ambas ecuaciones deben ser validas.
vδ =
v*
2
ν
.δ (flujo laminar) y vδ =
δ (flujo turbulento) χ ho v*
ln
Igualando ambas expresiones:
v*
2
ν
.δ =
δ (27) χ h0 v*
ln
Para determinar el valor de δ se realizo una combinación de consideraciones teóricas y experimentales partiendo de que la distribución de velocidades en un conducto liso es una vh vh relación de dos parámetros: y * , graficando en escala logarítmica los valores de la v* ν ecuación (27) y valores experimentales medidos para flujo turbulento se tiene que ambas v h curvas se interceptan en *. = 11.6 a ese valor de h se le denomina δ. ν
Luego
v*.h
ν
= 11.6 (28), reemplazando en (27) se tiene
v* 11.6ν v* δ . = ln (29) ν χ h0 v* 2
Operando ln
ln
δ h0
δ h0
h0 =
= 11.6 χ (30) siendo el valor de χ la constante de Karman igual a 0.4 = 4.64 δ 104
Finalmente reemplazando ho en (23) se tiene
vh
=
v*
χ
ln
104.h δ
(30)
Ecuación de distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso
DISTRIBUCION DE VELOCIDADES EN CONTORNOS HIDRAULICAMENTES RUGOSOS
De los experimentos de Nikuradse en tuberías con altura de rugosidad absoluta “k”, se obtiene que la ecuación (23) V h =
h es valida hasta ho=k/30 χ ho v*
ln
Reemplazando ho=k/30 en (23) se obtiene V h =
30h (31) χ k v*
ln
RESUMEN En tuberías: - El flujo es laminar cuando el numero de Reynolds (Re) <2300. - El flujo es turbulento cuando el numero de Reynolds (Re) >5000. - El flujo es inestable cuando 2300 ≤ Re ≤ 5000 El numero de Reynolds se define como Re =
V . D
ν
En flujo turbulento: - Un conducto es hidráulicamente liso cuando: k ≤ 0.4δ
de aquí
v*.k
ν
≤5
- Un conducto es hidráulicamente rugoso cuando: k ≥ 6δ
de aquí
v*.k
ν
≥ 70
- Un conducto se encuentra en etapa transicional entre liso y rugoso cuando 5<
v*.k
ν
< 70
VELOCIDAD MEDIA EN CONDUCTOS HIDRAULICAMENTE LISOS h = D / 2
∫
De la ec(14) V =
V h.dA / A
y la ec (30)
vh
=
h =0
v*
χ
ln
104.h δ
Se tiene:
V =
v*
Ln χ
46.4 R δ
(32)
se puede demostrar que en canales la velocidad media es V =
v*
Ln χ
38.3 R δ
(33)
De (32) y (33) se adapta la expresión (34) valida para canales y tuberías V =
42 R Ln (34) χ δ v*
VELOCIDAD MEDIA EN CONDUCTOS HIDRAULICAMENTE RUGOSOS
h = D / 2
∫
De la ec(14) V =
V h.dA / A
h =0
y la ec (31)
V h =
30h χ k v*
Se tiene:
V =
v*
Ln χ
13.4 R k
(35)
se puede demostrar que en canales la velocidad media es V =
11 R (36) Ln χ k v*
ln
De (35) y (36) se adapta la expresión (37) valida para canales y tuberías v*
V =
χ
Ln
12 R k
(37)
Adaptando (34) y (37) se obtiene
V =
6 R (38a) χ k / 2 + δ / 7 v*
ln
Reemplazando en la ecuación (38), v* =
g. R.S , χ= 0.4 y ln A = ln 10. logX
6 R R.S (38b) k / 2 δ / 7 +
V = 18 log
V = C . R.S
δ =
11.6ν v*
6 R k / 2 + δ / 7
donde C = 18 log
(39) Ec. de Chezy
CAPITULO 3
RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS A PRESION 1.- CALCULO DE PERDIDAS DE CARGA POR FRICCION EN TUBERIAS CIRCULARES 1.-1 FORMULA DE DARCY – WEISBACH La fórmula de Darcy – Weisbach permite calcular la pérdida de carga en tuberías y conductos. hf = f
2
L v D 2 g
donde: hf: pérdida de carga por fricción f: coeficiente de Darcy L: longitud de la tubería D: diámetro de la tubería v: velocidad media del flujo
en flujo laminar (Re < 2000) f =
64 Re
,
en flujo turbulento para contorno hidráulicamente liso 5
Para Re < 10 f =
0.316 1
, Ecuación de Blasius, de origen empírico
Re 4 5
Para Re > 10
1 f
= 2 log(Re f ) − 0.8
Ecuación de Von Karman modificada por Prandtl
para contorno hidráulicamente rugoso 1 f
= 2 log
3.71 D k
, ecuación de Von Karman modificada por Prantl
se observa que f es función exclusiva de la rugosidad relativa e independiente del número de Reynolds.
Las mediciones experimentales confirman las ecuaciones obtenidas, sin embargo las mediciones experimentales para rugosidad homogénea (granos de arena) difieren de las mediciones realizadas en rugosidad natural (granos de tamaño heterogéneo) en la zona transicional (entre hidraulicamente liso e hidraulicamente rugoso)
Combinando las expresiones para el flujo con contorno hidráulicamente liso e hidráulicamente rugoso se obtiene la siguiente expresión para la etapa en transición:
k / D 2.51 = −2 log + f 3.71 Re f
1
Ecuación de Colebrook & White
En conclusión: -
En régimen laminar (Re <2300) la rugosidad de las paredes no tiene ninguna influencia sobre la resistencia
-
Una tubería con un valor determinado de la rugosidad relativa, se comporta hidráulicamente lisa hasta un valor correspondiente del numero de Reynolds
-
Al aumentar el numero de Reynolds y/o la rugosidad aparece una zona en la que el coeficiente f es función tanto del numero de Reynolds como de la rugosidad relativa. Es la transición.
-
Para valores altos del número de Reynolds el coeficiente f es función exclusiva de la rugosidad relativa
1.2.- PERDIDAS DE CARGA POR FRICCION EN TUBERIAS DE SECCION NO CIRCULAR En la ecuación de Darcy, el diámetro es expresado en función del radio hidráulico R H: Se tiene así: 2
h f
= f
L V
4 R H 2 g
Para el cálculo de f se seguirá el mismo procedimiento que en las tuberías circulares, considerando:
Re =
V .4 R H
ν
y
k D
=
k
4 R H
1.3.- VARIACION DE LA RUGOSIDAD EN EL TIEMPO Según Genijew k t
= k o + a.t
donde: k o : rugosidad del tubo inicial (mm) a : coeficiente que depende del grupo en el que se clasifique el agua que va a discurrir t: número de años de servicio de la tubería k t: rugosidad del conducto, después de “t” años de servicio
1.4.- FORMULA DE HAZEN Y WILLIAMS Tiene un origen empírico. Se usa ampliamente en los cálculos de tuberías para abastecimiento de agua. Limites: -
Es válida para flujo turbulento Se aplica para tuberías de diámetro > de 2”. Las velocidades no deben exceder de 2”
Q = 0.000426C H D 2.63S 0.54
donde: Q : Gasto en litros por segundo CH: Coeficientes de Hazen y William D: Diámetro en pulgadas S: Pendiente de la línea de energía en metros por Km.
Los valores de CH han sido determinados experimentales.
Naturaleza de las Paredes Extremadamente lisas y rectas Lisas Madera lisa, cemento pulido Acero riveteado Fierro fundido viejo Fierro viejo en mal estado Fuertemente corroído
Reemplazado: S = hf/L en (a)
1.85
h f =
L.Q
5.813 x10− 7 C H D 4.866 1.85
CH 140 130 120 110 95 60-80 40-50
1.5 PERDIDAS DE CARGA LOCALES Las pérdidas de carga locales ocurren en determinados puntos de la tubería y se deben a la presencia de singularidades tales como: codos, válvulas, curvas, estrechamientos, etc. A las pérdidas locales también se les denomina pérdidas menores.
Las pérdidas de carga locales se expresan genéricamente en función de la altura de velocidad de la tubería. hl = k
v
2
2g
PRINCIPALES PERDIDAS LOCALES: -
Entrada o embocadura
Corresponde al caso de una tubería que sale de un estanque. La pérdida de carga se produce por la contracción de la vena líquida. El valor de K está determinado fundamentalmente por las características geométricas de la embocadura.
Tipos de Embocadura
Bordes Agudos
-
Bordes ligeramente Bordes acampanados redondeados
Bordes entrantes
Ensanchamiento Gradual
Las pérdidas de carga se producen por la ocurrencia de torbellinos y vórtices a lo largo de la superficie de separación, que determinan una pérdida de carga adicional a la que corresponde por fricción a las paredes. Los resultados experimentales obtenidos por Gibson se muestran en el gráfico siguiente:
-
Ensanchamiento Brusco
En un ensanchamiento brusco ocurre una rapida desaceleración, acompañada por macroturbulencias que se extienden hasta una distancia de 50 diámetros como mbximo hasta que las características normales de turbulencia son restablecidas.
- Contracción Brusca En la contracción brusca se produce una aceleración hasta llegar a la zona de máxima contracción que ocurre en la tubería de menor diámetro. A continuación se produce una zona de separación, luego se inicia la desaceleración hasta que se produce el movimiento uniforme.
Salida o desembocadura:
Cambios de Dirección Un cambio de dirección significa una alteración en la distribución de velocidades. Se producen zonas de separación del escurrimiento y de sobrepresión en el lado exterior.
o
Codo a 90 C
o
Codo a 45 C
2
V
h L
= 0.9
-
Válvulas :
2g
Codo de curvatura Codo de curvatura fuerte suave
2
h L
= 0.42
V
2g
h L = 0.75
V
2
2g
2
h L
= 0.60
V
2g
Una válvula produce una pérdida de carga que depende del tipo de válvula y del grado de abertura. Los principales valores de K son:
Válvula de compuerta
K = 0.19 (completamente abierta)
-
Válvula esférica
K = 10 (completamente abierta)
Válvula check
K = 2.5 (completamente abierta)
Boquillas:
En una boquilla la pérdida de carga es:
1 vs 2 h L = 2 − 1 c v 2 g donde: cv : es el coeficiente de velocidad que depende del tipo de boquilla vs : es la velocidad de salida
EJERCICIOS: 1.- Calcular la pérdida de energía por fricción en un tramo de tubo liso de 153 m de 3 longitud y 0.10 m de diámetro, donde fluye aceite de peso específico γ= 930 kg/m , 2 viscosidad µ = 0.00486 kg-seg/m , si la velocidad media es: a) V = 0.6 m/s; b) V = 3 m/s. 2.- Determinar el gasto que fluye en un tubo de acero de 0.30 m de diámetro, que conduce o agua potable con temperatura de 15 C, si se especifica que la pérdida de fricción sea de 1.20 m por cada 100 m de tubería (k/D = 0.00085) 3.-Determinar el diámetro de un tubo de acero (k = 0.0000458 m), necesario para 3 3 transportar 0.250 m /s de aceite, de viscosidad cinemática v = 0.00001 m /s, a una distancia de 3000 m con una pérdida de fricción de 23 m.
CAPITULO 4. SISTEMAS DE TUBERIAS: 1.- TUBERIAS EN PARALELO -
La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberías es igual al gasto total en la tubería principal.
Q1 + Q2
-
+ Q3 + ........Q N = Q
La energía en A es la misma para todas la tuberías en paralelo, lo mismo sucede en el punto B. En conclusión la pérdida de carga en cualquiera de los brazos es la misma.
h f 1 = h f 2 = h f 3 = h f 4 ............ = ∆ H
Es usual expresar la pérdida de carga por fricción en función del caudal:
En la ecuación de Darcy: h f = 0.0827
f . L D
5
Q
En la ecuación de Hazen y Además se puede demostrar Williams que:
2
donde: hf : Pérdida de carga en el tramo considerado f : Coeficiente de Darcy L : longitud de tramo considerado D : diámetro de la tubería
1.85
h f =
Q
5.813 x10− 7 C H
donde:
1.85
D
4.866
f =
8g 2
C
donde:
f : coeficiente de Darcy hf : pérdida de carga en metros C : coeficiente de Chezy Q : gasto en litros por segundo CH: coeficientes de Hazen y William
Q : gasto
D: diámetro en pulgadas L : longitud de tubería en kilométros
2.- REDES ABIERTAS Una red es abierta cuando los tubos que la componen se ramifican sucesivamente, sin intersectarse después para formar circuitos.
Problema de los tres reservorios -
Los valores de Z corresponden a cotas piezométricas. En los estanques corresponden a la elevación de la superficie libre
-
Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal y cotas piezométricas de cada estaque.
METODOLOGIA TIPICA: -
Suponer un valor par ala cota piezométrica del punto P Calcular, por simple diferencia, las perdidas de carga de cada tubería, hf 1, hf 2 y hf 3. Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal y plantear tentativamente la ecuación de continuidad.
-
Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación genérica: Q
-
= k .h f n , donde
k y n depende de la expresión empleada. Verificar la ecuación de continuidad en el nudo. Si la ecuación de continuidad no quedara verificada, hay que hacer nuevos tanteos asumiendo un nuevo valor de cota piezométrica en P A fin de no aumentar el numero de tanteos conviene auxiliarse de un gráfico.
3.- DISEÑO DE REDES Una red es un sistema de tuberías que forman circuitos cerrados.
Todo circuito debe satisfacer las siguientes condiciones: 1.- La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero. hf BM + hf MN + hf NB = 0
2. En cada nudo debe verificarse la ecuación de continuidad. 3. En cada ramal debe verificarse una ecuación de la forma. h f = K .Q x
Deducción del método de Hardy Cross: -
Si para un ramal particular se supone un gasto Qo que difiere del real Q en tendrá:
∆Q, se
Q = QO + ∆Q
-
La pérdida de carga real será expresada como:
h f
= K (Qo + ∆Q )n
-
Desarrollando y despreciando los términos pequeños se llega a:
h f = K .Qo + n n
KQo
h f o
Qo
n
∆Q , donde:
h f
= h f + n.
-
Para un circuito se debe cumplir:
Qo
o
-
n
= h f
o
∆Q
∑ h f = ∑ h f + ∆Q.n∑ o
KQo
h f o Qo
=0
De donde se puede despejar el valor de ∆Q
∆Q =
− ∑ h f
o
n
h f o
∑Q
o
Para que el valor inicial supuesto Qo sea correcto el valor de ∆Q tiene que ser cero, si difiere de cero se debe corregir el supuesto inicial y empezar un nuevo tanteo. Si se emplea la ecuación de Darcy: K =
0.0827. f . L D
5
y n=2
Si se emplea la ecuación de Hazen y Williams:
∆Q
K =
1.72 x106 L 1.85
C H D
4.866
y n =1.85
Problema: Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar CH = 100 en todas las tuberías
Solución -
Se divide la red en circuitos. Se considera una distribución de caudales tentativa Se asumen negativos los caudales que siguen la dirección de las agujas del reloj y positivos los que siguen la dirección contraria
-
Se calculan las pérdidas de carga h f o Hazen y Williams donde: K =
-
= K .Qo n , en el problema se aplica la expresión de
1.72 x106 L 1.85
C H D
4.866
Se verifica la suma de pérdidas de carga (
y n =1.85
∑h
f o
) y se calculan las correcciones a los
caudales (∆Q), si estos valores difieren de cero, se corrigen los caudales iniciales (Q0) y se vuelve a iterar, hasta que los valores de ∆Q sean iguales a cero.
BOMBEO DE UN RESERVORIO A OTROS DOS
METODOLOGIA TIPICA -
Suponer un valor para el gasto Q impulsado por la bomba (Q1=Q2=Q) Calcular la pérdida de carga hf1 en la tubería 1 Calcular la cota piezometrica ZE a la entrada de la bomba
76 Pot
-
Calcular la energía H suministrada por la bomba, a partir de H =
-
energía en metros, Pot es la potencia en HP, γ es el peso especifico del fluido en kg/m3 3 y Q es el gasto en m /s. Calcular la cota piezometrica zs a la salida de la bomba. ZS=ZE + H Calcular la pérdida de carga hf2 en el tramo 2. Calcular la cota piezometrica en el nudo P. ZP=ZS-hf2 Calcular la energía disponible hf3 para el tramo 3 : hf3=ZP-Z3 x Calcular el gasto en la tubería 3 aplicando una ecuación de la forma: Q=K.hf Aplicar los pasos 8 y 9 a la tubería 4 Verificar si cumple la ecuación de continuidad en el nudo: Q2 =Q3+Q4
γ Q
donde H es la
CONDUCTO QUE DA SERVICIO Es un conducto que a lo largo de su recorrido pierde parte del gasto que transporta.
En una tubería filtrante, en una posición determinada se tiene que el caudal Q es: Q = Q0 − q. L (1)
Se quiere hallar la pérdida de carga que ocasiona una tubería filtrante: En un diferencial de longitud se tiene una pérdida de carga de: dh f = f
dL V
2
D 2 g
haciendo: V =
dh f = 0.0827
(2)
Q A
f D
5
, y A = π . D 2 / 4
Q 2 dL (3)
si:
K = 0.0827
f D
dh f = K .Q 2 dL
5
en (3)
(4)
integrando: L
∫
h f = K .Q 2 dL (5) 0
reemplazando (1) en (5) L
∫
h f = K (Qo − qL ) dL 2
0
2 q 2 L3 − Qo qL2 h f = K Qo L + 3 2 q 2 L2 − Qo qL h f = KL Qo + 3 2 (Qo − Q )2 − Qo (Qo − Q ) h f = KL Qo + 3 h f =
KL
3
(Q
2
o
+ QoQ + Q 2 ) (6)
Si el gasto final es cero (Q=0) h f
=
KL
3
2
Qo (7)
CAPITULO 6 FLUJO NO PERMANENTE EN TUBERIAS -
Se produce cuando las características hidráulicas a lo largo de la tubería varían con el tiempo. Las condiciones de flujo no permanente se producen debido a algún tipo de excitación del sistema. Las excitaciones representativas son la apertura o cierre de válvulas, el funcionamiento de bombas o turbinas, la ruptura de tubos y eventos de cavitación. Se produce en plantas hidroeléctricas y sistema de distribución de agua.
APERTURA INSTANTANEA DE VALVULA: -
Asumiendo un flujo incompresible en una tubería inelástica.
-
En el esquema mostrado, inicialmente para una apertura de válvula dada se tiene una velocidad V=Vo, de pronto la válvula será abierta súbitamente produciendo una nueva velocidad V=Vs. Se trata de calcular la nueva velocidad y calcular luego de que tiempo de abierta la válvula se obtienen condiciones estables.
-
Se estudiará el caso de un tubo horizontal de longitud L de diámetro constante D.
Aplicando la segunda ley de Newton en el volumen de control:
A( p1
− p 2 ) − τ o π DL = ρ AL
dV dt
(1)
Aplicando la ecuación de la energía entre el punto 2 y 3:
∑ F
x
= m.a x
p 2 = p 3 + K
ρ V 2 2
(2)
Expresando el esfuerzo cortante en la pared de la tubería ( τo) en función del coeficiente de Darcy (f).
τ o
=
ρ fV 2 8
(3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1) y aceptando que p1 − p 3 = ρ .g ( H 1 − H 3 ) se obtiene.
H − H 3 f K V 2 + + −g 1 =0 dt D L 2 L
dV
(4)
Ecuación que representa el flujo incompresible
inestable en un tubo
Condiciones de borde: cuando : t = 0 , V=Vo cuando se alcanza estado estable: dV/dt=0 y V=V s,
V s =
2 g ( H 1 − H 3 ) fL / D + K
en (4)
(5)
despejando ( f/D+K/L) de (5) y sustituyendo (4) luego de separar variables e integrar se tiene.
2
t
∫
dt =
0
V s L
V
∫
dV
g ( H 1 − H 3 ) Vo V s2
− V 2
(6)
Luego de integrar, se obtiene una relación entre la velocidad V luego de un instante t después de la excitación de la válvula:
t =
V s L
2 g ( H 1 − H 3 )
ln
(V s + V )(V s − V o ) (V s − V )(V s + V o )
(7)
Según la expresión (7) se requerirá un tiempo t = ∞ para que obtener V=V s lo cual no es exacto. Para fines prácticos bastará con determinar el momento en que se alcanzará un porcentaje dado de Vs.
CIERRE INSTANTANEO DE VALVULA -
Se asumirá flujo compresible en un tubo elástico. En el mismo esquema anterior, ahora la válvula será cerrada instantáneamente. El movimiento de la válvula hará que una onda acústica, o de presión, se propague corriente arriba con una velocidad a. La presencia de la onda implica condiciones de flujo no permanente observándose a la entrada una velocidad V y a la salida una velocidad V+ ∆V. (fig. a) A fin de analizar el problema con las leyes de estado estable el problema se hará que el frente de onda parezca estacionario desde el punto de vista de un observador que se mueve a la misma velocidad de la onda. (fig b)
Aplicando la conservación de masa a través del volumen de control mostrado en la figura b se tiene:
0 = ( ρ + ∆ ρ )(V + ∆V + a )( A + ∆ A ) − ρ (V + a ) A
(8)
Aplicando la ecuación de momentum a través del mismo volumen de control y considerando solo las fuerzas de presión como se muestra en la figura c se tiene:
pA + ( p + ∆ p )∆ A − ( p + ∆ p )( A + ∆ A ) = ρ A(V + a )[V + ∆V + a − (V + a )] Expandiendo (8) y (9) y desechando los términos que contienen factores de ecuaciones se convierten en:
ρ A∆V + (V + a )( A∆ ρ + ρ ∆A) = 0
(10)
y
− A∆ p = ρ A(V + a )∆V (11) En casi todas las situaciones V<
∆ p = − ρ a∆V (12)
Ecuación de Joukowsky
(9)
∆2 y ∆3, las
Combinando (11) con (10) eliminando el término
∆ p ρ a 2
=
∆V, debido a que V<
∆ ρ ∆ A (13) + ρ
A
De la definición de modulo de elasticidad volumétrica del fluido (B) se tiene que ∆ ρ / ρ = ∆ p / B En la tubería de radio r, se tiene que ∆ A / A = 2∆r / r , siendo ∆r / r conocido como el cambio de deformación circunferencial ( ∆ε = ∆r / r ). En un tubo de pared delgada de espesor (e), el esfuerzo circunferencial esta dado por σ = pr / e de donde si r y e son pequeños se tiene que
∆σ ≈ (r / e )∆p El modulo de elasticidad del material de la pared del tubo se define como: reemplazando las expresiones deducidas se tiene:
E =
∆σ (r / e )∆ p (2r / e)∆ p ≈ = (14) ∆ε ∆r / r ∆ A / A
∆A/A y reemplazando junto con ∆ρ/ρ en (13)
despejando
∆ ρ ρ a 2
E = ∆σ / ∆ε ,
=
∆ p B
+
2r ∆ p eE
(14)
sustituyendo 2r por el diámetro (D) y despejando la velocidad de la onda de presión (a) se tiene:
a=
B / ρ
1 + ( D / e)( B / E )
(15)
Se tiene que: a = f [propiedades del liquido(ρ y B), propiedades de la pared (D,e y E)] si el tubo es muy rígido el término DB/eE <<1 y la ecuación (15) se transforma en:
a =
B
ρ
(16)
Velocidad del sonido en un liquido
MOVIMIENTO DE LA ONDA DE PRESION
VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN DIVERSOS PUNTOS DE LA TUBERÍA.
APLICACIONES 1.- Un tubo horizontal 1000 m de longitud , con un diámetro de 500 mm y una velocidad estable de 0.5 m/s, se somete repentinamente a un nuevo diferencial de carga piezométrica de 20 m cuando la válvula corriente abajo se abre repentinamente y su coeficiente cambia a K = 0.2. Suponiendo un factor de fricción de f = 0.002, determinar la velocidad final de estado estable, y el instante en que la velocidad real alcanza el 75% del valor final. 2.- Se suministra gasolina por gravedad sin bombeo desde un tanque de almacenamiento a través de una tubería casi horizontal de 800 m de largo y 50 mm de diámetro, hacia un camión tanque. Hay una válvula de acción rápida en el extremo de la tubería. La diferencia de altura entre la gasolina del depósito y el tanque del camión es de 8 m. Inicialmente, la válvula está parcialmente cerrada, y K = 275. Luego el operador decide aumentar la descarga abriendo la válvula rápidamente a la posición en la que K=5. Suponiendo un fluido incompresible y una tubería inelástica, determine la nueva descarga en estado estable y el tiempo que toma alcanzar el 95 % de ese valor. Suponer f=0.015. 3.- Una tubería de acero (E-207x10 6 kPa, L=1500m, D=300 mm, e=10 mm) transporta agua a 20 oC. La velocidad inicial es Vo = 1m/s. Una válvula en el extremo corriente abajo se cierra con tal rapidez que el movimiento se considera instantáneo y reduce su velocidad a cero. Determinar la velocidad de la onda de presión en el tubo, la velocidad del sonido en un medio acuoso no limitado, el aumento de presión en la válvula, el tiempo que la onda tarda en viajar de la válvula al depósito que está en el extremo corriente arriba, y el período de oscilación.
