TUGAS AKHIR MODUL 2
NAMA
: PUTU CHRISTINA DHARMA ASTUTI PUCANGAN
NO PESERTA
: 19220118010419 1922011801041 9
Soal 1. a. Menggunakan algoritma pembagian, tentukan FPB (1488,868). b. Tentukan nilai m dan n sehingga sehingga FPB (1488,868)= 1488 x m + 868 x n . c. Tentukan KPK [1488,868].
x 2y = 0 3x + y = 0
2. Diketahui SPL
a. Tunjukkan bahwa untuk setiap nilai a, maka SPL tersebut selalu konsisten. b. Tentukan nilai a agar SPL tersebut hanya mempunyai solusi trivial. c. Tentukan nilai a agar SPL tersebut mempunyai tak hingga banyak solusi. 3. Buktikan bahwa semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang sama. 4. Buktikan bahwa masalah program linear berikut ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas.
: = 3 + 3 + + 3 h.m 2 + 4 5 3 + 2 3 ,y, 0 −4
−
−
≤−
−3
−
≤−
−
≤−
≥
5. Buktikan
bahwa
jika
G
grup
komutatif
dengan
elemen
identitas
e,
maka
∈
H = {x G | x2 = e} merupakan subgrup G.
Tugas Akhir Modul 2-Profesional
1
Penyelesaian 1. a. Berdasarkan Teorema 2.1.6 (Algoritma Pembagian Bilangan Bulat) 1488 = 868.1 + 620 868 = 620.1 + 248 620 = 248.2 + 124 248 = 124.2 + 0 Sehingga didapat FPB (1488,868) adalah 124
b. Berdasarkan Teorema 2.1.9 124 = 620 – 248.2 248.2 124 = 620 – (868 (868 – 620). 620). 2 124 = 620. 3 – 868. 868. 2 124 = (1488 – 868.1).3 868.1).3 – 868.2 868.2 124 = 1488.3 – 868.5 868.5 Sehingga berdasarkan teorema diatas, FPB (1488,868) = 124 >>>> 124 = 1488.3 – 868.5 868.5 Didapat m = 3 dan n = – 5
c. Berdasarkan Teorema 2.1.14
x 868 KPK [1488,868] = FPB1488 1488,868 KPK [1488,868] = 1488124x 868 KPK [1488,868] =10416 2. a. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap nilai a, maka SPL tersebut selalu konsisten.
Untuk a = 0 SPL
{2=0 3+=0
(0) x 2 y = 0 x – 2 3 x + 0 = 0
, sehingga y = 0
,, sehingga x = 0
Ini berarti berarti SPL diatas memiliki solusi x = 0 dan y = 0
≠0 2=0 SPL { 3+=0
Untuk
Tugas Akhir Modul 2-Profesional
2
2 = 0 ⇔ = substitusi ke persamaan ke 2:
3+=0 3 (2 ) + = 0 6 + = 0 6 + = 0 =0 Ini berarti berarti SPL diatas memiliki solusi x = 0 dan y = 0 Karena untuk kedua kondisi, yaitu untuk
a = 0
dan
a
≠ 0 SPL tersebut memiliki solusi,
maka SPL tersebut selalu konsisten.
b. Suatu SPL mempunyai solusi trivial apabila minimal mempunyai penyelesaian nol. Pada bagian a telah diperlihatkan untuk
≠ 0, SPL {2=0 3 + = 0 memiliki solusi
x =
0
dan y = 0 Jadi SPL
{2=0 solusi trivial jika ≠ 0 3 + = 0 memiliki solusi
c. Suatu SPL mempunyai tak berhingga banyak solusi apabila determinan matriks koefisiennya adalah 0.
|3 21 | 0=6 =6 2=0 akan mempunyai Jadi SPL { 3 + = 0 mempunyai tak berhingga banyak solusi jika = 6 Det A =
a
3. Akan dibuktikan bahwa semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang sama. Ambil sembarang vektor X, Y
∈ sedemikian sehingga X dan Y merupakan basis dari
= , , … } dan = , , … } dengan X dan Y merupakan basis dari Tugas Akhir Modul 2-Profesional
3
X basis maka X bebas linear dan Y basis maka Y bebas linear X basis dan Y bebas linear maka m n......(i) Y basis dan X bebas linear maka n m.....(ii) Dari (i) dan (ii) maka m = n. Karena banyak vector X =
m sama
dengan banyak vector Y = n, maka terbukti bahwa
semua basis dari suatu ruang vector berdimensi hingga mempunyai banyak vector yang sama.
4. Akan dibuktikan bahwa masalah program linear berikut ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas.
: = 3 + 3 + + 3 h.m 2 + 4 5 3 + 2 3 ,y, 0 −4
−
−
≤−
−3
≤−
−
−
≤−
≥
Masukkan variable slack Z – 3 3 x + 4 y – 3 3 z + + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0 x + y –
+ z + S1 + 0S2 + 0S3 = – 3
– 2 x – 3 3 y + 4 z + +
+ z + – 3 x + 2 y – z
0S1 + S2 + 0S3 = – 5
0S1 + 0S2 + S3 = – 3
Membuat tabel simplex
Variabel
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
-3
4
-3
0
0
0
0
S1
-1
1
1
1
0
0
-3
S2
-2
-3
4
0
1
0
-5
S3
-3
2
-1
0
0
1
-3
dasar
Menentukan kolom kunci. Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan bernilai negatif terbesar
Variabel
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
-3
4
-3
0
0
0
0
dasar Z
Tugas Akhir Modul 2-Profesional
4
S1
-1
1
1
1
0
0
-3
S2
-2
-3
4
0
1
0
-5
S3
-3
2
-1
0
0
1
-3
Menentukan baris kunci. Baris kunci adalah nilai indeks yang terkecil.
= Variabel
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Indeks
Z
-3
4
-3
0
0
0
0
-
S1
-1
1
1
1
0
0
-3
3
S2
-2
-3
4
0
1
0
-5
5/2
S3
-3
2
-1
0
0
1
-3
1
dasar
Angka Kunci
Nilai baris kunci baru didapat dengan membagi nilai baris kunci lama la ma dengan angka kunci. Sementara nilai baris yang lain = nilai baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baris baru kolom kunci)
Variabel
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
0
2
0
0
0
-1
-1
S1
0
1/3
4/3
1
0
-1/3
8/3
S2
0
-13/3
14/3
0
1
-2/3
11/6
X3
1
-2/3
1/3
0
0
-1/3
1
dasar
Karena koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada yang negatif. Sehingga proses dihentikan. Terlihat program linear berikut ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas karena untuk X 1 dan X2 belum dilakukan proses iterasi.
Tugas Akhir Modul 2-Profesional
5
5. Akan dibuktikan bahwa jika G grup komutatif dengan elemen identitas e, maka
∈
H = { x G | x2 = e} merupakan subgrup G. Karena e
∈ berarti
2
e
= e . e = e
kosong. ∈ jadi H tak kosong.
∈ Maka = dan = Akan ditunjukkan bahwa − ∈
Ambil sembarang p, q
Maka
− = − − = − = − =.− = Sehingga − = terlihat ∈ maka terbukti bahwa p − ∈ sehingga dapat disimpulkan bahwa H subgraf G.
Tugas Akhir Modul 2-Profesional
6
