UDA 4 - Fuerza Cortante y Momento Flexionante

Mecánica de Sólidos

UDA 4:

Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Vigas

Módulo 4: Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Vigas FLEXIÓN Y ESFUERZO Generalidades: Ocurre flexión cuando un elemento de sección

constante y simétrica respecto al plano donde ocurre dicha flexión, se somete a momentos flectores, M, (o a cargas transversales). La figura muestra un elemento, denominado ‘viga’, de sección rectangular sometido a flexión. Cuando la viga está sometida a momentos flectores, sin cargas transversales, ocurre flexión pura.

Módulo 4: Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Vigas FLEXIÓN Y ESFUERZO

El elemento sometido a flexión se curva, de tal manera que algunos puntos se alargan quedando sometidos a esfuerzos de tracción.

Módulo 4: Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Vigas FLEXIÓN Y ESFUERZO

Algunos se acortan quedando a compresión, y otros no se deforman ni soportan esfuerzo.

Módulo 4: Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Vigas

FLEXIÓN

El ‘plano neutro’ que es aquel que contiene los punt viga que no sufren deformación ni esfuerzo. El plano n perpendicular al plano donde ocurre la flexión, para dirección axial de la viga, y pasa por el centroid sección.


FLEXIÓN

Como se dijo, en flexión se producen esfuerzos norm tracción y de compresión, distribuidos linealmente. Lo en el plano neutro no soportan esfuerzo, y el esfuerz punto cualquiera es directamente proporcional a la d de dicho punto al plano neutro.

De acuerdo con esto, los esfuerzos máximos, de tracció compresión, ocurren en los puntos más alejados del pla eje) neutro, y están dados por:


FLEXIÓN

La ecuación anterior es válida si la sección es s respecto al plano donde ocurre la flexión. Si la sec simétrica respecto al eje neutro, es decir, la sec doblemente simétrica, el esfuerzo se puede expresar co

donde S es el esfuerzo en el punto extremo superio El signo ‘+’ indica que el esfuerzo es de tracción y indica que es de compresión, c es la distancia des neutro hasta los puntos extremos y Z = I/c es el mó sección.


FLEXIÓN Consideraciones: •

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Si existen cargas transversales sobre la viga, aparecen esfuerzos cortantes, los cuales son más pequeños esfuerzos normales si la viga es ‘larga’ (esbelta).

Una viga se considera ‘larga’ si su longitud es 10 ó más mayor dimensión de la sección.

Es importante tener claro que en los puntos de esfuerzos normales (puntos extremos) el esfuerzo cor igual a cero; por lo tanto, los puntos de análisis están so sólo a esfuerzo normal; es decir, no se desprecia el

esfuerzo cortante en la viga, simplemente se omite el a


FLEXIÓN

Las ecuaciones para flexión son válidas bajo las siguientes c 1. La viga es recta en dirección longitudinal (sin carga). 2. El punto a analizar no está situado en la proximidad aplicación de una fuerza, o de una discontinuidad de la sec 3. El esfuerzo calculado en la superficie es válido si ésta es lis 4. La sección de la viga es simétrica con respecto a aplicación de las cargas. 5. Las alas, si las hay, no están pandeadas. 6. La carga es estática. 7. El material es homogéneo. 8. La viga no está retorcida. 9. El material no tiene tensiones residuales. 10. El esfuerzo cortante (vertical) es despreciable compa


Diagramas de fuerza cortante y m

Los diagramas de fuerza cortante y momento flector de aquellos en los cuales se puede determinar la fue interna, V , y el momento flector interno, M, en la secciones de la viga. Entonces, de estos diagramas se las secciones de mayores momentos flectores y may cortantes.


Ejemplo #1:


La viga ‘larga’ simplemente apoyada, tiene una sección constante de 5 cm de ancho por 15 cm de alto, y está las cargas mostradas. Construir los diagramas de fuerz momento flector de la viga, determinar los puntos esfuerzos y los valores de dichos esfuerzos.


Ejemplo #1:


Solución: Para trazar los diagramas de fuerza cortante

flector se deben determinar las reacciones en los apo cual se hace el diagrama de cuerpo libre y se p ecuaciones de equilibrio. Después de trazar el d momento flector se identifica la sección con mayor m calculan los esfuerzos máximos, a tracción y a compres viga es ‘larga’, los esfuerzos cortantes no se analizan.


Ejemplo #1:

Diagrama d


Ejemplo #1:

Diagrama de f

En la sección A hay una carga concentrada hacia arrib a 19.29 kN; en el diagrama se dibuja una flecha vertical que representa esta fuerza. Entre la sección A y la B hay una carga distribuida uniform kN/m, que aporta una carga hacia abajo de 15 kN ya


Ejemplo #1:

Diagrama de f

Entre las secciones B y C no hay carga transversal; por lo tanto, la f constante, y se dibuja una línea horizontal hasta C a partir del punto inclinada. En la sección C se encuentra una fuerza concentrada hacia


Ejemplo #1:

Diagrama de M

El diagrama de momento flector de la viga, se basa en las áreas del di cortante y en los momentos flectores concentrados en la viga; como flector concentrado en A, la curva del diagrama parte desde el orig


Ejemplo #1:

Diagrama de Momento Flector

En el diagrama de fuerza cortante se tiene: entre A y B una línea inclinada, y entre B y E líneas horizontales, lo que significa que en el diagrama de momento se tendrá una parábola, entre A y B, y rectas inclinadas entre B y E. Las áreas en el diagrama de fuerza cortante y los momentos concentrados nos indican hasta donde van las diferentes líneas. Entre A y B, tenemos un área igual a [(19.29 kN + 4.29 kN)/2] (1.5 m) = 17.69 kN-m; entonces, en el diagrama de momento se traza una parábola, desde el origen, hasta un punto directamente sobre B que equivale a 17.69 kN-m. Ya que V es la pendiente del momento flector, para trazar la parábola debe recordarse que a menor valor


Ejemplo #1:


Entre B y C se traza una recta desde el último punto hasta alcanzar un valor directamente sobre C igual al valor anterior (17.69 kN-m) más el área entre B y C en el diagrama de fuerza cortante (4.29 kN×1 m): (17.69 + 4.29) kN-m = 21.98 kN-m. Entre C y D se traza una recta hasta alcanzar en D el valor obtenido al sumar el último valor (21.98 kN) y el área correspondiente (–7.71 kN×2 m), lo que da 6.56 kN-m. En D hay un momento concentrado de 5 kN-m en sentido horario. Los momentos concentrados en sentido horario se toman positivos (y los antihorarios negativos), se traza en D una línea vertical hacia arriba hasta alcanzar un valor de 6.56 kN-m + 5 kN-m = 11.56 kN-m.


Ejemplo #1:


Finalmente, entre D y E se traza una recta hasta alcanzar en E un valor igual a 11.56 kN-m + (–7.71)(1.5 m) = 0. El diagrama ‘cierra’ en M = 0, lo cual indica que existe equilibrio de momentos en el plano x-y.


Ejemplo #1:

Esfuerzos máximos

Como se dijo al comienzo de la solución del ejemplo, sólo se analizarán los esfuerzos normales, ya que los cortantes son muy pequeños en la viga ‘larga’. Los esfuerzos normales en los puntos más alejados del eje neutro de una viga doblemente simétrica están dados por la ecuación 2.10. Como Z = I/c es constante en toda la viga, los esfuerzos máximos ocurren en la sección de mayor momento, es decir, en la C: M = MC = 21.98 kN-m. La sección de la viga tiene un momento de inercia I = (1/12)(0.05 m)(0.15 m)3 = 1.406×10–5 m4, el valor de c es de (0.15 m)/2 = 0.075 m; entonces, Z = (1.406 × 10–5 m4)/(0.075 m) = 1.875×10–4 m3. Reemplazando M y Z en la ecuación se obtiene:

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