Vigas Y Columnas Alumno CÒDIGO SECCIÒN MAESTRO
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CALENDARIO
ÍNDÍCE VIGAS Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas Cargas en vigas, apoyos y tipos de vigas Patrones de carga Tipos de apoyos Tipos de vigas
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3 5
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Fuerzas cortantes
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Momentos flexionantes Esfuerzo causado por flexión
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Diseño de vigas y esfuerzos de diseño Módulo de sección
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Concentraciones de esfuerzo Esfuerzos cortantes en vigas
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Visualización de esfuerzos cortantes en vigas Esfuerzo cortante de diseño Flujo cortante Deflexión en vigas
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13 13
Definición de términos
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Deflexiones de vigas, método del área de momento Vigas estáticamente indeterminadas
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15
Ejemplos de vigas estáticamente indeterminadas
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Fórmulas para vigas estáticamente indeterminadas Vigas continuas-teorema de los tres momentos
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COLUMNAS Razón de esbeltez
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Razón de esbeltez de transición
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Factores de diseño para columnas y carga permisible.
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2
Perfiles eficientes para secciones transversales de columna Columnas con carga no centrada
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VIGAS
FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES EN VIGAS
Una viga es un miembro que se somete a cargas transversales, es decir, perpendiculares a lo largo de su eje.
Tales cargas provocan esfuerzos cortantes en la viga y le imparten su figura característica de pandeo, lo que también da como consecuencia esfuerzos flexionantes. Para calcular los esfuerzos cortantes y los momentos flexionantes, se precisa determinar la magnitud de las fuerzas cortantes internas y los momentos flexionantes que se desarrollan en vigas causados por una amplia variedad de cargas.
Cargas en vigas, apoyos y tipos de vigas
Cuando se analiza una viga para determinar las reacciones, las fuerzas cortantes internas y los momentos flexionantes internos, conviene clasificar el patrón de carga, el tipo de apoyos y el tipo de viga. Las vigas se someten a varios patrones de carga, incluidas:
Cargas concentradas normales Cargas concentradas con inclinación Cargas uniformemente distribuidas Cargas variables distribuidas Momentos concentrados
Los tipos de apoyos incluyen:
Apoyo simple de rodillo Apoyo de pasador Apoyo fijo o empotrado
Los tipos de vigas incluyen:
Vigas simplemente apoyadas; o vigas simples Vigas salientes Vigas en voladizo; o voladizas Vigas compuestas Vigas continuas
Patrones de carga
Cargas concentradas normales
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Una carga normal concentrada es la que actúa perpendicular (normal) al eje mayor dé la viga en un solo punto o a lo largo de un segmento muy pequeño de la viga. Las cargas concentradas normales tienden a provocar flexión pura en las vigas.
Cargas concentradas con inclinación
Una carga concentrada inclinada es la que actúa efectivamente en un punto, pero cuya línea de acción forma un ángulo con el eje principal de la viga. La carga con inclinación y que ejerce el resorte provoca una combinación de esfuerzos flexionantes y axiales en la viga.
Cargas uniformemente distribuidas
Las cargas de magnitud constante que actúan perpendiculares al eje de una viga a lo largo del segmento significativo de la viga se llaman cargas uniformemente distribuidas.
Cargas variables distribuidas
Las cargas de magnitud variable que actúan perpendiculares al eje de una viga a lo largo de un segmento significativo de una viga se llaman cargas variables distribuidas.
Momentos concentrados.
Un momento es una acción que tiende a hacer girar un objeto. Los momentos pueden producirse por un par de fuerzas paralelas que actúan en direcciones opuestas; esta acción se llama par. La acción contra una manivela o una palanca también produce un momento. Cuando un momento actúa en un punto de una viga de manera que tiende a provocarle rotación pura, se llama momento concentrado.
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Tipos de apoyos Apoyo simple o de rodillo
Un apoyo simple es uno que puede resistir sólo fuerzas que actúan perpendiculares a una viga.
Apoyo de pasador.
Un ejemplo de un apoyo de pasador es una bisagra que puede resistir fuerzas en dos direcciones pero que permite rotación con respecto al eje de su pasador.
Apoyo fijo o empotrado.
Un apoyo fijo es el que se mantiene sujeto con firmeza de tal manera que resiste fuerzas en cualquier dirección y también impide la rotación de la viga en el apoyo.
Tipos de vigas
El tipo de viga se determina por los tipos de apoyos y su colocación.
Viga simple.
Una viga simple es la que soporta sólo cargas que actúan perpendiculares a su eje y que tiene sus extremos sobre apoyos simples que actúan perpendiculares a su eje. Cuando todas las cargas actúan con dirección hacia abajo, la viga adopta la figura flexionada clásica cóncava hacia arriba. Ésta se conoce como flexión positiva.
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Viga saliente.
Una viga saliente es aquella en la que la viga con carga sobresale de los apoyos. Las cargas que actúan en los extremos salientes tienden a flexionarlos hacia abajo, o sea, a producirles una flexión negativa.
Viga en voladizo.
Una viga en voladizo sólo tiene un extremo con apoyo, que tiene una pluma de grúa firmemente unida a una columna vertical rígida. Es esencial que el apoyo esté fijo porque debe servir de apoyo vertical para las
Viga compuesta
Una viga integrada por dos o más piezas que se extienden en diferentes direcciones. Las vigas de este tipo se analizan por partes para determinar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes internas que actúan a lo largo de ella.
Vigas continuas.
Las vigas continuas tienen apoyos adicionales, por lo que requieren enfoques diferentes cuando se trata de analizar las fuerzas y los momentos de reacción. Estas vigas se llaman estéticamente indeterminadas
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Fuerzas cortantes
Las fuerzas cortantes son fuerzas internas que se generan en el material de una viga para equilibrar las fuerzas aplicadas externamente y para garantizar el equilibrio en todas sus partes.
La presencia de fuerzas cortantes se puede visualizar considerando cualquier segmento de la viga como un cuerpo libre con todas las cargas externas aplicadas. La magnitud de la fuerza cortante en cualquier parte de una viga es igual a la suma algebraica de todas las fuerzas externas que actúan a la izquierda de la sección de interés.
Diagramas de fuerza cortante.
Conviene graficar los valores de la fuerza cortante contra su posición en la viga. Tal gráfica se llama diagrama de fuerza cortante y lo que sigue es un análisis del método para crearlo. También se establecen las reglas generales para trazar el diagrama de cualquier viga que sólo se somete a cargas concentradas normales. El diagrama de fuerza cortante es una gráfica donde la vertical representa el valor de la fuerza cortante en cualquier sección de la viga.
Los diagramas de fuerza cortante comienzan y terminan en cero en los extremos de la viga. Las fuerzas cortantes internas que actúan con dirección hacia abajo se consideran positivas. Las que lo hacen hacia arriba se consideran negativas. Una carga concentrada o reacción dirigida hacia abajo provoca un incremento repentino igual al valor de la fuerza cortante. En cualquier segmento de una viga donde no hay cargas aplicadas, el valor de la fuerza cortante se mantiene constante, lo que da por resultado una línea horizontal recta en el diagrama de fuerza cortante. Una carga concentrada en una viga provoca un cambio repentino de la fuerza cortante que actúa en la misma en una cantidad igual a la magnitud de la carga y en la dirección de ésta.
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Momentos flexionantes
Los momentos flexionantes, además de las fuerzas cortantes, se desarrollan en vigas por la aplicación de cargas perpendiculares a la viga. Estos momentos flexionantes son los que hacen que la viga asuma su figura característica curvada o “flexionada” . La determinación de la magnitud de los momentos flexionantes en una viga es otra aplicación del principio de equilibrio estático. La figura muestra una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro. Toda la viga está en equilibrio lo mismo que cualquier parte de ella. Examine los diagramas de cuerpo libre que se muestran en las partes (b), (c), (d) y (e). Con la suma de momentos con respecto al punto donde se cortó la viga se obtiene la magnitud del momento flexionante interno necesario para mantener al segmento en equilibrio. En la figura (b) se muestra el primer segmento de 0.5 m. La suma de momentos con respecto al punto B da: M„ = 500 N (0.5 m) = 250 N-m
La suma de momentos respecto a C da:
con
M r = 500 N (1.0 m) = 500 N-m
Al sumar los momentos con respecto al punto D se obtiene: M „ =
500 N (1.5 m) - 1000 N (0.5 m) = 250 N-m Si se considera toda la viga como cuerpo libre y se suman los momentos con respecto al punto E en el extremo derecho de la viga, se obtiene: Me = 500 N (2.0 m) - 1000 N (1.0 m) = 0 Un resultado similar se obtendría para el punto A en el extremo izquierdo. De hecho, una regla general es: Los momentos flexionantes en los extremos de una viga simplemente apoyada son cero.
En suma, en la viga de la figura, los momentos flexionantes son: o o
Punto A: 0 Punto 5: 250 N-m 8
Punto C: 500 N-m Punto D: 250 N-m Punto E\ 0
o o o
La curva del momento flexionante será una línea recta a lo largo de los segmentos donde la curva de fuerza cortante tiene un valor constante. El cambio del momento entre dos puntos de una viga es igual al área bajo la curva de la fuerza cortante entre los mismos dos puntos. El momento flexionante máximo ocurrirá en un punto donde la curva de la fuerza cortante corta el eje horizontal.
ESFUERZO CAUSADO POR FLEXION
Formula de flexión:
= esfuerzo máximo en las fibras externas de la viga
M = momento flexionante en la sección de interés
c = distancia del eje centroidal de la viga a las fibras externas I = momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje centroidal
Diseño de vigas y esfuerzos de diseño
Para diseñar una viga, deben especificarse su material, longitud, colocación dé las cargas, colocación de los apoyos y el tamaño y la forma de su sección transversal. Normalmente, la longitud y la colocación de las cargas y los apoyos se determinan según los requisitos del uso pensado. 9
Esfuerzo de diseño para metales-recomendaciones generales.
Cuando se especifiquen esfuerzos de diseño es importante que se tenga en cuenta que en las vigas se producen esfuerzos tanto de compresión como de tensión. Si el material es razonablemente homogéneo e isotrópico y tiene la misma resistencia a tensión o a compresión, entonces el diseño se basa en el esfuerzo máximo desarrollado en la viga.
Formula del esfuerzo de diseño:
Módulo de sección y procedimientos de diseño
Módulo de sección:
La fórmula de flexión se transforma como sigue:
Concentraciones de esfuerzo
Las condiciones especificadas para el uso válido de la fórmula de flexión incluían la propuesta de que la viga debe tener una sección transversal uniforme. Los cambios de la sección transversal producen esfuerzos locales mayores que los pronosticados con la aplicación directa de la fórmula de flexión. El uso de factores de concentración de esfuerzo permite analizar vigas que no incluyen cambios de sección transversal. Formula de flexión con concentración de esfuerzos:
El factor de concentración de esfuerzo en gráficas.
se determina experimentalmente, con los valores reportados
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ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS
Las fuerzas cortantes se visualizan actuando en la sección de una viga, en forma transversal, es decir, perpendiculares al eje de la viga. Por tanto tienden a crear esfuerzos cortantes transversales, en ocasiones llamados esfuerzos cortantes verticales. Pero si se aísla un pequeño elemento sometido a tales esfuerzos, se ve que también deben existir esfuerzos cortantes horizontales para que el elemento esté en equilibrio. De este modo, tanto los esfuerzos cortantes verticales como los horizontales, que tienen la misma magnitud en un punto dado, son creados por esfuerzos cortantes en vigas.
visualización de esfuerzos cortantes en vigas La existencia de esfuerzo cortante horizontal en vigas también se observa en vigas hechas de varias tiras planas. AI colocar varias tiras una encima de la otra se produce una viga más resistente que se deflexiona menos con una carga dada. Las tiras se deslizarían una con respecto a la otra en las superficies de contacto y la viga seguiría siendo relativamente flexible y débil. Se puede hacer una viga más resistente y más rígida sujetando las tiras de tal modo que se 11
evite el deslizamiento entre ellas. Esto se puede hacer con adhesivo, soldadura, soldadura de latón o sujetadores mecánicos tales como remaches, tomillos, pernos, pasadores, clavos o incluso grapas. De esta manera, se evita la tendencia a que una tira se deslice con respecto a la siguiente y los sujetadores se ven sometidos a una fuerza cortante dirigida horizontal, paralela al eje neutro de la viga. Así es como se visualiza el esfuerzo cortante horizontal en una viga.
fórmula general de cortante:
V = fuerza cortante vertical en la sección de interés. El valor de V puede calcularse con el diagrama de fuerza cortante. En general, se usa el valor máximo absoluto de V, ya sea positivo o
negativo. I = momento de inercia de la sección transversal completa de la viga con respecto a su eje centroidal. Éste es el mismo valor de I usado en la fórmula de la flexión ( = McI) para calcular el esfuerzo flexionante.
t = espesor de la sección transversal medido en el eje donde se va a calcular el esfuerzo
cortante. Q = momento estático.
El momento estático se define como el momento, con respecto al eje centroidal general, del área de la parte de la sección transversal alejada del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante. Por definición:
̅
= área de la parte de la sección transversal distante del eje donde se va a calcular el esfuerzo cortante. = distancia al centroide
medida a partir del eje centroidal de la sección transversal completa.
El momento estático es el momento de un área; es decir, área por distancia. Por consiguiente, sus unidades serán de longitud al cubo, tales como
Fórmulas de cortante especiales
Rectángulo: Circular:
Circular hueca: Alma delgada:
Esfuerzo cortante de diseño. 12
Como recomendación general, se usará el mismo esfuerzo cortante de diseño para metales dúctiles sometidos a cargas estáticas. Es decir, se sugiere un factor de diseño de N = 2 basado en la resistencia a la cedencia del material, Sys, sometido a cortante. Y una aproximación del valor de Sys es la mitad de la resistencia a la cedencia a tensión, Sy. En suma:
Con N=2:
Flujo cortante.
El término flujo de cortante es útil para analizar secciones armadas. Llamado q, el flujo de cortante se determina multiplicando el esfuerzo cortante que actúa en una sección por el espesor en dicha sección. Esto es:
Entonces:
Las unidades de q, son fuerza por unidad de longitud. N/m, Lb/plg.
DEFLEXIÓN EN VIGAS
El funcionamiento adecuado de las piezas de una máquina, la rigidez estructural de los edificios, los chasises de vehículos y máquinas y la tendencia de una pieza a vibrar dependen de la deformación de vigas. Por consiguiente, la facultad de analizar vigas para detectar deflexiones por la acción de una carga es muy importante.
Definición de términos.
Para describir de manera gráfica la condición de una viga que soporta un patrón de carga, se usan cinco diagramas, El diagrama de carga es el diagrama de cuerpo libre en el cual se muestran todas las cargas externas y las reacciones en los apoyos. A partir de éste, se desarrolló el diagrama de fuerza cortante , el cual permite calcular los esfuerzos cortantes en cualquier sección de una viga. El diagrama de momento 13
flexionante es una curva de la variación del momento flexionante con la posición en la viga incluidos los
resultados utilizados para calcular el esfuerzo causado por flexión. El diagrama de deflexión muestra la forma de la viga deflexionada, de hecho, esta es la curva de la posición del eje neutro de la viga con respecto a su posición inicial. Diagrama de la pendiente. Una línea trazada tangente a la curva de deflexión en un punto de interés
define la pendiente de la curva de deflexión en dicho punto. La pendiente se indica como el ángulo ; medido en radianes con respecto a la horizontal.
Radio de curvatura. La figura muestra el radio de curvatura, R, en un punto particular. En vigas prácticas, la curvatura es mínima, lo que produce un valor de R muy grande.
El valor absoluto de será muy pequeño porque la curvatura de la viga es mínima. Entonces, se puede sacar provecho de la observación de = que, para ángulos pequeños, tan 0. Por tanto:
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Por consiguiente, se puede concluir que: La pendiente de la curva de la deflexión en un punto es igual a la razón del cambio de la deflexión al cambio deposición en la v iga.
Rigidez de una viga, la cantidad de deflexión de una viga es inversamente proporcional a su rigidez, indicada por el producto El, en donde: E = módulo de elasticidad del material de la viga
I = momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto al eje neutro
deflexiones de vigas, método del área de momento
Método del área de momento, es útil en problemas que incluyen patrones de carga complejos o cuando la viga tiene una sección transversal variable a lo largo de ella. El método del área de momento utiliza la cantidad M/EI, el momento flexionante divido entre la rigidez de la viga, para determinar la deflexión de la viga en puntos seleccionados. Teorema 1
El cambio del ángulo, en radianes, entre tangentes trazadas en dos puntos A y B en la curva de deflexión de una viga, es igual al área bajo el diagrama M/EI entre A y B. Teorema 2
La desviación vertical del punto A en la curva de deflexión de una viga a partir de la tangente que pasa por otro punto B de la curva es igual al momento del área bajo la curva M/£I con respecto al punto A.
VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
En vigas con dos y sólo dos apoyos simples y en voladizo con un extremo fijo y el otro libre, se demostró que todas las fuerzas de reacción y los momentos flexionantes desconocidos se podían determinar con las ecuaciones clásicas de equilibrio.
∑ ∑
En cualquier dirección
Con respecto a cualquier punto
Estas vigas se llaman estáticamente determinadas. Las vigas que no quedan comprendidas dentro de las categorías antes mencionadas se llaman estáticamente indeterminadas.
Ejemplos de vigas estáticamente indeterminadas
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Las vigas con más de dos apoyos simples, las vigas en voladizo con un segundo apoyo o las vigas con dos extremos fijos son ejemplos importantes de vigas estáticamente indeterminadas. Se llama viga continua y el nombre proviene del hecho de que la viga es continua sobre varios apoyos. Es importante señalar que la forma de la curva de deflexión también es continua a tr avés de los apoyos. La viga con un extremo fijo se usa en estructuras de edificios y también en estructuras de máquinas por el elevado grado de rigidez provisto. La creación de la condición de extremo fijo requiere que las conexiones en los extremos impidan la rotación de éstos así como también para que desempeñen la función de apoyo para las cargas verticales. Viga en voladizo apoyada. La carga sobre el techo plano es soportada por una viga rígidamente
conectada a una columna por uno de sus extremos y simplemente apoyada por otra columna por el otro.
Fórmulas para vigas estáticamente indeterminadas
El apéndice A-24 contiene va ríos ejemplos de vigas estáticamente 16
indeterminadas y su fórmulas para calcular las reacciones en sus apoyos y la deflexión en cualquier punto de la viga. Estas fórmulas se pueden aplicar directamente.
vigas continuas-teorema de los tres momentos.
Con el teorema de los tres momentos se puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos. De hecho el teorema relaciona los momentos flexionantes en tres apoyos sucesivos entre sí y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con únicamente tres apoyos, el teorema permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones conocidas en los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego se puede usar el principio de estática para determinar las reacciones. En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes (dos claros), para obtener un juego de ecuaciones que se pueden resolver simultáneamente para los momentos desconocidos. Cargas uniformemente distribuidas en claros adyacentes.
Los valores de w 1 y w2 se expresan en unidades de fuerza por unidad de longitud tales como N/m, lb/pie, etc. Los momentos flexionantes en los apoyos A, B y C son M A , MB Y MC
La ecuación general de una carga como ésa es una combinación de las ecuaciones (13-2) y (13 —4), dada como ecuación (13-6). 17
COLUMNAS Una columna es un miembro relativamente largo, cargado a compresión.
Una columna alta esbelta falla por pandeo, nombre común que recibe la inestabilidad elástica. En lugar de aplastar o desmembrar el material, la columna se deflexiona de manera drástica a una cierta carga crítica y luego se desploma repentinamente. Al irse incrementando la fuerza de manera gradual, aplicada directamente hacia abajo, se alcanza la carga crítica cuando la columna comienza a flexionarse. Normalmente, se puede retirar la carga sin que provoque un daño permanente puesto que no hay cedencia. Así pues, una columna falla por pandeo a un esfuerzo menor que la resistencia a la cedencia del material en la columna. El objetivo de los métodos de análisis de columnas es predecir la carga o el nivel de esfuerzo al cual una columna se volvería inestable y se pandearía.
Razón de esbeltez
La medida de la esbeltez de una columna ha de tener en cuenta la longitud, el perfil de la sección transversal y las dimensiones de la columna, y la manera de sujetar los extremos de la columna en las estructuras que generan las cargas y las reacciones en la columna. La medida de esbeltez comúnmente utilizada es la razón de esbeltez, definida como:
L = longitud real de la columna entre los puntos de apoyo o de restricción lateral K = factor de fijación de los extremos
= longitud efectiva, teniendo en cuenta la manera de fijar los extremos (observe que
r = radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna.
= KL)
Longitud real, L. En una columna simple con la carga aplicada en un extremo y la reacción creada
en el otro, la longitud real es, obviamente, la longitud entre sus extremos. Pero en componentes de estructuras cargados a compresión que disponen de medios de sujeción laterales que impiden que se pandee, la longitud real se considera entre los puntos de restricción. Cada una de las partes, entonces, se considera como una columna aparte.
Factor de fijación de los extremos, K. El factor de fijación de los extremos mide el grado de
limitación contra rotación de cada extremo. Por lo general, se consideran tres tipos clásicos de conexiones de extremos: el extremo de pasador, el extremo fijo y el extremo libre. La figura 14-1 muestra varias combinaciones de tipos de extremos con los valores correspondientes de K. 18
Obsérvese que se dan dos valores de K. Uno es el valor teórico y el otro es el que por lo general se usa en situaciones prácticas.
Longitud efectiva, . La longitud efectiva combina la longitud real con el factor de fijación de extremos; Lt = KL. En los problemas de este libro se usan los valores prácticos recomendados del factor de fijación de extremos, como se muestra en la figura 14-1. En suma, para calcular la longitud efectiva se usarán las siguientes relaciones:
Radio de giro, r. La medida de esbeltez de la sección transversal de la columna es su radio de giro, r, definida como:
√
I = momento de inercia de la sección transversal de la columna con respecto a uno de los ejes principales. A = área de la sección transversal.
Razón de esbeltez de transición
Para que una columna se considere larga requiere la determinación de la razón de esbeltez de transición, o de la constante de columna .
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Si la razón de la esbeltez efectiva real se debe usar la fórmula de Euler.
√ /r es mayor que
, entonces la columna es larga, y al analizarla
Si la razón real /r es menor que , entonces la columna es corta, en ese caso se usara la fórm ula de J. B. Johnson, los reglamentos especiales o la fórmula del esfuerzo de compresión directo.
Formula de Euler para columnas largas
⁄
Ò
Formula de J. B. Johnson para columnas cortas
Factores de diseño para columnas y carga permisible.
⁄ [ ]
Debido a que una columna falla por pandeo y por falla última o cedencia del material, los métodos antes utilizados para calcular el esfuerzo de diseño no se aplican a columnas. Así que, la carga permisible se calcula dividiendo la carga de pandeo crítica con la fórmula de Euler o la fórmula de Johnson por un factor de diseño, N. Es decir:
o o o
= carga segura permisible = carga de pandeo crítica N = factor de diseño
Perfiles eficientes para secciones transversales de columna
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Columnas con carga no centrada.
Una carga excéntricamente cargada es una en la que existe una desviación a propósito de la línea de acción de la carga de compresión con respecto al eje centroidal de la columna asimismo existe algo de esfuerzo de flexión además del esfuerzo de compresión axial que tiende a provo car pandeo.
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