1. ARITMETICA - 5TO.doc

R RA AZZO ON NEESS RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades; puede ser de dos clases: 1. RAZÓN ARITMÉTICA: Cuando se compara mediante la diferencia. Ejemplo: Si tenemos: H  45 hom bres   45   hom   bres    30  15   hom   bres     mujeres    M  30 mujeres  ANTECEDENTE RAZON CONSECUENTE

Observación: Las unidades de la razón son las unidades del antecedente en general:

2. RAZÓN GEOMÉTRICA: Cuando la comparación es mediante el cociente Ejemplo: ANTECEDENTE      H  45 hom bres H 45 hom bres 3   (RAZON)  M  30 mujeres  M 30 mujeres 2       CONSECUENTE

Observación: Cuando nos digan: dos cantidades son entre sí como 3 es a 2, podremos plantear:

Los griegos tuvieron un concepto teórico de las proporciones. La aplicación práctica del conocimiento de las proporciones se la debemos a los matemáticos italianos del Renacimiento. Regiomontano y Lucas Pacioli (Fray Lucas de Burgos) divulgaron considerablemente el empleo de las proporciones en sus leídas obras, especialmente este último, que ha pasado a la historia como el inventor de la contabilidad por partida doble.

En general:

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ACTIVIDADES EN AULA 1 El jugador A da al jugador B 80 puntos de ventaja en un partido de 200 puntos y el jugador B da al jugador C 120 puntos de ventaja en un partido de 200 puntos. ¿Cuántos puntos de ventaja dará A a C en otro partido de 50 puntos? a) 35 d) 38

b) 36 e) 39

c) 37

3 De las ciudades A y B parten 2 motociclistas en la misma dirección y sentido; el que salió de B se adelantó 1 hora y el otro lo alcanzó después de 3 horas de haber salido. Los kilómetros más que recorrió este es a lo que recorrió el otro como 2 es a 3. ¿En qué relación están las velocidades? a) 5/8 d) 20/9

2. Un vendedor ambulante tiene lapiceros rojos y azules en la proporción de 7 a 4, si vende 2/5 del total de lapiceros de los cuales 3/5 son rojos y el resto azules. ¿Cuál es la nueva relación de lapiceros rojos y azules? a) 109/56 d) 2/3

b) 2/5 e) 110/66

c) 3/5

c) 5/4

4. En una reunión de solteros y casados están en la relación de 2 a 1 y el número de hombres casados es al de los hombres como 3 es a 5. ¿Cuál será el número de asistentes si las mujeres solteras exceden a las casadas en 30, siendo estas últimas la cantidad mínima posible? a) 32 d) 58

12

b) 5/7 e) 11/20

b) 35 e) 69

c) 40

5. La proporción en la que Petete clava sus dardos en un blanco de: 500; 100; 50; 20; 10 puntos es como 1; 2; 3; 6 y 4 respectivamente, fallando 1 de cada 9 tiros. ¿Cuántos disparos realizó si anotó 20200 puntos? a) 400 d) 405

b) 360 e) 300

c) 320

7. Se tiene 3 recipientes que contienen agua cuyos volúmenes están en la relación de 7; 6 y 5 respectivamente. Se hace pasar "x" litros de agua del primer recipiente al segundo, luego pasa "y" litros del segundo al tercero; obteniéndose finalmente volúmenes de agua en los recipientes en la relación de 5; 4 y 9 respectivamente. Hallar el volumen de agua que tenía inicialmente el tercer recipiente, sabiendo además: x+y=72. a) 48 litros d) 72 litros

6. Tres hermanos compararon sus edades: hace "p" años las edades de los mayores eran como 5 a 3. Hace 15 años las edades del mayor y menor estaban en la relación de 5 a 3. si dentro de "q" años las edades de los 3 estarán en la relación de 19; 15 y 13 respectivamente. Calcular la edad de cada uno de ellos si actualmente las edades de los 2 mayores suman 160 años. Dar como respuesta la edad del intermedio. a) 60 d) 56

b) 70 e) 68

b) 60 litros e) 66 litros

c) 64 litros

8. Cuatro corredores A, B, C y D parten con 1 minuto de diferencia. cuando B ha recorrido 5 minutos, alcanza a A y cuando C ha recorrido 24 minutos toma la punta y 6 minutos después llegó a la meta. ¿Cuántos minutos después que C llegó D, si este llegó 4 minutos después que A? a) 37,5 d) 22,5

b) 41,5 e) 30,5

c) 11,5

c) 78

13

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. La suma de 3 números es 1425; la razón del primero y el segundo es 11/3 y la diferencia de los mismos es 600. Hallar el tercer número. a) 300 d) 400

b) 315 e) 425 2 A 3 ,

c) 375

4 C 5

2. Si los y son entre sí como 4; 5 y 6. Hallar B, si A+C=486. a) 124 d) 240

b) 243 e) 145

c) 245

3. Las edades de tres personas están en la relación de 5, 6, y 9 si la suma de dichas edades dentro de 5 años es 75 años. Hallar la edad del mayor. a) 33 d) 24

b) 27 e) 36

c) 18

4. Halle 2 números positivos x e y, tal que su razón es 3/5 y satisfacen: x2+y2+xy=441. Dar como respuesta la diferencia de cuadrados de los números. a) 12 d) 24

b) 6 e) 44

c)144

5 Halle 2 enteros positivos a y b, tal que su razón es 2/3 y satisfacen: a2 + b2 - ab = 2268.

Dar como respuesta la razón aritmética de las cifras del mayor de los números. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

6. La suma y diferencia y producto de 2 números son entre sí como los números 5, 1 y 30. Entonces la suma de los cuadrados de dichos números es: a) 225 d) 300

b) 250 e) 325

c) 100

7. La suma, diferencia y el producto de 2 números están en la misma relación que los números 12, 2 y 105. ¿Cuál es el mayor de los números? a) 15 d) 18

b) 21 e) 25

c) 24

8. En una reunión el número de extranjeros es al número de peruanos como 4 es a 7. Si entre los extranjeros hay hombres, mujeres y niños en la relación de 5, 4 y 3 respectivamente. Hallar la relación en que se encuentran el número de peruanos con respecto a la razón aritmética del número de hombres niños extranjeros. a) 21/2 d) 12/4

b) 21/5 e) 12/7

c) 12/5

Las Las Matemáticas Matemáticas no no son son un un recorrido recorrido prudente por una autopista despejada, prudente por una autopista despejada, sino sino un un viaje viaje aa un un terreno terreno salvaje salvaje yy extraño, en el cual los exploradores extraño, en el cual los exploradores se se pierden pierden aa menudo. menudo. W.S. W.S. Anglin Anglin (1992) (1992)

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P PR RO OP PO OR RC CIIO ON NEES S PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases: a) PROPORCIÓN ARITMÉTICA (Equi - diferencia)

Propiedad: Suma de Extremos = Suma de Medios  a + d = b + c b) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (Equi - cociente)

LUCAS PACIOLI

"El producto de extremos es igual al producto de medios" Observación: La proporción geométrica también se acostumbra representar como:

CLASES DE PROPORCIONES I.

DISCRETAS: Si sus cuatro términos son diferentes entre sí a) Aritméticas discretas

Al último término se le llama cuarta diferencial b) Geométricas discretas

Matemático, nacido en Borgo San Sepolco, Toscana, hacia la mitad del siglo XV; muerto, probablemente, algo después de 1509. Poco se conoce acerca de su vida. Llegó a ser fraile franciscano y consecutivamente profesor de matemática en Perugia, Roma, Nápoles, Pisa, y Venecia. Con Leonardo da Vinci, estuvo en Milán en la corte de Luis el Moro, hasta la invasión francesa. Los últimos años de su vida los pasó en Florencia y Venecia. Sus escritos científicos, aunque humildes en estilo, constituyeron la base para los trabajos de los matemáticos del siglo XVI, incluídos Cardan y Tartaglia. En su primer trabajo, "Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni, et Proportionalita", Venecia, 1494, utilizó, libremente, los escritos de Leonardo da Pisa (Fibonacci) sobre la teoría de los números. De esta manera, logró preservar fragmentos de algunos trabajos, perdidos, de ese matemático. La aplicación de álgebra a la geometría, y el tratamiento para la teoría de la probabilidad, contribuyeron también para hacer, notable, este tratado. La "Divina Proportioni" (Venecia, 1509), fue escrita con alguna cooperación de Leonardo da Vinci.

Al último término se le llama cuarta proporcional

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II. CONTÍNUAS: Si sus términos medios son iguales a) Aritméticas continuas

A cada término igual (b) se le llama media diferencial o media aritmética y a cada término distinto se le llama tercera diferencial b) Geométricas continuas

¡Mira que fácil esta este tema! estudiemos juntos....

 b  ad A cada término igual (b) se le llama media proporcional o media geométrica y a cada término distinto se le llama tercera proporcional. PROPIEDADES Propiedades de la Proporción Geométrica

1. a . d = b . c 2. 3. 4. 5. 6.

a b c d  b d a b c d a c  o  b d a+ b c  d a b c d a b c d  o  a b c d a b c d a c a c   b d b d

an

bn 7.

n n

a b

 

cn

dn n

c

n

d

Aplicación: Dos números están en la razón de 4 a 7. Si su diferencia es 51. Hallar su suma

a 4 ab 47    [Pr opiedad 4] b 7 ba 7 4

a  b 11  51 3

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Nota: Nota: Siendo la razón Siendo la razón geométrica de geométrica de mayor uso se le mayor uso se le conoce también conoce también como razón o como razón o relación. relación.

ACTIVIDADES EN AULA 1. En una carrera de 20 000 m un atleta A ganó a otro B por 4000 m y A a C por 8000 m. ¿Por cuántos metros ganará B a C?. a) 3000 d) 5000

b) 4500 e) 4000

c) 1200

3. Se tiene 3 recipientes con gaseosa en cantidades proporcionales a: 3, 7 y 4 si se junta todo en un recipiente se consume la cuarta parte y el resto se distribuye en partes iguales en los en los 3 recipientes originales. Se observa que uno de ellos aumenta 15 litros. ¿Cuántos litros de gaseosa se tenia en total al principio ? a) 360 d) 240

2. Un mozo del restaurante Campero debe preparar un coktail de gaseosa, vino y naranja en la proporción de 5, 3 y 7 respectivamente, pero para ello le faltaba 5 litros de gaseosa y 8 litros de naranja , los cuales se reemplazan por vino siendo la proporción final de: 3, 5 y 4 respectivamente. ¿Cuántos litros de vino se utilizó ? a) 15 d) 12

b) 25 e) 28

b) 420 e) 630

c) 210

4. Los antecedentes de una proporción están en la relación de 8 a 5 y la suma de los consecuentes es 156. Calcule la suma de los términos medios si los extremos están en la relación de 4 a 3. a) 130 d) 110

b) 140 e) 176

c) 146

c) 20

17

5. Se tienen 3 números proporcionales a 17, 12 y 7 que forman una proporción aritmética continua cuya razón es 55. Hallar la media diferencial. a) 187 d) 110

b) 132 e) 154

c) 77

7. Si a y b son dos números consecutivos

20 a 15 b  K consecutivos y : 20 a 15 b Hallar: "K".

a) d)

6.

Un niño y su padre parten de M en dirección MN al tiempo que Pedro parte de N

en dirección a M. Si la velocidad de

Pedro es 3 veces la del padre, y la velocidad de este es dos veces la del niño. Hallar la distancia MN , sabiendo que en un

(Las velocidades son constantes) a) 200m. d) 400m.

b) 300m. e) 480m.

18

c) 340m.

3 2

b)

7 3

e)

1 3

c)

3 4

8. Raúl nació 8 años antes que Luis . Raúl señala: Hace "n" años la relación de nuestras edades era de 7 a 5. Luis responde: pero hace (m-n) años era 7 a11; por lo cual Raúl le replica, dentro de "n" años será de 23 a 19. ¿En qué relación estarán sus edades dentro de (m+n+2) años?.

determinado tiempo Pedro dista 20m. del niño y de su padre.

1 4

a)

7 8

d)

9 11

b)

8 9

e)

31 35

c)

29 33

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Se

tiene

una

proporción

geométrica

continua donde el primer término es

1 del 16

cuarto término. Hallar el término medio de dicha proporción, Sabiendo que la suma de las raíces cuadradas de los extremos es 10. a) 12 d) 18

b) 20 e) 15

c) 16

2. Se tiene una proporción aritmética continua donde la suma de los cuatro términos es 112 y la diferencia de sus extremos es 18. Hallar dichos extremos. a) 37 y 19 d) 53 y 35

b) 44 y 26 e) 45 y 27

c) 40 y 22

3. Se tiene una proporción geométrica continua donde la media geométrica de los extremos es 30. Si la media aritmética de los antecedentes es 27,5. Hallar el cuarto término de la proporción. a) 32 d) 39

b) 36 e) 30

c) 40

4. Si: 8 es la cuarta proporcional de "a" , 6 y "b" y "a" es la cuarta proporcional de "b", 16 y 48, hallar el valor de: "b-a". a) 8 d) 17

b) 23 e) 44

c) 34

5. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción continua. Si la suma de los 4

términos es 36 y la razón entre la suma y diferencia de los 2 primeros términos es 3 ? a) 4 d)18

b) 12 e)15

c) 8

6. Hallar la suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua. Si se sabe que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 17 es a 15 y la diferencia entre el 4º término y la razón es tres. a) 175 d) 223

b) 164 e) 195

c) 324

7. En una proporción geométrica continua, se suma el primer antecedente con su consecuente y también el segundo antecedente con su respectivo consecuente. Se efectúa el producto de ambas sumas y el resultado es igual a 36 veces la media geométrica. Hallar la suma de las raíces cuadradas de los extremos de dicha proporción. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

8. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 1296. Si el cuarto término es la tercera parte del segundo término. Calcular el primer término. a) 12 d) 26

b) 18 e) 35

c) 32

"El "El principal principal objeto objeto de de la la educación no es el de enseñarnos educación no es el de enseñarnos aa ganar ganar el el pan, pan, sino sino en en capacitarnos para hacer capacitarnos para hacer agradable agradable cada cada bocado." bocado."

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SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Concepto: Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor. a1 a 2 a 3 a   .................  n  K    RAZON b1 b 2 b3 bn

Propiedades: 1°)

2°)

(1616 – 1716) Lingüista, filósofo y matemático alemán en 1698 propuso utilizar: (.) El punto como signo de multiplicar. (, ) La coma para separa la parte entera de la decimal.

El El saber saber es es la la única única propiedad que no propiedad que no puede puede perderse. perderse.

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ACTIVIDADES EN AULA 1. Sabiendo que: (A+B+C+D)(a+b+c+d)=5041

3. Si: 90 U 108 N 144 I   K 90 U 108 N 144 I

A B C D    a b c d

y que: Calcular el valor de:

E  2( Aa  Bb  Cc  Dd ) a) 92 d) 184

b) 216 e) 218

c) 142

a c e 24    b d 3 f ;

donde ef+ad=462 e+f+bc=412. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad si es la menor posible. b) 4/3 e) 7/9

a) 176 d) 306

b) 198 e) 287

c) 206

4. Si:

2. Sabiendo que se cumple:

a) 2/3 d) 2

Además: U + N + I + 2 = K (K + 1) Hallar: (U + N + I - K)

c) 5/3

a b2 c   b c2 d y a . b =144 ; c . d = 9216 Calcular: a - b + c + d

a) 216 d) 222

b) 230 e) 232

c) 212

21

5. En una serie de n razones aritméticas continuas e iguales de razón r, halle la semidiferencia entre el primer antecedente y el último consecuente. a) nr d) n2r

nr

nr

b) 2 e) 2nr

c) 3

a) 1 d) 4

6. En la serie: a2  b b a2   r a  b  c c2 b a, b, c y r son números enteros y a+b=60. Halle: c - r.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

22

a a c b   r d c 7. Si: b ; d - c = 39; Calcule: d - b

c) 3

b) 2 e) 5

c) 3

8. Dada la siguiente serie de razones: a2  1 b2  4 c2  9   15 30 45

Hallar: a . b . c, si: a+b+c=6 a) 6 d) 15

b) 9 e) 18

c) 12

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Los cuadrados de los números 1/2; 1/3; 1/6 son proporcionales a otros 3 números que suman 7/6. Uno de dichos números es: a) 1/4 d) 4/3

b) 1/2 e) 5/12

c) 1/3

b) 21 e) 37

c) 23

A B C   a b c

Hallar:

 ABC    abc 

2

d) 4

e) 3 2

b) 30 e) 36

(R  0)

c) K/R

6. Si se sabe que:

p q r s    h l m n

y (p+q+r+s)(h+l+m+n)=6724 Calcule el valor numérico de la expresión:

a) 82 d) 80

c) 2 8. Si:

4. Los consecuentes de una serie de razones geométricas iguales son 12, 15 y 21. Si el producto de los antecedentes es 1120. Hallar la suma de los antecedentes. a) 28 d) 34

b) R/K e) R

a) 30 d) 45

b)

K2

1 ( ph  ql  sn  mr) 2 b) 164 e) 40

c) 41

Entonces la suma de los menores valores naturales: a, b, c, K es:

b/B

a) 2 2

y

R2

ab ac bc   K 7. Si: 8 15 10

AB BC AC    48 ab bc ac E 

bde

acf

a) 1 d) K

I

3. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales:

Si:

a c e    K2 b d f Hallar:

2. En una serie de razones aritméticas equivalentes, la suma de los antecedentes excede a la suma de los consecuentes en 37. Se excluye una razón por la cuál la suma de consecuentes disminuye en 13. ¿Cuál es la suma de los términos de la razón excluida si el valor de la razón es un número entero? a) 18 d) 27

5. Si:

c) 32

b) 35 e) 47

c) 37

a1 a2 a3   b1 b2 b3

y (a1+b1)(a2+b2)(a3+b3) = 21952 Hallar:

H  3 a1 . a2 . a3  3 b1 . b2 .b3

a) 27 d) 8

b) 81 e) 28

c) 9

23

PPR RO OM MEED DIIO OSS Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad representativa de otras varias cantidades. Este promedio es mayor que la menor cantidad y es menor que la cantidad mayor. Sean los números: a1 < a2 < a3 < ......... < an Entonces: a1 < promedio < an CLASES DE PROMEDIOS 1. PROMEDIO ARITMÉTICO (P.A.) Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a 1, a2, a3, ............ an el promedio aritmético de ellos será.

George Cantor (1845 – 1918) ............ (1) Nota: Si tenemos sólo dos cantidades A y B al promedio aritmético, se le denomina también media aritmética (M.A).

Ejemplo: Un alumno ha obtenido las siguientes notas en un curso: 12, 14, 10, 13, 11. ¿Cuál es su promedio de notas?

P. A.

12  14  10  13  11  12 5

1.1 PROMEDIO PONDERADO Se utiliza cuando los datos son presentados de manera grupal, conociéndose de cada grupo el número de elementos(n) y el promedio aritmético (P).

24

Matemático alemán nacido en San Petersburgo (ahora Leningrado, Rusia) y fallecido en Halle. Ya en la escuela Cantor mostró talento por las matemáticas, haciendo posteriormente de ellas su profesión, obteniendo el puesto de profesor en la universidad de Halle en 1872. En 1874 Cantor empezó a introducir conceptos extraños de lo infinito, estableciendo que para tratar el infinito se debe establecer correspondencia entre dos series, más aún, esta correspondencia debe ser biunívoca. De este modo se puede razonar que la cantidad de números pares es igual a la de los números naturales, diferenciando entre la aritmética de lo infinito y la aritmética familiar de los números finitos. Cantor construyó una estructura lógica completa, en la cual se postulaba diferentes órdenes de infinitos. Así la definición de Cantor de

........ (2)

Trata de cultivar la Trata de cultivar la verdad en relación verdad en relación con los otros y con los otros y también en relación también en relación contigo mismo. Sólo contigo mismo. Sólo la verdad nos hará la verdad nos hará llegar a la perfección, llegar a la perfección, porque ella nos hace porque ella nos hace conocer lo que conocer lo que realmente somos. realmente somos.

Ejemplo: En un salón de clases de 30 alumnos la nota promedio de aritmética es 13, en otro salón de 20 alumnos la nota promedio del mismo curso es 15. ¿Cuál será la nota promedio de los 50 alumnos?. Solución: Salón 1 Salón 2 n = 30 n = 20 P = 13 P = 15 Luego: P

P

n 1p 1  n 2 p 2 n1  n 2

(30)(13)  20(15) 690  30  20 50

P = 13,8 Entonces el promedio ponderado o total es de 13,8. *

Observación: El promedio ponderado de estas dos clases no se calcula sumando el promedio 13 de una y 15 de la otra y entre dos. P

13  15  14 2

Cuyo resultado sería erróneo, porque también influye el número de alumnos por clase. 2. PROMEDIO GEOMÉTRICO (P.G.) Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son: a1, a2, a3, .......an

25

El promedio geométrico de ellos será igual a:

P. G. n PRODUCTO DE CANTIDADES

P. G.  n a1. a 2 . a 3 ........ an

............ (3)

Nota: Si tenemos sólo dos cantidades A y B, al promedio geométrico se le denomina también media geométrica (M.G.).

M. G.( A, B) 

A. B

Ejemplo: Hallar el promedio geométrico de 4; 6 y 9

P. G.  3 4.6.9  3 216 P.G. = 6 3. PROMEDIO ARMÓNICO (P.H.) Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a 1, a2, a3, ......., an, el promedio armónico de ellos será igual a:

P.H. 

P. H. 

N° DE CANTIDADES SUMA RECÍPROCAS

n 1 1 1  ....... a1 a 2 an

............ (4)

Nota: Para dos cantidades A y B se le denominará media armónica (M.H.) M. H. 

2 2A. B.  M. H.  1 1 A B  A B

Ejemplo: Hallar el promedio armónico de 4; 6; 9. 3 1 1 1   a1 a 2 a 3 3 108 P. H.  1 1 1 19   4 6 9 P.H.

P. H. 5

26

THALES Era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de

13 19

¿Qué ¿Qué saca saca el el mentiroso? mentiroso? Que Que ni ni él él cree, cree, ni a él le ni a él le creen. creen.

Propiedades: 1. Si tenemos cantidades diferentes se cumplirá. P.A. > P.G. > P.H. 2. Para dos números A y B se cumple: M. A.( A, B) 

A B (MAYOR PROMEDIO) 2

M. G.( A, B)  A. B M. H.( A, B) 

2AB (MENOR PROMEDIO) A B

(M.G.)2  (M. A.).(M.H.) 3. Si tenemos cantidades iguales se cumple que: P.A., P.G. y P.H. son iguales Por ejemplo: P. A.(k;k;k) 

k  k  k 3k  k 3 3

P. G.(k;k;k)  3 k.k.k 

P.H.(k,k,k) 

3

k3  k

3 3  k 1 1 1 3   k k k k

¡Se ¡Se alegre alegre yy optimista! optimista! No No pierdas pierdas el el tiempo tiempo mirando mirando hacia hacia atrás, atrás, para para ver ver lo lo que que ya ya hiciste. hiciste.

Luego: P.A. = P.G. = P.H. = k

Mira Mira hacia hacia delante delante yy camina camina confiado confiado yy alegre, practicando alegre, practicando el el bien bien yy ayudando a todos. ayudando a todos.

27

ACTIVIDADES EN AULA 1. ¿Cuál será la nota promedio de un alumno en el curso de "Redes Inalámbricas"; si su promedio ponderado fue 10,6; además se sabe que: N ú m e ro d e C r é d i to s

P r o m e d io

R edes In a lá m b ric a s

3

n

In g e n ie ría d e T r a n s p o r te

4

9 ,7

C e lu l a r e s I

4

8 ,9

SD H / PD H

5

1 0 ,4

C u rso

a) 14,4 d) 15

b) 13,2 e) 13

b) 4000 e) 8000

28

a) 10 d) 4

b) 8 e) 2

c) 6

c) 14,1

2. César viaja de Lima a Quito en su auto, llevando 2 llantas de repuesto. En el camino permutó regularmente las llantas (incluidas las de repuesto). ¿Cuántos Km ha recorrido cuando cada rueda recorrió en promedio 2000 Km? a) 3000 d) 6000

3. La suma de 2 números enteros es 18, su MH y MA son consecutivos. Determinar la diferencia de los números.

c) 5000

4. La media armónica de 20 números de 2 cifras es 18 y de 30 números de 3 cifras es 540. Calcular la media armónica de estos 50 números. a) 200/7 d) 45

b) 300/7 e) 28

c) 300/11

5. El promedio de las edades de los 3 hermanos de Gloria es 12 años, y el promedio de las edades de los 5 hermanos de Soledad es 18 años. ¿Cuál será el promedio de edad de todos ellos, incluido la edad de Gloria y Soledad, si las edades de estos dos últimos sumarán dentro de 10 años, 48 años? a) 14,5 d) 17

b) 15,4 e) 18

b) 12,7 e) 14

3

una MG de 20 . Además se sabe que el producto: bc = 30. La MH de estos números es: a) 320/73 d) 135/89

b) 350/75 e) 435/89

c) 360/74

c) 16,4

6. En las aulas A, B y C la cantidad de alumnos están en la relación de 12; 15 y 13 si el promedio de sus notas en la primera práctica fueron 11, 12 y 16 respectivamente. Hallar el promedio de las notas de las 3 aulas. a) 11,5 d) 13,2

7. Tres números a, b y c tienen una MA de 5 y

c) 13

8. Si: MH (a; b; c) = 64/7 MG (a; b; c) = 16 a2 + b2 + c2 = 4368 Hallar: MA ( a) 6 d) 9

a b c ; ; 4 4 4

)

b) 7 e) 10

c) 8

29

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

1. Hallar el promedio de: 40; 40; 40;...........;40           abcabcveces

números consecutivos, por lo que el promedio aritmético inicial queda reducido a su quinta parte. Hallar el mayor de los números consecutivos.

Y

50; 50; 50;...........; 50          

a) 22 d) 30

(54389) abcveces

b) 26 e) 35

c) 28

6. Hallar la MA de los n números: a) 44 d) 47

b) 45 e) 48

c) 46

1 1 1 1    ..... 6 12 20 (n  1)(n  2)

2. La media aritmética de 3 números es 7. La media geométrica es par e igual a uno de los números y su media armónica es Hallar el menor de los números. a) 3 d) 7

b) 6 e) 8

36 7

.

c) 4

3. La MG de dos números es 4 y la MH es

32 17 .

¿Cuál es el menor de los números? a) 4 d) 5

b) 2 e) 1

b) 40 e) 46

c) 42

5. A cada uno de los 12 números cuya suma es 367,5 se le resta respectivamente

30

d)

1 2(n  2)

b) 2n+3 e)

c) (1+n)2

1 2(n  1)

7. El promedio armónico de un grupo de números consecutivos es "p", a cada uno de estos números se les multiplica por su siguiente consecutivo y nuevamente se calcula su promedio armónico y se obtiene "q". Halle el promedio armónico de los consecutivos a cada uno de los números del primer grupo mencionados.

a)

q q p

d)

qp q p

c) 3

4. El promedio aritmético de las edades de 3 personas es superior en una unidad al promedio aritmético de las edades de las 2 primeras personas. Sabiendo que la tercera persona tiene 40 años. Hallar el promedio de las 3 edades. a) 38 d) 44

a) 1/n

b) e)

q p q p

c)

p q p

1 q p

8. Si los promedios aritmético, geométrico y armónico de 3 números son 28;16 y 64/7. Hallar la suma de los cuadrados de los 3 números. a) 1648 d) 2348

b) 4438 e) 6248

c) 4368

P PR RO OP PO OR RC CIIO ON NA ALLIID DA AD D Magnitud: Es todo aquello que puede ser medido, ejemplos el área de un terreno, la edad de una persona, etc. Magnitudes Proporcionales: Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, es decir, si una de ellas varía, la otra también varía. CLASES DE MAGNITUDES 1. Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P.) Simplemente proporcionales. Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (D.P.), cuando el cociente entre sus valores correspondientes es una constante. Es decir:

A D.P. B 

A  K (constante) B

también: A = KB Se lee "A" es directamente proporcional a "B". Esto significa que cuando A se duplica, triplica, cuadruplica, etc.; B también se duplica, triplica, cuadruplica, etc. Ejemplo: Si dos cuadernos cuestan S/.6,00 entonces seis cuadernos costarán: Como el número de cuadernos se ha triplicado, también el costo se triplicará es decir 3 x S/.6 = S/.18.

En la evolución del concepto de función ejercieron una influencia decisiva Fourier (francés, 1758 – 1830), Cauchy francés (17891857), Dirichlet (alemán, 18051859). Todos los trabajos de estos matemáticos contribuyeron al desarrollo de la teoría de las funciones. Sin embargo, fue Riemann (alemán, 1826 – 1866) en su tesis de 1851, quien echó las bases de la actual teoría de las funciones.

Podemos llenar un cuadro con algunos datos:

Del cuadro observamos que si dividimos el costo entre el número de cuadernos se obtiene una cantidad constante.

31

Gráficamente:

Esfuérzate Esfuérzate porser sercada cada por díamejor. mejor. día

Esta gráfica nos indica que a medida que B (N° cuadernos) aumenta, también A (costo) aumenta, o si B disminuye también A disminuye. 2. Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P.) Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondientes es una constante es decir: A I.P.

A

B.



A.B. = K (constante) ó

K B

Se lee "A es inversamente proporcional a B" esto significa que al duplicarse A, B se reduce a su mitad; si A se cuadriplica, B se reduce a su cuarta parte, etc. Ejemplo: Un móvil al recorrer un tramo con una velocidad de 20km/h se demoró 8h, si duplica su velocidad entonces se demorará: Como duplica su velocidad se demorará menos tiempo en recorrer el mismo tramo específicamente la mitad del tiempo, es decir 8h/2 = 4h. Podemos llenar un cuadro con algunos datos:

Del cuadro observamos que si multiplicamos la velocidad por el tiempo se obtienen siempre, para este cuadro, 160, una cantidad constante.

32

Estudia no para saber algo más sino para saber algo mejor

Gráficamente:

"La educación es la "La educación es la preparación a la preparación a la vida completa." vida completa."

PROPIEDADES 1. Si:

2. Si:

3. Si: A D.P. B A = KB ................. (1) B D.P. C²  B = K1C² ............... (2) Note que en la relación (2) la constante es diferente, por que son magnitudes diferentes. (2) en (1) A = KB A = K(K1C²) A = K2C² }  A D.P. C² "k.k1 = k2" el producto de dos constantes me da una nueva constante".

33

ACTIVIDADES EN AULA 1. La figura muestra la gráfica de los valores que toman 2 magnitudes A y B. Calcular a+b.

A a

3. Se tiene dos paralelepípedos de igual volumen, que tienen la siguiente característica: su largo es D.P a su ancho. Si en uno de ellos su ancho es 3, su largo es 6 y su altura es 5. Hallar la altura del segundo, segundo que su ancho es 2: a) 6 d) 10

8

b) 11,25 e) 8

c) 9

b 12 18 a) 20 d) 14

b) 18 e) 12

36

B c) 16

2. Si dos cantidades son inversamente proporcionales a una tercera. ¿Cómo son entre si estas cantidades?. a) Iguales b) Recíprocas c) Inversamente proporcionales d) Directamente proporcionales e) No se puede afirmar relación alguna

4. El sueldo de una persona es directamente proporcional a su edad hasta los 35 años y desde los 35 años hasta los 40 años su sueldo es inversamente proporcional a su edad. En adelante su sueldo sera 5% menos cada año. ¿Cuál será el sueldo de esta persona a los 42 años, si a los 25 años ganaba S/. 1000?. a) S/. 1000 d) S/. 1400

34

b) S/. 1105,5 e) S/. 1500,5

c)S/1104.3

5. Hallar: h, si: A y B son magnitudes proporcionales.

60

a) 26 d) 32

x

40

b) 28 e) 34

c) 30

6. Si A D.P B y por otra parte A es I.P a C 2. ¿Cómo son B y C?. a) B DP C3 d) C IP B

b) B DP C2 e) C DP B

3

IP con C . Si el valor de B se duplica y el valor de C disminuye en sus 26/27 de su valor. ¿Por cuánto queda multiplicado o dividido el valor de A?. a) multiplicado por 4 b) multiplicado por 9 c) multiplicado por 12 d) dividido entre 6 e) dividido entre 9

h 10

7. Una magnitud A es DP con B2 y a la vez es

c) C IP B

8. Dos personas tienen concedidas pensiones en razón directa a la raíz cuadrada del número de años de servicio, como ha servido 9 años más que la otra y recibe S/. 5000 más. Si el servicio de la primera hubiera excedido al de la segunda en 4 años 3 meses sus pensiones estarían en la relación de 9 a 8. ¿Cuál es la pensión del que recibe más?. a) 25000 d) 3500

b) 3000 e) 2000

c) 20000

35

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. El gasto de una persona es D.P. a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es de $900 ahorra $90. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea $1260?. a) 1400 d) 1600

b) 1134 e) 1300

c) 1500

2. Se sabe que "A" es inversamente proporcional al cubo de "B"; si cuando B se reduce a la mitad, el valor de "A" aumenta 28 unidades. Determinar el valor inicial de "A". a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

c) 4

3. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. ¿Cuánto se perderá si un diamante de $9000. Se parte en dos pedazos uno el doble del otro. a) $400 d) $900

b) $800 e) $1500

b) 3 e) 6

c) 2

5. A es D.P a B; B es I.P a C 2, C es D.P a D 3, entonces A es I.P a:

El saber es la única propiedad que no puede perderse.

36

b) D6 e) 1/D6

c) 1/D2

6. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años. Dentro de cuántos años duplicará su sueldo. a) 20 d) 18

b) 25 e) 10

c) 36

7. El tiempo que se emplea para arar un terreno es DP a su área y al número de carretillas que se emplean e IP a su inclinación. ¿Qué tiempo se emplea en arar un terreno de 200300 metros, con una inclinación de 1,28% y usando 8 carretillas, si en un terreno de 1,5% de inclinación con una extensión de 150250 metros se emplean 4 semanas usando 6 carretillas?. a) 6,5 semanas c) 10 semanas e) 5 semanas

b) 8 semanas d) 7 semanas

c) $1200

4. Según la ley de Boyle, la presión es IP al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometida un gas, si al aumentar este en 2atm el volumen en varía en 40%?. a) 4 atm d) 5

a) D3 d) 1/D3

8. Se tiene 6 ruedas dentadas y se sabe que sus números de dientes son proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. La primera engrana con la segunda y fija al eje de ésta va montada la tercera que engrana con la cuarta, en cuyo eje va montada la quinta rueda, que a su vez engrana con la sexta rueda. Si la sexta rueda da 250 RPM. ¿En cuánto tiempo la primera rueda dará 8000 vueltas?. a) 15 min d) 10

b) 12 e) 9

c) 18

R REEG GLLA A D DEE C CO OM MPA PAÑ ÑÍÍA A

Las primeras compañías se constituyeron por los gremios o hansas que formaban los armadores de barcos (sociedades en commenda) de Venecia, Génova y Pisa a partir del siglo IX. Un italiano, Leonardo de Pisa tomó la regla para resolver los problemas de reparticiones de las ganancias o pérdidas de las compañías, de la Aritmética Comercial que se atribuye a Abul’l Wefa, de Bagdad (940 – 998 D.C.).

Es un caso particular de Reparto Proporcional, donde el objeto es repartir la ganancia o pérdida de una sociedad, empresa o negocio, entre las personas que han intervenido en la sociedad aportando sus capitales. El reparto se hará directamente proporcional al capital y al tiempo que aporto y estuvo cada persona. Ejemplo de Aplicación: Se han asociado dos personas para formar una empresa exportadora de espárragos La primera aportó $25000 y estuvo en el negocio 8 meses, la segunda aporta $30000 y estuvo 10 meses en el negocio. Si obtuvieron una utilidad de $7200. ¿Cuánto le corresponde a cada uno.

5k = 7200 k = 1440 GA = 2(1440) = $2880 GB = 3(1440) = $4320 37

ACTIVIDADES EN AULA

1. Dos individuos A y B ganaron en un negocio S/.9500. A contribuyó con S/.3750, durante 8 meses y B con un cierto capital durante 5 meses logrando duplicar su capital. ¿Cuál es la ganancia de A? a) 12000 d) 5500

b) 6300 e) 4700

c) 6000

3. Pedro ha adquirido 12 acciones del tipo A de una compañía, la compañía consta de un capital consistente en 240 acciones del tipo A (S/.20000 cada uno) y 300 acciones del tipo B (S/.15000 cada uno). Si al finalizar el año se obtuvo una ganancia de 1534500. ¿Cuánto ganó Pedro? a) 39600 d) 46800

2. Dos socios A y B forman un negocio por un año; al iniciar el negocio A y B aportan S/.19236 y S/.13930 respectivamente, al final del quinto mes, B predice que la utilidad al finalizar el negocio será muy apreciable, razón por la cual decide aportar más. ¿Cuánto más tiene que aportar B a partir del sexto mes para obtener la misma utilidad que A? a) S/.9108 d) S/.8070

b) S/.9096 e) S/.9040

38

c) S/.9084

b) 198000 e) 24800

c) 29000

4. Cuatro personas se asocian: la primera aporta S/.16 durante 7 meses; la segunda S/.18 durante 14 meses y la tercera S/.21 en 1 año y la cuarta S/.14 en un tiempo de medio año. La primera recibe en utilidades S/.27 más que la cuarta. Indicar el monto de las utilidades. a) S/.525 d) S/.560

b) S/.425 e) S/.675

c) S/.450

5. Dos amigos ganaron en un negocio 2500 nuevos soles, el primero puso S/.3000 durante 5 meses y el segundo puso su dinero durante 8 meses. ¿Cuánto puso el segundo, si la ganancia que obtuvo es igual al capital que puso? a) S/.978 d) S/.526

b) S/.879 e) S/.798

c) S/.1125

6. Dos hermanos aportan cada uno 3275 nuevos soles para hacer un negocio por 8 meses, a los 4 meses interviene un amigo aportando una cierta suma de dinero. Si al final del negocio los 3 ganaron lo mismo. ¿Cuál fue el capital que impuso el amigo? a) S/.7505 d) S/.3726

b) S/.3275 e) S/.6550

c) S/.7325

7. Dos industriales ganaron en un negocio S/.12600, el primero pudo S/.3600 durante 5 meses y el segundo puso su dinero 9 meses. ¿Cuánto impuso el segundo si su capital se triplicó? a) 4300 d) 2040

b) 3400 c) 4000 e) Más de 4300

8. Carola ha adquirido 15 acciones preferenciales de una compañía, la compañía tiene un capital constante de 240 acciones preferenciales (a S/.20 cada acción) y 300 acciones comunes (a S/.15 cada acción) si al finalizar la compañía obtuvo una ganancia de S/. 15345. ¿Cuánto ganó Carola? a) S/.400 d) S/.480

b) S/.445 e) S/.495

c) S/.475

39

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Tres socios han aportado 2, 4 y 5 millones de soles durante 8; 6 y 3 meses respectivamente, si la compañía perdió 440000. Hallar con cuánto se quedó el que perdió menos. a) 3880000 c) 4760000 e) 2680000

b) 1920000 d) 4880000

2. "A" forma una empresa con un capital S/.4000 a los 6 meses acepta a un socio "B" el que aporta S/.8000 y luego de 5 meses aceptan un tercer socio "C", el que aporta S/.9000, si después de 2 años 3 meses, de la formación de la empresa, ésta se liquida, encontrándose una pérdida de S/.700. ¿Con cuánto se retira el que sufrió la mayor pérdida? a) S/.8760 c) S/.3820 e) S/.7740

b) S/.7720 d) S/.7760

3. "A" forma un empresa con S/.24000 a los 5 meses acepta un socio "C" el cual aporta S/.15000. Si luego de dos años un mes se liquida la empresa teniendo un monto de liquidación de 51300. ¿Con cuánto se retiró C? a) 14100 c) 15500 e) 13200

b) 8220 d) 15900

4. Dos socios A y B han ganado en un negocio S/.2340 y S/.3996 respectivamente, si entre ambos contribuyeron al negocio con un capital de: S/.14432. Hallar la diferencia entre los capitales que aportaron los dos socios. a) S/.4432 c) S/.3642 e) S/.4434

b) S/.3737 d) S/.3772

5. En una compañía de tres socios, el primero aportó cierto capital durante cierto tiempo, el segundo aportó el 80% de lo que aportó el primero durante un tiempo igual al 80% del tiempo del primero y el tercero aportó el 40%; de lo que aportó el segundo durante un tiempo 60% mayor que el del segundo, si hay que pagar una pérdida. ¿Qué porcentaje le corresponderá al segundo? a) 31,22% d) 40,8%

c) 48,78%

6. Los socios A y B forman una sociedad por 36 meses, A y B aportan S/.1904 cada uno. El socio C pide ingresar al negocio aportando S/.4896 con la condición de que al finalizar la sociedad todos obtengan la misma utilidad. ¿Cuántos meses debe permanecer el socio C en la sociedad? a) 15 d) 12

b) 14 e) 11

c) 13

7. Dos socios A y B aportan 200 y 300 millones de nuevos soles y durante un año explotan una mina que les produce una utilidad bruta de 600%. Si en gastos se invierten los 2/5 de la utilidad bruta. ¿Con qué monto en millones de nuevos soles se retira el socio A? a) 800 d) 720

b) 840 e) 80

c) 920

8. Dos personas A y B forman una compañía. El capital que aporta A es la mitad que el de B, pero el tiempo que permanece A en la compañía es el triple del tiempo que permanece B. Si al repartir utilidades, la diferencia entre la utilidad de A y la de B fue de 40000, hallar la utilidad total de la compañía. a) 240000 d) 200000

40

b) 19,98% e) 26,8%

b) 400000 e) 180000

c) 120000

R REEG GLLA A D DEE TTR REESS CONCEPTO Es un método especial de solución para problemas de magnitudes proporcionales donde intervienen dos ó más magnitudes que se relacionan entre sí. CLASIFICACIÓN DE LA REGLA DE TRES 1. Regla de Tres simple(R3S) En este caso intervienen sólo dos magnitudes proporcionales. Conociéndose 3 valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra magnitud, se debe calcular el cuarto elemento. La regla de tres simple se divide en dos clases: 1.1 Regla de Tres Simple Directa (R3SD) Cuando las magnitudes son proporcionales (D.P) .

*

Método de Solución 1: Método de las Proporciones. a1 b1  a2 x

*

directamente

Método de Solución 2: Método del Aspa.

x a2b1

Aunque griegos y romanos conocían las proporciones no llegaron a aplicarlas a la resolución de los problemas de Reglas de Tres. Leonardo de Pisa lo difundió a principios a principios del siglo XIII, en su “Liber Abacis”, con el nombre de Regla de los Tres Números de Conocidos; Reglas de los Mercaderes; Regla Aurea; y también con el de Regla de los Traficantes.

a1

*

Método de Solución 3:

41

Ejemplo: Sabiendo que de 250 quintales de remolacha pueden extraerse 30 quintales de azúcar; ¿cuántos quintales de azúcar podrán proporcionar 100 quintales de remolacha? Solución: Notamos que a menos remolacha se obtendrá menos azúcar, por lo tanto son magnitudes directamente proporcionales (D.P).

MUJERES MATEMÁTICAS

Por el método del aspa x  100 30  12 quint ales 250

1.2 Regla de Tres simple Inversa (R3SI) Cuando las magnitudes que intervienen inversamente proporcionales(I.P)

*

son

Método de solución 1: Método de las Proporciones a1 x  a2 b1

* Método de solución 2: Método de la Multiplicación Horizontal x

*

Método de solución 3:

42

a1b1 a2

ÉMILIE DE CHATELET (1706 – 1749) Marquesa de Chatelet nació en el seno de una familia ilustre el 17 de diciembre de 1706 en Saint – Jean – en – Greve – Francia. Con diez años ya había estudiado matemáticas y la metafísica; a los 12 sabía inglés, italiano, español y alemán y traducía textos en latín. En un café de París no la dejaron entrar por ser mujer. Estudió a Descartes, Leibniz y a Newton. Escribió las instituciones de la física, libro que contiene el cálculo infinitesimal. Hacia 1745 tradujo los principios de la matemática de Newton.

Ejemplo: Un grupo de 24 excursionistas lleva víveres para 18 días, pero al inicio de la excursión se suman 3 personas más.¿Cuántos días antes se acabarán los víveres? Solución: Se puede notar que a más personas los víveres durarán menos días, por lo tanto se trata de magnitudes inversamente proporcionales.

SOFÍA SONIA KOVALEVSKAYA (1850 – 1888) Nació en Moscú, el 15 de enero del año 1850. gracias a Mittag – Leffer, Sonia pudo trabajar a prueba durante un año en la universidad de Estocolmo. Durante este tiempo Sonia escribió el más importante de sus trabajos, que resolvía algunos de los problemas al que matemáticos famosos habían dedicado grandes esfuerzos para resolverlos, más tarde sería premiada por la Academia de Ciencias de París, en el año 1888.

Por el método 3: x  18. 24 =16 dias 27

Por lo tanto los víveres se acabarán: 18-16=2 días antes 2. Regla de Tres Compuesta(R3C) Es una regla de tres donde intervienen más de dos magnitudes proporcionales. * Métodos de solución Existen varios métodos de solución, en este caso emplearemos el método de nombrar si la magnitud es directamente proporcional(D.P)o inversamente proporcional(I.P) con la magnitud donde se encuentra la incógnita Pasos a seguir: I. Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema. II. En la primera fila se colocan los datos y en la segunda fila los demás datos incluido la incógnita. III. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con cada una de las demás, indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por D.P. y si es inversamente proporcional por I.P. IV. Se despeja la incógnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se forman en cada magnitud, si son I.P. se copia IGUAL y si son D.P. se copia DIFERENTE . Ejemplo: Seis obreros trabajando 16 días de 10 horas diarias pueden asfaltar 1200m de una autopista. ¿Cuántos días emplearán 8 obreros trabajando 8 horas diarias para asfaltar 1600m de la misma autopista? Solución:

43

ACTIVIDADES EN AULA 1. Doce obreros se comprometen a terminar una obra en "d" días pero cuando habían hecho la mitad de la obra, 4 de ellos aumentan su rendimiento en un 50% por lo que toda la obra la terminan en 13 días. Hallar "d". a) 14 d) 17

b) 15 e) 18

b) 16 e) 12

44

a) 6,48 min d) 4,5

b) 18 e) 6

c) 9

c) 16

2. 20 hombres pueden hacer una obra de 800 m2 en 10 días. Al final del cuarto día se les comunica que en realidad la obra era de 1000 m2 y que deben acabar un día antes de lo establecido. ¿Cuántos hombres de la misma capacidad deben contratarse? a) 15 d) 13

3. 3 gatos cazan 6 ratones en 9 min. ¿En cuántos minutos 5 gatos cazarán 5 ratones?

c) 14

4. Un trabajo puede ser hecha por 10 hombres en 15 días. Seis días después de iniciada la obra, 4 de ellos aumentan su eficiencia en 20% y el resto baja en a%. Determinar "a"; si toda la obra se terminó en 16 días. a) 16 d) 30

b) 15 e) 25

c) 20

5. 15 obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros por enfermedad. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? a) 24 d) 30

b) 36 e) 32

c) 28

7. 10 hombres trasladan 45 ladrillos de forma rectangular cuya base es de 6 dm2 con un esfuerzo como 3. ¿Cuántos ladrillos de 9 dm2 de base, pueden ser trasladados por 24 hombres, con un esfuerzo como 4 sabiendo además que los últimos ladrillos tienen el doble de la altura? a) 48 d) 27

6. 24 obreros se comprometen en hacer una obra en 49 días. ¿Cuántos obreros trabajan el último día, si el primer día se empieza con 1 obrero; el segundo día con 2; el tercer día 3 y así sucesivamente hasta concluir la obra? a) 48 d) 64

b) 32 e) 45

c) 54

b) 32 e) 12

c) 64

8. 25 obreros hacen 5 octavos de una obra en 10 días; a partir de ese momento se contratan "n" obreros más cada día, terminándose la obra 2 días antes de la fecha en que terminarían los 25 obreros si hubieran continuado la obra solos. Hallar "n". a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

45

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Ocho obreros pueden realizar una obra en 30 días trabajando 8 horas diarias. Si a los 5 días 3 obreros son despedidos. ¿En cuántos días terminarán la obra los que quedan? a) 20 d) 50

b) 30 e) 60

c) 40

2. Un equipo formado por cinco alumnos tarda 2 horas en resolver 36 problemas. ¿Cuánto tardará otro formado por 3 alumnos en resolver 45 problemas? a) 2 hr d) 2 hr20m

b) 2hr 30m e) 4hr 10 m

c) 1 hr

3. 10 zapateros elaboran 45 zapatos en 9 días. ¿Cuántos zapateros más deberán contratarse y que tengan el doble de eficiencia que los anteriores, de manera que hagan 90 zapatos en sólo 6 días? a) 20 d) 10

b) 15 e) 12

c) 18

4. 300 pantalones de doble costura puede ser cosido por 24 hombres o 32 mujeres en 20 días trabajando 9 h/d. ¿Cuántas mujeres deben reforzar a 21 hombres para coser 200 pantalones de triple costura en 18 días trabajando 8 h/d? a) 10 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

5. 20 peones se demoraron 21 días de 5 horas diarias en sembrar un terreno cuadrado de 20m de lado. ¿Cuántos días de 8 h/d de

trabajo se demorarán en sembrar otro terreno cuadrado de 40 m de lado y una dureza 3 veces más que el terreno anterior, 30 peones doblemente hábiles? a) 70 d) 63

b) 60 e) 42

6. A un empleado por 12 días de trabajo de 10 horas diarias le pagan S/.400. ¿Cuánto le pagarán a otro empleado por trabajar 3 días más; 40% más horas diarias, siendo dos veces más eficiente que el anterior? a) 1600 d) 2100

b) 1400 e) 2540

c) 1850

7. Ocho obreros han hecho una zanja de 3m de largo; 45 cm de ancho y 80 cm. de profundidad en 15 horas; luego se contratan 4 obreros cuya habilidad es la mitad de los anteriores para que entre todos aumenten en 15 cm el ancho y 20cm la profundidad. ¿Cuánto tiempo les toma eso? a) 4 hr d) 8

b) 1 e) 20

c) 10

8. 36 obreros han hecho una zanja de forma cúbica en 20 días. Se desea hacer una ampliación de la zanja de manera que la arista del cubo se duplique. ¿Con cuántos obreros, 50% más eficientes, deben reforzarse para hacer la ampliación en 48 días? a) 46 d) 72

b) 50 e) 38

Esfuérzate por ser cada día mejor.

46

c) 45

c) 69

PORCENTAJE PORCENTAJE 1. DEFINICIÓN Si una cantidad se divide en cien partes iguales, cada parte representa 1/100 del total. Que se puede representar por 1%, al que denominaremos "uno por ciento". Si tomamos 18 partes tendremos 18/100 del total o simplemente 18%. Notación: "r" por ciento= r% = r/100 2. PORCENTAJES NOTABLES * 100% es igual al total * 50% es igual a 50/100 = 1/2 del total * 25% es igual a 25/100 = 1/4 del total * 75% es igual a 75/100 = 3/4 del total * 10% es igual a 10/100 = 1/10 del total * 20% es igual a 20/100 = 1/5 del total 3. CÁLCULO DE PORCENTAJES Para calcular el porcentaje de una cierta cantidad se puede emplear una regla de 3 simple directa. Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje, se considera como el cien por ciento(100%) Ejemplos:

El El saber saber es es la la única propiedad única propiedad que que no no puede puede perderse. perderse.

a) ¿Cuál es el 8% de 9600?

b) ¿Qué porcentaje es 133 de 380 ?

c) ¿De qué cantidad es 520 su 65%?

4. OBSERVACIONES 4.1 Los porcentajes se pueden sumar o restar si son referidos a una misma cantidad.

47

Ejemplos: a. Si una cantidad aumenta en su 18% tendremos ahora el 118% de la cantidad. b. Si una cantidad disminuye en su 21% nos quedará el 100%-21%= 79% de la cantidad. c. Si en una reunión el 42% del total son mujeres, entonces el porcentaje de hombres será 100% - 42% = 58% del total 4.2 Cuando se tenga porcentaje de porcentaje, una forma práctica es convertir cada uno a fracción y luego se efectúa la multiplicación. Ejemplos: a. Calcular el 15% del 20% de 800 15 20   800  24 100 100

b. Calcular el 23,5% del 8% del 36% de 25000 23,5 8 36    25000=169,2 100 100 100

5. APLICACIONES 5.1 Aumentos Sucesivos Entendemos por aumentos sucesivos a aquellos aumentos que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que se va formando. Ejemplo: Si el precio de un televisor es 240 dólares y sufre dos aumentos sucesivos del 20% y 25% respectivamente ¿Cuál será su nuevo precio? Solución : 20

*

1er aumento: 20% de 240 = 100 x 240 = 48 Nuevo precio 240 + 48 =288

*

2do aumento: Observe bien, es el 25% de 288 = 25 100 x 288 = 72

Nuevo precio : 288 + 72 = 360 Aumento Único (AU) Dos aumentos sucesivos del a1 % y a2 % equivalen a un aumento único de

Ejemplo: Dos aumentos sucesivos del 25% y 40% equivalen a un único aumento de :

A.U.  25  40  25 40  75% 100

48

Sin esfuerzo de nuestra Sin esfuerzo de nuestra parte, jamás llegaremos parte, jamás llegaremos a la cumbre de una a la cumbre de una montaña. montaña. No te desanimes a mitad No te desanimes a mitad del camino sigue del camino sigue adelante, porque los adelante, porque los horizontes se tornarán horizontes se tornarán amplios y maravillosos a amplios y maravillosos a medida que vayas medida que vayas subiendo. subiendo. Pero no te engañes, Pero no te engañes, porque sólo alcanzarás la porque sólo alcanzarás la cima de la montaña si cima de la montaña si estás decidido a estás decidido a enfrentar el riesgo del enfrentar el riesgo del camino. camino.

5.2 Descuentos Sucesivos Se entiende por descuentos sucesivos, a aquellos descuentos que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando. Ejemplo: Si al precio de una grabadora que cuesta 300 dólares se le hace dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál será su nuevo precio? Solución : Precio Inicial: 300 * *

1er Descuento: Nuevo precio : 2do Descuento:

20 100 20% de 300 = x 300 = 60

300 - 60 = 240 ¡Cuidado! es el 10% de 240 =

10 100 x 240 = 24

Precio Final: 240 - 24 = 216 Descuento Único(D.U) Dos descuentos sucesivos del d1 % y d2 % equivalen a un único descuento de:

Ejemplo: En las tiendas Wong anuncian descuentos sucesivos del 20% y 20%, en todas las conservas y vinos. ¿A qué descuento único equivalen?.

D.U  20  20 - 20 20  36% 100 5.3 Variaciones Porcentuales Cuando se analiza las variaciones porcentuales, por ejemplo geométricas, se puede asumir un número apropiado a cada elemento geométrico que facilite su cálculo, luego se aplica una regla de tres simple directa, para obtener la variación porcentual equivalente.

Leonhard Euler (1707-1783)

Científico más importante de Suiza y uno de los tres matemáticos más grandes de la época moderna (los otros dos son Gauss y Riemann). Quizá fue el autor más prolífico de todos los tiempos. A pesar de que este notable científico suizo sufrió una ceguera total durante los últimos 17 años de su vida, logró aumentar considerablemente la producción de sus obras, que para entonces era ya prodigiosa. "La "La educación educación es es la la preparación preparación aa la la vida vida completa." completa."

Ejemplos: a) Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% ¿En qué porcentaje aumenta su área?. Solución: Asumimos: * Luego : Lado: L= 10 Área: 102=100

10 20  10 12 100 Nuevo lado =

Nueva Área = 122=144 49

Aumento Porcentual: 144%-100%= 44% b) Un rectángulo aumenta su largo en 20%. Si el área debe disminuir en 28%. ¿En qué porcentaje debe variar su ancho?. Solución: Asumimos : *Luego: "Educar no es dar Largo = 20 Nuevo largo = carrera para vivir, 20 

Ancho= 5 Área = 100

20  20  24 100

sino templar el alma para las dificultades de la vida."

Nuevo ancho = x Nueva Área =

A = L. a 72= 24. x x = 3 (Nuevo ancho) Ancho:

El ancho debe disminuir en 100% - 60% = 40%

EJERCICIOS 1. Calcular el 30% del 12% del 40% de 8000. 5. ¿De qué cantidad es 47 su 20% ? Rpta: ...................................... Rpta: .................................... 2. Calcular el 15% del 25% de 1800

6. Si 428 disminuye en su 25%. ¿Cuál es la nueva cantidad?.

Rpta: ........................................ Rpta: ........................................ 3. Si 150 aumenta en su 32%. ¿Cuál es su nuevo valor?

7. Calcular el 28% de 75 Rpta: ........................................

Rpta: ........................................ 8. ¿Qué porcentaje es 45 de 720? 4. ¿Cuál es el 23 1/3% de 600? Rpta: ........................................ Rpta: ..........................

50

ACTIVIDADES EN AULA 1. Si gastara el 40% del dinero, que tengo y ganará el 30% de lo que me quedaría, perdería S/. 330. ¿Cuántos soles tengo?. a) S/. 1980 d) 1800

b) 1000 e) 2400

c) 1500

3. Una máquina mezcladora de concreto tiene una depreciación de 10% por cada año de uso respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. ¿Si al cabo de 4 años su precio es de 131220 soles. ¿cuál fue su precio original?. a) 100000 d) 52000

2. Se ha mezclado tres sustancias cuyos precios son proporcionales a 1, 5, 12 utilizando de la segunda sustancia un 20% más que de la primera y de la tercera un 40% más que de la segunda, si se sabe que el precio por kilogramo de la mezcla es mayor en S/. 27 que la diferencia de los precios de las dos primeras sustancias. Calcular si gana o pierde; si al vender a un precio fijo, aumentando su costo en 60% y en la venta hace 2 descuentos sucesivos del 25%. a) Gana S/. 5,5 c) Gana S/. 6,5 e) Gana S/. 7,5

b) 200000 e) N.A.

c) 300000

4. Cierta tela al lavarse se encoge el 10% en el ancho y el 20% en el largo. Si se sabe que dicha tela tiene 2m de ancho. ¿Qué área debe comprarse si se necesitan 36m2 de tela después de lavado?. a) 20 m2 d) 40m2

b) 25m2 e) 16m2

c) 30m2

b) Pierde S/. 6,5 d) Pierde S/. 7,5

51

5. Con el dinero que tengo podría comprar cierto número de camisas, pero podría comprar 6 camisas más si al precio de cada camisa se le hiciera dos descuentos sucesivos del 20% y 25%. ¿Cuántas camisas en total podría comprar si al precio de cada camisa, sólo le hicieran un descuento del 10%?. a) 3 d) 4

b) 1 e) 6

c) 2

6. En una granja el 20% son patos, el 45% gallinas y el resto conejos. Si el número de gallinas fuera el doble y el número de conejos fuera el cuádruple. ¿qué tanto por ciento del nuevo total serían los patos?. a) 8% d) 40%

b) 10% e) 25%

c) 20%

7. En una granja: el 50% son patos, el 40% son conejos y el resto son chanchos; se venden el 20% de los patos, el 25% de los conejos y el a% de los chanchos. Hallar "a", sabiendo que el número de conejos que han quedado representa el 40% de los animales que han quedado. a) 40% d) 48%

c) 45%

8. Un comerciante compra una mercadería en una suma determinada para vender incrementa el precio de compra en un r%, después de un mes de ofrecer el producto sin poder vender, hace una rebaja del 20%; pero a su criterio sigue siendo una suma exagerada, entonces hace otra rebaja más el 20% con lo que logra una utilidad de la quinta parte del precio de compra. ¿Cuál es el valor de r?. a) 87,5 d) 60

52

b) 50% e) 36%

b) 75 e) 100

c) 92,5

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

1. Si 20 l de agua contiene 30% de sal. ¿Cuántos litros de agua se deben evaporar para que la nueva solución contenga 75% de sal?. a) 8 l d) 10

b) 12 e) 9

c) 6

2. A una fiesta asisten hombres y mujeres, el 25% son hombres y el resto mujeres. Si se retiran el 40% de los hombres y el 50% de las mujeres. ¿Qué porcentaje de las mujeres que quedan son la de hombres que quedan?. a) 40% d) 30%

b) 80% e) 53%

c) 50%

3. En una reunión los hombres exceden en 50% a las mujeres, si las mujeres aumentan 5%. ¿En qué porcentaje deben aumentar los hombres para que el total de personas aumente 20%?. a) 20% d) 40%

b) 30% e) 45%

c) 50%

4. Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 90% de triunfos en su carrera. Si ha peleado 100 veces, obteniendo 85 triunfos. ¿Cuál es el número mínimo de peleas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retira?. a) 30 d) 60

b) 40 e) 70

5. El presidente de un club ve que por partido, en promedio, un tercio de las entradas, se quedan sin vender. Si las entradas se rebajasen en 30%, todas se venderían. En ese caso:

c) 50

a) La recaudación aumentará b) La recaudación será la misma c) La recaudación disminuirá d) La recaudación aumentará 5% e) La recaudación disminuirá 5% 6. El 5% del peso del agua de mar es sal. ¿Cuántos litros de agua dulce se le debe agregar a 60 litros de agua de mar para que la concentración de sal del 1%?. a) 120 d) 297

b) 180 e) 232

c) 240

7. Un litro de mezcla está formado por 75% de alcohol y 25% de agua, por lo cual pesa 960 gramos. Sabiendo que un litro de agua pesa 1000 gramos, determinar el peso, en gramos, de un litro de mezcla que tiene 15% de alcohol y 85% de agua. a) 974 gr d) 996

b) 968 e) 990

c) 992

8. Al precio de una tela se le hace un descuento del 20%. Luego se hace un descuento del 30% pagando por la tela S/. 3360. ¿Cuál era el precio original de la tela?. a) S/. 8400 d) 5400

b) 6450 e) 6400

c) 6000

53

APLICACIONES APLICACIONES COMERCIALES COMERCIALES 1. PRECIO DE VENTA Al realizar la venta de un artículo, al precio de adquisición se le recarga una cantidad a la que denominamos ganancia, que lo relacionamos así:

Donde : P.V.= precio de venta P.C. = Precio de costo g = Ganancia La ganancia puede expresarse de varias maneras, generalmente es un porcentaje del precio de costo. En algunos casos se menciona como un porcentaje del precio de venta y en otro como una suma de los porcentajes del precio de costo y del precio de venta. Ejemplo 1: El precio de costo de una fotocopiadora es $ 1400. Averiguar el precio de venta si se vende: a) Ganando el 20% del costo b) Ganando el 20% del precio de venta. Solución: a) P.V = ?? P.C = 1400 20  1400 280 100 g=

b) P.V = ?? P.C = 1400 20%P.V  20 P.V 100 g=

P.V = P.C + g P.V = 1400 + 280 P.V = $1680 P.V = P.C +g Þ PV = 1400 + PV PV - PV = 1400 Þ PV = 1400 P.V = $1750

Observe que el precio de costo no cambia y qué no es lo mismo 20% del precio de costo que 20% del precio de venta. Ejemplo 2: Una motocicleta se vendió en $8500 ganándose en esta venta el 36% del costo y el 12% del precio de venta. ¿Cuál fue el precio de costo de la motocicleta?.

54

El El Tanto Tanto por por Ciento Ciento aparece aparece en en las las principales principales obras obras de de aritmética aritmética ee los los escritores escritores italianos italianos del del siglo siglo XV. XV. El El signo signo del del Tanto Tanto por por Ciento Ciento (%) (%) surgió surgió como como una una corrupción corrupción de de la la abreviatura abreviatura de de ciento ciento (Cto.), que se empleaba (Cto.), que se empleaba en en las operaciones las operaciones mercantiles. mercantiles. El El primero primero que que utilizó utilizó el el signo signo tal tal como lo usamos hoy fue como lo usamos hoy fue Delaporte, Delaporte, que que en en 1685 1685 lo lo expuso en su libro “Le expuso en su libro “Le Guide Guide des des Negotien”. Negotien”. (Guía (Guía del Comerciante) del Comerciante)

Solución : P.C = ??

P.V.

P.V = 8500

= P.C + g

8500 =

36 12 PC   8500 100 100 P.C+

g = 36%.P.C +12%P.V

7480 136P.C 100

g  36 PC  12  8500 100 100

P.C = $5500

La formación La formación intelectual requiere intelectual lecciones;requiere la lecciones; la educación moral, educación moral, ejemplos. ejemplos.

NOTA Si al realizar una venta se vende a menor precio del costo, entonces se origina una pérdida equivalente a la diferencia entre estas dos cantidades. La ecuación que los relaciona es:

Donde :

P.V = Precio de venta P.C = Precio de costo p = pérdida

Ejemplo: Al vender una bicicleta en $170 se perdió el 15%. ¿Cuál fue el precio de costo de la bicicleta?. Solución : P.C = ?? P.V = $170

P.V. 170

p

170 85 PC 100

= 15%.P.C (si no se específica se entiende que es el 15% del costo)

= P.C- p = P.C-15%P.C.

P.C = $200

2. Depreciación Es la pérdida de valor que experimenta una máquina con el transcurrir de los años. Se expresa generalmente en un porcentaje anual.

La instrucción es La un instrucción es como capital que como un capital no se gasta nunca que y no se gasta nunca produce siempre, y y produce siempre, y que haciéndonos haciéndonos másque ricos nos hace más ricos nos hace más felices. más felices.

Ejemplo: Un automóvil sufre una depreciación anual del 20%,respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de 2 años su precio es de 15360 dólares. ¿Cuál fue su precio original?. Solución: Como la depreciación anual es del 20%,luego de cada año de uso el auto valdrá el 80% de su valor al iniciar cada año. Precio Original = C 80

Al finalizar el 1er año : 80%.C = 100 Al finalizar el 2do año:

80%de 80 C  80  80 C 100 100 100

80  80 C  15360 100 100 Luego: 16 C  15360 25

C = $24000 55

ACTIVIDADES EN AULA 1.

Un comerciante vende un artículo con una ganancia bruta al 30% del precio de venta. Dicha venta le produjo un costo del 20% de la ganancia bruta. Hallar el precio de costo de dicho artículo si la ganancia neta fue de S/. 2520. a) 7320 d) 7350

b) 7240 e) 7500

c) 7250

2. Un artículo aumenta el precio en un 20% si se cuenta con un mismo dinero para comprar varios artículos del mismo tipo, ¿en qué porcentaje disminuye la cantidad de artículos comprados?. a) 20% d) 15,4%

b) 18% e) 17%

c) 16,%

3. El precio de venta de un artículo aumenta en 25% y luego disminuye en 10% y luego aumenta en 25%. Luego se puede afirmar que el precio final respecto al precio original: a) No se modifica b) Aumenta en 10% c) Aumenta en 40,625% d) Disminuye en 40,625% e) Disminuye en 40%

4. Un comerciante compra mercancía en una fábrica en la cuál le rebajan el 30% del precio de lista, lo lleva a su tienda y le fija un precio pensando que al rebajar el 30% y luego el 10% aún gana el 60% de su inversión. ¿Qué porcentaje del precio de lista es el precio fijado en su tienda?. a) 56,25% d) 177,7%

56

b) 65,25% e) 165,25%

c) 121,6%

5. Un comerciante compró 20 libros y lo vendió ganando el 10%. Luego con el importe de la venta compró 60 revistas y los vende guiando el 15%, luego volvió a comprar 828 cuadernos al precio de S/. 99 la docena. ¿Cuánto cuesta cada libro?. a) 180 d) 450

b) 270 e) 540

b) S/. 125 e) S/. 140

a) 40%(G) d) 5%(P)

b) 1%(G) e) 4%(P)

c) 2,%(P)

c) 360

6. Un comerciante hace un descuento del 15% al precio de un artículo; de modo tal que si hace una rebaja adicional de S/. 20,0 aún ganaría S/. 12. Si el artículo le costó S/. 70. ¿A cuánto ofrecía inicialmente el artículo?. a) S/. 120 d) S/. 135

7. Al vender dos mercancías por el mismo precio, en una se gana el 10% y en la otra se pierde el 10%. ¿En total, cuál es el porcentaje de ganancia o perdida?.

c) S/. 130

8. Un comerciante compró cierto articulo a un mayorista, para venderlo en su tienda lo fijó a un determinado precio, pero al poco tiempo debido a la inflación reajustó dicho precio en un 20%. Al final vendió el artículo efectuando dos descuentos del 5% y 10%. ¿Qué tanto por ciento de la inversión fijó inicialmente el precio del artículo, si obtuvo una ganancia del 14%?. a) 121% d) 121,1%

b) 111,1% e) 131%

c) 111%

57

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

1. ¿Qué tanto por ciento del 40% del 60% del 120% de una cantidad es el 4 por 15 del 72% del 6% de la misma cantidad?. a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

2. Carlos le dice a Pedro entre tu dinero y el mío suman S/. 900 pero si hubieras recibido 30% menos que lo de que te corresponde tendrías lo que yo tendría 20% menos. ¿Cuánto tiene Pedro?. a) 420 d) 540

b) 460 e) 480

c) 430

3. Con el dinero que dispongo puedo comprar un número entero de metros de tela y que si el precio de la tela variase en 10% podría comprar 10 metros más. ¿Cuántos metros en total compraría?. a) 90 d) 80

b) 100 e) 85

c) 110

4. Un texto se ofrece recargándole el "a" por "b" del precio de costo, un alumno TRILCE, obtiene una rebaja del "c" por "b" y lo compra. Si el vendedor no ganó ni perdió. ¿Cuál es el valor de "c"?.

ab a b a) a d) b

ab b) a b

b e) a b

58

a b c) ab

5. Se ahorra 5% si en lugar de comprar un articulo con una rebaja de 50% del 40% de su precio de venta, se compra con una rebaja de S/. 30. ¿Cuánto se pagará por dicho articulo si la rebaja es el 7 por 18 de lo que se pague por el?. a) S/. 95 d) S/. 108

b) S/. 110 e) S/. 75

c) S/. 90

6. El precio de venta de un artículo es S/. 897, el comerciante gana el 15% en esta operación. Si el beneficio neto fue de S/. 97, calcular los gastos que produce la venta. a) 10 d) 50

b) 30 e) 90

c) 20

7. El precio de costo de un artículo es S/. 250. ¿Qué precio se fijó para su venta, sabiendo que si al venderlo se hace dos descuentos sucesivos del 15% y 20%, todavía se está ganando el 44% del 20% del precio de costo?. a) 400 d) 150

b) 300 e) 700

c) 200

8. ¿A cuánto se debe vender un artículo cuyo costo es S/. 100, y se quiere ganar el 20% del costo y aún pagando un impuesto equivalente al 20% del precio de venta?. a) 150 d) 230

b) 180 e) 250

c) 200

INTERÉS INTERÉS Se llama interés o rédito a la cantidad que produce un capital prestado o depositado en una entidad financiera durante cierto tiempo y según una taza fijada previamente. CLASES 1. Interés Simple Ocurre cuando los intereses originados por el capital, en el caso de un depósito, por ejemplo, se retiran en el plazo fijado. Quedando el mismo capital para un siguiente período. 2. Interés Compuesto Esto ocurre cuando los intereses producidos por un capital no se retiran, sino se añaden al capital original, formando un nuevo capital. Se dice en este caso que los intereses se capitalizan. *

Nota.- En este capítulo estudiará el Interés Simple.

El El origen origen del del préstamo préstamo con con interés interés (usura) (usura) es es remoto. remoto. Los Los prestamistas prestamistas de de la la Edad Edad Media Media cobraban cobraban aa los los particulares particulares hasta hasta un un 43% 43% anual; anual; en en las las operaciones operaciones comerciales comerciales el el tipo tipo de interés fluctuaba entre un 12% y un 24% anual. de interés fluctuaba entre un 12% y un 24% anual. Al Al fundarse fundarse lo lo que que puede puede ser ser llamado llamado el el primer primer banco banco en en el el sentido sentido moderno, moderno, en en 1407, 1407, la la “Casa “Casa de de San San Giorgio”, Giorgio”, en en Génova, Génova, el el interés interés bajó bajó aa un un 10% 10% yy menos. menos.

se

Fórmula para calcular el interés simple :

.....................(a)

"Esta fórmula se aplica cuando la tasa de interés(r) y el tiempo (t) están en las mismas unidades" Donde : I c r t

= Interés = Capital = Tasa de Interés = Tiempo

También : t = años

..................... (1) r = anual

59

t = meses

.....................(2) r = anual

t = días

.....................(3) r = anual

Observaciones : 1. En las fórmulas 1,2 y 3, la tasa (r) de interés esta expresada en forma anual, si estuviera expresada en otro período de tiempo, se debe convertir a la tasa anual equivalente. Ejemplo: 10% bimestral = 10 x 6 = 60% anual  Número de bimestres en 1 año 1,5% trimestral = 1,5 x 4 = 6% anual  Número de trimestres en 1 año 8% semestral 4,5% mensual

= 8 x ................... = 4,5 x ................

= ........................ = ........................

anual anual

2. En este capítulo se considera que el año tiene meses de 30 días, todos iguales, es decir : 1 mes = 30 días 1 año = 12 meses = 360 días (año comercial) EJERCICIOS 1. Expresar las siguientes tasas en forma anual a) 15% semestral Rpta.: ................................... b) 8% mensual Rpta.: ...................................

2. Si Alberto depositó 4000 soles en un banco donde la tasa de interés es de 65% anual. ¿Qué interés ganará en 2 años? Rpta. ......................................... 3. Una suma de $ 2500 fue colocada a una tasa de interés del 4,5% mensual. ¿Cuánto ganará en medio año? Rpta. .........................................

c) 1,8% trimestral Rpta.: ...................................

4. Si un capital de 4250 soles se ha convertido en 5270 soles luego de 8 meses. ¿A qué tasa de interés mensual se colocó?.

d) 0,45% bimensual Rpta. ......................................... Rpta.: ...................................

60

ACTIVIDADES EN AULA

13. El 30% de un capital se impone al 3% anual el 25% al 4% anual y un 35% al 6% anual. ¿A qué porcentaje se deberá imponer el resto para obtener en un año un monto igual al 105% del capital?. a) 55% d) 12%

b)5% e)20%

c) 10%

3. La herencia de 2 personas fue valorizada por un total de S/. 12000. Si las cantidades que les corresponde están en la relación de 3 a 5 respectivamente. Dicha herencia fue hipotecada por S/.8 000: la primera persona impone su dinero al 5% y la segunda al 3%. Determinar al cabo de qué tiempo los montos de ambas personas sumaran S/.11000. a) 12 años c) 15 años e) 11 años

2. La quinta parte de un capital prestado bajo una cierta tasa en 13 meses produce un monto de 294800 la cuarta parte de dicho capital a la misma tasa 15 meses produce un monto de S/. 380000. Entonces la octava parte de dicho capital. ¿Qué interés producirá en 12 meses? a)38650 d)23450

b)67890 e)34500

c)34500

b) 10años d) 10 meses

4. Un ahorrista incrementa su capital en anualmente y otro lo disminuye en . Siendo estas cantidades cuadrados perfectos y las menores posibles. Al cabo de cierto tiempo ambos tienen la misma cantidad. Sin embargo al ocurrir lo contrario la diferencia de capitales seria . ¿Cuál es el tiempo en años que necesitan para que ocurran dichos hechos? a) 31 d) 33

b) 32 e) 38

c) 30

61

5. A una persona se le dice: Si impone la quinta parte de su dinero al 8% durante 2 años y lo que queda al 2% durante dos años capitalizable cada año, obtendría un interés total de 1206 soles. Pero dicha persona, impuso todo su capital a interés simple al 5% durante 4 años. ¿Cuánto ganó o perdió por no aceptar la propuesta inicial? a)2544 d)3400

b)3750 e)4500

b) 550 e) 975

a) 200 d) 340

c) 320

c) 600

8. Hallar el menor valor de la tasa de interés que se aplica a 2 capitales que están en la relación de 5/7, sabiendo que durante un año la suma de sus intereses es 1944 y el menor capital posible (entero) es un cuadrado perfecto de 4 cifras. a) 61,3 d) 65,25

62

b) 300 e) 350

c) 2300

6. Ricardo colocó la mitad de su capital al 6%, la tercera parte al 5% y el resto al 4%. Ganando una renta anual de 52 soles ¿cual es este capital? a) 500 d) 650

7. Tres capitales impuestos separadamente al 12,5 % semestral, al 4% bimestral y al 5 % trimestral respectivamente, generan la misma renta. Halle el mayor capital, sabiendo que el menor de los montos producidos en un año es 300 soles.

b) 604 e) 66,12

c) 66,38

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Un capital colocado al 0,35% diario durante 20 meses produjo S/.14472 más que si se hubiera impuesto al 0,45% mensual durante el mismo tiempo. ¿Cuál es el capital?. a) 7200 d) 8100

b) 6000 e) 12000

c) 5400

2. ¿A qué tasa debo imponer mi dinero? sabiendo que tengo S/.1200 y que dentro de 8 meses debo comprar un televisor que actualmente cuesta S/.1400 y que al cabo de dicho tiempo su precio aumenta en un 15%. a) 51,25% d) 81%

b) 60% e) 41%

b) S/. 160 e) s/.250

c) S/. 200

4. Calcular el interés que producirá un capital de S/.N. al cabo de cierto tiempo impuesto al 30%, si se sabe que impuesto al 95% produce S/.44625 mas que impuesto al 80% durante el mismo tiempo. a) S/. 44625 c) S/. 89250 e) S/. 24750

b) 7425 e)8120

c) 7680

6. Un joven ingeniero egresado de la UNI vende su casa ganando 10000 soles y con el dinero obtenido abre una cuenta bajo una tasa de 5% trimestral. Al cabo de un año retira la cuenta, gasta el 20% pagando su maestría y pone el resto en un banco al 2% mensual. Si luego de 2 años sus intereses son 18432 soles, hallar cuánto le costó la casa. a) 30000 c) 500000 e) 230000

b) 480000 d) 600000

c) 54%

3. Se impone un capital al 6% anual, cuatro años y 3 meses después se retira todo y se impone al 80% ¿Cuál era el capital primitivo si la renta anual es de S/. 200.8? a) S/. 100 d) S/.210

a) 9200 d) 8650

b) S/. 89254 d) S/.21000

5. El interés que produce un capital al r % mensual durante 1 año y medio es mayor en 2112 soles al que produce dicho capital al r % anual en el mismo tiempo. Calcular el interés que produce el capital mencionado al r% diario durante 2 meses.

7. Un ahorrista incrementa su capital en S/.1300 anualmente y otro lo disminuye en S/.2800 al cabo de cierto tiempo ambos tienen la misma cantidad de capital, sin embargo si el primero lo disminuye y él segundo lo aumentará en las mismas cantidades y durante él mismo tiempo, la diferencia de capitales seria S/.262400. Calcular cuál es el tiempo en años que necesitan para que ocurran los hechos descritos. a) 4 d) 32

b) 18 e) 64

c) 16

8. Un artefacto que cuesta S/.72500 se desvaloriza uniformemente a razón de S/.2500 al año. Una persona que desea comprarlo deposita S/. 12 500 al 4% de interés simple. Dentro de cuánto tiempo (como mínimo) podrá adquirir dicho artefacto. a) 4 d) 20

b) 18 e) 64

c) 16

63

MEZCLA

Conceptualmente hablando se llama Mezcla a la unión íntima de varias sustancias, aunque comercialmente se puede afirmar que mezcla es el procedimiento que tienen por finalidad reunir artículos o sustancias de una misma especie, tratando de obtener de varios precios diferentes, uno en común para ellos. Comúnmente se presentan dos casos conocidos de la Regla de la Mezcla: Primer Caso: Consiste en determinar el precio medio de la mezcla, conociendo los precios unitarios (calidades) y las proporciones (cantidades) de cada uno de los ingredientes. Ejemplo: ¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta de combinar 36Kg de te a 15 soles el Kg con 22 Kg de te a 12 soles el Kg. y con 42Kg de te a 30 soles el Kg?

Solución :

Si: 100kg cuestan 2064 soles

2064 S/.20,64 1kg costará: 100 En general : Cantidades: C1, C2,...........Cn Precios unitarios: P1, P2, .........Pn

P

C1  P1  C 2  P2  ......... C n  Pn C1  C 2  ......... C n

Es decir:

Segundo Caso: Consiste en hallar las cantidades de cada ingrediente, conociendo el precio medio, los precios unitarios y la cantidad total. 64

Ejemplo: Se mezcla un vino de 43 soles el litro, con otro de 27 soles el litro, resultando en total 128 litros a 32 soles el litro. ¿Qué cantidad se tomó de cada uno? Solución: a lts. de S/. 43

Por dato : a+b = 128

C  P  C 2  P2 P 1 1 C1  C 2 como:

b lts. de S/.27 Reemplazando:

32 a  43  b 27 a b 32a + 32b = 43a +27b 5b = 11a Pero :

a  b 128  a 

*

11a 16a  128  128 5 5

Método del aspa

Se cumple:

a  b  5  11; 128 16 a 5  a 5 5 b 11  a Finalmente:

MEZCLAS ALCOHÓLICAS La pureza o fuerza de un alcohol se mide en grados, que equivale al porcentaje de alcohol presente en la mezcla, siendo el resto agua. Por ejemplo: i) ii)

Un alcohol de 90º, significa que el 90% es alcohol y el resto es agua. Una mezcla alcohólica de 75º, significa que el 75% es alcohol puro y el resto agua. 65

iii) Una mezcla de alcohol puro, tendrá 100º Si tenemos diferentes volúmenes de alcohol (V1,V2,V3......) con diferentes grados de pureza (g1, g2, g3,.......), el grado de pureza de la mezcla se determinará de la siguiente manera:

Ejemplo: Si se mezclaron 18 litros de alcohol de 70º, con 24 litros de alcohol de 80º y 8 litros de alcohol de 90º. ¿Cuál es el grado de la mezcla?. Solución: Tenemos: V1 = 18, g1 =70º V2 = 24, g2 =80º V3 = 8, g3 = 90º

gM 

V1.g1  V2.g2  V3.g3 V1  V2  V3

gM  18(70) 24(80) 8(90) 18 24 8 gM=78º

Ejercicios 1. Si se mezclan 20kg de arroz de S/.3 el kg

3. Si se mezclan 25 litros de alcohol de 80º,

con 30 kg de arroz de S/. 3,50 el kg. ¿Cuál

con 15 litros de alcohol de 72º y 10 litros de

será el precio de 1Kg de esta mezcla?

alcohol de 90º se obtendrá una mezcla de ............grados.

Rpta: ......................................... Rpta: ......................................... 2. En un recipiente se mezclaron 40 litros de vino de S/.8 el litro con 20 litros de vino de

4. Juan Carlos, preparó una mezcla de Ron

S/. 6,50 el litro.¿Cuál es el precio de un litro

para lo cual empleó 1,5 litros de Ron

de esta mezcla?

Pomalca de 80º y 2,5 litros de Ron Pampero de 96º de pureza.¿Cuál es el grado de

Rpta: .........................................

pureza de esta potente mezcla? Rpta: .........................................

66

ACTIVIDADES EN AULA

1. ¿A cómo debo vender cada litro de vino que se obtiene al mezclar 40 litros de S/.2,50 el litro con 30 litros de S/.3,00 el litro y 30 litro de S/.4,00 el litro para no ganar ni perder? a) S/ 3,5 d) S/.3,8

b) S/. 3,2 e) S/. 3,7

c) S/. 3,1

3. Se quiere llenar un tonel con 3 clases de vino de S/.12; S/.14 y S/.15 el litro y un litro de agua por cada 20 litro de vino y por cada litro de S/.12; tres de S/.14 y 16 de S/.15. ¿Cuántos litros de dicha mezcla se deberán tomar, tal que al mezclarse con 63 litros de vino de S/. 22 se obtenga una mezcla que se vendió en S/.20,4 el litro ganando un 2%? a) 21 litros d) 63 litros

2. Se mezclan 48 litros de vino con 64 litros de agua. Se extraen 35 litros de dicha mezcla y se reemplaza por vino, luego se extraen 28 litros de la nueva mezcla y se reemplaza por agua. ¿Cuál es la razón aritmética entre las cantidades de agua y vino obtenidas finalmente? a) 5 d) 20

b) 8 e) 7

c) 10

b) 42 litros e) 32 litros

c) 40 litros

4. Se mezcla 22 kg de café de S/.8 el kg con 33 kg de S/.9 el kg con cierta cantidad de café de S/.5 el kg, vendiéndose la mezcla en S/.8,5 el kg ganando el 20% del precio de venta. Calcule cuántos kg de café de S/.5 se mezcla. a) 55 d) 23

b) 33 e) 44

c) 18

67

5. Una persona luego de mezclar arroz de S/.2,40 y S/.3,20 el kg, se da cuenta que si hubiera vendido el kg a S/.3,00 ganaría S/.10 más que si lo hubiera vendido a S/.2.90 el kg. ¿A qué precio debe fijar el kg de modo que luego de hacerle un descuento del 20% aún gane el 25% de su costo, sabiendo además que tiene 20kg más del arroz de segunda calidad que el de primera? a) 4,40 d) 3,88

b) 3,20 e) 4,50

b) 20 litros e) 40 litros

a) S/.8 d) S/.10,5

c) S/.12

c) 24 litros

8. Un kg de trigo de primera y un kg de trigo de segunda cuestan juntos S/.26. Se mezcla 10kg de primera con 20kg de segunda y se obtienen un precio menor en S/.2 que el que se habría obtenido si se mezclan 20kg de primera con 10kg de segunda. ¿Cuál es el precio de un kg de primera? a) 10 d) 16

68

b) S/.10 e) S/.9

c) 4,25

6. Se han mezclado 45 litros de vino de S/.18 con 27 litros de S/.26. Calcular la cantidad de agua que se debe añadir para que al vender la mezcla en S/.17,50 el litro, se gane el 25%. a) 36 litros d) 32 litros

7. Se mezcla 1 kg de café de S/. 2 con 2kg de café de S/.3, con 3kg de S/.4; hasta un precio unitario máximo de S/.11; si se almacena todo el arroz y se malogra la quinta parte. ¿A qué precio se debe vender lo que queda para ganar el 20%?

b) 12 e) 18

c) 14

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

1. ¿Qué cantidades de café de S/.50 el kg y S/.40 el kg. harán falta para formar una mezcla de 30 kg. de café que se pueda vender a S/.42 el kg sin ganar ni perder? a) 8 y 22 d) 10 y 20

b) 6 y 24 e) N.A.

c) 9 y 21

2. Un comerciante mezcla dos clases de café, una cuesta S/.180 el kg y la otra S/240 el kg; vende 60 kg de está mezcla en S/.14448 y gana el 12% del precio de compra. ¿Qué cantidad de café interviene de cada clase en los 60kg?. a) 25 y 35 d) 20 y 40

b) 15 y 45 e) 22 y 38

c) 18 y 42

3. Se ha mezclado 60 kg de una sustancia “A” de S/.50 el kg con otra “B” cuy peso representa el 25% del peso total y ha obtenido como precio medio S/.47.5. ¿Cuál es el precio del kg de la sustancia “B”? a) 12,.5 d) 40

b) 15 e) 27,5

c) 8,5

4. Se mezcla 15kg de café crudo de S/20 el kg con 35kg de S/.24 el kg y 30 kg de S/.19 el kg. Si al ser tostado el café pierde el 5% de su peso. ¿A cómo se debe vender el kg de café tostado para ganar el 20%? a) S/.27 d) S/.28

b) S/.26 e) S/. 29

c) S/.27.5

5. Un comerciante tiene vino de S/.18 el litro, le agrega una cierta cantidad de agua y obtiene una mezcla de 120 litros que la vende en S/.2070. Si en esta venta gana el 20% del precio de venta?

¿Cuántos litros de agua contiene la mezcla? a) 16 lts. d) 34 lts.

b) 28 lts. e) 48 lts.

c) 40 lts.

6. Calcule el precio de venta de una corona de 18 kilates cuyo peso es de 32g y sabiendo que se ha pagado S/.30 el gramo de oro puro y S/.5 el gramo del metal ordinario, considerando una utilidad del 20% sobre el costo. a) S/.1000 d) S/. 912

b) S/.980 e) S/.810

c) S/.860

7. Si los precios de las sustancias de una mezcla cuyo precio medio es de S/.12, son S/.9; S/.10 y S/.15 respectivamente, se utiliza del componente de mayor precio 24kg. ¿Cuántos kilogramos tendrá la mezcla si la cantidad del primero es a la del segundo como 2 es a 3? a) 50 kg d) 50 kg

b) 62 kg e) 60 kg

c) 54 kg

8. Se mezclan 2 clases de café en la proporción de 1 a 2 y la mezcla se vende con el 5% de beneficio sobre el precio de compra después se mezclan en la proporción de 2 a 1 y se vende con el 10% de beneficio siendo el precio de venta en los 2 casos iguales.- Calcule la relación en que están los precios de compra de los 2 ingredientes. a) 17/23 d) 21/23

b) 19/21 e) 20/23

c) 18/19

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ALEACIÓN ACTIVIDADES EN AULA 1. Se tienen 3 lingotes de oro con leyes: 0,960; 0,760 y 0,93375 respectivamente. Se desea obtener un lingote de 2.45 kg con ley 0,900. ¿Qué peso (gramos) es necesario tomar del segundo lingote, si se impone la condición de emplear 800 gramos del tercero? a) 730 d) 630

b) 830 e) 430

b) 830 e) 430

70

a) 32 d) 45

b) 36 e) 48

c) 40

c) 530

2. Se agregan 1120 g de plata a un lingote que contiene 2 partes de cobre por 7 de plata; al final el peso del cobre es 114/959 del peso de plata. ¿Cuál es el peso (en gramos) del lingote primitivo? a) 730 d) 630

3. Se obtiene 360 g al fundir 2 lingotes cuyas leyes eran 0.850 y 0.760, obteniéndose una aleación de 0.840. ¿Qué peso en gramos de metal no fino tenia el primer lingote?

c) 530

4. Un lingote de oro y plata pesa 2kg. Sumergido en el agua sufre una pérdida de peso de 125 gramos. ¿Cuál es la composición del lingote, sabiendo que los pesos específicos del oro y la plata son 19 y 10.5? Respuesta....................................

5. Se tiene un lingote de 18 kilates y otro de 0.800 de ley, el primero tiene 20g de oro y el segundo tiene 8 gramos de metal de plata y el resto de oro. ¿Cuál es la ley de lingote resultante de la fusión de ambos? a) 0.76 d) 0.79

b) 0.77 e) 0.795

c) 0.78

7. Las leyes de 3 lingotes de planta son: 0.9; 0.8 y 0.72. Si se fundiera el primero con el segundo se obtendría un lingote de 0.84 de ley y si se fundiera el segundo y el tercero se obtendría un lingote de 0.77 de ley. Determinar cuántos kg pesa el segundo lingote si se sabe que la suma de los pesos de los 3 lingotes es 34 kg. a) 3 d) 4.5

6. Se tiene una barra de plata de 0.850 de ley. ¿En qué relación en peso deben quitarse cantidades de plata y cobre de la barra para que no cambie la ley? a) 17/2 d) 15/2

b) 15 e) 17/3

c) 20/17

b) 13 e) 15

c) 3.5

8. Cuando se funde 50 g de oro puro con 450 g de una aleación de oro, se observa que la ley aumenta en 0.02. ¿Cuál es la ley de la aleación primitiva? a) 0.750 d) 0.900

b) 0.800 e) 0.920

c) 0.850

71

ACTIVIDADES DOMICILIARIAS

1. Un inescrupuloso vendedor ambulante mezcla vinos de S/.6 y S/.5 el litro con agua vendiendo el nuevo producto a S/.5.5 el litro. Halle la relación entre los volúmenes de vino, si la cantidad de agua utilizada de vino, si la cantidad de agua utilizada es el 20% de la del vino de S/.5 a) 22/9 d) 18/5

b) 18/7 e) 16/5

c) 16/7

2. En una mezcla de concreto por cada kilogramo de cemento hay 2 de arena y 3 de piedra; en otra mezcla por cada kilogramo de cemento hay 4 de arena y 5 de piedra. ¿Cuántas toneladas de cada una respectivamente hay que utilizar para obtener 56 toneladas de una mezcla que tenga por cada kilogramo de cemento, 3 de arena y 4 de piedra. a) 17 y 33 d) 19 y 34

b) 23 y 36 e) 21 y 35

c) 18 y 32

b) 20k e) 16k

b) 5 e) 8

72

b) 20 e) 22

c) 19

6. Si se funden 50g de oro puro con 450g de una aleación, la ley de la aleación aumenta en 0,02. ¿Cuál es la ley de la aleación primitiva? a) 0,700 d) 0,750

b) 0,860 e) 0,800

c) 0,900

7. A dos recipientes Ay B de alcohol puro se les extrae 1/4 y 1/8 de su volumen respectivamente y eso es reemplazado con 3 5

y

5 7

de estas

mezclas respectivamente y es reemplazado con agua. Luego se quiere saber con cuántos litros de A se deben mezclar 40 litros de B para obtener una mezcla de 28°. a) 55 L d) 45 L

b) 60 L e) 39 L

c) 52 L

c) 22k

4. Se funden 22.5kg de oro puro con 7.5 kg de cobre para formar 15 lingotes iguales. ¿Cuántos de estos lingotes como mínimo se deben fundir con 2.8 kg de cobre para que la liga de esta nueva aleación n sea mayor que 0.375? a) 7 d) 9

a) 16 d) 17

agua. Luego se extrae los

3. Una persona tiene dos sortijas de 14 kilates y 0.875 de ley respectivamente, siendo el peso del primero, el 75% del segundo. Si los lleva a la joyería y le confeccionan una cadena con la aleación de los sortijas. ¿De cuántos kilates resulta la cadena? a) 14k d) 18 k

5. Se tienen 2 cadenas de 14 kilates y 18 kilates, se funden para confeccionar 6 sortijas de 8g cada una. Determine el número de kilates de cada sortija, si la cantidad de cobre de la primera cadena y la cantidad de oro de la segunda cadena están en la relación de 5 a 27?

c) 4

8. A tres recipientes vacíos se les agregan cuyas cantidades están en la relación de 1; 2 y 3 y luego alcohol puro en la relación de 3; 4 y 6 obteniéndose 3 mezclas cuyas cantidades están en la misma cuyas cantidades están en la misma relación que los números 5; 8 y 12. ¿Cuál es la pureza alcohólica de la unión de las mezclas resultantes? a) 47° d) 50°

b) 52° e) 60°

c) 65°