UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO ESFUERZOS DE ORIGEN TERMICO
ING. FERNANDO URRUTIA.
20 12
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO] AMBATO ]
1 de enero de 2012
261.- Una varilla de acero de 150 mm 2 de sección esta sujeta en su extremo a dos puntos fijos, estando estirada con una fuerza total de 5000 N a 20 0C. Calcular el esfuerzo en la varilla a -200C. ¿A que temperatura se anulara el esfuerzo? Sabiendo que α=11.7µm /(m* 0C) y E=200x10 9 N/m2 DATOS ΔT=TF - TO
α=11.7
m/m 0C ΔT= 40OC
E=200x10 9 N/m2 A=150 mm2 SOLUCION
δ
5000 N
δT0
L δ=δT0 + δ AC
∗
∗ ∗ ∗∗
=(α =(α*L*ΔT)+ *L*ΔT)+
Simplificar L
= = = . (α*E*ΔT)+ (α*E*ΔT)+
(11.7 x 10 -6)(200x10 9)(400C) +
δ T= δ AC
∗ ∗
(α*L*Δ *L*ΔT)=
11.7 x 10-6(T – 20)= T=34.240C
1
RESISTENCIA DE MATERIALES
δAC
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO] AMBATO ]
1 de enero de 2012
262.- Una varilla de acero anclada entre dos muros rígidos queda sometida a una tensión de 262.- Una 5000 N a 20 0C. Si el esfuerzo admisible es de 130 MN/m 2, hallar el diámetro mínimo de la varilla para que no se sobrepase aquel al descender la temperatura hasta -20 0C. Suponga que α=11.7µm/(m* 0C) y E= 200 GPa. δ
5000 N
δT0
L δ= δT0+ δ AC
∗
∗ ∗
=(α =(α*L*ΔT)+ *L*ΔT)+
=(α*E*ΔT)+ =(α*E*ΔT)+
130=(11.7 x 10 -6)x(200 x 10 9)x(400) +
. ∗
A=
= 137.36 mm
A=
d=13.22mm
2
RESISTENCIA DE MATERIALES
δAC
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO] AMBATO ]
1 de enero de 2012
263.- Los rieles de una vía férrea, de 10 m de longitud, se colocan a una temperatura de 15 0C 263.- Los con una holgura de 3mm. ¿A que temperatura quedaran a tope? Calcular el esfuerzo que adquirirían a esta temperatura si no existiera la holgura señalada. Sabiendo que α=11.7µm/(m* 0C) y E=200 GPa. δ=3 mm
10 m δT0= 3mm δT0= (α)x(L)x(ΔT) (α)x(L)x(ΔT) 3 = (11.7x10-6)x(10x10 3)x(T-15) T=40.64 0C
δ= δT0
=(α =(α)x(L)x(Δ )x(L)x(ΔT)
σ=(α)x(E)x(ΔT) (α)x(E)x(ΔT) σ=(α)x(E)x(T (α)x(E)x(T – T0) σ=(11.7x10 -6)x(200x10 9)x(40.64 – 15) σ=60MPa
3
RESISTENCIA DE MATERIALES
δT0=3 mm
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
264.- Una llanta de acero de 10 mm de espesor y 75 mm de ancho se coloca sobre una rueda motriz de locomotora a 90 0C, temperatura a la cual encaja perfectamente sobre la rueda, que esta a 200C. Determinar la presión de contacto entre ambas ruedas al descender la temperatura común a -200C. Despreciar la deformación de la rueda producida por la presión de contacto α=11.7µm/(m* 0C) y E=200 x 10 9 N/m2.
δ=δT0
t=10mm
=(α)x(L)x(ΔT)
σ=(α)x(ΔT)x(E)
1800mm
σ =(11.7x10-6)x(90-20)x(200x10 9) σ =163.8 MN/m 2
Sabiendo que σ =
..
t=10mm
; P=presión
P= P=
P=1.82 MPa
4
RESISTENCIA DE MATERIALES
10mm 75mm
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
265.- Un aro de bronce de 200 mm de espesor cuyo diámetro interior es de 600 mm se coloca perfectamente ajustado sobre otro de acero de 15 mm de espesor, a una temperatura común de 1300C. El ancho, igual para lo dos, es de 100 mm. Determinar la presión de contacto entre ambos aros cuando la temperatura descienda hasta 200C. Despreciar el hecho de que el aro interior pueda abollarse por pandeo. Sabiendo que α acero=11.7µm/(m* 0C) y Eacero=200 GPa. αBronce=19µm/(m* 0C) y EBronce=83 GPa. DATOS. Bronce
Rexterno=320 mm Rinterno=300 mm Rmedio=310 mm
Espesorbr= 20mm φinterior.br= 600 mm anchobr=100 mm Ebr=83 GPa α=19 µm/(m* 0C)
100 mm
Acero
EspesorAC= 15mm anchoac=100 mm Eac=83 GPa α=11.7 µm/(m* 0C)
Rexterno=300 mm Rinterno=285 mm Rmedio=292.5 mm
ΔT=1300 - 200
100 mm
ΔT = 1100 SOLUCION
El acero se contrae sin oposición, a diferencia del bronce que tiene oposición por el acero al contraerse.
δT0 + δac = δT0 – δbr (rac x αac x ΔT) + (
.
= (rbr x αbr x ΔT) - (
((307.5x10 -3)x(11.7x10 -6)x(110))+(
(
)
)
) =((310x10-3)x(19x10-6)x(110))-
3.9575x10 -4 + 3.15x10 -11P = 6.479X10 -4 – 5.789X10 -11P 8.939x10 -11P=2.5215X10 -4 P=2.82 MPa.
5
RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
266.- A una temperatura de 20 0C se coloca una plancha rígida que tiene una masa de 55 Mg sobre dos varillas de bronce y una de acero, como se indica en la figura. ¿A que temperatura quedara descargada la varilla de acero? Datos: ACERO: A=6000mm2 α=11.7µm/(m* 0C) y E=200 x 10 9 N/m2. BRONCE: A=6000mm 2 α=19.0µm/(m* 0C) y E=83 x 10 9 N/m2.
Del grafico podemos sacar una condición con la relación de equilibrio
= ∗ ∗. =.
Si decimos que para que se descargue el acero (las varillas de bronce crezcan más q el acero) sugerimos q las deformaciones sean iguales según la teoría de que dice que sea libre (se considera una estructura descargada y sin ligaduras)
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RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
= = = ..∆ =..∆ ∆= ∗ [ ] ∆=. ∆=.
Aplicamos las relaciones conocidas
Despejamos
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RESISTENCIA DE MATERIALES
1 de enero de 2012
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
∆
267.- A una temperatura de 200C hay un claro = 0.2 mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rigida suspendida de las dos barras de acero, según se muestra en la figura. Despreciando la masa de la losa, determine el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto de eleva a 100 0 C. Para la barra de bronce, A=600mm 2 α=18.9µm/(m* 0C) y E=83 x 10 9 N/m2. Para cada barra de acero A=400mm 2 α=11.7 µm/(m* 0C) y E=200 x 109 N/m2.
Como sabemos si la temperatura aumenta los materiales se dilatan (y se le toma una estructura descargada y sin ligadura) ACERO
=..∆ = = =.=..∆.∆ =∗ ∗.∗() =.
Como la deformación es la misma dada q la parcial es igual a la total en este caso
8
RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
BRONCE
=..∆ =.∗− . ∗.∗ ∗. =. =. ∗− . ∗− ∗ =.
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RESISTENCIA DE MATERIALES
1 de enero de 2012
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
268.- Un cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados, se aseguran entre dos placas rígidas que se pueden apretar mediante dos tornillos de acero, como se observa en la figura. A 10 0C no existen fuerzas axiales en conjunto del dispositivo. Determinar las tensiones en cada material a 90 0 C, con los siguientes datos: ALUMINIO: A=1200mm 2 α=23µm/(m* 0C) y E=70 x 109 N/m2.
BRONCE: A=1800mm 2 α=19.0µm/(m* 0C) y E=83 x 109 N/m2. CADA TORNILLO: A=500mm2 α=11.7µm/(m* 0C) y E=200 x 109 N/m2.
20 mm
70 mm
100 mm
Aluminio
DATOS:
=10 =90 ℃ Δ=80 ℃
Bronce
=? =? =?
=1200 []
ALUMINIO
20 mm
=1800 []
BRONCE
=1200 []
TORNILLOS
=70×10 [⁄] =83×10 [⁄] =70×10 [⁄ ] ⁄ ] =19.0 [ ℃ ⁄ ] =23 [ ℃ =23 [ ℃ ⁄ ] 10
RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
El árbol (eje), al estar sometido a un cambio de temperatura y por estar entre las dos placas apretadas mediante los tornillos, sufre un cambio en su longitud y una presión entre la placa.
De tal manera que tenemos que:
= La deformación lineal del Al y del Br es igual a la deformación producida por las cargas en el Al y Br. De donde:
= ∙ ∙ Δ = ∙∙ ∙ ∙ Δ ∙ ∙ Δ = ∙ ∙ ∙ ∙ Δ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙∙ ∙∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Δ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙∙∙ ∙Δ∙∙ ∙ ∙ ∙ − − − − − [ ] [ ] 1 2 ×10 7 ×10 1 8 ×10 8 3×10 8 0 ∙ 2 3 ×10 7 5×10 1 9 ×10 0 . 1 = [ 75×10−−18 ×10−83×100.112 ×10−7 ×10] ∙3.625×10 = 1.0039 ×1019.605×10 =185.62 ×10[] Resolviendo la ecuación con los datos del Al y del Br.
Determinado el valor de P podemos calcular los esfuerzos de cada material. Los tronillos también sufren las mismas condiciones que los dos materiales y entonces tenemos que:
=
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RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
= 185. 6 2 ×10 = 1200 [2[]] =.
De donde:
1 de enero de 2012
= ×10 185. 6 2 = 1800 [2[]] =.
∙ ∙ Δ = ∙ ∙ =11.7 ×10− ∙ 200 ×10 ∙80 =. ∙ ∙ Δ = =
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RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
269.- Resuelva el problema a anterior suponiendo que hay un claro de 0.05 mm entre el extremo derecho del cilindro de bronce y la placa rígida a 10 0C.
20 mm
70 mm
Aluminio
100 mm
20 mm
Bronce
Estática
Σ=0
=2 = 0.05×10− =− == 0.=05×10 ∙ ∙=Δ = ∙∙ ∙ ∙ Δ ∙ ∙ ∙ ∙ Δ ∙ ∙ 5×105 = ∙ ∙ Δ ∙ ∙ ∙Δ ∙ ∙ ∙ ∙5×105 = ∙ ∙ Δ ∙ ∙ 23 ×10675×103 19 ×1060.1 ∙ 80 7×102∙101.0.0275×103 83×102∙91.0.81×103 3 0. 5 175×10 5 6 3 5×10 = 11.7 ×10 175×10 ∙80 500×106200×10 9 Las deformaciones lineales serán:
De tal manera que tenemos que:
De donde:
Resolviendo la ecuación:
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RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
×10448.1.755×102 ×10104 6.69 ×1010 0.05 ×103 1.38 ×104 =8.1.9634×10
6.868 ×10103 =1.762×104 =256.55×10
Determinado el valor de F de la ecuación de la estática:
= 2 256. 5 5×10 = 2 [] = .×[] = = = 256. 5 5×10 = 1200 [2[]] = 256.180055×10[2[]] = 128.50027×10[2][] =154.68 =103.12 =256.54 =. =. =.
De donde podemos calcular los esfuerzos de cada material:
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RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
270.- Un cilindro de acero esta dentro de un manguito de bronce, ambos de la misma longitud, y los dos juntos soportan una fuerza vertical de compresión de 250 kN que se aplica por intermedio de una placa de apoyo horizontal. Determinar: a.-) La variación de temperatura con la que el acero queda totalmente descargado. b.-) La que descarga por completo al bronce. Datos ACERO: A=7200mm 2, α=11.7µm/(m* 0C) y E=200 GPa. BRONCE: A=12 x 103 mm2, α=19.0 µm/(m* 0C), E=836 Pa y E=83 GPa.
250 kN
Bronce
Bronce Aluminio
δBr =δ δBr ∗ αBr ∗ LBr ∗ ΔT= ∗ α ∗ L ∗ ΔT αBr ∗ LBr ∗ ΔT α ∗ L ∗ ΔT = EBrPBrABr LBr =L P∗ L LBr ∗ ΔT αBr α = EBr ∗ABrBr ΔT= EBr ∗ABrP BrαBr α 250∗10 ΔT= 12∗10−83∗1019∗10− 11,7 ∗10− ΔT=34,38°C 15
RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
= ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ∗ 250∗10 = 7200∗10−2∗10 11,7 ∗10− 19∗10− =34,38°
1 de enero de 2012
La variación de temperatura para el literal a tiene signo positivo debido a que la carga aplicada actúa directamente con el manguito de bronce, para este caso suponemos que el maguito es de mayor longitud que la barra de acero, el signo negativo de la variación de temperatura para el caso b se debe a que en este literal suponemos que la barra de acero es de mayor longitud que el del manguito.
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RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
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271.- Un manguito de bronce se monta sobre un tornillo de acero y se sujeta mediante una tuerca. Calcule el cambio de temperatura que causara que el esfuerzo en el bronce sea de 20 MPa. Para el tornillo de acero, A=450mm2, α=11.7µm/(m* 0C) y E=200 GPa. Para el manguito de bronce, A=900mm2, α=19.0µm/(m* 0C) y E=83 GPa.
= = ∗ ∗ − = 20∗10 900∗10 = 18∗10 = ∗ ∗ = ∗ ∗ + + ∗ ∗ ∗ ∗ = = ∗ = 18∗10 20∗10 − − 19∗10 11,7 ∗10 =450∗10−200∗10 83∗10900∗10− 7,3∗10−=4,409∗10− = 60,4°
Para hacer valido el valor del bronce primero procedemos a encontrar la carga que se aplica tanto al manguito como al tornillo, pues en este casi se supone que todo el conjunto tiene la misma longitud, obteniendo al final una variación de temperatura positiva pues las deformaciones del bronce es mayor q las del acero.
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RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
272.- En el caso del problema 271 suponga que la tuerca aprieta para producir un esfuerzo inicial de 15 x 106 N/m2 en el manguito. Halle el esfuerzo en este último después de un aumento de temperatura de 700C. δTBT = δ0BT +δTa +δPa +δBT α BT L BT ∆T =
Pa BL BB
+ αa La ∆T +
+
σOBT
(19X10-6)(70)=
+(11.7 X10 -6)(70)+
1.33 X 10-3 =1.807 X 10 -4 +8.19 X 10-9 P +1.338 x10 -8 P 2.448 x 10 -8 P = 3.303 X 10 -4 PBT= 13.5 X 10 -4 PMang= 2PBT PMang= 27 x 103 N σMang = σMang =
σMang =30 MPa
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RESISTENCIA DE MATERIALES
+
1 de enero de 2012
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
273.- La barra compuesta de la figura esta firmemente sujeta a soportes indeformables. Se aplica una fuerza axial P=200 kN a una temperatura de 20 0 C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60 0 C. α=11.7µm/(m* 0C) para el acero y 23.0µm/(m* 0C) para el aluminio.
200 mm
300 mm P
Aluminio.
Acero. E=200 x 109 N/m2 A=1200 mm2
E=70 x 109 N/m2 A=900 mm2
300mm 200mm
P= 200 kN
R1
R2
P
∑Fx=0
P-R1-R2=0
1
δT = 0 δpAL +δPA =0
− 2 [ −( )] +
+
=0
= 0
R1(3.17 X 10-9) +R1(1.25 X 10-9)-2.5 X 10-4 =0
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RESISTENCIA DE MATERIALES
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[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO] R1=56.56 X 10 3 N Remplazo R1 en1 R2=143,44 x 10 3N R3
R3
δPAL
δPA
δTA +δTAL =δPA +δPAL
3
∆T (αA LA + αAL LAL )=
+
40[(11.7 x 10-6)(300 x 10-3) + (23 x 10 -6)(200 x 10-3)] = 3.244 x 10 -4 =
+
+
3.244 x 10 -4 = R3 (14.25 X 10-9) + R3(3.17 X 10 -9) R3=73.31 X 10 3 N R1
R2
P=200 k N R3
R3
.
σAL =
σAL = 144.3 MPa
20
RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
274.- En el problema anterior, ¿A que temperatura alcanzara el esfuerzo en el aluminio y el acero el mismo valor numérico?
200 mm
300 mm P
Aluminio.
Acero.
E=70 x 109 N/m2 A=900 mm2
E=200 x 109 N/m2 A=1200 mm2
Realizamos sumatoria de fuerzas en X
R1
R2
P
Aluminio.
Acero.
δal + δac = 0
ΣFx=0
− ( ) −
P-R1-R2=0 Ecuación 1
+
= 0
+
=0
Remplazar R1 en ecuacion1 R2= 143.44 x 103N
3.17x10-9 R1 + 1.25x10-9R1 – 2.5x10-4= 0 R1=56.56x103 N
δac
δal
R3
R3 δTal
Aluminio.
δTac
Acero.
Del grafico anterior se deduce que
δTac0 + δTal0 = δac + δal
ΔT(αacLac + αalLal) =
21
+
RESISTENCIA DE MATERIALES
Ecuación 2
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
Obtenemos el valor de R 3 sabiendo que:
− + . − +. σac = σal
=
=
119.53X106 – 833.33R3 = 1111.11R3 + 62.84x106 56.69x106=1944.44R3 R3=29.15x103
Remplazar R3 en ecuación 2 para obtener el valor de ΔT
ΔT(αacLac + αalLal) = ΔT=15.89 0 C
22
+
RESISTENCIA DE MATERIALES
1 de enero de 2012
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
275.- Una varilla esta formada por los tres segmentos que indica la figura. Si las fuerzas axiales P 1 y P2 son nulas, determinar los esfuerzos en cada material al descender la temperatura 30 0C en los casos siguientes: a.-) Los soportes no se mueven en absoluto. b.-) Los soportes ceden 0.300 mm. α=18.9µm/(m* 0C) para el bronce, α=23.0µm/(m* 0C) para el
aluminio, α=11.7µm/(m* 0C) para el acero.
800 mm
400 mm
500 mm
P1 Bronce A=2400 mm2 E=83x109 N/m2
P2 Aluminio A=1200 mm2 E=70x109 N/m2
Acero A=600 mm2 E=200x109 N/m2
SOLUCION δbr
δal
δac
P P1 Bronce
P2 δT0br
Aluminio
δT0al
δT0ac
Acero
Para la solución “a” empleamos una ecuación igualando las deformaciones producidas por temperatura y por las fuerzas externas. δac+δal+ δbr=δT0ac+ δT0al+ δT0br
(11.7x10-6)(0.4)(-30)+(23x10-6)(0.5)(-30)+(18.9x10-6)(0.8)(-30)=
. . . +
+
9.39x10-4=1.329x10-8P P=70.6 KN.
Determinamos los respectivos esfuerzos que se producen en cada material. Para el bronce.
σ=
σbr=29.4MPa
23
RESISTENCIA DE MATERIALES
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1 de enero de 2012
Para el aluminio. σ=
σal=58.8 MPa
Para el acero. σ=
σac=118 MPa
Para solucionar el literal “b” realizamos el mismo procedimiento, tomando en cuenta que los soportes ceden 0.300 mm. δac+δal+ δbr=δT0ac+ δT0al+ δT0br+0.3x10 -3 9.39x10-4=1.329x10 -8P + 0.3x10 -3 P=48KN
Aplicamos en la formula de esfuerzo el valor encontrado de P y se obtiene el σ respectivo para cada material. Para el bronce
σbr=
σbr=20 MPa
Para el aluminio σal=
σal=40 MPa
Para el acero σbr=
σac=80 MPa
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RESISTENCIA DE MATERIALES
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276.- Resolver el problema anterior su P1 y P2 son de 50 kN y los apoyos ceden 0.30 mm al descender la temperatura 50 0C.
800 mm
500 mm
50 kN Bronce A=2400 mm2 E=83x109 N/m2
25
RESISTENCIA DE MATERIALES
400 mm
50 kN Aluminio A=1200 mm2 E=70x109 N/m2
Acero A=600 mm2 E=200x109 N/m2
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1 de enero de 2012
277.- La barra rígida AB articulada mediante un perno en O y conectada a dos varillas según se muestra en la figura. Si la barra AB se mantiene en posición horizontal a determinada temperatura, calcule la relación de áreas de las varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Desprecie la masa de la barra AB.
3m
4m
Acero E=200GPa
Aluminio E=70GPa
α=11.7µm/(m* 0C)
L=8m
α=23.0µm/(m* 0C)
L=8m SOLUCION
3m
4m
Fac
Fal
Por condiciones que nos presenta el problema sabemos que:
(Fac)(4) = (Fal)(3)
=
Ecuación 1
La deformación ejercida por la temperatura y la deformación ejercida por la fuerza debe ser igual en cada varilla de acero y aluminio respectivamente para que estas se mantengan en equilibrio y la barra este horizontal. δT0al = δal
δT0ac = δac
(αac)(Lac)(ΔT)=
Fal= (αal)(Eal)(Aal)(ΔT)
Fac= (αac)(Eac)(Aac)(ΔT)
Remplazamos Fal y Fac en la ecuación 1. =
26
(αal)(Lal)(ΔT)=
RESISTENCIA DE MATERIALES
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. =
3((αal)(Eal)(Aal)(ΔT))=4((αac)(Eac)(Aac)(ΔT)) = =
= 0.52
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RESISTENCIA DE MATERIALES
1 de enero de 2012
1 de enero de 2012
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278.- Una barra rígida horizontal de masa despreciable esta conectada a dos varillas según se muestra en la figura. Si el sistema esta originalmente libre de esfuerzos, determine el cambio de temperatura que causara un esfuerzo de tensión de 60 MPa en la varilla de acero.
Acero 3 m A=900 mm2 E=200 GPa
O 2m
α=11.7µm/(m* 0C)
3m
2m
Bronce A=1200 mm2 E=83 GPa α=18.9µm/(m* 0C)
Realizamos sumatoria de momentos respecto al puto O. ΣMO=0
5Pac –2Pbr=0 5(σac)(Aac)-2(σbr)(Abr)=0 5(60x106)(900x10-6)-2(σbr)(1200x10-8)=0 σbr=112.5
MPa
Del siguiente grafico se puede decir que
()−− =
δac δbr δT0ac
δT0br
O 5m
Procedemos a encontrar la variación de temperatura aplicando la formula que se obtuvo del grafico anterior.
()−− =
28
RESISTENCIA DE MATERIALES
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
∆−() ∆− ∆−() ∆− ∆ } ∆ } ∆
1 de enero de 2012
=
=
2{
= 5{
2{[(11.7x10 -9)(3)( [(7.02x10 -5)
∆ ∆
(-1.188x10 -4)
∆
] – [
(60x10 6)]} = 5{[(18.9)(2)(
– 1.8x10-3]= [(1.89x10-4) = -0.01175
= 98.905 0
29
RESISTENCIA DE MATERIALES
∆
– 0.01355]
∆
] – [
(112.5x10 6)]}
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
279.- Para el conjunto mostrado en la figura, determine el esfuerzo en cada una de las dos varillas verticales si la temperatura se eleva 400C después que se aplica la carga P=50kN. Desprecie la deformación y la masa de la barra horizontal AB
I) Considerando solo la acción de P=50KN.
Equilibrio en la gráfica:
∑=0 =0 30
Ecuación (1)
RESISTENCIA DE MATERIALES
∑ =0 3 6 9=0
Ecuación (2)
En la grafica:
3 = 6 2 = Ecuación 3
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
En Ecuación 3:
2 = 3 9 5 0010 3 6 290010−7010 =60010−200104 Reemplazo Ecuación 2 en Ecuación 3:
Despejando tenemos:
=22,410 =63,810 =36,210
Reemplazo en Ecuación (2):
Reemplazo en Ecuación (1):
II) Considerando que solo actúa
∆=40°
.
Equilibrio En la gráfica:
∑=0 ′=0
(4)
∑ =0 3 6 =0 = 6
(5)
De la grafica definimos:
31
RESISTENCIA DE MATERIALES
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1 de enero de 2012
= 7 2 = 2 2∆ = ∆— Reemplazo 6 y 7 en 3:
Reemplazo en 5:
22310−340 90010−37010 = 11,710−440 260010−420010
=32,6310 =16,3110 =48,910
Despejando
tenemos:
Reemplazo en 5:
Reemplazo en 4:
Sumando los 2 estados:
5510− = 90010 =61,11 32
RESISTENCIA DE MATERIALES
80,110− = 60010 =133,5
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
280.- Los extremos inferiores de las tres varillas de acero de la figura están al mismo nivel antes de aplicar la fuerza de 600 kN. Las tres varillas tienen la misma sección, A=2000 mm 2, α=11.7µm/(m* 0C), y E=200 x10 9 N/m2. Determinar la relación entre la fuerza en la varilla C y el cambio de temperatura T medido en grados Celsius, despreciando la masa de la placa rígida.
∆
Equilibrio en la figura:
∑ =0 =60010 =60010 Despejo
:
∑ =0 4 6 =360010 = 1.8104 6 =45010 1.5 Ecuación 2 =6001045010 1.5 =60010 45010 1. 5 =15010 0.5 Despejo
Ecuación (a)
Reemplazo Ecuación (2) en Ecuación (a):
(1)
33
RESISTENCIA DE MATERIALES
:
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1 de enero de 2012
Por triángulos en la figura:
+4 + = +6 + ∆4 ∆ = ∆6 ∆ 3 6 ∆6 ∆=4 ∆4 ∆
Remplazo Ecuación (1) y Ecuación (2) en Ecuación (3):
6 ∆6 ∆=4 ∆4 ∆
Su Área y modulo de elasticidad es el mismo entonces:
∆ ∆ ∆ ∆ 6 6 =4 4 6 ∆6 ∆=4 ∆4 ∆ 6 6∆6 ∆=4 ∆4 ∆ ∆T 6∆6∆4∆4∆=4 4 6 6 ∆6 6 4 4=4 4 6 6 ∆6 2 4 =4 2 6
Ubicamos todos los términos que tengan la variable
34
en el primer miembro de la ecuación:
Sacamos factor común:
Simplificamos términos semejantes:
RESISTENCIA DE MATERIALES
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1 de enero de 2012
Remplazo los datos:
200010−20010− 11,710 −∆[662546]=4 62566 200010 20010 11,710−∆[361024] =24 10 36
∆200010−2001011,710−[361024]=24 1015010 0.5 3645010 1.5
Remplazo (1) y (2) en la ecuación para tenerla en función de
Simplificamos la ecuación :
9360∆=24 1.510 5 16.210 54 14.710 9360∆=83 Despejamos
:
= 14.710 839360∆
=177.110 112.77∆
35
RESISTENCIA DE MATERIALES
:
1 de enero de 2012
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281.- Como se observa en la figura, cuatro barras de acero soportan una masa de 15Mg. Cada barra tiene una sección de 600 mm 2. Determinar la fuerza de tensión en cada barra después de un incremento de temperatura de 500C. α=11.7µm/m* 0C) y E=200 x 10 9 N/m2.
B
C
600
A
D 150
150
15 Mg
DATOS
4 barras de acero A=600x10-6m2 E=200x109Pa
≅ ≅
Es importante saber que: A=D 1 y B=C 2 Puesto que tienen el mismo ángulo.
∆
α=11.7µm/m
T=500C
SOLUCION
L2
L2 L1
L1 h 60 45 δ1
Obtenemos el valor de L1 igualando “h”
36
RESISTENCIA DE MATERIALES
0
δ1
δ2
0
δ
δ2
h=(L1)Sen450 h=(L2)Sen600 h=h (L1)Sen450=(L2)Sen600 L1=1.2247 L2
[UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO]
1 de enero de 2012
Con los ángulos existentes sacamos el valor de δ 1 δ1=δ(Sen450) δ2=δ(Sen600)
SSe e =
δ1=0.8165δ2
Con la relación δ1=0.8165δ 2 remplazamos δ=δ+ δ T0
{0.8165[ ∆0.8165[ 0.8165 ∆ 11 0.8165 22 1]1 {0.8165 2]}2 1]1]1.2247 L22]0.8165 2]}2 δ1=0.8165δ 2 1}=
2]}
{[(α)(L)( T)+
{(11.7x10-6)(L1)(50)+
}={
{
]1}={
]2}
(11.7x10-6)(L2)(50)+
70200L1+ = [70200L2+ ] factor común L1 Y L2 respectivamente. [70200+ = [70200L2+ Remplazamos L1=1.2247 L2 y Simplificamos L 2 [70200L1+ ={ [70200+ 1.5[70200+ =[70200L2+ P2=1.5P1+35100
[(α)(L)( T)+
Sacamos
Ecuacion 1
Efectuamos sumatoria de fuerzas en Y. ΣFy=0
P2
P2
P1
P1 600 450
15(9.8)kN
2(P1Sen450)+2(P2Sen600)=147kN(1000) - Factor comun 2. (P1Sen450)+(P2Sen600)=73500N - Sabiendo que P2=1.5P1+35100 (P1Sen450)+(1.299P1+30397.49)=73500N P1(2.0061)=42177.51 P1=21024.63N= 21.025KN
Remplazando P1 en la ecuación 1. P2=1.5P1+35100 P2=66636.945N= 66.637kN
La tensión en cada barra después de un incremento de temperatura de 500C es de: P A=PD=21.025kN PB=PC=66.637kN
37
RESISTENCIA DE MATERIALES
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282.- Resolver el problema anterior si A y D son de acero y B y C, de aluminio. Para este metal α=23.0µm/(m* 0C) y E=200 x 10 9 N/m2.
B A
60
C
0
D 150
150
15 Mg
DATOS
2 barras de acero A=600x10-6m2 E=200x109Pa
2 barras de aluminio A=600x10-6m2 E=200x109Pa
∆
α=23.0µm/m
≅
∆
α=11.7µm/m
T=500C
≅
Es importante saber que: A=D 1(Acero) y B=C 2(Aluminio) Puesto que tienen el mismo ángulo.
T=500C
SOLUCION
L2
L2 L1
L1 h 600 450 δ1
δ1
δ2
Obtenemos el valor de L1 igualando “h”
h=(L1)Sen45 0 h=(L2)Sen60 0 38
h=h RESISTENCIA DE MATERIALES (L1)Sen450=(L2)Sen600 L1=1.2247 L2
δ2
δ
