4º TRIGONOMETRIA - PITAGORAS

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de : M M M

Diferenciar el ángulo trigonométrico, medirlo en los tres sistemas conocidos. Conocer las principales unidades de medición angular. Aplicar las diferentes equivalencias entre sistemas de conversión.

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial, hasta una posición final.

! RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS g

360° < > 400 < > 2ð rad

g

90° < > 100 < > ! SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Son aquellos sistemas que nos permiten representar y medir a los ángulos trigonométricos. Los sistemas convencionales son el sistema sexagesimal (inglés); centesimal (francés), radial (circular).

!

rad !

CONVERSIÓN ENTRE LOS SISTEMAS

SISTEMA SEXAGESIMAL Unidad de medida: Grado sexagesimal (1°)

I.

MÉTODO DEL FACTOR DE CONVERSIÓN: Se utiliza la relación:

! SUB UNIDADES 1° < > 60' 1' < > 60° ! 1° < > 3 600°

Donde: ;

SISTEMA CENTESIMAL g Unidad de medida: Grado centesimal (1 )

;

; ..........

Ejemplos: I. Convertir 54° al sistema radial g

80 < > 54° .

!

54° < >

rad

II. Convertir 80° al sistema radial SUB UNIDADES g m 1 < > 100 g s 1 < > 100 g s ! 1 < > 10 000

g

80 < > 80° .

g

80 < >

rad

III. Convertir 63° al sistema centesimal

SISTEMA RADIAL Unidad de medida: Radián

63° < > 63° .

86

63° < > 70

g

CUARTO AÑO

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS

01. Exprese en radianes el ángulo 30°

07. Reducir: E=

02. Exprese en radianes cada uno de los ángulos siguientes 08. Reducir: g

A) 20°

B) 55

C)

E= g

03. Exprese 81° en grados centesimales y 45 en grados sexagesimales 09. El suplemento del ángulo “á” es: valor de á en grados sexagesimales:

04. Exprese en grados sexagesimales cada uno de los ángulos siguientes A)

expresar el

B) -

10. De la figura, hallar “á”, en grados sexagesimales:

05. Exprese en grados, minutos y segundos el ángulo

06. Al convertir

, a qué es equivalente

07. Calcular:

NIVEL I 01. Convertir al sistema sexagesimal: A)

rad

D)

rad

B)

rad

E)

C)

rad

A) 5 D) 20'

rad

B) 10 E) 25

C) 15

B) 17 E) 23

C) 19

B) 5 E) 11

C) 9

B) 0,4 E) 0,5

C) 0,7

08. Calcular:

02. Convertir al sistema centesimal A)

rad

D)

rad

B)

rad

E)

C)

rad A) 15 D) 21

rad

09. Calcular:

03. Convertir al sistema sexagesimal g

A) 20 g D) 120

g

B) 30 g E) 150

04. Convertir al sistema radial: A) 30° B) 120° D) 150° E) 160° 05. Convertir al sistema radial g g A) 10 B) 50 g g D) 120 E) 180

g

C) 50

A) 3 D) 7

C) 18°

10. Reducir: g

C) 100

06. Convertir al sistema centesimal A) 90° D) 108°

B) 60° E) 150°

A) 0,1 D) 0,9

C) 120°

87

CUARTO AÑO


NIVEL II

NIVEL III

11. Reducir:

16. La diferencia de dos ángulos suplementarios es de . Calcular la medida radial del complemento del menor

A) 0 D) 3

B) 1 E) 5

C) 2 Rpta. .................. 17. Se tiene que:

12. Calcular:

< > a° b'; a > 7 calcule: a + b Rpta. .................. A) 1,3 D) 1,6

B) 1,4 E) 1,7

C) 1,5 18. Si se cumple que:

13. Calcular: calcular: “x” A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

Rpta. ..................

C) 6

14. Si: 2á y 6á, son suplementarios, calcular.

19. Al convertir:

ðrad al sistema sexagesimal, se x

obtuvo 640°. Hallar el valor de: x A)

B)

D)

E) ð rad

C)

Rpta. .................. 20. Sabiendo:

, equivale a: A°B'C'' calcular:

“C - A - B”

15. En la figura:

Rpta. ..................

¿qué tipo de triángulo es? A) Isósceles B) Equilátero C) Rectángulo D) Obtusángulo E) Acutángulo

88

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de : M Definir y conocer las características de la fórmula de conversión. M Describir y establecer relaciones entre los números de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C) y radianes (R). M Aplicar correctamente la fórmula de conversión entre los sistemas de medida angular a situaciones problemáticas.

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Un ángulo cualquiera se ha medido en los sistemas g sexagesimal, centesimal y radial; obteniéndose S°, C y R rad. La relación entre los números S, C y R es como sigue:

Resolución: Utilizamos: S = 30 R=?

... (I)

S: Nos representa el número de grados sexagesimales C: Nos representa el número de grados centesimales R: Nos representa el número de radianes RELACIONES PARTICULARES:

Significa: 30° < >

De (I) se tiene que: NOTA: En todo problema donde intervienen S, C y R podemos ayudarnos de las igualdades: Ejemplos: A) Convertir 72° a grados centesimales Resolución: C) Hallar R en: S + C + R = 380 + ð

Utilizamos: S = 72 C=?

Resolución: Reemplazamos:

C = 80 Significa: 72° < > 80

g

Nos piden: R pero:

B) Convertir 30° a radianes

89

R = ðk R = ð(1) R=ð

CUARTO AÑO


NOTA: Si A y B son dos nuevos sistemas de medición angular, tal que: “x” grados A < > “y” grados B, se cumple que la relación de conversión entre los sistemas A y B está dada por la igualdad:

Resolución: Según dato:

T

60° < > 9 luego, por la nota anterior se cumple:

A: Nos representa el número de grados A B: Nos representa el número de grados B Ejemplo: T Sabiendo que 60° equivalen a 9 , hallar la fórmula de conversión entre los sistemas sexagesimal y el nuevo sistema “T”.

01. Calcular:

06. Si se cumple:

siendo S y C lo convencional para un ángulo. Hallar la medida de dicho ángulo en radianes

Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

02. Reducir:

07. Calcular el número de radianes de:

siendo, S y C lo convencional para un ángulo. Rpta.: ............................

Rpta.: ............................ 08. Si se cumple que:

03. Reducir:

siendo S, C y R son lo conocido. Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

09. Si al triple del número de grados centesimales de un ángulo le disminuimos su número de grados sexagesimales resulta 84. Calcular la medida circular del ángulo.

04. Calcular:

Rpta.: ............................ 10. Sabiendo que la suma de los números que representan la medida de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales es 152, entonces, la medida de dicho ángulo en el sistema Francés es:

Rpta.: ............................ 05. Hallar los radianes de:

Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

90

CUARTO AÑO


10. Si: S, C y R representan los números de los sistemas conocidos, calcular:

NIVEL I 01. Simplificar:

A) 2 D) 8

donde: S y C son lo convencional. A) 19/18 B) 18/19 C) 19/8 D) 8/19 E) 14/5

B) 4 E) 10

C) 6

B) 8 E) 15

C) 10

NIVEL II 02. Calcular:

11. Reducir:

siendo: S v C lo convencional. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 03. Calcule el valor de : siendo S y C lo convencional. A) 18 B) 17 D) 15 E) 14

A) 5 D) 12 C) 16

12. Calcular la medida de un ángulo en radianes si se cumple: C + S = 38

04. Hallar el valor de “n”:

A) 9 D) 15

B) 11 E) 19

C) 13

A)

B)

D)

E)

C)

13. Calcular la medida de un ángulo en radianes, si se cumple:

05. Hallar el valor de “k”, en: 3C - 2S = k(C - S) A) 6 B) 12 C) 18 D) 20 E) 24

A)

B)

D)

E)

C)

06. Reducir:

14. Calcular el valor de “C”, si: A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

Donde: S, C y R son lo convencional. A) 10 D) 40

07. Simplificar:

B) 20 E) 50

C) 30

15. Si se cumple: A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

calcular la medida del ángulo en radianes. A)

B)

D)

E)

C)

08. Determinar el valor de:

NIVEL III A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

16. Calcular el valor de 2R, si: Donde: S, C y R son lo convencional.

09. Calcular:

A) ð

B)

D)

E)

siendo: S, C y R lo convencional. A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

91

C)

CUARTO AÑO


17. Si:

19. Si se cumple:

calcular la medida del ángulo en radianes. A)

B)

D)

E)

calcular la medida del sexagesimales. A) 70° B) 71° D) 73° E) 75°

C)

ángulo C) 72°

20. Calcular el valor de “R”, si:

18. Para un ángulo trigonométrico, se cumple que:

siendo: S, C y R lo convencional. calcular el número de radianes. A)

B)

D)

E)

C)

92

A)

B)

D)

E)

C)

en

grados

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de : M M M

Utilizar la relación entre ángulo central, radio y arco de un sector circular en situaciones problemáticas. Relacionar y hallar los elementos de un sector circular. Aplicar los conceptos de longitud de arco en la medición de curvas, radios o ángulos centrales.

ARCO Es una porción de circunferencia limitada por dos de sus radios, medida en unidades de longitud

Luego :

.15 cm 1

IMPORTANTE :

Donde :

= L : Longitud de arco R : radio è : Número de radianes del ángulo central

Ejemplo : Del gráfico mostrado determine la longitud de la curva.

Resolución : Lo pedido : *

Convertimos 36° a (rad) : 36° = 36°.

Y 36° < >

rad

93

CUARTO AÑO

1.


Calcular “R”, en cm, del gráfico:(Usar: ð=

)

Rpta.: ............................ Rpta.: ............................ 02. Del gráfico mostrado, calcular “x” 08. En el gráfico mostrado, calcular “x”

Rpta.: ............................ 03. Calcular el radio del gráfico: Rpta.: ............................ 09. En el gráfico, calcular la longitud del arco BC.

Rpta.: ............................ 04. Calcular la longitud de circunferencia, si el ángulo central de 2 rad subtiende un arco de longitud 6 m. Rpta.: ............................ 05. Calcular la longitud de arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 60° y el radio 12 m

Rpta.: ............................ 10. En el gráfico, calcular la longitud del arco AB, si: AC = 6 m

Rpta.: ............................ 06. En la figura, calcular la longitud del arco BC, si AC=18 m.

Rpta.: ............................ 07. En la figura: Calcular:

94

CUARTO AÑO


06. Del gráfico, hallar “R”:

NIVEL I 01. Calcular “R”.

A) 50 m D) 53 m A) 12 m D) 18 m

B) 14 m E) 20 m

C) 16 m

B) 51 m E) 54 m

C) 52 m

07. Del gráfico, calcular “á”

02. Calcular “L”, de la figura:

A) 0,5 rad D) 0,2 rad

A) 4ð m D) 16ð m

B) 8ð m E) 20ð m

B) 0,4 rad E) 0,1 rad

C) 0,3 rad

08. Dada la circunferencia de 24 m de radio, encontrar la longitud del arco que subtiende un ángulo central de 2/3 radianes. A) 4 m B) 8 m C) 12 m D) 16 m E) 20 m

C) 12ð m

03. Calcular “è” en el gráfico:

09. Una circunferencia tiene un radio de 30 m. ¿Cuántos radianes mide un ángulo central subtendido por un arco de 20 m?

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

A)

rad

B)

rad

D)

rad

E)

rad

C)

rad

10. Calcular la longitud del arco que subtiende un ángulo central de 120° y el radio de la circunferencia es igual a 6 m. A) 2ð m B) 3ð m C) 4ð m D) 6ð m E) 8ð m

04. De la figura, calcular “L”:

NIVEL II

A) ð m D) 4ð m

B) 2ð m E) 5ð m

11. Encontrar el radio de una circunferencia tal que un arco de 15 m de longitud, subtiende un ángulo central de 3 rad. A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m

C) 3ð m

12. Calcular la longitud del arco

.

05. Calcular “L” del gráfico.

A) ð m D) 4ð m

B) 2ð m E) 5ð m

C) 3ð m

A) 4 m D) 7 m 95

B) 5 m E) 8 m

C) 6 m

CUARTO AÑO

13. Calcular


A) ð m D) 4ð m

del gráfico:

B) 2ð m E) 6ð m

C) 3ð m


A) 1 m D) 4 m

B) 2 m E) 5 m


.

C) 3 m

.

A) 4ð m D) 12ð m

B) 6ð m E) 15ð m

C) 8ð m

19. Calcular la longitud de las curvas punto medio de OB,

A) 12 m D) 8 m

B) 11 m E) 7 m

A) ðR D) 4ðR

NIVEL III

B) 2ðR E) 5ðR

B) 12 m E) 20 m

C) 3ðR

20. Calcular (x - y), sabiendo que la longitud del arco

.

es el triple de la del arco

A) 10 m D) 16 m

y OA = 4R.

C) 10 m

15. En un sector circular de radio (x + 1)m de ángulo central x rad, y la longitud de arco es (x + 9)m. Calcular “x”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


, si “M” es

C) 14 m

17. En la figura, calcular la longitud de

A) 1 D) -1

.

96

B) 2 E) -2

.

C) 0

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de : M

Identificar los elementos de un triángulo rectángulo y establecer las relaciones que existen entre sus lados y ángulos agudos. M Saber utilizar el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo. M Definir y reconocer las razones trigonométricas y aplicarlas en problemas. M Aplicar correctamente las razones trigonométricas de un ángulo agudo en situaciones problemáticas específicas. Pitágoras:

EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se llama así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto; los lados que determinan el ángulo recto son los llamados catetos, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto.

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Para ángulos agudos, las razones trigonométricas se calculan generalmente en triángulos rectángulos, estableciendo la relación entre las medidas de sus lados tomados de dos en dos.

• Catetos: Y

v

• Hipotenusa: Y • Ángulos agudos: ËBAC v ËACB

Y

v

OBSERVACIONES: 1.

En todo triángulo rectángulo se tiene que sus ángulos agudos son complementarios; es decir:

2.

En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de 97

CUARTO AÑO


01. Si á es agudo, además: 3Tgá = 2 calcular: SenáCosá

07. Si : Sená=

; 0° < á < 90°

calcular “x”, en la igualdad: xCosá = xSená - 7

Rpta.: ............................

Rpta.: ............................ 02. Si: Ctgè =

, siendo è un ángulo agudo, 08. En un triángulo ABC, recto en A, calcule:

calcular: 3Senè + 2Cosè Rpta.: ............................ Rpta.: ............................ 03. Si: Sen =

; 0° < è < 90°

09. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que: 3SenA.SenB = 1 Calcule el valor de: TgA + TgB + 2

calcular: Cosè Rpta.: ............................

Rpta.: ............................ 04. Si: 0 < x <

; 8Tgx = 10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, calcular:

calcular: Secx Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

05. Si: Tgè = 2,5 calcular: Rpta.: ............................ 06. Siendo è agudo, para el cual se cumple: Cosè= calcular:

Tgè + 2Secè Rpta.: ............................

NIVEL I 01. Calcular las otras cinco razones trigonométricas del ángulo “á”, a partir de:

A) 2

B)

D)

E)

C)

04. Calcular el producto de las otras cinco razones trigonométricas, de:

Rpta: ............................ 02. Calcular: Senè

A) 1 D) 4

si: è, es agudo y A)

B)

D)

E)

C)

B) 2 E) 5

C) 3

05. Calcular: Secá, si “á” es agudo y

03. Calcular: Tgá, si se tiene “á” es agudo:

98

A)

B)

D)

E) 2

C)

CUARTO AÑO


14. Si “á” es un ángulo agudo, tal que:

06. Si: è es un ángulo agudo, tal que:

Sená = calcular: A) 9 D) 36

E = 80Tgè B) 18 E) 45

C) 27

calcular: E = Secá + Tgá A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

07. Dado que: calcular: A) 1 D) 7

15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, a qué es igual:

2

Sec Ö + 1 B) 2 E) 5

C) 3

C) 3

08. Dado: SenÖ = 0,8 y 0 < Ö < ð/2 calcular: 3(TgÖ + 2) A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

A)

B)

D)

E)

C)

NIVEL III 09. Se tiene “á” agudo, además: Calcular: A) 6/13 D) 9/13 10. Si: A) 1 D) 7

E = SenáCosá B) 7/13 E) 13/7

. 16. En un triángulo ABC, recto en B, calcular: E = aSenA + cSenC

C) 8/13

A) a D) ab

, calcular:

11. Si: è es un ángulo agudo para el cual se tiene que:

18. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se cumple que: 2SenC = 3SenB Calcular: SenC.CosC A) 2/13 B) 3/13 C) 5/13 D) 6/13 E) 7/13

, calcule: E = 5Secè - Tgè B) 2 C) 3 E) 5

19. En un triángulo rectángulo, recto en C, se cumple que:

12. Siendo “è”, un ángulo agudo y además que:

calcular: A) 1 D) 1/2

E = 2Senè + 3Cosè B) 2 E) 1/3

13. Si: è es agudo, siendo: calcular: E = Secá - Tgá A) 2/3 B) 4/3 D) 3/4 E) 1/5

C) c

17. En un triángulo rectángulo ABC, se sabe que: (B = 90°) CtgA = 6CtgC Calcular: SecC A) 7 B) 6 C) 5 D) E)

E = 5CosÖ + 4TgÖ B) 3 C) 5 E) 9

NIVEL II

A) 1 D) 4

B) b E) bc

Calcular: A) 3 D) 9

C) 3

2

E = Sec A + CtgB B) 5 E) 1

C) 7

20. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que:

, C) 3/2

Calcular: A) 1 D) 4

99

TgA + TgB B) 2 E) 5

C) 3

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de : M M M M

1.

Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Aplicar el conocimiento del Teorema de Pitágoras en la solución de problemas gráficos y analíticos. Hallar un lado de un triángulo rectángulo sabiendo los otros dos. Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo conociendo una de ellas.

De la figura mostrada, calcular: Ctgá

04. Del gráfico, calcular: Tgè

Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

05. Del gráfico, calcular: Ctgá + Ctgâ

02. Del gráfico mostrado, calcular: Cscá

Rpta.: ............................ 03. Si: ABCD es un cuadrado, calcular: E = Tgá + Ctgâ

Rpta.: ............................ 06. Del gráfico, calcule: Tgè.TgÖ

Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

100

CUARTO AÑO


09. Del gráfico, calcular: Tgè, si: Tgá = 3 07. De la figura, calcule: Tgè

Rpta: ............................ 10. Del gráfico mostrado, se cumple que: Ctgá + Ctgâ = 3 Calcule: x Rpta.: ............................ 08. De la figura, calcular: Tgx

Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

A) 1 D) 4

IVEL I

B) 2 E) 5

C) 3

01. Del gráfico, calcular Sená 04. Del gráfico, calcular Sená

Rpta: ............................ 02. De la figura, calcular Secá

A) 40/9 D) 9/40

B) 41/40 E) 9/41

C) 40/41

B) 3/5 E) 6/5

C) 4/5

05. Calcular Senè

A) 29/21 D) 29/18

B) 29/20 E) 29/17

C) 29/19

03. Del gráfico, calcular Tgá

A) 2/5 D) 5/5

101

CUARTO AÑO


2

06. En el gráfico, calcular: a + b, si Tgá = 4

NIVEL II 11. Del gráfico, calcular: Ctgá.Ctgè

A) 2 D) 56

B) 60 E) 70

C) 68 A) 1 D) 4

2

07. De la figura, calcular: a + b si:

A) 122 D) 125

B) 2 E) 5

C) 3

B) 8/7 E) 15/7

C) 7/15

12. Calcule Tgè, si:

B) 123 E) 126

A) 7/8 D) 7/9

C) 124

13. Calcular “x”, si: Ctgá - Ctgâ = 1,2 08. Calcular Tgè, del gráfico, si ABCD es un cuadrado y MD = 2AM

A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

C) 7

14. Calcular Tgè A) 25/7 D) 1/3

B) 25/24 E) 2/3

C) 8/2

09. Del gráfico, calcular Tgè, si: ABCD es un cuadrado,

A) 2/3

B)

D) 3/4

E)

15. De la figura:

A) 5/9 D) 9/5

B) 4/5 E) 4/9

/2

C)

E = TgÖ + SecÖ

C) 9/4

10. Si: AB = BC, calcular TgáTgâ

A) 10 D) 40

B) 20 E) 50

C) 30

NIVEL III 16. Del gráfico, calcular: E = Secè + Tgè

A) 2 D) 1/3

B) 1 E) 1

C) 1/2

A) 1/2 D) 3

102

B) 1/3 E) 3/2

C) 2

/3

CUARTO AÑO

17. Calcular:

A) 2 D) 5


E = Tgá + Ctgá

B) 3 E) 10

19. Del gráfico, calcular Secè

A) 2 D) 5/4

C) 4

B) 0,2 E) 0,5

C) 4/3

20. De la figura, calcular Cosè

18. De la figura, calcular: E = Secè - Tgè

A) 0,1 D) 0,4

B) 3/2 E) 8

C) 0,3

103

A)

/2

B)

/3

D)

/5

E)

/6

C)

/4

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de : M M M M

Conocer y aplicar las propiedades de las razones trigonométricas a situaciones prácticas. Establecer las razones trigonométricas recíprocas en un triángulo rectángulo. Reconocer las razones trigonométricas de ángulos complementarios (co-razones) en un triángulo rectángulo. Aplicar y resolver problemas combinando las propiedades de las razones trigonométricas. Siendo “x” e “y” dos ángulos agudos para los cuales se tiene:

AZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Se llama así a las siguientes razones trigonométricas:

Senx . Cscy = 1 Cosx . Secy = 1 • • •

Tgx . Ctgy = 1

El cateto opuesto a un ángulo, es el cateto que está frente a dicho ángulo. El cateto adyacente a un ángulo, es el cateto que está al costado de dicho ángulo. Para hablar de un cateto opuesto o adyacente, se debe tener un ángulo de referencia.

Y

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Llamadas también co-razones trigonométricas; son las siguientes:

Propiedad de las recíprocas El producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo, es igual a la unidad.

Propiedades de las co-razones Las razones trigonométricas de todo ángulo, son respectivamente iguales a las co-razones de su complemento.

1.

Calcule el valor de: SenxCscx + TgxCtgx + SecxCosx

02. Calcule “x” de: Sen2xCsc36° = 1

Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

104

CUARTO AÑO


03. Calcular “x” de:

08. Sabiendo que: Sen(2x - y) = Cos(2y - x) Tg(x - 15°) = Tg(y + 45°) calcular:

Sen5x = Cos40° Rpta.: ............................ 04. Si: Sec

Rpta.: ............................ 09. Calcular “x” en: Tg(3x + y + 8°)Ctg(24° + x + y) = 1

calcular: “x” Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

05. Calcule el valor de:

10. Calcule el valor de la siguiente expresión: + Tg65°(Ctg65° + Tg25°) Rpta.: ............................

Rpta.: ............................

06. Calcular: (Sen32° + 2Cos58°)Sec58° Rpta.: ............................ 07. Si: Sen(3x + 10°)Csc28° = 1 Tg(6y + 60°) = Ctg18° calcular: x + y Rpta.: ............................

07. Calcular “x” de: Sen(x + 20°) = Cos(2x + 40°)

NIVEL I 01. Calcular “x” de: Sen(x + 20°)Csc(80° - 2x) = 1 A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

A) 6° D) 9°

B) 7° E) 10°

08. Calcular el valor de “x” en: Tg7x = Ctg3x A) 3° B) 6° D) 12° E) 15°

02. Calcular “x”, donde: x es agudo. Sen(3x - 20°)Csc(x + 20°) = 1 A) 20° B) 40° C) 60° D) 80° E) 100°

C) 8°

C) 9°

09. Calcular “x”, si: Sec(x - 10°) = Csc(9x + 10°)

03. Encontrar “x” de: Cos(7x - 3°)Sec(5x + 7°) = 1 A) 1° B) 2° C) 3° D) 4 E) 5

A) 6° D) 9°

B) 7° E) 10°

C) 8°

10. Calcular “x”, si: 0° < x < 90°

04. Calcular “x”, si: Cos(8x - 10°)Sec(70°) = 1 A) 2° B) 4° C) 6° D) 8° E) 10°

Tg(x + 30°) = Ctg(5x + 30°) A) 1° D) 4°

05. Calcular “x” (agudo) Tg(8x - 40°)Ctg(3x + 60°) = 1 A) 20° B) 40° C) 60° D) 100° E) 120°

B) 2° E) 5°

C) 3°

NIVEL II 11. Calcular: á + â si: Sená = Cos20° Cosâ = Sen40° A) 100° B) 110° D) 180° E) 140°

06. Calcular el valor de “x”, si: Tg(x - 30°)Ctg(2x - 40°) = 1 A) 5° B) 10° C) 15° D) 20° E) 25

105

C) 120°

CUARTO AÑO


12. Sabiendo que “á” es agudo, calcular: 2á + 20°, si: Tg6á = Ctg4á A) 18° B) 20° C) 22° D) 24° E) 38°

17. Siendo: Sen(x + 30°)Cscy = 1 Tg(x + 20°)Ctg(2x + 10°) = 1 calcular: E = y - x

13. Calcular “x” (agudo) de: A) 10° D) 40° A) 1 D) 7

B) 3 E) 9

C) 5

C) 30°

18. Si: Sen(x) - Cos(2y) = 0 Cos(x) . Sec(3y - 10°) = 1 calcular: x - y A) 10° B) 20° D) 40° E) 50°

14. Simplificar: A = [3(4Sen40°) + 2Cos50°]Csc40° A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 14

C) 30°

19. Si:

15. Simplificar:

A) 1 D) 4

B) 20° E) 50°

B) 2 E) 5

Sen(2x + y)Csc(2y + 30°) = 1 Tg(x + 30°) = Ctg(y + 30°) calcular: x + y A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

C) 3

NIVEL III

20. Si: Sec2x = Csc(x + 30°), donde: 0° < x < 90° calcular :

16. Si: x + 2y = 90° calcular:

A) 1 D) 0

B) 2 E) -2

C) 3

A) 2 D) 8

106

B) 4 E) 10

C) 6

01. Calcule el valor de:

A) 2ð m D) 8ð m

B) 4ð m E) 12ð m

C) 6ð m

08. En el gráfico mostrado, calcular la longitud del arco . A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

02. Reducir la expresión:

A) 2 D) 6

B) 5 E) 3

A) 3m D) 6 m

C) 4

B) 4 m E) 8 m

C) 5 m

09. Del gráfico, calcular “è” 03. Calcule el ángulo, en radianes, que cumpla con la igualdad:

A)

B)

D)

E)

C)

A) 1/3 D) 4/3

04. Calcule el ángulo, en radianes, que cumple con la igualdad:

A)

B)

D)

E)

B) 2/3 E) 5/3

C) 1

10. En la figura, calcular la longitud de arco BC, si: AE = 20 m (O: Centro)

C)

05. Simplificar: A) ð m D) 6ð m A) 4 D) 12

B) 6 E) 14

B) 2ð m E) 8ð m

C) 4ð m

B) 6 E) 14

C) 19

11. Simplificar:

C) 10

06. Calcular: A) 4 D) 12 A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

12. De la relación:

C) 5

g

rad < > 50 + 30° calcular: k A) 1 D) 4

07. Calcular la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 60° y el radio 12 m.

107

B) 2 E) 5

C) 3

CUARTO AÑO


13. Calcule el ángulo en el sistema inglés que cumpla con:

A) 30° D) 27°

B) 33° E) 25°

19. Calcular “x”

C) 36°

14. Calcular el número de radianes del ángulo, que cumple con:

A)

B)

D)

E)

A) 1 D) 0,5

B) 0,1 E) 1,1

C) 0,2

B) 3/4 E) 15/18

C) 22/5

20. Calcular: “L”, si:

C)

15. Calcular:

A) 2/5 D) 10/3

21. Del gráfico determinar “R”:

A) 1/2 D) 2/5

B) 2/3 E) 3/5

C) 3/4 A) 2 D) 4

16. Calcular “è”, si: L2 = 5 L

B) 2,5 E) 4,5

C) 3

22. Calcular “x”; de los sectores circulares:

A) ð/3 D) ð/6

B) ð/4 E) ð/8

C) ð/5 A) 2 D) 4

17. Calcular la medida del ángulo en radianes que cumpla:

23. Si:

A)

rad

B)

rad

D)

rad

E)

rad

C)

B) 2,5 E) 4,5 < >

calcular: (x+y) A) 80 D) 83

rad

C) 3

rad x-2

+ (x-y) B) 81 E) 84

y

C) 82

24. Calcular:

18. Siendo: S, C y R lo convencional para la mediad angular y además se cumple:

A) ±2 D) 3

B) ±3 E) 4

C) ±4

B) 35 E) 38

C) 36

25. Calcular: calcular la medida en radianes A)

B)

D)

E)

C) A) 33 D) 37

108

g

01. Si se cumple que: (2a-b)° < > (a+b)

09. De la figura, calcular: x

calcular el valor de: E = A) 9/4 D) 15/4

B) 11/4 E) 17/4

C) 13/4

02. Calcular el valor de: E= A) 5 D) 20

B) 10 E) 25

C) 15

A) 2/5 D) 3

03. Los ángulos internos de un triángulo miden: 15x°, g

10x y A) 2 D) 5

C) 1

10. Calcular el radio de una circunferencia tal que un arco de 15 cm de longitud subtiende un ángulo central de 3 rad A) 15 cm B) 12 cm C) 10 cm D) 5 cm E) 2,5 cm

rad; luego el valor de “x” es: B) 3 E) 6

B) 5/2 E) 6

C) 4


04. Si 10 unidades del sistema pitágoras (10P) equivalen a tres cuartos de vuelta determinar 240g en el sistema pitágoras P P P A) 4 B) 6 C) 8 P P D) 9 E) 10

g

< > 50 + 30° hallar “k” A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

05. Calcular “a” de la siguiente igualdad: (2a + 1)

12. Indicar lo incorrecto: A) Sen15° = Cos75° B) Sen42°Csc42° = 1 C) Sec28° = Csc62° D) Cos8° = Cos82° E) Tg20°Ctg20° = 1

=

siendo S y C las medidas sexagesimales y centesimal de un mismo ángulo A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

13. Simplificar:

06. Calcular la medida radial de un ángulo si cumple: (2ð + 3R)(C - S) = (2ð - 3R)(C + S) siendo; S, C y R lo convencional A)

B)

D)

E)

C)

A) 1 D) 1/2

B) 2 E) 1/3

C) 3

14. Evaluar: 07. Si seis veces la medida sexagesimal de un ángulo más cinco veces la medida centesimal del mismo ángulo es 1 040. Calcular la medida radial de dicho ángulo A)

B)

D)

E) 1

A) 1 D) 4

15. En un triángulo rectángulo ABC, (recto en C); se cumple que: CtgACosA = 3 calcular: E = SecB - CosB

C)

A) 3 D) 6

08. Determinar la medida circular de un ángulo si se tiene que el cuadrado de la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales de dicho ángul es a la suma de dichos números como 5 es a 19 A)

B)

D)

E)

(Sen42° + 3Cos48°) Csc42° B) 2 C) 3 E) 5

B) 4 E) 7

C) 5

16. Si se cumple que: 7Senè = 5 hallar:

C) A) -15/8 D) -16/15

109

B) -6/7 E) -5/7

C) -8/15

CUARTO AÑO


17. En un triángulo rectángulo ACB, si: CosA = hallar el valor de TgB A) 13/12 B) 12/5 D) 12/13 E) 13/5

,

25. Calcular:

C) 5/12

18. Hallar el ángulo en el sistema circular que cumpla: 2C - S = 22 A)

rad

B)

D)

rad

E)

rad

C)

rad A) 1/2 D) 3/4

rad

B) 2/3 E) 3/5

C) 2/5


19. De la figura mostrada, calcular: Tgá - Tgâ

g

(5n + 1)° < > (6n - 2) calcular “n” A) 1 D) 9

B) 3 E) 5

C) 7

27. De la siguiente relación: A) 96/35 D) 24/5

B) 72/35 E) 37/13

C) 14/5

20. Calcular: calcular el número de grados centesimales A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 A) -1 D) 1

B) 0 E) 2

C) -2

28. Hallar “x”

21. Hallar el número de radianes que cumpla con la relación:

A) ð/20 D) ð/15

B) ð/25 E) ð/10

C) ð/30

22. En la figura, hallar la longitud del arco BC. Si AC = 18 m (O: centro)

A) 4/5 D) 5/4

B) 3/5 E) 4/3

29. Hallar “d”, si: Tgè =

A) ð m D) 6ð m

B) 3ð m E) 8ð m

A) 1 D) 4 B) 7 E) 11

; Ctgá = 3

C) 5ð m

23. Calcular:

A) 5 D) 10

C) 5/3

B) 2 E) 5

C) 3

30. Calcular: x/y si: Secx = Csc2y

C) 9

Tg(3y - 5°) . Ctg(x + 30°) = 1 24. Hallar “è” A) 8/5 D) 5/4 A) 2° D) 8°

B) 4° E) 10°

C) 6°

110

B) 5/8 E) 2/5

C) 4/5

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de: M M M

Aplicar las razones trigonométricas de ángulos agudos. Reconocer las relaciones entre los lados de los triángulos cuyos ángulos son: 30º, 60º, 45º, 53º y 37º, como también sus razones trigonométricas. Utilizar el cuadro de valores de las razones trigonométricas de los ángulo notables.

a). R. T. de ð/6 y ð/3 (30° y 60°)

c) R.T. 53° v 37°

Si trazamos la altura desde el vértice A, tendremos que también es bisectriz del ángulo A y mediana relativa al lado por lo cual se forma el triángulo rectángulo AHC de lados: 2a , a y h

Sen37° = Cos53° = 3/5; Cos37° = Sen 53°= 4/5 Tg37° = Ctg 53° = 3/4 ; Ctg37° = Tg53° = 4/3 Sec 37°= Csc 53°= 5/4 ; Csc37° = Sec 53°= 5/3

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Utilizando Pitágoras:

Luego calcularemos las R.T. de ð/6 y las R.T. de ð/3, así: Sen60° = Cos 30° =

Cos60° = Sen30° =

Tg60° = Ctg30° =

Ctg60°= Tg30° =

Sec60° = Csc30° = 2

Csc60° = Sec30° =

b) R.T. de ð/4 (45° y 45°)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS NOTABLES

De la figura calculamos “a” : 2

2

2

a =b +b Ya=

b

30° Sen

60°

1/2

Cos

/2

Tg

/3

/2 1/2

Ctg Sec Luego, calculamos las R.T. de ð/4, así: Sen45° = Cos 45° =

Csc

v Sec 45° = Csc 45° =

Página -88-

/3 2

2

/3 2

2

/3

45°

DE

ÁNGULOS

37°

53°

/2

3/5

4/5

/2

4/5

3/5

1

3/4

4/3

1

4/3

3/4

5/4

5/3

5/3

5/4

CUARTO AÑO


01 Hallar el valor numérico de:

06 Hallar “x” de:

2

2 sen30º + sec 45º + 1

x - 1 = 25 (sen37º cos37º tg37º)

02 Hallar el valor numérico de: 2

tg 60º +


tg 30º + tg45º


2

2

2

2

3x tg 60º - 2 sec 45º = 6 cos60º + 3 tg 30º



ctg 45º - 2 sec60º + 6sen30

2x sen30º - sec45ºcsc45º = 3 cos60º + 5tg45º


= 2x sen30º + cos 60º


2 tg45º - 3 sen 30º + 5 cos 60º

2

2

2x tg45º + tg60º

10 Hallar “x” de: 2

tg 60º + 4 cos 45º + 3 sec 30º

01. Hallar la incorrecta:

A) 1/2 D) 7/2

A) Ctg45°+Tg45° = 4Sen30° B) Sen60° = 2Sen30°Cos30° C) Sec45° - Sen45° = Cos45° D) Tg60° = Cos30° + Sen60° E) Sen60° = Cos30°Sec60°

B) 3/2 E) 9/2

C) 5/2

07. Hallar el valor de: Ctg45° - 2Sec60° + 6Sen30° A) 0 D) - 2

02. Calcular :

B) 2 E) - 4

C) 4

08. Hallar el valor numérico de: A) 10 D) 40

B) 20 E) 50

C) 30

03. Hallar el valor: A) - 1 D) - 4 A) 3

B) 2

D) 3

E) 4

09. Hallar “x” de: 2xTg45° + Tg60° A) - 2 D) - 8

2

2Sen30° + Sec 45° + 1 B) 2 E) 5

C) 3

2

= 2xSen30° + 4Cos 60°

B) - 4 E) -10

C) - 6

10. Hallar “x” de: 2

2

2

3xTg 60° - 2Sec 45° = 6Cos60° + 3Tg 30° + Tg45°

05. Hallar el valor de: 2

Tg 60° + A) 1 D) 7

C) - 3

C)

04. Hallar el valor numérico de:

A) 1 D) 4

B) - 2 E) - 5

A) 1 D) 4

Tg30° + Tg 45°

B) 3 E) 9

C) 5

C) 3

11. Hallar “x” de: 2xSen30° - Sec45°Csc45° = 8Cos60°+ 5Tg45°

06. Hallar el valor numérico de: 2

B) 2 E) - 2

A) 7 D) 13

2

2Tg45° - 3Sen 30° + 5Cos 60°

Página -89-

B) 9 E) 15

C) 11

CUARTO AÑO


12. Hallar “x”, de: 2


2

2

xSec 60° + xCsc 60° = Sec 30° . Csc 30° A) 1 D) -1

B) 2 E) - 2

C) 3 A) 44 D) 44/75

2

13. Si: Tgè = Sen 45° + Cos60°

B) /2 E) 3/5

C) 4/7

18. Hallar el valor numérico de

hallar : Senè (è es agudo) A) /2 D) 1/2

B) 75 E) 75/44

C)

/3

14. A qué es igual:

A) 11/10 D) 13/17

B) 7/11 E) 7/13

C) 7/3

A)

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

19. Calcular: A) Tg60° D) Sen45°

2

B) Tg 37° 2 E) Sen 60°

C) Sen60°

15. Hallar “x” de la siguiente expresión: x - 1 = 25(Sen37°Cos37°Tg37°) A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

16. Calcular el valor numérico de:

20. Si: a= b=

Cos60°.Tg30°.Csc30°

y

Sec45°Tg45°Sen30°

hallar : E = a + b + ab A) 3/4 D) 5/3

B) 4/3 E) 4/5

A) 1 D) - 2

C) 3/5

Página -90-

B) - 1 E) 0

C) 3


Identificar la proporción de las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos notables. Calcular las razones trigonométricas de ángulos notables. Aplicar las razones trigonométricas a problemas con triángulos notables.

01 Calcular “x”

05 Calcular: BH

02 Calcular “x”

06 De la figura, hallar BC

03 Calcular tgè

07 De la figura, hallar “x”

04 Calcular sec á

08 Hallar cscá, a partir de:

Página -91-

CUARTO AÑO


09 Del gráfico, calcular “x”

10 En la figura, hallar x:

01. Calcular “x” en cada caso:

04. Hallar “x” de la figura:

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

B) 28 E) 63

C) 35

05. Hallar : a + b

A) 21 D) 49

06. Del gráfico, hallar “x” 02. De la figura hallar x” :

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

A) 1 D) 4

C) 3

B) 2 E) 5

C) 3

07. Hallar : a + b

03. Calcular “x” del gráfico:

A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

Página -92-

A) 2(

+1)

B) 2(

D) 4(

-1)

E) 4

-1) +2

C) 4(

+1)

CUARTO AÑO


13. En la figura calcular : “Tgá”

08. Del gráfico hallar :

A)

+1

B)

+1

D)

-1

E)

+

C)

-1 A) 8/3 D) 4/3

09. Del gráfico hallar: MN

B) 3/8 E) 4/8

C) 3/4

14. Del gráfico calcular : AM

A) 10 D) 16

B) 12 E) 18

C) 14 A) 3

10. Hallar el perímetro del rectángulo ABCD:

m

D) 3 m

B) 4

m

E) 5

m

C) 5 m

15. Del gráfico calcular :

A) 26 m D) 40 m

B) 25 m E) 52 m

C) 34 m

11. En la figura: AD = 20 m. Hallar: BD

A) 4/5

B) 5/4

D) 4/

E)

C) 4

/5

/5

16. Calcular: Secá, de la figura: A) 12

m

B) 13

m

D) 15

m

E) 16

m

C) 14

m

12. De la figura: AB=18 m. Calcular BD

A) A) 5 m D) 20 m

B) 10 m E) 25 m

D)

C) 15 m

Página -93-

/4 /4

B) E) 3/4

/3

C) 19/5

CUARTO AÑO


17. En la figura calcular: “x”

A) 2 D)

-1 +1

B)

19. Hallar: Cscá de la figura:

-1

E) 2(

C) 2

+ 1)

B) 2/7 E) 7/3

A) 1

B) 2

D) 13

E)

C) /3

20. Calcular : AB, de la figura :

18. Hallar: Ctgá, de la figura:

A) 10/7 D) 7/4

+1

C) 3/4

A) 8 D) 3/8

Página -94-

B) 8/ E) 8

C) 8/3


Graficar enunciados donde se desarrollan ángulos de elevación y ángulos de depresión. Aplicar las razones trigonométricas en problemas de la vida real. Medir distancias entre dos puntos (aplicación)

ÁNGULO VERTICAL .- Se llama así a aquellos ángulos que están contenidos en un plano vertical. Los ángulos verticales son determinados en el instante en el cual se realiza una observación, estos ángulos se determinan en el punto desde el cual se está observando entre dos líneas imaginarias trazadas por dicho punto y que permitirán la observación; según su ubicación estos ángulos serán ángulos de elevación, ángulos de depresión o ángulos de observación. CONSIDERACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS L La estatura de las personas se deberá considerar hasta sus ojos. L Toda persona u objeto que posea una altura, será considerada perpendicular al nivel del suelo, a no ser que se indique otra situación. L De no indicarse desde qué altura se realiza la observación y no siendo esta altura la incógnita del problema, se deberá considerar que se está observando desde un punto del suelo. NOTA : VISUAL: Es la línea imaginaria que va desde el punto de observación al objeto que se observa. v

Los ángulos de elevación y depresión, son ángulos agudos. 0° < á < 90° 0° < è < 90°

v

El ángulo de observación puede ser obtuso. 0° < â < 180°

01 Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de una estatua con un ángulo de elevación de 60º y a la parte superior de su pedestal con un ángulo de elevación de 30º. Si la altura del pedestal es de 2 m, hallar la altura de la estatua.

02 Daniel de estatura 1 m observa los ojos de Gabriela de estatura m con un ángulo de elevación “á”. Hallar la distancia que los separa sabiendo que: Ctgá =

+ 1.

03 Dos columnas tienen 8 y 14 metros de altura y la recta que une sus puntos más altos forman un ángulo de 37º con la horizontal. calcular la distancia que separa dichos puntos. 04 Desde un punto del suelo se ubica la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación37º. Si nos acercamos 5 m el nuevo ángulo de elevación es de 45º. Calcule la altura del árbol. 05 Si a 20 m de un poste se observa lo alto con un ángulo de elevación de 37º y luego nos acercamos al poste una distancia igual de su altura, la elevación es “è”. Calcular “Tgè”

Página -95-

CUARTO AÑO


06 Desde un avión que vuela horizontalmente se observa que antes de pasar sobre dos puntos en tierra A y B, sus ángulos de depresión son 45º y37º respectivamente, cuando está sobre “B” es visto desde “A” con un ángulo de depresión á. ¿Cuánto vale Tgá?

09 Desde lo alto de un faro de 15 m sobre el nivel del mar se observa una boya con un ángulo de depresión cuya tangente es 3/2, desde la base del faro a 8 m sobre el nivel del mar se vuelve a observar la boya con un ángulo de depresión “è”. Calcule el valor de Tgè

07 Desde la azotea de dos edificios de 24 y 12 metros de altura se observa un punto en el suelo ubicados entre ambos edificios con ángulos de depresión de 53º y 37º respectivamente. Calcular la distancia entre ambos edificios.

10 Desde un punto de un terreno se observa una torre con ángulo de elevación á. Si desde la mitad de la distancia que los separa el ángulo de elevación es el complemento del anterior. Calcular: Ctgá

08 Desde la parte superior de un muro de 2m se observa un árbol con un ángulo de depresión de 30º su base y con un ángulo de elevación de 60º su parte superior. Calcular la altura del árbol.

01. Andrea se encuentra a 20 m del pie de un poste y observa con un ángulo de elevación de 37°, su parte más alta, ¿cuál es la altura del poste? A) 5 m D) 20 m

B) 10 m E) 25 m

C) 15 m

02. A 300 m de la base de un edificio se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 30°. Calcular la altura del edificio A) 50 m D) 25

B) 50 m

m

E) 100

C) 25 m

m

03. Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30°, al avanzar 100 m, el ángulo de elevación se duplica. Hallar la altura del faro A) 50 m B) 50 m C) 25 m D) 25

m

E) 100

m

/2

B) 1/2

D)

/2

E) 2/3

C)

05. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 30° acercándose 400 m, se encuentra que el ángulo de elevación es de 60°, ¿cuál es la altura de la torre? A) 100 m D) 200

B) 100 m

m C) 200 m

09. Desde un punto A situado a 30 m del pie de un edificio , se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 30°. Calcular la distancia del punto A hacia la parte superior A) 10 m B) 10 m C) 20 m E) 15

m

10. Samantha se dirige hacia el colegio y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 30°. Al avanzar 10 m el ángulo de elevación se duplica. Luego Samantha quiere saber qué altura tiene el colegio A) 5 m B) 10 m C) 15 m D) 5 m E)10 m 11. Se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 37°, si luego se avanza 70 km, se vuelve a mirar el mismo punto con un ángulo de elevación de 53°. Determinar a qué distancia se encuentra el observador del edificio A) 80 km B) 90 km C) 100 km D) 120 km E) 140 km

E) 300 m

06. Carlitos observa una torre con un ángulo de elevación de 45°, camina 8 m hacia la torre; ahora la observa con un ángulo “á”. Si la altura de la torre es 32 m, hallar “Tgá” A) 3/5 D) 4/3

08. Desde un punto “A” una hormiguita ve la parte superior de un poste con un ángulo de 15°, luego de avanzar 8 m hacia un punto “B” ve la parte superior nuevamente con un ángulo de 30°. Hallar la altura del poste A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m E) 10 m

D) 20 m

04. Una persona observa un poste con un ángulo de elevación Ö, cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercera parte, la medida del ángulo se ha reducido a la tercera parte, la medida del ángulo se ha duplicado. Hallar : SenÖ A)

07. Un ratón mira la punta de un poste de altura igual a 8 m con un ángulo de 45°, se acerca “x” m y vuelve a observar nuevamente la punta de dicho poste, esta vez con un ángulo de 53°. Hallar “x” A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m

B) 3/4 E) 4/5

12. Desde lo alto de un faro ubicado en la playa, se observan dos botes anclados en el mar y alineados con él con ángulos de depresión iguales a 30° y 60° respectivamente. Si la altura del faro es de 20 m. Hallar la distancia que separa dichos botes A) 10 m D) 40 m

C) 5/3

Página -96-

B) 20 m E) 50 m

C) 30 m

CUARTO AÑO


13. Un observador se encuentra a 20 m de un edificio y observa su parte superior con un ángulo de elevación “á” y si se aleja 10 m el ángulo de 2 elevación es el complemento de “á”. Calcular “Tg á” A) 1/2 B) 1/4 C) 3/2 D) 3/4 E) 2/5 14. Desde la parte superior de un muro de dos metros de altura, se observa un árbol con un ángulo de depresión de 30° su base y con un ángulo de elevación de 60° su parte superior. Hallar la altura del árbol A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m E) 10 m 15. Un avión vuela horizontalmente a una altura constante y antes de pasar sobre dos puntos en tierra, A y B los observa con ángulo de depresión 45° y 37° respectivamente. Cuando está sobre “B” es visto desde “A” con un ángulo de elevación “á”. Hallar: Tgá A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2 E) 1/3 16. Una persona que se encuentra a 30 m de un foco de luz, observa dicho foco con un ángulo de elevación de 30°. Hallar la altura del foco de luz A) 5 m D) 15 m

B) 15 m E) 10 m

C) 5 m

17. Calcular la altura de un árbol, si se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 30° y luego de caminar 80 m, hacia él, el ángulo de elevación es de 60° A) 20 m B) 20 m C) 40 m D) 40

m

E) 80

m

18. Un atleta observa la señal de llegada que se encuentra en la parte superior de dos astas con un ángulo de elevación de 37°, luego de correr 49 m observa la señal con un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuántos metros le falta para llegar a la meta? A) 56 m B) 60 m C) 63 m D) 70 m E) 74 m 19. Ingrid observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación “è”, cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercera parte, la medida del ángulo se ha duplicado. Luego Ingrid se pregunta: ¿Qué valor tiene “è”? A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60° 20. A 20 m de una torre, se observa la parte superior con un ángulo de elevación que tiene como tangente 0,5, cuánto habrá que acercarse a la torre para ver la parte superior con un ángulo de elevación complemento del anterior A) 20 m B) 15 m C) 10 m D) 5 m E) No se mueve

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Utilizar el sistema coordenado en situaciones problemáticas. Aplicar las razones trigonométricas de ángulos en posición estándar a situaciones específicas. Reconocer el signo que toma cada razón trigonométrica en cada cuadrante.

ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR Es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con la parte positiva del eje de abscisas y su lado final se ubicará en cualquier región del plano; siendo el que señale a qué cuadrante pertenece el ángulo. En el gráfico á, â y è son ejemplos de ángulos en posición estándar. á 0 IC; â 0 IIIC; è 0 IIC (note que es independiente del tipo de rotación).

Donde: a = Abscisa b = Ordenada r = Radio vector

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS De acuerdo a las definiciones de las razones trigonométricas y teniendo en cuenta la convención de signos dados en un plano cartesiano podemos deducir los signos de las razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes, así:

Razón

IQ

IIQ

IIIQ

IVQ

Sen

(+)

(+)

(-)

(-)

Son aquellos ángulos en posición estándar cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes cartesianos. Su medida es siempre múltiplo de 90° (90°; 180°; 270°; -90°; -180°; etc; por ejemplo); y no pertenecen a cuadrante alguno.

Cos

(+)

(-)

(-)

(+)

Tg

(+)

(-)

(+)

(-)

Ctg

(+)

(-)

(+)

(-)

NOTA: Para ángulos menores de una vuelta.

Sec

(+)

(-)

(-)

(+)

Csc

(+)

(+)

(-)

(-)

ÁNGULO CUADRANTAL

0° < IC < 90° 180° < IIIC < 270°

90° < IIC < 180° 270° < IVC < 360°

DEFINICIÓN DE LAS R.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR. Para hallar las R.T. se necesita tan solo conocer un punto de su lado final. Una vez conocidas las coordenadas de ese punto se aplica las siguientes definiciones:

Página -98-

Un modo más sencillo y práctico de recordar los signos de las razones en cada cuadrante, es en base al esquema adjunto:

CUARTO AÑO

01 Calcular Secè

02 De la figura, calcular Cscá

03 De la figura, calcular Cosè

04 Calcular: Ctgè - 3 Tgè

05 De la figura, calcular:


06 Del gráfico, hallar

Cosá

07 De la figura, hallar:

Sená - Tgá

08 Calcular: Senè A Tgè

09 Del gráfico, hallar: Sená - CosW

Cosá

10 Del gráfico, hallar: 14 Tg2 + 8 Senè

Página -99-

CUARTO AÑO


01. De la figura calcular: Sená

05. Calcular de la figura: E = Secá . Ctgá

A) /2 D) 1/2

B) E) 2

C)

/3

02. Calcular: Cosá

A) 3/5 D) -4/5

B) 13/5 E) 5/12

C) 8/5

06. Del gráfico identificar: la abscisa, la ordenada y el radio del punto “P”.

B) -3/5 E) 4/5

C) 4/3

03. Calcular: Tgá

A) 3 D) -1/3

A) 12/5 D) 1/5

A) 4; -3; 5 D) 4; -5; 3

B) -3; 4; 5 E) 5; -3; 4

C) 4; 5; -3

07. Del gráfico hallar: Cosá

B) -3 E) 1

04. Calcular de la figura:

A)

C) 1/3

D) E = SenÖ . CosÖ

A)

/5

B)

/6

D)

/5

E)

/8

C)

B) 1/2 /2

C)

/5

E) 2

08. Del gráfico hallar: Tgè

A) 12/5 D) -5/12

/6

Página -100-

B) -12/5 E) -1/5

C) 5/12

CUARTO AÑO


09. Del gráfico hallar:


SenÖ -

A) 1 D) 2

E = Secá + Tgá

CosÖ

B) -1 E) -2

A) 3/2 D) -2/3

C) 0

B) -3/2 E) 1

C) 2/3

14. Del gráfico, hallar:

10. De la figura hallar:

E = Cscè - Ctgè A=

A) 2 D) -2

Sená - Tgá

B) 4 E) -4

C) 0

A)

B) 1

D) -

E)

15. De la figura calcular:

11. Calcular: E = Cscá . Cosá

A) 24/7 D) -24/7

B) -7/24 E) 7/24

E=4

A) 6 D) 36

B) 12 E) 48

C) 24


E = Ctgá - Cscá

E=

B) 4 E) 1/8

.Secá.Cscá

C) 25/7


A) 2 D) 1/4

C)

(Sená - Cosá)

C) 1/2 A) 1 D) 2

Página -101-

B) -1 E) -2

C) 0

CUARTO AÑO



19. Calcular: E = Cosá + Cosâ

E=

A) 1 D) 7

Cscè - Ctgè

B) 3 E) 9

A) 0,2 D) 0,5

C) 5

B) 0,3 E) 0,6

C) 0,4

20. Calcular:

18. De la figura hallar:

E = 5Sená + 13Cosâ

(Senè + Cosè)Cscè

A) 3/5 D) -3/4

B) 3/4 E) 1/4

A) 1 D) 2

C) -3/5

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B) -1 E) -2

C) 0


Graficar un ángulo en posición estándar. Resolver problemas de ángulos en posición estándar de un gráfico. Identificar y ubicar un ángulo en posición estándar.

01 Los cuadrantes en que el Cosè y Tgè tienen el mismo signo son ...............................

06 Si: Senè =

; è 0 II C, calcular: Ctgè Secè

02 Si: á 0 II C y è 0 III C, señala el signo de: 07 Siendo: Tgâ = E=

; â 0 II C

Calcular: E = Cscâ + Ctgâ 08 Si se tiene: Secá = 2,6 ; á 0 IV C

03 Hallar el signo en cada caso: I) Se 290º Cos290º II) Tg160º Sec200º III) Cos120º Sec330º

Determinar: E = Secá Cscá 09 Si el punto P(-5; 2) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “á”. Calcular:

04 Determinar el signo, en cada caso: I) Sen100º III) Cos200º

E=

II) Tg300º IV) Ctg400º

Cosá + Tgá

10 Dado: Tgö < ö y Senö =

05 Indicar a qué cuadrante pertenece “á” Sená > 0 y Cosá < 0

01. Indicar el signo de cada una de las expresiones A) Sen120°Cos98°Tg164° B) Ctg188°Cos45°Tg298° C) Sen215°Tg145°Csc322° D) Cos291°Csc179°Ctg271° E) Csc111°Sec211°Ctg311°

A) Su seno positivo y su coseno negativo B) Su coseno positivo y su tangente positiva C) Su cotangente negativa y su cosecante positiva D) Su secante negativa y su seno negativo

02. Hallar el signo de cada expresión :

05. Determinar el cuadrante al que pertenece “á”, para que se cumpla las relaciones siguientes :

I. Sen160°Cos200° II. Cos260°Sec300° III. Tg210°Ctg310° A) (+)(+)(+) D) (-)(+)(-)

Sená > 0 y Tgá < 0

B) (-)(-)(-) E) (-)(-)(+)

3

4

E = Ctg234°.Tg 143°.Csc 214°Sec 321° A) (+) D) (+) o (-)

B) (-) E) Ninguno

A) IC D) IVC

C) (+)(-)(+)

03. Indicar el signo de la siguiente expresión : 2

04. A qué cuadrante pertenece un ángulo positivo menor de una vuelta, si :

B) IIC E) Ninguno

C) IIIC

06. A qué cuadrante pertenece el ángulo “â” para que sea posible que : Cosâ < 0 y Tgâ > 0

C) (+) y (-)

A) IC D) IVC

Página -103-

B) IIC E) Ninguno

C) IIIC

CUARTO AÑO


07. Indicar el signo de la siguiente expresión :

y á 0 IIC

14. Si :

E = Secá + Tgá A) (+) D) (+) o (-)

B) (-) E) Ninguno

A) -3 D) -2

C) (+) y (-)

A) IC D) IVC 09. Si :

y

C) 4

15. Siendo P(3; 4) un punto del lado final del ángulo “á” en posición normal, hallar :

08. En qué cuadrante se cumple : CscÖ < 0

B) 1 E) 2

SecÖ > 0

B) IIC E) Ninguno

C) IIIC A) 1 D) -2

B) 2 E) 0

C) -1

y á 0 IVC 16. Sabiendo que el lado final del ángulo “á”, en posición normal pasa por el punto (-1; 2), encontrar :

calcular : E = Tgá - Secá

E = Secá . Cscá A) 1/2 D) -3/2

B) -1/2 E) -1/3

C) 3/2 A) 2,5 D) -1,5

10. El punto P(-7; 24) pertenece al lado final del ángulo “â”. Determinar el valor de :

B) -2,5 E) 0,5

C) 1,5

17. Si el punto (-9; -40) pertenece al lado final del ángulo “á” en posición estandar, evalúe :

Cscâ + Ctgâ + 2 E = Cscá + Ctgá A) 2,75 D) -1

B) 3 E) -2,5

C) 3,25 A) 3/5 D) -3/5

11. Sabiendo que : Cosá = -0,8 y á 0 IIIC calcular el valor de :

B) 4/5 E) -4/5

18. Dado el punto (20; -21), correspondiente al lado final del ángulo estándar “á”, hallar :

E = Cscá + Ctgá A) -2 D) -3

B) -1/2 E) -1/3

E = Tgá - Secá

C) 1

12. Si : Cosè =

A) 2,5 D) -1,5

13. Si :

B) -2,5 E) 0,5

C) 1,5

19. Sabiendo que : y è 0 IVC

CtgÖ = -0,25 y Ö 0 IIC

hallar :

A) -8/25 D) -24/25

C) 1/5

2

encontrar : Sec Ö

B) -7/25 E) 7/25

A) -17 D) -1

C) 24/25

B) 17 E) -4

20. Si : Ctgá = 2,4; además á 0 III C calcular :

y á 0 IIIC

E = 2Sená +

hallar :

C) 1

Cosá

2

E = Cosá - Tg á A) -0,5 D) -3,5

B) -1,5 E) -4,5

A) 1 D) 2

C) -2,5

Página -104-

B) 0 E) -2

C) -1


Calcular las razones trigonométricas de ángulos mayores de una vuelta con la ayuda de los ángulos coterminales. Deducir los valores reales de las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales principales. Calcular el cuadro de valores de loa ángulos cuadrantales más utilizados.

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo trigonométrico está en posición normal cuando su lado inicial pertenece al semieje positivo de abscisas y su vértice coincide con el origen de coordenadas, su lado final pertenece a cualquier parte del plano cartesiano; algunos ejemplos de ángulos en posición normal son (á,â y è):

En la figura á, â y è están en posición normal, además á 0 IC, â 0 IIIC y è 0 IVC

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Sea el gráfico siguiente:

En la figura: x: Abscisa del punto P y: Ordenada del punto P r: Radio vector

ÁNGULOS CUADRANTALES Son aquellos ángulos en posición normal, tal que su lado final pertenece a alguno de los semiejes coordenados, algunos ejemplos de ángulos cuadrantales son (á, â y è)

Luego: Senè =

Ctgè =

(y 0)

Cosè =

Secè =

(x0)

Cscè =

(y0)

Tgè =

(x0)

IMPORTANTE: - Al conjunto de todos los ángulos cuadrantales se les representa por {90°K; K 0 Z} o {Kð/2 rad; K 0 Z} -

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante

OBSERVACIÓN: Si è es un ángulo positivo y menor de una vuelta, se cumple: En grados sexagesimales - è 0 IC ø 0° < è < 90° - è 0 IIC ø 90° <è < 180° - è 0 IIIC ø 180° <è < 270° - è 0 IVC ø 270° < è < 360°

En radianes - è 0 IC ø 0 rad < è < ð/2 rad - è 0 IIC ø ð/2 rad < è < ð rad - è 0 IIIC ø ð rad < è < 3ð/2 rad - è 0 IVC ø 3ð/2 rad < è < 2ð rad

El esquema adyacente indica que: En el IC toda R.T. es positiva En el IIC sólo Seno y Cosecante son positivos En el IIIC sólo Tangente y Cotangente son positivos En el IVC sólo Coseno y Secante son positivos

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CUARTO AÑO


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CUADRANTALES

-

DE

ÁNGULOS

0°

90°

180°

270°

360°

Sen

0

1

0

-1

0

Cos

1

0

-1

0

1

Tg

0

N

0

N

0

Ctg

N

0

N

0

N

Sec

1

N

-1

N

1

Csc

N

1

N

-1

N

N: Significa, no existe

01 Hallar el valor de:

ÁNGULOS COTERMINALES Son aquellos ángulos trigonométricos que tienen los mismos elementos (lado inicial, lado final y vértice)

En la figura adjunta á y è son ángulos coterminales OBSERVACIÓN : -

Si á y â son ángulos coterminales su diferencia es un número entero de vueltas, esto es:

-

Si á y â son ángulos coterminales, entonces las R.T. (á) son respectivamente iguales a las R.T. (â)

07 A partir del gráfico, hallar: E = Cosá - Cosâ

E= 02 Hallar el valor de: E= 03 Hallar el valor de: E=

08 Calcular:

04 Hallar el valor de: 2

E= 3

E = 2 Cos 270º - 3 Sen360º + Tg 180º 09 Del gráfico, calcular: 05 Hallar el valor de: E = “ Sen450º + E= 06 Calcular: Tgá - Ctgâ, de la figura:

10 Si á y è, son Coterminales, calcular: E = Tgá - Cos(á - è + ð) - Tgè

Página -106-

CUARTO AÑO


01. Hallar el valor de:

A) -1 D) -4

B) -2 E) 0

C) -3

B) 2 E) -2

C) 0

E = Sen0° + Sen90° + Sen180° + Sen270° 10. Hallar: A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

02. Hallar el valor de: A) 1 D) -1

E = Cos90° + Cos0° - 2Cos180° + Cos270° A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

11. Reducir: E = 2aSecð + (a + b)Cos180° - (a - b)Csc


A) -a D) -4a

B) -2a E) -5a

C) -3a

12. Si: á y â son coterminales, además: A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

(Sená)

2x-1

= (Senâ)

x+5

hallar: “x”

04. Hallar:

A) 2 D) 8

E = 3Sec0° - 2Sec2ð + 3Tg

B) 4 E) 10

C) 6

B) 2 E) -2

C) 0

13. Del gráfico hallar: A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

05. Evaluar: E = Sen180° + 2Cos180° + 3Sen270° + 5Sec180° A) -2 D) -8

B) -4 E) -10

C) -6

06. Hallar: A) 1 D) -1 A) 1 D) -1

B) 2 E) -2

C) 3

14. Hallar “x”: 2

xSec0°+(x-1)Tg180°-(x+1)Sen270° = x Cos360°+Csc90°

07. Hallar:

A) 1 D) -1

B) 2 E) -2

C) 3

B) 1/2 E) 0

C) -1/2

15. Hallar: A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

08. Hallar: A) 3/2 D) -3/2 A) 2 D) 1/4

B) 1/2 E) 1

C) 4

16. Si: á y â son coterminales, reducir: E = (2Sená + 3Senâ)(3Cscá - 2Cscâ)


A) 1 D) -2

E = 3Tg0° + 2Csc90° - 6

Página -107-

B) 3 E) -4

C) 5

CUARTO AÑO


17. Siendo: á y â ángulos coterminales, además: á 0 IIC y Sená + Senâ = 1. Hallar: Cosâ A) 1/2 B) -1/2 C) /2 D) -

/2

20. De la figura hallar: + Cos(á - â)

E) -

18. Calcular: E = 2Sen390° + 3Tg765° + 4Sec840° A) -2 B) -4 C) -6 D) -8 E) -10 19. Evaluar:

A) 1 D) -1

A) 1 D) -1

B) 2 E) -2

C) 0

Página -108-

B) 2 E) -2

C) 0


Aplicar correctamente la reducción al primer cuadrante. Utilizar la reducción al primer cuadrante, mediante los ángulos de relación; complementarios y suplementarios. Reducir ángulos menores a una vuelta y ángulos negativos.

DEFINICIÓN : Reducir al primer cuadrante un ángulo mayor a 90°, es escribir el valor de su razón trigonométrica en función de una razón trigonométrica de un ángulo correspondiente al primer cuadrante. CASOS DE REDUCCIÓN DE ÁNGULO AL PRIMER CUADRANTE Para el estudio de reducción de ángulos mayores de 90° al primer cuadrante, se presentan los siguientes casos: 1.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EQUIVALENTES PARA ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA v Ángulos de la forma : (180° ± á) o (360° - á) o también (ð ± á) o (2ð - á)

! Cos(360° - 60°) = Cos60°

b.

! -Tgá

c.

!

d.

Sec(180° - 60°) = -Sec60° Sec120° = -2

e.

! -Cosá

f.

! -Ctgá

Entonces :

! -Sená

g. v Ángulos de la forma : (90° ± á) o (270° - á) o también :

! Cos(90° + 45°)

h. Entonces :

! Cos135° = -Sen45° = -

i.

Simplificar : P = Sen110° + Cos200°

OBSERVACIÓN : El signo (+ o -) depende del signo que tiene la razón en el cuadrante al cual pertenece el ángulo a reducir (suponer “á” ángulo agudo)

! Tenemos : P = Sen(180° - 70°) + Cos(180° + 20°) P = Sen70° - Cos20°, pero 70° y 20° son ángulos complementarios ! Sen70° = Cos20°

Ejemplos :

a.

! -Sená

Página -109-

P=0

CUARTO AÑO

j.


Simplificar :

k. Simplificar : T = Sen315° - Cos225°

Q = Ctg250° + Cos300° + Tg160° ! Tenemos : T = Sen(360° - 45°) - Cos(180° + 45°) T = -Sen45° - (-Cos45°) T = -Sen45° + Cos45°

! Tenemos : Q =Ctg(270° -20°) + Cos(270°+30°) + Tg(90°+70°) Q =Tg20°+Sen30°-Ctg70°, pero Tg20°=Ctg70°

!

! Q = Sen30°

T=0

OBSERVACIÓN :



E = 2 Cos360º - 3 Tg135º + Ctg225º 02 Calcular:

E = 3Sen(-150º) + Tg(-135º) + Csc(-95º) 07 Hallar el valor numérico de: E = Csc(-210º) + Sec300º + Ctg(-315º) + Tg225º

E=

08 Simplificar: 03 Reducir:

E = 2Tg1485º + 6Cos2220º - 2Sen750º

E = Sen150º Cos120º + Sec150º Csc120º

09 Calcular:

04 Calcular:

E = 8Csc2130º - 5Ctg855º + 2Sen450º

E = Sen330º Cos210º Tg135º Sec300º

10 Calcular el valor de:

05 Hallar el valor de E= E=

01. Colocar verdadero (V) o falso (F) : ( ) Tg210° = ( ) Sec300° = 2

03. Evaluar : E = Cos135° - Cos315°

( ) Sen135° = A) VVV D) FVF

B) FFF E) FVV

C) VFV

A) -2

B) 2

D)

E) -

04. Calcular : E = Sen210° - Cos120° - Csc300°

02. Calcular : E = Sen150° - Cos120° + Tg135° A) 1 D) 2

C) -2

B) -1 E) -2

A)

B)

D) -

E) -

C) 0

Página -110-

C)

CUARTO AÑO


05. Calcular :

13 Reducir: E = Sen120° . Cos330° 2Sen40º Sec130º + 3Cos80ºCsc170º

A) 2/3 D) 3/2

B) 3/4 E) 1/2

C) 4/3 A) 5 D) -1

B) -5 E) 6

C) 1

06. Simplificar : 14 Calcular: Cos40º + Cos80º + Cos100º + Cos120º + Cos140º A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

A) 1 D) -1/2

07. Simplificar :

B) -1 E) 0

C) 1/2

15 Reducir: Tg10º + Tg50º + Tg120º + Tg130º + Tg170º

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

A) 0 D)

08. Calcular :

B) 1 E) -

C) -1

16 Simplificar: Cos10º + Cos20º + ......... + Cos170º + Cos180º

A) 1 D) 2

B) -1 E) -2

C) 0

A) 1 D) 0

09. Calcular :

A) 3 D) -1/3

10. A qué es igual :

B) -3 E) 1

C) 1/3

18 Calcular:

Tg10° + Tg40° + Tg70° + Tg110° + Tg140° + Tg170° A) Tg10° D) 2Tg10°

C) -1

17 Si: Tg(180º + á) = 3; calcular: Ctg(180º - á)

E = 2Cos300° - Tg315° B) -1 C) 0 E) -2

A) 1 D) 2

B) 2 E) -2

B) -Tg10° E) -2Tg10°

Sen(180º-è)+Cos(180º-è)+Sen(180º+è)+Cos(180º+è)

C) 0

11. Calcular :

A) 1 D) 2Senè

B) 0 E) -2Cosè

C) -1

19 Reducir: Sen(á - 180º) + Cos(á - 270º)

A) -2 D) -8

B) -4 E) -10

A) 0 D) -2Sená

C) -6

Sen(180º+x) + Cos(90º+x) + Senx + Cos(270º+x)

E = 2Sen150º + 3Tg135º + 4Csc330º B) -4 E) -10

C) 2Cosá

20 Reducir:

12 Calcular el valor de :

A) -2 D) -8

B) 2Sená E) -2Cosá

A) -1 D) Senx

C) -6

Página -111-

B) 0 E) Cosx

C) 1

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de: M M

Utilizar las reglas de deducción al primer cuadrante. Calcular razones trigonométricas de manera más sencilla para ángulos no agudos. Utilizar la reducción al primer cuadrante para casos especiales como ángulos agudos mayores a una vuelta o negativos.

M

3. Calcular Cos(1290°)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA Para este caso bastará con dividir a la variable angular por 360° o su equivalente 2ð rad, para finalmente tomar la misma razón trigonométrica al residuo. Si el residuo no pertenece al primer cuadrante deberá utilizar la reducción explicada anteriormente

!

!

! Cos1290° = Cos210° 210° 0 IIIC

! R.T.(è) = R.T.(360n + á)

R.T. (360n + á) = ± R.T.(á) 4. Calcular Csc(2120°)

Ejemplos : 1. Calcular Sen(1990°)

!

!

! Csc(2120°) = Csc320° 320° 0 IVC

! Sen1990° = Sen190°

Csc320° = -Sec50°

190° 0 IIIC

Sen190° = Sen10°

2. Calcular Tg(4365°)

!

!

Tg4365° = Tg45°

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS NEGATIVOS En este último caso, pasaremos de ángulos negativos a ángulos positivos, es decir R.T. (-á) = R.T(á), para lo cual deberá tenerse en cuenta si el ángulo es menor de una vuelta, entonces se le suma 360°; volviéndose positivo, pero si es mayor a una vuelta se divide entre 360° y luego se trabaja con el residuo Ejemplos : 1. Reducir Tg(-300°) Tg(-300°) ! Tg(360° - 300°) = Tg60° 60° 0 IC

Tg45° = 1

Página -112-

Tg(-300°) = Tg60° =

CUARTO AÑO


3. Calcular Tg(-1240°) 2. Reducir Sec(-200°) Sec(-200°) ! Sec(360° - 200°) = Sec160° 160° 0 IIC

!

Sec(-200°) = -Sec20°

! Tg(-1240°) = Tg(-160°) ! Tg(-160°) = Tg(360° - 160°) = Tg200° 200° 0 IIIC

01 En cada caso, decir verdadero (V) o falso (F)

Tg(-1240°) = Tg20°

06 Reducir la expresión:

I) Tg(180º + x) = -Tgx II) Cos(360º - x) = - Cosx III) Sen(180º - x) = -Senx 02 En cada caso, decir verdadero (V) o falso (F)

07 Reducir:

I) Sec(90 + x) = Cscx II) Ctg(270º - x) = Tgx III) Csc(270º + x) ) Secx 03 Simplificar: 08 Simplificar: E=

E = 2Sen

04 Simplificar:

+ 4Tg

+ 5Cos

09 Reducir: E= 10 Dado un triángulo ABC, simplificar:

05 Simplificar:

E=

01. Afirmar, verdadero (V) o falso (F) : ( ) Sen(270° + x) = Cosx ( ) Cos(ð + x) = Cosx ( ) Ctg(180° - x) = -Ctgx A) VVV B) FFF D) VFV E) VFF

C) VVF

03. Cuántas de las siguientes proposiciones son correctas : I. Cos(90° + x) = Senx II. Tg(180° + x) = Tgx III. Csc(360° - x) = -Cscx IV. Sen(270° + x) = Cosx A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Ninguna

02. Indicar verdadero (V) o falso (F) : 04. Señalar lo correcto : ( ) Sen(270° - á) = -Sená ( ) Tg(90° + á) = -Ctgá ( ) Sec(270° + á) = Cscá ( ) Ctg(180° - á) = Tgá A) FFVV B) FVVF D) VFFV E) VVFV

I. Tg(90° + x) = -Ctgx II. Sen(180° + x) = Senx III. Sec(270° + x) = -Secx IV. Cos(180° - x) = Cosx A) I B) II D) IV E) I v IV

C) FVVV

Página -113-

C) III

CUARTO AÑO


05. Relacionar según corresponda : I.

Sen(ð + x)

13. Reducir :

A) Senx

II. Cos

B) -Tgx

III. Tg(ð - x)

C) -Senx

A) I - A; II - B; III - C C) I - A; II - A; III - A E) I - B; II - B; III - C

A) -1 D) 2

B) I - B; II - C; III - A D) I - C; II - A; III - B

C) 0

14. Reducir :

06. Simplificar :

Cos(8ð + x) + Cos(10ð + x) + Cos(14ð + x)

E = Sen(360° - x) + Cos(270° - x) - 2Sen(180° - x) A) 0 D) 2Senx

B) 1 E) -2

B) -Senx E) -4Senx

A) Senx D) 3Cos3x

C) Senx

B) 3Senx E) 3Cosx

C) 3Sen3x

B) 2 E) 1

C) 0

15. Simplificar :

07. Calcular : E = Sen(90°+è) + Cos(180° - è) + Tg(360° - è)-Tg(180°-è) A) 2Cosè D) -2Tgè

B) 2Senè E) 0

A) -2 D) -1

C) 2Tgè

16. Reducir :

08. Reducir :

A) 1 D) -1

E = Sen(2ð + x) + Cos(4ð + x) + Sen(7ð + x)

B) 2 E) -2

A) Senx D) -Cosx

C) 0

B) Cosx E) 3Senx

C) -Senx

B) -1 E) -2

C) 0

B) -2 E) 2

C) -3

B) -2 E) 2

C) -3

B) -2 E) 2

C) -3

17. Reducir :

09. Reducir : A) 1 D) 2 A) 1 D) -1

B) 2 E) -2

C) 0

18. Reducir :

A) -1 D) 1

10. Reducir :

19. Reducir : A) -1 D) 2

B) 1 E) -2

C) 0

11. Simplificar :

A) -1 D) 1

E = Sen(90° + è)Tg(180° - è)Sec(90° + è)

20. Calcular : nota : A) -1 D) Tgè

B) 1 E) -Tgè

C) Senè

12. Reducir :

A) -1 D) 2

A) -1 D) 1 B) 1 E) -2

C) 0

Página -114-

01. Hallar el valor numérico de :

si : x = 45° A) -2 D) 2

B) -5 E) 5

07. Desde un punto del suelo se ubica la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamos 5 m el nuevo ángulo de elevación es de 45°. Calcule la altura del árbol A) 8 m B) 10 m C) 12 m D) 15 m E) 18 m

C) -3

08. De la figura hallarS : enáCosá

02. Si : ; hallar : A) 2 D) 1/3

B) 3 E) 2/3

C) 1/2

03. Hallar el valor numérico de :

A) -2/3 D) -3/2

B) 2/3 E) 1/2

A) 5/2 D) -1/2

C) 3/2

09. Si : Ctgá = 04. Si ABCD es un cuadrado, hallar Tgè

B) 2/5 E) -5/2

C) -3/2

y cumpliéndose que : á 0 IVC, hallar

el valor de : A) 1/5 D) -3/5

E = Sená + Cosá B) -1/5 C) 2/5 E) -4/5

10. Si el punto P(-3; 4) es un punto que pertenece al lado final del ángulo “è” en posición normal, calcular: A) 3/4 D) -3/4 A) 3/4 D) 4 05. Hallar

B) 4/3 E) 5

B) 4/5 E) -4/3

C) 3/5

C) 3 11. Calcular : 2 Tg 60° + 2Csc30° + A) 2 B) 3 D) 5 E) 8

Sená

Tg30° C) 4

12. De la figura, hallar : Ctgá + Ctgâ

A)

B)

D)

E)

C) A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

13. Si : 270° < è < 360°; indicar el signo de : 06. Si a 20 m de un poste se observa lo alto con un ángulo de elevación de 37° y luego nos acercamos al poste una distancia igual a su altura, la elevación es “è”. Calcular Tgè A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

Página -115-

E = Senè.Tg A) (-) D) (-) y (+)

.Sec

B) (+) E) Ninguno

C) (-) o (+)

CUARTO AÑO


14. Calcular

18. ¿Cuáles ángulos son coterminales? E = Sen

A) 0 D) 3

+ Cosð + Sec2ð B) 1 E) -1

C) 2

15. Calcular : Sen150° + 2Cos210° + Tg300° - Sen30° A) -

B) 2

D) 4

E)

I.

rad

II.

rad

III.

rad

A) Todos D) I y III

C) -2

B) II y III E) I y II

C) Ninguno

19. Calcular : 16. Indicar el signo de : Tg2040° - Tg2460° A) D) -2 A) (+) D) (+) y (-)

B) (-) E) Ninguno

B) 2 E) 0

C) 2

B) 2 E) 1

C) 0

C) (+) o (-) 20. Simplificar :

17. Calcular :

A) -2 D) -1 A) 0 D) 1

B) 0,5 E) 1,25

C) 0,25

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Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas rectangulares y cuyo radio es igual a la unidad

OBSERVACIÓN: v

El ángulo central que subtiende un arco en posición estándar en la C.T., tiene una medida en radianes, que es numéricamente igual a la medida del arco en unidades lineales

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Son segmentos dirigidos de recta en la C.T que nos representan el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o arco I.

LÍNEA SENO El seno de un arco está representado por la ordenada de su extremo de arco

La circunferencia trigonométrica tiene como ecuación : 2

2

x +y =1 Elementos de la C.T : A (1; 0) : Origen de arcos B (0; 1) : Origen de complementos A' (-1; 0) : Origen de suplementos B' (0; -1) : Sin nombre especial P : Extremo de arco ARCO EN POSICIÓN ESTÁNDAR Es aquel arco cuyo extremo inicial es el origen de arcos de la C.T y cuyo extremo final está en cualquier punto sobre la C.T, además nos indica el cuadrante al cual pertenece dicho arco

Rango de valores

-1 # Senè # 1

è0ú

Del gráfico : á y è son arcos en posición estándar

01. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? I. II. III. IV. V.

Sen40° Sen100° Sen160° Sen220° Sen280°

02. Al ordenar en forma descendente los valores de: Sen40°; Sen100°; Sen200°; Sen250° y Sen340°, el tercer término es: 03. ¿En qué cuadrante(s) la función seno es creciente?

Página -74-

CUARTO AÑO


04. Hallar el máximo valor de la expresión:

08. Si :

E = 2Sená - 3Senâ (á â)

afirmar si es (V) o (F) : ( ) Senx1 > Senx2 ( ) Senx1 < Senx2 ( ) Senx1 . Senx2 < 0

05. Calcular el mínimo valor de la expresión: 2

2

(á â)

E = 3Sen á - 4Sen â

< x1 < x2 < ð

09. Si : ð < x < y <

06. Hallar el máximo valor de: 2

I. Senx > Seny II. El Senx decrece III. La Cscy crece

3

E = 3Senx - 4Sen y + Sen z (x y z) 07. Determine el mínimo valor de :

10. Hallar el intervalo de “x” a partir de :

4

E = Sena + 3Senb + 5Sen c ; (a b c)

Senè =

01. Indicar el mayor valor: A) Sen10° D) Sen190°

; entonces :

06. En la C.T mostrada, hallar el área de la región sombreada

B) Sen70° E) Sen250°

C) Sen100°

02. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor? A) Cos20° D) Cos250°

B) Cos80° E) Cos350°

C) Cos170°

03. Hallar la variación de “K”, sabiendo que: Cosx = A) [-3; -1] D) [-5; 1]

B) [-4; -2] E) [-3; -2]

C) [0; 5] A) Senè

B) Cosè

D)

E) -Senè

C)

Senè

04. Si á 0 IIC, hallar el intervalo de K, sabiendo que: Cosè

Sená = A) [1; 3] D) ]2; 5[ 05. De la figura sombreada

B) ]1; 3[ E) [-2; 3[ hallar

el

07. Si :

C) [2; 5]

, hallar la cantidad de valores

enteros que puede tomar “a” área

de

la

región

A) 6 D) 9

B) 7 E) 10

C) 8

08. Hallar el área de la región sombreada:

A) Senè

B) Cosè

D)

E) 2Senè

Cosè

C)

Senè A) SenèCosè D) Cosè

Página -75-

B) -SenèCosè C)Senè E) 1

CUARTO AÑO

09. Si :


16. Si : è 0 IIIC y Senè =

< x < y < ð, entonces :

I. Seny < Senx II. Cosx < Cosy III. Senx < Cosy es (son) verdadera (s) : A) Sólo I D) I y II

entonces el intervalo para “k” es : Rpta: .........................

B) Sólo II E) N.A.

17. En cada caso resolver : A. Hallar el máximo de : E = 3 - 2Sená B. Hallar el mínimo de : E = Sená - 2Senâ

C) Sólo III

10. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? A) Sen40° D) Sen220°

B) Sen100° E) Sen280°

C) Sen160°

Rpta: ......................... 18. Si : “a” el máximo valor y “b” el mínimo valor de la expresión : 7Senx - 2, determinar el valor de : “a - b”

11. Hallar los valores de “k” si :

Rpta: .........................

Sená =

19. En la C.T. hallar el área sombreada Rpta: ......................... 12. Si: Senâ =

, calcular la suma de los valores

máximos y mínimo de “k” Rpta: ......................... 13. Si : Senx =

, hallar la suma de todos los

valores enteros de “a” : Rpta: .........................

Rpta: ......................... 20. Hallar el área sombreada 14. Si : Senx =

, hallar la cantidad de valores que

puede tomar “a” Rpta: ......................... 15. Si : è 0 IVC y Senè =

;

¿cuántos valores enteros puede tomar “a”? Rpta: .........................

Página -76-

Rpta: .........................

LÍNEA COSENO : El coseno de un arco está representado por la abscisa de su extremo de arco

Rango de valores

-1 # Cosè # 1

01. En qué cuadrante el seno y el coseno son crecientes 02. Afirmar si es (V) o (F) : ( ) En el IC el coseno crece ( ) En el IIIC el coseno crece ( ) En el IIC el coseno crece ( ) En el IVC el coseno crece

è0ú

06. Hallar el mínimo valor de la expresión : 2 2 E = 3Cos á - 4Cos â (á â) 07. Hallar el intervalo de “n”, tal que : Cosè =

03. Hallar el valor de :

08. Cuántos valores enteros puede tomar “K”, si :

E=

Cosè =

04. Cuál de los siguientes valores es el menor : I. Cos20° II. Cos100° IV. Cos160° V. Cos260° V. Cos320°

09. Si : 2Cosx + 1 = 3a calcular la suma de todos los valores enteros de “a”

10. Si : Cosè = 05. Hallar el máximo valor de la expresión : E = 2Cosá - 3Cosâ (á â)

01. Si è 0 IIIC además: ,

, calcular la suma del máximo y

mínimo de “a”

02. Siendo á y â arcos independientes, hallar el mínimo valor de: G = 3Cosâ - 4Sená

calcular la suma de los valores enteros de “k” A) -1 B) -2 C) -3 D) -6 E) 3

A) -1 D) -7

Página -77-

B) -3 E) -9

C) -5

CUARTO AÑO


03. Calcular el máximo valor de : 2 H = 4Cosá - 2Sen â siendo á y â arcos independientes A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. Si : è 0 IIIC y Cosè =

, entonces el intervalo

“K” es: Rpta: ......................... 13. Si : è 0 IVC, hallar el intervalo de “K” tal que:

04. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor? A) Cos20° B) Cos100° C) Cos160° D) Cos260° E) Cos320°

Cosè =

05. Determine el intervalo de “k” si se cumple la siguiente igualdad :

Rpta: ......................... 14. Hallar el intervalo de “x” si : 2

Cos è = A) [-14; -6] D) [4; 12] 06. En

la

Cosè=

B) [-13; -5] E) [5; 13]

circunferenca

C) [-12; -4] Rpta: .........................

trigonométrica

mostrada:

y OM=MB. Calcular el área de la región

15. Si :

< x1 < x2 < ð

I. Cosx1 > Cosx2 II. Cosx2 = Cosx1 III. Cosx1 < Cosx2

triangular OMP

16. Si : ð < á < è <

A) 1/6 D) 1/2

B) 1/3 E) 2/3

; entonces :

I. Cosá < Cosè II. Cosá > Cosè III. CosáCosè > è son verdaderas : Rpta: .........................

C) 1/4

17. Hallar la suma entre el máximo y mínimo valor de la siguiente expresión : E = 6 - 2Cosè Rpta: .........................

07. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor? A) Cos20° B) Cos100° C) Cos160° D) Cos260° E) Cos320° 08. Hallar los valores de “k” si :

18. Determinar la diferencia entre el máximo y mínimo de la siguiente expresión : E = 5Cos2á + 3Cos2â

Cosè= A) [-1; 2] D) [-1; 3]

Rpta: .........................

B) [-2; 1] E) [-1; 1]

C) [-3; 2]

Rpta: ......................... 19. Indicar verdadero (V) o falso (F)

09. Hallar el área de la región sombreada

( ) Cosè = ( ) Cosè = ( ) Cosè = A) Sená D) -Cosá

B) Cosá E) 1

20. Calcular el área sombreada :

10. Si ð < á < è < 3ð/2, entonces : I. Sená < Senè II. Cosá < Cosè III. SenáCosè > 0 es (son) verdadera(s) : A) Sólo I B) Sólo II D) I y III E) II y III 11. Si : è 0 IIC, y Cosè =

Rpta: .........................

C) -Sená

C) Sólo III

; entonces el intervalo de

“K” es : Rpta: .........................

Página -78-

Rpta: .........................

DEFINICIÓN Son aquellas igualdades que relacionan funciones trigonométricas de una cierta variable angular; las cuales se verifican para todo valor permisible de la variable presente.

*

CLASIFICACIÓN

*

IDENTIDADES RECÍPROCAS *

*

SenxCscx = 1

Y Cscx =

CosxSecx = 1

Y Secx =

2

2

2

2

1 + Ctg x = Ccs x 2

2

Y Ctg x = Csc x - 1 2 2 Y 1 = Csc x - Ctg x Los problemas en este capítulo son de tipo simplificación, y condicionales. Para resolver se requiere un manejo eficiente de las identidades ya mencionadas; motivo por el cual es importante resolver problemas de este capítulo, más aún cuando constituye la base de la parte práctica del curso. Ejemplos : 1.

*

2

Y Tg = Sec x - 1 2 2 Y 1 = Sec x - Tg x

Las identidades trigonométricas se clasifican de la siguiente manera : a)

2

1 + Tg x = Sec x

TgxCtgx = 1

2

Reducir : P = (TgxCosx) + (CtgxSenx)

2

Para reducir expresiones, generalmente se recomienda colocar toda la expresión en términos de senos y cosenos; así

Y Ctgx = P= b) IDENTIDADES POR DIVISIÓN 2

2

P = Sen x + Cos x Y P = 1 *

c)

*

2.

IDENTIDADES PITAGÓRICAS *

2

2

2

2

Y Sen x = 1 - Cos x 2 2 Y Cos x = 1 - Sen x

01. Reducir:

2

2

04. Simplificar:

Sená(Sená + Cscá) + Cosá(Cosá + Secá) 02. Simplificar:

2

2

Tg x + 2TgxCtgx + Ctg x = 9 Y Tg x + 2 + Ctg x = 9 ÆÉÉÉÈÉÉÇ 1 2 2 Tg x + Ctg x = 7 Y E = 7 ÆÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÇ E

Sen x + Cos x = 1 2

2

Si : Tgx + Ctgx = 3; hallar : E = Tg x + Ctg x En este problema condicional, tomaremos primero el dato : 2 2 Tgx + Ctgx = 3 Y (Tgx + Ctgx) = 3

05. Simplificar: (Secá - Cosá) (Cosá + SenáCtgá) 06. Si: Sená + Cosá =

03. Reducir:

calcular: SenáCosá

Página -79-

CUARTO AÑO 07. Si: Tgá - Ctgá = calcular:

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS 09. Hallar n en la siguiente identidad trigonométrica: n

2

= Tg x

2

Tg á + Ctg á 08. Hallar K en la siguiente identidad trigonométrica: 2

2

10. Si: Secè + Tgè =

2

Tg x - Sen x = KSen x

calcular: 1 + Secè - Tgè

01. Simplificar:

10. Reducir: 4 4 6 6 6(Sen x + Cos x) - 4(Sen x + Cos x) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

M = TgxSenx + Cosx B) Cosx C) Tgx E) Secx

A) Senx D) Ctgx

11. Reducir:

02. Reducir: A) Senx D) Tgx

G = (Cscx - Senx)Secx B) Cosx C) Ctgx E) Cscx

A) 1 - Senx D) 1

B) Cscx E) 0

C) 1 - Cosx

B) -1 E) 2

C) 0

12. Simplificar:

03. Calcular el valor simplificado de :

A) Secx D) SenxCosx

B) 1 + Cosx E) 1 + Senx

A) -2 D) 1

C) Tgx

2

13. Si: Senx + Sen x = 1 4 calcular : G = Senx + Cos x A) -2 B) -1 D) 1 E) 2

04. Si :

calcular : “SenxCosx” A) -

B) -

D) -

E) -

05. Si: Cosè + Secè = 3 2 2 calcular: Cos è + Sec è A) 3 B) 5 D) 9 E) 11

14. Si : Tgx + Ctgx = 3 calcular : 2 2 E = (1 + Tgx) + (1 + Ctgx) A) 5 B) 9 C) 13 D) 15 E) 21

C) -

15. Eliminar “x”: Senx + Cosx = m Senx - Cosx = n 2 2 A) m + n = 1 B) m + n = 2 C) m + n = 1 2 2 D) m + n = 2 E) m - n = mn

C) 7

06. Hallar k de la siguiente identidad :

A) Senx D) Secx

B) Cosx E) Cscx

16. Si: Senx.Cosx = n; hallar : Tgx + Ctgx A) n B) n-1 C) 2n-1 -1 D) 0,5n E) 0,5 n

C) Tgx

17. Si: mCtgá = n, hallar:

07. Reducir:

A) Senx D) Ctgx

A) 0 D) 2 B) Cosx E) Secx

B) m + n = 1 C) n + 2 = m 2 2 E) m + n = 1

B) 1 E) -1/2 2

C) Tgx

C) -1 2

4

18. Si: Senx + Sen x = 1; hallar Cos x + Cos x A) 0 B) -1 C) 1 D) 2 E) 4

08. Eliminar è de : (è 0 IC) Tgè + Ctgè = n A) n + 1 = m D) m + 1 = mn

C) 0

2

19. Si: Senx+Cosx=a Senx-Cosx=b eliminar x 2 2 2 2 A) a +b =1 B) a +b =2 2 2 2 2 D) a +b =4 E) a +b =5

2

2

C) a +b =3

09. Reducir: 20. Si: Cos x =

A) Senx D) Cscx

B) Cosx E) Tgx

eliminar x A) ab=1 D) 4ab=1

C) Secx

Página -80-

; Tgx= B) 2ab=1 E) 5ab=1

C) 3ab=1

01. Hallar :

2

2

A) 2Sen è 2 D) Sen è

A) 2Senx D) 2Cosx

2

E = 1 - Sen è + Cos è 2 2 B) 2Cos è C) 2Tg è 2 E) Cos è

B) 2Cscx E) 2Tgx

C) 2Secx

B) CtgA 2 E) Sen A

C) CosA

12. Hallar “x” si:

02. Simplificar : 4 4 E = Sen x + Cos x + 2SenxCosx A) 1 B) -1 C) 0 D) -2 E) 2

A) TgA D) SenA 13. Simplificar:

03. Simplificar :

E=

E= A) SenxCosx D) SecxCscx

B) Tgx - Ctgx C) Secx + Cscx E) Senx + Cosx

04. Simplificar :

2

2

A) Sen x 2 D) Ctg x

B) Cos x 2 E) Sec x

2

C) Tg x

14. Simplificar:

A) 1 D) -1

B) 2 E) -2

A=

C) 0

05. Simplificar : 2 E = (Senx + Cosx) - 2SenxCosx A) 1 B) 2 C) 0 D) -1 E) -2

A) 1+Senx D) 1-Senx

B) Cosx E) Cscx

C) Tgx

A) 1 D) -2

C) Tgè

B) Cosè 2 E) Cos è

B) Secá E) Tgá

A) 1 D) Cosè C) Tgè


C) -1

C) Cscá

17. Simplificar la expresión:

08. Reducir la expresión Tgè(Cscè-Senè) A) Senè 2 D) Sen è

B) 2 E) 0

A) Sená D) Cosá

(Tgè+Ctgè)Senè B) Cosè E) Cscè

C) 1-Cosx

16. Simplificar la expresión: 2 (Secá-Cosá)(1+Ctg á)

07. Reducir: A) Senè D) Secè

B) 1+Cosx E) 1+Secx

15. Reducir: 2 2 2 2 (1-Cos x)(1+Ctg x)+(1-Sen x)(1+Tg x)

06. Reducir la expresión : E = Cosx+SenxTgx A) Senx D) Secx

(Secx-Tgx)

B) Senè E) 2

C) Tgè

18. Reduciendo la expresión : 2 2 (SenA+CosA) +(SenA-CosA) se obtiene: A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 19. Simplificar:

A) Senx D) Secx

B) Cosx E) Cscx

C) Tgx

E= A) 1 - Cosx C) 1 - Secx E) 1 + Senx

10. Reducir la expresión : E=

- Ctgx

B) 1 + Cosx D) 1 + Secx

20. Simplificar: A) Senx D) Secx

B) Cscx E) Tgx

C) Cosx

11. Reducir:

A) Tgx 2 D) Ctg x

Página -81-

2

B) Tg x 3 E) Ctg x

3

C) Tg x

01. Si:

09. Si: Tgá + Ctgá =

hallar:

Tgá + Ctgá =

2

hallar:

2

E = Tg á + Ctg á B) 2 C) 3 E) 5

A) 1 D) 4

E = Tgá - Ctgá B) 4 C) 6 E) 10

A) 2 D) 8

02. Si:

10. Si: Sená + Cscá = 4

hallar: A) 10 D) 16

2

SenáCosá = 6 calcular:

2

E = Sen á + Csc á B) 12 C) 14 E) 18

03. Si: 4SenáCosá = hallar: A) 5/4 D) 6/7

4

4

E = Sen á + Cos á B) 5/8 C) 3/2 E) 5/2

04. Si:

6

6

E = Sen á + Cos á B) -115 C) -107 E) -110

A) -105 D) -112

11. Si: Senx Cosx=n hallar : Tgx+Ctgx -1 A) n B) n -1 D) 0,5 n E) 0,5 n 12. Si: 2Cosá = Sená 4 calcular : Sec á A) 23 B) 24 D) 26 E) 27

-1

C) 2n

C) 25

Sená + Cosá = 13. Si: mCtgá = n hallar:

hallar: E = SenáCosá A)

B)

D)

E)

E=

C) A) 0 D) 2

B) 1 E) -1/2

C) -1

14. Si: Sená + Cosá =

05. Si: SecáCscá = 7 calcular: A) 7 D) 35

2

hallar: 2

E = Sec á + Csc á B) 14 C) 21 E) 49

A) 1 D) -2

E = 4Sená Cosá B) -1 C) 2 E) 0

15. Si:

06. Si: Ctgá - Cscá = 3 hallar: A) 1/3 D) 0

calcular:

E = Ctgá + Cscá B) -1/3 C) -3 E) 3

E = Tgá + 2Ctgá A) 2 D) 5

07. Si:

B) 3 E) 6

C) 4

Tgá + Ctgá = m calcular:

16. Si: 10

10

Secx + Tgx = 5

E = Sec áCsc á calcular: -10

A) m -5 D) m

10

B) m 2 E) m

C) m

5

A) 1 D) 0,1

Secx - Tgx B) 0,5 E) 0,4

C) 0,2

08. Si: 17. Si: SecáTgá = 5 Cscx + Ctgx = 2

hallar: 4

A) 7 D) 13

4

calcular el valor de : “Ctgx” A) 0,5 B) 0,75 D) 1,25 E) 1,5

E = Sec á + Tg á B) 9 C) 11 E) 15

Página -82-

C) 1

CUARTO AÑO


18. Dado:

22. Si: Senx + Cosx = hallar:

A) -6 D) -3

B) -5 E) -2

19. Si:

2

2

Sen á . Cos á

calcular el valor de: Tgx + Ctgx + 1 A) 1/2 D) 1/5

C) -4

B) 1/3 E) 1/10

C) 1/4

23. Hallar “K” si: 2 2(1 + Sená + Cosá) = K(1 + Sená)(1 + Cosá)

2

Senx + Sen x = 1 A) 1 D) 4

calcular : A) 1 D) -1

Cscx - Senx B) 2 E) -2

B) 2 E) 5

C) 3

B) -2/3 E) 1

C) 3/2

B) Cosá E) 0

C) Tgá

C) 3 24. Si:

20. Si: calcular:

2

Senx + Sen x = 1 hallar: A) 0 D) 2

2

4

Cos x + Cos x B) -1 C) 1 E) 4

21. Hallar “x” si:

A) TgA D) SenA

A) 2/3 D) -3/2 25. Si: 0° < á < 90° reducir:

B) CtgA 2 E) Sen A

A) Sená D) Ctgá

C) CosA

Página -83-

01. Si : Tgx+Ctgx=2 (x 0 IQ) calcular: Tg10x + Ctg10x A) 1 B) 2 D) 210 E) 220 02. Si : Senx + Cosx = 2/3 hallar: Tgx + Ctgx A) 5/18 B) - 5/18 D) 18/5 E) - 17/5 03. Si: Tgx+Ctgx=3 hallar: Tg4 x + Ctg4x A) 41 B) 43 D) 47 E) 49

14. Si : (1+Senx)(1+Seny)=CosxCosy hallar : CovxCovy A) CosxSeny B) SenxCosy C) SenxSeny D) CosxCosy E) SecxSecy

C) 25

C) - 18/5

15. Si: Senx+Cosx= calcular : Sec2x+2Ctgx A) 3 B) 2 D) - 1 E) - 2

C) 45

16. Si: Sen4x-Cos4x= SenxCosx calcular : Tg2x+Ctg2x A) 5 B) 4 D) 2 E) 1

04. Si: Secx+Cosx= . Calcular: Secx-Cosx A) 2 B) 3 C) 4 D) E) 05. Si: Secx+Cscx= ; calcular : 2(Tgx+Sen2x) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 06. Si: Cos x = A) ab=1 D) 4ab=1

; Tgx=

eliminar x

B) 2ab=1 E) 5ab=1

07. Si: Senx+Cosx=a Senx-Cosx=b eliminar x A) a2+b2=1 B) a2+b2=2 2 2 D) a +b =4 E) a2+b2=5 08. Si: Secx+Tgx=2 hallar : Secx-Tgx A) 1/2 B) 1/4 D) - 1/4 E) 1/3

C) 3ab=1

C) 3

17. Si: Senx+Sen3x=a Cosx+Cos3x=b hallar : aCscx+bSecx A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18. Si la expresión es independiente de x, hallar a/b 3a(Sen4x+Cos4x)+b(Sen6x+Cos6x) A) 1/5 B) 1/3 C) 1/2 D) 2/3 E) 5/2 19. Si Tgx+Ctgx=3 hallar : Senx+Cosx A) 5 B) 5/2 D) 5/4 E) 5/6

C) a2+b2=3

C) 1

C) 5/3

20. Si : Senx+Cosx=n hallar : Tgx+Ctgx+Secx+Cscx

C) -1/2

A) n+1

B) n-1

D)

E)

C)

4

21. Si: 2Cosá = Sená ; calcular : Sec á A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27

09. Si: Cscx+Ctgx=3, hallar 5(Senx+Cosx) A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

22. Si: mCtgá = n, hallar: 10. Si: 3Senx+4Cosx=5, calcular : Tgx+ A) 1 D) 9/4

B) 5/4 E) 11/4

11. Si: Secx-Tgx=2 calcular Senx A) /2 B) D)

/4

E)

12. Si : Senx(1+Senx)=1 hallar Cos2x+Cos4x A) 3 B) 2 D) - 1 E) - 2

/2

C) 7/4

C)

/5

/3

A) 0 D) 2

B) 1 E) -1/2

C) -1

23. Si: Senx.Cosx = n; hallar : Tgx + Ctgx -1 -1 A) n B) n C) 2n -1 D) 0,5n E) 0,5 n 24. Hallar “k” si : 2 2(1+Sená+Cosá) = k(1+Sená)(1+Cosá) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

C) 1 25. Si:

13. Sabiendo que : Cosx(1+Cosx)=1 calcular : Ctgx-Senx A) 1 B) - 1 C) 2 D) - 2 E) 0

2

2

hallar : Sen áCos á A) 1/2 B) 1/3 D) 1/5 E) 1/10

Página -84-

C) 1/4

a

Sen(á + â) = SenáCosâ + SenâCosá

b

Cos(á + â) = CosáCosâ - SenáSenâ

c

C) Tg8° (queda para el alumno)

Tg(á + â) =

d

Sen(á - â) = SenáCosâ - SenâCosá

e

Cos(á - â) = CosáCosâ + SenáSenâ

f

PROPIEDADES

Tg(á - â) =

Tgá + Tgâ + TgáTgâ Tg(á + â) = Tg(á + â) Tgá - Tgâ - TgáTgâTg(á - â) = Tg(á - â)

APLICACIONES t

Calcular : A) Sen75° Sen75° = Sen(45° + 30°) Sen75° = Sen45°Cos30° + Sen30°Cos45°

Si á+â+è=ð se cumplen: Tgá+Tgâ+Tgè=TgáTgâTgè Ctgá Ctgâ+Ctgá Ctgè+Ctgâ Ctgè=1

t Si á+â+è=

se cumplen:

Ctgá+Ctgâ+Ctgè= Ctgá Ctgâ Ctgè Tgá Tgâ+Tgá Tgè+TgâTgè=1 Sen75°= En general: Estas dos propiedades se cumplen si: á+â+è=kð á+â+è=(2k+1) donde k es un número entero B) Cos16° Cos16° = Cos(53° - 37°) = Cos53°Cos37° + Sen53°Sen37°

Demostración: A partir de á+â+è=ð ! á+â=ð - è Entonces Tg(á+â)= Tg(ð - è), desarrollando y reduciendo se obtiene: =-Tgè,

=

efectuando: Tgá+Tgâ= -Tgè+Tgá Tgâ Tgè Cos16° = Tgá+Tgâ+Tgè=Tgá Tgâ Tgè

L.q.q.d.

Luego dividiendo a ambos miembros por : Tgá Tgâ Tgè, se obtiene: Ctgâ Ctgè+Ctgá Ctgè+Ctgá Ctgâ=1

Página -85-

L.q.q.d.

CUARTO AÑO


01. Reducir:

06. Reducir: - Tgá

02. Reducir:

07. Reducir: - Ctgá.Ctgè

03. Reducir: 08. Reducir:

+ TgáTgâ

04. Si: 2SenáCosè=1+2SenèCosá calcular : Sen(á - è)

09. Si: 3Cos(á+è)=4Cos(á - è) calcular: CtgáCtgè

05. Si: 3CosáCosè+2=3SenáSenè calcular: Cos(á+è)

01. Sin tablas, hallar:

10. Si: 2Sen(á+è)=3Sen(á - è) calcular : TgáCtgè

06. Sin tablas, hallar: Sen8°

A) D)

B) 7

Sen7° C) A)

B)

D)

E)

C)

E)

02. Sin tablas, hallar: 07. Sin tablas, hallar: Cos15° A)

B)

D) 2 +

E)

A) -1 D) -2

C) 2 -

Cos90° B) 0 E) 2

C) 1

08. Sin tablas, hallar: Sen97°

03. Sin tablas, hallar: Tg16° A) 24/25 D) 24/7

B) 25/24 E) 7/25

A)

B)

D)

E)

C)

C) 7/24 09. Sin tablas, hallar: Cos105°


A)

B)

C)

D) -

E) -

Tg29° A) 7/24 D) 16/31

B) 31/17 E) 31/7

C) 17/31



Tg61° Cos21°

A)

B)

D)

E)

A)

B)

D)

E)

C)

Página -86-

C)

CUARTO AÑO


11. Calcular: Cos(40°+á)Cos(20°-á)-Sen(40°+á)Sen(20° - á) A)

/2

D) -

B)

/2

E) -

/2

B)

D) -1/2

E) -

Sen(á+45°)=

C) 1/2

calcular: Sená + Cosá A) 3/2 B) 2/3 D) -3/2 E) -1/3

/2

12. Calcular: Sen(20°+á)Cos(25°-á)+Sen(25° - á)Cos(20°+á) A) 1/2

19. Si:

/2

C)

C) -2/3

20. Reducir:

/2

/2 A) 1 D) /3

13. Si : Tgá=2; Tgâ=3 calcular: Tg(á+â) A) 1 B) -1 D) -1/7 E) 7

C) 1/7

B) 2 E)

C) 1/2

B) 6 E 10/3

C) 12

23. Hallar Tgá

14. Si: á + â = 45° y Tgá = 4 ; calcular: Tgâ A) -3/4 B) -4/3 C) -1/2 D) -1/3 E) -3/5 15. Simplificar: A) 2 D) 18

+ TgáTgâ A) 1 D) 2

B) -1 E) N.A.

C) 0

B) 2 E) 0

C) 3

24. Si ABCD: cuadrado; hallar: Tgè

16. Reducir:

A) 1 D) 4

A) 3/4 D) 7

17. Si: Tg(á+â)=3 Tg(á - â)=2

B) 4/3 E) 3

C) 1/7

B) 2 E) 2/3

C) 3

25. Hallar: Tgá

hallar : Tg2á A) 1 D) 7

B) -1 E) -7

C) 1/7

18. Calcular: 2Sen70° Cos10° - Sen80° A) 1/2

B)

D)

E) 2

/2

C) 1

A) 1 D) 3/5

Página -87-

01. Calcular Sen75°

09. Simplificar:

A)

B)

D)

E)

F=

C) A) Tg5° D) Tg30°

C) 1

B) -3 E) -11/2

C) -5/2

10. Calcular: Tgè

02. Si: á - â = 60°, calcular: 2

(Cosá + Cosâ) + (Sená + Senâ) A) 1 D) 3/2

B) Tg10° E) Tg50°

B) 2 E) 5/2

2

C) 3

03. Si Tgá = 33 v Tgâ = 3 calcular: Tg(á - â) A) 0,1 D) 0,03

B) 0,3 E) 0,2

C) 0,01 A) -2 D) -9/2

04. Calcular: Sen(10° + á)Cos(15° - á) + Sen(5° - á)Cos(10° + á)


A) 1/2 D)

-

/4

B)

/2

E)

+

C)

E = Tg8° + Sec 45°

/2

/4

05. Reducir:

A)

B)

D)

E) 7

C)

12. Hallar: A) 1 D) Ctgè

B) E) 0

C)

/2

E=

06. Reducir:

A) Senx D) Tgy

B) Cosx E) Ctgx

C) Tgx

Sen8° + Sen74°

A)

B)

D)

E)

C)

13. Hallar: E=

07. Reducir:

A) Tgá D) 0

B) Tgâ E) 1

A)

B)

D)

E)

C)

C) Tgè 14. Hallar:

08. Hallar el valor de: E=2

(Sen8° + Sec45°)

H = Cos50° + 2Sen40°.Sen10° A) 1

B)

D)

E) 0

C)

Página -88-

A)

B)

D)

E)

C)

CUARTO AÑO


15. Hallar:

18. Hallar: E = Sen8°Csc45°Sec74°

A)

B)

D)

E)

16. Hallar: A) 11 D) 99

2

A) 6 D) 48

C)

E = 31Tg29° + 17Tg61° B) 12 C) 36 E) 60

19. Hallar: A) 1 200 D) 1 500

2

E = Csc 8° + Csc 45° + Tg82° B) 44 C) 66 E) 111

2

2

E = Csc 8° + (17Csc29°) B) 1 300 C) 1 400 E) 1 600

20. Hallar: E=

17. Hallar: E= A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

A) 1,5 D) 3,0

C) 3

Página -89-

B) 2,0 E) 3,5

C) 2,5

SABEMOS:

2.

Fórmulas de degradación

Sen(A + B) = SenACosB + SenBCosA

2

2Sen x = 1 - Cos2x

Cos(A + B) = CosACosB - SenASenB

2

2Cos x = 1 + Cos2x 3.

Haciendo que: A = B = x Sen(x + x) = SenxCosx + SenxCosx !

Sen2x = 2SenxCosx 4.

Triángulo del ángulo doble

Cos(x + x) = CosxCosx - SenxSenx 2

!

2

Cos2x = Cos x - Sen x

!

RESUMIENDO: v

Sen2x = 2SenxCosx

v

v

5.

PROPIEDADES: 1.

-

Sec2x - 1 = Tg2xTgx

# SenxCosx #

ÆÈÇ Min

01. Calcular: A) Sen2è

6. ÆÈÇ Max

Tgx + Ctgx = 2Csc2x Ctgx - Tgx = 2Ctg2x

03. Si: B) Cos2è

C) Tg2è

Senx =

; x 0 IIC

si: Senè = hallar: A) Sen2x 02. Calcular : A) Sec2è si: Tgè = 2

B) Csc2è

C) Ctg2è

B) Cos2x

04. Si: Tgx = 3; x 0 IIIC, hallar: A) Ctg2x B) Sec2x

Página -79-

C) Tg2x C) Csc2x

CUARTO AÑO


05. Hallar el valor de “K”, en: Sen4á = KSenáCosáCos2á

08. Calcular:

06. Si:

09. Calcular:

4

4

K = Cos x - Sen x

Sená - Cosá =

2

2

2

E = (1 - 2Sen 10°) + (2Cos 35° - 1)

2

calcular: 3Sen2á 10. Si:

07. Si:

TgÖ =

2

(Senè + Cosè) = calcular: Tg2Ö

hallar: Csc2è

01. Si: Senx+Cosx= A) 1 D)

B) 1/2 /2

12. Reducir:

; hallar : Sen2x C)

/2

A) 1 D) 1/2

E) 3/5 2

02. Si : 3Tgá=2 - 2Tg á ; calcular : Tg2á A) 2/3 B) 3/4 C) 4/3 D) 1/3 E) 1/2

13. Reducir:

B) 2Cosx E) Senx

04. Reducir:

4

A) Sen20° D) Sen80°

C) Cosx

3

3

E = 2Sen xCosx + 2SenxCos x A) 1 B) 2 C) Sen2x D) Cos2x E) Tg2x

03. Simplificar: A) 3Cosx D) 2Senx

E = (Tgx + Ctgx)Sen2x B) 2 C) 3 E) 1/3

14. Calcular: Sen2x, de: 7Senx = 2Secx A) 1/7 B) 2/7 C) 3/7 D) 4/7 E) 5/7

4

Cos 10° - Sen 10° B) Sen50° C) Sen70° E) Sen40°

15. Simplificar: E=

05. Reducir:

A) Tgx D) Cosx

A) Tg5°

B) Tg10°

D) Ctg10°

E)

C) Ctg5°

B) Ctgx E) 1

C) Senx

16. Simplificar:

Tg5°

E= A) Tgx 2 D) Tg x

06. Simplificar:

2

B) Ctg x 2 E) Ctg x

C) Ctgx

E= 17. Si: A) 2 Senè D) 2 Sen2è

B) 2 Cos2è E) 2 Tgè

C) 2 Cosè

SenxCosx =

2

calcular: Sen2x A) 1/2 B) 1/4 D) 1/3 E) 2/3

07. Simplificar: E = Tg2è - Tg2èTg è A) Tgè B) 2 Tgè C) Ctgè D) 2 Ctgè E) 1 08. Calcular:

C) 1/6

A) Tg7° D) -Tg14°

E = Ctg7° - 2 CTg14° B) -Tg7° C) Tg14° E) 1

18. Reducir: E = (Cosx + Senx)(Cosx - Senx) A) Sen2x B) Cos2x C) 2Sen2x 2 D) 2Cos2x E) -2Cos 2x

09. Reducir: A) Sená D) 2Cosá

; 0°<á<45° B) Cosá C) 2Sená E) Cos2á

19. Reducir: 2 2 E = (Senx + Cosx) - (Senx - Cosx) A) Sen2x B) Cos2x C) 2Sen2x D) -Cos2x E) -2Cos2x

10. Si :

2

Tg á + Tgá -

A) D)

= 0, calcular : Tg2á

B) 2 /5

E) 2

C)

20. Si: E = CosáCos2áCos4áCos8á, es equivalente a:

/2

/5

A)

B)

D)

E)

11. Simplificar: A) Senx D) 2Cos2x

E = (Ctgx - Tgx)Sen2x B) Cosx C) 2Senx E) -2Cos2x Página -80-

C)

IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD

Ejemplo: Calcular Sen22°30'

Por degradación: Resolución: 2Sen

2

= 1 - Cosx ! Sen22°30' = Sen

2Cos

2

= 1 + Cosx ! Sen22°30'=

Despejando:

Sen

! Sen22°30' =

=

=

Sen22°30' = Cos

Tg

=

=

NOTA: El signo + o - va a depender del cuadrante del ángulo

PROPIEDAD

* FÓRMULAS RACIONALIZADAS Tg

= Cscx - Ctgx =

Ctg

*

= Cscx - Ctgx =

01. Si:

03. Si : Cosá = Cosx =

; 270° < á < 360°

; 270° < x < 360° hallar : Sen

halle : Cos

02. Si : Cosá = -

; 180° < á < 270°

04. Si se cumple :

calcular : Tg

halle : “x” si : 0° < x < 90°

Página -81-

= Ctg5x

CUARTO AÑO

05. Si se cumple:

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS 08. Calcular:

= Ctgx

(x : agudo) Hallar : Sec(x - 10°)

09. Reducir: CscxCsc2x - CscxCtg2x

06. Reducir: E = Csc10° + Ctg10°

10. Reducir :

07. Reducir:

Csc10° - Csc20° Csc40° - Ctg40°

Cscx + Csc2x + Csc4x + Ctg4x

01. Si “x” es un ángulo agudo del primer cuadrante y , entonces Sen A)

B) -

D) -

E) 1

02. Si : Cosx = (0 < x <

06. Si:

es : C) calcular “n” A) 8 D) 2

, calcular Cos

C) 4

07. Si:

)

A) 1/4 D) 2/5

B) 6 E) 1

B) 1/2 E) 3/5

C) 3/4 calcular:

03. Calcular : Tg22°30' A)

+1

D)

-1

B) E) 2

C)

A)

/2

D) -

-1

04. Si la cotangente de un ángulo es

, ¿cuál es la

B) 1 E) 2,5

/4

B) -

/4

C)

/4

E) -1/4

08. Si: 270° < x < 360° y Secx =

cotangente de la mitad de dicho ángulo? A) 0,5 D) 2

/4

, calcular el valor de:

Sen

C) 1,5 A) 0,1 D) 0,25

B) 0,2 E) 0,125

C) 0,5

05. Simplificar: 09. Si: Cosx = -0,2; x 0 IIIQ, hallar : Tg

A) 1 D) 0

B) 2 E) -2

A) -

B) -

D)

E)

C)

C) -1

06. Si: 10. Si:

calcular “è”; è 0 IC calcular “n” A) 8 D) 2

B) 6 E) 1

A) 30° D) 38°

C) 4

Página -82-

B) 28° E) 37°

C) 35°

CUARTO AÑO


11. Reducir:

17. Si : á 0 IIIC, donde: Sená = N=

A) 1 D) 2

Tgx B) -1 E) -2

, calcule el valor

de:

C) 0

12. Reducir: E=

A) 1

B)

D)

E) 5

C) 3

18. Si: , A) 2Sen D) 2Sen

B) 2Cos 2

E) 2Cos

13. Simplificar: E = Tg A) -1 D) Cosx

C) 2Tg calcular:

2

+ (1 - Cosx)Ctgx

B) 1 E) Tgx

A) 1/3 D) 3/2

C) Senx

B) 1/2 E) 2

19. Si 2Sen2è = 3Senè v

14. Si:

C) 2/3

< è < 2ð. Calcular:

Csc70° + Tg20° = a calcular : Ctg55° -1 -1 A) a B) 2a D) 2a E)

C) a

15. Reducir: R= A) -1 D) 2

B) 1 E) -2 2

16. Si: Cos á =

C) 1/2

A) -

B) -2

D) -4

E) -

20. Si :

; calcular :

; á 0 ]180°; 270°[,

hallar:

A) ±

B) ±

D) ±

E)

Sen A) 1 D) 4

C) -3

B) 2 E) 5

C) 3

Página -83-

C) ±

I.

FÓRMULAS De suma o diferencia a producto.

Ejemplos : Transforme a producto : (Complete) 1. 2. 3. 4. 5.

Sen5x + Senx = Sen7x - Sen3x = Cos4x + Cos2x = Cosx - Cos3x = Sen10x + Sen2x =

01. Reducir:

06. Reducir: N = 1 - (Cos40° + Cos80°)

2

07. Reducir: 02. Calcular: 08. Transformar a producto: Sená+Sen3á+Sen5á+Sen7á

03. Simplificar: A=Sen20°+Sen40°

09. Reducir:

04. Simplificar:

10. Transformar a producto:

05. Simplificar:

1+Cos2x+Cos6x+Cos8x


A) Senx D) Ctgx

B) Tgx E) Ctg2x

C) Tg2x

02. Transforme a producto la expresión: 1 + Sen10° A) 2Sen10°Cos70° B) 2Cos10°Cos70° C) 2Cos40°Cos10° D) 2Sen40°Sen10° E) 2Sen50°Cos40° Página -84-

CUARTO AÑO


03. Factorizar : Cos5x - Cos15x A) 2Sen10xSen5x B) 2Sen10xCos5x C) 2Sen10xSen3x D) 2Sen5xCos7x E) 2Sen7xCos5x

A) a.b

B)

D) a+b

E)

C) a-b

12. Reducir:

04. Transformar a producto la expresión: P=

2Cos40° + 2Cos70° A) 4Cos55°Cos15° B) 4Sen55°Sen15° C) 4Sen55°Cos25° D) 4Sen55°Cos35° E) 4Cos55°Cos25°

A) 2Sen6x D) 4Sen3x

B) 2Cos3x E) 4Cos3x

13. Reducir: P=

05. Reducir la expresión: A) Tg10° D) Tg20° A) Ctgx D) Ctg4x

C) 2Sen3x

B) Ctg2x E) Ctg5x

C) Ctg3x

B) 2Ctg20° E) Ctg20°

C) 2Tg20°

14. Convertir a monomio: P=

06. ¿Cuál es el equivalente de : Sen40° + Cos70° ? A) 2Cos15° B) Cos10° C) 3/5 D) 1 E) 2Cos20° 07. Hallar el valor de:

A) Sen20°

B) 2Sen25°

D) 2Cos25°

E)

C)

Sen25°

Cos25°

15. Los catetos de un triángulo rectángulo son: 1+Cos20° y Sen20°. Hallar su hipotenusa. A) 2Cos20° B) 2Cos10° C) Tg20° D) 2Cos40° E) 2Sen10° A) 0

B) 1

D)

E) 2

C)

08. Reducir: P= A) Tg4x D) -Ctg4x

B) -Tg4x E) -1

C) Ctg4x

16. Simplificar: 2(Cos5x+Cos3x)(Sen3x-Senx) A) Sen6x B) Sen7x C) Sen8x D) Sen9x E) Sen10x 17. Transformar a producto : 2 2 Cos 2x-Sen 3x A) CosxCos2x B) Cos2xCos3x C) Cos3xCos4x D) CosxCos5x E) Cos2xCos5x

09. Reducir: 18. Simplificar: P = 2Sen10° . Cos10° + Sen40° A) Sen10° D) Cos20°

B) Cos10° E)Sen40°

A) 1 D) 1/2

C)Sen20°

19. Reducir:

10. Reducir:

Sen25°+Sen35°+Cos175°

P=

A) D) -2

Cos20°+Cos100°+Cos220° B) -1 C) 0 E)-1/2

B) E) 0

A) 1 D) -1/2

C) 2

B) 1/2 E) -1

20. Transformar a producto:

11. Hallar:

A = 1 + 2Cos2x Tg2x A) Sen(30°+x)Cos(30°-x) B) Cos(30°+x)Sen(30°-x) C) 2Cos(30°+x)Cos(30°-x) D) 2Sen(30°+x)Cos(30°-x) E) 4Cos(30°+x)Cos(30°-x)

si:

Página -85-

C) 0

IDENTIDADES PRODUCTO - SUMA Si x > y, se cumple:

2Senx Cosy = Sen(x+y) + Sen(x-y) 2Seny Cosx = Sen(x+y) - Sen(x-y) 2Cosx Cosy = Cos(x+y) + Cos(x-y) 2Senx Seny = Cos(x-y) - Cos(x+y) PROPIEDADES I.

Si: á + â + è = 180° (triángulos)

II.

Si: á + â + è = 360°

01. Reducir: P = Sen2x + 2Senx . Cos3x

06. Simplificar 2 2 P = (2Sen5x . Cosx - Sen6x) - Cos 4x

P = 2Sen20°.Cos25°+Sen5°

07. Simplificar: P = Sen7x . Cos5x - Sen3x . Cos9x

02. Calcular:

03. Si: 2Sen

.Cos

= SenAx+SenBx

hallar: A+B

08. Reducir: P= 09. Transformar:

4

P = 8Sen x

04. Simplificar: P=

10. Reducir: 2

05. Reducir: 2 P = Cos0-(2Sen3á.Cosá-Sen4á)

01. Calcular: A) 1/2 D) -1

2Sen80°Cos20°-Cos10° B) 1 C) E) -

/2

P=Sen(á+â) . Sen(á-â) + Sen(â+è) . Sen(â-è) + Sen è

02. Reducir : 2Cos50°Sen10°+2Cos40°Cos10° A) 1 B) 1/2 C)

/2

D)

Página -86-

/2

E) 2

CUARTO AÑO


03. Simplificar: Cos6áSená+Cos4áSená-Cos5áSen2á A) 0 B) 1 C) - 1 D) 1/2 E) -1/2

10. Si :

= n ; calcular Tg4áCtgá

A) 2n

B)

C) n

D)

E) n -1

04. Reducir :

A) Sená D) 2Cosá

B) Cosá E) Tgá

C) 2Sená

2

11. Reducir a suma : 4SenáSen(60°-á)Sen(60°+á)

05. Calcular : A) Sen3á D) Sen9á A) 0 D) 1/2

B) 1 E) -1/2

C) -1

B) Sen5á E) Sen4á

12. Reducir a suma: 4CosáCos(60-á)Cos(60°+á)

06. Cuál de las siguientes expresiones equivale a : 2Cos6áSená

A) Cos6á D) Cos2á

A) Sen7á+Cosá B) Sen7á-Sen5á C) Cos7á+Sen5á D) Cos7á-Sen5á E) Cos7á+Sená

C) Sen7á

B) Cos4á E) Cosá

C) Cos3á

13. Reducir: 4CosxCos2xSen4x-Sen5x-Sen7x-Senx A) Sen2x D) Sen6x

07. Dada la expresión : 2Sen(x/2)Cos2x indicar si es igual a : A) Sen

+Sen

B) Sen

+Sen

B) Sen3x E) Sen8x

C) Sen4x

14. Si : 13á=ð, calcular:

A) 1 D) 1/2

B) -1/2 E) -3/2

C) 2/3

15. Simplificar : Cos4á+Cos2á C) Sen

-Sen A) -1/2 D) 1

D) Sen

B) 1/2 E) 2

C) 1

16. Reducir :

-Sen

-2Cos2á-2Cos4á-2Cos6á E) Cos

+Cos A) Sená D) 0

B) 1 E) Cscá

08. Si : Sen9á=3Sená 17. Para un triángulo ABC reducir: calcular : Y= A) 1 D) 3/2

B) 2 E) 5/2

C) 3 A) Tg

09. Si :

B) Ctg

reducir : A) 5/3 D) 5/4

.Tg

.Tg

3Cos8á=2Cos2á

B) 5/6 E) 2

C) 1 D) -1 E) 0

C) 3/4

Página -87-

.Ctg

.Ctg

C) -1

CUARTO AÑO 18. Para un triángulo ABC, reducir:

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS 19. Si: x + y + z = 90° reducir:

E=

P = Cos2x + Cos2y + Cos2z - 1 A) 1 B) Senx . Seny . Senz C) 4Senx . Seny . Senz D) 4Cosx . Cosy . Cosz E) Cosx . Cosy . Cosz

A) SenA . SenB . SenC B) CosA . CosB . CosC C) 2Cos

. Cos

. Cos 20. Reducir: P = Sen1° + Sen2° + Sen3° + ... + Sen180°

D) 2Sen

. Sen

. Sen

A) Tg30° D) Ctg1°

E) 1

Página -88-

B) Tg1° E) 0

C) Ctg30´

Son aquellas ecuaciones en las cuales la incógnita se encuentra afectada de operadores trigonométricos, como por ejemplo: i i i Los valores que verifiquen la ecuación son las soluciones de la ecuación. Generalmente existen en cantidades ilimitadas. Por ejemplo, resolver:

OBSERVACIÓN Es importante encontrar las dos primeras soluciones positivas de toda ecuación; en ese sentido se puede considerar lo siguiente: i Si la solución del IC encontrada es á, entonces si hubiese otra solución en el: IIC : ésta sería 180° - á IIIC: ésta sería 180° + á IVC: ésta sería 360° - á Las otras soluciones se obtienen adicionando (o restando) múltiplos de 360° 3.

1.

Aquí: 2x = 60°; 300°; 420°;................... 8 8 IC IVC

Aquí: x = 30°; 150°; 390°; 510°; 750°; 870°;............. 2.

Finalmente x = 30°; 150°; 210°; ..................................

x = 45°; 315°; 405°; 675°; 765°; 1035°; ............

01. Resolver: I. 2Senx = 1

06 Resolver: Tgx Cscx = 2Senx Rpta : ................... 07 Resolver: 2 - 0,25 Secx = Cosx

II. Tg3x = 1

Rpta : ...................

III. Sec5x =

Rpta : ...................

08. Resolver: 09. Resolver: 02. Resolver: 03. Resolver:

Sen2x = Cosx

04. Resolver:

2 Sen2x = 3 Cosx

10. Señale la suma de soluciones comprendidas en: de

05 Resolver: Tgx = 2 Sen2x

01. Resolver:

03. Resolver:

2Cos2x + 1 = 0 e indicar la solución principal A) 30° D) 120°

B) 60° E) 75°

Senx + CosxCtgx = 2 A) 120° D) 240°

C) 90°

C) 210°

04. Resolver:

02. Resolver: Senx + Cosx = 2 indicar la solución principal A) 15° D) 60°

B) 150° E) 330°

B) 30° E) 75°

Sen2x = Senx ; indicar el número de soluciones para [0; 2ð] A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

C) 45°

Página -89-

CUARTO AÑO


05. Resolver: A) 30° D) 75°

14. Resolver: B) 45° E) 120°

C) 60°

B) 90° E) 135°

C) 30°

A) 0° D) 30°

B) 90° E) T.A

C) 180°

06. Resolver: 15. Resolver: A) 45° D) 60°

2

(Senx + Cosx) = 3Sen2x indicar la solución principal A) 15° B) 30° D) 45° E) 60°

07. Resolver:

A) 10° D) 45°

B) 20° E) 15°

C) 30°

16. Resolver: 2Sen5xCosx - Sen4x = 1 ;

08. Resolver: A) 90° D) 45°

C) 37°

B) 180° E) 60°

hallar la tercera solución positiva

C) 270°

A) 15° D) 120°

09. Resolver:

B) 30° E) 135°

17. Resolver:

C) 75°

2

4Sen x - 1 = 0 ; indicar la suma de las 2 primeras soluciones positivas A) ð/4 D) ð/5

B) ð/8 E) ð/6

C) ð/3 A) ð D) 3ð/4

B) 3ð/2 E) 5ð/4

C) 2ð

10. Calcular un valor de x, si: 18. Resolver e indicar el valor principal: Tg3x + 1 = 0 A) 30° D) 53°

B) 37° E) 60°

C) 45°

11. Resolver: A) 0° D) 300°

B) 90° E) T.A

C) 60°

B) 60° E) T.A

C) 90°

A)

B) -

D) -

E)

C)

19. Resolver: x+y=

; Senx + Cosy = 1

12. Resolver: A) 0° D) 120°

A) 37° y 53° D) 30° y 60°

13. Al resolver la ecuación la suma de las dos primeras soluciones positivas, es: A) 90° B) 120° C) 150° D) 210° E) 240°

B) 10° y 80° E) 50° y 40°

C) 45° y 45°

20. Resolver:

Página -90-

5Secx - 4Tgx = 3 ; e indicar la solución principal A) 30° B) 60° C) 45° D) 37° E) 53°

01. Resolver:

10. Resolver: Tgx - 1 = 0

A) 10° D) 40°

B) 20° E) 50°

Tgx - 1 = Tgx C) 30° A) ð/4 D) 7ð/4

B) 3ð/4 E) 9ð/4

C) 5ð/4

02. Resolver: 11. Resolver: 2Sen(x+12°) + 1 = 0 A) 190° D) 199°

B) 194° E) 203°

;

C) 198°

e indicar la segunda solución positiva A) ð/3 B) ð/15 C) ð/12 D) ð/15 E) 4ð/15

03. Resolver: 1 + Senx = 0 A) ð/2 D) 2ð

B) ð E) 2ð/3

12. Resolver:

C) 3ð/2

Senx + Cosx =

04. Hallar la suma de las 2 primeras soluciones de: 2Senx A) ð D) 3ð/2

A)

B)

D)

E)

C)

=0

B) 2ð E) ð/4

C) ð/2

05. Resolver: 13. Resolver: Tg A) 21° D) 34°

+1=0 B) 22° E) 35°

Sen3x = 0; K 0 Z A) Kð D) Kð/4

C) 33°

C) Kð/3

14. Resolver:

06. Resolver:

Cos2x + Cosx + 1 = 0

+ 2Sen10x = 0 decir cuál no es solución A) 15° B) 24° D) 60° E) 66°

indicar el número de soluciones para el intervalo [0; 2ð] A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

C) 30°

07. Resolver: A) 60° D) 15°

B) Kð/2 E) Kð/5

Cscx - 2 = 0 B) 45° E) 50°

15. Resolver: C) 30°

3Tgx + Ctgx = 4 A) 30° C) 22°30' D) 18°30'

08. Resolver: Secx + 2 = 0 Hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas A) 2ð B) ð C) 2ð/3 D) 5ð/6 E) 5ð/3

16. Calcular la ecuación:

B) 45° E) Hay 2 respuestas menor

solución

positiva

SenxCosx = 09. Resolver: A) 40° D) 43°

5Sen(x+10°) - 4 = 0 B) 41° C) 42° E) 44°

A) 15° D) 60°

Página -91-

B) 30° E) 75°

C) 45°

de

la

CUARTO AÑO


17. Encontrar la segunda solución positiva de la ecuación:

19. Resolver: 2Senx - Cscx = 1

A) 15° D) 45°

B) 75° E) 60°

para x 0 [0°; 360°] e indicar el número de soluciones A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

C) 30°

18. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación:

20. Hallar la menor solución positiva de: CtgxCosx + Senx = 1

para x 0 [0°; 360° ] A) 180° B) 240° D) 300° E) 360°

C) 270°

Página -92-

A)

B)

D)

E) ð

C)

Ejemplos: i)

Hallar Cosá

Lados: a, b, c Ángulos: A, B, C Perímetro: 2p Circunradio: R

Por Ley de Senos:

LEY DE SENOS:

! 2.2SenáCosá = 3Sená Cosá = 3/4 ii)

Hallar “è”

Donde: a = 2RSenA b = 2RSenB c = 2RSenC LEY DE COSENOS: 2

2

2

2

2

2

Por Ley de Cosenos

a = b + c - 2bcCosA

2

2

= 3 + 4 - 2(3)(4)Cosè

b = c + a - 2caCosB 2 2 2 c = a + b - 2abCosC

! 2(3)(4)Cosè = 12 Cosè =

También:

01. En un triángulo ABC, se pide calcular:

è = 60°

08. En un triángulo ABC si B=120°, b= longitud del lado “a” 09. En un triángulo ABC simplificar:

02. En un triángulo ABC: a-b=2, c=5, hallar :

03. Los lados de un triángulo ABC tienen longitudes, BC=5; AC=3; AB=6. Calcular CosA 04. En un triángulo ABC calcular SecA, dado : 2

2

2

a -b -c = 05. Los lados de un triángulo son 1 m, 2 m y Hallar el ángulo mayor

2

2

10. De la figura, hallar : x +y +12

m.

06. En un triángulo ABC se cumple que : Calcular : mËA 07. En un triángulo ABC calcular : 2(abCosC+bcCosA+acCosB) Página -93-

, c=1, hallar la

CUARTO AÑO


01. Del gráfico, calcular “x”

08. En un triángulo ABC, se cumple : (a + b + c)(a + b - c) = 3ab calcular : TgC A) 1 B) -1 D) -

A)

B)

D)

E)

C)

C)

E)

09. En un triángulo ABC, se cumple : 2

2

2

a =b +c -

02. De la figura, calcular: Cosè hallar : TgA A) 1/3

B) 3

D)

E) 3/2

bc

C) 2

10. En un triángulo ABC, calcule : CosC, si se cumple la igualdad : A) 1/5 D) 1/3

B) 1/4 E) 1/2

C) 1/7

(a + b + c)(a + b - c) =

ab

B) -2/3 E) 1/2

C) -3/4

A) -1/2 D) -4/3

03. En la figura mostrada, calcular el ángulo mayor

11. En un triángulo ABC, se tiene que : 3(a + b)(a - b) = c(2b + 3c) calcular : SecA A) -2 B) -1 C) 2 D) -3 E) 3 A) 135° D) 127°

B) 150° E) 143°

04. En un triángulo ABC, C = Indicar la longitud del lado AB A) 7 cm B) 70 cm D) 0,7 cm E) 0,07 cm

C) 120°

rad, a = 3 m, b=5 m.

12. Dado un triángulo ABC, se cumple : 2 2 2 a + b + c = 10 calcular : E = bcCosA + acCosB + abCosC A) 10 B) 20 C) 15 D) 5 E) 7,5 13. Hallar el perímetro de un triángulo si :

C) 700 cm Cosè =

05. Los lados de un triángulo miden : 3 m; 5 m y 7 m respectivamente, indique la medida del mayor ángulo A) 30° B) 60° C) 120° D) 135° E) 150° 06. Dado un triángulo ABC, donde : a = 7 m, b = 8 m y c = 9 m. Calcular la mediana relativa al lado AC A) 1 m B) 7 m C) 2 m D) 5 m E) 3 m

(è : mayor ángulo) además los lados son

enteros consecutivos A) 9 B) 15 D) 20 E) 18

C) 12

14. Calcular : Cosè

07. En un triángulo ABC, se cumple :

Calcular : CosC A) 0 B) 1 D) -1/2

C) 1/2

E)

A) -1/3 D) 2/3 Página -94-

B) -1/5 E) 1/5

C) -2/3

CUARTO AÑO


15. Según el gráfico, marcar lo correcto:

18. En un triángulo ABC : A = 60°; C = 45°; c = Hallar “a” A)

B)

D)

E)

C) 2

19. Hallar el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Se sabe que “b” es el más pequeño posible. Además: a = 3; c = 5; 2

2

2

2

A) a + b = c + d 2 2 2 2 B) a + b = c + d + ab + cd 2 2 2 2 C) a + b + ab = c + d + cd 2 2 2 2 D) a + b + ab + cd = c + d 2 2 2 2 E) a + c = b + d 16. En qué tipo de triángulo ABC se cumple :

A) 6

B) 7

D)

E)

C)

20. En un triángulo ABC reducir: E = (a-b)SenC + (b-c)SenA + (c-a)SenB

A) Isósceles D) Rectángulo

B) Escaleno C) Equilátero E) Acutángulo

17. Hallar el mayor ángulo del triángulo cuyos lados miden : 7, 8 y 13 A) 45° B) 90° C) 120° D) 100° E) 60°

Página -95-

A) 0 B) SenASenBSenC C) 2SenASenBSenC D) SenA+SenB+SenC E) a+b+c

g

01. De la figura, hallar:

05. En un triángulo ABC, si A = 50 ; a = 6 m, hallar el circunradio en metros A) 2 B) 2 C) 3 D) 3

E)

06. En un triángulo ABC, de lados respectivamente, se cumple que :

a,

b,

c

= 10 hallar:

A) 2Cosá B) 1 - 2Cosá

E= C) 2Cosá A) 7,5 D) 20

D) 2Cosá +

B) 10 E) 25

C) 15

07. Dado un triángulo ABC, donde se cumple : E) 2Cosá + 1 02. De la figura, calcular Cosè ¿qué tipo de triángulo es? A) Equilátero B) Rectángulo C) Obtusángulo D) Escaleno E) Rectángulo isósceles 08. En un triángulo ABC; mËA = 2mËC y A)

B)

D)

E)

Hallar: CosC

C)

A)

B)

D)

E)

C)

03. Hallar el valor de x 09. En un triángulo ABC, simplificar: E=

A) 0,25 D) 1

B) 0,75 E) 2

C) 0,5

A) 1

B) 2

D)

E)

10. En un triángulo ABC, se cumple : a - b = 2; c = 5

04. En un triángulo ABC, se pide reducir: calcular:

E= A) 1 D) -1

B) 2 E) -2

C) 0

A) 0,1 D) 0,4

C) 3

Página -96-

E= B) 0,2 E) 0,5

C) 0,3

.

CUARTO AÑO


11. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC sabiendo que:

15. En un triángulo ABC, a qué es igual:

= 20 A) 2ð D) 8ð

B) 4ð E) 10ð

A) CosA D) -SenA

C) 6ð

12. En un triángulo ABC, de perímetro “2p” y de circunradio “R”, se pide calcular: E = SenA + SenB + SenC A) D)

B)

B) -CosA E) a

C) SenA

16. En un ÄABC reducir:

C) A) R/2 D) 2R

E)

B) 3R/2 E) 0

C) R

17. En un triángulo ABC se cumple:

13. Del gráfico mostrado, calcular :

a = 4; b =

y c = 3. Hallar la medida del ángulo B

A) 60° D) 90°

B) 45° E) 120°

C) 37°

18. En un triángulo ABC se cumple: a = 7; b = 8 y c = 13. Hallar la medida del ángulo C A) 37° D) 60°

B) 45° E) 120°

C) 53°

19. En un triángulo ABC reducir: A) 2 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

14. De la figura, hallar x, si Ctgè = 2 A) b/a D) c/b

B) b/c E) c/ab 2

2

C) c/a

2

20. En un Ä ABC: b = a + c + ac hallar la medida del ángulo B A) 30° D) 120° A) 24 D) 36

B) 30 E) 42

C) 32

Página -97-

B) 60° E) 150°

C) 90°

01. Simplificar:

08. Hallar:

E = Tg20° + Tg25° + Tg20°Tg25°

A) 1 D) - 1 A) 1 + Senx D) 1 - Senx

B) 1 + Cosx E) 1 + Secx

C) 1 - Cosx

B) 2 E) - 2

C) 3

B) 0 E) 2

C) - 2

09. Simplificar:

02. Simplificar: (Senx + Cosx + 1) (Senx + Cosx - 1) - 2Senx Cosx A) 1 D) 2

B) 0 E) Senx

A) 1 D) - 1

C) - 1

10. Del gráfico; T: punto de tangencia = ; Hallar: E = Sen2è

03. Reducir:

A) 1 D) - 2

B) 2 E)

C) - 1

04. Si: Tg(2á + â) = 3 Tg( á - 2â) = 2

A) 1/2

hallar Tg(3á - â) A) 2 D) 1

D) B) - 2 E) - 3

C) - 1

/5

B)

/4

E)

/2

C)

/2

11. Simplificar:

05. Hallar “x”

A) 1/2 D) Cscx

B) Ctgx E) Secx

C) Tgx

B) Tgx E) Ctg2x

C) Sen4x

12. Reducir:

A) 10 D) 13

B) 11 E) 14

C) 12

A) Sec2x D) Tg2x

06. Si: A + B + C = 180° y TgA = 2, TgB = 3, hallar “TgC” A) 2 D) 3

B) - 2 E) 1

C) 0

13. Calcular “x” en la figura mostrada si: Tgè = 5

07. Reducir: 0 < á < 90°

A) 0

B) 1

D) Tgá

E) 2

C) Tg A) 1 D) 4 Página -98-

B) 2 E) 5

C) 3

CUARTO AÑO

14. Si: Sen4x = 0,6

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS 17. En un triángulo ABC se cumple:

0
2

B)

D)

E) 2

-3

2

2

a = b + c - bc ; hallar la medida del ángulo A

hallar Tgx A) 1

C)

+3

A) 30° D) 45°

15. Calcular el área de la región sombreada si: AB=BC = AC = 4 M, N, P son puntos medios .

B) 75° E) 120° 2

2

C) 60°

2

18. En un Ä ABC: b = a + c + ac hallar la medida del ángulo B A) 30° D) 120°

B) 60° E) 150°

C) 90°

19. En un triángulo ABC, reducir:

A) D) 4

-ð - 2ð

B) 2 E)

-ð

C) 4

+ð

(R: circunradio) A) a B) a/2 D) 3a/2 E) 2a

-ð

20. En un triángulo ABC, reducir:

16. En un Ä ABC reducir:

bCosC + cCosB A) p D) 2a

A) 1 D) b/a

B) 2 E) 0

C) 2a

C) a/b

Página -99-

B) 2p E) a/2

C) a

4º TRIGONOMETRIA - PITAGORAS

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