IZDAVAČ
OFF-SET, Tuzla Homing MB, Tuzla
Autori
Harun Kuč, dipl.el.ing. Emin Hatunić, dipl.el.ing. Adnan Kuč, dipl.el.ing. Lejla Kuč, dipl.ecc. Emina Hatunić, dipl.ecc.
Recezenti
Prof. dr. Hasan Zolić Prof. dr. Dževad Zečić
Lektor
Prof. Selma Hatunić
Autor grafike
Lejla Kuč
Tehnički urednik
Lejla Kuč
Za izdavača
Sadika Murić Nenad Jovanović
Štampa
OFF-SET Tuzla
ISBN
iii
Copyright © 2009. Prvo izdanje Harun Kuč, Emin Hatunić, Adnan Kuč, Lejla Kuč, Emina Hatunić Knjiga je djelo grupe autora i kao takvo je zaštićeno. Sva prava zadržana. Nije dozvoljeno kopiranje, umnožavanje ove publikacije ili prenošenje u bilo kojem obliku ili bilo kojim sredstvima, elektronskim, mehaničkim, fotokopiranjem, snimanjem ili na drugi način, bez prethodne dozvole izdavača. Da bi se osiguralo da u knjizi prezentirane informacije budu korektne i vrijedne objavljivanja, učinjen je odgovarajući napor. Autori se zahvaljuju svima onima koji su doprinijeli da zajedničke aktivnosti rezultiraju izdanjem ove knjige.
[email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] Web:HTTP: www.homingmb.com CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo
iv
Ovu knjigu posvećujemo: Harunovim rahmetli roditeljima Mahiji i Hamdiji Kuč, supruzi Jasminki Kuč, majci Adnana i Lejle i puncu i djedu Kasimu Hadžiselimoviću, kao i Eminovim rahmetli roditeljima, majci Fati i ocu Mustafi, neni i djedu Emine Hatunić.
v
Izvod iz recenzije Prof. dr. Hasana Zolića Grupa autora u ovoj knjizi prezentira još jedan osvrt na izvanredne mogućnosti proračunske tablice Microsoft Excel kada je u pitanju obrada statističkih podataka. Knjiga je u najvećoj mjeri bazirana na pojašnjenju ugrađenih statističkih funkcija koje su među najčešće korištenim Excelovim funkcijama. Sadržane u sklopu modula “STATISTICAL”, poredane po abecednom redu počev od AVEDEV do ZTEST, obrađene su kroz niz adekvatnih primjera. Neki primjeri su urađeni i uz pomoć specijalizovanih statističkih paketa SPSS, Statistica, NCSS i Minitab koji danas predstavljaju nezaobilaznu programsku podršku za bilo kakvu značajniju statističku analizu. Pored klasičnih mogućnosti u proračunskoj tablici u radu se grupa autora često koristi i dodatnim načinima prikazivanja radi što slikovitijeg izražavanja tretirane materije. Kod opisa pojedinih funkcija dat im je nešto značajniji tretman u namjeri da se prikaže njihova snaga iz koje se može crpiti materijal za pisanje posebnih knjiga sa osvrtom na pojedine oblasti. Ova knjiga je namijenjena fakultetima koji u svojim planovima računaju da edukaciju studenata prilagode savremenim edukativnim procesima. Može poslužiti i svima onima (inženjerima, ekonomistima, ljekarima, …) koji se na bilo koji način bave raznim obradama podataka.
Izvod iz recenzije Prof. dr. Dževad Zečić Ova knjiga, pored uvodnih stranica opisuje suštinsku materiju uz dodatak jedanaest statističkih tablica. Dakle, u najvećoj je mjeri bazirana na pojašnjenju ugrađenih statističkih funkcija koje su među najčešće korištenim Excelovim funkcijama. U sklopu modula “Statistical”, ove funkcije, poredane po abecednom redu, obrađene su kroz seriju odgovarajućih primjera. Pored klasičnih mogućnosti u proračunskoj tablici u radu se autori često koriste i dodatnim mogućnostima prikazivanja radi slikovitijeg izražavanja pomenute materije. Kod opisivanja pojedinih funkcija dat im je značajniji tretman u namjeri da se prikaže njihova snaga. Ova knjiga može poslužiti pored studenata i svima onima koji se na bilo koji način bave raznim obradama podataka. Knjiga je pogodna za sve struke a isto tako i za obrazovne institucije.
vi
SADRŽAJ Strana P R E D G O V O R............................................................................................................................. ix S T A T I S T I Č K E F U N K C I J E - KRATAK OPIS ....................................................................... x OSNOVNE STATISTIČKE FUNKCIJE U EXCEL-U U MODULU STATISTICAL ....................... xii A V E D E V…..................................................................................................................................... 1 A V E R A G E .................................................................................................................................... 5 A V E R A G E A................................................................................................................................. 16 B E T A D I S T ................................................................................................................................... 17 B E T A I N V ...................................................................................................................................... 20 B I N O M D I S T................................................................................................................................ 21 C H I D I S T........................................................................................................................................ 32 C H I I N V… ....................................................................................................................................... 34 C H I T E S T....................................................................................................................................... 35 C O N F I D E N C E ........................................................................................................................... 51 C O R R E L........................................................................................................................................ 54 C O U N T ........................................................................................................................................... 59 C O U N T A........................................................................................................................................ 60 C O U N T I F ...................................................................................................................................... 61 C O V A R ........................................................................................................................................... 63 C R I T B I N O M................................................................................................................................ 65 D E V S Q ........................................................................................................................................... 66 E X P O N D I S T ............................................................................................................................... 70 F D I S T.............................................................................................................................................. 72 F I N V................................................................................................................................................. 74 F I S H E R.......................................................................................................................................... 75 F I S H E R I N V................................................................................................................................. 77 F O R E C A S T ................................................................................................................................. 78 F R E Q U E N C Y ............................................................................................................................. 80 F T E S T............................................................................................................................................. 89 G A M M A D I S T.............................................................................................................................. 91 G A M M A I N V ................................................................................................................................. 93 G A M M A L N ................................................................................................................................... 95 G E O M E A N ................................................................................................................................... 96 G R O W T H....................................................................................................................................... 99 H A R M E A N....................................................................................................................................100 H Y P G E O M D I S T ......................................................................................................................102 I N T E R C E P T................................................................................................................................104 K U R T ...............................................................................................................................................107 L A R G E ...........................................................................................................................................109 L I N E S T ..........................................................................................................................................111 L O G E S T ........................................................................................................................................139 L O G I N V .........................................................................................................................................143 L O G N O R M D I S T ......................................................................................................................144 M A X ……… .......................................................................................................................................145 M A X A .............................................................................................................................................146 M E D I A N.........................................................................................................................................147 M I N ………. ......................................................................................................................................149 M I N A ...............................................................................................................................................150 M O D E …..........................................................................................................................................151 N E G B I N O M D I S T .....................................................................................................................153 N O R M D I S T..................................................................................................................................154 N O R M I N V .....................................................................................................................................157 N O R M S D I S T ..............................................................................................................................158 N O R M S I N V..................................................................................................................................159 P E A R S O N ....................................................................................................................................160
vii
P E R C E N T I L E ............................................................................................................................163 P E R C E N T R A N K ......................................................................................................................169 P E R M U T........................................................................................................................................170 P O I S S O N......................................................................................................................................172 P R O B…….. .....................................................................................................................................174 Q U A R T I L E ..................................................................................................................................175 R A N K……. ......................................................................................................................................177 R S Q ………. ......................................................................................................................................179 S K E W……. ......................................................................................................................................182 S L O P E ...........................................................................................................................................184 S M A L L............................................................................................................................................187 S T A N D A R D I Z E ........................................................................................................................189 S T D E V ............................................................................................................................................190 S T D E V A. .......................................................................................................................................194 S T D E V P.........................................................................................................................................195 S T D E V P A ...................................................................................................................................197 S T E Y X ............................................................................................................................................198 T D I S T..............................................................................................................................................200 T I N V.................................................................................................................................................202 T R E N D............................................................................................................................................204 T R I M M E A N..................................................................................................................................207 T T E S T.............................................................................................................................................209 V A R ..................................................................................................................................................226 V A R A…. ..........................................................................................................................................229 V A R P ...............................................................................................................................................230 V A R P A ...........................................................................................................................................233 W E I B U L L......................................................................................................................................234 Z T E S T.............................................................................................................................................235 Tabela 1. Binomni koeficijenti ........................................................................................................237 Tabela 2. Faktorijel ...........................................................................................................................237 Tabela 3. Binomna kumulativna raspodjela ..................................................................................238 Tabela 4. Binomna raspodjela ........................................................................................................241 Tabela 5. Poissonova raspodjela ...................................................................................................244 Tabela 6. Poissonova kumulativna raspodjela .............................................................................248 Tabela 7. Površine ispod standardne normalne raspodjele od 0 do z .......................................252 Tabela 7.1 Površine ispod standardne normalne raspodjele od do z ...............................253 Tabela 7.2 Površine ispod standardne normalne raspodjele od -z do z ....................................254 Tabela 8. Studentova t raspodjela ..................................................................................................255 Tabela 9. raspodjela ..................................................................................................................256 Tabela 10. F- raspodjela ..................................................................................................................257 Tabela 11. F- raspodjela ..................................................................................................................260 L I T E R A T U R A ............................................................................................................................263 2
viii
PREDGOVOR
Programska podrška za statističku analizu danas je na zavidnom nivou. Pored uobičajenih proračunskih tablica, najčešće, preporučuje se upotreba i statističkih paketa kao što su, primjera radi, SPSS, Statistica, Minitab, JMP, NCSS, SAS i drugi. Grupa autora, motivisana potrebom za raznim analizama u skoro svim oblastima života, u ovom radu iznosi još jedan osvrt na izvanredne mogućnosti Microsoft Excela koji pruža niz načina koji mogu pomoći u analizi statističkih podataka i pokušava u formi priručnika napisati knjigu statističkog sadržaja kroz prizmu ugrađenih statističkih funkcija. Ova knjiga je u najvećoj mjeri bazirana na pojašnjenju ovih funkcija (poznato je da su funkcije ugrađene formule koje izvode složene matematičke operacije za čije je izračunavanje potrebno unijeti naziv funkcije i argumente koji predstavljaju dodatne informacije koje određena funkcija zahtijeva) kroz niz adekvatnih primjera. Pored klasičnih mogućnosti u proračunskoj tablici u radu se grupa autora često koristi i dodatnim načinima radi što slikovitijeg izražavanja tretirane materije. Neki primjeri su urađeni i uz pomoć ranije spomenutih specijalizovanih statističkih paketa SPSS, Statistica, NCSS i Minitab. Pored brojnih ugrađenih funkcija kod nekih primjera dat je osvrt i na dodatni modul Analysis ToolPak koji sadrži skup funkcija i alata koji povećavaju Excelove analitičke sposobnosti i čije mogućnosti su dovoljno široke da zaslužuju zasebnu knjigu. Kod opisa pojedinih funkcija dat im je nešto značajniji tretman. Lahko je uočiti da posredstvom samo nekoliko ugrađenih funkcija mogu nastati obimne knjige sa osvrtom na pojedine oblasti. Ova knjiga je namijenjena fakultetima koji u svojim planovima računaju da edukaciju studenata prilagode savremenim edukativnim procesima. Može poslužiti i svima onima (inženjerima, ekonomistima, ljekarima, …) koji se na bilo koji način bave raznim obradama podataka. Autori će biti zahvalni korisnicima na ukazanim pogreškama, primjedbama i sugestijama koji mogu poboljšati ovaj rad u pogledu kvaliteta njegovog sadržaja. Autori
ix
STATISTIČKE FUNKCIJE-kratak opis AVEDEV AVERAGE AVERAGEA BETADIST BETAINV BINOMDIST CHIDIST CHIINV CHITEST CONFIDENCE CORREL COUNT COUNTA COVAR CRITBINOM DEVSQ EXPONDIST FDIST FINV FISHER FISHERINV FORECAST FREQUENCY FTEST GAMMADIST GAMMAINV GAMMALN GEOMEAN GROWTH HARMEAN HYPGEOMDIST INTERCEPT KURT LARGE LINEST LOGEST LOGINV LOGNORMDIST MAX MAXA
Izračunava prosjek apsolutnih odstupanja podataka od njihove srednje vrijednosti Izračunava prosjek svojih argumenata Izračunava prosjek svojih argumenata, uključujući brojeve, tekst i logičke vrijednosti Izračunava kumulativnu vjerovatnoću beta raspodjele Izračunava inverznu funkciju od BETADIST Izračunava pojedinačnu i kumulativnu vjerovatnoću binomne raspodjele Izračunava vjerovatnoću 2 raspodjele Izračunava inverznu vrijednost funkcije vjerovatnoće 2 raspodjele Izračunava vjerovatnoću koja odgovara 2-testu Izračunava interval pouzdanosti za srednju vrijednost populacije Izračunava koeficijent korelacije između dva skupa podataka Broji koliko je brojeva u popisu argumenata Broji koliko je vrijednosti u popisu argumenata Izračunava kovarijansu, prosjek proizvoda devijacija za svaki par podataka Izračunava najmanju vrijednost za koju je kumulativna binomna raspodjela veća ili jednaka od vrijednosti kriterija Izračunava sumu kvadrata devijacija Izračunava eksponencijalnu raspodjelu Izračunava F raspodjelu vjerovatnoće Izračunava inverznu funkciju F raspodjele vjerovatnoće Izračunava Fisherovu transformaciju Izračunava inverznu funkciju Fisherove transformacije Izračunava vrijednost uz linearni trend Izračunava frekvencijsku raspodjelu kao vertikalno polje Izračunava rezultat F-testa Izračunava gama raspodjelu Izračunava inverznu funkciju kumulativne gama raspodjele Izračunava prirodni logaritam gama funkcije, (x) Izračunava geometrijsku srednju vrijednost Izračunava vrijednosti uz eksponencijalni trend Izračunava harmonijsku srednju vrijednost Izračunava hipergeometrijsku raspodjelu Izračunava tačku presjeka pravca linearne regresije s osom y Izračunava kurtosis skupa podataka Izračunava k-tu najveću vrijednost u skupu podataka Izračunava parametre linearnog trenda Izračunava parametre eksponencijalnog trenda Izračunava inverznu funkciju logaritamske normalne raspodjele Izračunava kumulativnu logaritamsku normalnu raspodjelu Izračunava najveću vrijednost u popisu argumenata Izračunava najveću vrijednost u popisu argumenata, uključujući brojeve, tekst i logičke vrijednosti
x
MEDIAN MIN MINA MODE NEGBINOMDIST NORMDIST NORMINV NORMSDIST NORMSINV PEARSON PERCENTILE PERCENTRANK PERMUT POISSON PROB QUARTILE RANK RSQ SKEW SLOPE SMALL STANDARDIZE STDEV STDEVA STDEVP STDEVPA STEYX TDIST TINV TREND TRIMMEAN TTEST VAR VARA VARP VARPA WEIBULL ZTEST
Izračunava medijanu datih brojeva Izračunava najmanju vrijednost u popisu argumenata Izračunava najmanju vrijednost u popisu argumenata, uključujući brojeve, tekst i logičke vrijednosti Izračunava najučestaliju vrijednost u skupu podataka Izračunava negativnu binomnu raspodjelu Izračunava normalnu kumulativnu raspodjelu Izračunava inverznu funkciju normalne kumulativne raspodjele Izračunava standardnu normalnu kumulativnu raspodjelu Izračunava inverznu funkciju standardne normalne kumulativne raspodjele Izračunava Pearsonov koeficijent korelacije (proizvod-moment) Izračunava k-ti procenat vrijednost iz opsega Izračunava procentualni rang vrijednosti iz skupa podataka Izračunava broj permutacija za dati broj objekata Izračunava Poissonovu raspodjelu Izračunava vjerovatnoću da se vrijednosti opsega nalaze između dvije granice Izračunava kvartil skupa podataka Izračunava rang broja u popisu brojeva Izračunava kvadrat Pearsonovog koeficijenta korelacije (proizvod-momenta) Izračunava asimetriju raspodjele Izračunava nagib pravca linearne regresije Izračunava k-tu najmanju vrijednost u skupu podataka Izračunava normaliziranu vrijednost Procjenjuje standardnu devijaciju na temelju uzorka Procjenjuje standardnu devijaciju na temelju uzorka, uključujući brojeve, tekst i logičke vrijednosti Izračunava standardnu devijaciju na temelju cijele populacije Izračunava standardnu devijaciju na temelju cijele populacije, uključujući brojeve, tekst i logičke vrijednosti Izračunava standardnu grešku predviđene y-vrijednosti za svaki x u regresiji Izračunava studentovu t-raspodjelu Izračunava inverznu funkciju studentove t-raspodjele Izračunava vrijednosti uz linearni trend Izračunava srednju vrijednost unutrašnjeg dijela skupa podataka Izračunava vjerovatnoću pridruženu studentovom t-testu Procjenjuje varijansu na bazi uzorka Procjenjuje varijansu na temelju uzorka, uključujući brojeve, tekst i logičke vrijednosti Izračunava varijansu na bazi cijele populacije Izračunava varijansu na temelju cijele populacije, uključujući brojeve, tekst i logičke vrijednosti Izračunava Weibullovu raspodjelu Izračunava p-vrijednost krive z-testa
xi
OSNOVNE STATISTIČKE FUNKCIJE U EXCEL-U U MODULU STATISTICAL
xii
AVEDEV Ova funkcija postavlja aritmetičku sredinu apsolutnih devijacija opaženih vrijednosti od njihove aritmetičke sredine. Formula za izračunavanje prosječnog apsolutnog odstupanja, glasi: n 1 | xi x | AVEDEV n i 1
gdje je: n - veličina uzorka, a x - aritmetička sredina, izračunata n x 1 x 2 ... x n 1 xi prema obrascu: x n n i 1
Sintaksa AVEDEV (number1; number2; ...) Number1, number2, ... su 1 do 30 argumenata kojim obuhvatamo opažene vrijednosti iz kojih izračunavamo prosječno apsolutno odstupanje; umjesto argumenata odvojenih separatorima možemo koristiti i jednodimenzionalno polje ili referencu na polje. Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja, odnosno reference koje sadrže brojeve. Ako argument koji je polje ili referenca sadrži tekst, logičke vrijednosti, ili prazne ćelije te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednošću nula se uključuju. Ako se radi o grupisanim podacima, srednje apsolutno odstupanje svih vrijednosti obilježja x i od njihove aritmetičke sredine, izračunava se prema formuli:
1 Srednje apsolutno odstupanje n
k
f | x x | i
i
i 1
gdje je : n f 1 f 2 ... f k x
f 1 x 1 f 2 x 2 ... f k x k n
1 n
k
f x i
i
i 1
Za izračunavanje prosječnog apsolutnog odstupanja na grupisanim podacima koristimo se ugrađenim funkcijama ABS i SUM, iz kategorije matematičkih funkcija. Posredstvom funkcija SUM i ABS možemo izračunati i prosječno apsolutno odstupanje vrijednosti obilježja od njihove medijane (M e ), na negrupisanim i grupisanim podacima, prema formulama: k n 1 1 f i | x i Me | | x i Me | n i 1 n i 1
n f 1 f 2 ... f k n broj opažanja u uzorku Primjer 1. Izmjerene su težine proizvoda ( u gramima) u uzorku: 7, 5, 2, 6, 5, 6, 5, 4, 4, i 6. Izračunati prosječno apsolutno odstupanje izmjerenih vrijednosti težina proizvoda od njihove aritmetičke sredine i dati interpretaciju dobijenog rezultata. Prvo izračunavamo aritmetičku sredinu, tako što sumu svih vrijednosti obilježja podijelimo sa njihovim brojem: x x 2 ... x 10 7 5 2 6 5 6 5 4 4 6 50 x 1 5 10 10 10
1
Apsolutne devijacije vrijednosti x i od njihove aritmetičke sredine, iznose: 2, 0, 3, 1, 0, 1, 0, 1, 1, i 1. Suma devijacija iznosi 10, a količnik ove sume i ukupnog broja devijacija, odgovara prosječnom apsolutnom odstupanju: 1 10
10
| x 5 | i
i 1
|7-5||5-5||2-5||6-5||5-5||6-5||5-5||4-5||4-5||6-5| 10
1
Do ovog rezultata, u proračunskoj tablici Excel, dolazi se veoma jednostavno posredstvom funkcije AVEDEV, kao na slici 1.
Slika 1. Dakle, prosječno apsolutno odstupanje izmjerenih težina proizvoda u ovom uzorku, od njihove aritmetičke sredine (pet grama), iznosi jedan gram. Na slici 2. je, posredstvom funkcije aritmetičke sredine AVERAGE, pokazano da aritmetička sredina na apsolutnim devijacijama u polju ćelija C2:C11, odgovara funkciji AVEDEV.
x
2 0 3 1 0 1 0 1 1 1 10 1 10 10
Slika 2. Do vrijednosti, koja odgovara prosječnom apsolutnom odstupanju izmjerenih težina proizvoda u uzorku od njihove aritmetičke sredine, može se doći i posredstvom sintakse:
{=AVERAGE(ABS(A2:A11-AVERAGE(A2:A11)))} koja se aktivira istovremenim pritiskom sljedećih tipki na računaru: Ctrl+Shift +Enter.
2
Primjer 2. Na uzorku osam kompanija izvršen je pregled njihovih povrata investicija u prošloj godini. Rezultati su dati u procentima:
Izračunati prosječno apsolutno odstupanje povrata investicija. Aritmetička sredina povrata investicija jednaka je: x x 2 ... x 8 10,6% 12,6% 14,8% 18,2% 12% 14,8% 12,2% 15,6% 13,85% x 1 8 8 Prosječno apsolutno odstupanje povrata investicija (izračunato na slici 3.) odgovara rezultatu koji postavlja funkcija AVEDEV.
x
10,6% 12,6% ... 15,6% 13,85% 8
AVEDEV(A1 : H1)
1 8
8
| x 13,85% | 2% i
i 1 Slika 3. Dakle, povrati investicija odstupaju, u prosjeku, 2% od aritmetičke sredine. Primjer 3. Odjel za marketing na jednom univerzitetu nudi osam sekcija početnog marketinga. Slijede brojevi upisanih studenata u ovim sekcijama:
Izračunati prosječno apsolutno odstupanje broja upisanih studenata. Prosječno apsolutno odstupanje broja upisanih studenata iznosi: 6,25 (slika 4.). Ovo je rezultat koji postavlja funkcija AVEDEV, i on u prosjeku predstavlja devijaciju od 6 studenata u odnosu na aritmetičku sredinu (38 upisanih studenata po sekciji).
1 AVEDEV(A1 : H1) 8
x
8
| x 38 | 6,25 i
i 1
34 46 ... 28 38 8
Slika 4. 3
Primjer 4. Izračunati prosječno apsolutno odstupanje frekvencija niza od trend vrijednosti, na podacima prikazanim na slici 5.
Slika 5. Trend vrijednosti izračunate su posredstvom funkcije TREND, prema sintaksi na istoj slici. Rješenje Prosječno apsolutno odstupanje frekvencija niza od trend vrijednosti, odgovara izrazu: 1 MAD n
n
| y y i
ti
|
i 1
Ovu mjeru disperzije možemo veoma jednostavno izračunati posredstvom ugrađene Excelove funkcije AVEDEV, na način, prikazan na slici 6.
Minitab
Slika 6. Prosječno apsolutno odstupanje frekvencija niza od trend vrijednosti, odnosno MAD, izračunali smo i u statističkom paketu MINITAB 12.1. Lahko je uočiti, da se izračunata vrijednost za MAD, poklapa sa rezultatom koji postavlja funkcija AVEDEV: 1 MAD 8
8
| y y i
ti
| 0,926786
i 1
Trend vrijednosti odgovaraju prikazanoj jednačini trenda.
4
AVERAGE Ova funkcija odgovara aritmetičkoj sredini na negrupisanim podacima i jednaka je količniku sume svih vrijednosti i ukupnog broja vrijednosti. Aritmetička sredina uzorka i aritmetička sredina populacije računaju se na isti način ali su im korištene oznake različite. Za slučaj uzorka, koristimo se formulom:
x x 2 ... x n 1 x 1 n n
n
x
i
i 1
gdje je: n - ukupan broj vrijednosti u uzorku x - aritmetička sredina uzorka x i - pojedinačne vrijednosti - grčko veliko slovo sigma koje ukazuje na operaciju sabiranja Kada imamo slučaj da opažene vrijednosti predstavljaju osnovni skup (populaciju), koristimo se obrascem:
x x 2 ... x N 1 μ 1 N N
N
x
i
i 1
gdje je: N - ukupan broj vrijednosti u populaciji - aritmetička sredina populacije Sintaksa AVERAGE ( number1 ; number2 ; ...) Number1, number2, ... su 1 do 30 brojčanih argumenata. Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja, odnosno reference koje sadrže brojeve. Ako argument koji je polje ili referenca sadrži tekst, logičke vrijednosti, ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednošću nula se uključuju. Kada računamo prosječnu vrijednost trebamo voditi računa o razlici između praznih ćelija i onih koje sadrže vrijednost nula posebno ako smo očistili potvrdni okvir Zero values na kartici View, naredba Options, izbornik Tools. Aritmetička sredina se veoma mnogo koristi kao mjera centralne tendencije i ima nekoliko važnih osobina: svaki skup istorodnih podataka na intervalnom i omjernom nivou ima aritmetičku sredinu, sve vrijednosti u skupu se uzimaju u obzir kod izračunavanja, jedan skup ima samo jednu aritmetičku sredinu, veoma je korisna za poređenja dvije ili više populacija, suma devijacija pojedinačnih vrijednosti od aritmetičke sredine uvijek je jednaka nuli. Aritmetičku sredinu na grupisanim podacima možemo izračunati posredstvom ugrađenih funkcija SUMPRODUCT i SUM (iz kategorije matematičkih funkcija), prema obrascu: f x f 2 x 2 ... f k x k 1 x 1 1 n f 1 f 2 ... f k
gdje je: f i - odgovarajuća frekvencija klasnog intervala n - ukupan broj frekvencija x - oznaka za aritmetičku sredinu uzorka x i - srednja tačka svakog klasnog intervala
k
f i xi
i 1
(i = 1, 2, …, k)
5
Vaganu aritmetičku sredinu možemo izračunati kao i u slučaju grupisanih podataka posredstvom funkcija SUMPRODUCT i SUM, prema obrascu: k k w x w 2 x 2 ... w k x k xw 1 1 ( w i x i ) /( wi) w 1 w 2 ... w k i 1 i 1
gdje su w i odgovarajući ponderi za brojeve x i .
Primjer 1. Težine (u kg) slučajno odabranih proizvoda sa proizvodne linije su: Izračunati aritmetičku sredinu. Rješenje Primjenom obrasca za izračunavanje aritmetičke sredine na uzorku, dobijamo: x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 90,3 89,8 87,9 91,4 88,5 90,6 538,5 x 1 89,75 6 6 6 Dakle, prosječna težina iznosi 89,75 kg. Na slici 1. je pokazano kako se do ove vrijednosti može doći posredstvom gotove Excelove funkcije AVERAGE.
Slika 1. A 1 A 2 A3 A4 A5 A6 AVERAGE( A 1 : A6) 89,75 6 Naravno, do ove vrijednosti možemo doći i ako argumentima funkcije na neki drugi način obuhvatimo opažene vrijednosti, ili ako polje podataka imenujemo, kao na slici 2.
Slika 2. 6
Primjer 2. Izvršili smo 10 mjerenja pulsa jednog čovjeka i dobili ove vrijednosti: Izračunati prosječan puls i pokazati da je suma devijacija pojedinačnih mjerenja pulsa od njihove aritmetičke sredine jednaka nuli. Rješenje Prosječan puls odgovara aritmetičkoj sredini, odnosno količniku sume izmjerenih vrijednosti i broja mjerenja:
x 1 x 2 ... x 10 64 61 68 62 71 62 63 60 65 64 640 64 10 10 10 Dakle, prosječan puls u minuti, odnosno aritmetička sredina pulsa je 64. Izračunavanje prosječne vrijednosti i sume devijacija pojedinačnih mjerenja od ove prosječne vrijednosti, prikazano je na slici 3.
Slika 3 . U polju ćelija A2:J2 date su devijacije pojedinačnih mjerenja pulsa od njihovog prosjeka.
Primjer 3. Izračunati aritmetičku sredinu sljedećih vrijednosti uzorka: Rješenje Primjenom formule za izračunavanje aritmetičke sredine, dobijamo: x x 2 ... x 8 4,5 6,9 3,6 4,1 5,4 5,6 6,2 6,6 42,9 x 1 5,3625 8 8 8 Prosječnu vrijednost, u proračunskoj tablici Excel, računamo veoma jednostavno posredstvom ugrađene funkcije AVERAGE, kao na slici 4.
Slika 4. 7
Primjer 4. U jednoj ordinaciji opšte medicine u toku šest dana izvršeno je 216 pregleda, koji su na sljedeći način raspoređeni po danima:
Koliki je prosječan broj pregleda dnevno? Rješenje Prosječan broj pregleda dnevno je: 53 39 23 33 26 42 216 36 6 6 Posredstvom funkcije AVERAGE, do rezultata koji odgovara prosječnom broju pregleda dnevno, dolazimo kao na slici 5.
Slika 5. Primjer 5. U jednoj kompaniji brojno stanje zaposlenih na početku navedenih mjeseci 1999. godine bilo je sljedeće:
Koliki je polugodišnji prosjek zaposlenih? Rješenje S obzirom na prirodu podataka, prosječan broj zaposlenih se utvrđuje metodom hronološkog prosjeka po poznatoj formuli: x x1 700 560 x 2 ... x n-1 n 500 520 540 620 670 2 580 2 2 x 2 n- 1 6 Kako se do ovog rezultata dolazi posredstvom funkcije AVERAGE, vidimo na slici 6.
Slika 6.
8
Primjer 6. Izračunati apsolutne pokazatelje dinamike za proizvodnju raži, soje i duhana prema sljedećim podacima (u tonama):
Rješenje Prosječna godišnja proizvodnja raži, soje i duhana data je na slici 7.
Slika 7. Srednji apsolutni nivoi iznose:
Možemo zaključiti da je u periodu od 1992 do 1998. godine prosječan nivo proizvodnje raži iznosio 14571,43 t pa je proizvodnja godišnje prosječno opadala za 666,67 t. Prosječan nivo proizvodnje soje u periodu od 1992 do 1998. godine iznosio je 114000 t, pa je proizvodnja godišnje prosječno rasla za 8666,67 t. Prosječan nivo proizvodnje duhana u periodu od 1992 do 1998. godine iznosio je 12285,71 t pa je proizvodnja godišnje prosječno opadala za 333,33 t. Primjer 7. Wheatstonovim mostom izvršeno je pet mjerenja jednog otpora pod istim okolnostima. Dobijene su vrijednosti: 1584 , 1578 , 1586 , 1582 , 1581 . Kolika je najvjerovatnija vrijednost mjerenog otpora ? Rješenje Najvjerovatnija vrijednost mjerenog otpora je njegova aritmetička sredina:
R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 1584 1578 1586 1582 1581 1582,2 Ω 5 5 Pretpostavimo da su vrijednosti o mjerenoj veličini smještene u polju ćelija A2:E2. Prosječnu vrijednost mjerenog otpora možemo izračunati kao na slici 8. R
Slika 8.
9
Primjer 8. U jednoj kompaniji je zaposleno 10 ljudi koji rade na prodaji automobila. U toku prošlog mjeseca prodali su: 14, 22, 7, 12, 15, 9, 11, 15, 25, 20 novih automobila. Izračunati aritmetičku sredinu broja novoprodatih automobila. Rješenje Aritmetička sredina broja prodatih novih automobila odgovara količniku sume ukupnog broja prodatih automobila i broja zaposlenih radnika:
x 1 x 2 ... x 10 14 22 7 12 15 9 11 15 25 20 150 15 10 10 10 Dakle, prosječan broj novoprodatih automobila po zaposlenom je 15. U ovom primjeru imamo populaciju pa smo u oznaci za aritmetičku sredinu koristili grčko slovo . Naravno, Excel ne pravi razliku i na identičan način (slika 9.) kao i u prethodnim primjerima izračunava prosječnu vrijednost. μ
Slika 9. Primjer 9. U jednoj državi ocijenjen je ukupan broj ljudi koji gledaju TV svaki dan u sedmici, od ponedjeljka do nedjelje. Rezultati dati u milionima gledalaca počev od ponedjeljka su: Izračunati aritmetičku sredinu. Rješenje: 87 miliona gledalaca u prosjeku svaki dan u sedmici gleda TV (slika 10.).
Slika 10. x x 2 ... x 8 91,9 89,8 90,6 93,9 78 77,1 87,7 609 μ 1 87 mil. gledalaca 8 8 8
10
Primjer 10. Na slici 11. u polju ćelija A1:C25 date su kvartalne prodaje određenih proizvoda u mil. $ u periodu od 1990-te do 1995. godine. Odrediti centrirane pokretne sredine posredstvom funkcije AVERAGE i kvartalne sezonske indekse metodom odnosa prema pokretnim sredinama.
Slika 11. Rješenje Na slici 1. date su vrijednosti za centrirane pokretne sredine i prikazane odgovarajuće sintakse; izračunate vrijednosti odgovaraju vrijednostima izraza: 1 1 y t m M 2
1
k 1
y t k
1 y t m , t m 1, ..., (n - m). 2
Kako je broj članova kod četvorokvartalnog prosjeka paran, M = 4, i m = M/2 = 2, gornji izraz postaje: 1 1 1 1 y t2 y t k y t 2 , t 3, ..., 22. 4 2 2 k 1 Za prva dva kvartala nije moguće izračunati centriranu pokretnu sredinu. Za treći kvartal centrirana pokretna sredina (t = 3) je: 11 1 11 1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 6,7 4,6 10 12,7 6,5 8,4750 42 2 42 2 i odgovara sintaksi: =AVERAGE(AVERAGE(C2;C6);C3:C5). Za četvrti kvartal centrirana pokretna sredina (t = 4) je:
11 1 1 4,6 4,6 10 12,7 6,5 y2 y3 y4 y5 y6 8,450 42 2 4 2 2
11
i odgovara sintaksi: =AVERAGE(AVERAGE(C3;C7);C4:C6), i td. Centrirana pokretna sredina vezana za treći kvartal (t = 3): 11 1 11 1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 6,7 4,6 10 12,7 6,5 8,4750 42 2 42 2 takođe, odgovara i sintaksi: =AVERAGE(AVERAGE(C2:C5);AVERAGE(C3:C6)), koja je prikazana na slici 12. Sada je dovoljno mišem selektovati ćeliju D4 (u kojoj se nalazi izračunata vrijednost) i kursor miša postaviti na donji desni ugao selektovane ćelije; sa pojavom znaka "+", držeći tipku miša i povlačeći je naniže (ćelije D5:D23), Excel će se potruditi da nam izračuna sve ostale vrijednosti koje odgovaraju centriranim pomičnim sredinama.
Slika 12. Za izračunavanje tipičnih sezonskih indeksa razvijeno je nekoliko metoda a najčešće korišteni metod je metod odnosa prema pokretnim sredinama. Originalni podaci u ćelijama C2:C25 sadrže trend (T), cikličnu komponentu (C), sezonsku komponentu (S), i slučajnu komponentu (I). Izračunavanjem centriranih pokretnih sredina iz originalnih podataka su odstranjene komponente S i I, tako da naši podaci sada nose informaciju o trendu i cikličnoj komponenti. Dakle, dijeljenjem originalnih podataka sa odgovarajućim centriranim pokretnim sredinama dobijamo vrijednosti koje sadrže komponente S i I. Ovo su specifični sezonali i množenjem njihovih vrijednosti sa brojem 100 možemo im dati formu indeksa. Prvi sezonal za ljeto 117,994 (ćelija E4 na slici 13.) odgovara količniku vrijednosti u ćeliji C4 i prve centrirane pokretne sredine u ćeliji D4.
Sada je mišem potrebno selektovati ćeliju (E4) u kojoj se nalazi količnik vrijednosti u ćelijama C4 i D4 i pojavom znaka "+" u donjem desnom uglu, uz držanje tipke miša povlačimo je naniže (ćelije E5:E23). Proračunska tablica Excel će se potruditi da nam izračuna sve ostale vrijednosti koje odgovaraju količnicima originalnih vrijednosti i odgovarajućih centriranih pokretnih sredina. Kompletni rezultati dati su na slici 13. 12
Slika 13. Na kraju je potrebno izračunati aritmetičke sredine iz svih tipičnih zimskih, proljećnih, ljetnih i jesenskih indeksa pa je zato naše podatke potrebno filtrirati. Usrednjavanjem, iz naših filtriranih podataka, posredstvom funkcije AVERAGE eliminišemo slučajnu komponentu I, tako da dobijamo četiri indeksa koji ukazuju na tipične sezonske indekse.
13
Aritmetičku sredinu sezonskih jesenjih indeksa možemo izračunati kao na slici 14.
Slika 14. Analogno, aritmetičke sredine zimskih, proljećnih i ljetnih indeksa iznose:
Suma aritmetičkih sredina jesenjih, zimskih, proljećnih i ljetnih indeksa je: 400,9248369 pa je zato potrebno izvršiti dodatnu korekciju za iznos 400/400,9248369=0,997693241. Tako dobijamo tipične indekse: Prosječan indeks je 100. Indeks za ljeto nam ukazuje da je prodaja proizvoda 14,14% iznad prodaje prosječnog kvartala. Indeks za jesen nam ukazuje da je prodaja proizvoda 51,9 % iznad prodaje prosječnog kvartala. Indeks za zimu nam ukazuje da je prodaja proizvoda 23,51 % ispod prodaje prosječnog kvartala. Indeks za proljeće nam ukazuje da je prodaja proizvoda 42,53% ispod prodaje prosječnog kvartala. 14
Aritmetičke sredine sezonskih jesenjih, zimskih, proljećnih i ljetnih indeksa možemo izračunati i posredstvom sintaksi prikazanim na slikama 15, 16 i 17.
Slika 15.
Slika 16.
Slika 17. 15
AVERAGEA Postavlja aritmetičku sredinu vrijednosti u popisu argumenata. Pored brojeva ova funkcija u račun uključuje tekst i logičke vrijednosti kao što su TRUE i FALSE. Sintaksa AVERAGEA ( value ; value2 ; ...) Value1, value2, ... su 1 do 30 argumenata, opsega ćelija ili vrijednosti za koje želimo izračunati prosječnu vrijednost. Napomene Argumenti moraju biti brojevi, nazivi, polja ili reference. Argumenti polja ili reference koji sadrže tekst vrednuje se kao 0 (nula). Prazan tekstualni niz ("") vrednuje se kao 0 (nula). Ako kod izračunavanja prosjeka ne smiju biti uključene tekstualne vrijednosti, koristimo funkciju AVERAGE. Argumenti koji sadrže logičke vrijednosti TRUE i FALSE vrednuju se kao 1, odnosno o. Kada izračunavamo prosjek vrijednosti u ćelijama moramo imati na umu razliku između praznih ćelija i onih koje sadrže vrijednost nula, naročito ukoliko je očišćen potvrdni okvir Zero values na kartici View, naredba Options , izbornik Tools . Prazne ćelije se ne uključuju kod izračunavanja za razliku od vrijednosti nula. Funkcija AVERAGEA postavlja prosječnu vrijednost prema obrascu:
x x 2 ... x n 1 x 1 n n
n
x
i
i 1
Primjer 1. Na podacima u polju A1:B9 prosječna vrijednost iznosi 0,556 (slika 1.).
x
Slika 1.
10 0,556 18
16
BETADIST Ovu funkciju koristimo za izračunavanje vjerovatnoće beta raspodjele čiju primjenu susrećemo u tehnici mrežnog planiranja kod Pert metode. U okviru raznih projekata mora se uzeti u obzir da je vrijeme realizacije svake od aktivnosti slučajnog karaktera. Zato se za svaku aktivnost utvrđuju tri veličine trajanja: optimističko vrijeme trajanja A najčešće vrijeme trajanja m pesimističko vrijeme trajanja B. Optimističko vrijeme trajanja A je vrijeme koje se može postići u uslovima rada koji su izuzetno povoljni. Ovo vrijeme se naziva i minimalno potrebno vrijeme za izvođenje aktivnosti. Vrijeme trajanja m je vrijeme koje se javlja u normalnim uslovima rada i koje bi se najčešće javljalo kada bi se aktivnost izvodila više puta pod istim uslovima. Pesimističko vrijeme trajanja B je vrijeme koje se potrebno da se aktivnost izvede u uslovima rada koji su izuzetno nepovoljni. Ovo vrijeme je najteže odrediti. Po pravilu ovo vrijeme bi se moglo prekoračiti jedino u slučaju katastrofe. U primjenama se pokazalo da ima smisla pretpostaviti da su A, m, i B reprezentativne vrijednosti beta raspodjele. Sada vrijednost x može predstavljati vrijeme sa beta raspodjelom između granica A i B . Sintaksa BETADIST (x ; alpha ; beta ; A ; B) x je vrijednost između granica A i B za koju vrednujemo funkciju. Alpha i Beta su parametri raspodjele. A je moguća donja, a B gornja granica intervala. Napomene Ako neki argument nije broj, BETADIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je alfa 0 ili beta 0, funkcija BETADIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je x < A, x > B, ili A = B, BETADIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Funkcija beta raspodjele sa parametrima i , u opsegu A x B, data je izrazom: x
BETADIST(x; α;β; A;B)
(u A)α 1 (B u)β 1 du
A
1
(B A)
α β 1
uα 1 (1 u)β 1 du 0
Ako izostavimo vrijednosti za granice A i B, funkcija BETADIST koristi standardnu beta raspodjelu, tako da je A = 0 i B = 1. Funkcija standardne beta raspodjele data je izrazom: x
1 BETADIST(x; α;β) uα 1 (1 u)β 1 du Β(α ,β) 0
1
gdje je B( , ) = ()*()/(+) u 0
α1
β1
(1 u)
du. Izraz (y)
e
-u
u y 1 du
0
predstavlja Gama funkciju. Očekivana vrijednost i varijansa slučajne varijable X, odgovaraju izrazima:
17
(Β A)2 β α β Α α Β V(X) (α β) 2 (α β 1) α β Modalna tačka m, određuje se posredstvom izraza: (β - 1) Α (α - 1) Β m α β-2 Ε(X)
Specijalno za vrijednosti parametara = 3 2 i = 3 2 , ili = = 4 dobijamo formule koje se najčešće koriste u PERT metodi: BA 2 A 4 m B V(X) ( ) E(X) 6 6 Primjer 1. Date su vrijednosti parametara beta raspodjele, = 5 i = 2. Izračunati površinu ispod ove raspodjele od granice A do modalne tačke m, ako su vrijednosti granica A = 10, B = 30. Rješenje Modalnu tačku m, izračunavamo iz izraza:
(β - 1) Α (α - 1) Β (2 - 1) 10 (5 - 1) 30 130 26 5 2-2 5 α β-2 Traženu površinu, odnosno vjerovatnoću, možemo izračunati posredstvom ugrađene Excelove funkcije BETADIST, kao na slici 1. m
Slika 1. Ova vrijednost, odgovara sljedećem tradicionalnom izrazu: 26
BETADIST(26;5;2;10;30)
10
(u 10)4 (30 u)du 1
0,65536.
20 6 u 4 (1 u)du 0
Modalna tačka m u granicama za beta raspodjelu A = 0, B = 1 i za iste i jednaka je 0,8:
18
Primjer 2. Na osnovu procijenjenih vremena A = 10, B =30, m = 26, i E(X) = 25 izračunati vrijednosti parametara beta raspodjele. Dati grafički prikaz raspodjele. Rješenje Rješenjem sistema β Α α Β (β - 1) Α (α - 1) Β Ε(X) m α β α β-2 po nepoznatim parametrima i , dobijamo: ( Α Β - 2 m) Α Ε( X ) ( Α Β - 2 m) B Ε( X ) α ( Β - Α ) m Ε( X ) ( A - B) m Ε( X ) Uvrštavanjem procijenjenih vrijednosti A = 10, B =30, m = 26, i E(X) = 25 izračunavamo vrijednosti parametara beta raspodjele: = 9 i = 3. Dakle, radi se o beta raspodjeli oblika: x
(u 10) (30 u) du 8
BETADIST(x;9;3;10;30)
10
2
1
11
20 u8 (1 u)2 du 0
čiji je grafički prikaz dat na slici 2.
Slika 2. Površinu ispod ove beta raspodjele do očekivane vrijednosti E(X) = 25 jednaka je:
Vidimo da je očekivana vrijednost manja od medijane (50% površine), a ova od modusa, što nam ukazuje da se radi o lijevoj asimetričnoj raspodjeli. Primjeri 3. i 4.
19
BETAINV Pretpostavimo da nam je poznata površina ispod beta raspodjele sa poznatim parametrima i u intervalu od donje granice A do vrijednosti x-a (A x B), koju ne poznajemo. Ova površina, odnosno vjerovatnoća beta raspodjele odgovara funkciji BETADIST, odnosno argumentu probability funkcije BETAINV, posredstvom koje izračunavamo vrijednost x-a. x
BETADIST(x; α;β; A;B)
(u A)α 1 (B u)β 1 du
A
1
(B A)
α β 1
uα 1 (1 u)β 1 du 0
Sintaksa BETAINV (probability; alpha; beta; A;B) Probability je vjerovatnoća povezana sa beta raspodjelom. Alpha i Beta su parametri raspodjele. A je moguća donja, a B gornja granica za interval od x. Napomene Ako neki argument nije broj, BETAINV postavlja vrijednost greške # NAME?. Ako je alfa 0 ili 0, BETAINV postavlja vrijednost greške # NUM!. Ako je argument probability 0 ili je probability 1, BETAINV postavlja vrijednost greške # NUM!. Ako ispustimo vrijednost za A i B, BETAINV koristi standardnu beta raspodjelu, tako da je A = 0 i B =1. BETAINV koristi iterativnu metodu za izračunavanje funkcije i zadatoj vrijednosti se približava sve dok rezultat ne bude u intervalu 3 x 10-7. Ako se funkcija BETAINV ne približi nakon 100 iteracija, postavlja vrijednost greške # N/A. Primjer 1. Na osnovu procijenjenih vremena A = 5, B = 8 i vrijednosti parametara = 3+ 2 , = 3- 2 odrediti vrijednost x-a tako da odgovara površini od 50 % ispod ove beta raspodjele. Rješenje Posredstvom funkcije BETAINV( kao na slici 1.) izračunavamo vrijednost x-a koja odgovara granici 50% površine ispod beta raspodjele. x
0,5
(u 5) 5
2 2
(8 u)2 2 du
1
3 u 2 2 (1 u)2- 2 du 5
0
Slika 1. 20
BINOMDIST Neka je slučajna varijabla X jednaka broju opaženih uspjeha u n Bernoulli-jevih pokušaja; moguće vrijednosti X-a su: 0, 1, 2, …, n. Ako x označava broj uspjeha, gdje je x = 0, 1, 2, …, n, onda n-x označava broj neuspjeha. Broj načina odabira x pozicija za x uspjeha u n pokušaja jednak je n n! x x!(n x)! Ovaj izraz nazivamo binomnim koeficijentom i on odgovara funkciji COMBIN (n;x). Kako su pokušaji nezavisni a vjerovatnoće uspjeha i neuspjeha svakog pokušaja respektivno p i q = 1- p, vjerovatnoća svakog od ovih načina odabira je px qn-x. Pripadajuće vjerovatnoće izražene formulom n f(x) p x (1 - p)n x , x 0,1,2,...,n. x zovemo binomnim vjerovatnoćama, a za slučajnu varijablu X kažemo da ima binomnu raspodjelu, koja pripada familiji diskretnih raspodjela. Sintaksa BINOMDIST (number_s; trials; probability_s; cumulative) Number_s odgovara broju uspjeha x u provjerama. Trials je broj nezavisnih provjera n. Probability_s predstavlja vjerojatnoću uspjeha svake provjere p. Cumulative je logička vrijednost koja određuje oblik funkcije. Ako je logička vrijednost TRUE, tada BINOMDIST odgovara kumulativnoj funkciji raspodjele koja predstavlja vjerojatnoću da ima najviše x (number_s ) uspjeha x
BINOMDIST(x;n; p; TRUE)
n
i p (1 - p) i
n i
i0
ako je FALSE, funkcija BINOMDIST odgovara pripadajućim binomnim vjerojatnoćama koje odgovaraju vjerojatnoćama da ima tačno x (number_s ) uspjeha
n BINOMDIST(x;n; p;FALSE) f(x) p x (1 - p)n x x Napomene Ako je n (trials ) = 1 moguće vrijednosti slučajne varijable X su: 0(neuspjeh), i 1(uspjeh); za X kažemo da ima Bernoulli-jevu raspodjelu. Binomni eksperiment ima sljedeće osobine: Bernoulli-jev eksperiment (uspjeh neuspjeh) izveden je n puta, pokušaji su nezavisni, vjerovatnoća usjeha svakog pokušaja je stalna i jednaka p, a neuspjeha q = 1- p. Argumentima x (number_s) i n (trials )odbacuju se decimale. Ako x (number_s), n (trials), ili p (probability_s) nije broj, BINOMDIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x (number_s ) < 0 ili je x (number_s) > n (trials), BINOMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je p (probability_s) < 0 ili je p (probability _s) > 1, BINOMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. 21
Očekivana vrijednost i varijansa slučajne varijable X su: = n*p , 2 = n* p* q = n*p*(1- p). Primjer 1. Pretpostavimo da binomni eksperiment sa n = 12 pokušaja ima vjerovatnoću uspjeha p = 0,22. Kolika je vjerovatnoća 5 uspjeha? Rješenje Vjerovatnoću da imamo tačno x = 5 uspjeha, izračunavamo posredstvom izraza: 12 12 n f(x) p x (1 - p)n x ; f(5) 0,22 5 (1 - 0,22)12 5 0,22 5 0,78 7 0,07 x 5 5 U proračunskoj tablici Excel do ove vrijednosti dolazimo veoma jednostavno posredstvom ugrađene funkcije BINOMDIST, kao na slici 1.
Slika 1. Primjer 2. U mnogim slučajevima zanima nas više kolika je vjerovatnoća opsega uspjeha od vjerovatnoće tačnog broja uspjeha. Na podacima iz primjera 1. izračunati vjerovatnoću da imamo najviše 4 uspjeha iz 12 pokušaja. Rješenje Vjerovatnoću da imamo najviše x = 4 uspjeha, izračunavamo posredstvom izraza: 4
BINOMDIST(4;12;0,22; TRUE)
12
i 0,22 0,78 i
n i
0,8979
i0
Vjerovatnoća da imamo najmanje x = 5 uspjeha, iznosi:
22
Primjer 3. Ako bacamo novčić dvadeset puta, onda je za svako bacanje vjerovatnoća da će pasti "glava" ili "pismo" 50%. Napisati odgovarajući izraz za vjerovatnoću da od tih dvadeset bacanja padne "pismo" x puta i izračunati pripadajuće vjerovatnoće. Ako ovu igru sa novčićem kojeg bacamo dvadeset puta ponovimo 12000 puta izračunati teorijske frekvencije za pojedine slučajeve. Rješenje Sasvim je očito, da se u ovom primjeru, radi o binomnoj raspodjeli koja odgovara izrazu: 20 20 x 20 x 20 0,5 BINOMDIST(x;n 20; p 50%;FALSE) f(x) 0,5 (1 - 0,5) x x
Pretpostavljamo da mogu nastupiti sve diskretne mogućnosti od x = 0 do x = 20. Odgovarajuće vjerovatnoće, odnosno frekvencije, su:
20 BINOMDIST(x; n 20; p 50%;FALSE) 0,5 20 x
2500
α3
qp μ3 0 σ3 npq
2000 1500 1000 500 0 0
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
α4
1 6pq μ4 0,5 3 3 2,9 σ4 npq 5
Izračunate binomne vjerovatnoće pomnožili smo sa brojem 12000 i dobijeni rezultat zaokružili na cijeli broj i tako dobili frekvencije ponavljanja pojedinih slučajeva. Dakle, kada bi se sve odigralo idealno po zakonima vjerovatnoće tada bi imali ovakvu raspodjelu, međutim, kada bismo jedan ovakav eksperiment proveli u praksi, naravno da nećemo dobiti ove frekvencije, ali je sigurno da će brojevi koji se pri tome dobiju biti veoma blizu izračunatim frekvencijama. Ako umjesto logičke vrijednosti FALSE postavimo vrijednost TRUE dobijene vjerovatnoće će odgovarati kumulativnoj raspodjeli, odnosno vjerovatnoći da se desi najviše x uspjeha(u našem primjeru uspjeh je pojava pisma). Naprimjer, vjerovatnoća da dobijemo najviše 11 pisama od dvadeset bacanja odgovara izrazu: 11
BINOMDIST(x 11; n 20; p 50%; TRUE)
i0
20 0,5 20 0,748 i
Napomena: Kod binomne raspodjele biće: α4
1 6pq μ4 3 3 4 σ npq
samo u slučaju ako je p
3 3 . 6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
23
Primjer 4. Pretpostavimo da na jednom testu imamo 6 pitanja na koja odgovaramo sa tačno ili netačno iz materije koju ne poznajemo. Šansa da odgovorimo tačno, na prvo pitanje, iznosi 50%. Slično, vjerovatnoća da pogodimo tačan odgovor na preostala pitanja je, takođe, 50%. Koja je vjerovatnoća da imamo: Pitanje br. 1. Tačno Netačno nula tačnih odgovora ? Pitanje br. 2. Tačno Netačno jedan tačan odgovor ? Pitanje br. 3. Tačno Netačno Pitanje br. 4. Tačno Netačno tri tačna odgovora? Pitanje br. 5. Tačno Netačno pet tačnih odgovora? Pitanje br. 6. Tačno Netačno Rješenje Izlaz u našem primjeru odgovara jednoj od dvije međusobno isključive kategorije, imenovane, kao uspjeh(tačan) ili kao neuspjeh(netačan). Broj pokušaja(proba), iznosi: n = 6, a vjerovatnoća uspjeha pri svakom pokušaju je stalna i jednaka: p = 50%. Sasvim je očito, da se ovdje radi o binomnoj raspodjeli koja odgovara sljedećem izrazu: 6 n f(x) p x (1 - p)n x 0,5 6 , x 0,1,2,...,6. x x Kada u ovaj izraz uvrstimo vrijednosti za x = 0, 1, 3, i 5, dobićemo vrijednosti koje odgovaraju vjerovatnoćama da imamo nula, jedan, tri i pet tačnih odgovora, respektivno. 6 f(0) 0,56 0,015625 0
6 f(1) 0,5 6 0,09375 1
6 6 6 f(3) 0,5 6 0,3125 f(5) 0,5 0,09375 5 3
U proračunskoj tablici Excel do ovih vrijednosti dolazimo veoma jednostavno, prema sljedećim sintaksama: 40% 30% 20% 10% 0% 0
1
2
3
4
5
6
Naravno, posredstvom funkcije BINOMDIST možemo izračunati i kumulativne vjerovatnoće, naprimjer, vjerovatnoću da imamo najviše jedan tačan odgovor, da imamo najmanje jedan tačan odgovor, itd.
Vjerovatnoća da imamo najviše jedan tačan odgovor, jednaka je 10,9375%.
1
BINOMDIST(1;6;50%; TRUE)
i 0
6 0,5 6 10,9375% i
Vjerovatnoća da imamo najmanje jedan tačan odgovor, jednaka je 98,4375%. 98,4375% =1-BINOMDIST(0;6;50%;TRUE)
24
Primjer 5. U jednoj binomnoj situaciji je n = 5 i p = 0,2. Odrediti vjerovatnoće za x = 1, i x = 3 korištenjem funkcije BINOMDIST. Rješenje Funkcija BINOMDIST, odgovara izrazu: 5 n BINOMDIST(x; n 5; p 0,2;FALSE) p x (1 - p)n x 0,2 x 0,8 5- x x x a u proračunskoj tablici Excel, izračunavanje vjerovatnoće za x = 1, i x = 3, dato je na slici 2. 5 BINOMDIST(1;5;0,2;0) 0,2 0,8 4 0,4096 1
5 0,2 3 0,8 2 0,0512 3
Slika 2. Grafički prikaz ove raspodjele dat je na slici 3.
BINOMDIST(1;5;0,2;0) 0,4096 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0
1
2
3
4
5
Slika 3. Primjer 6. Imamo binomnu situaciju kod koje je n = 4 i p = 0,25. Odrediti vjerovatnoće za x = 0, 1, 2, 3, i 4, korištenjem funkcije BINOMDIST. Rješenje Odgovarajući izraz za funkciju BINOMDIST, glasi: 4 n BINOMDIST(x; n 4; p 0,25;FALSE) p x (1 - p)n x 0,25 x 0,75 4- x x x 0,45
Pripadajuće vjerovatnoće su:
0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0
1
2
3
4
25
Primjer 7. U jednoj binomnoj situaciji broj pokušaja je n = 8 a vjerovatnoća uspjeha svakog pokušaja pojedinačno stalna je i iznosi p = 0,7. Odrediti vjerovatnoće za x = 0, 1, …, 8, x 6 , i x > 4 korištenjem funkcije BINOMDIST. Rješenje Posredstvom funkcije BINOMDIST, pojedinačne vjerovatnoće da imamo tačno x uspjeha, računamo prema izrazu: 8 n BINOMDIST(x; n 8; p 0,7;FALSE) p x (1 - p)n x 0,7 x 0,3 8- x x x Vrijednosti funkcije BINOMDIST, za x = 0, 1,…8, date su na slici 4. 0,35 0,30
8 BINOMDIST(5;8;0,7;0) 0,7 5 0,3 3 0,2541 5
0,2965 0,2541
0,25 0,20
8 BINOMDIST(1;8;0,7;0) 0,7 0,3 7 0,0012 1
0,1977
0,1361
0,15 0,10
0,0576
0,0467 0,05 0,0001
0,0012
0
1
0,0100
0,00 2
3
4
5
6
7
8
Slika 4. Odgovarajući izraz za funkciju BINOMDIST, da imamo najmanje 6 uspjeha, glasi: x
BINOMDIST(x 6; n 8; p 0,7; TRUE)
i0
n x p (1 - p)n x x
6
8
i 0,7 0,3 i
8-i
i0
Vjerovatnoća da imamo najviše 6 uspjeha, iznosi: 0,744702 (slika 5.).
6
i0
8 0,7 i 0,3 8-i 0,7447 i
Slika 5. Vjerovatnoća da imamo više od 4 uspjeha, iznosi: 0,805896 i odgovara izrazu: n
1 - BINOMDIST(x 4; n 8; p 0,7; TRUE)
i5
n i p (1 - p)ni i
8
8
i 0,7 0,3 i
8 -i
i 5
26
Primjer 8. Posredstvom alata za analizu podataka "Random Number Generation" izvršen je eksperiment bacanja osamnaest kocaka. Povoljan ishod za ovaj eksperiment je pojava brojeva 3 ili 4.
Ako između osamnaest brojeva, koji su se na kockama pokazali, nije bilo ni broja 3 ni broja 4, ishod je označen kao 0. Ako je između osamnaest brojeva bio jedanput broj 3 ili 4, ishod je označen kao 1 itd. Posredstvom funkcije FREQUENCY je izvršeno prebrojavanje i dobijene su frekvencije:
Ovaj eksperiment je izveden sa pretpostavljenom vjerovatnoćom p = 2/6 = 1/3=0,33333. Posredstvom funkcije BINOMDIST izračunati pripadne teoretske frekvencije i uporediti ih sa frekvencijama dobijenim u eksperimentu. Rješenje Pripadne teoretske frekvencije, za datu binomnu raspodjelu, odgovaraju izrazu: 18 1 x 2 18- x f x 30000 BINOMDIST(x; n 18; p 1 / 3;FALSE) 30000 x 3 3 Ako umjesto x-a uvrstimo moguće povoljne ishode od x = 0, 1, 2, … dobićemo: 18 2 18 f 0 30000 BINOMDIST(0;18;1 / 3;FALSE) 30000 20 0 3
18 1 2 17 f 1 30000 BINOMDIST(1;18;1 / 3;FALSE) 30000 183 1 3 3 18 1 2 2 16 f 2 30000 BINOMDIST(2;18;1 / 3;FALSE) 30000 776 itd. 2 3 3
27
Na slici 6. su izračunate sve pripadne teoretske frekvencije za x = 0, 1, 2, … , 18.
Za binomnu raspodjelu vrijedi : n
n
x x p
(1 - p)n x n p
x
x 0 18
18
x
x x 3 (1 - 3) 1
1
18 x
18/3 6
x 0
f x n x p (1 - p)n x N x Slika 6. Sve izračunate frekvencije su zaokružene na cijeli broj. Na osnovu frekvencija dobijenih u eksperimentu možemo izračunati odgovarajuću vrijednost n 18 p, prema sljedećem izrazu: p
x f x 0
Nn
x
x f
x
x 0
30000 18
0,33418333
Vidimo da se dobijeno p=0,33418333 razlikuje od vrijednosti p = 0,33333 koju smo uzeli kod generisanja binomne raspodjele. Aritmetička sredina raspodjele koju smo generisali iznosi 6,0153 i možemo je izračunati posredstvom sintakse: 6,0153 {=SUM(A2:A20*B2:B20/30000)} Razliku između ovih vrijednosti za p možemo tumačiti kao da kocke koje smo bacali ipak nisu idealno simetrične. Grafički prikazi eksperimentalnih i teoretskih frekvencija dati su na slici 7. 6000 n
5000
p
x f x 0
Nn
18
x
x f
x
x 0
30000 18
0,33418333
4000
3000
2000
1000
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Slika 7. Ako bismo umjesto p=0,33333 uzeli p=0,33418333 teotretske frekvencije bi se još bolje slagale sa frekvencijama dobijenim u eksperimentu. 28
Primjer 9. Posredstvom binomnog generatora slučajnih brojeva u Minitabu 12.1 (kao na slici) simulirana su tri eksperimenta bacanja dvanaest kocaka. Povoljni ishodi u eksperimentima su pojave neparnih brojeva. Ako između dvanaest brojeva, koji su se na kockama pokazali, nije bilo brojeva 1, 3, i 5 ishod je označen kao 0. Ako je između dvanaest brojeva bio jedanput broj 1, 3, ili 5, ishod je označen kao 1, itd. U eksperimentima je generisano 50000 ishoda.
Izvršiti analizu ovih eksperimenata posredstvom nekih od raspoloživih statističkih softvera. Rješenje Nakon generisanja slučajnih brojeva koji odgovaraju rezultatima eksperimenata izvršena su prebrojavanja povoljnih ishoda (Minitab 12.1): C1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N=
Count 8 137 822 2649 6114 9799 11159 9729 5952 2657 807 153 14 50000
Variable C1 C2 C3
Percent 0,02 0,27 1,64 5,30 12,23 19,60 22,32 19,46 11,90 5,31 1,61 0,31 0,03 N 50000 50000 50000
C2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N=
Count 14 125 806 2730 6120 9649 11196 9664 6065 2673 778 165 15 50000
Mean 5,9937 5,9966 6,0078
Percent 0,03 0,25 1,61 5,46 12,24 19,30 22,39 19,33 12,13 5,35 1,56 0,33 0,03 Median 6,0000 6,0000 6,0000
Postavlja se pitanje, da li između eksperimentalnih i teorijske raspodjele frekvencija postoji statistički značajna
C3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N=
Count 10 173 775 2674 5960 9559 11454 9738 5956 2696 856 139 10 50000
Percent 0,02 0,35 1,55 5,35 11,92 19,12 22,91 19,48 11,91 5,39 1,71 0,28 0,02
Opisna statistika nam pokazuje da se prosječne vrijednosti u eksperimentima(kolona Mean) nešto razlikuju od teorijske prosječne vrijednosti np=6.
29
razlika na nivou značajnosti = 5%? Pripadne teorijske frekvencije, za datu binomnu raspodjelu, odgovaraju izrazu: 12 1 f x 50000 BINOMDIST(x; n 12; p 1 / 2;FALSE) 50000 x 2 Ako umjesto x-a uvrstimo moguće povoljne ishode 0, 1, 2, …,12 dobićemo: 12 1 f 0 50000 BINOMDIST(0; n 12; p 1 / 2;FALSE) 50000 0 2
12
12
12,2
12
12 1 f 1 50000 BINOMDIST(1; n 12; p 1 / 2;FALSE) 50000 146,5 1 2 12 1 f 2 50000 BINOMDIST(2; n 12; p 1 / 2;FALSE) 50000 2 2 ................................................................................................................... f 12
12
12 1 50000 BINOMDIST(12; n 12; p 1 / 2;FALSE) 50000 12 2
805,7
12
12,2
U nastavku su prikazane sve pripadne teorijske frekvencije za x = 0, 1, 2, … , 12. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ft 12,2 146,5 805,7 2685,5 6042,5 9668,0 11279,3 9668,0 6042,5 2685,5 805,7 146,5 12,2
Na osnovu frekvencija dobivenih u eksperimentu možemo izračunati odgovarajuće n 12 vrijednosti za p, prema sljedećem izrazu: x f x f p
x 0
N n
x
x 0
x
50000 12
Vidimo da se dobivene vrijednosti za p = 0,49948; 0,49971; 0,50065 razlikuju od pretpostavljene vrijednosti p = 0,5. Odgovarajuće 2 vrijednosti za 11 stepeni slobode iznose respektivno: 9,39694; 9,87070; i 17,1874. Kritična 2 vrijednost za 11 stepeni slobode i nivo značajnosti = 5% iznosi: 19,675138. Kako su sve izračunate 2 vrijednosti na eksperimentalnim podacima manje od kritične 2 vrijednosti to možemo reći da nemamo dovoljno razloga da odbacimo nultu hipotezu Ho, koja pretpostavlja da razlike između eksperimentom dobivenih frekvencijskih raspodjela i teorijske raspodjele nisu statistički 30
značajne na nivou = 5%. Ako bismo umjesto p = 0,5 uzeli p = 0,49948; 0,49971, i 0,50065 teorijske frekvencije bi se još bolje slagale sa odgovajućim frekvencijama dobivenim u eksperimentu. Slijede odgovarajuća izračunavanja posredstvom stat. paketa Statistika 6. Variable: Var1, Distribution: Binomial, p = 0,49948 (bdist 9pr) Kolmogorov-Smirnov d = 0,00196, Chi-Square = 8,71536, df = 11, p = 0,64815 Observed Cumulative Percent Cumul. % Expected Cumulative Percent Category Frequency Observed Observed Observed Frequency Expected Expected <= 0,00000 8 8 0,01600 0,0160 12,36 12,36 0,02472 137 1,00000 145 0,27400 0,2900 148,02 160,39 0,29605 2,00000 822 967 1,64400 1,9340 812,43 972,82 1,62487 3,00000 2649 3616 5,29800 7,2320 2702,45 3675,27 5,40489 4,00000 6114 9730 12,22800 19,4600 6067,79 9743,06 12,13558 5,00000 9799 19529 19,59800 39,0580 9688,16 19431,22 19,37633 6,00000 11159 30688 22,31800 61,3760 11279,22 30710,45 22,55845 7,00000 9729 40417 19,45800 80,8340 9647,69 40358,13 19,29538 8,00000 5952 46369 11,90400 92,7380 6017,20 46375,33 12,03439 9,00000 2657 49026 5,31400 98,0520 2668,72 49044,05 5,33743 10,00000 807 49833 1,61400 99,6660 798,94 49842,99 1,59788 11,00000 153 49986 0,30600 99,9720 144,96 49987,95 0,28992 14 50000 12,00000 0,02800 100,0000 12,05 50000,00 0,02411 < Infinity 0 50000 0,00000 100,0000 0,00 50000,00 0,00000
Cumul. % ObservedExpected Expected 0,0247 -4,361 0,3208 -11,025 1,9456 9,567 7,3505 -53,447 19,4861 46,209 38,8624 110,835 61,4209 -120,223 80,7163 81,312 92,7507 -65,196 98,0881 -11,717 99,6860 8,059 99,9759 8,042 100,0000 1,945 100,0000 0,000
Variable: Var2, Distribution: Binomial, p = 0,49971 (bdist 9pr) Kolmogorov-Smirnov d = 0,00150, Chi-Square = 9,67187, df = 11, p = 0,56012 Observed Cumulative Percent Cumul. % Expected Cumulative Percent Cumul. % ObservedCategory Frequency Observed Observed Observed Frequency Expected Expected Expected Expected <= 0,00000 14 14 0,02800 0,0280 12,29 12,29 0,02458 0,0246 1,7087 1,00000 125 139 0,25000 0,2780 147,33 159,62 0,29465 0,3192 -22,3263 2,00000 806 945 1,61200 1,8900 809,37 968,98 1,61873 1,9380 -3,3663 3,00000 2730 3675 5,46000 7,3500 2694,80 3663,78 5,38959 7,3276 35,2042 4,00000 6120 9795 12,24000 19,5900 6056,34 9720,12 12,11268 19,4402 63,6582 5,00000 9649 19444 19,29800 38,8880 9679,04 19399,16 19,35808 38,7983 -30,0420 6,00000 11196 30640 22,39200 61,2800 11279,27 30678,44 22,55855 61,3569 -83,2746 7,00000 9664 40304 19,32800 80,6080 9656,87 40335,31 19,31374 80,6706 7,1299 8,00000 6065 46369 12,13000 92,7380 6028,63 46363,94 12,05725 92,7279 36,3730 9,00000 2673 49042 5,34600 98,0840 2676,32 49040,25 5,35264 98,0805 -3,3192 10,00000 778 49820 1,55600 99,6400 801,98 49842,23 1,60395 99,6845 -23,9756 11,00000 165 49985 0,33000 99,9700 145,65 49987,88 0,29129 99,9758 19,3534 12,00000 15 50000 0,03000 100,0000 12,12 50000,00 0,02425 100,0000 2,8767 < Infinity 0 50000 0,00000 100,0000 0,00 50000,00 0,00000 100,0000 0,0000
Variable: Var3, Distribution: Binomial, p = 0,50065 (bdist 9pr) Kolmogorov-Smirnov d = 0,00242, Chi-Square = 16,20690, df = 11, p = 0,13362 Observed Cumulative Percent Cumul. % Expected Cumulative Percent Cumul. % ObservedCategory Frequency Observed Observed Observed Frequency Expected Expected Expected Expected <= 0,00000 10 10 0,02000 0,0200 12,02 12,02 0,02403 0,0240 -2,017 1,00000 173 183 0,34600 0,3660 144,59 156,60 0,28917 0,3132 28,414 775 2,00000 958 1,55000 1,9160 797,30 953,90 1,59460 1,9078 -22,299 3,00000 2674 3632 5,34800 7,2640 2664,60 3618,50 5,32920 7,2370 9,399 5960 4,00000 9592 11,92000 19,1840 6011,00 9629,50 12,02200 19,2590 -51,000 5,00000 9559 19151 19,11800 38,3020 9642,70 19272,21 19,28540 38,5444 -83,702 6,00000 11454 30605 22,90800 61,2100 11279,18 30551,39 22,55836 61,1028 174,818 7,00000 9738 40343 19,47600 80,6860 9693,10 40244,49 19,38621 80,4890 44,896 8,00000 46299 11,91200 92,5980 6074,00 46318,49 12,14800 92,6370 -118,002 5956 9,00000 2696 48995 5,39200 97,9900 2706,60 49025,10 5,41321 98,0502 -10,603 10,00000 856 49851 1,71200 99,7020 814,10 49839,20 1,62820 99,6784 41,900 11,00000 0,27800 99,9800 148,40 49987,60 0,29681 99,9752 -9,405 139 49990 12,00000 10 50000 0,02000 100,0000 12,40 50000,00 0,02480 100,0000 -2,399 < Infinity 0 50000 0,00000 100,0000 0,00 50000,00 0,00000 100,0000 0,000
U kolonama Expected Frequency nalaze se teorijske frekvencije binomne raspodjele za vrijednosti vjerovatnoće povoljnih ishoda iz eksperimenta 0,49948; 0,49971, i 0,50065. Odgovarajuće 2 vrijednosti (za 11 stepeni slobode) iznose respektivno:8,71536; 9,67187; i 16,2069. Kritična 2 vrijednost za 11 stepeni slobode i nivo značajnosti = 5% iznosi 19,675138. Ovi rezultati su još povoljniji u korist prihvatanja nulte hipoteze Ho u odnosu na one koje smo dobili u odnosu na binomnu raspodjelu kod koje je vjerovatnoća uspjeha 50%.
31
CHIDIST Neka X ima gama raspodjelu sa parametrima = 2 i = df / 2, gdje je df pozitivni cijeli broj. Funkcija gustine f(x) ima oblik
f(x)
1 Γ( ) 2 df 2
2
x
df 2
df 2
1
e
x 2
, o x .
Za X kažemo da ima raspodjelu sa df stepeni slobode. Očekivana vrijednost i varijansa hi-kvadrat raspodjele su: = (df/2) * 2 = df , 2 = (df/2) * 22 = 2*df. Funkcija CHIDIST izračunava vjerovatnoću koja odgovara 2 raspodjeli prema izrazu:
1
CHIDIST(x ; df deg_freedom) 2
2
df 2
Γ(
)
u
df 2
df 1 2
u 2
e du
x
Sintaksa CHIDIST (x ; deg_freedom) X je vrijednost za koju želimo ocijeniti raspodjelu. Deg_freedom (df) je broj stepeni slobode. Napomene Ako neki argument nije broj, CHIDIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x negativan, CHIDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako deg_freedom nije cijeli broj, decimale se odbacuju. Funkcija gustine f(x) odgovara sintaksi GAMMADIST(x; df/2; 2; FALSE). Ako deg_freedom < 1 ili deg_freedom 1010, CHIDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Primjer 1. Neka X ima hi-kvadrat raspodjelu sa df = 5 stepeni slobode. Izračunati vjerovatnoće P( X 11,071) i P( X 1,145). Rješenje P( X 11,071) = 0,95 P( X 1,145) = 0,95
11,071
1
1 - CHIDIST(11,071;5) 1
5 2
2 Γ( ) CHIDIST(1,145;5)
1 5 2
5 2
2 Γ( ) 5 2
u
3 2
u
3 2
u 2
e du 0,95
0
u 2
e du 0,95
1,145
32
Primjer 2. X ima hi-kvadrat raspodjelu sa 7 stepeni slobode. Izračunati vjerovatnoću P( X 13). Rješenje Posredstvom ugrađene Excelove funkcije CHIDIST, vjerovatnoću P( X 13) možemo izračunati kao na slici 1.
Slika 1.
CHIDIST(x 13; df 7)
1 7 2
2 Γ( ) 7 2
u
7 1 2
u 2
e du 0,0721
13
Primjer 3. Ako X ima hi-kvadrat raspodjelu sa 15 stepeni slobode izračunati vjerovatnoću P( 9 < X < 16). Rješenje P( 9 < X < 16) = 49,547% (slika 2.).
Slika 2. Primjer 4. Ako u prosjeku u prodavnicu dolazi 30 kupaca u toku jednog sata u skladu sa Poissonovim procesom, koja je vjerovatnoća da će prodavac morati čekati duže od 9,39 minuta da stignu prvih devet kupca? Rješenje Prosječan broj dolazaka u minuti je =1/2. Odavde imamo =2 i =df/2=9. Ako X označava vrijeme čekanja dok 9-ti kupac stigne, X je 2 raspodjela sa 18 stepeni slobode. Vjerovatnoća da će prodavac morati čekati duže od 9,39 minuta iznosi:
33
CHIINV Pretpostavimo da nam je poznata vjerovatnoća koja odgovara hi-kvadrat raspodjeli za poznati broj stepeni slobode df, prema izrazu:
CHIDIST(x ; df deg_freedom)
1
2
df
u2
df
1
u
e 2 du
2 2 Γ( df2 ) x Ovoj vjerovatnoći možemo pridružiti odgovarajuću vrijednost x =2. posredstvom Excelove funkcije CHIINV. Sintaksa CHIINV (probability; deg_freedom) Probability je vjerovatnoća koja odgovara 2 raspodjeli. Deg_freedom je broj stepeni slobode. Napomene Ako neki argument nije broj, CHIINV postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je probability < 0 ili probability > 1, CHIINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako deg_freedom nije cijeli broj, odbacuju se decimale. Ako je deg_freedom < 1 ili je deg_freedom 1010, CHIINV postavlja vrijednost greške #NUM!. CHIINV koristi iterativni postupak za izračunavanje funkcije. Zadatoj vrijednosti vjerovatnoće, CHIINV iterira do opsega ± 3 x 10-7. Ako CHIINV ne konvergira nakon 100 iteracija, funkcija postavlja vrijednost greške #N/A. Primjer 1. Ako X ima 2 raspodjelu sa 7 stepeni slobode izračunati konstantu a tako da je P( X > a) = 0,95. Rješenje Poznata vjerovatnoća 0,95 odgovara 2 raspodjeli, odnosno izrazu:
CHIDIST(x a; df 7)
1 7 2
7
1
u
u 2 e 2 du 0,95
2 Γ( 27 ) a Konstantu a izračunavamo posredstvom funkcije CHIINV, kao na slici 1.
Slika 1. 34
CHITEST Posredstvom ove funkcije izračunavamo vjerovatnoću koja odgovara 2 - testu, odnosno vjerovatnoću, koja odgovara izrazu:
CHIDIST( χ ; df)
1
2
df
x2
df
1
x
e 2 dx
df ) 2 2 Koristi se kod testiranja hipoteze da su dva obilježja elemenata osnovnog skupa međusobno nezavisna, testiranja hipoteze da raspodjela osnovnog skupa ima određeni oblik, itd. 2 2 Γ(
Sintaksa CHITEST (actual_range ; expected_range) Actual_range je opseg podataka koji sadrži opažene ili originalne frekvencije. Expected_range je opseg podataka koji sadrži teorijske ili očekivane frekvencije. Napomene Ako actual_range i expected_range imaju različit broj podataka, CHITEST postavlja vrijednost greške #N/A. CHITEST prvo računa 2 statistiku, odnosno sabira razlike opaženih frekvencija od očekivanih prema standardnoj formuli 2
χ
r
c
i 1
j 1
(A ij E ij )2 E ij
pri čemu oznake imaju sljedeće značenje: Aij = opažena frekvencija u i-tom redu, j-toj koloni; Eij = očekivana frekvencija u i-tom redu, j-toj koloni; r = broj redova; c = broj kolona. Nakon toga, postavlja vrijednost vjerovatnoće za izračunatu 2 statistiku i broj stepeni slobode - df, gdje je df = (r - 1) (c - 1). Primjer 1. Pretpostavimo da smo u toku istraživanja zavisnosti između spola i motiva studiranja na jednom postdiplomskom studiju, na uzorku od 600 studenata, dobili sljedeće rezultate, prikazane takozvanom kontingencijskom tablicom:
Postavljamo nultu hipotezu da motiv studiranja ne zavisi od spola studenata. Frekvencije u ovoj tablici odgovaraju opaženim ili originalnim frekvencijama Aij. Na osnovu ovih frekvencija uz pretpostavku istinitosti nulte hipoteze izračunavamo teorijske ili očekivane frekvencije, tako da se proizvod odgovarajuće sume kolone i sume reda podijeli sa veličinom uzorka. Tako dobijamo sljedeće teorijske frekvencije:
134 241 53,8233 600
134 166 37,0733 600
134 159 35,51 600
134 34 7,59333 600 35
466 241 466 166 466 159 466 34 187,1767 128,9267 123,49 26,40667 600 600 600 600 Izračunate teorijske ili očekivane frekvencije predstavljamo takođe tablicom, kao na slici 1.
Slika 1. Sada ćemo izračunati
2
- statistiku : 2
χ
4
2
i 1
j 1
(A ij E ij ) 2 E ij
Broj stepeni slobode u našem primjeru je df = (r - 1) (c - 1)= (4 - 1) (2 - 1) = 3. Kritična 2 vrijednost za nivo značajnosti 5% iznosi: 7,815 (=CHIINV(5%;3)). Kako je izračunati 2 = 6,791 manji od kritičnog 2 na nivou 5% to nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu o nezavisnosti spola i motiva studiranja. Površina koja se nalazi desno od izračunate vrijednosti 2 = 6,791 jednaka je vrijednosti integrala
CHIDIST(6,791;3)
1
1
x
x 2 e 2 dx 0,07886
3 3 2 2 Γ( ) 2 2 i vidimo, da je ona veća od kritične vriednosti od 5%. Ova vrijednost ustvari odgovara vrijednosti koju na našim podacima postavlja ugrađena Excelova funkcija CHITEST.
U polju ćelija B2:C5 nalaze se originalne frekvencije koje upisujemo kao argument Actual_range, a u polju B9:C12 nalaze se teorijske frekvencije (Expected_range). 36
Primjer 2. Na jednom uzorku od 310 uposlenika testiramo nivo njihovog zadovoljstva na poslu u odnosu na primanja. Podaci ankete dati su u kontingencijskoj tablici na slici 2. Hi-kvadrat testom utvrditi da li su na nivou 0,05 plaća i zadovoljstvo na poslu nezavisni.
Slika 2. Rješenje Postavljamo nultu hipotezu da zadovoljstvo na poslu uposlenika ne zavisi od njihove plaće. Frekvencije u ovoj tablici odgovaraju opaženim ili originalnim frekvencijama Aij. Na osnovu ovih frekvencija uz pretpostavku istinitosti nulte hipoteze izračunavamo teorijske ili očekivane frekvencije, tako da se proizvod odgovarajuće sume kolone i sume reda podijeli sa veličinom uzorka. Tako dobijamo sljedeće teorijske frekvencije:
160 50 160 200 160 60 25,806452 103,22581 30,967742 itd. 310 310 310 Posredstvom funkcije CHITEST izračunavamo vjerovatnoću Hi-kvadrat testa: Kako je izračunata vjerovatnoća na našim podacima veća od nivoa 0,05 to nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu, koja pretpostavlja nezavisnost plaće i zadovoljstva na poslu. Broj stepeni slobode u našem primjeru je df = (r - 1) (c - 1)= (3 - 1) (3 - 1) = 4. Kritična 2 vrijednost za nivo značajnosti 5% iznosi: 9,4877285 (=CHIINV(5%;4)). Kako je izračunati 2 = 8,9124921=CHIINV(0,0633242;4) manji od kritičnog 2 na nivou 5% to nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu o nezavisnosti plaće i zadovoljstva na poslu. Površina koja se nalazi desno od izračunate vrijednosti 2 = 8,9124921 jednaka je vrijednosti integrala
1 CHIDIST(8,9124921;4) 4
x
x e 2 dx 0,0633242
8,9124921
Vrijednost hi-kvadrat testa možemo izračunati direktno iz anketnih podataka(kont. tablica): 2 možemo izračunati takođe direktno, na bazi podataka iz kontingencijske tablice:
37
Primjer 3. Na podacima iz prethodnih primjera provesti hi-kvadrat test posredstvom statističkog softvera Minitab Release 12. Rezultati Hi-kvadrat testa na podacima iz Primjera 1. dati su na slici 3.
2
χ
4
2
i 1
j 1
(A ij E ij ) 2 E ij
CHIDIST(6,791;3)
1 3 3 2 2 Γ( ) 2
1
x
x 2 e 2 dx 0,079
6 ,791
Slika 3. Rezultati Hi -kvadrat test na podacima iz Primjera 2. dati su na slici 4.
3
3
χ 2
i 1 j 1
(Aij E ij )2 E ij
1 CHIDIST(8,91;4) 4
8,91
x
x e 2 dx 0,063
8,91
Slika 4. 38
Primjer 4. Na nivou značajnosti =1%, potrebno je ispitati da li je uspjeh učenika na kvalifikacionom ispitu za upis na fakultet nezavisan od njihovog uspjeha u srednjoj školi. Slučajan uzorak izvučen iz skupa kandidata za upis na fakultet dao je rezultat prikazan sljedećom tabelom:
Rješenje U ovoj kontingencijskoj tablici su prikazane empirijske (opažene) frekvencije A ij za ij-tu kombinaciju modaliteta dva obilježja, koje u cilju testiranja hipoteze o nezavisnosti treba uporediti sa očekivanim frekvencijama E ij . Pretpostavimo da je naša kontingencijska tablica smještena u polju ćelija kao na slici 5. Očekivane frekvencije izračunavamo posredstvom formule polja koju aktiviramo istovremenim pritiskom na tipke Ctrl, Shift, i Enter prema sintaksi prikazanoj na istoj slici, tako što prvo selektujemo područje ćelija gdje ćemo ih smjestiti (B11:D13).
Slika 5. Vrijednost 2 izračunavamo posredstvom izraza, odnosno sintakse: r c (A ij E ij )2 2 157,2843823 χ df (r 1) (c 1) E ij i 1 j 1
(3 1) (3 1) 2 2 4
SUM((B4 : D6 B 11 : D13) 2 / B 11 : D13) Na nivou značajnosti = 1% kritična 2 vrijednost jednaka je 13,2766986 = CHIINV(1%;4). Pošto je u našem primjeru izračunata vrijednost 2 =157,2844>13,2767, odbacićemo nultu hipotezu i zaključiti da uspjeh učenika u srednjoj školi i na kvalifikacionom ispitu nisu nezavisni. Učenici koji su postigli bolji uspjeh u srednjoj školi pokazuju bolje rezultate i na kvalifikacionom ispitu, i obrnuto. Površinu ispod 2 rasporeda sa df = 4 stepena slobode, desno od vrijednosti 2 = 157,2843823 možemo izračunati posredstvom funkcije CHIDIST:
39
Do ove vrijednosti možemo doći bez prethodnog izračunavanja 2 vrijednosti. Odluku o prihvatanju ili odbacivanju nulte hipoteze možemo donijeti veoma brzo posredstvom funkcije CHITEST, kao na slici 6.
Slika 6. Kako je izračunata vjerovatnoća 5,58822*10 manja od nivoa značajnosti = 1% to nam ukazuje na činjenicu da treba odbaciti nultu hipotezu i usvojiti alternativnu. Na slici 7. je pokazano kako se do ove vjerovatnoće može doći i bez prethodnog izračunavanja očekivanih frekvencija E ij , jer to umjesto nas može uraditi funkcija CHITEST. -33
Slika 7. Dakle, do rezultata možemo doći veoma brzo samo na osnovu empirijskih frekvencija. Testiranje hipoteze o nezavisnosti modaliteta obilježja datih tabelom kontingencije može se donijeti odluka o prihvatanju ili odbacivanju hipoteze o njihovoj nezavisnosti. Ako H 0 odbacimo, vrijednost 2 testa ne daje informaciju o jačini njihove međuzavisnosti. Intenzitet povezanosti posmatranih modaliteta mjerimo tada koeficijentom kontingencije C, koji se izračunava prema formuli:
χ2 C n χ2 gdje je n ukupan broj opažanja u tabeli kontingencije, odnosno veličina uzorka. 40
Koeficijent kontingencije uzima vrijednosti od 0 do 1, i što je bliži jedinici to je veza modaliteta posmatranih obilježja čvršća. U našem primjeru koeficijent kontingencije iznosi:
χ2 157,2843823 0,48918 2 nχ 500 157,2843823 U proračunskoj tablici Excel za izračunavanje vrijednosti koeficijenta kontingencije možemo koristiti funkciju kvadratnog korijena, SQRT: C
Minimalna vrijednost koeficijenta kontingencije jednaka je nuli, ali njegova maksimalna zavisi od broja posmatranih modaliteta i znatno je manja od jedinice kada je ovaj broj manji. Ako se tabela kontingencije sastoji od jednakog broja modaliteta (r = c) za oba obilježja, maksimalna vrijednost koeficijenta kontingencije određuje se prema obrascu:
r1 r 2 0,8165. što u našem primjeru odgovara maksimalnoj vrijednosti : C max 3 Kako je izračunati C = 0,48918 bliži vrijednosti 0,8165 nego 0, to znači da je slaganje uspjeha u srednjoj škoji i na kvalifikacionom ispitu relativno visoko. C max
Primjer 5. Provjeriti hipotezu o nezavisnosti broja saobraćajnih prekršaja od starosti vozača, na nivou značajnosti = 1% na osnovu podataka iz tabele kontingencije na slici 8. Rješenje Očekivane frekvencije modaliteta "4" i "5 i više" izračunate su na istoj slici:
Slika 8. Kako modalitet "5 i više" prekršaja ima male očekivane frekvencije (manje od 5) to ćemo taj modalitet spojiti sa prethodnim "4" prekršaja i onda izračunati vrijednost 2. Modalitet "4 i više" prekršaja, ima sljedeće frekvencije:
Pregrupisani podaci na osnovu kojih izračunavamo vjerovatnoću 2 testa dati su na slici 9. 41
Slika 9. Kako je izračunata vjerovatnoća 3,84511*10 manja od nivoa značajnosti = 1% to nam ukazuje na činjenicu da treba odbaciti nultu hipotezu i usvojiti alternativnu. Vrijednost 2 u ovom primjeru možemo izračunati prema sintaksi: -32
Kako je ova vrijednost veća od 2 kritične vrijednosti za nivo značajnosti = 1% i 9 stepeni slobode (koja iznosi 21,67) to hipotezu o nezavisnosti odbacujemo i zaključujemo da broj
saobraćajnih prekršaja nije nezavisan od starosti vozača. Neki autori smatraju da očekivana frekvencija kada je uzorak dovoljno velik, može biti i manja od 5, čak manja i od 1.
I u ovom slučaju odbacujemo nultu hipotezu o nezavisnosti
42
Primjer 6. Prost slučajan uzorak dao je sljedeći rezultat:
Uporedite ova dva rasporeda pomoću 2 testa i analizirajte dobijeni rezultat, na nivou značajnosti = 5%. očekivane frekvencije Eij
Rješenje
2
χ
7
2
i 1
j 1
(A ij E ij )2 E ij
5,053 2,592 6,460 0,051 8,095 5,793 2,123
10,647 5,462 13,611 0,108 17,058 12,207 4,473 93,734
Kritična 2 vrijednost za df = 6 stepeni slobode, jednaka je:
df = (r-1)*(c-1) df = (7-1)*(2-1) df = 6
Kako je izračunato 2 = 93,734 > 12,592 to odbacujemo nultu hipotezu o nezavisnosti modaliteta obilježja pola i visine ličnog dohotka. Odgovarajuća površina ispod 2 rasporeda, desno od izračunate vrijednosti 2 = 93,734 za 6 stepeni slobode jednaka je vjerovatnoći koju postavlja funkcija CHITEST:
Kako je ova vrijednost manja od nivoa značajnosti =5% to odbacujemo nultu hipotezu H0. 43
Primjer 7. Anketa o prednosti koju kupci automobila daju pojedinim karakteristikama, sprovedena pomoću prostog slučajnog uzorka, dala je sljedeći rezultat:
Ispitajte na nivou značajnosti = 2 %: da li su razlike u spolu statistički značajne za izbor prilikom kupovine automobila; intenzitet veze između posmatranih modaliteta obilježja. Rješenje Da bismo odredili da li su razlike u spolu statistički značajne za izbor prilikom kupovine automobila moramo prvo izračunati 2 vrijednost. Pretpostavimo da se naša tablica nalazi u polju ćelija kao na slici 10.
Aij Kako je izračunata vrijednost 0,000124326 manja od 0,02 to odbacujemo nultu hipotezu H 0 .
Razlike u spolu su statistički značajne za izbor prilikom kupovine automobila Slika 10.
2
2 = 20,652 > 9,837=2 0,02;3 CHIINV(2%;3)= 9,837=2 0,02;3
Koeficijent kontingencije iznosi:
C
χ2 n χ2
20,65194395 0,329125 170 20,65194395 44
Primjer 8. U cilju preferencija potrošača prema jednoj vrsti prehrambenog proizvoda, izabran je slučajan uzorak koji je dao sljedeći rezultat: Na nivou značajnosti = 5% ispitajte hipotezu da sklonost potrošača prema tom proizvodu ne zavisi od njihovog dohotka. Rješenje Na slici 11. vidimo da među očekivanim frekvencijama ima i onih koje su manje od 5, pa ćemo modalitet "600 i više" spojiti prethodnom "530-600".
Slika 11. Na osnovu pregrupisane tabele na slici 12. sada izračunavamo 2:
Slika 12. 3
χ2
3
i 1
j 1
(A ij E ij )2 E ij
75,584
r = 3, c = 3 df = 2*2 = 4
CHIDIST(x χ 2 75,584; df deg_freedom 4) 1 4
u e
u 2
du 1,4989847E 15
Nulta hipoteza (sklonost potrošača 75,584 prema ovoj vrsti prehrambenog proizvoda ne zavisi od njihovog dohotka) se odbacuje.
45
Primjer 9. Testirajte pomoću 2 testa značajnost razlike između prevoznika robe na osnovu podataka u tabeli na slici 13. na nivou značajnosti = 5 %. Rješenje Površina ispod 2 rasporeda sa 2 stepena slobode desno od izračunate 2 vrijednosti jednaka 1,77789*10-5 manja je od nivoa značajnosti = 5 %. To nam ukazuje, da nultu hipotezu koja govori da su modaliteti prevoza robe nezavisni od tipa saobraćaja, treba odbaciti.
df 2 α 5%
1 2
e
u 2
21,87
5,99
du
21,87
χ2
3
2
i 1
j 1
(A ij E ij )2 E ij
Slika 13. 2
χ
3
2
i 1
j 1
(A ij E ij )2 E ij
χ2
3
2
i 1
j 1
(A ij E ij )2 E ij
46
Primjer 10. Slučajno odabrani uzorci (n1 = n2 = 80) iz dvije grupe studenata dali su sljedeći rezultat: Testirajte na nivou značajnosti od = 5% da li postoje značajne razlike u postignutim rezultatima, odnosno može li se smatrati da profesori imaju bitno različite kriterijume, s obzirom da jednu grupu ispituje jedan a drugu grupu drugi profesor. Rješenje Na slici 14. je pokazano kako se na osnovu opaženih mogu izračunati očekivane frekvencije, odnosno pojedinačne vrijednosti u izrazu za 2. Kako je izračunata vrijednost 2 = 3,75 manja od kritične vrijednosti 5,99 (koja odgovara nivou značajnosti = 5 %) 2 raspodjele sa dva stepena slobode to nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu.
2
χ
3
2
i 1
j 1
(A ij E ij )2 E ij
df 2 α 5% 5,99
Slika 14. Na slici 15. je posredstvom funkcije CHITEST izračunata površina ispod 2 raspodjele desno od 3,75 sa df = 2. Kako je ova površina veća od 5% to ne odbacujemo hipotezu H0.
df 2
15,3% > 5%
15,3%
H0 se ne odbacuje
3,75 Slika 15. 47
Primjer 11. Izvršen je opit od 300 bacanja kocke i zabilježen je sljedeći tezultat:
Da li su empirijske frekvencije realizovane u ovom opitu saglasne očekivanim? Rješenje Vjerovatnoća svakog od ovih modaliteta (svake strane kocke) da se javi u jednom bacanju iznosi 1/6 (raspored vjerovatnoća je uniformni). Možemo formulisati hipotezu: H 0 : p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = 1/6 H 1 : p i p j , i=1,2,3,…,6; i j gdje p i predstavlja relativnu frekvenciju istog modaliteta u skupu. Testiranje saglasnosti frekvencija u ovakvim slučajevima (kada je broj modaliteta veći od dva) zasniva se na odstupanjima očekivanih od empirijskih frekvencija u uzorku. Mjera tog odstupanja određena je izrazom: r
(A i E i )2 χ Ei i 1 gdje su A i i E i empirijska i očekivana frekvencija respektivno za svaki od r modaliteta. Vrijednost ove statistike u našem primjeru izračunata je na slici 16. 2
Slika 16. Vrijednost statistike možemo izračunati posredstvom funkcije SUM: 2
Ova vrijednost odgovara tradicionalnom izrazu: r
2
χ
i 1
(A i E i )2 Ei
Broj stepeni slobode df = r - m -1 r broj posmatranih modaliteta m broj parametara koji se mogu ocijeniti
(60 50)2 (36 50)2 (30 50)2 (63 50)2 (51 50)2 (60 50)2 19,32 50 50 50 50 50 50
Ako bismo opit od 300 bacanja ponovili mnogo puta i poslije svakih 300 bacanja izračunali vrijednost 2 statistike dobili bismo niz vrijednosti 2, čiji bi histogram frekvencija približno pokazivao vjerovatnoću javljanja pojedinih 2 vrijednosti pa i vjerovatnoću da je 2=19,32. 48
Primjer 12. Pretpostavimo da je slučajan uzorak od 2400 lica, izvučenih iz skupa od 960000 nezaposlenih dao sljedeći rezultat: Primjenom 2 testa treba ispitati, na nivou značajnosti = 5 %, da li se raspored nezaposlenih lica po školskoj spremi razlikuje od očekivanog (uniformnog) samo u granicama slučajnosti, odnosno mogu li se ovih 2400 nezaposlenih lica smatrati kao uzorak iz skupa u kome su sva četiri modaliteta školske spreme podjednako zastupljena. Rješenje Očekivana frekvencija za svaki modalitet biće 2400/4=600, ako je nulta hipoteza istinita. Vrijednost 2 testa izračunavamo posredstvom funkcije CHITEST, kao na slici 17.
Ei Ai df = r - m -1 df = 4-0-1=3
5%
1,59%
Oblast prihvatanja
Slika 17. Napisano na tradicionalan način, vrijednost 2 statistike u našem primjeru, jednaka je: 4
2
χ
i 1
(A i E i )2 (560 600)2 (570 600)2 (660 600)2 (610 600)2 10,33331 Ei 600 600 600 600
Broj stepeni slobode biće df = r-m-1= 4-0-1 =3. Imamo četiri modaliteta i jednu restrikciju , pošto je ukupna frekvencija 2400 korišćena za određivanje očekivanih frekvencija. Ovu vrijednost možemo izračunati i posredstvom sljedećih sintaksi: =CHIINV(0,015935181;3)=10,33331={=SUM((B3:B6-C3:C6)^2/ C3:C6)} Naravno, vrijednost 2 statistike nije potrebno izračunavati da bismo mogli donijeti odluku o tome da li nultu hipotezu treba odbaciti ili prihvatiti. Pošto je u našem primjeru 1,59 % < 5%, zaključićemo, na nivou značajnosti od = 5%, da se hipoteza o jednakom udjelu posmatranih modaliteta školske spreme nezaposlenih lica odbacuje. 49
Primjer 13. Pretpostavimo da na podacima tabele na slici 18. treba ispitati da li je empirijski raspored (relativno učešće) proizvođača bijele tehnike na tržištu saglasan planiranom (očekivanom) na osnovu slučajnog uzorka. Nivo značajnosti = 1%. Sintakse posredstvom kojih smo izračunali očekivane frekvencije date su na slici 18. Slika 18. Rješenje Posredstvom funkcije CHITEST (slika 19.) veoma jednostavno možemo ustanoviti da li je empirijski raspored proizvođača bijele tehnike na tržištu saglasan očekivanom.
u 1 u e 2 du 4
43
1,03479E 08
Slika 19. Kako je postavljeni rezultat 1,03479*10 < 0,01 to odbacujemo postavljenu nultu hipotezu. Broj stepeni slobode u ovom primjeru je df = r-m-1= 5-0-1= 4. 2 statistiku koja odgovara vjerovatnoći 2 testa možemo izračunati na sljedeći način: -08
Kritična vrijednost na nivou 1% iznosi:
2
Pošto je 2 = 43 > 13,277 to odbacujemo nultu hipotezu.Dakle, na osnovu funkcije CHITEST izračunavamo površinu ispod 2 raspodjele desno od 2 statistike, odnosno od vrijednosti 2 = 43. Ovu površinu koja odgovara vjerovatnoći upoređujemo sa vjerovatnoćom nivoa značajnosti . Kako je vrijednost koju postavlja CHITEST manja od nivoa to znači da se odgovarajuća 2 statistika nalazi desno od kritične vrijednosti za dati prag značajnosti, odnosno daje nam pravo da postavljenu nultu hipotezu na ovom novou značajnosti odbacimo. Vrijednost 2 testa odgovara sljedećoj vrijednosti funkcije CHIDIST:
50
CONFIDENCE Ako slučajne uzorke veličine n izvlačimo iz neke populacije sa aritmetičkom sredinom i standardnom devijacijom , aritmetička sredina uzorka x ima raspodjelu sa aritmetičkom sredinom i standardnom devijacijom x n koja odgovara standardnoj greški aritmetičke sredine; ovaj izraz koristimo bez obzira na veličinu uzorka kada je standardna devijacija populacije poznata. Ako standardna devijacija populacije nije poznata ali se radi o velikom uzorku (n 30) standardnu devijaciju populacije zamjenjujemo standardnom devijacijom uzorka s
1 n 1
n
(x x) i
2
, tako da je s. Interval povjerenja izračunavamo tako što
i1
razlikux - pretvaramo u standardiziranu z vrijednost posredstvom izraza z x - μ n (ili z x - μ n ) gdje granice možemo izračunati posredstvom funkcije NORMSINV, kao s na slici 1.
2
2 -z
0
z
Slika 1. Vidimo da je za 95% koeficijent povjerenja (zove se i alfa nivo od 5%) z /2 vrijednost jednaka 1,9599611 = NORMSINV(1 - alfa/2) = NORMSINV(1-5%/2) = NORMSINV(97,5%), što odgovara intervalnoj ocjeni aritmetičke sredine populacije: μ x 1,9599 x - 1,9599 n n Ovo nam daje za pravo da sa vjerovatnoćom 95% možemo tvrditi da se aritmetička sredina populacije nalazi u untervalu s s ili x - 1,9599 , x 1,9599 x - 1,9599 n , x 1,9599 n n n Funkcija CONFIDENCE odgovara izrazu s CONFIDENCE(; ;n) z , odnosno : CONFIDENCE(; s; n) z n n 2 2 2
2
pa za interval aritmetičke sredine populacije , možemo napisati: x - CONFIDENCE(; ;n) μ x CONFIDENCE(; ; n) odnosno : x - CONFIDENCE(; s;n) μ x CONFIDENCE(; s;n)
Sintaksa CONFIDENCE (alpha ; standard_dev ; size) Alpha () je nivo signifikantnosti (značajnosti). Nivo povjerenja, odnosno koeficijent povjerenja jednak je 1 - alfa, ili drugim riječima, alfa = 1% označava koeficijent povjerenja od 99%. Standard_dev () je standardna devijacija populacije. Size (n) je veličina uzorka.
51
Napomene Koeficijent povjerenja 1- odgovara vjerovatnoći: P( x - z μ x z ) 2 2 n n Ako neki argument nije broj, CONFIDENCE postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je alfa 0 ili je alfa 1, CONFIDENCE postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je standard_dev 0, CONFIDENCE postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako size nije cijeli broj, decimalna se mjesta odbacuju. Ako je size < 1, CONFIDENCE postavlja vrijednost greške #NUM!. Primjer 1. Poznata je standardna devijacija normalno raspoređene populacije = 2, kao i aritmetička sredinax = 15,8 izračunata na uzorku veličine n = 90. Odrediti interval povjerenja za aritmetičku sredinu populacije , za = 5%. Rješenje 2 2 1,9599611 0,413196076 90 90 Posredstvom funkcije CONFIDENCE izračunavamo maksimalnu toleranciju greške, kao na z 2 n 2 1,9599611 90 0,413196076 CONFIDENCE(5%;2;90) z 2,5%
Slika 2. slici 2. tako da je interval povjerenja za aritmetičku sredinu populacije: x - CONFIDENCE(; ; n) μ x CONFIDENCE(; ; n) odnosno: 15,387 μ 16,213 Primjer 2. U jednom eksperimentu ljekara ispitivana je dužina sna pacijenata, koji su liječeni od određene bolesti. Izvučen je slučajan uzorak od 16 pacijenata i izmjereno je vrijeme (u min) spavanja ovih pacijenata: 435, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 437, 348, 503, 383, 395, 416, 553, 500, i 489. Ako se prihvati da vrijeme spavanja ima normalnu raspodjelu sa standardnom devijacijom = 70 i nepoznatom aritmetičkom sredinom , ocjeniti srednje vrijeme spavanja pacijenata intervalom povjerenja, sa koeficijentom povjerenja 1- = 99%. Rješenje Interval povjerenja za , određen je granicama: x CONFIDENCE(1%;70;16); Aritmetičku sredinu x izračunavamo posredstvom funkcije AVERAGE, kao na slici 3. 52
Slika 3. Maksimalna tolerancija greške za koeficijent povjerenja 99% izračunata je na slici 4.
P(-z α 2
99%
x -μ n zα) 2
z 2,575834 2
z 2
n
2,5758345
70 16
45,077 Slika 4. Sada lako izračunavamo interval povjerenja za : 403,2354 < < 493,3896.
Primjer 3. Na slučajan način je odabrano n = 360 studenata jednog grada i izmjerene su im dužine stopala. Iz tog uzorka je dobijeno x = 27,2 cm i s = 2,5 cm. Sa koeficijentom povjerenja 1- = 90% intervalno ocjeniti srednju dužinu stopala studenata. Rješenje je dato na slici 5.
P(-1,645
-1,645
x - 1,644853
x -μ n 1,645 90% s
1,645
s s x 1,644853 n n
Slika 5. Interval povjerenja za jednak je: 26,98 < < 27,42. 53
CORREL Izračunava koeficijent korelacije između dva opsega vrijednosti array1 i array2. Sintaksa CORREL ( array1 ; array2 ) Array1 je jedan, a array2 drugi opseg vrijednosti. Napomene Argumenti moraju biti brojevi, nazivi, polja ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument u obliku polja sadrži tekst, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednošću nula su uključene. Ako array1 i array2 imaju različit broj podataka, funkcija CORREL postavlja vrijednost greške #N/A. Ako je polje vrijednosti array 1 ili array2 prazno, ili ako je standardna devijacija njihovih vrijednosti nula, CORREL postavlja vrijednost greške #DIV/0!. Koeficijent korelacije, odnosno funkcija CORREL odgovara izrazu: n
(x - x) (y y) i
i
i 1
n
i 1
n
(x i - x)
1 n
2
i 1
(y i - y)
2
1 n
n
(x - x) (y y) i
i
i 1
n
i 1
(x i - x)
2
1 n
n
(y i - y)2
COVAR xy STDEVPx STDEVPy
i 1
Primjer 1. Izračunati koeficijent proste linearne korelacije za podatke na slici 1.
Slika 1. Koeficijent korelacije izračunat je na istoj slici, posredstvom funkcije CORREL. COVAR(A2 : A9;B2 : B9) 362,2031 0,935844 CORREL( A 2 : A9;B 2 : B9) STDEVP(A2 : A9) * STDEVP(B2 : B9) 19,59233 * 19,75435
54
Primjer 2. Sljedeća tabela sadrži podatke o obimu prometa u 000 komada jednog prehrambenog artikla, veličini poslovnog prostora u 00 m2 i udaljenost od centra grada u km, u slučajnom uzorku od 7 prodavnica. Ocijeniti koeficijente višestruke linearne Obim Poslovni Udaljenost korelacije R i determinacije R2 prometa prostor od centra posredstvom ugrađenih Excelovih y x2 x1 funkcija CORREL i TREND. 120 4,2 2 150 180 30 75 60 75
4,2 5 3 3 3,2 3,4
1,5 2,5 1,5 0,5 1,5 1
7
R2 1
(y i y p )2 i1 7
(y i1
i
y)
2
7
(y
p
y)2
(y
i
y)2
i 1 7
i 1
gdje je : y p m2 x2 m1 x1 b
R R2
regresiona jednačina. Rješenje Koeficijent višestruke linearne korelacije R je relativna mjera koja pokazuje stepen slaganja varijacija u uzorku između zavisne promjenljive y i grupe nezavisnih promjenljivih, u našem primjeru x 1 i x 2 . Ovaj koeficijent uvijek poprima nenegativne vrijednosti: 0 R 1. Dakle, on ne pokazuje smjer slaganja varijacija posmatranih pojava. Naravno, što je njegova vrijednost bliža jedinici stepen linearne veze je utoliko jači i u krajnjem slučaju kada dostiže vrijednost jedan ukazuje na postojanje funkcionalne veze između zavisne i grupe nezavisnih promjenljivih. Vrijednost R = 0 nam ukazuje na ne postojanje linearne veze između posmatranih pojava. Koeficijent višestruke linearne korelacije jednak je pozitivnom kvadratnom korijenu koeficijenta višestruke determinacije R2. Vrijednosti koeficijenta R posredstvom funkcije CORREL, izračunavamo kao na slici 2.
Vrijednost R = 0,9896 ukazuje na visoku linearnu povevezanost
Slika 2. Vrijednost koeficijenta višestruke determinacije R2 iznosi: 0,979336579 =CORREL(A2:A8;TREND(A2:A8;B2:C8))^2 Koeficijent višestruke determinacije možemo izračunati i pomoću vrijednosti određenih funkcijom CORREL: 2
R
ryx2 1 ryx2 2 2 ryx 1 ryx 2 rx 1 x 2 1 rx21 x 2
0,953623137 =CORREL(A2:A8;B2:B8) 0,617817217 =CORREL(A2:A8;C2:C8) 0,810356418 =CORREL(B2:B8;C2:C8) R 0,97933657 9 0,9896
0,953623137 2 0,617817217 2 2 0,953623137 0,617817217 0,810356418 0,979336579 1 0,810356418 2
55
Primjer 3. Na osnovu podataka u tabeli:
posredstvom funkcije CORREL ocijeniti koeficijente proste linearne korelacije između izdataka za reklamu i broja prodajnih mjesta, izdataka za reklamu i prihoda, i između broja prodajnih mjesta i prihoda. Zatim ocijeniti koeficijente parcijalne linearne korelacije između zavisne promjenljive i nezavisnih promjenljivih. Rješenje Koeficijent proste linearne korelacije između izdataka za reklamu x 1 i broja prodajnih mjesta x 2 iznosi 0,374191635 (slika 3.).
n
(x
1i
- x 1 ) (x 2 i x 2 ) 0 ,37419
i 1
n
(x i 1
n
1i
- x 1)
2
(x
2i
x2)
Slika 3.
2
i 1
Koeficijenti proste linearne korelacije između izdataka za reklamu i prihoda, i između broja prodajnih mjesta i prihoda iznose, respektivno: 0,414757531 =CORREL(B3:B12;D3:D12) 0,953747635 =CORREL(C3:C12;D3:D12) Naravno, do vrijednosti koje odgovaraju koeficijentima proste linearne korelacije mogli smo doći i posredstvom ugrađenog alata za analizu podataka, Correlation: x1 x2 y
x1 x2 1 0,37419 1 0,41476 0,95375
y
n
(x
1i
i 1
n
n
1
(x i1
1i
1 n
- x 1 ) (y i y) 2
- x 1)
(y y) i
i 1
2
0,4147 ;
1 n
n
(x
2i
x 2 ) (y i y)
i1
n
(x i1
2i
x2)
2
1 n
n
(y - y) i
0,9537
2
i1
56
Koeficijent parcijalne linearne korelacije između prihoda i izdataka za reklamu uz isključenje uticaja broja prodajnih mjesta odgovara izrazu: r yx 1 x 2
r yx 1 r yx 2 r x 1 x 2 1 r yx2
2
1 r x2 x
0 ,4147 0 ,9537 0 ,37419
1 0 ,9537
1 2
2
1 0 ,37419
2
0 ,2076
Posredstvom funkcije CORREL i funkcije TREND, do ove vrijednosti koeficijenta parcijalne linearne korelacije dolazimo kao na slici 4.
Slika 4. Koeficijent parcijalne linearne korelacije između prihoda i broja prodajnih mjesta uz isključenje uticaja izdataka za reklamu, odgovara izrazu: r yx 2 x 1
r yx 2 r yx 1 r x 1 x 2 2
1 r yx
2
1
1 rx
1x 2
0 ,9537 0 ,4147 0 ,37419 1 0 ,4147
2
1 0 ,37419
2
0 ,9463
Posredstvom funkcije CORREL i funkcije TREND, do ove vrijednosti koeficijenta parcijalne linearne korelacije dolazimo kao na slici 5.
Slika 5. Na osnovu dobijenih rezultata, vidimo da broj prodajnih mjesta x 2 ima veći relativni značaj na prihod y od izdataka za reklamu x 1 . Korelaciona matrica koeficijenata proste linearne korelacije i izračunati koeficijenti parcijalne korelacije između zavisne promjenljive y i nezavisnih promjenljivih x 1 i x 2 , u statističkom softveru Statistica 5.0 , dati su na slici 6.
Slika 6. Izlazne tablice u statističkom softveru SPSS sa rezultatima ocijenjenih koeficijenata proste linearne korelacije i koeficijenata parcijalne linearne korelacije, koji odgovaraju podacima u našem primjeru, date su na slici 7. 57
- - -
P A R T I A L
C O R R E L A T I O N
Zero Order Partials
C O E F F I C I E N T S -
- - P A R T I A L C O R R E L A T I O N C O E F F I C I E N T S
X1
Y
X2
1,0000 ( 0) P= ,
,4148 ( 8) P= ,233
,3742 ( 8) P= ,287
Controlling for..
Y
,4148 ( 8) P= ,233
1,0000 ( 0) P= ,
,9537 ( 8) P= ,000
X2
,3742 ( 8) P= ,287
,9537 ( 8) P= ,000
1,0000 ( 0) P= ,
X1
- - -
- - -
X2 X1
Y
X1
1,0000 ( 0) P= ,
,2076 ( 7) P= ,592
Y
,2076 ( 7) P= ,592
1,0000 ( 0) P= ,
(Coefficient / (D.F.) / 2-tailed Significance)
(Coefficient / (D.F.) / 2-tailed Significance)
" , " is printed if a coefficient cannot be computed
" , " is printed if a coefficient cannot be computed
Controlling for..
X1 Y
X2
Y
1,0000 ( 0) P= ,
,9463 ( 7) P= ,000
X2
,9463 ( 7) P= ,000
1,0000 ( 0) P= ,
(Coefficient / (D.F.) / 2-tailed Significance) " , " is printed if a coefficient cannot be computed
Slika 7. Način unošenja podataka o varijablama x 1 , x 2 , i y, kao i izlazne tablice u statističkom softveru NCSS97, date su na slici 8.
Slika 8.
58
COUNT Postavlja broj ćelija koje sadrže brojeve i brojčane vrijednosti u popisu argumenata. Sintaksa COUNT( value1 ; value2 ; ... ) Value1, value2, ... su 1 do 30 argumenata koji mogu sadržavati ili upućivati na mnogo različitih vrsta podataka, ali se samo brojevi ubrajaju. Napomene Argumenti koji su brojevi, datumi, ili tekstualni prikazi brojeva ubrajaju se; argumenti koji su vrijednosti greške, ili tekst koji ne može biti preveden u brojeve, zanemaruju se. Ako je argument polje ili referenca, ubrajaju se samo brojevi u tom polju ili referenci; prazne ćelije, logičke vrijednosti, tekst, ili vrijednosti greške u polju ili referenci se zanemaruju . Ako trebamo izbrojiti logičke vrijednosti, tekst, ili vrijednosti greške, trebamo koristiti funkciju COUNTA. Primjer 1. Rezultati testova za jednog studenta dati su u polju ćelija A1:G1. Koliko je ovaj student imao testova ? Rješenje nam daje funkcija COUNT, kao na slici 1.
Slika 1. Dakle, ovaj student je imao 7 testova. Na slici 1. takođe vidimo da količnik sume postignutih bodova na testovima i broja testova odgovara prosječnom broju bodova po jednom testu, odnosno, rezultatu koji postavlja funkcija AVERAGE. Primjer 2. Na slici 2. u polju ćelija A1:H2, funkcija COUNT vidi 8 ćelija.
Slika 2. 59
COUNTA Broji ćelije koje nisu prazne i vrijednosti date u popisu argumenata. Sintaksa COUNTA( value1 ; value2 ; ...) Value1, value2, ... su 1 do 30 argumenata koje predstavljaju vrijednosti koje želimo izbrojiti. U tom slučaju, vrijednost je bilo koja vrsta informacije, uključujući i prazan tekstualni niz ("") ali ne i prazne ćelije. Ako je argument polje ili referenca, prazne ćelije unutar polja ili reference se zanemaruju. Ako ne trebamo izbrojiti logičke vrijednosti, tekst, ili vrijednosti greške, koristimo funkciju COUNT. Primjer 1. Na slici 1. je pokazano kako funkcija COUNTA broji ćelije; pored ćelija koje sadrže numeričku vrijednost i datum izbrojane su i ćelije koje sadrže logičke vrijednosti TRUE i FALSE, prazan tekstualni niz "", i vrijednost greške #DIV/0!.
Slika 1. Posredstvom funkcije COUNT dobili bismo rezultat: COUNT(A1:A7) = 2. Na ovom primjeru, lako uočavamo razliku u načinu brojanja između funkcija COUNT i COUNTA. Primjer 2. Polje ćelija A1:A7 nazvali smo Podaci. Posredstvom funkcije COUNTA (slika 2.) i upisivanjem imena Podaci na mjestu Value1, izbrojali smo sve ćelije koje nisu prazne.
Slika2.
60
COUNTIF Unutar određenog opsega ćelija broji one ćelije koje ispunjavaju zadani kriterij. Sintaksa COUNTIF( range ; criteria ) Range odgovara opsegu ćelija u kojem želimo prebrojiti ćelije prema zadanom kriteriju. Argumentom Criteria se zadaje kriterij u obliku broja, izraza ili teksta i njim određujemo koje će se ćelije brojati. Primjer 1. Izvršen je popis 300 studenata prema obilježju "spol" i dobijeni su podaci, kao na slici 1.
Slika 1. Napraviti raspored ovih studenata prema modalitetima "M" - muški i "Ž" - ženski. Rješenje Broj studenata prema modalitetu "M" izračunavamo posredstvom ugrađene Excelove funkcije COUNTIF, kao na slici 2.
"M" 128
Slika 2. Broj studenata prema modalitetu "Ž" izračunavamo prema sintaksi:
61
Na slici 3. upotrijebljen je krug za grafičko prikazivanje serije na osnovu modaliteta M i Ž.
Slika 3. Struktura 300 studenata prema spolu Primjer 2. Rezultati prinosa dvije sorte kukuruza u 16 različitih uslova prikazani su u tabeli na slici 4.
Slika 4. Pozitivne razlike A-B su označene sa 1, a negativne sa -1. Posredstvom funkcije COUNTIF prebrojiti koliko je puta razlika A-B pozitivna . Rješenje Razlika A-B ima pet puta pozitivni predznak.
62
COVAR Posredstvom ove funkcije izračunavamo kovarijansu, odnosno prosječan stepen varijacija obilježja posmatranih pojava; za n poznatih parova tačaka (x i , y i ), odgovarajući izraz, glasi:
1 COVAR n
n
i 1
1 (x i - x) (y i y) n
n
x y x y i
i
i 1
Na osnovu ovog izraza možemo zaključiti da se radi o nekoj vrsti centralne vrijednosti koja u okviru posmatranih pojava karakterizira ukupnost svih varijacija, odnosno ukupnost odstupanja svih podataka od njihovih aritmetičkih sredina. Sintaksa COVAR (array1 ; array2) Array1 je prvo polje ćelija. Array2 je drugo polje ćelija. Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja, ili reference koje sadrže brojeve. Ako neko polje ili referenca sadrži tekst, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednošću nula su uključene. Ako argumenti array1 i array2 imaju različit broj podataka, funkcija COVAR postavlja vrijednost greške #N/A. Ako je argument array1 ili array2 prazan, COVAR postavlja vrijednost greške #DIV/0!. Pomoću funkcija COVAR i VARP, odnosno COVAR i DEVSQ možemo izraziti parametre linearne regresije m i b, odnosno funkciju linearne regresije, kao:
m
COVAR xy VARPx
by
COVAR xy
yt y
VARPx
1 n
n
n
(x - x) (y y) (x - x) (y y) i
i 1
1 n
(x - x)
x
i
n
i
i 1
x y
COVAR xy
i
2
n COVAR xy DEVSQ x
COVAR xy
i 1
i
n
(x - x) i
2
n COVAR xy DEVSQ x
i 1
x
x y
n COVAR xy
x
n COVAR xy
x VARPx DEVSQ x VARPx DEVSQ x Naravno u proračunskoj tablici Excel ima nekoliko gotovih funkcija kao što su SLOPE, INTERCEPT, i LINEST posredstvom kojih možemo veoma jednostavno izračunati parametre m i b, a samim tim i funkciju linearne regresije, tako da gornje izraze više navodimo kao neku vrstu povezivanja sa klasičnom statističkom literaturom. Metod kovarijanse za izračunavanje koeficijenta korelacije r je kovarijansa između dvije varijable podijeljena proizvodom standardnih devijacija svake varijable COVAR xy r STDEVPx STDEVPy Alat za analizu Covariance, u alatu za analizu podataka, koristi sljedeću formulu: n 1 (x i - x) (y i y) n - 1 i 1
63
Primjer 1. Izračunati kovarijansu između varijabli x i y. Uspjeh iz statistike x
36
50
60
65
70
80
90
100
Uspjeh iz računovodstva y
35
60
45
68
73
85
88
95
Rješenje Kovarijansa između varijabli x i y iznosi 362,20 (Slika 1.).
Slika 1. Odgovarajuće sintakse i izraz prikazani su u nastavku. Kovarijansa između uspjeha x i uspjeha y odgovara aritmetičkoj sredini podataka u polju ćelija E2:E9. Ar itm e ti čka s redina
362,20 =AVERAGE($E$2:$E$9) 68,875 =AVERAGE(A2:A9) 68,625 =AVERAGE(B2:B9) COVAR
=COVAR(A2:A9;B2:B9) Slik a 2.
1 n 1 n (x 68,875) (y 6 8 , 625 ) i x i y i 68,875 68,625 362,2 i 8 i1 8 i1
Slika 2. 64
CRITBINOM Pretpostavimo da želimo riješiti sljedeću nejednakost x
BINOMDIST(x;n; p; TRUE)
i0
n i p (1 - p)ni α i
odnosno, želimo izračunati najmanju vrijednost x -a za koju je kumulativna binomna raspodjela veća ili jednaka od vrijednosti kriterija . Rješenje nam daje funkcija CRITBINOM. Sintaksa CRITBINOM(trials ; probability_s ; alpha) Trials (n) je broj Bernoullijevih pokušaja. Probability_s (p) je vjerovatnoća uspjeha svakog pokušaja. Alpha () je vrijednost kriterija. Napomene Ako neki argument nije broj, CRITBINOM postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako trials nije cijeli broj, odbacuju se decimale. Ako je trials < 0, CRITBINOM postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je probability_s < 0 ili probability_s > 1, CRITBINOM postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako alpha < 0 ili alpha > 1, CRITBINOM postavlja vrijednost greške #NUM!. Primjer 1. Pretpostavimo da binomni eksperiment sa n = 10 pokušaja ima vjerovatnoću uspjeha 80%. Želimo izračunati najmanju vrijednost x -a za koju je: Rješenje x 10 0,8i 0,2 10 i 0,75 BINOMDIST(x;10;0,8; TRUE) i i0 Binomni histogram, pojedinačne i kumulativne binomne vjerovatnoće, dati su na slici 1.
Slika 1. Nejednakost
x
10
i 0,8 0,2 i
10 i
0,75
i0
rješavamo posredstvom Excelove funkcije CRITBINOM:
Dakle, možemo reći da je najmanja vrijednost x -a za koju je kumulativna binomna raspodjela veća od vrijednosti kriterija = 75 %, jednaka 9.
65
DEVSQ Ova funkcija izračunava sumu kvadrata odstupanja podataka x i (i =1, 2, …, n) od njihove aritmetičke sredine, prema izrazu: n n n 1 2 2 x i )2 DEVSQ (x i x) xi ( n i 1 i 1 i 1 Sintaksa DEVSQ (number1 ; number2 ;…) Number 1, number 2, .... su 1 do 30 argumenata za koje želimo izračunati devijaciju. Možemo takođe koristiti jednodimenzionalno polje ili referencu na polje umjesto argumenata odvojenih separatorom.
Napomene Argumenti moraju biti brojevi, nazivi, ili polja, odnosno reference koje sadrže brojeve. Ako argument u obliku polja ili reference sadrži tekst, logičku vrijednost, ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednošću nula su uključene. Ako izraz za funkciju DEVSQ podijelimo sa n-1(veličina uzorka minus jedan) dobijamo izraz koji odgovara varijansi uzorka; kvadratni korijen iz ovako dobijenog izraza odgovara standardnoj devijaciji uzorka. Ako imamo upisanu populaciju i podijelimo izaz za devijaciju sa N(veličina populacije) dobijamo izraz koji odgovara varijansi populacije; kvadratni korijen iz ovako dobijenog izraza odgovara standardnoj devijaciji populacije. Primjer 1. Izračunati sumu kvadrata odstupanja podataka 2, 3, 4, 5, 6 , 8, 10, i 10 od njihove srednje vrijednosti. Pokazati na nekoliko načina kako se može doći do rezultata. Rješenje Aritmetičku sredinu, izračunavamo posredstvom izraza:
1 x n
n
xi
i 1
x 1 x 2 ... x n 2 3 4 5 6 8 10 10 48 6. 8 n 8
Naravno, u proračunskoj tablici Excel do ove vrijednosti možemo doći posredstvom funkcije AVERAGE :
Sumu kvadrata odstupanja podataka 2, 3, 4, 5, 6 , 8, 10, i 10 od njihove aritmetičke sredine x = 6, izračunavamo prema izrazu: 8
DEVSQ
(x 6) i
2
i 1
2
(2 6) (3 6)2 (4 6)2 (5 6)2 (6 6)2 (8 6) 2 (10 6) 2 (10 6)2 16 9 4 1 0 4 16 16 66 Do ove vrijednosti u Excelu možemo doći posredstvom sintakse:
Ako 66 podijelimo sa 8-1 dobićemo vrijednost 9,4286 koja odgovara varijansi našeg uzorka.
66
Evo još nekoliko načina kako se može izračunati suma kvadrata devijacija datih vrijednosti od njihove aritmetičke sredine. Pretpostavimo da su podaci upisani kao na slici 1.
8
DEVSQ
(x 6) i
2
16 9 4 1 0 4 16 16 66
i 1
Slika 1. Posredstvom funkcije DEVSQ i selektovanjem polja ćelija A1:H1, na mjestu number1, dobili smo isti rezultat. Naravno do ovog rezultata možemo doći i upisivanjem naših podataka kao na slici 2. ili pak, na neki drugi način.
16 9 4 104 16 16 66
Slika 2. U ovom primjeru smo vidjeli samo dio onoga što nam nudi ova ugrađena Excelova funkcija. Naravno ona se može iskoristiti i za razna izračunavanja tipa k
DEVSQ
x j 1
2
m
ji
x
i 1
što ćemo pokazati na sljedećem primjeru.
Primjer 2. Ispitujemo djejstvo tri mašine istog tipa na kvalitet cilindričnih dijelova koje one oblikuju. Označimo mašine sa A 1 , A 2 , i A 3 . Pretpostavimo da smo slučajno odabrali po šest proizvoda sa svake mašine i dobili poprečne presjeke kao na slici 3. Na rezultima jednofaktorske analize
67
varijanse komentarisati kako se do istih vrijednosti može doći posredstvom funkcije DEVSQ.
Slika 3. Rješenje Suma SS Total , sadržaj ćelije E15, odgovara izrazu: 3
DEVSQ(A2 : C7)
x x x
x j 1 2
x
i1
x
1i
x
i 1
2
6
x
2i
2
6
x
x
i 1
3i
x
2
2
2
i 1
2
x x 22 x x 23 x x 24 x x 25 x x 26 x 2
21
ji
2
6
x x 12 x x 13 x x 14 x x 15 x x 16 x 2
11
2
6
2
2
2
2
2
x x 32 x x 33 x x 34 x x 35 x x 36 x 642 Suma SS Within Groups = 221,667 (ćelija E13), odgovara izrazu: SS Within Groups DEVSQ(A2 : A7) DEVSQ(B2 : B7) DEVSQ(C2 : C7) 2
2
2
2
2
2
31
Suma SS
= 420,333 (ćelija E12), odgovara izrazu: SS Between Groups = 6*DEVSQ(G5:G7). Ovu funkciju možemo koristiti i kao formulu polja. Pretpostavimo da želimo izračunati sumu kvadrata devijacija razlika vrijednosti u poljima B2:B7 i A2:A7 od razlike njihovih aritmetičkih sredina. Kako se to radi posredstvom funkcije DEVSQ, vidimo na slici 4. Between Groups
Slika 4. 68
Primjer 3. U jednom prodajnom centru tokom dvanaest uzastopnih dana zabilježene su cijene (x) i prodane količine (y) jednog prehrambenog artikla:
Date podatke predstaviti dijagramom raspršenja i izračunati: ukupnu varijaciju, objašnjenu i neobjašnjenu varijaciju i koeficijent determinacije posredstvom funkcije DEVSQ. Rješenje Na slici 5. prikazan je dijagram raspršenja na osnovu datih podataka o cijenama (x) i prodanim količinama (y).
Ukupnu devijaciju izračunavamo prema izrazu: 12
(y y) i
2
i 1
Slika 5. Na slici 6. je pokazano kako se posredstvom ugrađene Excelove funkcije DEVSQ može izračunati ukupna varijacija.
12
DEVSQ( A3 : A14)
(y y) i
2
6300
i 1
Slika 6. Objašnjenu i neobjašnjenu varijaciju, te koeficijent determinacije, izračunavamo posredstvom funkcije DEVSQ prema sintaksama: Objašnjena varijacija:
5601,111 =DEVSQ(TREND(A3:A14;B3:B14))
Neobjašnjena varijacija:
698,889 =DEVSQ(A3:A14-TREND(A3:A14;B3:B14))
Koeficijent determinacije
0,88907 =DEVSQ(TREND(A3:A14;B3:B14))/DEVSQ(A3:A14)
12
i 1
12
( y p y) 2 5601,111
i 1
12
( y i y p )2 698,889
i 1
12
( y p y)2 /
(y y) i
2
0,88907
i 1
69
EXPONDIST Za slučajnu varijablu X kažemo da ima eksponencijalnu raspodjelu vjerovatnoće ako je x njena funkcija gustine određena izrazom: 1 f x; λ e λx e , 0 x , gdje je parametar = 1/ > 0. Funkcija EXPONDIST izračunava vrijednosti eksponencijalne raspodjele, odnosno vrijednosti koje odgovaraju funkciji gustine ili funkciji raspodjele. Funkcija eksponencijalne raspodjele, odgovara izrazu: x x F x; λ e u du 1 e λx 1 e , 0 x . 0 Sintaksa EXPONDIST(x ; lambda ; cumulative) X je vrijednost za koju vrednujemo funkciju EXPONDIST. Lambda () je parametar raspodjele. Cumulative je logička vrijednost kojom određujemo koji oblik eksponencijalne funkcije treba primijeniti; ako je cumulative TRUE, funkcija EXPONDIST izračunava vrijednosti funkcije raspodjele, ako je FALSE, izračunava vrijednosti funkciju gustine.
Napomene Ako x ili lambda nije broj, EXPONDIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x < 0, EXPONDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je lambda 0, EXPONDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Funkcija gustine vjerovatnoće, glasi: EXPONDIST x; lambda λ; FALSE e λx Funkcija raspodjele vjerovatnoće, glasi: EXPONDIST x; lambda λ; TRUE 1 e λx Inverznu eksponencijalnu raspodjelu, odnosno vrijednost x-a kada je poznata vrijednost površine koja odgovara izrazu EXPONDIST(x;lambda;TRUE) = p određujemo posredstvom obrasca: 1 1 1 LN x LN 1 p 1p gdje je LN funkcija prirodnog logaritma. Ova ugrađena funkcija se nalazi u kategoriji matematičko - trigonometrijskih funkcija. Medijanu m koja odgovara vrijednosti p = 50%, možemo odrediti posredstvom izraza: 1 m LN0,5 LN0,5 LN2 Parametri eksponencijalne raspodjele (očekivana vrijednost i varijansa) su: 1 1 , 2 2 2 Primjer 1. Neka X ima eksponencijalnu raspodjelu kod koje je aritmetička sredina = 20. Izračunati ordinatu ove raspodjele za x = 7. Rješenje 7 Ordinata eksponencijalne raspodjele odgovara sintaksi, odnosno izrazu:
1 - 20 e 20
70
Primjer 2. Očekivana vrijednost eksponencijalne raspodjele jednaka je = = 5. Izračunati ordinatu funkcije gustine za x = 5 i površinu ispod ove funkcije u intervalu od 0 do 5. Rješenje Ordinata funkcije gustine za x = 5 jednaka je 0,0736 (slika 1.).
x 5 5 1 -5 0,2 5 f 5;0,2 0,2 e e 0,07357888. 5
Slika 1. Površina ispod ove funkcije gustine u intervalu od 0 do 5 iznosi 0,63212 (slika 2.).
p 0,63212
x 5 F 5;0,2 1 e 0,25 1 e - 1 0,63212.
p 0,63212
x 5
Slika 2. Medijanu možemo izračunati posredstvom izraza: m LN2 , kao na slici 3. m 3,47 0,5
0,5
Slika 3. m 3,47 Površina ispod funkcije gustine u intervalu od 0 do 3,465736 jednak je 50%. Potvrdu dajemo posredstvom funkcije EXPONDIST, prema sintaksi:
71
FDIST Ova funkcija izračunava F raspodjelu vjerovatnoće prema izrazu:
df1 df2 df1 df1df2 df1 1 2 2 df1 df1 2 u 2 1 u FDIST(x; df1; df2) du df2 df1 df2 df2 x 2 2 Sintaksa FDIST(x ; deg_freedom1 ; deg_freedom2) X je vrijednost koja odgovara količniku varijansi i može biti bilo koji pozitivan broj. Deg_freedom1 (df1) odgovara broju stepeni slobode za brojilac a deg_freedom2 (df2) broju stepeni slobode za nazivnik i mogu biti bilo koji pozitivni cijeli brojevi. Napomene Ako neki argument nije broj FDIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x negativan, FDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako deg_ freedom1 ili deg_ freedom2 nije cijeli broj odbacuju se decimale. Ako je deg _freedom1 < 1 ili je 1010, FDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je deg_ freedom2 < 1 ili je 1010, FDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. FDIST (x ; deg_freedom1 ; deg_freedom2) odgovara vjerovatnoći p; x odgovara df1 df2 df1 df1 df2 df1 1 2 2 df1 df1 2 du FDIST(x; df1; df2) u2 1 u df2 df1 df2 df2 x F 2 2
p probability ?
poznato :
2 s x 1 2 s 2
slučajnoj varijabli koja ima F raspodjelu, na kojoj se zasniva procedura analize varijanse. Primjenjujemo je kod ispitivanja validnosti pretpostavke o jednakosti standardnih devijacija (varijansi) dvaju normalnih populacija. Očekivana vrijednost i varijansa F raspodjele su: df2 2 (df2)2 (df1 df2 2) E(X) , V(X) . df2 2 df1 (df2 2)2 (df2 4) Funkcija gustine F raspodjele dostiže svoj maksimum za vrijednost df1 - 2 df2 M o df2 2 df1 Kod formiranja odnosa dvaju varijansi obično uzimamo odnos veće prema manjoj tako da funkciju FDIST računamo tako da broj stepeni slobode za brojilac odgovara df1= n 1 -1 a broj stepeni slobode za nazivnik ili imenilac odgovara df2 = n 2 -1, gdje se n 1 i n 2 odnose na veličinu dvaju izvučenih uzoraka.
72
Primjer 1. Na podacima grupa 1 grupa 2
62 53 36 34 56 50 42 57 46 68 48 42 52 53 43 65 58 78 60 68 69 66 70 53 71 63 63 dvaju
uzoraka(grupa) ispitati na nivou " =10% da li su izvučeni iz populacija sa jednakim varijansama. Rješenje Nulta hipoteza H 0 pretpostavlja jednakost varijansi osnovnih skupova. Dakle, H 0 : 12 22 Alternativna hipoteza je, H a : 12 22
Varijanse uzoraka (grupa) imaju vrijednosti 87,12380952 (grupa 1) i 43,6969697 (grupa 2). Stavljanjem u odnos veće varijanse prema manjoj određujemo test statistiku x = F: s12 F 2 1,993818 s2 Oblast odbacivanja nulte hipoteze za dvostrani test, određena je nejednačinom: F F 2
Posredstvom funkcije FDIST (Slika 1.) dolazimo do odgovora da li ovi uzorci potiču iz populacija sa jednakim varijansama.
Slika 1. Kritičnu vrijednost F izračunavamo posredstvom funkcije FINV, prema sintaksi: 2
2,739 =FINV(10%/2;15-1;12-1) Kako je test statistika F=1,993818 manja od kritične vrijednosti (2,739) za zadati nivo značajnosti to nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu koja pretpostavlja jednakost varijansi osnovnih skupova iz kojih su ovi uzorci izvučeni. Kada zaključak donosimo na osnovu vjerovatnoća, onda vidimo da je izračunata vjerovatnoća p = 0,12769 (12,77 %) veća od postavljanog praga " / 2 =5 % što nas takođe dovodi do istog rješenja. Kada ispitivanje vršimo pomoću jednosmjernog testa (kada u alternativnoj hipotezi pretpostavljamo nejednakost varijansi osnovnih skupova iz kojih su uzorci izvučeni) tada je oblast odbacivanja određena kao F F . 73
FINV Pretpostavimo da nam je poznata vjerovatnoća koja odgovara F raspodjeli, odnosno izrazu:
df1 df2 df1 df1df2 df1 1 2 2 df1 df1 2 u 2 1 u FDIST(x; df1; df2) du df2 df1 df2 df2 x 2 2 Želimo izračunati vrijednost x-a, odnosno donju granicu u integralu, koja nam je nepoznata. Rješenje koje odgovara vrijednosti x-a, obezbjeđuje nam funkcija FINV. Sintaksa FINV( probability ; deg_freedom1 ; deg_freedom2 ) Probability je vjerovatnoća koja odgovara F raspodjeli. Deg_freedom1 (df1) je broj stepeni slobode za brojilac a deg_freedom2 (df2) broj stepeni slobode za nazivnik. Napomene Ako neki argument nije broj, funkcija FINV postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je probability < 0 ili je > 1, FINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako deg_freedom1 ili deg_freedom2 nije cijeli broj, odbacuju se decimale. Ako je deg_freedom1 < 1 ili 1010, FINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako deg_freedom2 < 1 ili 1010, FINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Funkcija FINV je podesna za izračunavanje vrijednosti tablica F raspodjele. FINV (probability =FDIST; deg_freedom1 ; deg_freedom2) odgovara vrijednosti x -a. df1 df2 df1 df1 df2 df1 1 2 2 df1 df1 2 2 du FDIST(x; df1; df2) u 1 u df2 df1 df2 df2 x F 2 2
poznato :
p probability
2 x 1 ? 2 s 2 s
FINV koristi iterativnu tehniku za izračunavanje funkcije. Zadatoj se vrijednosti vjerovatnoće približava, sve dok se rezultat ne primakne unutar ± 3 * 10 - 7. Ako ne konvergira nakon 100 iteracija postavlja vrijednost greške #N/A.
Primjer 1. Izračunati kritičnu vrijednost F raspodjele (df1 = 4 , df2 = 6), za nivo značajnosti = 5%. Rješenje Kritična vrijednost
iznosi :
74
FISHER Pretpostavimo da smo iz jedne normalno raspoređene dvodimenzionalne populacije izvukli uzorak od n elemenata (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4),…, (xn, yn) gdje su X i Y posmatrana obilježja a r koeficijent korelacije između ovih obilježja. Naravno, za svaki drugi uzorak veličine n dobit će se drugačija vrijednost za koeficijent korelacije r. Fisher je pokazao da funkcija gustine raspodjele vjerovatnoće za koeficijent korelacije r zavisi od koeficijenta linearne korelacije populacije i veličine uzorka n. Kako se ova raspodjela za vrijednosti r koje se značajno razlikuju od nule bitno razlikuje od normalne raspodjele Fisher je uveo transformaciju 1 1r y FISHER(x r) ln 2 1r kojom se komplikovana raspodjela koeficijenta korelacije r prevodi u jednu približno normalnu raspodjelu sa srednjom vrijednošću i standardnom devijacijom: 1 1 1 y ln y 2 1 n3 Sintaksa FISHER (x) X je brojčana vrijednost koja odgovara vrijednosti koeficijenta korelacije r za koju želimo izračunati Fisher-ovu transformaciju. Napomene Ako x = r nije broj, FISHER postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x - 1 ili ako je x 1, funkcija FISHER postavlja vrijednost greške #NUM!. Fisher-ova transformacija nam omogućava da se odrede intervali povjerenja i testiraju hipoteze u vezi sa koeficijentom korelacije; sa vjerovatnoćom 1- možemo tvrditi da će se vrijednost 1 1 ln 2 1 nalaziti između granica:
α NORMSINV(1 ) 1r 1 2 y 1 ln 1r 2 n3 Standardizirana veličina
1 1r y 2 ln 2 1r
α NORMSINV(1 ) 2 n3
1 1r 1 1ρ ln ln n 3 1r 1ρ 2 1r 2 1ρ z ln 1 σy 2 1r 1ρ n3 ima normalnu raspodjelu N(0,1) pa se kritična oblast u slučaju dvostranog testa određuje iz uslova P(|z|> z)=. Znači, ako je |z| > z onda se odbacuje nulta hipoteza H0 (=0 0) i usvaja alternativna hipoteza H1 ( 0 ). Ako za alternativne hipoteze imamo H1 (> 0 ) ili H1 ( < 0 ) tada respektivno imamo desnostranu kritičnu, odnosno lijevostranu kritičnu oblast. Kako je uvijek nepoznato njegovu vrijednost u testu pretpostavljamo. y μy
75
Primjer 1. Iz uzorka n = 18 dobijen je koeficijent korelacije r = 0,74. Da li možemo sa rizikom = 5% da odbacimo hipotezu H0 ( = 0,91) ? Rješenje Standardiziranu veličinu z izračunavamo prema izrazu: y μy 1 1r 1 1ρ z n 3 ln ln n 3 FISHER(r) FISHER(ρ) 1r 2 σy 1 ρ 2 z 15 FISHER(0,74) FISHER(0,91) 2,235 U proračunskoj tablici Excel do ove vrijednosti možemo doći posredstvom sintakse:
Kako veličina z ima standardnu normalnu raspodjelu N(0,1), to kritične vrijednosti za dvostrani test možemo izračunati posredstvom funkcije NORMSINV:
Kako se izračunata vrijednost z = - 2,235 nalazi u kritičnoj oblasti dvostranog testa to odbacujemo nultu hipotezu H0 ( = 0,91) i usvajamo alternativnu H1 ( 0,91). Naravno, ovdje je logičnije bilo testirati nultu hipotezu H0 ( = 0,91) protiv alternativne hipoteze H1 ( < 0,91). U ovom slučaju kritična vrijednost iznosi:
I u slučaju lijevostranog testa izračunata vrijednost z = - 2,235 se nalazi u kritičnoj oblasti pa odbacujemo nultu hipotezu H0 ( = 0,91) i usvajamo alternativnu H1 ( < 0,91). Na slici 1. je pokazano kako se posredstvom funkcije FISHER mogu izračunati odgovarajuće Fišerove transformacije za r = 0,74 i = 0,91.
Slika 1. 76
FISHERINV Izračunava inverznu vrijednost Fisherove transformacije. Dakle, ako je y = FISHER(x = r), tada je: x r FISHER(y)
e 2y 1 e 2y 1
Sintaksa FISHERINV( y) Y je vrijednost za koju želimo izračunati inverznu transformaciju, odnosno odgovarajuću vrijednost koeficijenta korelacije. Napomena Ako y nije broj, FISHERINV postavlja vrijednost greške #NAME?. Primjer 1. Kojoj vrijednosti koeficijenta korelacije odgovara vrijednost Fišerove transformacije od 0,95? Rješenje Na osnovu postavke zadatka možemo napisati sljedeću jednakost y=0,95 = FISHER(x = r). Rješenje dobijamo posredstvom funkcije FISHERINV, kao na slici 1.
Slika 1. Napisano tradicionalnim izrazom, imamo: e 20,95 1 x r FISHER(0,95) 20,95 0,739783051 1 e Dakle, vrijednosti Fišerove transformacije od 0,95 odgovara vrijednost koeficijenta korelacije r = 0,739783051.
Primjeri 2, 3, 4, 5, 6, i 7. e 20,69 1 x r FISHER(0,69) 20,69 0,598 1 e
77
FORECAST Ova funkcija nam obezbjeđuje predviđanje buduće vrijednosti y pomoću poznatih vrijednosti (x i , y i ) i za zadatu vrijednost x. Buduća vrijednost y predviđena je pomoću jednačine regresijskog pravca y = m*x+b , dobijenog u skladu sa metodom najmanjih kvadrata.
y
m
x y
x
Sintaksa FORECAST(x ; known_y's ; known_x's) X je podatak za koji želimo predvidjeti vrijednost y. Argument known_y's predstavlja vrijednosti zavisne varijable; argument known_x's odgovara vrijednostima nezavisne varijable. Funkcija FORECAST je osjetljiva na promjenu mjesta argumentima; ako prvo upišemo vrijednosti x i , pa onda y i postavljena vrijednost će odgovarati budućoj vrijednosti x, za vrijednost y u skladu sa regresijskim pravcem x = d* y+c. Napomene Ako x nije broj, FORECAST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako su known_y's i known_x's prazni ili sadrže različit broj podataka, funkcija FORECAST postavlja vrijednost greške #N/A. Ako predviđamo vrijednost y u skladu sa regresijskim pravcem y = m*x+b a varijansa argumenta known_x's = 0, tada FORECAST postavlja vrijednost greške #DIV/0!. Ako predviđamo vrijednost x u skladu sa regresijskim pravcem x = d*y+c a varijansa argumenta known_y's = 0, FORECAST postavlja vrijednost greške #DIV/0!. Jednačina za FORECAST, kada su argumenti uneseni prema sintaksi FORECAST(x ; known_y's ; known_x's), glasi: x* SLOPE(known_y's ; known_x's) + INTERCEPT(known_y's ; known_x's), odnosno: n
n
xi yi
n FORECAST
i 1
n
y xi
i 1
n
i 1
n
x ( x ) 2 i
n
i 1
i
2
i
x
1 n
n
i 1
yi
m n
n
x
i
i 1
i 1
78
Primjer 1. Na podacima sa Slike 1. predvidjeti vrijednosti pojave y za vrijednosti x = 39 i 55.
Slika 1. Rješenje Na Slici 2. je pokazano kako se posredstvom ugrađene funkcije FORECAST može izračunati vrijednost pojave y posredsvom vrijednosti pojave x.
Slika 2. Predviđanje vrijednosti pojave y za vrijednost X = 55 prikazano je na Slici 3.
Slika 3.
Primjer 2. Podaci su dati na Slici 4.
Slika 4. Rješenje:
958 =FORECAST(G12;D13:F13;D12:F12)
79
FREQUENCY Ova funkcija predstavlja koristan statistički alat za organizaciju kako diskretnih (prekidnih), tako i kontinuiranih (neprekidnih) numeričkih vrijednosti obilježja i pruža nam mogućnost kreiranja odgovarajuće frekvencijske raspodjele. Sintaksa FREQUENCY ( data_array ; bins_array ) Data_array je polje ili referenca na skup vrijednosti za koje želimo kreirati frekvencijsku raspodjelu (distribuciju); ako argument data_array ne sadrži niti jednu vrijednost, funkcija FREQUENCY postavlja polje nula. Bins_array odgovara polju klasnih (grupnih) intervala ili referenci na klasne intervale u koje želimo grupisati vrijednosti u polju data_array. Ako bins_array ne sadrži niti jednu vrijednost, FREQUENCY postavlja broj elemenata data_array. Napomene FREQUENCY se unosi kao formula polja nakon što označimo opseg susjednih ćelija u kojima želimo da se pojavi odgovarajuća frekvencijska raspodjela. Broj elemenata postavljenog polja za jedan je veći od broja elemenata u bins_array. Funkcija FREQUENCY grupiše podatke u kategorije, pokazujući broj opažanja u svakoj uzajamno isključivoj kategoriji, zanemarujući pri tome prazne ćelije i tekst. Primjer 1. Zabilježeni su podaci o broju djece u porodicama 110 studenata, u tri razreda statistike.
Kreirati frekvencijsku raspodjelu.
bins_array
Rješenje Ako se grupiše n podataka u k grupa i ako su vrijednosti prekidne (diskontinuirane) varijable X: x 1 , x 2 , x 3 , …, x i , …, x k , a pripadajuće frekvencije f i (i = 1, 2, …, k), raspodjela frekvencija je skup: (x i , f i ) , i = 1, 2, …, k, tako da je suma apsolutnih frekvencija f i jednaka broju podataka n koje treba grupisati (f i =n). Varijabla "broj djece u porodici" predstavlja prekidno obilježje koje poprima vrijednosti: 1, 2, 3, 4, 5, i 6. Pripadajuće frekvencije f i (i = 1, 2, …, 6), izračunavamo posredstvom funkcije FREQUENCY. Argument bins_array su brojevi od 1 do 5, a broj selektovanih ćelija za ispis rezultata koje daje funkcija FREQUENCY, za jedan je veći. Posredstvom funkcije FREQUENCY (slika 1.) izvršili smo prebrojavanje koliko se često pojavljuju vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5, i 6 u argumentu data_array. 80
Kako se ovdje radi o formuli polja za njeno aktiviranje neophodno je istovremeno pritisnuti kombinaciju tipki na tastaturi računara: Ctrl+Shift+ Enter.
35
32 21 11
6
1
5
2
3
4
5
6
Slika 1. Dakle, imamo šest porodica sa jednim djetetom, trideset pet porodica sa dva djeteta, trideset dvije porodice sa tri djeteta, dvadeset jednu porodicu sa 4 djeteta, jedanaest porodica sa petoro djece i pet porodica sa šestoro djece. Do relativnih frekvencija p i (i = 1, 2, …, 6), takođe, možemo doći posredstvom funkcije FREQUENCY, kao na slici 2.
Slika 2. U proračunskoj tablici Excel postoji ugrađen alat za analizu podataka pod nazivom Histogram, koji na podacima u našem primjeru, daje sljedeću izlaznu tablicu: Bin 1 2 3 4 5
Frequenc Cumulative % Bin Frequency Cumulative % y 6 5,45% 2 35 31,82% 35 37,27% 3 32 60,91% 32 66,36% 4 21 80,00% 21 85,45% 5 11 90,00% 11 95,45% 1 6 95,45% 5
81
Primjer 2. Date su težine (u gramima) za 60 malih proizvoda:
Kreirati frekvencijsku tabelu i konstruisati odgovarajući histogram. Rješenje Grupisat ćemo date podatke i onda ćemo konstruisati histogram kako bismo predočili raspodjelu težina ovih malih proizvoda. Najmanja težina je 18,6 grama a naveća 26,9 grama, i možemo ih pronaći posredstvom funkcija MIN i MAX, kao na slici 3.
Slika 3. Opseg podataka je R = 26,9 - 18,6 = 8,3. Interval (18,6 , 26,9) možemo pokriti sa k = 8 razreda širine 1,1 , k = 7 razreda širine 1,2 , k = 6 razreda širine 1,4 , ili nekom drugom kombinacijom broja razreda i njihove širine. Pretpostavimo, da smo se odlučili gornji interval pokriti sa k = 8 razreda, širine 1,1. Prvi razredni interval bi bio (18,35 , 19,45), drugi (19,45 , 20,55), treći (20,55 , 21,65), četvrti (21,65 , 22,75), peti (22,75 , 23,85), šesti (23,85 , 24,95), sedmi (24,95 , 26,05), i posljednji (26,05, 27,15). Ako se odlučimo interval (18,6 , 26,9) pokriti sa k = 7 razreda, širine 1,2 tada će prvi razredni interval biti (18,55 , 19,75), drugi (19,75 , 20,95), treći (20,95 , 22,15), četvrti (22,15 , 23,35), peti (23,35 , 24,55), šesti (24,55 , 25,75), i posljednji (25,75 , 26,95). Pokrivanjem intervala (18,6 , 26,9) sa k = 6 razreda, širine 1,4 , prvi razredni interval bi bio (18,55 , 19,95), drugi (19,95 , 21,35), treći (21,35 , 22,75), četvrti (22,75 , 24,15), peti (24,15 , 25,55), i posljednji šesti (25,55 , 26,95). Argument bins_array, u kombinacijama broja razreda i njihove širine (k = 8 ; š i = 1,1), (k = 7 ; š i = 1,2) i (k = 6 ; š i = 1,4) odredićemo da odgovara desnim granicama razrednih intervala. Posredstvom funkcije FREQUENCY izvršili smo prebrojavanje broja opažanja po razrednim intervalima u argumentu data_array. Rezultati prebrojavanja dati su na slici 4.
razredni intervali
granice razreda frekvencije
(18,35 , 19,45)
18,4 - 19,4
1
(19,45 , 20,55)
19,5 - 20,5
4
(20,55 , 21,65)
20,6 - 21,6
6
(21,65 , 22,75)
21,7- 22,7
13
(22,75 , 23,85)
22,8 - 23,8
12
(23,85 , 24,95)
23,9 - 24,9
13
(24,95 , 26,05)
25,0 - 26,0
8
(26,05 , 27,15)
26,1 - 27,1
4
Slika 4. 82
Frekvencijska tabela za k = 7 i širinu intervala 1,2 data je na slici 5. razredni intervali
sredine razreda za : k=8 , š=1,1 18,9
granice razreda frekvencije relativne frekvencije sredine razreda
(18,55 , 19,75)
18,6 - 19,7
1
1,67%
19,15
(19,75 , 20,95)
19,8 - 20,9
6
10,00%
20,35
(20,95 , 22,15)
21,0 - 22,1
9
15,00%
21,55
(22,15 , 23,35)
22,2 - 23,3
13
21,67%
22,75
(23,35 , 24,55)
23,4 - 24,5
14
23,33%
23,95
(24,55 , 25,75)
24,6 - 25,7
11
18,33%
25,15
(25,75 , 26,95)
25,8 - 26,9
6
10,00%
26,35
20,0 21,1 22,2 23,3 24,4 25,5
Slika 5. Frekvencijska tabela za k = 6 i širinu intervala 1,4 data je na slici 6. razredni intervali
26,6
granice razreda frekvencije relativne frekvencije sredine razreda
(18,55 , 19,95)
18,6 - 19,9
3
5,00%
19,25
(19,95 , 21,35)
20,0 - 21,3
6
10,00%
20,65
(21,35 , 22,75)
21,4 - 22,7
13
21,67%
22,05
(22,75 , 24,15)
22,8 - 24,1
16
26,67%
23,45
(24,15 , 25,55)
24,2 - 25,5
15
25,00%
24,85
(25,55 , 26,95)
25,6 - 26,9
7
11,67%
26,25
Slika 6. Odgovarajući histogrami prikazani su na slici 7. 13
13
13
14
11
11 9
8 6
6
4
6
4
1
1
18,9
20
21,1
22,2
23,3
16
24,4
25,5
26,6
15
13
7
6 3
19,25
20,65
22,05
23,45
24,85
26,25
19,15
20,35
21,55
22,75
23,95
25,15
26,35
U ovom primjeru imali smo kontinuiranu (neprekidnu) varijablu "težina". Dati skup vrijednosti grupisali smo u razrede jednakih dužina i onda konstruisali histograme grupisanih podataka kako bi nam pomogli da bolje vizueliziramo podatke. Isti postupci se mogu primijeniti i za slučaj diskretne varijable kada imamo mnogo različitih opaženih vrijednosti.
Slika 7. Prvi korak, dakle, predstavlja određivanje najveće i najmanje opažene vrijednosti. Razlika ovih vrijednosti određuje rang ili opseg podataka, R = x max - x min . Generalno, odabiremo od 5 do 20 razreda koji su međusobno nepreklapajući intervali jednakih dužina, tako da ovi razredi pokriju interval od minimuma do maksimuma. Svaki interval počinje i završava na polovini između dvije moguće izmjerene vrijednosti koje smo zaokružili na dati broj decimala. Prvi interval počinje toliko ispod najmanje vrijednosti koliko i posljednji interval završava iznad najveće. Intervali se zovu razredni intervali a granice, prave granice razreda. Ovih k razrednih intervala označavamo kao: (c 0 , c 1 ), (c 1 , c 2 ), (c 2 , c 3 ),…, (c k-1 , c k ). Granice razreda su najmanja i najveća moguća opažena vrijednost u razredu.
83
Primjer 3. Jedan ljutiti kupac zvao je jednu kompaniju 40 puta u toku posljednje dvije sedmice da se raspita kada će doći na red za uslugu. Svaki put kada je zvao izbrojao je koliko je puta telefon zvonio prije javljanja:
Kreirati frekvencijsku tabelu i konstruisati odgovarajući histogram. Rješenje Prvi korak u kreiranju frekvencijske tabele jeste da se odlučimo koliko želimo imati razreda, odnosno da odredimo razrednu širinu. Ako je broj razreda poznat, njegovu širinu određujemo kao količnik: x max - x min željeni broj razreda Ako je broj razreda nepoznat, širinu grupnog razreda određujemo prema formuli: x max - x min k pri čemu je k broj razreda koji treba odrediti. Iako za njegovo utvrđivanje nema preciznog pravila, ipak u statistici postoji nekoliko Ukupan broj opažanja n Broj klasa koji se preporučuje usvojenih empirijskih pravila koja se od 9 do 16 4 preporučuju. Jedno od njih nam ukazuje na od 17do 32 5 minimalan broj razreda; to je najmanji od 33 do 64 6 cijeli broj k takav da vrijedi 2k n, gdje je od 65 do 128 7 n ukupan broj opažanja. Prikazana tabela od 129 do 256 8 nam pokazuje minimalni broj razreda za od 257 do 512 9 specificirani broj opažanja (mjerenja). od 513 do 1024 10
data_array
Pored ovog postoje i druga empirijska pravila koja ukazuju na izbor broja razreda, k. Veoma često se u statističkoj literaturi za određivanje broja razreda koristi i tzv. Sturgesovo pravilo, pri čemu je k = 1+3,322log 10 (n). Pored ovog pravila koristi se i pravilo da broj razreda k odgovara kvadratnom korijenu iz broja opažanja n. Naravno niti jedno pravilo se ne treba primjenjivati strogo šablonski, već se treba pridržavati osnovnog principa da što je veći broj podataka, to je i broj razreda veći, a širine razreda su veće ako je interval rasturanja vrijednosti veći; takođe treba imati na umu izbjegavanje praznih razreda. Dakle, moramo paziti da sa velikim brojem razreda ne izgubimo preglednost niti suviše mali jer ne bismo onda mogli uočiti neke karakteristike skupa. Pretpostavimo da u našem primjeru, želimo imati pet razreda. Minimalna i maksimalna vrijednost, te opseg R, izračunati su na slici 8.
1 =MIN(A1:J4)
18 =MAX(A1:J4)
17 =MAX(A1:J4)-MIN(A1:J4)=R=x max -x min
Slika 8. Širina razreda je: x max - x min 18 1 17 3,4 4 željeni broj razreda 5 5
a kako je naše numeričko obilježje"broj zvonjenja telefona prije javljanja" prekidna varijabla, jer se može izraziti samo u cijelim brojevima, razrede ćemo formirati tako da je donja granica 84
sljedećeg intervala za jedan veća od gornje granice prethodnog intervala. Na slici 9. su date granice razreda i pokazano je kako posredstvom funkcije FREQUENCY treba prebrojati argument data_array, u polju ćelija A1:J4. Treba zapaziti da je za argument bins_array uzeto polje ćelija C8:C11, vrijednosti koje odgovaraju gornjim granicama razreda.
14 10 8 6 2
2,5
6,5
10,5
14,5
18,5
Slika 9. Odgovarajući histogram konstruišemo na dobijenim frekvencijama i sredinama razreda, koje su takođe, date na istoj slici sa pripadajućim sintaksama. Recimo da želimo broj razreda k izračunati prema gornjim navodima, tada bismo prema empirijskom pravilu 2k 40, za minimalan broj razreda ustanovili k = 6. Prema tzv. Sturgesovom pravilu, k = 1+3,322log 10 (n) =1+3,322log 10 (40) = 6,322 . Prema pravilu da broj razreda k odgovara kvadratnom korijenu iz broja opažanja n, imamo: k = 40 = 6,325. Dakle, odgovarajuće širine bi bile: x max - x min 17 17 17 18 1 17 2,689 3 ; 2,6879 3 ; 2,833 3 1 3,322 log 10 40 6,322 6,322 6 40 6,32455
Posredstvom funkcije FREQUENCY (slika 10.) izvršilismo prebrojavanje vrijednosti obilježja u argumentu data_array, za ovu širinu razreda.
10 8
7
5
2
6 4
5
8
11
14
17
Slika 10. Odgovarajući histogram prikazan je na istoj slici. 85
Primjer 4. Pretpostavljene visine 255 učenika date su u polju ćelija A1:Q15, na slici 11. Izvršiti grupisanje datih podataka u 6, 8, 10 i 16 grupnih razreda.
Slika 11. Rješenje Najmanju visinu u skupu datih vrijednosti pretpostavljenih visina 255 učenika možemo pronaći posredstvom funkcije MIN: 150 = MIN(A1: Q15). Posredstvom funkcije MAX možemo izračunati najveću visinu: 179 = MAX(A1:Q15). Razlika između najveće i najmanje vrijednosti u seriji naziva se razmak ili interval varijacije i u našem primjeru, iznosi: 179 -150 = 29 = MAX(A1: Q15) - MIN(A1: Q15). Ovaj interval varijacije možemo pokriti sa 6 razreda, širine 5 cm, 8 razreda širine 4 cm, 10 razreda širine 3 cm, ili recimo sa 16 razreda širine 2 cm. U slučaju da se odlučimo da interval varijacije pokrijemo sa 6 razreda širine 5 cm, prave granice razrednih intervala bi bile kao na slici 12.
Excelov interval :
Ld < x <= Lg
Prave granice 1 4 9 ,5 1 5 4 ,5 1 5 4 ,5 1 5 9 ,5 1 5 9 ,5 1 6 4 ,5 1 6 4 ,5 1 6 9 ,5 1 6 9 ,5 1 7 4 ,5 1 7 4 ,5 1 7 9 ,5
Nominalne granice 150 154 155 159 160 164 165 169 170 174 175 179
Slika 12. Dakle, u intervalu od 150 - 154 cm, imamo 16 učenika, od 155 - 159 cm, 25 učenika u intervalu od 160 - 164 cm, imamo 43 učenika, od 165 - 169 cm, 67 učenika, u intervalu od 170 - 174 cm, imamo 68 učenika, i od 175 - 179 cm, 36 učenika. Do istih frekvencija bismo došli i da smo za argument bins_array uzeli gornje nominalne granice 154, 159, 164, 169, 174 i 179 cm.
86
Histogram koji odgovara našem slučaju dat je na slici 13. Minitab 12.1
Excel
70
80
60
Frequency
50
67
60
68
40
40
30
43
20
20 10
36
25
16
0 152
0 149,5
154,5
159,5
164,5
169,5
174,5
157
162
167
172
177
179,5
Slika 13.
prave granice u ( cm )
U slučaju da se odlučimo da interval varijacije pokrijemo sa 8 razreda širine 4 cm, prave granice razrednih intervala bi bile kao na slici 14.
N ominalne granice Prave granice 1 5 2 ,5 1 4 8 ,5 149 152 1 5 2 ,5 1 5 6 ,5 153 156 1 5 6 ,5 1 6 0 ,5 157 160 1 6 0 ,5 1 6 4 ,5 161 164 1 6 8 ,5 1 6 4 ,5 16 8 165 1 6 8 ,5 1 7 2 ,5 169 17 2 1 7 2 ,5 1 7 6 ,5 173 176 1 7 6 ,5 1 8 0 ,5 177 180
Slika 14. Dakle, u intervalu od 149 - 152 cm, imamo 5 učenika, od 153 - 156 cm, 20 učenika, od 157 - 160 cm, imamo 24 učenika, od 161 - 164 cm, 35 učenika, od 165 - 168 cm, imamo 55 učenika, od 169 - 172 cm, 67 učenika, od 173 - 176 cm, 32 učenika, i od 177 - 180 cm, 17 učenika. Do istih frekvencija bismo došli i da smo za argument bins_array uzeli gornje nominalne granice 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, i 180 cm. Odgovarajući Histogram dat je na slici 15. Minitab 12.1
Excel
Frequency
70 60
70
50
60
67 55
50 40
40
30
30
20
20
10
10
35 5
20
24
32 17
0
0
150,5 154,5 158,5 162,5 166,5 170,5 174,5 178,5 148,5
152,5
156,5
160,5
164,5
168,5
172,5
176,5
180,5
prave granice u ( cm )
Slika 15. 87
U slučaju da se odlučimo da interval varijacije pokrijemo sa 10 razreda širine 3 cm, stvarne granice razrednih intervala bi bile kao na slici 16. Nominalne granice Prave granice 150 152 1 4 9 ,5 1 5 2 ,5 153 155 1 5 2 ,5 1 5 5 ,5 156 158 1 5 5 ,5 1 5 8 ,5 159 161 1 5 8 ,5 1 6 1 ,5 162 164 1 6 1 ,5 1 6 4 ,5 165 167 1 6 4 ,5 1 6 7 ,5 168 170 1 6 7 ,5 1 7 0 ,5 171 173 1 7 0 ,5 1 7 3 ,5 1 7 3 ,5 1 7 6 ,5 174 176 1 7 6 ,5 1 7 9 ,5 177 179
50
Frequency
40
30
20
10
0 149,5 152,5 155,5 158,5 161,5 164,5 167,5 170,5 173,5 176,5 179,5
prave granice u cm
Slika 16. Dakle, u intervalu od 150 - 152 cm, imamo 5 učenika, od 153 - 155 cm, 16 učenika, od 156 - 158 cm, imamo 17 učenika, od 159 - 161 cm, 20 učenika, od 162 - 164 cm, imamo 26 učenika, od 165 - 167 cm, 45 učenika, od 168 - 170 cm, 39 učenika, od 171 - 173 cm, 47 učenika, od 174 - 176 cm, 23 učenika, i od 177 - 179 cm, 17 učenika. Do istih frekvencija bismo došli i da smo za argument bins_array uzeli gornje nominalne granice 152, 155, 158, 161, 164, 167, 170, 173, 176, i 179 cm. U slučaju da se odlučimo da interval varijacije pokrijemo sa 16 razreda širine 2 cm, stvarne granice razrednih intervala bi bile kao na slici 17. Nominalne granice 149 151 153 155 157 159 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179
40
30
Frequency
Prave granice 1 4 8 ,5 1 5 0 ,5 1 5 0 ,5 1 5 2 ,5 1 5 2 ,5 1 5 4 ,5 1 5 4 ,5 1 5 6 ,5 1 5 6 ,5 1 5 8 ,5 1 5 8 ,5 1 6 0 ,5 1 6 0 ,5 1 6 2 ,5 1 6 2 ,5 1 6 4 ,5 1 6 4 ,5 1 6 6 ,5 1 6 6 ,5 1 6 8 ,5 1 6 8 ,5 1 7 0 ,5 1 7 0 ,5 1 7 2 ,5 1 7 2 ,5 1 7 4 ,5 1 7 4 ,5 1 7 6 ,5 1 7 6 ,5 1 7 8 ,5 1 7 8 ,5 1 8 0 ,5
20
10
150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 180
0 150
160
170
180
prave granice u ( cm )
Slika 17. Dakle, u intervalu od 149 - 150 cm, imamo 1 učenika, od 151 - 152 cm, 4 učenika, od 153 - 154 cm, imamo 11 učenika, od 155 - 156 cm, 9 učenika, od 157 - 158 cm, imamo 13 učenika, od 159 - 160 cm, 11 učenika, od 161 - 162 cm, 20 učenika, od 163 - 164 cm, 15 učenika, od 165- 166 cm, 26 učenika, od 167 - 168 cm, 29 učenika, od 169 - 170 cm, 29 učenika, od 171 - 172 cm, 38 učenika, od 173 - 174 cm, 13 učenika, od 175 - 176 cm, 19 učenika, od 177 - 178 cm, 14 učenika, i od 179 - 180 cm, 3 učenika. Do istih frekvencija bismo došli i da smo za argument bins_array uzeli gornje nominalne granice 150, 152, 154, 156, 158, 160, 162, 164, 166, 168, 170, 172, 174, 176, 178, i 180 cm.
88
FTEST Neka slučajne nezavisne varijable X i Y imaju respektivno normalne raspodjele N( 1 , 1 2) i N( 2 , 2 2). Testiramo nultu hipotezu Ho: 1 2/ 2 2 = 1 ( ili, što je ekvivalentno, 1 2 = 2 2 ), slučajno izvučenih uzoraka od n 1 opažanja pojave X i n 2 opažanja pojave Y, prema alternativnoj hipotezi H 1 : 1 2 2 2 . Polazeći od činjenice da su uzoračke varijanse S 1 2 i S 2 2 dobre ocjene za nepoznate parametre 1 2 i 2 2 , statistika S 1 2 / S 2 2 nam može poslužiti kao dobra osnova za konstrukciju testa kojim testiramo jednakost dvaju varijansi, kada su uzorci izvučeni iz normalnih populacija. Poznato je da (n 1 -1)* S 1 2/ 1 2 i (n 2 -1)* S 2 2/ 2 2 imaju nezavisne hi-kvadrat raspodjele 2 (n 1 -1) i 2 (n 2 -1), respektivno. Ako je nulta hipoteza Ho istinita, tada S 21 F
S 22
ima F raspodjelu sa df1 = n 1 -1 i df2 = n 2 -1 stepeni slobode. Funkcija FTEST postavlja vjerovatnoću p koja odgovara dvostranom F- testu: p S2 FDIST( 21 ; df1; df2) 2 S2
p 2
x F
S 21 S 22
Sintaksa FTEST ( array1 ; array2) Array1 je polje koje se odnosi na opažanja jedne pojave . Array2 je polje u kome su smještena opažanja koja se odnose na drugu pojavu. Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja, odnosno reference koje sadrže brojeve. Ako argument koji je polje ili referenca sadrži tekst, logičku vrijednost, ili prazne ćelije, ove se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednostima nula su uključene. Ako je broj tačaka podataka u array1 ili array2 manji od 2, ili ako je varijansa array1 ili array2 nula, FTEST postavlja vrijednost greške #DIV/0!. Kritična oblast dvostranog F - testa može se izraziti i kao: F
odnosno, kao:
S 21 F FINV( ; df1; df2) 2 2 S2 2
s2 p FDIST ( 12 ; df 1; df 2) 2 2 s2
Primjer 1. Dato je n 1 = 15 opažanja pojave X i n 2 = 12 opažanja pojave Y (podaci iz primjera 1. kod funkcije FDIST) gdje pojave X i Y predstavljaju normalne populacije. Testirati nultu hipotezu Ho: 1 2 = 2 2 prema alternativnoj hipotezi H 1 : 1 2 2 2 na nivou značajnosti = 5 %.
89
Rješenje Podaci su dati nastavku:
grupa 1 62 53 36 34 56 50 42 57 46 68 48 42 52 53 43 grupa 2 65 58 78 60 68 69 66 70 53 71 63 63 Posredstvom ugrađene funkcije FTEST (Slika 2.), dolazimo do sljedećeg razultata:
Slika 2. Kako je ova vjerovatnoća p = 25,54 % veća od postavljenog praga " = 5 % to zaključujemo da nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu. U nastavku je dat ispis rezultata za F-Test Two-Sample for Variances koji se aktivira posredstvom putanje: Tools - Data Analysis… - F-Test Two-Sample for Variances F-Test Two-Sample for Variances
Mean Variance Observations df F P(F<=f) one-tail F Critical one-tail
grupa 1 grupa 2 49,46667 65,33333 87,12381 43,69697 15 12 14 11 1,993818 0,127691 2,74
Vidimo da funkcija FTEST daje ukupnu vrijednost vjerovatnoće p = 25,538 % a u rezultatima ovog testa (F-Test Two-Sample for Variances) data je vrijednost p / 2 = 12,7691 %.
90
GAMMADIST Ova funkcija odgovara gama raspodjeli. Slučajna varijabla X ima gama raspodjelu ako je njena funkcija gustine definisana izrazom x
1 α 1 β f(x) x e α Γ(α) β
, o x .
Funkcija
Γ() u 1 e udu , o. 0
predstavlja gama funkciju. Kada je pozitivan cijeli broj tada je () = (-1)!. Sintaksa GAMMADIST (x; alpha; beta; cumulative) X je vrijednost za koju želimo ocijeniti raspodjelu. Alfa() i beta() su parametri raspodjele. Cumulative je logička vrijednost koja određuje oblik funkcije. Ako je cumulative TRUE, GAMMADIST odgovara izrazu x
u
1 α1 F(x) u e β du α Γ(α) β
parametar oblika parametar razmjere
0
ako je FALSE, odgovara funkciji f(x). Srednja vrijednost i varijansa gama raspodjele su: = * , 2 = * 2. Ako je parametar beta = 1, GAMMADIST odgovara standardnoj gama raspodjeli. Napomene Ako x, alfa, ili beta nisu brojevi, GAMMADIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x < 0, GAMMADIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je alfa 0 ili beta 0, GAMMADIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Kada je alfa = 1, GAMMADIST odgovara eksponencijalnoj raspodjeli sa = 1/. Za pozitivni cijeli broj n, kada je alfa = n/2, beta = 2, i cumulative = TRUE, GAMMADIST odgovara vrijednosti 1 - CHIDIST(x) za n stepeni slobode; ako je cumulative = FALSE, funkcija GAMMADIST odgovara funkciji gustine 2 raspodjele. Kada je alfa () pozitivni cijeli broj, GAMMADIST odgovara Erlangovoj raspodjeli. Kada je alfa () pozitivni cijeli broj jednak n+1, i = 1, GAMMADIST odgovara, u zavisnosti od logičke vrijednosti cumulative, sljedećim formulama:
xn 1 n x GAMMADIST x; n 1; 1;FALSE x e x Γn 1 n! e 1
n xi 1 x n u x GAMMADIST x; n 1; 1; TRUE u e du 1 e n! i 0 i! o
Prva Erlangova formula za gubitke, glasi:
91
xn GAMMADIST ( x; n 1; 1; FALSE ) n! E (x) 1,n n xi 1 - GAMMADIST ( x; n 1; 1; TRUE ) i0
i!
Gama funkciju u Excelu možemo izračunati posredstvom funkcija EXP i GAMMALN. Primjer 1. Pretpostavimo da u toku jednog sata u jednu prodavnicu dolazi 30 kupaca u skladu sa Poissonovim procesom. Ako je naša jedinica minuta, onda je = 1/2. Koja je vjerovatnoća da će prodavac čekati više od 5 minuta prije nego što stignu prva dva kupca? Rješenje Ako sa X označimo vrijeme čekanja u minutama dok drugi kupac stigne, onda X ima gama raspodjelu sa = 2, = 1/ = 2. Vjerovatnoća da će prodavac čekati više od 5 minuta prije nego što stignu prva dva kupca, jednaka je vrijednosti izraza:
P(X 5)
u 2
1 u2 1 e du 2 Γ(2) 2
5
5
u 2
u e du 0,287297495 4
Mogli smo koristiti i sljedeću jednačinu α 1
P(X 5) k 0
x k β
( ) e k!
βx
( 25 )k e k! k 0 α 1
25
0,287297
zato što je pozitivni cijeli broj. Posredstvom ugrađene Excelove funkcije GAMMADIST, do ove vrijednosti dolazimo veoma jednostavno na način, prikazan na slici 1.
Slika 1. Vrijednost ordinate funkcije gustine gama raspodjele u tački x =5, možemo izračunati posredstvom funkcije GAMMADIST na sljedeći način:
Lako je uočiti, da smo za logičku vrijednost cumulative koristili FALSE.
92
GAMMAINV Pretpostavimo da nam je poznata vjerovatnoća koja odgovara gamma raspodjeli sa poznatim parametrima i , tako da vrijedi: probability = GAMMADIST(x;;;TRUE). Vrijednost za x nije nam poznata i želimo je izračunati; funkcija GAMMAINV nam pomaže da odredimo vrijednost x, tako da je: GAMMAINV(probability;;) = x.
F(x) je poznato, koliko je x ? x
u
1 F(x) uα 1 e β du α Γ(α) β
x
1 1 f(x) x e ( )
0
F(x)
x parametar oblika parametar razmjere
Γ() u 1 e udu 0
Sintaksa GAMMAINV ( probability ; alpha ; beta) Probability je vjerovatnoća povezana s gama raspodjelom. Alpha () je parametar oblika raspodjele a beta () parametar razmjere raspodjele. Napomene Ako neki argument nije broj, GAMMAINV postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je 0 > probability > 1 , GAMMAINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je 0 ili je 0, GAMMAINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je = 1, funkcija GAMMAINV postavlja vrijednost za x koja odgovara standardnoj gama raspodjeli; ako je istovremeno i pozitivan cijeli broj jednak n+1, GAMMAINV daje rješenje sljedeće jednačine, po x: n xi 1 x n u x GAMMADIST x; n 1; 1; TRUE u e du 1 e probability n! i! i 0 o
Kada je = 1, GAMMAINV odgovara vrijednosti x-a u eksponencijalnoj raspodjeli sa parametrom = 1/, odnosno rješenju sljedeće jednačine po x: x x probability F x; λ e u du 1 e λx 1 e , 0 x . 0 x - ln(1 - probability) GAMMAINV(probability;1; )
GAMMAINV koristi iterativnu tehniku za računanje funkcije; zadatoj se vrijednosti vjerovatnoće približava na ± 3 x 10 -7. Ako ne konvergira nakon 100 iteracija, funkcija GAMMAINV postavlja vrijednost greške #N/A. Za pozitivni cijeli broj n, kada je = n/2, = 2, i cumulative = TRUE, GAMMAINV odgovara rješenju jednačine: probability = 1 - CHIDIST(x), po x, za n stepeni slobode. 93
Primjer 1. Za F(x) = 95 %, a=2 i b= 4 izračunati vrijednost x-a. Rješenje Vrijednost x za parametre raspodjele a=2 i b= 4, do koje se nalazi 95% površine iznosi 18,9755 (Slika 1.)
Slika 1. Primjer 2, 3 i 4.
Ovdje su date provjere (Slika 2.) navoda koji se nalaze u napomenama.
Slika 2. Za a=10/2 = 5, b= 2 i probability = 5 %, GAMMAINV=3,9403. Možemo rećei da vrijedi: probability = 1-CHIDIST(3,9403) = 5%. Za a=1, b= 2 i probability = 5 %, GAMMAINV=0,10259. Možemo rećei da vrijedi: probability = EXPONDIST(0,10259;1/2;1) = 5%. Za a= 5+1, b= 1 i probability = 5 %, GAMMAINV=2,61301. Možemo rećei da vrijedi: probability = GAMMADIST(2,61301;5+1;1;1) = 5%.
94
GAMMALN Ova funkcija izračunava prirodni logaritam neprekidne gama funkcije definisane izrazom:
x
e uu x 1 du, za x 0.
0
Sintaksa GAMMALN( x ) X je vrijednost za koju želimo izračunati GAMMALN. Napomene Ako x nije broj, GAMMALN postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x 0, GAMMALN postavlja vrijednost greške #NUM!. GAMMALN za poznatu vrijednost x računa se kao: GAMMALN(x) =LN[(x)] Broj e na potenciju GAMMALN(x), gdje je x cijeli broj, daje isti rezultat kao (x - 1)!. Broj e na potenciju GAMMALN(x), za svako x > 0, daje rezultat koji odgovara vrijednostima gama funkcije (x), tako da vrijedi: EXP(GAMMALN(x)) x
e
u
u x 1 du.
0
1 3 5 13 , , 2 . 2 2 2 2 2 U opštem slučaju, vrijedi izraz: 2x 1 1 3 5 ... (2x 1) EXP(GAMMALN((2x 1)/2)) . 2x 2 Primjer 1. Izračunati vrijednost gama funkcije (x), za x =5. Rješenje (5) = 4* 3 * 2 * 1 = 24 (slika 1.).
GAMMALN(5) 3,17805383.
EXP(GAMMALN(5)) 5
e
u
u 4 du 24.
0
Slika 1.
Primjer 2. 1 EXP(GAMMALN(1/2)) 2
e 0
u
u
1 1 2
du
e
u
1 2
u du 1,77245.
0
95
GEOMEAN Posredstvom ove funkcije možemo izračunati geometrijsku sredinu pozitivnih, negrupisanih podataka, prema izrazu G n x 1 x 2 x 3 ...x n pri čemu oznake imaju sljedeća značenja: G geometrijska sredina na negrupisanim podacima; x 1 , x 2 , x 3 , …, x n su vrijednosti obilježja; n ukupan broj članova niza. Sintaksa GEOMEAN( number1 ; number2 ; ...) Number 1, number2, ... su 1 do 30 argumenata za koje želimo izračunati geometrijsku sredinu; možemo takođe koristiti jednodimenzionalno polje ili referencu na polje umjesto argumenata odvojenih separatorom. Napomene Geometrijska sredina je srednja vrijednost koja izravnjava proporcionalne promjene između članova niza posmatrane serije i zbog te svoje osobine posebno je korisna u istraživanju dinamike jer su tu važnije razlike u odnosima, nego u apsolutnim veličinama. Koristi se za određivanje srednjih vrijednosti indeksnih brojeva, za procjenu porasta broja stanovnika između dva popisa, za određivanje srednjeg tempa rasta vremenskih serija, itd. Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja, odnosno reference koje sadrže brojeve. Ako argument u vidu polja ili reference sadrži tekst, logičke vrijednosti, ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednostima nula su uključene. Ako je neki podatak 0, GEOMEAN postavlja vrijednost greške #NUM!. Geometrijska sredina se računa tako da se članovi niza međusobno pomnože i iz dobijenog proizvoda izvadi onoliki korijen koliko ima članova niza: GEOMEAN G n x 1 x 2 x 3 ...x n
Može se izračunati i posredstvom izraza:
log x
i
n
log x i
logx 1 logx 2 logx 3 ... logx n i 1 Ge n n n posredstvom funkcija EXP, AVERAGE i LOG. Za izračunavanje geometrijske sredine na grupisanim podacima, kada među vrijednostima obilježja x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ima i jednakih koristi se izraz: log G
n
i1
G n x f11 x f22 x f33 ... x kfK pri čemu oznake imaju sljedeća značenja: G geometrijska sredina na grupisanim podacima; x 1 , x 2 , x 3 , …, x k vrijednosti obilježja; n = f 1 + f 2 + … + f k . U proračunskoj tablici Excel postoji ugrađena funkcija PRODUCT, iz kategorije matematičkih funkcija, koja se može iskoristiti za izračunavanje geometrijske sredine na grupisanim podacima prema sintaksi: PRODUCT (number1 ; number2 ; ...) k Može se izračunati i posredstvom izraza k f i logx i f i logx i i 1 f logx 1 f 2 logx 2 f 3 logx 3 ... f k logx k log G 1 i 1 Ge n n n odnosno, posredstvom funkcija EXP, SUM i LOG.
96
Primjer 1. Proizvodnja nekog artikla (izražena u 103 tona) i godišnji tempo razvitka, dati su na slici 1.
Godišnji tempo razvitka izračunavamo iz serije sa apsolutnim iznosima, i to na taj način što sljedeći član dijelimo prethodnim. Slika 1. Izračunati srednji tempo razvitka proizvodnje. Rješenje Srednji tempo razvitka proizvodnje možemo izračunati posredstvom funkcije GEOMEAN, kao na slici 2.
G n x 1 x 2 x 3 ... x n
4
0 ,875 1,286 1,111 1,1
1,082868385
Slika 2. Ovaj rezultat nam govori da prosječni tempo razvitka za 5 godina iznosi 1,08287. Ovaj koeficijent je veći od broja 1, što opet znači da imamo pozitivnu pojavu povećanja proizvodnje u toku pet godina u prosjeku od 8,29%. Do ovog rezultata možemo doći i posredstvom sintakse: GEOMEAN(B3:B6/B2:B5) - slika 3.
Slika 3. 97
Primjer 2. Data je serija podataka: 2, 7, 8, 16, 9, 13. Izračunajte geometrijsku sredinu (G). Rješenje Geometrijska sredina G, izračunata je posredstvom funkcije GEOMEAN (slika 4.). G n x 1 x 2 x 3 ... x n
6
2 7 8 16 9 13
7 ,70763
G 7 ,71
Slika 4. Primjer 3. Dati su podaci o proizvodnji obuće jednog preduzeća, u periodu od 1980. do 1992. godine. a) Prikažite grafički vremensku seriju. b) Odredite prosječnu godišnju stopu rasta proizvodnje obuće u posmatranom periodu.
Rješenje
98
GROWTH Posredstvom ove funkcije možemo predvidjeti eksponencijalni rast pomoću postojećih podataka. GROWTH postavlja y - vrijednosti za serije novih x - vrijednosti koje navedemo, korištenjem postojećih x i y vrijednosti. Kako ova funkcija postavlja polje vrijednosti ona mora biti unesena kao formula polja za čije aktiviranje treba istovremeno pritisnuti kombinaciju tri tipke na tastaturi računara: Ctrl, Shift, i Enter. Ctrl Shift Enter Sintaksa GROWTH ( known_y's ; known_x's ; new_x's ; const ) Known_y's je skup poznatih y vrijednosti. Ako se polje known_y's sastoji od samo jedne kolone ili samo jednog reda tada se svaka kolona, odnosno svaki red known_x 's posmatra kao posebna varijabla. Ako je neki od brojeva u known_y's , nula ili negativan, GROWTH postavlja vrijednost greške #NUM!. Known_x's je polje x vrijednosti koje može biti i izostavljeno. Polje known_x's može uključiti jednu ili više varijabli. Ako se koristi samo jedna varijabla, known_y's i known_x's mogu biti opsezi bilo kakvog oblika, sve dok imaju iste dimenzije. Ako se koristi više od jedne varijable, known_y's mora biti vektor (što znači, opseg visine jednog reda ili širine jedne kolone). Ako je known_x's izostavljen, pretpostavlja se da predstavlja polje {1; 2; 3; ...} koje je iste veličine kao i known_y's. New_x's su nove x - vrijednosti za koje želimo da funkcija GROWTH postavi odgovarajuće y- vrijednosti. New_x's mora, kao i known_x's, sadržavati kolonu ili red za svaku nezavisnu varijablu. Zato, ako se podaci known_y's upisani u jednoj koloni, known_x's i new_x's moraju imati isti broj kolona. Ako je known_y's u jednom redu, known_x's i new_x's moraju imati isti broj redova. Ako je new_x's izostavljen, pretpostavlja se da je isti kao known_x's. Ako su i known_x's i new _x's izostavljeni, pretpostavlja se da su polje {1 ; 2 ; 3 ; ...}, iste veličine kao i known_y's. Const je logička vrijednost kojom navodimo da li je konstanta b =1. Ako je const TRUE ili je izostavljen, b se računa normalno; ako je FALSE, b = 1.
Primjer 1. Pojava je u periodu od 1982. do 1988. godine pokazala sljedeće kretanje: Primjenom eksponencijalnog trenda predvidjeti nivo pojave u naredne dvije godine Rješenje
y 24,125 1,474
x
99
HARMEAN Posredstvom ove funkcije izračunavamo prostu harmonijsku sredinu koja predstavlja recipročnu vrijednost aritmetičke sredine iz recipročnih vrijednosti članova niza. Formula za harmonijsku sredinu na negrupisanim podacima, glasi: n n n H 1 1 1 1 1 ... xn x1 x2 x3 x
i
i 1
Simboli imaju sljedeće značenje: H prosta harmonijska sredina; n ukupan broj članova niza; 1/x 1 , 1/x 2, 1/x 3, …, 1/x n su recipročni članovi niza. Primjenjuje se uz recipročne pokazatelje, a najviše kod izračunavanja srednjih cijena, srednjeg vremena izrade jedinice proizvoda, srednjeg vremena pređene jedinice puta, prosječnog vremena obrta kapitala itd. Sintaksa HARMEAN ( number1 ; number2 ; ... ) Number 1, number2,... su 1 do 30 argumenata za koje želimo izračunati harmonijsku sredinu; možemo takođe koristiti jednodimenzionalno polje ili referencu na polje umjesto argumenata razdvojenih separatorom (tačka - zarez ili samo zarez u zavisnosti od podešenosti operativnog sistema). Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja, odnosno reference koje sadrže brojeve. Ako argument u vidu polja ili reference sadrži tekst, logičku vrijednost, ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije sa vrijednostima nula su uključene. Ako je neki podatak 0, HARMEAN postavlja vrijednost greške #NUM!. Harmonijska sredina je uvijek od geometrijske sredine, koja je uvijek od aritmetičke sredine, to jest: H G A. Prosta harmonijska sredina, odnosno funkcija HARMEAN odgovara izrazu: HARMEAN
1 n
n n
1 1 1 n i 1 x i xi i 1 Harmonijska sredina na grupisanim podacima koristi se kada imamo seriju recipročnih pokazatelja sa različitim frekvencijama, i odgovara sljedećem izrazu: k
Hg
f 1 f 2 f 3 ... f k f f1 f2 f3 ... k x1 x2 x3 xk
f i 1 k
x i 1
i
fi i
U proračunskoj tablici Excel ponderisanu harmonijsku sredinu, odnosno harmonijsku sredinu na grupisanim podacima izračunavamo posredstvom funkcije SUM, koju aktiviramo kao formulu polja istovremenim pritiskom na kombinaciju tipki: Ctrl+Shift+Enter.
100
Primjer 1. Pet radnika rade iste proizvode i pri tome su za 8 sati rada proizveli:
Svih pet radnika su u toku osam sati rada proizveli ukupno 810 proizvoda, ili prosječno svaki po 162. Za jedan sat rada svaki radnik je proizveo 20,25 , a za jedan minut 0,3375 proizvoda. Iz ekonomije nam je poznato da se produktivnost rada maže mjeriti i potrebnim vremenom za izradu jedinice proizvoda. U tom slučaju radnicima je potrebno:
da bi proizveli jednu jedininicu proizvoda. U prosjeku svih pet radnika za jednu jedinicu proizvoda utroše 2,96 minuta živog rada. Do ove vrijednosti dolazimo posredstvom izraza: 5 5 2,963 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 4,8 4 3,2 2,4 2 odnosno posredstvom ugrađene Excelove funkcije HARMEAN, kao na slici 1. H
Slika 1. U prvom slučaju, ukoliko je proizvedeno više jedinica proizvoda u jedinici vremena, utoliko je veća produktivnost, a u drugom slučaju je ona manja ukoliko je potrebno više vremena za izradu jedinice proizvoda, odnosno biće veća ako je potrebno manje vremena. Primjer 2. Automobil je prvih 100 km prešao brzinom 110 km/h, a drugih 100 km brzinom od km 2 105 km/h. Kolika je srednja brzina automobila? H 107,44 Rješenje 1 1 h Srednja brzina automobila iznosi 107,44 km/h - slika 2. 110 105
Slika 2. 101
HYPGEOMDIST Pretpostavimo da se u nekoj posudi nalaze bijele i crvene kuglice i da njihov ukupan broj iznosi N. Označimo sa N 1 ukupan broj bijelih kuglica. Slučajna promjenljiva X, kojom označavamo broj bijelih kuglica u n izvučenih sa vraćanjem ima binomnu raspodjelu vjerovatnoće
N N-N N n 1 2 px P(X x) px (1 p)n x , x 0, 1, ..., n gdje je : p 1 konstanta; q N N N x
pri čemu x predstavlja broj bijelih kuglica u uzorku veličine n kuglica. U slučajevima, kada je izvlačenje bez vraćanja, odnos p = N 1 /N se mijenja, što znači da su rezultati izvlačenja zavisni događaji. Da bismo ustanovili zakon vjerovatnoće slučajne promjenljive X kod zavisnih događaja pretpostavimo da smo iz posude sa N 1 bijelih kuglica i N-N 1 crvenih kuglica, izvukli n kuglica bez vraćanja. Neka se u n izvučenih kuglica u uzorku nalazi x (x = 0, 1, 2, …, N 1 ) bijelih kuglica. Broj mogućih načina izbora n kuglica predstavlja broj kombinacija od N elemenata n - te klase i u Excelu se može izračunati posredstvom ugrađene funkcije COMBIN iz kategorije matematičkih funkcija. Takođe, x bijelih kuglica se može izabrati od N 1 bijelih na : N 1! N 1 C Nx 1 x x! (N 1 x)! načina. Pošto u uzorku od n kuglica ima x bijelih, to preostalih n-x moraju biti crvene; one se mogu formirati od N-N 1 = N 2 crvenih kuglica na : (N - N 1 )! N - N 1 N2 N 2! C nN--xN 1 (n - x)! (N 2 - n x)! n - x (n - x)! (N - N 1 - n x)! n - x načina. Tako je broj povoljnih slučajeva da se u uzorku od n kuglica nađe x bijelih jednak: N 1 N - N 1 N 1 N 2 C Nx 1 C nN--xN 1 x n - x x n - x Konačno imamo izraz za funkciju p.m.f. hipergeometrijske raspodjele N 1 N N 1 N 1 N 2 x n, x n x x n x x N1 , f(x) P(X x) N N N 1 2 n x N2 n koja odgovara funkciji HYPGEOMDIST, n gdje je: x sample_s (broj povoljnih ishoda), n - x broj nepovoljnih ishoda, n number_sample (veličina uzorka), N 1 population_s (broj uspjeha u populaciji), N-N 1 =N 2 broj neuspjeha u populaciji, N number_population (veličina populacije). Sintaksa HYPGEOMDIST( sample_s ; number_sample ; population_s ; number_pop) Sample_s je broj povoljnih ishoda u uzorku. Number_sample je veličina uzorka. Population_s je broj uspjeha u populaciji. Number_pop je veličina populacije. Napomene Svim argumentima se odbacuju decimale kako bi postali cijeli brojevi.
102
Ako neki argument nije broj, HYPGEOMDIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je sample_s veći ili manji od number_sample ili population_s, ili je pak sample_s < 0, HYPGEOMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je sample_s manji od 0 ili od number_sample - number_pop + population_s, HYPGEOMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je number_sample < 0 ili je number_sample > number_pop, HYPGEOMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je population_s < 0 ili je population_s > number_pop, HYPGEOMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je number_pop < 0, HYPGEOMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Najvažniji parametri hipergeometrijske raspodjele su očekivana vrijednost i varijansa: N N N N-n x n 1 σ2 n 1 2 N N N N- 1 HYPGEOMDIST se koristi kod uzorkovanja bez zamjene iz konačne populacije. Koeficijent asimetrije 3 odgovara izrazu N - 2 N 1 2 N - 1 N - 2 n 2 N1 N - N 1 n N - n N - 2 2 pa je hipergeometrijska raspodjela u opštem slučaju asimetrična; za slučaj kada je N 1 = N 2 i jednako N/2, tada je 3 = 0 pa je raspodjela simetrična za svako x. Kada N 1 , N 2 , i N , tada hipergeometrijska raspodjela teži binomnoj raspodjeli : N1 N2 x n x n px (1 p)n x x N n
Primjer 1. U jednoj posudi nalazi se 50 kuglica od kojih je 10 bijelih. Kolika je vjerovatnoća da u slučajnom uzorku od sedam izvučenih kuglica bez vraćanja izvučemo tačno dvije bijele? Rješenje Ako sa X označimo broj bijelih kuglica vjerovatnoća da izvučemo tačno dvije bijele odgovara vrijednosti f(2) kao na slici 1.
10 40 2 5 f(2) P(X 2) 0,296446 50 7
Slika 1. 103
INTERCEPT Ova funkcija na osnovu poznatih parova vrijednosti (x i , y i ) izračunava slobodan član b regresijskog pravca y = m*x+b. Slobodan član b i koeficijent pravca m odgovaraju rješenju sistema normalnih jednačina n
b n m
n
x y i
i 1
b
i
i 1
n
n
n
x m x x y 2 i
i
i 1
i
i 1
i
i 1
dobijenog metodom najmanjih kvadrata. Tako dobijamo: n
b
1 n
n
i 1
yi
m n
xi y m x
m
i 1
n
n
x y x y n x ( x )
n
n
i
i 1
i
i
i 1
n
n
2 i
i 1
i
i 1
i
2
i 1
Sintaksa INTERCEPT (known_y's ; known_'s) Prvi argument known_y's predstavlja vrijednosti zavisne varijable. Drugi argument known_x's odgovara vrijednostima nezavisne varijable. Funkcija INTERCEPT je osjetljiva na promjenu mjesta argumentima; ako prvo upišemo vrijednosti x i , pa onda y i postavljena vrijednost će odgovarati slobodnom članu c, regresijskog pravca x = d* y+c. Napomene Argumenti moraju biti brojevi, nazivi, polja, ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument, zapisan u obliku polja ili reference, sadrži tekst, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije sa nulom su uključene. Ako known_y's i known_x's sadrže različit broj podataka ili uopšte ne sadrže podatke, funkcija INTERCEPT postavlja vrijednost greške #N/A. Jednačina presjeka regresijskog pravca sa y-osom, glasi
1 INTERCEPT(y i ; x i ) b n
n
i 1
m yi n
n
x y m x i
i 1
gdje je m nagib, odnosno koeficijent regresijskog pravca y = m*x+b.
104
Primjer 1. U jednoj kompaniji su zabilježeni podaci o obimu proizvodnje u tonama (x) i ukupnim troškovima (y) u 103 NJ(novčanih jedinica):
Odrediti slobodan član b , odnosno fiksne troškove u funkciji ukupnih troškova. Rješenje Pošto je kretanje ukupnih troškova probližno linearno, polazimo od funkcije y p = mx+b. Rješavanjem sistema normalnih jednačina, dobijamo sljedeći izraz za b: 6
1 b 6
6
i 1
1 yi 6
6
x
6
i
6
6
x y x y i
i 1
i
i 1
6
6
i 1
i
6
x ( x ) 2 i
i 1
i
i 1
i
2
i 1
Korištenjem gotovih Excelovih funkcija AVERAGE, SUMPRODUCT, SUMSQ i SUM (na slici 1.) izračunate su vrijednosti za sume u izrazu za b.
Slika 1. Njihovim uvrštavanjem, dobijamo: 6
1 b 6
6
i 1
1 yi 6
6
x i
i1
6
6
6
x y x y i
i 1
6
i
i
i1
6
i 1
6
x ( x ) 2 i
i 1
i
i
123,667 39,333
2
6 29531 236 742 74,286 6 9558 236 2
i 1
Dakle, slobodan član b , odnosno fiksni troškovi, iznose: 74286 NJ. Kako se do ove vrijednsti može doći direktno bez prethodnog izračunavanja gornjih suma? Jednostavno, posredstvom ugrađene Excelove funkcije INTERCEPT, kao na slici 2.
Slika 2.
105
Primjer 2. Za dati skup empirijskih vrijednosti (x i ,y i ) i=1,2,…,8 odrediti parametar b u funkciji tražnje oblika y = b*xm tradicionalno, i posredstvom funkcije INTERCEPT.
Rješenje Sistem normalnih jednačina za ovu funkciju tražnje glasi: 8
8 log10b m
8
log10 xi
i 1
8
log10 yi
log 10 b
i 1
log
8
8
10
x i m
i 1
(log
10
2
xi)
i 1
log
10
x i log 10 y i
i 1
ili u riješenom obliku 8
8 m
8
log 10 x i log 10 y i
i1
8
log ( log x ) i 1
8
(log i 1
10
x i )2
8
log 10 x i
10
yi
log 10 b
i1
8
10
i
2
1 8
8
log 10 y i
i 1
m 8
8
log
10
xi
i 1
i 1
Prema vrijednostima koje odgovaraju logaritamskim sumama u tabeli na slici 3. možemo izračunati parametar log 10 b.
Slika 3. Dakle, imamo: 8
1 log 10 b 8
8
i 1
1 log 10 y i 8
8
log
8 10
xi
8
log 10 x i log 10 y i
i1
i 1
8
log 10 x i
i1
8
(log
8
i 1
log i 1
8
10
2
xi) (
log
10
xi)
10
yi
2
i 1
29,0915966 2 12,60552052 8 45,41712565 12,60552052 29,0915966 2 4,65489701 8 8 8 20,51562169 12,60552052 2 b 10 4,65489701 45174,88027
Posredstvom funkcije INTERCEPT do vrijednosti za parametar b dolazimo kao na slici 4.
b 10 4,65489701 45174,88027 45174,88 =POWER(10;INTERCEPT(LOG10(B2:B9);LOG10(A2:A9)))=b Slika 4.
106
KURT Ova funkcija odgovara mjeri sploštenosti Fisher's g2 i predstavlja jednu alternativnu mjeru spljoštenosti, odnosno izračunava kurtosis skupa podataka. Formula za njeno izračunavanje glasi: KURT
n1 (n 1) (n - 1) ( 2 3 ) n 1 (n 2) (n - 3)
gdje
2
1 n
m4 m 22 1 n
n
(x x) i
4
i 1 n
i 1
(x i x) 2
4
m2 2
n1 2 s n
odgovara poznatom koeficijentu spljoštenosti 4. Normalna kriva ima koeficijent sploštenosti jednak tri i predstavlja osnov za mjeru spljoštenosti. Kod izduženih raspodjela (leptokurtik) koeficijent spljoštenosti je veći od tri a kod raspodjela koje su spljoštenije od normalne raspodjele ( platikurtik) ovaj koeficijent je manji od tri. Sintaksa KURT (number1 ; number2 ; ...) Number1,number2, ... su 1 do 30 argumenata za koje želimo izračunati kurtosis; možemo koristiti i jednodimenzionalno polje ili referencu na polje umjesto argumenata odvojenih separatorom. Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja, ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument u vidu polja ili reference sadrži tekst, logičku vrijednost, ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednosti nula se uključuju. Ako postoji manje od 4 podatka, ili ako je standardna devijacija uzorka jednako nula, KURT postavlja vrijednost greške #DIV/0!. Izraz za kurtosis možemo napisati i u obliku: n
4
n
xi x 3 (n 1)2 1 x i x 2 ; s n 1 i 1 s (n 2) (n 3) i 1 gdje je s - standardna devijacija uzorka. Za mjeru sploštenosti rasporeda frekvencija (kurtosis) koristimo se količnikom četvrtog centralnog momenta i četvrtim stepenom standardne devijacije (ili kvadratom varijanse), odnosno koeficijentom 4 koji možemo izračunati posredstvom poznate vrijednosti funkcije KURT, prema obrascu: n (n 1) KURT (n 1) (n 2) (n 3)
4
(n - 2) (n 3) n 1 KURT 3 (n 1) (n 1) n 1
Na malim uzorcima ova statistika nije pouzdana ocjena spljoštenosti; kada se radi o velikim uzorcima i jedna i druga formula daju zadovoljavajuće rezultate. 107
Primjer 1. Na sljedećim podacima izračunati kurtosis: 1 3 4 5 6
1 3 4 5 6
2 3 4 5 6
2 4 4 5 6
2 4 4 5 6
3 4 4 5 6
3 4 4 5 7
3 4 5 5 7
3 4 5 5 7
3 4 5 6 8
4 2 6 6 7
4 2 8 4 5
8 6 8 8 7
7 6 8 6 2
5 2 8 5 6
3 2 4 5 5
2 3 5 6 4
2 4 5 4 1
2 4 5 7 1
1 5 2 7 6
4 4 5 3 5
4 4 6 3 5
4 4 2 3 5
4 4 5 3 6
4 4 5 5 4
4 4 3 5 3
4 4 8 5 5
4 4 3 5 6
4 4 3 5 7
4 4 3 5 8
Rješenje Na Slici 1. date su vrijednosti i sintakse funkcije KURT posredstvom koje smo izračunali odgovarajući kurtosis.
Slika 1. Prebrojavanja vrijednosti po ovim grupama podataka izvršili smo posredstvom funkcije FREQUENCY i iste grafički prikazali. Nije teško zapaziti da podaci u polju ćelija B1:K5 imaju normalni raspored (mezokurtik), u polju ćelija B7:K11 spljošteniji raspored od normalnog (platikurtik) a u polju ćelija M1:V5 izduženiji oblik u odnosu na normalni raspored (leptokurtik). 15
fm
10
fp
8
10
6 4
5
2 0
0 1
2
3
4
5
6
7
1
8
25
2
3
4
5
6
7
8
fl
20 15 10 5 0 1
2
3
4
5
6
7
8
108
LARGE Ova funkcija postavlja k- tu vrijednost po veličini u skupu podataka. Sintaksa LARGE( array ; k) Array je polje ili opseg podataka u kojem želimo odrediti k-tu vrijednost po veličini. K je k -ta vrijednost od najveće u polju ili opsegu ćelija s podacima. Napomene Ako je argument array prazan, LARGE postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je k 0 ili ako je k veći od broja podataka, LARGE postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je n broj podataka u opsegu, tada LARGE(array;1) postavlja najveću, a LARGE(array;n) najmanju vrijednost. Primjer 1. U argumentu array koji sadrži podatke postaviti 5-tu vrijednost po veličini počev od najveće. Rješenje Peta vrijednost po veličini u polju ćelija A1:O1, počevši od najveće, jeste vrijednost 7,1. Na slici 1. data je odgovarajuća sintaksa funkcije LARGE koja nam obezbjeđuje da u datom skupu vrijednosti pronađemo odgovarajuću, odnosno 5-tu vrijednost, u smjeru od najveće ka najmanjoj. Dakle, ako poredamo sve vrijednosti u argumentu array po veličini i počnemo ih prebrojavati od najveće prema najmanjoj 5- ta vrijednost će biti vrijednost 7,1.
Slika 1. Funkciju LARGE možemo iskoristiti da nam poreda date vrijednosti iz opsega podataka u smjeru od najveće do najmanje ili od najmanje do najveće vrijednosti. Vrijednosti za k ćemo postaviti u prvom slučaju od 1 do 15 koliko ima ukupno vrijednosti u argumentu array a u drugom slučaju od 15 do 1. Selektovanjem polja ćelija koje ima isti broj ćelija kao i argument array i selektovanjem za k ovako označenih vrijednosti korištenjem formule polja možemo u jednom potezu dobiti poredane vrijednosti. Pogledati sliku 2.
109
Slika 2. Primjer 2. Podatke na slici 3. srediti po veličini, u smjeru od najmanjeg prema najvećem, i označiti 12-tu vrijednost. Koristiti funkciju LARGE.
Slika 3. Rješenje Na slici 4. je pokazano kako se posredstvom funkcije LARGE dati podaci mogu urediti po veličini u smjeru od najmanjeg prema najvećem. Polje ćelija A11:J14 sadrži uređene podatke.
Slika 4. Dvanaesta vrijednost u skupu uređenih vrijednosti po veličini od najveće prema najmanjoj je vrijednost 15. Sintaksa, posredstvom koje smo uredili vrijednosti iz polja ćelija A1:J4, ima vitičaste zagrade koje ukazuju na formulu polja. Snaga funkcije LARGE ogleda se u tome što mi zapravo nemoramo podatke prvo urediti po veličini da bismo odredili neku poziciju jer to umjesto nas automatski radi Excelova ugrađena funkcija. Sintaksa, posredstvom koje određujemo vrijednost koja ima dvanaestu poziciju je: = LARGE(A1:J4 ; 12) = 15. 110
LINEST Posredstvom ove, izuzetno korisne funkcije, veoma jednostavno možemo izračunati statistiku regresijskog pravca u odnosu prema datim podacima, saglasno metodi najmanjih kvadrata. Koristimo je kod proste i višestruke regresije; kako postavlja polje vrijednosti ovu funkciju unosimo kao formulu polja, za čije aktiviranje je potrebno istovremeno pritisnuti tri tipke na tastaturi računara: Ctrl, Shift, i Enter. Sintaksa LINEST (known_y's ; known_x's ; const ; stats) Known_y's predstavlja polje poznatih y vrijednosti. Ako se polje known_y's sastoji od samo jedne kolone ili samo jednog reda tada se svaka kolona, odnosno svaki red known_x 's posmatra kao posebna varijabla. Known_x's je polje x vrijednosti koje može biti i izostavljeno. Polje known_x's može uključiti jednu ili više varijabli. Ako se koristi samo jedna varijabla, known_y's i known_x's mogu biti opsezi bilo kakvog oblika, sve dok imaju iste dimenzije. Ako se koristi više od jedne varijable, known_y's mora biti vektor (što znači, opseg visine jednog reda ili širine jedne kolone). Ako je known_x's izostavljen, pretpostavlja se da predstavlja polje {1; 2; 3; ...} koje je iste veličine kao i known_y's. Const je logička vrijednost kojom navodimo da li je konstanta b =0. Ako je const TRUE ili je izostavljen, b se računa normalno; ako je FALSE, b = 0. Stats je logička vrijednost koja navodi da li će biti postavljena dodatna regresijska statistika. Ako je stats TRUE, i kada imamo slučaj višestruke linearne regresije, funkcija LINEST postavlja dodatnu regresijsku statistiku prema sljedećem redoslijedu:
Ako je stat FALSE ili izostavljen, LINEST postavlja samo koeficijente m i konstantu b.
Mnoge pojave javljaju se pod uticajem više od jednog faktora. Posredstvom regresione analize pri proučavanju međusobnih relacija možemo ustanoviti dvije ili više nezavisnih promjenljivih. U takvim slučajevima imamo višedimenzionalne rasporede koje možemo aproksimirati višestrukim ili multiplim regresionim modelima. U statistici većina korištenih matematičkih formula za izražavanje linearnih relacija između jedne zavisne i dvije ili više nezavisnih varijabli su jednačine oblika:
y p mk x k mk 1 x k 1 ... m2 x 2 m1 x 1 b 111
Ovdje je y p varijabla koju želimo da prognoziramo ili predvidimo. Veličine x 1 , x 2 , …, x k predstavljaju nezavisne varijable a m 1 , m 2 , …, m k predstavljaju koeficijente, numeričke konstante koji se moraju matematički odrediti iz datih podataka. Naravno i kod višestruke regresije se pridržavamo kriterija najmanjih kvadrata koji se ogleda u minimalnoj vrijednosti izraza: n
y (m x i
k
mk 1 x (k 1)i ... m 2 x 2i m 1 x 1i b)
2
ki
i 1
u kojem
y i (mk x ki mk 1 x (k 1)i ... m 2 x 2i m 1 x 1i b) predstavlja razliku između y i vrijednosti i prognoziranih y p vrijednosti koje se dobijaju na temelju vrijednosti x ki ; … ; x 2i ; x 1i . Najednostavniji slučaj višestruke regresije imamo sa dvije varijable x 2 i x 1 . Jednačina tada dobija oblik: y p = m 2 x 2 +m 1 x 1 +b. Jasno je da ćemo u ovom modelu imati sistem normalnih jednačina n
m2
x
n
2i
m1
i 1
x
(x
2i
x 1i ) m1
x
n
2 1i
b
n
2 2i
m1
i 1
i
i 1
i 1
n
x
y
n
i 1
m2
nb
1i
i 1
n
m2
n
(x
1i
x 2i ) b
i 1
n
x x 1i
i 1
i 1
n
n
1i
x x 2i
i 1
yi
2i
yi
i 1
od tri jednačine, koje moramo riješiti, da bismo dobili vrijednosti koeficijenata m 2 , m 1 , i konstantu b . U ovom sistemu jednačina x ki ; … ; x 2i ; x 1i , y i , predstavljaju vrijednosti datih tačaka podataka a n odgovara broju podataka svake varijable. Uopšteni model koji bi imao m k varijabli x ,imao bi k+1 jednačina.
Ako je stats TRUE, i imamo slučaj proste linearne regresije, funkcija LINEST postavlja dodatnu regresijsku statistiku prema redoslijedu: Ako je stat FALSE ili izostavljen, LINEST tada postavlja samo koeficijent m i konstantu b.
Regresijski pravac y p = m 1 x + b = mx + b koji najbolje predstavlja tačke na dijagramu rasipanja, takođe je saglasan metodi najmanjih kvadrata; dakle, koristimo kriterij najmanjih kvadrata koji možemo iskazati kao minimalnu suma kvadrata vertikalnih rastojanja datih tačaka do regresijskog pravca y p = m*x +b: n
(m x b y ) i
i
2
L
i 1
Potreban uslov da gornji izraz dostigne minimum, možemo izraziti kao: 112
L 2 b
n
(m x b y ) 0
L 2 m
i
i
i 1
n
(m x b y ) x i
i
i
0
i 1
odakle se dobija sistem normalnih jednačina n
m
n
x nb y i
i 1
n
m
i
i 1
m
xi yi (
i 1
i 1
n
x
n
i
2
i 1
(
n
x x y i
i
i 1
i
i 1
n
n
n
b
i 1
iz kojeg izračunavamo parametre m i b:
n
x
n
2 i
xi) (
y ) i
i 1
n
x ) i
b y m x
;
2
i 1
koji odgovaraju ugrađenim Excelovim funkcijama SLOPE i INTERCEPT. Statistike se b i se 1 odgovaraju vrijednostima standardne greške za konstantu b (se b = #N/A kada je const FALSE) i standardne greške za koeficijent m 1 (m), respektivno. Njihove vrijednosti odgovaraju izrazima: n
se
b
(y m x b) i i 1 i n2
2
n
2
1 x ( n ) n (x x)2 i
se 1
i 1
(y m x b) i 1 i 1 i n 2 n2 (x i x) i 1
2
Statistika r2 označava koeficijent determinacije kojim upoređujemo procijenjene y p i stvarne vrijednosti y i , i poprima vrijednost u intervalu od 0 do 1. Ovaj koeficijent možemo izraziti u n n obliku: 1 2 ( x i y i x y)2 (y p y) n i 1 ss reg r 2 in1 n n ss resid ss reg 1 1 2 2 2 2 yi2 y ) (y i y) ( xi x )( n i 1 n i 1 i 1
Statistika se y odgovara standardnoj greški regresije; može se izraziti u obliku: n
se y
(y m x b) i i 1 i n2
2
F statistiku možemo koristiti kako bi odredili da li se posmatrani odnosi između zavisne i nezavisnih varijabli događaju slučajno; vrijednost ove statistike odgovara izrazu: ss reg F
1 ss resid
n 2 Stepene slobode (df) koristimo za računanje kritičnih vrijednosti za F raspodjelu. Regresijski zbir kvadrata (ss reg ) i rezidualni zbir kvadrata (ss resid ) odgovaraju izrazima: n
n
ss reg
(y i 1
p
y)
2
ss resid
(y y ) i
p
2
i 1
113
Primjer 1. Na osnovu datih podataka treba naći funkciju ukupnih troškova proizvodnje kompanije A: Rješenje Iz datih podataka vidimo da ukupni troškovi rastu približno srazmjerno sa porastom proizvodnje. To znači da serija x i serija y imaju tendenciju stalnog porasta. U ovom slučaju možemo konstruisati pravu liniju, koja će biti funkcija ukupnih troškova, i ta prava prikazaće nam prosječan odnos između obima proizvodnje x i ukupnih troškova y. Opšti oblik funkcije ukupnih troškova će biti: y = m*x+b. Nepoznati parametri m i b, tradicionalno se izračunavaju iz sistema normalnih jednačina: n
b n m
i 1
yi
i 1
b
n
n
n
n
xi
xi m
i 1
i 1
x i2
x y i
i
i 1
odnosno odgovaraju rješenju sljedeće matrične jednačine: n
n b m n xi i 1
i 1 n
i 1
xi x i2
1
n
yi i 1 n xi yi i 1
1
24,5 10750 480,7142857 b 7 m 24,5 92,75 39735 301,4285714
Na slici 1. pokazano je, kako se posredstvom funkcije LINEST računaju parametri m i b: Prije pozivanja funkcije, potrebno je selektovati dvije ćelije (D2, i E2 na slici 1.).
2500 2000 1500 1000 500 0 1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
Slika 1. Zahvaljujući ovoj izuzetno korisnoj funkciji, mi izbjegavamo gornji račun, a koji je spomenut samo radi demonstriranja raspoložive snage funkcije LINEST. Dakle, funkcija ukupnih troškova proizvodnje ovog artikla je: y = 301,4286*x + 480,7143. U Excelu postoji još nekoliko ugrađenih funkcija posredstvom kojih možemo izračunati koeficijent pravca m ( funkcija SLOPE) i slobodan član b ( funkcija INTERCEPT). 114
Primjer 2. Ispitivana je veza između proizvodnog učinka radnika istih kvalifikacija, na istim radnim mjestima, sa dužinama proizvodnog iskustva na tim radnim mjestima. Nakon izvršenog grupisanja dobijeni su sljedeći podaci: Navršena godina proizvodnog iskustva 2 4 6 8 10
Nacrtati dijagram raspršenja i postaviti dodatnu regresijsku statistiku pravca posredstvom funkcije LINEST. Dobijene rezultate u dodatnoj regresijskoj statistici povezati sa odgovarajućim izrazima.
Proizvodni učinak u jedinicama proizvoda, za 8 sati rada 27 30 28 32 33
Rješenje
Dijagram raspršenja, dat je na slici 2. y
x
y
x
Slika 2. Dodatnu regresijsku statistiku postavljamo pomoću funkcije LINEST, kao na slici 3.
Slika 3. Prvo smo selektovali ćelije A8:B12 i onda pozvali funkciju LINEST, koju smo aktivirali kao formulu polja istovremenim pritiskom na tri tipke tastature računara: Ctrl, Shift, i Enter. Na slici 3. prikazan je regresijski pravac (koji smo dodali uključenjem opcije prikaza jednačine pravca) i sintaksa funkcije LINEST. U prvom redu izlazne tablice u ćeliji A8, vrijednost 0,7 odgovara koeficijentu regresijskog
115
pravca m. Vrijednost u ćeliji B8 odgovara slobodnom članu b. Odgovarajući izrazi, glase: 5
5
5
x y ( x ) ( y )
5
i
i 1
m
i
i
i 1
5
x
5
i
2
(
i 1
i
i 1
5
x ) i
0,7 ;
b y 0,7 x 25,8
2
i 1
Vrijednosti u ćelijama A9 i B9 odgovaraju standardnim greškama koeficijenta pravca i slobodnog člana, odnosno izrazima: 5
se 1
(y 0,7 x 25,8) i 1 i 1 i n 2 3 (x i x) i 1
5
2 0,23 ; se
b
(y 0,7 x 25,8) i i 1 i
2
2
(
3
1 x ) 1,53 n 5 (x x)2 i i 1
Ćelije A10 i B10 sadrže vrijednosti koeficijenta determinacije i standardne greške regresije. Odgovarajući izrazi su:
r2
1 ( 5 1 ( 5
5
x i 1
i
2
5
x y x y) i
i
i 1
1 2 x )( 5
5
2
y
se y
0,7538 ;
5
i
2
(y 0,7 x 25,8) i i 1 i
2
3
2
y )
1,461
i 1
Vrijednosti u ćelijama A11 i B11 odgovaraju F vrijednosti i broju stepeni slobode df = n-2=3. Izraz za F vrijednost, glasi: ss reg 19,6 F 1 9,1875 ss resid 6,4 3 n 2 Regresijski zbir kvadrata (ss reg ) i rezidualni zbir kvadrata (ss resid ) odgovaraju izrazima: 5
5
ss reg
(y
p
2
y) 19,6
ss resid
(y y ) i
p
2
6,4
i 1
i 1
i nalaze se u ćelijama A12 i B12. Na slici 4. prikazan je prozor funkcije LINEST sa uključenom dodatnom statistikom.
Slika 4. 116
Primjer 3. Jedan kolekcionar starih satova zna da njihova cijena linearno raste sa njihovom starošću. Osim toga on pretpostavlja da aukciona cijena ovih satova će linearno rasti sa porastom broja ponuda. Uzorak od 32 aukcione cijene, godine starosti satova i broj ponuda, dati su na slici 5. Starost satova u godinama, x 1
Broj Aukciona Starost satova Broj ponuda, x 2 cijena u $, y u godinama, x 1 ponuda, x 2
127 115 127 150 156 182 156 132 137 113 137 117 137 153 117 126
13 12 7 9 6 11 12 10 9 9 15 11 8 6 13 10
1235 1080 845 1522 1047 1979 1822 1253 1297 946 1713 1024 1147 1092 1152 1336
170 182 162 184 143 159 108 175 108 179 111 187 111 115 194 168
Aukciona cijena u $, y
14 8 11 10 6 9 14 8 6 9 15 8 7 7 5 7
2131 1550 1884 2041 845 1483 1055 1545 729 1792 1175 1593 785 744 1356 1262
Slika 5. Izračunati na tradicionalan način i posredstvom ugrađene funkcije LINEST koeficijente b, m 1 , i m 2 u regresionoj jednačini: y p = m 2 *x 2 + m 1 x 1 + b. Rješenje Našem primjeru, odgovara sistem normalnih jednačina 32
32
m2
x 2i m1
i 1
x
2i
x 1i m1
x
32
2 1i
b
i 1
x 22i m1
i 1
32
x x 1i
i 1
32
32
i
i1
32
i 1
m2
y
i 1
32
m2
32
x 1i 32b
32
x 1i x 2i b
i 1
1i
yi
i 1
32
x 2i
i 1
x
2i
yi
i 1
čijim rješavanjem, dobijamo: 32
m1
32
( x 2i x 2 )2
i1
32
( x 1i x 1 ) ( y i y)
i 1
i1
32
(x
32
1i
2
x 1)
i1
32
m2
(x i 1
i 1
1i
x 1)
(x
2i
x 2 ) ( y i y) 32
b y m1 x 1 m2 x 2 .
1i
2
x 1)
i 1
2i
i 1
( x 1i x 1 ) ( x 2 i x 2 )
(x
1i
( x 2i x 2 ) 2
x 2 ) ( y i y)
2
32
x 1 ) (x 2i x 2 )
i 1
32
i 1
32
32
i 1
(x
(x i1
( x 2i x 2 )2
32
2
32
( x 1i x 1 ) ( x 2 i x 2 )
(x
1i
i 1
32
(x
1i
x 1 ) (x 2i
i 1
x 2 )
x 1 ) ( y i y)
2
Prema podacima na slici 5. računamo: 117
x1
1 32
32
x 1i 144,9375
i 1
32
( x 1i x 1 )2 23265,875
i 1 32
(x i 1
x2
1 32
32
(x
2i
32
x 2i 9,53125
i 1
x 1 ) ( y i y) 243822,75
1 32
32
y 1326,875 i
i1
x 2 )2 249,96875
i 1
32
32
1i
y
( x
1i
x 1) ( x 2i x 2 ) 611,9375
i1
m1
249,96875 243822,75 611,9375 13689,125 12,7405741 23265,875 249,96875 ( 611,9375) 2
m2
23265,875 13689,125 611,9375 243822,75 85,9529844 23265,875 249,96875 ( 611,9375) 2
(x
2i
x 2 ) (y i y) 13689,125
i 1
b 1326,875 12,7405741 144,9375 85,9529844 9,53125 1338,9513.
Sada ćemo pokazati kako se do ovih vrijednosti dolazi posredstvom ugrađene funkcije LINEST. Pretpostavimo da se podaci za x 1 nalaze u polju ćelija A2:A33, za x 2 u polju ćelija B2:B33, i za y, u polju ćelija C2:C33. Potrebno je samo selektovati tri prazne ćelije ( na slici 6. selektovane su ćelije F1, G1, i H1) za smještaj rezultata koji odgovaraju vrijednostima koeficijenata m 2 , m 1 , i b.
Slika 6. Dakle, regresiona jednačina u našem primjeru glasi: y p = 85,953*x 2 +12,7406*x 1 -1338,9513. Iz ove jednačine možemo zaključiti da svaka godina starosti povećava cijenu sata za 12,74$, a svaka nova ponuda za 85,95$. Naravno, upisivanjem logičke vrijednosti TRUE u argument stats, mogli smo odrediti i dodatnu regresijsku statistiku koja odgovara podacima na slici 5. Vrijednost za y, pomoću poznatih parova x 1 i x 2 , možemo predvidjeti posredstvom ugrađene funkcije TREND. Naprimjer za x 1 = 200 i x 2 = 20, prognozirana vrijednost za y je: a za x 1 = 205 i x 2 = 19, prognozirana vrijednost je:
118
Primjer 4. Menadžer za prodaju u jednoj kompaniji je odabrao uzorak od 10 prodavaca. Snimio je broj jedinica koje su oni prodali prošli mjesec, broj poziva koji su pri tome napravili, i broj različitih prodatih proizvoda. Na slici 7. broj prodatih jedinica je označen kao zavisna varijabla y, a broj poziva i broj različitih prodatih proizvoda kao nezavisne varijable x1 i x2. Odrediti regresionu jednačinu i dodatnu regresijsku statistiku. Slika 7. Rješenje Na osnovu podataka na slici 7. možemo izračunati:
y 28
x1 14
x2 x1 -x1 x2 -x2 y -y (x1 -x1)*(x2 -x2) (x1 -x1)*(y -y) (x2-x2)*(y -y) (x1 -x1)2 (x2 -x2)2 2 -5,9 -1,5 -12,8 8,85 75,52 19,2 34,81 2,25
2
66
35
5
15,1
1,5
25,2
22,65
380,52
37,8
228,01
3
38
22
4
2,1
0,5
-2,8
1,05
-5,88
-1,4
4,41
0,25
4
70
29
4
9,1
0,5
29,2
4,55
265,72
14,6
82,81
0,25
Pr. 1
2,25
5
22
6
3
-13,9
-0,5
-18,8
6,95
261,32
9,4
193,21
0,25
6
27
15
3
-4,9
-0,5
-13,8
2,45
67,62
6,9
24,01
0,25
7
28
17
3
-2,9
-0,5
-12,8
1,45
37,12
6,4
8,41
0,25
8
47
20
4
0,1
0,5
6,2
0,05
0,62
3,1
0,01
0,25
9
14
12
2
-7,9
-1,5
-26,8
11,85
211,72
40,2
62,41
2,25
10
68
29
5
9,1
1,5
27,2
13,65
247,52
40,8
82,81
2,25
408 199 35
73,5
1541,8
177
720,9
10,5
Uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti u izraze za m1 , m2, i b, dobijamo: 10
m1
10
i1
( x 1i x 1 ) ( y i y)
i 1
10
1i
2
x 1)
i 1
m1
i 1
2i
x 2 ) ( y i y)
i 1
( x 2i x 2 ) 2
(x i1
10
1i
2
x 1)
(x
10
i 1
( x 1i x 1 ) ( x 2 i x 2 )
10
2i
x 2 ) ( y i y)
i1
2
(x
10
1i
(x
10
1i
x 1 ) (x 2i x 2 )
i 1
10
i 1
m2
(x
10,5 1541,8 73,5 177 1,467054264 720,9 10,5 73,5 2 10
m2
( x 1i x 1 ) ( x 2 i x 2 )
i 1
10
(x
10
10
( x 2i x 2 ) 2
2
x 1)
i 1
720,9 177 73,5 1541,8 6,587763012 720,9 10,5 73,5 2
1i
i 1
( x 2i x 2 ) 2
(x
10
(x i 1
1i
x 1 ) (x 2i
x 2 )
x 1 ) ( y i y)
2
b y m1 x 1 m2 x 2 40,8 1,467054264 * 19,9 6,587763012 * 3,5 11,45155039
119
Zahvaljujući ugrađenoj funkciji LINEST sav ovaj račun preskačemo jer ga negdje u pozadini umjesto nas uradi ova izuzetno korisna funkcija. Dovoljno je samo selektovati tri prazne ćelije ako želimo izračunati koeficijente, ili 3x5 polje ćelija (slika 8.) ako želimo izračunati i dodatnu statistiku i pozvati LINEST u pomoć; nakon upisa argumenata potrebno je aktivirati formulu polja istovremenim pritiskom na tri tipke tastature računara: Ctrl, Shift, i Enter.
Slika 8. U ovom primjeru imamo n = 10 opažanja (10 prodavaca). Ukupan broj stepeni slobode je n -1 = 10-1 = 9. Broj stepeni slobode df u našoj izlaznoj tablici jednak je: n-(k+1) = n-(2+1) = 10-3 = 7, jer imamo dvije nezavisne varijable (k = 2). Prepoznajemo, u prvom redu se nalaze koeficijenti b (ćelija H1), m1 (ćelija G1), i m2 (ćelija F1). Ocjena standardne greške sey , odgovara vrijednosti izraza:
n
se y
i 1
y (m x m x b) i 2 2i 1 1i
2
10
2
i 1
y (m x m x b) i 2 2i 1 1i
7,889067
7 Do ove vrijednosti možemo doći i posredstvom gotove Excelove funkcije STEYX prema sljedećoj sintaksi: nk 1
Dakle, potrebno je izvršiti jednu korekciju sa kvadratnim korijenom količnika (n-2)/(n-k-1). Ukupna suma kvadrata devijacija y vrijednosti od njihove aritmetičke sredine je: 10
(y y) i
2
3863,6 DEVSQ(B3 : B12)
i 1
i jednaka je zbiru suma kvadrata devijacija ssreg i ssresid(= sstotal-ssreg) u našoj izlaznoj tablici. Sume kvadrata devijacija ssreg i ssresid odgovaraju izrazima: 10
ss reg
n
(y p y) 3427,938 DEVSQ(TREND(B3 : B12; C3 : D12)) ; ss resid 2
(y y ) i
p
2
435,6617
i 1
i 1
Kvadrat multiple korelacije odgovara vrijednosti izraza: 10
R2 1
10
(y i y p ) 2
i1 10
(y
p
y) 2
i 1 10
(y y) (y y) i
i 1
2
i
2
ss reg ss resid ss reg
3427,938 3427,938 0,887239 3427,938 435,6617 3863,6
i 1
120
Vrijednost za F statistiku odgovara izrazu: ss reg
3427,938 2 k 27,53922 F ss resid 435,6617 7 n (k 1)
i možemo je koristiti kako bi odredili da li se posmatrani odnosi između zavisne i nezavisnih varijabli događaju slučajno. Standardne greške konstante b, i koeficijenata m1 i m2 , izračunavamo kao na slici 9.
X X T
1
XT
se y
X X T
1
Slika 9. Izlazna tablica u Excelu, dobijena posredstvom alata za analizu podataka Regression, prema podacima u našem primjeru, data je na slici 10.
Slika 10. Multipli koeficijent determinacije R Square je mjera proporcije ukupne varijacije koja je objašnjena regresionom jednačinom. Pozitivni kvadratni korijen iz multiplog koeficijenta determinacije zovemo multipli korelacioni koeficijent i u izlaznoj tablici odgovara oznaci Multiple R. Nepristrasna ocjena multiplog koeficijenta determinacije populacije Adjusted R Square odgovara izrazu: 10
(y y ) /(n k 1) 435,76617 SS 1 1 Adjusted R Square 1 3863,6 SS (y y) /(n 1) 9 i
i 1
p
2
Re sidual
10
i
2
Total
/ df Re sidual / df Total
0,855022143
i1
121
Analiza varijanse (ANOVA) se koristi u svrhu sveobuhvatnog testiranja statističke značajnosti regresione jednačine. Ovdje testiramo da li su svi pravi regresioni koeficijenti u jednačini jednaki nuli. Ako je nulta hipoteza istinita (da su svi pravi regresioni koeficijenti jednaki nuli), tada odnos: n
F
(y n
p
ss reg
y) 2 / k
i 1
(y y ) i
p
2
/(n k 1)
i 1
k ss resid nk 1
ima F raspodjelu sa k i (n-k-1) stepeni slobode. Ako ovaj odnos premašuje kritičnu vrijednost F , gdje je željeni nivo značajnosti, tada nultu hipotezu odbacujemo. Ako nije tako, onda nultu hipotezu treba prihvatiti. U našem primjeru željeni nivo značajnosti = 5%. Krajnja izlazna tablica sadrži vrijednosti regresionih koeficijenata i odgovarajuće im standardne greške. Može se dokazati da statistika: t Stat i
Coefficients i M i , i Intercept, x 1 , x 2 ,... S tan dard Errori
ima Studentovu t raspodjelu sa df = n - k - 1 stepeni slobode, gdje je n broj opažanja, odnosno broj podataka a k broj nezavisnih varijabli. Mi su teoretski koeficijenti za xi. Razmatramo sljedeće hipoteze: Ho: Mi=0 , H1: Mi 0. Ako prihvatimo nultu hipotezu Ho mi zaključujemo da je Mi=0, i xi možemo isključiti iz regresione jednačine. Ako prihvatimo alternativnu hipotezu H1, mi zaključujemo da je Mi 0 i da je odgovarajuća varijabla xi značajna za objašnjenje zavisne varijable u dobijenoj regresionoj jednačini. U našem primjeru, na nivou značajnosti = 5%, kritičnu vrijednost 2,36 možemo izračunati prema sintaksi: =TINV(5%;7). Odnosi u koloni t Stat imaju n-k-1=7 stepeni slobode. Na slici 11. je prikazana ova Studentova t raspodjela. t Stat Intercept
11,45155039 1,240530349 9,231173101
1,467054264 2,671624157 0,549124494 6,587763012 1,447852393 4,550023915
t Stat x 1 t Stat x 2
2,5%
2,5%
U koloni P-value imamo odgovarajuće vjerovatnoće, koje upoređujemo sa nivoom = 5%, tako da odmah možemo zaključiti da li je određena varijabla značajna u objašnjavanju zavisne varijable u regresionoj jednačini.
Slika 11. Mi zaključujemo na nivou značajnosti = 5% da x1 (broj poziva) može biti uključen kao značajna varijabla u objašnjenju zavisne varijable y (broj prodatih jedinica). Ovaj zaključak možemo donijeti odmah na osnovu vrojednosti 0,03192 u koloni P-value, jer je jedino ova vrijednost manja od nivoa značajnosti . Kolone Lower 95% i Upper 95% sadrže donju i gornju granicu intervala povjerenja pojedinih koeficijenata. Primjera radi, granice intervala za koeficijent m1 uz x1, određujemo kao: Granice intervala određujemo, kao:
Coefficientsi t/2*Standard Errori 122
U nastavku su prikazani rezultati regresione analize na podacima u našem primjeru, u nekoliko softverskih paketa. Minitab 12.1. Regression Analysis The regression equation is Y = - 11,5 + 1,47 X1 + 6,59 X2 Predictor Constant X1 X2
Coef -11,452 1,4671 6,588
S = 7,889
StDev 9,231 0,5491 4,550
R-Sq = 88,7%
T -1,24 2,67 1,45
P 0,255 0,032 0,191
R-Sq(adj) = 85,5%
Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total
DF 2 7 9
SS 3427,9 435,7 3863,6
MS 1714,0 62,2
F 27,54
P 0,000
SPSS 10. b
Variables Entered/Removed Model 1
Variables Entered X2, X1 a
Variables Removed
,
Method Enter
a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: Y Model Summary Change Statistics Model 1
R R Square ,942a ,887
Adjusted R Square ,855
Std. Error of the Estimate 7,8891
R Square Change ,887
F Change 27,539
df1
2
df2
7
Sig. F Change ,000
a. Predictors: (Constant), X2, X1
ANOVA b Model 1
Regression Residual Total
Sum of Squares 3427,94
df
2
Mean Square 1713,969
435,662
7
62,237
3863,60
9
F 27,539
Sig. ,000a
a. Predictors: (Constant), X2, X1 b. Dependent Variable: Y Coefficients
Model 1
Unstandardized Coefficients
(Constant) X1 X2
B -11,452 1,467 6,588
Std. Error 9,231 ,549
4,550
Standardi zed Coefficie nts Beta
,634 ,343
a
t -1,241
Sig. ,255
2,672
,032
1,448
,191
95% Confidence Interval for B
Lower Bound -33,280 ,169
-4,171
Upper Bound 10,377 2,766
17,347
a. Dependent Variable: Y
123
NCSS 97 Dependent
y
Regression Equation Section Independent Regression Variable Coefficient Intercept -11,45155 x1 1,467054 x2 6,587763 R-Squared 0,887239
Standard Error 9,231174 0,5491245 4,550024
T-Value (Ho: B=0) -1,2405 2,6716 1,4479
Regression Coefficient Section Independent Regression Variable Coefficient Intercept -11,45155 x1 1,467054 x2 6,587763 T-Critical 2,364624
Standard Error 9,231174 0,5491245 4,550024
Lower 95,0% C.L. -33,27981 0,1685812 -4,171334
Prob Level 0,254743 0,031924 0,190920
Decision (5,0%) Accept Ho Reject Ho Accept Ho
Upper 95,0% C.L. 10,37671 2,765527 17,34686
Power (5,0%) 0,189593 0,632147 0,240906
Standardized Coefficient 0,0000 0,6337 0,3434
Analysis of Variance Section Sum of Squares 16646,4 3427,938 435,6617 3863,6
Mean Square 16646,4 1713,969 62,23738 429,2889
Root Mean Square Error Mean of Dependent Coefficient of Variation Sum |Press Residuals|
7,889067 40,8 0,1933595 90,57936
R-Squared Adj R-Squared Press Value Press R-Squared
0,8872 0,8550 1002,279 0,7406
Normality Tests Section Assumption Skewness Kurtosis Omnibus
Value 0,5854 -0,5546 0,6502
Probability 0,558306 0,579169 0,722446
Decision(5%) Accepted Accepted Accepted
Source Intercept Model Error Total(Adjusted)
DF 1 2 7 9
F-Ratio
Prob Level
Power (5,0%)
27,5392
0,000481
0,966421
STATISTICA 5.0
124
Primjer 5. Poznato je da u uslovima ustaljenog i ravnomjernog tečenja vode u otvorenim tokovima, proticaj vode Q predstavlja funkciju vodostaja (dubine), h. Ova veza određena na osnovu mjerenja proticaja i vodostaja u prirodi ima presudan uticaj na procjenu količina voda na određenom mjernom profilu i u hidrološkoj praksi se naziva kriva proticaja. Jedan od često korištenih matematičkih oblika kojim se izražava proticaj Q u funkciji vodostaja h je: Q p b (h h 0 )m
gdje su m i b parametri modela a h o vodostaj pri kojem nema tečenja, to jest proticaj Q jednak je nuli. U našem primjeru uzet ćemo h 0 = 9 cm. Na osnovu pretpostavljenih podataka o proticaju i vodostaju rijeke "A"(odnose se na parove (h,Q) u različitim vremenskim trenucima) na određenoj vodomjernoj stanici, posredstvom funkcije LINEST, odrediti parametre m i b. Rješenje Vodostaj Proticaj m Postupkom logaritmovanja izraza: Q p b (h 9) 3 h (cm) Q (m /s) dobijamo njegovu linearnu formu: log 10 Q p log 10 b m log 10 (h 9) 18 0,02 koji nas upućuje na koji način treba upisati argumente funkcije, kao i 20 0,08 na formu izlaznih rezultata. Sasvim je očito da se oba argumenta, 38 0,62 odnosno podaci i o proticaju i o vodostaju, moraju unijeti u 45 1,43 logaritamskom obliku, kao i to da će izlazni rezultati koje postavlja 54 1,86 funkcija LINEST, odgovarati parametrima: m, i log 10 b. 67 4,23 U našem modelu, parametri m i b imaju vrijednosti: m = 2,616898 i 55 2,08 b = 0,000099399. Dakle, proticaj Q u funkciji vodostaja h odgovara 62 3,26 formuli: Q p 0,000099399 (h 9)2,616898 56 2,41 Odgovarajući sistem normalnih jednačina, glasi: 75 6,5 61
3,06
70
5
76
6,43
143
31,5
118
19,9
15
15 log10b m
15
log10 (hi 9)
i 1
log
10
15
10
i
i 1
15
log 10 b
log Q
(h i 9) m
i 1
log
(h i 9) 2
10
i 1
15
log
10
(h i 9) log 10 Q i
i1
Rješenje ovog sistema odgovara vrijednostima m i log 10 b: log 10 b m
log 10 (hi 9) i1 15 2 log 10 (hi 9) i1 15
15 15
log i 1
10
(hi 9)
1
i 1 log 10 (hi 9) log 10 Q i 15
log
15
i1
10
Qi
log 10 b - 4,00262 m 2,616898
Kako je: log10b -4,00262 b 10 0,000099399 . Do odgovarajućeg rješenja, posredstvom funkcije LINEST, dolazimo u nekoliko poteza. Zapravo, potrebno je selektovati dvije prazne ćelije i pravilno unijeti argumente funkcije LINEST, i imati na umu da rezultati odgovaraju logaritmu parametra b i parametru m. Iz logaritamske vrijednosti izračunavamo vrijednost za parametar b. -4,00262
125
Posredtvom sintakse:
{=LINEST(LOG10(B2:B16);LOG10(A2:A16-9);;1)} možemo odrediti i dodatnu regresijsku statistiku:
m
2,616898 -4,00262 0,071875 0,12082 0,990288 0,084357 1325,616 13 9,433118 0,092508
log 10 b se log b
se m
se log
r2 F se reg
df 13
df 15 2 13
10
10 Q
df se resid
Dobijeni rezultati odgovaraju sljedećim izrazima, odnosno sintaksama: 15
15
15
log 10 (h i 9) log 10 Q i
i 1
m
15
log 10 (h i 9)
i1
15
15
i 1
log 10 (hi 9)2
15
i 1
se
m
10
i 1 2
log 10 (h i - 9)
15
1 15 2
log
(log Q log Q ) 10 i 10 pi i 1
Qi ; log 10 b log 10 Q i m log 10 (hi 9)
logaritamska transformacija
2
2 log (hi 9) log 10 (hi 9) i 1 10 15
0,071875
{=SQRT( DEVSQ( LOG10(B2:B16)-TREND( LOG10(B2:B16) ; LOG10(A2:A16 - 9))) / DEVSQ(LOG10(A2:A16-9))/13)} 15
se
(log Q log Q ) 10 i 10 pi i 1
b
2
2 1 log (h 9) 10 i 15 15 log (h 9) log (h 9) 10 i 10 i i1
13
0,12082 2
0,12082={=SQRT(DEVSQ(LOG10(B2:B16)-TREND(LOG10(B2:B16);LOG10(A2:A169)))/13*(1/15+AVERAGE(LOG10(A2:A16-9))^2/DEVSQ(LOG10(A2:A16-9))))} 15
r2
(log
10
Q pi log 10 Q i ) 2
i1 15
(log
10
Q i log 10 Q i ) 2
ss reg ss resid ss reg
9,433118 0,990288 9,525626
r 0,990288 0,995132
imamo visoku krivolinijsku povezanost između h i Q
i1
0,990288 =RSQ(LOG10(B2:B16);LOG10(A2:A16-9)) 15
se y
(log Q log Q ) 10 i 10 pi i 1 15 2
2 0,084357
0,084357 =STEYX(LOG10(B2:B16);TREND(LOG10(B2:B16);LOG10(A2:A16-9))) 0,084357 =STEYX(LOG10(B2:B16);LOG10(A2:A16-9)) 126
15
(log
ss resid
10
Q i log 10 Q pi )2 0,092508
i 1
0,092508={=DEVSQ(LOG10(B2:B16)-TREND(LOG10(B2:B16);LOG10(A2:A16-9)))} 15
ss reg
(log i 1
10
Q pi log 10 Q i )2 9,433118
9,433118=DEVSQ(TREND(LOG10(B2:B16);LOG10(A2:A16-9)))
15
ss total
(log 10 Q i log 10 Q i )2 9,525626
i 1
2,616898
-4,00262
0,071875
0,12082
0,990288 0,084357 1325,616
9,525626={=DEVSQ(LOG10(B2:B16))}
13
9,433118 0,092508
ss reg
F
1 9,433118 13 1325,616 ss resid 0,092508 15 2
Primjer 6. Poznato je da u uslovima ustaljenog i ravnomjernog tečenja vode u otvorenim tokovima, proticaj vode Q predstavlja funkciju vodostaja (dubine), h. Ova veza određena na osnovu mjerenja proticaja i vodostaja u prirodi ima presudan uticaj na procjenu količina voda na određenom mjernom profilu i u hidrološkoj praksi se naziva kriva proticaja. Takođe, jedan od često korištenih matematičkih oblika kojim se izražava proticaj Q u funkciji vodostaja h je polinom drugog stepena: Q p m2 h 2 m1 h b
gdje su m 2 , m 1 i b parametri modela. Na osnovu pretpostavljenih podataka o proticaju i vodostaju rijeke "A"(odnose se na parove (h,Q) u različitim vremenskim trenucima) na određenoj vodomjernoj stanici, posredstvom funkcije LINEST, odrediti parametre m 2 , m 1 i b. Rješenje Vodostaj Proticaj Q p 0,00216 h 2 0,0958 h 1,05435 h (cm) Q (m /s) 3
18
0,02
20
0,08
38
0,62
45
1,43
54
1,86
67
4,23
55
2,08
62
3,26
56
2,41
75
6,5
61
3,06
70
5
76
6,43
143
31,5
118
19,9
127
Primjer 7. Gotovo neizbježan ulazni podatak kod analize i projektovanja niza hidrotehničkih objekata, a specijalno projektovanja sistema za odvodnju kišnih voda sa urbanih prostora i saobraćajnica su podaci o visinama i vjerovatnoćama javljanja kiša. Oblici tih podataka mogu biti vrlo različiti, iako je možda u inženjerskoj praksi danas najrašireniji oblik da se kiše prikazuju u obliku familija krivih, intenzitet kiše - trajanje kiše - povratni period javljanja (vjerovatnoća javljanja), koje se skraćeno nazivaju ITP krive. Kod određivanja analitičkih izraza za ITP krive postupak je takav da se za izabrane povratne periode nalazi analitički odnos između intenziteta kiše i trajanja kiše odvojeno za svaki povratni period, ili se analitički izrazi za ITP krive određuju ne samo za jedan povratni period T nego za sve povratne periode obuhvaćene analizom. U tom slučaju najčešće se koristi sljedeći izraz: T m1 i p b m2 t gdje su: T - povratni period javljanja kiše, t - trajanje kiše, a b, m 1 , i m 2 parametri modela. Na osnovu podataka o intenzitetima, trajanju i povratnim periodima javljanja kiša za kišomjernu stanicu "S", potrebno je odrediti parametre b, m 1 , i m 2 za dati model. i T t i (l/s/ha) (godina) (minuta) 158 2 10 192
T
t
i
T
t
i
T
t
i
T
t
10
20
280
100
30
82
5
50
139
50
60
186
3
10
232
20
20
65
2
40
104
10
50
163
100
60
218
5
10
291
50
20
79
3
40
128
20
50
265
10
10
340
100
20
97
5
40
158
50
50
308
20
10
78
2
30
124
10
40
192
100
50
365
50
10
96
3
30
152
20
40
47
2
60
420
100
10
118
5
30
194
50
40
58
3
60
103
2
20
150
10
30
228
100
40
69
5
60
126
3
20
185
20
30
55
2
50
88
10
60
154
5
20
240
50
30
67
3
50
111
20
60
Rješenje Gornji izraz ćemo logaritamskom transformacijom, linearizirati: ln i p ln b m 1 ln T m 2 ln t
odnosno, pripremiti za rad sa gotovom Excelovom funkcijom LINEST koja će nam za uzvrat samo u nekoliko poteza omogućiti da saznamo vrijednosti parametara b, m 1 , i m 2 . Dakle, u izlaznim rezultatima imaćemo vrijednosti za: -m 2 , m 1 , i ln(b). Posredstvom funkcije LINEST ( kao na slici 12.), izračunavamo:
m 2 =0,6 m 1 =0,3 b = EXP(G2) b=521,2215 T (u godinama) t (u minitama)
i p 521,2215
Slika 12.
T 0 ,3 t 0 ,6
128
Primjer 8. Sljedeća tabela sadrži podatke o obimu prometa u 000 komada jednog prehrambenog artikla, veličini poslovnog prostora u 00 m2 i udaljenost od centra grada u km, u slučajnom uzorku od 7 prodavnica. Obim Poslovni Udaljenost prometa prostor od centra y x2 x1 120 150 180 30 75 60 75
4,2 4,2 5 3 3 3,2 3,4
2 1,5 2,5 1,5 0,5 1,5 1
a) Ocijeniti parametre odgovarajućeg regresionog modela b) Ocijeniti prosječan obim prometa za prodavnicu sa poslovnim prostorom od 470 m2, koja je udaljena 2,5 km od centra. Formirajte 95% interval povjerenja za prosječan promet ako je se y p 6,91534 . c) Ocijeniti koeficijente višestruke linearne korelacije i determinacije, i izračunajte korigovani koeficijent višestruke determinacije
Rješenje Pretpostavimo da se podaci iz tabele nalaze u polju ćelija kao na slici 13. Na istoj slici, u selektovanom polju ćelija formata 3x5, prikazani su i rezultati postavljeni posredstvom gotove Excelove funkcije LINEST.
m2 m1 se 2
se 1
b se b
r2 se y #N/A F df #N/A ss reg ss resid #N/A
Dio izlaznih rezultata koje postavlja alat za analizu podataka Regression: Multiple R
0,989614359
R Square
0,979336579
Adjusted R Square
0,969004869
Standard Error
9,381046437
Observations
7
Slika 13. a) Ocijenu parametara regresionog modela imamo u ćelijama E1, F1, i G1. Dakle, odgovarajuća regresiona jednačina, glasi: y p = - 37,2581*x 2 + 91,93548*x 1 - 187,016. b) Prosječan obim prometa za prodavnicu sa poslovnim prostorom od 470 m2, koja je udaljena 2,5 km od centra grada možemo ocijeniti posredstvom funkcije TREND: 151,9355 = TREND( A2:A8 ; B2:C8 ; {4,7 \ 2,5}) 95% interval povjerenja, za prosječan promet ako je se yp = 6,91534, kreće se u granicama: 132,7354=151,9355-2,77645*6,91534
171,1356=151,9355+2,77645*6,91534
pri čemu je: 2,776451=TINV(5%;7-3). c) Koeficijenti višestruke linearne korelacije i determinacije, iznose: Multiple R = 0,989614359
R Square 0,979336579
Adjusted R Square 0,969004869
129
Primjer 9. Sljedeća tabela sadrži podatke o obimu prometa u 000 komada jednog prehrambenog artikla, veličini poslovnog prostora u 00 m2 i udaljenost od centra grada u km, u slučajnom uzorku od 7 prodavnica. Obim Poslovni Udaljenost prometa prostor od centra y x2 x1 120 150 180 30 75 60 75
4,2 4,2 5 3 3 3,2 3,4
2 1,5 2,5 1,5 0,5 1,5 1
Izračunati standardnu grešku ocjene prosječne vrijednosti zavisne promjenljive se y p i formirati 95% interval povjerenja za prosječan obim prometa za sljedeće vrijednosti x 1 i x 2 : Poslovni prostor x1
Udaljenost od centra x2
4,7 3,7 4
2,5 1 2
Rješenje Pretpostavimo da se podaci iz tabele nalaze u polju ćelija A2:C8, kao na slici 14.
Slika 14. Prosječan obim prometa za prodavnicu sa poslovnim prostorom od 470 m2, koja je udaljena 2,5 km od centra grada možemo ocijeniti posredstvom funkcije TREND: 151,9355 = TREND( A2:A8 ; B2:C8 ; {4,7 \ 2,5}) Standardnu grešku ocjene prosječne vrijednosti zavisne promjenljive se y p izračunavamo prema izrazu: 1 n pri čemu je: X 0 matrica parova novih vrijednosti x 1 i x 2 , X matrica koja obuhvata date podatke iz tabele, a n broj opažanja (veličina uzorka); Oznaka T ukazuje na transponovanu matricu. Tako za x 1 = 4,7 (odgovara poslovnom prostoru od 470 m2) i x 2 =2,5, izračunavamo: se y p se y X 0 T ( X T X) 1 X 0
novi x 2 x 2
1 1 novi x 1 x 1 1 se y p 9,381046437 0 0,985714286 1 1 1 1 1
1
T 4,2 2 1 4,2 2 4,2 1,5 1 4,2 1,5 5 2,5 1 5 2,5 0 1 3 1,5 1 3 1,5 0,985714286 6,91534 7 3 0,5 1 3 0,5 1 3,2 1,5 1 3,2 1,5 3,4 1 1 3,4 1
Dakle, 95% interval povjerenja za prosječan promet 151,9355 kreće se u granicama: 132,7354=151,9355-2,77645*6,91534
171,1356=151,9355+2,77645*6,91534
pri čemu je: 2,776451=TINV(5%;7-3). 130
Izračunavanje standardne greške ocjene prosječne vrijednosti zavisne promjenljive se y p u Excelu, prikazano je na slici 15.
Slika 15. Za par novih vrijednosti x 1 = 3,7 i x 2 = 1, (slika 16.) izračunata standardna greška ocjene prosječne vrijednosti zavisne promjenljive iznosi: se y p = 6,100658.
95% interval povjerenja: DG: 98,95 ; GG: 132,82
Slika 16. I na kraju za x 1 = 4 i x 2 = 2, izračunata standardna greška ocjene prosječne vrijednosti zavisne promjenljive, iznosi: se y p = 4,912244.
se y p
1 1 1 9,381046437 0 0,285714 0,5 1 1 1 1
4,2 2 4,2 1,5 5 2,5 3 1,5 3 0,5 3,2 1,5 3,4 1
T
1 1 1 1 1 1 1
2 1,5 5 2,5 3 1,5 3 0,5 3,2 1,5 3,4 1
4,2 4,2
1
0 1 0,285714 7 4,912244 0,5 95% interval povjerenja: DG: 92,57 ; GG: 119,84
131
Primjer 10. Podaci o prodanim količinama jednog prehrambenog artikla u kg, cijeni i iznosu novca potrošenom za oglašavanje proizvoda dati su u tabeli: Ocijeniti jednačinu regresije koja opisuje potražnju za ovim prehrambenim artiklom. Pretpostaviti da se niti jedan kilogram ovog artikla ne proda dok ne stigne nova isporuka, a to je za mjesec dana. Zatim je prvog dana prodaje zabilježeno: y 0 = 100, x 01 =80, i x 02 = 7. Ispitati da li se funkcija potražnje promijenila od prethodne pošiljke ovog prehrambenog artikla. Pokazati kako se može izračunati standardna greška regresije
Rješenje Jednačinu regresije koja opisuje potražnju za ovim prehrambenim artiklom možemo veoma jednostavno ocijeniti posredstvom funkcije LINEST, kao na slici 17.
Slika 17. Dakle, jednačina regresije glasi: y p =m 2* x 2 +m 1* x 1 +b = 11,25*x 2 -1,307857*x 1 +116,1568. To znači da ocjenjujemo da bi smanjenje cijene artikla za 10 feninga po kilogramu , uz nepromijenjene troškove oglašavanja, dovelo do porasta prodaje za oko 13 kg, dok bi porast troškova oglašavanja za 1 KM uz nepromijenjene cijene, prouzrokovao povećanje prodaje za nešto više od 11 kilograma. Pretpostavili smo da se niti jedan kilogram ovog artikla nije prodao dok nije stigla nova isporuka za mjesec dana i da je prvog dana prodaje zabilježeno: y 0 = 100, x 01 =80, i x 02 = 7. Prognoziranu vrijednost prodanih količina artikla za x 01 =80, i x 02 = 7 izračunavamo posredstvom funkcije TREND, ili pomoću već izračunate regresijske jednačine: 90,25 =TREND(A2:A13;B2:C13;{80\7}) Standardnu grešku prognozirane vrijednosti se y 0 možemo izračunati posredstvom izraza: se y 0 se y X 0 T ( X T X) 1 X 0
1 1 n
0 X 0 x 01 x 1 x 02 x 2
X T0 0 x 01 x 1
x 02 x 2
pri čemu je se y standardna greška regresije. 132
Posredstvom ugrađenih Excelovih funkcija, dobili smo: se y 0 = 5,776148 (slika 18). XT X X
X X
1
T
X T0
X0
Slika 18. Standardnu grešku prognozirane vrijednosti se y 0 možemo izračunati i posredstvom izraza: 2 n n n n n 2 x 2 n x 12i x 1i 2 x x 1 x 02 x 2 x 1i x 2i n x 1i x 2i 01 i 1 i1 1 i 1 i 1 i 1 se 2y se 2y ( 1 T T 0 n Det ( X X) Det ( X X) 2 n n x 01 x 1 2 n x 22i x 2i i 1 se 2y COVAR x 1 x 2 i 1 2 2 2 x 02 x 2 se 22 x 01 x 1 se 21 2 x 01 x 1 x 02 x 2 n2 se 2y ) se y Det ( X T X) n Det ( X T X)
x
02
pri čemu je:
n
T
Det( X X)
x
n
2 1i
i 1
i 1
2
x 2i 2
n
n
n
x 1i
i1
x 2i
i 1
i 1
x 1i x 2i n
n
i 1
2
x 1i x 2i
n
i 1
x 1i
2
n
n
x 22i n
i 1
n
x x 21i
i 1
2 2i
i 1
Interval povjerenja uz 95% vjerovatnoću sada možemo konstruisati : 77,18343547 =90,25-TINV(5%;12-3)*5,776148
103,3165645 =90,25+TINV(5%;12-3)*5,776148
Ovaj interval uključuje opaženu vrijednost y 0 =100. Standardna greška regresije, odgovara izrazu: ( y Xm)T ( y Xm) se y nk 1 Sintaksa posredstvom koje smo izračunali ovu grešku prikazana je na slici 19.
( y Xm)T ( y Xm) se y 5,25452 nk 1
Slika 19. Posredstvom gotove Excelove funkcije STEYX standardnu grešku regresije možemo izračunati prema sljedećoj sintaksi: 5,25451981 =STEYX(D1:D12;TREND(D1:D12;B1:C12))*SQRT(10/9)
133
Primjer 11. Za jedan proizvod zabilježena je sljedeća empirijska zavisnost između prosječnih troškova y pt i proizvodnje x:
Naći funkciju prosječnih i ukupnih troškova. Rješenje Na prikazanom dijagramu raspršenja možemo vidjeti da kretanje prosječnih troškova ima približno paraboličnu tendenciju. Pođimo od funkcije oblika: y pt = m 2 * x2 + m 1 * x + b. Rješenje u matričnoj formi, glasi:
12 10 8 6 4 2 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
b m1 m2
n
n
x x x x n
xi
i1 n
n
2 i
i
i 1 n
i1 n
2 i
i 1
i1 n
i1 n
3 i
i1
i 1
xi2 xi3 xi4
1
n
y x y x y i
n
i1
i
i
2 i
i
i 1 n
i 1
Mi smo se na slici 20. poslužili ugrađenim Excelovim funkcijama, koje izvode razna matrična računanja kako bismo pronašli koeficijente m 2, m 1 , i b.
Slika 20. Funkcija prosječnih troškova glasi: y pt = 0,352273 * x2 - 4,22045* x + 15,35. Posredstvom funkcije LINEST veoma brzo dolazimo do vrijednosti za koeficijente m 2, m 1 , i b, odnosno do funkcije prosječnih troškova, što je prikazano na slici 21. Funkcija ukupnih troškova glasi: y u t = 0,352273 * x3 4,22045* x2 + 15,35*x.
Slika 21. 134
Primjer 12. Za jedan proizvod zabilježena je sljedeća empirijska zavisnost između prosječnih troškova y pt i proizvodnje x:
Naći funkciju prosječnih troškova posredstvom dijagrama raspršenja. Rješenje Na prikazanom dijagramu raspršenja (slika 22.) možemo vidjeti da kretanje prosječnih troškova ima približno paraboličnu tendenciju oblika: y pt = m 2 * x2 + m 1 * x + b. Potrebno je samo dodati regresionu liniju:
Slika 22. i uključiti opciju prikaza regresione jednačine, kao na slici 23.
Slika 23. Tako, veoma jednostavno, dobijamo funkciju prosječnih troškova: 14 12
ypt = 0,3523x2 - 4,2205x + 15,35 R2 = 0,9409
10 8 6
y pt
4
y ut x
2 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
135
Primjer 13. Čisti dohodak po radniku, vrijednost opreme po radniku i broj proizvodnih radnika u sedam preduzeća dati su u tabeli: 3
Vrijednost opreme po radniku u 10 $ Broj proizvodnih radnika
3
Čist dohodak po radniku u 10 $
Preduzeće
x1
x2
y
1
20
50
4
2
40
60
6
3
40
80
7
4
70
80
9
5
70
90
10
6
80
130
12
7
100
140
15
Ocijeniti prosječan čist dohodak po radniku za vrijednost opreme po radniku x 1 = 60 i 100 proizvodnih radnika (x 2 ), te formirati 95% interval povjerenja za prosječnu i individualnu vrijednost zavisne promjenljive. Rješenje Prosječan čist dohodak po radniku za vrijednost opreme po radniku x 1 = 90 i x 2 =100 možemo izračunati posredstvom funkcije TREND, kao na slici 24.
Slika 24. Standardna greška ocjene prosječne vrijednosti zavisne promjenljive, odgovara izrazu: n
se y p
se 2y n
x 02 x 2 se 2 x 01 x 1 se 2 x 01 x 1 x 02 x 2 2
2
2
2 1
n
x 1i
i 1
i 1
n
n
x 2
1i
i1
se y p
n
i 1
x x
x 2i n
x 22i
1i
2i
i 1
n
i 1
x 1i x 2i
2
se b2
2
0,38472 420 630 7 42900 100 0,01137 2 900 0,01382 2 600 0,45628 2 0,34641435 7 29800 63500 1840410000
95% interval povjerenja za prosječnu vrijednost zavisne promjenljive je: 11,888 - TINV(5%;7-3)*0,34641435 = 10,9262431 11,888 + TINV(5%;7-3)*0,34641435 = 12,849848 95% interval povjerenja za individualnu vrijednost zavisne promjenljive je: 11,888 - TINV(5%;7-3)*0,5176973 =10,4506844 11,888 + TINV(5%;7-3)*0, 5176973 = 13,3254
136
Primjer 14. Podaci za ilustrativni primjer odnose se na prodaju jednog proizvoda u 000 komada u 1989. godini (zavisna varijabla) na 10 područja. Prodaja se posmatra u zavisnosti o prosječnoj prodajnoj cijeni (prva nezavisna varijabla) i prosječnom ličnom dohotku po stanovniku (druga nezavisna varijabla). Vrijednosti varijabli date su u tabeli, na slici 25.
Slika 25. Posredstvom funkcije LINEST postaviti dodatnu regresijsku statistiku i napisati regresijsku jednačinu sa ocijenjenim parametrima koji odgovaraju analiziranom primjeru. Takođe, izračunati prognoziranu vrijednost zavisne varijable y, za x 1 = 50 i x 2 = 60, te postaviti 95% intervale povjerenja za prognoziranu i individualnu vrijednost zavisne promjenljive y. Rješenje Dodatna regresijska statistika (postavljena posredstvom funkcije LINEST ) prikazana je na slici 26. iz koje, između ostalog, možemo pročitati odgovarajuću regresijsku jednačinu.
Slika 26. Dakle, regresijska jednačina glasi: y p =1,945937448*x 2 -0,882225896*x 1 +13,93810092. Koeficijent m 1 = -0,88223 uz prvu nezavisnu varijablu x 1 nam ukazuje da će se prosječna vrijednost prodaje y p smanjiti za oko 882 komada ovog proizvoda ako se cijena po komadu poveća za 1$, uz uslov da se druga nezavisna varijabla ne mijenja. Takođe, možemo reći da će se prosječna vrijednost prodaje y p povećati za oko 882 komada ovog proizvoda ako se cijena po komadu smanji za 1$, uz uslov da se prosječni lični dohotak po stanovniku ne mijenja. Koeficijent m 2 = 1,945937 uz drugu nezavisnu varijablu x 2 nam ukazuje da će se prosječna vrijednost prodaje y p povećati za oko 1946 komada ovog proizvoda ako se prosječni lični dohotak po stanovniku poveća za 1000$, uz uslov da se cijena po komadu ne mijenja. Alternativno, ako se dohodak smanji za 1000$, prosječna vrijednost prodaje ovog 137
proizvoda y p će se smanjiti za oko 1946 komada ako cijene ostanu nepromijenjene. Prognoziranu vrijednost zavisne varijable y, za x 1 = 50 i x 2 = 60 možemo izračunati ako u regresijsku jednačinu za x 1 i x 2 uvrstimo ove vrijednosti ili direktno posredstvom funkcije TREND, kao na slici 27.
Slika 27. Standardne greške za prognoziranu i individualnu vrijednost zavisne promjenljive y možemo izračunati posredstvom izraza: n
se y p
se 2y
x 02 x 2 se 2 x 01 x 1 se 2 x 01 x 1 x 02 x 2 2
n
2
2
2 1
n
x 1i
i1
n
i 1
se y p
se y
x 02 x 2 se 22 x 01 x 1 se 21 2 n x 01 x 1 x 02 x 2 2
2
n 2
se y 0 se y
se 2y n
x 22i
x 2i
n
i 1
2
2i
se 21
se 21
DEVSQ x 2
2
1i
i1
COVAR x 1 x 2
x 02 x 2 se 22 x 01 x 1 se 21 2 n x 01 x 1 x 02 x 2 2
x x
i 1
n
2
n
x 2i n
COVAR x 1 x 2 DEVSQ x 2
se 21
Uvrštavanjem vrijednosti iz postavljene dodatne regresijke statistike se y =11,45622 ; se 1 =0,294073 ; se 2 = 0,307786 ; x 01 =50 ;x 1 = 40 ; x 02 =60 ;x 2 = 49 ; n = 10; COVAR(x 1 ;x 2 ) = 16,9 ; DEVSQ(x 2 )=1404 dobijamo: se y p 5,562814803 , se y 0 12,73538216. Kako je 2,36462256= TINV(5%;10-3), to 95% intervali povjerenja su: 73,42909558 99,73701034 za prognoziranu vrijednost zavisne promjenljive, te 56,468681 116,6974249 za individualnu vrijednost. se y 0 se 2y se 2yp se y i se y možemo izračunati i pomoću sljedećih izraza: p
0
n
se y p
se 2y n
x 02 x 2 se 2 x 01 x 1 se 2 x 01 x 1 x 02 x 2 2
2
2
2 1
n
x 1i
i1
n
x x
x 2i n
i1
n
se 2y n
x 02 x 2 se 22 x 01 x 1 se 21 2 n x 01 x 1 x 02 x 2
se y 0 se y 2
2
se 2y n
2
2 1i
2
1i
i1
COVAR x 1 x 2 DEVSQ x 1
x 02 x 2 se 22 x 01 x 1 se 21 2 n x 01 x 1 x 02 x 2 2
n
x x
n
i1
se y p
1i
i 1
2
2i
se 22
se 22
COVAR x 1 x 2 DEVSQ x 1
se 22
138
LOGEST Posredstvom ove izuzetno korisne funkcije koju koristimo u regresijskoj analizi izračunavamo eksponencijalnu krivu koja najbolje odgovara datim podacima saglasno metodi najmanjih kvadrata. Koristimo je kod proste i višestruke regresije; kako postavlja polje vrijednosti ovu funkciju unosimo kao formulu polja, za čije aktiviranje je potrebno istovremeno pritisnuti tri tipke na tastaturi računara: Ctrl, Shift, i Enter. Jednačina krive je: y bmx ili y bm 1 x 1 m 2 x 2 ...mk x k za višestruke x vrijednosti, gdje je zavisna varijabla y funkcija nezavisne, odnosno nezavisnih varijavli x. Vrijednosti m su baze za odgovarajuću vrijednost eksponenta x, a b je konstanta. Varijable y, x i m mogu biti vektori. Funkcija LOGEST postavlja polje: {mk;mk-1;...;m1;b}. Sintaksa LOGEST( known_y's ; known_x's ; const ; stats) Known_y's predstavlja polje poznatih y vrijednosti. Ako se polje known_y's sastoji od samo jedne kolone ili samo jednog reda tada se svaka kolona, odnosno svaki red known_x 's posmatra kao posebna varijabla. Known_x's je polje x vrijednosti koje može biti i izostavljeno. Polje known_x's može uključiti jednu ili više varijabli. Ako se koristi samo jedna varijabla, known_y's i known_x's mogu biti opsezi bilo kakvog oblika, sve dok imaju iste dimenzije. Ako se koristi više od jedne varijable, known_y's mora biti vektor (što znači, opseg visine jednog reda ili širine jedne kolone). Ako je known_x's izostavljen, pretpostavlja se da predstavlja polje {1; 2; 3; ...} koje je iste veličine kao i known_y's. Const je logička vrijednost kojom navodimo da li je konstanta b = 1. Ako je const TRUE ili je izostavljen, b se računa normalno; ako je FALSE, b = 1. Stats je logička vrijednost koja navodi da li će biti postavljena dodatna regresijska statistika. Ako je stats TRUE, i kada imamo slučaj višestruke regresije, funkcija LOGEST postavlja dodatnu regresijsku statistiku prema sljedećem redoslijedu:
Ako je stat FALSE ili izostavljen, LINEST postavlja samo koeficijente m i konstantu b. Mnoge pojave javljaju se pod uticajem više od jednog faktora. Posredstvom regresione analize pri proučavanju međusobnih relacija možemo ustanoviti dvije ili više nezavisnih promjenljivih. U takvim slučajevima imamo višedimenzionalne rasporede koje možemo aproksimirati višestrukim ili multiplim regresionim modelima. Matematička formula za izražavanje relacije između jedne zavisne i dvije ili više nezavisnih varijabli u ovom slučaju je jednačina oblika:
ln(y p ) ln(mk ) x k ln(mk 1 ) x k 1 ... ln(m2 ) x 2 ln(m1 ) x 1 ln(b) 139
Ovdje je yp varijabla koju želimo da prognoziramo ili predvidimo. Veličine x1, x2, …, xk predstavljaju nezavisne varijable a m1, m2, …, mk predstavljaju koeficijente, numeričke konstante koji se moraju matematički odrediti iz datih podataka. Naravno i kod višestruke regresije se pridržavamo kriterija najmanjih kvadrata koji se ogleda u minimalnoj vrijednosti izraza: ln(y i ) (ln(mk ) x ki ln(mk 1 ) x (k 1)i ... ln(m 2 ) x 2i ln(m 1 ) x 1i ln( b))
u kojem n
ln(y ) (ln(m ) x i
k
ln(mk 1 ) x (k 1)i ... ln(m 2 ) x 2i ln(m 1 ) x 1i ln(b))
2
ki
i 1
predstavlja razliku između ln(yi ) vrijednosti i prognoziranih ln( yp) vrijednosti koje se b m 2 x 2 m 1 x 1 slučaj . dobijaju na temelju vrijednosti xki ; … ; x2i ; x1iy.pNajednostavniji višestruke regresije imamo sa dvije varijable x2 i x1. Jednačina tada dobija oblik: Jasno je da ćemo u ovom modelu imati sistem normalnih jednačina n
ln(m 2 )
n
n
x 2i ln(m 1 )
i 1
x 1i nln(b)
i 1
n
(x 2i x 1i ) ln(m 1 )
i 1
i 1
n
x 21i ln(b)
i 1
n
ln(m 2 )
i
i 1
n
ln(m 2 )
ln(y )
n
x 22i ln(m 1 )
n
x 1i
i 1
x
i 1
i 1
ln( y i )
i 1 n
n
(x 1i x 2i ) ln(b)
1i
x 2i
x
2i
ln( y i )
i 1
od tri jednačine, koje moramo riješiti, da bismo dobili vrijednosti koeficijenata ln(m2), ln(m1), i konstantu ln(b ). U ovom sistemu jednačina x2i ; x1i, yi, predstavljaju vrijednosti datih tačaka podataka a n odgovara broju podataka svake varijable. Uopšteni model koji bi imao mk varijabli x ,imao bi k+1 normalnih jednačina. Ako je stats TRUE, i imamo slučaj proste regresije, funkcija LOGEST postavlja dodatnu regresijsku statistiku prema redoslijedu:
Ako je stat FALSE ili izostavljen, LOGEST tada postavlja samo koeficijent m i konstantu b.
Eksponencijalna kriva ln(yp )= x * ln(m1 ) + ln(b )= x*ln(m) + ln(b) koja najbolje predstavlja tačke na dijagramu rasipanja, takođe je saglasna metodi najmanjih kvadrata; dakle, koristimo kriterij najmanjih kvadrata koji možemo iskazati kao minimalnu suma kvadrata vertikalnih rastojanja datih tačaka do regresijske krive yp = bmx: n
(x ln(m) ln(b) ln(y )) i
i
2
L
i 1
Potreban uslov da gornji izraz dostigne minimum, možemo izraziti kao: 140
L 2 ln(b)
n
L 2 ln(m)
(ln(m) x ln(b) ln(y )) 0 i
i
i 1
n
(ln(m) x ln(b) ln(y )) x 0 i
i
i
i 1
odakle se dobija sistem normalnih jednačina n
ln(m)
n
x i n ln(b)
i 1
n
ln(m)
ln(y i )
i 1
i 1
iz kojeg izračunavamo parametre m i b: n
n
ln(m)
i
i
i 1
i
i 1
n
x
n
i
2
(
i 1
n
x ln(y ) xi
i 1
i
i
i 1
n
x ln(y ) x ln(y )
n
n
x i2 ln(b)
i
i 1
n
x ) i
;
ln(b) ln(y i ) ln(m) x
2
i 1
koji odgovaraju ugrađenim Excelovim funkcijama SLOPE i INTERCEPT kada su vrijednosti zavisne varijable y izražene kao ln(y). Statistike seb i se1 odgovaraju vrijednostima standardne greške za konstantu ln(b) (seb = #N/A kada je const FALSE) i standardne greške za koeficijent ln(m), respektivno. Njihove vrijednosti odgovaraju izrazima: n
se
b
(ln(y i ) ln(m) x ln(b)) i i 1 n2
2
n
2
1 x ( n ); n (x x)2 i i 1
se 1
(ln(y i ) ln(m) x ln(b)) i 1 i 1 n 2 n2 (x x) i 1 i
2
Statistika r2 označava koeficijent determinacije kojim upoređujemo procijenjene yp i stvarne vrijednosti yi , i poprima vrijednost u intervalu od 0 do 1. Ovaj koeficijent možemo izraziti u obliku: n n 1 2 x iln(y i ) x ln(y i )2 ( (ln(y p ) ln(y i )) n i 1 ss reg r 2 i n1 n n ss resid ss reg 2 1 1 2 2 2 (ln(y i ) ln(y i ) ( xi x )( (ln(y i ))2 ln(y i ) ) n i 1 n i 1 i 1
Statistika sey odgovara standardnoj greški regresije; može se izraziti u obliku: n 2 (ln(y i ) ln(m) x ln(b)) i i 1 se y n2 F statistiku možemo koristiti kako bi odredili da li se posmatrani odnosi između zavisne i nezavisnih varijabli događaju slučajno; vrijednost ove statistike odgovara izrazu:
ssreg F 1 ssresid n 2
Stepene slobode (df) koristimo za računanje kritičnih vrijednosti za F raspodjelu. Regresijski zbir kvadrata (ssreg) i rezidualni zbir kvadrata (ssresid) odgovaraju izrazima: n
n
ss reg
(ln(y ) ln(y ) p
i 1
i
2
ss resid
(ln(y ) ln(y )) i
p
2
i 1
141
Primjer 1. Pojava je u periodu od 1982. do 1988. godine pokazala sljedeće kretanje: Godine 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
Nivo pojave (y) 40 50 80 100 150 250 415
Primjenom odgovarajućeg trenda: a) i b)
a) ustanoviti prosječnu godišnju stopu promjene nivoa pojave; b) predvidjeti nivo pojave u naredne dvije godine
x
Rješenje Pojava je tokom ovog perioda imala intenzivan rast. Količnik nivoa pojave u 1988. i 1982. godini iznosi 415/40 = 10,375. Grafički prikaz pojave upućuje na primjenu 500 eksponencijalnog trenda. 400 y 300 Jednačinu trenda iz datih podataka, možemo 200 veoma jednostavno pronaći posredstvom 100 funkcije LOGEST, na identičan način, kao i kod 0 funkcije LINEST. Potrebno je prvo selektovati dvije 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 prazne ćelije a zatim pozvati funkciju LOGEST, kao na slici 1.
y b mx y 113,92 1,474 x
Slika 1. Jednačina eksponencijalnog trenda je: y = 113,92*1,474x kada godine računamo od -3 do 3. Kada se godine računaju počevši od 1, nije ih potrebno unositi jer ih funkcija LOGEST podrazumijeva; u ovom slučaju jednačina trenda je y = 24,12518*1,474x. a) Prosječna godišnja stopa povećanja pojave je: 47,68% (GEOMEAN(I3:I8)). b) U naredne dvije godine predviđa se nivo pojave: y 1989 =537,9344 i y 1990 = 792,9789. 142
LOGINV Pretpostavimo da nam je poznata vjerovatnoća koja odgovara lognormalnoj raspodjeli, odnosno izrazu (u)2 1 ln x 2σ 2 LOGNORMDIST( x ; ; ) du e σ 2π ali nam je vrijednost x- a nepoznata. Želimo li je izračunati u tome nam pomaže funkcija LOGINV prema sintaksi LOGINV(p;;). poznato :
LOGNORMDIST(x;; ) poznato : LOGNORMDIST
x
x ?
Sintaksa LOGINV( probability ; mean ; standard_dev ) Probability (p) je vjerovatnoća pridružena lognormalnoj raspodjeli. Mean () je srednja vrijednost od ln(x). Standard_dev () je standardna devijacija od ln(x). Napomene Ako bilo koji argument nije brojčani podatak, LOGINV postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je probability < 0 ili > 1, LOGINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je standard_dev 0, LOGINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Vrijednost x-a odgovara vrijednosti sljedećih izraza: EXP(μ NORMSINV( p )) e μ NORMSINV( p ) EXP( NORMINV( p; μ ; TRUE )) e NORMINV( p; μ ; ;TRUE )
Primjer 1. LOGINV(0,414354;2;0,25) 7 x
LOGINV(0,414354;2;0,25) 7 x
poznato :p 0,414354
LOGNORMDIST(x;; )
poznato : LOGNORMDIST
p
x ?
LOGINV(0,414354;2;0,25) 7 x
p 0,414354 x ?
143
LOGNORMDIST Neka slučajna varijabla U ima normalnu raspodjelu N(,2). Tada slučajna varijabla X = eU ima funkciju raspodjele F(x) = P( X x ) = P(eU x) = P( U lnx ), x > 0, odnosno lognormalnu raspodjelu od x, prema izrazu: 1 ln x F(x) e σ 2π
(u)2 2σ 2
du LOGNORMDIST( x ; ; )
LOGNORMDIST(x;; ) LOGNORMDIST
x
x
Sintaksa LOGNORMDIST( x ; mean ; standard_dev) X je vrijednost za koju vrednujemo funkciju. Mean () je srednja vrijednost od ln(x). Standard_dev () je standardna devijacija od ln(x). Napomene Ako neki argument nije broj, LOGNORMDIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x 0 ili standard_dev 0, LOGNORMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. ln(x) - 2 Lognormalna raspodjela se može napisati i u obliku: u z
1 ln(x) μ LOGNORMDIST(x ; μ ; ) NORMSDIST 2π
Funkciju gustine možemo napisati u obliku:
e
2
du
-
2
(lnx 2) 1 f(x) e 2σ NORMDIST(ln x ; ; ; FALSE)/x x σ 2π Takođe vrijedi sljedeća relacija između normalne i lognormalne raspodjele:
LOGNORMDIST(x ; mean ; standard_dev) NORMDIST(ln x ; mean ; standard_dev; TRUE) Primjer 1. (u 2)2
ln 7 1 2 LOGNORMDIST(7;2;0,25) e 2 0,25 du NORMDIST(ln 7 ; 2 ; 0,25; TRUE) 0,414354 0,25 2 ln(x) μ
z
ln 7 - 2
LOGNORMDIS T(7;2;0,25 )
1 2
0,25
e
2
u2
ln(7) 2 0,25 0,216359
du NORMSDIST( (ln 7 - 2) / 0,25 ) 0,414354
144
MAX Ova funkcija postavlja najveću brojčanu vrijednost u poznatom skupu brojeva. Sintaksa MAX ( number1 ; number2 ; ...) Number1, number2, ... su 1 do 30 argumenata u kojima želimo da pronađemo najveću brojčanu vrijednost. Napomene Možemo navesti argumente koji su brojevi, prazne ćelije, logičke vrijednosti ili tekstualni prikazi brojeva. Argumenti, koji su vrijednost greške ili tekst koji ne može biti preveden u broj, uzrokuju greške. Ako je argument polje ili referenca, korišteni su samo brojevi u tom polju ili referenci. Prazne ćelije, logičke vrijednosti ili tekst u polju ili referenci su zanemareni. Ako logičke vrijednosti i tekst ne smiju biti zanemareni, koristimo funkciju MAXA. Ako argumenti ne sadrže brojeve, funkcija MAX postavlja nulu. Primjer 1. Izmjerene su sljedeće vrijednosti nekog obilježja X: 14, 16, 17, 20, 37, 39, i 42. Koristeći funkciju MAX postaviti najveću vrijednost. Rješenje Pretpostavimo da se izmjerene vrijednosti nalaze u polju ćelija A1:G1 , kao na slici 1. Funkcija MAX postavlja kao rezultat brojčanu vrijednost 42 koja odgovara najvećoj vrijednosti među izmjerenim vrijednostima obilježja X.
Slika 1. Do ovog rezultata smo mogli doći i posredstvom neke od sljedećih sintaksi funkcije MAX:
Primjer 2.
145
MAXA Izračunava najveću vrijednost u popisu argumenata; uz brojeve, upoređuju se i tekst i logičke vrijednosti kao što su TRUE i FALSE. Sintaksa MAXA ( value1 ; value2 ; ... ) Value1, value2,... su 1 do 30 vrijednosti među kojima želimo pronaći najveću. Napomene Za argumente možemo navesti brojeve, prazne ćelije, logičke vrijednosti ili tekstualne prikaze brojeva. Argumenti koji su vrijednosti greške uzrokuju greške. Ako kod izračunavanja ne smiju biti uključene tekstualne ili logičke vrijednosti, koristimo funkciju radnog lista MAX. Ako je argument polje ili referenca, koriste se samo vrijednosti u tom polju ili referenci. Prazne ćelije i tekstualne vrijednosti u polju ili u referenci se ignorišu. Vrijednost TRUE vrednuje se kao 1, a FALSE kao nula. Ako argumenti ne sadrže nikakve vrijednosti, MAXA postavlja nulu. Primjer 1. Prema podacima na slici 1. pronaći najveću.
Slika 1. Posredstvom funkcije MAXA, lako pronalazimo najveću vrijednost u polju ćelija A1:J15.
146
MEDIAN Medijana je ona vrijednost obilježja koja se nalazi u sredini serije koja je uređena po veličini, odnosno to je ona vrijednost obilježja koja dijeli sumu svih frekvencija na dva jednaka dijela. Ako su vrijednosti obilježja poredane po veličini x 1 x 2 x 3 x 4 … x n , i od njih obrazovana serija negrupisanih podataka, pri određivanju medijane treba razlikovati slučajeve kada je broj članova neparan i paran broj:
1 (x n x n 1 ) , za parno n 2 2 Medijana 2 x , za neparno n. n 1 2 Sintaksa MEDIAN(number1 ; number2 ; ...) Number1, number2,... su 1 do najviše 30 argumenata. Napomene Argumenti trebaju biti brojevi ili nazivi, polja, odnosno reference koje sadrže brojeve. Microsoft Excel ispituje sve brojeve u svakom argumentu upisanom u obliku polja ili reference. Ako argument upisan u obliku polja ili reference sadrži tekst, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednoćšu nula su uključene. Funkcija MEDIAN do rezultata dolazi na sljedeći način: Proizvod (n-1)*k (pri čemu k predstavlja k-ti procenat vrijednosti u opsegu, i u slučaju medijane iznosi 50 % = 0,5), treba rastaviti na cijeli dio j i ostatak g. U slučaju kada nema ostatka, odnosno kada je g = 0: MEDIAN x j 1 U slučaju kada ima ostatka, odnosno kada je g > 0:
MEDIAN x j 1 0,5 (x j 2 - x j 1 )
Zanimljivo je istaći da na vrijednost medijane utiču samo središnji podaci iz datog statističkog uređenog niza. Medijana je neosjetljiva na ekstremne vrijednosti u datom nizu podataka, što znači da se neće promijeniti ako se po volji najmanji podatak smanji ili najveći poveća. Ona ima još jednu interesantnu osobinu koja se ogleda u tome da je suma apsolutnih vrijednosti odstupanja datih podataka od njene vrijednosti minimalna; podesna je kao mjera vrijednosti distribucije na otvorenim intervalima. Ako je raspodjela frekvencija data po klasama, izračunavanje medijane možemo izvesti tako da se prvo odredi klasni interval u kome se nalazi medijana, odnosno dok ne naiđemo na sume frekvencija koje ispunjavaju uslov: n f 1 f 2 f 3 ... f M 1 f 1 f 2 f 3 ... f M 2 U ovakvim slučajevima, kada imamo klase širine d, medijana se izračunava prema obrascu: gdje je : L M donja granica medijanskog intervala ,
Medijana L M d
n 2
M 1
f i 1
fM
i
f M frekvencija medijanskog intervala i M- 1
f zbirna frekvencija prethodnih intervala. i
i 1
147
Primjer 1. Pretpostavimo da su naši podaci: 9 4
1 9
4 6
9 7
5 9
9 1
2 9
6 6
5 1
3 2
7 4
1 4
1 7
1 5
3 8
1 9
1 7
8
Potrebno je izračunati medijanu.
Rješenje Naši podaci poredani u rastućem redu izgledaju kao na Slici 1. Slika 1. Vidimo da imamo 35 upisanih vrijednosti. Aktiviranjem funkcije MEDIAN (Slika 2.) dolazimo do vrijednosti medijane, koja u našem primjeru iznosi 5.
Slika 2. Na Slici 3. prikazan je odgovarajući boxplot. Boxplot of X 9 8 7 6
MEDIAN 5
X
5 4 3 2 1
(35 - 1) * 50% 17 j MEDIAN x j 1 x18 5
0
Slika 3. 148
MIN Ova funkcija postavlja najmanju brojčanu vrijednost u poznatom skupu brojeva. Sintaksa MIN ( number1 ; number2 ; ...) Number1, number2, ... su 1 do 30 argumenata u kojima želimo da pronađemo najmanju brojčanu vrijednost. Napomene Možemo navesti argumente koji su brojevi, prazne ćelije, logičke vrijednosti ili tekstualni prikazi brojeva. Argumenti, koji su vrijednost greške ili tekst koji ne može biti preveden u broj, uzrokuju greške. Ako je argument polje ili referenca, korišteni su samo brojevi u tom polju ili referenci. Prazne ćelije, logičke vrijednosti ili tekst u polju ili referenci su zanemareni. Ako logičke vrijednosti i tekst ne smiju biti zanemareni, umjesto MIN koristimo funkciju MiNA. Ako argumenti ne sadrže brojeve, funkcija MIN postavlja nulu. Primjer 1. Izmjerene su sljedeće vrijednosti nekog obilježja X: 14, 16, 17, 20, 37, 39, i 42. Koristeći funkciju MIN postaviti najmanju vrijednost. Rješenje Pretpostavimo da se izmjerene vrijednosti nalaze u polju ćelija A1:G1 , kao na slici 1. Funkcija MIN postavlja kao rezultat brojčanu vrijednost 14 koja odgovara najmanjoj vrijednosti među izmjerenim vrijednostima obilježja X.
Slika 1. Do ovog rezultata smo mogli doći i posredstvom neke od sljedećih sintaksi funkcije MIN:
Primjer 2.
149
MINA Izračunava najmanju vrijednost u popisu argumenata; pored brojeva, upoređuju se i tekst i logičke vrijednosti kao što su TRUE i FALSE. Sintaksa MINA ( value1 ; value2 ; ... ) Value1, value2,... su 1 do 30 vrijednosti među kojima želimo pronaći najmanju. Za argumente možemo navesti brojeve, prazne ćelije, logičke vrijednosti ili tekstualne prikaze brojeva. Argumenti koji su vrijednosti greške uzrokuju greške. Ako kod izračunavanja ne smiju biti uključene tekstualne ili logičke vrijednosti, koristimo funkciju radnog lista MIN. Ako je argument polje ili referenca, koriste se samo vrijednosti u tom polju ili referenci. Prazne ćelije i tekstualne vrijednosti u polju ili u referenci ignorišu se. Vrijednost TRUE vrednuje se kao 1; a FALSE kao 0 (nula). Ako argumenti ne sadrže nikakve vrijednosti, MINA postavlja nulu. Primjer 1. Prema podacima na Slici 1. pronaći najmanju vrijednost.
Slika 1. Posredstvom funkcije MINA, lako pronalazimo najmanju vrijednost u polju ćelija A1:J15.
150
MODE Postavlja onu vrijednost obilježja koja u posmatranoj seriji ima najveću frekvenciju, odnosno vrijednost koja se najčešće javlja u seriji. Sintaksa MODE( number1 ; number2 ; ...) Number1, number2, ... su 1 do 30 argumenata. Napomene Argumenti trebaju biti brojevi, nazivi, polja ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument koji je polje ili referenca sadrži tekst, logičke vrijednosti, ili prazne ćelije te se vrijednosti zanemaruju; ćelije sa vrijednošću nula se uključuju. Modus je ona vrijednost obilježja kojoj odgovara najveća frekvencija, odnosno onaj član niza koji u seriji ima najveću frekvenciju; može se desiti da ima više modalnih vrijednosti obilježja, ili da ga nema. Primjera radi, u seriji 2, 2, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10 modus je vrijednost obilježja 7, jer je to član niza koji se ponavlja najviše (3 puta), odnosno član niza koji ima najveću frekvenciju. Serija: 2, 2, 4, 5, 5, 6, 8 ima dva modusa 2 i 5. Ako posmatrana serija ne sadrži vrijednosti koje se ponavljaju, funkcija MODE postavlja vrijednost greške #N/A. Modus predstavlja pozicionu srednju vrijednost i kada se govori o srednjoj vrijednosti kao tipičnoj vrijednosti onda se misli na modalnu vrijednost. Ako je data raspodjela frekvencija po klasama, odnosno intervalima, modus se nalazi u onom intervalu koji ima najveću frekvenciju, i može uzeti neku od vrijednosti između donje i gornje granice tog klasnog intervala. Dakle, modus se određuje, polazeći od intervala sa najvećom frekvencijom, koji nazivamo modalnim, pomoću obrasca:
Modus L M 0 d
f M 0 f M 01 f M 0 - f M 01 f M 0 - f M 01
gdje je : L M 0 donja granica modalnog intervala ; f M 0 frekvencija modalnog intervala ; f M 0 1 frekvencija intervala ispred modalnog; f M 0 1 frekvencija intervala iza modalnog; d širina modalnog razreda.
Pri korištenju modusa treba imati u vidu da na njegovu veličinu utiče način grupisanja podataka. Kako se formiranje grupnih intervala može izvesti na razne načine, to se promjenom veličine grupnih intervala ili grupnih granica pri istoj dužini intervala mogu dobiti različite vrijednosti modusa. Kada ekstremne vrijednosti imaju najveću frekvenciju u takvim slučajevima modus gubi svojstvo pokazatelja centralne tendencije. Približna vrijednost modusa može se odrediti i grafičkim putem tako što se početna i krajnja vrijednost modalnog intervala, dijagonalno spoji sa gornjom granicom ispred modalnog, odnosno donjom granicom iza modalnog intervala. Apscisa tačke presjeka ovako povučenih dijagonala odgovara približnoj vrijednosti modusa. Modus je pogodan pokazatelj rasporeda unimodalnih serija a posebno kada je frekvencija modalne vrijednosti velika. U takvim slučajevima modus je tipična vrijednost koja vjerno pokazuje centralnu tendenciju posmatrane serije. 151
Primjer 1. Pretpostavimo da su naši podaci: 9 4
1 9
4 6
9 7
5 9
9 1
2 9
6 6
5 1
3 2
7 4
1 4
1 7
1 5
3 8
1 9
1 7
8
Potrebno je izračunati modus. Rješenje Naši podaci poredani u rastućem redu (za izračunavanje modusa nije potrebno poredati podatke po vrijednostima) izgledaju kao na Slici 1. Slika 1. Vidimo da imamo 35 upisanih vrijednosti. Aktiviranjem funkcije MODE (Slika 2.) dolazimo do vrijednosti modusa, koja u našem primjeru iznosi 1 (8 puta se pojavljuje broj 1).
1 =MODE(A5:AI5)
Slika 2. Na Slici 3. prikazan je odgovarajući bar graf: C hart of X 9 8 7
Count
6 5 4 3 2 1 0
2
3
8
5
6 X
4
7
9
1
Slika 3. 152
NEGBINOMDIST Ova funkcija odgovara funkciji negativne binomne raspodjele koja izračunava vjerovatnoću da će se broj neuspjeha number_f = x dogoditi prije broja uspjeha number_s = r, kada je vjerovatnoća uspjeha probability_s = p konstantna. Sintaksa NEGBINOMDIST ( number_f ; number_s ; probability_s ) Number_f (=x) je broj neuspjeha. Number_s (=r) je broj potrebnih uspjeha. Probability_s (= p) je vjerovatnoća uspjeha. Napomene Brojevima number_f i number_s odbacuju se decimale kako bi postali cijeli brojevi. Ako neki argument nije broj NEGBINOMDIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je probability_s < 0 ili je > 1, NEGBINOMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je (number_f + number_s - 1) 0, NEGBINOMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Izraz za negativnu binomnu raspodjelu je: x r 1 r p (1 p)x NEGBINOMDIST(number_f x ;number_s r ; probability_s p) r 1
Ova funkcija je slična binomnoj raspodjeli osim što je broj uspjeha r stalan, a broj pokušaja x+r promjenljiv; kao i kod binomne raspodjele, pretpostavlja se da su pokušaji nezavisni. Specijalan slučaj negativne binomne raspodjele kada je broj potrebnih uspjeha r = 1 imamo geometrijsku raspodjelu kod koje je funkcija p.m.f. oblika: NEGBINOMDIST(number_f x ;number_s r 1 ; probability_s p) p (1 p)x
Primjer 1. 2 10 1 0,8 10 0,2 2 0,2362 NEGBINOMDIST(x 2 ; r 10 ; p 80%) 10 1
0,236223
0,25 0,2 0,15
11 0 , 8 9
10
0 ,2
2
0,1 0,05 0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
x r 2 10 12
Primjer 2.
NEGBINOMDIST(x 2 ; r 1 ; p 60%) 0,6 0,4 2 0,096
153
NORMDIST Za neprekidnu slučajnu promjenljivu X, koja može uzimati sve vrijednosti iz intervala (- ; ) kažemo da se podvrgava normaloj raspodjeli ako je njena funkcija gustine oblika: 1 f(x) e σ 2π
2 (x ) 2σ 2 NORMDIST(x ; mean ; standard_dev ; FALSE)
Funkcija normalne raspodjele NORMDIST definisana je za sve realne brojeve i sve pozitivne brojeve , i odgovara izrazu:
2 x o (x μ) 1 2 F(xo) e 2σ dx NORMDIST(x x o ; mean μ ; standard_dev σ ; TRUE) σ 2 π Sintaksa
NORMDIST(x ; mean ; standard_dev ; cumulative) X je vrijednost za koju želimo izračunati funkciju NORMDIST. Mean () je aritmetička sredina raspodjele. Standard_dev () je standardna devijacija raspodjele. Cumulative je logička vrijednost koja određuje oblik funkcije. Ako je cumulative TRUE, vrijednost funkcije NORMDIST odgovara vjerovatnoći, odnosno površini ispod funkcije gustine; ako je FALSE, izračunata vrijednost odgovara ordinati funkcije gustine f(x). Napomene Funkcija gustine f(x) je parna funkcija u odnosu na srednju vrijednost , i pozitivna u cijelom domenu x(-,); x-osa predstavlja asimptotu za funkciju f(x) kada x . Prevojne tačke funkcije gustine f(x) odgovaraju vrijednostima x = ; vrijednosti funkcije u prevojnim tačkama x = - i x = + iznose 60,7 % od maksimalne vrijednosti. Izraz: 1 /( 2 ) predstavlja maksimalnu vrijednost funkcije gustine u modalnoj tački x = . Širina zvona d predstavlja rastojanje između vrijednosti funkcije gustine f(x) koje iznose d 2 2 . 36,8% od maksimalne vrijednosti, pa je vrijednost širine zvona jednaka Ako mean ili standard_dev nije broj, NORMDIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je standard_dev 0, NORMDIST postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je mean = 0 i standard_dev = 1, izračunata vrijednost za NORMDIST odgovara vrijednosti standardne normalne raspodjele NORMSDIST, odnosno obrascu:
z2 zo 1 F(z o) e 2 dz NORMDIST(x z o ; o ; 1 ; TRUE) 2π -
Grafički prikaz funkcije gustune f(x) i funkcije raspodjele F(x) dati su na Slici 1.
f(x)
F(x o)
(x μ)2 xo 2 1 F(x o) e 2σ dx σ 2π
xo
1 σ 2π
2 (x ) e 2σ 2
F(x o)
xo
Slika 1.
154
Primjer 1. Na0.8slici 2. dati su prikazi normalne raspodjele: f(x)
1 e σ 2π
2 (x μ) 2 2σ
za = 3, i = 2, 1, i 0,5.
0.6
0.4
0.2
01
1.5
2
2.5
3 x
3.5
4
4.5
Izračunati maksimalne ordinate ovih funkcija gustine normalne raspodjele, posredstvom ugrađene Excelove funkcije NORMDIST(x;mean;standard_dev;cumulative).
Slika 2. Rješenje Posredstvom funkcije NORMDIST vrijednosti ordinata funkcije gustine normalne raspodjele možemo izračunati prema sljedećim sintaksama: f(3)
1 e 2 2π
x - 3 2 8
0,19947114
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
1
2
1 f(3) e 2π 0.4
3 x
4
x - 3 2 2
5
0,39894228
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
1
f(3) 0.8
2
3 x
4
5
2 1 e- 2 x - 3 0,797884561 0,5 2π
0.6
0.4
0.2
01
2
3 x
4
Maksimalne vrijednosti funkcija gustine normalne raspodjele dostiže za vrijednost x = =3. Dakle, sintaksa funkcije NORMDIST za argument cumulative koristi logičku vrijednost FALSE. Da smo umjesto logičke vrijednosti FALSE koristili TRUE sa nepromijenjenim ostalim argumentima rezultati bi u sva tri slučaja bili identični i jednaki 0,5. Ovaj rezultat odgovara površini ispod pojedinih funkcija gustina od - do srednje vrijednosti x = =3.
5
155
Primjer 2. Na0.8slici 3. dati su prikazi normalne raspodjele: f(x)
1 e σ 2π
2 (x μ) 2 2σ
za = 3, i = 2, 1, i 0,5.
0.6
0.4
Demonstrirati pravilo jedne sigme na datim normalnim raspodjelama posredstvom funkcije NORMDIST(x;mean;standard_dev;cumulative).
0.2
01
1.5
2
2.5
3 x
3.5
4
4.5
Slika 3. Rješenje Za normalnu raspodjelu kod koje je = 3, i = 2, pravilo jedne sigme možemo ilustrirati posredstvom funkcije NORMDIST, prema sljedećoj sintaksi: 68,269% =NORMDIST(5;3;2;TRUE) -NORMDIST(1;3;2;TRUE)
5
5 1 e 2 2π
1 5 e 2 2π 1
x - 3 2 8
dx 84,13%
x - 3 2 8
dx 68,27%
84,134474% 15,865526% 68,27%
68,27%
1
1 1 1 e 2 2π
5
x - 3 2 8
dx 15,87%
Za normalnu raspodjelu kod koje je = 3, i = 1, pravilo jedne sigme možemo izraziti sintaksom: 68,269% =NORMDIST(4;3;1;TRUE) - NORMDIST(2;3;1;TRUE) Kod normalne raspodjele sa parametrima = 3, i = 0,5, pravilo jedne sigme odgovara sljedećoj sintaksi, odnosno izrazu: 68,269% =NORMDIST(3,5;3;0,5;TRUE) - NORMDIST(2,5;3;0,5;TRUE) 4
1 2π
3 ,5 1 0 ,5 2 π
e
2 x 3 2
e
x32
2
dx
2
dx 68,27%
68,27%
2 ,5
2,5
68,27% 3,5
2
4
156
NORMINV Pretpostavimo da je poznata vjerovatnoća, odnosno vrijednost površine ispod normalne raspodjele sa poznatim parametrima i , u intervalu (- , x o ). Želimo li izračunati odgovarajuću vrijednost x o u tome nam pomaže funkcija NORMINV (Slika 1.)
2 xo (x μ) 1 2 F(xo) e 2σ dx probability NORMINV(probability ; mean μ ; standard_dev σ) xo. σ 2π
1 f(x) e σ 2π
F(x o )
2 (x ) 2σ 2
F(x o ) probability
xo ?
(x μ)2 xo 2 1 F(x o) e 2σ dx σ 2π poznato :
xo ?
xo ?
Slika 1. Sintaksa NORMINV( probability; mean; standard_dev) Probability (p) je vjerojatnoća, odnosno vrijednost površine ispod normalne raspodjele sa poznatim parametrima i , u intervalu (- , x). Mean () je aritmetička sredina raspodjele a standard_dev () standardna devijacija raspodjele. Napomene Ako neki argument nije broj, NORMINV postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je probability < 0 ili > 1, NORMINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je standard_dev 0, NORMINV postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je =0 i = 1, funkcija NORMINV odgovara vrijednostima x-a, odnosno vrijednostima z-a, standardne normalne raspodjele; tada vrijedi: NORMINV(p;0;1)=NORMSINV(p). NORMINV koristi iterativnu tehniku za izračunavanje vrijednosti funkcije i zadatoj se vrijednosti vjerojatnoće približava, sve dok rezultat ne dođe unutar ± 3x10-7. Ako NORMINV ne konvergira nakon 100 iteracija, funkcija postavlja vrijednost greške #N/A. Primjer 1. 2 x - (x - 10) Data je normalna raspodjela sa parametrima = 10 i = 2. 1 o 8 dx 0,75 F(x ) e Kojoj vrijednosti x o odgovara površina ispod ove krive od 0,75 ? o 2 2π Rješenje Vrijednost x o izračunavamo posredstvom funkcije NORMINV, prema sintaksi: Provjera:
1 11,34898 F(11,34898 ) e 2 2π
(x - 10)2 8 dx 0,75
157
NORMSDIST Ova funkcija predstavlja poseban slučaj funkcije NORMDIST(x;mean;standard_dev;TRUE). Ako je mean = 0 i standard_dev = 1, izračunata vrijednost za NORMDIST odgovara vrijednosti standardne normalne raspodjele NORMSDIST, odnosno izrazu: z2 zo 1 F(z o) e 2 dz NORMDIST(x z o ; o ; 1 ; TRUE) 2π -
Grafički prikazi funkcije gustune f(z) i funkcije raspodjele F(z), dati su na slici 1. f(z)
F(z o)
z2 1 2 e 2π
F(z o)
zo
z2 zo 1 F(z o) e 2 dz 2π -
0
zo
zo Slika 1.
Sintaksa NORMSDIST( z ) z je vrijednost za koju želimo izračunati vjerovatnoću standardne normalne raspodjele. Napomene Ako z nije broj funkcija NORMSDIST postavlja vrijednost greške #NAME?. Funkcija gustine standardne normalne raspodjele f(z)
z2 1 2 e , -z 2π
odgovara sintaksi: NORMDIST(x = z ; mean=0 ; standard_dev = 1 ; FALSE). Dakle, ako želimo izračunati ordinate funkcije gustine to možemo učiniti posredstvom funkcije NORMDIST tako što za logičku vrijednost cumulative uvrstimo FALSE. Maksimalna vrijednost funkcije f(z), odgovara izrazu: f(z 0)
1 NORMDIST(0;0;1;FALSE) 0,398942 2π
Primjer 1. Izračunati vjerovatnoću, odnosno površinu ispod funkcije gustine standardne normalne raspodjele f(z) u intervalu (- , 0). Kolika je vrijednost funkcije f(z) za z =1 ? Rješenje: Površina ispod funkcije gustine f(z) u intervalu (- , 0), jednaka je 0,5 = 50 %.
2 zo 0 z 1 F(z o 0) e 2 dz NORMDIST(x z o ; o ; 1 ; TRUE) NORMSDIST(z o 0) 0,5 2π -
f(z 1)
1 e 0,5 NORMDIST(1;0;1;FALSE) 0,241971 2π
ordinata funkcije f(z)
158
NORMSINV Pretpostavimo da nam je poznata vjerovatnoća F(z o ), odnosno površina ispod standardne normalne raspodjele f(z) u intervalu (- , z o ). Želimo li znati kojoj vrijednosti z o odgovara ova površina, odgovor nam objezbjeđuje funkcija NORMSINV. Izračunata vrijednost za NORMSINV odgovara z o - vrijednosti standardne normalne z raspodjele: z F(z o )
1 2π
o
e
2
2
dz probability z o NORMSINV(probability)
Grafički prikazi funkcije gustune f(z) i funkcije raspodjele F(z), dati su na slici 1. f(z)
F(z o)
z2 1 2 e 2π
F(z o)
zo ?
z2 zo 1 F(z o) e 2 dz 2π -
0
zo ?
zo ?
Slika 1.
Sintaksa NORMSINV( probability) Probability je vjerojatnoća koja odgovara standardnoj normalnoj raspodjeli. Napomene Ako probability nije broj, NORMSINV postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je probability < 0 ili ako je > 1, NORMSINV postavlja vrijednost greške #NUM!. NORMSINV koristi iterativnu tehniku za izračunavanje funkcije. Datoj vrijednosti argumenta probability, funkcija NORMSINV se približava sve dok rezultat ne dođe unutar ± 3 x 10-7. Ako NORMSINV ne konvergira nakon 100 iteracija, postavlja se vrijednost greške #N/A. Ako je poznata vrijednost funkcije gustine standardne normalne raspodjele z2 1 2 f(z) e , -z 2π
u tački z, koju ne poznajemo, tada istu možemo odrediti posredstvom izraza: z 2 LN( 2 f(z))
Primjer 1. Površina ispod funkcije gustine standardne normalne raspodjele f(z) u intervalu (- , z o ) jednaka je 0,5. Izračunati odgovarajuću vrijednost z o . Kojoj vrijednosti z odgovara vrijednost 2 funkcije f(z) = 0,241971 ? zo z 1 2 dz 0 ,5 z NORMINV( 0 ,5) 0. Rješenje: F(z o ) e o 2π - Vrijednost z o jednaka je 0. f(z)
2 z 1 e 2 0 ,241971 z 2 LN ( 2 0 ,241971 ) 1 . 2π
vrijednosti z
159
PEARSON Ovu funkciju koristimo da izračunamo Pearsonov produkt moment koeficijent korelacije (zove se još koeficijent korelacije ili korelacija) za parove varijabli. Koeficijent korelacije je mjera stepena linearne povezanosti između dvije varijable; njegove vrijednosti nalaze se u opsegu od uključivo -1 do uključivo 1. Ako jedna varijabla pokazuje tendenciju rasta a druga opadanja, koeficijent korelacije ima negativnu vrijednost. Tendencija zajedničkog rasta ili opadanja varijabli ima za rezultat pozitivnu vrijednost korelacije. Sintaksa PEARSON(array1 ; array2) Array1 je polje vrijednosti prve varijable. Array2 je polje vrijednosti druge varijable. Izraz za Pearsonov produkt moment koeficijent korelacije glasi: n
n
n
x y x y i
i
i
i 1
r
n
n
x
i 1
n
i
2
i 1
n
(
x ) i
i
i 1
n
2
n
i 1
y
n
i
2
(
i 1
y ) i
2
i 1
gdje n označava broj parova vrijednosti (x i , y i ) a x i i y i vrijednosti u poljima array1 i array2. Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja konstanti ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument koji je polje ili referenca sadrži tekst, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednošću nula su uključene. Ako su polja vrijednosti array1 i array2 prazna ili imaju različit broj podataka, funkcija PEARSON postavlja vrijednost greške #N/A. Primjer 1. Na slučajan način odabrano je sedam proizvoda jedne kompanije. Izmjerene dužine i težine tih proizvoda date su na slici 1. Slika 1. Izračunati koeficijent korelacije, r. Rješenje Koeficijent korelacije možemo izračunati na tradicionalan način, posredstvom izraza: 7
xi 3 4 6 7 10 13 16
yi 9 11 14 15 16 17 19
xi
2
9 16 36 49 100 169 256
xi yi 27 44 84 105 160 221 304
yi
7
2
81 121 196 225 256 289 361
=59 =101 =635 =945 =1529
i
i
i
7
i 1
7
7
x ( x ) i
i1
7
x y x y i 1
r
7
2
i
i1
7
7
2
7
i
i 1
y ( y ) i
i 1
2
i
2
i1
7 945 59 101 0,943 7 635 3481 7 1529 10201
Posredstvom ugrađene Excelove funkcije PEARSON ovu vrijednosti izračunavamo, kao na Slici 2. 160
19
težine
17
16
15 14 11 9
dužine 0
5
10
15
20
Slika 2. Ovu postavljenu vrijednost potvrditi ćemo i u statističkom softveru Minitab 12.1. Prozor sa rezultatom koji odgovara vrijednosti koeficijenta korelacije, dat je na slici 3.
Slika 3. Primjer 2. Na grupi od pet studenata zabilježene su vrijednosti dvaju obilježja X i Y. Pokazati da se u ovom slučaju radi o potpunoj funkcionalnoj vezi između vrijednosti ovih obilježja. Rješenje: Vrijednost koeficijenta korelacije r = 1(Slika 4.) ukazuje na savršenu povezanost.
y = 2x + 5
20 15
r =1
10 5 0 0
1
2
3
4
5
6
Slika 4.
161
Primjer 3. Sljedeća tabela sadrži podatke o obimu prometa u 000 komada jednog prehrambenog artikla, veličini poslovnog prostora u 00 m2 i udaljenost od centra grada u km, u slučajnom uzorku od 7 prodavnica. Ocijeniti koeficijente višestruke linearne korelacije R i determinacije R2 posredstvom ugrađenih Excelovih funkcija PEARSON i TREND. Redni Obim broj prometa i y
Poslovni prostor x1
Udaljenost Vrijednosti od centra reg. modela x2 yp
y - y p (y - y p ) 2
y - y
(y -y ) 2
1
120
4,2
2
124,59677
-4,59677
21,13033
21,42857
459,1837
2
150
4,2
1,5
143,22581
6,774194
45,8897
51,42857
2644,898
3
180
5
2,5
179,51613
0,483871
0,234131
81,42857
6630,612
4
30
3
1,5
32,903226
-2,90323
8,42872
-68,5714
4702,041
5
75
3
0,5
70,16129
4,83871
23,41311
-23,5714
555,6122
6
60
3,2
1,5
51,290323
8,709677
75,85848
-38,5714
1487,755
7
75
3,4
1
88,306452
-13,3065
177,0617
-23,5714
555,6122
690
690
352,0161
17035,71
Rješenje Koeficijent višestruke linearne korelacije R je relativna mjera koja pokazuje stepen slaganja varijacija u uzorku između zavisne promjenljive y i grupe nezavisnih promjenljivih, u našem primjeru x 1 i x 2 . Ovaj koeficijent uvijek poprima nenegativne vrijednosti: 0 R 1. Koeficijent višestruke linearne korelacije R jednak je pozitivnom kvadratnom korijenu koeficijenta višestruke determinacije R2: 7
(y y ) i
2
R R 1
p
2
i 1 7
(y y) i
2
352,0161 1 0,99336579 0,9896 17035,71
gdje:
y p m2 x 2 m1 x 1 b odgovara regresionom modelu
i 1
Vrijednosti regresionog modela, u gornjoj tabeli, izračunali smo pomoću TREND funkcije. Vrijednost koeficijenta R posredstvom funkcije PEARSON, izračunavamo kao na slici 5.
Vrijednost R = 0,9896 ukazuje na visoku linearnu povezanost između zavisne promjenljive y i nezavisnih promjenljivih x 1 i x 2 .
Slika 5. Vrijednost koeficijenta višestruke determinacije R2 iznosi: Koeficijent višestruke determinacije R2 možemo odrediti i pomoću vrijednosti prostih koeficijenata korelacije, izračunatih posredstvom funkcije PEARSON: 2
R
ryx2 1 ryx2 2 2 ryx 1 ryx 2 rx 1 x 2 1 rx21 x 2
0,979336579=PEARSON(A2:A8;TREND(A2:A8;B2:C8))
R 0,97933657 9 0,989614 0,979336579
0,953623137 =PEARSON(A2:A8;B2:B8) 0,617817217 =PEARSON(A2:A8;C2:C8) 0,810356418 =PEARSON(B2:B8;C2:C8)
162
PERCENTILE Ova funkcija postavlja vrijednost do koje se ili ispod koje se nalazi k % podataka. k% podataka
Sintaksa PERCENTILE( array; k) Array je polje podataka; k je procentualna vrijednost u intervalu od 0(nula) do 1(jedan). Postoji 99 procenata i u jednoj idealnoj situaciji 99 procenata dijeli podatke na 100 jednakih (n 1) k j g (n 1) k j g PERCENTILE
g0
g0
PERCENTILE x j1
PERCENTILE x j1 g (x j 2 x j1 )
dijelova. Mnogo češće procenti neće dijeliti podatke na jednake dijelove. Postoji nekoliko dogovora oko načina izračunavanja procenata i prema svim tim dogovorima podaci se moraju poredati od najmanjeg ka najvećem a k-ti procenat je onda vrijednost do koje se ili ispod koje se nalazi k - procenata podataka. Funkcija PERCENTILE postavlja vrijednost koristeći funkciju empirijske raspodjele sa interpolacionim metodom, koji se sastoji u tome da se broj vrijednosti n umanji za jedan i pomnoži sa određenim brojem k. Dobijeni proizvod se rastavlja na cijeli dio j i ostatak g. U odnosu na ostatak g koji može biti nula, ili veći od nule, imamo sljedeće slučajeve: Napomene Ako je argument array prazan ili sadrži više od 8191 tačaka podataka, PERCENTILE postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako k nije broj funkcija PERCENTILE postavlja vrijednost greške #VALUE!. Ako je k < 0 ili ako je k > 1, PERCENTILE postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako k nije višekratnik od 1/(n - 1), PERCENTILE interpolacijom određuje vrijednost k-tog procenta. Primjer 1. Podaci se nalaze u polju A1:K1. Posredstvom funkcije PERCENTILE izračunati do koje vrijednosti se nalazi 20% podataka. 1 2
A 0
B 1
C 2
D E F 3 4 5 2 =PERCENTILE(A1:K1;20%)
G 6
H 7
I 8
J 9
K 10
(11 1) 20% 2 0 j 2, g 0
. . . . . . . . . . . +---------+---------+---------+---------+---------+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
PERCENTILE x
j1
x 2 3
Dakle, do vrijednosti 2 se nalazi 20% podataka. Pretpostavimo da podaci u polju A1:K1 nisu poredani po veličini. Da li će rezultat koji postavlja funkcija PERCENTILE biti isti? 1 2
A 8
B 10
C 5
D E F 7 2 4 2 =PERCENTILE(A1:K1;20%)
G 6
H 3
I 0
J 9
K 1
Naravno, rezultat je isti. Funkcija PERCENTILE (negdje u svojoj pozadini) poreda podatke po veličini i postavi odgovarajuću vrijednost do koje se, ili ispod koje se nalazi k% podataka.
163
Primjer 2. 1 2
A 0
B 0,5
C 0,8
D E F 2,3 2,8 4 0,8 =PERCENTILE(A1:K1;20%)
G 8
H 12
I 15
J 19
K 20
(11 1) 20% 2 0
x 3 = 0,8
j 2, g 0 PERCENTILE x
0
10
j1
x 3 0,8
20
k=20%
Sasvim je očigledno da vrijednost koju postavlja funkcija PERCENTILE zavisi od broja podataka i zadanog procenta k. U ovom primjeru je k = 20%, n = 11. Kako je j = 2, a g = 0, to će treća vrijednost po veličini odgovarati zadanom procentu. Koji podatak odgovara 50-tom procentu, odnosno medijani? 1 2
A 0
B 0,5
C 0,8
D E F 2,3 2,8 4 4 =PERCENTILE(A1:K1;50%)
G 8
H 12
I 15
J 19
K 20
Podatak u sredini x 6 (vrijednost 4) odgovara 50-tom procentu, odnosno medijani jer se lijevo (11 1) 5 0 % 5 0 i desno od njega nalazi po 5 podataka iz danog skupa podataka. j 5, g 0
PERCENTILE
... .. . . . . . . +---------+---------+---------+---------+---------+
x
j 1
x6 4
Primjer 3. Na podacima u polju A1:E10 izračunati vrijednost koja odgovara 10-tom procentu.
(50 1) 0,1 4 0,9 ; g 0,9 0; PERCENTILE x 0,9 (x x ) 63 0,9 (64 - 63) 63,9 5 5 6
Primjer 4. Na jednom fakultetu izmjerena je visina (u cm) za 150 studenata III godine (polje A1:O10). Postaviti vrijednosti koje odgovaraju 25-tom i 50-tom procentu. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 171 170 170 168 169 170 171 170 169 171
B 170 169 171 169 169 169 171 171 170 170
C 172 170 170 171 170 171 170 171 169 171
D 170 172 172 170 171 169 171 171 167 170
E 169 171 171 170 168 169 168 171 170 169
F 170 170 170 169 170 171 170 169 170 171
G 170 170 170 170 170 171 170 169 171 167
H 169 170 169 170 169 169 169 169 169 170
I 170 169 168 171 170 170 171 169 170 169
J 172 169 170 169 170 169 170 172 172 172
K 167 171 171 170 170 170 170 171 170 170
L 170 171 171 171 170 169 171 169 170 169
M 171 172 171 169 170 169 171 171 171 171
N 170 171 169 169 169 170 169 169 169 168
O 172 170 170 170 170 170 169 170 168 171
P
Q
169 =P E R C E N T ILE (A 1:O 10;0,25) 170 =P E R C E N T ILE (A 1:O 10;0,5)
50% podat aka
170 cm
Vidimo da 25% studenata ima manju, odnosno 75% studenata ima veću visinu od 169 cm. Medijana iznosi 170 cm što ukazuje da 50% studenata ima manju i 50% veću visinu od 170 cm.
164
Primjer 5. Ilustrirati izračunavanje za Q1, Q2 i Q3 (prvi, drugi i treći kvartil) koristeći različite metode računanja koje koriste specijalizovani statistički softveri Statistica, Minitab, SPSS i NCSS na sljedećim sortiranim podacima: 1, 2, 4, 7, 8, 9 , 10, 12, 13. Vidjeli smo da proračunska tablica Excel kao metod za izračunavanje procenata koristi funkciju empirijske raspodjele sa interpolacijom (funkcija PERCENTILE), koja na gornjim podacima postavlja sljedeće vrijednosti za Q1, Q2 i Q3: (9 1) 0,25 2 2 0 j 2, g 0 Q1 x j1 x 3 4 1 2 3 4 5 6
A 1 x1
B 2 x2
(9 1) 0,5 4 4 0 j 4, g 0 Q 2 x j1 x 5 8 C 4 x3
D 7 x4
E 8 x5
4 =PERCENTILE(A1:I1;1/4)
(9 1) 0,75 6 6 0 j 6, g 0 Q 3 x j1 x 7 10
F 9 x6
G 10 x7
H 12 x8
I 13 x9
8 =PERCENTILE(A1:I1;1/2)
10 =PERCENTILE(A1:I1;3/4)
Statistički softver Statistica koristi sljedeće metode za izračunavanje procenata:
(n 1) k j g g0 PERCENTILE x j1
(n 1) k j g g0 PERCENTILE x j1 g (x j 2 x j1 )
Vidimo da Statistica koristi šest različitih metoda za izračunavanje procenata. 165
Dakle, za izračunavanje procenata određenom metodom neophodno je selektovati odgovarajuću opciju. Na prethodnoj slici u Statistici je odabran Excelov metod izračunavanja procenata, koji postavlja iste vrijednosti kao i funkcija PERCENTILE:
Variable Podaci
Descriptive Statistics (Spreadsheet1) Median Lower Upper Quartile Quartile 8,000000 4,000000 10,00000
Q
(9 1) 0,5 4 4 0 j 4, g 0
(9 1) 0,25 2 2 0 j 2, g 0
(9 1) 0,75 6 6 0 j 6, g 0
Q 2 x j1 x 5 8
Q1 x j1 x 3 4
Q 3 x j1 x 7 10
Q2
1
2
Q
3
7
12
Podaci
Weighted Average at X nk Percentile Metod: Izraz n*k (n puta k) se rastavlja kao: nk = j + g gdje je j cijeli dio od nk, a g ostatak. Odgovarajući procenat se izračunava prema izrazu: nk j g PERCENTILE (1 g) x j g x j1
Na podacima u našem primjeru, dobijamo: Q 1 = 2,5 ; Q 2 = 7,5 ; Q 3 = 9,75. Variable Podaci
Q
Descriptive Statistics (Spreadsheet1) Median Lower Upper Quartile Quartile 7,500000 2,500000 9,750000
Q 2
1
2
Q
3
7
12
Podaci
Weighted Average at X (n+1) k Percentile Metod: Izraz (n+1)*k se rastavlja kao: (n+1)k = j + g gdje je j cijeli dio od (n+1)k, a g ostatak. Odgovarajući procenat se izračunava prema izrazu: (n 1) k j g PERCENTILE (1 g) x j g x j1
Na podacima u našem primjeru, dobijamo: Q 1 = 3 ; Q 2 = 8 ; Q 3 = 11. Variable Podaci
Q
2
Descriptive Statistics (Spreadsheet1) Median Lower Upper Quartile Quartile 8,000000 3,000000 11,00000
Q 2
1
7
Q
3
12
Podaci
166
Empirical distribution function metod: Izraz n*k (n puta k) se rastavlja kao: nk = j + g gdje je j cijeli dio od nk, a g ostatak. Odgovarajući procenat se izračunava prema izrazu: nk j g PERCENTILE x j1 , ako je g 0.
nk j g PERCENTILE x j , ako je g 0
Na podacima u našem primjeru, dobijamo: Q 1 = 4 ; Q 2 = 8 ; Q 3 = 10. Descriptive Statistics (Spreadsheet1) Median Lower Upper Quartile Quartile 8,000000 4,000000 10,00000
Variable Podaci
Q
Q2
1
2
Q
3
7
12
Podaci
Empirical distribution function with averaging metod: Izraz n*k (n puta k) se rastavlja kao: nk = j + g gdje je j cijeli dio od nk, a g ostatak. Odgovarajući procenat se izračunava prema izrazu: nk j g
nk j g
PERCENTILE
x j x j1 2
PERCENTILE x j1 , ako je g 0.
, ako je g 0
Na podacima u našem primjeru, dobijamo: Q 1 = 4 ; Q 2 = 8 ; Q 3 = 10. Descriptive Statistics (Spreadsheet1) Median Lower Upper Quartile Quartile 8,000000 4,000000 10,00000
Variable Podaci
Q
Q2
1
2
Q
3
7
12
Podaci Closest observation metod: Cijeli dio od nk +1/2 odgovara j. Odgovarajući procenat se izračunava prema izrazu:
PERCENTILE x j
Na podacima u našem primjeru, dobijamo: Q 1 = 2 ; Q 2 = 8 ; Q 3 = 10. Q
Q 2
1
Q
3
Variable Podaci
2
7
Descriptive Statistics (Spreadsheet1) Median Lower Upper Quartile Quartile 8,000000 2,000000 10,00000
12
Podaci
167
U Minitabu 12.1 dobijamo sljedeće vrijednosti za prvi, drugi i treći kvartil: Variable Podaci
N 9
Mean 7,33
Median 8,00
TrMean 7,33
Variable Podaci
Minimum 1,00
Maximum 13,00
Q1 3,00
Q3 11,00
StDev 4,24
SE Mean 1,41
13 12 10 9 8 7
10
8
Podaci
Podaci
10
5
5 4 2 1 0
0
Ovi box-grafovi odgovaraju metodi X (n+1)k.
U istom programu karakteristični box-graf odgovara Excelovoj metodi, itd. ------------------------------------I + I-----------------------------------------+---------+---------+---------+---------+-- Podaci 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5
Rezultati u SPSS v11:
PODACI
1
1
Percent 11,1
Valid Percent 11,1
Cumulative Percent 11,1
2
1
11,1
11,1
22,2
4
1
11,1
11,1
33,3
Statistics
Frequency Valid
PODACI N
Valid
9
Missing
0
7
1
11,1
11,1
44,4
8,00
8
1
11,1
11,1
55,6
25
3,00
9
1
11,1
11,1
66,7
50
8,00
10
1
11,1
11,1
77,8
12
1
11,1
11,1
88,9
75
11,00
13
1
11,1
11,1
100,0
Total
9
100,0
100,0
Median Percentiles
NCSS97:
Q u a r tile S e c tio n o f P o d a c i 1 0 th P a r a m e te r P e r c e n tile V a lu e 1 95% LC L 95% U C L
2 5 th P e r c e n tile 4
5 0 th P e r c e n tile 8 2 12
7 5 th P e r c e n tile 10
9 0 th P e r c e n tile 13
168
PERCENTRANK Ova funkcija postavlja položaj x vrijednosti u skupu podataka kao procenat skupa podataka. Sintaksa PERCENTRANK( array ; x ; significance ) Array je skup brojeva. X je vrijednost za koju želimo odrediti položaj u datom skupu brojeva. Significance je vrijednost kojom određujemo na koliki broj cifara treba postaviti vrijednost procenta. Ako ispustimo significance, funkcija PERCENTRANK koristi tri cifre (0,xxx %). Napomene Ako je argument array prazan, PERCENTRANK izračunava vrijednost greške #NUM!. Ako je significance < 1, PERCENTRANK izračunava vrijednost greške #NUM!. Ako vrijednost x nije jednaka nekoj od vrijednosti u argumentu array, PERCENTRANK interpolacijom izračunava odgovarajući procenat. Primjer 1. Na slici 1. dati su podaci koji su ustanovljeni na slučajnom uzorku od n = 10 pušača. Odrediti odgovarajući procenat za vrijednost x = 20 ( dvadeset dnevno ispušenih cigareta).
Slika 1. Rješenje Na istoj slici dato je i rješenje, odnosno odgovarajući procenat za vrijednost x = 20, u polju brojeva B2:B11, koji se odnose na broj dnevno ispušenih cigareta za deset osoba iz uzetog uzorka. Ako pogledamo sintaksu funkcije PERCENTILE možemo lako oučiti relaciju između ove i funkcije PERCENTRANK. Ako je PERCENTILE(array;k)=d PERCENTRANK(array;d)=k. (n 1) k j g
9 0,6666 6
g0
PERCENTILE x 7 20
PERCENTILE x j 1
g0
(n 1) k j g g0 PERCENTILE x j 1 g (x j 2 x j 1 )
169
PERMUT Ako su n i k cijeli brojevi, takvi da je 0 k n tada jednakost n! (n k)! odgovara broju varijacija bez ponavljanja. Kada želimo da obrazujemo varijacije k - te klase od n elemenata, najprije obrazujemo kombinacije k - te klase, a zatim u njima permutujemo elemente i zbog toga možemo reći da su varijacije permutovane kombinacije. Ovaj izraz odgovara Excelovoj funkciji PERMUT. Vkn n (n 1) (n 2) ... (n k 1)
Sintaksa PERMUT ( number ; number_chosen ) Number odgovara cijelom broju n. Number_chosen odgovara cijelom broju k. Napomene Vrijednostima argumenata odbacuju se decimale. Ako number ili number_chosen nisu numeričke vrijednosti, funkcija PERMUT postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je number 0 ili je number_chosen < 0, PERMUT postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je number < number_chosen, PERMUT izračunava vrijednost greške #NUM!. Varirati n datih elemenata u slogove k-te klase bez ponavljanja znači složiti po k elemenata na sve moguće načine i u svim mogućim rasporedima, ali tako da se u svakom slogu svaki element javlja najviše jedanput. Dakle, kod varijacije je bitno i prisustvo i mjesto elemenata u slogu. Dakle, izraz za funkciju PERMUT, odgovara broju varijacija bez ponavljanja: PERMUT(number n;number_chosen k) Vkn n (n 1) (n 2) ... (n k 1)
n! (n k)!
Kada je number = number_chosen = n, broj varijacija bez ponavljanja odgovara izrazu: n! n! , gdje je 0! 1. 0! odnosno broju permutacija bez ponavljanja; permutovati n elemenata znači izvršiti sve moguće rasporede koje ti elementi mogu zauzeti. U svakom takvom rasporedu pojavljuju se svi elementi a svaki takav slog zove se permutacija. To znači da je kod permutacija kao i kod varijacija bitno i prisustvo i mjesto svakog elementa. Pri obrazovanju permutacija polazi se od najnižeg ili početnog sloga iz kojeg se postupno izvode viši slogovi. Broj permutacija bez ponavljanja možemo izračunati i posredstvom ugrađene funkcije FACT(n) iz kategorije matematičkih funkcija. Kada se jedan element javlja više puta u jednoj permutaciji onda imamo permutacije sa ponavljanjem. Ako imamo n elemenata od kojih je k1,k2,…,km istih, pri čemu je k1+k2+…+km n, broj različitih permutacija jednak je PERMUT(number n;number_chosen n)
n! MULTINOMIAL(k 1 ;k 2 ;...;k m ) k 1 !k 2 !... k m ! gdje funkcija MULTINOMIAL pripada kategoriji matematičkih funkcija.
170
Ako su n i k cijeli brojevi, takvi da je 0 k n onda vrijedi sljedeća jednakost:
Vkn
n! PERMUT(n;k) , odnosno : COMBIN(n;k) k! k! (n k)! k! gdje nCk odgovara broju kombinacija. Primjer 1. Neka je A = {a , b , c } skup od n = 3 elementa, i k = 2. Onda je B = { {a , b} , {b , a } , {a , c} , {c , a }, {b , c } , {c , b } } skup svih varijacija klase 2 u skupu A od 3 elementa. Kako je broj elemenata skupa B jednak 6, možemo zaključiti da je broj varijacija jednak 6. Posredstvom funkcije PERMUT, broj varijacija računamo kao na Slici 1. n Ck
PERMUT(number 3;number_chosen 2) V23
3! 326 1!
Slika 1. Koristićemo program Mathematica da pokažemo kako se u njemu mogu izračunati varijacije klase 2 u skupu od 3 elementa: In[3]:=
Permutationsa, b, c, 2
Out[3]= a,
b, a, c, b, a, b, c, c, a, c, b
Primjer 2. Neka je A = {a , b , c, d } skup od n = 4 elementa, i k = 4. Onda je B skup svih permutacija bez ponavljanja; broj elemenata skupa B jednak je 4! = 24.
PERMUT(num ber 4; number_cho sen 4) 4 3 2 1 24
In[1]:=
Permutationsa, b, c, d, 4
Out[1]= a,
a, b, c, d,
b, c, d, b, c, d, b, a, a, c,
d, c, a, d, b,
a, b, d, c, a, c, b, d, a, c, d, b,
a, d, c, b, b, a, c, d, b, a, d, c, b, c, a, d, b, d, a, c, b, d, c, a, c, a, b, d, c, a, d, b, c, b, d, a, c, d, a, b, c, d, b, a, d, a, b, c,
d, b, a, c, d, b, c, a, d, c, a, b, d, c, b, a
171
POISSON Za slučajnu varijablu X kažemo da ima Poissonovu raspodjelu ako je njena funkcija p.m.f. oblika: e 2,7183
λ x e λ f ( x) , x 0, 1, 2, 3, ... x!
Ojlerova konstanta
gdje je > 0. Poissonovu raspodjelu nazivamo i raspodjelom rijetkih događaja, jer se za velike n (broj pokušaja n ) i male p (p 0 ) binomna raspodjela aproksimira ovom raspodjelom. Sintaksa POISSON( x ; mean ; cumulative ) X odgovara broju događaja. Mean = = n * p je očekivana vrijednost raspodjele. Cumulative je logička vrijednost koja određuje oblik Poissonove funkcije; ako je jednaka k λ x λ e TRUE , POISSON odgovara izrazu POISSON(x;mean ; TRUE) k!
k 0
i izračunava Poissonovu raspodjelu da će broj slučajnih događaja koji se dogode, biti između nula i x uključivo. Ako je logička vrijednost cumulative jednaka FALSE, funkcija POISSON postavlja vjerojatnoću da će broj događaja biti tačno x prema izrazu:
POISSON(x;mean n p;FALSE)
x e , x 0, 1, 2, 3, ... x!
Napomene Ako x nije cijeli broj, odbacuju mu se decimale. Ako x ili mean nije broj, POISSON postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x 0, POISSON postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je mean 0, POISSON postavlja vrijednost greške #NUM!. Na osnovu poznate činjenice da je k k e , ( R) lako se pokazuje da vrijedi : e 1 k! k! k 0 k 0
Ako je broj pokušaja u binomnoj raspodjeli n 100 i n*p < 10, onda x ima binomnu raspodjelu koja se može aproksimirati Poissonovom raspodjelom sa parametrom =n*p. Poissonova raspodjela može biti korištena kao matematički model da se opiše vjerovatnoća, npr. dolazaka autobomila na benzinsku pumpu, aviona na aerodrom, i tako dalje. Primjer 1. Neka slučajna varijabla X ima Poissonovu raspodjelu kod koje je = 4. Izračunati vjerovatnoću: a) P( X = 6 ) ; b) P( X 6 ). Rješenje 4 6 e 4 a) POISSON(6;mean 4;FALSE) 0,1042 6! 6 4 k e 4 b) POISSON(6;mean 4; TRUE) 0,8893 k! k 0
0,2 0,15 0,1 0,05 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
172
Grafički prikaz Poissonovih vjerovatnoća za x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, i 6 dat je na slici 1.
6
0,2 0,15
k 0
0,1
4 k e 4 k!
0,05 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Slika 1. Suma svih ovih vjerovatnoća odgovara vjerovatnoći P( X 6). Primjer 2. Vjerovatnoća da u toku jednog sata dođe poziv na telefonsku centralu od bilo kojeg od 500 telefonskih pretplatnika iznosi 0,0075. Kolika je vjerovatnoća da u jednom satu dođe poziv od: a) 5 pretplatnika, i b) najviše 5 pretplatnika ? Rješenje U ovom slučaju je n = 500, p = 0,0075, pa je mean = = n*p = 500*0,0075 = 3,75. Kako je ova vrijednost manja od 10 to su ispunjeni uslovi za primjenu Poisson-ove aproksimacije slučajne binomne varijable. Posredstvom funkcije POISSON (slika 2.) izračunata je vjerovatnoću pod a), da u jednom satu dođe poziv od tačno x = 5 pretplatnika.
0,25 0,2 0,145335
0,15 0,1 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3,75 5 e 3,75 0,145335 5!
Slika 2. Vjerovatnoća pod b), da dođe poziv najviše od 5 pretplatnika jednaka je vrijednosti sljedeće 0,25 5 sintakse, odnosno izraza: 3,75k e 3,75 0,2 POISSON(5;mean 3,75; TRUE) k! 0,15
5
k 0
3,75k e 3,75 0,822883 k!
k 0
0,1 0,05 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
173
PROB Izračunava vjerovanoću da su vrijednosti u intervalu između dvaju granica. Sintaksa PROB ( x_range ; prob_range ; lower_limit ; upper_limit ) X_range je opseg brojčanih vrijednosti x. Prob_range je skup vjerovatnoća koje odgovaraju vrijednostima u argumentu x_range. Lower_limit je donja granica vrijednosti. Upper_limit je moguća gornja granica vrijednosti. Napomene Ako je bilo koja vrijednost u argumentu prob_range 0 ili > 1, funkcija PROB postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je zbir vrijednosti u argumentu prob_range 1, PROB postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je argument upper_limit ispušten, PROB izračunava vjerovatnoća čija je vrijednost jednaka donjoj granici, odnosno argumentu. Ako argumenti x_range i prob_range sadrže različiti broj vrijednosti, funkcija PROB postavlja vrijednost greške #N/A. Ako gornja granica upper_limit nije zadata, funkcija izračunava vjerovatnoću da su vrijednosti u argumentu x_range jednake donjoj granici lower_limit. Primjer 1. Pretpostavimo da binomni eksperiment sa n = 12 pokušaja ima vjerovatnoću uspjeha p = 0,22. Kolika je vjerovatnoća uspjeha u ovoj raspodjeli između 3 i 8 ? Rješenje Vjerovatnoća uspjeha raspodjele u granicama između 3 i 8 jednaka je 0,51122 i odgovara izrazu: 8
i 0
12 0,22 i 0,78 12 i i
2
12
i 0,22
i
0,78 12 i
i 0
U proračunskoj tablici Excel, do ove vrijednosti dolazimo veoma jednostavno posredstvom ugrađene funkcije PROB, kao na slici 1.
Slika 1.
174
QUARTILE Ova funkcija izračunava kvartile skupa podataka koristeći funkciju empirijske raspodjele sa interpolacionim metodom, koji se sastoji u tome da se broj vrijednosti n umanji za jedan i pomnoži sa određenim brojem p koji predstavlja odgovarajući procenat vrijednosti u datom opsegu. Dobijeni proizvod se rastavlja na cijeli dio j i ostatak g. U odnosu na ostatak g koji može biti nula ili veći od nule imamo sljedeće slučajeve: (n 1) p j g (n 1) p j g g0 g0
QUARTILE x j 1
QUARTILE x j 1 g (x j 2 x j 1 )
Sintaksa QUARTILE ( array; quart ) Array je polje brojčanih vrijednosti za koje želimo izračunati vrijednost kvartila. Argument quart pokazuje koja se vrijednost izračunava. Ako je quart jednak: funkcija QUARTILE izračunava: 0 Minimalnu vrijednost 1 Prvi kvartil (25-ti procenat) 2 Vrijednost medijane (50-ti % ) 3 Treći kvartil (75-ti procenat) 4 Maksimalnu vrijednost Napomene Ako je argument array prazan ili sadrži više od 8191 vrijednosti, funkcija QUARTILE izračunava vrijednost greške #NUM!. Ako quart nije cijeli broj, odbacuju se decimale. Ako je quart < 0 ili je veći od 4, QUARTILE izračunava vrijednost greške #NUM!. Primjer 1. Na sljedećem skupu podataka o godišnjim plaćama (u hiljadama NJ) izračunati sve vrijednosti funkcije QUARTILE u odnosu na vrijednosti argumenta quart. Rješenje Minimalna i maksimalna vrijednost u skupu podataka odgovaraju vrijednostima argumenta quart = 0 i 4 (slika 1.).
Slika 1. Prvi kvartil (Q1 ) izračunavamo za vrijednost argumenta quart = 1:
(16 1) 0,25 3 0,75 g 0,75 0 QUARTILE x 4 0,75 (x 5 x 4 ) 19,2 0,75 (20,5 19,2) 20,175 175
Drugi kvartil (Q2 ) predstavlja medijanu i izračunavamo ga za vrijednost argumenta quart = 2:
(16 1) 0,5 7 0,5 g 0,5 0 QUARTILE x 8 0,5 (x 9 x 8 ) 23,8 0,5 (24,1 23,8) 23,95 Treći kvartil (Q3 ) izračunavamo za vrijednost argumenta quart = 3:
(16 1) 0,75 11 0,25 g 0,25 0 QUARTILE x 12 0,25 (x 13 x 12 ) 26,8 0,25 (27 26,8) 26,85 Pored ovog metoda dosta često se u statističkoj literaturi koristi i metod funkcije empirijske raspodjele sa usrednjavanjem koji s koji se sastoji u tome da se broj vrijednosti n pomnoži sa određenim brojem p koji predstavlja odgovarajući procenat vrijednosti u datom opsegu. Dobijeni proizvod se rastavlja na cijeli dio j i ostatak g. U odnosu na ostatak g koji može biti nula ili veći od nule imamo sljedeće slučajeve: n p j g n p j g g0
QUARTILE
x j x j 1
g0 QUARTILE x j 1
2 Razlika u računanju se reflektuje na prvi i treći kvartil. Q1 i Q3 izračunati ovom metodom imaju sljedeće vrijednosti: 16 0,25 4 0 g0 QUARTILE
x4 x5 19,2 20,5 19,85 2 2
16 0,75 12 0 g0 QUARTILE
x 13 x 14 27 28,5 26,9 2 2
Procedura računanja kvartila se sastoji u tome da se podaci poredaju od najmanjeg ka najvećem i izračuna medijana koja predstavlja drugi kvartil. Zatim se izračuna prvi kvartil kao medijana donje polovine podataka bez uključivanja medijane Q2. Treći kvartil se računa kao medijana gornje polovine podataka takođe bez uključivanja medijane Q2. Možemo napisati:
176
RANK Ova funkcija nam daje mogućnost da date podatke poredamo po veličini, odnosno rangiramo ih u smjeru od najvećeg prema najmanjem ili obrnuto. Sintaksa RANK ( number ; ref ; order ) Number je broj čiji položaj želimo odrediti. Ref je polje popisa brojeva ili referenca na popis brojeva; vrijednosti koje nisu brojevi u ref su zanemarene. Order je broj kojim određujemo kako treba odrediti položaj argumenta number. Ako je nula ili ispušten, Excel određuje položaj broja, odnosno rang kao da je ref popis razvrstan u opadajućem redoslijedu. Kada se razlikuje od nule, Excel određuje položaj broja kao da je ref popis razvrstan u rastućem redoslijedu. Napomene Način na koji funkcija RANK dodjeljuje rang argumentu number naziva se "popular ranking method" i sastoji se u tome da se duplikatima brojeva pridružuje isti položaj; međutim, prisutnost duplikata brojeva utiče na rang brojeva koji slijede. Rang broja je njegova relativna veličina u odnosu na ostale vrijednosti u popisu. Pored ovog metoda rangiranja postoji i matematički metod rangiranja (" mathematical ranking method") koji istim rangovima dodjeljuje njihovu aritmetičku sredinu. Primjer 1. Na slici 1. dati su podaci koji su ustanovljeni na slučajnom uzorku od n = 10 pušača koji istovremeno i piju kafu. Rangirati podatke broja dnevno popušenih cigareta i šoljica popijene kafe u rastućem redoslijedu. Rješenje Na istoj slici dato je rješenje, odnosno rangirane vrijednosti podataka o broju dnevno ispušenih cigareta i ispijenih šoljica kafe, po Excelovoj metodi .
Slika 1. Osobe 5, 6, i 7 ispuše dnevno po 19 cigareta pa njima pripada rang 4, a rangovi 5 i 6 se preskaču. 177
Osobe 3, i 5 ispiju dnevno po 10 šoljica kafe pa njima pripada rang 6, a rang 7 se preskače. Matematički metod rangiranja prikazan je na slici 2. i u odnosu na funkciju RANK razlikuje se u tome što se kod osoba 5, 6, i 7 koje ispuše dnevno po 19 cigareta, rang izračunava tako što se rangovi 4, 5, i 6 zamjenjuje se aritmetičkom sredinom rangova 4, 5, i 6, što odgovar rangu 5; rangovi 4, i 6 se preskaču. Na identičan način kod broja dnevno ispijenih šoljica kafe rangovi 6 se zamjenjuju sa rangom 6,5; dakle u ovoj metodi preskačemo rangove 6 i 7.
Slika 2. Poredani podaci po rangovima su dobra podloga za izračunavanje korelacije ranga između posmatranih pojava, u našem slučaju između podataka o broju dnevno ispušenih cigareta i ispijenih šoljica kafe. Korelacija ranga izračunava se prema formuli n
rk 1 6
d
2 i
i 1
n3 n pri čemu d i označava razliku između odgovarajućih rangova prve i druge varijable, a n ukupan broj rangova; poznat je i po nazivu Spearmanov koeficijent korelacije. Napomena Rang korelacija nam daje samo približnu indikaciju veze između dvije varijable. Postupak izračunavanja sastoji se u tome da se prvo članovi niza rangiraju a zatim iz dobijenih rangova utvrdi koeficijent korelacije ranga prema gornjoj formuli. Ako rangovi dvaju nizova imaju jednak redoslijed, razlike d i jednake su nuli pa je i njihova suma jednaka nuli, odnosno koeficijent korelacije ranga jednak je +1. U ovom slučaju postoji najveća pozitivna korelacija između dvaju varijabli. Ako rangovi drugog niza imaju obrnut redoslijed od rangova prvog niza tada je koeficijent korelacije ranga jednak je -1. Vidimo da se vrijednosti koeficijenta korelacije ranga kreću u intervalu [-1,+1]. Vrijednost nula nam pokazuje da između posmatranih pojava ne postoji povezanost. U našem primjeru veličina uzorka je n = 10, a sumu razlika odgovarajućih rangova d i 2 = 8 , možemo izračunati na jedan od sljedećih načina:
Sada možemo izračunati koeficijent korelacije ranga, prema Excelovoj metodi: n rk 1 6
d i 1 3
2 i
n n
1 6
8 48 1 0,9515151512 10 10 990 3
178
RSQ Ova funkcija nam omogućava da izračunamo kvadrat Pearson-ovog produkt - moment koeficijenta korelacije. Odgovara odnosu varijacije objašnjene regresijom i ukupne varijacije n
r2
(y
p
y) 2
i
y) 2
i 1 n
(y i 1
i poznata je po nazivu koeficijent determinacije ; n odgovara broju parova (x i , y i ), y aritmetičkoj sredini vrijednosti y i , a y p = m*x+b regresijskom pravcu u skladu sa metodom najmanjih kvadrata. Drugim riječima koeficijent determinacije r2 je mjera procenta varijacije u y koju možemo objasniti pomoću regresijskog pravca korištenjem x-a kao prediktorske varijable. Ako je r = 0,8, onda je r2 = 0,64, i mi možemo reći da oko 64% ponašanja varijable y može biti objašnjeno odgovarajućim ponašanjem x varijable ako koristimo jednačinu regresijskog pravca dobijenu metodom najmanjih kvadrata. Preostalih 36% ponašanja y varijable zavisi od drugih varijabli pored varijable x. Sintaksa RSQ(known_y's ; known_x's) Known_y's je polje ili opseg vrijednosti y i . Known_x's je polje ili opseg vrijednosti x i . Napomene Argumenti moraju biti brojevi, nazivi, polja, ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument koji je polje ili referenca sadrži tekst, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije s vrijednošću nula su uključene. Ako su argumenti known_y's i known_x's prazni ili imaju različiti broj podataka, funkcija RSQ postavlja vrijednost greške #N/A. Ukupna varijacija jednaka jen sumi objašnjene i neobjašnjene varijacije i može se n n predstaviti izrazom: 2 2 (y y) (y y) (y y )2
i
i 1
t
i 1
i
t
i 1
ukupna varijacija objašnjena varijacija neobjašnje na varijacija
Koeficijent deteminacije je na omjernoj skali mjerenja, što znači da ga možemo koristiti za direktno poređenje dvije jačine povezanosti; tako primjera radi možemo kazati da je r2 = 0,8 dva puta veći od koeficijenta determinacije r2 = 0,4. Koeficijent deteminacije izražen kroz poznate uparene vrijednosti (x i , y i ), glasi: 1 ( n
2
RSQ(known_ y' s ; known_x' s) r
1 ( n
n
x i 1
i
2
n
x y i
i
x y) 2
i 1
1 2 x )( n
n
y
i
2
2
y )
i 1
gdje n odgovara broju tačaka na dijagramu raspršenja, odnosno scatter dijagramu. Može se koristiti i za izračunavanje multiplog, odnosno višestrukog koeficijenta determinacije nodređenog izrazom: n R2 1
(y
y p )2
i
i 1 n
(y i 1
i
y) 2
(y
p
y) 2
i 1 n
(y
i
y) 2
varijabili tet objašnjen regresijom ukupna
varijacija
DEVSQ DEVSQ
yp y
i 1
179
Pozitivni kvadratni korijen iz multiplog koeficijenta determinacije zovemo multipli koeficijent korelacije i označavamo sa r. Kada imamo samo dvije nezavisne varijable x u multiploj (višestrukoj) regresiji, koeficijent multiple determinacije možemo izračunati prema izrazu: n
m1
1i
x 1 ) ( y i y) m 2
i 1
2
R
(x
n
n
y
i
y
2
x 2 ) ( y i y)
2i
i 1 2
m 1 COVAR x 1 y m 2 COVAR x 2 y VARP y
n
i 1
Kada imamo k nezavisnih varijabli x, koeficijent multiple determinacije možemo izračunati prema izrazu: n
n
m1
(x 1i x 1 ) ( y i y) ... m k
i 1
2
R
(x
n
y
i
2
i 1
y
2
(x
ki
x 2 ) ( y i y)
i 1
m 1 COVAR
... m k COVAR
x 1 y
x k y
VARP y
n
U multiploj regresiji se uobičajeno koristi i korigovani koeficijent multiple determinacije koji predstavlja nepristrasnu ocjenu nza populacioni multipli koeficijent determinacije: A djusted R 2 1
(y i 1
i
y p ) 2 /( n k 1) 1 (1 R 2 )
n
(y
i
y) 2 /( n 1)
n1 nk 1 2
i 1
2 Multipli koeficijent determinacije možemo izraziti i kao: CORREL yy , odnosno PEARSONyy p
p
Primjer 1. Zabilježena su sljedeća opažanja na uzorku:
Izračunati koeficijent determinacije, r2. Rješenje Koeficijent determinacije odgovara izrazu: r 2 xi
yi
xi2
x i* y i
yi2
4
4
16
16
16
5
6
25
30
36
3
5
9
15
25
6
7
36
42
49
10
7
100
70
49
=28 =29 =186 =173 =175
r2
5
5
xi 2 (
i1
i 1
5
y ) xi
i1
x i )2 5
i
2
i 1
5
i 1
5
yi 2 (
i1
x i )2
2
(5 173 28 29) 53 2809 0,565874 2 2 (5 186 28 ) (5 175 29 ) 146 34 4964 1 ( 5
2
1 ( 5
5
xi yi
i 1
5
2
odnosno:
r
5
(5
5
i1
5
x y x y) i
1 2 xi 2 x ) ( 5
1 ( 173 5,6 5,8)2 5 0,565874 1 1 2 2 2 2 ( 186 5 , 6 ) ( 175 5 , 8 ) yi y ) 5 5 2
i
i 1
5
i1
U proračunskoj tablici Excel do vrijednosti koeficijenta determinacije, možemo doći kao na Sl.1.
Slika 1. 180
Primjer 2. Sljedeća tabela sadrži podatke o obimu prometa u 000 komada jednog prehrambenog artikla, veličini poslovnog prostora u 00 m2 i udaljenost od centra grada u km, u slučajnom uzorku od 7 prodavnica. Ocijeniti koeficijente višestruke linearne korelacije R i determinacije R2 posredstvom ugrađenih Excelovih funkcija RSQ, SQRT i TREND. Redni Obim broj prometa i y
Udaljenost Trend od centra vrijednosti x2 yp
Poslovni prostor x1
y - yp
(y - y p ) 2
y - y
(y -y ) 2
1
120
4,2
2
124,59677
-4,59677
21,13033
21,42857
459,1837
2
150
4,2
1,5
143,22581
6,774194
45,8897
51,42857
2644,898
3
180
5
2,5
179,51613
0,483871
0,234131
81,42857
6630,612
4
30
3
1,5
32,903226
-2,90323
8,42872
-68,5714
4702,041
5
75
3
0,5
70,16129
4,83871
23,41311
-23,5714
555,6122
6
60
3,2
1,5
51,290323
8,709677
75,85848
-38,5714
1487,755
7
75
3,4
1
88,306452
-13,3065
177,0617
-23,5714
555,6122
690
690
352,0161
17035,71
Rješenje Koeficijent višestruke determinacije R2, iznosi: 7
(y y ) i
R2 1
p
2
i 1 7
(y y) i
2
1
352,0161 0,979336579 17035,71
gdje je : y p m2 x2 m1 x1 b regresiona jednačina.
i1
Vrijednosti duž trenda, u gornjoj tabeli, izračunate su posredstvom TREND funkcije. Vrijednost koeficijenta R2 posredstvom funkcije RSQ, izračunavamo kao na slici 2.
Vrijednost R2 = 0,979337 ukazuje na visoki % objašnjene varijacije
Slika 2. Vrijednost koeficijenta višestruke korelacije R iznosi: 0,989614359=SQRT(RSQ(A2:A8;TREND(A2:A8;B2:C8)))
Koeficijent višestruke determinacije možemo izračunati i pomoću vrijednosti određenih funkcijma PEARSON i CORREL: 2
R
ryx2 1 ryx2 2 2 ryx 1 ryx 2 rx 1 x 2 1 rx21 x 2
0,979336579
R 0,97933657 9
0,953623137 =PEARSON(A2:A8;B2:B8) 0,617817217 =PEARSON(A2:A8;C2:C8) 0,810356418 =PEARSON(B2:B8;C2:C8)
0,953623137 =CORREL(A2:A8;B2:B8) 0,617817217 =CORREL(A2:A8;C2:C8) 0,810356418 =CORREL(B2:B8;C2:C8)
181
SKEW Ova funkcija odgovara mjeri asimetrije Fisher's g1 i predstavlja jednu alternativnu mjeru asimetrije. Formula za njeno izračunavanje glasi: SKEW
n (n 1) 1 n2
gdje
1
m3 3 2
m2
1 n 1 n
n
(x
i
x) 3
i 1 n
i 1
(x i x )
3
2
odgovara poznatom koeficijentu asimetrije 3 . Sintaksa SKEW ( number1 ; number2; ...) Number1, number2,...su 1do 30 argumenata za koje želimo izračunati asimetriju. Možemo koristiti jednodimenzionalno polje ili referencu na polje umjesto argumenata odvojenih separatorom. Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument koji je polje ili referenca sadrži tekst, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, te su vrijednosti zanemarene; međutim, ćelije s vrijednošću nula su uključene. Ako su zadate manje od tri tačke podataka ili je standardna devijacija uzorka nula, SKEW postavlja vrijednost greške #DIV/0!. Izraz za asimetriju možemo napisati i u obliku: n SKEW (n 1) (n 2)
n
i 1
xi x s
3
,
gde je : s
1 n- 1
n
x i 1
x 2
i
n m2 n- 1
Za ocjenu oblika rasporeda uzimamo centralne momente u odnosu prema standardnoj devijaciji odgovarajućeg stepena. Kako je prvi centralni moment uvijek jednak nuli to se uzima sljedeći neparni centralni moment, dakle treći. Koeficijent asimetrije jednak je nuli za simetrične rasporede. Ako je raspodjela vjerovatnoća asimetrična nadesno tada kažemo da se radi o pozitivnoj asimetriji i koeficijent asimetrije ima pozitivnu vrijednost. U tom slučaju aritmetička sredina je veća od medijane a ova od modusa. Kada imamo lijevu asimetriju koeficijent asimetrije ima negativnu vrijednost i tada imamo relaciju da je aritmetička sredina manja od medijane a ova manja od modusa. Naravno pri tome treba istaći, da što je apsolutna vrijednost koeficijenta asimetrije veća to je i raspodjela asimetričnija. Koeficijent 3 možemo izračunati preko poznate vrijednosti funkcije SKEW, prema n2 obrascu: 3 SKEW Primjer 1. n (n 1) Na podacima pod a), b), i c) izračunati asimetriju i dati grafički prikaz.
182
Rješenje Funkcija SKEW (slika 1.) na podacima pod a) postavlja vrijednost nula, što ukazuje na simetričnu raspodjelu oko njene sredine. Na istoj slici dat je i odgovarajući grafički prikaz.
Slika 1. Na slici 2. vidimo da se radi o desno asimetričnoj raspodjeli.
Slika 2. Raspodjela podataka pod b) je više razvučena prema pozitivnim vrijednostima i funkcija SKEW ima pozitivnu vrijednost. Na podacima pod c) funkcija SKEW postavlja negativnu vrijednost.
Slika 3. Ovdje se radi o lijevo asimetričnoj raspodjeli. 183
SLOPE Ova funkcija na osnovu poznatih parova vrijednosti (x i , y i ) izračunava nagib m regresijskog n n n pravca y = m*x +b, prema izrazu: n xi yi xi yi m
n x ( x ) i 1
i 1
n
i 1
n
2 i
i 1
m
2
i
i 1
y x y
x
Sintaksa SLOPE ( known _y's ; known_x's ) Prvi argument known_y's predstavlja vrijednosti zavisne varijable. Drugi argument known_x's odgovara vrijednostima nezavisne varijable. Funkcija SLOPE je osjetljiva na promjenu mjesta argumentima; ako prvo upišemo vrijednosti x i , pa onda y i postavljena vrijednost će odgovarati nagibu d, regresijskog pravca x = d* y+c. Napomene Argumenti moraju biti brojevi, nazivi, polja, ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument, zapisan u obliku polja ili reference, sadrži tekst, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, te se vrijednosti zanemaruju; međutim, ćelije sa nulom su uključene. Ako known_y's i known_x's sadrže različit broj podataka ili uopšte ne sadrže podatke, funkcija SLOPE postavlja vrijednost greške #N/A. n n n Jednačina za SLOPE, glasi: n xi yi xi yi SLOPE(known_y' s;known_x' s) m
i 1
i 1
n
n
x
i
2
(
i 1
i 1
n
x ) i
2
i 1
Ako promijenimo mjesta argumentima, tada funkcija SLOPE postavlja nagib d, n n n regresijskog pravca x = d* y+c prema obrascu: n xi yi xi yi SLOPE(known_x' s;known_y' s) d
i 1
n
i 1
n
y i 1
i
2
(
i 1
n
y ) i
2
i 1
184
Primjer 1. U jednoj kompaniji su zabilježeni podaci o obimu proizvodnje u tonama (x) i ukupnim troškovima (y) u 103 NJ(novčanih jedinica):
Odrediti koeficijent proporcionalnosti funkcije ukupnih troškova m, odnosno koeficijent regresijskog pravca y = m*x+b. Pošto je kretanje ukupnih troškova probližno linearno, polazimo od funkcije y p = mx+b. Rješavanjem sistema normalnih jednačina, dobijamo sljedeći izraz za m: 6
6 m
6
6
x y x y i
i 1
6
i
i
i 1
6
6
x ( x ) 2 i
i 1
i
i 1
i
2
i 1
Korištenjem gotovih Excelovih funkcija SUMPRODUCT, SUMSQ i SUM (na slici 1.) izračunate su vrijednosti za sume u izrazu za m.
Slika 1. Njihovim uvrštavanjem, dobijamo: 6
6 m
6
6
x y x y i
i
i 1
6
6
i
i 1
i 1
6
x ( x ) 2 i
i 1
i
2
i
6 29531 236 742 1,25545 6 9558 236 2
i 1
Dakle, koeficijent proporcionalnosti funkcije ukupnih troškova m, iznosi: 1255,45 NJ. Kako se do ove vrijednsti može doći direktno bez prethodnog izračunavanja gornjih suma? Jednostavno, posredstvom ugrađene Excelove funkcije SLOPE, kao na slici 2.
Slika 2. Koeficijent m =1,25545 pokazuje da se ukupni troškovi uvećavaju za 1255,45 NJ za svako povećavanje proizvodnje od jedne jedinice (u našem primjeru po toni). Izraz 1,25545*x predstavlja tzv. varijabilne troškove, koji zavise od obima proizvodnje. 185
Primjer 2. Za dati skup empirijskih vrijednosti (x i ,y i ) i=1,2,…,8 odrediti parametar m u funkciji tražnje oblika y = b*xm tradicionalno, i posredstvom funkcije SLOPE.
Rješenje Sistem normalnih jednačina za ovu funkciju tražnje glasi: 8
8 log10b m
8
log10 xi
i 1
8
log10 yi
log 10 b
i 1
log
8
8
10
x i m
i 1
(log
10
2
xi)
i 1
log
10
x i log 10 y i
i 1
ili u riješenom obliku 8
8 m
8
log 10 x i log 10 y i
i1
log ( log x ) i 1
8
8
8
log 10 x i
(log
10
x i )2
i 1
10
yi
log 10 b
i1
8
i
10
2
1 8
8
i 1
log 10 y i
m 8
8
log
10
xi
i 1
i 1
Prema vrijednostima koje odgovaraju logaritamskim sumama u tabeli na slici 3. možemo izračunati parametar m.
Slika 3. Dakle, imamo: 8
8 m
8
(log 10 x i log 10 y i )
i1
8
log 10 x i
i 1
(log i 1
i 1
8
8
8
log
10
x i )2 (
log
10
x i )2
10
yi
8 45,41712565 12,60552052 29,09159662 0,64635 8 20,51562169 12,60552052 2
i1
Posredstvom funkcije SLOPE do vrijednosti za parametar m, dolazimo kao na slici 4.
Slika 4. 186
SMALL Izračunava k-tu najmanju vrijednost u skupu podataka. Sintaksa SMALL( array; k) Array je polje ili opseg brojčanih podataka za koji želimo odrediti k-tu najmanju vrijednost. K je k-ta vrijednost u smjeru od najmanje prema najvećoj u polju ili opsegu podataka. Napomene Ako je argument array prazan, funkcija SMALL izračunava vrijednost greške #NUM!. Ako je k 0 ili prelazi broj tačaka podataka, SMALL izračunava vrijednost greške #NUM!. Ako je n broj tačaka podataka u argumentu array, SMALL (array ;1) jednak je najmanjoj vrijednosti, a SMALL (array ; n) najvećoj vrijednosti. Primjer 1. U argumentu array koji sadrži podatke postaviti 4-tu vrijednost po veličini počev od najmanje. Rješenje Četvrta vrijednost po veličini u polju ćelija A1:O1, počevši od najmanje, jeste vrijednost 4. Na slici 1. data je odgovarajuća sintaksa funkcije SMALL koja nam obezbjeđuje da u datom skupu vrijednosti pronađemo odgovarajuću, odnosno 4-tu vrijednost, u smjeru od najmanje prema najvećoj. Dakle, ako poredamo sve vrijednosti u argumentu array po veličini i počnemo ih prebrojavati od najmanje prema najvećoj 4- ta vrijednost će biti vrijednost 4.
Slika 1. Funkciju SMALL možemo iskoristiti da nam poreda date vrijednosti iz opsega podataka u smjeru od najmanje prema najvećoj ili od najveće do najmanje vrijednosti. U prvom slučaju vrijednosti za k ćemo postaviti od 1 do 15 (A1:O1) koliko ima ukupno vrijednosti u argumentu array, a u drugom slučaju od 15 do 1. Selektovanjem polja ćelija koje ima isti broj ćelija kao i argument array i selektovanjem za k ovako označenih vrijednosti, te korištenjem formule polja, možemo u jednom potezu dobiti poredane vrijednosti.
187
Vrijednosti poredane od najveće prema najmanjoj prikazane su na slici 2.
Slika 2. Primjer 2. Podatke na slici 3. srediti po veličini, u smjeru od najmanjeg prema najvećem, i označiti 10 tu vrijednost. Koristiti funkciju SMALL.
Slika 3. Rješenje Na slici 4. je pokazano kako se posredstvom funkcije SMALL dati podaci mogu urediti po veličini u smjeru od najmanjeg prema najvećem. Polje ćelija A11:J14 sadrži uređene podatke.
Slika 4. Deseta vrijednost u skupu uređenih vrijednosti po veličini od najmanje prema najvećoj jeste vrijednost 5. Sintaksa, posredstvom koje smo uredili vrijednosti iz polja ćelija A1:J4, ima vitičaste zagrade koje ukazuju na formulu polja. Snaga funkcije SMALL ogleda se u tome što mi zapravo nemoramo podatke prvo urediti po veličini da bismo odredili neku poziciju jer to umjesto nas automatski radi ova, ugrađena Excelova funkcija. Sintaksa, posredstvom koje određujemo vrijednost koja ima desetu poziciju je: = SMALL(A1:J4 ; 10) = 5. Primjeri 3, i 4.
188
STANDARDIZE Svaku normalnu raspodjelu sa aritmetičkom sredinom i standardnom devijacijom možemo transformisati u standardnu normalnu raspodjelu sa aritmetičkom sredinom 0 i standardnom devijacijom 1, pomoću formule: z
x μ x mean STANDARDIZE(x;mean; standard_dev) σ standard_dev
Sintaksa STANDARDIZE (x ; mean ; standard_dev ) X je vrijednost koju normaliziramo. Mean () je aritmetička sredina a standard_dev () standardna devijacija, originalne normalne raspodjele. Napomene Oblik svake normalne raspodjele zavisi od njegove aritmetičke sredine i standardne devijacije , jer u biti, aritmetička sredina može biti locirana bilo gdje na x -osi, a širina zvona krive zavisi od veličine standardne devijacije. Kako bismo izbjegli izračunavanje površine ispod svake od ovih različitih krivih pribjegavamo postupku standardizacije normalnih raspodjela tako da tablicu površina ispod standardne normalne raspodjele možemo koristiti za sve normalne raspodjele, odnosno za sve različite kombinacije i . Ako je standard_dev 0, STANDARDIZE postavlja vrijednost greške #NUM!. Kada x slijedi normalnu raspodjelu, odgovarajuću x vrijednost za poznatu z vrijednost možemo pronaći posredstvom relacije x = z * + . Takođe, možemo napisati:
x vrijednost u izvornoj raspodjeli x μ xμ xμ
odgovarajuća z vrijednost z0 z0 z0
Primjer 1. Jedan učenik je izračunao da mu u prosjeku treba 20 minuta sa standardnom devijacijom 4 minute da ide pješice od kuće do razreda. Jednom je ostavio 22 minute, drugi put 18 minuta a treći put 20 minuta. Koliko je to standardnih devijacija od prosječne vrijednosti? Da li je z vrijednost pozitivna ili negativna? Rješenje Broj standardnih devijacija od aritmetičke sredine dat je pomoću z vrijednosti: a) z
x μ 22 20 STANDARDIZ 4 σ
E(22; mean 20; standard_d ev 4) 0,5
Ovdje je z vrijednost pozitivna i mi je očekujemo zato što je 22 minute više od 20. b) z
x μ 18 2 0 STANDARDIZ σ 4
E(18; mean
20; standard_d
ev 4) 0,5
Sada je z vrijednost negativna zato što je 18 manje od 20 minuta. c) z
x μ 20 20 STANDARDIZ σ 4
E(20; mean
20; standard_d
ev 4) 0
Mi očekujemo ovaj rezultat zato što je 20 minuta jednaka i prosječna vrijednost a z vrijednost za aritmetičku sredinu mean = uvijek je jednaka nuli. 189
STDEV Ova funkcija postavlja standardnu devijaciju baziranu na uzorku, prema formuli: 1 s n 1
n
x x
1 ; x n
2
i
i 1
n
x
i
i 1
gdje je n - veličina uzorka, x i - pojedinačne vrijednosti obilježja u uzorku,x - aritmetička sredina uzorka. Standardna devijacija je mjera širine raspršenosti vrijednosti obilježja oko njihove aritmetičke sredine i koristi se kao standard za mjerenje varijabiliteta rezultata. Sintaksa STDEV( number1 ; number2 ; ...) Number1, number2,... su 1 do 30 argumenata kojima smo obuhvatili vrijednosti obilježja uzetog uzorka; umjesto argumenata odvojenih separatorima možemo koristiti i jednodimenzionalno polje ili referencu na polje. Logičke vrijednosti TRUE i FALSE, kao i tekst, zanemaruju se kod izračunavanja. Ako ne smiju biti zanemareni, tada koristimo funkciju radnog lista STDEVA. Napomene Funkcija STDEV pretpostavlja da njeni argumenti odgovaraju uzorku. Standardna devijacija s, daje nam najbolju ocjenu za standardnu devijaciju populacije , i zove se nepristrasna ocjena za . 2 2 n n n n STDEV odgovara izrazu: 1 2 2 S TDEV s
1 n1
n
x
x
n
2
i
x i 1
i 1
x
i 1 n (n 1) i
i
x
i
x
i 1
n i 1 n1
i
i koristi se kada imamo negrupisane podatke. U slučaju grupisanih podataka, odgovarajuća formula za standardnu devijaciju s, glasi: 1 s n 1
k
f x x
2
i
;
i
i 1
1 x n
k
f x i
i 1
k
i
; n
f
i
i 1
i u Excelu je možemo izračunati posredstvom ugrađenih matematičkih funkcija SUM i
SQRT. Kada imamo sve vrijednosti posmatranog obilježja, onda umjesto s = STDEV, izračunavamo
standardnu devijaciju osnovnog skupa (populacije) = STDEVP. Primjer 1. Na uzorku su izmjerene sljedeće vrijednosti obilježja X: 2, 3, 5, 5, 6, 8, 8, 11. Izračunati standardnu devijaciju s. Rješenje Za klasično računanje standardne devijacije s, prvi korak predstavlja izračunavanje aritmetičke sredine, prema formuli: x
1 8
8
x
i
i 1
2 3 5 5 6 8 8 11 48 6 8 8
zatim, izračunavanje sume kvadrata devijacija opaženih vrijednosti od njihove aritmetičke sredine: 8
x
i
6
2
2 6 2 3 6 2 5 6 2 5 6 2 6 6 2 8 6 2 8 6 2 1 1 6 2
i 1
( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 0
2
2
2
2
2
5
2
16 9 1 1 0 4 4 25 60
190
Za izračunavanje varijanse, potrebno je podijeliti sumu kvadriranih devijacija sa n - 1 = 7:
1 s 81 2
8
x i 62 60 8,571529
i 1
7
Pozitivni kvadratni korijen iz varijanse odgovara traženoj standardnoj devijaciji s:
s 8,571529 2,9277. Na slici 1. je pokazano kako se do ovog rezultata za s, može doći posredstvom ugrađene funkcije STDEV.
Slika 1. Vrijednosti obilježja X, možemo upisati i drugačije:
Primjer 2. Težine malih proizvoda (u gramima) u jednom slučajno selektovanom uzorku su: 6, 3, 7, 4, 5, 4, i 6. Izračunati standardnu devijaciju uzorka. Rješenje je dato na slici 2. Standardna devijacija težina slučajno odabranih proizvoda u uzorku jednaka je 1,41 gram. Težine u gr (x) 6 3 7 4 5 4 6 =35
x -x
(x -x)2
1 -2 2 -1 0 -1 1
1 4 4 1 0 1 1
0
12
1 x 7
7
x 6 3 7 47 5 4 6 357 5 gr i
i 1
s
1 71
7
x 5 i
2
i1
1 4 4 1 0 1 1 2 1,41 gr 6
Slika 2. 191
Primjer 3. Težine slučajno odabranih proizvoda sa proizvodne linije su (u kilogramima): Izračunati standardnu devijaciju. Rješenje Primjenom obrasca za izračunavanje standardne devijacije na uzorku, dobijamo: s
1 61
6
x i 89,752
i 1
(90,3 89,75)2 (89,8 89,75)2 ... (90,6 89,75)2 1,321741 5
pri čemu je : 90,3 89,8 87,9 91,4 88,5 90,6 538,5 89,75 6 6 Dakle, standardna devijacija težine slučajno odabranih proizvoda je 1,32 kg. Na slici 3. je pokazano kako se do ove vrijednosti može doći posredstvom gotove Excelove funkcije STDEV. x
Slika 3. Koristili smo referencu na polje ćelija A1:A6 u jednom, i pridruživanje imena "težine", ovom polju ćelija, u drugom primjeru; imenovanje polja ćelija A1:A6, prikazano je na slici 4.
Slika 4. Primjer 4. Izvršili smo 10 mjerenja pulsa (ćelije A1:J1) jednog čovjeka i dobili vrijednosti: Izračunati standardnu devijaciju. Rješenje: 3,33 = STDEV (A1 : J1 ).
1 s 9
10
x 64 i
2
3, 33
i1
192
Primjer 5. Satnice u uzorku honorarno zaposlenih u jednoj kompaniji su: $3, $9, $5, $6, $8, i $11. Kolika je standardna devijacija? Rješenje Korištenjem kvadrata devijacija satnica od njihove aritmetičke sredine, i direktnom formulom (na slici 5.) pokazano je kako se može izračunati standardna devijacija na ovom uzorku. Također, na istoj slici, izračunata je standardna devijacija i posredstvom funkcije STDEV. Satnica u $ (x) 3 9 5 6 8 11 =42
x -x
(x -x)2
-4 2 -2 -1 1 4
16 4 4 1 1 16
0
42
x
42 7 6
1 s 61
6
x 7 i
2
i1
42 8,4 2,898 5
Satnica u $ (x) 3 9 5 6 8 11
9 81 25 36 64 121
=42
336
6
s
i 1
x2
1 x 6 2 i
6
i1
xi
2
61 1764 336 6 5 336 294 5 42 8,4 2,898 5
Slika 5. Primjer 6. Sljedećih pet vrijednosti su u uzorku: 11, 6, 10, 6, i 7. Izračunati standardnu devijaciju uzorka posredstvom funkcije STDEV, i na tradicionalan način korištenjem kvadrata devijacija opaženih vrijednosti od njihove aritmetičke sredine. Rješenje je dato na slici 6. s
Slika 6. Standardna devijacija je: 2,3452078. Aritmetička sredina uzorka je:x = 40/5 = 8.
1 4
5
x 8 i
2
i 1
22 2,345 4
(x)
x -x
(x -x)
11 6 10 6 7
3 -2 2 -2 -1
9 4 4 4 1
=40
0
22
2
193
STDEVA Procjenjuje standardnu devijaciju baziranu na uzorku; tekst i logičke vrijednosti kao što su TRUE i FALSE uključuju se kod izračunavanja. Sintaksa STDEVA ( value1 ; value2 ; ... ) Value1, value2,... su 1 do 30 vrijednosti koje odgovaraju uzorku; možemo koristiti i polje ili referencu na polje umjesto argumenata razdvojenih separatorom. Napomene STDEVA podrazumijeva rad sa uzorcima. Ako naši podaci predstavljaju cijelu populaciju, tada moramo računati standardnu devijaciju korištenjem funkcije STDEVPA. Vrijednosti u argumentu koje sadrže TRUE, vrednuju se kao 1, a FALSE, kao 0 (nula). Ako kod izračunavanja ne smiju biti uključene tekstualne ili logičke vrijednosti, tada koristimo funkciju radnog lista STDEV. Standardna devijacija izračunava se korištenjem "nepristrasne" ili "n-1" metode prema n
(x x) i
2
i 1
n 1
izrazu: gdje n odgovara veličini uzorka. Primjer 1. Odgovori 150 ispitanika (odabranih slučajno) u jednoj anketi, dati su na slici 1. Potvrdni odgovori označeni su sa logičkom vrijednošću TRUE, a odrečni sa FALSE. Izračunati standardnu devijaciju na ovako zabilježenim odgovorima.
Slika 1. Rješenje Standardnu devijaciju, izračunavamo prema sintaksi:
194
STDEVP Ova funkcija postavlja standardnu devijaciju baziranu na populaciji, prema formuli: σ
1 N
N
x
i
μ
2
i 1
;
1 μ N
N
x
i
i 1
gdje je N - veličina populacije, x i - pojedinačne vrijednosti obilježja populacije, aritmetička sredina populacije. Standardna devijacija je mjera širine raspršenosti vrijednosti obilježja x i oko njihove aritmetičke sredine . Sintaksa STDEVP( number1 ; number2 ; ...) Number1, number2,... su 1 do 30 argumenata kojima smo obuhvatili vrijednosti obilježja populacije; umjesto argumenata odvojenih separatorima možemo koristiti i jednodimenzionalno polje ili referencu na polje. Logičke vrijednosti TRUE i FALSE, kao i tekst, zanemaruju se kod izračunavanja. Ako ne smiju biti zanemareni, tada koristimo funkciju radnog lista STDEVPA. Napomene Funkcija STDEVP pretpostavlja da njeni argumenti odgovaraju populaciji. STDEVP odgovara izrazu: N N 1 x i μ 2 1 S TDEVP σ x i2 μ 2 N
N
i 1
i 1
i koristi se kada imamo negrupisane podatke. U slučaju grupisanih podataka, odgovarajuća formula za standardnu devijaciju , glasi: σ
1 N
k
1 μ N
f i x i μ 2 ;
i 1
k
f x i
k
i
; N
i 1
f
i
i 1
i u Excelu je možemo izračunati posredstvom ugrađenih matematičkih funkcija SUM i SQRT. Za velike uzorke, funkcije STDEVP i STDEV postavljaju približno jednake vrijednosti. Primjer 1. Starost svih pacijenata koji se nalaze na izolovanom odjelu jedne bolnice su: 38, 26, 13, 41, i 22 godine. Izračunati standardnu devijaciju . Rješenje Za klasično računanje standardne devijacije , prvi korak predstavlja izračunavanje 5
38 26 13 41 22 140 x 28 godina 5 5 5
aritmetičke sredine prema formuli: μ 1
i
i 1
zatim, sume kvadrata devijacija godina starosti svih pacijenata od njihove aritmetičke 5 2 sredine: x 6 38 28 2 26 28 2 13 28 2 41 28 2 22 28 2 534
i
i1
Standardnu devijaciju , izračunavamo prema formuli: σ Starost u god. (x) 38 26 13 41 22
x -x 10 -2 -15 13 -6
(x -x) 100 4 225 169 36
=140
0
534
1 5
5
x 2 8 i
i 1
2
534 10 ,33441 godina 5
2
195
Primjer 2. Izračunati standardnu devijaciju trenda na podacima prikazanima na slici 1. Rješenje Standardna devijacija trenda predstavlja drugi korijen iz prosječnog zbira kvadrata odstupanja frekvencija niza od trend vrijednosti. Izraz za standardnu devijaciju linearnog trenda je: 1 σt n
n
(y y ) i
ti
2
i 1
Slika 1. Posredstvom funkcije STDEVP, standardnu devijaciju trenda na datim podacima možemo izračunati kao na slici 2.
Slika 2. Standardna devijacija trenda, odgovara izrazu:
1 σt 8
8
(y y ) i
ti
2
i 1
1,080261212 MSD 1,16696 Vidi se da kvadrat izračunate vrijednosti odgovara mjeri MSD, koju smo izračunali posredstvom statističkog programa MINITAB 12.1. Vrijednosti trenda koje odgovaraju datoj jednačini linearnog trenda obuhvatili smo u samom argumentu funkcije STDEVP, tako da ih nismo morali posebno izračunavati. Dakle, za izračunavanje standardne devijacije trenda dovoljno je poznavati samo vrijednosti y i . Isto smo to mogli uraditi i prilikom izračunavanja mjere MAD, prema sintaksi:
196
STDEVPA Izračunava standardnu devijaciju baziranu na cijeloj populaciji zadanoj argumentima, uključujući tekst i logičke vrijednosti. Sintaksa STDEVPA ( value1 ; value2 ; ... ) Value1, value2,... su 1 do 30 vrijednosti koje obuhvataju populaciju; možemo koristiti i polje ili referencu na polje umjesto argumenata razdvojenih separatorom. Napomene STDEVPA podrazumijeva cijelu populaciju. Ako naši podaci pretstavljaju uzorak, moramo računati standardnu devijaciju posredstvom funkcije STDEVA. Vrijednosti argumenta koje odgovaraju TRUE vrednuju se kao 1, a FALSE kao 0 (nula). Ako kod izračunavanja ne smiju biti uključene tekstualne ili logičke vrijednosti tada koristimo funkciju radnog lista STDEVP. Za velike uzorke STDEVA i STDEVPA imaju približno istu vrijednost. Standardna devijacija izračunava se korištenjem "pristrasne" ili "n" metode prema formuli: n
(x x) i
2
i 1
n
gdje n odgovara veličini uzorka. Primjer 1. Bernulijeva raspodjela data je na slici 1. Logička vrijednost TRUE = 1, a FALSE = 0. Izračunati standardnu devijaciju posredstvom funkcije STDEVP.
Slika 1. Rješenje Standardna devijacija odgovara sintaksi:
σ pq p( 1 p) σ 0,333333 * 0,666666 0,471405
197
STEYX Neka regresijski pravac y t = m*x+b izračunat u skladu sa metodom najmanjih kvadrata predviđa vrijednost y. Tada y- y t predstavlja razliku između y vrijednosti iz para (x ,y) i predviđene y vrijednosti koja se nalazi na ovom regresijskom pravcu, za istu vrijednost x-a. Ova razlika poznata je kao rezidual; da bismo izbjegli teškoće povezane sa predznakom ovih razlika pribjegavamo postupku kvadriranja. Sumu svih kvadrata dijelimo sa n-2 (broj parova tačaka u dijagramu raspršenja umanjen za dva), i iz tako dobijenog izraza izvlačimo kvadratni korijen. Tako dolazimo do izraza n
STEYX
(y
i
y t )2
i 1
je n 3
, gdje
n 2
koji odgovara ocjeni standardne greške. Sintaksa STEYX( known_y's ; known_x's ) Known_y's je polje ili opseg zavisnih tačaka podataka. Known_x's je polje ili opseg nezavisnih tačaka podataka. Argumenti upisani ovim redoslijedom određuju standardnu grešku y od x koja u odnosu na poznate vrijednosti parova (x i ,y i ), odgovara izrazu: 1 n STEYX(know n_y' s; known_x' s) n (n 2)
n
y
n
i
2
(
i 1
y ) i
2
i 1
y ) n x ( x )
i 1
-
n
n
n
(n
xi yi
xi
i 1
n
i
i
i 1
n
2
i
i1
2
2
i1
Napomene Argumenti moraju biti brojevi ili nazivi, polja ili reference koje sadrže brojeve. Ako argument koji je polje ili referenca sadrži tekst, logičke vrijednosti ili prazne ćelije, te su vrijednosti zanemarene; međutim, ćelije s vrijednošću nula su uključene. Ako su known_y's i known_x's prazni ili imaju različiti broj tačaka podataka, funkcija STEYX postavlja vrijednost greške #N/A. Funkcija STEYX je osjetljiva na promjenu pozicija za argumente known_y's i known_x's; ako prvo upišemo argument known_x's, zatim known_y's funkcija postavlja vrijednost koja odgovara standardnoj greški x od y, odnosno izrazu: 1 n STEYX(know n_x' s; known_y' s) n (n 2)
n
n
x i1
(n
n
i
2
(
x) i
2
-
i1
n
n
y ) n y ( y )
i1
xi yi
i 1
n
i
i1
xi
i
i1
n
2
2
i
2
i1
U ovom slučaju regresijski pravac x t = n*y +k izračunat u skladu sa metodom najmanjih kvadrata predviđa vrijednost x. Tada x - x t predstavlja razliku između x vrijednosti iz para (x ,y) i predviđene x vrijednosti koja se nalazi na ovom regresijskom pravcu, za istu vrijednost y-a. Uz izračunate vrijednosti na regresijskom pravcu izraz za standardnu grešku x od y možemo napisati i u obliku: n
STEYX
(x
i
x t)2
i 1
n 2
, gdje
je n 3
198
Primjer 1. Na sljedećim podacima izračunati standardnu grešku: Broj prodatih jedinica Broj poziva
y
28
66
38
70
22
27
28
47
14
68
x
14
35
22
29
6
15
17
20
12
29
Rješenje Na Slici 1. prikazano je rješenje (8,41226) koje odgovara ocjeni standardne greške.
Slika 1. Na istoj slici se može vidjeti i pozicija koja odgovara ocjeni standardne greške kod primjene funkcije LINEST, kao i sintaksa koja u sebi uključuje i funkciju trend, prema izrazu: 10
STEYX
(y i 1
i
y t )2
10 2 Posredstvom funkcije trend, ovu grešku možemo izračunati i kod multiple regresije (Slika 2.):
Slika 2. 199
TDIST Engleski matematičar W.S.Gosset je pod pseudonimom "Student" 1908 godine definisao raspodjelu vjerovatnoće koju nazivamo Studentovom ili t - raspodjelom. Izraz za funkciju gustine t - raspodjele, glasi: df 1 2 f(t) df df 2
df 1
t2 2 1 , - t df gdje je oznaka za gama funkciju, a df oznaka za broj stepeni slobode t - raspodjele. Funkcija TDIST izračunava vjerovatnoću koja odgovara ovoj raspodjeli.
Sintaksa TDIST(x ; deg_freedom ; tails) X je brojčana vrijednost na kojoj vrednujemo raspodjelu. Deg_freedom (df) je cijeli broj koji označava broj stepeni slobode, jedini parametar raspodjele. Tails navodi broj krakova raspodjele. Ako je tails = 1, TDIST izračunava vjerovatnoću koja odgovara raspodjeli sa jednim krakom, koja nas zanima kada se radi o jednostranim testovima; ako je tails = 2, TDIST izračunava površinu koja odgovara raspodjeli sa dva kraka koja je interesantna u slučajevima kada imamo dvostrani test. Napomene Ako bilo koji argument nije broj TDIST izračunava vrijednost greške #NAME?. Ako je deg_freedom < 1, TDIST izračunava vrijednost greške #NUM!. Argumentima deg_freedom i tails odbacuju se decimale. Ako je tails = 1, TDIST izračunava vjerovatnoću prema izrazu: TDIST(x; deg_freedo
m;1)
t
df 1 2 df df 2
x
t2 1 df
df 1 2
dt
x Ako je tails = 2, TDIST odgovara vjerovatnoći, odnosno vrijednosti izraza:
TDIST(x; deg_freedo m;2) 1
-x
x
t
df 2
1 df df 2
x
t2 1 df x
df 1 2
dt
Ako je tails bilo koja vrijednost različita od 1 ili 2, TDIST izračunava vrijednost greške #NUM!. Funkcija gustine f(t) je parna funkcija i veća od nule; maksimalnu vrijednost dostiže za t = 0.
Pošto je funkcija f(t) parna funkcija, aritmetička sredina (za df > 1 ) je nula, zato su centralni momenti jednaki običnim, a svi neparni momenti jednaki su nuli. Varijansa Studentovog rasporeda jednaka je: df 2 , za df 2 df - 2
200
Za slučaj kada je broj stepeni slobode df = 1 , ova raspodjela odgovara Košijevoj raspodjeli (Caushy) koja je interesantna zato jer nema konačno očekivanje pa ni bilo koji moment višeg reda. Funkcija gustine ove raspodjele, glasi:
1
f(t)
t2 1 df Četvrti centralni moment jednak je:
, - t .
3 (df)2 . (df 2) (df 4) Koeficijent spljoštenosti 2 jednak je m4 6 3 2 m2 df 4 i kada df , 2 3 , što znači da imamo slučaj normalnog rasporeda; ovo možemo izraziti kao: t2 1 limf(t) e 2 df 2 m4
Primjer 1. Izračunati vjerovatnoću, odnosno površinu ispod Studentove t - raspodjele desno od vrijednosti x = 1, posredstvom funkcije TDIST za df = 8 stepeni slobode. Rješenje 9 9 2 2 t 2 1 TDIST(1;8; 1) dt 0,173296754 8 8 4 1
TDIST(1;8;1) 0,173296754 df 8
x1 Slika 1.
Primjer 2. Izračunati vjerovatnoću, odnosno površinu ispod Studentove t - raspodjele lijevo od vrijednosti x = -1, i desno od x = 1, posredstvom funkcije TDIST za df = 18 stepeni slobode. Rješenje 19 19 1 2 2 t 2 1 dt 0,330565 TDIST(1;18;2) 1 18 18 9 1
TDIST(1;18;2) 0,330565
df 18
-1
1 201
TINV Pretpostavimo da je poznata vjerovatnoća p koja odgovara Studentovoj t - raspodjeli, prema izrazu: df 1 TDIST(x; deg_freedo m;2) 1
df df 2 2
x
t2 1 df x
df 1 2
dt
p TDIST(x; df;2) poznato p p 2 2 -x
x
t
Želimo li izračunati odgovarajuću vrijednost x-a to možemo učiniti posredstvom ugrađene funkcije TINV. Sintaksa TINV( probability ; deg_freedom) Probability (p) je vjerovatnoća koja odgovara Studentovoj t -raspodjeli sa dva kraka. Deg_freedom (df) je broj stepeni slobode. Napomene Vrijednosti x za poznatu vjerovatnoću p i broj stepeni slobode df =deg_freedom odgovaraju funkciji TINV prema sintaksi: x = TINV(probability = p;deg_freedom = df). Posredstvom funkcije TINV možemo izračunati i vrijednosti x-a koje odgovaraju vrijednostima Studentove t - raspodjele, prema izrazu: df 1 2 df df 2
p probability 50% poznato
t2 1 df x
df 1 2
dt p
x ?
p x TINV(2 probability; deg_freedom) x Ako bilo koji argument nije broj TINV izračunava vrijednost greške #NAME?. Ako je probability < 0 ili je > 1, TINV izračunava vrijednost greške #NUM!. Ako deg_freedom nije cijeli broj, odbacuju se decimale. Ako je deg_freedom < 1, TINV izračunava vrijednost greške #NUM!. Funkcija TINV je izuzetno pogodna za jednostavno kreiranje tablica t - raspodjele. TINV koristi iterativnu metodu za izračunavanje funkcije. Poznatoj vrijednosti vjerovatnoće, funkcija TINV iterira sve dok rezultat ne bude unutar ± 3 * 10- 7. Ako TINV ne konvergira nakon 100 iteracija, funkcija postavlja vrijednost greške #N/A. Primjer 1. Izračunati kritčne vrijednosti koje odgovaraju Studentovoj t - raspodjeli za 15 stepeni slobode i prag značajnosti = 10%. Rješenje Kritčne vrijednosti koje odgovaraju Studentovoj t - raspodjeli za 15 stepeni slobode i prag značajnosti = 10% izračunavamo posredstvom funkcije TINV prema sintaksi: x 1,753051 df 15 poznato
5% 2
5% 2
-x
x
x TINV(probability 10%; deg_freedom 15) 1,753051
202
Primjer 2. Date su aritmetičke sredine, standardne devijacije, i veličine dva nezavisna slučajna uzorka:
Prvi uzorak : x 1 20,1 ; s 1 8,7 ; n 1 12
Drugi uzorak : x 2 18,9 , s 2 7,5 , n 2 12
Poznata je t - vrijednost od 0,362 koja odgovara uzoračkoj statistici razlike aritmetičkih sredina. Izračunati kritične vrijednosti t - raspodjele i dati ocjenu dvostranog testa za prag značajnosti = 5 %, gdje su nulta i alternativna hipoteza formulisane kao: Nulta hipoteza H 0 : 1 2
Alternativna hipoteza H 1 : 1 2
Rješenje Kritične vrijednosti t - raspodjele za slučaj dvostranog testa za prag značajnosti = 5 %, izračunavamo posredstvom funkcije TINV, kao na slici 1.
2,5% 2
2,5% 2
-x
t 0,362
x
x t 0 2,0739 Slika 1. Kako se t vrijednost 0,362 nalazi u intervalu (-x=-2,0739, x=2,0793) to nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu. Primjer 3. Poznata je t - vrijednost od minus 2 koja odgovara uzoračkoj statistici razlike aritmetičkih sredina. Izračunati kritičnu vrijednost t - raspodjele i dati ocjenu lijevog jednostranog testa za prag značajnosti = 10 %, i df = 17, gdje su nulta i alternativna hipoteza formulisane kao: Nulta hipoteza H 0 : 1 2
Alternativna hipoteza H 1 : 1 2
Rješenje Kritičnu vrijednost t - raspodjele za slučaj lijevog jednostranog testa za prag značajnosti = 10 %, izračunavamo posredstvom funkcije TINV, kao na slici 2.
10%
-x
Slika 2. Kako se t vrijednost minus dva nalazi u intervalu (-, -1,333), odnosno u kritičnoj oblasti testa to odbacujemo nultu i usvajamo alternativnu hipotezu.
203
TREND Ova funkcija se koristi u analizi vremenskih serija, odnosno kod jednostavne i višestruke regresije i ima za cilj da postavlja vrijednosti duž linije trenda, odnosno linije regresije. Sintaksa TREND( known_y's ; known_x's ; new_x's ; const ) Known_y's predstavlja polje poznatih y vrijednosti. Ako se polje known_y's sastoji od samo jedne kolone ili samo jednog reda tada se svaka kolona, odnosno svaki red known_x 's posmatra kao posebna varijabla. Known_x's je polje poznatih x vrijednosti. Polje known_x's može uključiti jednu ili više varijabli. Ako se koristi samo jedna varijabla, known_y's i known_x's mogu biti opsezi bilo kakvog oblika, sve dok imaju iste dimenzije. Ako se koristi više od jedne varijable, known_y's mora biti vektor (što znači, opseg visine jednog reda ili širine jedne kolone). Ako je known_x's izostavljen, pretpostavlja se da predstavlja polje {1; 2; 3; ...} koje je iste veličine kao i known_y's. New_x's su nove x - vrijednosti za koje želimo da TREND postavi odgovarajuće y vrijednosti. New_x's mora uključiti kolonu ili red za svaku nezavisnu varijablu, kao i known_x's. Ako je known_y's jedna kolona, known_x's i new_x's moraju imati isti broj kolona. Ako je known_y's u jednom redu, known_x's i new_x's moraju imati isti broj redova. Ako ispustimo new_x's, pretpostavlja se da je isti kao i known_x's. Ako ispustimo known_x's i new_x's, pretpostavlja se da su polje {1; 2 ; 3 ; ...}, koje je iste veličine kao i known_y's. Const je logička vrijednost kojom navodimo da li je konstanta b = 0. Ako je const TRUE ili je izostavljen, b se računa normalno; ako je FALSE, b = 0. Napomena: U statistici većina korištenih matematičkih formula za izražavanje linearnih relacija između jedne zavisne i dvije ili više nezavisnih varijabli su jednačine oblika:
y p m k x k m k 1 x k 1 ... m 2 x 2 m1 x1 b Ovdje je y p varijabla koju želimo prognozirati ili predvidjeti. Veličine x 1 , x 2 , …, x k predstavljaju nezavisne varijable a m 1 , m 2 , …, m k numeričke konstante koje se moraju matematički odrediti iz datih podataka. Posredstvom gotove Excelove funkcije LINEST (koju koristimo kod proste i višestruke regresije, kao i u analizi vremenskih serija) izračunavamo vrijednosti koeficijenata m i konstante b, prema sljedećem redoslijedu:
m k , m k 1 ,..., m 2 , m1 , b
Trend model k-tog stepena jednak je regresijskom modelu, pa se i analizira opisanim metodama regresijske analize; treba imati na umu da ulogu regresorske varijable x u trend modelu ima varijabla vrijeme.
Posredstvom funkcije TREND možemo izračunati vrijednosti varijable y p u odnosu prema datim podacima bez prethodnog izračunavanja koeficijenata m i konstante b.
204
Kada imamo samo jednu nazavisnu varijablu x, predviđena vrijednost y p postavljena funkcijom TREND, pomoću poznatih vrijednosti (x i , y i ) i za novu vrijednost x, odgovara vrijednosti koju postavlja funkcija FORECAST. Naravno ukoliko nezavisna varijabla x predstavlja vrijeme tada govorimo o linearnom trendu, odnosno predviđanju vrijednosti duž linearnog trenda. Model linearnog trenda analizira se na isti način kao i model proste linearne regresije. Funkciju TREND možemo koristiti kod višestruke regresije za prilagođavanje polinomskoj krivoj korištenjem modela regresijskog polinoma, pri čemu se ista varijabla stepenuje na različite potencije. Pretpostavimo da kolona A sadrži y vrijednosti a kolona B, x 1 = x – vrijednosti; možemo unijeti x 2 =x^2 u kolonu C, x 3 =x^3 u kolonu D, x 4 =x^4 u kolonu E i tako dalje, i tada funkcija TREND izračunava odnos kolone B do E prema koloni A. Funkcija postavlja polje vrijednosti i zato je unosimo kao formulu polja za čije aktiviranje je potrebno istovremeno pritisnuti tipke Ctrl, Shift, i Enter.
Primjer 1. Dati su podaci o proizvodnji određene robe(u tonama) od 1984. do 1990. godine: Godine: 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 Proizvodnja: 36 24 26 37 39 53 78
Posredstvom funkcije TREND postaviti vrijednosti duž linearnog i kvadratnog trenda u odnosu prema datim podacima iz vremenske serije. Rješenje Pretpostavimo da se podaci o vremenskoj seriji nalaze u proračunskoj tablici kao na slici, da smo godine zamijenili sa varijablom x (od 1 do 7), i da smo proizvodnju označili sa y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A x 1 2 3 4 5 6 7
B 2 x 1 4 9 16 25 36 49
C y 36 24 26 37 39 53 78
D Vrijednosti duž lineanog trenda 20,75 27,79 34,82 41,86 48,89 55,93 62,96 {=TREND(C2:C8)}
E Vrijednosti duž kvadratnog trenda 34,26 27,79 26,71 31,05 40,79 55,93 76,48 {=TREND(C2:C8;A2:B8)}
Za postavljanje vrijednosti koje pripadaju linearnom trendu bilo je potrebno samo selektovati polje ćelija D2:D8 i pozvati ugrađenu Excelovu funkciju TREND (sintaksa je data na slici). Za postavljanje vrijednosti koje pripadaju kvadratnom trendu bilo je potrebno dodati kolonu x2, pored kolone x, selektovati polje ćelija E2:E8, i pozvati ugrađenu Excelovu funkciju TREND prema prikazanoj sintaksi: =TREND(C2:C8;A2:B8). Za postavljanje vrijednosti potrebno je istovremeno pritisnuti tipke Ctrl, Shift, i Enter na tastaturi računara. U nastavku je prikazano da su vrijednosti duž linearnog i kvadratnog trenda identične i u slučaju ako se koristimo izvornim podacima date vremenske serije. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A x 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
B 2 x 3936256 3940225 3944196 3948169 3952144 3956121 3960100
C y 36 24 26 37 39 53 78
D Vrijednosti duž lineanog trenda 20,75 27,79 34,82 41,86 48,89 55,93 62,96 {=TREND(C2:C8;A2:A8)}
E Vrijednosti duž kvadratnog trenda 34,26 27,79 26,72 31,05 40,79 55,93 76,47 {=TREND(C2:C8;A2:B8)}
205
Nakon aktiviranja, Excel formuli dodaje vitičaste zagrade što ukazuje na to da se radi o formuli polja. Ako želimo da izrazimo u matematičkoj formi linearni i kvadratni trend onda ćemo se poslužiti mogućnostima funkcije LINEST, kao na slici ispod: m 7,035714286
Linearni trend
b 13,71428571 {=LINEST(C2:C8)}
m2
Kvadratni trend
m1
2,702380952
b
-14,58333333 {=LINEST(C2:C8;A2:B8)}
46,14285714
Do ovih trend modela možemo doći i posredstvom grafičkog prikaza podataka o proizvodnji i dodavanjem odgovarajućeg trenda, kao na slici:
Grafički prikazi u Minitabu 12.1 dati su u nastavku: Trend Analysis for y
Trend Analysis for y Linear Trend Model
Quadratic Trend Model
Yt = 13,7143 + 7,03571*t
Yt = 46,1429 - 14,5833*t + 2,70238*t**2 80
80
Actual
Actual
Fits
Fits
70
70
Actual
Actual Fits
Fits
60
y
50
50 40
40
30
MAPE: MAD: MSD:
30 MAPE: MAD: MSD:
20 1
2
3
4
5
6
22,1942 8,6531 97,2602
20 1
2
3
7
4
5
6
7,35637 2,63265 9,62585
7
Time
Time
80 70 60 y
y
60
50 40 30 20
Godine
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
206
TRIMMEAN Ova funkcija postavlja rezultat koji odgovara aritmetičkoj sredini datog polja vrijednosti array nakon simetričnog isključenja jednog broja podataka, određenog argumentom percent. Sintaksa TRIMMEAN( array ; percent ) Array je polje vrijednosti iz kojeg želimo odbaciti neke vrijednosti i izračunati aritmetičku sredinu. Percent je procentualna vrijednost [0,1] izražena u odnosu na dati skup podataka, odnosno polje vrijednosti array i predstavlja broj tačaka koje treba isključiti iz skupa podataka kod izračunavanja. Napomene Ako je percent < 0 ili > 1, TRIMMEAN postavlja vrijednost greške #NUM!. TRIMMEAN zaokružuje broj isključenih tačaka podataka na najbliži manji višekratnik broja 2. Ako je percent = 0,1 , 10 % od 30 tačaka podataka koje smo obuhvatili argumentom array jednako je 3 tačke. Zbog simetrije, funkcija TRIMMEAN isključuje jednu najmanju i jednu najveću vrijednost; ako je percent = 0,2 tada se 6 tačaka odbacuju iz skupa podataka od 30 tačaka (30 x 0,2), tri najmanje i tri najveće vrijednosti, itd. Primjer 1. Argument array ima sljedeće vrijednosti: 1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, i 18. Izračunati funkciju TRIMMEAN za vrijednost argumenta percent 20% i 40%. Rješenje Vrijednosti: 1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, i 18 nalaze se u polju A1:K1 (slika 1.).
Slika 1. Broj isključenih tačaka podataka je najbliži manji višekratnik broja 2.
U prvom slučaju 20% * 11 = 2,2 pa je najmanji višekratnik broja 2 jednako 2, što znači da odbacujemo jednu najmanju i jednu najveću vrijednost. Aritmetička sredina preostalih podataka ( polje B1:J1) iznosi 9,111. U drugom slučaju, po analogiji, odbacujemo 4 tačke pa funkcija TRIMMEAN odgovara aritmetičkoj sredini AVERAGE(C1:I1) = 9,143.
207
Primjer 2. Poznate su vrijednosti uzorka:
Izračunati aritmetičku sredinu uz odbacivanje 10% vrijednosti. Rješenje Za klasično izračunavanje aritmetičke sredine, uz zadani procenat vrijednosti koje treba odstaniti iz računanja, potrebno je prije svega vrijednosti uzorka poredati po veličini. Proizvod zadanog procenta i broja vrijednosti u uzorku određuje koliko vrijednosti treba eliminisati iz ovog skupa. Na slici 2. je pokazano kako se može izračunati ova aritmetička sredina, uz prethodno simetrično odbacivanje 10% vrijednosti iz uzorka ( 10%*20 = 2, odbacuje se jedna vrijednost sa vrha i jedna sa dna) posredstvom funkcije TRIMMEAN
x
x 2 x 2 ... x 19 18
20 20 ... 78 1 18 18
19
x 35 i
i 2
Slika 2. Naravno, funkcija TRIMMEAN ne zahtijeva prije izračunavanja da naši izvorni podaci budu poredani. Na slici 3. je pokazano da je rezultat isti i uz neki drugi raspored vrijednosti uzorka.
Slika 2. Funkcija TRIMMEAN umjesto nas, negdje u pozadini, poredala je sve vrijednosti uzorka po veličini i odstranila dvije, najmanju i najveću. 208
TTEST Izračunava vjerovatnoću povezanu sa Studentovim t - testom. Sintaksa TTEST(array1 ; array2 ; tails ; type) Array1 je prvi skup podataka. Array2 je drugi skup podataka. Tails navodi broj krakova raspodjele. Ako je tails = 1, funkcija TTEST izračunava vjerovatnoću koja odgovara jednostranom testu. Ako je tails = 2, TTEST izračunava vjerovatnoću koja odgovara dvostranom testu. Type određuje koji tip t-testa će biti izveden. Ako je type jednak 1, TTEST je izveden kao upareni t - test koji se obično koristi kod testiranja razlike između aritmetičkih sredina osnovnih skupova (populacija) kada su opažanja uparena. Tipični primjeri uparenih podataka uključuju mjerenja na blizancima ili na istim objektima prije i poslije sprovedenog tretmana. Kada su uzorci izvučeni nezavisno iz dvije populacije za koje pretpostavljamo da imaju jednake varijanse tada je type jednak 2, funkcija TTEST izvodi t - test dva-uzorka pretpostavljena jednakost varijansi. I na kraju kada su uzorci izvučeni nezavisno iz dvije populacije za koje pretpostavljamo da imaju različite varijanse tada je type jednak 3, funkcija TTEST izvodi t - test dva-uzorka pretpostavljena nejednakost varijansi. Napomene Ako array1 i array2 imaju različit broj tačaka podataka i type = 1 (uparen), TTEST postavlja vrijednost greške #N/A. Argumentima tails i type odbacuju se decimale. Ako argumenti tails ili type nisu brojevi, TTEST izračunava vrijednost greške #NAME?. Ako je argument tails bilo koja vrijednost različita od 1 ili 2, TTEST postavlja vrijednost greške #NUM!. Primjer 1. Deset parova blizanaca slučajno je odabrano i od njih su formirane eksperimentalna i kontrolna grupa, pri čemu je slučajno selektovan po jedan član iz svakog para blizanaca da pripadne ili jednoj ili drugoj grupi. U eksperimentalnoj grupi djeca su 7 mjeseci bila snabdjevena sa raznim edukacionim pomagalima za razliku od kontrolne grupe. Za svaki par blizanaca na Slici 1. u polju ćelija B2:B11 i C2:C11 dati su podaci u mjesecima starosti kada su djeca počela čitati.
Slika 1. 209
Potrebno je posredstvom uparenog t-testa testirati nultu hipotezu Ho: 1 = 2 , nasuprot alternativnoj hipotezi H 1 : 1 2 (gdje je aritmetička sredina populacije), za nivo značajnosti = 5%. Rješenje Na slici 1. mi smo posredstvom funkcije TTEST izračunali p-vrijednost koja odgovara vjerovatnoći dvostranog t-testa. Pojasnit ćemo kako se dolazi do ove vrijednosti. Prvo ćemo izračunati vrijednost izraza t
x1 x2 μd sd
n
d μd sd
n
d n sd
; d x1 x2
pri čemu izraz n
sd
(x
n
x 2i ) ( x 1 x 2 )
2
1i
i 1
n1
d
i
d
2
i 1
n1
odgovara standardnoj devijaciji razlika opaženih vrijednosti. Sada ćemo pokazati kako se jednostavno dolazi do vrijednosti za d i s d posredstvom funkcija AVERAGE i STDEV:
Dakle, imamo: d = - 1,3 i s d = 1,25167. Uvrštavajući ove vrijednosti u izraz za t, dobijamo:
- 1,3 d n 10 -3,28439 1,25167 sd Na osnovu dobijenih podataka lako zaključujemo da dobijena t -vrijednost, odnosno t Stat = - 3,28439 pada u kritično područje pa stoga nultu hipotezu Ho: d = 0 treba odbaciti. Kritične vrijednosti t- raspodjele za d.f. = n- 1 = 10-1 = 9 stepeni slobode jednake su: 2,2621588. Sada ćemo potvrditi naš račun posredstvom ugrađenog alata za analizu podataka pod nazivom t-Test: Paired Two Sample for Means. Izlazna tablica data je na Slici 2. t
Slika 2. Vrijednost t Stat = -3,2843925 odgovara vrijednosti t, P(T< = t) two-tail = 0,00946267 vjerovatnoći dvostranog testa (vidi sliku 1.), a t Critical two-tail kritičnim vrijednostima za nivo znač. = 5%.
210
Primjer 2. Grupi od 12 pacijenata koji se liječe od povišenog maksimalnog arterijskog krvnog pritiska dat je lijek za sniženje tog pritiska. Vrijednosti maksimalnog arterijskog krvnog pritiska u mmHg prije liječenja i poslije uzimanja lijeka date su na slici 3.
Slika 3. Sa rizikom = 5% testirati hipotezu da upotrijebljeni lijek snižava maksimalni arterijski krvni pritisak pacijenata. Rješenje Na slici 3. dati su nam upareni podaci i kao veza njihovog uparivanja služe nam pacijenti. Dakle, u našem primjeru imamo n = 12 parova mjerenja. Primjenom t - testa na ovim uparenim podacima, dobijamo sljedeću izlaznu tablicu (slika 4.) iz koje možemo pročitati odgovarajuće vjerovatnoće koje se odnose na jednosmjerni i dvosmjerni t -test.
Slika 4. Vjerovatnoća za dvosmjerni (dvostrani t-test) od 0,00338349 odgovara sljedećoj sintaksi funkcije TTEST: =TTEST(B3:M3 ; B2:M2 ; 2 ; 1). Dakle, ova vjerovatnoća odgovara testiranju nulte hipoteze Ho: 1 = 2 (Hypothesized Mean Difference = 0) , nasuprot alternativnoj hipotezi H 1 : 1 2 (gdje je aritmetička sredina populacije), za nivo značajnosti = 5%. Kako testiramo hipotezu da upotrijebljeni lijek snižava maksimalni arterijski krvni pritisak pacijenata, alternativna hipoteza je H 1 : 1 < 2 . Vjerovatnoća za lijevi jednosmjerni t - test (lijevi jednostrani t-test) od 0,001691745 odgovara sintaksi funkcije TTEST: =TTEST(B3:M3 ; B2:M2 ; 1 ; 1). Kako je ova izračunata vjerovatnoća manja od = 5% to odbacujemo nultu hipotezu o jednakosti aritmetičkih sredina izmjerenih vrijednosti maksimalnog arterijskog krvnog pritiska dvaju raspodjela, prije liječenja i nakon uzimanja lijeka, i usvajamo alternativnu hipotezu da je aritmetička sredina vrijednosti maksimalnog arterijskog krvnog pritiska nakon uzimanja lijeka, manja na nivou značajnosti = 5%. Dakle, sa rizikom = 5%, možemo reći da upotrijebljeni lijek snižava maksimalni arterijski krvni pritisak pacijenata. Kritična vrijednost -1,796 za lijevi jednosmjerni t- test odgovara sintaksi = -TINV(2*5%;11). Izračunata vrijednost za t -statistiku odgovara vrijednosti izraza 211
t
x1 x2 μd
sd pri čemu izraz
n
d n -3,7197 ; d x 1 x 2 31,67 sd
n
d d
2
i
sd
i 1
29,49 s 21 s 22 2 r s 1 s 2
n 1 odgovara standardnoj devijaciji razlika opaženih vrijednosti. Dakle, u našem primjeru potrebno je bilo samo izračunati vjerovatnoću prema sintaksi na slici 5. Kako je vrijednost vjerovatnoće 0,001691745 manja od nivoa značajnosti od 5% to odbacujemo nultu i usvajamo alternativnu hipotezu H 1 .
t - 3,7197 Slika 5. Vjerovatnoća koju izračunavamo posredstvom funkcije TTEST, u našem primjeru , odgovara površini ispod Studentove t - raspodjele u intervalu (- , -3,7197): df 1 11 1 t Stat ) ) 3,7197 Γ( df 1 2 t t2 2 2 2 TTEST (1 ) dt (1 ) 6 dt 0,001691745 11 11 df df 11π Γ( ) df π Γ( ) 2 2 Γ(
Izlazna tablica za upareni T-Test u statističkom softveru Minitab 12.1 data je na slici 6.
Slika 6. 212
Primjer 3. Tim kardio-hirurga u jednoj bolnici u SAD-u zna da mnogi pacijenti koji se trebaju podvrgnuti korektivnoj operaciji na srcu imaju opasnost širenja zabrinutosti do zakazanog termina operacije. Odjel psihijatrije u toj bolnici je započeo novi program savjetovanja u namjeri da smanji zabrinutost. Test zabrinutosti dat je pacijentima koji znaju da se moraju podvrgnuti operaciji na srcu. Svaki je pacijent učestvovao na seriji predavanja sa osobljem psihijatrije. Na kraju predviđenih predavanja svaki je pacijent ponovno testiran kako bi se odredio nivo zabrinutosti. Izvučeni su rezultati za slučajan uzorak od devet pacijenata i prikazani slikom 7. Veći rezultat znači veći nivo zabrinutosti.
Imamo slučajan uzorak od 9 pacijenata
Imamo parove mjerenja na istim pacijentima prije i poslije predavanja o zabrinutosti
Slika 7. Da li na osnovu datih podataka možemo zaključiti da savjetovanje o zabrinutosti smanjuje zabrinutost pacijenata? Koristiti nivo značajnosti = 1%. Rješenje U našem primjeru imamo n = 9 parova mjerenja. Primjenom odgovarajućeg t - testa, na datim podacima, dobijamo izlaznu tablicu kao na slici 8.
Slika 8. Na istoj slici prikazan je i način unošenja ulaznih podataka, kao i uključene izlazne opcije. Izlazna tablica koju smo odredili sa apsolutnom adresom $F$1, sadrži sljedeće rezultate: Ćelije G4 i H4 sadrže vrijednosti koje odgovaraju aritmetičkim sredinama na podacima u polju ćelija B2:B10, odnosno C2:C10 (slika 7.). Slično, ćelije G5 i H5 sadrže vrijednosti varijansi. Broj stepeni slobode u ćeliji G9 jednak je: df = n-1 = 9-1 = 8. Sadržaj ćelije G10, odgovara izrazu: t Stat
x1 x2 μd sd
n
116, 33 83 22,9238
9
33, 33 3 4,36228 ; d x 1 x 2 33, 33 22,9238
213
Do ove vrijednosti možemo doći i posredstvom sintaksi na slici 9.
9
i 1
9
di
Slika 9.
d
i
d
9
i 1
2
33, 33
2
i
i 1
22,9238 91 8 9 U našem primjeru mi želimo da testiramo tvrdnju da savjetovanje o zabrinutosti smanjuje zabrinutost, što znači da je nivo zabrinutosti prije, veći od nivoa zabrinutosti poslije savjetovanja. Vidimo i da je aritmetička sredina razlika nivoa pozitivna, pa ćemo za alternativnu hipotezu, uzeti hipotezu: H 1 : d > 0. Naravno, nulta hipoteza je H 0 : d = 0. Vjerovatnoća za desni jednosmjerni test od 0,0012 odgovara sintaksi funkcije TTEST: =TTEST(B2:B10 ; C2:C10 ; 1 ; 1 ) kao na slici 10. d
33, 33 ; s d
d
Slika 10. Kako je ova izračunata vjerovatnoća manja od = 1% to odbacujemo nultu i usvajamo alternativnu hipotezu, te zaključujemo da savjetovanje o zabrinutosti smanjuje zabrinutost na nivou značajnosti = 1%. Dakle, sa rizikom = 1%, možemo reći da savjetovanje o zabrinutosti smanjuje zabrinutost pacijenata. Kritična vrijednost 2,896467 za desni jednosmjerni t- test odgovara sintaksi = TINV(2*1%;8), i manja je od izračunate vrijednosti t Stat = 4,36228. Vjerovatnoća koju postavlja funkcija TTEST, u našem primjeru, odgovara površini ispod Studentove t - raspodjele u intervalu (4,36228; ):
Γ(4,5) TTEST 8π Γ(4)
(1
4 ,36228
t 2 4,5 ) dt 0,00120 8 214
Vjerovatnoća za dvosmjerni (dvostrani t-test) od 0,0024 odgovara sljedećoj sintaksi funkcije TTEST: =TTEST(B2:B10 ; C2:C10 ; 2 ; 1 )). Izlazna tablica za upareni T-Test u statističkom softveru Minitab 12.1 data je na slici 11.
Slika 11. Izlazna tablica za upareni T-Test u statističkom softveru SPSS 10 data je na slici 12.
215
Pretpostavimo, da smo umjesto smjera "B-A", testirali smjer "d = A - B". Vrijednosti razlike nivoa zabrinutosti ("d = A - B") date su na slici 13.
Slika 13. Izlazna tablica, koja odgovara ovako unesenim podacima, data je na slici 14.
Slika 14. Vidimo da je aritmetička sredina razlika nivoa negativna, pa ćemo sada za alternativnu hipotezu, uzeti hipotezu: H 1 : d < 0. Dakle, imamo tip lijevo-jednosmjernog testa. Naravno, vjerovatnoća i za lijevi jednosmjerni test iznosi 0,001202634, što odgovara sintaksi funkcije TTEST, kao na slici 15.
Slika 15. 216
Primjer 4. Ocijenjeni broj gledalaca ( u milionima) dvije TV mreže, NBC i CBS, u vremenu od 8:00 do 20:30 dat je na slici 16.
Slika 16. Da li ova informacija ukazuje na postojanje razlike (ili veće ili manje) u broju ljudi koji gledaju CBS u poređenju sa NBC za vrijeme ovog vremenskog intervala? Koristiti nivo značajnosti 1%. Rješenje Očito je da se ovdje radi o dvosmjernom testu jer nas ne zanima smjer razlike već njeno postojanje. Odgovarajuću vjerovatnoću za ovaj tip testa možemo izračunati, kao na slici 17.
Slika 17. Kako je vjerovatnoća 0,898 koja odgovara t-testu veća od nivoa značajnosti od 1% mi nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu koja pretpostavlja ne postojanje razlike u prosječnom broju ljudi koji gledaju CBS u poređenju sa brojem ljudi koji gledaju NBC. Izlazna tablica data je na slici 18.
Slika 18. 217
Primjer 5. Broj otkucaja srca u minuti kod 10 lica na početku i na kraju eksperimenta dat je na slici 19.
Slika 19. Ispitati da li je provedeni eksperiment značajno uticao na prosječno smanjenje broja otkucaja srca. Koristiti nivoe značajnosti : 5% i 1%. Rješenje Testiramo smjer razlike "Na početku - Na kraju" i uočavamo da ove razlike imaju pozitivnu tendenciju. Dakle, kao alternativu imaćemo hipotezu H 1 : d >0. Izračunata statistika t Stat = 2,8552 (slika 19.) nalazi se desno od kritične vrijednosti 1,833 što nam ukazuje na statističku značajnost postignutog rezultata na nivou = 5%. Naravno, isti zaključak smo mogli donijeti i na osnovu sadražaja ćelije E11, odnosno vrijednosti vjerovatnoće od 0,00946 koja je manja od 5%. Na slici 20. data je izlazna tablica sa kritičnim vrijednostima za = 1%.
Slika 20. Kako je izračunata statistika t Stat = 2,8552 (slika 20.) desno od kritične vrijednosti 2,8214 to nam ukazuje na statističku značajnost postignutog rezultata i na nivou = 1%. Naravno, isti zaključak smo mogli donijeti i na osnovu sadražaja ćelije E11, odnosno vrijednosti vjerovatnoće od 0,00946 koja je manja od 1%. Do zaključka smo mogli doći i direktno posredstvom funkcije TTEST:
218
Primjer 6. Slučajni uzorak od n 1 = 16 lokaliteta u jednom regionu dao je sljedeće informacije o pojavi lisičjeg bjesnila blizu ovih lokaliteta: x 1 : 1,8, 8, 8, 7, 8, 8, 1, 3, 3, 3, 2, 5, 1, 4, 6. Drugi slučajni uzorak na n 2 = 15 lokaliteta u drugom regionu dao je sljedeće informacije o pojavi lisičjeg bjesnila blizu ovih lokaliteta: x 2 : 1,1, 3, 1, 4, 8, 5, 4, 4, 4, 2, 2, 5, 6, 9. Da li ova informacija ukazuje na postojanje razlike (ili veće ili manje) u prosječnom broju pojave lisičjeg bjesnila između ova dva regiona? Koristiti nivo značajnosti 5%. Rješenje U ovom primjeru se radi o testiranju razlike aritmetičkih sredina na malim uzorcima. Uzorci veličina n 1 = 16 i n 2 = 15 su nezavisni i izvučeni iz populacija sa sredinama 1 i 2 , respektivno. Takođe pretpostavljamo da su osnovni skupovi, odnosno populacije normalno raspoređene, i pretpostavljamo da su standardne devijacije 1 i 2 ovih populacija jednake. Neka uzorak iz x 1 populacije veličine n 1 ima standardnu devijaciju s 1 , a uzorak iz x 2 populacije veličine n 2 , standardnu devijaciju s 2 . Mi ocjenjujemo zajedničku standardnu devijaciju za dvije populacije, korištenjem zajedničke varijanse pomoću vrijednosti s 1 2 i s 2 2 prema izrazu: (n 1 1) s 21 (n 2 1) s 22 2 s n1 n2 2 Najbolja ocjena zajedničke (pooled) standardne devijacije je onda: s
(n 1 1) s 21 (n 2 1) s 22
n1 n2 2 Nulta hipoteza se obično postavlja tako da vidimo da li se može odbaciti. Kada testiramo razliku aritmetičkih sredina, nultu hipotezu H o postavljamo tako da nema razlike, odnosno: H o : d = 1 - 2 =0 ili ekvivalentno, H o : 1 = 2 . U našem primjeru, mi želimo da provjerimo postojanje razlike, ili veće ili manje u prosječnom broju pojave lisičjeg bjesnila između ova dva regiona, pa je H 1 : 1 2 . Pod pretpostavkom da je 1 = 2 i uz istinitost nulte hipoteze, moguće je pokazati da x1 x2 t 1 1 s n1 n2
ima t raspodjelu sa df = n 1 +n 2 -2 stepeni slobode. Poređenjem ove uzoračke statistike sa kritičnim vrijednostima izvodimo zaključak na test.
Na slici 21. dat je rezultat funkcije TTEST u odnosu na podatke u našem primjeru.
Slika 21. 219
U proračunskoj tablici Excel postoji ugrađen alat za analizu ovakvih problema pod nazivom: t - Test: Two-Sample Assuming Equal Variances. Određivanje ulaznih i izlaznih opcija možemo vidjeti na slici 22.
Slika 22. Rezultati izlazne tablice dati su na slici 23.
2
s1
x1 n1
n2
x2 s 22
s2 n1 n2 2
t
4,75 3,933 t Stat 1 1 6,96322 16 15
Slika 23. Kritične vrijednosti za dvostrani t test su: t Critical two-tail = 2,04523. Odgovarajuća t vrijednost, koja odgovara razlici aritmetičkih sredina 4,75-3,9333 iznosi 0,86112 (sadržaj ćelije D10, na slici 23.). Kako se ova vrijednost ne nalazi u kritičnoj oblasti to nemamo razloga da odbacimo nultu hipotezu H o . Ako zaključujemo na osnovu odgovarajuće vjerovatnoće dvostranog t- testa (0,396235178) možemo reći da je ova vrijednost veća od postavljenog praga značajnosti = 5% što nam opet daje za pravo da ne odbacimo nultu hipotezu. Dakle, mi nemamo dovoljno podataka da bismo mogli donijeti drugačiji zaključak. 220
Rezultati u izlaznoj Excelovoj tablici koji odgovaraju tipu testa t-Test: Two - Sample Assuming Equal Variances korespondiraju sljedećim izrazima: n1
16
x x 1i
x1
i 1
n1
1i
i 1
16
n2
15
x x 2i
x2
i 1
n2
2i
i 1
15
n1
s 21
(x
1i
x 1)
i 1
n1 1
2
s 2
s
(x
1 1 3 1 4 ... 5 6 9 3,933 AVERAGE(B 2 : B 16) 15
16
2
n2
s 22
1 8 8 8 7 ... 1 4 6 4,75 AVERAGE( A 2 : A 17) 16
(x
1i
i 1
7,933 VAR( A 2 : A 17)
15 15
2i
x2)
2
i 1
n2 1
(x
2i
3,933)2
i 1
5,923809524 VAR(B 2 : B 16)
14
(n 1 1) s 21 (n 2 1) s 22 n1 n2 2
(n 1 1) s 21 (n 2 1) s 22
t Stat
4,75)2
n1 n2 2
15 7,933 14 5,923809524 6,963218391 29
DEVSQ( A 2 : A 17) DEVSQ(B 2 : B 16) 6,963218391 df
x1 x2 4,75 3,933 0,861121823 1 1 1 1 s 6,963218391 ( ) n 1 n2 16 15
P(T<=t) one-tail
t Critical two-tail
P(T<=t) two-tail
t Critical one-tail
0,198
0,025
0,025
0,05 0,86
TDIST(0,86;29;1)
Γ15 29 π Γ14,5
2,045
1,699
2,045
0,198
0,198 0,86
15
0,86
t2 Γ15 t2 1 1 29 dt 0,198 TDIST(1,699;29;1) 29 π Γ14,5 29 0 ,86 1,699
Γ15 TDIST(0,86;29;2) 1 29 π Γ14,5
0 ,86
15
dt 0,05
15
t2 1 dt 0,396 29 0 ,86 TDIST(2,045;29;2) 0,05
221
Izlazna tablica u MINITABU 12.1, koja odgovara našem primjeru, data je na slici 24.
Two sample T for x1 vs x2
x1 x2
N 16 15
Mean 4,75 3,93
StDev 2,82 2,43
SE Mean 0,70 0,63
95% CI for mu x1 - mu x2: ( -1,12; 2,76) T-Test mu x1 = mu x2 (vs not =): T = 0,86 Both use Pooled StDev = 2,64
P = 0,40
DF = 29
Slika 24. Izlazne tablice u SPSS 10 koja odgovaraju našem primjeru date su na slici 25. Group Statistics
VAR00001
VAR00002 1,00 2,00
N
16 15
Mean 4,7500 3,9333
Std. Deviation 2,8166 2,4339
Std. Error Mean ,7042 ,6284
Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances
VAR00001
Equal variances assumed Equal variances not assumed
F 2,012
Sig. ,167
t-test for Equality of Means
t
Sig. (2-tailed)
df
Mean Difference
Std. Error Difference
95% Confidence Interval of the Difference Lower
Upper
,861
29
,396
,8167
,9484
-1,1230
2,7563
,865
28,821
,394
,8167
,9438
-1,1141
2,7475
Slika 25. Izlazni rezultati u programu Statistica 5.0 dati su na slici 26.
Slika 26. 222
Primjer 7. Postavljena je hipoteza da se potrebno vrijeme za obradu jednog proizvoda može smanjiti novim postupkom obrade. Na slučajan način odabrani su proizvodi obrađeni jednim i drugim postupkom obrade i uočena su sljedeća vremena obrade u minutima, prikazana na slici 27.
Slika 27. Na istoj slici data je i izlazna Excelova tablica sa rezultatima koji odgovaraju tipu testa, t-Test: Two - Sample Assuming Equal Variances, za nivo značajnosti = 5%. Komentarisati rezultate u izlaznoj Excelovoj tablici, te na istim podacima dati izlaznu tablicu u Minitabu12.1, u programu Statistica 5.0 , odnosno u programu NCSS 97. Rješenje Postavljenu hipotezu možemo odmah provjeriti posredstvom funkcije TTEST, za dati nivo značajnosti = 5%, kao na slici 28.
Slika 28. Ovaj rezultat odgovara sadržaju ćelije D11, na slici 27. Kako je dobijena vjerovatnoća 8,1% veća od praga značajnosti = 5% to možemo zaključiti da se vrijeme obrade starim načinom 223
obrade statistički značajno ne razlikuje od vremena obrade novim načinom obrade. Sada ćemo se vratiti komentaru rezultata u izlaznoj Excelovoj tablici, na slici 27. Kako su uzorci mali (n 1 = 8, i n 2 = 7) i kako se može prihvatiti da se raspodjela vremena obrade podvrgava normalnoj raspodjeli, to možemo izabrati pomenuti tip t-testa na malim uzorcima uz pretpostavku jednakosti varijansi osnovnih skupova. Ovu pretpostavku možemo provjeriti pomoću testa prikazanog na slici 29.
Slika 29. Kako je kritična vrijednost F Critical one tail = 4,2067 veća od izračunate F = 1,93 to možemo smatrati da je ispunjen preduslov o jednakosti varijansi. U prethodnom primjeru su dati tradicionalni izrazi koji odgovaraju rezultatima u izlaznoj Excelovoj tablici u ovom primjeru ćemo sadržaje ćelija zamijeniti sa sintaksama odgovarajućih funkcija, što vidimo na slici 30.
Slika 30. Dakle, zaključak o postavljenoj hipotezi možemo donijeti na osnovu vjerovatnoće koja odgovara vrijednosti koju postavlja funkcija TTEST (slika 28.), upoređujući je sa pragom značajnosti , odnosno na osnovu izračunate vrijednosti t koja odgovara izrazu: x1 x2 16,25 13,85714286 t Stat 1,482985596 1 1 1 1 s 9,71978022 ( ) n 1 n2 8 7 224
upoređujući je sa kritičnom vrijednošću t Critical one tail = 1,77093 pošto se radi o jednosmjernom testu. Kako je 1,4829 < 1,7709 to nemamo osnova da odbacimo nultu hipotezu o jednakosti srednjih vremena obrade proizvoda na stari i novi način. Drugim riječima prosječna razlika od 2,39 minuta između primijenjnih postupaka obrade nije statistički značajna i može se smatrati da je nastala slučajno. Izlazna tablica u statističkom paketu Minitab 12.1 data je na slici 31.
Two Sample T-Test and Confidence Interval
Two sample T for x1 vs x2
x1 x2
N 8 7
Mean 16,25 13,86
StDev 3,54 2,54
SE Mean 1,3 0,96
95% CI for mu x1 - mu x2: ( -1,1; 5,88) T-Test mu x1 = mu x2 (vs >): T = 1,48 P = 0,081 Both use Pooled StDev = 3,12
DF = 13
Slika 31. Izlazni rezultati u paketu Statistica 5.0 dati su na slici 32.
Slika 32. Slijedi dio izvještaja u statističkom paketu NCSS 97 :
225
VAR Ova funkcija izračunava varijansu uzorka prema formuli: 1 s n1 2
n
x
x
2
i
i 1
1 n1
n
i 1
xi 1 n
n
i 1
xi
2
gdje su: n - veličina uzorka, x i - pojedinačne vrijednosti obilježja u uzorku, x - aritmetička sredina uzorka. Sintaksa VAR( number1 ; number2 ; ...) Number1, number2,... su 1 do 30 argumenata kojima smo obuhvatili vrijednosti obilježja uzetog uzorka; umjesto argumenata odvojenih separatorima možemo koristiti i jednodimenzionalno polje ili referencu na polje. Logičke vrijednosti TRUE i FALSE, kao i tekst, zanemaruju se kod izračunavanja; ako ne smiju biti zanemareni, tada koristimo funkciju radnog lista VARA. Napomene Funkcija VAR pretpostavlja da njeni argumenti odgovaraju uzorku i možemo je 2 n predstaviti izrazom: n 2 n
x
1 n1
VAR s 2
x
n
2
i
x
xi i 1 n (n 1)
i 1
i 1
i
kada imamo negrupisane podatke. U slučaju grupisanih podataka, odgovarajuća formula za varijansu s2, glasi: 1 s n1 2
k
f x x
2
i
;
i
i 1
1 x n
k
f x i
k
i
; n
i 1
f
i
i 1
i u Excelu je možemo izračunati posredstvom ugrađenih matematičkih funkcija SUM i SQRT. Primjer 1. Izmjerene su sljedeće vrijednosti obilježja X, na uzorku: 2, 3, 5, 5, 6, 8, 8, 11. Izračunati varijansu s2. Rješenje Za klasično računanje varijanse s2, prvi korak predstavlja izračunavanje aritmetičke sredine, 8 prema formuli: 2 3 5 5 6 8 8 11 48 1 x
8
x
i
8
i 1
8
6
zatim, izračunavanje sume kvadriranih razlika vrijednosti obilježja od aritmetičke sredine: 8
x
i
6 2 2 6 2 3 6 2 5 6 2 5 6 2 6 6 2 8 6 2 8 6 2 1 1 6 2
i 1
( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 0 2 2 2 2 2 5 2 16 9 1 1 0 4 4 25 60
i na kraju, da bismo izračunali varijansu potrebno je gornju sumu kvadriranih razlika podijeliti sa veličinom uzorka umanjenom za jedan, odnosno sa : n - 1 = 8 - 1 = 7. s2
1 81
8
x i 1
i
6 2
60 8,571429 7
226
Posredstvom funkcije VAR, vrijednost za varijansu možemo izračunati kao na slici 1.
Slika 1. Primjer 2. Na osnovu podataka (slika 2.) o dnevnim prodajama u dva restorana u jednom gradu izračunate su njihove varijanse. Podaci se odnose na ukupnu prodaju u novčanim jedinicama za svaki od 12 slučajno odabranih dana u toku šestomjesečnog perioda.
1 s 12 1 2
1 s 12 1 2
12
x 1349 i
2
280978,9
i 1
12
x 1267 i
2
266294,2
i 1
Slika 2. Primjer 3. Na slici 3. izračunate su varijanse prema podacima o uzetim uzorcima.
1 s 10 1 2
10
x 38,4 i
226,933
i 1
s2
Slika 3.
2
1 10 1
10
x 42,1 249,88 i
2
i 1
227
Primjer 4. Satnice u uzorku honorarno zaposlenih u jednoj kompaniji su: $3, $9, $5, $6, $8, i $11. Kolika je varijansa? Rješenje Korištenjem kvadrata devijacija satnica od njihove aritmetičke sredine, i direktnom formulom (na slici 4.) pokazano je kako se može izračunati varijansa (s2 ) na ovom uzorku. Također, na istoj slici, izračunata je varijansa i posredstvom funkcije VAR. Satnica u $ (x) 3 9 5 6 8 11 =42
x -x
(x -x)2
-4 2 -2 -1 1 4
16 4 4 1 1 16
0
42
x
42 7 6
1 s 61 2
6
x 7 i
2
i 1
42 8,4 5
Satnica u $ (x) 3 9 5 6 8 11
9 81 25 36 64 121
=42
336
6
s2
i1
x2
1 x 6 2 i
6
i1
xi
2
61 1764 336 6 42 8,4 5 5
Slika 4. Primjer 5. Sljedećih pet vrijednosti su u uzorku: 11, 6, 10, 6, i 7. Izračunati varijansu uzorka (s2 ) posredstvom funkcije VAR, i na tradicionalan način korištenjem kvadrata devijacija opaženih vrijednosti od njihove aritmetičke sredine. Rješenje je dato na slici 5. s2
Slika 5. Varijansa uzorka (s2 ) je: 5,5. Aritmetička sredina uzorka je:x = 40/5 = 8.
1 4
5
x 8 i
i1
2
22 5,5 4
(x)
x -x
(x -x)
11 6 10 6 7
3 -2 2 -2 -1
9 4 4 4 1
=40
0
22
2
228
VARA Postavlja varijansu uzorka; uz brojeve kod računanja se uključuju i tekst i logičke vrijednosti kao što su TRUE i FALSE . Sintaksa VARA ( value1 ; value2 ; ... ) Value1, value2,... su 1 do 30 vrijednosti argumenata koje odgovaraju uzorku. Napomene STDEVA podrazumijeva uzorak. Ako naši podaci predstavljaju populaciju, varijansu moramo računati posredstvom funkcije VARPA. Vrijednosti argumenta TRUE vrednuju se kao 1, a FALSE kao nula; ako kod računanja ne smiju biti uključene tekstualne ili logičke vrijednosti, tada koristimo funkciju radnog lista VAR. VARA koristi sljedeću formulu: n
n
n
n
x ( x ) (x x) i
i 1
2
i
i 1
n (n 1)
Primjer 1. Prema podacima na slici 1. izračunati varijansu.
2
i
i 1
2
n 1
Slika 1. Varijansa, prema podacima na Slici 1. jednaka je 0,375659955.
229
VARP Ova funkcija postavlja varijansu baziranu na populaciji, prema formuli:
1 σ N 2
N
x μ i
2
1 μ N
;
i 1
N
x
i
i 1
gdje je N - veličina populacije, x i - pojedinačne vrijednosti obilježja populacije, aritmetička sredina populacije. Varijansa 2 je prosjek kvadrata odstupanja x i oko njihove aritmetičke sredine . Sintaksa VARP( number1 ; number2 ; ...) Number1, number2,... su 1 do 30 argumenata kojima smo obuhvatili vrijednosti obilježja populacije; umjesto argumenata odvojenih separatorima možemo koristiti i jednodimenzionalno polje ili referencu na polje. Logičke vrijednosti TRUE i FALSE, kao i tekst, zanemaruju se kod izračunavanja. Ako ne smiju biti zanemareni, tada koristimo funkciju radnog lista VARPA. Napomene Funkcija VARP pretpostavlja da njeni argumenti odgovaraju cijeloj populaciji i odgovara N N izrazu: 1 1 2 2 2 2 VARP σ
N
x
i
μ
i 1
N
x
i
μ
i 1
kada imamo negrupisane podatke. U slučaju grupisanih podataka, odgovarajuća formula za varijansu glasi: σ2
1 N
k
f i x i μ 2 ;
μ
i 1
1 N
k
k
fi xi ; N
i 1
f
i
i 1
i u Excelu je možemo izračunati posredstvom ugrađenih matematičkih funkcija SUM i SQRT. Primjer 1. Populaciju sačinjavaju sljedeće vrijednosti obilježja X: 2, 3, 5, 5, 6, 8, 8, 11. Izračunati varijansu 2. Rješenje Za klasično računanje varijanse 2, prvi korak predstavlja izračunavanje aritmetičke sredine , prema formuli: μ
1 8
8
x
i
i 1
2 3 5 5 6 8 8 11 48 6 8 8
zatim, izračunavamo sumu kvadrata odstupanja: 8
x
i
6 2 2 6 2 3 6 2 5 6 2 5 6 2 6 6 2 8 6 2 8 6 2 1 1 6 2
i 1
( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 0 2 2 2 2 2 5 2 16 9 1 1 0 4 4 25 60
Varijansa 2, jednaka je:
σ
2
1 8
8
i 1
x i
6 2
60 7 ,5 8
230
Primjer 2. Ovih sedam vrijednosti sačinjava populaciju: 7, 5, 9, 6, 4, 5, i 6. Potrebno je izračunati varijansu pomoću kvadrata devijacija ovih vrijednosti od njihove aritmetičke sredine i pomoću kvadrata individualnih vrijednosti. Pokazati kako se varijansa može izračunati u proračunskoj tablici Excel. Rješenje Varijansu pomoću kvadrata devijacija vrijednosti od njihove aritmetičke sredine izračunavamo prema formuli: Vrijednosti (x) 7 5 9 6 4 5 6
x- 1 -1 3 0 -2 -1 0
(x-)2 1 1 9 0 4 1 0
x=42
(x -)=0
(x -) =16
1 σ N 2
N
x μ i
2
i 1
1 7
7
x 6 i
2
i 1
16 2,285714 7 pri čemu je: μ
2
1 N
N
xi
i 1
1 7
7
x 427 6 i
i 1
(x)2=1764
Formula za varijansu pomoću kvadrata individualnih vrijednosti je: Vrijednosti (x) 7 5 9 6 4 5 6 x=42 (x)2=1764
2
x 49 25 81 36 16 25 36 x2=268
1 σ2 N
N
i 1
1 x i2 N
N
i 1
2
1 xi 7
7
x
2 i
i 1
1764 49
268 36 38,285714 36 2,285714 7
42 = SUM(A2:A8) 1764 = 422 = SUM(A2:A8)^2 268 = SUMSQ(A2:A8)
Standardna devijacija izračunata posredstvom funkcije VARP prikazana je na slici 1.
Slika 1. Naravno, sva izračunavanja umjesto nas, negdje u pozadini, uradi gotova Excelova funkcija VARP. 231
Primjer 3. Izračunati varijansu trenda na podacima (slika 2.): Rješenje Varijansa trenda predstavlja prosječni zbir kvadrata odstupanja frekvencija niza od trend vrijednosti. Izraz za varijansu linearnog trenda je:
σ 2t
1 n
n
(y y ) i
ti
2
i 1
Slika 2. Posredstvom funkcije VARP, varijansu trenda na datim podacima možemo izračunati kao na slici 3.
Slika 3. Varijansa trenda, odgovara izrazu: 1 σt 8 2
8
(y y ) i
ti
2
i 1
1,16696 MSD
Vidi se da izračunata vrijednosti odgovara mjeri MSD, koju smo izračunali posredstvom statističkog programa MINITAB 12.1. Vrijednosti trenda koje odgovaraju datoj jednačini linearnog trenda obuhvatili smo u samom argumentu funkcije VARP, tako da ih nismo morali posebno izračunavati. Dakle, za izračunavanje varijanse trenda dovoljno je poznavati samo vrijednosti y i . 232
VARPA Izračunava varijansu baziranu na populaciji; uz brojeve, kod računanja se uključuju i tekst i logičke vrijednosti TRUE i FALSE. Sintaksa VARPA ( value1 ; value2 ; ... ) Value1, value2,... su 1 do 30 vrijednosti argumenata koje odgovaraju populaciji. Napomene VARPA podrazumijeva da su njeni argumenti osnovni skup (populacija). Ako naši podaci predstavljaju uzorak, varijansu računamo posredstvom funkcije VARA. Vrijednosti u argumentu TRUE vrednuju se kao 1, a FALSE kao 0. Ako kod računanja ne smiju biti uključene tekstualne ili logičke vrijednosti, koristimo funkciju radnog lista VARP. Izraz za funkciju VARPA, glasi: n
n
n
n
x ( x ) (x x) i
2
i 1
n
i
2
i 1
Primjer 1. Prema podacima na Slici 1. izračunati varijansu.
2
i
2
i 1
n
Slika 1. Varijansa, prema podacima na slici 1. jednaka je 0,238622222.
233
WEIBULL Posredstvom ove funkcije možemo izračunati vjerovatnoću koja odgovara Weibullovoj raspodjeli i koja je definisana integralom x u x WEIBULL( x ; alpha ; beta ; TRUE) u 1 e du 1 e 0 i ordinatu funkcije gustine prema izrazu: x , za x 0 x WEIBULL( x; alpha ; beta ; FALSE) , za x 0 1 x e gdje su alpha i beta parametri raspodjele. Sintaksa WEIBULL ( x ; alfa ; beta ; cumulative ) X je vrijednost na kojoj vrednujemo funkciju. Alfa je parametar oblika a beta parametar razmjere. Cumulative je logička vrijednost TRUE ili FALSE, kojom određujemo da li se radi o funkciji gustine ili funkciji raspodjele.
Napomene Ako x, alfa ili beta nisu brojevi, WEIBULL postavlja vrijednost greške #NAME?. Ako je x < 0, WEIBULL postavlja vrijednost greške #NUM!. Ako je alfa 0 ili ako je beta 0, WEIBULL postavlja vrijednost greške #NUM!. Kad je alfa = 1, funkcija WEIBULL odgovara eksponencijalnoj raspodjeli sa: = 1/. Funkcija inverzne Weibull-ove raspodjele 1 ln POWER( LN( 1 /(1 p));1 / ) 1p odgovara vrijednosti x za koju integral WEIBULL(x;;;TRUE) ima vrijednost p. Primjer 1.
Površina p ispod funkcije gustine odgovara vrijednosti integrala: 9 WEIBULL(6; alpha 9; beta 6; TRUE) 9 6 Ordinata funkcije gustine za x = 6 jednaka je:
6
u
8
e
u 6
9
du 1 e 1 0,632121
0
234
ZTEST Ova funkcija izračunava odgovarajuću p-vrijednost z-testa, prema izrazu x x ZTEST 1 NORMSDIST n
gdje su: x aritmetička sredina uzorka, n veličina uzorka, poznata standardna devijacija osnovnog skupa, i x pretpostavljena vrijednost aritmetičke sredine osnovnog skupa ili populacije. Sintaksa ZTEST(array ; x ; sigma) Array je polje ili opseg podataka prema kojima testiramo vrijednost x , odnosno aritmetičku sredinu osnovnog skupa (populacije) . Ako je ovo polje prazno, funkcija ZTEST postavlja vrijednost greške #N/A. Sigma je standardna devijacija populacije ; ako je ispuštena, zamijenjena je standardnom devijacijom uzorka s. Primjer 1. Imamo 9 rezultata mjerenja jedne pojave. Poznato nam je da mjerenja potiču iz raspodjele koja ima standardnu devijaciju = 0,2. Kako nam je poznata standardna devijacija, želimo da testiramo aritmetičku sredinu populacije = 5 na nivou značajnosti = 5 %, posredstvom z procedure. Rješenje Testiramo nultu hipotezu Ho: = 5, nasuprot alternativnoj hipotezi H 1 : 5. Dakle, opredijelili smo se za dvostrani z-test. Aritmetička sredina uzorka iznosi 4,7889 (slika 1.).
Slika 1. Odgovarajuću p vrijednost 0,0015421 koja odgovara vjerovatnoći dvostranog z -testa, izračunavamo posredstvom izraza: Kako je izračunata p vrijednost manja od 5% to odbacujemo nultu i usvajamo alternativnu hipotezu da je aritmetička sredina populacije različita od 5. Da pojasnimo šta smo mi zapravo izračunali. Kako je aritmetička sredina uzorka x = 4,7889 manja od vrijednosti koju testiramo x = = 5, to je vrijednost izraza xx x μ n n 3,16667 σ σ negativna. Površina ispod standardne normalne krive u intervalu (- , -3,1667] iznosi 0,000771 i odgovara vrijednosti funkcije NORMSDIST(-3,16667). Kako smo imali dvostrani test to smo izračunali i površinu ispod standardne normalne krive u intervalu [3,1667 , ) koja, takođe iznosi 0,000771. dakle, ukupna površina ispod standardne z
235
normalne krive u intervalima (- , -3,1667] i [3,1667 , ) iznosi 2*0,000771 = 0,001542 što odgovara našem rezultatu. Kritične vrijednosti za nivo značajnosti = 5% iznose: 1,95996 = NORMSINV(97,5%). Sada ćemo isti primjer uraditi i u specijalizovanom statističkom programu Minitab 12.1 radi poređenja sa onim šta možemo uraditi u proračunskoj tablici Excel. Procedura izvođenja z testa na jednom uzorku je sljedeća: Nakon upisivanja dobijenih rezultata, odabraćemo vrstu testa, odnosno test 1-Sample Z koji se nalazi u dijelu Stat>Basic Statistics>1-Sample Z. Nakon otvaranja ovog prozora na mjestu Variables upisat ćemo naše rezultate. Zatim ćemo upisati vrijednost za aritmetičku sredinu 5, i standardnu devijaciju 0,2. Pritiskom na dugme OK dobit ćemo odgovarajuće rezultate.
Na mjestu Alternative upisan je vrijednost not equal što odgovara dvostranom testu. Sada ćemo na istim rezultatima sprovesti lijevostrani z-test, koji je u ovom slučaju logičniji, što znači da će naša alternativna hipoteza biti H 1 : < 5. Kritična vrijednost na nivou 5% iznosi -1,64484 = NORMSINV(5%). Kako je izračunata vrijednost za z = 3,16667 manja od ove kritične vrijednosti to odbacujemo nultu hipotezu i usvajamo hipotezu H 1 : < 5. Odgovarajuća p-vrijednost za lijevostrani z-test 0,000771 odgovara vrijednosti izraza: Odgovarajući izlazni rezultati za slučaj alternativnih hipoteza H 1 : < 5 i H 1 : > 5, u Minitabu dati su ispod; pretpostavljena je standardna devijacija populacije 0,2.
U slučaju da je vrijednost z x x n x μ n na našim podacima bila σ σ pozitivna tada bismo p vrijednost koja odgovara vjerovatnoći z-testa za dvostrani test izračunali prema sintaksi odnosno, za lijevostrani z - test prema sintaksi:
236
Tabela 1 Binomni koeficijenti n n n! n! COMBIN(n x; x) COMBIN(n; x) x x!(n x)! (n x)! x! n x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A B C D E n \ x 0 1 2 3 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 5 1 5 10 10 6 1 6 15 20 7 1 7 21 35 8 1 8 28 56 9 1 9 36 84 10 1 10 45 120 11 1 11 55 165 12 1 12 66 220 13 1 13 78 286 14 1 14 91 364 15 1 15 105 455 16 1 16 120 560 17 1 17 136 680 18 1 18 153 816 19 1 19 171 969 20 1 20 190 1140
F 4
G 5
H 6
1 5 1 15 6 1 35 21 7 70 56 28 126 126 84 210 252 210 330 462 462 495 792 924 715 1287 1716 1001 2002 3003 1365 3003 5005 1820 4368 8008 2380 6188 12376 3060 8568 18564 3876 11628 27132 4845 15504 38760
I 7
J 8
K 9
L 10
M 11
N 12
O 13
P 14
Q 15
R 16
S 17
T U V 18 19 20
1 8 1 36 9 1 120 45 10 1 330 165 55 11 1 792 495 220 66 12 1 1716 1287 715 286 78 13 1 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20
1
Tabela 2. Faktorijel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
A n
B n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 8 40320 9 362880 10 3628800 11 39916800 12 479001600 13 6227020800 14 87178291200 15 1307674368000 16 20922789888000 17 355687428096000 18 6402373705728000 19 121645100408832000 20 2432902008176640000
237
Tabela 3 Binomna kumulativna raspodjela x n BINOMDIST(x; n; p; TRUE) p x (1 - p) n x i 0 i A B C D E 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0 0,980 0,903 0,810 2 2 1 1,000 0,998 0,990 3 2 1,000 1,000 1,000 4
F G H I 0,15 0,2 0,25 0,3 0,723 0,640 0,563 0,490 0,978 0,960 0,938 0,910 1,000 1,000 1,000 1,000
N O P Q 0,55 0,6 0,65 0,7 0,203 0,160 0,123 0,090 0,698 0,640 0,578 0,510 1,000 1,000 1,000 1,000
R S T U 0,75 0,8 0,85 0,9 0,063 0,040 0,023 0,010 0,438 0,360 0,278 0,190 1,000 1,000 1,000 1,000
V 0,95 0,003 0,098 1,000
G 0,2 0,512 0,896 0,992 1,000
H 0,25 0,422 0,844 0,984 1,000
I 0,3 0,343 0,784 0,973 1,000
J 0,35 0,275 0,718 0,957 1,000
K 0,4 0,216 0,648 0,936 1,000
L 0,45 0,166 0,575 0,909 1,000
M 0,5 0,125 0,500 0,875 1,000
N 0,55 0,091 0,425 0,834 1,000
O 0,6 0,064 0,352 0,784 1,000
P 0,65 0,043 0,282 0,725 1,000
Q 0,7 0,027 0,216 0,657 1,000
R 0,75 0,016 0,156 0,578 1,000
S 0,8 0,008 0,104 0,488 1,000
T 0,85 0,003 0,061 0,386 1,000
U 0,9 0,001 0,028 0,271 1,000
V 0,95 0,000 0,007 0,143 1,000
A B C D E F G 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0 0,961 0,815 0,656 0,522 0,410 2 4 1 0,999 0,986 0,948 0,890 0,819 3 2 1,000 1,000 0,996 0,988 0,973 4 3 1,000 1,000 1,000 0,999 0,998 5 4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 6
H 0,25 0,316 0,738 0,949 0,996 1,000
I 0,3 0,240 0,652 0,916 0,992 1,000
J 0,35 0,179 0,563 0,874 0,985 1,000
K 0,4 0,130 0,475 0,821 0,974 1,000
L 0,45 0,092 0,391 0,759 0,959 1,000
M 0,5 0,063 0,313 0,688 0,938 1,000
N 0,55 0,041 0,241 0,609 0,908 1,000
O 0,6 0,026 0,179 0,525 0,870 1,000
P 0,65 0,015 0,126 0,437 0,821 1,000
Q 0,7 0,008 0,084 0,348 0,760 1,000
R 0,75 0,004 0,051 0,262 0,684 1,000
S 0,8 0,002 0,027 0,181 0,590 1,000
T 0,85 0,001 0,012 0,110 0,478 1,000
U 0,9 0,000 0,004 0,052 0,344 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,014 0,185 1,000
1 2 3 4 5 6 7
A B C D E F G H n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 5 0 0,951 0,774 0,590 0,444 0,328 0,237 1 0,999 0,977 0,919 0,835 0,737 0,633 2 1,000 0,999 0,991 0,973 0,942 0,896 3 1,000 1,000 1,000 0,998 0,993 0,984 4 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 5 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,168 0,528 0,837 0,969 0,998 1,000
J 0,35 0,116 0,428 0,765 0,946 0,995 1,000
K 0,4 0,078 0,337 0,683 0,913 0,990 1,000
L 0,45 0,050 0,256 0,593 0,869 0,982 1,000
M 0,5 0,031 0,188 0,500 0,813 0,969 1,000
N 0,55 0,018 0,131 0,407 0,744 0,950 1,000
O 0,6 0,010 0,087 0,317 0,663 0,922 1,000
P 0,65 0,005 0,054 0,235 0,572 0,884 1,000
Q 0,7 0,002 0,031 0,163 0,472 0,832 1,000
R 0,75 0,001 0,016 0,104 0,367 0,763 1,000
S 0,8 0,000 0,007 0,058 0,263 0,672 1,000
T 0,85 0,000 0,002 0,027 0,165 0,556 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,009 0,081 0,410 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,001 0,023 0,226 1,000
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C D E F G H I n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 6 0 0,941 0,735 0,531 0,377 0,262 0,178 0,118 1 0,999 0,967 0,886 0,776 0,655 0,534 0,420 2 1,000 0,998 0,984 0,953 0,901 0,831 0,744 3 1,000 1,000 0,999 0,994 0,983 0,962 0,930 4 1,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0,995 0,989 5 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 6 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,075 0,319 0,647 0,883 0,978 0,998 1,000
K 0,4 0,047 0,233 0,544 0,821 0,959 0,996 1,000
L 0,45 0,028 0,164 0,442 0,745 0,931 0,992 1,000
M 0,5 0,016 0,109 0,344 0,656 0,891 0,984 1,000
N 0,55 0,008 0,069 0,255 0,558 0,836 0,972 1,000
O 0,6 0,004 0,041 0,179 0,456 0,767 0,953 1,000
P 0,65 0,002 0,022 0,117 0,353 0,681 0,925 1,000
Q 0,7 0,001 0,011 0,070 0,256 0,580 0,882 1,000
R 0,75 0,000 0,005 0,038 0,169 0,466 0,822 1,000
S 0,8 0,000 0,002 0,017 0,099 0,345 0,738 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,006 0,047 0,224 0,623 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,001 0,016 0,114 0,469 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,002 0,033 0,265 1,000
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B C D E F G H I J n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 7 0 0,932 0,698 0,478 0,321 0,210 0,133 0,082 0,049 1 0,998 0,956 0,850 0,717 0,577 0,445 0,329 0,234 2 1,000 0,996 0,974 0,926 0,852 0,756 0,647 0,532 3 1,000 1,000 0,997 0,988 0,967 0,929 0,874 0,800 4 1,000 1,000 1,000 0,999 0,995 0,987 0,971 0,944 5 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,996 0,991 6 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 7 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
K 0,4 0,028 0,159 0,420 0,710 0,904 0,981 0,998 1,000
L 0,45 0,015 0,102 0,316 0,608 0,847 0,964 0,996 1,000
M 0,5 0,008 0,063 0,227 0,500 0,773 0,938 0,992 1,000
N 0,55 0,004 0,036 0,153 0,392 0,684 0,898 0,985 1,000
O 0,6 0,002 0,019 0,096 0,290 0,580 0,841 0,972 1,000
P 0,65 0,001 0,009 0,056 0,200 0,468 0,766 0,951 1,000
Q 0,7 0,000 0,004 0,029 0,126 0,353 0,671 0,918 1,000
R 0,75 0,000 0,001 0,013 0,071 0,244 0,555 0,867 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,005 0,033 0,148 0,423 0,790 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,001 0,012 0,074 0,283 0,679 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,003 0,026 0,150 0,522 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,044 0,302 1,000
A B C D E F G H I J K 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0 0,923 0,663 0,430 0,272 0,168 0,100 0,058 0,032 0,017 2 8 1 0,997 0,943 0,813 0,657 0,503 0,367 0,255 0,169 0,106 3 2 1,000 0,994 0,962 0,895 0,797 0,679 0,552 0,428 0,315 4 3 1,000 1,000 0,995 0,979 0,944 0,886 0,806 0,706 0,594 5 4 1,000 1,000 1,000 0,997 0,990 0,973 0,942 0,894 0,826 6 5 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,996 0,989 0,975 0,950 7 6 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 0,996 0,991 8 7 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,999 9 8 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 10
L 0,45 0,008 0,063 0,220 0,477 0,740 0,912 0,982 0,998 1,000
M 0,5 0,004 0,035 0,145 0,363 0,637 0,855 0,965 0,996 1,000
N 0,55 0,002 0,018 0,088 0,260 0,523 0,780 0,937 0,992 1,000
O 0,6 0,001 0,009 0,050 0,174 0,406 0,685 0,894 0,983 1,000
P 0,65 0,000 0,004 0,025 0,106 0,294 0,572 0,831 0,968 1,000
Q 0,7 0,000 0,001 0,011 0,058 0,194 0,448 0,745 0,942 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,004 0,027 0,114 0,321 0,633 0,900 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,001 0,010 0,056 0,203 0,497 0,832 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,003 0,021 0,105 0,343 0,728 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,038 0,187 0,570 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,006 0,057 0,337 1,000
A B C D 1 n x \ p 0,01 0,05 0 0,914 0,630 2 9 1 3 0,997 0,929 2 4 1,000 0,992 3 1,000 0,999 5 4 1,000 1,000 6 5 1,000 1,000 7 6 1,000 1,000 8 7 1,000 1,000 9 8 1,000 1,000 10 9 1,000 1,000 11
L 0,45 0,005 0,039 0,150 0,361 0,621 0,834 0,950 0,991 0,999 1,000
M 0,5 0,002 0,020 0,090 0,254 0,500 0,746 0,910 0,980 0,998 1,000
N 0,55 0,001 0,009 0,050 0,166 0,379 0,639 0,850 0,961 0,995 1,000
O 0,6 0,000 0,004 0,025 0,099 0,267 0,517 0,768 0,929 0,990 1,000
P 0,65 0,000 0,001 0,011 0,054 0,172 0,391 0,663 0,879 0,979 1,000
Q 0,7 0,000 0,000 0,004 0,025 0,099 0,270 0,537 0,804 0,960 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,001 0,010 0,049 0,166 0,399 0,700 0,925 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,003 0,020 0,086 0,262 0,564 0,866 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,034 0,141 0,401 0,768 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,008 0,053 0,225 0,613 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,008 0,071 0,370 1,000
1 2 3 4 5
A B C D E F n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 3 0 0,970 0,857 0,729 0,614 1 1,000 0,993 0,972 0,939 2 1,000 1,000 0,999 0,997 3 1,000 1,000 1,000 1,000
J K L M 0,35 0,4 0,45 0,5 0,423 0,360 0,303 0,250 0,878 0,840 0,798 0,750 1,000 1,000 1,000 1,000
E 0,1 0,387 0,775 0,947 0,992 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
F 0,15 0,232 0,599 0,859 0,966 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
G 0,2 0,134 0,436 0,738 0,914 0,980 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000
H 0,25 0,075 0,300 0,601 0,834 0,951 0,990 0,999 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,040 0,196 0,463 0,730 0,901 0,975 0,996 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,021 0,121 0,337 0,609 0,828 0,946 0,989 0,999 1,000 1,000
K 0,4 0,010 0,071 0,232 0,483 0,733 0,901 0,975 0,996 1,000 1,000
238
A B 1 n x \ p 0 2 10 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12
C 0,01 0,904 0,996 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
D 0,05 0,599 0,914 0,988 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
E 0,1 0,349 0,736 0,930 0,987 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
F 0,15 0,197 0,544 0,820 0,950 0,990 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
G 0,2 0,107 0,376 0,678 0,879 0,967 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
H 0,25 0,056 0,244 0,526 0,776 0,922 0,980 0,996 1,000 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,028 0,149 0,383 0,650 0,850 0,953 0,989 0,998 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,013 0,086 0,262 0,514 0,751 0,905 0,974 0,995 0,999 1,000 1,000
K 0,4 0,006 0,046 0,167 0,382 0,633 0,834 0,945 0,988 0,998 1,000 1,000
L 0,45 0,003 0,023 0,100 0,266 0,504 0,738 0,898 0,973 0,995 1,000 1,000
M 0,5 0,001 0,011 0,055 0,172 0,377 0,623 0,828 0,945 0,989 0,999 1,000
N 0,55 0,000 0,005 0,027 0,102 0,262 0,496 0,734 0,900 0,977 0,997 1,000
O 0,6 0,000 0,002 0,012 0,055 0,166 0,367 0,618 0,833 0,954 0,994 1,000
P 0,65 0,000 0,001 0,005 0,026 0,095 0,249 0,486 0,738 0,914 0,987 1,000
Q 0,7 0,000 0,000 0,002 0,011 0,047 0,150 0,350 0,617 0,851 0,972 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,004 0,020 0,078 0,224 0,474 0,756 0,944 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,033 0,121 0,322 0,624 0,893 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,010 0,050 0,180 0,456 0,803 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,013 0,070 0,264 0,651 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,012 0,086 0,401 1,000
A B 1 n x \ p 0 2 11 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13
C 0,01 0,895 0,995 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
D 0,05 0,569 0,898 0,985 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
E 0,1 0,314 0,697 0,910 0,981 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
F 0,15 0,167 0,492 0,779 0,931 0,984 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
G 0,2 0,086 0,322 0,617 0,839 0,950 0,988 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
H 0,25 0,042 0,197 0,455 0,713 0,885 0,966 0,992 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,020 0,113 0,313 0,570 0,790 0,922 0,978 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,009 0,061 0,200 0,426 0,668 0,851 0,950 0,988 0,998 1,000 1,000 1,000
K 0,4 0,004 0,030 0,119 0,296 0,533 0,753 0,901 0,971 0,994 0,999 1,000 1,000
L 0,45 0,001 0,014 0,065 0,191 0,397 0,633 0,826 0,939 0,985 0,998 1,000 1,000
M 0,5 0,000 0,006 0,033 0,113 0,274 0,500 0,726 0,887 0,967 0,994 1,000 1,000
N 0,55 0,000 0,002 0,015 0,061 0,174 0,367 0,603 0,809 0,935 0,986 0,999 1,000
O 0,6 0,000 0,001 0,006 0,029 0,099 0,247 0,467 0,704 0,881 0,970 0,996 1,000
P 0,65 0,000 0,000 0,002 0,012 0,050 0,149 0,332 0,574 0,800 0,939 0,991 1,000
Q 0,7 0,000 0,000 0,001 0,004 0,022 0,078 0,210 0,430 0,687 0,887 0,980 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,001 0,008 0,034 0,115 0,287 0,545 0,803 0,958 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,012 0,050 0,161 0,383 0,678 0,914 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,016 0,069 0,221 0,508 0,833 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,019 0,090 0,303 0,686 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,015 0,102 0,431 1,000
A B 1 n x \ p 0 2 12 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14
C 0,01 0,886 0,994 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
D 0,05 0,540 0,882 0,980 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
E 0,1 0,282 0,659 0,889 0,974 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
F 0,15 0,142 0,443 0,736 0,908 0,976 0,995 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
G 0,2 0,069 0,275 0,558 0,795 0,927 0,981 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
H 0,25 0,032 0,158 0,391 0,649 0,842 0,946 0,986 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,014 0,085 0,253 0,493 0,724 0,882 0,961 0,991 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,006 0,042 0,151 0,347 0,583 0,787 0,915 0,974 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000
K 0,4 0,002 0,020 0,083 0,225 0,438 0,665 0,842 0,943 0,985 0,997 1,000 1,000 1,000
L 0,45 0,001 0,008 0,042 0,134 0,304 0,527 0,739 0,888 0,964 0,992 0,999 1,000 1,000
M 0,5 0,000 0,003 0,019 0,073 0,194 0,387 0,613 0,806 0,927 0,981 0,997 1,000 1,000
N 0,55 0,000 0,001 0,008 0,036 0,112 0,261 0,473 0,696 0,866 0,958 0,992 0,999 1,000
O 0,6 0,000 0,000 0,003 0,015 0,057 0,158 0,335 0,562 0,775 0,917 0,980 0,998 1,000
P 0,65 0,000 0,000 0,001 0,006 0,026 0,085 0,213 0,417 0,653 0,849 0,958 0,994 1,000
Q 0,7 0,000 0,000 0,000 0,002 0,009 0,039 0,118 0,276 0,507 0,747 0,915 0,986 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,014 0,054 0,158 0,351 0,609 0,842 0,968 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,019 0,073 0,205 0,442 0,725 0,931 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,024 0,092 0,264 0,557 0,858 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,026 0,111 0,341 0,718 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,020 0,118 0,460 1,000
A B 1 n x \ p 0 2 15 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14 16 15 17
C 0,01 0,860 0,990 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
D 0,05 0,463 0,829 0,964 0,995 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
E 0,1 0,206 0,549 0,816 0,944 0,987 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
F 0,15 0,087 0,319 0,604 0,823 0,938 0,983 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
G 0,2 0,035 0,167 0,398 0,648 0,836 0,939 0,982 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
H 0,25 0,013 0,080 0,236 0,461 0,686 0,852 0,943 0,983 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,005 0,035 0,127 0,297 0,515 0,722 0,869 0,950 0,985 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,002 0,014 0,062 0,173 0,352 0,564 0,755 0,887 0,958 0,988 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
K 0,4 0,000 0,005 0,027 0,091 0,217 0,403 0,610 0,787 0,905 0,966 0,991 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000
L 0,45 0,000 0,002 0,011 0,042 0,120 0,261 0,452 0,654 0,818 0,923 0,975 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000
M 0,5 0,000 0,000 0,004 0,018 0,059 0,151 0,304 0,500 0,696 0,849 0,941 0,982 0,996 1,000 1,000 1,000
N 0,55 0,000 0,000 0,001 0,006 0,025 0,077 0,182 0,346 0,548 0,739 0,880 0,958 0,989 0,998 1,000 1,000
O 0,6 0,000 0,000 0,000 0,002 0,009 0,034 0,095 0,213 0,390 0,597 0,783 0,909 0,973 0,995 1,000 1,000
P 0,65 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,012 0,042 0,113 0,245 0,436 0,648 0,827 0,938 0,986 0,998 1,000
Q 0,7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,015 0,050 0,131 0,278 0,485 0,703 0,873 0,965 0,995 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,017 0,057 0,148 0,314 0,539 0,764 0,920 0,987 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,018 0,061 0,164 0,352 0,602 0,833 0,965 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,017 0,062 0,177 0,396 0,681 0,913 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,013 0,056 0,184 0,451 0,794 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,036 0,171 0,537 1,000
A B 1 n x \ p 0 2 16 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14 16 15 17 16 18
C 0,01 0,851 0,989 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
D 0,05 0,440 0,811 0,957 0,993 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
E 0,1 0,185 0,515 0,789 0,932 0,983 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
F 0,15 0,074 0,284 0,561 0,790 0,921 0,976 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
G 0,2 0,028 0,141 0,352 0,598 0,798 0,918 0,973 0,993 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
H 0,25 0,010 0,063 0,197 0,405 0,630 0,810 0,920 0,973 0,993 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,003 0,026 0,099 0,246 0,450 0,660 0,825 0,926 0,974 0,993 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,001 0,010 0,045 0,134 0,289 0,490 0,688 0,841 0,933 0,977 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
K 0,4 0,000 0,003 0,018 0,065 0,167 0,329 0,527 0,716 0,858 0,942 0,981 0,995 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
L 0,45 0,000 0,001 0,007 0,028 0,085 0,198 0,366 0,563 0,744 0,876 0,951 0,985 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000
M 0,5 0,000 0,000 0,002 0,011 0,038 0,105 0,227 0,402 0,598 0,773 0,895 0,962 0,989 0,998 1,000 1,000 1,000
N 0,55 0,000 0,000 0,001 0,003 0,015 0,049 0,124 0,256 0,437 0,634 0,802 0,915 0,972 0,993 0,999 1,000 1,000
O 0,6 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,019 0,058 0,142 0,284 0,473 0,671 0,833 0,935 0,982 0,997 1,000 1,000
P 0,65 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,023 0,067 0,159 0,312 0,510 0,711 0,866 0,955 0,990 0,999 1,000
Q 0,7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,007 0,026 0,074 0,175 0,340 0,550 0,754 0,901 0,974 0,997 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,007 0,027 0,080 0,190 0,370 0,595 0,803 0,937 0,990 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,007 0,027 0,082 0,202 0,402 0,648 0,859 0,972 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,024 0,079 0,210 0,439 0,716 0,926 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,017 0,068 0,211 0,485 0,815 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,007 0,043 0,189 0,560 1,000
239
A B 1 n x \ p 0 2 17 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14 16 15 17 16 18 17 19
C 0,01 0,843 0,988 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
D 0,05 0,418 0,792 0,950 0,991 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
E 0,1 0,167 0,482 0,762 0,917 0,978 0,995 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
F 0,15 0,063 0,252 0,520 0,756 0,901 0,968 0,992 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
G 0,2 0,023 0,118 0,310 0,549 0,758 0,894 0,962 0,989 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
H 0,25 0,008 0,050 0,164 0,353 0,574 0,765 0,893 0,960 0,988 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,002 0,019 0,077 0,202 0,389 0,597 0,775 0,895 0,960 0,987 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,001 0,007 0,033 0,103 0,235 0,420 0,619 0,787 0,901 0,962 0,988 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
K 0,4 0,000 0,002 0,012 0,046 0,126 0,264 0,448 0,641 0,801 0,908 0,965 0,989 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
L 0,45 0,000 0,001 0,004 0,018 0,060 0,147 0,290 0,474 0,663 0,817 0,917 0,970 0,991 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000
M 0,5 0,000 0,000 0,001 0,006 0,025 0,072 0,166 0,315 0,500 0,685 0,834 0,928 0,975 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000
N 0,55 0,000 0,000 0,000 0,002 0,009 0,030 0,083 0,183 0,337 0,526 0,710 0,853 0,940 0,982 0,996 0,999 1,000 1,000
O 0,6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,011 0,035 0,092 0,199 0,359 0,552 0,736 0,874 0,954 0,988 0,998 1,000 1,000
P 0,65 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,012 0,038 0,099 0,213 0,381 0,580 0,765 0,897 0,967 0,993 0,999 1,000
Q 0,7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,013 0,040 0,105 0,225 0,403 0,611 0,798 0,923 0,981 0,998 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,012 0,040 0,107 0,235 0,426 0,647 0,836 0,950 0,992 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,011 0,038 0,106 0,242 0,451 0,690 0,882 0,977 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,008 0,032 0,099 0,244 0,480 0,748 0,937 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,022 0,083 0,238 0,518 0,833 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,009 0,050 0,208 0,582 1,000
A B 1 n x \ p 0 2 18 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14 16 15 17 16 18 17 19 18 20
C 0,01 0,835 0,986 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
D 0,05 0,397 0,774 0,942 0,989 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
E 0,1 0,150 0,450 0,734 0,902 0,972 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
F 0,15 0,054 0,224 0,480 0,720 0,879 0,958 0,988 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
G 0,2 0,018 0,099 0,271 0,501 0,716 0,867 0,949 0,984 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
H 0,25 0,006 0,039 0,135 0,306 0,519 0,717 0,861 0,943 0,981 0,995 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,002 0,014 0,060 0,165 0,333 0,534 0,722 0,859 0,940 0,979 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,000 0,005 0,024 0,078 0,189 0,355 0,549 0,728 0,861 0,940 0,979 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
K 0,4 0,000 0,001 0,008 0,033 0,094 0,209 0,374 0,563 0,737 0,865 0,942 0,980 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
L 0,45 0,000 0,000 0,003 0,012 0,041 0,108 0,226 0,391 0,578 0,747 0,872 0,946 0,982 0,995 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
M 0,5 0,000 0,000 0,001 0,004 0,015 0,048 0,119 0,240 0,407 0,593 0,760 0,881 0,952 0,985 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000
N 0,55 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,018 0,054 0,128 0,253 0,422 0,609 0,774 0,892 0,959 0,988 0,997 1,000 1,000 1,000
O 0,6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,020 0,058 0,135 0,263 0,437 0,626 0,791 0,906 0,967 0,992 0,999 1,000 1,000
P 0,65 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,021 0,060 0,139 0,272 0,451 0,645 0,811 0,922 0,976 0,995 1,000 1,000
Q 0,7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,021 0,060 0,141 0,278 0,466 0,667 0,835 0,940 0,986 0,998 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,019 0,057 0,139 0,283 0,481 0,694 0,865 0,961 0,994 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,051 0,133 0,284 0,499 0,729 0,901 0,982 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,012 0,042 0,121 0,280 0,520 0,776 0,946 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,028 0,098 0,266 0,550 0,850 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,011 0,058 0,226 0,603 1,000
A B 1 n x \ p 0 2 20 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14 16 15 17 16 18 17 19 18 20 19 21 20 22
C 0,01 0,818 0,983 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
D 0,05 0,358 0,736 0,925 0,984 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
E 0,1 0,122 0,392 0,677 0,867 0,957 0,989 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
F 0,15 0,039 0,176 0,405 0,648 0,830 0,933 0,978 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
G 0,2 0,012 0,069 0,206 0,411 0,630 0,804 0,913 0,968 0,990 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
H 0,25 0,003 0,024 0,091 0,225 0,415 0,617 0,786 0,898 0,959 0,986 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
I 0,3 0,001 0,008 0,035 0,107 0,238 0,416 0,608 0,772 0,887 0,952 0,983 0,995 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
J 0,35 0,000 0,002 0,012 0,044 0,118 0,245 0,417 0,601 0,762 0,878 0,947 0,980 0,994 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
K 0,4 0,000 0,001 0,004 0,016 0,051 0,126 0,250 0,416 0,596 0,755 0,872 0,943 0,979 0,994 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
L 0,45 0,000 0,000 0,001 0,005 0,019 0,055 0,130 0,252 0,414 0,591 0,751 0,869 0,942 0,979 0,994 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
M 0,5 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,021 0,058 0,132 0,252 0,412 0,588 0,748 0,868 0,942 0,979 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000
N 0,55 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,006 0,021 0,058 0,131 0,249 0,409 0,586 0,748 0,870 0,945 0,981 0,995 0,999 1,000 1,000 1,000
O 0,6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,006 0,021 0,057 0,128 0,245 0,404 0,584 0,750 0,874 0,949 0,984 0,996 0,999 1,000 1,000
P 0,65 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,006 0,020 0,053 0,122 0,238 0,399 0,583 0,755 0,882 0,956 0,988 0,998 1,000 1,000
Q 0,7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,017 0,048 0,113 0,228 0,392 0,584 0,762 0,893 0,965 0,992 0,999 1,000
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,014 0,041 0,102 0,214 0,383 0,585 0,775 0,909 0,976 0,997 1,000
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,010 0,032 0,087 0,196 0,370 0,589 0,794 0,931 0,988 1,000
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,022 0,067 0,170 0,352 0,595 0,824 0,961 1,000
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,011 0,043 0,133 0,323 0,608 0,878 1,000
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,016 0,075 0,264 0,642 1,000
Primjer: 0,2
1,0
0,58810
0,1
0,5
0,0
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0,0
x 0
1 2
3 4
5
6 7
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f. g u st. 0 ,0 0 0 0 0 1 0 ,0 0 0 0 1 9 0 ,0 0 0 1 8 1 0 ,0 0 1 0 8 7 0 ,0 0 4 6 2 1 0 ,0 1 4 7 8 6 0 ,0 3 6 9 6 4 0 ,0 7 3 9 2 9 0 ,1 2 0 1 3 4 0 ,1 6 0 1 7 9 0 ,1 7 6 1 9 7 0 ,1 6 0 1 7 9 0 ,1 2 0 1 3 4 0 ,0 7 3 9 2 9 0 ,0 3 6 9 6 4 0 ,0 1 4 7 8 6 0 ,0 0 4 6 2 1 0 ,0 0 1 0 8 7 0 ,0 0 0 1 8 1 0 ,0 0 0 0 1 9 0 ,0 0 0 0 0 1
fu n . ra s. 0 ,0 0 0 0 0 0 ,0 0 0 0 2 0 ,0 0 0 2 0 0 ,0 0 1 2 9 0 ,0 0 5 9 1 0 ,0 2 0 6 9 0 ,0 5 7 6 6 0 ,1 3 1 5 9 0 ,2 5 1 7 2 0 ,4 1 1 9 0 0 ,5 8 8 1 0 0 ,7 4 8 2 8 0 ,8 6 8 4 1 0 ,9 4 2 3 4 0 ,9 7 9 3 1 0 ,9 9 4 0 9 0 ,9 9 8 7 1 0 ,9 9 9 8 0 0 ,9 9 9 9 8 1 ,0 0 0 0 0 1 ,0 0 0 0 0
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
240
Tabela 4. Binomna raspodjela
n BINOMDIST(x; n; p; FALSE) f(x) p x (1 - p) n x x A B C D E 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 2 2 0 0,980 0,903 0,810 3 1 0,020 0,095 0,180 4 2 0,000 0,003 0,010
F G H I 0,15 0,2 0,25 0,3 0,723 0,640 0,563 0,490 0,255 0,320 0,375 0,420 0,023 0,040 0,063 0,090
A B C D E F 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 2 3 0 0,970 0,857 0,729 0,614 1 3 0,029 0,135 0,243 0,325 4 2 0,000 0,007 0,027 0,057 5 3 0,000 0,000 0,001 0,003
J K L M 0,35 0,4 0,45 0,5 0,423 0,360 0,303 0,250 0,455 0,480 0,495 0,500 0,123 0,160 0,203 0,250
N O P Q 0,55 0,6 0,65 0,7 0,203 0,160 0,123 0,090 0,495 0,480 0,455 0,420 0,303 0,360 0,423 0,490
R S T U 0,75 0,8 0,85 0,9 0,063 0,040 0,023 0,010 0,375 0,320 0,255 0,180 0,563 0,640 0,723 0,810
V 0,95 0,003 0,095 0,903
G 0,2 0,512 0,384 0,096 0,008
H 0,25 0,422 0,422 0,141 0,016
I 0,3 0,343 0,441 0,189 0,027
J 0,35 0,275 0,444 0,239 0,043
K 0,4 0,216 0,432 0,288 0,064
L 0,45 0,166 0,408 0,334 0,091
M 0,5 0,125 0,375 0,375 0,125
N 0,55 0,091 0,334 0,408 0,166
O 0,6 0,064 0,288 0,432 0,216
P 0,65 0,043 0,239 0,444 0,275
Q 0,7 0,027 0,189 0,441 0,343
R 0,75 0,016 0,141 0,422 0,422
S 0,8 0,008 0,096 0,384 0,512
T 0,85 0,003 0,057 0,325 0,614
U 0,9 0,001 0,027 0,243 0,729
V 0,95 0,000 0,007 0,135 0,857
A B C D E F G 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 2 4 0 0,961 0,815 0,656 0,522 0,410 3 1 0,039 0,171 0,292 0,368 0,410 4 2 0,001 0,014 0,049 0,098 0,154 5 3 0,000 0,000 0,004 0,011 0,026 6 4 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002
H 0,25 0,316 0,422 0,211 0,047 0,004
I 0,3 0,240 0,412 0,265 0,076 0,008
J 0,35 0,179 0,384 0,311 0,111 0,015
K 0,4 0,130 0,346 0,346 0,154 0,026
L 0,45 0,092 0,299 0,368 0,200 0,041
M 0,5 0,063 0,250 0,375 0,250 0,063
N 0,55 0,041 0,200 0,368 0,299 0,092
O 0,6 0,026 0,154 0,346 0,346 0,130
P 0,65 0,015 0,111 0,311 0,384 0,179
Q 0,7 0,008 0,076 0,265 0,412 0,240
R 0,75 0,004 0,047 0,211 0,422 0,316
S 0,8 0,002 0,026 0,154 0,410 0,410
T 0,85 0,001 0,011 0,098 0,368 0,522
U 0,9 0,000 0,004 0,049 0,292 0,656
V 0,95 0,000 0,000 0,014 0,171 0,815
A B C D E F G H 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 2 5 0 0,951 0,774 0,590 0,444 0,328 0,237 3 1 0,048 0,204 0,328 0,392 0,410 0,396 2 4 0,001 0,021 0,073 0,138 0,205 0,264 3 5 0,000 0,001 0,008 0,024 0,051 0,088 6 4 0,000 0,000 0,000 0,002 0,006 0,015 7 5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001
I 0,3 0,168 0,360 0,309 0,132 0,028 0,002
J 0,35 0,116 0,312 0,336 0,181 0,049 0,005
K 0,4 0,078 0,259 0,346 0,230 0,077 0,010
L 0,45 0,050 0,206 0,337 0,276 0,113 0,018
M 0,5 0,031 0,156 0,313 0,313 0,156 0,031
N 0,55 0,018 0,113 0,276 0,337 0,206 0,050
O 0,6 0,010 0,077 0,230 0,346 0,259 0,078
P 0,65 0,005 0,049 0,181 0,336 0,312 0,116
Q 0,7 0,002 0,028 0,132 0,309 0,360 0,168
R 0,75 0,001 0,015 0,088 0,264 0,396 0,237
S 0,8 0,000 0,006 0,051 0,205 0,410 0,328
T 0,85 0,000 0,002 0,024 0,138 0,392 0,444
U 0,9 0,000 0,000 0,008 0,073 0,328 0,590
V 0,95 0,000 0,000 0,001 0,021 0,204 0,774
A B C D E F G H I 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 2 6 0 0,941 0,735 0,531 0,377 0,262 0,178 0,118 3 1 0,057 0,232 0,354 0,399 0,393 0,356 0,303 4 2 0,001 0,031 0,098 0,176 0,246 0,297 0,324 5 3 0,000 0,002 0,015 0,041 0,082 0,132 0,185 6 4 0,000 0,000 0,001 0,005 0,015 0,033 0,060 7 5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,004 0,010 6 8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001
J 0,35 0,075 0,244 0,328 0,235 0,095 0,020 0,002
K 0,4 0,047 0,187 0,311 0,276 0,138 0,037 0,004
L 0,45 0,028 0,136 0,278 0,303 0,186 0,061 0,008
M 0,5 0,016 0,094 0,234 0,313 0,234 0,094 0,016
N 0,55 0,008 0,061 0,186 0,303 0,278 0,136 0,028
O 0,6 0,004 0,037 0,138 0,276 0,311 0,187 0,047
P 0,65 0,002 0,020 0,095 0,235 0,328 0,244 0,075
Q 0,7 0,001 0,010 0,060 0,185 0,324 0,303 0,118
R 0,75 0,000 0,004 0,033 0,132 0,297 0,356 0,178
S 0,8 0,000 0,002 0,015 0,082 0,246 0,393 0,262
T 0,85 0,000 0,000 0,005 0,041 0,176 0,399 0,377
U 0,9 0,000 0,000 0,001 0,015 0,098 0,354 0,531
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,002 0,031 0,232 0,735
A B C D E F G H I J 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 2 7 0 0,932 0,698 0,478 0,321 0,210 0,133 0,082 0,049 3 1 0,066 0,257 0,372 0,396 0,367 0,311 0,247 0,185 4 2 0,002 0,041 0,124 0,210 0,275 0,311 0,318 0,298 5 3 0,000 0,004 0,023 0,062 0,115 0,173 0,227 0,268 6 4 0,000 0,000 0,003 0,011 0,029 0,058 0,097 0,144 7 5 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,012 0,025 0,047 8 6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,008 7 9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001
K 0,4 0,028 0,131 0,261 0,290 0,194 0,077 0,017 0,002
L 0,45 0,015 0,087 0,214 0,292 0,239 0,117 0,032 0,004
M 0,5 0,008 0,055 0,164 0,273 0,273 0,164 0,055 0,008
N 0,55 0,004 0,032 0,117 0,239 0,292 0,214 0,087 0,015
O 0,6 0,002 0,017 0,077 0,194 0,290 0,261 0,131 0,028
P 0,65 0,001 0,008 0,047 0,144 0,268 0,298 0,185 0,049
Q 0,7 0,000 0,004 0,025 0,097 0,227 0,318 0,247 0,082
R 0,75 0,000 0,001 0,012 0,058 0,173 0,311 0,311 0,133
S 0,8 0,000 0,000 0,004 0,029 0,115 0,275 0,367 0,210
T 0,85 0,000 0,000 0,001 0,011 0,062 0,210 0,396 0,321
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,003 0,023 0,124 0,372 0,478
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,041 0,257 0,698
A B C D E F G H I J K 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 2 8 0 0,923 0,663 0,430 0,272 0,168 0,100 0,058 0,032 0,017 3 1 0,075 0,279 0,383 0,385 0,336 0,267 0,198 0,137 0,090 4 2 0,003 0,051 0,149 0,238 0,294 0,311 0,296 0,259 0,209 5 3 0,000 0,005 0,033 0,084 0,147 0,208 0,254 0,279 0,279 6 4 0,000 0,000 0,005 0,018 0,046 0,087 0,136 0,188 0,232 7 5 0,000 0,000 0,000 0,003 0,009 0,023 0,047 0,081 0,124 8 6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,010 0,022 0,041 9 7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,008 8 10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001
L 0,45 0,008 0,055 0,157 0,257 0,263 0,172 0,070 0,016 0,002
M 0,5 0,004 0,031 0,109 0,219 0,273 0,219 0,109 0,031 0,004
N 0,55 0,002 0,016 0,070 0,172 0,263 0,257 0,157 0,055 0,008
O 0,6 0,001 0,008 0,041 0,124 0,232 0,279 0,209 0,090 0,017
P 0,65 0,000 0,003 0,022 0,081 0,188 0,279 0,259 0,137 0,032
Q 0,7 0,000 0,001 0,010 0,047 0,136 0,254 0,296 0,198 0,058
R 0,75 0,000 0,000 0,004 0,023 0,087 0,208 0,311 0,267 0,100
S 0,8 0,000 0,000 0,001 0,009 0,046 0,147 0,294 0,336 0,168
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,003 0,018 0,084 0,238 0,385 0,272
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,033 0,149 0,383 0,430
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,051 0,279 0,663
A B C D E F G H I J K L 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 2 9 0 0,914 0,630 0,387 0,232 0,134 0,075 0,040 0,021 0,010 0,005 3 1 0,083 0,299 0,387 0,368 0,302 0,225 0,156 0,100 0,060 0,034 4 2 0,003 0,063 0,172 0,260 0,302 0,300 0,267 0,216 0,161 0,111 3 5 0,000 0,008 0,045 0,107 0,176 0,234 0,267 0,272 0,251 0,212 4 6 0,000 0,001 0,007 0,028 0,066 0,117 0,172 0,219 0,251 0,260 5 7 0,000 0,000 0,001 0,005 0,017 0,039 0,074 0,118 0,167 0,213 8 6 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,009 0,021 0,042 0,074 0,116 9 7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,010 0,021 0,041 10 8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,008 11 9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001
M 0,5 0,002 0,018 0,070 0,164 0,246 0,246 0,164 0,070 0,018 0,002
N 0,55 0,001 0,008 0,041 0,116 0,213 0,260 0,212 0,111 0,034 0,005
O 0,6 0,000 0,004 0,021 0,074 0,167 0,251 0,251 0,161 0,060 0,010
P 0,65 0,000 0,001 0,010 0,042 0,118 0,219 0,272 0,216 0,100 0,021
Q 0,7 0,000 0,000 0,004 0,021 0,074 0,172 0,267 0,267 0,156 0,040
R 0,75 0,000 0,000 0,001 0,009 0,039 0,117 0,234 0,300 0,225 0,075
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,003 0,017 0,066 0,176 0,302 0,302 0,134
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,028 0,107 0,260 0,368 0,232
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,007 0,045 0,172 0,387 0,387
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,008 0,063 0,299 0,630
241
A B 1 n x \ p 2 10 0 3 1 2 4 3 5 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 9 12 10
C 0,01 0,904 0,091 0,004 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
D 0,05 0,599 0,315 0,075 0,010 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E 0,1 0,349 0,387 0,194 0,057 0,011 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
F 0,15 0,197 0,347 0,276 0,130 0,040 0,008 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000
G 0,2 0,107 0,268 0,302 0,201 0,088 0,026 0,006 0,001 0,000 0,000 0,000
H 0,25 0,056 0,188 0,282 0,250 0,146 0,058 0,016 0,003 0,000 0,000 0,000
I 0,3 0,028 0,121 0,233 0,267 0,200 0,103 0,037 0,009 0,001 0,000 0,000
J 0,35 0,013 0,072 0,176 0,252 0,238 0,154 0,069 0,021 0,004 0,001 0,000
K 0,4 0,006 0,040 0,121 0,215 0,251 0,201 0,111 0,042 0,011 0,002 0,000
L 0,45 0,003 0,021 0,076 0,166 0,238 0,234 0,160 0,075 0,023 0,004 0,000
M 0,5 0,001 0,010 0,044 0,117 0,205 0,246 0,205 0,117 0,044 0,010 0,001
N 0,55 0,000 0,004 0,023 0,075 0,160 0,234 0,238 0,166 0,076 0,021 0,003
O 0,6 0,000 0,002 0,011 0,042 0,111 0,201 0,251 0,215 0,121 0,040 0,006
P 0,65 0,000 0,001 0,004 0,021 0,069 0,154 0,238 0,252 0,176 0,072 0,013
Q 0,7 0,000 0,000 0,001 0,009 0,037 0,103 0,200 0,267 0,233 0,121 0,028
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,003 0,016 0,058 0,146 0,250 0,282 0,188 0,056
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,026 0,088 0,201 0,302 0,268 0,107
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,008 0,040 0,130 0,276 0,347 0,197
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,011 0,057 0,194 0,387 0,349
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,010 0,075 0,315 0,599
A B 1 n x \ p 0 2 11 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13
C 0,01 0,895 0,099 0,005 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
D 0,05 0,569 0,329 0,087 0,014 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
E 0,1 0,314 0,384 0,213 0,071 0,016 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
F 0,15 0,167 0,325 0,287 0,152 0,054 0,013 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
G 0,2 0,086 0,236 0,295 0,221 0,111 0,039 0,010 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000
H 0,25 0,042 0,155 0,258 0,258 0,172 0,080 0,027 0,006 0,001 0,000 0,000 0,000
I 0,3 0,020 0,093 0,200 0,257 0,220 0,132 0,057 0,017 0,004 0,001 0,000 0,000
J 0,35 0,009 0,052 0,140 0,225 0,243 0,183 0,099 0,038 0,010 0,002 0,000 0,000
K 0,4 0,004 0,027 0,089 0,177 0,236 0,221 0,147 0,070 0,023 0,005 0,001 0,000
L 0,45 0,001 0,013 0,051 0,126 0,206 0,236 0,193 0,113 0,046 0,013 0,002 0,000
M 0,5 0,000 0,005 0,027 0,081 0,161 0,226 0,226 0,161 0,081 0,027 0,005 0,000
N 0,55 0,000 0,002 0,013 0,046 0,113 0,193 0,236 0,206 0,126 0,051 0,013 0,001
O 0,6 0,000 0,001 0,005 0,023 0,070 0,147 0,221 0,236 0,177 0,089 0,027 0,004
P 0,65 0,000 0,000 0,002 0,010 0,038 0,099 0,183 0,243 0,225 0,140 0,052 0,009
Q 0,7 0,000 0,000 0,001 0,004 0,017 0,057 0,132 0,220 0,257 0,200 0,093 0,020
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,027 0,080 0,172 0,258 0,258 0,155 0,042
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,010 0,039 0,111 0,221 0,295 0,236 0,086
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,013 0,054 0,152 0,287 0,325 0,167
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,016 0,071 0,213 0,384 0,314
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,014 0,087 0,329 0,569
A B C D E F G H I J K L M N O 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0 0,886 0,540 0,282 0,142 0,069 0,032 0,014 0,006 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 2 12 1 0,107 0,341 0,377 0,301 0,206 0,127 0,071 0,037 0,017 0,008 0,003 0,001 0,000 3 2 0,006 0,099 0,230 0,292 0,283 0,232 0,168 0,109 0,064 0,034 0,016 0,007 0,002 4 3 0,000 0,017 0,085 0,172 0,236 0,258 0,240 0,195 0,142 0,092 0,054 0,028 0,012 5 4 0,000 0,002 0,021 0,068 0,133 0,194 0,231 0,237 0,213 0,170 0,121 0,076 0,042 6 5 0,000 0,000 0,004 0,019 0,053 0,103 0,158 0,204 0,227 0,222 0,193 0,149 0,101 7 6 0,000 0,000 0,000 0,004 0,016 0,040 0,079 0,128 0,177 0,212 0,226 0,212 0,177 8 7 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,011 0,029 0,059 0,101 0,149 0,193 0,222 0,227 9 8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,008 0,020 0,042 0,076 0,121 0,170 0,213 10 9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,012 0,028 0,054 0,092 0,142 11 10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,007 0,016 0,034 0,064 12 11 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,008 0,017 13 12 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 14
P 0,65 0,000 0,000 0,001 0,005 0,020 0,059 0,128 0,204 0,237 0,195 0,109 0,037 0,006
Q 0,7 0,000 0,000 0,000 0,001 0,008 0,029 0,079 0,158 0,231 0,240 0,168 0,071 0,014
R 0,75 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,011 0,040 0,103 0,194 0,258 0,232 0,127 0,032
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,016 0,053 0,133 0,236 0,283 0,206 0,069
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,019 0,068 0,172 0,292 0,301 0,142
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,021 0,085 0,230 0,377 0,282
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,017 0,099 0,341 0,540
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0 0,860 0,463 0,206 0,087 0,035 0,013 0,005 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2 15 1 0,130 0,366 0,343 0,231 0,132 0,067 0,031 0,013 0,005 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3 2 0,009 0,135 0,267 0,286 0,231 0,156 0,092 0,048 0,022 0,009 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 4 3 0,000 0,031 0,129 0,218 0,250 0,225 0,170 0,111 0,063 0,032 0,014 0,005 0,002 0,000 0,000 0,000 5 4 0,000 0,005 0,043 0,116 0,188 0,225 0,219 0,179 0,127 0,078 0,042 0,019 0,007 0,002 0,001 0,000 6 5 0,000 0,001 0,010 0,045 0,103 0,165 0,206 0,212 0,186 0,140 0,092 0,051 0,024 0,010 0,003 0,001 7 6 0,000 0,000 0,002 0,013 0,043 0,092 0,147 0,191 0,207 0,191 0,153 0,105 0,061 0,030 0,012 0,003 8 7 0,000 0,000 0,000 0,003 0,014 0,039 0,081 0,132 0,177 0,201 0,196 0,165 0,118 0,071 0,035 0,013 9 8 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,013 0,035 0,071 0,118 0,165 0,196 0,201 0,177 0,132 0,081 0,039 10 9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,012 0,030 0,061 0,105 0,153 0,191 0,207 0,191 0,147 0,092 11 10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,010 0,024 0,051 0,092 0,140 0,186 0,212 0,206 0,165 12 11 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,007 0,019 0,042 0,078 0,127 0,179 0,219 0,225 13 12 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,005 0,014 0,032 0,063 0,111 0,170 0,225 14 13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,009 0,022 0,048 0,092 0,156 15 14 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,005 0,013 0,031 0,067 16 15 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,005 0,013 17
S 0,8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,014 0,043 0,103 0,188 0,250 0,231 0,132 0,035
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,013 0,045 0,116 0,218 0,286 0,231 0,087
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,010 0,043 0,129 0,267 0,343 0,206
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,031 0,135 0,366 0,463
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0 0,851 0,440 0,185 0,074 0,028 0,010 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2 16 1 0,138 0,371 0,329 0,210 0,113 0,053 0,023 0,009 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3 2 0,010 0,146 0,275 0,277 0,211 0,134 0,073 0,035 0,015 0,006 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4 3 0,000 0,036 0,142 0,229 0,246 0,208 0,146 0,089 0,047 0,022 0,009 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 5 4 0,000 0,006 0,051 0,131 0,200 0,225 0,204 0,155 0,101 0,057 0,028 0,011 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 6 5 0,000 0,001 0,014 0,056 0,120 0,180 0,210 0,201 0,162 0,112 0,067 0,034 0,014 0,005 0,001 0,000 0,000 7 6 0,000 0,000 0,003 0,018 0,055 0,110 0,165 0,198 0,198 0,168 0,122 0,075 0,039 0,017 0,006 0,001 0,000 8 7 0,000 0,000 0,000 0,005 0,020 0,052 0,101 0,152 0,189 0,197 0,175 0,132 0,084 0,044 0,019 0,006 0,001 9 8 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,020 0,049 0,092 0,142 0,181 0,196 0,181 0,142 0,092 0,049 0,020 0,006 10 9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,019 0,044 0,084 0,132 0,175 0,197 0,189 0,152 0,101 0,052 0,020 11 10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,017 0,039 0,075 0,122 0,168 0,198 0,198 0,165 0,110 0,055 12 11 13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,014 0,034 0,067 0,112 0,162 0,201 0,210 0,180 0,120 12 14 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,011 0,028 0,057 0,101 0,155 0,204 0,225 0,200 13 15 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,009 0,022 0,047 0,089 0,146 0,208 0,246 14 16 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,006 0,015 0,035 0,073 0,134 0,211 15 17 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,009 0,023 0,053 0,113 16 18 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,010 0,028
T 0,85 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,018 0,056 0,131 0,229 0,277 0,210 0,074
U 0,9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,014 0,051 0,142 0,275 0,329 0,185
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,036 0,146 0,371 0,440
242
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0 2 17 0,843 0,418 0,167 0,063 0,023 0,008 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1 3 0,145 0,374 0,315 0,189 0,096 0,043 0,017 0,006 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2 4 0,012 0,158 0,280 0,267 0,191 0,114 0,058 0,026 0,010 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3 5 0,001 0,041 0,156 0,236 0,239 0,189 0,125 0,070 0,034 0,014 0,005 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4 6 0,000 0,008 0,060 0,146 0,209 0,221 0,187 0,132 0,080 0,041 0,018 0,007 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 5 7 0,000 0,001 0,017 0,067 0,136 0,191 0,208 0,185 0,138 0,087 0,047 0,021 0,008 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 6 8 0,000 0,000 0,004 0,024 0,068 0,128 0,178 0,199 0,184 0,143 0,094 0,052 0,024 0,009 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 7 9 0,000 0,000 0,001 0,007 0,027 0,067 0,120 0,168 0,193 0,184 0,148 0,101 0,057 0,026 0,009 0,002 0,000 0,000 0,000 10 8 0,000 0,000 0,000 0,001 0,008 0,028 0,064 0,113 0,161 0,188 0,185 0,154 0,107 0,061 0,028 0,009 0,002 0,000 0,000 11 9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,009 0,028 0,061 0,107 0,154 0,185 0,188 0,161 0,113 0,064 0,028 0,008 0,001 0,000 10 12 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,009 0,026 0,057 0,101 0,148 0,184 0,193 0,168 0,120 0,067 0,027 0,007 0,001 11 13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,009 0,024 0,052 0,094 0,143 0,184 0,199 0,178 0,128 0,068 0,024 0,004 12 14 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,008 0,021 0,047 0,087 0,138 0,185 0,208 0,191 0,136 0,067 0,017 15 13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,007 0,018 0,041 0,080 0,132 0,187 0,221 0,209 0,146 0,060 16 14 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,005 0,014 0,034 0,070 0,125 0,189 0,239 0,236 0,156 17 15 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,010 0,026 0,058 0,114 0,191 0,267 0,280 18 16 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,006 0,017 0,043 0,096 0,189 0,315 19 17 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,008 0,023 0,063 0,167 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 2 18 0 0,835 0,397 0,150 0,054 0,018 0,006 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1 3 0,152 0,376 0,300 0,170 0,081 0,034 0,013 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2 4 0,013 0,168 0,284 0,256 0,172 0,096 0,046 0,019 0,007 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 5 3 0,001 0,047 0,168 0,241 0,230 0,170 0,105 0,055 0,025 0,009 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 6 4 0,000 0,009 0,070 0,159 0,215 0,213 0,168 0,110 0,061 0,029 0,012 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 5 7 0,000 0,001 0,022 0,079 0,151 0,199 0,202 0,166 0,115 0,067 0,033 0,013 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 6 8 0,000 0,000 0,005 0,030 0,082 0,144 0,187 0,194 0,166 0,118 0,071 0,035 0,015 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 9 7 0,000 0,000 0,001 0,009 0,035 0,082 0,138 0,179 0,189 0,166 0,121 0,074 0,037 0,015 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 10 8 0,000 0,000 0,000 0,002 0,012 0,038 0,081 0,133 0,173 0,186 0,167 0,125 0,077 0,038 0,015 0,004 0,001 0,000 0,000 9 11 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,014 0,039 0,079 0,128 0,169 0,185 0,169 0,128 0,079 0,039 0,014 0,003 0,000 0,000 10 12 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,015 0,038 0,077 0,125 0,167 0,186 0,173 0,133 0,081 0,038 0,012 0,002 0,000 13 11 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,015 0,037 0,074 0,121 0,166 0,189 0,179 0,138 0,082 0,035 0,009 0,001 14 12 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,015 0,035 0,071 0,118 0,166 0,194 0,187 0,144 0,082 0,030 0,005 13 15 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,013 0,033 0,067 0,115 0,166 0,202 0,199 0,151 0,079 0,022 14 16 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,012 0,029 0,061 0,110 0,168 0,213 0,215 0,159 0,070 17 15 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,009 0,025 0,055 0,105 0,170 0,230 0,241 0,168 16 18 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,007 0,019 0,046 0,096 0,172 0,256 0,284 17 19 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,013 0,034 0,081 0,170 0,300 18 20 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,006 0,018 0,054 0,150
V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,008 0,041 0,158 0,374 0,418 V 0,95 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,009 0,047 0,168 0,376 0,397
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V 1 n x \ p 0,01 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 2 20 0 0,818 0,358 0,122 0,039 0,012 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3 1 0,165 0,377 0,270 0,137 0,058 0,021 0,007 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4 2 0,016 0,189 0,285 0,229 0,137 0,067 0,028 0,010 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 5 0,001 0,060 0,190 0,243 0,205 0,134 0,072 0,032 0,012 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3 6 4 0,000 0,013 0,090 0,182 0,218 0,190 0,130 0,074 0,035 0,014 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 7 5 0,000 0,002 0,032 0,103 0,175 0,202 0,179 0,127 0,075 0,036 0,015 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 6 0,000 0,000 0,009 0,045 0,109 0,169 0,192 0,171 0,124 0,075 0,037 0,015 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 8 9 7 0,000 0,000 0,002 0,016 0,055 0,112 0,164 0,184 0,166 0,122 0,074 0,037 0,015 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 10 8 0,000 0,000 0,000 0,005 0,022 0,061 0,114 0,161 0,180 0,162 0,120 0,073 0,035 0,014 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 11 0,000 0,000 0,000 0,001 0,007 0,027 0,065 0,116 0,160 0,177 0,160 0,119 0,071 0,034 0,012 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000 9 12 10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,010 0,031 0,069 0,117 0,159 0,176 0,159 0,117 0,069 0,031 0,010 0,002 0,000 0,000 0,000 13 11 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,012 0,034 0,071 0,119 0,160 0,177 0,160 0,116 0,065 0,027 0,007 0,001 0,000 0,000 14 12 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,014 0,035 0,073 0,120 0,162 0,180 0,161 0,114 0,061 0,022 0,005 0,000 0,000 13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,015 0,037 0,074 0,122 0,166 0,184 0,164 0,112 0,055 0,016 0,002 0,000 15 16 14 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,015 0,037 0,075 0,124 0,171 0,192 0,169 0,109 0,045 0,009 0,000 17 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,015 0,036 0,075 0,127 0,179 0,202 0,175 0,103 0,032 0,002 15 18 16 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,005 0,014 0,035 0,074 0,130 0,190 0,218 0,182 0,090 0,013 19 17 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,012 0,032 0,072 0,134 0,205 0,243 0,190 0,060 20 18 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,010 0,028 0,067 0,137 0,229 0,285 0,189 21 19 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,007 0,021 0,058 0,137 0,270 0,377 20 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,012 0,039 0,122 0,358 22
0,2
f( x)
0 ,1 9 1 6 3 9
0,1
x 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n BINOMDIST( x; n; p; FALSE) f(x) p x (1 - p) n x x 20 BINOMDIST( 6;20;0,3) f(6) 0,3 6 0,7 14 0,1916 6
243
Tabela 5. Poissonova raspodjela Vrijednosti u tabeli izračunate su posredstvom ugrađene Excelove funkcije POISSON prema inicijalnoj sintaksi(u ćeliji B2): “=POISSON($A2 ;B$1;0)”.
f(x)
λ x eλ , x 0, 1, 2, 3, ...,7 x!
f(x) 0,904837
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
x 0
1
2
3
4
5
6
7
Kada upisana formula “=POISSON($A2;B$1;0)” postavi rezultat u selektovanoj ćeliji B2, potrebno je ponovo označiti ovu ćeliju, a zatim mišem (uz držanje lijeve tipke) koji pokazuje na donji desni ugao ćelije (pojavi se crni znak plus), povući prvo po širini a zatim po dužini tabele. Vrijednosti u tabeli postavljaju se tako u samo nekoliko poteza nakon definisanja formata tabele. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B C D E F G H I x\ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 0,9048374 0,8187308 0,7408182 0,6703200 0,6065307 0,5488116 0,4965853 0,4493290 1 0,0904837 0,1637462 0,2222455 0,2681280 0,3032653 0,3292870 0,3476097 0,3594632 2 0,0045242 0,0163746 0,0333368 0,0536256 0,0758163 0,0987861 0,1216634 0,1437853 3 0,0001508 0,0010916 0,0033337 0,0071501 0,0126361 0,0197572 0,0283881 0,0383427 4 0,0000038 0,0000546 0,0002500 0,0007150 0,0015795 0,0029636 0,0049679 0,0076685 5 0,0000001 0,0000022 0,0000150 0,0000572 0,0001580 0,0003556 0,0006955 0,0012270 6 0,0000000 0,0000001 0,0000008 0,0000038 0,0000132 0,0000356 0,0000811 0,0001636 7 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000002 0,0000009 0,0000030 0,0000081 0,0000187
J 0,9 0,4065697 0,3659127 0,1646607 0,0493982 0,0111146 0,0020006 0,0003001 0,0000386
K 1 0,3678794 0,3678794 0,1839397 0,0613132 0,0153283 0,0030657 0,0005109 0,0000730
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B C D E F G H I J K x\ 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 0 0,3328711 0,3011942 0,2725318 0,2465970 0,2231302 0,2018965 0,1826835 0,1652989 0,1495686 0,1353353 1 0,3661582 0,3614331 0,3542913 0,3452357 0,3346952 0,3230344 0,3105620 0,2975380 0,2841804 0,2706706 2 0,2013870 0,2168598 0,2302894 0,2416650 0,2510214 0,2584275 0,2639777 0,2677842 0,2699714 0,2706706 3 0,0738419 0,0867439 0,0997921 0,1127770 0,1255107 0,1378280 0,1495874 0,1606705 0,1709819 0,1804470 4 0,0203065 0,0260232 0,0324324 0,0394720 0,0470665 0,0551312 0,0635746 0,0723017 0,0812164 0,0902235 5 0,0044674 0,0062456 0,0084324 0,0110521 0,0141200 0,0176420 0,0216154 0,0260286 0,0308622 0,0360894 6 0,0008190 0,0012491 0,0018270 0,0025788 0,0035300 0,0047045 0,0061244 0,0078086 0,0097730 0,0120298 7 0,0001287 0,0002141 0,0003393 0,0005158 0,0007564 0,0010753 0,0014873 0,0020079 0,0026527 0,0034371 8 0,0000177 0,0000321 0,0000551 0,0000903 0,0001418 0,0002151 0,0003161 0,0004518 0,0006300 0,0008593 9 0,0000022 0,0000043 0,0000080 0,0000140 0,0000236 0,0000382 0,0000597 0,0000904 0,0001330 0,0001909
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A B C D E F G H I J K x\ 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 0 0,1224564 0,1108032 0,1002588 0,0907180 0,0820850 0,0742736 0,0672055 0,0608101 0,0550232 0,0497871 1 0,2571585 0,2437669 0,2305953 0,2177231 0,2052125 0,1931113 0,1814549 0,1702682 0,1595673 0,1493612 2 0,2700164 0,2681436 0,2651846 0,2612677 0,2565156 0,2510447 0,2449641 0,2383754 0,2313726 0,2240418 3 0,1890115 0,1966387 0,2033082 0,2090142 0,2137630 0,2175721 0,2204677 0,2224837 0,2236602 0,2240418 4 0,0992310 0,1081513 0,1169022 0,1254085 0,1336019 0,1414218 0,1488157 0,1557386 0,1621537 0,1680314 5 0,0416770 0,0475866 0,0537750 0,0601961 0,0668009 0,0735394 0,0803605 0,0872136 0,0940491 0,1008188 6 0,0145870 0,0174484 0,0206138 0,0240784 0,0278337 0,0318671 0,0361622 0,0406997 0,0454571 0,0504094 7 0,0043761 0,0054838 0,0067731 0,0082555 0,0099406 0,0118363 0,0139483 0,0162799 0,0188322 0,0216040 8 0,0011487 0,0015080 0,0019473 0,0024766 0,0031064 0,0038468 0,0047075 0,0056980 0,0068267 0,0081015 9 0,0002680 0,0003686 0,0004976 0,0006604 0,0008629 0,0011113 0,0014123 0,0017727 0,0021997 0,0027005 10 0,0000563 0,0000811 0,0001145 0,0001585 0,0002157 0,0002889 0,0003813 0,0004964 0,0006379 0,0008102 11 0,0000107 0,0000162 0,0000239 0,0000346 0,0000490 0,0000683 0,0000936 0,0001263 0,0001682 0,0002210 12 0,0000019 0,0000030 0,0000046 0,0000069 0,0000102 0,0000148 0,0000211 0,0000295 0,0000406 0,0000552
244
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A x\ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
A x\ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
A x\ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A x\ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B 3,1 0,0450492 0,1396525 0,2164614 0,2236768 0,1733495 0,1074767 0,0555296 0,0245917 0,0095293 0,0032823 0,0010175 0,0002868 0,0000741 0,0000177 0,0000039
C 3,2 0,0407622 0,1304391 0,2087025 0,2226160 0,1780928 0,1139794 0,0607890 0,0277893 0,0111157 0,0039523 0,0012647 0,0003679 0,0000981 0,0000242 0,0000055
D 3,3 0,0368832 0,1217145 0,2008288 0,2209117 0,1822522 0,1202864 0,0661575 0,0311886 0,0128653 0,0047173 0,0015567 0,0004670 0,0001284 0,0000326 0,0000077
E 3,4 0,0333733 0,1134691 0,1928975 0,2186172 0,1858246 0,1263607 0,0716044 0,0347793 0,0147812 0,0055840 0,0018986 0,0005868 0,0001663 0,0000435 0,0000106
F 3,5 0,0301974 0,1056908 0,1849590 0,2157855 0,1888123 0,1321686 0,0770983 0,0385492 0,0168653 0,0065587 0,0022955 0,0007304 0,0002130 0,0000574 0,0000143
G 3,6 0,0273237 0,0983654 0,1770577 0,2124693 0,1912223 0,1376801 0,0826081 0,0424841 0,0191179 0,0076471 0,0027530 0,0009010 0,0002703 0,0000749 0,0000192
H 3,7 0,0247235 0,0914770 0,1692325 0,2087201 0,1930661 0,1428689 0,0881025 0,0465685 0,0215379 0,0088545 0,0032762 0,0011020 0,0003398 0,0000967 0,0000256
I 3,8 0,0223708 0,0850089 0,1615170 0,2045882 0,1943588 0,1477127 0,0935513 0,0507850 0,0241229 0,0101852 0,0038704 0,0013370 0,0004234 0,0001238 0,0000336
J 3,9 0,0202419 0,0789435 0,1539397 0,2001217 0,1951186 0,1521925 0,0989251 0,0551154 0,0268688 0,0116431 0,0045408 0,0016099 0,0005232 0,0001570 0,0000437
K 4 0,0183156 0,0732626 0,1465251 0,1953668 0,1953668 0,1562935 0,1041956 0,0595404 0,0297702 0,0132312 0,0052925 0,0019245 0,0006415 0,0001974 0,0000564
B 4,1 0,0165727 0,0679480 0,1392933 0,1903676 0,1951267 0,1600039 0,1093360 0,0640397 0,0328203 0,0149515 0,0061301 0,0022849 0,0007807 0,0002462 0,0000721 0,0000197
C 4,2 0,0149956 0,0629814 0,1322610 0,1851654 0,1944237 0,1633159 0,1143211 0,0685927 0,0360111 0,0168052 0,0070582 0,0026949 0,0009432 0,0003047 0,0000914 0,0000256
D 4,3 0,0135686 0,0583448 0,1254413 0,1797992 0,1932842 0,1662244 0,1191275 0,0731783 0,0393333 0,0187926 0,0080808 0,0031589 0,0011319 0,0003744 0,0001150 0,0000330
E 4,4 0,0122773 0,0540203 0,1188447 0,1743055 0,1917360 0,1687277 0,1237337 0,0777754 0,0427765 0,0209130 0,0092017 0,0036807 0,0013496 0,0004568 0,0001436 0,0000421
F 4,5 0,0111090 0,0499905 0,1124786 0,1687179 0,1898076 0,1708269 0,1281201 0,0823629 0,0463292 0,0231646 0,0104241 0,0042644 0,0015991 0,0005536 0,0001779 0,0000534
G 4,6 0,0100518 0,0462384 0,1063484 0,1630676 0,1875277 0,1725255 0,1322696 0,0869200 0,0499790 0,0255448 0,0117506 0,0049139 0,0018837 0,0006665 0,0002190 0,0000672
H 4,7 0,0090953 0,0427478 0,1004573 0,1573832 0,1849252 0,1738297 0,1361666 0,0914261 0,0537129 0,0280500 0,0131835 0,0056330 0,0022062 0,0007976 0,0002678 0,0000839
I 4,8 0,0082297 0,0395028 0,0948067 0,1516907 0,1820288 0,1747477 0,1397981 0,0958616 0,0575170 0,0306757 0,0147243 0,0064252 0,0025701 0,0009489 0,0003254 0,0001041
J 4,9 0,0074466 0,0364883 0,0893962 0,1460138 0,1788670 0,1752896 0,1431532 0,1002072 0,0613769 0,0334163 0,0163740 0,0072939 0,0029783 0,0011226 0,0003929 0,0001284
K 5 0,0067379 0,0336897 0,0842243 0,1403739 0,1754674 0,1754674 0,1462228 0,1044449 0,0652780 0,0362656 0,0181328 0,0082422 0,0034342 0,0013209 0,0004717 0,0001572
B 5,1 0,0060967 0,0310934 0,0792882 0,1347899 0,1718571 0,1752943 0,1490001 0,1085573 0,0692052 0,0392163 0,0200003 0,0092729 0,0039410 0,0015461 0,0005632 0,0001915 0,0000610 0,0000183
C 5,2 0,0055166 0,0286861 0,0745840 0,1292788 0,1680625 0,1747850 0,1514803 0,1125282 0,0731434 0,0422606 0,0219755 0,0103884 0,0045017 0,0018007 0,0006688 0,0002319 0,0000754 0,0000230
D 5,3 0,0049916 0,0264554 0,0701069 0,1238556 0,1641087 0,1739552 0,1536604 0,1163429 0,0770772 0,0453899 0,0240566 0,0115909 0,0051193 0,0020871 0,0007901 0,0002792 0,0000925 0,0000288
E 5,4 0,0045166 0,0243895 0,0658518 0,1185332 0,1600198 0,1728213 0,1555392 0,1199874 0,0809915 0,0485949 0,0262412 0,0128821 0,0057969 0,0024080 0,0009288 0,0003344 0,0001128 0,0000358
F 5,5 0,0040868 0,0224772 0,0618124 0,1133228 0,1558188 0,1714007 0,1571173 0,1234493 0,0848714 0,0518659 0,0285262 0,0142631 0,0065373 0,0027658 0,0010865 0,0003984 0,0001370 0,0000443
G 5,6 0,0036979 0,0207080 0,0579825 0,1082340 0,1515276 0,1697109 0,1583969 0,1267175 0,0887022 0,0551925 0,0309078 0,0157349 0,0073429 0,0031631 0,0012652 0,0004724 0,0001653 0,0000545
H 5,7 0,0033460 0,0190720 0,0543552 0,1032749 0,1471667 0,1677701 0,1593816 0,1297821 0,0924698 0,0585642 0,0333816 0,0172977 0,0082164 0,0036026 0,0014668 0,0005574 0,0001986 0,0000666
I 5,8 0,0030276 0,0175598 0,0509235 0,0984520 0,1427555 0,1655963 0,1600765 0,1326348 0,0961602 0,0619699 0,0359426 0,0189515 0,0091599 0,0040867 0,0016931 0,0006547 0,0002373 0,0000810
J 5,9 0,0027394 0,0161627 0,0476800 0,0937707 0,1383118 0,1632080 0,1604878 0,1352683 0,0997604 0,0653985 0,0385851 0,0206956 0,0101754 0,0046180 0,0019462 0,0007655 0,0002823 0,0000980
K 6 0,0024788 0,0148725 0,0446175 0,0892351 0,1338526 0,1606231 0,1606231 0,1376770 0,1032577 0,0688385 0,0413031 0,0225290 0,0112645 0,0051990 0,0022281 0,0008913 0,0003342 0,0001180
B 6,1 0,0022429 0,0136815 0,0417286 0,0848481 0,1293933 0,1578598 0,1604908 0,1398563 0,1066404 0,0722785 0,0440899 0,0244498 0,0124287 0,0058319 0,0025410 0,0010334 0,0003940 0,0001414 0,0000479 0,0000154
C 6,2 0,0020294 0,0125825 0,0390057 0,0806117 0,1249481 0,1549357 0,1601002 0,1418030 0,1098973 0,0757071 0,0469384 0,0264562 0,0136690 0,0065191 0,0028870 0,0011933 0,0004624 0,0001686 0,0000581 0,0000190
D 6,3 0,0018363 0,0115687 0,0364415 0,0765271 0,1205302 0,1518680 0,1594614 0,1435153 0,1130183 0,0791128 0,0498411 0,0285453 0,0149863 0,0072626 0,0032682 0,0013726 0,0005405 0,0002003 0,0000701 0,0000232
E 6,4 0,0016616 0,0106340 0,0340287 0,0725945 0,1161513 0,1486736 0,1585852 0,1449922 0,1159937 0,0824844 0,0527900 0,0307142 0,0163809 0,0080644 0,0036866 0,0015730 0,0006292 0,0002369 0,0000842 0,0000284
F 6,5 0,0015034 0,0097724 0,0317602 0,0688137 0,1118222 0,1453689 0,1574829 0,1462342 0,1188153 0,0858110 0,0557772 0,0329592 0,0178529 0,0089265 0,0041444 0,0017959 0,0007296 0,0002790 0,0001007 0,0000345
G 6,6 0,0013604 0,0089784 0,0296288 0,0651834 0,1075526 0,1419694 0,1561664 0,1472426 0,1214751 0,0890818 0,0587940 0,0352764 0,0194020 0,0098503 0,0046437 0,0020432 0,0008428 0,0003272 0,0001200 0,0000417
H 6,7 0,0012309 0,0082471 0,0276278 0,0617021 0,1033511 0,1384904 0,1546476 0,1480199 0,1239667 0,0922863 0,0618318 0,0376612 0,0210275 0,0108372 0,0051864 0,0023166 0,0009701 0,0003823 0,0001423 0,0000502
I 6,8 0,0011138 0,0075737 0,0257505 0,0583678 0,0992252 0,1349463 0,1529391 0,1485694 0,1262840 0,0954146 0,0648819 0,0401088 0,0227283 0,0118887 0,0057745 0,0026178 0,0011126 0,0004450 0,0001681 0,0000602
J 6,9 0,0010078 0,0069537 0,0239903 0,0551778 0,0951816 0,1313507 0,1510533 0,1488954 0,1284223 0,0984571 0,0679354 0,0426140 0,0245031 0,0130055 0,0064098 0,0029485 0,0012716 0,0005161 0,0001978 0,0000718
K 7 0,0009119 0,0063832 0,0223411 0,0521293 0,0912262 0,1277167 0,1490028 0,1490028 0,1303774 0,1014047 0,0709833 0,0451712 0,0263498 0,0141884 0,0070942 0,0033106 0,0014484 0,0005964 0,0002319 0,0000854
245
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
A B C D E F G H I J K x\ 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8 0 0,0008251 0,0007466 0,0006755 0,0006113 0,0005531 0,0005005 0,0004528 0,0004097 0,0003707 0,0003355 1 0,0058582 0,0053754 0,0049314 0,0045233 0,0041481 0,0038034 0,0034868 0,0031959 0,0029289 0,0026837 2 0,0207968 0,0193515 0,0179997 0,0167361 0,0155555 0,0144530 0,0134241 0,0124641 0,0115691 0,0107348 3 0,0492190 0,0464436 0,0437993 0,0412824 0,0388887 0,0366144 0,0344551 0,0324068 0,0304652 0,0286261 4 0,0873638 0,0835985 0,0799338 0,0763724 0,0729164 0,0695673 0,0663261 0,0631932 0,0601687 0,0572523 5 0,1240565 0,1203818 0,1167034 0,1130312 0,1093746 0,1057423 0,1021421 0,0985814 0,0950666 0,0916037 6 0,1468002 0,1444582 0,1419891 0,1394051 0,1367182 0,1339402 0,1310824 0,1281558 0,1251710 0,1221382 7 0,1488974 0,1485856 0,1480743 0,1473711 0,1464838 0,1454208 0,1441906 0,1428021 0,1412644 0,1395865 8 0,1321464 0,1337270 0,1351178 0,1363183 0,1373286 0,1381498 0,1387835 0,1392321 0,1394986 0,1395865 9 0,1042489 0,1069816 0,1095956 0,1120839 0,1144405 0,1166598 0,1187370 0,1206678 0,1224488 0,1240769 10 0,0740167 0,0770268 0,0800048 0,0829421 0,0858304 0,0886614 0,0914275 0,0941209 0,0967345 0,0992615 11 0,0477744 0,0504175 0,0530941 0,0557974 0,0585207 0,0612570 0,0639992 0,0667403 0,0694730 0,0721902 12 0,0282665 0,0302505 0,0322989 0,0344084 0,0365754 0,0387961 0,0410662 0,0433812 0,0457364 0,0481268 13 0,0154379 0,0167541 0,0181371 0,0195863 0,0211012 0,0226808 0,0243238 0,0260287 0,0277936 0,0296165 14 0,0078292 0,0086164 0,0094572 0,0103528 0,0113042 0,0123124 0,0133781 0,0145017 0,0156836 0,0169237 15 0,0037058 0,0041359 0,0046025 0,0051074 0,0056521 0,0062383 0,0068674 0,0075409 0,0082600 0,0090260 16 0,0016445 0,0018611 0,0020999 0,0023622 0,0026494 0,0029632 0,0033049 0,0036762 0,0040784 0,0045130 17 0,0006868 0,0007882 0,0009017 0,0010282 0,0011689 0,0013247 0,0014969 0,0016867 0,0018952 0,0021238 18 0,0002709 0,0003153 0,0003657 0,0004227 0,0004870 0,0005593 0,0006404 0,0007309 0,0008318 0,0009439 19 0,0001012 0,0001195 0,0001405 0,0001646 0,0001922 0,0002237 0,0002595 0,0003001 0,0003459 0,0003974 20 0,0000359 0,0000430 0,0000513 0,0000609 0,0000721 0,0000850 0,0000999 0,0001170 0,0001366 0,0001590 21 0,0000122 0,0000147 0,0000178 0,0000215 0,0000257 0,0000308 0,0000366 0,0000435 0,0000514 0,0000606
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
A B C D E F G H I J K x\ 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9 0 0,0003035 0,0002747 0,0002485 0,0002249 0,0002035 0,0001841 0,0001666 0,0001507 0,0001364 0,0001234 1 0,0024587 0,0022522 0,0020627 0,0018889 0,0017295 0,0015833 0,0014493 0,0013265 0,0012139 0,0011107 2 0,0099576 0,0092339 0,0085602 0,0079333 0,0073503 0,0068082 0,0063044 0,0058364 0,0054017 0,0049981 3 0,0268855 0,0252392 0,0236831 0,0222133 0,0208258 0,0195169 0,0182829 0,0171201 0,0160250 0,0149943 4 0,0544432 0,0517404 0,0491425 0,0466479 0,0442549 0,0419614 0,0397653 0,0376641 0,0356556 0,0337372 5 0,0881980 0,0848542 0,0815765 0,0783685 0,0752333 0,0721736 0,0691915 0,0662889 0,0634670 0,0607269 6 0,1190672 0,1159674 0,1128475 0,1097159 0,1065806 0,1034488 0,1003277 0,0972237 0,0941427 0,0910903 7 0,1377778 0,1358475 0,1338049 0,1316591 0,1294192 0,1270943 0,1246930 0,1222241 0,1196957 0,1171161 8 0,1395000 0,1392437 0,1388225 0,1382420 0,1375079 0,1366264 0,1356037 0,1344465 0,1331615 0,1317556 9 0,1255500 0,1268665 0,1280252 0,1290259 0,1298686 0,1305541 0,1310836 0,1314588 0,1316819 0,1317556 10 0,1016955 0,1040305 0,1062609 0,1083818 0,1103883 0,1122765 0,1140427 0,1156837 0,1171969 0,1185801 11 0,0748849 0,0775500 0,0801787 0,0827642 0,0853001 0,0877798 0,0901974 0,0925470 0,0948230 0,0970201 12 0,0505473 0,0529925 0,0554569 0,0579350 0,0604209 0,0629089 0,0653931 0,0678678 0,0703270 0,0727650 13 0,0314949 0,0334260 0,0354071 0,0374349 0,0395060 0,0416166 0,0437631 0,0459413 0,0481470 0,0503758 14 0,0182220 0,0195781 0,0209914 0,0224609 0,0239858 0,0255645 0,0271956 0,0288774 0,0306077 0,0323844 15 0,0098399 0,0107027 0,0116152 0,0125781 0,0135919 0,0146570 0,0157735 0,0169414 0,0181606 0,0194307 16 0,0049814 0,0054851 0,0060254 0,0066035 0,0072207 0,0078781 0,0085768 0,0093178 0,0101018 0,0109297 17 0,0023735 0,0026458 0,0029418 0,0032629 0,0036104 0,0039854 0,0043893 0,0048233 0,0052886 0,0057863 18 0,0010681 0,0012053 0,0013565 0,0015227 0,0017049 0,0019041 0,0021215 0,0023581 0,0026149 0,0028932 19 0,0004553 0,0005202 0,0005926 0,0006732 0,0007627 0,0008619 0,0009714 0,0010922 0,0012249 0,0013704 20 0,0001844 0,0002133 0,0002459 0,0002827 0,0003242 0,0003706 0,0004226 0,0004805 0,0005451 0,0006167 21 0,0000711 0,0000833 0,0000972 0,0001131 0,0001312 0,0001518 0,0001751 0,0002014 0,0002310 0,0002643 22 0,0000262 0,0000310 0,0000367 0,0000432 0,0000507 0,0000593 0,0000692 0,0000805 0,0000935 0,0001081
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
A B C D E F G H I J K x\ 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10 0 0,0001117 0,0001010 0,0000914 0,0000827 0,0000749 0,0000677 0,0000613 0,0000555 0,0000502 0,0000454 1 0,0010162 0,0009296 0,0008502 0,0007776 0,0007111 0,0006502 0,0005944 0,0005434 0,0004967 0,0004540 2 0,0046235 0,0042760 0,0039536 0,0036547 0,0033777 0,0031209 0,0028831 0,0026628 0,0024588 0,0022700 3 0,0140247 0,0131130 0,0122563 0,0114515 0,0106960 0,0099870 0,0093220 0,0086984 0,0081141 0,0075667 4 0,0319062 0,0301600 0,0284959 0,0269111 0,0254030 0,0239688 0,0226058 0,0213112 0,0200823 0,0189166 5 0,0580692 0,0554943 0,0530023 0,0505929 0,0482658 0,0460201 0,0438552 0,0417699 0,0397630 0,0378333 6 0,0880716 0,0850913 0,0821536 0,0792623 0,0764208 0,0736322 0,0708992 0,0682241 0,0656090 0,0630555 7 0,1144931 0,1118343 0,1091469 0,1064379 0,1037139 0,1009813 0,0982461 0,0955138 0,0927898 0,0900792 8 0,1302359 0,1286094 0,1268833 0,1250645 0,1231603 0,1211776 0,1191233 0,1170044 0,1148274 0,1125990 9 0,1316830 0,1314674 0,1311127 0,1306230 0,1300025 0,1292561 0,1283885 0,1274048 0,1263102 0,1251100 10 0,1198315 0,1209500 0,1219348 0,1227856 0,1235024 0,1240859 0,1245368 0,1248567 0,1250471 0,1251100 11 0,0991334 0,1011582 0,1030904 0,1049259 0,1066612 0,1082931 0,1098188 0,1112360 0,1125424 0,1137364 12 0,0751761 0,0775546 0,0798950 0,0821919 0,0844401 0,0866345 0,0887702 0,0908427 0,0928475 0,0947803 13 0,0526233 0,0548848 0,0571557 0,0594311 0,0617062 0,0639762 0,0662363 0,0684814 0,0707069 0,0729079 14 0,0342051 0,0360672 0,0379677 0,0399037 0,0418721 0,0438694 0,0458923 0,0479370 0,0499999 0,0520771 15 0,0207511 0,0221212 0,0235400 0,0250063 0,0265190 0,0280764 0,0296770 0,0313188 0,0329999 0,0347181 16 0,0118022 0,0127197 0,0136826 0,0146912 0,0157456 0,0168459 0,0179917 0,0191828 0,0204187 0,0216988 17 0,0063176 0,0068836 0,0074852 0,0081234 0,0087990 0,0095130 0,0102658 0,0110583 0,0118909 0,0127640 18 0,0031939 0,0035183 0,0038673 0,0042422 0,0046439 0,0050736 0,0055321 0,0060206 0,0065400 0,0070911 19 0,0015297 0,0017036 0,0018930 0,0020988 0,0023220 0,0025635 0,0028243 0,0031054 0,0034077 0,0037322 20 0,0006960 0,0007837 0,0008802 0,0009864 0,0011029 0,0012305 0,0013698 0,0015216 0,0016868 0,0018661 21 0,0003016 0,0003433 0,0003898 0,0004415 0,0004989 0,0005625 0,0006327 0,0007101 0,0007952 0,0008886 22 0,0001248 0,0001436 0,0001648 0,0001887 0,0002155 0,0002455 0,0002790 0,0003163 0,0003578 0,0004039 23 0,0000494 0,0000574 0,0000666 0,0000771 0,0000890 0,0001025 0,0001177 0,0001348 0,0001540 0,0001756 24 0,0000187 0,0000220 0,0000258 0,0000302 0,0000352 0,0000410 0,0000476 0,0000550 0,0000635 0,0000732
246
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
A B C D E F G H I J K x\ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,0000167 0,0000061 0,0000023 0,0000008 0,0000003 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0 0,0001837 0,0000737 0,0000294 0,0000116 0,0000046 0,0000018 0,0000007 0,0000003 0,0000001 0,0000000 1 2 0,0010105 0,0004424 0,0001910 0,0000815 0,0000344 0,0000144 0,0000060 0,0000025 0,0000010 0,0000004 3 0,0037050 0,0017695 0,0008277 0,0003803 0,0001721 0,0000768 0,0000339 0,0000148 0,0000064 0,0000027 4 0,0101887 0,0053086 0,0026899 0,0013310 0,0006453 0,0003073 0,0001441 0,0000666 0,0000304 0,0000137 0,0224152 0,0127406 0,0069937 0,0037268 0,0019358 0,0009833 0,0004898 0,0002398 0,0001156 0,0000550 5 0,0410946 0,0254813 0,0151530 0,0086959 0,0048395 0,0026223 0,0013879 0,0007195 0,0003661 0,0001832 6 0,0645772 0,0436822 0,0281413 0,0173917 0,0103703 0,0059937 0,0033706 0,0018500 0,0009937 0,0005235 7 8 0,0887936 0,0655233 0,0457297 0,0304355 0,0194443 0,0119875 0,0071625 0,0041625 0,0023600 0,0013087 9 0,1085255 0,0873644 0,0660540 0,0473442 0,0324072 0,0213111 0,0135292 0,0083251 0,0049822 0,0029082 10 0,1193781 0,1048373 0,0858702 0,0662818 0,0486108 0,0340977 0,0229996 0,0149852 0,0094662 0,0058163 0,1193781 0,1143679 0,1014829 0,0843587 0,0662874 0,0495967 0,0355448 0,0245212 0,0163508 0,0105751 11 0,1094299 0,1143679 0,1099398 0,0984185 0,0828592 0,0661289 0,0503552 0,0367818 0,0258888 0,0176252 12 13 0,0925945 0,1055704 0,1099398 0,1059891 0,0956068 0,0813894 0,0658490 0,0509286 0,0378374 0,0271156 14 0,0727528 0,0904889 0,1020870 0,1059891 0,1024359 0,0930164 0,0799596 0,0654796 0,0513508 0,0387366 15 0,0533521 0,0723911 0,0884754 0,0989232 0,1024359 0,0992175 0,0906208 0,0785755 0,0650443 0,0516489 16 0,0366796 0,0542933 0,0718862 0,0865578 0,0960336 0,0992175 0,0962846 0,0883975 0,0772401 0,0645611 0,0237338 0,0383247 0,0549718 0,0712829 0,0847356 0,0933812 0,0962846 0,0935973 0,0863272 0,0759542 17 0,0145040 0,0255498 0,0397019 0,0554423 0,0706130 0,0830055 0,0909355 0,0935973 0,0911231 0,0843936 18 19 0,0083971 0,0161367 0,0271644 0,0408522 0,0557471 0,0698994 0,0813633 0,0886711 0,0911231 0,0888353 20 0,0046184 0,0096820 0,0176569 0,0285965 0,0418103 0,0559195 0,0691588 0,0798040 0,0865670 0,0888353 21 0,0024192 0,0055326 0,0109305 0,0190644 0,0298645 0,0426053 0,0559857 0,0684035 0,0783225 0,0846051 0,0012096 0,0030178 0,0064589 0,0121319 0,0203622 0,0309857 0,0432617 0,0559665 0,0676422 0,0769137 22 0,0005785 0,0015745 0,0036507 0,0073846 0,0132797 0,0215553 0,0319760 0,0437998 0,0558783 0,0668815 23 0,0002651 0,0007872 0,0019775 0,0043077 0,0082998 0,0143702 0,0226497 0,0328499 0,0442370 0,0557346 24 25 0,0001167 0,0003779 0,0010283 0,0024123 0,0049799 0,0091969 0,0154018 0,0236519 0,0336201 0,0445876 26 0,0000494 0,0001744 0,0005141 0,0012989 0,0028730 0,0056596 0,0100704 0,0163744 0,0245685 0,0342982 27 0,0000201 0,0000775 0,0002475 0,0006735 0,0015961 0,0033539 0,0063406 0,0109163 0,0172890 0,0254061 0,0000079 0,0000332 0,0001149 0,0003368 0,0008551 0,0019165 0,0038497 0,0070176 0,0117318 0,0181472 28 0,0000030 0,0000137 0,0000515 0,0001626 0,0004423 0,0010574 0,0022567 0,0043558 0,0076864 0,0125153 29 30 0,0000011 0,0000055 0,0000223 0,0000759 0,0002211 0,0005639 0,0012788 0,0026135 0,0048680 0,0083435 31 0,0000004 0,0000021 0,0000094 0,0000343 0,0001070 0,0002911 0,0007013 0,0015175 0,0029836 0,0053829 32 0,0000001 0,0000008 0,0000038 0,0000150 0,0000502 0,0001455 0,0003726 0,0008536 0,0017715 0,0033643 33 0,0000000 0,0000003 0,0000015 0,0000064 0,0000228 0,0000706 0,0001919 0,0004656 0,0010200 0,0020390 0,0000000 0,0000001 0,0000006 0,0000026 0,0000101 0,0000332 0,0000960 0,0002465 0,0005700 0,0011994 34 0,0000000 0,0000000 0,0000002 0,0000010 0,0000043 0,0000152 0,0000466 0,0001268 0,0003094 0,0006854 35 36 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000004 0,0000018 0,0000067 0,0000220 0,0000634 0,0001633 0,0003808 37 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000002 0,0000007 0,0000029 0,0000101 0,0000308 0,0000839 0,0002058 38 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000003 0,0000012 0,0000045 0,0000146 0,0000419 0,0001083 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000005 0,0000020 0,0000067 0,0000204 0,0000556 39 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000002 0,0000008 0,0000030 0,0000097 0,0000278 40 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000003 0,0000013 0,0000045 0,0000135 41 42 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000006 0,0000020 0,0000065 43 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000002 0,0000009 0,0000030 44 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000004 0,0000014 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000002 0,0000006 45 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000003 46 47 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001
Sadržaj ćelije H25: 0,0319760=POISSON(23;17;0)
f(x) 0,10
f( x)
17 x e 17 , x 0, 1, 2, 3, ...,47 x! 17 23 e 17 f(23) 23!
x 23 ; 17 f(23)
17 23 e 17 0,0319760 23!
0,0319760
0,05
0,00 0
23
47
x
247
Tabela 6. Poissonova kumulativna raspodjela Vrijednosti u tabeli izračunate su (u samo nekoliko poteza) posredstvom ugrađene Excelove funkcije POISSON, prema inicijalnoj sintaksi (u ćeliji B2): “=POISSON($A2 ;B$1;1)”.
λ x e λ x! x 0 k
POISSON(x; mean λ; TRUE)
x k
0
Primjer: 1,0
1
1,0
0,93714
0,9 0,77248
0,8 0,7
0,5 0,6 0,5 0,40657 0,4
x 0
1
2
3
4
5
6
7
0,0
x 0
k
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B C D E F G H I x\ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 0,9048374 0,8187308 0,7408182 0,6703200 0,6065307 0,5488116 0,4965853 0,4493290 1 0,9953212 0,9824769 0,9630637 0,9384481 0,9097960 0,8780986 0,8441950 0,8087921 2 0,9998453 0,9988515 0,9964005 0,9920737 0,9856123 0,9768847 0,9658584 0,9525774 3 0,9999962 0,9999432 0,9997342 0,9992237 0,9982484 0,9966419 0,9942465 0,9909201 4 0,9999999 0,9999977 0,9999842 0,9999388 0,9998279 0,9996055 0,9992145 0,9985887 5 1,0000000 0,9999999 0,9999992 0,9999960 0,9999858 0,9999611 0,9999100 0,9998157 6 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999998 0,9999990 0,9999967 0,9999911 0,9999793 7 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999999 0,9999998 0,9999992 0,9999979
J 0,9 0,4065697 0,7724824 0,9371431 0,9865413 0,9976559 0,9996565 0,9999566 0,9999952
K 1 0,3678794 0,7357589 0,9196986 0,9810118 0,9963402 0,9994058 0,9999168 0,9999898
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B C D E F G H I J K x\ 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 0 0,3328711 0,3011942 0,2725318 0,2465970 0,2231302 0,2018965 0,1826835 0,1652989 0,1495686 0,1353353 1 0,6990293 0,6626273 0,6268231 0,5918327 0,5578254 0,5249309 0,4932455 0,4628369 0,4337490 0,4060058 0,9004163 0,8794871 0,8571125 0,8334977 0,8088468 0,7833585 0,7572232 0,7306211 0,7037204 0,6766764 2 0,9742582 0,9662310 0,9569045 0,9462747 0,9343575 0,9211865 0,9068106 0,8912916 0,8747022 0,8571235 3 0,9945647 0,9922542 0,9893370 0,9857467 0,9814241 0,9763177 0,9703852 0,9635933 0,9559186 0,9473470 4 0,9990321 0,9984998 0,9977694 0,9967989 0,9955440 0,9939597 0,9920006 0,9896220 0,9867808 0,9834364 5 6 0,9998512 0,9997489 0,9995964 0,9993777 0,9990740 0,9986642 0,9981249 0,9974306 0,9965539 0,9954662 7 0,9999799 0,9999630 0,9999357 0,9998935 0,9998304 0,9997396 0,9996123 0,9994385 0,9992065 0,9989033 8 0,9999976 0,9999951 0,9999909 0,9999837 0,9999723 0,9999546 0,9999283 0,9998903 0,9998366 0,9997626 9 0,9999997 0,9999994 0,9999988 0,9999978 0,9999959 0,9999929 0,9999880 0,9999806 0,9999696 0,9999535
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A B C D E F G H I J K x\ 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 0 0,1224564 0,1108032 0,1002588 0,0907180 0,0820850 0,0742736 0,0672055 0,0608101 0,0550232 0,0497871 1 0,3796149 0,3545701 0,3308542 0,3084410 0,2872975 0,2673849 0,2486604 0,2310782 0,2145906 0,1991483 2 0,6496314 0,6227137 0,5960388 0,5697087 0,5438131 0,5184296 0,4936245 0,4694537 0,4459632 0,4231901 3 0,8386428 0,8193524 0,7993471 0,7787229 0,7575761 0,7360016 0,7140922 0,6919374 0,6696234 0,6472319 4 0,9378739 0,9275037 0,9162493 0,9041314 0,8911780 0,8774235 0,8629079 0,8476761 0,8317771 0,8152632 5 0,9795509 0,9750902 0,9700243 0,9643275 0,9579790 0,9509628 0,9432683 0,9348897 0,9258262 0,9160821 6 0,9941379 0,9925387 0,9906381 0,9884059 0,9858127 0,9828299 0,9794305 0,9755894 0,9712833 0,9664915 7 0,9985140 0,9980224 0,9974112 0,9966614 0,9957533 0,9946662 0,9933788 0,9918693 0,9901155 0,9880955 8 0,9996627 0,9995305 0,9993584 0,9991380 0,9988597 0,9985130 0,9980864 0,9975672 0,9969422 0,9961970 9 0,9999307 0,9998991 0,9998561 0,9997985 0,9997226 0,9996243 0,9994986 0,9993399 0,9991419 0,9988975 10 0,9999870 0,9999802 0,9999705 0,9999570 0,9999384 0,9999133 0,9998799 0,9998363 0,9997798 0,9997077 11 0,9999978 0,9999964 0,9999944 0,9999915 0,9999874 0,9999816 0,9999735 0,9999626 0,9999480 0,9999286 12 0,9999996 0,9999994 0,9999990 0,9999985 0,9999976 0,9999964 0,9999946 0,9999921 0,9999886 0,9999839
248
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A B C D E F G H I J K x\ 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 0 0,0450492 0,0407622 0,0368832 0,0333733 0,0301974 0,0273237 0,0247235 0,0223708 0,0202419 0,0183156 1 0,1847017 0,1712013 0,1585976 0,1468424 0,1358882 0,1256891 0,1162006 0,1073797 0,0991854 0,0915782 2 0,4011631 0,3799037 0,3594265 0,3397399 0,3208472 0,3027468 0,2854331 0,2688967 0,2531251 0,2381033 3 0,6248399 0,6025197 0,5803382 0,5583571 0,5366327 0,5152161 0,4941532 0,4734848 0,4532468 0,4334701 4 0,7981895 0,7806125 0,7625904 0,7441816 0,7254450 0,7064384 0,6872194 0,6678436 0,6483654 0,6288369 5 0,9056662 0,8945919 0,8828768 0,8705424 0,8576136 0,8441185 0,8300883 0,8155563 0,8005579 0,7851304 6 0,9611958 0,9553809 0,9490344 0,9421468 0,9347119 0,9267266 0,9181908 0,9091076 0,8994830 0,8893260 7 0,9857875 0,9831702 0,9802229 0,9769261 0,9732611 0,9692107 0,9647593 0,9598926 0,9545985 0,9488664 8 0,9953168 0,9942859 0,9930882 0,9917073 0,9901263 0,9883286 0,9862972 0,9840155 0,9814672 0,9786366 9 0,9985991 0,9982381 0,9978055 0,9972913 0,9966851 0,9959757 0,9951517 0,9942007 0,9931104 0,9918678 10 0,9996166 0,9995028 0,9993622 0,9991898 0,9989806 0,9987287 0,9984278 0,9980711 0,9976512 0,9971602 11 0,9999033 0,9998708 0,9998292 0,9997767 0,9997110 0,9996297 0,9995298 0,9994081 0,9992611 0,9990848 12 0,9999774 0,9999689 0,9999576 0,9999429 0,9999240 0,9999000 0,9998696 0,9998315 0,9997844 0,9997263 13 0,9999951 0,9999930 0,9999902 0,9999864 0,9999814 0,9999748 0,9999663 0,9999553 0,9999413 0,9999237 14 0,9999990 0,9999985 0,9999979 0,9999970 0,9999957 0,9999941 0,9999918 0,9999889 0,9999851 0,9999801
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
A B C D E F G H I J K x\ 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 0 0,0165727 0,0149956 0,0135686 0,0122773 0,0111090 0,0100518 0,0090953 0,0082297 0,0074466 0,0067379 1 0,0845206 0,0779770 0,0719134 0,0662976 0,0610995 0,0562903 0,0518431 0,0477325 0,0439348 0,0404277 0,2238140 0,2102380 0,1973547 0,1851423 0,1735781 0,1626387 0,1523004 0,1425392 0,1333311 0,1246520 2 0,4141815 0,3954034 0,3771539 0,3594478 0,3422960 0,3257063 0,3096836 0,2942299 0,2793449 0,2650259 3 0,6093083 0,5898270 0,5704381 0,5511838 0,5321036 0,5132340 0,4946088 0,4762588 0,4582119 0,4404933 4 5 0,7693122 0,7531429 0,7366625 0,7199115 0,7029304 0,6857595 0,6684385 0,6510064 0,6335015 0,6159607 6 0,8786482 0,8674640 0,8557900 0,8436452 0,8310506 0,8180291 0,8046051 0,7908046 0,7766547 0,7621835 7 0,9426879 0,9360567 0,9289683 0,9214206 0,9134135 0,9049490 0,8960312 0,8866662 0,8768619 0,8666283 8 0,9755082 0,9720678 0,9683016 0,9641971 0,9597427 0,9549280 0,9497441 0,9441831 0,9382388 0,9319064 0,9904597 0,9888730 0,9870942 0,9851101 0,9829073 0,9804729 0,9777941 0,9748588 0,9716552 0,9681719 9 0,9965898 0,9959312 0,9951751 0,9943118 0,9933313 0,9922235 0,9909777 0,9895832 0,9880292 0,9863047 10 0,9988747 0,9986261 0,9983339 0,9979924 0,9975957 0,9971374 0,9966106 0,9960083 0,9953230 0,9945469 11 12 0,9996554 0,9995694 0,9994658 0,9993420 0,9991949 0,9990210 0,9988169 0,9985784 0,9983014 0,9979811 13 0,9999016 0,9998741 0,9998402 0,9997988 0,9997484 0,9996876 0,9996145 0,9995274 0,9994240 0,9993020 14 0,9999737 0,9999655 0,9999552 0,9999424 0,9999263 0,9999066 0,9998823 0,9998527 0,9998169 0,9997737 15 0,9999934 0,9999911 0,9999882 0,9999845 0,9999797 0,9999737 0,9999662 0,9999568 0,9999452 0,9999310
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
A B C D E F G H I J K x\ 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6 0 0,0060967 0,0055166 0,0049916 0,0045166 0,0040868 0,0036979 0,0033460 0,0030276 0,0027394 0,0024788 1 0,0371902 0,0342027 0,0314470 0,0289061 0,0265640 0,0244059 0,0224180 0,0205874 0,0189022 0,0173513 2 0,1164783 0,1087867 0,1015540 0,0947579 0,0883764 0,0823884 0,0767732 0,0715108 0,0665822 0,0619688 3 0,2512683 0,2380655 0,2254096 0,2132910 0,2016992 0,1906224 0,1800481 0,1699629 0,1603529 0,1512039 4 0,4231254 0,4061280 0,3895182 0,3733108 0,3575180 0,3421500 0,3272148 0,3127183 0,2986648 0,2850565 0,5984197 0,5809130 0,5634734 0,5461321 0,5289187 0,5118609 0,4949849 0,4783147 0,4618728 0,4456796 5 0,7474199 0,7323933 0,7171338 0,7016713 0,6860360 0,6702578 0,6543664 0,6383911 0,6223606 0,6063028 6 0,8559771 0,8449216 0,8334767 0,8216587 0,8094853 0,7969753 0,7841486 0,7710259 0,7576289 0,7439798 7 0,9251824 0,9180650 0,9105538 0,9026502 0,8943567 0,8856775 0,8766183 0,8671861 0,8573893 0,8472375 8 0,9643987 0,9603256 0,9559437 0,9512451 0,9462225 0,9408700 0,9351825 0,9291561 0,9227878 0,9160760 9 0,9843990 0,9823011 0,9800003 0,9774863 0,9747487 0,9717778 0,9685641 0,9650986 0,9613729 0,9573791 10 11 0,9936719 0,9926895 0,9915913 0,9903684 0,9890119 0,9875127 0,9858618 0,9840501 0,9820685 0,9799080 12 0,9976128 0,9971912 0,9967106 0,9961653 0,9955491 0,9948557 0,9940783 0,9932100 0,9922439 0,9911725 13 0,9991589 0,9989918 0,9987977 0,9985732 0,9983149 0,9980188 0,9976809 0,9972968 0,9968619 0,9963715 14 0,9997221 0,9996606 0,9995878 0,9995020 0,9994014 0,9992840 0,9991476 0,9989898 0,9988081 0,9985996 15 0,9999136 0,9998925 0,9998670 0,9998364 0,9997998 0,9997564 0,9997050 0,9996445 0,9995736 0,9994909 16 0,9999746 0,9999678 0,9999595 0,9999492 0,9999368 0,9999217 0,9999036 0,9998818 0,9998559 0,9998251 17 0,9999930 0,9999909 0,9999883 0,9999851 0,9999811 0,9999762 0,9999701 0,9999628 0,9999539 0,9999431
Primjer:
0,8094853=POISSON(7;5,5;1) 1,0
0,15
0,10
0,5 0,05
0,00
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
0,0
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
249
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A B C D E F G H I J K x\ 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7 0 0,0022429 0,0020294 0,0018363 0,0016616 0,0015034 0,0013604 0,0012309 0,0011138 0,0010078 0,0009119 1 0,0159244 0,0146119 0,0134050 0,0122955 0,0112758 0,0103388 0,0094780 0,0086874 0,0079615 0,0072951 2 0,0576529 0,0536176 0,0498465 0,0463242 0,0430359 0,0399676 0,0371058 0,0344379 0,0319518 0,0296362 0,1425010 0,1342292 0,1263736 0,1189188 0,1118496 0,1051510 0,0988080 0,0928057 0,0871296 0,0817654 3 0,2718943 0,2591774 0,2469037 0,2350700 0,2236718 0,2127036 0,2021590 0,1920309 0,1823112 0,1729916 4 0,4297541 0,4141130 0,3987717 0,3837437 0,3690407 0,3546730 0,3406494 0,3269771 0,3136619 0,3007083 5 6 0,5902449 0,5742132 0,5582331 0,5423289 0,5265236 0,5108394 0,4952971 0,4799162 0,4647152 0,4497111 7 0,7301012 0,7160163 0,7017484 0,6873211 0,6727578 0,6580820 0,6433170 0,6284856 0,6136105 0,5987138 8 0,8367416 0,8259136 0,8147666 0,8033148 0,7915730 0,7795571 0,7672836 0,7547696 0,7420328 0,7290913 9 0,9090201 0,9016207 0,8938794 0,8857992 0,8773840 0,8686389 0,8595699 0,8501842 0,8404899 0,8304959 10 0,9531100 0,9485590 0,9437205 0,9385893 0,9331612 0,9274329 0,9214017 0,9150661 0,9084252 0,9014792 11 0,9775598 0,9750152 0,9722658 0,9693035 0,9661204 0,9627092 0,9590629 0,9551749 0,9510392 0,9466504 0,9899885 0,9886842 0,9872521 0,9856844 0,9839734 0,9821113 0,9800904 0,9779032 0,9755423 0,9730002 12 0,9958204 0,9952033 0,9945147 0,9937489 0,9928998 0,9919615 0,9909277 0,9897919 0,9885477 0,9871886 13 0,9983615 0,9980903 0,9977829 0,9974355 0,9970442 0,9966052 0,9961141 0,9955664 0,9949576 0,9942828 14 0,9993948 0,9992836 0,9991555 0,9990084 0,9988402 0,9986484 0,9984306 0,9981842 0,9979061 0,9975934 15 16 0,9997888 0,9997460 0,9996960 0,9996376 0,9995698 0,9994912 0,9994007 0,9992967 0,9991777 0,9990418 17 0,9999301 0,9999147 0,9998963 0,9998745 0,9998487 0,9998185 0,9997830 0,9997417 0,9996938 0,9996382 18 0,9999781 0,9999728 0,9999664 0,9999587 0,9999495 0,9999384 0,9999254 0,9999099 0,9998916 0,9998701 19 0,9999934 0,9999917 0,9999896 0,9999870 0,9999839 0,9999801 0,9999755 0,9999700 0,9999634 0,9999556
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
A B C D E F G H I J K x\ 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8 0 0,0008251 0,0007466 0,0006755 0,0006113 0,0005531 0,0005005 0,0004528 0,0004097 0,0003707 0,0003355 1 0,0066833 0,0061220 0,0056070 0,0051345 0,0047012 0,0043039 0,0039396 0,0036057 0,0032996 0,0030192 2 0,0274801 0,0254735 0,0236067 0,0218706 0,0202567 0,0187569 0,0173637 0,0160698 0,0148687 0,0137540 0,0766991 0,0719171 0,0674060 0,0631530 0,0591455 0,0553713 0,0518188 0,0484766 0,0453338 0,0423801 3 0,1640629 0,1555156 0,1473399 0,1395254 0,1320619 0,1249386 0,1181448 0,1116697 0,1055026 0,0996324 4 0,2881194 0,2758975 0,2640432 0,2525566 0,2414365 0,2306808 0,2202869 0,2102511 0,2005691 0,1912361 5 0,4349197 0,4203557 0,4060323 0,3919617 0,3781547 0,3646211 0,3513693 0,3384069 0,3257401 0,3133743 6 7 0,5838171 0,5689412 0,5541066 0,5393328 0,5246385 0,5100419 0,4955599 0,4812090 0,4670045 0,4529608 8 0,7159635 0,7026683 0,6892244 0,6756510 0,6619671 0,6481916 0,6343434 0,6204411 0,6065031 0,5925473 9 0,8202124 0,8096499 0,7988200 0,7877350 0,7764076 0,7648514 0,7530804 0,7411089 0,7289518 0,7166243 10 0,8942291 0,8866766 0,8788248 0,8706770 0,8622380 0,8535129 0,8445079 0,8352298 0,8256863 0,8158858 11 0,9420035 0,9370942 0,9319188 0,9264745 0,9207587 0,9147699 0,9085071 0,9019701 0,8951593 0,8880760 12 0,9702700 0,9673447 0,9642177 0,9608829 0,9573341 0,9535660 0,9495733 0,9453513 0,9408957 0,9362028 0,9857079 0,9840988 0,9823548 0,9804692 0,9784353 0,9762468 0,9738971 0,9713800 0,9686893 0,9658193 13 0,9935371 0,9927152 0,9918120 0,9908220 0,9897396 0,9885592 0,9872752 0,9858817 0,9843729 0,9827430 14 0,9972429 0,9968511 0,9964145 0,9959293 0,9953917 0,9947975 0,9941426 0,9934226 0,9926329 0,9917690 15 0,9988873 0,9987122 0,9985144 0,9982915 0,9980411 0,9977607 0,9974475 0,9970987 0,9967113 0,9962820 16 17 0,9995741 0,9995005 0,9994161 0,9993197 0,9992100 0,9990854 0,9989445 0,9987855 0,9986065 0,9984057 18 0,9998450 0,9998158 0,9997818 0,9997424 0,9996970 0,9996448 0,9995848 0,9995164 0,9994383 0,9993496 19 0,9999463 0,9999353 0,9999223 0,9999071 0,9998893 0,9998685 0,9998444 0,9998164 0,9997842 0,9997471 20 0,9999822 0,9999783 0,9999736 0,9999680 0,9999613 0,9999535 0,9999443 0,9999334 0,9999208 0,9999060 21 0,9999944 0,9999930 0,9999914 0,9999894 0,9999871 0,9999843 0,9999809 0,9999769 0,9999722 0,9999666
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
A B C D E F G H I J K x\ 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9 0 0,0003035 0,0002747 0,0002485 0,0002249 0,0002035 0,0001841 0,0001666 0,0001507 0,0001364 0,0001234 1 0,0027622 0,0025268 0,0023112 0,0021138 0,0019329 0,0017674 0,0016159 0,0014772 0,0013503 0,0012341 2 0,0127198 0,0117607 0,0108714 0,0100471 0,0092832 0,0085756 0,0079203 0,0073136 0,0067519 0,0062322 0,0396053 0,0369999 0,0345545 0,0322604 0,0301091 0,0280926 0,0262032 0,0244336 0,0227769 0,0212265 3 0,0940485 0,0887402 0,0836969 0,0789083 0,0743640 0,0700540 0,0659685 0,0620978 0,0584325 0,0549636 4 0,1822465 0,1735944 0,1652734 0,1572768 0,1495973 0,1422276 0,1351600 0,1283866 0,1218995 0,1156905 5 0,3013137 0,2895618 0,2781209 0,2669927 0,2561779 0,2456765 0,2354877 0,2256103 0,2160422 0,2067808 6 7 0,4390915 0,4254093 0,4119258 0,3986518 0,3855971 0,3727708 0,3601808 0,3478344 0,3357380 0,3238970 8 0,5785916 0,5646530 0,5507483 0,5368938 0,5231050 0,5093971 0,4957845 0,4822809 0,4688994 0,4556526 9 0,7041416 0,6915195 0,6787736 0,6659197 0,6529737 0,6399512 0,6268680 0,6137396 0,6005814 0,5874082 10 0,8058371 0,7955500 0,7850345 0,7743015 0,7633620 0,7522277 0,7409107 0,7294234 0,7177783 0,7059883 11 0,8807220 0,8731000 0,8652132 0,8570657 0,8486620 0,8400076 0,8311082 0,8219703 0,8126012 0,8030084 12 0,9312693 0,9260925 0,9206702 0,9150007 0,9090829 0,9029164 0,8965013 0,8898381 0,8829282 0,8757734 13 0,9627642 0,9595186 0,9560773 0,9524356 0,9485889 0,9445331 0,9402644 0,9357794 0,9310752 0,9261492 0,9809862 0,9790967 0,9770687 0,9748965 0,9725746 0,9700976 0,9674600 0,9646568 0,9616829 0,9585337 14 0,9908261 0,9897994 0,9886839 0,9874747 0,9861666 0,9847546 0,9832335 0,9815982 0,9798435 0,9779643 15 0,9958075 0,9952845 0,9947093 0,9940782 0,9933873 0,9926327 0,9918103 0,9909159 0,9899453 0,9888941 16 0,9981811 0,9979303 0,9976511 0,9973411 0,9969976 0,9966181 0,9961996 0,9957392 0,9952339 0,9946804 17 18 0,9992491 0,9991356 0,9990076 0,9988638 0,9987025 0,9985222 0,9983211 0,9980973 0,9978488 0,9975736 19 0,9997045 0,9996558 0,9996002 0,9995370 0,9994653 0,9993841 0,9992925 0,9991895 0,9990737 0,9989440 20 0,9998889 0,9998690 0,9998461 0,9998197 0,9997894 0,9997547 0,9997151 0,9996700 0,9996188 0,9995607 21 0,9999600 0,9999523 0,9999433 0,9999328 0,9999206 0,9999065 0,9998902 0,9998714 0,9998498 0,9998250 22 0,9999862 0,9999834 0,9999800 0,9999760 0,9999713 0,9999658 0,9999594 0,9999519 0,9999432 0,9999332
250
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
A B C D E F G H I J K x\ 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10 0 0,0001117 0,0001010 0,0000914 0,0000827 0,0000749 0,0000677 0,0000613 0,0000555 0,0000502 0,0000454 1 0,0011278 0,0010306 0,0009417 0,0008603 0,0007859 0,0007179 0,0006557 0,0005989 0,0005469 0,0004994 0,0057513 0,0053066 0,0048953 0,0045151 0,0041636 0,0038389 0,0035388 0,0032617 0,0030057 0,0027694 2 0,0197760 0,0184196 0,0171516 0,0159666 0,0148596 0,0138259 0,0128608 0,0119601 0,0111198 0,0103361 3 0,0516822 0,0485796 0,0456475 0,0428778 0,0402627 0,0377947 0,0354665 0,0332713 0,0312021 0,0292527 4 5 0,1097514 0,1040739 0,0986498 0,0934707 0,0885284 0,0838148 0,0793217 0,0750411 0,0709651 0,0670860 6 0,1978230 0,1891652 0,1808034 0,1727330 0,1649492 0,1574470 0,1502209 0,1432653 0,1365741 0,1301414 7 0,3123162 0,3009995 0,2899503 0,2791709 0,2686632 0,2584284 0,2484670 0,2387791 0,2293640 0,2202206 8 0,4425521 0,4296090 0,4168335 0,4042354 0,3918235 0,3796060 0,3675903 0,3557835 0,3441914 0,3328197 9 0,5742351 0,5610764 0,5479463 0,5348584 0,5218260 0,5088621 0,4959788 0,4831882 0,4705016 0,4579297 0,6940666 0,6820264 0,6698811 0,6576439 0,6453284 0,6329479 0,6205157 0,6080449 0,5955487 0,5830398 10 0,7932000 0,7831847 0,7729714 0,7625698 0,7519896 0,7412410 0,7303345 0,7192809 0,7080910 0,6967761 11 0,8683761 0,8607393 0,8528665 0,8447617 0,8364297 0,8278755 0,8191048 0,8101236 0,8009385 0,7915565 12 13 0,9209994 0,9156241 0,9100221 0,9041928 0,8981359 0,8918517 0,8853410 0,8786050 0,8716454 0,8644644 14 0,9552046 0,9516913 0,9479898 0,9440965 0,9400080 0,9357212 0,9312333 0,9265420 0,9216453 0,9165415 15 0,9759557 0,9738125 0,9715298 0,9691029 0,9665270 0,9637976 0,9609103 0,9578608 0,9546452 0,9512596 16 0,9877579 0,9865321 0,9852124 0,9837941 0,9822726 0,9806434 0,9789020 0,9770436 0,9750639 0,9729584 17 0,9940755 0,9934157 0,9926976 0,9919175 0,9910717 0,9901564 0,9891678 0,9881019 0,9869548 0,9857224 0,9972694 0,9969340 0,9965650 0,9961597 0,9957156 0,9952300 0,9946999 0,9941226 0,9934948 0,9928135 18 0,9987992 0,9986376 0,9984579 0,9982585 0,9980376 0,9977935 0,9975242 0,9972279 0,9969025 0,9965457 19 0,9994952 0,9994213 0,9993382 0,9992449 0,9991405 0,9990239 0,9988940 0,9987496 0,9985893 0,9984117 20 21 0,9997968 0,9997646 0,9997280 0,9996864 0,9996395 0,9995864 0,9995267 0,9994597 0,9993845 0,9993003 22 0,9999215 0,9999081 0,9998928 0,9998751 0,9998549 0,9998319 0,9998057 0,9997760 0,9997423 0,9997043 23 0,9999709 0,9999656 0,9999594 0,9999522 0,9999439 0,9999344 0,9999234 0,9999108 0,9998963 0,9998799 24 0,9999896 0,9999876 0,9999852 0,9999824 0,9999791 0,9999753 0,9999709 0,9999658 0,9999599 0,9999531
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
A B C D E F G H I J K x\ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0,0000167 0,0000061 0,0000023 0,0000008 0,0000003 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 1 0,0002004 0,0000799 0,0000316 0,0000125 0,0000049 0,0000019 0,0000007 0,0000003 0,0000001 0,0000000 2 0,0012109 0,0005223 0,0002226 0,0000940 0,0000393 0,0000163 0,0000067 0,0000028 0,0000011 0,0000005 3 0,0049159 0,0022918 0,0010503 0,0004742 0,0002114 0,0000931 0,0000406 0,0000176 0,0000075 0,0000032 4 0,0151046 0,0076004 0,0037402 0,0018052 0,0008566 0,0004004 0,0001847 0,0000842 0,0000380 0,0000169 5 0,0375198 0,0203410 0,0107339 0,0055320 0,0027924 0,0013838 0,0006745 0,0003240 0,0001536 0,0000719 6 0,0786144 0,0458223 0,0258869 0,0142279 0,0076319 0,0040060 0,0020624 0,0010434 0,0005197 0,0002551 7 0,1431915 0,0895045 0,0540282 0,0316197 0,0180022 0,0099998 0,0054330 0,0028935 0,0015133 0,0007786 8 0,2319851 0,1550278 0,0997579 0,0620552 0,0374465 0,0219873 0,0125955 0,0070560 0,0038733 0,0020873 9 0,3405106 0,2423922 0,1658119 0,1093994 0,0698537 0,0432983 0,0261247 0,0153811 0,0088556 0,0049954 10 0,4598887 0,3472294 0,2516820 0,1756812 0,1184644 0,0773960 0,0491243 0,0303663 0,0183218 0,0108117 11 0,5792668 0,4615973 0,3531649 0,2600399 0,1847518 0,1269927 0,0846691 0,0548874 0,0346726 0,0213868 12 0,6886967 0,5759652 0,4631047 0,3584584 0,2676110 0,1931215 0,1350242 0,0916692 0,0605614 0,0390120 13 0,7812912 0,6815356 0,5730446 0,4644476 0,3632178 0,2745109 0,2008733 0,1425978 0,0983988 0,0661276 14 0,8540440 0,7720245 0,6751315 0,5704367 0,4656537 0,3675274 0,2808328 0,2080774 0,1497495 0,1048643 15 0,9073961 0,8444157 0,7636069 0,6693599 0,5680896 0,4667449 0,3714537 0,2866529 0,2147938 0,1565131 16 0,9440756 0,8987090 0,8354931 0,7559177 0,6641232 0,5659624 0,4677383 0,3750504 0,2920339 0,2210742 17 0,9678095 0,9370337 0,8904650 0,8272006 0,7488588 0,6593436 0,5640229 0,4686477 0,3783611 0,2970284 18 0,9823135 0,9625835 0,9301669 0,8826429 0,8194717 0,7423491 0,6549584 0,5622450 0,4694843 0,3814219 19 0,9907105 0,9787202 0,9573313 0,9234951 0,8752188 0,8122485 0,7363217 0,6509161 0,5606074 0,4702573 20 0,9953289 0,9884023 0,9749882 0,9520916 0,9170291 0,8681680 0,8054805 0,7307202 0,6471744 0,5590926 21 0,9977481 0,9939349 0,9859186 0,9711559 0,9468936 0,9107734 0,8614663 0,7991236 0,7254969 0,6436976 22 0,9989577 0,9969526 0,9923775 0,9832878 0,9672558 0,9417591 0,9047280 0,8550901 0,7931390 0,7206113 23 0,9995361 0,9985271 0,9960282 0,9906724 0,9805354 0,9633143 0,9367040 0,8988899 0,8490173 0,7874928 24 0,9998013 0,9993144 0,9980057 0,9949801 0,9888352 0,9776845 0,9593537 0,9317398 0,8932543 0,8432274 25 0,9999179 0,9996922 0,9990340 0,9973924 0,9938151 0,9868814 0,9747555 0,9553917 0,9268744 0,8878150 26 0,9999673 0,9998667 0,9995481 0,9986913 0,9966881 0,9925411 0,9848259 0,9717661 0,9514430 0,9221132 27 0,9999874 0,9999442 0,9997957 0,9993649 0,9982842 0,9958949 0,9911665 0,9826824 0,9687320 0,9475193 28 0,9999953 0,9999774 0,9999106 0,9997016 0,9991393 0,9978114 0,9950162 0,9897000 0,9804638 0,9656665 29 0,9999983 0,9999911 0,9999621 0,9998642 0,9995816 0,9988688 0,9972728 0,9940557 0,9881501 0,9781818 30 0,9999994 0,9999966 0,9999844 0,9999401 0,9998027 0,9994327 0,9985516 0,9966692 0,9930181 0,9865253 31 0,9999998 0,9999988 0,9999938 0,9999743 0,9999097 0,9997238 0,9992529 0,9981867 0,9960018 0,9919082 32 0,9999999 0,9999996 0,9999976 0,9999893 0,9999598 0,9998693 0,9996255 0,9990402 0,9977733 0,9952726 33 1,0000000 0,9999998 0,9999991 0,9999957 0,9999826 0,9999399 0,9998174 0,9995058 0,9987933 0,9973116 34 1,0000000 0,9999999 0,9999997 0,9999983 0,9999927 0,9999731 0,9999134 0,9997523 0,9993633 0,9985110 35 1,0000000 1,0000000 0,9999999 0,9999994 0,9999970 0,9999883 0,9999600 0,9998791 0,9996727 0,9991963 36 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999998 0,9999988 0,9999950 0,9999820 0,9999425 0,9998360 0,9995771 37 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999999 0,9999995 0,9999979 0,9999921 0,9999733 0,9999198 0,9997829 38 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999998 0,9999992 0,9999966 0,9999879 0,9999618 0,9998912 39 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999999 0,9999997 0,9999986 0,9999947 0,9999822 0,9999468 40 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999999 0,9999994 0,9999977 0,9999919 0,9999746 41 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999998 0,9999990 0,9999964 0,9999881 42 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999999 0,9999996 0,9999984 0,9999946 43 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999998 0,9999993 0,9999976 44 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999999 0,9999997 0,9999989 45 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999999 0,9999995 46 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999998 47 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,9999999
251
Tabela 7. Površine ispod standardne normalne raspodjele od 0 do z Vrijednosti u tabeli izračunate su posredstvom funkcije NORMSDIST prema inicijalnoj sintaksi: “=NORMSDIST(B$1+$A2)-0,5” i predstavljaju površinu ispod normalne krive x2 z od 0 (nula) do z. 0,4 1 Površina iz tabele ( z ) e 2 dx 2 0 0,3
0,2
0,1
0,0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
A z 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4
B 0 0,000000 0,039828 0,079260 0,117911 0,155422 0,191462 0,225747 0,258036 0,288145 0,315940 0,341345 0,364334 0,384930 0,403199 0,419243 0,433193 0,445201 0,455435 0,464070 0,471284 0,477250 0,482136 0,486097 0,489276 0,491802 0,493790 0,495339 0,496533 0,497445 0,498134 0,498650 0,499032 0,499313 0,499517 0,499663 0,499767 0,499841 0,499892 0,499928 0,499952 0,499968
C 0,01 0,003989 0,043795 0,083166 0,121719 0,159097 0,194974 0,229069 0,261148 0,291030 0,318589 0,343752 0,366500 0,386860 0,404902 0,420730 0,434478 0,446301 0,456367 0,464852 0,471933 0,477784 0,482571 0,486447 0,489556 0,492024 0,493963 0,495473 0,496636 0,497523 0,498193 0,498694 0,499064 0,499336 0,499533 0,499675 0,499776 0,499847 0,499896 0,499930 0,499954 0,499970
D 0,02 0,007978 0,047758 0,087064 0,125516 0,162757 0,198468 0,232371 0,264238 0,293892 0,321214 0,346136 0,368643 0,388767 0,406582 0,422196 0,435744 0,447384 0,457284 0,465621 0,472571 0,478308 0,482997 0,486791 0,489830 0,492240 0,494132 0,495603 0,496736 0,497599 0,498250 0,498736 0,499096 0,499359 0,499550 0,499687 0,499784 0,499853 0,499900 0,499933 0,499956 0,499971
E 0,03 0,011967 0,051717 0,090954 0,129300 0,166402 0,201944 0,235653 0,267305 0,296731 0,323814 0,348495 0,370762 0,390651 0,408241 0,423641 0,436992 0,448449 0,458185 0,466375 0,473197 0,478822 0,483414 0,487126 0,490097 0,492451 0,494297 0,495731 0,496833 0,497673 0,498305 0,498777 0,499126 0,499381 0,499566 0,499698 0,499792 0,499858 0,499904 0,499936 0,499958 0,499972
z
F 0,04 0,015953 0,055670 0,094835 0,133072 0,170031 0,205402 0,238914 0,270350 0,299546 0,326391 0,350830 0,372857 0,392512 0,409877 0,425066 0,438220 0,449497 0,459071 0,467116 0,473810 0,479325 0,483823 0,487455 0,490358 0,492656 0,494457 0,495855 0,496928 0,497744 0,498359 0,498817 0,499155 0,499402 0,499581 0,499709 0,499800 0,499864 0,499908 0,499938 0,499959 0,499973
G 0,05 0,019939 0,059618 0,098706 0,136831 0,173645 0,208840 0,242154 0,273373 0,302338 0,328944 0,353141 0,374928 0,394350 0,411492 0,426471 0,439429 0,450529 0,459941 0,467843 0,474412 0,479818 0,484222 0,487776 0,490613 0,492857 0,494614 0,495975 0,497020 0,497814 0,498411 0,498856 0,499184 0,499423 0,499596 0,499720 0,499807 0,499869 0,499912 0,499941 0,499961 0,499974
H 0,06 0,023922 0,063559 0,102568 0,140576 0,177242 0,212260 0,245373 0,276373 0,305106 0,331472 0,355428 0,376976 0,396165 0,413085 0,427855 0,440620 0,451543 0,460796 0,468557 0,475002 0,480301 0,484614 0,488089 0,490863 0,493053 0,494766 0,496093 0,497110 0,497882 0,498462 0,498893 0,499211 0,499443 0,499610 0,499730 0,499815 0,499874 0,499915 0,499943 0,499963 0,499975
I 0,07 0,027903 0,067495 0,106420 0,144309 0,180822 0,215661 0,248571 0,279350 0,307850 0,333977 0,357690 0,378999 0,397958 0,414656 0,429219 0,441792 0,452540 0,461636 0,469258 0,475581 0,480774 0,484997 0,488396 0,491106 0,493244 0,494915 0,496207 0,497197 0,497948 0,498511 0,498930 0,499238 0,499462 0,499624 0,499740 0,499821 0,499879 0,499918 0,499946 0,499964 0,499976
J 0,08 0,031881 0,071424 0,110261 0,148027 0,184386 0,219043 0,251748 0,282305 0,310570 0,336457 0,359929 0,381000 0,399727 0,416207 0,430563 0,442947 0,453521 0,462462 0,469946 0,476148 0,481237 0,485371 0,488696 0,491344 0,493431 0,495060 0,496319 0,497282 0,498012 0,498559 0,498965 0,499264 0,499481 0,499638 0,499749 0,499828 0,499883 0,499922 0,499948 0,499966 0,499977
K 0,09 0,035856 0,075345 0,114092 0,151732 0,187933 0,222405 0,254903 0,285236 0,313267 0,338913 0,362143 0,382977 0,401475 0,417736 0,431888 0,444083 0,454486 0,463273 0,470621 0,476705 0,481691 0,485738 0,488989 0,491576 0,493613 0,495201 0,496427 0,497365 0,498074 0,498605 0,498999 0,499289 0,499499 0,499650 0,499758 0,499835 0,499888 0,499925 0,499950 0,499967 0,499978
Kada upisana formula “=NORMSDIST(B$1+$A2)-0,5” postavi rezultat u selektovanoj ćeliji B2, potrebno je ponovo označiti ovu ćeliju a zatim mišem (uz držanje lijeve tipke) koji pokazuje na donji desni ugao ćelije (pojavi se crni znak plus), povući prvo po širini a zatim po dužini tabele. Vrijednosti u tabeli postavljaju se tako u samo nekoliko poteza nakon definisanja formata tabele.
252
Tabela 7.1 Površine ispod standardne normalne raspodjele od - do z Vrijednosti u tabeli izračunate su posredstvom funkcije NORMSDIST prema inicijalnoj sintaksi:=NORMSDIST(B$1+$A2) i predstavljaju površinu ispod normalne krive od - do z. F( z )
1 2
z
e
x2 2
dx
z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
A z 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4
B 0 0,500000 0,539828 0,579260 0,617911 0,655422 0,691462 0,725747 0,758036 0,788145 0,815940 0,841345 0,864334 0,884930 0,903199 0,919243 0,933193 0,945201 0,955435 0,964070 0,971284 0,977250 0,982136 0,986097 0,989276 0,991802 0,993790 0,995339 0,996533 0,997445 0,998134 0,998650 0,999032 0,999313 0,999517 0,999663 0,999767 0,999841 0,999892 0,999928 0,999952 0,999968
C 0,01 0,503989 0,543795 0,583166 0,621719 0,659097 0,694974 0,729069 0,761148 0,791030 0,818589 0,843752 0,866500 0,886860 0,904902 0,920730 0,934478 0,946301 0,956367 0,964852 0,971933 0,977784 0,982571 0,986447 0,989556 0,992024 0,993963 0,995473 0,996636 0,997523 0,998193 0,998694 0,999064 0,999336 0,999533 0,999675 0,999776 0,999847 0,999896 0,999930 0,999954 0,999970
D 0,02 0,507978 0,547758 0,587064 0,625516 0,662757 0,698468 0,732371 0,764238 0,793892 0,821214 0,846136 0,868643 0,888767 0,906582 0,922196 0,935744 0,947384 0,957284 0,965621 0,972571 0,978308 0,982997 0,986791 0,989830 0,992240 0,994132 0,995603 0,996736 0,997599 0,998250 0,998736 0,999096 0,999359 0,999550 0,999687 0,999784 0,999853 0,999900 0,999933 0,999956 0,999971
E 0,03 0,511967 0,551717 0,590954 0,629300 0,666402 0,701944 0,735653 0,767305 0,796731 0,823814 0,848495 0,870762 0,890651 0,908241 0,923641 0,936992 0,948449 0,958185 0,966375 0,973197 0,978822 0,983414 0,987126 0,990097 0,992451 0,994297 0,995731 0,996833 0,997673 0,998305 0,998777 0,999126 0,999381 0,999566 0,999698 0,999792 0,999858 0,999904 0,999936 0,999958 0,999972
F 0,04 0,515953 0,555670 0,594835 0,633072 0,670031 0,705402 0,738914 0,770350 0,799546 0,826391 0,850830 0,872857 0,892512 0,909877 0,925066 0,938220 0,949497 0,959071 0,967116 0,973810 0,979325 0,983823 0,987455 0,990358 0,992656 0,994457 0,995855 0,996928 0,997744 0,998359 0,998817 0,999155 0,999402 0,999581 0,999709 0,999800 0,999864 0,999908 0,999938 0,999959 0,999973
G 0,05 0,519939 0,559618 0,598706 0,636831 0,673645 0,708840 0,742154 0,773373 0,802338 0,828944 0,853141 0,874928 0,894350 0,911492 0,926471 0,939429 0,950529 0,959941 0,967843 0,974412 0,979818 0,984222 0,987776 0,990613 0,992857 0,994614 0,995975 0,997020 0,997814 0,998411 0,998856 0,999184 0,999423 0,999596 0,999720 0,999807 0,999869 0,999912 0,999941 0,999961 0,999974
H 0,06 0,523922 0,563559 0,602568 0,640576 0,677242 0,712260 0,745373 0,776373 0,805106 0,831472 0,855428 0,876976 0,896165 0,913085 0,927855 0,940620 0,951543 0,960796 0,968557 0,975002 0,980301 0,984614 0,988089 0,990863 0,993053 0,994766 0,996093 0,997110 0,997882 0,998462 0,998893 0,999211 0,999443 0,999610 0,999730 0,999815 0,999874 0,999915 0,999943 0,999963 0,999975
I 0,07 0,527903 0,567495 0,606420 0,644309 0,680822 0,715661 0,748571 0,779350 0,807850 0,833977 0,857690 0,878999 0,897958 0,914656 0,929219 0,941792 0,952540 0,961636 0,969258 0,975581 0,980774 0,984997 0,988396 0,991106 0,993244 0,994915 0,996207 0,997197 0,997948 0,998511 0,998930 0,999238 0,999462 0,999624 0,999740 0,999821 0,999879 0,999918 0,999946 0,999964 0,999976
J 0,08 0,531881 0,571424 0,610261 0,648027 0,684386 0,719043 0,751748 0,782305 0,810570 0,836457 0,859929 0,881000 0,899727 0,916207 0,930563 0,942947 0,953521 0,962462 0,969946 0,976148 0,981237 0,985371 0,988696 0,991344 0,993431 0,995060 0,996319 0,997282 0,998012 0,998559 0,998965 0,999264 0,999481 0,999638 0,999749 0,999828 0,999883 0,999922 0,999948 0,999966 0,999977
K 0,09 0,535856 0,575345 0,614092 0,651732 0,687933 0,722405 0,754903 0,785236 0,813267 0,838913 0,862143 0,882977 0,901475 0,917736 0,931888 0,944083 0,954486 0,963273 0,970621 0,976705 0,981691 0,985738 0,988989 0,991576 0,993613 0,995201 0,996427 0,997365 0,998074 0,998605 0,998999 0,999289 0,999499 0,999650 0,999758 0,999835 0,999888 0,999925 0,999950 0,999967 0,999978
Kada upisana formula “=NORMSDIST(B$1+$A2)” postavi rezultat u selektovanoj ćeliji B2, potrebno je ponovo označiti ovu ćeliju, a zatim mišem (uz držanje lijeve tipke) koji pokazuje na donji desni ugao ćelije (pojavi se crni znak plus), povući prvo po širini a zatim po dužini tabele. Vrijednosti u tabeli postavljaju se tako u samo nekoliko poteza nakon definisanja formata tabele. 253
Tabela 7.2 Površine ispod standardne normalne raspodjele od -z do z Vrijednosti u tabeli izračunate su posredstvom funkcije NORMSDIST prema inicijalnoj sintaksi u B2: “=NORMSDIST(B$1+$A2)- NORMSDIST(-(B$1+$A2))” i predstavljaju x2 z površinu ispod normalne krive od -z do z. 1 2 ( z ) e 2 dx 2 z
-z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
A z 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4
B 0 0,000000 0,079656 0,158519 0,235823 0,310843 0,382925 0,451494 0,516073 0,576289 0,631880 0,682689 0,728668 0,769861 0,806399 0,838487 0,866386 0,890401 0,910869 0,928139 0,942567 0,954500 0,964271 0,972193 0,978552 0,983605 0,987581 0,990678 0,993066 0,994890 0,996268 0,997300 0,998065 0,998626 0,999033 0,999326 0,999535 0,999682 0,999784 0,999855 0,999904 0,999937
C 0,01 0,007979 0,087591 0,166332 0,243439 0,318194 0,389949 0,458138 0,522296 0,582060 0,637178 0,687505 0,733001 0,773721 0,809804 0,841460 0,868957 0,892602 0,912734 0,929704 0,943867 0,955569 0,965142 0,972895 0,979112 0,984047 0,987927 0,990946 0,993272 0,995046 0,996386 0,997387 0,998129 0,998673 0,999067 0,999350 0,999552 0,999694 0,999793 0,999861 0,999908 0,999939
D 0,02 0,015957 0,095517 0,174129 0,251032 0,325514 0,396936 0,464742 0,528475 0,587784 0,642427 0,692272 0,737286 0,777535 0,813165 0,844392 0,871489 0,894768 0,914568 0,931241 0,945142 0,956617 0,965994 0,973581 0,979659 0,984479 0,988264 0,991207 0,993472 0,995198 0,996500 0,997472 0,998191 0,998718 0,999100 0,999374 0,999568 0,999705 0,999801 0,999867 0,999911 0,999942
0
E 0,03 0,023933 0,103434 0,181908 0,258600 0,332804 0,403888 0,471306 0,534610 0,593461 0,647629 0,696990 0,741524 0,781303 0,816482 0,847283 0,873983 0,896899 0,916370 0,932750 0,946393 0,957644 0,966829 0,974253 0,980194 0,984901 0,988594 0,991461 0,993666 0,995345 0,996610 0,997554 0,998252 0,998762 0,999131 0,999396 0,999584 0,999717 0,999808 0,999872 0,999915 0,999944
z
F 0,04 0,031907 0,111340 0,189670 0,266143 0,340063 0,410803 0,477828 0,540700 0,599092 0,652782 0,701660 0,745714 0,785024 0,819755 0,850133 0,876440 0,898995 0,918141 0,934232 0,947620 0,958650 0,967645 0,974909 0,980716 0,985313 0,988915 0,991709 0,993856 0,995489 0,996718 0,997634 0,998310 0,998805 0,999162 0,999418 0,999600 0,999727 0,999816 0,999877 0,999918 0,999947
G 0,05 0,039878 0,119235 0,197413 0,273661 0,347290 0,417681 0,484308 0,546745 0,604675 0,657888 0,706282 0,749856 0,788700 0,822984 0,852941 0,878858 0,901057 0,919882 0,935687 0,948824 0,959636 0,968445 0,975551 0,981227 0,985714 0,989228 0,991951 0,994040 0,995628 0,996822 0,997711 0,998367 0,998846 0,999192 0,999439 0,999615 0,999738 0,999823 0,999882 0,999922 0,999949
H 0,06 0,047845 0,127119 0,205136 0,281153 0,354484 0,424521 0,490746 0,552746 0,610211 0,662945 0,710855 0,753951 0,792331 0,826170 0,855710 0,881240 0,903086 0,921592 0,937115 0,950004 0,960602 0,969227 0,976179 0,981725 0,986106 0,989533 0,992186 0,994220 0,995763 0,996923 0,997786 0,998422 0,998886 0,999220 0,999460 0,999629 0,999748 0,999830 0,999887 0,999925 0,999951
I 0,07 0,055806 0,134990 0,212840 0,288617 0,361645 0,431322 0,497142 0,558700 0,615700 0,667954 0,715381 0,757999 0,795915 0,829313 0,858438 0,883585 0,905081 0,923273 0,938516 0,951162 0,961548 0,969993 0,976792 0,982212 0,986489 0,989830 0,992415 0,994394 0,995895 0,997022 0,997859 0,998475 0,998924 0,999248 0,999479 0,999643 0,999757 0,999837 0,999891 0,999928 0,999953
J 0,08 0,063763 0,142847 0,220522 0,296054 0,368773 0,438085 0,503496 0,564609 0,621141 0,672914 0,719858 0,762000 0,799455 0,832413 0,861127 0,885893 0,907043 0,924924 0,939892 0,952297 0,962475 0,970743 0,977392 0,982687 0,986862 0,990120 0,992638 0,994564 0,996023 0,997117 0,997930 0,998527 0,998962 0,999275 0,999498 0,999656 0,999767 0,999843 0,999896 0,999931 0,999955
K 0,09 0,071713 0,150691 0,228184 0,303463 0,375866 0,444809 0,509806 0,570472 0,626534 0,677826 0,724287 0,765953 0,802949 0,835471 0,863776 0,888165 0,908972 0,926546 0,941242 0,953409 0,963382 0,971476 0,977979 0,983152 0,987226 0,990402 0,992855 0,994729 0,996147 0,997210 0,997998 0,998577 0,998998 0,999301 0,999517 0,999669 0,999776 0,999849 0,999900 0,999934 0,999957
Kada upisana formula “=NORMSDIST(B$1+$A2)- NORMSDIST(-(B$1+$A2))” postavi rezultat u selektovanoj ćeliji B2, potrebno je ponovo označiti ovu ćeliju a zatim mišem (uz držanje lijeve tipke) koji pokazuje na donji desni ugao ćelije (pojavi se crni znak plus), povući prvo po širini a zatim po dužini tabele. Vrijednosti u tabeli postavljaju se tako u samo nekoliko poteza nakon definisanja formata tabele. 254
Tabela 8. Studentova t raspodjela Vrijednosti u tabeli izračunate su posredstvom funkcije TINV prema inicijalnoj sintaksi: =TINV(B$3;$A4). c je interval povjerenja nivo značajnosti za dvosmjerni test ' ''
nivo značajnosti za jednosmjerni test
'
t
-t
A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
c ' d.f.'' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 200 300 400 500 600 700 800 1000000000
B 0,75 0,125 0,25 2,414213 1,603566 1,422625 1,344397 1,300949 1,273349 1,254278 1,240319 1,229660 1,221256 1,214460 1,208853 1,204146 1,200140 1,196689 1,193686 1,191047 1,188712 1,186629 1,184761 1,183076 1,181548 1,180157 1,178885 1,177716 1,176639 1,175645 1,174722 1,173864 1,173065 1,169765 1,167302 1,165394 1,163871 1,162629 1,161595 1,160722 1,159975 1,159328 1,158763 1,158264 1,157822 1,157426 1,157071 1,153700 1,152581 1,152023 1,151687 1,151463 1,151304 1,151185 1,150355
C 0,8 0,1 0,2 3,077685 1,885619 1,637745 1,533206 1,475885 1,439755 1,414924 1,396816 1,383029 1,372184 1,363430 1,356218 1,350172 1,345031 1,340605 1,336757 1,333379 1,330391 1,327728 1,325341 1,323187 1,321237 1,319461 1,317835 1,316346 1,314972 1,313704 1,312526 1,311435 1,310416 1,306212 1,303076 1,300650 1,298713 1,297135 1,295821 1,294711 1,293763 1,292942 1,292224 1,291592 1,291029 1,290526 1,290075 1,285798 1,284379 1,283672 1,283247 1,282964 1,282763 1,282610 1,281560
D 0,85 0,075 0,15 4,165304 2,281931 1,924318 1,778192 1,699364 1,650174 1,616590 1,592221 1,573735 1,559235 1,547560 1,537956 1,529920 1,523094 1,517228 1,512130 1,507660 1,503709 1,500189 1,497035 1,494193 1,491619 1,489277 1,487135 1,485171 1,483363 1,481692 1,480144 1,478704 1,477365 1,471838 1,467720 1,464534 1,461995 1,459923 1,458202 1,456747 1,455505 1,454428 1,453488 1,452659 1,451924 1,451267 1,450676 1,445081 1,443227 1,442302 1,441747 1,441376 1,441113 1,440915 1,439540
E 0,9 0,05 0,1 6,313749 2,919987 2,353363 2,131846 2,015049 1,943181 1,894578 1,859548 1,833114 1,812462 1,795884 1,782287 1,770932 1,761309 1,753051 1,745884 1,739606 1,734063 1,729131 1,724718 1,720744 1,717144 1,713870 1,710882 1,708140 1,705616 1,703288 1,701130 1,699127 1,697260 1,689573 1,683852 1,679427 1,675905 1,673034 1,670649 1,668636 1,666915 1,665426 1,664125 1,662979 1,661961 1,661051 1,660235 1,652509 1,649948 1,648673 1,647907 1,647397 1,647034 1,646761 1,644864
F 0,95 0,025 0,05 12,706150 4,302656 3,182449 2,776451 2,570578 2,446914 2,364623 2,306006 2,262159 2,228139 2,200986 2,178813 2,160368 2,144789 2,131451 2,119905 2,109819 2,100924 2,093025 2,085962 2,079614 2,073875 2,068655 2,063898 2,059537 2,055531 2,051829 2,048409 2,045231 2,042270 2,030110 2,021075 2,014103 2,008560 2,004044 2,000297 1,997137 1,994435 1,992103 1,990065 1,988269 1,986673 1,985250 1,983972 1,971894 1,967901 1,965914 1,964718 1,963926 1,963358 1,962935 1,959961
'
c
G 0,96 0,02 0,04 15,894475 4,848735 3,481910 2,998531 2,756515 2,612242 2,516754 2,448987 2,398438 2,359311 2,328143 2,302722 2,281604 2,263778 2,248544 2,235356 2,223842 2,213701 2,204702 2,196657 2,189427 2,182892 2,176957 2,171546 2,166589 2,162028 2,157822 2,153938 2,150327 2,146967 2,133156 2,122911 2,115003 2,108718 2,103607 2,099364 2,095785 2,092729 2,090082 2,087777 2,085744 2,083943 2,082334 2,080883 2,067227 2,062716 2,060469 2,059123 2,058223 2,057582 2,057104 2,053748
H I J 0,97 0,98 0,99 0,015 0,01 0,005 0,03 0,02 0,01 21,205051 31,820964 63,655898 5,642796 6,964547 9,924988 3,896057 4,540707 5,840848 3,297628 3,746936 4,604080 3,002879 3,364930 4,032117 2,828929 3,142668 3,707428 2,714569 2,997949 3,499481 2,633815 2,896468 3,355381 2,573806 2,821434 3,249843 2,527486 2,763772 3,169262 2,490669 2,718079 3,105815 2,460702 2,680990 3,054538 2,435845 2,650304 3,012283 2,414899 2,624492 2,976849 2,397010 2,602483 2,946726 2,381548 2,583492 2,920788 2,368051 2,566940 2,898232 2,356182 2,552379 2,878442 2,345651 2,539482 2,860943 2,336246 2,527977 2,845336 2,327788 2,517645 2,831366 2,320157 2,508323 2,818761 2,313227 2,499874 2,807337 2,306915 2,492161 2,796951 2,301131 2,485103 2,787438 2,295810 2,478628 2,778725 2,290917 2,472661 2,770685 2,286379 2,467141 2,763263 2,282177 2,462020 2,756387 2,278266 2,457264 2,749985 2,262186 2,437719 2,723809 2,250272 2,423258 2,704455 2,241086 2,412116 2,689594 2,233783 2,403267 2,677789 2,227853 2,396082 2,668221 2,222923 2,390116 2,660272 2,218776 2,385095 2,653615 2,215229 2,380802 2,647903 2,212164 2,377101 2,642992 2,209486 2,373872 2,638699 2,207130 2,371016 2,634915 2,205043 2,368497 2,631568 2,203178 2,366241 2,628585 2,201496 2,364213 2,625893 2,185689 2,345132 2,600627 2,180459 2,338838 2,592315 2,177858 2,335710 2,588167 2,176303 2,333827 2,585693 2,175266 2,332581 2,584056 2,174520 2,331690 2,582874 2,173965 2,331017 2,581983 2,170091 2,326342 2,575835
255
Tabela 9. 2 raspodjela 2 vrijednosti u tabeli izračunate su posredstvom funkcije CHIINV prema inicijalnoj sintaksi prikazanoj na slici ispod. za d.f.=1 ili 2 za d.f.>=3
A 1 d.f. \ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 31 40 32 50 33 60 34 70 35 80 36 90 37 100 38
B 0,995 0,0000393 0,0100247 0,0717235 0,2069836 0,4117508 0,6757334 0,9892509 1,3444027 1,7349114 2,1558454 2,6032019 3,0737850 3,5650420 4,0746588 4,6008741 5,1421643 5,6972737 6,2647659 6,8439233 7,4338114 8,0336021 8,6426806 9,2603831 9,8861987 10,5196471 11,1602178 11,8076550 12,4612811 13,1210666 13,7866817 20,7065768 27,9908247 35,5343972 43,2753050 51,1719331 59,1963270 67,3275332
C 0,99 0,0001571 0,0201004 0,1148316 0,2971068 0,5542969 0,8720833 1,2390317 1,6465062 2,0878894 2,5581988 3,0534957 3,5705513 4,1068996 4,6604155 5,2293559 5,8121968 6,4077420 7,0149034 7,6326976 8,2603684 8,8971724 9,5424944 10,1956888 10,8563494 11,5239511 12,1981769 12,8784685 13,5646661 14,2564062 14,9534644 22,1642012 29,7067253 37,4847956 45,4417001 53,5399831 61,7540186 70,0649951
D 0,975 0,0009821 0,0506357 0,2157949 0,4844190 0,8312089 1,2373419 1,6898640 2,1797247 2,7003887 3,2469635 3,8157424 4,4037775 5,0087376 5,6287238 6,2621229 6,9076641 7,5641786 8,2307372 8,9065144 9,5907725 10,2829066 10,9823302 11,6885343 12,4011458 13,1197074 13,8438811 14,5733732 15,3078543 16,0470506 16,7907558 24,4330579 32,3573845 40,4817067 48,7575357 57,1531519 65,6465922 74,2218818
E 0,95 0,0039322 0,1025862 0,3518460 0,7107241 1,1454773 1,6353805 2,1673492 2,7326326 3,3251151 3,9402953 4,5748090 5,2260277 5,8918606 6,5706316 7,2609348 7,9616386 8,6717536 9,3904479 10,1170062 10,8507994 11,5913160 12,3380095 13,0905050 13,8484222 14,6113957 15,3791626 16,1513946 16,9278763 17,7083814 18,4926672 26,5092955 34,7642365 43,1879660 51,7392634 60,3914589 69,1260183 77,9294423
F G H I J K 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,01579 2,70554 3,8415 5,0239 6,6349 7,8794 0,21072 4,60518 5,9915 7,3778 9,2104 10,5965 0,58438 6,25139 7,8147 9,3484 11,3449 12,8381 1,06362 7,77943 9,4877 11,1433 13,2767 14,8602 1,61031 9,23635 11,0705 12,8325 15,0863 16,7496 2,20413 10,64464 12,5916 14,4494 16,8119 18,5475 2,83311 12,01703 14,0671 16,0128 18,4753 20,2777 3,48954 13,36156 15,5073 17,5345 20,0902 21,9549 4,16816 14,68366 16,9190 19,0228 21,6660 23,5893 4,86518 15,98717 18,3070 20,4832 23,2093 25,1881 5,57779 17,27501 19,6752 21,9200 24,7250 26,7569 6,30380 18,54934 21,0261 23,3367 26,2170 28,2997 7,04150 19,81193 22,3620 24,7356 27,6882 29,8193 7,78954 21,06414 23,6848 26,1189 29,1412 31,3194 8,54675 22,30712 24,9958 27,4884 30,5780 32,8015 9,31224 23,54182 26,2962 28,8453 31,9999 34,2671 10,08518 24,76903 27,5871 30,1910 33,4087 35,7184 10,86494 25,98942 28,8693 31,5264 34,8052 37,1564 11,65091 27,20356 30,1435 32,8523 36,1908 38,5821 12,44260 28,41197 31,4104 34,1696 37,5663 39,9969 13,23960 29,61509 32,6706 35,4789 38,9322 41,4009 14,04149 30,81329 33,9245 36,7807 40,2894 42,7957 14,84795 32,00689 35,1725 38,0756 41,6383 44,1814 15,65868 33,19624 36,4150 39,3641 42,9798 45,5584 16,47341 34,38158 37,6525 40,6465 44,3140 46,9280 17,29188 35,56316 38,8851 41,9231 45,6416 48,2898 18,11389 36,74123 40,1133 43,1945 46,9628 49,6450 18,93924 37,91591 41,3372 44,4608 48,2782 50,9936 19,76774 39,08748 42,5569 45,7223 49,5878 52,3355 20,59924 40,25602 43,7730 46,9792 50,8922 53,6719 29,05052 51,80504 55,7585 59,3417 63,6908 66,7660 37,68864 63,16711 67,5048 71,4202 76,1538 79,4898 46,45888 74,39700 79,0820 83,2977 88,3794 91,9518 55,32894 85,52704 90,5313 95,0231 100,4251 104,2148 64,27784 96,57820 101,8795 106,6285 112,3288 116,3209 73,29108 107,56501 113,1452 118,1359 124,1162 128,2987 82,35813 118,49800 124,3421 129,5613 135,8069 140,1697
256
Tabela 10. F- raspodjela FDIST(x; df1; df2)
df1df2 Γ df1 df2 df1 df1 2 2 df1 2 u 2 1 1 df1 u du 5% df2 df1 df2 df2 Γ Γ x 2 2
Koliko je x?
Primjer x = FINV(5%;D$1;$A5) = 6,59. A B C D E F G H I J K L M N O P 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 df2 \ df1 1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 242,98 243,90 244,69 245,36 245,95 2 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,42 19,42 19,43 3 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,73 8,71 8,70 4 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5,86 5 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,62 6 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 7 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 8 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 9 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 10 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 11 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 12 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 13 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 14 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 15 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 16 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 2,35 17 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 2,31 18 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 19 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 20 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 21 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 22 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26 2,23 2,20 2,17 2,15 23 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24 2,20 2,18 2,15 2,13 24 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22 2,18 2,15 2,13 2,11 25 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20 2,16 2,14 2,11 2,09 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15 2,12 2,09 2,07 26 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,17 2,13 2,10 2,08 2,06 27 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15 2,12 2,09 2,06 2,04 28 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14 2,10 2,08 2,05 2,03 29 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,06 2,04 2,01 30 31 4,15 3,29 2,90 2,67 2,51 2,40 2,31 2,24 2,19 2,14 2,10 2,07 2,04 2,01 1,99 32 32 34 4,13 3,28 2,88 2,65 2,49 2,38 2,29 2,23 2,17 2,12 2,08 2,05 2,02 1,99 1,97 33 4,11 3,26 2,87 2,63 2,48 2,36 2,28 2,21 2,15 2,11 2,07 2,03 2,00 1,98 1,95 36 34 4,10 3,24 2,85 2,62 2,46 2,35 2,26 2,19 2,14 2,09 2,05 2,02 1,99 1,96 1,94 38 35 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,97 1,95 1,92 40 36 4,07 3,22 2,83 2,59 2,44 2,32 2,24 2,17 2,11 2,06 2,03 1,99 1,96 1,94 1,91 42 37 44 4,06 3,21 2,82 2,58 2,43 2,31 2,23 2,16 2,10 2,05 2,01 1,98 1,95 1,92 1,90 38 4,05 3,20 2,81 2,57 2,42 2,30 2,22 2,15 2,09 2,04 2,00 1,97 1,94 1,91 1,89 46 39 4,04 3,19 2,80 2,57 2,41 2,29 2,21 2,14 2,08 2,03 1,99 1,96 1,93 1,90 1,88 48 40 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,99 1,95 1,92 1,89 1,87 41 55 4,02 3,16 2,77 2,54 2,38 2,27 2,18 2,11 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,88 1,85 42 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 43 65 3,99 3,14 2,75 2,51 2,36 2,24 2,15 2,08 2,03 1,98 1,94 1,90 1,87 1,85 1,82 44 70 3,98 3,13 2,74 2,50 2,35 2,23 2,14 2,07 2,02 1,97 1,93 1,89 1,86 1,84 1,81 45 80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,13 2,06 2,00 1,95 1,91 1,88 1,84 1,82 1,79 46 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,89 1,85 1,82 1,79 1,77 47 125 3,92 3,07 2,68 2,44 2,29 2,17 2,08 2,01 1,96 1,91 1,87 1,83 1,80 1,77 1,75 48 200 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 1,88 1,84 1,80 1,77 1,74 1,72 49 400 3,86 3,02 2,63 2,39 2,24 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81 1,78 1,74 1,72 1,69 50 600 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,11 2,02 1,95 1,90 1,85 1,80 1,77 1,74 1,71 1,68 51 800 3,85 3,01 2,62 2,38 2,23 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,80 1,76 1,73 1,70 1,68 52 1000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,80 1,76 1,73 1,70 1,68 53 1200 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,80 1,76 1,73 1,70 1,67 54 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,79 1,75 1,72 1,69 1,67 55 10000000
257
A B C D E F G H I J K L M N O P 1 df2 \ df1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 1 246,47 246,92 247,32 247,69 248,02 248,31 248,58 248,82 249,05 249,26 249,45 249,63 249,80 249,95 250,10 3 2 19,43 19,44 19,44 19,44 19,45 19,45 19,45 19,45 19,45 19,46 19,46 19,46 19,46 19,46 19,46 4 3 8,69 8,68 8,67 8,67 8,66 8,65 8,65 8,64 8,64 8,63 8,63 8,63 8,62 8,62 8,62 5 4 5,84 5,83 5,82 5,81 5,80 5,79 5,79 5,78 5,77 5,77 5,76 5,76 5,75 5,75 5,75 6 5 4,60 4,59 4,58 4,57 4,56 4,55 4,54 4,53 4,53 4,52 4,52 4,51 4,50 4,50 4,50 6 7 3,92 3,91 3,90 3,88 3,87 3,86 3,86 3,85 3,84 3,83 3,83 3,82 3,82 3,81 3,81 7 8 3,49 3,48 3,47 3,46 3,44 3,43 3,43 3,42 3,41 3,40 3,40 3,39 3,39 3,38 3,38 8 9 3,20 3,19 3,17 3,16 3,15 3,14 3,13 3,12 3,12 3,11 3,10 3,10 3,09 3,08 3,08 9 10 2,99 2,97 2,96 2,95 2,94 2,93 2,92 2,91 2,90 2,89 2,89 2,88 2,87 2,87 2,86 10 11 2,83 2,81 2,80 2,79 2,77 2,76 2,75 2,75 2,74 2,73 2,72 2,72 2,71 2,70 2,70 11 12 2,70 2,69 2,67 2,66 2,65 2,64 2,63 2,62 2,61 2,60 2,59 2,59 2,58 2,58 2,57 13 12 2,60 2,58 2,57 2,56 2,54 2,53 2,52 2,51 2,51 2,50 2,49 2,48 2,48 2,47 2,47 13 2,51 2,50 2,48 2,47 2,46 2,45 2,44 2,43 2,42 2,41 2,41 2,40 2,39 2,39 2,38 14 15 14 2,44 2,43 2,41 2,40 2,39 2,38 2,37 2,36 2,35 2,34 2,33 2,33 2,32 2,31 2,31 16 15 2,38 2,37 2,35 2,34 2,33 2,32 2,31 2,30 2,29 2,28 2,27 2,27 2,26 2,25 2,25 17 16 2,33 2,32 2,30 2,29 2,28 2,26 2,25 2,24 2,24 2,23 2,22 2,21 2,21 2,20 2,19 17 2,29 2,27 2,26 2,24 2,23 2,22 2,21 2,20 2,19 2,18 2,17 2,17 2,16 2,15 2,15 18 18 2,25 2,23 2,22 2,20 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13 2,13 2,12 2,11 2,11 19 19 2,21 2,20 2,18 2,17 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,11 2,10 2,09 2,08 2,08 2,07 20 20 2,18 2,17 2,15 2,14 2,12 2,11 2,10 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,05 2,05 2,04 21 21 2,16 2,14 2,12 2,11 2,10 2,08 2,07 2,06 2,05 2,05 2,04 2,03 2,02 2,02 2,01 22 22 2,13 2,11 2,10 2,08 2,07 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,01 2,00 2,00 1,99 1,98 23 23 2,11 2,09 2,08 2,06 2,05 2,04 2,02 2,01 2,01 2,00 1,99 1,98 1,97 1,97 1,96 24 24 2,09 2,07 2,05 2,04 2,03 2,01 2,00 1,99 1,98 1,97 1,97 1,96 1,95 1,95 1,94 25 26 25 2,07 2,05 2,04 2,02 2,01 2,00 1,98 1,97 1,96 1,96 1,95 1,94 1,93 1,93 1,92 27 26 2,05 2,03 2,02 2,00 1,99 1,98 1,97 1,96 1,95 1,94 1,93 1,92 1,91 1,91 1,90 28 27 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,95 1,94 1,93 1,92 1,91 1,90 1,90 1,89 1,88 28 29 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,95 1,93 1,92 1,91 1,91 1,90 1,89 1,88 1,88 1,87 29 30 2,01 1,99 1,97 1,96 1,94 1,93 1,92 1,91 1,90 1,89 1,88 1,88 1,87 1,86 1,85 30 31 1,99 1,98 1,96 1,95 1,93 1,92 1,91 1,90 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,85 1,84 32 32 1,97 1,95 1,94 1,92 1,91 1,90 1,88 1,87 1,86 1,85 1,85 1,84 1,83 1,82 1,82 34 33 1,95 1,93 1,92 1,90 1,89 1,88 1,86 1,85 1,84 1,83 1,82 1,82 1,81 1,80 1,80 36 34 1,93 1,92 1,90 1,88 1,87 1,86 1,85 1,83 1,82 1,81 1,81 1,80 1,79 1,78 1,78 35 38 1,92 1,90 1,88 1,87 1,85 1,84 1,83 1,82 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,77 1,76 36 40 1,90 1,89 1,87 1,85 1,84 1,83 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,77 1,76 1,75 1,74 37 42 1,89 1,87 1,86 1,84 1,83 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 38 44 1,88 1,86 1,84 1,83 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,73 1,72 39 46 1,87 1,85 1,83 1,82 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,71 48 40 1,86 1,84 1,82 1,81 1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,70 50 41 1,85 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,69 55 42 1,83 1,81 1,79 1,78 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,68 1,67 1,67 60 43 1,82 1,80 1,78 1,76 1,75 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 1,66 1,65 65 44 1,80 1,78 1,76 1,75 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 1,65 1,64 1,63 70 45 1,79 1,77 1,75 1,74 1,72 1,71 1,70 1,68 1,67 1,66 1,65 1,65 1,64 1,63 1,62 46 80 1,77 1,75 1,73 1,72 1,70 1,69 1,68 1,67 1,65 1,64 1,63 1,63 1,62 1,61 1,60 47 100 1,75 1,73 1,71 1,69 1,68 1,66 1,65 1,64 1,63 1,62 1,61 1,60 1,59 1,58 1,57 48 125 1,73 1,71 1,69 1,67 1,66 1,64 1,63 1,62 1,60 1,59 1,58 1,58 1,57 1,56 1,55 49 200 1,69 1,67 1,66 1,64 1,62 1,61 1,60 1,58 1,57 1,56 1,55 1,54 1,53 1,52 1,52 50 400 1,67 1,65 1,63 1,61 1,60 1,58 1,57 1,56 1,54 1,53 1,52 1,51 1,50 1,50 1,49 600 51 1,66 1,64 1,62 1,60 1,59 1,57 1,56 1,55 1,54 1,52 1,51 1,50 1,50 1,49 1,48 1,64 1,62 1,60 1,58 1,57 1,56 1,54 1,53 1,52 1,51 1,50 1,49 1,48 1,47 800 52 1,66 1000 1,65 1,63 1,61 1,60 1,58 1,57 1,55 1,54 1,53 1,52 1,51 1,50 1,49 1,48 1,47 53 1200 1,65 1,63 1,61 1,60 1,58 1,56 1,55 1,54 1,53 1,52 1,50 1,50 1,49 1,48 1,47 54 1,64 1,62 1,60 1,59 1,57 1,56 1,54 1,53 1,52 1,51 1,50 1,49 1,48 1,47 1,46 55 10000000
x = FINV(5%;F$1;$A10) = 2,94.
258
A B C D E F G H I J K L M N O P 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 100000 1 df2 \ df1 2 1 251,77 253,04 253,47 253,68 253,81 253,89 253,95 254,00 254,03 254,06 254,08 254,10 254,12 254,13 254,31 2 3 19,48 19,49 19,49 19,49 19,49 19,49 19,49 19,49 19,49 19,49 19,49 19,49 19,49 19,49 19,50 4 3 8,58 8,55 8,54 8,54 8,54 8,54 8,53 8,53 8,53 8,53 8,53 8,53 8,53 8,53 8,53 4 5 5,70 5,66 5,65 5,65 5,64 5,64 5,64 5,64 5,64 5,64 5,63 5,63 5,63 5,63 5,63 6 5 4,44 4,41 4,39 4,39 4,38 4,38 4,38 4,38 4,37 4,37 4,37 4,37 4,37 4,37 4,37 6 7 3,75 3,71 3,70 3,69 3,69 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,68 3,67 8 7 3,32 3,27 3,26 3,25 3,25 3,24 3,24 3,24 3,24 3,24 3,24 3,24 3,24 3,24 3,23 8 9 3,02 2,97 2,96 2,95 2,95 2,94 2,94 2,94 2,94 2,94 2,94 2,94 2,93 2,93 2,93 10 9 2,80 2,76 2,74 2,73 2,73 2,72 2,72 2,72 2,72 2,72 2,72 2,71 2,71 2,71 2,71 10 11 2,64 2,59 2,57 2,56 2,56 2,55 2,55 2,55 2,55 2,55 2,55 2,55 2,55 2,55 2,54 12 11 2,51 2,46 2,44 2,43 2,43 2,42 2,42 2,42 2,42 2,42 2,41 2,41 2,41 2,41 2,40 12 13 2,40 2,35 2,33 2,32 2,32 2,31 2,31 2,31 2,31 2,31 2,31 2,31 2,30 2,30 2,30 14 13 2,31 2,26 2,24 2,23 2,23 2,23 2,22 2,22 2,22 2,22 2,22 2,22 2,22 2,21 2,21 14 15 2,24 2,19 2,17 2,16 2,15 2,15 2,15 2,15 2,14 2,14 2,14 2,14 2,14 2,14 2,13 16 15 2,18 2,12 2,10 2,10 2,09 2,09 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 2,07 2,07 2,07 16 2,12 2,07 2,05 2,04 2,03 2,03 2,03 2,02 2,02 2,02 2,02 2,02 2,02 2,02 2,01 17 18 17 2,08 2,02 2,00 1,99 1,98 1,98 1,98 1,98 1,97 1,97 1,97 1,97 1,97 1,97 1,96 18 2,04 1,98 1,96 1,95 1,94 1,94 1,93 1,93 1,93 1,93 1,93 1,93 1,93 1,93 1,92 19 19 2,00 1,94 1,92 1,91 1,90 1,90 1,90 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89 1,88 20 20 1,97 1,91 1,89 1,88 1,87 1,86 1,86 1,86 1,86 1,86 1,86 1,85 1,85 1,85 1,84 21 21 1,94 1,88 1,86 1,84 1,84 1,83 1,83 1,83 1,83 1,83 1,82 1,82 1,82 1,82 1,81 22 22 1,91 1,85 1,83 1,82 1,81 1,81 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,79 1,79 1,79 1,78 23 23 1,88 1,82 1,80 1,79 1,78 1,78 1,78 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,76 24 24 1,86 1,80 1,78 1,77 1,76 1,76 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,74 1,74 1,74 1,73 25 25 1,84 1,78 1,76 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,72 1,71 26 26 27 1,82 1,76 1,74 1,73 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,70 1,69 28 27 1,81 1,74 1,72 1,71 1,70 1,70 1,69 1,69 1,69 1,69 1,68 1,68 1,68 1,68 1,67 28 29 1,79 1,73 1,70 1,69 1,68 1,68 1,68 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,66 1,65 30 29 1,77 1,71 1,69 1,67 1,67 1,66 1,66 1,66 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,64 30 31 1,76 1,70 1,67 1,66 1,65 1,65 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,63 1,63 1,63 1,62 32 32 1,74 1,67 1,64 1,63 1,63 1,62 1,62 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,59 34 33 1,71 1,65 1,62 1,61 1,60 1,60 1,59 1,59 1,59 1,59 1,58 1,58 1,58 1,58 1,57 34 36 1,69 1,62 1,60 1,59 1,58 1,57 1,57 1,57 1,57 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,55 38 35 1,68 1,61 1,58 1,57 1,56 1,55 1,55 1,55 1,55 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,53 36 40 1,66 1,59 1,56 1,55 1,54 1,54 1,53 1,53 1,53 1,53 1,52 1,52 1,52 1,52 1,51 42 37 1,65 1,57 1,55 1,53 1,53 1,52 1,52 1,51 1,51 1,51 1,51 1,51 1,51 1,50 1,49 38 44 1,63 1,56 1,53 1,52 1,51 1,51 1,50 1,50 1,50 1,49 1,49 1,49 1,49 1,49 1,48 46 39 1,62 1,55 1,52 1,51 1,50 1,49 1,49 1,49 1,48 1,48 1,48 1,48 1,48 1,48 1,46 40 48 1,61 1,54 1,51 1,49 1,49 1,48 1,48 1,47 1,47 1,47 1,47 1,47 1,46 1,46 1,45 41 50 1,60 1,52 1,50 1,48 1,47 1,47 1,46 1,46 1,46 1,46 1,46 1,45 1,45 1,45 1,44 42 55 1,58 1,50 1,47 1,46 1,45 1,44 1,44 1,44 1,43 1,43 1,43 1,43 1,43 1,43 1,41 43 60 1,56 1,48 1,45 1,44 1,43 1,42 1,42 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41 1,40 1,40 1,39 44 65 1,54 1,46 1,44 1,42 1,41 1,40 1,40 1,40 1,39 1,39 1,39 1,39 1,39 1,38 1,37 45 70 1,53 1,45 1,42 1,40 1,39 1,39 1,38 1,38 1,38 1,37 1,37 1,37 1,37 1,37 1,35 46 80 1,51 1,43 1,39 1,38 1,37 1,36 1,36 1,35 1,35 1,35 1,35 1,34 1,34 1,34 1,32 47 100 1,48 1,39 1,36 1,34 1,33 1,32 1,32 1,31 1,31 1,31 1,31 1,30 1,30 1,30 1,28 48 125 1,45 1,36 1,33 1,31 1,30 1,29 1,29 1,28 1,28 1,27 1,27 1,27 1,27 1,27 1,25 49 200 1,41 1,32 1,28 1,26 1,25 1,24 1,23 1,23 1,22 1,22 1,22 1,22 1,21 1,21 1,19 50 400 1,38 1,28 1,24 1,22 1,20 1,19 1,19 1,18 1,17 1,17 1,17 1,16 1,16 1,16 1,13 51 1,37 1,27 1,23 1,20 1,19 1,18 1,17 1,16 1,16 1,15 1,15 1,14 1,14 1,14 1,10 600 1,37 1,26 1,22 1,20 1,18 1,17 1,16 1,15 1,15 1,14 1,14 1,13 1,13 1,13 1,09 52 800 1000 1,36 1,26 1,22 1,19 1,17 1,16 1,15 1,14 1,14 1,13 1,13 1,13 1,12 1,12 1,08 53 1200 1,36 1,26 1,21 1,19 1,17 1,16 1,15 1,14 1,13 1,13 1,13 1,12 1,12 1,12 1,07 54 1,35 1,24 1,20 1,17 1,15 1,14 1,13 1,12 1,11 1,11 1,10 1,10 1,09 1,09 1,01 55 10000000
x = FINV(5%;400;3) = 8,53.
259
Tabela 11. F- raspodjela
df1 df2 df1 df1 1 Γ df1 df2 df1 2 df1 2 2 2 1 u du 1% FDIST(x; df1; df2) u df2 Γ df1 Γ df2 df2 x 2 2 Koliko je x?
Primjer x =FINV(1%;D$1;$A5)= 16,69. A B C D E F G H I J K L M N O P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 df2 \ df1 1 2 4052,18 4999,3 5403,5 5624,3 5764,0 5859,0 5928,3 5981,0 6022,4 6055,9 6083,4 6106,7 6125,8 6143,0 6157,0 3 2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,41 99,42 99,42 99,43 99,43 4 3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 26,98 26,92 26,87 4 5 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,31 14,25 14,20 5 6 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,82 9,77 9,72 7 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,66 7,60 7,56 8 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,41 6,36 6,31 9 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,61 5,56 5,52 9 10 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 5,05 5,01 4,96 10 11 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,65 4,60 4,56 11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,34 4,29 4,25 12 13 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,10 4,05 4,01 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,91 3,86 3,82 14 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,75 3,70 3,66 15 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,61 3,56 3,52 16 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,50 3,45 3,41 17 17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,40 3,35 3,31 18 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,32 3,27 3,23 19 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,24 3,19 3,15 20 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,09 21 21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,12 3,07 3,03 22 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 3,07 3,02 2,98 23 23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 3,02 2,97 2,93 24 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 25 25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,94 2,89 2,85 26 26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,90 2,86 2,81 27 27 28 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,87 2,82 2,78 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,84 2,79 2,75 29 29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,81 2,77 2,73 30 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,79 2,74 2,70 31 32 32 7,50 5,34 4,46 3,97 3,65 3,43 3,26 3,13 3,02 2,93 2,86 2,80 2,74 2,70 2,65 33 34 7,44 5,29 4,42 3,93 3,61 3,39 3,22 3,09 2,98 2,89 2,82 2,76 2,70 2,66 2,61 34 36 7,40 5,25 4,38 3,89 3,57 3,35 3,18 3,05 2,95 2,86 2,79 2,72 2,67 2,62 2,58 38 35 7,35 5,21 4,34 3,86 3,54 3,32 3,15 3,02 2,92 2,83 2,75 2,69 2,64 2,59 2,55 40 36 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,61 2,56 2,52 37 42 7,28 5,15 4,29 3,80 3,49 3,27 3,10 2,97 2,86 2,78 2,70 2,64 2,59 2,54 2,50 38 44 7,25 5,12 4,26 3,78 3,47 3,24 3,08 2,95 2,84 2,75 2,68 2,62 2,56 2,52 2,47 46 39 7,22 5,10 4,24 3,76 3,44 3,22 3,06 2,93 2,82 2,73 2,66 2,60 2,54 2,50 2,45 48 40 7,19 5,08 4,22 3,74 3,43 3,20 3,04 2,91 2,80 2,71 2,64 2,58 2,53 2,48 2,44 41 50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,63 2,56 2,51 2,46 2,42 42 55 7,12 5,01 4,16 3,68 3,37 3,15 2,98 2,85 2,75 2,66 2,59 2,53 2,47 2,42 2,38 43 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,44 2,39 2,35 65 44 7,04 4,95 4,10 3,62 3,31 3,09 2,93 2,80 2,69 2,61 2,53 2,47 2,42 2,37 2,33 70 45 7,01 4,92 4,07 3,60 3,29 3,07 2,91 2,78 2,67 2,59 2,51 2,45 2,40 2,35 2,31 46 80 6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,36 2,31 2,27 47 100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,43 2,37 2,31 2,27 2,22 125 48 6,84 4,78 3,94 3,47 3,17 2,95 2,79 2,66 2,55 2,47 2,39 2,33 2,28 2,23 2,19 200 49 6,76 4,71 3,88 3,41 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 2,41 2,34 2,27 2,22 2,17 2,13 50 400 6,70 4,66 3,83 3,37 3,06 2,85 2,68 2,56 2,45 2,37 2,29 2,23 2,17 2,13 2,08 51 600 6,68 4,64 3,81 3,35 3,05 2,83 2,67 2,54 2,44 2,35 2,28 2,21 2,16 2,11 2,07 800 52 6,67 4,63 3,81 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,21 2,15 2,10 2,06 1000 53 6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,15 2,10 2,06 54 1200 6,66 4,62 3,80 3,33 3,03 2,82 2,65 2,53 2,42 2,34 2,26 2,20 2,14 2,10 2,05 55 10000000 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,25 2,18 2,13 2,08 2,04
x = FINV(1%;G$1;$A52) = 2,82. x =FINV(1%;L$1;$A2)=6083,4 260
A B C D E F G H I J K L M N O P 1 df2 \ df1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 1 6170,01 6181,2 6191,4 6200,7 6208,7 6216,1 6223,1 6228,7 6234,3 6239,9 6244,5 6249,2 6252,9 6257,1 6260,4 3 2 99,44 99,44 99,44 99,45 99,45 99,45 99,46 99,46 99,46 99,46 99,46 99,46 99,46 99,46 99,47 4 3 26,83 26,79 26,75 26,72 26,69 26,66 26,64 26,62 26,60 26,58 26,56 26,55 26,53 26,52 26,50 5 4 14,15 14,11 14,08 14,05 14,02 13,99 13,97 13,95 13,93 13,91 13,89 13,88 13,86 13,85 13,84 6 5 9,68 9,64 9,61 9,58 9,55 9,53 9,51 9,49 9,47 9,45 9,43 9,42 9,40 9,39 9,38 6 7,52 7,48 7,45 7,42 7,40 7,37 7,35 7,33 7,31 7,30 7,28 7,27 7,25 7,24 7,23 7 7 6,28 6,24 6,21 6,18 6,16 6,13 6,11 6,09 6,07 6,06 6,04 6,03 6,02 6,00 5,99 8 8 5,48 5,44 5,41 5,38 5,36 5,34 5,32 5,30 5,28 5,26 5,25 5,23 5,22 5,21 5,20 9 9 4,92 4,89 4,86 4,83 4,81 4,79 4,77 4,75 4,73 4,71 4,70 4,68 4,67 4,66 4,65 10 10 4,52 4,49 4,46 4,43 4,41 4,38 4,36 4,34 4,33 4,31 4,30 4,28 4,27 4,26 4,25 11 11 4,21 4,18 4,15 4,12 4,10 4,08 4,06 4,04 4,02 4,01 3,99 3,98 3,96 3,95 3,94 12 12 3,97 3,94 3,91 3,88 3,86 3,84 3,82 3,80 3,78 3,76 3,75 3,74 3,72 3,71 3,70 13 13 3,78 3,75 3,72 3,69 3,66 3,64 3,62 3,60 3,59 3,57 3,56 3,54 3,53 3,52 3,51 14 14 3,62 3,59 3,56 3,53 3,51 3,48 3,46 3,44 3,43 3,41 3,40 3,38 3,37 3,36 3,35 15 15 3,49 3,45 3,42 3,40 3,37 3,35 3,33 3,31 3,29 3,28 3,26 3,25 3,24 3,23 3,21 16 16 3,37 3,34 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,20 3,18 3,16 3,15 3,14 3,12 3,11 3,10 17 17 3,27 3,24 3,21 3,19 3,16 3,14 3,12 3,10 3,08 3,07 3,05 3,04 3,03 3,01 3,00 18 18 3,19 3,16 3,13 3,10 3,08 3,05 3,03 3,02 3,00 2,98 2,97 2,95 2,94 2,93 2,92 19 19 3,12 3,08 3,05 3,03 3,00 2,98 2,96 2,94 2,92 2,91 2,89 2,88 2,87 2,86 2,84 20 20 3,05 3,02 2,99 2,96 2,94 2,92 2,90 2,88 2,86 2,84 2,83 2,81 2,80 2,79 2,78 21 21 2,99 2,96 2,93 2,90 2,88 2,86 2,84 2,82 2,80 2,79 2,77 2,76 2,74 2,73 2,72 22 22 2,94 2,91 2,88 2,85 2,83 2,81 2,78 2,77 2,75 2,73 2,72 2,70 2,69 2,68 2,67 23 23 2,89 2,86 2,83 2,80 2,78 2,76 2,74 2,72 2,70 2,69 2,67 2,66 2,64 2,63 2,62 24 24 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,70 2,68 2,66 2,64 2,63 2,61 2,60 2,59 2,58 25 25 2,81 2,78 2,75 2,72 2,70 2,68 2,66 2,64 2,62 2,60 2,59 2,58 2,56 2,55 2,54 26 26 2,78 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,53 2,51 2,50 27 27 2,75 2,71 2,68 2,66 2,63 2,61 2,59 2,57 2,55 2,54 2,52 2,51 2,49 2,48 2,47 28 28 2,72 2,68 2,65 2,63 2,60 2,58 2,56 2,54 2,52 2,51 2,49 2,48 2,46 2,45 2,44 29 29 2,69 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,53 2,51 2,49 2,48 2,46 2,45 2,44 2,42 2,41 30 30 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,53 2,51 2,49 2,47 2,45 2,44 2,42 2,41 2,40 2,39 31 32 2,62 2,58 2,55 2,53 2,50 2,48 2,46 2,44 2,42 2,41 2,39 2,38 2,36 2,35 2,34 32 34 2,58 2,54 2,51 2,49 2,46 2,44 2,42 2,40 2,38 2,37 2,35 2,34 2,32 2,31 2,30 33 36 2,54 2,51 2,48 2,45 2,43 2,41 2,38 2,37 2,35 2,33 2,32 2,30 2,29 2,28 2,26 34 38 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,37 2,35 2,33 2,32 2,30 2,28 2,27 2,26 2,24 2,23 35 40 2,48 2,45 2,42 2,39 2,37 2,35 2,33 2,31 36 2,29 2,27 2,26 2,24 2,23 2,22 2,20 37 42 2,46 2,43 2,40 2,37 2,34 2,32 2,30 2,28 2,26 2,25 2,23 2,22 2,20 2,19 2,18 38 44 2,44 2,40 2,37 2,35 2,32 2,30 2,28 2,26 2,24 2,22 2,21 2,19 2,18 2,17 2,15 39 46 2,42 2,38 2,35 2,33 2,30 2,28 2,26 2,24 2,22 2,20 2,19 2,17 2,16 2,15 2,13 40 48 2,40 2,37 2,33 2,31 2,28 2,26 2,24 2,22 2,20 2,18 2,17 2,15 2,14 2,13 2,12 41 50 2,38 2,35 2,32 2,29 2,27 2,24 2,22 2,20 2,18 2,17 2,15 2,14 2,12 2,11 2,10 42 55 2,34 2,31 2,28 2,25 2,23 2,21 2,18 2,16 2,15 2,13 2,11 2,10 2,08 2,07 2,06 43 60 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,17 2,15 2,13 2,12 2,10 2,08 2,07 2,05 2,04 2,03 65 44 2,29 2,26 2,23 2,20 2,17 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,06 2,04 2,03 2,01 2,00 70 45 2,27 2,23 2,20 2,18 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,05 2,03 2,02 2,01 1,99 1,98 80 46 2,23 2,20 2,17 2,14 2,12 2,09 2,07 2,05 2,03 2,01 2,00 1,98 1,97 1,96 1,94 100 47 2,19 2,15 2,12 2,09 2,07 2,04 2,02 2,00 1,98 1,97 1,95 1,93 1,92 1,91 1,89 125 48 2,15 2,11 2,08 2,05 2,03 2,00 1,98 1,96 1,94 1,93 1,91 1,89 1,88 1,87 1,85 49 200 2,09 2,06 2,03 2,00 1,97 1,95 1,93 1,90 1,89 1,87 1,85 1,84 1,82 1,81 1,79 50 400 2,05 2,01 1,98 1,95 1,92 1,90 1,88 1,86 1,84 1,82 1,80 1,79 1,77 1,76 1,75 51 600 2,03 2,00 1,96 1,94 1,91 1,88 1,86 1,84 1,82 1,80 1,79 1,77 1,76 1,74 1,73 52 800 2,02 1,99 1,96 1,93 1,90 1,88 1,85 1,83 1,81 1,80 1,78 1,76 1,75 1,73 1,72 53 1000 2,02 1,98 1,95 1,92 1,90 1,87 1,85 1,83 1,81 1,79 1,77 1,76 1,74 1,73 1,72 54 1200 2,02 1,98 1,95 1,92 1,89 1,87 1,85 1,83 1,81 1,79 1,77 1,76 1,74 1,73 1,71 55 10000000 2,00 1,97 1,93 1,90 1,88 1,85 1,83 1,81 1,79 1,77 1,76 1,74 1,72 1,71 1,70
x =FINV(1%;H$1;$A2) = 6223,1. 261
A B C D E F G H I J K L M N O P 1 df2 \ df1 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 100000 2 1 6302,26 6333,9 6344,6 6349,8 6353,5 6355,3 6356,7 6358,1 6359,1 6359,5 6360,0 6360,9 6360,9 6361,4 6365,6 3 2 99,48 99,49 99,49 99,49 99,50 99,50 99,50 99,50 99,50 99,50 99,50 99,50 99,50 99,50 99,50 4 3 26,35 26,24 26,20 26,18 26,17 26,16 26,16 26,15 26,15 26,15 26,15 26,14 26,14 26,14 26,13 5 4 13,69 13,58 13,54 13,52 13,51 13,50 13,50 13,49 13,49 13,49 13,48 13,48 13,48 13,48 13,46 6 5 9,24 9,13 9,09 9,08 9,06 9,06 9,05 9,05 9,04 9,04 9,04 9,04 9,04 9,04 9,02 6 7,09 6,99 6,95 6,93 6,92 6,92 6,91 6,91 6,90 6,90 6,90 6,90 6,90 6,90 6,88 7 7 5,86 5,75 5,72 5,70 5,69 5,68 5,68 5,68 5,67 5,67 5,67 5,67 5,67 5,66 5,65 8 8 5,07 4,96 4,93 4,91 4,90 4,89 4,89 4,89 4,88 4,88 4,88 4,88 4,88 4,87 4,86 9 9 4,52 4,41 4,38 4,36 4,35 4,35 4,34 4,34 4,33 4,33 4,33 4,33 4,33 4,33 4,31 10 10 4,12 4,01 3,98 3,96 3,95 3,94 3,94 3,94 3,93 3,93 3,93 3,93 3,93 3,92 3,91 11 11 3,81 3,71 3,67 3,66 3,64 3,64 3,63 3,63 3,63 3,62 3,62 3,62 3,62 3,62 3,60 12 12 3,57 3,47 3,43 3,41 3,40 3,40 3,39 3,39 3,38 3,38 3,38 3,38 3,38 3,38 3,36 13 13 3,38 3,27 3,24 3,22 3,21 3,20 3,20 3,19 3,19 3,19 3,19 3,18 3,18 3,18 3,17 14 14 3,22 3,11 3,08 3,06 3,05 3,04 3,04 3,03 3,03 3,03 3,02 3,02 3,02 3,02 3,00 15 15 3,08 2,98 2,94 2,92 2,91 2,91 2,90 2,90 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,88 2,87 16 16 2,97 2,86 2,83 2,81 2,80 2,79 2,78 2,78 2,78 2,78 2,77 2,77 2,77 2,77 2,75 17 17 2,87 2,76 2,73 2,71 2,70 2,69 2,69 2,68 2,68 2,68 2,67 2,67 2,67 2,67 2,65 18 18 2,78 2,68 2,64 2,62 2,61 2,60 2,60 2,59 2,59 2,59 2,59 2,59 2,58 2,58 2,57 19 19 2,71 2,60 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,52 2,52 2,51 2,51 2,51 2,51 2,51 2,49 20 20 2,64 2,54 2,50 2,48 2,47 2,46 2,45 2,45 2,45 2,44 2,44 2,44 2,44 2,44 2,42 21 21 2,58 2,48 2,44 2,42 2,41 2,40 2,39 2,39 2,39 2,38 2,38 2,38 2,38 2,38 2,36 22 22 2,53 2,42 2,38 2,36 2,35 2,35 2,34 2,34 2,33 2,33 2,33 2,33 2,32 2,32 2,31 23 23 2,48 2,37 2,34 2,32 2,30 2,30 2,29 2,29 2,28 2,28 2,28 2,28 2,27 2,27 2,26 24 24 2,44 2,33 2,29 2,27 2,26 2,25 2,25 2,24 2,24 2,24 2,23 2,23 2,23 2,23 2,21 25 25 2,40 2,29 2,25 2,23 2,22 2,21 2,20 2,20 2,20 2,19 2,19 2,19 2,19 2,19 2,17 26 26 2,36 2,25 2,21 2,19 2,18 2,17 2,17 2,16 2,16 2,16 2,15 2,15 2,15 2,15 2,13 27 27 2,33 2,22 2,18 2,16 2,15 2,14 2,13 2,13 2,12 2,12 2,12 2,12 2,12 2,11 2,10 28 28 2,30 2,19 2,15 2,13 2,11 2,11 2,10 2,10 2,09 2,09 2,09 2,09 2,08 2,08 2,06 29 29 2,27 2,16 2,12 2,10 2,08 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,03 30 30 2,25 2,13 2,09 2,07 2,06 2,05 2,04 2,04 2,03 2,03 2,03 2,03 2,03 2,02 2,01 31 32 2,20 2,08 2,04 2,02 2,01 2,00 1,99 1,99 1,98 1,98 1,98 1,98 1,98 1,97 1,96 32 34 2,16 2,04 2,00 1,98 1,96 1,96 1,95 1,94 1,94 1,94 1,94 1,93 1,93 1,93 1,91 33 36 2,12 2,00 1,96 1,94 1,93 1,92 1,91 1,91 1,90 1,90 1,90 1,89 1,89 1,89 1,87 34 38 2,09 1,97 1,93 1,90 1,89 1,88 1,88 1,87 1,87 1,86 1,86 1,86 1,86 1,86 1,84 35 40 2,06 1,94 1,90 1,87 1,86 1,85 1,84 1,84 1,84 1,83 1,83 1,83 1,83 1,82 1,80 36 42 2,03 1,91 1,87 1,85 1,83 1,82 1,82 1,81 1,81 1,80 1,80 1,80 1,80 1,80 1,78 37 44 2,01 1,89 1,84 1,82 1,81 1,80 1,79 1,79 1,78 1,78 1,78 1,77 1,77 1,77 1,75 38 46 1,99 1,86 1,82 1,80 1,78 1,77 1,77 1,76 1,76 1,76 1,75 1,75 1,75 1,75 1,73 39 48 1,97 1,84 1,80 1,78 1,76 1,75 1,75 1,74 1,74 1,73 1,73 1,73 1,73 1,72 1,70 40 50 1,95 1,82 1,78 1,76 1,74 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,68 41 55 1,91 1,78 1,74 1,71 1,70 1,69 1,68 1,68 1,67 1,67 1,67 1,66 1,66 1,66 1,64 42 60 1,88 1,75 1,70 1,68 1,66 1,65 1,65 1,64 1,64 1,63 1,63 1,63 1,63 1,62 1,60 43 65 1,85 1,72 1,67 1,65 1,63 1,62 1,62 1,61 1,60 1,60 1,60 1,60 1,59 1,59 1,57 44 70 1,83 1,70 1,65 1,62 1,61 1,60 1,59 1,58 1,58 1,57 1,57 1,57 1,57 1,56 1,54 45 80 1,79 1,65 1,61 1,58 1,56 1,55 1,54 1,54 1,53 1,53 1,53 1,52 1,52 1,52 1,49 46 100 1,74 1,60 1,55 1,52 1,50 1,49 1,48 1,47 1,47 1,47 1,46 1,46 1,46 1,45 1,43 47 125 1,69 1,55 1,50 1,47 1,45 1,44 1,43 1,42 1,42 1,41 1,41 1,41 1,40 1,40 1,37 48 200 1,63 1,48 1,42 1,39 1,37 1,36 1,35 1,34 1,33 1,33 1,32 1,32 1,32 1,31 1,28 49 400 1,58 1,42 1,36 1,32 1,30 1,28 1,27 1,26 1,26 1,25 1,24 1,24 1,24 1,23 1,19 50 600 1,56 1,40 1,34 1,30 1,27 1,26 1,24 1,23 1,23 1,22 1,21 1,21 1,21 1,20 1,15 51 800 52 1,55 1,39 1,32 1,29 1,26 1,24 1,23 1,22 1,21 1,20 1,20 1,19 1,19 1,19 1,13 53 1000 1,54 1,38 1,32 1,28 1,25 1,24 1,22 1,21 1,20 1,19 1,19 1,18 1,18 1,17 1,11 54 1200 1,54 1,38 1,31 1,27 1,25 1,23 1,22 1,20 1,20 1,19 1,18 1,18 1,17 1,17 1,10 55 10000000 1,52 1,36 1,29 1,25 1,22 1,20 1,18 1,17 1,16 1,15 1,15 1,14 1,13 1,13 1,01
x =FINV(1%;L$1;$A4) = 26,15. 262
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.
S. Elazar: Matematička statistika, Sarajevo 1972. Brase Brase: Understandable statistics K. J. Hastings: Probability and Statistics McCLAVE BENSON SINCICH: A first course in BUSINESS STATISTICS Hogg and Tanis: Probability ana Statistical Inference Abram Cholmsky Cordon: STATISTICAL ANALISYS for the Social Sciences B. Lučić: Statistika, Sarajevo, 1996. V. Serdar: Uđžbenik Statistika, Zagreb, 1977. B. Ivanović: Teorijska statistika, Beograd, 1966. S. Vukadinović: Zbirka riješenih zadataka iz teorije vjerovatnoće, Beograd, 1987. S. Račić: Statistika, Novi Sad 1979. G. Jovanović-Določek: Slučajne varijable i procesi u telekomunikacijama, Sarajevo, 1987.godine. B. Petz: Osnovne statističke metode, Zagreb 1970. B. Petz: Osnovne statističke metode za nematematičare, Jastrebarsko 1997. S. Obradović: Uvod u statistiku, Beograd 1968. S. Račić: Osnovi statistike, zbirka riješenih zadataka, Novi Sad 1979. M. Zec: Matematička statistika s primjenom u metalurgiji, Sarajevo, 1975. godine J. Mališić, Vesna Jevremović: Statistička analiza i slučajni procesi, elementi teorije sa zbirkom riješenih zadataka, Beograd 1991. Help programa Excel 2000. Blattner & Ulrich: Vodič kroz Microsoft Excel 2000 Help programa Statistica 5.0. Help programa Mathematica 4.0. Help programa Matlab 5.3. Help programa Matcad 7.0. Help programa Corel Ventura 7. Help programa Scientific Work Place 3.0. S.Ekinović: Metode statističke analize u Microsoft Excel-u, Zenica, 1997. godine Ž. Pauše: Uvod u matematičku statistiku, Zagreb, 1993.godine R.Njegić, M. Žižić: Osnovi statističke analize, Beograd, 1988. M.Blažić, V. Dragović: Opšta statistika, osnovi i analiza, Beograd, 1988. Korais-Hekš: Statistika, Zagreb, 1990. godine B. Uček: Osnovi statistike, Beograd 1960. B. Uček: Zadaci iz statistike za ekonomske škole, Beograd 1962. H. Kuč: Statističke funkcije u Excel-u kroz primjere, Zenica, 1999. H. Kuč: Statistika u Excelu, Zenica, 2001. H. Kuč: Zbirka zadataka iz statistike u Excelu , Zenica, 2001. R. Todić-A. Radić: Poslovna statistika, Beograd, 1972. godine Z. Ivković: Matematička statistika, Beograd, 1980. godine
263
39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66.
Ž. Pantić: Uvod u teoriju vjerovatnoće i statistiku, Niš, 1980. M. Merkle, P. Vasić: Vjerovatnoća i statistika, Beograd, 1998. V. Milošević: Teorijska statistika, teorija statističkog zaključivanja, Beograd 1990. S. Hadživuković: Statistika, Beograd, 1989. Vranić: Vjerojatnost i statistika V. Mužić: Metodologija pedagoškog istraživanja, Sarajevo, 1973. G. Grđić, R. Njegić, S. Obradović: Statistika za ekonomiste, Beograd, 1977. D. Ivanković i suradnici: Osnove statističke analize za medicinare, Zagreb, 1991. B. Milošević: Statistika u zdravstvenoj djelatnosti, Beograd 1967. M. J. Campbell and D. Machin: Medical Statistics, 2000. N. Bijedić: Elementi, statistika, vjerovatnoća i planiranje eksperimenta, Mostar 1998. I. Šošić, V. Serdar: Uvod u statistiku, Zagreb, 2000. H. Hrelja: Vjerovatnoća i statistika u hidrologiji, Sarajevo, 2000. S. Obradović, M. Sentić: Osnovi statističke analize, Beograd, 1967. Z. Puvačić: Statistika u medicini, Sarajevo, 1997. I. Konstantinović: Osnovi opšte i zdravstvene statistike, Beograd-Zagreb, 1964. M. Žižić, M. Vidić, M. Vukosavljević: Zbirka zadataka iz statistike, Beograd 1998. M. Žižić, M. Lovrić, D. Pavličić: Metodi statističke analize, Beograd 2001. V. Kolesarić i B. Petz: Statistički rječnik, Jastrebarsko, 1999. S. Vukadinović, J. Popović: Zbirka riješenih zadataka iz matematičke statistike, Beograd, 1988. R. Rakić: Statistika I dio, Novi Sad, januara 1969. godine M. Bratina: Statistika II dio, Novi Sad, januara 1969. godine M. Bratina: Statistika III dio, Novi Sad, januara 1969. godine V. Dragović, B. Pašalić: Osnovi statističke analize kroz primjere, Sarajevo, 1990. Harry I. Miller: Vjerovatnoća i statistika, Sarajevo, 1985. B. Wolf, I. Rađo: Analiza grupisanja manifestnih varijabli, Sarajevo, 1998. I. Rađo, B. Wolf, M. Hadžikadunić: Kompjuter u sportu, Sarajevo, 1999. M. Jančurić: Statistika, Subotica 1966.
264
