Preguntas propuestas
1
Álgebra Números complejos A) 5 D) 3
NIVEL BÁSICO 1.
Halle la suma A de números complejos. A=(1+ i)+(2+ i 2)+(3+ i 3)+...+(4 n+ i 4 n) A) n(2 n+1) D) n(4 n+1)
6.
B) 2 n(4 n+1) C) 0 E) 2 n(4 n – 1) UNI 2004 - I
2.
1
=
−
7.
B) – 1
C) 1 E) 0
A) 1 D) 4
B) 2
3 Halle el valor de 2 − A) 2 280
B) 3 280
C) 3 E) 5
π π C) cos + i sen 4 4
C) 2120
π π D) − cos + i sen 4 4
140
E) 3
D) 2
B) 5
C) 2 E)
2
π π B) 2 cos + i sen 4 4
280
i . 2 3
π π E) −2 cos + i sen 4 4
Calcule el mayor valor de | z+3 i| si z cumple que i z2+3| z|2=8 z. A) 5
π
π π A) 4 cos + i sen 4 4
140
3 D) 2
Si | zi|=4; Arg [ z (1 + i )] =
entonces el número complejo z en su forma polar es
Si z1= z2 ∧ z2 es un complejo real, determine n.
5.
Si z es un número complejo definido por z= x+yi; x, y ∈ R tal que a ≠ b y | z+ai|=| z+ bi|, entonces determine el valor de E = z – z+(a+b) i A) – 2 D) 2
z2= – 512+a i
4.
C) 2 E) 4
Se tienen los números complejos. z1=[(1+ i)5+(1 – i)5] n; i
3.
B) 1
UNI 2003 - I
8.
Si Arg( z+i)=0 y Arg ( z − i ) =
10
En la siguiente ecuación, determine el número de soluciones. z2= z; z ∈ C
7π 4
determine | z|. A) 5 D) 3
B) 5
2
C) 2 E) 1
Álgebra A) 6 +
NIVEL INTERMEDIO
D) 1 − 2 9.
Calcule −i E =
15.
−1
i
+
i
+
i
−2
2
−
+
i
A) – 1 D) 90 i 10.
i
−3
3
+
+
i
4
i
−4
+
− ...
(90 sumandos)
Si los complejos
z
C) 90 E) 1 2
−
2z + 1
4
A) 11 D) 13 11.
B) 10
donde z
−
=
uv
1 v Determine | v|.
C) 12 E) 14
A)
17.
C) 2 E) 1/2
2
12.
Si Z =
8 r
2
−
i
Z
−
donde r ∈ R
B) 1
14.
π
B)
2 π
π
3
C) E)
5
π
4 π
6
¿Qué número complejo se debe sumar a
(1 −
π
C)
3
π
E)
4
2π 3 π
9
Respecto a las siguientes proposiciones, indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. Re( iz)= – Im( z); z ∈ C II. Re( z)=Im( iz); z ∈ C
IV.
3 ⋅ i
30
2 i
−
i
→
Im
1 < 0; z ∈ C z
19 =
−1
A) VVVV D) FVFV
C) 1/2 E) 1/4
Después de efectuar 2 3 8 k z=(1 – i)+(1 – i) +(1 – i) +...+(1 – i) ; k ∈ N indique el argumento principal de z.
D)
6
i
18.
A)
B)
1 + i
4
A) 0 D) 3/4 13.
π
III. Si Im ( z) > 0
entonces determine el módulo del complejo 3
3
; z ∈ R
B) 3
1+ 4r i
C) – i E) 1+ i
2π
Si Arg ( z − 2) =
D)
−
A) 3/2 D) 1
6 + 6 3 i
donde | z|= 2, determine Arg( z).
Sean u, v ∈ C – R u
3 i
77
B) – 1
;
2 – i son iguales; además, la parte real de z es positivo, halle A=|2 z+4( – 3; 1)|.
C) 1 + 3
Determine el valor de la expresión
A) 1 D) i 16.
3 i
E)
3 i
π π cos 2 + i sen 2
... (90 sumando os)
B) i
B) 6 − 6
3 i
) para que el resultado sea un número
complejo de módulo 4 y argumento 120? 3
C) VFVF E) FFFF
Determine la parte real del número complejo z = 1 + i A) B) C) D)
4
3 i
B) VVFF
E)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
(
2
2 2 2+ 2 2
− 1)
−1
2
+
2
1+ 2 2
Álgebra
Semestral Intensivo UNI
Álgebra 22.
NIVEL AVANZADO
19.
Dados los complejos no nulos z=(a; b) y w=( b; – a) halle el módulo de z – w si 2 z · w=( z – w)3. A) 1
B) 2
(0; 2 2 )
A)
(3; 0)
(– 3; 0)
(0; –2 2 )
C) 3
D) 2 20.
Determine la representación geométrica de todos los puntos del plano complejo que satisfacen la condición | z – 1| ≤ 6 – | z+1|
E)
2 2
(0; 2 2 ) –3
B)
Sea z un número complejo definido por
(3; 0)
30
2 − 2i z = − 3 + i
(0; – 2 2 )
determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. El módulo de z es de la forma 2 n; n > 10.
II. Arg ( z) =
π
2
2
C)
3
–3
(4 n + 3); n ∈ Z
–2
III. El afijo de w=z(1+ i ) está en el segundo cuadrante. A) VFF D) VVV 21.
B) VVF
2
D)
C) FFV E) FVV
2
2
2 3
–3
–2
Considerando el plano de Gauss.
2
3
Im( z)
E)
–2
2
2
2
z
1 –3
2 135º
23.
Re( z) –1
Si z=(a; b) es una de las raíces de 5 x 1 3i , que se encuentra en el primer cuadrante, determine a/b. =
z
2
A) si z2 es el producto de multiplicar z1 y w, halle Re ( w) +
2
Im ( w) +
2
−
1 2
3 3 C) − 3 B)
D) 3 A) 3/5 D) – 2/5
B) – 3/5
C) 2/5 E) 1/5 5
E) −
3 2
4
Álgebra
Academia CÉSAR VALLEJO
24.
Si z ∈ C, tal que z20 – i=0, determine el valor
25.
Material Didáctico N.o 1
Dadas las siguientes proposiciones: I. Las raíces de e in – 1=0 pertenecen a un po-
de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
lígono regular de n lados; ∀ n ∈ N. π i
I. La primera raíz es i
II. Una raíz es e
e 20
π
II. Si e i q=a+bi y θ ∈
.
4
3π
;
4
41π 40
.
entonces a ∈
III. En el tercer cuadrante existen 9 raíces.
−
2 2
;
2 2
y b ∈
2 2
;1
III. Dados a; b ∈ 〈0; 2p〉, tales que b > a si cosa=cosb, entonces e i(a+b)=1.
A) FFF
¿Cuáles son correctas?
B) VVV C) VFV D) FVF
A) solo I
E) FFV
D) I y II
5
B) solo II
C) solo III E) II y III
6
Álgebra Ecuaciones polinomiales 6.
NIVEL BÁSICO
1.
La ecuación polinomial ( x – n)4(2 x+3) p( x – p) n(5 x – 1) n=0 admite 10 raíces cuya suma es
Halle
n
A)
11 5
Determine una raíz. x4+3 x3+5 x2+4 x+2=0
D)
.
−
1+
3
B)
2
−1 +
1−
3
C)
2
3 i
E)
2
3 i
1− 2 −1 +
3 i
.
p
7.
A) – 1/4 D) 1/4 2.
B) 1/3
C) – 1/3 E) 1/5
¿Para qué valor de m la ecuación cuadrática ( m – 5) x2 – 24 x+9=0 tiene solución única?
A) 14 D) 5 8.
A) 8 D) 22 3.
B) 11
C) 2 E) 1
Si las ecuaciones en x 5 nx2 – 2 nx+1=0; n ≠ 0 x3 – a3+3a2 x=3ax2 son equivalentes, halle el valor de A) 26/5 D) 10
5.
C) 21 E) 10
En la ecuación 2 x2 – ( m – 1) x+ m+1=0 ¿qué valor debe darse a m para que las raíces difieran en uno? A) 10 D) 3
4.
B) 9
B) 13/5
1 n + a
C) – 3 E) 3 7
A) 12 D) – 36 9.
.
C) 43 E) 2
Si a; b y c son raíces de P( x)= x3+3 x+1 3 a bc
3 b +
ac
c +
3
ab
B) 24
C) – 18 E) 48
Dada la ecuación polinomial x ( x+3)4+ m( x+3)2+ n( x+3)+ p=0 donde { m; n; p} ⊂ Q posee raíces 3 − 3; i − 3 halle m+n+p. A) – 2 D) – 5
C) 10/3 E) 5/26
B) 4
B) 30
determine E =
Si una de las raíces de la ecuación x5 – 4 x3+ mx+9 – m=0 es igual a ( – 2) indique el producto de todas sus raíces. A) 5 D) – 6
Si a; b y c son raíces de la ecuación 2 x3 – 6 x2+7 x+1=0 determine a2+ b2+c2.
B) 1
C) 5 E) – 1
NIVEL INTERMEDIO
10.
¿Qué podemos afirmar acerca de las raíces de la siguiente ecuación? ax2 – bx – a=0; (a ∧ b ∈ R+) A) Son reales y diferentes. B) Son reales e iguales. C) Son complejas conjugadas. D) Son imaginarias puras. E) No se pueden determinar. 6
Álgebra
cademia CÉSAR VALLEJO
11.
Determine el valor de m para que las raíces de la ecuación x +
2 m x
=
1 2
17.
; x ≠ 0
sean recíprocas. A) 2 D) 8 12.
13.
B) – 1/6
B) – 1
C) 2 E) 3
determine
x12
+
4
x1 + 1
+
x22
+
4
1 + x2
B) 2
20.
tenga su mínimo valor. C) – 3 E) – 5 7
C) – 40 E) – 20
Al resolver la ecuación ( x – 16)3+(11 – x)3+15 x2 – 60 x+125=0
21.
a =
b
.
Halle a – 2 b. A) 69 D) 176
x3 – 2 nx2+( n2+1) x – n=0
B) – 2
B) – 50
NIVEL AVANZADO
.
Determine el valor de n para que la suma de cuartas potencias de las raíces de la ecuación
A) – 1 D) – 4
Un polinomio mónico de quinto grado con coeficientes reales tiene como raíces a x1=2, x2= – 3+2 i y x3=2 – i. Halle la suma de coeficientes de dicho polinomio. A) – 60 D) – 30
C) 1 E) – 3
C) – 6 E) 49
Forme la ecuación de grado mínimo que presenta coeficientes racionales y una de sus raíces es 3 4 + 3 2.
se obtiene como solución x0
Dada la ecuación cuadrática 2 x2 – 3 x+5=0; x1; x2 raíces
A) – 1 D) 3 16.
19.
C) 2 E) 3
B) – 1
B) 54
A) x3+6 x – 6=0 B) x3 – 6 x+6=0 C) x3+6 x+6=0 D) x3 – 6 x – 6=0 E) x3 – 6 x2 – 6=0
Determine el valor de a si las ecuaciones 4 x2=(a – 2)( – 2 x+1) 2 x – a=4 x2 admiten una sola raíz común. A) – 2 D) 1
15.
18.
C) 1/4 E) – 3/4
Dada la ecuación cuadrática 2 a( b – c) x +c(a – b) x+ b(c – a)=0; x1; x2 raíces determine x1 x2 + x2 x1 − x1x 2. A) 1 D) – 2
14.
C) 1/2 E) 4
En la ecuación 2 a x – (a – 5) x+1=0 el producto de raíces es igual a su diferencia. Determine una raíz. A) 2/3 D) 1/2
Calcule ( m – n) si se sabe que en la ecuación x6 – 9 x4+ mx2+ nx+8=0 2 es una raíz doble. A) 5 D) 64
B) 1/4
Material Didáctico N.o 1
B) 142
C) 130 E) 94
Halle la relación entre p y q para que la ecuación x3+3 px+q=0 tenga una raíz de multiplicidad 2. A) q3+4 p2=0 B) q2+4 p3=0 C) q3+ p2=0 D) p2+ q3=0 E) 4 p3+ q2=0 8
Semestral Intensivo UNI 22.
Álgebra
Álgebra
Determine el valor entero de m que hace que las raíces de la ecuación x4=(ax+ m+1)(ax – m – 1) estén en PA; además, a2=4+3 m / a > 0. A) 1 D) – 1
B) 2
24.
Calcule el área de las raíces del triángulo cuyos lados son las raíces de la ecuación x3+a x2+b x+ g =0; a; b; g ∈ R
A)
C) 3 E) – 2
B) 23.
El esquema representa a un polinomio P( x) recíproco de cuarto grado. Halle la suma de productos binarios de las raíces de P( x)=0.
C) D)
Y
E)
25.
1 4 1 2 1 2 1 4 1 4
α4 − 4α 2β + 8αγ α4 + 4α 2β − 8αγ α4 − 4α 2β + 8αγ − α4 + 4α 2β − 8αγ α4 − 4α 2β − 8αγ
Determine el número de soluciones enteras ( x; y) tal que x2( y – 1)+ y2( x – 1)=1.
3 X
A) 2 B) 18
5
A) 2 D) – 25/3
B) 6
C) 25/3 E) 5/9
9
C) 6 D) 3 E) 4
8
Álgebra
SEMANA
03
Academia CÉSAR VALLEJO
Material Didáctico N. o 1
Desigualdades
1.
Si a < c < b < d , determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones: I. [a; b] – 〈c; d 〉=[a; c] II. [a; b〉 ∩ 〈c; d ]=[c; b] III. [c; d ] – [a; b〉=[ b; d ] IV. [a; b〉 ∪ [c; d ]=[a; d ]
D) − 5.
6.
Sean los conjuntos A={ x ∈ R / x ≥ 10 ∨ x ≤ 5} B={ x ∈ R / x ≤ – 5 ∨ x ≥ – 2} C ={ x ∈ R / x > 0,62 ∨ x < 1,62} Halle el conjunto ( A ∩ B) D [( B ∪ C )\( A ∪ C )]
4.
B) 5
2x
−1
3 x
+
Se sabe que a > b > 0 y x > 0. Determine el intervalo al que pertenece M si a− b b + x
A) 1 < M < a b
<
a b
M < 1
C) a < M < b D) b < M < a E) 2 < M <
C) 6 E) 8
Si x ∈ [ – 1; 4〉 determine el intervalo al cual pertenece la expresión E =
35 5 E) − ; − 51 6
Si – 10 < a < – 5 – 2 < b < – 1 2 < c < 5 entonces ab/c está comprendido entre
B)
Si A y B son dos conjuntos definidos por A={ x ∈ R / x > 1 → x < 2} B={( x+3) ∈ R / ( x – 2) ∈ A} entonces halle el número de elementos de B ∩ 〈 – 2; +∞〉 ∩ Z. A) 4 D) 7
21 ;− 41 8 7
M = 1 +
A) R B) R – 〈5; 10〉 C) R – 〈 – 5; 10〉 D) R – (〈 – 5; – 2] ∪ [5; 10]) E) R – (〈 – 5; – 2〉 ∪ 〈5; 10〉) 3.
1 21 C) − ; 6 39
A) 〈1; 10〉 B) 〈 – 40; – 25〉 C) 〈2; 20〉 D) 〈 – 50; – 10〉 E) 〈 – 10; 1〉
A) VVFF B) VVVV C) VFFV D) FFFF E) VFVV 2.
1 B) ; 1 2
3 7 A) − ; 2 17
NIVEL BÁSICO
5
9
7.
a b
Indique cuáles de las siguientes proposiciones son correctas. 1 ab + 1 < I. Si a < 0 ∧ b < 0, entonces a
II. Si a > 0 ∧ b > 0, entonces
2
2
2
a
2 2 a +b
2
≥
III. ∀ a; b; c ∈ R: a + b +c ≥ ab+bc+ac A) I y II B) I y III C) II y III D) I, II y III E) solo I 10
2ab a+ b
Álgebra
Semestral Intensivo UNI 8.
Halle el menor valor entero que adquiere f , donde f =
4
x
−
1
+ x
; x
A) 1 D) 4 9.
>
14.
C) 3 E) 5
Si la desigualdad (a+b)( b+c)(a+c) ≥ Kabc se verifica para cualquier a; b; c ∈ R+, indique el máximo valor de K . B) 10
A) 1 D) 10/3 15.
16.
Si x ∈[a; b]; a < b, entonces para algún t ∈[0; 1], x se puede escribir como
11.
A) 1 D) 4 y 5 12.
B) 2
18.
13.
B) 〈0; 5〉
C) 〈0; 10〉 E) 〈2; 10〉
B) 2
b
b +
2
a
−
1
a
A) – 5 D) – 3 19.
C) 3 E) 5
B) 〈 – ∞; 9]
C) 〈 – 9; 9〉 E) R
Si a; b ∈ R+ y a ≠ b, halle el mayor valor entero negativo de m, tal que se cumpla que 2
qué intervalo se encuentra m2 x+(1 – m2) y?
2
¿Cuál es la variación de l para que la desigualdad (a+b+c)(ab+bc+ac) ≥ l(abc) se cumpla para a; b; c ∈ R+.
a
C) 3 E) 6 y 8
C) 4 E) 8
Si a; b; c son números reales no nulos, tal que 3(a2+ b2+c2) ≥ l(a+b+c)2 determine el mayor valor de l.
A) 〈a; +∞〉 D) 〈0; 9]
Si m ∈ 〈 – 1; 1〉 – {0}; además { x; y} ⊂ 〈2; 5〉 ¿en
A) [0; + ∞〉 D) 〈2; 5〉
B) 2 2
A) 1 D) 4 17.
m+1 m+ 2 1 Si A = m; m + y B = ; 2 3 2 determine todos los posibles valores de m ∈ Z, tal que A ⊂ B.
C) 0 E) 5/3
Si x ∈ R+, determine el mínimo valor de ( x + 3) ( x + 2)
A) 2 D) 4
C) 9 E) 8
A) tb+(1– t)a B) tb+( t –1)a C) ta+(1+ t)a D) ta+( t –1) b E) ( b – a) t
B) 40/3
x 2 + 5 x + 2
NIVEL INTERMEDIO
10.
Determine el máximo valor de K , tal que
a2 + 4 b2 + 25 ≥ K ; a; b < 0. 2 2 9 a 16 b
1
B) 2
A) 6 D) 12
Álgebra
−
1
b
>
m
B) – 1
C) – 2 E) – 4
Determine la variación de 3 ( x + y + z) ; { x; y; z} ⊂ R+ f = ( x + y ) ( x + z ) ( y + z )
Si x ∈ 〈 – 3; 3〉, halle el intervalo al que pertenece
( 3 + x + 3 − x ) A) 〈 – 3; 3〉 D)
A) 0;
B) − 3 ; 3
6 ; 2 3
11
C) [0; 3〉 E) 0; 6
27
8
27 D) ; 27 8 10
27 B) 1; 8
C) [3; +∞〉
27 E) ; + ∞ 8
Álgebra
Academia CÉSAR VALLEJO
23.
NIVEL AVANZADO
20.
A) 3 3 D) 3 21.
B)
2
3
C) 9 E) 0
3
= k
2
2
2
c b c a + b + c ⋅ + + ≥ λ c a b c a b
considere que a; b; c ∈ R+. A) 3 3 D) 1 24.
Si x; y; k son números reales positivos, tal que 2
Determine el mayor valor de l si
a c
Sean a; b; c números reales, tal que a2+ b2+c2=9. Determine el máximo valor de (a+b+c).
Material Didáctico N.o 1
C) 2 E) 1/2
Si la desigualdad 2 x +
x 2 y2 x y 2 + 2 + k y + x y x
B) 4 4
7x + 8 2 x + 3
≥ k
x −1
se verifica para x > 1, determine el mayor valor de k.
determine el máximo valor de k. A)
1+
D) −
22.
5
B) −
2 1−
1+ 2
7
5
C) E)
2
1+
A) 3 D) 4
7
2 −
1+
7
2
Si a; b; c son números reales positivos menos que 1 con a+b+c=2, determine el máximo valor de l.
a b c ≥ λ 1 − a 1 − b 1 − c A) 6 D) 8
B) 4
C) 12 E) 2
11
25.
B) 5
C) 2 E) 1
Sean a, b números reales positivos, tal que a+b=1. Determine el máximo valor de a.
a + 1 2 + b + 1 2 ≥ α a b A) 12 B) 4 C) 25/2 D) 23/2 E) 21/2
12
Álgebra
Semestral Intensivo UNI
SEMANA
04
Álgebra
Inecuaciones polinomiales 6.
NIVEL BÁSICO
1.
Resuelva 3 x
−1
2
2.
2x <
+
3
A) −
17 6 ; 5 5
D) −
21 6 ; 5 5
5
B) −
21 9 ; 5 5
C) −
14 9 ; 5 5
E) −
17 13 ; 5 5
B) R
9.
C) 9 E) –11
Para qué valores de a la inecuación cuadrática 2 2 x +ax – 2 < 2 x – 2 x+2 se verifica ∀ x ∈ R
C) 〈 – 3; +∞〉 E) 〈 – 3; 4〉
B) 2
C) 1 E) – 1
Determine el conjunto solución de x x
−
b
−
a
a <
b
si 0 < a < b.
A) 〈a; b〉 B) 〈0; b〉 C) 〈 b; a+b〉 D) 〈a – b; a+b〉 E) 〈a; a+b〉 NIVEL INTERMEDIO
10.
Resuelva x
−
A) D)
13
B) 〈 – 6; – 3〉
Al resolver la inecuación ( x4 – 1)( x – 2)2( x3+1) ≥ 0 se obtiene como solución x ∈ [ b; +∞〉 ∪ { – 1} Determine b.
1 − 3 x 2
n
A) a ∈ 〈 – 6; 2〉 B) a ∈ 〈 – 15; – 10〉 C) a ∈ 〈 – 10; – 7〉 D) a ∈ 〈3; 6〉 E) a ∈ 〈1; 3〉
C) [3; 4] E) [ – 3; 4]
Resuelva ( x2+2 x – 24)( x+3) < 0 e indique un intervalo solución.
A) – 2 D) 0
C) 3 E) 1/6
B) 2
B) 〈4; +∞〉
A) 〈 – 6; 3〉 D) 〈 – ∞; – 3〉 8.
C) { – 2} E) f
B) 2
7.
Determine el valor entero de n para que el conjunto solución de la inecuación cuadrática ( n+3) x2 – (3 n+1) x+1 ≤ 0 sea unitario A) 1 D) 11
5.
<
A) [ – 3; – 3] D) [ – 4; 4]
+ 12
Dados los conjuntos 2 A={ x ∈ R /2 x – 3 x < 5} 2 B={ x ∈ R /3 x – 5 x ≥ 2} determine la longitud de A ∩ B. A) 1 D) 7/6
4.
5x
Dados los conjuntos 2 A={ x ∈ R / x – 16 x+64 ≥ 0} 2 B={ x ∈ R /4 x +4 x+1 > 0} determine A – B. A) R – { – 2} D) {– 1/2}
3.
3
Resuelva 4 2 x – 25 x +144 ≤ 0 e indique un intervalo solución.
;
−∞
−
1 3
<
1 2
;+∞
12
x +1
4 n
; n < – 0,5
B)
1 3
;+∞
C)
−∞
E)
−
;
1 2
1 3
;+∞
Álgebra
Academia CÉSAR VALLEJO
11.
¿Qué valor debe tomar k para que la inecuación cuadrática en x tenga solución única? 2 kx – (5 k+2) x+8 k+2 ≥ 0
A) 3 D) 8 16.
A) 2 D) – 7/2 12.
B) 0
C) – 2/7 E) 2/7
3
≤
4
a < 1.
A) f
17.
B) − a; 1− 1 − a
UNI 2007 - II
Calcule la suma de todos los números naturales múltiplos de 23 que verifican 0
<
− 175
5 x
+
x − 900) x
Determine las soluciones negativas de la inecuación
2
<
18.
1
−3 <
14.
B) 92
A) 2 D) 5 15.
B) 3
C) 4 E) – 3
Al resolver la inecuación en x a<
x+a x + b
< b;
se obtiene
C) 391 E) 220
Dada la inecuación en x (a – b) x2+( b – c) x+(c – a) > 0 se obtuvo como CS=〈 – ∞; m〉 ∪ 〈3; +∞〉. c−b Determine . a− b
x
2
−
+ ax −
2
19.
13
≥0
2 <
2
C) 〈 – 1; 2〉 E) 〈0; 1〉
Indique su conjunto solución de (2 x − 1)2 ( x + 2)5 ( x − 3)2
( x 2 + 4 x + 5) ( x − 3)5 A) 〈 – 2; 6〉 B) 〈 – 2; +3〉 – {1/2}
E)
Determine a+b.
−2
B) R
2;
−
1
∪
2
D) −2; 6 −
3
x2
− x +1
A) 〈 – 1; 4〉 D) [1; 2〉
a ≠ b; a > 1
a − 2b;
−
se verifique ∀ x ∈ R.
C)
14
3
Halle los valores de a para que la desigualdad x
A) 69 D) 138
+ 2x
A) 〈 – 1; 0〉 B) 〈 – 7: 0〉 C) [ – 5; – 2] D) [ – 5; – 1] E) R –
E) − a; 1 − 1 − a ∪ 1 + 1 − a; − 2 a
2
Resuelva x( x+6)(2 x+1) < x( x+6)( x – 7) e indique el conjunto solución.
x 5
D) 1 + 1 − a; + ∞
7 ( x
C) 10 E) 6
( x2 − 2 x − 35) ( x + 2) ( x 3 − 1)
C) −∞; 1 − 1 − a
13.
B) 8/3
A) 〈 – ∞; – 6〉 ∪ {0} B) 〈 – ∞; – 8〉 ∪ 〈 – 6; 0〉 C) R+ – {3} D) R – – { – 3} E) R – – {6}
Halle la intersección de los conjuntos 2 P={ x ∈ R / x – 2 x+a ≥ 0} y 2 2 Q={ x ∈ R / x – ax – 2a ≥ 0} donde
Material Didáctico N.o 1
1 2
3; 6
{ } 1
2
;3
; 6 − {3}
14
<
0
Semestral Intensivo UNI
Álgebra
Álgebra 23.
NIVEL AVANZADO
20.
Indique para qué valores de k el polinomio P( x)=( k+1) x2+2 x+2 tiene sus dos raíces dentro del intervalo de 〈 – 1; 1〉. 1 A) −5; − 2
B) 〈1; 2〉
C) −1; −
1
21.
A) 6 D) 5
1
B) 4
C) 3 E) 2
2
1 E) −1; − 2
D) −1; − 2
Dado el polinomio P( x)= x4+ mx3+ nx2+ dx+36 de raíces a; b; c y d donde a+2 b+3c+6 d =24 {a; b; c; d } ⊂ R+ resuelva la inecuación P( x) ≤ 0 y dé como respuesta el supremo de su conjunto solución.
24.
Sea P( x)= x3 – 3ax2 – a2 x+3a3 donde a > 0; Q( x)= – P( x – a) Indique lo correcto.
Sean a; b; c lados de un triángulo y ka2 < (a+b+c)2... P(1) Resuelva la inecuación ( x – 5 k0)( x3 – 6 k0 x2+11 k02 x – 6 k03) < 0 donde CS= A, k0=má x{ k ∈ Z / k verifica P1} Halle Sup( A)+Inf( A). A) 15 D) 12
A) Q( x) ≥ P( x); ∀ x < 0 B) Q( x) ≥ P( x); ∀ x ∈ 〈0; a〉 C) P( x) ≥ Q( x); ∀ x ∈ 〈a; 2a〉 D) Q( x) ≥ P( x); ∀ x ∈ 〈2a; 3a〉 E) Q( x) ≥ P( x); ∀ x > 3a
25.
UNI 2000 - II
B) 18
C) 21 E) 24
Al resolver la inecuación
1+ 1 500 + 1+ 1 500 + 1+ 1 500 − 3 2 2 2 x + 2 x + 3 x + 4 500
22.
En la inecuación 17
( x + 1)
13
( x − 2)
2
5
( x − 3)
( x 2 +1)
+ 9 x +1 2 x 2 + 9 + + 2 x 2 + 2 x 2 + 3 x + 4
40
( x2 + x + 1)
( x + 7)11 ( x + 5)17
<
0
3 x
3
Dé como respuesta la suma de los extremos finitos del conjunto solución.
presenta un conjunto solución CS=〈 – 2; h〉
A) – 4 D) – 8
A) 0 D) 3
B) – 5
C) – 7 E) – 6
15
>
5
si a+b=| h|, determine (a2+ b) – (a+b2)5 B) 1
14
C) 2 E) 4
Álgebra
SEMANA
05
Academia CÉSAR VALLEJO
Material Didáctico N. o 1
Valor absoluto y Expresiones irracionales 6.
NIVEL BÁSICO
1.
A)
Sean A y B dos conjuntos, tales que A={ x ∈ R /|3 x – 1|=|5 x – 15|} B={ x ∈ R /| x+5|=2 x – 4} Entonces determine ( A – B) ∪ ( B – A). A) {7} D) 〈 – ∞; 0]
B) {9}
Resuelva | x2+4 x – 7| > | x2 – 2 x – 5|
C) {0} E) {2; 7; 9}
3;
−
7.
Dada la igualdad | x – a+ b|=| x+a – b| indique lo correcto.
Luego de resolver la ecuación
8.
4.
x
−1 =
2x
−1
B) 1
C) 3 E) 2
Resuelva la inecuación
9.
Resuelva x
C) 8 E) 46/5
+
42
>
x
A) x ∈ [ – 6; 7〉 B) x ∈ 〈 – 6; 7〉 C) x ∈ [ – 42; +∞〉 D) x ∈ 〈0; 7〉 E) x ∈ [ – 42; 7〉 NIVEL INTERMEDIO
10.
Determine el conjunto solución de la ecuación 5
Resuelva | x – 2|2 – 3| x – 2| – 28 < 0 B) 〈 – 5; 9〉
+1+
A) 〈 – ∞; – 4] ∪ [4; +∞〉 B) [ – 5; 5] C) [ – 5; – 4] ∪ [4; 5] D) R – [ – 5; 5] E) f
Resuelva 4 – x ≥ | x2 – 6 x+8|
A) 〈 – 4; 9〉 D) 〈 – 5; 6〉
3x
−
2
A) [1; 3] ∪ 〈4; +∞〉 B) [1; 3] ∪ 〈2; +∞〉 C) 〈1; 3〉 ∪ {4} D) [1; 3] ∪ {4} E) f 5.
5
x − 16 ≤ 3
Si A={ x ∈ R /|3 x – 1|=2 x+5} B={ x ∈ R /| x+2|+6=3 x} halle la suma de los elementos de A ∪ B. B) 7
+
A) 0 D) 4
UNI 2009 - I
A) 6 D) 9
2; + ∞
determine el número de soluciones.
A) x=0 ∨ a2= b2 B) x=a= b C) x=0 ∧ a= b D) x=0 ∨ a= b E) x=a= – b
3.
∪
3
B) 〈2; +∞〉 C) 〈 – 3; 3〉 ∪ 〈2; +∞〉 D) 〈 – 3; 2〉 E) R
4 x 2.
1
−
15
−
2
=
3x
−
2
{ } { − D) { }
A) C) 〈 – 3; 6〉 E) 〈 – 2; 3〉
x
1 9 ; 4 4
1 9 ; ; 4 4
1 9
B) − ;
5 5 ; 2 2
16
4 4
}
{
5 5
C) − ; E) f
2 2
}
Álgebra
Semestral Intensivo UNI 11.
Álgebra
Dado el conjunto A =
{x
x−2
∈R
−
x−3
−
A) – 4 D) 3
}
3x = 4
B) – 2
C) – 1 E) 2
determine el número de elementos de A. 16.
A) 0 D) 3 12.
B) 1
C) 2 E) 4
Resuelva la siguiente inecuación. x −
1
x
+
8
2
−
5x
4
<
3
−
3x
2
+
17.
−
6
;
−∞
B) x ∈ C) x ∈
1 3
;
−∞ −
−
1 6
∪
1 4
18.
>
x
−
B)
1 4
D) E) 19.
x
−2 −2
2 − x + 4
;
−∞
3 −
;
−∞ −
2 3
∪
2
;
−∞ −
≥ x − 4
0; 1
se obtiene como conjunto solución x ∈ [a; b] ∪ [c; d ] Determine a+b+c+d . 17
∪
1; + ∞
R
Al resolver la inecuación 4 − x + 8
3 2
;+∞
Luego de resolver la inecuación −
– 4〉 – 3〉 – 1〉 – 5〉
;+∞
4
2
x + 3
C) 〈0; 1〉 ∪ 〈1; +∞〉
E) x ∈ f
x
2
2
−
Resuelva | x – 1| – | x|+|2 x+3| > 2 x+4 A)
D) x ∈ R
15.
−
x <
2
2; + ∞ ∪
+1
A) 〈 – ∞; B) 〈 – ∞; C) 〈 – ∞; D) 〈 – ∞; E) f
e indique su intervalo solución. A) x ∈
E) [0; +∞〉
Resuelva x
7− x
5x
1 C) − ; 0 2
UNI 2009 - II
Resuelva x
1 1 B) − ; 2 2
1 D) − ; 0 2
A) 〈 – ∞; 1] ∪ [4; 5〉 B) 〈 – ∞; 1] ∪ [3; 4〉 C) 〈 – ∞; 1] ∪ 〈4; 5〉 D) 〈 – ∞; 1] ∪ [4; 6〉 E) 〈 – ∞; 2] ∪ [3; 4〉
3
}
x − x −1 ≤ 1
determine A\B.
x +
{x ∈ A
A) f
Resuelva x
14.
B =
4 − x ≥ 0
A) [ – 1; 0〉 ∪ [1; 4] B) [1; 4] C) 〈 – 1; 0〉 ∪ [1; 7] D) R E) f 13.
Dados los conjuntos A = { x ∈ R x − x ≤ 1}
6
x
x − 2
2
−1
≥
5
1 − x − 1
su conjunto solución es 〈a; b]. Determine a2+ b2. A) 5 D) 17
B) 10
16
C) 20 E) 13
Álgebra
Academia CÉSAR VALLEJO
NIVEL AVANZADO
1
C)
a
Material Didáctico N.o 1
;+∞
D) R 20.
Resuelva x
>
4
(
1+ x
)(
−1
1− x
E)
)
+1
;
−∞
1 −
a UNI 2002 - I
A) x ∈
1 −
2
B) x ∈ 0;
;0
23.
x (
1 2
C) x ∈ 〈0; 1〉 D) x ∈ 〈 – 1; 1〉
Si el conjunto A =
{x
24. 2
x −1−
∈R
}
x −1 ≥ 0
B) [ – 2; 2]
C) 〈 – 2; 2〉 E) [ – 2; 1]
{x
∈R
a
< −
4 y 2 − ax >
x
+
ax
2
}
2
−
2
2x −
−
1 A) −∞; 0] ∪ − ; + ∞ a
2 =
3x
25.
.
n
C) 13 E) 14
10 x
2
3
+
3x
− 18
indique M =( x1 – 1) – 4. B) 1/16
C) 1/8 E) 1/81
Dado el conjunto
A = x ∈ R
es igual a
3
A) 1/4 D) 1/32
El conjunto A =
B) 12
m
Si x1 es una solución de la ecuación 2 x
22.
3 − x ) = 3 x, x ≠ 0
+
se obtuvo como solución x = Determine m+n.
3 x
entonces el conjunto R \ A está dado por A) f D) 〈 – 2; 1〉
1− x
A) 11 D) 10
E) x ∈[ – 1; 0〉 21.
Luego de resolver la ecuación.
7x
−
3x
2
− 8 x + 1 8 = + x x
halle el cardinal de A.
1 B) 0; − a
A) 0 D) 3
17
B) 1
18
C) 2 E) 4
2 x
Semestral Intensivo
NÚMEROS COMPLEJOS
ECUACIONES POLINOMIALES
DESIGUALDADES
INECUACIONES POLINOMIALES
VALOR ABSOLUTO Y EXPRESIONES IRRACIONALES