ALGORITMO DE THOMAS PARA LA SOLUCIÓN DE MATRICES TRIDIAGONALES APLICADO A LA INGENIERÍA QUIMICA. ANA MILENA TORRES GARAVITO GARAVITO GERMAN ALEXIS SALAS GOMEZ. LEONARDO VASQUEZ PADILLA
OBJETIVOS.
Estudi Estudiar ar la aplica aplicació ción n de las distin distintos tos méto método doss numé numéri rico coss en la solu soluci ción ón de problemas propios en en ingeniería química. Recono Reconocer cer la import importanc ancia ia del anális análisis is numérico en la presentación de resultados en trabajos trabajos de investigac investigación ión en ingeniería ingeniería química.
RESUMEN. En este este caso caso parti particu cula larr se aplic aplicar aran an los conocimientos adquiridos en la asignatura para la resolu resolució ción n de un proble problema ma de balanc balancee de masa con reacción química en estado estacionario en un reactor de etapas (unidades múltip múltiples les)) en el cual cual deseam deseamos os conoce conocerr las concen concentra tracio ciones nes molar molares es en cada cada una de las etapas de el reactor.
CONTENIDO DEL ARTICULO. El estu estudi dio o de los los dist distin into toss méto método doss para para el análisis numérico en una herramienta más para aront arontar ar cualqu cualquier ier situac situación ión no solo solo a nivel nivel ingenieril ingenieril !"o cientíico cientíico sino también también para la vida diaria. #n ejemplo de esto son los reactores los cuales cuales repres represent entan an la parte parte del proces proceso o donde donde ocurr ocurren en la ma!orí ma!oríaa de las reacci reaccione oness químic químicas$ as$ sin embar embargo go el estud estudio io mismo mismo del dise%o dise%o de los reacto reactores res involu involucra cran n mucha muchass variables que se deben tener en cuenta para la optimi optimi&ac &ación ión$$ dise%o dise%o ! contro controll del proces proceso o estu estudi diad ado$ o$ lo cual cual nos nos gene genera ran n prob proble lema mass comple complejo jo de transp transport ortee de luido luidos$ s$ cinéti cinética ca química$ materiales$ termodinámica$ etc. Este tipo de problemas tiene gran aplicación en la industria actual !a que precisamente se busca la tran trans sor orma maci ción ón de la mate materi rias as prim primas as en productos de ma!or valor por medio de las reacciones químicas$ las cuales dependen de la termod termodiná inámic micaa ! la cinéti cinética ca especi especiic icaa de la reacciones que se encuentran involucradas en el problema que en este caso suponemos no presentas limitaciones para la operación misma
del reactor. 'or otro lado se decidió tomar el lujo en estado estacionario para la simpliicación de la resolución del del este problema especíicamente$ especíicamente$ sin embargo también se podría contar con un termino de acumulación el cual nos conduciría a un sistema de ecuaciones dierenciales que se solucionaría con los métodos estudiados en clase tomando valores iniciales de concentración en el reactor mismo. upondremos que no ha! intercambio de energía entre nuestro sistema ! los alrededores$ que no ha! perdidas por lujo en la tubería$ que las presiones en las terminales son constantes $ lo que nos ahorrara el calcul calculo o de las perdid perdidas as por calor calor $ trabaj trabajo$ o$ ! perdidas por lujos en tuberías ! cambios de presión. contin continuac uación ión presen presentam tamos os el esquem esquemaa del problema a solucionar* solucionar* En un proceso industrial de transormación de materias primas se tiene un reactor de cuatro etap etapas as el cual cual requ requie iere re un alim alimen ento to de los los reactivos de +,,, l"h. e quiere calcular las concentraciones en cada etapa del reactor teniendo en cuenta que ocurre una sola reacción de primer orden. -/R0 -E1 RE234R.
2,
R +
E
R 5 9+
95
96
97
2+
25
26
27
: +
: 5
: 6
: 7
2+ E 8 +,,, 1 " h. 2, 8 + mol " 1. R + 8 +,, 1 " h. R 5 8 +,, 1 " h.
25
26
27
-onde : i representa la constante de equilibrio de la reacción en cada reactor.
BALANCE EN CADA REACTOR. E;3R- 8 1- < RE224;. E 8 < R.
Reacto ! +,,, = (+) 8 +,,, = 2+ ++,, = 2+ 8 +,,,
< 9+= : + = 2+. (1)
Reacto " +,,, = 2+ < +,, = 26 8 ++,, = 25 < 95=: 5=25. (2) +,,, = 2+ > +7,, = 26 < +,, = 26 8 ,
Reacto # ++,, = 25 < +,, = 27 8 +5,, = 26 < 96=: 6= 26. (3) ++,, = 25 ? +57, = 26 < +,, = 27
Reacto $ ++,, = 26 8 ++,, = 27 < ++,, = 26 ? ++,, = 27
97 = : 7 = 27. (4)
4rgani&ando las ecuaciones (1), (2), (3) ! (4) obtenemos la siguiente matri& tridiagonal*
++,,
,
+,,, ?+7,,
,
,
+,,
,
,
++,,
?+57,
+,,
,
,
++,,
?+5@,
2+
+,,,
25
,
26 8
,
27
,
la solución de esta matri& se puede obtener a partir del algoritmo de 3homas a b c d
( ( ( (
, +,,, ++,, ++,, ) ++,, ?+7,, ?+57, ?+5@, ) , +,, +,, , ) +,,, , , , )
i 8 5*nt. m 8 ai " bi> + bi 8 bi > (m = 2i?+ ) di 8 . El listado de dicho algoritmo es el siguiente* display('ALGORITMO DE THOMAS') nt=input('Ingrese el núer! de eleent!s de la diag!nal" ' )# disp(' ') $ A %!ntinua&in se uestra la !ra de la atri *ue de+e ser tridiag!nal y $ d!inante disp(',- GR-') disp('E. ,. G. R.') disp(' E/ ,/ G/ R/')
Reactor. + 5 6 7
:i (h?+ ) ,.+ ,.5 ,.7 ,.6
9i (1) +,,, +@,, +,, @,,
disp(' 0 0 0 0') disp(' En ,n Gn') disp(' ') et=input('Ingrese 1 E. E/000En2 en un 3e&t!r" ')# $Esta es la diag!nal ineri!r t=input('Ingrese ,- ,.000,n2 en un 3e&t!r" ')# $Esta es la diag!nal gt=input('Ingrese G- G.00012 en un 3e&t!r" ')# $Esta es la diag!nal superi!r rt=input('Ingrese R- R.000Rn2 en un 3e&t!r" ')# $Est!s s!n l!s 3al!res independientes !r 4=."nt2 $%!n este !r se epiea la des&!p!si&in et(4)5t(46-)# et(4)=ans# t(4)6et(4)7gt(46-)# t(4)=ans# end !r 4=."nt2 $%!n este !r se 8a&e la sustitu&in 8a&ia adelante rt(4)6et(4)7rt(46-)# rt(4)=ans# end 9t=rt6rt# rt(nt)5t(nt)# 9t(nt)=ans# !r 4=nt6-"6-"-2 $A*u: se 8a&e la sustitu&in 8a&ia atr;s (rt(4)6gt(4)79t(4<-))5t(4)# 9t(4)=ans# end display('La s!lu&in del sistea es" ') s!l=9t# s!l
1/4R304 -E 3A40 ngrese el número de elementos de la diagonal* 7 B+ /+ R+ E5 B5 /5 R5 E6 B6 /6 R6 . . . . En Bn /n ngrese , E5 E6...En$ C,$+,,,$++,,$++,,D
en
un
vector*
ngrese B+ B5...Bn$ en un vector* C++,,$?+7,,$? +57,$?+5@,D ngrese /+ /5...,$ en un vector* C,$+,,$+,,$,D ngrese R+ R5...Rn$ en un vector* C+,,,$,$,$,D
LL14/R
1a solución del sistema es* sol 8
,.,+ ,.FF ,.FF@7 ,.@G@ Estos resultados ueron obtenidos con a!uda de matlab H ahora hallaremos el porcentaje de error teniendo en cuenta los datos teóricos ! eIperimentales E .rel
E .rel
E .rel
E .rel
E .rel
E .teor =
,.E,E+ =
E .ex.
−
,.FGE
−
+J
=
= +,,
,.F@G
−
= +,,
,.FF@7 ,.@G@
=
= +,,
,.FEFE ,.FF@7
=
,.E
−
,.E,E+ ,.FEFE
=
= +,,J
E .teor
,.@KE
−
,.@G@
= +,,
+.+6J
=
+.++J
=
+.,5J
=
24;21#4;E
El análisis numérico es herramienta más para la solución de problemas en ingeniería$ ciencias$ matemáticas ! todo aquello que tenga que ver con investigación . nte todo es necesario anali&ar la situación que enrentamos ! encontrar los métodos que mejor se acomoden a ellos ! nos permitan una solución acil aproIimada ! lo mas precisa posible$ !a que eIisten múltiples ! variados métodos para la resolución de un problema pero algunos son mas apropiados que otros. El análisis numérico nos permite visuali&ar la importancia del tratamiento de datos en presencia de resultados en trabajos de investigación$ !a que de esto depende que dichos pro!ectos ! eIperiencias llevadas a cabo puedan ser concretas. -ebe reconocer la importancia de los distintos programas computacionales lo cuál acilita nuestro objetivo con el in de alcan&ar una orma mas rápida ! eica&. 'ara resumir podemos decir que hemos encontrado una orma de aplicación de nuestros conocimientos adquiridos en la materia$ relacionándolos también con cualquier área cientíica ! de investigación$ sin dejar atrás las bases que lo soportan.
2#R3 B /ER1- $ nálisis ;umérico$ 5da Edición$ Ediciones seaomega .. ++ 0éIico -.B. 2hapra$ 2* ! canales$ R. 0étodos numéricos para ingenieros Editorial 0cgraM?Aill$ 0éIico +G. 2onstantini métodos numéricos
