UNIVERSIDAD ESTATAL PENINSULA DE “SANTA ELENA”
FACULTAD CIENCIAS DE LA INGENIERIA CARRERA DE INGENIERIA EN PETROLEO TEMA: ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINAMICA: DIMENSIONES ECUACIONES CONCEPTOS DE FUNCIONES Y GRUPOS ADIMENSIONALES
MATERIA: MECÁNICA DE FLUIDOS
PROFESOR: ING. FAUSTO CARVAJAL ORRALA
INTEGRANTES: MENDEZ CHONILLO VALERIA JESSENIA MENOSCAL PERERO MANUEL ENRIQUE PICHINÁ LOZANO HARRINSON JORDAN POZO COCHEA JONNY ALBERTO
CURSO 4/1 I N G E N I E R I A E N PE PE T R OL OL E O
INTRODUCCION ............................................................................................................................. 1 OBJETIVO GENERAL .................................................................................................................... 2 OBJETIVOS ESPECIFICOS .................................................................................................. 2
ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINAMICA ........................................................... 3 DIMENSIONES Y UNIDADES ................................................................................................... 3 HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (ECUACION HOMOGENEA)................................... 4 Eliminación de dimensiones de las ecuaciones ............................................................................ 5 El número de Froude .................................................................................................................... 7 ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD ............................................................................. 8 GRUPOS ADIMENSIONALES IMPORTANTES EN LA MECÁNICA DE FLUIDOS .... 11 CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 14 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................. 14
INTRODUCCION El análisis dimensional es un método de análisis que parte de la premisa que debe existir una relación dimensionalmente homogénea entre las variables involucradas en la descripción de un fenómeno físico. Es un proceso mediante el cual se examinan las dimensiones de los fenómenos físicos y de las ecuaciones asociadas, para tener una nueva visión de sus soluciones. A partir de este análisis surge la importancia que tiene el uso de distintos parámetros adimensionales. El método presenta:
Ventajas:
Reducir el número de variables. Permite abordar problemas complejos. Requiere de información mínima. Simplifica la investigación, reduciendo la experimentación. Dar una guía de cómo realizar experiencias sobre modelos a escala.
Desventajas:
Entrega una solución incompleta del problema en estudio No se gana un conocimiento respecto al mecanismo del fenómeno estudiado.
Para describir cualquier fenómeno físico, necesitamos referirnos a ciertos conceptos o entidades físicas, tales como fuerza, masa, velocidad, aceleración, tiempo, temperatura, etc. Para cada una de estas entidades físicas se ha aceptado una unidad de medida. Una forma de homogeneidad dimensional es transformar en adimensional las ecuaciones utilizadas, lo cual quiere decir que la ecuación se transforma en una serie de parámetros sin dimensiones. Otra técnica importante para realizar ensayos de laboratorio es la similitud, que consiste en estudiar modelos con el fin de predecir lo que va a ocurrir en los prototipos. En este caso el estudio se realiza en modelos ya sea porque el prototipo tenga dimensiones demasiado grandes, como en el caso del flujo alrededor de un conjunto de edificios, en una represa, etc. O porque las dimensiones del prototipo sean demasiado pequeñas para obtener un resultado suficientemente preciso como el caso de un flujo en un tubo capilar, alrededor de un alabe de turbina, o incluso de un microorganismo.
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OBJETIVO GENERAL
Entender el análisis dimensional y su importancia en la mecánica de fluido y en las demás ramas de la ciencia mediante la búsqueda de información para el enriquecimiento de nuestros conocimientos.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Conocer que es un parámetro dimensional Diferenciar el concepto de Dimensión y Unidad Conocer las diferentes similitudes entre un modelo y un prototipo.
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ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINAMICA DIMENSIONES Y UNIDADES Una dimensión es una medida de una cantidad física que no posee valor numérico, mientras que una unidad es una manera de asignar un valor numérico a dicha dimensión. Existen 7 dimensiones primarias (dimensiones fundamentales o básica): masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente eléctrica, cantidad de luz y cantidad de materia. A su vez existen muchas dimensiones no-primarias que provienen de la combinación de éstas 7 dimensiones primarias. Para distinguir la diferencia entre dimensión y unidades: “la masa es una dimensión que se mide en unidades de gramos (g), libras (lb), etc.”
= ×
Por ejemplo, según la segunda ley de Newton la fuerza tiene las mismas dimensiones que el producto entre la masa y la aceleración “
dimensionales primarias:
”. En consecuencia, en términos
= : =
donde los corchetes indican “las dimensiones” y las abreviaturas se toman de la siguiente
tabla:
Dimensiones primarias y sus unidades en Unidad SI (Sistema Dimensión Símbolo Internacional) Masa m kg (kilogramo) Longitud L m (metro) Tiempo t s (segundo) Temperatura T K (kelvin) Corriente eléctrica I A (ampere) Cantidad de luz C cd (candela) Cantidad de materia N mol (mole)
Unidad Inglesa lbm (libra-masa) ft (pie) s (segundo) R (rankine) A (ampere) cd (candela) mol (mole)
Ejemplo: Escriba las dimensiones primarias de la constante universal del gas ideal
= = = =
”, donde: P es presión, V es volumen, n representa
Según la Ley del gas ideal “
el número de moles y T es temperatura absoluta.
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× ) ( ) ( = = × × = = = = 12211
HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (ECUACION HOMOGENEA) Todos hemos escuchado el refrán: “No puedes sumar manzanas con naranjas”. En realidad, es una expresión
simplificada más global y fundamental para ecuaciones, la ley de homogeneidad dimensional, que se define como: “todo termino aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones”
∆
Tomando como ejemplo el cambio en energía total de un sistema cerrado compresible simple de un estado y/o tiempo 1 a 2. El cambio en energía total del sistema ( ) está dado por:
∆ = ∆ +∆ +∆
Donde E tiene 3 componentes: energía interna (U), energía cinética (EC) y energía potencial (EP). Dichos componentes se pueden escribir en términos de masa del sistema (m); las cantidades mensurables y las propiedades termodinámicas en cada uno de los dos estados, como la velocidad (v), elevación (h) y la energía interna especifica (u), y la conocida contante de aceleración gravitacional (g):
∆ = ∆∆ == 12ℎ ℎ
Es sencillo verificar las dimensiones de la ecuación del cambio de energía total del sistema y a su vez, los tres términos aditivos que conforman dicha ecuación, en dimensiones primarias:
∆ = = × ∆ = = ∆ = 4
∆ = ∆ = ∆ =
∆ =
∆ =
Si en alguna etapa de un análisis se encuentra una situación donde los términos aditivos poseen diferentes dimensiones, esto sería una indicación clara de que se ha cometido un error en el proceso. Otro ejemplo para la comprobación de la homogeneidad dimensional, es la famosa y muy conocida en la mecánica de fluidos “la ecuación de Bernoulli” para flujo de fluidos
irrotacional incompresible:
= + 12 + ℎ
Verificamos que las dimensiones en los términos aditivos sean las mismas, y con ello conocer las dimensiones de la constante C.
1 = ó = [ ] = [ ] = = × = 1[2 ] = × × ℎ = [ ] = × = =
Como podemos comprobar, las dimensiones de los términos aditivos tienen las mismas dimensiones, por lo tanto, la constante C, tendrá las mismas dimensiones:
Eliminación de dimensiones de las ecuaciones
La ley de homogeneidad dimensional garantiza que los términos aditivos de una ecuación tienen las mismas dimensiones. En consecuencia, si cada termino de dicha ecuación se divide entre un conjunto de variables y constantes cuyo producto tenga las mismas dimensiones, dicha ecuación queda sin dimensiones. Si, además, los términos adimensionales en la ecuación son de orden de magnitud de 1, la ecuación se denomina normalizada. Por lo tanto, la normalización es más restrictiva que la adimensionalización, aun cuando los dos términos se usen erróneamente. En el proceso de adimensionalidad en una ecuación de movimiento, con frecuencia aparecen parámetros adimensionales, la mayoría de los cuales reciben su hombre a un científico o ingeniero notable (ejemplo: Numero de Reynolds y Numero de Froude). A este proceso algunos autores lo llaman análisis por inspección.
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Las variables dimensionales se definen como cantidades dimensionales que cambian en el problema. Para la ecuación diferencial de movimiento existen 2 variables dimensionales: z (dimensión de longitud) y t (dimensión de tiempo).
=
Las variables adimensionales se definen como cantidades que cambia en el problema, pero que no tienen dimensiones; ejemplo es el ángulo de rotación que se mide en unidades adimensionales.
La constante gravitacional , aunque es dimensional, permanece constante y se denomina constante dimensional. El termino parámetro se usa para el conjunto combinado de variables dimensionales, variables adimensionales y constantes dimensionales en el problema.
= veces y aplicando las condiciones iniciales. El resultado es una expresión para la elevación en cualquier tiempo: 12 = + La contante y el exponente 2 en la ecuación obtenida son resultados adimensionales de proceso de integración. A dichas constantes se las denomina constantes puras (otros La ecuación diferencial de movimiento “
” se resuelve fácilmente al integrar dos
ejemplos comunes son y )
=
Para eliminar las dimensiones de la ecuación , es necesario seleccionar parámetros de escalamiento con base en las dimensiones primarias contenidas en la ecuación original. En esta ecuación solo existen 2 dimensiones primarias (longitud y tiempo), por lo tanto, solo 2 parámetros de escalamiento. Existen algunas opciones en la selección de los parámetros de escalamiento porque se tiene 3 constantes dimensionales ( ). Se eligen y , se recomienda repetir el análisis con y pero también con y . Con estos dos parámetros de escalamiento se eliminan las dimensiones de las variables dimensionales y .
,,
El primer paso es hacer una lista de las dimensiones primarias de todas las variables dimensionales y constantes dimensionales en el problema:
= = = = ⁄ = ⁄ ∗ ∗ ;
;
;
;
El segundo paso es usar los parámetros de escalamiento para eliminar dimensiones y (por inspección) y convertirlas en variables adimensionales y .
Despejando:
∗ = ∗ = = ∗ = ∗ 6
Sustituyendo en la ecuación diferencial de movimiento:
= ∗∗ = ∗∗ = ( ) (∗)∗ = 1 ecuación adimensional deseada.
(∗)∗ =
El agrupamiento de las constantes adimensionales es esta ecuación es el cuadro de un conocido parámetro o grupo adimensional llamado Número de Froude:
=
El número de Froude aparece como un parámetro adimensional en flujos de superficie libre y se puede considerar como la razón de la fuerza de inercia a la fuerza gravitacional. Sustituyendo en la ecuación adimensional obtenida tenemos:
(∗)∗ = 1
En forma sin dimensión, solo permanece un parámetro a saber, el número de Froude. La ecuación obtenida se resuelve fácilmente al integrar dos veces y aplicando las condiciones iniciales. El resultado es una expresión para la elevación sin dimensiones en cualquier tiempo sin dimensión :
∗
∗ = 1 + ∗ 21 2 ∗2
∗
Existen dos ventajas clave de la eliminación de dimensiones. Primera, aumenta la comprensión acerca de las relaciones entre los parámetros claves. Segunda, reduce el número de parámetros en el problema.
El número de Froude Es importante en flujo de superficie libre tales como el flujo en canales abiertos. En la imagen se muestra el flujo a través de una compuerta. El número de Froude corriente arriba de la compuerta es y corriente debajo de la compuesta es
= √ = √ .
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< 1 = 1 > 1
El flujo se clasifica como: Flujo subcrítico o tranquilo: Flujo crítico: Flujo supercrítico o rápido:
ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD Eliminar las dimensiones de una ecuación de análisis por inspección es útil solo cuando uno sabe con cual ecuación empezar. Sin embargo, en muchos casos en la ingeniería, las ecuaciones o no se conocen o son demasiadas difíciles de resolver, la mayoría de las veces la experimentación es el único método de obtener información confiable. En la mayoría de los experimentos las pruebas se realizan en un modelo a escala geométrica, en lugar de un prototipo de tamaño real. Aquí se introduce la técnica llamada análisis dimensional. Aunque de manera usual se piensa en mecánica de fluidos, esta técnica es útil en todas las disciplinas de las ciencias. Los 3 propósitos principales del análisis dimensional son: 1. Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos y en el reporte de los resultados experimentales. 2. Obtener leyes de escalamiento de modo que se pueda predecir el desempeño del prototipo a partir del desempeño del modelo. 3. Predecir las tendencias en la relación entre parámetros. Antes de estudiar la técnica del análisis dimensional, primero se explica el concepto subyacente de análisis dimensional: el principio de similitud. Existen 3 condiciones necesarias para similitud completa entre un modelo y un prototipo: 1. Similitud geométrica: el modelo debe tener la misma forma que el prototipo, pero se le puede escalar por algún factor de escala constante. 2. Similitud cinemática: la velocidad en cualquier punto en el flujo modelo debe ser proporcional a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo. 3. Similitud dinámica: se logra cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo.
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Específicamente, para similitud cinemática la velocidad en puntos correspondientes debe escalar en magnitud y debe apuntar en la misma dirección relativa. La similitud geométrica se puede considerar como equivalencias en escala de longitud y la similitud cinemática como equivalencia en escala de tiempo. La similitud geométrica es un requisito para la similitud cinemática. Tal como el factor de escala geométrico como el factor de escala de velocidad pueden ser menor que, igual que o mayor que 1. Al igual que las anteriores similitudes, el factor de escala para fuerzas pueden ser menor que, igual que o mayor que 1. La similitud cinemática es una condición necesaria pero insuficiente para similitud dinámica. Por lo tanto, es posible para un flujo de modelo y un flujo de prototipo lograr tanto similitud geométrica como cinemática, pero no dinámica. “ En un campo de flujo general, la similitud completa entre un modelo y un prototipo se logra sólo cuando existen las 3 similitudes.”
= , ,…, ,, == ,, , = , , = ,
Se usa la letra griega (pi) para denotar un parámetro adimensional. En un problema general de análisis dimensional, existen una que se llama , a la que se le da la notación . El parámetro es, en general, una función de varias , que se llaman . La relación funcional es:
Donde k es el número total de .
Considere un experimento en el que un modelo a escala se pone a prueba para simular un flujo de prototipo. Para garantizar la similitud completa entre el modelo y el prototipo, cada del modelo debe ser idéntico a la correspondiente del prototipo; es decir: Si
Entonces
Considere, el diseño de un nuevo auto, cuya aerodinámica se pondrá a prueba en un túnel de viento. Para ahorrar dinero, lo ideal es probar un modelo pequeño, escalado geométricamente, del auto en lugar de un prototipo a tamaño real.
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= = = = , , = , , = ,
En el caso de la fuerza de arrastre sobre un automóvil, se evidencia que, si el flujo se aproxima como incompresible, solo existen 2 en este problema: Donde:
y
,
es la magnitud de la fuerza de arrastre sobre el aire, es la densidad del aire, es la velocidad del auto (o velocidad del aire en el túnel de viento), es la longitud el auto y es la viscosidad el aire. es una forma no estándar del coeficiente de arrastre y
En el problema solo existe un que, si las ), entonces las
es el número de Reynolds.
, y si la ecuación garantiza coinciden (los números de Reynolds coinciden: también coinciden ( ).
Esto permite a los ingenieros medir la fuerza de arrastre sobre el auto modelo y luego usar este valor para predecir la fuerza de arrastre sobre el auto prototipo.
Ejemplo de aplicación Se debe predecir la fuerza aerodinámica de arrastre de un auto deportivo nuevo a una velocidad de 50.0 mi/h a una temperatura de aire de 25°C. Los ingenieros automotrices construyen un modelo a un quinto de escala del auto para probarlo en un túnel de viento. Es invierno y el túnel de viento se localiza en un edificio sin calefacción; la temperatura del aire del túnel de viento es de sólo 5°C. Determine qué tan rápido deben correr los ingenieros el aire en el túnel de viento con la finalidad de lograr similitud entre el modelo y el prototipo. Para el aire a Para el aire a
==1.1.2169843 = 1.849×10−−∙ 3 = 1.754×10 ∙ y
y a T=25°C, y a T=5°C,
y
, = , = = = ∙ . . × = 50 .× ∙. 5 = 221
Calculo de la predicción de la fuerza aerodinámica de arrastre sobre el auto prototipo. La fuerza aerodinámica de arrastre sobre el auto modelo se mide con una balanza de arrastre. Se registran varias lecturas y resulta que la fuerza de arrastre promedio sobre el modelo es 21.2 lbf.
, = , 10
= = 1. 1 84 5 0 = 21.2 lbf 1.269 221 ℎℎ 5 = 25.3 GRUPOS ADIMENSIONALES IMPORTANTES EN LA MECÁNICA DE FLUIDOS En la mayor parte de los fenómenos fluidos donde puede ignorarse la transferencia de calor, las variables siguientes pueden ser importantes: 1. Cambio en la presión, 2. Longitud, L .
3. 4. 5. 6. 7. 8.
∆.
Viscosidad, . Tensión superficial, . Velocidad del sonido, c. Aceleración de la gravedad, g. Densidad, . Velocidad, V.
Utilizando estas variables pueden formarse los siguientes grupos adimensionales:
NOMBRE Número de Arquímedes Razón de dimensiones de cuerpo Numero de Biot Numero de Bond Numero de cavitación
DEFINICION
= = = ℎ ( ) = =
INTERMPRETACION COMO RAZON DE DOS MAGNITUDES
ℎ
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Factor de fricción de Darcy Coeficiente de arrastre o de resistencia aerodinámica Numero de Eckert Numero de Euler Factor de fricción de Fanning Numero de Fourier Numero de Froude Numero de Grashof Numero de Jakob Numero de Knudsen Numero de Lewis Coeficiente de sustentación Numero de Mach Numero de Nusselt Numero de Peclet
Numero de potencia Numero de Prandtl
= 8 = 12 = = ∆ = 2 = = | ∆ | = = ℎ = = = = 12 = ℎ = = = = = 12
Coeficiente de presión Numero de Rayleigh Numero de Reynolds Numero de Richardson Numero de Sherwood Razón de calores específicos Numero de Stanton Numero de Stokes Numero de Strouhal Numero de Weber
= 12∞ | | ∆ = = = ∆ ̇ ℎ = = = ℎ = 18 = =
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CONCLUSIONES El análisis dimensional es un procedimiento donde se estudia, si el fenómeno puede formularse como una relación entre un conjunto de grupos adimensionales de las variables, siendo el número de grupos menor que el de variables. La ventaja más importante de este procedimiento consiste en que se requiere una experimentación mucho menor para establecer la relación entre las variables en un rango dado y la naturaleza de la experimentación se simplificará en forma considerable para mayor compresión y entendimiento del problema o fenómeno estudiado. La ley de la homogeneidad dimensional establece que las ecuaciones deducidas analíticamente son correctas para cualquier sistema de unidades y en consecuencia cada grupo de términos en la ecuación debe tener la misma representación dimensional.
El Teorema de Buckingham, de acuerdo con su enunciado que establece, que el número de grupos adimensionales independientes que puede emplearse para describir un fenómeno en el que intervienen n variables es igual al número n-r, donde r usualmente es el número de dimensiones básicas necesarias para expresar las variables dimensionalmente. La similitud se establece como la indicación de una relación conocida entre dos fenómenos, en mecánica de fluidos es la relación entre un flujo a escala natural y un flujo que involucra fronteras más pequeñas, pero geométricamente similares. En lo que nos corresponde la similitud dinámica, donde la distribución de fuerzas entre dos flujos es tal que, en puntos correspondientes de éstos, existen tipos idénticos de fuerza paralelos (como la fuerza cortante, la fuerza de presión, etc.) y además tienen una relación con el mismo valor para todos los puntos correspondientes entre los dos flujos, en donde esta relación debe ser la misma para todos los tipos de fuerzas presentes. La importancia de la Similitud Dinámica puede decirse que la integración de Za distribución de fuerzas que origina la sustentación o el arrastre también tendrá la misma relación entre los flujos del modelo y del prototipo, donde el estudio debe detallado para obtener valores más precisos.
BIBLIOGRAFIA Mecánica de fluidos fundamentos y aplicaciones, Yunus Cengel – John Cimbala https://es.scribd.com/doc/51193292/ANALISIS-DIMENSIONAL-Y-SEMEJANZA Irving H. Shame, Mecánica de Fluidos, Tercera Edición, 0 1995, por McGRAW-HILL TNTERAMERICANA, S. A Transversal 428 No. 19 -77, Santafé de Bogotá-Colombia. Págs. (281-291)
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