Analisis Matricial de Estructuras

Representar mediante un modelo matemático un sistema físico real. El propósito del análisis es determinar la respuesta del modelo matemático que está sometido a un conjunto de cargas dadas o fuerzas externas. Respuesta: 1. Esfuerzos, deformaciones 2. Propiedades de vibración 3. Condiciones de estabilidad Cargas: 1. Cargas estáticas (independientes del tiempo) 2. Cargas dinámicas (interviene el tiempo) 3. Generadas por cambios de temperatura (representada como carga) Para el problema estático: GEOMETRIA PROP. FISICAS

Acción =

Rigidez

x

Deformación

Formada por elementos unidimensionales unidos en ciertos puntos llamados nudos. Se clasifican según la disposición (geometría) de elementos y tipos de unión: a) Por geometría y aplicación de carga: PLANAS y ESPACIALES. b) Por el tipo de conexión: ARMADURAS y PORTICOS RIGIDOS.

Armadura

viga continua

Retícula espacial

parrilla

En las estructuras reticulares se cumple:

L >> B, H H L B

Ejemplo: cascarones, placas, sólidos de revolución, etc. a) El análisis se realiza mediante el Método de los Elementos Finitos. b) Los elementos a considerar no son lineales, tienen otras características.

Los desplazamientos nodales deben ser consistentes.

Ley constitutiva del material.

Hooke (Ley constitutiva para materiales elásticos)

Todas las estructuras o cualquier parte de ella deben estar en equilibrio bajo la acción de cargas externas y fuerzas internas.

Caso particular de los principios de compatibilidad y equilibrio. 

Por compatibilidad: Condiciones de borde geométricas o cinéticas.



Por equilibrio: Condiciones de borde naturales o físicas.

El sistema local de referencia es propio para cada elemento e independiente uno del otro.

Armadura plana

2 G.L. / nudo

3 G.L./nudo

Armadura espacial

Pórtico plano

6 G.L./nudo 3 G.L./nudo

Parrilla

Pórtico espacial



ELASTICO E INELASTICO

|

Ur Uf  Descarga (Elástica)

P

Carga

Inelástica U Ur



Uf 

COMPORTAMIENTO LINEAL Y PIEZO-LINEAL P K U P

Uo

P

Uf  K2

K1

U



PRINCIPIO DE SUPERPOSICION Para una estructura elástica-lineal

P1

P2

Pf 

P1

Uf

P2

U1



LINEAL: Deformaciones pequeñas



NO-LINEAL:

U2

Deformaciones apreciables, se alteran los esfuerzos inducidos en la estructura.

a H

Estructura con geometría inicial (Sin cargas)

P



Estructura deformada (Con cargas aplicadas) Posición de equilibrio

 H-

(Geometría no lineal)

Se refiere al número de acciones (fuerza axial, cortante o momento) externo y/o interno que deben liberarse a fin de transformar la estructura original en una estructura estable y determinada.

Se refiere al número de componentes de desplazamiento de nudo (traslación, rotación) que son necesarios para describir la respuesta del sistema. Define la configuración deformada del sistema.

Grado de Indeterminación Estática 6 - 3 = 3º

Grado de Indeterminación Cinemática 3º

Pórtico con Deformación Axial G.I.E. = 8 - 3 = 5 G.I.C. = 5 x 3 + 1 = 16

Pórtico sin Deformación Axial G.I.C = 8 ( a

, U1, U2)

En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura estática determinada y estable. Luego, se obtienen soluciones complementarias que permiten restablecer la continuidad del sistema y debe resolverse un sistema de ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se aplica la condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.

En este método se obtiene, primero, una estructura modificada, bloqueando los desplazamientos de todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego, se superponen otras soluciones complementarias para determinar los verdaderos desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a resolver es igual al número del grado de indeterminación cinemática. Primero se aplica el principio de compatibilidad y luego el de equilibrio. 

G.I.E. = 5 - 3 = 2 Estructura real

Estructura primaria (Estática y estable)

x MA Soluciones Complementarias

1.0 x MB



Equilibrio: Resolver cada sistema simple.



Compatibilidad.

R = Vector de fuerzas redundantes B = Matriz de flexibilidad U = Vector de desplazamientos 

G.I.C. = 2 Estructura real

Estructura primaria (Se bloquean los Des lazamientos

Soluciones Complementarias



Compatibilidad: Determinación de cada sistema.



Equilibrio.

P = Vector de cargas nodales K = Matriz de rigidez U = Vector de desplazamientos nodales

i

a

j

a

b

b

Compatibilidad de Desplazamientos en el Elemento (sin considerar las deformaciones axiales en el elemento)

VA = Vi + i a

A = i VB = Vj -  j  b

B =  j

U H U

Equilibrio en el Elemento

Vi = VA Mi = VA a + MA Vj = VB Mj = -VB  b + MB

f H f  T

Se tiene la matriz de rigidez del segmento AB de longitud L:

Pero, U H U, entonces: K  (H U) f 

Pre multiplicando por H se tiene: T

H K H U H f  T

T

(H K H) U f  T

K e H K H T

donde:

Fuerzas de empotramiento de elementos Viga con Brazos Rígidos

Equilibrio en el Elemento